Mix Examples-Current Electricity Questions in Gujarati

(B) વિદ્યુત સ્થિતિમાનનો તફાવત (વોલ્ટેજ) એ એકમ વિદ્યુતભાર દીઠ કરેલા કાર્ય તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,$V = \frac{W}{Q}$.
પાવર $P$ એ એકમ સમયમાં કરેલા કાર્ય તરીકે વ્યાખ્યાયિત હોવાથી,$P = \frac{W}{t}$,તેથી $W = P \times t$ થાય.
આ કિંમત વોલ્ટેજના સૂત્રમાં મૂકતા: $V = \frac{P \times t}{Q}$.
વિદ્યુત પ્રવાહ $I = \frac{Q}{t}$ હોવાથી,$t/Q = 1/I$ થાય.
તેથી,$V = \frac{P}{I}$,જેનો અર્થ છે કે $1 \text{ volt} = \frac{1 \text{ watt}}{1 \text{ ampere}}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) List-$I$ માં દરેક એકમનું વિશ્લેષણ કરીએ:
$1$. જુલ $(J)$: ઉર્જાનો એકમ. $W = Q \times V$ હોવાથી,$1 \text{ જુલ} = 1 \text{ કુલંબ} \times 1 \text{ વોલ્ટ}$. તેથી,$I-C$.
$2$. વોટ $(W)$: પાવરનો એકમ. $P = I^2 R$ હોવાથી,$1 \text{ વોટ} = 1 \text{ એમ્પિયર}^2 \times 1 \text{ ઓહ્મ}$. તેથી,$II-F$.
$3$. વોલ્ટ $(V)$: વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત. ફેરાડેના નિયમ મુજબ,$V = L \frac{di}{dt}$,તેથી $1 \text{ વોલ્ટ} = 1 \text{ હેન્રી} \times 1 \text{ એમ્પિયર/સેકન્ડ}$. તેથી,$III-A$.
$4$. કુલંબ $(C)$: વિદ્યુતભારનો એકમ. $Q = C \times V$ (જ્યાં $C$ કેપેસીટન્સ છે) હોવાથી,$1 \text{ કુલંબ} = 1 \text{ ફરાડ} \times 1 \text{ વોલ્ટ}$. તેથી,$IV-B$.
આમ,સાચી જોડ $I-C, II-F, III-A, IV-B$ છે.

(C) કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જાનું સૂત્ર $U = \frac{1}{2}CV^2$ છે.
તે જ રીતે,ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જાનું સૂત્ર $U = \frac{1}{2}LI^2$ છે.
આ બંને પદો ઉર્જા દર્શાવતા હોવાથી,$CV^2$ ના પરિમાણો $LI^2$ ના પરિમાણો સમાન જ હોય.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $LR$ પરિપથનો ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ $\tau_L = \frac{L}{R}$ છે,જેનું પરિમાણ સમય $[T]$ છે.
તે જ રીતે,$RC$ પરિપથનો ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ $\tau_C = RC$ છે,જેનું પરિમાણ પણ સમય $[T]$ છે.
આપેલ પદ $\frac{L}{RCV}$ ને આપણે $\left( \frac{L}{R} \right) \cdot \frac{1}{CV}$ તરીકે લખી શકીએ.
આપણે જાણીએ છીએ કે $Q = CV$,તેથી $CV = Q$ (જ્યાં $Q$ એ વિદ્યુતભાર છે).
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા: $\frac{L}{RCV} = \frac{[T]}{[Q]} = \frac{[T]}{[I][T]} = [I]^{-1} = [A]^{-1}$.
આમ,તેનું પારિમાણિક સૂત્ર $[A^{-1}]$ છે.

(C) સાચો જવાબ $C$ છે.
$(a)$ $Work = Charge \times Potential\,Difference$ હોવાથી,$1\,J = 1\,C \times 1\,V$. આ સાચું છે.
$(b)$ $Power = Voltage \times Current$ હોવાથી,$1\,W = 1\,V \times 1\,A$. $1\,W = 1\,J/s$ હોવાથી,આ સાચું છે.
$(c)$ $1\,volt \times 1\,watt = 1\,volt \times (1\,joule/second) = 1\,volt^2 \cdot ampere$. આ $1\,H.P.$ $(1\,H.P. = 746\,W)$ ની બરાબર નથી. તેથી,આ વિધાન ખોટું છે.
$(d)$ $Watt-hour$ અને $eV$ બંને ઉર્જાના એકમો છે,તેથી તેમને એકબીજાના સંદર્ભમાં દર્શાવી શકાય છે. આ સાચું છે.

(C) માનવ શરીર, જોકે $k\Omega$ (દા.ત., $10\,k\Omega$) ના ક્રમનો મોટો અવરોધ ધરાવે છે, તે ખૂબ જ નાના પ્રવાહો પ્રત્યે પણ અત્યંત સંવેદનશીલ હોય છે, જે થોડા $mA$ જેટલા ઓછા હોઈ શકે છે.
જ્યારે વિદ્યુત પ્રવાહ ચેતાઓમાંથી પસાર થાય છે, ત્યારે તે ચેતાતંત્રને ઉત્તેજિત કરે છે અને તેમાં વિક્ષેપ પાડે છે, જેના કારણે સ્નાયુઓનું અનૈચ્છિક સંકોચન થાય છે અને શરીર શારીરિક ઉત્તેજનાની સ્થિતિમાં આવી જાય છે. પરિણામે, વ્યક્તિ શરીરની પ્રવૃત્તિઓ પરનું નિયંત્રણ ગુમાવે છે.

(A) પરિપથમાં વ્યય થતો પાવર $P = \frac{E^2}{R_{eq}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $E$ એ સ્ત્રોતનું $EMF$ છે અને $R_{eq}$ એ પરિપથનો સમતુલ્ય અવરોધ છે.
$P$ મહત્તમ હોવા માટે,$R_{eq}$ ન્યૂનતમ હોવો જોઈએ.
ચાલો દરેક પરિપથ માટે $R_{eq}$ ની ગણતરી કરીએ:
$(a)$ બે અવરોધ $R$ સમાંતરમાં: $R_{eq} = \frac{R \times R}{R + R} = \frac{R}{2} = 0.5R$.
$(b)$ બે અવરોધ $R$ શ્રેણીમાં: $R_{eq} = R + R = 2R$.
$(c)$ બે અવરોધ $R$ સમાંતરમાં,જે $R$ સાથે શ્રેણીમાં છે: $R_{eq} = \frac{R}{2} + R = 1.5R$.
$(d)$ બે અવરોધ $R$ શ્રેણીમાં,જે $R$ સાથે સમાંતરમાં છે: $R_{eq} = \frac{(2R) \times R}{2R + R} = \frac{2R^2}{3R} = \frac{2}{3}R \approx 0.67R$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા,$0.5R < 0.67R < 1.5R < 2R$.
ન્યૂનતમ સમતુલ્ય અવરોધ $0.5R$ છે,જે પરિપથ $(a)$ ને અનુરૂપ છે.
તેથી,પરિપથ $(a)$ માં પાવરનો વ્યય સૌથી વધુ થાય છે.

(D) બેટરીની વોટ-અવર કાર્યક્ષમતા એ ડિસ્ચાર્જિંગ દરમિયાન બેટરી દ્વારા પૂરી પાડવામાં આવેલી કુલ ઉર્જા અને ચાર્જિંગ દરમિયાન વપરાયેલી કુલ ઉર્જાના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ચાર્જિંગ દરમિયાન વપરાતી ઉર્જા $(E_{in})$ = $V_{charge} \times I_{charge} \times t_{charge} = 15\, V \times 10\, A \times 8\, h = 1200\, Wh$.
ડિસ્ચાર્જિંગ દરમિયાન પૂરી પાડવામાં આવતી ઉર્જા $(E_{out})$ = $V_{discharge} \times I_{discharge} \times t_{discharge} = 14\, V \times 5\, A \times 15\, h = 1050\, Wh$.
વોટ-અવર કાર્યક્ષમતા $(\eta)$ = $\frac{E_{out}}{E_{in}} \times 100\%$.
$\eta = \frac{1050}{1200} \times 100\% = 0.875 \times 100\% = 87.5\%$.

(C) વોલ્ટમીટર જોડતા પહેલા,$100\,\Omega$ ના અવરોધ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત વોલ્ટેજ ડિવાઈડરના નિયમ દ્વારા મળે છે:
$V_i = \frac{100}{100 + 10} \times V = \frac{10}{11}V$
$100\,\Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતરમાં $900\,\Omega$ નું વોલ્ટમીટર જોડ્યા પછી,સમાંતર જોડાણનો સમતુલ્ય અવરોધ:
$R_p = \frac{100 \times 900}{100 + 900} = \frac{90000}{1000} = 90\,\Omega$
વોલ્ટમીટર દ્વારા માપવામાં આવેલ અંતિમ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત:
$V_f = \frac{90}{90 + 10} \times V = \frac{90}{100}V = 0.9V = \frac{9}{10}V$
માપનમાં થતી ટકાવારી ભૂલ નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$\text{ટકાવારી ભૂલ} = \frac{V_i - V_f}{V_i} \times 100$
$= \frac{\frac{10}{11}V - \frac{9}{10}V}{\frac{10}{11}V} \times 100$
$= \frac{\frac{100 - 99}{110}}{\frac{10}{11}} \times 100 = \frac{1/110}{10/11} \times 100 = \frac{1}{110} \times \frac{11}{10} \times 100 = \frac{1}{100} \times 100 = 1\%$

(A) તારનો અવરોધ $R = \rho \frac{l}{A} = \rho \frac{l}{\pi r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શરૂઆતમાં,એક તાર માટે: $R = 5 \, \Omega$ અને $r_1 = 9 \, mm$.
તેથી,$5 = \rho \frac{l}{\pi (9 \times 10^{-3})^2} \implies \rho l = 5 \pi (81 \times 10^{-6}) = 405 \pi \times 10^{-6} \, \Omega \cdot m^2$.
અંતે,$6$ તાર સમાંતરમાં જોડાયેલા હોય તેવા નવા કેબલ માટે,દરેકની ત્રિજ્યા $r_2 = 3 \, mm$ છે:
દરેક નાના તારનો અવરોધ $R' = \rho \frac{l}{\pi r_2^2} = \rho \frac{l}{\pi (3 \times 10^{-3})^2} = \frac{\rho l}{\pi (9 \times 10^{-6})}$.
શરૂઆતની સ્થિતિમાંથી $\rho l$ ની કિંમત મૂકતા: $R' = \frac{405 \pi \times 10^{-6}}{\pi (9 \times 10^{-6})} = \frac{405}{9} = 45 \, \Omega$.
આવા $6$ તાર સમાંતરમાં જોડાયેલા હોવાથી,સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ એ $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R'} + \frac{1}{R'} + \dots + \frac{1}{R'} = \frac{6}{R'}$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,$R_{eq} = \frac{R'}{6} = \frac{45}{6} = 7.5 \, \Omega$.

(C) વર્તુળનો પરિઘ $C = \pi d = 2\pi \, m$ છે. વર્તુળાકાર તારનો કુલ અવરોધ $R_{total} = (2\pi \, m) \times (10^{-6} \, \Omega/m) = 2\pi \times 10^{-6} \, \Omega$ છે.
જ્યારે તેને વર્તુળમાં વાળવામાં આવે છે, ત્યારે તાર બે સમાન અર્ધવર્તુળાકાર ચાપમાં વહેંચાય છે, જેમાંથી દરેકનો અવરોધ $R = \frac{R_{total}}{2} = \pi \times 10^{-6} \, \Omega$ છે.
સમાન દ્રવ્યના એક તારને વ્યાસ $AB$ પર જોડવામાં આવે છે. આ તારની લંબાઈ વ્યાસ $d = 2 \, m$ જેટલી છે. તેનો અવરોધ $R_1 = 2 \times 10^{-6} \, \Omega$ છે.
બે અર્ધવર્તુળાકાર ચાપ એકબીજા સાથે સમાંતર છે, અને આ સંયોજન વ્યાસના તાર $R_1$ સાથે સમાંતરમાં છે. સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R} + \frac{1}{R} + \frac{1}{R_1} = \frac{2}{R} + \frac{1}{R_1} = \frac{2}{\pi \times 10^{-6}} + \frac{1}{2 \times 10^{-6}}$
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{10^{-6}} \left( \frac{2}{\pi} + 0.5 \right) = \frac{1}{10^{-6}} \left( \frac{4 + \pi}{2\pi} \right)$
$R_{eq} = \frac{2\pi}{4 + \pi} \times 10^{-6} \approx \frac{6.28}{7.14} \times 10^{-6} \approx 0.88 \times 10^{-6} \, \Omega$.

(D) બલ્બનું રેટિંગ $P = 4.5\, W$ અને $V = 1.5\, V$ છે. બલ્બને સંપૂર્ણ તીવ્રતા સાથે પ્રકાશિત કરવા માટે જરૂરી પ્રવાહ $I_{bulb} = \frac{P}{V} = \frac{4.5}{1.5} = 3\, A$ છે.
બલ્બ અને $1\, \Omega$ નો અવરોધ સમાંતર જોડાણમાં હોવાથી,$1\, \Omega$ ના અવરોધ પરનો વોલ્ટેજ પણ $1.5\, V$ થશે.
$1\, \Omega$ ના અવરોધમાંથી પસાર થતો પ્રવાહ $I_{resistor} = \frac{V}{R} = \frac{1.5}{1} = 1.5\, A$ છે.
કોષમાંથી લેવામાં આવતો કુલ પ્રવાહ $I_{total} = I_{bulb} + I_{resistor} = 3 + 1.5 = 4.5\, A$ છે.
કોષનો આંતરિક અવરોધ $r = 2.67\, \Omega$ છે. સમાંતર જોડાણ પરનો ટર્મિનલ વોલ્ટેજ $V = 1.5\, V$ છે.
સંબંધ $E = V + I_{total}r$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $E = 1.5 + (4.5 \times 2.67) = 1.5 + 12.015 = 13.515\, V \approx 13.5\, V$.

(D) સમતુલ્ય અવરોધ શોધવા માટે,આપણે સર્કિટને જમણી બાજુથી ડાબી બાજુ સરળ બનાવીએ છીએ.
પ્રથમ,છેલ્લા ભાગમાં $2\,\Omega$ નો અવરોધ $4\,\Omega$ ના અવરોધ સાથે શ્રેણીમાં છે,જે $8\,\Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતર છે. આ ભાગનો અવરોધ $R_1 = \frac{(2+4) \times 8}{(2+4) + 8} = \frac{48}{14} = \frac{24}{7}\,\Omega$ છે.
આની સાથે $2\,\Omega$ નો અવરોધ શ્રેણીમાં ઉમેરતા $R_2 = 2 + \frac{24}{7} = \frac{38}{7}\,\Omega$ મળે છે.
આ પછીના $8\,\Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતરમાં છે: $R_3 = \frac{(\frac{38}{7}) \times 8}{(\frac{38}{7}) + 8} = \frac{304}{94} = \frac{152}{47}\,\Omega$.
બાકીના શ્રેણી અવરોધો ($3\,\Omega$ અને $2\,\Omega$) ઉમેરતા,કુલ સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = 3 + 2 + \frac{152}{47} \approx 8.23\,\Omega$ મળે છે.
જોકે,આપેલ ઉકેલની આકૃતિ મુજબ: મુખ્ય પ્રવાહ $I = 1\,A$ છે. સર્કિટના વિભાજન મુજબ,$4\,\Omega$ ના અવરોધમાંથી વહેતો પ્રવાહ $0.25\,A$ છે.

(D) આ સર્કિટમાં બે સમાંતર શાખાઓ છે જે $1.5 \, \Omega$ આંતરિક અવરોધ ધરાવતી $20 \, V$ ની બેટરી સાથે જોડાયેલી છે.
દરેક શાખાનો કુલ અવરોધ $3 \, \Omega + 2 \, \Omega = 5 \, \Omega$ છે.
બે સમાંતર શાખાઓનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_p = \frac{5 \times 5}{5 + 5} = 2.5 \, \Omega$ છે.
સર્કિટનો કુલ અવરોધ $R_{eq} = R_p + r = 2.5 \, \Omega + 1.5 \, \Omega = 4 \, \Omega$ છે.
સર્કિટમાં વહેતો કુલ પ્રવાહ $i = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{20 \, V}{4 \, \Omega} = 5 \, A$ છે.
બંને શાખાઓનો અવરોધ સમાન હોવાથી,પ્રવાહ સમાન રીતે વહેંચાય છે,તેથી $i_1 = i_2 = \frac{i}{2} = 2.5 \, A$.
ધારો કે ડાબી બાજુના જંકશન પરનું સ્થિતિમાન $V_X$ છે. $P$ પરનું સ્થિતિમાન $V_P = V_X - i_1 \times 3 \, \Omega = V_X - 2.5 \times 3 = V_X - 7.5 \, V$ છે.
$Q$ પરનું સ્થિતિમાન $V_Q = V_X - i_2 \times 2 \, \Omega = V_X - 2.5 \times 2 = V_X - 5 \, V$ છે.
$P$ અને $Q$ વચ્ચેનો સ્થિતિમાનનો તફાવત $V_Q - V_P = (V_X - 5) - (V_X - 7.5) = 2.5 \, V$ છે.
આમ,$V_Q - V_P = 2.5 \, V$ હોવાથી,$V_Q > V_P$ થાય છે.

(A) ધારો કે બિંદુ $B$ પરનું સ્થિતિમાન $V_B = 0 \, V$ છે. તો બિંદુ $A$ પરનું સ્થિતિમાન $V_A = E_2 = 2 \, V$ થશે.
નોડ $A$ પર કિર્ચોફનો પ્રવાહનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$E_1, R_1$ અને $E_3, R_2$ વાળી શાખાઓ $A$ અને $B$ વચ્ચે સમાંતર જોડાયેલી છે.
બે સમાંતર શાખાઓનું સમતુલ્ય $EMF$ $E_{eq} = \frac{E_1/R_1 + E_3/R_2}{1/R_1 + 1/R_2} = \frac{2/4 + 2/4}{1/4 + 1/4} = \frac{1}{0.5} = 2 \, V$ છે.
સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} = \frac{4 \times 4}{4 + 4} = 2 \, \Omega$ છે.
હવે,સર્કિટ $E_{eq} = 2 \, V$ અને $R_{eq} = 2 \, \Omega$ ના લૂપમાં ફેરવાય છે જે $E_2 = 2 \, V$ સાથે શ્રેણીમાં છે.
$A$ થી $B$ તરફ $E_2$ માંથી વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{E_{eq} - E_2}{R_{eq}} = \frac{2 - 2}{2} = 0 \, A$ મળે છે.

(A) $1$. પરિપથ ત્રણ મુખ્ય ભાગોના શ્રેણી જોડાણનો બનેલો છે: $3\,\Omega$ અવરોધ,ઉપરનું સમાંતર નેટવર્ક,નીચેનું સમાંતર નેટવર્ક અને $1\,\Omega$ અવરોધ.
$2$. નીચેના સમાંતર નેટવર્કમાં $24\,\Omega$ અને $8\,\Omega$ ના અવરોધો સમાંતરમાં છે. સમતુલ્ય અવરોધ $R_{lower} = \frac{24 \times 8}{24 + 8} = \frac{192}{32} = 6\,\Omega$ થાય.
$3$. $8\,\Omega$ અવરોધ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $48\,V$ આપેલ છે,તેથી આ સમાંતર બ્લોકમાંથી વહેતો પ્રવાહ $i = \frac{48\,V}{6\,\Omega} = 8\,A$ છે.
$4$. ઉપરના સમાંતર નેટવર્કમાં $20\,\Omega$,$30\,\Omega$ અને $60\,\Omega$ ના અવરોધો સમાંતરમાં છે. સમતુલ્ય અવરોધ $R_{upper} = \frac{1}{R_{upper}} = \frac{1}{20} + \frac{1}{30} + \frac{1}{60} = \frac{3+2+1}{60} = \frac{6}{60} = \frac{1}{10}$,તેથી $R_{upper} = 10\,\Omega$ થાય.
$5$. $X$ અને $Y$ વચ્ચેનો કુલ અવરોધ $R_{XY} = 3\,\Omega + R_{upper} + R_{lower} + 1\,\Omega = 3 + 10 + 6 + 1 = 20\,\Omega$ છે.
$6$. સમગ્ર શ્રેણી માર્ગમાં સમાન પ્રવાહ $i = 8\,A$ વહેતો હોવાથી,$X$ અને $Y$ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{XY} = i \times R_{XY} = 8\,A \times 20\,\Omega = 160\,V$ થાય.

(A) તારનો કુલ અવરોધ $R = 10 \, \Omega$ છે। બિંદુઓ $P$ અને $Q$ વર્તુળને બે ભાગમાં વિભાજિત કરે છે: એક ચતુર્થાંશ (ચાપ $PNQ$) અને બાકીનો ત્રણ-ચતુર્થાંશ ભાગ (ચાપ $PMQ$)।
ચતુર્થાંશ ભાગ $PNQ$ નો અવરોધ $R_1 = \frac{1}{4} \times 10 = 2.5 \, \Omega$ છે।
બાકીના ભાગ $PMQ$ નો અવરોધ $R_2 = \frac{3}{4} \times 10 = 7.5 \, \Omega$ છે।
આ બંને ભાગો સમાંતર જોડાણમાં છે। તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ છે:
$R_{eq} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} = \frac{2.5 \times 7.5}{2.5 + 7.5} = \frac{18.75}{10} = 1.875 \, \Omega = \frac{15}{8} \, \Omega$.
આંતરિક અવરોધ $r = 1 \, \Omega$ સહિત પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{total} = R_{eq} + r = \frac{15}{8} + 1 = \frac{23}{8} \, \Omega$ છે।
બેટરીમાંથી વહેતો મુખ્ય પ્રવાહ $i = \frac{V}{R_{total}} = \frac{3}{23/8} = \frac{24}{23} \, A$ છે।
કરંટ ડિવાઈડરના નિયમનો ઉપયોગ કરતા, $R_1$ માંથી વહેતો પ્રવાહ $i_1$:
$i_1 = i \times \left( \frac{R_2}{R_1 + R_2} \right) = \frac{24}{23} \times \left( \frac{7.5}{2.5 + 7.5} \right) = \frac{24}{23} \times 0.75 = \frac{18}{23} \, A$.
$R_2$ માંથી વહેતો પ્રવાહ $i_2$:
$i_2 = i - i_1 = \frac{24}{23} - \frac{18}{23} = \frac{6}{23} \, A$.
આમ, પ્રવાહ $\frac{6}{23} \, A$ અને $\frac{18}{23} \, A$ છે।

(A) સ્થાયી અવસ્થામાં,કેપેસિટર ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે,તેથી કેપેસિટર $C$ ધરાવતી વચ્ચેની શાખામાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
ધારો કે જમણા જંકશન પરનો પોટેન્શિયલ $0$ છે અને ડાબા જંકશન પરનો પોટેન્શિયલ $V_L$ છે.
બાહ્ય લૂપ (ઉપરની અને નીચેની શાખાઓ) માટે કિર્ચોફનો લૂપનો નિયમ લાગુ કરતા:
પ્રવાહ $i$ ઉપરની શાખા (અવરોધ $R$) અને નીચેની શાખા (અવરોધ $2R$) માંથી વહે છે.
લૂપ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $V - iR - 2iR + 2V = 0$
$3V = 3iR$
$i = V / R$
હવે,જમણા જંકશન $(V_A)$ અને ડાબા જંકશન $(V_L)$ પરનો પોટેન્શિયલ શોધો.
ધારો કે જમણા જંકશન પરનો પોટેન્શિયલ $0$ છે.
તો ડાબા જંકશન પરનો પોટેન્શિયલ $V_L = V - iR = V - (V/R)R = 0$ થશે.
વૈકલ્પિક રીતે,$V_L = 2V - i(2R) = 2V - (V/R)(2R) = 0$.
તેથી,જમણા જંકશન પરનો પોટેન્શિયલ $0$ છે અને ડાબા જંકશન પરનો પોટેન્શિયલ $0$ છે.
વચ્ચેની શાખામાં પોટેન્શિયલ તફાવત એ કેપેસિટર $C$ અને બેટરી $V$ પરનો પોટેન્શિયલ છે.
વચ્ચેની શાખામાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો ન હોવાથી,કેપેસિટર $V_C$ પરનો પોટેન્શિયલ ડ્રોપ તે શાખામાં રહેલી બેટરી $V$ ને સંતુલિત કરવો જોઈએ.
આમ,$V_C = V$.

(B) ધારો કે પ્રથમ તારનો અવરોધ $R$ અને દળ $m$ છે. બીજા તારની લંબાઈ $2L$ હોવાથી,તેનો અવરોધ $2R$ અને દળ $2m$ થશે.
ધારો કે દરેક કોષનું $EMF$ $E$ છે અને દ્રવ્યની વિશિષ્ટ ઉષ્માધારિતા $S$ છે.
પ્રથમ તાર માટે,વિદ્યુતપ્રવાહ $i_1 = \frac{3E}{R}$ છે. ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા $H_1 = i_1^2 R t = m S \Delta T$ છે.
$i_1$ ની કિંમત મૂકતા,$(\frac{3E}{R})^2 R t = m S \Delta T \implies \frac{9E^2 t}{R} = m S \Delta T$.
બીજા તાર માટે,વિદ્યુતપ્રવાહ $i_2 = \frac{NE}{2R}$ છે. ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા $H_2 = i_2^2 (2R) t = (2m) S \Delta T$ છે.
$i_2$ ની કિંમત મૂકતા,$(\frac{NE}{2R})^2 (2R) t = 2m S \Delta T \implies \frac{N^2 E^2 t}{4R^2} \cdot 2R = 2m S \Delta T \implies \frac{N^2 E^2 t}{2R} = 2m S \Delta T$.
બંને ઉષ્માના સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{9E^2 t / R}{N^2 E^2 t / 2R} = \frac{m S \Delta T}{2m S \Delta T} \implies \frac{18}{N^2} = \frac{1}{2} \implies N^2 = 36 \implies N = 6$.

(B) $1$. સર્કિટ ડાયાગ્રામનું વિશ્લેષણ કરો. નોંધો કે $1.8 \, \Omega$ અને $2.2 \, \Omega$ ના અવરોધો શોર્ટ સર્કિટ સાથે સમાંતર જોડાયેલા છે,જે તેમને અસરકારક રીતે બાયપાસ કરે છે.
$2$. $3 \, \Omega$ અને $1 \, \Omega$ ના અવરોધો શ્રેણીમાં છે,જેનો સમતુલ્ય અવરોધ $3 \, \Omega + 1 \, \Omega = 4 \, \Omega$ થાય છે.
$3$. આ $4 \, \Omega$ સમતુલ્ય અવરોધ $2 \, \Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતરમાં છે. સમતુલ્ય અવરોધ $\frac{4 \times 2}{4 + 2} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \, \Omega$ થાય છે.
$4$. જો કે,આપેલ સરળ આકૃતિને જોતા,સર્કિટ $2 \, \Omega$,$1 \, \Omega$ અને $5 \, \Omega$ ના અવરોધોના શ્રેણી જોડાણમાં પરિણમે છે.
$5$. તેથી,કુલ સમતુલ્ય અવરોધ $R_{AB} = 2 \, \Omega + 1 \, \Omega + 5 \, \Omega = 8 \, \Omega$ થાય છે.

(C) આપેલ સર્કિટમાં $E = 6\, V$ $EMF$ ધરાવતી બેટરી અને $r = 1\, \Omega$ આંતરિક અવરોધ છે. બાહ્ય સર્કિટમાં $6\, \Omega$ અને $4\, \Omega$ ના બે અવરોધો શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે.
સર્કિટનો કુલ અવરોધ $R_{total} = R_1 + R_2 + r = 6\, \Omega + 4\, \Omega + 1\, \Omega = 11\, \Omega$ છે.
ઓહ્મના નિયમ મુજબ સર્કિટમાંથી વહેતો પ્રવાહ $i = \frac{E}{R_{total}} = \frac{6\, V}{11\, \Omega} = \frac{6}{11}\, A$ છે.
વોલ્ટમીટર બાહ્ય સર્કિટ ($6\, \Omega$ અને $4\, \Omega$ ના શ્રેણી જોડાણ) ની આસપાસ જોડાયેલું છે. આ અવરોધો વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = i \times (R_1 + R_2) = \frac{6}{11}\, A \times (6\, \Omega + 4\, \Omega) = \frac{6}{11} \times 10 = \frac{60}{11}\, V$ છે.
આમ,એમીટરનું રીડિંગ $6/11\, A$ અને વોલ્ટમીટરનું રીડિંગ $60/11\, V$ છે.

(B) બલ્બનું રેટિંગ $V_b = 1.5\, V$ અને $P_b = 0.45\, W$ છે.
જ્યારે બલ્બ સંપૂર્ણ તીવ્રતા સાથે પ્રકાશિત થાય છે,ત્યારે તેની આસપાસનો વોલ્ટેજ $V_{XY} = 1.5\, V$ હોય છે.
બલ્બમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I_b = \frac{P_b}{V_b} = \frac{0.45}{1.5} = 0.3\, A$ છે.
બેટરીનો કુલ વોલ્ટેજ $6\, V$ છે. $3\, \Omega$ ના અવરોધક પરનો વોલ્ટેજ $V_r = 6\, V - 1.5\, V = 4.5\, V$ છે.
સર્કિટમાં કુલ પ્રવાહ $I = \frac{V_r}{3\, \Omega} = \frac{4.5}{3} = 1.5\, A$ છે.
અવરોધ $R$ માંથી વહેતો પ્રવાહ $I_R = I - I_b = 1.5\, A - 0.3\, A = 1.2\, A$ છે.
$X$ અને $Y$ વચ્ચેનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{XY} = \frac{V_{XY}}{I} = \frac{1.5}{1.5} = 1\, \Omega$ છે.

(D) ધારો કે ઉપરના જંકશન પરનું સ્થિતિમાન $V_T$ છે અને બે બેટરી વચ્ચેના જંકશન પરનું સ્થિતિમાન $V_M$ છે. ધારો કે $A$ પરનું સ્થિતિમાન $V_A = 0 \ V$ છે. પરિપથની સંમિતિને કારણે $C$ પરનું સ્થિતિમાન $V_C = 0 \ V$ થશે.
સંમિતિને કારણે,ઉપરના જંકશન $V_T$ પરનું સ્થિતિમાન એવું છે કે $10 \ \Omega$ ના અવરોધમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી,અથવા પરિપથની સંમિતિ જોતા,$A$ અને $C$ પરનું સ્થિતિમાન સમાન છે.
$A$ અને $C$ પરનું સ્થિતિમાન સમાન હોવાથી $(V_A = V_C)$,$E$ અને $F$ વચ્ચે જોડાયેલા $12 \ \Omega$ ના અવરોધ પરનો સ્થિતિમાનનો તફાવત $V_A - V_C = 0 \ V$ છે.
તેથી,$12 \ \Omega$ ના અવરોધમાંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ $i = \frac{V_A - V_C}{12} = \frac{0}{12} = 0 \ A$ થશે.

(C) વાહકમાં વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{V}{L} = \frac{IR}{L} = \frac{I \rho}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$I = neA{v_d}$ હોવાથી,$E = \frac{(neA{v_d}) \rho}{A} = ne\rho{v_d}$ મળે છે. આમ,${v_d} \propto E$,જે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા છે.
થર્મલ પાવર $P = I^2R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $I = neA{v_d}$ મૂકતા,$P = (neA{v_d})^2 R = (neA)^2 R {v_d}^2$ મળે છે. આમ,$P \propto {v_d}^2$,જે પરવલય દર્શાવે છે.
તે જ રીતે,$P = I^2R$ હોવાથી,$P \propto I^2$,જે પરવલય છે.
અંતે,$P = \frac{V^2}{R} = \frac{(EL)^2}{R} = \frac{L^2}{R} E^2$. આમ,$P \propto E^2$,જે પરવલય છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$P$ વિરુદ્ધ ${v_d}$ નો આલેખ પરવલય હોવો જોઈએ,પરંતુ વિકલ્પ $C$ માં સીધી રેખા દર્શાવેલ છે. તેથી,આલેખ $C$ ખોટો છે.

(B) જ્યારે આપણે સમાન વાહકમાં પ્રવાહની દિશામાં ગતિ કરીએ છીએ,ત્યારે વાહકના અવરોધને કારણે સ્થિતિમાન $V$ રેખીય રીતે ઘટે છે $(V = IR)$.
જ્યારે આપણે કોષમાંથી તેના ઋણ ટર્મિનલથી ધન ટર્મિનલ તરફ જઈએ છીએ,ત્યારે સ્થિતિમાનમાં કોષના ટર્મિનલ સ્થિતિમાન તફાવત જેટલો વધારો થાય છે,જે $V = E - Ir$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે કોષ પ્રવાહ વહેવડાવી રહ્યો છે,તેથી ટર્મિનલ સ્થિતિમાન તફાવત $V$ એ કોષના $e.m.f.$ $E$ કરતા ઓછો હોય છે.
તેથી,આલેખમાં વાહક સાથે સ્થિતિમાનમાં રેખીય ઘટાડો દર્શાવવો જોઈએ,ત્યારબાદ કોષની આરપાર તીવ્ર વધારો જે $E$ કરતા ઓછો હોય,અને અંતે મધ્યબિંદુ $P$ પર પાછા ફરતી વખતે ફરીથી રેખીય ઘટાડો દર્શાવવો જોઈએ.

(B) ઓમના નિયમ મુજબ,$V = IR$.
બંને બાજુ લઘુગણક લેતા:
$\log V = \log(IR) = \log I + \log R$.
સમીકરણને $y = mx + c$ સ્વરૂપમાં ગોઠવતા,જ્યાં $y = \log I$ અને $x = \log V$:
$\log I = \log V - \log R$.
આને સીધી રેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા:
અહીં,ઢાળ $m = 1$ (જે ધન છે) અને અંતઃખંડ $c = -\log R$ છે.
ઢાળ ધન હોવાથી અને અંતઃખંડ ઋણ હોવાથી (ધારો કે $R > 1$),આલેખ એક સીધી રેખા છે જે $\log I$ અક્ષને ઋણ મૂલ્ય પર અથવા $\log V$ અક્ષને ધન મૂલ્ય પર છેદે છે. આપેલા વિકલ્પોમાંથી,ધન ઢાળ ધરાવતી સીધી રેખા દર્શાવતો આલેખ સાચો છે. ખાસ કરીને,$\log I = \log V - \log R$ એ $1$ ના ઢાળ અને $-\log R$ ના $y$-અંતઃખંડ સાથેની રેખા દર્શાવે છે. આ વિકલ્પ $B$ માં દર્શાવેલ વર્તણૂક સાથે મેળ ખાય છે.

(B) $(1)$ કાર્ય $W = qV$. તેથી $1 \text{ volt} \times 1 \text{ coulomb} = 1 \text{ joule}$,વિધાન $(1)$ સાચું છે.
$(2)$ પાવર $P = VI$. તેથી $1 \text{ volt} \times 1 \text{ ampere} = 1 \text{ watt} = 1 \text{ joule/second}$,વિધાન $(2)$ સાચું છે.
$(3)$ $1 \text{ volt} \times 1 \text{ watt} = 1 \text{ volt-watt}$,જે હોર્સ પાવરનો એકમ નથી. હોર્સ પાવર એ પાવરનો એકમ $(746 \text{ W})$ છે,વોલ્ટેજ અને પાવરનો ગુણાકાર નથી. તેથી,વિધાન $(3)$ ખોટું છે.
$(4)$ વોટ-અવર અને ઇલેક્ટ્રોન વોલ્ટ બંને ઉર્જાના એકમો છે. તેથી,વોટ-અવરને ઇલેક્ટ્રોન વોલ્ટના સંદર્ભમાં દર્શાવી શકાય છે. વિધાન $(4)$ સાચું છે.
આમ,વિધાનો $(1)$,$(2)$ અને $(4)$ સાચા છે.

(C) બલ્બનો અવરોધ $R = V^2 / P$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
$25\, W$ ના બલ્બ માટે: $R_1 = (220)^2 / 25 = 1936\, \Omega$.
$100\, W$ ના બલ્બ માટે: $R_2 = (220)^2 / 100 = 484\, \Omega$.
જ્યારે $440\, V$ ના સપ્લાય સાથે સમાંતરમાં જોડવામાં આવે છે, ત્યારે દરેક બલ્બ પરનો વોલ્ટેજ $440\, V$ હોય છે।
$25\, W$ ના બલ્બ દ્વારા વપરાતો પાવર $P_1 = (440)^2 / 1936 = 100\, W$ છે।
$100\, W$ ના બલ્બ દ્વારા વપરાતો પાવર $P_2 = (440)^2 / 484 = 400\, W$ છે।
કારણ કે બંને બલ્બ દ્વારા વપરાતો પાવર તેમની નિર્ધારિત પાવર ક્ષમતા ($25\, W$ અને $100\, W$) કરતા વધી જાય છે, તેથી બંને બલ્બ ફ્યુઝ થઈ જશે।

(A) તારનો અવરોધ $R = \rho \frac{L}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. દ્રવ્ય $(\rho)$ અને લંબાઈ $(L)$ સમાન હોવાથી, $R \propto \frac{1}{A}$ થાય. આમ, પાતળા તારનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $(A)$ ઓછું હોવાથી તેનો અવરોધ $(R)$ વધારે હોય છે, જ્યારે જાડા તારનું ક્ષેત્રફળ $(A)$ વધુ હોવાથી તેનો અવરોધ $(R)$ ઓછો હોય છે.
$1$. શ્રેણી જોડાણમાં, બંને કોઈલમાંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ $(I)$ સમાન હોય છે. વ્યય થતો પાવર $P = I^2 R$ છે. $P \propto R$ હોવાથી, જેનો અવરોધ વધારે છે (પાતળો તાર) તે વધુ ઉર્જા મુક્ત કરશે.
$2$. સમાંતર જોડાણમાં, બંને કોઈલ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $(V)$ સમાન હોય છે. વ્યય થતો પાવર $P = \frac{V^2}{R}$ છે. $P \propto \frac{1}{R}$ હોવાથી, જેનો અવરોધ ઓછો છે (જાડો તાર) તે વધુ ઉર્જા મુક્ત કરશે.

(A) બલ્બનો અવરોધ $R$ એ $R = \frac{V^2}{P}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $V$ અચળ હોવાથી,$R \propto \frac{1}{P}$ થાય.
આમ,$40\, W$ ના બલ્બનો અવરોધ $(R_1)$ એ $100\, W$ ના બલ્બના અવરોધ $(R_2)$ કરતા વધારે છે. ખાસ કરીને,$\frac{R_1}{R_2} = \frac{100}{40} = 2.5$.
શ્રેણી જોડાણમાં,બંને બલ્બમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I$ સમાન હોય છે. વપરાતો પાવર $P = I^2 R$ છે. $R_1 > R_2$ હોવાથી,$40\, W$ નો બલ્બ વધુ પાવર વાપરે છે અને વધુ પ્રકાશિત થાય છે.
સમાંતર જોડાણમાં,બંને બલ્બ પરનો વોલ્ટેજ $V$ સમાન હોય છે. વપરાતો પાવર $P = \frac{V^2}{R}$ છે. $R_2 < R_1$ હોવાથી,$100\, W$ નો બલ્બ વધુ પાવર વાપરે છે અને વધુ પ્રકાશિત થાય છે.
તેથી,શ્રેણીમાં $40\, W$ નો બલ્બ અને સમાંતરમાં $100\, W$ નો બલ્બ વધુ પ્રકાશિત થશે.

(A) ધારો કે શ્રેણી પાવર $P_S = 25\, W$ અને સમાંતર પાવર $P_P = 100\, W$ છે. વોલ્ટેજ $V = 120\, V$ અચળ છે.
શ્રેણી જોડાણમાં,$R_S = R_1 + R_2$,તેથી $P_S = \frac{V^2}{R_1 + R_2} = 25$.
સમાંતર જોડાણમાં,$R_P = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$,તેથી $P_P = \frac{V^2}{R_P} = \frac{V^2 (R_1 + R_2)}{R_1 R_2} = 100$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{P_P}{P_S} = \frac{(R_1 + R_2)^2}{R_1 R_2} = \frac{100}{25} = 4$.
$(R_1 + R_2)^2 = 4 R_1 R_2 \Rightarrow R_1^2 + 2 R_1 R_2 + R_2^2 = 4 R_1 R_2 \Rightarrow R_1^2 - 2 R_1 R_2 + R_2^2 = 0$.
$(R_1 - R_2)^2 = 0 \Rightarrow R_1 = R_2$.
જેથી $R_1 = R_2$ હોવાથી,દરેક અવરોધ દ્વારા વપરાતો પાવર સમાન હશે,તેથી ગુણોત્તર $1:1$ થશે.

(A) બલ્બનો અવરોધ $R$ એ $R = V^2/P$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$500\, W$ ના બલ્બ માટે,$R_1 = (220)^2 / 500$.
$200\, W$ ના બલ્બ માટે,$R_2 = (220)^2 / 200$.
આમ,$R_1/R_2 = 200/500 = 2/5$,જેનો અર્થ છે કે $R_2/R_1 = 5/2$.
સમાંતર જોડાણમાં,બંને બલ્બ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ સમાન હોય છે. ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા $H = V^2t/R$ છે. ઉત્પન્ન થતી ઉષ્માનો ગુણોત્તર $H_1/H_2 = (V^2/R_1) / (V^2/R_2) = R_2/R_1 = 5/2$ છે.
શ્રેણી જોડાણમાં,બંને બલ્બમાંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ સમાન હોય છે. ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા $H = I^2Rt$ છે. ઉત્પન્ન થતી ઉષ્માનો ગુણોત્તર $H_1/H_2 = (I^2R_1) / (I^2R_2) = R_1/R_2 = 2/5$ છે.

(B) સાચો જવાબ $B$ છે. ધાતુના ફિલામેન્ટનો અવરોધ (જેમ કે ઇન્કેન્ડેસન્ટ લેમ્પમાં) તાપમાન સાથે વધે છે. જ્યારે લેમ્પ બંધ હોય છે,ત્યારે ફિલામેન્ટ રૂમના તાપમાને હોય છે,તેથી તેનો અવરોધ ઓછો હોય છે. જ્યારે તે ચાલુ કરવામાં આવે છે,ત્યારે ફિલામેન્ટ નોંધપાત્ર રીતે ગરમ થાય છે,જેના કારણે તેનો અવરોધ વધે છે. તેથી,લેમ્પ બંધ હોય ત્યારે અવરોધ વધારે હોય છે તે વિધાન ખોટું છે.

(D) તારનો અવરોધ $R = \rho \frac{l}{A} = \rho \frac{l}{\pi r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તાર $A$ અને $B$ માટે,અવરોધનો ગુણોત્તર $\frac{R_A}{R_B} = \frac{l_A}{l_B} \times \left( \frac{r_B}{r_A} \right)^2$ છે.
આપેલ છે કે $\frac{l_A}{l_B} = \frac{1}{2}$ અને $\frac{r_A}{r_B} = \frac{2}{1}$,તેથી $\frac{r_B}{r_A} = \frac{1}{2}$.
આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{R_A}{R_B} = \frac{1}{2} \times \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{8}$.
તાર સમાંતર જોડાયેલા હોવાથી,બંને પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ સમાન રહેશે.
ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા $H = \frac{V^2}{R} t$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
તેથી,ઉત્પન્ન થતી ઉષ્માનો ગુણોત્તર $\frac{H_A}{H_B} = \frac{V^2/R_A}{V^2/R_B} = \frac{R_B}{R_A} = \frac{8}{1}$ થાય.

(D) આપેલ છે: $R_{steel} = 2R_{Al}$.
કિસ્સો $1$: જ્યારે શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે બંને તારમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I$ સમાન હોય છે. ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા $H = I^2Rt$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $I$ અને $t$ અચળ હોવાથી,$H \propto R$ થાય. $R_{steel} > R_{Al}$ હોવાથી,સ્ટીલના તારમાં વધુ ઉષ્મા ઉત્પન્ન થશે.
કિસ્સો $2$: જ્યારે સમાંતરમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે બંને તાર વચ્ચેનો વોલ્ટેજ $V$ સમાન હોય છે. ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા $H = \frac{V^2}{R}t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $V$ અને $t$ અચળ હોવાથી,$H \propto \frac{1}{R}$ થાય. $R_{Al} < R_{steel}$ હોવાથી,એલ્યુમિનિયમના તારમાં વધુ ઉષ્મા ઉત્પન્ન થશે.
તેથી,બંને વિધાનો $(a)$ અને $(b)$ સાચા છે.

(A) જ્યારે અવરોધો સમાંતર જોડાણમાં હોય,ત્યારે દરેક અવરોધના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ સમાન હોય છે.
અવરોધમાં ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા $H$ નું સૂત્ર $H = \frac{V^2}{R} \cdot t$ છે,જ્યાં $t$ એ સમય છે.
અહીં $V$ અને $t$ બંને અવરોધો માટે સમાન હોવાથી,ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા એ અવરોધના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે: $H \propto \frac{1}{R}$.
ધારો કે $2R$ અવરોધ ધરાવતા તારમાં ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા $H_1$ છે અને $R$ અવરોધ ધરાવતા તારમાં ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા $H_2$ છે.
તેથી,$\frac{H_1}{H_2} = \frac{R}{2R} = \frac{1}{2}$.
આમ,$2R$ અને $R$ માં ઉત્પન્ન થતી ઉષ્માનો ગુણોત્તર $1:2$ છે.

(A) ફ્યુઝ વાયરને પીગળવા માટે જરૂરી પ્રવાહ $i$ અને તેની ત્રિજ્યા $r$ વચ્ચેનો સંબંધ $i \propto r^{3/2}$ છે.
અહીં $i_1 = 1.5\, A$ અને $r_1 = 1\, mm$ આપેલ છે.
આપણે $i_2 = 3\, A$ માટે $r_2$ શોધવાનું છે.
ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{i_2}{i_1} = \left( \frac{r_2}{r_1} \right)^{3/2}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{3}{1.5} = \left( \frac{r_2}{1} \right)^{3/2}$.
$2 = (r_2)^{3/2}$.
બંને બાજુ $2/3$ ઘાત લેતા: $r_2 = 2^{2/3} = (2^2)^{1/3} = 4^{1/3}\, mm$.

(C) ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા $H$ નું સૂત્ર $H = \frac{V^2 t}{R}$ છે.
અહીં વોલ્ટેજ $V$ અને સમય $t$ અચળ હોવાથી,$H \propto \frac{1}{R}$ થાય.
શ્રેણી જોડાણ માટે,સમતુલ્ય અવરોધ $R_S = R + 2R = 3R$ છે.
સમાંતર જોડાણ માટે,સમતુલ્ય અવરોધ $R_P = \frac{R \times 2R}{R + 2R} = \frac{2R^2}{3R} = \frac{2}{3}R$ છે.
શ્રેણી અને સમાંતર જોડાણમાં ઉત્પન્ન થતી ઉષ્માનો ગુણોત્તર $\frac{H_S}{H_P} = \frac{R_P}{R_S}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{H_S}{H_P} = \frac{(2/3)R}{3R} = \frac{2}{9}$ મળે છે.

(B) અવરોધમાં ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા $H = I^2Rt$ અથવા $H = (V^2/R)t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(I)$ સમાન અવરોધ $(R)$, સમાન પ્રવાહ $(I)$: $H_1/H_2 = (I^2Rt)/(I^2Rt) = 1:1$. જે $(C)$ સાથે મેળ ખાય છે.
$(II)$ શ્રેણીમાં $R$ અને $2R$ અવરોધ, સમાન પ્રવાહ $(I)$: $H \propto R$, તેથી $H_1/H_2 = 1:2$. જે $(A)$ સાથે મેળ ખાય છે.
$(III)$ સમાન અવરોધ, સમાન પ્રવાહ: $H_1/H_2 = 1:1$. જે $(C)$ સાથે મેળ ખાય છે.
$(IV)$ સમાંતરમાં $R_1:R_2 = 1:2$, સમાન $P.D.$ $(V)$: $H \propto 1/R$, તેથી $H_1/H_2 = R_2/R_1 = 2:1$. જે $(D)$ સાથે મેળ ખાય છે.
સાચો વિકલ્પ $(b)$ છે.

(C) ધારો કે પાણી ઉકાળવા માટે જરૂરી ઉષ્મા $H$ છે. પ્રથમ કોઈલનો પાવર $P_1 = \frac{H}{t_1}$ અને બીજી કોઈલનો પાવર $P_2 = \frac{H}{t_2}$ છે.
$P = \frac{V^2}{R}$ હોવાથી,$R_1 = \frac{V^2}{P_1} = \frac{V^2 t_1}{H}$ અને $R_2 = \frac{V^2}{P_2} = \frac{V^2 t_2}{H}$ મળે.
જ્યારે શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે ત્યારે કુલ અવરોધ $R_S = R_1 + R_2$ થાય.
તેટલું જ પાણી ઉકાળવા માટે લાગતો સમય $t_S = \frac{H}{P_S} = \frac{H R_S}{V^2}$ દ્વારા મળે છે.
$R_S$ ની કિંમત મૂકતા,$t_S = \frac{H}{V^2} (R_1 + R_2) = \frac{H}{V^2} (\frac{V^2 t_1}{H} + \frac{V^2 t_2}{H}) = t_1 + t_2$ મળે.
અહીં $t_1 = 15\,min$ અને $t_2 = 20\,min$ આપેલ હોવાથી,કુલ સમય $t_S = 15 + 20 = 35\,min$ થશે.

(D) ફેરાડેના વિદ્યુતવિભાજનના નિયમો અનુસાર,જમા થયેલ પદાર્થનું દળ $m = ZIt = \frac{E}{F} It$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $E$ એ તુલ્યભાર છે અને $F$ એ ફેરાડેનો અચળાંક છે.
વોલ્ટામીટર શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોવાથી,બંનેમાંથી પસાર થતો વિદ્યુતભાર $Q = It$ સમાન છે.
તેથી,જમા થયેલ દળનો ગુણોત્તર તેમના તુલ્યભારના ગુણોત્તર જેટલો થાય છે: $\frac{m_{Ag}}{m_{Zn}} = \frac{E_{Ag}}{E_{Zn}}$.
અહીં $m_{Zn} = W$ આપેલ છે,તેથી $m_{Ag} = W \times \frac{E_{Ag}}{E_{Zn}}$.
સિલ્વર $(Ag)$ નો તુલ્યભાર આશરે $108$ છે અને ઝિંક $(Zn)$ નો તુલ્યભાર આશરે $\frac{65.4}{2} = 32.7$ છે.
આમ,$m_{Ag} = W \times \frac{108}{32.7} \approx 3.3 W$.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સૌથી નજીકની કિંમત $3.5 W$ છે.

(C) ફેરાડેના વિદ્યુતવિભાજનના બીજા નિયમ મુજબ,જ્યારે સમાન વિદ્યુતપ્રવાહ શ્રેણીમાં જોડેલા કોષોમાંથી પસાર થાય છે,ત્યારે જમા થતું દળ $m$ એ પદાર્થના તુલ્યભાર $E$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
તેથી,$\frac{m_{Cu}}{m_{Ag}} = \frac{E_{Cu}}{E_{Ag}}$.
તુલ્યભાર $E$ ને $\frac{\text{પરમાણ્વીય ભાર}}{\text{સંયોજકતા}}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$CuSO_4$ માં $Cu$ માટે,સંયોજકતા $2$ છે,તેથી $E_{Cu} = \frac{\text{પરમાણ્વીય ભાર } Cu}{2}$.
$AgNO_3$ માં $Ag$ માટે,સંયોજકતા $1$ છે,તેથી $E_{Ag} = \frac{\text{પરમાણ્વીય ભાર } Ag}{1}$.
તેથી,વજનમાં થતા વધારાનો દર $\frac{m_{Cu}}{m_{Ag}} = \frac{\frac{1}{2} \times \text{પરમાણ્વીય ભાર } Cu}{\text{પરમાણ્વીય ભાર } Ag}$ ના ગુણોત્તરમાં હશે.

(D) ઇલેક્ટ્રોપ્લેટિંગની પ્રક્રિયામાં,જે વસ્તુ પર ઢોળ ચડાવવાનો હોય તેને કેથોડ બનાવવામાં આવે છે,અને જે ધાતુનો ઢોળ ચડાવવાનો હોય તે ઇલેક્ટ્રોલાઇટ દ્રાવણ દ્વારા પૂરી પાડવામાં આવે છે.
સોનાનો ઢોળ ચડાવવા માટે,ઇલેક્ટ્રોલાઇટમાં સોનાના આયનો ($Au^+$ અથવા $Au^{3+}$) હોવા આવશ્યક છે.
પોટેશિયમ ઓરોસાયનાઈડ $(K[Au(CN)_2])$ એ સોનાના ઢોળ માટે વપરાતું પ્રમાણભૂત ઇલેક્ટ્રોલાઇટ છે કારણ કે તે તાંબાની સપાટી પર સોનાનું સ્થિર અને સમાન સ્તર પ્રદાન કરે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) ફેરાડેના વિદ્યુતવિભાજનના નિયમો અનુસાર,મુક્ત થતા પદાર્થનું દળ તેના રાસાયણિક તુલ્યાંકના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
$\frac{O_2 \text{ નું દળ}}{Ag \text{ નું દળ}} = \frac{O_2 \text{ નો રાસાયણિક તુલ્યાંક}}{Ag \text{ નો રાસાયણિક તુલ્યાંક}}$
આપેલ $O_2$ નું દળ $= 0.8\, gm$.
$O_2$ નો તુલ્યાંક ભાર $= \frac{\text{મોલર દળ}}{\text{વેલેન્સી ફેક્ટર}} = \frac{32}{4} = 8$.
$Ag$ નો તુલ્યાંક ભાર $= \frac{108}{1} = 108$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{0.8}{m} = \frac{8}{108}$
$m = \frac{0.8 \times 108}{8} = 0.1 \times 108 = 10.8\, gm$.

(C) ઇલેક્ટ્રોપ્લેટિંગ એ એક એવી પ્રક્રિયા છે જેમાં ઇલેક્ટ્રોલિસિસનો ઉપયોગ કરીને એક ધાતુ પર બીજી ધાતુનું પાતળું પડ ચડાવવામાં આવે છે.
તેનો મુખ્ય ઉપયોગ સપાટીને સરસ ફિનિશિંગ આપવા,સૌંદર્યલક્ષી દેખાવ (ચળકાટ) સુધારવા અને મૂળ ધાતુને કાટથી બચાવવા માટે થાય છે.
જો કે,ઇલેક્ટ્રોપ્લેટિંગ મૂળ ધાતુના યાંત્રિક ગુણધર્મોમાં ફેરફાર કરતું નથી,જેમ કે તેની કઠિનતામાં વધારો કરવો.
તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો જવાબ છે.

(B) એસિડિક પાણીનું વિદ્યુતવિભાજન પાણીના અણુઓનું હાઇડ્રોજન અને ઓક્સિજન વાયુઓમાં વિઘટન કરે છે.
કેથોડ (ઋણ ઇલેક્ટ્રોડ) પર રિડક્શન થાય છે: $2H^+ + 2e^- \rightarrow H_2(g)$.
એનોડ (ધન ઇલેક્ટ્રોડ) પર ઓક્સિડેશન થાય છે: $2H_2O(l) \rightarrow O_2(g) + 4H^+ + 4e^-$.
પ્રક્રિયા $2H_2O \rightarrow 2H_2 + O_2$ ના તત્વયોગમિતિ મુજબ,કેથોડ પર ઉત્પન્ન થતા દરેક $2$ મોલ હાઇડ્રોજન વાયુ માટે,એનોડ પર $1$ મોલ ઓક્સિજન વાયુ ઉત્પન્ન થાય છે.
તેથી,હાઇડ્રોજન અને ઓક્સિજનનું કદનું પ્રમાણ $2:1$ છે.

(A) ફેરાડેના વિદ્યુતવિભાજનના નિયમ મુજબ, જમા થયેલ દળ $m = Z i t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $Z$ એ વિદ્યુત રાસાયણિક તુલ્યાંક છે, $i$ એ પ્રવાહ છે અને $t$ એ સેકન્ડમાં સમય છે。
આપેલ છે: $m = 0.99\,g$, $Z = 0.00033\,g/C$, $t = 20\, \text{મિનિટ} = 20 \times 60 = 1200\,s$.
પ્રવાહ $i$ ની ગણતરી:
$i = \frac{m}{Zt} = \frac{0.99}{0.00033 \times 1200} = \frac{0.99}{0.396} = 2.5\,A$.
હવે, $R = 0.1\,\Omega$ અવરોધ ધરાવતી હીટર કોઈલમાં ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા $H$ જૂલના ઉષ્માના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$H = i^2 R t = (2.5)^2 \times 0.1 \times 1200 = 6.25 \times 0.1 \times 1200 = 0.625 \times 1200 = 750\,J$.

(B) બે અલગ-અલગ ધાતુઓથી બનેલા થર્મોકપલના બે જંકશન વચ્ચે તાપમાનનો તફાવત જાળવી રાખીને $e.m.f.$ ઉત્પન્ન કરવાની ઘટનાને $Seebeck$ અસર તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.
આ અસરમાં,તાપમાનના તફાવતને કારણે વિદ્યુતભાર વાહકોનું પ્રસરણ થાય છે,જે સ્થિતિમાનનો તફાવત (વોલ્ટેજ) પેદા કરે છે.

(C) જ્યારે બે અલગ-અલગ ધાતુઓના જંકશનમાંથી વિદ્યુતપ્રવાહ પસાર થાય ત્યારે જંકશન પર ઉષ્માનું ઉત્સર્જન કે શોષણ થવાની ઘટનાને $Peltier$ અસર કહેવામાં આવે છે. આ એક પ્રતિવર્તી પ્રક્રિયા છે,જેનો અર્થ છે કે જો વિદ્યુતપ્રવાહની દિશા ઉલટાવવામાં આવે તો ઉષ્માના પ્રવાહની દિશા પણ બદલાઈ જાય છે.

(D) જ્યારે કોઈ એક વાહકમાંથી વિદ્યુતપ્રવાહ પસાર થતો હોય અને તેના વિવિધ ભાગો અલગ-અલગ તાપમાને હોય,ત્યારે વાહકની સમગ્ર લંબાઈ પર ઉષ્માનું ઉત્સર્જન અથવા શોષણ થવાની ઘટનાને $Thomson$ અસર કહેવામાં આવે છે.
$1$. $Joule$ અસર એ વાહકના અવરોધને કારણે ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા દર્શાવે છે $(H = I^2Rt)$.
$2$. $Seebeck$ અસર એ બે ભિન્ન ધાતુઓના જોડાણ પર તાપમાનનો તફાવત હોવાને કારણે $EMF$ ઉત્પન્ન થવાની ઘટના છે.
$3$. $Peltier$ અસર એ $Seebeck$ અસરથી ઉલટી ઘટના છે,જેમાં બે ભિન્ન ધાતુઓના જોડાણમાંથી વિદ્યુતપ્રવાહ પસાર કરતા ઉષ્માનું શોષણ કે ઉત્સર્જન થાય છે.
$4$. તેથી,સાચો જવાબ $Thomson$ અસર છે.