Resistance of wire, Resistivity and Conductivity Questions in Gujarati

(C) અવરોધ $R$ માટેનું સૂત્ર $R = \rho \frac{L}{A}$ છે,જ્યાં $\rho$ એ વિશિષ્ટ અવરોધ (રેઝિસ્ટિવિટી) છે,$L$ એ લંબાઈ છે અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
$\rho$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા,આપણને મળે છે $\rho = \frac{R \cdot A}{L}$.
એકમો મૂકતા: $\rho$ નો એકમ = $\frac{(\text{ohm}) \cdot (cm^2)}{cm} = \text{ohm} \cdot cm$.
તેથી,વિશિષ્ટ અવરોધનો એકમ $Ohm \cdot cm$ છે.

(A) અવરોધકતા $\rho$ માટેનું સૂત્ર $\rho = \frac{RA}{l}$ છે.
પ્રથમ,ઓહ્મના નિયમનો ઉપયોગ કરીને અવરોધ $R$ ના પરિમાણ શોધો: $V = IR$,તેથી $R = \frac{V}{I}$.
$V = \frac{W}{Q}$ (કાર્ય પ્રતિ વિદ્યુતભાર) હોવાથી,$V$ ના પરિમાણ $[M L^2 T^{-2} Q^{-1}]$ છે.
પ્રવાહ $I$ ના પરિમાણ $[Q T^{-1}]$ છે.
તેથી,$R$ ના પરિમાણ $\frac{[M L^2 T^{-2} Q^{-1}]}{[Q T^{-1}]} = [M L^2 T^{-1} Q^{-2}]$ થાય.
હવે,અવરોધકતાના સૂત્રમાં $R$,ક્ષેત્રફળ $A$ $([L^2])$ અને લંબાઈ $l$ $([L])$ ના પરિમાણો મૂકતા:
$[\rho] = \frac{[M L^2 T^{-1} Q^{-2}] \cdot [L^2]}{[L]} = [M L^3 T^{-1} Q^{-2}]$.

(B) તાપમાન $t$ પર વાહકનો અવરોધ $R_t = R_{t_0} [1 + \alpha(t - t_0)]$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $t_1 = 10^{\circ}C$ પર $R_1 = 2.71 \ \Omega$ અને $t_2 = 100^{\circ}C$ પર $R_2 = 3.70 \ \Omega$ છે.
ધારો કે $x$ તાપમાને અવરોધ $R_x = 3.26 \ \Omega$ છે.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $R_2 = R_1 [1 + \alpha(t_2 - t_1)]$
$3.70 = 2.71 [1 + \alpha(100 - 10)]$
$3.70 = 2.71 [1 + 90\alpha] \implies 1 + 90\alpha = \frac{3.70}{2.71} \implies 90\alpha = \frac{3.70}{2.71} - 1 = \frac{0.99}{2.71}$.
હવે,તાપમાન $x$ માટે: $R_x = R_1 [1 + \alpha(x - t_1)]$
$3.26 = 2.71 [1 + \alpha(x - 10)]$
$\frac{3.26}{2.71} = 1 + \alpha(x - 10) \implies \alpha(x - 10) = \frac{3.26}{2.71} - 1 = \frac{0.55}{2.71}$.
$\alpha$ માટેના બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા:
$\frac{\alpha(x - 10)}{90\alpha} = \frac{0.55 / 2.71}{0.99 / 2.71} \implies \frac{x - 10}{90} = \frac{0.55}{0.99} = \frac{55}{99} = \frac{5}{9}$.
$x - 10 = 90 \times \frac{5}{9} = 50$.
$x = 50 + 10 = 60^{\circ}C$.

(A) તારનો અવરોધ $R = \rho \frac{l}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. ખેંચાણ દરમિયાન કદ $V = A \times l$ અચળ રહેતું હોવાથી, આપણે $A = \frac{V}{l}$ લખી શકીએ.
આ કિંમત અવરોધના સૂત્રમાં મૂકતા, આપણને $R = \rho \frac{l^2}{V}$ મળે છે.
અહીં $\rho$ અને $V$ અચળ હોવાથી, $R \propto l^2$ થાય.
નાના ફેરફારો માટે વિકલનનો ઉપયોગ કરતા, $\frac{\Delta R}{R} \approx 2 \frac{\Delta l}{l}$ મળે.
આપેલ છે કે લંબાઈમાં ટકાવારી વધારો $\frac{\Delta l}{l} \times 100 = 0.1\%$ છે.
તેથી, અવરોધમાં થતો ટકાવારી વધારો $\frac{\Delta R}{R} \times 100 = 2 \times (\frac{\Delta l}{l} \times 100) = 2 \times 0.1\% = 0.2\%$ થશે.

(A) વાહકનો અવરોધ $R$ શોધવાનું સૂત્ર $R = \frac{\rho l}{A}$ છે,જ્યાં $\rho$ એ અવરોધકતા છે,$l$ એ લંબાઈ છે,અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
આપેલ છે: $\rho = 50 \times 10^{-8} \, \Omega \cdot m$,$l = 50 \, cm = 0.5 \, m$,અને ઘન માટે,ક્ષેત્રફળ $A = l^2 = (0.5 \, m)^2 = 0.25 \, m^2$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$R = \frac{50 \times 10^{-8} \times 0.5}{0.25}$
$R = \frac{25 \times 10^{-8}}{0.25}$
$R = 100 \times 10^{-8} \, \Omega = 10^{-6} \, \Omega$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) અવરોધકતા $(\rho)$ એ પદાર્થનો આંતરિક ગુણધર્મ છે અને તે માત્ર પદાર્થની પ્રકૃતિ અને તાપમાન પર આધાર રાખે છે.
તે વાહકના ભૌતિક પરિમાણો, જેમ કે તેની લંબાઈ કે આડછેદનું ક્ષેત્રફળ (વ્યાસ) પર આધાર રાખતું નથી.
તેથી, જો તારની લંબાઈ અને વ્યાસ બંને બમણા કરવામાં આવે, તો પણ લોખંડના તારની અવરોધકતામાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી.
આમ, અવરોધકતા $1 \times 10^{-7} \, \Omega \cdot m$ જ રહેશે.

(B) તાપમાન $t$ પર વાહકનો અવરોધ $R_t = R_0(1 + \alpha \Delta t)$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R_0$ એ $0\,^{\circ}C$ પરનો અવરોધ છે અને $\Delta t$ એ $0\,^{\circ}C$ થી તાપમાનમાં થયેલો ફેરફાર છે.
આપેલ છે: $\alpha = 0.00125\,^{\circ}C^{-1}$,$T_1 = 300\,K$ $(t_1 = 27\,^{\circ}C)$ પર $R_1 = 1\,\Omega$,અને $T_2 = ?$ પર $R_2 = 2\,\Omega$.
સૂત્ર $R_2 = R_1[1 + \alpha(t_2 - t_1)]$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 = 1[1 + 0.00125(t_2 - 27)]$
$2 - 1 = 0.00125(t_2 - 27)$
$1 = 0.00125(t_2 - 27)$
$t_2 - 27 = \frac{1}{0.00125} = 800$
$t_2 = 800 + 27 = 827\,^{\circ}C$
કેલ્વિનમાં રૂપાંતર કરતા: $T_2 = 827 + 273 = 1100\,K$.

(C) વાહકનો અવરોધ $R$ સૂત્ર $R = \rho \frac{l}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\rho$ એ અવરોધકતા છે,$l$ એ લંબાઈ છે અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
શરૂઆતમાં,$R_1 = \rho \frac{l}{A}$.
જ્યારે લંબાઈ બમણી કરવામાં આવે $(l' = 2l)$ અને આડછેદનું ક્ષેત્રફળ બમણું કરવામાં આવે $(A' = 2A)$,ત્યારે નવો અવરોધ $R_2$ નીચે મુજબ મળે:
$R_2 = \rho \frac{l'}{A'} = \rho \frac{2l}{2A} = \rho \frac{l}{A}$.
બંનેની સરખામણી કરતા,આપણને $R_2 = R_1$ મળે છે.
તેથી,અવરોધ સમાન રહેશે.

(D) જ્યારે તારને ખેંચવામાં આવે છે,ત્યારે તેનું કદ અચળ રહે છે. તારનો અવરોધ $R$ એ $R = \rho \frac{l}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કદ $V = A \times l$ અચળ હોવાથી,$A = \frac{V}{l}$ થાય.
આ કિંમત અવરોધના સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $R = \rho \frac{l^2}{V}$ મળે છે.
અહીં $\rho$ અને $V$ અચળ હોવાથી,$R \propto l^2$ થાય.
આપેલ છે કે નવી લંબાઈ $l' = 3l$ છે,તેથી નવો અવરોધ $R'$ નીચે મુજબ થશે:
$R' = R \times (\frac{l'}{l})^2 = 20 \times (3)^2 = 20 \times 9 = 180 \, \Omega$.

(D) સાચો જવાબ $D$ છે।
અવરોધકતા $(\rho)$ એ વાહકના દ્રવ્યનો આંતરિક ગુણધર્મ છે।
તે માત્ર દ્રવ્યની પ્રકૃતિ અને તાપમાન પર આધાર રાખે છે।
તે તારના ભૌતિક પરિમાણો જેવા કે તેની લંબાઈ $(l)$ અથવા તેના આડછેદના ક્ષેત્રફળ $(A)$ પર આધાર રાખતું નથી।
તેથી, વિધાન $A, B$ કે $C$ માંથી કોઈ પણ સાચું નથી।

(B) આપેલ છે: કદ $V = A \times l = 3\,m^3$,અવરોધ $R = 3\,\Omega$,વિશિષ્ટ અવરોધ = $\rho$.
કદના સમીકરણ પરથી,આપણને મળે છે $A = \frac{3}{l}$.
અવરોધનું સૂત્ર $R = \rho \frac{l}{A}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $3 = \rho \frac{l}{(3/l)}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $3 = \frac{\rho l^2}{3}$ મળે છે.
$l^2$ માટે ગોઠવતા: $l^2 = \frac{9}{\rho}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $l = \sqrt{\frac{9}{\rho}} = \frac{3}{\sqrt{\rho}}$.
આમ,લંબાઈ $\frac{3}{\sqrt{\rho}}$ થશે.

(D) તારનો અવરોધ $R = \rho \frac{L}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A = \pi r^2 = \pi (d/2)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$ છે.
આમ,$R = \rho \frac{L}{\pi d^2 / 4} = \frac{4 \rho L}{\pi d^2}$ થાય.
જ્યારે તારને ખેંચીને તેનો વ્યાસ ઘટાડવામાં આવે છે,ત્યારે તેનું કદ $V = A \times L$ અચળ રહે છે.
કારણ કે $V = (\pi d^2 / 4) \times L$ અચળ છે,તેથી $L \propto \frac{1}{d^2}$ થાય.
આને અવરોધના સૂત્રમાં મૂકતા: $R \propto \frac{L}{d^2} \propto \frac{1/d^2}{d^2} = \frac{1}{d^4}$ મળે.
જો વ્યાસ અડધો કરવામાં આવે $(d' = d/2)$,તો નવો અવરોધ $R'$ નીચે મુજબ થશે:
$R' = R \times (d/d')^4 = R \times (d / (d/2))^4 = R \times (2)^4 = 16R$.
તેથી,અવરોધ મૂળ મૂલ્ય કરતા $16$ ગણો થશે.

(B) આપેલ છે: લંબાઈ $L = 100\,cm = 1\,m$,વ્યાસ $d = 2.0\,mm = 2.0 \times 10^{-3}\,m$,અવરોધ $R = 0.7\,\Omega$.
ત્રિજ્યા $r = \frac{d}{2} = 1.0 \times 10^{-3}\,m$.
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \frac{22}{7} \times (1.0 \times 10^{-3})^2 = \frac{22}{7} \times 10^{-6}\,m^2$.
સૂત્ર $R = \frac{\rho L}{A}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\rho = \frac{R \cdot A}{L}$ મળે.
કિંમતો મૂકતા: $\rho = \frac{0.7 \times (\frac{22}{7} \times 10^{-6})}{1}$.
$\rho = 0.1 \times 22 \times 10^{-6} = 2.2 \times 10^{-6}\,\Omega \cdot m$.
આમ,અવરોધકતા $2.2 \times 10^{-6}\,\Omega \cdot m$ છે.

(B) તારનો અવરોધ $R = \rho \frac{L}{A}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\rho$ એ અવરોધકતા છે,$L$ એ લંબાઈ છે અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi (d/2)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$ હોવાથી,આપણને $R \propto \frac{1}{d^2}$ મળે છે.
ધારો કે મૂળ અવરોધ $R_1 = R$ છે અને વ્યાસ $d_1 = d$ છે.
બીજા તાર માટે,વ્યાસ $d_2 = 2d$ છે.
તેથી,નવો અવરોધ $R_2$ આ રીતે મળે છે: $\frac{R_2}{R_1} = \frac{d_1^2}{d_2^2} = \frac{d^2}{(2d)^2} = \frac{d^2}{4d^2} = \frac{1}{4}$.
આમ,$R_2 = \frac{R}{4} = 0.25\,R$.

(D) તારનો અવરોધ $R$ એ સૂત્ર $R = \rho \frac{l}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\rho$ એ અવરોધકતા છે,$l$ એ લંબાઈ છે અને $A = \pi r^2$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
દ્રવ્ય અને તાપમાન સમાન હોવાથી,$\rho$ અચળ રહે છે.
તેથી,$R \propto \frac{l}{r^2}$.
આપેલ છે કે $R_1 = 1\,\Omega$,$l_1 = 5\,m$,$r_1 = 1\,mm$ અને $R_2 = 1\,\Omega$,$r_2 = 2\,mm$.
આપણે ગુણોત્તર મેળવીએ: $\frac{R_1}{R_2} = \frac{l_1}{l_2} \times \frac{r_2^2}{r_1^2}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{1} = \frac{5}{l_2} \times \left(\frac{2}{1}\right)^2$.
$1 = \frac{5}{l_2} \times 4$.
$l_2 = 5 \times 4 = 20\,m$.

(A) ધાતુની વિશિષ્ટ અવરોધકતા (resistivity) એ પદાર્થના ગુણધર્મ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
ધાતુઓ માટે,અવરોધકતા $\rho$ ને $\rho = \frac{m}{ne^2\tau}$ સંબંધ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ ઇલેક્ટ્રોનનું દળ છે,$n$ એ મુક્ત ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા ઘનતા છે,$e$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો વીજભાર છે અને $\tau$ એ રિલેક્સેશન સમય છે.
જેમ તાપમાન વધે છે,તેમ લેટીસ આયનોના ઉષ્મીય કંપનો વધે છે,જેના કારણે રિલેક્સેશન સમય $\tau$ માં ઘટાડો થાય છે.
કારણ કે $\rho \propto \frac{1}{\tau}$,તેથી તાપમાનમાં વધારો થવાથી ધાતુઓની અવરોધકતા નોંધપાત્ર રીતે વધે છે.
આથી,તાપમાન એ ધાતુઓની વિશિષ્ટ અવરોધકતાને અસર કરતું સૌથી મહત્વનું પરિબળ છે.

(C) અવરોધનો તાપમાન ગુણાંક $(\alpha)$ એ સંબંધ $R_t = R_0(1 + \alpha \Delta T)$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
ધાત્વિક વાહકો માટે, જેમ કે $Copper$ (તાંબુ), તાપમાનમાં વધારો થતાં અવરોધ વધે છે, જેનો અર્થ છે કે અવરોધનો તાપમાન ગુણાંક $(\alpha)$ ધન હોય છે.
તેનાથી વિપરીત, $Carbon$ અને $Germanium$ જેવા અર્ધવાહકો, તેમજ વિદ્યુતવિભાજ્યોમાં તાપમાન વધવાથી અવરોધ ઘટે છે, પરિણામે તેમનો તાપમાન ગુણાંક ઋણ હોય છે.

(D) અતિવાહકતા (Superconductivity) એ અમુક પદાર્થોમાં જોવા મળતી એક ઘટના છે,જેમાં જ્યારે પદાર્થને તેના લાક્ષણિક ક્રાંતિક તાપમાન $(T_c)$ થી નીચે ઠંડુ કરવામાં આવે છે,ત્યારે તેનો વિદ્યુત અવરોધ શૂન્ય થઈ જાય છે અને વાહકતા અનંત થઈ જાય છે. આ તાપમાન સામાન્ય રીતે થોડા કેલ્વિનથી નીચે હોય છે.

(D) વાહકનો અવરોધ $R$ શોધવાનું સૂત્ર $R = \rho \frac{l}{A}$ છે,જ્યાં $\rho$ એ વિશિષ્ટ અવરોધકતા છે,$l$ એ લંબાઈ છે અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
આપેલ પરિમાણો $1 \, cm \times 1 \, cm \times 100 \, cm$ છે.
બે ચોરસ સપાટીઓ $(1 \, cm \times 1 \, cm)$ વચ્ચેનો અવરોધ શોધવા માટે,વિદ્યુતપ્રવાહ $100 \, cm$ ની લંબાઈમાંથી પસાર થાય છે.
તેથી,$l = 100 \, cm = 1 \, m$.
ચોરસ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A = 1 \, cm \times 1 \, cm = 1 \, cm^2 = 10^{-4} \, m^2$ છે.
વિશિષ્ટ અવરોધકતા $\rho = 3 \times 10^{-7} \, \Omega \cdot m$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$R = (3 \times 10^{-7} \, \Omega \cdot m) \times \frac{1 \, m}{10^{-4} \, m^2} = 3 \times 10^{-7} \times 10^4 \, \Omega = 3 \times 10^{-3} \, \Omega$.

(B) તારનો અવરોધ $R$ એ સૂત્ર $R = \rho \frac{L}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\rho$ એ અવરોધકતા છે,$L$ એ લંબાઈ છે અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
તારનો વ્યાસ $d$ હોવાથી,આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi (d/2)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$ થાય.
તેથી,$R \propto \frac{L}{d^2}$.
પ્રથમ તાર માટે: $R_1 = R$,$L_1 = L$,$d_1 = d$.
બીજા તાર માટે: $L_2 = 4L$,$d_2 = 2d$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{R_2}{R_1} = \frac{L_2}{L_1} \times \left( \frac{d_1}{d_2} \right)^2$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{R_2}{R} = \frac{4L}{L} \times \left( \frac{d}{2d} \right)^2 = 4 \times \left( \frac{1}{2} \right)^2 = 4 \times \frac{1}{4} = 1$.
તેથી,$R_2 = R$.

(B) તારનો અવરોધ $R$ એ સૂત્ર $R = \rho \frac{l}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\rho$ એ અવરોધકતા છે,$l$ એ લંબાઈ છે અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
બંને તાર સમાન દ્રવ્યના હોવાથી,$\rho_1 = \rho_2 = \rho$ થશે.
ધારો કે બીજા તારની લંબાઈ અને વ્યાસ $l_2 = l$ અને $d_2 = d$ છે. તેથી તેનું ક્ષેત્રફળ $A_2 = \pi (d/2)^2 = \pi d^2 / 4$ થશે.
પ્રથમ તાર માટે,$l_1 = 2l$ અને $d_1 = 2d$ છે. તેથી તેનું ક્ષેત્રફળ $A_1 = \pi (2d/2)^2 = \pi d^2$ થશે.
ક્ષેત્રફળની સરખામણી કરતા,$A_1 = 4 A_2$ મળે છે.
હવે,પ્રથમ તારનો અવરોધ $R_1 = \rho \frac{l_1}{A_1} = \rho \frac{2l}{4 A_2} = \frac{1}{2} \left( \rho \frac{l}{A_2} \right) = \frac{1}{2} R_2$ થશે.
આમ,પ્રથમ તારનો અવરોધ બીજા તારના અવરોધ કરતા અડધો હશે.

(A) ધાતુના વાહકનો અવરોધ તાપમાન સાથે બદલાય છે. તાપમાનના નાના ગાળા માટે,$t\,^oC$ તાપમાને અવરોધ $R_t$ અને $0\,^oC$ તાપમાને અવરોધ $R_0$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબના રેખીય સમીકરણ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે:
$R_t = R_0(1 + \alpha t)$
જ્યાં $\alpha$ એ અવરોધનો તાપમાન ગુણાંક છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) વાયરનો અવરોધ $R$ એ સૂત્ર $R = \rho \frac{l}{a}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\rho$ એ દ્રવ્યની અવરોધકતા છે,$l$ એ લંબાઈ છે અને $a$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
પ્રથમ વાયર માટે: $R = \rho \frac{l}{a}$.
બીજા વાયર માટે,દ્રવ્ય સમાન છે (તેથી $\rho$ અચળ રહે છે),લંબાઈ સમાન છે $(l)$,અને આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $4a$ છે.
તેથી,નવો અવરોધ $R'$ એ $R' = \rho \frac{l}{4a}$ દ્વારા મળે છે.
$R$ નું પદ મૂકતા,આપણને $R' = \frac{1}{4} \left( \rho \frac{l}{a} \right) = \frac{R}{4}$ મળે છે.

(C) પદાર્થનો અવરોધ તેના તાપમાન પર આધાર રાખે છે.
$Copper$ (તાંબુ),$Tungsten$ (ટંગસ્ટન) અને $Aluminium$ (એલ્યુમિનિયમ) જેવી ધાતુઓ માટે,તાપમાન વધવાથી ઇલેક્ટ્રોનનું સ્કેટરિંગ વધે છે,જેના કારણે અવરોધ વધે છે.
$Germanium$ (જર્મેનિયમ) જેવા અર્ધવાહકો માટે,તાપમાન વધારતા ચાર્જ કેરિયર્સ (ઇલેક્ટ્રોન અને હોલ્સ) ની સંખ્યામાં નોંધપાત્ર વધારો થાય છે,જે અવરોધમાં ઘટાડો કરે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) તારનો અવરોધ $R = \rho \frac{L}{A}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\rho$ એ અવરોધકતા છે,$L$ એ લંબાઈ છે અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
ચાંદીનું દળ અને ઘનતા અચળ હોવાથી,કદ $V = A \times L$ અચળ રહેવું જોઈએ.
આપણે $A$ ને $V/L$ તરીકે દર્શાવી શકીએ છીએ. આને અવરોધના સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $R = \rho \frac{L}{V/L} = \rho \frac{L^2}{V}$ મળે છે.
$\rho$ અને $V$ અચળ હોવાથી,$R \propto L^2$ થાય.
અવરોધ $R$ ને ન્યૂનતમ કરવા માટે,આપણે લંબાઈ $L$ ને ન્યૂનતમ કરવી જોઈએ.
આપેલા વિકલ્પોની સરખામણી કરતા: $(a)$ $L$,$(b)$ $2L$,$(c)$ $L/2$.
સૌથી નાની લંબાઈ વિકલ્પ $(c)$ માં $L/2$ છે.
તેથી,$L/2$ અને $2A$ નું સંયોજન સૌથી ઓછો અવરોધ આપે છે.

(A) તારનો અવરોધ $R = \rho \frac{l}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તારને ખેંચતી વખતે કદ $V = A \times l$ અચળ રહેતું હોવાથી,આપણે $A = \frac{V}{l}$ લખી શકીએ.
આ કિંમત અવરોધના સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $R = \rho \frac{l^2}{V}$ મળે છે.
અહીં $\rho$ અને $V$ અચળ હોવાથી,$R \propto l^2$ થાય.
જો લંબાઈમાં $10\%$ નો વધારો થાય,તો નવી લંબાઈ $l' = l + 0.1l = 1.1l$ થાય.
નવો અવરોધ $R' = R \left( \frac{l'}{l} \right)^2$ દ્વારા મળે છે.
$R' = 10 \times (1.1)^2 = 10 \times 1.21 = 12.1\,\Omega$.
જોકે,નાના ફેરફારો માટે,અંદાજિત ગણતરી $\Delta R/R \approx 2(\Delta l/l)$ મુજબ $2 \times 10\% = 20\%$ થાય,જે $10 + 2 = 12\,\Omega$ પરિણામ આપે છે. આપેલા વિકલ્પો મુજબ,$12\,\Omega$ સાચો જવાબ છે.

(C) કોઈપણ તાપમાન $T$ પર વાહકનો અવરોધ $R_T = R_0(1 + \alpha T)$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R_0$ એ $0\,^{\circ}C$ તાપમાને અવરોધ છે અને $\alpha$ એ અવરોધનો તાપમાન ગુણાંક છે.
આપેલ છે:
$R_{150} = 133\,\Omega$
$\alpha = 0.0045\,^{\circ}C^{-1}$
$T_1 = 150\,^{\circ}C$,$T_2 = 500\,^{\circ}C$
ગુણોત્તરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{R_{500}}{R_{150}} = \frac{1 + \alpha T_2}{1 + \alpha T_1}$
$\frac{R_{500}}{133} = \frac{1 + (0.0045 \times 500)}{1 + (0.0045 \times 150)}$
$\frac{R_{500}}{133} = \frac{1 + 2.25}{1 + 0.675} = \frac{3.25}{1.675}$
$R_{500} = 133 \times \frac{3.25}{1.675} \approx 133 \times 1.9403 \approx 258.06\,\Omega$
આમ,$500\,^{\circ}C$ તાપમાને અવરોધ આશરે $258\,\Omega$ થશે.

(C) તારનો અવરોધ $R$ એ સૂત્ર $R = \rho \frac{l}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $\rho$ એ અવરોધકતા (વિશિષ્ટ અવરોધ), $l$ એ લંબાઈ અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
આપેલ છે: $\rho = 64 \times 10^{-6} \, \Omega \cdot \text{cm}$, $l = 198 \, \text{cm}$, $R = 7 \, \Omega$.
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$, જ્યાં $r$ એ ત્રિજ્યા છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $7 = (64 \times 10^{-6}) \times \frac{198}{\pi r^2}$.
$\pi \approx \frac{22}{7}$ લેતા, આપણને મળે છે: $7 = \frac{64 \times 10^{-6} \times 198}{(22/7) \times r^2}$.
$r^2 = \frac{64 \times 10^{-6} \times 198 \times 7}{7 \times 22} = \frac{64 \times 10^{-6} \times 198}{22} = 64 \times 10^{-6} \times 9 = 576 \times 10^{-6}$.
વર્ગમૂળ લેતા: $r = \sqrt{576 \times 10^{-6}} = 24 \times 10^{-3} = 0.024 \, \text{cm}$.

(B) તારનો અવરોધ $R = \rho \frac{l}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે તારને ખેંચવામાં આવે છે,ત્યારે તેનું કદ $V = A \times l$ અચળ રહે છે.
જો લંબાઈ બમણી કરવામાં આવે $(l' = 2l)$,તો કદ અચળ રાખવા માટે આડછેદનું ક્ષેત્રફળ અડધું $(A' = A/2)$ થવું જોઈએ.
નવો અવરોધ $R'$ આ મુજબ મળે: $R' = \rho \frac{l'}{A'} = \rho \frac{2l}{A/2} = 4 \rho \frac{l}{A} = 4R$.
તેથી,નવો અવરોધ $4R$ થશે.

(A) અવરોધનો તાપમાન ગુણાંક $(\alpha)$ એ તાપમાનમાં એકમ ફેરફાર દીઠ અવરોધમાં થતા આંશિક ફેરફાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે।
$Fe$, $Mn$ અને $Ag$ જેવી ધાતુઓ માટે, તાપમાનમાં વધારો થતાં અવરોધ વધે છે, જેના પરિણામે તાપમાન ગુણાંક ધન મળે છે।
કાર્બન $(C)$ જેવા અર્ધવાહકો અને અવાહકો માટે, તાપમાનમાં વધારો થતાં વિદ્યુતભાર વાહકોની સંખ્યામાં નોંધપાત્ર વધારો થાય છે, જે અવરોધમાં ઘટાડો કરે છે।
તેથી, કાર્બન $(C)$ નો તાપમાન ગુણાંક ઋણ હોય છે।

(A) અવરોધ $(R)$ ના વ્યસ્તને કન્ડક્ટન્સ $(G)$ કહેવામાં આવે છે.
ગાણિતિક રીતે,તેને $G = \frac{1}{R}$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
કન્ડક્ટન્સનો $SI$ એકમ સીમેન્સ $(S)$ અથવા $\Omega^{-1}$ છે.

(A) અવરોધના તાપમાન પર આધારિત સૂત્ર $R_{T_2} = R_{T_1}[1 + \alpha(T_2 - T_1)]$ છે.
આપેલ કિંમતો $R_{T_1} = 5\,\Omega$ તાપમાન $T_1 = 50\,^{\circ}\text{C}$ પર અને $R_{T_2} = 7\,\Omega$ તાપમાન $T_2 = 100\,^{\circ}\text{C}$ પર છે.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$7 = 5[1 + \alpha(100 - 50)]$
$7 = 5[1 + 50\alpha]$
$7 = 5 + 250\alpha$
$2 = 250\alpha$
$\alpha = \frac{2}{250} = \frac{1}{125} = 0.008\,^{\circ}\text{C}^{-1}$.

(C) તાપમાન $t$ પર વાહકનો અવરોધ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $R_t = R_0(1 + \alpha t)$.
વૈકલ્પિક રીતે,બે તાપમાન $t_1$ અને $t_2$ માટે,સંબંધ છે: $R_2 = R_1[1 + \alpha(t_2 - t_1)]$.
આપેલ છે: $R_1 = 50\,\Omega$ તાપમાન $t_1 = 20\,^{\circ}C$ પર,$R_2 = 76.8\,\Omega$,અને $\alpha = 3.92 \times 10^{-3}\,^{\circ}C^{-1}$.
કિંમતો મૂકતા: $76.8 = 50[1 + 3.92 \times 10^{-3}(t_2 - 20)]$.
$50$ વડે ભાગતા: $1.536 = 1 + 3.92 \times 10^{-3}(t_2 - 20)$.
$1$ બાદ કરતા: $0.536 = 3.92 \times 10^{-3}(t_2 - 20)$.
$(t_2 - 20)$ માટે ઉકેલતા: $t_2 - 20 = \frac{0.536}{3.92 \times 10^{-3}} \approx 136.73$.
તેથી,$t_2 = 136.73 + 20 = 156.73\,^{\circ}C$,જે આપેલા વિકલ્પો મુજબ આશરે $167\,^{\circ}C$ થાય છે.

(D) પદાર્થની અવરોધકતા $(\rho)$ એ એક આંતરિક ગુણધર્મ છે જે દર્શાવે છે કે પદાર્થ વિદ્યુત પ્રવાહના વહનનો કેટલો વિરોધ કરે છે। તે માત્ર પદાર્થની પ્રકૃતિ (દ્રવ્ય) અને તાપમાન પર આધાર રાખે છે। તે તારના ભૌતિક પરિમાણો જેવા કે તેની લંબાઈ, આડછેદનું ક્ષેત્રફળ અથવા આકાર પર આધાર રાખતું નથી। તેથી, સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે।

(A) સુપરકન્ડક્ટર એ એવો પદાર્થ છે જે તેના લાક્ષણિક ક્રાંતિક તાપમાનથી નીચે ઠંડુ પાડવામાં આવે ત્યારે શૂન્ય વિદ્યુત અવરોધ દર્શાવે છે.
વાહકતા $\sigma$ એ અવરોધકતા $\rho$ નો વ્યસ્ત છે,અને અવરોધકતા એ અવરોધ $R$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(R = \rho \frac{l}{A})$,તેથી વાહકતા $\sigma = \frac{1}{\rho}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
જેમ સુપરકન્ડક્ટરનો અવરોધ $R$ શૂન્ય થાય છે,તેમ તેની અવરોધકતા $\rho$ પણ શૂન્ય થઈ જાય છે.
તેથી,વાહકતા $\sigma = \frac{1}{0} = \infty$ (અનંત) થાય છે.

(D) મિશ્રધાતુઓમાં,વિવિધ ધાતુઓના પરમાણુઓ સ્ફટિક લેટીસમાં અવ્યવસ્થિત રીતે વહેંચાયેલા હોય છે. આ અવ્યવસ્થિત ગોઠવણી ધાતુની સામયિક રચનાને વિક્ષેપિત કરે છે,જેના કારણે મુક્ત ઇલેક્ટ્રોનનું સ્કેટરિંગ વધે છે. આ વધેલા સ્કેટરિંગને કારણે,ઇલેક્ટ્રોનની ગતિશીલતા ઘટે છે,જેના પરિણામે શુદ્ધ ધાતુઓની તુલનામાં મિશ્રધાતુઓની અવરોધકતા વધારે હોય છે. તેથી,$\rho_{\text{alloy}} > \rho_{\text{metal}}$.

(A) તારનો અવરોધ $R = \rho \frac{l}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દળ $m = \text{કદ} \times \text{ઘનતા} = (A \cdot l) \cdot d$ હોવાથી,અને બંને તાર સમાન દ્રવ્ય અને સમાન દળ ધરાવતા હોવાથી,$A \cdot l$ અચળ રહે છે.
તેથી,$l = \frac{m}{A \cdot d} \propto \frac{1}{A}$.
આ કિંમત અવરોધના સૂત્રમાં મૂકતા: $R = \rho \frac{l}{A} \propto \frac{1}{A^2}$.
$A = \pi r^2$ હોવાથી,$R \propto \frac{1}{(\pi r^2)^2} \propto \frac{1}{r^4}$ મળે.
તેથી,$\frac{R_A}{R_B} = \left( \frac{r_B}{r_A} \right)^4$.
અહીં $R_A = 34\,\Omega$,$r_A = 2r$,અને $r_B = r$ આપેલ છે:
$\frac{34}{R_B} = \left( \frac{r}{2r} \right)^4 = \left( \frac{1}{2} \right)^4 = \frac{1}{16}$.
$R_B = 34 \times 16 = 544\,\Omega$.

(C) અવરોધ અને તાપમાન વચ્ચેનો સંબંધ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $R_t = R_0(1 + \alpha t)$.
અહીં,$R_t = 4.2\, \Omega$ એ $t = 100\,^{\circ}C$ તાપમાને અવરોધ છે,$\alpha = 0.004\,^{\circ}C^{-1}$ એ અવરોધનો તાપમાન ગુણાંક છે,અને $R_0$ એ $0\,^{\circ}C$ તાપમાને અવરોધ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$4.2 = R_0(1 + 0.004 \times 100)$
$4.2 = R_0(1 + 0.4)$
$4.2 = R_0(1.4)$
$R_0 = \frac{4.2}{1.4} = 3\, \Omega$.
તેથી,$0\,^{\circ}C$ તાપમાને અવરોધ $3\, \Omega$ છે.

(B) ધાતુઓની વિદ્યુત વાહકતા મુક્ત ઇલેક્ટ્રોનની ગતિશીલતા પર આધાર રાખે છે. આપેલી ધાતુઓમાંથી,ચાંદી $(Ag)$ ની વિદ્યુત વાહકતા સૌથી વધુ છે,ત્યારબાદ તાંબુ $(Cu)$ અને પછી એલ્યુમિનિયમ $(Al)$ આવે છે.
તેથી,વધતી જતી વાહકતાનો ક્રમ $Al < Cu < Ag$ છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) તારનો અવરોધ $R = \rho \frac{L}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\rho$ એ અવરોધકતા છે,$L$ એ લંબાઈ છે અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે. કારણ કે $A = \pi r^2$,તેથી $R = \rho \frac{L}{\pi r^2}$ થાય.
દબાવવાની પ્રક્રિયા દરમિયાન કદ $V = A \cdot L$ અચળ રહેતું હોવાથી,$L_1 A_1 = L_2 A_2$ થાય.
આપેલ છે કે $A_2 = \pi (nr)^2 = n^2 A_1$,તેથી $L_2 = L_1 \frac{A_1}{A_2} = \frac{L_1}{n^2}$ મળે.
નવો અવરોધ $R_2 = \rho \frac{L_2}{A_2} = \rho \frac{L_1 / n^2}{n^2 A_1} = \frac{1}{n^4} \left( \rho \frac{L_1}{A_1} \right) = \frac{R}{n^4}$ થાય.

(D) વાહકનો $t$ તાપમાને અવરોધ $R_t = R_0(1 + \alpha t)$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R_0$ એ $0\,^{\circ}C$ તાપમાને અવરોધ છે અને $\alpha$ એ અવરોધનો તાપમાન ગુણાંક છે.
આપેલ છે:
$R_1 = 5\,\Omega$ તાપમાન $t_1 = 50\,^{\circ}C$ પર
$R_2 = 6\,\Omega$ તાપમાન $t_2 = 100\,^{\circ}C$ પર
ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{R_1}{R_2} = \frac{1 + \alpha t_1}{1 + \alpha t_2} \Rightarrow \frac{5}{6} = \frac{1 + 50\alpha}{1 + 100\alpha}$
$5(1 + 100\alpha) = 6(1 + 50\alpha) \Rightarrow 5 + 500\alpha = 6 + 300\alpha$
$200\alpha = 1 \Rightarrow \alpha = \frac{1}{200}\,^{\circ}C^{-1}$
હવે,$\alpha$ ની કિંમત $R_1$ ના સમીકરણમાં મૂકતા: $5 = R_0(1 + \frac{1}{200} \times 50)$
$5 = R_0(1 + 0.25) \Rightarrow 5 = R_0(1.25)$
$R_0 = \frac{5}{1.25} = 4\,\Omega$.

(B) આપેલ છે કે બંને તાર માટે વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ અને લંબાઈ $L$ સમાન છે, અને વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ પણ સમાન છે।
ઓમના નિયમ મુજબ, $V = IR$, તેથી બંને તાર માટે અવરોધ $R$ સમાન હોવો જોઈએ।
અવરોધનું સૂત્ર $R = \rho \frac{L}{A} = \rho \frac{L}{\pi r^2}$ છે।
અહીં $R$, $L$ અને $\pi$ અચળ હોવાથી, $\frac{\rho_{\text{iron}}}{r_{\text{iron}}^2} = \frac{\rho_{\text{copper}}}{r_{\text{copper}}^2}$ થાય।
તેથી, $\frac{r_{\text{iron}}^2}{r_{\text{copper}}^2} = \frac{\rho_{\text{iron}}}{\rho_{\text{copper}}}$.
વર્ગમૂળ લેતા, $\frac{r_{\text{iron}}}{r_{\text{copper}}} = \sqrt{\frac{\rho_{\text{iron}}}{\rho_{\text{copper}}}} = \sqrt{\frac{1.0 \times 10^{-7}}{1.7 \times 10^{-8}}} = \sqrt{\frac{10}{1.7}} \approx \sqrt{5.88} \approx 2.42$.
આમ, ગુણોત્તર આશરે $2.4$ છે।

(B) સળિયાના દ્રવ્યની અવરોધકતા $\rho = \frac{RA}{l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $R = 3.0 \times 10^{-3} \, \Omega$,$l = 1.0 \, m$,અને વ્યાસ $d_1 = 0.6 \, cm = 0.6 \times 10^{-2} \, m$. ત્રિજ્યા $r_1 = 0.3 \times 10^{-2} \, m$.
$\rho = \frac{3.0 \times 10^{-3} \times \pi \times (0.3 \times 10^{-2})^2}{1.0} = 3.0 \times 10^{-3} \times \pi \times 0.09 \times 10^{-4} = 27 \times 10^{-9} \pi \, \Omega \cdot m$.
તકતી માટે,જાડાઈ $t = 1.0 \, mm = 1.0 \times 10^{-3} \, m$ અને વ્યાસ $d_2 = 2.0 \, cm = 2.0 \times 10^{-2} \, m$. ત્રિજ્યા $r_2 = 1.0 \times 10^{-2} \, m$.
ગોળાકાર સપાટીઓ વચ્ચેનો અવરોધ $R' = \rho \frac{t}{A_2} = \rho \frac{t}{\pi r_2^2}$.
$R' = (27 \times 10^{-9} \pi) \times \frac{1.0 \times 10^{-3}}{\pi \times (1.0 \times 10^{-2})^2} = \frac{27 \times 10^{-12}}{10^{-4}} = 27 \times 10^{-8} = 2.70 \times 10^{-7} \, \Omega$.

(C) તાપમાન $t$ પર વાહકનો અવરોધ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $R_t = R_0(1 + \alpha t)$.
અહીં, $R_t$ એ $t$ તાપમાને અવરોધ છે, $R_0$ એ $0^{\circ}C$ તાપમાને અવરોધ છે, અને $\alpha$ એ અવરોધનો તાપમાન ગુણાંક છે.
આપેલ છે કે $R_t = 3R_0$ અને $\alpha = 4 \times 10^{-3} \,^{\circ}C^{-1}$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$3R_0 = R_0(1 + 4 \times 10^{-3} \times t)$
$3 = 1 + 4 \times 10^{-3} \times t$
$2 = 4 \times 10^{-3} \times t$
$t = \frac{2}{4 \times 10^{-3}} = \frac{2000}{4} = 500^{\circ}C$.
તેથી, $500^{\circ}C$ તાપમાને અવરોધ તેના પ્રારંભિક મૂલ્ય કરતા ત્રણ ગણો થશે.

(A) આપેલ છે:
લંબાઈ $l = 50\, cm = 0.5\, m = 50 \times 10^{-2}\, m$
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = 1\, mm^2 = 1 \times 10^{-6}\, m^2$
વિદ્યુતપ્રવાહ $I = 4\, A$
વોલ્ટેજ $V = 2\, V$
ઓહ્મના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,અવરોધ $R$:
$R = \frac{V}{I} = \frac{2}{4} = 0.5\, \Omega$
અવરોધકતા $\rho$ ના સંદર્ભમાં અવરોધનું સૂત્ર:
$R = \rho \frac{l}{A}$
$\rho$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા:
$\rho = \frac{R \cdot A}{l} = \frac{0.5 \times 10^{-6}}{0.5} = 1 \times 10^{-6}\, \Omega\cdot m$
આમ,તારની અવરોધકતા $1 \times 10^{-6}\, \Omega\cdot m$ છે.

(A) તારનો અવરોધ $R = \rho \frac{l}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઓગાળવાની અને ફરીથી આકાર આપવાની પ્રક્રિયા દરમિયાન કદ $V = A \times l$ અચળ રહે છે,તેથી $A = \frac{V}{l}$ મળે.
આ કિંમત અવરોધના સૂત્રમાં મૂકતા,$R = \rho \frac{l}{V/l} = \rho \frac{l^2}{V}$ મળે છે.
અહીં $\rho$ અને $V$ અચળ હોવાથી,$R \propto l^2$ થાય.
તેથી,$\frac{R_1}{R_2} = \left( \frac{l_1}{l_2} \right)^2$.
આપેલ છે કે $l_2 = \frac{l_1}{2}$,તેથી $\frac{R}{R_2} = \left( \frac{l_1}{l_1/2} \right)^2 = (2)^2 = 4$.
આમ,નવો અવરોધ $R_2 = \frac{R}{4}$ થશે.

(A) જ્યારે કોઈ તારને સમાન રીતે ખેંચવામાં આવે છે,ત્યારે તેનું કદ અચળ રહે છે. તેથી $V = A \times l$ પરથી $A_1 l_1 = A_2 l_2$ મળે.
અહીં $l_1 = 5\, cm$ અને $l_2 = 20\, cm$ આપેલ છે,તેથી લંબાઈનો ગુણોત્તર $\frac{l_2}{l_1} = \frac{20}{5} = 4$ થાય.
અવરોધ $R$ નું સૂત્ર $R = \rho \frac{l}{A}$ છે. $A = \frac{V}{l}$ મુકતા,$R = \rho \frac{l^2}{V}$ મળે.
અહીં $\rho$ અને $V$ અચળ હોવાથી,$R \propto l^2$ થાય.
તેથી,$\frac{R_2}{R_1} = \left( \frac{l_2}{l_1} \right)^2 = (4)^2 = 16$.
આપેલ છે કે $R_1 = 10\, \Omega$,તેથી $R_2 = 16 \times 10 = 160\, \Omega$ મળે.

(C) ધાતુના વાહકનો અવરોધ $R$ એ $R = \frac{ml}{ne^2 \tau A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\tau$ એ રિલેક્સેશન સમય છે.
જેમ તાપમાન $T$ વધે છે,તેમ ઇલેક્ટ્રોન અને આયનો વચ્ચેના અથડામણની આવૃત્તિ વધે છે,જેના કારણે રિલેક્સેશન સમય $\tau$ ઘટે છે.
કારણ કે $R \propto \frac{1}{\tau}$,$\tau$ માં ઘટાડો થવાથી અવરોધ $R$ માં વધારો થાય છે.
જ્યારે ઇન્કેન્ડેસન્ટ લેમ્પ ચાલુ કરવામાં આવે છે,ત્યારે ફિલામેન્ટ ગરમ થાય છે,જેનાથી તેનું તાપમાન વધે છે. પરિણામે,લેમ્પ જ્યારે ચાલુ હોય ત્યારે તેનો અવરોધ બંધ હોય તેની સરખામણીમાં વધારે હોય છે.

(C) વાહક માટે અવરોધકતા $\rho$ ની તાપમાન પરની નિર્ભરતા $\rho = \rho_{0}[1 + \alpha(T - T_{0})]$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\alpha$ એ અવરોધકતાનો તાપમાન ગુણાંક છે.
વાહક માટે,જેમ તાપમાન વધે છે,તેમ લેટીસ આયનોના કંપનનો કંપનવિસ્તાર વધે છે. આનાથી મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન અને આયનો વચ્ચે અથડામણ વધુ વારંવાર થાય છે,જે રિલેક્સેશન સમય $\tau$ ઘટાડે છે. કારણ કે અવરોધકતા $\rho = m / (ne^2\tau)$ છે,તેથી $\tau$ માં ઘટાડો થવાથી અવરોધકતા વધે છે.
અર્ધવાહક માટે,જેમ તાપમાન વધે છે,તેમ વધુ વેલેન્સ ઇલેક્ટ્રોન ઉર્જા ગેપને ઓળંગીને કન્ડક્શન બેન્ડમાં કૂદકો મારવા માટે પૂરતી ઉષ્મીય ઉર્જા મેળવે છે. આનાથી ચાર્જ કેરિયર્સની સંખ્યા ઘનતા $n$ માં નોંધપાત્ર વધારો થાય છે. કારણ કે $\rho \propto 1/n$ છે,તેથી $n$ માં વધારો થવાથી અવરોધકતા ઘટે છે.

(D) તારનો અવરોધ $R$ એ $R = \rho \frac{l}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કદ $V = A \cdot l$ હોવાથી,$A = \frac{V}{l}$ મળે.
વળી,દળ $m = d \cdot V$,જ્યાં $d$ એ ઘનતા છે. તેથી,$V = \frac{m}{d}$.
અવરોધના સૂત્રમાં $A$ ની કિંમત મૂકતા: $R = \rho \frac{l}{(m/dl)} = \rho \cdot d \cdot \frac{l^2}{m}$.
ધાતુ સમાન હોવાથી,$\rho$ અને $d$ અચળ છે,તેથી $R \propto \frac{l^2}{m}$.
આપેલ ગુણોત્તર: $m_1:m_2:m_3 = 1:2:3$ અને $l_1:l_2:l_3 = 3:2:1$.
તેથી,અવરોધનો ગુણોત્તર $R_1:R_2:R_3 = \frac{l_1^2}{m_1} : \frac{l_2^2}{m_2} : \frac{l_3^2}{m_3}$ થશે.
$R_1:R_2:R_3 = \frac{3^2}{1} : \frac{2^2}{2} : \frac{1^2}{3} = 9 : 2 : \frac{1}{3}$.
અપૂર્ણાંક દૂર કરવા માટે $3$ વડે ગુણતા: $27 : 6 : 1$.