Electric Cells and Combination of cells in Series and Parallel Questions in Gujarati

(A) કારમાં વપરાતી લેડ-એસિડ બેટરીનો આંતરિક અવરોધ $r$ મુખ્યત્વે ઇલેક્ટ્રોલાઇટની સ્નિગ્ધતા (viscosity) ને કારણે હોય છે.
જેમ તાપમાન વધે છે,તેમ ઇલેક્ટ્રોલાઇટની સ્નિગ્ધતા ઘટે છે,જેનાથી આયનોની ગતિશીલતા વધે છે.
પરિણામે,તાપમાન વધવાની સાથે બેટરીનો આંતરિક અવરોધ $r$ ઘટે છે.
ગરમ દિવસે $r$ ઓછો હોવાથી,બેટરી સ્ટાર્ટર મોટરને વધુ પ્રવાહ આપી શકે છે,જેનાથી એન્જિન શરૂ કરવું સરળ બને છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) ધારો કે પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ $i = \frac{V}{R}$ છે.
કોષ માટે,ટર્મિનલ વોલ્ટેજનું સૂત્ર $E = V + ir$ છે,જ્યાં $r$ એ આંતરિક અવરોધ છે.
સમીકરણને $r$ માટે ગોઠવતા,$ir = E - V$ મળે.
$i = \frac{V}{R}$ ની કિંમત મૂકતા,$\left( \frac{V}{R} \right) r = E - V$ મળે.
આમ,$r = \frac{(E - V)R}{V}$ થાય.

(A) $E$ જેટલા $e.m.f.$ અને $r$ જેટલા આંતરિક અવરોધ ધરાવતા બે કોષો સમાંતરમાં જોડાયેલા હોય ત્યારે,સમતુલ્ય $e.m.f.$ $(E_{eq})$ એ $E$ થાય છે અને સમતુલ્ય આંતરિક અવરોધ $(r_{eq})$ એ $r/2$ થાય છે.
મહત્તમ પાવર ટ્રાન્સફર પ્રમેય મુજબ,બાહ્ય અવરોધ $R$ ને મળતી ઉર્જા ત્યારે મહત્તમ હોય છે જ્યારે બાહ્ય અવરોધ એ સ્ત્રોતના સમતુલ્ય આંતરિક અવરોધ જેટલો હોય.
તેથી,મહત્તમ ઉર્જાના સ્થાનાંતરણ માટે,$R = r_{eq} = r/2$.

(C) કોષનો ટર્મિનલ પોટેન્શિયલ તફાવત $V$ એ સંબંધ $V = E \pm Ir$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $E$ એ $e.m.f.$ છે,$I$ એ પ્રવાહ છે,અને $r$ એ કોષનો આંતરિક અવરોધ છે.
જ્યારે કોષ ડિસ્ચાર્જ થઈ રહ્યો હોય,ત્યારે $V = E - Ir$,તેથી $V < E$ થાય છે.
જ્યારે કોષ ઓપન સર્કિટમાં હોય,ત્યારે $I = 0$,તેથી $V = E$ થાય છે.
જ્યારે કોષ ચાર્જ થઈ રહ્યો હોય,ત્યારે પ્રવાહ ધન ટર્મિનલમાં દાખલ થાય છે,તેથી સંબંધ $V = E + Ir$ બને છે. તેથી,$V > E$ થાય છે.
આમ,ટર્મિનલ પોટેન્શિયલ તફાવત $e.m.f.$ કરતા ત્યારે જ વધારે હોય છે જ્યારે કોષ ચાર્જ થઈ રહ્યો હોય.

(B) ધારો કે કોષનું $e.m.f.$ $E$ છે અને આંતરિક અવરોધ $r$ છે.
કોષ ધરાવતા પરિપથ માટે ઓહ્મના નિયમ મુજબ,પ્રવાહ $I = \frac{E}{R + r}$ છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $0.5 = \frac{E}{2 + r}$ --- $(1)$
બીજા કિસ્સા માટે: $0.25 = \frac{E}{5 + r}$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ ને સમીકરણ $(2)$ વડે ભાગતા:
$\frac{0.5}{0.25} = \frac{E / (2 + r)}{E / (5 + r)}$
$2 = \frac{5 + r}{2 + r}$
$2(2 + r) = 5 + r$
$4 + 2r = 5 + r$
$2r - r = 5 - 4$
$r = 1\,\Omega$.
તેથી,કોષનો આંતરિક અવરોધ $1\,\Omega$ છે.

(C) કોષનો ટર્મિનલ પોટેન્શિયલ તફાવત $V$ એ સૂત્ર $V = E - Ir$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $E$ એ $E.M.F.$ છે,$I$ એ પ્રવાહ છે અને $r$ એ કોષનો આંતરિક અવરોધ છે.
જ્યારે કોષને શોર્ટ-સર્કિટ કરવામાં આવે છે,ત્યારે બાહ્ય અવરોધ $R = 0$ થાય છે.
પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ $I = E / (R + r) = E / (0 + r) = E/r$ થાય છે.
$I$ ની આ કિંમતને ટર્મિનલ પોટેન્શિયલ તફાવતના સૂત્રમાં મૂકતા: $V = E - (E/r) \times r = E - E = 0$.
તેથી,શોર્ટ-સર્કિટ થયેલા કોષનો ટર્મિનલ પોટેન્શિયલ તફાવત $0$ હોય છે.

(C) કોષના શોર્ટ-સર્કિટ પ્રવાહનું સૂત્ર $i_{SC} = \frac{E}{r}$ છે,જ્યાં $E$ એ $e.m.f.$ છે અને $r$ એ આંતરિક અવરોધ છે.
આપેલ છે: $E = 1.5\,V$ અને $i_{SC} = 3\,A$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $3 = \frac{1.5}{r}$.
$r$ માટે ઉકેલતા: $r = \frac{1.5}{3} = 0.5\,\Omega$.
તેથી,કોષનો આંતરિક અવરોધ $0.5\,\Omega$ છે.

(D) કોષનું ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(E)$ એ ઓપન સર્કિટમાં પોટેન્શિયલ તફાવત છે,તેથી $E = 2.2\, V$.
જ્યારે $R = 4\, \Omega$ નો અવરોધ જોડવામાં આવે છે,ત્યારે ટર્મિનલ પોટેન્શિયલ તફાવત $V = 2\, V$ થાય છે.
ટર્મિનલ પોટેન્શિયલ તફાવતનું સૂત્ર $V = E - Ir$ છે,જ્યાં $I$ એ પ્રવાહ છે અને $r$ એ આંતરિક અવરોધ છે.
વળી,$I = \frac{V}{R} = \frac{2}{4} = 0.5\, A$.
આ કિંમતોને $V = E - Ir$ સમીકરણમાં મૂકતા:
$2 = 2.2 - (0.5)r$
$0.5r = 2.2 - 2$
$0.5r = 0.2$
$r = \frac{0.2}{0.5} = 0.4\, \Omega$.
તેથી,કોષનો આંતરિક અવરોધ $0.4\, \Omega$ છે.

(C) સેલનું ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(E)$ એ વોલ્ટમીટરનું રીડિંગ છે જ્યારે કોઈ પ્રવાહ ખેંચાતો નથી,તેથી $E = 2.2\, V$.
જ્યારે $R = 5\,\Omega$ નો અવરોધ જોડવામાં આવે છે,ત્યારે ટર્મિનલ વોલ્ટેજ $V = 1.8\, V$ થાય છે.
આંતરિક અવરોધ $(r)$ માટેનું સૂત્ર $r = \left( \frac{E}{V} - 1 \right) R$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $r = \left( \frac{2.2}{1.8} - 1 \right) \times 5$.
$r = \left( \frac{2.2 - 1.8}{1.8} \right) \times 5 = \left( \frac{0.4}{1.8} \right) \times 5$.
$r = \left( \frac{4}{18} \right) \times 5 = \left( \frac{2}{9} \right) \times 5 = \frac{10}{9} \approx 1.11\,\Omega$.
એક દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $r = 1.1\,\Omega$ મળે છે.

(B) જ્યારે $n$ સમાન કોષો,જે દરેકનું e.m.f. $E$ અને આંતરિક અવરોધ $r$ છે,તેમને બાહ્ય અવરોધ $R$ સાથે સમાંતર જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સંયોજનનું સમતુલ્ય e.m.f. $E$ જ રહે છે.
જોકે,સંયોજનનો સમતુલ્ય આંતરિક અવરોધ $r_{eq} = r/n$ થાય છે.
પરિપથમાં કુલ પ્રવાહ $I$ નું સૂત્ર $I = \frac{E}{R + r/n}$ છે.
સમાંતર જોડાણમાં આંતરિક અવરોધ ઘટતો હોવાથી,બાહ્ય અવરોધ $R$ માંથી વહેતો કુલ પ્રવાહ $I$ એકલ કોષની સરખામણીમાં વધે છે.

(D) કોષનો આંતરિક અવરોધ $r$ નીચેના પરિબળો દ્વારા નક્કી થાય છે:
$1$. તે ઇલેક્ટ્રોડ્સ વચ્ચેના અંતર $d$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
$2$. તે ઇલેક્ટ્રોલાઇટમાં ડૂબેલા ઇલેક્ટ્રોડ્સના ક્ષેત્રફળ $A$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
$3$. તે ઇલેક્ટ્રોલાઇટના પ્રકાર અને સાંદ્રતા પર આધાર રાખે છે.
આમ,આંતરિક અવરોધ આ તમામ પરિબળોથી પ્રભાવિત હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) જ્યારે $n$ સમાન કોષો,દરેકનું $e.m.f.$ $E$ અને આંતરિક અવરોધ $r$ હોય,તેમને શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે,ત્યારે સંયોજનનું કુલ $e.m.f.$ $nE$ થાય છે.
શ્રેણીમાં જોડાયેલા $n$ કોષોનો કુલ આંતરિક અવરોધ $nr$ થાય છે.
જ્યારે આ સંયોજન સાથે એક બાહ્ય અવરોધ $R$ શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે,ત્યારે પરિપથનો કુલ અવરોધ $R + nr$ થાય છે.
ઓહ્મના નિયમ મુજબ,પરિપથમાંથી વહેતો પ્રવાહ $i = \frac{\text{કુલ } e.m.f.}{\text{કુલ અવરોધ}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$i = \frac{nE}{R + nr}$.

(A) $E$ વિદ્યુતચાલક બળ,$r$ આંતરિક અવરોધ અને $R$ બાહ્ય અવરોધ ધરાવતા પરિપથમાં પ્રવાહ $I = \frac{E}{R + r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મહત્તમ પાવર ટ્રાન્સફર પ્રમેય મુજબ,જ્યારે બાહ્ય અવરોધ $R$ એ આંતરિક અવરોધ $r$ જેટલો હોય $(R = r)$,ત્યારે બાહ્ય અવરોધમાં પાવર મહત્તમ હોય છે.
આ પ્રશ્ન સામાન્ય રીતે આ શરતને અનુસરે છે,તેથી સાચો વિકલ્પ $R = r$ છે.

(B) $n$ સમાન કોષોને સમાંતરમાં જોડવામાં આવે છે,જ્યાં દરેકનું વિદ્યુતચાલક બળ $E$ અને આંતરિક અવરોધ $r$ છે,ત્યારે કુલ વિદ્યુતચાલક બળ $E_{eq} = E$ અને સમતુલ્ય આંતરિક અવરોધ $r_{eq} = \frac{r}{n}$ થાય છે.
બાહ્ય અવરોધ $R$ માંથી વહેતો કુલ પ્રવાહ $I$ નીચે મુજબ છે:
$I = \frac{E}{R + \frac{r}{n}} = \frac{nE}{nR + r}$.
પ્રવાહ $I$ ને મહત્તમ કરવા માટે,છેદ $(nR + r)$ ન્યૂનતમ હોવો જોઈએ.
જો $R << r$ હોય,તો $nR$ એ $r$ ની સરખામણીમાં ખૂબ નાનું હોય છે,જેનાથી છેદ લગભગ $r$ જેટલો થાય છે,જે પ્રવાહ $I \approx \frac{nE}{r}$ ને મહત્તમ બનાવે છે.
તેથી,સમાંતર જોડાણમાં મહત્તમ પ્રવાહ માટેની શરત $R << r$ છે.

(B) ધારો કે દરેક કોષનું $EMF$ $E$ છે અને આંતરિક અવરોધ $r$ છે. બાહ્ય અવરોધ $R = 2\,\Omega$ છે.
જ્યારે શ્રેણીમાં જોડાયેલ હોય,ત્યારે કુલ $EMF$ $2E$ થાય અને કુલ આંતરિક અવરોધ $2r$ થાય. પ્રવાહ $i_1$ નીચે મુજબ મળે:
$i_1 = \frac{2E}{R + 2r} = \frac{2E}{2 + 2r}$
જ્યારે સમાંતરમાં જોડાયેલ હોય,ત્યારે કુલ $EMF$ $E$ થાય અને કુલ આંતરિક અવરોધ $r/2$ થાય. પ્રવાહ $i_2$ નીચે મુજબ મળે:
$i_2 = \frac{E}{R + r/2} = \frac{E}{2 + r/2} = \frac{2E}{4 + r}$
આપેલ છે કે $i_1 = i_2$,તેથી બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{2E}{2 + 2r} = \frac{2E}{4 + r}$
બંને બાજુથી $2E$ દૂર કરતા:
$2 + 2r = 4 + r$
$r$ માટે ઉકેલતા:
$2r - r = 4 - 2$
$r = 2\,\Omega$

(A) કોષનું ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(E)$ $2\,V$ છે.
જ્યારે કોષને શોર્ટ-સર્કિટ કરવામાં આવે છે,ત્યારે બાહ્ય અવરોધ $(R)$ $0$ થાય છે.
પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ $(i)$ સૂત્ર $i = \frac{E}{R + r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r$ એ આંતરિક અવરોધ છે.
$R = 0$ હોવાથી,સૂત્ર $i = \frac{E}{r}$ બને છે.
$r$ શોધવા માટે સૂત્રને ગોઠવતા,$r = \frac{E}{i}$ મળે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા,$r = \frac{2\,V}{4\,A} = 0.5\,\Omega$.
તેથી,કોષનો આંતરિક અવરોધ $0.5\,\Omega$ છે.

(D) જ્યારે કોષની અંદર વિદ્યુતપ્રવાહ ઋણ ધ્રુવથી ધન ધ્રુવ તરફ વહે છે,ત્યારે કોષનું ચાર્જિંગ થઈ રહ્યું છે તેમ કહેવાય.
ચાર્જિંગ થતા કોષ માટે,ધ્રુવો વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = E + Ir$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$E = 5\,V$,$I = 2\,A$,અને $r = 0.5\,\Omega$ છે.
સ્થિતિમાનનો તફાવત $V = V_{positive} - V_{negative} = E + Ir$.
કિંમતો મૂકતા: $V_{positive} - 10 = 5 + (2 \times 0.5)$.
$V_{positive} - 10 = 5 + 1 = 6$.
$V_{positive} = 16\,V$.

(A) ધારો કે $m$ એ હારની સંખ્યા છે અને $n$ એ દરેક હારમાં કોષોની સંખ્યા છે.
કુલ કોષોની સંખ્યા $N = m \times n = 100$ .....$(i)$
કોષોના મિશ્ર જોડાણ માટે, જ્યારે બાહ્ય અવરોધ $R$ એ જોડાણના સમતુલ્ય આંતરિક અવરોધ જેટલો હોય ત્યારે પ્રવાહ મહત્તમ હોય છે.
મહત્તમ પ્રવાહ માટેની શરત $R = \frac{nr}{m}$ છે, જ્યાં $r$ એ એક કોષનો આંતરિક અવરોધ છે.
આપેલ છે કે $R = 25\, \Omega$ અને $r = 1\, \Omega$, તેથી $25 = \frac{n \times 1}{m}$, જેનો અર્થ છે કે $n = 25m$ .....$(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ ને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$m \times (25m) = 100$
$25m^2 = 100$
$m^2 = 4$
$m = 2$
આમ, હારની સંખ્યા $2$ હોવી જોઈએ.

(C) $E$ e.m.f. અને $r$ આંતરિક અવરોધ ધરાવતી બે સમાન બેટરીઓને સમાંતર જોડતા,સમતુલ્ય e.m.f. $E_{eq} = E$ મળે છે.
તેથી,વિધાન $(i)$ ખોટું છે કારણ કે સમતુલ્ય e.m.f. એ બેટરીના e.m.f. જેટલું જ હોય છે,તેનાથી નાનું હોતું નથી.
સમાંતર જોડાણમાં સમતુલ્ય આંતરિક અવરોધ $r_{eq}$ માટે,$\frac{1}{r_{eq}} = \frac{1}{r} + \frac{1}{r} = \frac{2}{r}$,જે દર્શાવે છે કે $r_{eq} = \frac{r}{2}$.
અહીં $\frac{r}{2} < r$ હોવાથી,વિધાન $(ii)$ સાચું છે.
આમ,$(ii)$ સાચું છે પણ $(i)$ ખોટું છે.

(D) જ્યારે $n$ સમાન કોષો,જે દરેકનું $e.m.f.$ $E$ હોય,તેમને સમાંતર જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સંયોજનનું સમતુલ્ય $e.m.f.$ એ એક કોષના $e.m.f.$ જેટલું જ રહે છે.
ગાણિતિક રીતે,$E_{eq} = E$.
અહીં આપેલ છે કે દરેક કોષનું $e.m.f.$ $6\,V$ છે,તેથી સમાંતર જોડાણનું સમતુલ્ય $e.m.f.$ $6\,V$ થશે.

(C) શ્રેણીમાં જોડાયેલા $n$ કોષો માટે,કુલ $e.m.f.$ $nE$ છે અને કુલ આંતરિક અવરોધ $nr$ છે.
આપેલ છે: $E = 1.5\,V$,$r = 0.5\,\Omega$,$R = 20\,\Omega$,અને $I = 0.6\,A$.
શ્રેણી પરિપથમાં પ્રવાહનું સૂત્ર $I = \frac{nE}{nr + R}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $0.6 = \frac{n \times 1.5}{n \times 0.5 + 20}$.
$0.6(0.5n + 20) = 1.5n$.
$0.3n + 12 = 1.5n$.
$12 = 1.2n$.
$n = \frac{12}{1.2} = 10$.
તેથી,$10$ કોષોની જરૂર પડશે.

(B) $EMF$ એટલે ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ. તેના નામ છતાં,તે કોઈ બળ નથી પરંતુ તે પરિપથમાં વિદ્યુતભારને ગતિ કરાવવા માટે સ્ત્રોત (જેમ કે બેટરી અથવા સેલ) દ્વારા પૂરી પાડવામાં આવતી ઉર્જાનું માપ છે.
તે જ્યારે કોઈ પ્રવાહ વહેતો ન હોય ત્યારે સ્ત્રોતના ટર્મિનલ્સ પર વિદ્યુતભારને ખસેડવા માટે એકમ વિદ્યુતભાર દીઠ થયેલ કાર્ય દર્શાવે છે.
તેથી,$EMF$ એ સ્થિતિમાનના તફાવત સાથે સૌથી વધુ સંબંધિત છે,કારણ કે બંને વોલ્ટ $(V)$ માં માપવામાં આવે છે અને એકમ વિદ્યુતભાર દીઠ ઉર્જાનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે.

(B) જ્યારે $n$ સમાન કોષો,જે દરેકનું ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $E$ હોય,તેમને સમાંતર જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સંયોજનનું સમતુલ્ય ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(E_{eq})$ એ એક કોષના ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ જેટલું જ હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,$E_{eq} = E$.
અહીં આપેલ છે કે દરેક કોષનું $e.m.f.$ $12\,V$ છે,તેથી સંયોજનનું પરિણામી $e.m.f.$ $12\,V$ થશે.

(D) ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(EMF)$ ને જ્યારે સર્કિટમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો ન હોય ત્યારે કોષના ટર્મિનલ્સ વચ્ચેના સ્થિતિમાનના તફાવત તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. તે બાહ્ય સર્કિટમાં અચળ સ્થિતિમાનનો તફાવત જાળવી રાખવા માટે કોષ દ્વારા એકમ વીજભાર દીઠ પૂરી પાડવામાં આવતી ઉર્જા છે.

(C) સ્ટોરેજ સેલની ક્ષમતા $AH$ (એમ્પિયર-કલાક) માં ચાર્જિંગ કરંટ અને ચાર્જિંગના સમયના ગુણાકાર દ્વારા મેળવવામાં આવે છે.
આપેલ છે:
ચાર્જિંગ કરંટ $(I)$ = $5\, A$
સમય $(t)$ = $18\, \text{કલાક}$
ક્ષમતા = $I \times t = 5\, A \times 18\, h = 90\, AH$.
તેથી, સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) જ્યારે બેટરી ચાર્જ થઈ રહી હોય,ત્યારે ટર્મિનલ વોલ્ટેજ $V$ નું સૂત્ર $V = E + Ir$ છે,જ્યાં $E$ એ $e.m.f.$ છે,$I$ એ ચાર્જિંગ પ્રવાહ છે અને $r$ એ આંતરિક અવરોધ છે.
આપેલ છે:
$E = 12\,V$
$I = 60\,A$
$r = 5 \times 10^{-2}\,\Omega = 0.05\,\Omega$
કિંમતો મૂકતા:
$V = 12 + (60 \times 0.05)$
$V = 12 + 3$
$V = 15\,V$.

(C) વિદ્યુત કોષ ($EMF$ $E$ અને આંતરિક અવરોધ $r$) સાથે બાહ્ય અવરોધ $R$ શ્રેણીમાં જોડાયેલ હોય ત્યારે પ્રવાહ $i = \frac{E}{R + r}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિસ્સો $1$: જ્યારે $R_1 = 11 \, \Omega$,ત્યારે $i_1 = 0.5 \, A$.
$0.5 = \frac{E}{11 + r} \Rightarrow E = 0.5(11 + r) = 5.5 + 0.5r$ ... $(i)$
કિસ્સો $2$: જ્યારે $R_2 = 5 \, \Omega$,ત્યારે પ્રવાહમાં $0.4 \, A$ નો વધારો થાય છે,તેથી $i_2 = 0.5 + 0.4 = 0.9 \, A$.
$0.9 = \frac{E}{5 + r} \Rightarrow E = 0.9(5 + r) = 4.5 + 0.9r$ ... $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ ને સરખાવતા:
$5.5 + 0.5r = 4.5 + 0.9r$
$5.5 - 4.5 = 0.9r - 0.5r$
$1.0 = 0.4r$
$r = \frac{1.0}{0.4} = 2.5 \, \Omega$.
આમ,કોષનો આંતરિક અવરોધ $2.5 \, \Omega$ છે.

(C) કોષનો આંતરિક અવરોધ એ કોષમાંથી વહેતા વિદ્યુતપ્રવાહ સામે ઇલેક્ટ્રોલાઇટ અને ઇલેક્ટ્રોડ્સ દ્વારા આપવામાં આવતા અવરોધ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
જોકે,આંતરિક અવરોધમાં મુખ્ય ફાળો બે ઇલેક્ટ્રોડ્સ વચ્ચે રહેલા ઇલેક્ટ્રોલાઇટનો હોય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(c)$ છે.

(A) આપેલ સમસ્યા કોષોના મિશ્ર જોડાણનું ઉદાહરણ છે.
ધારો કે દરેક હરોળમાં કોષોની સંખ્યા $n$ છે અને હરોળની સંખ્યા $m$ છે.
આપેલ છે: $n = 5000$,$m = 100$,$E = 0.15\, V$,$r = 0.25\,\Omega$,અને બાહ્ય અવરોધ $R = 500\,\Omega$.
આ ગોઠવણીનું કુલ emf $E_{eq} = nE = 5000 \times 0.15 = 750\, V$ છે.
આ ગોઠવણીનો કુલ આંતરિક અવરોધ $r_{eq} = \frac{nr}{m} = \frac{5000 \times 0.25}{100} = 50 \times 0.25 = 12.5\,\Omega$ છે.
પરિપથમાં કુલ વિદ્યુતપ્રવાહ $i$ નું સૂત્ર $i = \frac{E_{eq}}{R + r_{eq}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $i = \frac{750}{500 + 12.5} = \frac{750}{512.5} \approx 1.463\, A$.
નજીકના વિકલ્પ મુજબ,વિદ્યુતપ્રવાહ આશરે $1.5\, A$ છે.

(A) શ્રેણીમાં $n$ કોષો અને સમાંતરમાં આવી $m$ હરોળના સામાન્ય સંયોજન માટે,કુલ વિદ્યુતચાલક બળ $(emf)$ $nE$ છે અને કુલ આંતરિક અવરોધ $\frac{nr}{m}$ છે.
બાહ્ય અવરોધ $R$ માં પ્રવાહ $i$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$i = \frac{nE}{R + \frac{nr}{m}} = \frac{mnE}{mR + nr}$
પ્રવાહ $i$ ને મહત્તમ કરવા માટે,છેદ $(mR + nr)$ ન્યૂનતમ હોવો જોઈએ. આપણે છેદને આ રીતે ફરીથી લખી શકીએ:
$mR + nr = (\sqrt{mR} - \sqrt{nr})^2 + 2\sqrt{mnRr}$
છેદ ત્યારે ન્યૂનતમ હોય છે જ્યારે $(\sqrt{mR} - \sqrt{nr})^2 = 0$,જે સૂચવે છે કે:
$\sqrt{mR} = \sqrt{nr}$
$mR = nr$
$R = \frac{nr}{m}$
જેમ કે $\frac{nr}{m}$ એ બેટરીનો કુલ આંતરિક અવરોધ છે,તેથી જ્યારે બાહ્ય અવરોધ બેટરીના કુલ આંતરિક અવરોધ જેટલો હોય ત્યારે પ્રવાહ મહત્તમ હોય છે.

(C) જ્યારે $E_1, E_2$ emf અને $r_1, r_2$ આંતરિક અવરોધ ધરાવતા બે કોષોને સમાંતર જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સમતુલ્ય emf $E_{eq}$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$E_{eq} = \frac{E_1 r_2 + E_2 r_1}{r_1 + r_2}$
આપેલ છે:
$E_1 = 18 \, V, r_1 = 2 \, \Omega$
$E_2 = 12 \, V, r_2 = 1 \, \Omega$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$E_{eq} = \frac{(18 \times 1) + (12 \times 2)}{2 + 1}$
$E_{eq} = \frac{18 + 24}{3}$
$E_{eq} = \frac{42}{3} = 14 \, V$
વોલ્ટમીટર સમાંતર જોડાણની આજુબાજુ જોડાયેલ હોવાથી,તે પરિપથનું સમતુલ્ય emf માપશે.
તેથી,વોલ્ટમીટરનું અવલોકન $14 \, V$ છે.

(D) ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $E$ અને આંતરિક અવરોધ $r$ ધરાવતા ઉર્જા સ્ત્રોત દ્વારા લોડ અવરોધ $R$ માં પૂરો પાડવામાં આવતો પ્રવાહ $I$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $I = \frac{E}{R + r}$.
લોડ અવરોધ $R$ માં ફેરફાર છતાં પ્રવાહ $I$ અચળ રહે તે માટે,આંતરિક અવરોધ $r$ શૂન્ય હોવો જોઈએ.
જો $r = 0$ હોય,તો $I = \frac{E}{R}$. આ પ્રશ્નના આપેલા વિકલ્પોના આધારે,સાચો જવાબ $D$ છે.

(D) કોષોના મિશ્ર જોડાણમાં,જ્યાં દરેક હારમાં $m$ કોષો શ્રેણીમાં હોય અને આવી $n$ હાર હોય,ત્યારે પ્રવાહ $I = \frac{mnE}{mR + nr}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $E$ એ દરેક કોષનું $EMF$ છે,$r$ એ આંતરિક અવરોધ છે અને $R$ એ બાહ્ય અવરોધ છે.
મહત્તમ પ્રવાહ માટે,છેદ $(mR + nr)$ ન્યૂનતમ હોવો જોઈએ.
$AM$-$GM$ અસમાનતા મુજબ,$mR + nr \geq 2\sqrt{mR \cdot nr}$. ન્યૂનતમ મૂલ્ય ત્યારે મળે છે જ્યારે $mR = nr$,અથવા $R = \frac{nr}{m}$ થાય.
આમ,મહત્તમ પ્રવાહ માટેની શરત બાહ્ય અવરોધ $R$ અને સંયોજનના કુલ આંતરિક અવરોધ $\frac{nr}{m}$ વચ્ચેના સંબંધ પર આધાર રાખે છે.
તેથી,યોગ્ય જોડાણ એ બાહ્ય અને આંતરિક અવરોધના સાપેક્ષ મૂલ્યો પર આધાર રાખે છે.

(C) કોષોની કુલ સંખ્યા $m \times n = 24$ દ્વારા આપવામાં આવે છે ... $(i)$.
કોષોના મિશ્ર જોડાણમાં મહત્તમ પ્રવાહ માટે,બાહ્ય અવરોધ $R$ એ સંયોજનના સમતુલ્ય આંતરિક અવરોધ જેટલો હોવો જોઈએ.
સમતુલ્ય આંતરિક અવરોધ $R_{eq} = \frac{mr}{n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $R = 3 \,\Omega$ અને $r = 0.5 \,\Omega$,તેથી $3 = \frac{m \times 0.5}{n}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $3 = \frac{m}{2n}$,જે $m = 6n$ આપે છે ... $(ii)$.
સમીકરણ $(ii)$ ને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા: $(6n) \times n = 24$.
$6n^2 = 24 \implies n^2 = 4 \implies n = 2$.
$n = 2$ ને સમીકરણ $(ii)$ માં મૂકતા,આપણને $m = 6 \times 2 = 12$ મળે છે.
તેથી,$m = 12$ અને $n = 2$.

(B) શ્રેણી જોડાણનો કુલ $e.m.f.$ $E_{eq} = E + E = 2E$ છે.
કુલ આંતરિક અવરોધ $r_{eq} = r_1 + r_2$ છે.
પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{total} = R + r_1 + r_2$ છે.
પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ $i = \frac{2E}{R + r_1 + r_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ કોષ (જેનો આંતરિક અવરોધ $r_1$ છે) ના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_1 = E - i r_1$ છે.
આપેલ છે કે $V_1 = 0$,તેથી $E - i r_1 = 0$,જેનો અર્થ છે કે $E = i r_1$.
આ સમીકરણમાં $i$ ની કિંમત મૂકતા:
$E = \left( \frac{2E}{R + r_1 + r_2} \right) r_1$
$1 = \frac{2r_1}{R + r_1 + r_2}$
$R + r_1 + r_2 = 2r_1$
$R = 2r_1 - r_1 - r_2$
$R = r_1 - r_2$.

(D) કોષો શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે. પરિપથનો કુલ $emf$ એ વ્યક્તિગત $emf$ નો સરવાળો છે: $E_{total} = E_1 + E_2 + E_3 + ... + E_N$.
આપેલ છે કે $E_N = 1.5\, r_N$,તેથી આપણે લખી શકીએ $E_{total} = 1.5\, r_1 + 1.5\, r_2 + ... + 1.5\, r_N = 1.5(r_1 + r_2 + ... + r_N)$.
પરિપથનો કુલ આંતરિક અવરોધ $R_{total} = r_1 + r_2 + r_3 + ... + r_N$ છે.
ઓમના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,પરિપથમાં પ્રવાહ $I = \frac{E_{total}}{R_{total}}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$I = \frac{1.5(r_1 + r_2 + ... + r_N)}{(r_1 + r_2 + ... + r_N)} = 1.5\, A$.

(B) ધારો કે $n$ એ ખોટી રીતે જોડાયેલા કોષોની સંખ્યા છે.
મદદ કરતા કોષોની સંખ્યા = $(12 - n)$.
વિરોધ કરતા કોષોની સંખ્યા = $n$.
$12$ કોષોનું પરિણામી $emf$ = $(12 - n)E - nE = (12 - 2n)E$.
$12$ કોષોનો કુલ અવરોધ = $12r$.
જ્યારે બે વધારાના કોષો બેટરીને મદદ કરે છે,ત્યારે કુલ $emf$ $(12 - 2n)E + 2E = (14 - 2n)E$ થાય છે અને કુલ અવરોધ $14r$ થાય છે.
આપેલ પ્રવાહ $I_1 = 3 \, A$ હોવાથી,$\frac{(14 - 2n)E}{14r} = 3$ --- $(i)$.
જ્યારે બે વધારાના કોષો બેટરીનો વિરોધ કરે છે,ત્યારે કુલ $emf$ $(12 - 2n)E - 2E = (10 - 2n)E$ થાય છે અને કુલ અવરોધ $14r$ થાય છે.
આપેલ પ્રવાહ $I_2 = 2 \, A$ હોવાથી,$\frac{(10 - 2n)E}{14r} = 2$ --- $(ii)$.
$(i)$ ને $(ii)$ વડે ભાગતા:
$\frac{14 - 2n}{10 - 2n} = \frac{3}{2}$
$28 - 4n = 30 - 6n$
$2n = 2 \implies n = 1$.
આમ,ખોટી રીતે જોડાયેલા કોષોની સંખ્યા $1$ છે.

(D) જ્યારે '$n$' સમાન કોષો,દરેક '$E$' ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ અને '$r$' આંતરિક અવરોધ ધરાવતા,શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોય,ત્યારે બેટરીનું કુલ ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ '$nE$' અને કુલ આંતરિક અવરોધ '$nr$' થાય છે.
જ્યારે બેટરીના ટર્મિનલ્સ શોર્ટ-સર્કિટ કરવામાં આવે છે,ત્યારે બાહ્ય અવરોધ શૂન્ય હોય છે.
ઓહ્મના નિયમ મુજબ,સર્કિટમાંથી વહેતો પ્રવાહ '$i$' નીચે મુજબ છે:
$i = \frac{\text{Total EMF}}{\text{Total Resistance}} = \frac{nE}{nr} = \frac{E}{r}$
આમ,'$E$' અને '$r$' અચળ હોવાથી,પ્રવાહ '$i$' એ કોષોની સંખ્યા '$n$' પર આધારિત નથી.
તેથી,'$i$' અને '$n$' વચ્ચેનો સંબંધ દર્શાવતો આલેખ '$n$-અક્ષ' ને સમાંતર એક આડી સીધી રેખા છે.
આ આલેખ $D$ ને અનુરૂપ છે.

(B) $E = 2\,V$ અને આંતરિક અવરોધ $r = 1.0\,\Omega$ ધરાવતી બે સમાન બેટરીઓ માટે, આપણે તેમને શ્રેણી અથવા સમાંતર જોડાણમાં જોડી શકીએ છીએ.
કિસ્સો $1$: શ્રેણી જોડાણ.
કુલ $e.m.f.$ $E_{eq} = 2E = 4\,V$.
કુલ આંતરિક અવરોધ $r_{eq} = 2r = 2.0\,\Omega$.
પ્રવાહ $I = E_{eq} / (R + r_{eq}) = 4 / (0.5 + 2.0) = 4 / 2.5 = 1.6\,A$.
પાવર $P = I^2 R = (1.6)^2 \times 0.5 = 2.56 \times 0.5 = 1.28\,W$.
કિસ્સો $2$: સમાંતર જોડાણ.
કુલ $e.m.f.$ $E_{eq} = E = 2\,V$.
કુલ આંતરિક અવરોધ $r_{eq} = r/2 = 0.5\,\Omega$.
પ્રવાહ $I = E_{eq} / (R + r_{eq}) = 2 / (0.5 + 0.5) = 2 / 1.0 = 2.0\,A$.
પાવર $P = I^2 R = (2.0)^2 \times 0.5 = 4.0 \times 0.5 = 2.0\,W$.
બંને કિસ્સાઓની સરખામણી કરતા, મહત્તમ પાવર $2.0\,W$ મળે છે.

(A) આદર્શ કોષને એવા વિદ્યુતચાલક બળ $(EMF)$ ના સ્ત્રોત તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જેનો આંતરિક અવરોધ શૂન્ય હોય છે.
વાસ્તવિક કોષમાં,જ્યારે તેમાંથી વિદ્યુતપ્રવાહ વહે છે ત્યારે આંતરિક અવરોધને કારણે પોટેન્શિયલ ડ્રોપ (વોલ્ટેજમાં ઘટાડો) થાય છે.
આદર્શ કોષ માટે,આંતરિક અવરોધ $r$ નું મૂલ્ય $0 \ \Omega$ હોય છે,જેનો અર્થ છે કે કોષની અંદર કોઈ ઉર્જાનો વ્યય થતો નથી.

(D) રાસાયણિક ઉર્જા વપરાશનો દર એ પરિપથમાં વ્યય થતા કુલ પાવર જેટલો હોય છે,જેમાં બાહ્ય અવરોધ અને કોષનો આંતરિક અવરોધ બંનેનો સમાવેશ થાય છે.
કુલ અવરોધ $R_{total} = R_{external} + r_{internal} = 21\,\Omega + 4\,\Omega = 25\,\Omega$.
પ્રવાહ $I = 0.2\,A$.
ઉર્જા વપરાશનો દર (પાવર) $P = I^2 \times R_{total}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$P = (0.2)^2 \times 25 = 0.04 \times 25 = 1\,J/s$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) બેટરી ચાર્જિંગમાં વિદ્યુત ઊર્જાનું રાસાયણિક ઊર્જામાં રૂપાંતર થાય છે.
જ્યારે મોટર કારની લેડ-એસિડ બેટરી (સેકન્ડરી સેલ) માંથી બાહ્ય વિદ્યુત પ્રવાહ પસાર કરવામાં આવે છે,ત્યારે તે ડિસ્ચાર્જિંગ દરમિયાન થતી રાસાયણિક પ્રક્રિયાને ઉલટાવે છે.
આ પ્રક્રિયા વિદ્યુત પ્રવાહની રાસાયણિક અસર પર આધારિત છે,જેમાં આયનો ઇલેક્ટ્રોડ પર જઈને ઓક્સિડેશન અને રિડક્શન પ્રક્રિયાઓ કરે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) સાચો જવાબ $A$ છે. લુઈગી ગાલવાની તે વૈજ્ઞાનિક હતા જેમણે અવલોકન કર્યું હતું કે રાસાયણિક પ્રક્રિયાઓ દ્વારા વિદ્યુત અસરો ઉત્પન્ન થઈ શકે છે, ખાસ કરીને દેડકાના પગ પરના તેમના પ્રયોગોમાં. આ અવલોકને તે સમજણનો પાયો નાખ્યો કે રાસાયણિક ફેરફારો વીજળી ઉત્પન્ન કરી શકે છે, જે અંતે એલેસાન્ડ્રો વોલ્ટા દ્વારા વોલ્ટેઇક પાઈલની શોધ તરફ દોરી ગયું.

(B) $EMF$ $\varepsilon$ અને આંતરિક અવરોધ $r$ ધરાવતા કોષ માટે ટર્મિનલ સ્થિતિમાનનો તફાવત $V$,જ્યારે કોષ ડિસ્ચાર્જ થઈ રહ્યો હોય (પ્રવાહ $I$ ધન ટર્મિનલમાંથી બહાર નીકળતો હોય) ત્યારે $V = \varepsilon - Ir$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે કોષ ચાર્જ થઈ રહ્યો હોય (પ્રવાહ $I$ ધન ટર્મિનલમાં પ્રવેશતો હોય),ત્યારે ટર્મિનલ સ્થિતિમાનનો તફાવત $V = \varepsilon + Ir$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિકલ્પ $a$ માં,પ્રવાહ $I$ ધન ટર્મિનલમાંથી બહાર નીકળે છે,તેથી $V = \varepsilon - Ir < \varepsilon$.
વિકલ્પ $b$ માં,પ્રવાહ $I$ ધન ટર્મિનલમાં પ્રવેશ કરે છે,તેથી $V = \varepsilon + Ir > \varepsilon$.
વિકલ્પ $c$ માં,કોઈ પ્રવાહ નથી,તેથી $V = \varepsilon$.
વિકલ્પ $d$ માં,પ્રવાહ $I$ ધન ટર્મિનલમાંથી બહાર નીકળે છે,તેથી $V = \varepsilon - Ir < \varepsilon$.
તેથી,કિસ્સા $b$ માં સ્થિતિમાનનો તફાવત તેના $EMF$ કરતા વધારે છે.

(C) $e.m.f.$ એટલે ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ (electromotive force). તેના નામમાં 'બળ' હોવા છતાં,તે વાસ્તવમાં કોઈ બળ નથી. તેને કોષની અંદર એકમ ધન વિદ્યુતભારને નીચા સ્થિતિમાનના ટર્મિનલથી ઊંચા સ્થિતિમાનના ટર્મિનલ સુધી લઈ જવા માટે બિન-સ્થિત વિદ્યુત સ્ત્રોત દ્વારા કરવામાં આવતા કાર્ય તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. તેથી,$e.m.f.$ એ એકમ વિદ્યુતભાર દીઠ કરવામાં આવતા કાર્યને સમકક્ષ છે,જે વોલ્ટ $(J/C)$ માં માપવામાં આવે છે. આમ,તે કાર્ય દર્શાવે છે.

(A) $E_1, E_2$ $e.m.f.$ અને $r_1, r_2$ આંતરિક અવરોધ ધરાવતી બે બેટરીઓને સમાંતરમાં જોડતા,સમતુલ્ય $e.m.f.$ $E_{eq}$ નું સૂત્ર $E_{eq} = \frac{E_1 r_2 + E_2 r_1}{r_1 + r_2}$ છે.
આ કિંમત $E_{eq}$ હંમેશા $E_1$ અને $E_2$ ની વચ્ચે હોય છે,જેનો અર્થ છે કે તે મોટા $e.m.f.$ કરતા ઓછું અને નાના $e.m.f.$ કરતા વધારે હોય છે. તેથી,વિધાન $(i)$ સાચું છે.
સમાંતર જોડાણ માટે સમતુલ્ય આંતરિક અવરોધ $r_{eq}$ નું સૂત્ર $\frac{1}{r_{eq}} = \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $r_{eq} = \frac{r_1 r_2}{r_1 + r_2}$.
ચોક્કસપણે $r_{eq} = \frac{r_1 r_2}{r_1 + r_2}$ હોવાથી,તે સાબિત થાય છે કે $r_{eq} < r_1$ અને $r_{eq} < r_2$. તેથી,વિધાન $(ii)$ પણ સાચું છે.

(B) ધારો કે $8$ કોષો એક બંધ પરિપથમાં શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે.
પરિપથનું કુલ વિદ્યુતચાલક બળ $E_{total} = 8E$ છે.
પરિપથનો કુલ આંતરિક અવરોધ $R_{total} = 8r$ છે.
ઓહ્મના નિયમ મુજબ,પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ $i = \frac{E_{total}}{R_{total}} = \frac{8E}{8r} = \frac{E}{r}$ છે.
$2$ કોષોના છેડે જોડેલું આદર્શ વોલ્ટમીટર તેમની વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ માપે છે.
શ્રેણીમાં જોડાયેલા $2$ કોષો વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = 2E - 2(ir)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમીકરણમાં $i = \frac{E}{r}$ ની કિંમત મૂકતા:
$V = 2E - 2(\frac{E}{r} \cdot r) = 2E - 2E = 0$.
તેથી,વોલ્ટમીટર $0$ અવલોકન બતાવશે.

(D) શ્રેણી જોડાણનો કુલ $emf$ $E_{net} = E + E = 2E$ છે.
પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{total} = R + R_1 + R_2$ છે.
પરિપથમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{E_{net}}{R_{total}} = \frac{2E}{R + R_1 + R_2}$ છે.
આંતરિક અવરોધ $R_2$ ધરાવતા ઉદગમ માટે સ્થિતિમાનનો તફાવત $V = E - IR_2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે આ ઉદગમ માટે સ્થિતિમાનનો તફાવત શૂન્ય છે,તેથી $E - IR_2 = 0$,જેનો અર્થ છે કે $E = IR_2$.
આ સમીકરણમાં $I$ ની કિંમત મૂકતા:
$E = \left( \frac{2E}{R + R_1 + R_2} \right) R_2$.
બંને બાજુ $E$ વડે ભાગતા ($E \neq 0$ ધારીને):
$1 = \frac{2R_2}{R + R_1 + R_2}$.
$R + R_1 + R_2 = 2R_2$.
$R = 2R_2 - R_2 - R_1$.
$R = R_2 - R_1$.

(B) બે કોષો શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે. પરિપથનો કુલ $emf$ $E + E = 2E$ છે.
પરિપથનો કુલ અવરોધ $R + R_1 + R_2$ છે.
પરિપથમાંથી વહેતો પ્રવાહ $i$ એ $i = \frac{2E}{R + R_1 + R_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$R_2$ આંતરિક અવરોધ ધરાવતા કોષની બે છેડે સ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ એ $V = E - i R_2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $V = 0$,તેથી $0 = E - i R_2$,જેનો અર્થ છે કે $E = i R_2$.
આ સમીકરણમાં $i$ ની કિંમત મૂકતા:
$E = \left( \frac{2E}{R + R_1 + R_2} \right) R_2$
$1 = \frac{2 R_2}{R + R_1 + R_2}$
$R + R_1 + R_2 = 2 R_2$
$R = R_2 - R_1$.

(B) $N$ સમાન કોષો શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોય ત્યારે,કુલ $EMF$ $NE$ અને કુલ આંતરિક અવરોધ $Nr$ થાય છે. વિદ્યુત પ્રવાહ $I_s = \frac{NE}{Nr + R}$ દ્વારા મળે છે.
$N$ સમાન કોષો સમાંતરમાં જોડાયેલા હોય ત્યારે,કુલ $EMF$ $E$ અને કુલ આંતરિક અવરોધ $r/N$ થાય છે. વિદ્યુત પ્રવાહ $I_p = \frac{E}{r/N + R} = \frac{NE}{r + NR}$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે કે $I_s = I_p$,તેથી $\frac{NE}{Nr + R} = \frac{NE}{r + NR}$.
આનો અર્થ એ થાય કે $Nr + R = r + NR$.
પદોને ગોઠવતા: $Nr - r = NR - R$.
$r(N - 1) = R(N - 1)$.
$N \neq 1$ હોવાથી,આપણને $r = R$ મળે છે.