Meter Bridge Questions in Gujarati

(C) મીટર બ્રિજમાં,સંતુલન સ્થિતિ $\frac{P}{Q} = \frac{l}{100-l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $P$ અને $Q$ એ બે ગેપમાં રહેલા અવરોધો છે અને $l$ એ સંતુલન લંબાઈ છે.
કિસ્સો $1$: $R_1$ ને $10 \,\Omega$ સાથે શ્રેણીમાં એક ગેપમાં અને $R_2$ ને બીજા ગેપમાં જોડવામાં આવે છે. સંતુલન બિંદુ $50 \, cm$ પર છે.
$\frac{R_1 + 10}{R_2} = \frac{50}{100-50} = \frac{50}{50} = 1$
$\Rightarrow R_2 = R_1 + 10$ --- (સમીકરણ $1$)
કિસ્સો $2$: $10 \,\Omega$ નો અવરોધ દૂર કરવામાં આવે છે,તેથી પ્રથમ ગેપમાં માત્ર $R_1$ રહે છે. સંતુલન બિંદુ $40 \, cm$ પર ખસે છે.
$\frac{R_1}{R_2} = \frac{40}{100-40} = \frac{40}{60} = \frac{2}{3}$
$\Rightarrow 3R_1 = 2R_2$ --- (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $1$ ને સમીકરણ $2$ માં મૂકતા:
$3R_1 = 2(R_1 + 10)$
$3R_1 = 2R_1 + 20$
$R_1 = 20 \,\Omega$.

(A) મીટર બ્રિજના પ્રયોગમાં,એવું માનવામાં આવે છે કે $L$-આકારની કોપર પટ્ટીઓનો અવરોધ નગણ્ય છે,પરંતુ વાસ્તવમાં તેમાં થોડો અવરોધ હોય છે.
આના કારણે જે ભૂલ સર્જાય છે તેને એન્ડ એરર (છેડાની ભૂલ) કહેવામાં આવે છે.
આ ભૂલને દૂર કરવા માટે,જાણીતા અવરોધ (રેઝિસ્ટન્સ બોક્સમાંથી) અને અજ્ઞાત અવરોધની અદલાબદલી કરવામાં આવે છે અને છેડાના અવરોધની અસરને દૂર કરવા માટે બંને રીડિંગની સરેરાશ લેવામાં આવે છે.

(A) મીટર બ્રિજ એ વ્હીટસ્ટોન બ્રિજના સિદ્ધાંત પર કાર્ય કરે છે.
જ્યારે નલ પોઈન્ટ વાયરના કેન્દ્રમાં હોય, ત્યારે બે ગેપમાં રહેલા અવરોધોનો ગુણોત્તર વાયરના બે ભાગોની લંબાઈના ગુણોત્તર જેટલો હોય છે.
નલ પોઈન્ટ કેન્દ્રમાં હોવાથી, બંને લંબાઈ સમાન છે, એટલે કે $l_1 = l_2 = 50\, cm$.
વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ માટે સંતુલનની શરત $\frac{P}{Q} = \frac{l_1}{l_2}$ છે.
અહીં $P = 10\, \Omega$ અને $l_1 = l_2$ આપેલ હોવાથી, $\frac{10}{Q} = \frac{50}{50} = 1$ મળે.
તેથી, $Q = 10\, \Omega$.

(D) મીટર બ્રિજમાં,સંતુલન સ્થિતિનું સૂત્ર $\frac{X}{R} = \frac{l}{100 - l}$ છે,જ્યાં $X$ એ અજ્ઞાત અવરોધ છે,$R$ એ જાણીતો અવરોધ છે અને $l$ એ ડાબી બાજુથી સંતુલન લંબાઈ છે.
આપેલ છે: $R = 1 \, \Omega$ અને $l = 20 \, cm$.
તારની કુલ લંબાઈ $100 \, cm$ છે,તેથી બાકીની લંબાઈ $100 - 20 = 80 \, cm$ થાય.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $\frac{X}{1} = \frac{20}{80}$.
અપૂર્ણાંકનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{X}{1} = \frac{1}{4}$.
તેથી,$X = 0.25 \, \Omega$.

(C) તારના ભાગો $AC$ અને $CB$ ના અવરોધ નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$R_{AC} = 0.1 \, \Omega/cm \times 40 \, cm = 4 \, \Omega$
$R_{CB} = 0.1 \, \Omega/cm \times 60 \, cm = 6 \, \Omega$
વ્હીટસ્ટોન બ્રિજની સંતુલિત અવસ્થામાં, અવરોધોનો ગુણોત્તર સમાન હોય છે:
$\frac{X}{6 \, \Omega} = \frac{R_{AC}}{R_{CB}} = \frac{4 \, \Omega}{6 \, \Omega}$
$\frac{X}{6} = \frac{4}{6} \implies X = 4 \, \Omega$
પરિપથનો કુલ અવરોધ એ બે સમાંતર શાખાઓનો સરવાળો છે:
શાખા $1$: $X + 6 \, \Omega = 4 \, \Omega + 6 \, \Omega = 10 \, \Omega$
શાખા $2$: $R_{AC} + R_{CB} = 4 \, \Omega + 6 \, \Omega = 10 \, \Omega$
આ બે શાખાઓ સમાંતરમાં હોવાથી, સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ છે:
$R_{eq} = \frac{10 \, \Omega \times 10 \, \Omega}{10 \, \Omega + 10 \, \Omega} = 5 \, \Omega$
બેટરીમાંથી ખેંચાતો પ્રવાહ $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{5 \, V}{5 \, \Omega} = 1.0 \, A$ છે।
આમ, $X = 4 \, \Omega$ અને $I = 1.0 \, A$ મળે છે.

(D) મીટર બ્રિજ માટે સંતુલન સ્થિતિ $\frac{R}{S} = \frac{l}{100-l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $R$ અને $S$ એ બે ગેપમાં રહેલા અવરોધો છે અને $l$ એ ડાબી બાજુથી સંતુલન લંબાઈ છે.
શરૂઆતમાં, $R = 10 \, \Omega$ અને $S = 30 \, \Omega$ છે. તેથી, $\frac{10}{30} = \frac{l_1}{100-l_1} \Rightarrow 100 - l_1 = 3l_1 \Rightarrow 4l_1 = 100 \Rightarrow l_1 = 25 \, cm$.
અવરોધોની અદલાબદલી કર્યા પછી, $R = 30 \, \Omega$ અને $S = 10 \, \Omega$ થાય છે. તેથી, $\frac{30}{10} = \frac{l_2}{100-l_2} \Rightarrow 3(100 - l_2) = l_2 \Rightarrow 300 - 3l_2 = l_2 \Rightarrow 4l_2 = 300 \Rightarrow l_2 = 75 \, cm$.
સંતુલન બિંદુમાં થતું સ્થાનાંતર $|l_2 - l_1| = |75 - 25| = 50 \, cm$ છે.

(A) મીટર બ્રિજમાં,સંતુલન સ્થિતિ $\frac{R_1}{R_2} = \frac{l}{100 - l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે,$\frac{X}{Y} = \frac{20}{100 - 20} = \frac{20}{80} = \frac{1}{4}$.
તેથી,$\frac{X}{Y} = \frac{1}{4}$,જેનો અર્થ છે કે $Y = 4X$.
બીજા કિસ્સામાં,આપણે $4X$ ને $Y$ ની સામે સંતુલિત કરીએ છીએ. ધારો કે નવું નલ પોઈન્ટ $l \ cm$ પર છે.
તો,$\frac{4X}{Y} = \frac{l}{100 - l}$.
સમીકરણમાં $Y = 4X$ મૂકતા,આપણને મળે છે $\frac{4X}{4X} = \frac{l}{100 - l}$.
$1 = \frac{l}{100 - l} \Rightarrow 100 - l = l \Rightarrow 2l = 100 \Rightarrow l = 50 \ cm$.

(C) ધારો કે $R$ એ નાનો અવરોધ છે અને $S$ એ મોટો અવરોધ છે જે મીટર બ્રિજના બે ગેપમાં જોડાયેલ છે.
મીટર બ્રિજના સિદ્ધાંત મુજબ,સંતુલન સ્થિતિ $\frac{R}{S} = \frac{l}{100 - l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $l = 20 \ cm$,તેથી $\frac{R}{S} = \frac{20}{100 - 20} = \frac{20}{80} = \frac{1}{4}$.
તેથી,$S = 4R$ ..... $(i)$
જ્યારે $15 \ \Omega$ નો અવરોધ નાના અવરોધ $R$ સાથે શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે નવો અવરોધ $(R + 15) \ \Omega$ થાય છે.
નવું સંતુલન બિંદુ $l' = 40 \ cm$ પર છે.
ફરીથી સંતુલન સ્થિતિ લાગુ કરતા: $\frac{R + 15}{S} = \frac{40}{100 - 40} = \frac{40}{60} = \frac{2}{3}$.
સમીકરણ $(i)$ માંથી $S = 4R$ ની કિંમત આ સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{R + 15}{4R} = \frac{2}{3}$
$3(R + 15) = 2(4R)$
$3R + 45 = 8R$
$5R = 45$
$R = 9 \ \Omega$.

(A) મીટર બ્રિજમાં,સંતુલન સ્થિતિ અવરોધોના ગુણોત્તર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{R_1}{R_2} = \frac{R_{AC}}{R_{CB}}$.
અહીં,$R_{AC}$ એ તારના ભાગ $AC$ નો અવરોધ છે અને $R_{CB}$ એ તારના ભાગ $CB$ નો અવરોધ છે.
તારનો અવરોધ $R = \rho \frac{L}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\rho$ એ અવરોધકતા છે,$L$ એ લંબાઈ છે,અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
આને સંતુલન સ્થિતિમાં મૂકતા: $\frac{R_1}{R_2} = \frac{\rho (x) / A}{\rho (100-x) / A} = \frac{x}{100-x}$.
આમ,આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ અંશ અને છેદમાંથી રદ થઈ જાય છે,તેથી સંતુલન લંબાઈ $x$ માત્ર અવરોધો $R_1$ અને $R_2$ ના ગુણોત્તર પર આધાર રાખે છે.
તેથી,તાર $AB$ ની ત્રિજ્યા બદલવાથી સંતુલન લંબાઈ $x$ પર કોઈ અસર થતી નથી.

(A) મીટરબ્રીજમાં,શૂન્ય વિચલન બિંદુની સ્થિતિ વ્હીટસ્ટોન બ્રિજના સિદ્ધાંત દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{R_1}{R_2} = \frac{P}{Q}$,જ્યાં $P$ અને $Q$ એ જોકી દ્વારા વિભાજિત $AB$ તારના બે ભાગોના અવરોધ છે.
ધારો કે તારનો એકમ લંબાઈ દીઠ અવરોધ $\sigma$ છે. જો તારની કુલ લંબાઈ $L = 100 \ cm$ હોય,તો $P = \sigma x$ અને $Q = \sigma (L - x)$ થાય.
આથી શરત $\frac{R_1}{R_2} = \frac{\sigma x}{\sigma (L - x)} = \frac{x}{L - x}$ બને છે.
અહીં એકમ લંબાઈ દીઠ અવરોધ $\sigma = \frac{\rho}{A}$ (જ્યાં $\rho$ એ અવરોધકતા છે અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે),તેથી $\sigma$ ગુણોત્તરમાંથી ઉડી જાય છે.
આમ,શૂન્ય વિચલન બિંદુ $x$ એ $AB$ તારની ત્રિજ્યા (અને તેથી આડછેદના ક્ષેત્રફળ) પર આધારિત નથી.
તેથી,જો તારની ત્રિજ્યા બમણી કરવામાં આવે,તો પણ શૂન્ય વિચલન બિંદુ $x$ પર જ રહેશે.

(A) મીટર બ્રીજમાં,સંતુલન સ્થિતિ $\frac{R_1}{R_2} = \frac{l_1}{100 - l_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રારંભિક સ્થિતિ મુજબ,$\frac{X}{Y} = \frac{20}{100 - 20} = \frac{20}{80} = \frac{1}{4}$.
તેથી,$Y = 4X$.
હવે,આપણે $X$ ને $4X$ વડે બદલીએ છીએ અને તેને $Y$ સાથે સંતુલિત કરીએ છીએ. ધારો કે નવું તટસ્થ બિંદુ $l$ અંતરે છે.
નવી સ્થિતિ $\frac{4X}{Y} = \frac{l}{100 - l}$ છે.
સમીકરણમાં $Y = 4X$ મૂકતા,આપણને $\frac{4X}{4X} = \frac{l}{100 - l}$ મળે છે.
$1 = \frac{l}{100 - l}$.
$100 - l = l$.
$2l = 100$.
$l = 50 \ cm$.

(A) મીટર બ્રિજમાં,જ્યારે ગેલ્વેનોમીટર શૂન્ય આવર્તન દર્શાવે ત્યારે બ્રિજ સંતુલિત હોય છે,જેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\frac{R_1}{R_2} = \frac{l}{100 - l}$
અહીં,$R_1 = 55 \, \Omega$,$R_2 = R$,અને સંતુલન લંબાઈ $l = 20 \, \text{cm}$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{55}{R} = \frac{20}{100 - 20}$
$\frac{55}{R} = \frac{20}{80}$
$\frac{55}{R} = \frac{1}{4}$
$R = 55 \times 4 = 220 \, \Omega$
તેથી,અજ્ઞાત અવરોધ $R$ નું મૂલ્ય $220 \, \Omega$ છે.

(A) મીટર બ્રીજ માટે,સંતુલન સ્થિતિ $\frac{X}{Y} = \frac{l}{100 - l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $l = 20 \ cm$,તેથી $\frac{X}{Y} = \frac{20}{100 - 20} = \frac{20}{80} = \frac{1}{4}$.
હવે,જો $X$ ના સ્થાને $4X$ મૂકવામાં આવે,તો ધારો કે નવું શૂન્ય બિંદુ $l'$ છે.
નવી સ્થિતિ $\frac{4X}{Y} = \frac{l'}{100 - l'}$ થશે.
$\frac{X}{Y} = \frac{1}{4}$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $4 \times \frac{1}{4} = \frac{l'}{100 - l'}$ મળે છે.
$1 = \frac{l'}{100 - l'} \Rightarrow 100 - l' = l' \Rightarrow 2l' = 100$.
તેથી,$l' = 50 \ cm$.

(C) મીટરબ્રીજમાં સંતુલન સ્થિતિ માટેનું સૂત્ર $\frac{R_1}{R_2} = \frac{l_1}{100 - l_1}$ છે.
$R_1 = 10 \, \Omega$ અને $R_2 = 30 \, \Omega$ મૂકતા:
$\frac{10}{30} = \frac{l_1}{100 - l_1} \implies 100 - l_1 = 3l_1 \implies 4l_1 = 100 \implies l_1 = 25 \, \text{cm}$.
હવે,અવરોધોની અદલાબદલી કરતા $R_1 = 30 \, \Omega$ અને $R_2 = 10 \, \Omega$ મળે છે.
$\frac{30}{10} = \frac{l_2}{100 - l_2} \implies 3(100 - l_2) = l_2 \implies 300 - 3l_2 = l_2 \implies 4l_2 = 300 \implies l_2 = 75 \, \text{cm}$.
તટસ્થ બિંદુમાં થતું સ્થાનાંતર $|l_2 - l_1| = |75 - 25| = 50 \, \text{cm}$ થશે.

(B) પ્રથમ કિસ્સામાં,સંતુલન બિંદુએ:
$\frac{5}{R} = \frac{l_1}{100 - l_1}$ $....(i)$
બીજા કિસ્સામાં,અવરોધ $R$ ને સમાન અવરોધ $R$ સાથે શંટ કરવામાં આવે છે,તેથી સમતુલ્ય અવરોધ $R' = \frac{R \times R}{R + R} = \frac{R}{2}$ થાય છે.
નવું સંતુલન બિંદુ $1.6\,l_1$ પર છે. તેથી,સંતુલન બિંદુએ:
$\frac{5}{R/2} = \frac{1.6\,l_1}{100 - 1.6\,l_1}$ $....(ii)$
સમીકરણ $(i)$ ને સમીકરણ $(ii)$ વડે ભાગતા:
$\frac{5/R}{5/(R/2)} = \frac{l_1 / (100 - l_1)}{1.6\,l_1 / (100 - 1.6\,l_1)}$
$\frac{1}{2} = \frac{l_1}{100 - l_1} \times \frac{100 - 1.6\,l_1}{1.6\,l_1}$
$\frac{1}{2} = \frac{100 - 1.6\,l_1}{1.6(100 - l_1)}$
$0.8(100 - l_1) = 100 - 1.6\,l_1$
$80 - 0.8\,l_1 = 100 - 1.6\,l_1$
$0.8\,l_1 = 20$
$l_1 = 25\,cm$
$l_1 = 25\,cm$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$\frac{5}{R} = \frac{25}{100 - 25} = \frac{25}{75} = \frac{1}{3}$
$R = 15\,\Omega$.

(A) મીટર બ્રિજમાં,અજ્ઞાત અવરોધ શોધવા માટે વ્હીટસ્ટોન બ્રિજના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ થાય છે.
આ સિદ્ધાંત મુજબ,ડાબી બાજુના અવરોધ $(P)$ અને જમણી બાજુના અવરોધ $(Q)$ નો ગુણોત્તર એ તારના ડાબી બાજુના લંબાઈના ભાગ $(l)$ અને જમણી બાજુના લંબાઈના ભાગ $(100 - l)$ ના ગુણોત્તર જેટલો હોય છે.
અહીં,સંતુલન બિંદુ $l = 35 \ cm$ પર છે.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{P}{Q} = \frac{l}{100 - l}$ થશે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{P}{Q} = \frac{35}{100 - 35} = \frac{35}{65}$.
અંશ અને છેદને $5$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{7}{13}$ મળે છે.
આમ,ગુણોત્તર $7 : 13$ છે.

(A) મીટર બ્રિજ માટે,સંતુલન સ્થિતિ $\frac{R_1}{R_2} = \frac{l}{100-l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $l$ એ છેડા $A$ થી અંતર છે.
પ્રથમ કિસ્સામાં,$l = 40\,cm$:
$\frac{R_1}{R_2} = \frac{40}{100-40} = \frac{40}{60} = \frac{2}{3}$
$R_1 = \frac{2}{3} R_2$ ... $(1)$
બીજા કિસ્સામાં,$R_2$ ને $10\, \Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતરમાં જોડતા,નવો અવરોધ $R_2' = \frac{10 R_2}{10 + R_2}$ થાય છે. નવું સંતુલન બિંદુ $l' = 50\,cm$ છે:
$\frac{R_1}{R_2'} = \frac{50}{100-50} = \frac{50}{50} = 1$
$R_1 = R_2' = \frac{10 R_2}{10 + R_2}$ ... $(2)$
$(1)$ અને $(2)$ ને સરખાવતા:
$\frac{2}{3} R_2 = \frac{10 R_2}{10 + R_2}$
$2(10 + R_2) = 30$
$20 + 2 R_2 = 30$
$2 R_2 = 10$
$R_2 = 5\, \Omega$
$R_2 = 5\, \Omega$ ને $(1)$ માં મૂકતા:
$R_1 = \frac{2}{3} \times 5 = \frac{10}{3}\, \Omega$
આમ,$R_1 = \frac{10}{3}\, \Omega$ અને $R_2 = 5\, \Omega$ છે.

(B) મીટર બ્રિજ માટે સંતુલન સ્થિતિ નીચે મુજબ છે:
$\frac{X}{R} = \frac{l_1}{100 - l_1}$
પ્રારંભિક કિસ્સા માટે જ્યાં $X = 12\,\Omega$ અને $R = 18\,\Omega$ છે:
$\frac{12}{18} = \frac{l_1}{100 - l_1}$
$\frac{2}{3} = \frac{l_1}{100 - l_1}$
$200 - 2l_1 = 3l_1$
$5l_1 = 200$
$l_1 = 40\, cm$
હવે,$R$ ને બદલીને $8\,\Omega$ કરવામાં આવે છે. ધારો કે નવી સંતુલન લંબાઈ $l_2$ છે:
$\frac{12}{8} = \frac{l_2}{100 - l_2}$
$\frac{3}{2} = \frac{l_2}{100 - l_2}$
$300 - 3l_2 = 2l_2$
$5l_2 = 300$
$l_2 = 60\, cm$
જોકી $J$ ને જે અંતરે ખસેડવો પડે તે:
$\Delta l = l_2 - l_1 = 60\, cm - 40\, cm = 20\, cm$

(C) મીટર બ્રિજમાં,સંતુલન સ્થિતિ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{P}{Q} = \frac{l_1}{l_2}$,જ્યાં $P$ અને $Q$ એ બે ગેપમાં રહેલા અવરોધો છે,અને $l_1$ અને $l_2$ એ તારની અનુરૂપ લંબાઈ છે.
આપેલ છે,$P = 55 \, \Omega$ અને $l_1 = 20 \, \text{cm}$.
મીટર બ્રિજના તારની કુલ લંબાઈ $100 \, \text{cm}$ છે,તેથી $l_2 = 100 - 20 = 80 \, \text{cm}$.
આ કિંમતોને સંતુલન સ્થિતિના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{55}{R} = \frac{20}{80}$
$\frac{55}{R} = \frac{1}{4}$
$R = 55 \times 4 = 220 \, \Omega$.

(B) ધારો કે અવરોધો $R_1$ અને $R_2$ છે. આપેલ છે કે $R_1 + R_2 = 1000 \, \Omega$.
પ્રથમ કિસ્સામાં,સંતુલન બિંદુ ડાબી બાજુથી $l$ લંબાઈ પર છે:
$\frac{R_1}{R_2} = \frac{l}{100-l} \implies \frac{R_1}{1000-R_1} = \frac{l}{100-l} \quad ... (i)$
અવરોધોની અદલાબદલી કર્યા પછી,સંતુલન બિંદુ $10 \, cm$ ડાબી તરફ ખસે છે,તેથી નવી સંતુલન લંબાઈ $(l-10) \, cm$ છે:
$\frac{R_2}{R_1} = \frac{l-10}{100-(l-10)} = \frac{l-10}{110-l} \quad ... (ii)$
$(i)$ પરથી,$\frac{R_2}{R_1} = \frac{100-l}{l}$. આને $(ii)$ માં મૂકતા:
$\frac{100-l}{l} = \frac{l-10}{110-l}$
$(100-l)(110-l) = l(l-10)$
$11000 - 100l - 110l + l^2 = l^2 - 10l$
$11000 = 200l \implies l = 55 \, cm$.
$l = 55$ ને $(i)$ માં મૂકતા:
$\frac{R_1}{1000-R_1} = \frac{55}{100-55} = \frac{55}{45} = \frac{11}{9}$
$9R_1 = 11000 - 11R_1$
$20R_1 = 11000 \implies R_1 = 550 \, \Omega$.

(B) મીટર બ્રિજમાં,સંતુલન સ્થિતિ $\frac{R}{S} = \frac{l_1}{100 - l_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
નલ પોઈન્ટ $D$ પર,$B$ નું પોટેન્શિયલ $D$ ના પોટેન્શિયલ જેટલું હોય છે,તેથી ગેલ્વેનોમીટરમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
જો જોકીને $D$ ની ડાબી બાજુ ખસેડવામાં આવે,તો ડાબા ભાગનો અવરોધ ઘટે છે,જેનાથી $D$ નું પોટેન્શિયલ $B$ કરતા વધી જાય છે. આમ,પ્રવાહ $D$ થી $B$ તરફ વહે છે (એટલે કે વાયરમાંથી $B$ તરફ).
જો જોકીને $D$ ની જમણી બાજુ ખસેડવામાં આવે,તો $D$ નું પોટેન્શિયલ $B$ કરતા ઘટી જાય છે,તેથી પ્રવાહ $B$ થી $D$ તરફ વહે છે (એટલે કે $B$ થી વાયર તરફ).
તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(B) મીટર બ્રિજના પ્રયોગમાં,જ્યારે નલ પોઈન્ટ વાયરના કેન્દ્રની નજીક હોય (એટલે કે $l \approx 50\,cm$) ત્યારે સંવેદનશીલતા સૌથી વધુ હોય છે.
અવલોકનો જોતા:
અવલોકન $1$: $l = 43\,cm$
અવલોકન $2$: $l = 51\,cm$
અવલોકન $3$: $l = 59\,cm$
અવલોકન $4$: $l = 70\,cm$
અવલોકન $2$ $(l = 51\,cm)$ માટે નલ પોઈન્ટ કેન્દ્ર $(50\,cm)$ ની સૌથી નજીક છે.
તેથી,અવલોકન $2$ માં મેળવેલ મૂલ્ય સૌથી સચોટ છે.
આ મૂલ્ય $28.82\,\Omega$ છે.

(A) ધારો કે અજ્ઞાત અવરોધ $X$ છે. મીટર બ્રિજમાં,સંતુલન સ્થિતિ $\frac{R}{X} = \frac{\ell}{100-\ell}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\ell$ એ $cm$ માં સંતુલન લંબાઈ છે.
શરૂઆતમાં,$\frac{2}{X} = \frac{\ell}{100-\ell} \implies X = \frac{2(100-\ell)}{\ell} \quad (1)$
અહીં $X > 2$ હોવાથી,અવરોધોની અદલાબદલી કરતા સંતુલન બિંદુ ખસે છે. નવી સંતુલન સ્થિતિ $\frac{X}{2} = \frac{\ell+20}{100-(\ell+20)} = \frac{\ell+20}{80-\ell} \quad (2)$ છે.
સમીકરણ $(1)$ માંથી $X$ ની કિંમત $(2)$ માં મૂકતા:
$\frac{2(100-\ell)}{\ell} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\ell+20}{80-\ell}$
$\frac{100-\ell}{\ell} = \frac{\ell+20}{80-\ell}$
$(100-\ell)(80-\ell) = \ell(\ell+20)$
$8000 - 100\ell - 80\ell + \ell^2 = \ell^2 + 20\ell$
$8000 = 200\ell \implies \ell = 40\,cm$
હવે,$\ell = 40$ ને સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$X = \frac{2(100-40)}{40} = \frac{2 \times 60}{40} = 3\,\Omega$.

(D) ધારો કે $A$ અને $B$ આગળના અંતિમ સુધારા અનુક્રમે $\alpha$ અને $\beta$ છે. તારની કુલ લંબાઈ $100\,cm$ છે.
કિસ્સો $1$: અવરોધ $P = 15\,\Omega$ ડાબી ગેપમાં અને $Q = 20\,\Omega$ જમણી ગેપમાં છે. તટસ્થ બિંદુ $l_1 = 42\,cm$ પર છે.
સંતુલન શરત: $\frac{P}{Q} = \frac{l_1 + \alpha}{100 - l_1 + \beta}$
$\frac{15}{20} = \frac{42 + \alpha}{100 - 42 + \beta} \Rightarrow \frac{3}{4} = \frac{42 + \alpha}{58 + \beta}$
$3(58 + \beta) = 4(42 + \alpha) \Rightarrow 174 + 3\beta = 168 + 4\alpha \Rightarrow 4\alpha - 3\beta = 6$ ... $(i)$
કિસ્સો $2$: અવરોધોની અદલાબદલી કરતા,$P = 20\,\Omega$ અને $Q = 15\,\Omega$. તટસ્થ બિંદુ $l_2 = 57\,cm$ પર છે.
સંતુલન શરત: $\frac{P}{Q} = \frac{l_2 + \alpha}{100 - l_2 + \beta}$
$\frac{20}{15} = \frac{57 + \alpha}{100 - 57 + \beta} \Rightarrow \frac{4}{3} = \frac{57 + \alpha}{43 + \beta}$
$4(43 + \beta) = 3(57 + \alpha) \Rightarrow 172 + 4\beta = 171 + 3\alpha \Rightarrow 3\alpha - 4\beta = 1$ ... $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ ઉકેલતા:
સમીકરણ $(i)$ ને $4$ વડે અને $(ii)$ ને $3$ વડે ગુણતા:
$16\alpha - 12\beta = 24$
$9\alpha - 12\beta = 3$
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $7\alpha = 21 \Rightarrow \alpha = 3\,cm$.
$\alpha = 3$ ને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા: $4(3) - 3\beta = 6 \Rightarrow 12 - 3\beta = 6 \Rightarrow 3\beta = 6 \Rightarrow \beta = 2\,cm$.
આમ,અંતિમ સુધારા $3\,cm$ અને $2\,cm$ છે.

(A) શરૂઆતમાં,મીટર બ્રિજ માટે સંતુલન સ્થિતિ $\frac{R_1}{R_2} = \frac{\ell}{100 - \ell}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $R_1 = 2 \, \Omega$ અને $R_2 = 3 \, \Omega$,તેથી $\frac{2}{3} = \frac{\ell}{100 - \ell}$.
$2(100 - \ell) = 3\ell \Rightarrow 200 - 2\ell = 3\ell \Rightarrow 5\ell = 200 \Rightarrow \ell = 40 \, cm$.
જ્યારે અવરોધોની અદલાબદલી કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવા અવરોધો $R_1' = 3 \, \Omega$ અને $R_2' = 2 \, \Omega$ થાય છે.
નવી સંતુલન સ્થિતિ $\frac{R_1'}{R_2'} = \frac{\ell'}{100 - \ell'}$ છે.
$\frac{3}{2} = \frac{\ell'}{100 - \ell'} \Rightarrow 3(100 - \ell') = 2\ell' \Rightarrow 300 - 3\ell' = 2\ell' \Rightarrow 5\ell' = 300 \Rightarrow \ell' = 60 \, cm$.
જોકીના સ્થાનમાં થતું સ્થાનાંતર $|\ell' - \ell| = |60 - 40| = 20 \, cm$ છે.

(B) સંતુલિત મીટર બ્રિજ માટે,શરત $\frac{X}{l_1} = \frac{Y}{100 - l_1}$ છે.
આપેલ છે કે $Y = 12.5 \, \Omega$ અને $l_1 = 39.5 \, cm$,તેથી:
$\frac{X}{39.5} = \frac{12.5}{100 - 39.5} = \frac{12.5}{60.5}$.
$X = \frac{12.5 \times 39.5}{60.5} \approx 8.16 \, \Omega$.
જ્યારે અવરોધ $X$ અને $Y$ ની અદલાબદલી કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવી સંતુલન શરત $\frac{Y}{l_2} = \frac{X}{100 - l_2}$ થાય છે.
$X = \frac{Y \times l_1}{100 - l_1}$ મૂકતા,આપણને $\frac{Y}{l_2} = \frac{Y \times l_1}{(100 - l_1)(100 - l_2)}$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $100 - l_2 = l_1 \times \frac{l_2}{100 - l_1}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $l_2 = 100 - l_1$.
તેથી,$l_2 = 100 - 39.5 = 60.5 \, cm$.

(D) મીટર બ્રિજની સંતુલિત સ્થિતિમાં,શરત $\frac{P}{Q} = \frac{l}{100-l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $l$ એ છેડા $A$ થી તટસ્થ બિંદુનું અંતર છે.
શરૂઆતમાં,$P = 4\,\Omega$ અને $l = 60\,cm$ છે. તેથી,$100-l = 40\,cm$.
આ કિંમતોને સંતુલન શરતમાં મૂકતા:
$\frac{4}{Q} = \frac{60}{40}$
$\frac{4}{Q} = \frac{3}{2}$
$Q = \frac{8}{3}\,\Omega$.
હવે,એક અજ્ઞાત અવરોધ $R$ ને $P$ સાથે શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,તેથી નવો અવરોધ $P' = P + R = 4 + R$ થાય છે. નવું તટસ્થ બિંદુ $l' = 80\,cm$ પર છે,તેથી $100-l' = 20\,cm$.
ફરીથી સંતુલન શરતનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{4+R}{Q} = \frac{80}{20}$
$\frac{4+R}{8/3} = 4$
$4+R = 4 \times \frac{8}{3}$
$4+R = \frac{32}{3}$
$R = \frac{32}{3} - 4 = \frac{32-12}{3} = \frac{20}{3}\,\Omega$.
આમ,અજ્ઞાત અવરોધ $R$ નું મૂલ્ય $\frac{20}{3}\,\Omega$ છે.

(C) મીટર બ્રિજમાં,સંતુલન સ્થિતિ $\frac{R_1}{R_2} = \frac{l}{100-l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\frac{X}{Y} = \frac{40}{100-40} = \frac{40}{60} = \frac{2}{3}$.
તેથી,$X = \frac{2}{3}Y$.
હવે,આપણે $3X$ ને $Y$ ની સામે સંતુલિત કરીએ છીએ. ધારો કે નવું નલ પોઈન્ટ $l' \ cm$ પર છે.
તો,$\frac{3X}{Y} = \frac{l'}{100-l'}$.
સમીકરણમાં $X = \frac{2}{3}Y$ મૂકતા:
$\frac{3(\frac{2}{3}Y)}{Y} = \frac{l'}{100-l'}$
$2 = \frac{l'}{100-l'}$
$2(100 - l') = l'$
$200 - 2l' = l'$
$3l' = 200$
$l' = \frac{200}{3} \approx 66.67 \ cm$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,નલ પોઈન્ટ $67 \ cm$ ની નજીક છે.

(A) મીટર બ્રિજને સંવેદનશીલ બનાવવા માટે,વાયરની સામગ્રી (સામાન્ય રીતે મેંગેનિન અથવા કોન્સ્ટન્ટન) ની અવરોધકતા ઉચ્ચ હોવી જોઈએ જેથી એકમ લંબાઈ દીઠ અવરોધ નોંધપાત્ર રહે અને સચોટ માપન શક્ય બને.
વધુમાં,તેનો તાપમાન ગુણાંક નીચો હોવો જોઈએ જેથી પ્રયોગ દરમિયાન તાપમાનમાં થતા નાના ફેરફારો સાથે વાયરનો અવરોધ નોંધપાત્ર રીતે બદલાય નહીં,જે માપનની ચોકસાઈ અને સ્થિરતા જાળવી રાખે છે.

(B) ધારો કે વાયર $AB$ નો અવરોધ $R_{AB} = 4\,\Omega$ છે. ધારો કે વિભાગ $AJ$ નો અવરોધ $R_{AJ}$ છે. $AJ$ ની આસપાસનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{AJ} = I \cdot R_{AJ}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ મુખ્ય પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ છે.
પ્રથમ કિસ્સામાં,મુખ્ય પરિપથમાં પ્રવાહ $I_1 = \frac{6}{R_{h1} + R_{AB}} = \frac{6}{2 + 4} = 1\,\text{A}$ છે.
$AJ$ ની આસપાસનો પોટેન્શિયલ ડ્રોપ $V_{AJ} = I_1 \cdot R_{AJ} = 1 \cdot R_{AJ} = \varepsilon_1 = 0.5\,\text{V}$ છે.
આમ,$R_{AJ} = 0.5\,\Omega$ મળે છે.
બીજા કિસ્સામાં,મુખ્ય પરિપથમાં પ્રવાહ $I_2 = \frac{6}{R_{h2} + R_{AB}} = \frac{6}{6 + 4} = 0.6\,\text{A}$ છે.
તટસ્થ બિંદુ $J$ સમાન હોવાથી,અવરોધ $R_{AJ}$ એ $0.5\,\Omega$ જ રહેશે.
બીજા કિસ્સામાં emf $\varepsilon_2$ એ $AJ$ ની આસપાસના પોટેન્શિયલ ડ્રોપ જેટલું છે:
$\varepsilon_2 = I_2 \cdot R_{AJ} = 0.6 \times 0.5 = 0.3\,\text{V}$.

(C) મીટર બ્રિજ માટે,સંતુલન સ્થિતિ $\frac{R_1}{R_2} = \frac{l}{100-l}$ છે.
આપેલ છે કે $l = 40\,cm$,તેથી $\frac{R_1}{R_2} = \frac{40}{60} = \frac{2}{3} \implies R_2 = 1.5 R_1$ .....$(i)$
જ્યારે $R_1$ સાથે શ્રેણીમાં $10\,\Omega$ જોડવામાં આવે,ત્યારે નવો અવરોધ $(R_1 + 10)\,\Omega$ થાય છે. તટસ્થ બિંદુ $10\,cm$ ખસે છે. $R_1$ વધવાથી,તટસ્થ બિંદુ $B$ તરફ ખસે છે,તેથી નવી લંબાઈ $l' = 40 + 10 = 50\,cm$ થાય.
આમ,$\frac{R_1 + 10}{R_2} = \frac{50}{50} = 1 \implies R_1 + 10 = R_2$ .....$(ii)$
સમીકરણ $(i)$ ને $(ii)$ માં મૂકતા: $R_1 + 10 = 1.5 R_1 \implies 0.5 R_1 = 10 \implies R_1 = 20\,\Omega$ અને $R_2 = 30\,\Omega$.
હવે,આપણે $(R_1 + 10) = 30\,\Omega$ સાથે સમાંતરમાં $R$ અવરોધ જોડવો છે જેથી તટસ્થ બિંદુ ફરીથી $40\,cm$ પર આવે (એટલે કે ગુણોત્તર $\frac{2}{3}$ રહે).
ધારો કે સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = \frac{30R}{30+R}$ છે.
તેથી $\frac{R_{eq}}{R_2} = \frac{2}{3} \implies \frac{R_{eq}}{30} = \frac{2}{3} \implies R_{eq} = 20\,\Omega$.
તેથી,$\frac{30R}{30+R} = 20 \implies 30R = 600 + 20R \implies 10R = 600 \implies R = 60\,\Omega$.

(C) આપેલ છે કે $\frac{dR}{d\ell} = \frac{k}{\sqrt{\ell}}$,જ્યાં $k$ અચળાંક છે.
$\ell = 0$ થી $\ell = 1\, m$ સુધી સંકલન કરતા,તારનો કુલ અવરોધ $R_{AB}$ મળે છે:
$R_{AB} = \int_{0}^{1} \frac{k}{\sqrt{\ell}} d\ell = k [2\sqrt{\ell}]_{0}^{1} = 2k$.
ધારો કે લંબાઈ $AP = L$ છે. વિભાગ $AP$ નો અવરોધ $R_{AP} = \int_{0}^{L} \frac{k}{\sqrt{\ell}} d\ell = k [2\sqrt{\ell}]_{0}^{L} = 2k\sqrt{L}$ છે.
વિભાગ $PB$ નો અવરોધ $R_{PB} = \int_{L}^{1} \frac{k}{\sqrt{\ell}} d\ell = k [2\sqrt{\ell}]_{L}^{1} = 2k(1 - \sqrt{L})$ છે.
સંતુલિત મીટર બ્રિજ માટે,જ્યાં ગેપમાં સમાન અવરોધો $R'$ છે,શરત $\frac{R'}{R_{AP}} = \frac{R'}{R_{PB}}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $R_{AP} = R_{PB}$.
તેથી,$2k\sqrt{L} = 2k(1 - \sqrt{L})$.
$\sqrt{L} = 1 - \sqrt{L} \implies 2\sqrt{L} = 1 \implies \sqrt{L} = 0.5$.
$L = (0.5)^2 = 0.25\, m$.

(A) મીટર બ્રિજમાં, અજ્ઞાત અવરોધ $X$ નું સૂત્ર $X = R \frac{(100 - l)}{l}$ છે, જ્યાં $l$ એ ડાબી બાજુથી સંતુલન લંબાઈ છે।
અવલોકન $1$ માટે: $X = 1000 \times \frac{(100 - 60)}{60} = 1000 \times \frac{40}{60} \approx 666.67 \, \Omega$.
અવલોકન $2$ માટે: $X = 100 \times \frac{(100 - 13)}{13} = 100 \times \frac{87}{13} \approx 669.23 \, \Omega$.
અવલોકન $3$ માટે: $X = 10 \times \frac{(100 - 1.5)}{1.5} = 10 \times \frac{98.5}{1.5} \approx 656.67 \, \Omega$.
અવલોકન $4$ માટે: $X = 1 \times \frac{(100 - 1)}{1} = 1 \times 99 = 99 \, \Omega$.
$X$ ના ગણતરી કરેલા મૂલ્યોની સરખામણી કરતા, અવલોકન $1, 2,$ અને $3$ ના મૂલ્યો સુસંગત છે (આશરે $660 \, \Omega$), જ્યારે અવલોકન $4$ નું મૂલ્ય નોંધપાત્ર રીતે અલગ છે। તેથી, અવલોકન $4$ અસંગત છે।

(B) મીટર બ્રિજમાં,સંતુલન સ્થિતિ $\frac{P}{Q} = \frac{l_1}{100 - l_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $P = 5\,\Omega$ અને $Q = R\,\Omega$ આપેલ છે,તેથી:
$\frac{5}{R} = \frac{l_1}{100 - l_1} \quad \dots(1)$
જ્યારે $R$ ને સમાન અવરોધ $R$ સાથે શંટ કરવામાં આવે,ત્યારે સમતુલ્ય અવરોધ $R' = \frac{R \times R}{R + R} = \frac{R}{2}$ થાય છે.
નવું સંતુલન બિંદુ $1.6\,l_1$ પર છે. તેથી:
$\frac{5}{R/2} = \frac{1.6\,l_1}{100 - 1.6\,l_1} \Rightarrow \frac{10}{R} = \frac{1.6\,l_1}{100 - 1.6\,l_1} \quad \dots(2)$
સમીકરણ $(2)$ ને સમીકરણ $(1)$ વડે ભાગતા:
$\frac{10/R}{5/R} = \frac{1.6\,l_1}{100 - 1.6\,l_1} \times \frac{100 - l_1}{l_1}$
$2 = \frac{1.6(100 - l_1)}{100 - 1.6\,l_1}$
$200 - 3.2\,l_1 = 160 - 1.6\,l_1$
$40 = 1.6\,l_1 \Rightarrow l_1 = 25\,cm$.
$l_1 = 25$ ને સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$\frac{5}{R} = \frac{25}{100 - 25} = \frac{25}{75} = \frac{1}{3}$
$R = 15\,\Omega$.

(A) મીટર બ્રિજના પ્રયોગમાં,શૂન્ય બિંદુની સ્થિતિ વ્હીટસ્ટોન બ્રિજના સિદ્ધાંત દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\frac{R_1}{R_2} = \frac{R_{AC}}{R_{CB}}$
જ્યાં $R_{AC}$ એ તારના ભાગ $AC$ નો અવરોધ છે અને $R_{CB}$ એ તારના ભાગ $CB$ નો અવરોધ છે.
તારનો અવરોધ $R = \rho \frac{L}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\rho$ એ અવરોધકતા છે,$L$ એ લંબાઈ છે,અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $(\pi r^2)$ છે,
$\frac{R_{AC}}{R_{CB}} = \frac{\rho (x) / A}{\rho (100-x) / A} = \frac{x}{100-x}$
આમ,શૂન્ય વિચલન માટેની શરત $\frac{R_1}{R_2} = \frac{x}{100-x}$ છે.
આ સમીકરણ દર્શાવે છે કે શૂન્ય બિંદુની સ્થિતિ $x$ માત્ર અવરોધો $R_1$ અને $R_2$ ના મૂલ્યો અને તારની કુલ લંબાઈ પર આધાર રાખે છે. તે તાર $AB$ ના આડછેદના ક્ષેત્રફળ (અને તેથી ત્રિજ્યા) થી સ્વતંત્ર છે,જો તાર સમાન હોય તો.
તેથી,જો તાર $AB$ ની ત્રિજ્યા બમણી કરવામાં આવે,તો શૂન્ય બિંદુ $x$ બદલાશે નહીં.

(D) મીટર બ્રિજમાં,ગેલ્વેનોમીટરમાં શૂન્ય આવર્તન માટેની શરત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજના સિદ્ધાંત દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\frac{P}{Q} = \frac{R}{S}$
અહીં,$P = 15 \, \Omega$ અને $Q = 10 \, \Omega$ છે.
તારના ભાગો $AB$ અને $BC$ ના અવરોધ તેમની લંબાઈ $\ell$ અને $(100 - \ell)$ ના પ્રમાણમાં હોય છે.
તેથી,$\frac{15}{10} = \frac{\ell}{100 - \ell}$
$\Rightarrow 1.5 = \frac{\ell}{100 - \ell}$
$\Rightarrow 1.5(100 - \ell) = \ell$
$\Rightarrow 150 - 1.5\ell = \ell$
$\Rightarrow 150 = 2.5\ell$
$\Rightarrow \ell = \frac{150}{2.5} = 60 \, cm$.
આમ,લંબાઈ $AB$ એ $60 \, cm$ છે.

(C) આપેલ મીટર બ્રિજ માટે,સંતુલન સ્થિતિ $\frac{P}{Q} = \frac{l_1}{100 - l_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $l_1 = 55 \, cm$ છે,તેથી $100 - l_1 = 45 \, cm$.
આપેલ છે કે $P = 3 \, \Omega$,તેથી $\frac{3}{Q} = \frac{55}{45} = \frac{11}{9}$.
આમ,$Q = 3 \times \frac{9}{11} = \frac{27}{11} \, \Omega$.
જ્યારે અજ્ઞાત અવરોધ $x$ ને $P$ સાથે શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે નવી સંતુલન લંબાઈ $l_1' = 75 \, cm$ થાય છે,તેથી $100 - l_1' = 25 \, cm$.
નવી સંતુલન સ્થિતિ $\frac{P + x}{Q} = \frac{75}{25} = 3$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$3 + x = 3 \times Q = 3 \times \frac{27}{11} = \frac{81}{11}$.
તેથી,$x = \frac{81}{11} - 3 = \frac{81 - 33}{11} = \frac{48}{11} \, \Omega$.

(A) મીટર બ્રિજમાં,સંતુલન સ્થિતિ $\frac{R}{S} = \frac{l}{100-l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $l$ એ $A$ થી તટસ્થ બિંદુનું અંતર છે.
શરૂઆતમાં,$l_1 = 25\, cm$. તેથી,$\frac{R}{S} = \frac{25}{100-25} = \frac{25}{75} = \frac{1}{3}$. આમ,$S = 3R$.
જ્યારે $S$ સાથે સમાંતરમાં $10\,\Omega$ નો અવરોધ જોડવામાં આવે છે,ત્યારે નવો અવરોધ $S'$ એ $\frac{1}{S'} = \frac{1}{S} + \frac{1}{10}$ દ્વારા મળે છે,તેથી $S' = \frac{10S}{S+10}$.
નવું તટસ્થ બિંદુ મધ્યબિંદુ પર છે,તેથી $l_2 = 50\, cm$. નવી સંતુલન સ્થિતિ $\frac{R}{S'} = \frac{50}{100-50} = 1$ છે,જેનો અર્થ છે કે $R = S'$.
$S' = R$ ને સમીકરણ $R = \frac{10S}{S+10}$ માં મૂકતા,આપણને $R = \frac{10(3R)}{3R+10}$ મળે છે.
$R$ વડે ભાગતા ($R \neq 0$ ધારીને),આપણને $1 = \frac{30}{3R+10}$ મળે છે.
$3R + 10 = 30$,તેથી $3R = 20$,જે $R = \frac{20}{3} \approx 6.67\,\Omega$ આપે છે.

(A) મીટર બ્રિજ માટે,સંતુલન સ્થિતિ $\frac{R_1}{R_2} = \frac{l}{100-l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે $R_1$ અને $R_2$ ની અદલાબદલી કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવી સંતુલન લંબાઈ $l' = l + 25$ થાય છે.
નવી સ્થિતિ $\frac{R_2}{R_1} = \frac{l+25}{100-(l+25)} = \frac{l+25}{75-l}$ છે.
પ્રથમ સમીકરણનો વ્યસ્ત લેતા,આપણને $\frac{R_2}{R_1} = \frac{100-l}{l}$ મળે છે.
$\frac{R_2}{R_1}$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{100-l}{l} = \frac{l+25}{75-l}$.
$(100-l)(75-l) = l(l+25)$.
$7500 - 100l - 75l + l^2 = l^2 + 25l$.
$7500 - 175l = 25l$.
$200l = 7500 \implies l = 37.5 \, cm$.
હવે,$l = 37.5$ ને પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{R_1}{R_2} = \frac{37.5}{100-37.5} = \frac{37.5}{62.5} = \frac{375}{625} = \frac{3}{5}$.

(D) વ્હીટસ્ટોન બ્રિજના સિદ્ધાંત મુજબ,સંતુલન માટેની શરત સેલ અને ગેલ્વેનોમીટરના સ્થાનથી સ્વતંત્ર છે. આને ઇલેક્ટ્રિકલ નેટવર્ક્સમાં રેસીપ્રોસિટી થિયરમ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. જો ગેલ્વેનોમીટર અને સેલની અદલાબદલી કરવામાં આવે,તો પણ બ્રિજ કામ કરશે અને સંતુલન સ્થિતિ સમાન રહેશે,એટલે કે $\frac{P}{Q} = \frac{l_{1}}{l_{2}}$.

(D) મીટર બ્રિજ માટે,સંતુલન સ્થિતિ $\frac{R}{S} = \frac{l}{100 - l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $l = 25 \; cm$,તેથી $\frac{R}{S} = \frac{25}{100 - 25} = \frac{25}{75} = \frac{1}{3}$.
આમ,$S = 3R$.
તારનો અવરોધ $R = \rho \frac{l}{A} = \rho \frac{l}{\pi (d/2)^2} = \frac{4 \rho l}{\pi d^2}$ દ્વારા મળે છે.
જ્યારે લંબાઈ અડધી $(l^{\prime} = l/2)$ અને વ્યાસ અડધો $(d^{\prime} = d/2)$ કરવામાં આવે,ત્યારે નવો અવરોધ $R^{\prime}$ નીચે મુજબ થશે:
$R^{\prime} = \frac{4 \rho (l/2)}{\pi (d/2)^2} = \frac{4 \rho l / 2}{\pi d^2 / 4} = 2 \left( \frac{4 \rho l}{\pi d^2} \right) = 2R$.
હવે,નવી સંતુલન લંબાઈ $l^{\prime}$ માટે,શરત $\frac{R^{\prime}}{S} = \frac{l^{\prime}}{100 - l^{\prime}}$ છે.
$R^{\prime} = 2R$ અને $S = 3R$ મૂકતા:
$\frac{2R}{3R} = \frac{l^{\prime}}{100 - l^{\prime}}$
$\frac{2}{3} = \frac{l^{\prime}}{100 - l^{\prime}}$
$200 - 2l^{\prime} = 3l^{\prime}$
$5l^{\prime} = 200$
$l^{\prime} = 40 \; cm$.

(N/A) પ્રથમ સંતુલન બિંદુ પરથી, આપણને મળે છે:
$\frac{R}{S} = \frac{33.7}{100 - 33.7} = \frac{33.7}{66.3} \dots (i)$
જ્યારે $S$ ને $12 \; \Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતરમાં જોડવામાં આવે છે, ત્યારે સમતુલ્ય અવરોધ $S_{eq}$ નીચે મુજબ થાય છે:
$S_{eq} = \frac{12S}{S + 12}$
નવી સંતુલન સ્થિતિ આપે છે:
$\frac{R}{S_{eq}} = \frac{51.9}{100 - 51.9} = \frac{51.9}{48.1}$
$\frac{R(S + 12)}{12S} = \frac{51.9}{48.1} \dots (ii)$
સમીકરણ $(i)$ માંથી $\frac{R}{S} = \frac{33.7}{66.3}$ ની કિંમત $(ii)$ માં મૂકતા:
$\frac{33.7}{66.3} \cdot \frac{S + 12}{12} = \frac{51.9}{48.1}$
$\frac{S + 12}{S} = \frac{51.9}{48.1} \cdot \frac{66.3}{33.7} \cdot 12 \approx 2.15$
$S$ માટે ઉકેલતા, આપણને $S \approx 13.5 \; \Omega$ મળે છે।
$S$ ની કિંમત $(i)$ માં પાછી મૂકતા:
$R = S \cdot \frac{33.7}{66.3} = 13.5 \cdot 0.508 \approx 6.86 \; \Omega$.

(N/A) આપેલ આકૃતિમાં અવરોધો $X$ અને $Y$ ધરાવતો મીટર બ્રિજ દર્શાવેલ છે.
$(a)$ છેડા $A$ થી તટસ્થ બિંદુ,$l_{1} = 39.5\; cm$.
અવરોધ $Y$ નું મૂલ્ય $= 12.5\; \Omega$.
સંતુલન માટેની શરત નીચે મુજબ છે:
$\frac{X}{Y} = \frac{l_{1}}{100 - l_{1}}$
$X = Y \times \frac{l_{1}}{100 - l_{1}} = 12.5 \times \frac{39.5}{100 - 39.5} = 12.5 \times \frac{39.5}{60.5} \approx 8.16\; \Omega$.
તેથી,અવરોધ $X$ નું મૂલ્ય આશરે $8.16\; \Omega$ છે.
વ્હીટસ્ટોન અથવા મીટર બ્રિજમાં અવરોધો વચ્ચેના જોડાણો જાડા તાંબાની પટ્ટીઓથી બનાવવામાં આવે છે જેથી તેમનો અવરોધ ન્યૂનતમ રહે,જે બ્રિજના સૂત્રમાં ધ્યાનમાં લેવામાં આવતો નથી.
$(b)$ જો $X$ અને $Y$ ની અદલાબદલી કરવામાં આવે,તો $l_{1}$ અને $100 - l_{1}$ ની અદલાબદલી થશે.
બ્રિજનું તટસ્થ બિંદુ $A$ થી $100 - l_{1}$ અંતરે હશે.
$100 - l_{1} = 100 - 39.5 = 60.5\; cm$.
તેથી,તટસ્થ બિંદુ $A$ થી $60.5\; cm$ અંતરે છે.
$(c)$ જ્યારે બ્રિજના તટસ્થ બિંદુએ ગેલ્વેનોમીટર અને સેલની અદલાબદલી કરવામાં આવે છે,ત્યારે ગેલ્વેનોમીટર કોઈ વિચલન દર્શાવશે નહીં. તેથી,ગેલ્વેનોમીટરમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેશે નહીં.

(A) મીટર બ્રિજ સર્કિટમાં, જે શાખા અથવા આર્મ વિદ્યુતચાલક બળના સ્ત્રોત (બેટરી) ને બ્રિજ સાથે જોડે છે તેને $battery \text{ } arm$ (બેટરી આર્મ) તરીકે ઓળખવામાં આવે છે।
જે શાખા અથવા આર્મ વાયર પરના નલ પોઈન્ટ અને બે અવરોધોના જંકશન વચ્ચે ગેલ્વેનોમીટરને જોડે છે તેને $galvanometer \text{ } arm$ (ગેલ્વેનોમીટર આર્મ) તરીકે ઓળખવામાં આવે છે।

(N/A) મીટર બ્રિજમાં $1 \ m$ લંબાઈનો સમાન આડછેદ અને સમાન અવરોધકતા ધરાવતો તાર હોય છે. આ તારને લાકડાના પાટિયા પર જડેલી બે જાડી તાંબાની પટ્ટીઓ વચ્ચે ખેંચીને રાખવામાં આવે છે.
તાંબાની પટ્ટીઓ છેડા પર $L$-આકારની હોય છે,જે જોડાણ માટે ટર્મિનલ પૂરા પાડે છે. વચ્ચે એક સીધી તાંબાની પટ્ટી હોય છે જે ગેલ્વેનોમીટર જોડવા માટે જગ્યા પૂરી પાડે છે.
સંતુલન લંબાઈ માપવા માટે તારની સમાંતર એક મીટર સ્કેલ (પટ્ટી) ગોઠવેલી હોય છે.
સ્થિર પ્રવાહ જાળવી રાખવા માટે તારના બે છેડા $A$ અને $C$ ની વચ્ચે બેટરી,કળ $(K_1)$ અને રિયોસ્ટેટ શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે.
ગેલ્વેનોમીટર $(G)$ ને મધ્ય ટર્મિનલ $B$ અને જોકી વચ્ચે જોડવામાં આવે છે. જોકીને તાર પર ખસેડીને શૂન્ય બિંદુ $D$ મેળવવામાં આવે છે,જ્યાં ગેલ્વેનોમીટર શૂન્ય આવર્તન દર્શાવે છે.

(N/A) મીટર બ્રિજ એ વ્હીટસ્ટોન બ્રિજના સિદ્ધાંત પર આધારિત છે.
$1$. મીટર બ્રિજના એક ગેપમાં અજ્ઞાત અવરોધ $R$ અને બીજા ગેપમાં અવરોધ પેટીમાંથી જાણીતો અવરોધ $S$ જોડો.
$2$. ગેલ્વેનોમીટરમાં શૂન્ય આવર્તન મળે ત્યાં સુધી જોકીને તાર $AC$ પર સરકાવો. આ બિંદુને તટસ્થ બિંદુ (null point) કહે છે.
$3$. ધારો કે તાર $AD$ ની લંબાઈ $l$ છે. તો તાર $DC$ ની લંબાઈ $(100 - l) \text{ cm}$ થશે.
$4$. ધારો કે તારનો એકમ લંબાઈ દીઠ અવરોધ $\rho$ છે. તેથી,વિભાગ $AD$ નો અવરોધ $P = \rho l$ અને વિભાગ $DC$ નો અવરોધ $Q = \rho(100 - l)$ થશે.
$5$. વ્હીટસ્ટોન બ્રિજના સિદ્ધાંત મુજબ,સંતુલિત સ્થિતિમાં:
$\frac{R}{S} = \frac{P}{Q} = \frac{\rho l}{\rho(100 - l)}$
$6$. આનું સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{R}{S} = \frac{l}{100 - l}$
$7$. તેથી,અજ્ઞાત અવરોધ $R$ નું સૂત્ર:
$R = S \left( \frac{l}{100 - l} \right)$
$8$. લંબાઈ $l$ માપીને અને $S$ જાણીને,$R$ નું મૂલ્ય ગણી શકાય છે. ભૂલ ઘટાડવા માટે,તટસ્થ બિંદુ તારના મધ્યની નજીક ($40 \text{ cm}$ અને $60 \text{ cm}$ ની વચ્ચે) મળે તેવો પ્રયત્ન કરવો જોઈએ.

(N/A) મીટર બ્રિજના પ્રયોગમાં,જાણીતા અવરોધ $(R)$ અને અજ્ઞાત અવરોધ $(S)$ ના સ્થાનોને અદલાબદલી કરવામાં આવે છે જેથી અંતિમ ભૂલો (end errors) દૂર કરી શકાય.
અંતિમ ભૂલો મીટર બ્રિજના તારના છેડે રહેલી કોપર પટ્ટીઓના અવરોધ અને ટર્મિનલ્સ પરના સંપર્ક અવરોધને કારણે થાય છે.
અવરોધોની અદલાબદલી કરીને,આપણે બે સેટમાં અવલોકનો લઈએ છીએ.
ધારો કે અજ્ઞાત અવરોધનું સાચું મૂલ્ય $S$ છે અને અંતિમ ભૂલો $\alpha$ અને $\beta$ છે.
પ્રથમ કિસ્સામાં,સંતુલન સ્થિતિ $\frac{R}{S+\alpha} = \frac{l_1}{100-l_1}$ છે.
બીજા કિસ્સામાં,અદલાબદલી કર્યા પછી,સ્થિતિ $\frac{S}{R+\beta} = \frac{l_2}{100-l_2}$ બને છે.
બંને માપનો સરેરાશ લઈને,અંતિમ અવરોધને કારણે થતી વ્યવસ્થિત ભૂલો અસરકારક રીતે દૂર થાય છે,જેનાથી વધુ સચોટ પરિણામ મળે છે.

(B) મીટર બ્રિજમાં,સંતુલન સ્થિતિનું સૂત્ર $\frac{X}{R} = \frac{l}{100 - l}$ છે,જ્યાં $X$ એ અજ્ઞાત અવરોધ છે,$R$ એ જ્ઞાત અવરોધ છે અને $l$ એ એક છેડાથી સંતુલન લંબાઈ છે.
અહીં આપેલ છે કે નલ પોઈન્ટ $l = 50 \ cm$ પર છે,તેથી બાકીની લંબાઈ $100 - 50 = 50 \ cm$ થશે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $\frac{X}{10} = \frac{50}{50}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{X}{10} = 1$ મળે છે.
તેથી,$X = 10 \ \Omega$.

(C) મીટર બ્રિજમાં,સંતુલન સ્થિતિ $\frac{R}{S} = \frac{\ell_1}{\ell_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R$ એ ડાબા ગેપમાં રહેલો અવરોધ છે અને $S$ એ જમણા ગેપમાં રહેલો અવરોધ છે.
આપેલ છે કે $S = 10\, \Omega$ અને ગુણોત્તર $\frac{\ell_1}{\ell_2} = \frac{3}{2}$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{R}{10} = \frac{3}{2} \implies R = 15\, \Omega$.
અવરોધ તાર $R$ ની કુલ લંબાઈ $1.5\, m$ છે.
તેથી,એકમ અવરોધ દીઠ લંબાઈ $\frac{1.5\, m}{15\, \Omega} = 0.1\, m/\Omega$ થાય.
આને જરૂરી સ્વરૂપમાં ફેરવતા: $0.1\, m = 10 \times 10^{-2}\, m$.
આમ,જવાબ $10$ છે.

(C) સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજની સ્થિતિમાં,ભુજાઓના અવરોધોનો ગુણોત્તર સમાન હોય છે.
આપેલ અવરોધો $R_1 = 12\, \Omega$ અને $R_2 = 6\, \Omega$ છે.
તાર $AB$ ની કુલ લંબાઈ $72\, cm$ છે. ધારો કે તારના એકમ લંબાઈ દીઠ અવરોધ $\lambda$ છે.
વિભાગ $AP$ નો અવરોધ $R_{AP} = \lambda x$ અને વિભાગ $PB$ નો અવરોધ $R_{PB} = \lambda (72 - x)$ છે.
ગેલ્વેનોમીટરમાં શૂન્ય આવર્તન માટે,બ્રિજ સંતુલિત છે:
$\frac{12}{x} = \frac{6}{72 - x}$
$12(72 - x) = 6x$
$864 - 12x = 6x$
$18x = 864$
$x = \frac{864}{18} = 48\, cm$.