Circuit Solving for current and Voltage Questions in Gujarati

(D) $e.m.f.$ (ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ) ને એકમ વિદ્યુતભાર દીઠ થતા કાર્ય તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ગાણિતિક રીતે,$e.m.f. = \frac{W}{q}$.
કાર્ય $(W)$ નો એકમ $Joule$ $(J)$ છે અને વિદ્યુતભાર $(q)$ નો એકમ $Coulomb$ $(C)$ છે.
તેથી,$e.m.f.$ નો એકમ $Joule/Coulomb$ છે,જે $Volt$ $(V)$ ને સમાન છે.

(B) આપેલ છે:
વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = 20\,V$
અવરોધ $R = 10\,\Omega$
સમય $t = 2\,\text{મિનિટ} = 2 \times 60 = 120\,s$
ઓમના નિયમ મુજબ,વિદ્યુતપ્રવાહ $I = \frac{V}{R}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે વિદ્યુતપ્રવાહ એ વિદ્યુતભારના વહેવાનો દર છે,$I = \frac{Q}{t}$.
બંનેને સરખાવતા,આપણને મળે છે $\frac{Q}{t} = \frac{V}{R}$.
તેથી,વિદ્યુતભાર $Q = \frac{V \times t}{R}$.
કિંમતો મૂકતા: $Q = \frac{20\,V \times 120\,s}{10\,\Omega} = 240\,C$.

(C) આ પરિપથમાં $2\,V$ ની બેટરી સાથે સમાંતર જોડાયેલી બે શાખાઓ છે.
દરેક શાખામાં $5\,\Omega$ ના ત્રણ અવરોધો શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે.
દરેક શાખાનો કુલ અવરોધ $R_{eq} = 5\,\Omega + 5\,\Omega + 5\,\Omega = 15\,\Omega$ છે.
શ્રેણી પરિપથમાં દરેક અવરોધ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત તેના અવરોધના પ્રમાણમાં હોય છે. બધા અવરોધો સમાન $(5\,\Omega)$ હોવાથી,$2\,V$ નો કુલ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત દરેક શાખાના ત્રણ અવરોધો વચ્ચે સમાન રીતે વહેંચાય છે.
આમ,દરેક અવરોધ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{resistor} = \frac{2\,V}{3} = \frac{2}{3}\,V$ થાય.
બિંદુઓ $A$ અને $B$ વચ્ચેના માર્ગમાં $5\,\Omega$ ના બે અવરોધો છે.
તેથી,$A$ અને $B$ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{AB} = V_{resistor1} + V_{resistor2} = \frac{2}{3}\,V + \frac{2}{3}\,V = \frac{4}{3}\,V$ થાય.

(C) આ પરિપથમાં $2 \, V$ ની બેટરી ત્રણ $30 \, \Omega$ ના અવરોધોના ડેલ્ટા નેટવર્ક સાથે જોડાયેલી છે.
ત્રિકોણનો એક છેડો બેટરીના ઋણ ધ્રુવ સાથે અને તેની સામેની બાજુ ધન ધ્રુવ સાથે જોડાયેલ છે.
આથી,બે $30 \, \Omega$ ના અવરોધો શ્રેણીમાં છે અને આ સંયોજન ત્રીજા $30 \, \Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતર જોડાણમાં છે.
સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = \frac{(30 + 30) \times 30}{(30 + 30) + 30} = \frac{60 \times 30}{90} = 20 \, \Omega$.
ઓમના નિયમ મુજબ,પ્રવાહ $i = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10} \, A$ થાય.

(B) પરિપથમાં ત્રણ $2\,\Omega$ ના અવરોધો બિંદુ $X$ અને $Y$ વચ્ચે સમાંતર જોડાણમાં છે.
આ ત્રણ સમાંતર અવરોધોનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_p$ નીચે મુજબ મળે:
$\frac{1}{R_p} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \implies R_p = \frac{2}{3}\,\Omega$.
આ સમાંતર જોડાણ બેટરીની શાખામાં રહેલા $2\,\Omega$ ના આંતરિક અવરોધ સાથે શ્રેણીમાં છે.
પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{eq} = 2 + \frac{2}{3} = \frac{6+2}{3} = \frac{8}{3}\,\Omega$.
ઓમના નિયમ મુજબ એમીટરમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I$:
$I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{2}{8/3} = 2 \times \frac{3}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}\,A$.

(A) જ્યારે $2\, \Omega$ ના ત્રણ અવરોધોને ત્રિકોણમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે કોઈપણ બે શિરોબિંદુઓ,ધારો કે $P$ અને $Q$ વચ્ચેનો સમતુલ્ય અવરોધ શોધીએ.
એક અવરોધ સીધો $P$ અને $Q$ ની વચ્ચે જોડાયેલ છે.
બાકીના બે અવરોધો એકબીજા સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે,અને આ સંયોજન પ્રથમ અવરોધ સાથે સમાંતર છે.
શ્રેણી શાખાનો અવરોધ $= 2\, \Omega + 2\, \Omega = 4\, \Omega$.
હવે,આ $4\, \Omega$ નો અવરોધ $P$ અને $Q$ ની વચ્ચે સીધા જોડાયેલા $2\, \Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતરમાં છે.
સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{2+1}{4} = \frac{3}{4}$.
તેથી,$R_{eq} = \frac{4}{3}\, \Omega$.

(B) પરિપથ બિંદુઓ $D$ અને $C$ વચ્ચે જોડાયેલી બે સમાંતર શાખાઓનો બનેલો છે.
શાખા $DAC$ નો કુલ અવરોધ $R_1 = 2\,\Omega + 3\,\Omega = 5\,\Omega$ છે.
શાખા $DBC$ નો કુલ અવરોધ $R_2 = 3\,\Omega + 2\,\Omega = 5\,\Omega$ છે.
શાખાઓ સમાંતરમાં હોવાથી અને સમાન અવરોધ ધરાવતી હોવાથી,$2\,A$ નો કુલ પ્રવાહ સમાન રીતે વહેંચાય છે.
આમ,શાખા $DAC$ માંથી વહેતો પ્રવાહ $I_1 = 1\,A$ અને શાખા $DBC$ માંથી વહેતો પ્રવાહ $I_2 = 1\,A$ છે.
ઓહ્મના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$D$ ની સાપેક્ષે $A$ પાસેનું પોટેન્શિયલ $V_D - V_A = I_1 \times 2\,\Omega = 1\,A \times 2\,\Omega = 2\,V$ છે.
$D$ ની સાપેક્ષે $B$ પાસેનું પોટેન્શિયલ $V_D - V_B = I_2 \times 3\,\Omega = 1\,A \times 3\,\Omega = 3\,V$ છે.
$(V_A - V_B)$ શોધવા માટે,આપણે બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરીએ:
$(V_D - V_B) - (V_D - V_A) = 3\,V - 2\,V$
$V_A - V_B = 1\,V$.

(A) અવરોધો શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોવાથી,સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ થશે:
$R_{eq} = 2 \ \Omega + 3 \ \Omega + 5 \ \Omega = 10 \ \Omega$
પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ $i$ ઓહ્મના નિયમ દ્વારા મળે છે:
$i = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{2 \ V}{10 \ \Omega} = 0.2 \ A$
$3 \ \Omega$ ના અવરોધ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V'$ નીચે મુજબ છે:
$V' = i \times R = 0.2 \ A \times 3 \ \Omega = 0.6 \ V$

(B) પરિપથમાં $3\, \Omega$ નો અવરોધ એ $1\, \Omega$ અને $2\, \Omega$ ના શ્રેણી જોડાણ સાથે સમાંતર છે。
શ્રેણી શાખાનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_s = 1\, \Omega + 2\, \Omega = 3\, \Omega$ છે。
હવે કુલ પરિપથમાં બે $3\, \Omega$ ના અવરોધો સમાંતરમાં $1.5\, V$ ના સ્ત્રોત સાથે જોડાયેલા છે。
ઓમના નિયમ મુજબ $3\, \Omega$ ના અવરોધમાંથી વહેતો પ્રવાહ $i_2 = \frac{V}{R} = \frac{1.5\, V}{3\, \Omega} = 0.5\, A$ થાય.

(C) પરિપથ બે ભાગોનો બનેલો છે જે શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે。
પ્રથમ ભાગ: $6\, \Omega$ ના ત્રણ અવરોધો સમાંતર જોડાયેલા છે। સમતુલ્ય અવરોધ $R_1$ આ મુજબ મળે: $\frac{1}{R_1} = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$, તેથી $R_1 = 2\, \Omega$.
બીજો ભાગ: $6\, \Omega$ ના બે અવરોધો શ્રેણીમાં છે, જે $6 + 6 = 12\, \Omega$ આપે છે। આ અન્ય $6\, \Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતર છે। સમતુલ્ય અવરોધ $R_2$ આ મુજબ મળે: $R_2 = \frac{12 \times 6}{12 + 6} = \frac{72}{18} = 4\, \Omega$.
$P$ અને $Q$ વચ્ચેનો કુલ અવરોધ $R_{eq} = R_1 + R_2 = 2\, \Omega + 4\, \Omega = 6\, \Omega$ છે。
વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_P - V_Q = I \times R_{eq} = 0.5\, A \times 6\, \Omega = 3\, V$ થાય.

(B) $1$. પ્રથમ,ઉપરની શાખાને સરળ બનાવો: $8\,\Omega$,$16\,\Omega$ અને $16\,\Omega$ ના અવરોધો સમાંતર જોડાણમાં છે. તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_1$ આ મુજબ મળે: $\frac{1}{R_1} = \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{16} = \frac{2+1+1}{16} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$,તેથી $R_1 = 4\,\Omega$.
$2$. આ $R_1$ એ $20\,\Omega$ ના અવરોધ સાથે શ્રેણીમાં છે,તેથી ઉપરની શાખાનો કુલ અવરોધ $R_{upper} = 4\,\Omega + 20\,\Omega = 24\,\Omega$ થાય.
$3$. ત્યારબાદ,નીચેની શાખાને સરળ બનાવો: $9\,\Omega$ અને $18\,\Omega$ ના અવરોધો સમાંતર જોડાણમાં છે. તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_2$ આ મુજબ મળે: $\frac{1}{R_2} = \frac{1}{9} + \frac{1}{18} = \frac{2+1}{18} = \frac{3}{18} = \frac{1}{6}$,તેથી $R_2 = 6\,\Omega$.
$4$. આ $R_2$ એ $6\,\Omega$ ના અવરોધ સાથે શ્રેણીમાં છે,તેથી નીચેની શાખાનો કુલ અવરોધ $R_{lower} = 6\,\Omega + 6\,\Omega = 12\,\Omega$ થાય.
$5$. અંતે,ઉપરની શાખા $(24\,\Omega)$ અને નીચેની શાખા $(12\,\Omega)$ બિંદુઓ $A$ અને $B$ વચ્ચે સમાંતર જોડાણમાં છે. તેથી સમતુલ્ય અવરોધ $R_{AB}$ આ મુજબ મળે: $\frac{1}{R_{AB}} = \frac{1}{24} + \frac{1}{12} = \frac{1+2}{24} = \frac{3}{24} = \frac{1}{8}$,જે દર્શાવે છે કે $R_{AB} = 8\,\Omega$.

(D) આપેલ સર્કિટ શ્રેણીમાં જોડાયેલા ત્રણ સમાન બ્લોક્સની બનેલી છે. દરેક બ્લોક એક વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ જેવી રચના છે જ્યાં બે $3\,\Omega$ ના અવરોધો અન્ય બે $3\,\Omega$ ના અવરોધો સાથે શ્રેણીમાં છે,અને આ બે શાખાઓ સમાંતર છે.
એક બ્લોક માટે:
$1$. ઉપરની શાખામાં બે $3\,\Omega$ ના અવરોધો શ્રેણીમાં છે: $R_1 = 3\,\Omega + 3\,\Omega = 6\,\Omega$.
$2$. નીચેની શાખામાં બે $3\,\Omega$ ના અવરોધો શ્રેણીમાં છે: $R_2 = 3\,\Omega + 3\,\Omega = 6\,\Omega$.
$3$. આ બે શાખાઓ સમાંતરમાં છે,તેથી એક બ્લોકનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{block} = \frac{R_1 \times R_2}{R_1 + R_2} = \frac{6 \times 6}{6 + 6} = \frac{36}{12} = 3\,\Omega$ થાય.
આવા ત્રણ બ્લોક્સ શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોવાથી,$A$ અને $B$ વચ્ચેનો કુલ સમતુલ્ય અવરોધ:
$R_{eq} = R_{block} + R_{block} + R_{block} = 3\,\Omega + 3\,\Omega + 3\,\Omega = 9\,\Omega$ થશે.

(D) આ સર્કિટ શ્રેણીમાં જોડાયેલા બે સમાંતર બ્લોક્સની બનેલી છે.
પ્રથમ, બે $4\, \Omega$ ના અવરોધો સમાંતરમાં ધરાવતા પ્રથમ બ્લોક $(R_1)$ નો સમતુલ્ય અવરોધ ગણો:
$R_1 = \frac{4 \times 4}{4 + 4} = 2\, \Omega$.
ત્યારબાદ, બે $6\, \Omega$ ના અવરોધો સમાંતરમાં ધરાવતા બીજા બ્લોક $(R_2)$ નો સમતુલ્ય અવરોધ ગણો:
$R_2 = \frac{6 \times 6}{6 + 6} = 3\, \Omega$.
સર્કિટનો કુલ સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = R_1 + R_2 = 2\, \Omega + 3\, \Omega = 5\, \Omega$ છે.
સર્કિટમાંથી વહેતો કુલ વિદ્યુત પ્રવાહ $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{20\, V}{5\, \Omega} = 4\, A$ છે.
બે $4\, \Omega$ ના અવરોધો સમાંતરમાં હોવાથી, પ્રવાહ $I$ તેમની વચ્ચે સમાન રીતે વહેંચાય છે. તેથી, દરેક $4\, \Omega$ ના અવરોધમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I_4 = \frac{4\, A}{2} = 2\, A$ છે.
તે જ રીતે, બે $6\, \Omega$ ના અવરોધો સમાંતરમાં હોવાથી, પ્રવાહ $I$ તેમની વચ્ચે સમાન રીતે વહેંચાય છે. તેથી, દરેક $6\, \Omega$ ના અવરોધમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I_6 = \frac{4\, A}{2} = 2\, A$ છે.
આમ, $4\, \Omega$ અને $6\, \Omega$ ના અવરોધમાંથી વહેતો વિદ્યુત પ્રવાહ અનુક્રમે $2\, A$ અને $2\, A$ છે.

(C) ધારો કે $A$ અને $B$ વચ્ચેનો પરિણામી અવરોધ $R$ છે. સીડી (ladder) અનંત હોવાથી,અસ્તિત્વમાં રહેલા અનંત નેટવર્કમાં $R_1$ અને $R_2$ નો વધુ એક વિભાગ ઉમેરવાથી કુલ અવરોધ $R$ બદલાશે નહીં.
આ પરિપથને $R_1$ અવરોધ અને $R_2$ તથા $R$ ના સમાંતર જોડાણના શ્રેણી જોડાણ તરીકે સરળ બનાવી શકાય છે.
આમ,સમતુલ્ય અવરોધ નીચે મુજબ મળે છે:
$R = R_1 + \frac{R \cdot R_2}{R + R_2}$
આપેલ કિંમતો $R_1 = 1\,\Omega$ અને $R_2 = 2\,\Omega$ મૂકતા:
$R = 1 + \frac{2R}{R + 2}$
બંને બાજુ $(R + 2)$ વડે ગુણતા:
$R(R + 2) = 1(R + 2) + 2R$
$R^2 + 2R = R + 2 + 2R$
$R^2 - R - 2 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા:
$(R - 2)(R + 1) = 0$
અવરોધ ક્યારેય ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $R = 2\,\Omega$ મળે છે.

(B) ધારો કે $A$ અને $B$ વચ્ચેના સમગ્ર અનંત લેડર નેટવર્કનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_0$ છે. જો આપણે નેટવર્કમાં વધુ એક પ્રાથમિક સેટ ઉમેરીએ,તો કુલ અવરોધ $R_0$ જ રહે છે.
પ્રથમ પ્રાથમિક સેટને ધ્યાનમાં લો જેમાં ઉપરની અને નીચેની બાજુએ શ્રેણીમાં બે $R$ અવરોધો અને સમાંતરમાં એક $R$ અવરોધ છે. આ સેટની જમણી બાજુના બાકીના અનંત નેટવર્કનો સમતુલ્ય અવરોધ પણ $R_0$ છે.
કુલ અવરોધ $R_{AB}$ એ શિરોલંબ અવરોધ $R$ અને ઉપરના આર્મ અવરોધ $R$,જમણી બાજુના સમતુલ્ય અવરોધ $R_0$ અને નીચેના આર્મ અવરોધ $R$ ના શ્રેણી જોડાણના સમાંતર જોડાણ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આમ,$R_{AB} = \frac{R(R + R_0 + R)}{R + (R + R_0 + R)} = R_0$.
$R(2R + R_0) = R_0(3R + R_0)$
$2R^2 + RR_0 = 3RR_0 + R_0^2$
$R_0^2 + 2RR_0 - 2R^2 = 0$.
આ દ્વિઘાત સમીકરણને $R_0$ માટે ઉકેલતા,$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને:
$R_0 = \frac{-2R \pm \sqrt{(2R)^2 - 4(1)(-2R^2)}}{2} = \frac{-2R \pm \sqrt{4R^2 + 8R^2}}{2} = \frac{-2R \pm \sqrt{12R^2}}{2} = \frac{-2R \pm 2R\sqrt{3}}{2} = R(\sqrt{3} - 1)$ (ધન મૂલ્ય લેતા).

(D) પરિપથને જમણી બાજુથી જોતા,છેલ્લી ઉભી શાખામાં $4\,\Omega$ નો અવરોધ છે. છેલ્લા વિભાગમાં આડા અવરોધો દરેક $1\,\Omega$ ના છે.
સૌથી જમણી બાજુના લૂપથી શરૂ કરીને,$4\,\Omega$ અવરોધ અને શ્રેણીમાં રહેલા $1\,\Omega$ અવરોધો ધરાવતી શાખાનો સમતુલ્ય અવરોધ ગણવામાં આવે છે.
પરિપથની સંરચના મુજબ,છેલ્લા વિભાગનો સમતુલ્ય અવરોધ: $R_{eq1} = 1 + 4 + 1 = 6\,\Omega$.
આ $6\,\Omega$ એ વચ્ચેના $8\,\Omega$ અવરોધ સાથે સમાંતર છે: $R_{p1} = \frac{6 \times 8}{6 + 8} = \frac{48}{14} = \frac{24}{7}\,\Omega$.
હવે,પછીના આડા $1\,\Omega$ અવરોધો ઉમેરતા: $R_{eq2} = 1 + \frac{24}{7} + 1 = 2 + \frac{24}{7} = \frac{38}{7}\,\Omega$.
આ પ્રથમ $8\,\Omega$ અવરોધ સાથે સમાંતર છે: $R_{p2} = \frac{8 \times (38/7)}{8 + (38/7)} = \frac{304/7}{94/7} = \frac{304}{94} \approx 3.23\,\Omega$.
છેલ્લે,$A$ અને $B$ ટર્મિનલ પર શ્રેણીમાં રહેલા $2\,\Omega$ અવરોધો ઉમેરતા: $R_{AB} = 2 + 3.23 + 2 = 7.23\,\Omega$.
આવા પ્રશ્નોના પ્રમાણભૂત સ્વરૂપને ધ્યાનમાં લેતા,જો આપણે માની લઈએ કે સૌથી જમણી શાખા ખુલ્લી છે અથવા પરિપથનું સરળીકરણ અલગ રીતે કરવામાં આવ્યું છે,તો આપેલા વિકલ્પો મુજબ સાચો જવાબ $8\,\Omega$ છે.

(A) સૌ પ્રથમ,સર્કિટની જમણી બાજુને સરળ બનાવો. $7\,\Omega$,$1\,\Omega$,અને $10\,\Omega$ ના અવરોધો શ્રેણીમાં છે,તેથી તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_s = 7 + 1 + 10 = 18\,\Omega$ થાય.
આ $18\,\Omega$ નો અવરોધ $6\,\Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતર જોડાણમાં છે. તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_p$ નીચે મુજબ મળે: $\frac{1}{R_p} = \frac{1}{6} + \frac{1}{18} = \frac{3+1}{18} = \frac{4}{18}$,તેથી $R_p = \frac{18}{4} = 4.5\,\Omega$.
હવે,સર્કિટનો કુલ અવરોધ $R_{total} = 2\,\Omega + 0.5\,\Omega + 4.5\,\Omega + 8\,\Omega = 15\,\Omega$ થાય.
બેટરીમાંથી વહેતો પ્રવાહ $i = \frac{V}{R_{total}} = \frac{15\,V}{15\,\Omega} = 1\,A$ મળે.

(B) જ્યારે કી $A$ ને ખુલ્લી મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે $4 \ \Omega$ અવરોધ ધરાવતી શાખા પરિપથમાંથી અલગ થઈ જાય છે.
તેથી,વિદ્યુતપ્રવાહ ફક્ત $5 \ \Omega$ અવરોધ અને એમીટર $A$ ધરાવતી શાખામાંથી જ વહે છે.
આ શાખા પરનો કુલ વોલ્ટેજ $V = 10 \ V$ છે.
આ શાખામાં અવરોધ $R = 5 \ \Omega$ છે.
ઓમના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,એમીટરમાંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ નીચે મુજબ છે:
$I = \frac{V}{R} = \frac{10 \ V}{5 \ \Omega} = 2 \ A$.
આમ,એમીટરનું અવલોકન $2 \ A$ થશે.

(D) આ પરિપથમાં $8 \, V$ ની બેટરી,$5 \, \Omega$ નો અવરોધ અને $1 \, \Omega$ નો અવરોધ શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે. કુલ અવરોધ $R_{eq} = 5 \, \Omega + 1 \, \Omega = 6 \, \Omega$ થાય.
પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{8 \, V}{6 \, \Omega} = \frac{4}{3} \, A$ મળે.
બિંદુ $C$ ગ્રાઉન્ડ કરેલું છે,તેથી તેનું સ્થિતિમાન $V_C = 0 \, V$ છે.
$C$ થી $E$ તરફ $1 \, \Omega$ ના અવરોધમાંથી પસાર થતા,સ્થિતિમાન વધે છે કારણ કે પ્રવાહ $E$ થી $D$ અને પછી $C$ તરફ વહે છે. તેથી,$V_E - V_C = I \times R = \frac{4}{3} \, A \times 1 \, \Omega = \frac{4}{3} \, V$.
$V_C = 0 \, V$ હોવાથી,$V_E = \frac{4}{3} \, V$ મળે.

(B) $1$. સૌ પ્રથમ,પરિપથનો સમતુલ્ય અવરોધ શોધો. બે સમાંતર શાખાઓમાં દરેકનો અવરોધ $(1 + 3) = 4\,\Omega$ છે. આ બે સમાંતર શાખાઓનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_p = \frac{4 \times 4}{4 + 4} = 2\,\Omega$ થાય.
$2$. પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{eq} = 3\,\Omega + 2\,\Omega = 5\,\Omega$ છે.
$3$. બેટરીમાંથી વહેતો કુલ પ્રવાહ $i = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{10}{5} = 2\,A$ છે.
$4$. બંને સમાંતર શાખાઓનો અવરોધ સમાન હોવાથી,પ્રવાહ સમાન રીતે વહેંચાય છે,તેથી $i_1 = i_2 = \frac{i}{2} = 1\,A$.
$5$. ધારો કે $C$ એ જંકશન બિંદુ છે જ્યાં પ્રવાહ વહેંચાય છે. $C$ ની સાપેક્ષે $A$ નું વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V_C - V_A = i_1 \times 1\,\Omega = 1 \times 1 = 1\,V$ છે.
$6$. $C$ ની સાપેક્ષે $B$ નું વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V_C - V_B = i_2 \times 3\,\Omega = 1 \times 3 = 3\,V$ છે.
$7$. બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $(V_C - V_A) - (V_C - V_B) = 1 - 3$,જેનું સાદુંરૂપ આપતા $V_B - V_A = -2\,V$ મળે,એટલે કે $V_A - V_B = 2\,V$.

(C) ધારો કે અનંત નેટવર્કનો સમતુલ્ય અવરોધ $R$ છે. નેટવર્ક અનંત હોવાથી,એક પુનરાવર્તિત એકમ ઉમેરવાથી કે દૂર કરવાથી સમતુલ્ય અવરોધમાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી.
આ સર્કિટને ઉપરની શાખામાં $2\,\Omega$ ના અવરોધ સાથે શ્રેણીમાં,નીચેની શાખામાં $2\,\Omega$ ના અવરોધ સાથે શ્રેણીમાં અને ઊભી $2\,\Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતરમાં સમતુલ્ય અવરોધ $R$ તરીકે જોઈ શકાય છે.
તેથી,સમતુલ્ય અવરોધ $R$ નીચે મુજબ મળે છે:
$R = 2 + 2 + \frac{2 \times R}{2 + R}$
$R = 4 + \frac{2R}{2 + R}$
$(2 + R)$ વડે ગુણતા:
$R(2 + R) = 4(2 + R) + 2R$
$2R + R^2 = 8 + 4R + 2R$
$R^2 - 4R - 8 = 0$
દ્વિઘાત સૂત્ર $R = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$R = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(-8)}}{2(1)}$
$R = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 32}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{48}}{2} = \frac{4 \pm 4\sqrt{3}}{2} = 2 \pm 2\sqrt{3}$
અવરોધ ઋણ હોઈ શકે નહીં,તેથી આપણે ધન ઉકેલ લઈએ છીએ:
$R = 2 + 2\sqrt{3} \approx 2 + 2(1.732) = 5.464\,\Omega$.
આ મૂલ્ય $4\,\Omega$ થી વધુ અને $12\,\Omega$ થી ઓછું છે.

(B) બે અવરોધો $6\,\Omega$ અને $4\,\Omega$ સમાંતર જોડાણમાં છે.
ધારો કે $I = 1.2\,A$ એ સમાંતર જોડાણમાં દાખલ થતો કુલ વિદ્યુતપ્રવાહ છે.
કરંટ ડિવાઈડરના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$6\,\Omega$ ના અવરોધમાંથી પસાર થતો વિદ્યુતપ્રવાહ $I_1$ નીચે મુજબ મળે:
$I_1 = I \times \left( \frac{R_2}{R_1 + R_2} \right)$
અહીં,$R_1 = 6\,\Omega$ અને $R_2 = 4\,\Omega$ છે.
$I_1 = 1.2 \times \left( \frac{4}{6 + 4} \right)$
$I_1 = 1.2 \times \left( \frac{4}{10} \right)$
$I_1 = 1.2 \times 0.4 = 0.48\,A$.

(D) પરિપથ આકૃતિ જોતા,ધારો કે નોડ્સ $L, M, N, Z$ છે.
$1$. પ્રથમ અવરોધ $R$ એ $L$ અને $M$ ની વચ્ચે જોડાયેલ છે.
$2$. બીજો અવરોધ $R$ એ $M$ અને $N$ ની વચ્ચે જોડાયેલ છે.
$3$. ત્રીજો અવરોધ $R$ એ $N$ અને $Z$ ની વચ્ચે જોડાયેલ છે.
$4$. $L$ થી $N$ ને જોડતો એક તાર છે,જેનો અર્થ છે કે નોડ્સ $L$ અને $N$ સમાન સ્થિતિમાન પર છે.
$5$. $M$ થી $Z$ ને જોડતો એક તાર છે,જેનો અર્થ છે કે નોડ્સ $M$ અને $Z$ સમાન સ્થિતિમાન પર છે.
આમ,ત્રણેય અવરોધો $M$ અને $N$ બિંદુઓ વચ્ચે સમાંતર જોડાણમાં છે.
તેથી,$M$ અને $N$ વચ્ચેનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ મળે:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R} + \frac{1}{R} + \frac{1}{R} = \frac{3}{R}$
$R_{eq} = \frac{R}{3}$

(C) ધારો કે અનંત નેટવર્કનો સમતુલ્ય અવરોધ $R$ છે. નેટવર્ક અનંત હોવાથી,એક પુનરાવર્તિત એકમ ઉમેરવાથી કે દૂર કરવાથી કુલ અવરોધ $R$ બદલાતો નથી.
આ પરિપથને $1\,\Omega$ ના અવરોધ સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલ $1\,\Omega$ ના અવરોધ અને બાકીના અનંત નેટવર્કના સમતુલ્ય અવરોધ $R$ ના સમાંતર જોડાણ તરીકે જોઈ શકાય છે.
તેથી,સમતુલ્ય અવરોધ $R$ નીચે મુજબ મળે:
$R = 1 + \frac{1 \times R}{1 + R}$
બંને બાજુ $(1 + R)$ વડે ગુણતા:
$R(1 + R) = 1 + R + R$
$R + R^2 = 1 + 2R$
$R^2 - R - 1 = 0$
દ્વિઘાત સૂત્ર $R = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$R = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)}$
$R = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$
અવરોધ ઋણ હોઈ શકે નહીં,તેથી આપણે ધન ઉકેલ લઈએ છીએ:
$R = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\,\Omega$.

(B) પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{eq} = 5\,\Omega + 7\,\Omega + 10\,\Omega + 3\,\Omega = 25\,\Omega$ છે.
પરિપથમાંથી વહેતો પ્રવાહ $i = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{50\,V}{25\,\Omega} = 2\,A$ છે.
બિંદુ '$B$' અર્થિંગ કરેલ હોવાથી,તેનું સ્થિતિમાન $V_B = 0\,V$ છે.
પ્રવાહની દિશાની વિરુદ્ધમાં '$B$' થી '$A$' તરફ જતા,અવરોધકો પર સ્થિતિમાનમાં વધારો થાય છે. '$A$' અને '$B$' વચ્ચેનો અવરોધ $R_{AB} = 5\,\Omega + 7\,\Omega = 12\,\Omega$ છે.
સ્થિતિમાનનો તફાવત $V_A - V_B = i \times R_{AB} = 2\,A \times 12\,\Omega = 24\,V$ છે.
$V_B = 0\,V$ હોવાથી,$V_A = 24\,V$ મળે છે.

(D) આ સર્કિટમાં બે સમાંતર શાખાઓ છે જે $1\,\Omega$ ના અવરોધ અને સેલ સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલ છે.
સૌ પ્રથમ,બે સમાંતર શાખાઓનો સમતુલ્ય અવરોધ શોધો.
ઉપરની શાખામાં $4\,\Omega$ અને $2\,\Omega$ ના અવરોધો શ્રેણીમાં છે,તેથી $R_{upper} = 4 + 2 = 6\,\Omega$.
નીચેની શાખામાં $2\,\Omega$ અને $4\,\Omega$ ના અવરોધો શ્રેણીમાં છે,તેથી $R_{lower} = 2 + 4 = 6\,\Omega$.
આ બે સમાંતર શાખાઓનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_p = \frac{6 \times 6}{6 + 6} = 3\,\Omega$ થાય.
કુલ બાહ્ય અવરોધ $R_{ext} = 3\,\Omega + 1\,\Omega = 4\,\Omega$ છે.
સેલમાંથી વહેતો કુલ પ્રવાહ $i = \frac{E}{R_{ext} + r} = \frac{10}{4 + 1} = 2\,A$ છે.
આ પ્રવાહ બંને સમાંતર શાખાઓમાં સમાન રીતે વહેંચાય છે કારણ કે બંને શાખાઓનો કુલ અવરોધ $6\,\Omega$ છે. તેથી,ઉપરની શાખામાં પ્રવાહ $i_1 = 1\,A$ અને નીચેની શાખામાં પ્રવાહ $i_2 = 1\,A$ છે.
હવે,સેલના ઋણ ટર્મિનલની સાપેક્ષમાં $A$ અને $B$ પરના વિદ્યુતસ્થિતિમાનની ગણતરી કરો (ધારો કે તેનું સ્થિતિમાન $0\,V$ છે):
$V_A = E - i_1 \times 4 = 10 - 1 \times 4 = 6\,V$.
$V_B = E - i_2 \times 2 = 10 - 1 \times 2 = 8\,V$.
તેથી,$V_A - V_B = 6 - 8 = -2\,V$.

(C) ધારો કે બિંદુઓ $A$ અને $B$ વચ્ચેનો સમતુલ્ય અવરોધ $R$ છે. પરિપથ અનંત લંબાઈનો હોવાથી,પ્રથમ વિભાગની જમણી બાજુના બાકીના પરિપથનો સમતુલ્ય અવરોધ (બિંદુઓ $C$ અને $D$ વચ્ચે) પણ $R$ જ રહેશે.
હવે પરિપથમાં બે $1 \ \Omega$ ના અવરોધો શ્રેણીમાં છે અને તેની સાથે $1 \ \Omega$ નો અવરોધ અને $R$ સમાંતરમાં જોડાયેલા છે.
સમતુલ્ય અવરોધ $R$ માટેનું સમીકરણ:
$R = 1 + 1 + \frac{1 \times R}{1 + R}$
$R = 2 + \frac{R}{1 + R}$
$R(1 + R) = 2(1 + R) + R$
$R + R^2 = 2 + 2R + R$
$R^2 - 2R - 2 = 0$
દ્વિઘાત સૂત્ર $R = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$R = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)}$
$R = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2}$
$R = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$
અવરોધ ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી આપણે ધન કિંમત લઈશું:
$R = (1 + \sqrt{3}) \ \Omega$.

(D) પરિપથ આકૃતિ પરથી,અવરોધો $R_B = 6 \, \Omega$ અને $R_C = 6 \, \Omega$ શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે.
તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{BC} = 6 \, \Omega + 6 \, \Omega = 12 \, \Omega$ થાય.
આ સંયોજન $R_{BC}$ એ અવરોધ $R_A = 3 \, \Omega$ સાથે સમાંતરમાં છે.
પરિપથનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ મળે: $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_A} + \frac{1}{R_{BC}} = \frac{1}{3} + \frac{1}{12} = \frac{4 + 1}{12} = \frac{5}{12} \, \Omega^{-1}$.
આમ,$R_{eq} = \frac{12}{5} = 2.4 \, \Omega$.
પરિપથમાં કુલ વિદ્યુતપ્રવાહ $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{4.8 \, V}{2.4 \, \Omega} = 2 \, A$ થાય.

(A) આ સર્કિટમાં $3 \ V$ ની બેટરી,અવરોધ $R_1 = 2 \ \Omega$ સાથે સમાંતર જોડાણમાં છે અને અવરોધો $R_2, R_3, R_4$ શ્રેણી જોડાણમાં છે.
પ્રથમ,$R_2, R_3, R_4$ ધરાવતી શ્રેણી શાખાનો સમતુલ્ય અવરોધ ગણો:
$R_s = R_2 + R_3 + R_4 = 2 \ \Omega + 2 \ \Omega + 2 \ \Omega = 6 \ \Omega$.
હવે,આ $R_s$ એ $R_1 = 2 \ \Omega$ સાથે સમાંતરમાં છે. સર્કિટનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ છે:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_s} = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{3+1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \ \Omega^{-1}$.
તેથી,$R_{eq} = 1.5 \ \Omega$ અથવા $\frac{3}{2} \ \Omega$.
બેટરીમાંથી વહેતો કુલ પ્રવાહ $i$ ઓહ્મના નિયમ દ્વારા મળે છે:
$i = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{3 \ V}{1.5 \ \Omega} = 2 \ A$.

(C) $3\,\Omega$ અને $6\,\Omega$ ના અવરોધો સમાંતર જોડાણમાં છે. તેથી,બંનેના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત સમાન હોય છે.
ધારો કે સમાંતર જોડાણના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_p$ છે.
$V_p = I_1 R_1 = I_2 R_2$
$0.8 \times 3 = I_2 \times 6$
$I_2 = \frac{2.4}{6} = 0.4\,A$
$4\,\Omega$ ના અવરોધમાંથી વહેતો કુલ પ્રવાહ $I$ એ સમાંતર શાખાઓમાંથી વહેતા પ્રવાહોનો સરવાળો છે:
$I = I_1 + I_2 = 0.8\,A + 0.4\,A = 1.2\,A$
$4\,\Omega$ ના અવરોધમાં થતો પોટેન્શિયલ ડ્રોપ $V = I \times R = 1.2\,A \times 4\,\Omega = 4.8\,V$ થાય.

(C) બિંદુઓ $A$ અને $D$ વચ્ચેનો સમતુલ્ય અવરોધ શોધવા માટે,આપણે સર્કિટની રચનાનું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ. સર્કિટ એક સીડી જેવું નેટવર્ક ધરાવે છે.
$1$. ટર્મિનલ $B$ અને $C$ સાથે જોડાયેલા અવરોધો $A$ અને $D$ વચ્ચેના માર્ગના સંદર્ભમાં ઓપન-સર્કિટ છે.
$2$. ખાસ કરીને,$B$ સાથે જોડાયેલ $10 \ \Omega$ નો અવરોધ કોઈની સાથે શ્રેણીમાં નથી,અને $C$ સાથે જોડાયેલ $10 \ \Omega$ નો અવરોધ પણ કોઈની સાથે શ્રેણીમાં નથી.
$3$. નેટવર્કને સરળ બનાવતા: $A$ થી $D$ સુધીના માર્ગમાં પ્રથમ $10 \ \Omega$ નો અવરોધ,અને ત્યારબાદ વચ્ચેના વર્ટિકલ $10 \ \Omega$ ના અવરોધ અને બાકીના નેટવર્કનું સમાંતર જોડાણ આવે છે.
$4$. શ્રેણી અને સમાંતર જોડાણના નિયમોનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરતા,$A$ અને $D$ વચ્ચેનો સમતુલ્ય અવરોધ $30 \ \Omega$ મળે છે.

(D) ધારો કે નીચેના જંકશન પરના નોડ્સ $C$ અને $D$ છે. સર્કિટમાં બે અવરોધ $R$ શ્રેણીમાં છે જે બાકીના ત્રણ અવરોધોના સમાંતર જોડાણ સાથે જોડાયેલા છે.
ચોક્કસ રીતે કહીએ તો,નીચેના બે અવરોધ $R$ શ્રેણીમાં છે,તેથી તેમનો સરવાળો $R + R = 2R$ થાય છે.
આ $2R$ એ વચ્ચેના અવરોધ $R$ સાથે સમાંતર છે,જેનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_p = \frac{(2R \cdot R)}{(2R + R)} = \frac{2R^2}{3R} = \frac{2}{3}R$ થાય છે.
બહારના બે અવરોધ $R$ ને શ્રેણીમાં ઉમેરતા,કુલ સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = R + \frac{2}{3}R + R = \frac{8}{3}R$ મળે છે.
આપેલ છે કે $R = 3\,\Omega$,તેથી $R_{eq} = \frac{8}{3} \times 3 = 8\,\Omega$.
આમ,$8\,\Omega$ વિકલ્પોમાં આપેલ ન હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) ધારો કે બિંદુ $A$ આગળ સ્થિતિમાન $V_A$ છે અને બિંદુ $B$ આગળ સ્થિતિમાન $V_B$ છે.
પરિપથનું અવલોકન કરતા,$A$ ને પ્રથમ $2R$ અને બીજા $2R$ અવરોધ વચ્ચેના નોડ સાથે જોડતો તાર તે નોડ પરના સ્થિતિમાનને $V_A$ જેટલું બનાવે છે.
તે જ રીતે,$2R$ અને $R$ અવરોધ વચ્ચેના નોડને $B$ સાથે જોડતો તાર તે નોડ પરના સ્થિતિમાનને $V_B$ જેટલું બનાવે છે.
પરિણામે,ત્રણેય અવરોધો $(2R, 2R, R)$ બિંદુ $A$ અને $B$ વચ્ચે સમાંતર જોડાણમાં છે.
સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{2R} + \frac{1}{2R} + \frac{1}{R}$
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1+1+2}{2R} = \frac{4}{2R} = \frac{2}{R}$
તેથી,$R_{eq} = \frac{R}{2}$.

(D) આપેલ પરિપથમાં,બેટરી બે શાખાઓ સાથે સમાંતર જોડાણમાં છે. એક શાખામાં $3\,\Omega$ નો એક અવરોધ છે,અને બીજી શાખામાં શ્રેણીમાં બે $3\,\Omega$ ના અવરોધો છે.
$1$. પ્રથમ શાખાનો અવરોધ $R_1 = 3\,\Omega$ છે.
$2$. બીજી શાખાનો અવરોધ $R_2 = 3\,\Omega + 3\,\Omega = 6\,\Omega$ છે.
$3$. આ બંને શાખાઓ સમાંતરમાં હોવાથી,સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ મળે:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{2+1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
$\Rightarrow R_{eq} = 2\,\Omega$.
$4$. ઓહ્મના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$2\,V$ ની બેટરી દ્વારા મળતો કુલ વિદ્યુતપ્રવાહ $I$:
$I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{2\,V}{2\,\Omega} = 1\,A$.

(C) $1$. પરિપથમાં બેટરી સાથે શ્રેણીમાં $1 \ \Omega$ નો આંતરિક અવરોધ છે.
$2$. સમાંતરમાં જોડાયેલા બે $2 \ \Omega$ ના અવરોધોના સંયોજન સાથે શ્રેણીમાં $2 \ \Omega$ નો અવરોધ છે.
$3$. સમાંતરમાં જોડાયેલા બે $2 \ \Omega$ ના અવરોધોનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_p = \frac{2 \times 2}{2 + 2} = 1 \ \Omega$ થાય.
$4$. ઉપરની શાખાનો કુલ અવરોધ $R_{upper} = 1 \ \Omega \text{ (આંતરિક)} + 2 \ \Omega + 1 \ \Omega = 4 \ \Omega$ છે.
$5$. વોલ્ટમીટરનો અવરોધ અનંત માનવામાં આવે છે, તેથી તે પરિપથને અસર કરતું નથી. $4 \ \Omega$ નો અવરોધ બાકીના પરિપથ સાથે શ્રેણીમાં છે.
$6$. પરિપથનો કુલ સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = 4 \ \Omega + 4 \ \Omega = 8 \ \Omega$ થાય.

(B) આપેલ પરિપથ આકૃતિ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે અવરોધો $R_2$ અને $R_3$ સમાંતર જોડાણમાં છે.
આ સમાંતર જોડાણનો સમતુલ્ય અવરોધ $(R_p)$ નીચે મુજબ મળે:
$\frac{1}{R_p} = \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
તેથી,$R_p = 2 \,\Omega$.
હવે,આ સમાંતર જોડાણ એ અવરોધો $R_1$ અને $R_4$ સાથે શ્રેણીમાં છે.
બિંદુઓ $A$ અને $B$ વચ્ચેનો કુલ સમતુલ્ય અવરોધ $(R_{AB})$ નીચે મુજબ છે:
$R_{AB} = R_1 + R_p + R_4$
$R_{AB} = 2 + 2 + 2 = 6 \,\Omega$.

(C) ધારો કે ટર્મિનલ $A$ અને $B$ વચ્ચેનો સમતુલ્ય અવરોધ $R'$ છે. લેડર અનંત હોવાથી,એક વિભાગ ઉમેરવાથી કે દૂર કરવાથી કુલ અવરોધમાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી. તેથી,પરિપથને $R$ અવરોધ અને $2R$ તથા $R'$ ના સમાંતર જોડાણના શ્રેણી જોડાણ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
$R' = R + \frac{2R \times R'}{2R + R'}$
$(2R + R')$ વડે ગુણતા:
$R'(2R + R') = R(2R + R') + 2R \times R'$
$2RR' + R'^2 = 2R^2 + RR' + 2RR'$
$R'^2 - RR' - 2R^2 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$(R' - 2R)(R' + R) = 0$
અવરોધ ઋણ હોઈ શકે નહીં,તેથી $R' = 2R$ મળે છે.

(B) આપેલ છે: $e.m.f.$ $(E) = 10 \, V$,આંતરિક અવરોધ $(r) = 3 \, \Omega$,પ્રવાહ $(i) = 0.5 \, A$.
સંપૂર્ણ પરિપથ માટે ઓહ્મના નિયમ મુજબ,પ્રવાહનું સૂત્ર:
$i = \frac{E}{R + r}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$0.5 = \frac{10}{R + 3}$
$0.5(R + 3) = 10$
$0.5R + 1.5 = 10$
$0.5R = 10 - 1.5$
$0.5R = 8.5$
$R = \frac{8.5}{0.5} = 17 \, \Omega$.
તેથી,અવરોધનું મૂલ્ય $17 \, \Omega$ છે.

(A) સૌ પ્રથમ, પરિપથનો સમતુલ્ય અવરોધ ગણો। $3 \,\Omega$ અને $6 \,\Omega$ ના અવરોધકો સમાંતર જોડાણમાં છે, તેથી તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_p$ નીચે મુજબ મળે:
$R_p = \frac{3 \times 6}{3 + 6} = \frac{18}{9} = 2 \,\Omega$
આ સમાંતર જોડાણ $4 \,\Omega$ ના અવરોધક સાથે શ્રેણીમાં છે। તેથી, પરિપથનો કુલ સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$:
$R_{eq} = 4 \,\Omega + 2 \,\Omega = 6 \,\Omega$
$3 \,V$ ની બેટરીમાંથી વહેતો કુલ પ્રવાહ $i$:
$i = \frac{V_{total}}{R_{eq}} = \frac{3 \,V}{6 \,\Omega} = 0.5 \,A$
સમાંતર જોડાણ (જેમાં $3 \,\Omega$ નો અવરોધક પણ સામેલ છે) પરનો પોટેન્શિયલ ડ્રોપ:
$V_{parallel} = i \times R_p = 0.5 \,A \times 2 \,\Omega = 1 \,V$
$3 \,\Omega$ અને $6 \,\Omega$ ના અવરોધકો સમાંતરમાં જોડાયેલા હોવાથી, તે બંને પરનો પોટેન્શિયલ ડ્રોપ સમાન એટલે કે $1 \,V$ હશે।

(A) આ પરિપથમાં $9\,V$ ની બેટરી સાથે સમાંતર જોડાણમાં $9$ અવરોધો છે,જે દરેક $9\,\Omega$ ના છે.
અવરોધો સમાંતર હોવાથી,દરેક અવરોધ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $9\,V$ છે.
દરેક અવરોધમાંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ $I = \frac{V}{R} = \frac{9\,V}{9\,\Omega} = 1\,A$ છે.
એમીટરની ડાબી બાજુ $4$ અવરોધો અને જમણી બાજુ $5$ અવરોધો છે.
એમીટરને નીચેના વાયરમાં એવી રીતે મૂકવામાં આવ્યું છે કે તે જમણી બાજુના $5$ અવરોધોમાંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ માપે છે.
તેથી,એમીટરનું અવલોકન આ $5$ અવરોધોમાંથી વહેતા વિદ્યુતપ્રવાહનો સરવાળો છે: $I_{ammeter} = 5 \times 1\,A = 5\,A$.

(B) $1$. અવરોધો નીચે મુજબ જોડાયેલા છે: $AB = 10 \ \Omega$,$BC = 5 \ \Omega$,$CD = 7 \ \Omega$,$DA = 3 \ \Omega$,અને વિકર્ણ $AC = 10 \ \Omega$.
$2$. $A$ અને $B$ વચ્ચેનો સમતુલ્ય અવરોધ શોધતી વખતે,પથ $ADC$ શ્રેણીમાં છે. પથ $ADC$ નો અવરોધ $R_{ADC} = R_{AD} + R_{DC} = 3 \ \Omega + 7 \ \Omega = 10 \ \Omega$ થાય.
$3$. આ પથ $ADC$ એ વિકર્ણ અવરોધ $AC = 10 \ \Omega$ સાથે સમાંતર છે. આ સમાંતર જોડાણનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{AC}' = \frac{10 \times 10}{10 + 10} = 5 \ \Omega$ થાય.
$4$. હવે,આ $R_{AC}'$ એ અવરોધ $BC = 5 \ \Omega$ સાથે શ્રેણીમાં છે. તેથી,શાખા $ABC$ નો અવરોધ $R_{ABC} = R_{AC}' + R_{BC} = 5 \ \Omega + 5 \ \Omega = 10 \ \Omega$ થાય.
$5$. અંતે,આ શાખા $ABC$ એ અવરોધ $AB = 10 \ \Omega$ સાથે સમાંતર છે. તેથી $A$ અને $B$ વચ્ચેનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = \frac{10 \times 10}{10 + 10} = 5 \ \Omega$ મળે.

(C) ધારો કે નોડ્સને નામ આપવામાં આવ્યા છે. આ સર્કિટમાં પાંચ $1\,\Omega$ ના અવરોધકો છે.
સર્કિટનું વિશ્લેષણ કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે વચ્ચેના ત્રણ અવરોધકો સમાંતર જોડાણમાં છે.
ધારો કે આ ત્રણ સમાંતર અવરોધકોનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_p$ છે.
દરેક $1\,\Omega$ હોવાથી,આપણને $\frac{1}{R_p} = \frac{1}{1} + \frac{1}{1} + \frac{1}{1} = 3$ મળે છે,તેથી $R_p = \frac{1}{3}\,\Omega$.
આ સમાંતર જોડાણ છેડા પરના બે $1\,\Omega$ અવરોધકો સાથે શ્રેણીમાં છે.
તેથી,કુલ સમતુલ્ય અવરોધ $R_{AB} = 1 + \frac{1}{3} + 1 = 2 + \frac{1}{3} = 2\frac{1}{3}\,\Omega$ થાય છે.

(C) આ સર્કિટમાં $3 \, \Omega$ નો અવરોધ, $10 \, \Omega$ ના અવરોધ અને $(3 + R) \, \Omega$ ના અવરોધના સમાંતર જોડાણ સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલ છે.
$P$ અને $Q$ વચ્ચેનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ છે:
$R_{eq} = 3 + \frac{10 \times (3 + R)}{10 + (3 + R)}$
આપેલ છે કે $R_{eq} = R$, તેથી:
$R = 3 + \frac{10(3 + R)}{13 + R}$
$R - 3 = \frac{30 + 10R}{13 + R}$
$(R - 3)(13 + R) = 30 + 10R$
$13R + R^2 - 39 - 3R = 30 + 10R$
$R^2 + 10R - 39 = 30 + 10R$
$R^2 = 69$
$R = \sqrt{69} \, \Omega$.

(A) $9 \, \Omega$ અવરોધ ધરાવતા તારને $3$ સમાન ભાગોમાં કાપતા,દરેક ભાગનો અવરોધ $3 \, \Omega$ થાય છે. આ ભાગોને સમબાજુ ત્રિકોણ $ABC$ બનાવવા માટે જોડવામાં આવે છે,જ્યાં $R_{AB} = 3 \, \Omega$,$R_{AC} = 3 \, \Omega$,અને $R_{BC} = 3 \, \Omega$ છે.
જ્યારે $2 \, V$ નો કોષ $B$ અને $C$ ની વચ્ચે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે શાખા $BC$ ($3 \, \Omega$ અવરોધ) એ શાખાઓ $AB$ અને $AC$ ના શ્રેણી જોડાણ (કુલ અવરોધ $3 + 3 = 6 \, \Omega$) સાથે સમાંતર જોડાણમાં હોય છે.
પરિપથનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ મળે: $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{2+1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$,તેથી $R_{eq} = 2 \, \Omega$.
કોષમાંથી વહેતો કુલ પ્રવાહ $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{2}{2} = 1 \, A$ છે.
કરંટ ડિવાઈડરના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,શાખા $AB$ માંથી વહેતો પ્રવાહ $i_1 = I \times \left( \frac{3}{3 + 6} \right) = 1 \times \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \, A$ મળે છે.
$AB$ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{AB} = i_1 \times R_{AB} = \frac{1}{3} \times 3 = 1 \, V$ થાય છે.

(C) આ પરિપથમાં $48 \, V$ નો વોલ્ટેજ સ્ત્રોત $100 \, \Omega$,$80 \, \Omega$ અને $20 \, \Omega$ ના અવરોધો સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલ છે.
સૌ પ્રથમ,પરિપથનો કુલ અવરોધ ગણો: $R_{total} = 100 \, \Omega + 80 \, \Omega + 20 \, \Omega = 200 \, \Omega$.
ત્યારબાદ,ઓહ્મના નિયમનો ઉપયોગ કરીને પરિપથમાંથી વહેતો કુલ પ્રવાહ $i$ શોધો: $i = \frac{V}{R_{total}} = \frac{48 \, V}{200 \, \Omega} = 0.24 \, A$.
$PQ$ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત એ $20 \, \Omega$ ના અવરોધ પરનો વોલ્ટેજ ડ્રોપ છે.
આ અવરોધ માટે ઓહ્મના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $V_{PQ} = i \times R_{PQ} = 0.24 \, A \times 20 \, \Omega = 4.8 \, V$.

(A) $1$. સર્કિટ ડાયાગ્રામનું અવલોકન કરો. જમણી બાજુના બે $2\,\Omega$ ના અવરોધો સમાંતર જોડાણમાં છે,તેથી તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_1 = \frac{2 \times 2}{2 + 2} = 1\,\Omega$ થશે.
$2$. આ $1\,\Omega$ નો અવરોધ વચ્ચેના $2\,\Omega$ ના અવરોધ સાથે શ્રેણીમાં છે,પરંતુ સંમિતિ અને પોટેન્શિયલના વિતરણને કારણે,સર્કિટ $AB$ ની વચ્ચે સમાંતરમાં રહેલા બે $2\,\Omega$ ના અવરોધોમાં સરળ બને છે.
$3$. સરળીકરણ આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ,$AB$ વચ્ચેનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = \frac{2 \times 2}{2 + 2} = 1\,\Omega$ છે.

(C) ધારો કે નોડ્સને નામ આપવામાં આવ્યા છે. આ પરિપથમાં પાંચ અવરોધકો છે,જે દરેક $10 \ \Omega$ ના છે.
પરિપથનું વિશ્લેષણ કરતા,તે એક બ્રિજ પરિપથ છે. ધારો કે નોડ્સ $x$,$A$,$B$ અને $y$ છે.
ઉપરનો $10 \ \Omega$ નો અવરોધ $x$ અને $A$ ની વચ્ચે છે.
નીચેનો પ્રથમ $10 \ \Omega$ નો અવરોધ $x$ અને $A$ ની વચ્ચે છે.
આ બંને સમાંતર જોડાણમાં છે,તેથી તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_1 = \frac{10 \times 10}{10 + 10} = 5 \ \Omega$ થાય.
વચ્ચેનો $10 \ \Omega$ નો અવરોધ $A$ અને $B$ ની વચ્ચે છે.
છેલ્લા બે $10 \ \Omega$ ના અવરોધકો $B$ અને $y$ ની વચ્ચે સમાંતર જોડાણમાં છે,તેથી તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_2 = \frac{10 \times 10}{10 + 10} = 5 \ \Omega$ થાય.
હવે,પરિપથ ત્રણ શ્રેણીબદ્ધ અવરોધોમાં સરળ બને છે: $R_1$,વચ્ચેનો $10 \ \Omega$ નો અવરોધ અને $R_2$.
કુલ સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = 5 \ \Omega + 10 \ \Omega + 5 \ \Omega = 20 \ \Omega$ થાય.

(B) આપેલ પરિપથમાં,નોડ્સને નામ આપીએ. જોડાણોનું વિશ્લેષણ કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $R$ અવરોધ ધરાવતા ત્રણેય અવરોધકો બિંદુ $P$ અને $Q$ વચ્ચે સમાંતર જોડાણમાં છે.
ત્રણેય અવરોધકો સમાંતરમાં હોવાથી,સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R} + \frac{1}{R} + \frac{1}{R} = \frac{3}{R}$
તેથી,$R_{eq} = \frac{R}{3}$.

(C) પરિપથ આકૃતિ પરથી જોઈ શકાય છે કે બે $3\,\Omega$ ના અવરોધો શ્રેણીમાં છે,અને આ સંયોજન ત્રીજા $3\,\Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતર જોડાણમાં છે.
પ્રથમ,શ્રેણીમાં રહેલા બે અવરોધોનો સમતુલ્ય અવરોધ ગણો: $R_s = 3\,\Omega + 3\,\Omega = 6\,\Omega$.
હવે,આ $6\,\Omega$ નો અવરોધ બાકીના $3\,\Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતર છે.
પરિપથનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ આ મુજબ મળે: $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{6} + \frac{1}{3} = \frac{1+2}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$R_{eq} = 2\,\Omega$.
ઓમના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,પરિપથમાં કુલ પ્રવાહ $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{3\,V}{2\,\Omega} = 1.5\,A$ થાય.

(D) ધારો કે બેટરીના ઋણ ટર્મિનલનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન $0 \ V$ છે. તેથી ધન ટર્મિનલનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન $10 \ V$ થશે.
ધારો કે બિંદુ $B$ પાસેનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V_B$ છે અને બિંદુ $A$ પાસેનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V_A$ છે.
ઉપરની શાખા માટે,$8 \ \Omega$ અને $6 \ \Omega$ ના અવરોધો શ્રેણીમાં છે. વોલ્ટેજ ડિવાઈડરના નિયમ મુજબ બિંદુ $B$ પાસેનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન: $V_B = 10 \times \frac{6}{8+6} = 10 \times \frac{6}{14} = \frac{60}{14} = \frac{30}{7} \ V$.
નીચેની શાખા માટે,$4 \ \Omega$ અને $3 \ \Omega$ ના અવરોધો શ્રેણીમાં છે. વોલ્ટેજ ડિવાઈડરના નિયમ મુજબ બિંદુ $A$ પાસેનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન: $V_A = 10 \times \frac{3}{4+3} = 10 \times \frac{3}{7} = \frac{30}{7} \ V$.
બિંદુ $A$ અને $B$ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $|V_A - V_B| = |\frac{30}{7} - \frac{30}{7}| = 0 \ V$ થાય.