Electrical Energy and Power Questions in Gujarati

(A) ટ્રાન્સમિટ થયેલ પાવર $P = VI$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V$ એ વોલ્ટેજ છે અને $I$ એ પ્રવાહ છે.
આમ,પ્રવાહ $I = P/V$ થાય.
અવરોધ $R$ ને કારણે ટ્રાન્સમિશન લાઈનોમાં પાવરનો વ્યય $P_{loss} = I^2 R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$I$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $P_{loss} = (P/V)^2 R = (P^2 / V^2) R$ મળે છે.
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે અચળ પાવર $P$ અને અવરોધ $R$ માટે,પાવરનો વ્યય $P_{loss}$ એ વોલ્ટેજના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે $(P_{loss} \propto 1/V^2)$.
તેથી,વોલ્ટેજ $V$ વધારીને,ટ્રાન્સમિશન દરમિયાન પાવરનો વ્યય નોંધપાત્ર રીતે ઘટાડી શકાય છે.
આમ,વિધાન અને કારણ બંને સાચા છે,અને કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી છે.

(A) બલ્બનો પ્રકાશ એ વપરાતા પાવર દ્વારા નક્કી થાય છે,જે $P = I^2R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સાપેક્ષ ત્રુટિના ખ્યાલનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $\frac{dP}{P} = 2 \left( \frac{dI}{I} \right)$.
આપેલ છે કે પ્રવાહ $0.5\%$ જેટલો ઘટે છે,તેથી $\frac{dI}{I} = 0.5\%$.
આ કિંમતને ત્રુટિના સૂત્રમાં મૂકતા: $\frac{dP}{P} = 2 \times 0.5\% = 1\%$.
આમ,બલ્બનો પ્રકાશ $1\%$ જેટલો ઘટે છે.
કારણ કે પાવર ખરેખર પ્રવાહના વર્ગના સમપ્રમાણમાં છે $(P \propto I^2)$,તેથી કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી છે.

(D) બિલ્ડિંગમાં વપરાતો કુલ પાવર $P$ એ તમામ ઉપકરણોના પાવરનો સરવાળો છે.
$P = (15 \times 45) + (15 \times 100) + (15 \times 10) + (2 \times 1000)$
$P = 675 + 1500 + 150 + 2000 = 4325 \; W$
સૂત્ર $P = V \times I$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $V = 220 \; V$ વોલ્ટેજ છે:
$I = \frac{P}{V} = \frac{4325}{220} \approx 19.66 \; A$
ફ્યુઝે કુલ પ્રવાહને હેન્ડલ કરવો પડતો હોવાથી,ન્યૂનતમ ફ્યુઝ ક્ષમતા આગામી પ્રમાણભૂત પૂર્ણાંક મૂલ્ય હોવી જોઈએ,જે $20 \; A$ છે.

(B) ભારતીય ઘરનો સરેરાશ માસિક વીજ વપરાશ આશરે $150 \ kWh$ થી $200 \ kWh$ હોય છે.
દર મહિને $180 \ kWh$ ની સરેરાશ લેતા:
$1 \ kWh = 3.6 \times 10^6 \ J$.
દર મહિને કુલ ઉર્જા = $180 \times 3.6 \times 10^6 \ J = 6.48 \times 10^8 \ J$.
એક મહિનામાં સેકન્ડની સંખ્યા ($30$ દિવસ ધારીને) = $30 \times 24 \times 60 \times 60 = 2,592,000 \ s$.
પ્રતિ સેકન્ડ ઉર્જા = $\frac{6.48 \times 10^8}{2.592 \times 10^6} \approx 250 \ J$.
ઘરગથ્થુ ઉપકરણો અને વપરાશમાં વિવિધતાને ધ્યાનમાં લેતા,આપેલા વિકલ્પોમાં આ મૂલ્ય $500 \ J$ ની સૌથી નજીક છે.

(N/A) $1$. પાવર: પાવર એટલે કાર્ય કરવાનો દર અથવા ઉર્જાના રૂપાંતરણનો દર. ગાણિતિક રીતે, $P = \frac{W}{t}$, જ્યાં $W$ એ કરેલું કાર્ય છે અને $t$ એ લીધેલો સમય છે. પાવરનો $SI$ એકમ વોટ $(W)$ છે, જ્યાં $1 \ W = 1 \ J/s$ છે.
$2$. કિલોવોટ અવર $(kWh)$: કિલોવોટ અવર એ ઉર્જાનો એકમ છે. તે $1 \ kW$ પાવર ધરાવતા વિદ્યુત ઉપકરણ દ્વારા $1 \ \text{કલાક}$ સુધી વપરાતી ઉર્જા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$1 \ kWh = 1000 \ W \times 3600 \ s = 3.6 \times 10^6 \ J$.

(A) ઘરગથ્થુ વીજળીના વપરાશના સંદર્ભમાં,$1\,\text{unit}$ વિદ્યુત ઊર્જાને $1\,\text{kilowatt-hour}$ $(\text{kWh})$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$1\,\text{kWh}$ એ $1\,\text{kW}$ પાવર ધરાવતા વિદ્યુત ઉપકરણ દ્વારા $1\,\text{કલાક}$ સુધી ચાલતી વખતે વપરાતી ઊર્જા દર્શાવે છે.
તેથી,$1\,\text{unit} = 1\,\text{kWh}$.

(B) વિદ્યુત ઉપકરણ દ્વારા વપરાતી ઉર્જાની ગણતરી આ સૂત્ર દ્વારા કરવામાં આવે છે: $E = P \times t$, જ્યાં $P$ એ કિલોવોટ $(kW)$ માં પાવર છે અને $t$ એ કલાક $(h)$ માં સમય છે.
આપેલ છે: પાવર $P = 100\,W = 0.1\,kW$ અને સમય $t = 10\,h$.
ઉર્જા $E = 0.1\,kW \times 10\,h = 1\,kWh$.
કારણ કે $1\,kWh$ એ $1$ યુનિટ વીજળીની બરાબર છે, તેથી કુલ વપરાયેલી ઉર્જા $1$ યુનિટ છે。

(N/A) ધારો કે $A$ અને $B$ એ વાહકના અંતિમ બિંદુઓ છે.
ધારો કે તેમાંથી વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ વહે છે. $A$ અને $B$ ના સ્થિતિમાન અનુક્રમે $V(A)$ અને $V(B)$ છે. વિદ્યુતપ્રવાહ $A$ થી $B$ તરફ વહે છે,તેથી $V(A) > V(B)$. $A$ અને $B$ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત:
$V = V(A) - V(B)$ જ્યાં $V > 0$.
જો $\Delta t$ સમયમાં $A$ થી $B$ તરફ $\Delta Q = I \Delta t$ જેટલો વિદ્યુતભાર વહે,તો $A$ આગળ વિદ્યુતભારની સ્થિતિ ઉર્જા $U_1 = V(A) \Delta Q$ અને $B$ આગળ $U_2 = V(B) \Delta Q$ થાય.
વિદ્યુતભારની સ્થિતિ ઉર્જામાં થતો ફેરફાર:
$\Delta U = U_2 - U_1 = \Delta Q [V(B) - V(A)] = \Delta Q (-V) = -I V \Delta t < 0$.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,ગતિ ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta K = -\Delta U$. તેથી:
$\Delta K = -(-I V \Delta t) = I V \Delta t > 0$.
જો વિદ્યુતભારો વિદ્યુતક્ષેત્રની અસર હેઠળ મુક્તપણે ગતિ કરતા હોત,તો તેમની ગતિ ઉર્જામાં સતત વધારો થાત. પરંતુ,વિદ્યુતભારો અચળ ડ્રિફ્ટ વેગ સાથે ગતિ કરે છે અને પ્રવેગિત ગતિ કરતા નથી.
આનું કારણ એ છે કે વાહકમાં ગતિ દરમિયાન,ઇલેક્ટ્રોન આયનો અને પરમાણુઓ સાથે અથડાય છે. આ અથડામણ દરમિયાન,પરમાણુઓ અથવા આયનો ઇલેક્ટ્રોન પાસેથી ઉર્જા મેળવે છે. પરિણામે,આયનોના દોલનો ઝડપી બને છે અને વાહક ગરમ થાય છે. આમ,ગતિ ઉર્જા ઉષ્મા ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે. ઉર્જા વ્યયનો દર એટલે પાવર $P = \frac{IV \Delta t}{\Delta t} = IV$.

(N/A) વિદ્યુત પાવર એ દર છે કે જેના પર વિદ્યુત ઊર્જાનું રૂપાંતર અન્ય સ્વરૂપોમાં (જેમ કે ઉષ્મા,પ્રકાશ અથવા યાંત્રિક કાર્ય) વિદ્યુત પરિપથ દ્વારા થાય છે.
તે વિદ્યુત ક્ષેત્ર દ્વારા વિદ્યુતભારો (ઇલેક્ટ્રોન) પર કરવામાં આવતા કાર્યમાંથી ઉદ્ભવે છે જ્યારે તેઓ વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત $V$ માંથી પસાર થાય છે.
જ્યારે $dq$ જેટલો વિદ્યુતભાર $V$ જેટલા વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવતમાંથી પસાર થાય,ત્યારે થતું કાર્ય $dW = V dq$ છે.
આમ,પ્રવાહ $I = dq/dt$ હોવાથી,કાર્ય કરવાનો દર (પાવર) $P = dW/dt = V(dq/dt) = VI$ થાય છે.
ઓહ્મના નિયમ $(V = IR)$ નો ઉપયોગ કરીને,પાવરને $P = I^2R$ અથવા $P = V^2/R$ તરીકે પણ દર્શાવી શકાય છે.

(C) લાંબા અંતરે પાવર ટ્રાન્સમિશન દરમિયાન ઓહ્મિક લોસ ઘટાડવા માટે તેને ખૂબ ઊંચા વોલ્ટેજ પર મોકલવામાં આવે છે.
પાવર સ્ટેશન સામાન્ય રીતે વપરાશના સ્થળોથી દૂર હોય છે. પાવર લાંબા કેબલ દ્વારા મોકલવામાં આવે છે,જેનો અવરોધ $(R_c)$ નોંધપાત્ર હોય છે.
ટ્રાન્સમિટ થતો પાવર $P = VI$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V$ એ વોલ્ટેજ છે અને $I$ એ પ્રવાહ છે.
ટ્રાન્સમિશન લાઈનમાં ગરમી સ્વરૂપે વ્યય થતો પાવર $P_c = I^2 R_c$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $I = P/V$,તેથી આ કિંમત પાવર લોસના સમીકરણમાં મૂકતા:
$P_c = (P/V)^2 R_c = P^2 R_c / V^2$.
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $P_c \propto 1/V^2$. તેથી,ટ્રાન્સમિશન વોલ્ટેજ $(V)$ વધારીને,આપેલ પાવર માટે પાવર લોસ $(P_c)$ નોંધપાત્ર રીતે ઘટાડી શકાય છે.

(N/A) ટ્રાન્સમિશન કેબલના અવરોધ $R_C$ ને કારણે વ્યય થતો પાવર $P_{loss} = I^2 R_C$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ કેબલમાંથી વહેતો પ્રવાહ છે.
કુલ પાવર $P = VI$ હોવાથી,આપણે પ્રવાહને $I = P/V$ તરીકે દર્શાવી શકીએ છીએ.
આ કિંમતને પાવર લોસના સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $P_{loss} = (P/V)^2 R_C = P^2 R_C / V^2$ મળે છે.
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે પાવરનો વ્યય એ વોલ્ટેજના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે $(P_{loss} \propto 1/V^2)$.
તેથી,પાવરનો વ્યય ઘટાડવા માટે,ટ્રાન્સમિશન ખૂબ ઊંચા વોલ્ટેજ $V$ અને તે મુજબ ઓછા પ્રવાહ $I$ પર કરવું જોઈએ.

(B) આપેલ પાવર $P_{out} = 1 \, kW = 1000 \, W$ અને વોલ્ટેજ $V = 220 \, V$ છે.
લાઇનમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{P_{out}}{V} = \frac{1000}{220} = \frac{50}{11} \, A$ થાય.
લાઇનના અવરોધ $R = 2 \, \Omega$ ને કારણે થતો પાવર વ્યય $P_{loss} = I^2 R$ છે.
$P_{loss} = \left( \frac{50}{11} \right)^2 \times 2 = \frac{2500}{121} \times 2 = \frac{5000}{121} \approx 41.32 \, W$.
સ્ત્રોત પર ઉત્પન્ન થતો કુલ પાવર $P_{in} = P_{out} + P_{loss} = 1000 + 41.32 = 1041.32 \, W$ છે.
કાર્યક્ષમતા $\eta = \left( \frac{P_{out}}{P_{in}} \right) \times 100$ દ્વારા મળે છે.
$\eta = \left( \frac{1000}{1041.32} \right) \times 100 \approx 96.03 \%$.
તેથી, કાર્યક્ષમતા આશરે $96 \%$ છે.

(A) $1$ લિટર પાણી ઉકાળવા માટે જરૂરી ઉષ્મા $H$ અચળ છે. ઇલેક્ટ્રિક કેટલ દ્વારા ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા $H = \frac{V^2}{R}t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $V$ વોલ્ટેજ છે, $R$ અવરોધ છે અને $t$ સમય છે.
$V$ અચળ હોવાથી, $H \propto \frac{t}{R}$ થાય.
શરૂઆતમાં, $H = \frac{V^2}{R} \times 12$.
કોઈલનો અવરોધ તેના આંટાઓની સંખ્યા $(N)$ ના પ્રમાણમાં હોય છે, તેથી $R \propto N$.
જો $20\%$ આંટા દૂર કરવામાં આવે, તો નવા આંટાની સંખ્યા $N' = N - 0.2N = 0.8N$ થાય.
આમ, નવો અવરોધ $R' = 0.8R$ થાય.
સમાન ઉષ્મા $H$ માટે, $\frac{V^2}{R} \times 12 = \frac{V^2}{R'} \times t'$.
$R' = 0.8R$ મૂકતા, $\frac{V^2}{R} \times 12 = \frac{V^2}{0.8R} \times t'$.
$t' = 12 \times 0.8 = 9.6$ મિનિટ.

(D) અવરોધકમાં ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મીય ઊર્જા $H$ નું સૂત્ર $H = I^2 R t$ છે,જ્યાં $I$ વિદ્યુતપ્રવાહ છે,$R$ અવરોધ છે અને $t$ સમય છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે આપેલ છે: $H_1 = 500 \, J$,$I_1 = 1.5 \, A$,$t = 20 \, s$.
આ કિંમતો મૂકતા: $500 = (1.5)^2 \times R \times 20$.
$500 = 2.25 \times R \times 20 \implies 500 = 45 \times R \implies R = \frac{500}{45} = \frac{100}{9} \, \Omega$.
બીજા કિસ્સા માટે: $I_2 = 3 \, A$,$t = 20 \, s$.
નવી ઊર્જા $H_2$ છે: $H_2 = I_2^2 \times R \times t$.
$H_2 = (3)^2 \times \left(\frac{100}{9}\right) \times 20$.
$H_2 = 9 \times \left(\frac{100}{9}\right) \times 20 = 100 \times 20 = 2000 \, J$.

(D) અવરોધક દ્વારા વ્યય થતી ઉર્જાનું સૂત્ર $H = i^{2}Rt$ છે.
આપેલ છે:
ઉર્જા $H = 10 \, mJ = 10 \times 10^{-3} \, J$
સમય $t = 1 \, s$
પ્રવાહ $i = 2 \, mA = 2 \times 10^{-3} \, A$
અવરોધ $R$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$R = \frac{H}{i^{2}t}$
કિંમતો મૂકતા:
$R = \frac{10 \times 10^{-3}}{(2 \times 10^{-3})^{2} \times 1}$
$R = \frac{10 \times 10^{-3}}{4 \times 10^{-6} \times 1}$
$R = \frac{10 \times 10^{3}}{4} = 2.5 \times 10^{3} = 2500 \, \Omega$.

(B) બેટરી દ્વારા વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત $(V)$ માં વિદ્યુતભાર $(Q)$ ને ખસેડવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $(W)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$W = Q \times V$
આપેલ છે:
વિદ્યુતભાર $(Q)$ = $20\, C$
વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $(V)$ = $15\, V$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$W = 20\, C \times 15\, V$
$W = 300\, J$
તેથી,બેટરી દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય $300\, J$ છે.

(D) અવરોધક દ્વારા વ્યય થતી ઉર્જાનું સૂત્ર $E = i^2 Rt$ છે,જ્યાં $i$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ,$R$ એ અવરોધ અને $t$ એ સમય છે.
આપેલ છે: $E_1 = 192 \, J$,$i_1 = 4 \, A$,$t_1 = 1 \, s$.
આ કિંમતો મૂકતા: $192 = (4)^2 \times R \times 1$.
$192 = 16 \times R \implies R = \frac{192}{16} = 12 \, \Omega$.
હવે,વિદ્યુતપ્રવાહ બમણો થાય છે,તેથી $i_2 = 2 \times 4 = 8 \, A$.
સમય $t_2 = 5 \, s$ છે.
નવી વ્યય થતી ઉર્જા $E_2 = i_2^2 \times R \times t_2$ થશે.
$E_2 = (8)^2 \times 12 \times 5$.
$E_2 = 64 \times 12 \times 5 = 64 \times 60 = 3840 \, J$.

(A) પ્રથમ કિસ્સામાં,પાવર વ્યય $P_1 = \frac{V^2}{R} = \frac{(240)^2}{36} \, W$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે વાયરને બે સમાન ભાગોમાં કાપવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક ભાગનો અવરોધ $R' = \frac{R}{2} = \frac{36}{2} = 18 \, \Omega$ થાય છે.
બીજા કિસ્સામાં,દરેક અડધા ભાગ પર અલગથી $240 \, V$ નો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત લાગુ કરવામાં આવે છે. દરેક ભાગમાં વ્યય થતો પાવર $P_{half} = \frac{V^2}{R'} = \frac{(240)^2}{18} \, W$ છે.
બીજા કિસ્સામાં કુલ પાવર વ્યય $P_2 = P_{half} + P_{half} = 2 \times \frac{(240)^2}{18} = \frac{(240)^2}{9} \, W$ છે.
પાવર વ્યયનો ગુણોત્તર $\frac{P_1}{P_2} = \frac{(240)^2 / 36}{(240)^2 / 9} = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}$ છે.
આને $1:x$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 4$ મળે છે.

(B) અવરોધકમાં ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મીય ઊર્જા $H$ નું સૂત્ર $H = i^2 Rt$ છે,જ્યાં $i$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે,$R$ એ અવરોધ છે અને $t$ એ સમય છે.
પ્રથમ,આપણે આપેલ કિંમતોનો ઉપયોગ કરીને અવરોધ $R$ શોધીએ: $H = 300 \,J$,$i = 2 \,A$ અને $t = 15 \,s$.
$300 = 2^2 \times R \times 15$
$300 = 4 \times R \times 15$
$300 = 60R$
$R = \frac{300}{60} = 5 \,\Omega$
હવે,જ્યારે વિદ્યુતપ્રવાહ $i = 3 \,A$ અને સમય $t = 10 \,s$ હોય ત્યારે સમાન અવરોધ $R = 5 \,\Omega$ માટે ઉત્પન્ન થતી ઊર્જાની ગણતરી કરીએ:
$H = i^2 Rt$
$H = 3^2 \times 5 \times 10$
$H = 9 \times 5 \times 10$
$H = 450 \,J$

(A) તારમાં ઉત્પન્ન થતી ઉષ્માનો દર $Q_2 = I^2 R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. અવરોધ $R = \frac{\rho L}{\pi r^2}$ હોવાથી,$Q_2 = \frac{I^2 \rho L}{\pi r^2}$ મળે.
ઉષ્મા વ્યયનો દર $Q_1$ એ સપાટીના ક્ષેત્રફળ $A = 2 \pi r L$ ના સમપ્રમાણમાં છે. તેથી,$Q_1 = k (2 \pi r L) \Delta T$,જ્યાં $k$ અચળાંક છે અને $\Delta T$ એ તાપમાનનો તફાવત છે.
સ્થાયી અવસ્થામાં,ઉત્પન્ન થતી ઉષ્માનો દર અને ઉષ્મા વ્યયનો દર સમાન હોય છે: $Q_2 = Q_1$.
$\frac{I^2 \rho L}{\pi r^2} = k (2 \pi r L) \Delta T$.
$\Delta T$ માટે ઉકેલતા: $\Delta T = \frac{I^2 \rho L}{\pi r^2 \cdot 2 \pi r L k} = \frac{I^2 \rho}{2 \pi^2 r^3 k}$.
અહીં લંબાઈ $L$ બંને બાજુથી રદ થઈ જાય છે,તેથી સ્થાયી અવસ્થાનું તાપમાન $\Delta T$ એ તારની લંબાઈ $L$ થી સ્વતંત્ર છે.

(C) $1$ લેપટોપ માટે પાવરની જરૂરિયાત $P_1 = 90 \,W$ છે.
$10$ લેપટોપ માટે કુલ પાવરની જરૂરિયાત $P = 10 \times 90 = 900 \,W = 0.9 \,kW$ છે.
$UPS$ ની ક્ષમતા $1 \,kVA$ હોવાથી,તે $900 \,W$ નો ભાર સહન કરી શકે છે (પાવર ફેક્ટર $\approx 1$ ધારતા),તેથી વિધાન $I$ સાચું છે.
$5 \,h$ માં,બધા લેપટોપ દ્વારા વપરાતી વિદ્યુત ઉર્જા $E = P \times t = 0.9 \,kW \times 5 \,h = 4.5 \,kWh$ છે.
વીજળીનો ખર્ચ = $4.5 \,kWh \times ₹ 5.00/kWh = ₹ 22.50$. આમ,વિધાન $III$ સાચું છે.
$220 \,V$ ના ઇનપુટ વોલ્ટેજ માટે,$10$ લેપટોપ દ્વારા ખેંચાતો પ્રવાહ $I = P/V = 900 \,W / 220 \,V \approx 4.1 \,A$ છે.
$4.1 \,A > 3 \,A$ હોવાથી,$3 \,A$ નો ફ્યુઝ ઉડી જશે. તેથી,વિધાન $II$ ખોટું છે.
આમ,વિધાન $I$ અને $III$ સાચા છે.

(B) અવરોધક દ્વારા વ્યય થતો પાવર $P = I^2 R$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ પ્રવાહ છે અને $R$ એ અવરોધ છે.
આ સમીકરણનું વિકલન લેતા,આપણને $\frac{\Delta P}{P} = 2 \frac{\Delta I}{I}$ મળે છે.
ટકાવારીમાં ફેરફાર શોધવા માટે,આપણે બંને બાજુ $100$ વડે ગુણીએ છીએ:
$\frac{\Delta P}{P} \times 100 = 2 \times \left( \frac{\Delta I}{I} \times 100 \right)$.
આપેલ છે કે પ્રવાહમાં થતો ટકાવારી ફેરફાર $\frac{\Delta I}{I} \times 100 = 3 \%$ છે.
તેથી,પાવર વ્યયમાં થતો ટકાવારી ફેરફાર $2 \times 3 \% = 6 \%$ થશે.

(A) ઇલેક્ટ્રિક હીટર દ્વારા વપરાતો પાવર $P = \frac{V^2}{R}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V$ એ વોલ્ટેજ છે અને $R$ એ કોઈલનો અવરોધ છે.
આપેલ છે કે વોલ્ટેજ $V = 220 \,V$ અચળ રહે છે.
સૂત્ર પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $P \propto \frac{1}{R}$.
જ્યારે કોઈલનો એક ભાગ કાપી નાખવામાં આવે છે,ત્યારે તારની લંબાઈ ઘટે છે. અવરોધ $R = \rho \frac{L}{A}$ હોવાથી,જ્યાં $L$ એ લંબાઈ છે,લંબાઈ $L$ ઘટાડવાથી અવરોધ $R$ માં ઘટાડો થાય છે.
અવરોધ $R$ ઘટતો હોવાથી,હીટર દ્વારા વપરાતો પાવર $P$ વધવો જોઈએ.
તેથી,હવે વપરાતો પાવર $1 \,kW$ કરતા વધારે હશે.

(D) બેટરીમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $E = V \times I \times t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $V = 3 \,V$ અને $I \times t = 225 \,mAh = 225 \times 10^{-3} \,A \times 3600 \,s = 810 \,C$ છે.
તેથી,$E = 3 \,V \times 810 \,C = 2430 \,J$.
ક્રિકેટ બોલ માટે,ગતિ ઉર્જા $K.E. = \frac{1}{2} mv^2$ છે.
ઉર્જાને સરખાવતા: $2430 = \frac{1}{2} \times 0.163 \,kg \times v^2$.
$v^2 = \frac{2430 \times 2}{0.163} \approx 29816$.
$v = \sqrt{29816} \approx 172.67 \,m/s$.
આ કિંમત $170 \,m/s$ ની સૌથી નજીક છે.

(A) સપ્લાયમાંથી મેળવી શકાતી મહત્તમ પાવર $P_{total} = V \times I$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $V = 220 \,V$ અને $I = 5 \,A$ આપેલ છે,તેથી $P_{total} = 220 \times 5 = 1100 \,W$ થાય.
ધારો કે $P_1 = 60 \,W$ પાવર ધરાવતા $n$ બલ્બ સુરક્ષિત રીતે ચલાવી શકાય છે.
તેથી,$n \times P_1 \leq P_{total}$.
$n \times 60 \leq 1100$.
$n \leq \frac{1100}{60} = 18.33$.
બલ્બની સંખ્યા પૂર્ણાંક હોવી જોઈએ,તેથી સુરક્ષિત રીતે ચલાવી શકાય તેવા બલ્બની મહત્તમ સંખ્યા $18$ છે.

(B) જ્યારે $I$ જેટલો વિદ્યુતપ્રવાહ $R$ અવરોધ ધરાવતા અવરોધકમાંથી $t$ સમય માટે પસાર થાય,ત્યારે ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા ઉર્જા $H$ એ જૂલના તાપીય નિયમ મુજબ આપવામાં આવે છે: $H = I^2Rt$.
પ્રથમ કિસ્સામાં આપેલ છે: $I_1 = 4\,A$,$t = 10\,s$,અને ઉર્જા $H_1 = H$ છે.
તેથી,$H = (4)^2 \times R \times 10 = 160R$.
બીજા કિસ્સામાં: $I_2 = 16\,A$,$t = 10\,s$,અને ધારો કે ઉર્જા $H_2$ છે.
તેથી,$H_2 = (16)^2 \times R \times 10 = 256 \times R \times 10 = 2560R$.
હવે,બંને ઉર્જાઓનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{H_2}{H} = \frac{2560R}{160R} = 16$.
તેથી,$H_2 = 16H$.

(C) અવરોધમાં વ્યય થતો પાવર $P = \frac{V^2}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શરૂઆતમાં,$R$ અવરોધ ધરાવતા તાર પર $V_0$ સ્થિતિમાન લાગુ પાડતા,પાવર વ્યય $P_1 = \frac{V_0^2}{R}$ થાય છે.
જ્યારે તારને બે સમાન ભાગોમાં કાપવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક ભાગનો અવરોધ $R' = \frac{R}{2}$ થાય છે.
હવે,દરેક ભાગ પર $V_0$ સ્થિતિમાન લાગુ પાડવામાં આવે છે. એક ભાગમાં વ્યય થતો પાવર $P' = \frac{V_0^2}{R'} = \frac{V_0^2}{R/2} = \frac{2V_0^2}{R}$ છે.
બંને તારમાં કુલ પાવર વ્યય $P_2 = P' + P' = 2 \times \frac{2V_0^2}{R} = \frac{4V_0^2}{R}$ છે.
ગુણોત્તર $P_2 : P_1 = \frac{4V_0^2/R}{V_0^2/R} = 4$ ની ગણતરી કરતા.
આપેલ ગુણોત્તર $\sqrt{x} : 1$ હોવાથી,આપણી પાસે $\sqrt{x} = 4$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$x = 16$ મળે છે.

(C) લેમ્પ દ્વારા વપરાતો પાવર,જે તેના પ્રકાશને નિર્ધારિત કરે છે,તે $P = I^2 R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ પ્રવાહ છે અને $R$ એ અવરોધ છે.
ધારો કે પ્રારંભિક પ્રવાહ $I_0$ છે. તો પ્રારંભિક પાવર $P_0 = I_0^2 R$ થશે.
જો પ્રવાહમાં $20 \%$ નો ઘટાડો થાય,તો નવો પ્રવાહ $I_f = I_0 - 0.20 I_0 = 0.80 I_0$ થશે.
નવો પાવર $P_f = (0.80 I_0)^2 R = 0.64 I_0^2 R = 0.64 P_0$ થશે.
પાવરમાં થતો ટકાવારી ફેરફાર $\frac{P_f - P_0}{P_0} \times 100 = (0.64 - 1) \times 100 = -36 \%$ છે.
ઋણ નિશાની ઘટાડો સૂચવે છે. તેથી,લેમ્પના પ્રકાશમાં $36 \%$ નો ઘટાડો થશે.

(A) બલ્બનો અવરોધ $R$ તેના રેટ કરેલ પાવર $P_{rated}$ અને રેટ કરેલ વોલ્ટેજ $V_{rated}$ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:
$R = \frac{V_{rated}^2}{P_{rated}} = \frac{(200)^2}{50} = \frac{40000}{50} = 800 \, \Omega$
જ્યારે બલ્બને નવા સપ્લાય વોલ્ટેજ $V_{applied} = 100 \, V$ સાથે જોડવામાં આવે છે, ત્યારે વાસ્તવિક પાવર વ્યય $P_{actual}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$P_{actual} = \frac{V_{applied}^2}{R} = \frac{(100)^2}{800} = \frac{10000}{800} = 12.5 \, W$
આમ, બલ્બનો પાવર વ્યય $12.5 \, W$ છે। તેથી, વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(B) પ્રતિ સેકન્ડ વ્યય થતી ઉષ્મા એ અવરોધ દ્વારા વપરાતો પાવર $P$ છે,જે $P = I^2 R = \frac{V^2}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $5 \Omega$ અને $10 \Omega$ ના અવરોધો સમાંતર જોડાણમાં હોવાથી,બંનેના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ સમાન રહેશે.
તેથી,વ્યય થતા પાવરનો ગુણોત્તર $\frac{P_1}{P_2} = \frac{V^2 / R_1}{V^2 / R_2} = \frac{R_2}{R_1}$ થશે.
કિંમતો $R_1 = 5 \Omega$ અને $R_2 = 10 \Omega$ મૂકતા,આપણને $\frac{P_1}{P_2} = \frac{10}{5} = \frac{2}{1}$ મળે છે.
આમ,ગુણોત્તર $2: 1$ છે.

(A) બલ્બનો પાવર $P$ એ $P = V \cdot I$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે $P = 110 \,W$ અને $V = 220 \,V$.
કિંમતો મૂકતા,$110 = 220 \times I$.
તેથી,વિદ્યુતપ્રવાહ $I = \frac{110}{220} = 0.5 \,A$.
વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ ને વિદ્યુતભારના વહનનો દર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,$I = \frac{q}{t} = \frac{n \cdot e}{t}$,જ્યાં $n$ એ ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા છે અને $e$ એ પ્રાથમિક વિદ્યુતભાર છે.
આપણે પ્રતિ સેકન્ડ ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા શોધવાની છે,જે $\frac{n}{t} = \frac{I}{e}$ છે.
$I = 0.5 \,A$ અને $e = 1.6 \times 10^{-19} \,C$ મૂકતા:
$\frac{n}{t} = \frac{0.5}{1.6 \times 10^{-19}} = \frac{5}{16} \times 10^{19} = 0.3125 \times 10^{19} = 31.25 \times 10^{17}$ ઇલેક્ટ્રોન પ્રતિ સેકન્ડ.

(C) હીટિંગ એલિમેન્ટ દ્વારા વપરાતો પાવર $P = V^2/R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V$ એ સપ્લાય વોલ્ટેજ છે અને $R$ એ અવરોધ છે.
કારણ કે $R = \rho \ell/A$,જ્યાં $\rho$ એ અવરોધકતા છે,$\ell$ એ લંબાઈ છે,અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે,તેથી $P \propto 1/\ell$ થાય.
પાણી ઉકાળવા માટે જરૂરી ઉષ્મા $H = P \times t$ છે. $H$ અચળ હોવાથી,$P_1 t_1 = P_2 t_2$ થાય.
તેથી,$P_1/P_2 = t_2/t_1 = 15/20 = 3/4$ મળે.
$P \propto 1/\ell$ હોવાથી,$P_1/P_2 = \ell_2/\ell_1$ થાય.
આમ,$\ell_2/\ell_1 = 3/4$ મળે.
નવી લંબાઈ $\ell_2$ એ પ્રારંભિક લંબાઈ $\ell_1$ ના $3/4$ ગણી હોવાથી,લંબાઈને તેની પ્રારંભિક લંબાઈના $3/4$ ગણી ઘટાડવી જોઈએ.

(C) $1$. જેમ ટંગસ્ટન ફિલામેન્ટ અસમાન રીતે બાષ્પીભવન પામે છે, તેમ તેનો આડછેદનો વિસ્તાર વિવિધ બિંદુઓ પર ઘટે છે, જેનાથી અવરોધ $(R = \rho L / A)$ માં વધારો થાય છે.
$2$. બલ્બ અચળ વોલ્ટેજ $(V)$ પર કાર્યરત હોવાથી, વપરાતો પાવર $P = V^2 / R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જેમ $R$ વધે છે, તેમ વપરાતો પાવર $P$ ઘટે છે. તેથી, વિધાન $(D)$ સાચું છે.
$3$. અસમાન બાષ્પીભવનને કારણે, ફિલામેન્ટ અમુક બિંદુઓ પર પાતળો થઈ જાય છે, જેનાથી તાપમાનનું વિતરણ અસમાન બને છે. તેથી, વિધાન $(A)$ ખોટું છે.
$4$. જેમ ફિલામેન્ટ પાતળો થાય છે, તેમ તેનો અવરોધ વધે છે, ઘટતો નથી. તેથી, વિધાન $(B)$ ખોટું છે.
$5$. જેમ ફિલામેન્ટ પાતળો થાય છે, તેમ સૌથી પાતળા બિંદુઓ પર તાપમાન વધે છે, જે બ્લેક-બોડી રેડિયેશન સ્પેક્ટ્રમના શિખરને ઉચ્ચ આવર્તન તરફ ખસેડે છે (વીનનો સ્થાનાંતરનો નિયમ, $\lambda_{max} T = \text{constant}$). તેથી, તે તૂટતા પહેલા ઉચ્ચ આવર્તન બેન્ડમાં વધુ પ્રકાશ ઉત્સર્જિત કરે છે. તેથી, વિધાન $(C)$ સાચું છે.
$6$. આમ, વિધાન $(C)$ અને $(D)$ સાચા છે.

(D) બલ્બનો પાવર રેટિંગ $P = V^2 / R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V$ એ રેટ કરેલ વોલ્ટેજ છે અને $R$ એ ઓપરેટિંગ તાપમાને ફિલામેન્ટનો અવરોધ છે.
બધા બલ્બ માટે $V$ અચળ હોવાથી,$P \propto 1 / R$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $R \propto 1 / P$.
તેથી,ઉચ્ચ પાવર રેટિંગ ધરાવતા બલ્બનો ઓપરેટિંગ તાપમાને અવરોધ ઓછો હશે.
જોકે ફિલામેન્ટનો અવરોધ તાપમાન સાથે વધે છે,પરંતુ ઓરડાના તાપમાને પણ અવરોધનો સાપેક્ષ ક્રમ ઓપરેટિંગ તાપમાન જેવો જ રહે છે.
આપેલ છે કે $P_{100} > P_{60} > P_{40}$,તેથી $R_{100} < R_{60} < R_{40}$ થાય.

(C) બેટરીમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $E$ એ સૂત્ર $E = V \times q$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V$ એ વોલ્ટેજ છે અને $q$ એ કુલ વિદ્યુતભાર કુલંબમાં છે.
આપેલ છે,$V = 4.2 \ V$ અને $q = 5800 \ mAh$.
પ્રથમ,વિદ્યુતભાર $q$ ને કુલંબ $(C)$ માં રૂપાંતરિત કરો:
$q = 5800 \times 10^{-3} \ A \times h = 5.8 \ A \times (3600 \ s) = 20880 \ C$.
હવે,ઉર્જા $E$ ની ગણતરી કરો:
$E = 4.2 \ V \times 20880 \ C = 87696 \ J$.
જૂલને કિલોજૂલ $(kJ)$ માં રૂપાંતરિત કરતા:
$E = 87.696 \ kJ \approx 87.7 \ kJ$.

(C) ધારો કે મેઈન સપ્લાયનો વોલ્ટેજ $V$ છે. દરેક બલ્બનો અવરોધ $R = V^2/P$ છે.
જ્યારે $n$ સમાન બલ્બને શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સંયોજનનો કુલ અવરોધ $R_{eq} = nR$ થાય છે.
શ્રેણી સંયોજન દ્વારા ખેંચાતો કુલ પાવર $P_s = V^2 / R_{eq}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$R_{eq} = nR$ મૂકતા,આપણને $P_s = V^2 / (nR)$ મળે છે.
ચૂકી $R = V^2/P$ છે,તેથી આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $P_s = V^2 / (n(V^2/P))$.
આનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $P_s = P/n$ મળે છે.

(B) આપેલ પાણીના જથ્થાનું તાપમાન વધારવા માટે જરૂરી ઉષ્મા $H = \frac{V^2}{R} t$ છે. કારણ કે $H$ અને $V$ બંને હીટર માટે સમાન છે,તેથી $t \propto R$ થાય.
ધારો કે $R_1$ અને $R_2$ એ બે હીટરના અવરોધ છે. તેથી $R_1 \propto t_1 = 10$ અને $R_2 \propto t_2 = 20$.
જ્યારે સમાંતર જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સમતુલ્ય અવરોધ $R_{\text{eq}}$ એ $\frac{1}{R_{\text{eq}}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} = \frac{R_1 + R_2}{R_1 R_2}$ દ્વારા મળે છે,તેથી $R_{\text{eq}} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$.
કારણ કે $t \propto R$,સમતુલ્ય સમય $t_{\text{eq}} = \frac{t_1 t_2}{t_1 + t_2}$ થશે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $t_{\text{eq}} = \frac{10 \times 20}{10 + 20} = \frac{200}{30} = \frac{20}{3}$ મિનિટ.

(C) આપેલ છે: રેટ કરેલ પાવર $P = 100\ W$,રેટ કરેલ વોલ્ટેજ $V = 230\ V$.
સૌ પ્રથમ,$P = \frac{V^2}{R}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને બલ્બના ફિલામેન્ટનો અવરોધ $R$ શોધો.
$R = \frac{V^2}{P} = \frac{230^2}{100} = \frac{52900}{100} = 529\ \Omega$.
જ્યારે સપ્લાય વોલ્ટેજ ઘટીને $V' = 115\ V$ થાય છે,ત્યારે વપરાતો પાવર $P' = \frac{V'^2}{R}$ દ્વારા મળે છે.
સમય $t = 20\ min = 20 \times 60\ s = 1200\ s$.
ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા ઉર્જા $H = P' \times t = \frac{V'^2}{R} \times t$.
કિંમતો મૂકતા: $H = \frac{115^2}{529} \times 1200 = \frac{13225}{529} \times 1200$.
કારણ કે $13225 / 529 = 25$,તેથી $H = 25 \times 1200 = 30000\ J$.

(C) $E$ $\operatorname{emf}$ અને $r$ આંતરિક અવરોધ ધરાવતા કોષને જ્યારે બાહ્ય અવરોધ $R$ સાથે જોડવામાં આવે,ત્યારે પાવર આઉટપુટ $P = I^{2} R$ દ્વારા મળે છે.
અહીં $I = E / (R + r)$ હોવાથી,$P = (E / (R + r))^{2} R = E^{2} R / (R + r)^{2}$ થાય.
મહત્તમ પાવર મેળવવા માટે,આપણે $P$ નું $R$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીને તેને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ: $dP / dR = E^{2} [((R + r)^{2} - R(2(R + r))) / (R + r)^{4}] = 0$.
આ સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા $(R + r)^{2} - 2R(R + r) = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $R + r - 2R = 0$,એટલે કે $R = r$.
હવે $R = r$ ની કિંમત પાવરના સૂત્રમાં મૂકતા,$P_{\text{max}} = E^{2} r / (r + r)^{2} = E^{2} r / (2r)^{2} = E^{2} r / 4r^{2} = E^{2} / 4r$ મળે છે.

(C) બલ્બનો પાવર રેટિંગ $P = 200 \text{ W}$ છે અને વોલ્ટેજ સપ્લાય $V = 220 \text{ V}$ છે.
પાવરના સૂત્ર $P = \frac{V^2}{R}$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે અવરોધ $R$ માટે તેને આ રીતે લખી શકીએ:
$R = \frac{V^2}{P}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$R = \frac{(220)^2}{200} = \frac{48400}{200} = 242 \ \Omega$.
તેથી,બલ્બનો અવરોધ $242 \ \Omega$ છે.

(D) વિદ્યુત ઉપકરણનો પાવર $P$ એ સૂત્ર $P = \frac{V^2}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V$ એ વોલ્ટેજ છે અને $R$ એ અવરોધ છે.
અવરોધ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $R = \frac{V^2}{P}$ મળે છે.
અહીં $V = 220 \text{ V}$ અને $P = 100 \text{ W}$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $R = \frac{(220)^2}{100} = \frac{48400}{100} = 484 \Omega$.
તેથી,બલ્બનો અવરોધ $484 \Omega$ છે.

(B) બેટરી દ્વારા બાહ્ય લોડને આપવામાં આવતો પાવર $P = I^2 R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I = \frac{\varepsilon}{R+r}$ છે.
મહત્તમ પાવર ટ્રાન્સફર માટે,બાહ્ય અવરોધ $R$ એ બેટરીના આંતરિક અવરોધ $r$ જેટલો હોવો જોઈએ $(R = r)$.
મહત્તમ પાવર માટેનું સૂત્ર $P_{max} = \frac{\varepsilon^2}{4r}$ છે.
આપેલ છે: $\varepsilon = 12 \ V$ અને $r = 0.4 \ \Omega$.
કિંમતો મૂકતા: $P_{max} = \frac{12^2}{4 \times 0.4} = \frac{144}{1.6} = 90 \ W$.
જોકે,પ્રશ્નમાં આપેલ વિકલ્પ $360 \ W$ એ $P = \frac{\varepsilon^2}{r} = \frac{144}{0.4} = 360 \ W$ ના આધારે છે,જે શોર્ટ સર્કિટની સ્થિતિ દર્શાવે છે. આપેલ વિકલ્પો મુજબ,$360 \ W$ એ સાચો જવાબ ગણવામાં આવે છે.

(A) વાહકમાં એકમ સમયમાં ઉત્પન્ન થતી ઉષ્માને વાહકમાં વ્યય થતા વિદ્યુત પાવર $P$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
જૂલના ઉષ્માના નિયમ મુજબ,વ્યય થતો પાવર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$P = I^2 R$
જ્યાં $I$ એ વિદ્યુત પ્રવાહ છે અને $R$ એ વાહકનો અવરોધ છે.
તાપમાન અચળ હોવાથી,અવરોધ $R$ અચળ રહે છે.
તેથી,એકમ સમયમાં ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા એ વિદ્યુત પ્રવાહના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(P \propto I^2)$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) પાણીના નિશ્ચિત જથ્થાને ઉકાળવા માટે જરૂરી ઉષ્મા ઉર્જા $H$ અચળ છે.
ઉષ્મા ઉર્જા માટેનું સૂત્ર $H = \frac{V^2}{R} t$ છે,જ્યાં $V$ એ વોલ્ટેજ,$R$ એ અવરોધ અને $t$ એ સમય છે.
અહીં $H$ અને $R$ અચળ હોવાથી,$H_1 = H_2$ થાય.
$\frac{V_1^2}{R} t_1 = \frac{V_2^2}{R} t_2$
આપેલ છે કે $V_1 = V$,$t_1 = 5 \text{ min}$,અને $V_2 = \frac{V}{2}$.
આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{V^2}{R} (5) = \frac{(\frac{V}{2})^2}{R} t_2$
$5 = \frac{V^2}{4R} \cdot \frac{R}{V^2} \cdot t_2$
$5 = \frac{t_2}{4}$
$t_2 = 20 \text{ min}$.

(B) બલ્બના ફિલામેન્ટમાંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ એ સૂત્ર $I = \frac{P}{V}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $P = 60 \ W$ અને $V = 120 \ V$ આપેલ છે,તેથી:
$I = \frac{60}{120} = 0.5 \ A$.
વિદ્યુતપ્રવાહ એ વિદ્યુતભારના વહનનો દર છે,તેથી $I = \frac{Q}{t} = \frac{ne}{t}$,જ્યાં $n$ એ ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા છે,$e$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો વિદ્યુતભાર $(1.6 \times 10^{-19} \ C)$ છે અને $t$ એ સમય છે.
$t = 1 \ s$ માટે,ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા $n$ નીચે મુજબ મળે:
$n = \frac{I \times t}{e} = \frac{0.5 \times 1}{1.6 \times 10^{-19}}$.
$n = 0.3125 \times 10^{19} = 3.125 \times 10^{18}$.
આમ,દર સેકન્ડે વહેતા ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા $3.125 \times 10^{18}$ છે.

(B) શ્રેણી જોડાણ માટે:
દરેક બલ્બનો સમતુલ્ય અવરોધ $R = \frac{V^2}{P} = \frac{250^2}{100} = 625 \ \Omega$ છે.
જ્યારે બે સમાન બલ્બ શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોય,ત્યારે કુલ અવરોધ $R_s = R + R = 2R = 1250 \ \Omega$ થાય.
શ્રેણીમાં વપરાતો કુલ પાવર $P_s = \frac{V^2}{R_s} = \frac{250^2}{1250} = \frac{62500}{1250} = 50 \ W$ છે.
વૈકલ્પિક રીતે,$P_s = \frac{P_1 P_2}{P_1 + P_2} = \frac{100 \times 100}{100 + 100} = 50 \ W$.
સમાંતર જોડાણ માટે:
જ્યારે બે સમાન બલ્બ સમાંતરમાં જોડાયેલા હોય,ત્યારે કુલ અવરોધ $R_p = \frac{R}{2} = \frac{625}{2} = 312.5 \ \Omega$ થાય.
સમાંતરમાં વપરાતો કુલ પાવર $P_p = \frac{V^2}{R_p} = \frac{250^2}{312.5} = \frac{62500}{312.5} = 200 \ W$ છે.
વૈકલ્પિક રીતે,$P_p = P_1 + P_2 = 100 + 100 = 200 \ W$.
આમ,શ્રેણી અને સમાંતર કિસ્સાઓમાં કુલ પાવર અનુક્રમે $50 \ W$ અને $200 \ W$ છે.

(C) $R$ અવરોધ ધરાવતા બલ્બ દ્વારા $V$ વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત પર વપરાતો પાવર $P = \frac{V^2}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ બલ્બ માટે,$P_1 = \frac{V^2}{R_1}$,જેનો અર્થ છે કે $R_1 = \frac{V^2}{P_1}$.
બીજા બલ્બ માટે,$P_2 = \frac{V^2}{R_2}$,જેનો અર્થ છે કે $R_2 = \frac{V^2}{P_2}$.
જ્યારે બલ્બને શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ અવરોધ $R_{eq} = R_1 + R_2$ થાય છે.
શ્રેણી જોડાણમાં વપરાતો કુલ પાવર $P_{series} = \frac{V^2}{R_{eq}} = \frac{V^2}{R_1 + R_2}$ છે.
$R_1$ અને $R_2$ ની કિંમતો મૂકતા,આપણને $P_{series} = \frac{V^2}{\frac{V^2}{P_1} + \frac{V^2}{P_2}} = \frac{1}{\frac{1}{P_1} + \frac{1}{P_2}}$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $P_{series} = \frac{P_1 P_2}{P_1 + P_2}$ મળે છે.

(D) વાહકમાં પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા એ પાવર જેટલી હોય છે,જે $P = I^2 R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તાર સમાન દ્રવ્યના બનેલા છે અને સમાન લંબાઈ ધરાવે છે,તેથી અવરોધ $R = \rho \frac{l}{A}$ થાય.
આ કિંમત પાવરના સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $P = I^2 \left( \frac{\rho l}{A} \right)$ મળે છે.
અહીં $I$,$\rho$ અને $l$ બંને તાર માટે અચળ હોવાથી,$P \propto \frac{1}{A}$ થાય.
તેથી,ઉત્પન્ન થતી ઉષ્માનો ગુણોત્તર $\frac{P_1}{P_2} = \frac{A_2}{A_1}$ થશે.
આપેલ ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર $\frac{A_1}{A_2} = \frac{1}{2}$ હોવાથી,$\frac{A_2}{A_1} = \frac{2}{1}$ મળે.
આમ,પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્પન્ન થતી ઉષ્માનો ગુણોત્તર $2 : 1$ છે.

(D) લેમ્પમાં વપરાતો પાવર $P$ એ સૂત્ર $P = I^2 R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ વિદ્યુત પ્રવાહ છે અને $R$ એ અવરોધ છે.
આ સમીકરણનું લઘુગણકીય વિકલન કરતા,આપણને $\frac{dP}{P} = 2 \frac{dI}{I}$ મળે છે.
અહીં આપેલ છે કે વિદ્યુત પ્રવાહ $5 \ \%$ ઘટે છે,તેથી $\frac{dI}{I} = -0.05$ થાય.
આ કિંમતને સમીકરણમાં મૂકતા,$\frac{dP}{P} = 2 \times (-0.05) = -0.10$ મળે છે.
આ દર્શાવે છે કે પાવર આઉટપુટમાં $10 \ \%$ નો ઘટાડો થાય છે.

(C) આપેલ છે: $P_1 = 40 \text{ W}$ અને $P_2 = 40 \text{ W}$.
શ્રેણી જોડાણમાં જોડાયેલા બલ્બ માટે, સમતુલ્ય પાવર $P$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$P = \frac{P_1 \times P_2}{P_1 + P_2}$
કિંમતો મૂકતા:
$P = \frac{40 \times 40}{40 + 40}$
$P = \frac{1600}{80}$
$P = 20 \text{ W}$.
આમ, સંયોજન દ્વારા વપરાતો પાવર $20 \text{ W}$ છે.