RL, RC and LC AC Circuits Questions in Hindi

(C) श्रेणी $R-C$ परिपथ में धारा $i$ इस प्रकार दी जाती है:
$i = \frac{V_0}{Z} = \frac{V_0}{\sqrt{R^2 + X_C^2}} = \frac{V_0}{\sqrt{R^2 + (1/\omega C)^2}}$
संधारित्र के सिरों पर वोल्टेज $V = i X_C = i \cdot \frac{1}{\omega C}$ है।
$i$ का व्यंजक रखने पर:
$V = \frac{V_0}{\sqrt{R^2 + (1/\omega C)^2}} \cdot \frac{1}{\omega C} = \frac{V_0}{\sqrt{R^2 \omega^2 C^2 + 1}}$
जब संधारित्र को अभ्रक (परावैद्युत स्थिरांक $K > 1$) से भरा जाता है,तो इसकी धारिता बढ़ जाती है,इसलिए $C_b > C_a$।
$1$. धारा के लिए: जैसे-जैसे $C$ बढ़ता है,$X_C = 1/\omega C$ घटता है,इसलिए प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + X_C^2}$ घटती है। अतः,$i_b > i_a$।
$2$. संधारित्र पर वोल्टेज के लिए: $V = \frac{V_0}{\sqrt{R^2 \omega^2 C^2 + 1}}$ से,जैसे-जैसे $C$ बढ़ता है,हर (denominator) बढ़ता है,जिसका अर्थ है कि $V$ घटता है। इसलिए,$V_b < V_a$,या $V_a > V_b$।

(A) स्थिति $I$: शुद्ध प्रतिरोधक परिपथ द्वारा उपभोग की गई शक्ति $P = V_{\text{rms}} I_{\text{rms}}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $I_{\text{rms}} = \frac{V_{\text{rms}}}{R}$,इसलिए $P = \frac{V_{\text{rms}}^2}{R}$,जिसका अर्थ है $V_{\text{rms}}^2 = P R$ ... $(i)$.
स्थिति $II$: जब एक प्रेरकत्व $L$ को प्रतिरोध $R$ के साथ श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,तो परिपथ एक $LR$ परिपथ बन जाता है जिसकी प्रतिबाधा $Z$ है।
$AC$ परिपथ में उपभोग की गई शक्ति $P' = V_{\text{rms}} I_{\text{rms}} \cos \phi$ द्वारा दी जाती है,जहां $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ शक्ति गुणांक है।
यहाँ,$I_{\text{rms}} = \frac{V_{\text{rms}}}{Z}$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $P' = V_{\text{rms}} \times \left( \frac{V_{\text{rms}}}{Z} \right) \times \left( \frac{R}{Z} \right) = V_{\text{rms}}^2 \frac{R}{Z^2}$ प्राप्त होता है।
समीकरण $(i)$ का उपयोग करते हुए,$V_{\text{rms}}^2 = P R$,इसलिए $P' = (P R) \frac{R}{Z^2} = P \left( \frac{R}{Z} \right)^2$।

(C) जब सोलेनोइड में नरम लोहे की कोर डाली जाती है,तो इसका स्व-प्रेरकत्व $L$ बढ़ जाता है क्योंकि कोर सामग्री की पारगम्यता (permeability) बढ़ जाती है।
सोलेनोइड का प्रेरणिक प्रतिघात (inductive reactance) $X_L = \omega L$ द्वारा दिया जाता है।
जैसे-जैसे $L$ बढ़ता है,प्रेरणिक प्रतिघात $X_L$ भी बढ़ता है।
परिपथ का कुल प्रतिबाधा (impedance) $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ है,जहाँ $R$ बल्ब का प्रतिरोध है।
चूंकि $X_L$ बढ़ता है,इसलिए परिपथ की कुल प्रतिबाधा $Z$ बढ़ जाती है।
$A.C.$ परिपथ के लिए ओम के नियम के अनुसार,परिपथ में धारा $I = \frac{V}{Z}$ होती है।
जैसे-जैसे $Z$ बढ़ता है,परिपथ से प्रवाहित होने वाली धारा $I$ कम हो जाती है।
चूंकि बल्ब की चमक व्यय होने वाली शक्ति $(P = I^2 R)$ पर निर्भर करती है,इसलिए धारा $I$ में कमी के कारण बल्ब की चमक कम हो जाती है। अतः,बल्ब मंद हो जाएगा।

(B) संधारित्र युक्त परिपथ की प्रतिबाधा (impedance) $Z = \sqrt{R^2 + X_C^2}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $X_C = \frac{1}{2\pi \nu C}$ धारितीय प्रतिघात (capacitive reactance) है।
जब $ac$ स्रोत की आवृत्ति $\nu$ बढ़ाई जाती है,तो धारितीय प्रतिघात $X_C$ कम हो जाता है।
चूंकि $X_C$ के घटने से परिपथ की कुल प्रतिबाधा $Z$ कम हो जाती है,इसलिए परिपथ से प्रवाहित होने वाली धारा $I = \frac{V}{Z}$ बढ़ जाती है।
जैसे-जैसे बल्ब से गुजरने वाली धारा बढ़ती है,व्ययित शक्ति $(P = I^2 R)$ बढ़ जाती है,जिससे बल्ब की चमक बढ़ जाती है।

(A) $RL$ परिपथ का शक्ति गुणांक $\cos \phi = \frac{R}{Z} = \frac{1}{2}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $\cos \phi = 1/2$,इसलिए कला कोण (phase angle) $\phi = 60^\circ$ है।
$RL$ परिपथ में,$\tan \phi = \frac{\omega L}{R}$ होता है।
मान रखने पर,$\tan 60^\circ = \sqrt{3} = \frac{2\pi f L}{R}$।
यहाँ $f = 50\,Hz$ और $R = 100\,\Omega$ दिया गया है,इसलिए $\sqrt{3} = \frac{2 \times \pi \times 50 \times L}{100}$।
$\sqrt{3} = \frac{100\pi L}{100} = \pi L$।
अतः,$L = \frac{\sqrt{3}}{\pi}\,H$ प्राप्त होता है।

(D) $LR$ श्रेणी परिपथ में कलांतर $\phi$ का सूत्र $\tan \phi = \frac{X_L}{R}$ होता है।
यहाँ,$X_L = 2\pi \nu L$,जहाँ $\nu = 50 \, Hz$ और $R = \pi \sqrt{3} \, \Omega$ है।
दिया गया है कि $\phi = 30^o$,इसलिए $\tan 30^o = \frac{2\pi \times 50 \times L}{\pi \sqrt{3}}$।
चूँकि $\tan 30^o = \frac{1}{\sqrt{3}}$,समीकरण $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{100\pi L}{\pi \sqrt{3}}$ हो जाता है।
दोनों पक्षों के हर से $\sqrt{3}$ को हटाने पर,हमें $1 = 100L$ प्राप्त होता है।
अतः,$L = \frac{1}{100} = 0.01 \, H$।

(A) बल्ब की चमक व्यय की गई शक्ति पर निर्भर करती है,जो $P = I^2 R$ द्वारा दी जाती है। चूंकि बल्ब समान हैं,उनका प्रतिरोध $R$ समान है। इसलिए,जिस बल्ब से अधिक धारा $I$ प्रवाहित होगी,वह अधिक चमकीला जलेगा।
परिपथ में,बल्ब $A$ एक $100 \ mH$ के प्रेरक (inductor) के साथ श्रेणीक्रम में है और बल्ब $B$ एक $10 \ pF$ के संधारित्र (capacitor) के साथ श्रेणीक्रम में है। प्रत्येक शाखा में धारा प्रतिबाधा (impedance) द्वारा निर्धारित होती है: $I_A = V / Z_A$ और $I_B = V / Z_B$,जहाँ $Z_A = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ और $Z_B = \sqrt{R^2 + X_C^2}$ है।
एक सामान्य $AC$ स्रोत आवृत्ति के लिए,धारितीय प्रतिघात $X_C = 1 / (\omega C)$ प्रेरणिक प्रतिघात $X_L = \omega L$ से बहुत बड़ा होता है। हालाँकि,इस विशिष्ट परिपथ में,संधारित्र की धारिता बहुत कम $(10 \ pF)$ है,जिससे $X_C$,$X_L$ की तुलना में बहुत अधिक हो जाता है। परिणामस्वरूप,प्रतिबाधा $Z_B$,$Z_A$ से बहुत अधिक है।
चूंकि $Z_A < Z_B$ है,इसलिए धारा $I_A$,$I_B$ से अधिक है। अतः,बल्ब $A$ अधिक चमकीला जलता है।

(C) आपूर्ति वोल्टेज $E = 10 \sin \omega t$ है। यह एक $RL$ श्रेणी परिपथ है।
परिपथ की प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 \, \Omega$ है।
परिपथ में धारा $I = I_0 \sin(\omega t - \phi)$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $I_0 = E_0 / Z = 10 / 5 = 2 \, \text{A}$ और $\tan \phi = X_L / R = 4/3$,इसलिए $\phi = \tan^{-1}(4/3)$ है।
प्रेरक के सिरों पर वोल्टेज $V_L = I X_L = (I_0 \sin(\omega t - \phi + \pi/2)) X_L = I_0 X_L \sin(\omega t - \phi + \pi/2)$ है।
$t = \pi / \omega$ पर,प्रेरक के सिरों पर वोल्टेज $V_L = I_0 X_L \sin(\omega \cdot \frac{\pi}{\omega} - \phi + \frac{\pi}{2}) = I_0 X_L \sin(\pi - \phi + \frac{\pi}{2}) = I_0 X_L \sin(\frac{3\pi}{2} - \phi) = -I_0 X_L \cos \phi$ होगा।
चूँकि $\cos \phi = R / Z = 3 / 5 = 0.6$,इसलिए $V_L = -(2)(4)(0.6) = -4.8 \, \text{V}$ प्राप्त होता है।
प्रेरक के सिरों पर वोल्टेज का परिमाण $|V_L| = 4.8 \, \text{V}$ है।

(D) $DC$ आपूर्ति के लिए,सोलेनोइड एक शुद्ध प्रतिरोध $R$ के रूप में कार्य करता है। दिया गया है $V = 100\, V$ और $I = 1\, A$,इसलिए प्रतिरोध $R = \frac{V}{I} = \frac{100}{1} = 100\, \Omega$ है।
$AC$ आपूर्ति के लिए,प्रतिबाधा $Z = \frac{V_{rms}}{I_{rms}} = \frac{100}{0.5} = 200\, \Omega$ है।
$RL$ सर्किट की प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ होती है,जहाँ $X_L = 2\pi f L$ है।
मान रखने पर: $200 = \sqrt{100^2 + (2 \cdot \pi \cdot 50 \cdot L)^2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $200^2 = 100^2 + (100\pi L)^2$.
$40000 = 10000 + (100\pi L)^2$.
$30000 = (100\pi L)^2$.
वर्गमूल लेने पर: $100\pi L = \sqrt{30000} = 100\sqrt{3} \approx 173.2$.
$L = \frac{173.2}{100\pi} \approx \frac{1.732}{3.14} \approx 0.55\, H$.
अतः,प्रतिबाधा $200\, \Omega$ और प्रेरकत्व $0.55\, H$ है।

(C) $RL$ श्रेणी सर्किट का प्रतिबाधा $(Z)$ सूत्र $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$R = 10 \, \Omega$,$L = 2.0 \, H$,$f = 60 \, Hz$,और $V = 120 \, V$ है।
इंडक्टिव रिएक्टेंस $X_L = 2 \pi f L = 2 \times \pi \times 60 \times 2 = 240 \pi \, \Omega$ है।
$X_L \approx 240 \times 3.1416 = 753.98 \, \Omega$ की गणना करने पर।
अब,$Z = \sqrt{10^2 + (753.98)^2} = \sqrt{100 + 568485.8} \approx \sqrt{568585.8} \approx 754.05 \, \Omega$।
धारा $I = \frac{V}{Z} = \frac{120}{754.05} \approx 0.159 \, A$ है।
दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,धारा लगभग $0.16 \, A$ है।

(A) $AC$ स्रोत से जुड़े $RC$ श्रेणी परिपथ में,तात्कालिक $emf$ $E$,प्रतिरोधक $(V_R)$ के सिरों पर विभवांतर और संधारित्र $(V_C)$ के सिरों पर विभवांतर के सदिश योग द्वारा दिया जाता है।
चूंकि प्रतिरोधक और संधारित्र में धारा समान होती है,इसलिए प्रतिरोधक पर वोल्टेज धारा के साथ समान कला में होता है,जबकि संधारित्र पर वोल्टेज धारा से $90^\circ$ पीछे होता है।
इसलिए,तात्कालिक मानों के बीच संबंध $E^2 = V_R^2 + V_C^2$ है।
दिया गया है: $E = 5 \, V$ और $V_C = 4 \, V$।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$5^2 = V_R^2 + 4^2$
$25 = V_R^2 + 16$
$V_R^2 = 25 - 16 = 9$
$V_R = 3 \, V$।
अतः,$R$ के सिरों पर विभवांतर $3 \, V$ है।

(A) श्रेणी $CR$ परिपथ में,कुल अनुप्रयुक्त वोल्टेज $V$,प्रतिरोधक के सिरों पर वोल्टेज $(V_R)$ और संधारित्र के सिरों पर वोल्टेज $(V_C)$ के फेजर योग द्वारा दिया जाता है:
$V = \sqrt{V_R^2 + V_C^2}$
यहाँ $V = 10 \, V$ और $V_C = 8 \, V$ दिया गया है।
इन मानों को रखने पर:
$10 = \sqrt{V_R^2 + 8^2}$
$100 = V_R^2 + 64$
$V_R^2 = 36 \implies V_R = 6 \, V$
$CR$ परिपथ में धारा और अनुप्रयुक्त वोल्टेज के बीच कलान्तर $\phi$ इस प्रकार दिया जाता है:
$\tan \phi = \frac{V_C}{V_R} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$
अतः,$\phi = \tan^{-1} \left( \frac{4}{3} \right)$
इस प्रकार,$R$ के सिरों पर वोल्टेज $6 \, V$ है और कलान्तर $\tan^{-1} \left( \frac{4}{3} \right)$ है।

(B) एक श्रेणी $LCR$ परिपथ में,धारा $I$ प्रतिरोधक वोल्टेज $V_R$ के साथ समान कला में होती है। कुल वोल्टेज $V$,$V_R$,$V_L$ और $V_C$ का सदिश योग है।
मान लीजिए कि धारा $x$-अक्ष के अनुदिश है। तब $V_R$,$x$-अक्ष के अनुदिश है,$V_L$,धनात्मक $y$-अक्ष के अनुदिश है,और $V_C$,ऋणात्मक $y$-अक्ष के अनुदिश है।
कुल प्रतिक्रियाशील वोल्टेज $V_L - V_C = 3 \text{ V} - 2 \text{ V} = 1 \text{ V}$ (धनात्मक $y$-अक्ष के अनुदिश) है।
प्रतिरोधक वोल्टेज $V_R = \sqrt{3} \text{ V}$ ($x$-अक्ष के अनुदिश) है।
स्रोत वोल्टेज $V$ और धारा $I$ के बीच कला कोण $\phi$,$\tan \phi = \frac{V_L - V_C}{V_R} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$\phi = 30^\circ = \pi/6$।
चूंकि कुल वोल्टेज धारा से $\phi = \pi/6$ आगे है,इसलिए धारा वोल्टेज से $\pi/6$ पीछे रहेगी।
यदि $V = V_0 \cos(\omega t')$,तो $I = I_0 \cos(\omega t' - \pi/6)$।

(D) प्रेरक और संधारित्र युक्त श्रेणी $AC$ परिपथ में:
$1$. दोनों घटकों से प्रवाहित होने वाली धारा $I$ समान होती है।
$2$. प्रेरक में,वोल्टेज $V_L$ धारा $I$ से $\frac{\pi}{2}$ के कला कोण (phase angle) से आगे होता है।
$3$. संधारित्र में,वोल्टेज $V_C$ धारा $I$ से $\frac{\pi}{2}$ के कला कोण से पीछे होता है।
$4$. इसलिए,यदि हम धारा $I$ को धनात्मक $x$-अक्ष के अनुदिश दर्शाते हैं,तो सदिश $V_L$ को धनात्मक $y$-अक्ष के अनुदिश और सदिश $V_C$ को ऋणात्मक $y$-अक्ष के अनुदिश होना चाहिए।
$5$. यह विकल्प $D$ में दिखाए गए निरूपण के अनुरूप है।

(D) $AC$ परिपथ में,प्रत्यावर्ती धारा और विद्युत वाहक बल $(emf)$ के बीच कलांतर $\phi$ को $\tan \phi = \frac{X_L - X_C}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
शुद्ध प्रेरक (केवल $L$) के लिए,$\phi = \frac{\pi}{2}$ होता है।
शुद्ध संधारित्र (केवल $C$) के लिए,$\phi = -\frac{\pi}{2}$ होता है (जिसका परिमाण $\frac{\pi}{2}$ है)।
$L-C$ परिपथ के लिए,यदि $X_L \neq X_C$ है,तो कलांतर $\frac{\pi}{2}$ होता है।
$R-L$ परिपथ के लिए,कलांतर $\phi$ का मान $0 < \phi < \frac{\pi}{2}$ के बीच होता है।
इसलिए,$R-L$ परिपथ में कलांतर $\frac{\pi}{2}$ नहीं हो सकता है।

(B) आर्क लैंप का प्रतिरोध $R = \frac{V}{I} = \frac{80\ V}{10\ A} = 8\ \Omega$ है।
जब इसे $AC$ स्रोत से जोड़ा जाता है,तो $RL$ परिपथ की प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ होती है,जहाँ $X_L = 2\pi f L$ है।
$AC$ परिपथ में धारा $I = \frac{V_{rms}}{Z} = \frac{V_{rms}}{\sqrt{R^2 + (2\pi f L)^2}}$ है।
दिया गया है: $I = 10\ A$,$V_{rms} = 220\ V$,$f = 50\ Hz$,और $R = 8\ \Omega$:
$10 = \frac{220}{\sqrt{8^2 + (2 \cdot \pi \cdot 50 \cdot L)^2}}$
$\sqrt{64 + (100\pi L)^2} = 22$
$64 + (100\pi L)^2 = 484$
$(100\pi L)^2 = 420$
$100\pi L = \sqrt{420} \approx 20.49$
$L = \frac{20.49}{314} \approx 0.065\ H$.

(A) दिया गया वोल्टेज $V = V_0 \sin(\omega t) + \frac{V_0}{2} \cos(\omega t)$ है।
इसे $V = V_{eq} \sin(\omega t + \phi)$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ आयाम $V_{eq} = \sqrt{V_0^2 + (V_0/2)^2} = \sqrt{V_0^2 + V_0^2/4} = \sqrt{\frac{5V_0^2}{4}} = \frac{\sqrt{5}V_0}{2}$ है।
$LR$ परिपथ की प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + (\omega L)^2}$ है।
धारा का आयाम $I_0 = \frac{V_{eq}}{Z}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$I_0 = \frac{\sqrt{5}V_0 / 2}{\sqrt{R^2 + \omega^2L^2}} = \sqrt{\frac{5V_0^2}{4(R^2 + \omega^2L^2)}}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) दिया गया है: प्रतिबाधा $Z = 10 \Omega$,आवृत्ति $f = 1000 \ Hz$,कला कोण $\phi = 45^\circ$.
कोणीय आवृत्ति $\omega = 2\pi f = 2\pi \times 1000 = 2000\pi \ rad/s$ है।
$RL$ सर्किट में,कला कोण $\phi$ को $\tan \phi = \frac{\omega L}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $\phi = 45^\circ$,$\tan 45^\circ = 1$,इसलिए $\frac{\omega L}{R} = 1$,जिसका अर्थ है $R = \omega L$।
प्रतिबाधा $Z$ को $Z = \sqrt{R^2 + (\omega L)^2}$ द्वारा दिया जाता है।
$R = \omega L$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $Z = \sqrt{(\omega L)^2 + (\omega L)^2} = \sqrt{2(\omega L)^2} = \omega L \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
$Z = 10 \Omega$ दिया गया है,इसलिए $10 = \omega L \sqrt{2}$।
अतः,$\omega L = \frac{10}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2}$।
चूंकि $\omega L = 2000\pi L$,इसलिए $2000\pi L = 5\sqrt{2}$।
$L = \frac{5\sqrt{2}}{2000\pi} = \frac{\sqrt{2}}{400\pi} = \frac{1}{\sqrt{2} \times 200\pi} \ H$।

(C) $DC$ स्रोत के लिए,प्रेरक (inductor) एक साधारण प्रतिरोधक के रूप में कार्य करता है क्योंकि आवृत्ति $0$ है। प्रतिरोध $R = V / I = 12\,V / 2\,A = 6\,\Omega$ है।
जब इसे $AC$ स्रोत से जोड़ा जाता है,तो प्रतिबाधा (impedance) $Z = V_{rms} / I_{rms} = 12\,V / 1\,A = 12\,\Omega$ है।
$RL$ परिपथ की प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $X_L = \omega L = 2\pi f L$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $Z^2 = R^2 + (2\pi f L)^2$.
मान रखने पर: $12^2 = 6^2 + (2 \pi \times 50 \times L)^2$.
$144 = 36 + (100\pi L)^2$.
$(100\pi L)^2 = 108$.
$100\pi L = \sqrt{108} \approx 10.39$.
$L = 10.39 / (100 \times 3.14159) \approx 0.033\,H$.
मिलीहेनरी में बदलने पर: $L = 0.033 \times 1000 = 33\,mH$.

(D) दिया गया है कि श्रेणी $LCR$ परिपथ में,$V_R = V_L = V_C = 10 \, V$ है। चूंकि $V = IR$,इसका अर्थ है कि $R = X_L = X_C$ है।
स्रोत वोल्टेज $E$,$V_R$ के बराबर है क्योंकि अनुनाद (resonance) में $(X_L = X_C)$ $V_L$ और $V_C$ एक-दूसरे के प्रभाव को निरस्त कर देते हैं। अतः,$E = 10 \, V$ है।
जब प्रेरक को लघुपथित (short-circuit) किया जाता है,तो परिपथ समान स्रोत वोल्टेज $E = 10 \, V$ के साथ एक $RC$ श्रेणी परिपथ बन जाता है।
परिपथ की नई प्रतिबाधा (impedance) $Z' = \sqrt{R^2 + X_C^2}$ है। चूंकि $R = X_C$,इसलिए $Z' = \sqrt{R^2 + R^2} = R\sqrt{2}$ होगा।
परिपथ में नई धारा $i' = \frac{E}{Z'} = \frac{10}{R\sqrt{2}}$ है।
संधारित्र के सिरों पर वोल्टेज $V_C' = i' X_C = \left( \frac{10}{R\sqrt{2}} \right) \times R = \frac{10}{\sqrt{2}} \, V$ होगा।

(C) $RC$ परिपथ का समय नियतांक $\tau = RC$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $AC$ स्रोत की कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{1}{\tau}$ है,इसलिए $\tau = RC$ प्रतिस्थापित करने पर हमें $\omega = \frac{1}{RC}$ प्राप्त होता है।
धारतीय प्रतिघात $X_C = \frac{1}{\omega C}$ होता है।
$\omega = \frac{1}{RC}$ रखने पर,हमें $X_C = \frac{1}{(1/RC)C} = R$ प्राप्त होता है।
श्रेणी $RC$ परिपथ की प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + X_C^2}$ द्वारा दी जाती है।
$X_C = R$ रखने पर,हमें $Z = \sqrt{R^2 + R^2} = \sqrt{2R^2} = \sqrt{2}R$ प्राप्त होता है।

(C) $RC$ परिपथ का समय नियतांक $\tau = RC$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $AC$ स्रोत की कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{1}{\tau}$ है,इसलिए $\tau = RC$ रखने पर हमें $\omega = \frac{1}{RC}$ प्राप्त होता है।
श्रेणी $RC$ परिपथ की प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + X_C^2}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $X_C = \frac{1}{\omega C}$ धारितीय प्रतिघात (capacitive reactance) है।
$X_C$ के व्यंजक में $\omega = \frac{1}{RC}$ रखने पर,हमें $X_C = \frac{1}{(1/RC)C} = R$ प्राप्त होता है।
अब,प्रतिबाधा के सूत्र में $X_C = R$ रखने पर,हमें $Z = \sqrt{R^2 + R^2} = \sqrt{2R^2} = \sqrt{2}R$ प्राप्त होता है।

(B) संधारित्र (capacitor) शाखा में,धारा $I_1$ वोल्टेज $V$ से $\frac{\pi}{2}$ आगे (leads) है।
अतः,वोल्टेज के सापेक्ष $I_1$ की कला $\phi_1 = +\frac{\pi}{2}$ है।
$RL$ शाखा में,धारा $I_2$ वोल्टेज $V$ से $\phi_2$ पीछे (lags) है,जहाँ $\tan \phi_2 = \frac{X_L}{R}$ है।
अतः,वोल्टेज के सापेक्ष $I_2$ की कला $\phi_2 = -\tan^{-1}\left(\frac{X_L}{R}\right)$ है।
$I_1$ और $I_2$ के बीच कलांतर $\Delta \phi = \phi_1 - \phi_2$ द्वारा दिया जाता है।
$\Delta \phi = \frac{\pi}{2} - \left[-\tan^{-1}\left(\frac{X_L}{R}\right)\right] = \frac{\pi}{2} + \tan^{-1}\left(\frac{X_L}{R}\right)$.

(A) $L-R$ श्रेणी परिपथ में,धारा $I$ प्रेरक और प्रतिरोधक दोनों में समान होती है।
हालाँकि,प्रतिरोधक के सिरों पर वोल्टेज $(V_R)$ धारा के साथ समान कला (phase) में होता है,जबकि प्रेरक के सिरों पर वोल्टेज $(V_L)$ धारा से $90^{\circ}$ के कला कोण से आगे होता है।
इसलिए,वोल्टेज का फेजर योग स्रोत वोल्टेज $V_{AC}$ के बराबर होना चाहिए।
फेजर आरेख के अनुसार,रूट-मीन-स्क्वायर $(RMS)$ मानों के बीच का संबंध $V_{AC}^2 = V_L^2 + V_R^2$ है।
चूंकि प्रश्न किसी भी क्षण पर संबंध के बारे में पूछता है,और $V_L$ और $V_R$ के बीच कला अंतर $90^{\circ}$ है,इसलिए तात्कालिक स्रोत वोल्टेज घटकों पर तात्कालिक वोल्टेज का सदिश योग है,जो पाइथागोरस संबंध $V_{AC}^2 = V_L^2 + V_R^2$ का पालन करता है।

(B) श्रेणी $RLC$ परिपथ का प्रतिबाधा (impedance) $Z = \sqrt{R^2 + (\omega L - 1/(\omega C))^2}$ है। परिपथ में धारा $I = V_S / Z$ है।
$V_{RL}$ ($RL$ पर वोल्टेज) के लिए: $V_{RL} = I \times \sqrt{R^2 + (\omega L)^2} = V_S \times \frac{\sqrt{R^2 + \omega^2 L^2}}{\sqrt{R^2 + (\omega L - 1/(\omega C))^2}}$.
$V_C$ ($C$ पर वोल्टेज) के लिए: $V_C = I \times (1/(\omega C)) = V_S \times \frac{1/(\omega C)}{\sqrt{R^2 + (\omega L - 1/(\omega C))^2}} = V_S \times \frac{1}{\sqrt{(\omega RC)^2 + (\omega^2 LC - 1)^2}}$.
$1$. कम आवृत्ति सीमा में $(\omega \to 0)$:
$V_{RL} \approx V_S \times \frac{R}{1/(\omega C)} = V_S \omega RC \propto \omega$.
$V_C \approx V_S \times \frac{1/(\omega C)}{1/(\omega C)} = V_S$. अतः,$V_C$,$V_S$ के करीब पहुंचता है।
$2$. उच्च आवृत्ति सीमा में $(\omega \to \infty)$:
$V_{RL} \approx V_S \times \frac{\omega L}{\omega L} = V_S$. अतः,$V_{RL}$,$V_S$ के करीब पहुंचता है।
$V_C \approx V_S \times \frac{1/(\omega C)}{\omega L} = \frac{V_S}{\omega^2 LC} \propto 1/\omega^2$.
इन विकल्पों की तुलना करने पर,विकल्प $B$ सही है।

(A) $L-C-R$ श्रेणी परिपथ में,सभी घटकों से होकर बहने वाली धारा $I$ समान होती है।
प्रतिरोधक के सिरों पर वोल्टेज $V_R$,धारा $I$ के साथ समान कला (phase) में होता है।
प्रेरक के सिरों पर वोल्टेज $V_L$,धारा से $90^\circ$ आगे होता है।
संधारित्र के सिरों पर वोल्टेज $V_C$,धारा से $90^\circ$ पीछे होता है।
फेजर योग का उपयोग करते हुए,परिणामी वोल्टेज $V$ इन वोल्टेजों के सदिश योग द्वारा दिया जाता है:
$V = \sqrt{V_R^2 + (V_L - V_C)^2}$
ऐसा इसलिए है क्योंकि $V_L$ और $V_C$ ऊर्ध्वाधर अक्ष पर विपरीत दिशाओं में होते हैं,जबकि $V_R$ क्षैतिज अक्ष पर होता है।

(D) दिए गए वोल्टेज समीकरण $V = 20 \sin(10t + 30^\circ)$ से,शिखर वोल्टेज $V_0 = 20 \text{ V}$ और कोणीय आवृत्ति $\omega = 10 \text{ rad/s}$ है।
प्रेरक प्रतिघात $X_L = \omega L = 10 \times 1 = 10 \, \Omega$ है।
$RL$ परिपथ में व्यय होने वाली शक्ति $P = I_{rms}^2 R = \frac{V_{rms}^2 R}{R^2 + X_L^2} = \frac{V_0^2 R}{2(R^2 + X_L^2)}$ द्वारा दी जाती है।
अधिकतम शक्ति ज्ञात करने के लिए,हम $P$ का $R$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं,जिससे $R = X_L = 10 \, \Omega$ की स्थिति प्राप्त होती है।
$R = 10 \, \Omega$ और $X_L = 10 \, \Omega$ को शक्ति के सूत्र में रखने पर:
$P_{\max} = \frac{V_0^2 R}{2(R^2 + X_L^2)} = \frac{20^2 \times 10}{2(10^2 + 10^2)} = \frac{400 \times 10}{2(100 + 100)} = \frac{4000}{400} = 10 \text{ W}$.

(A) $RLC$ श्रेणी परिपथ में अधिकतम धारा $I_0 = \frac{V_0}{Z}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $Z$ परिपथ की प्रतिबाधा (impedance) है।
परिपथ में धारा $i(t) = I_0 \sin(\omega t + \phi)$ है।
संधारित्र पर आवेश $q(t)$ और धारा $i(t)$ के बीच संबंध $i = \frac{dq}{dt}$ है।
धारा का समाकलन करने पर,हमें $q(t) = \int i dt = \int I_0 \sin(\omega t + \phi) dt = -\frac{I_0}{\omega} \cos(\omega t + \phi)$ प्राप्त होता है।
संधारित्र पर अधिकतम आवेश $Q_0$ इस दोलन का आयाम है,जो $Q_0 = \frac{I_0}{\omega}$ है।
$I_0 = \frac{V_0}{Z}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $Q_0 = \frac{V_0}{\omega Z}$ प्राप्त होता है।

(B) $L-C-R$ श्रेणी परिपथ में,प्रेरक $(V_L)$ और प्रतिरोधक $(V_R)$ के सिरों पर वोल्टेज फेजर आरेख में एक-दूसरे के लंबवत होते हैं।
$L-R$ संयोजन के सिरों पर वोल्टेज $V_L$ और $V_R$ के सदिश योग द्वारा दिया जाता है:
$V_{LR} = \sqrt{V_L^2 + V_R^2}$
यह दिया गया है कि $V_L = 50\,V$ और $V_R = 50\,V$,इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$V_{LR} = \sqrt{(50)^2 + (50)^2}$
$V_{LR} = \sqrt{2500 + 2500}$
$V_{LR} = \sqrt{5000}$
$V_{LR} = 50\sqrt{2}\,V$

(A) $LCR$ श्रेणी परिपथ में कला कोण (phase angle) $\phi$ का सूत्र $\tan \phi = \frac{X_C - X_L}{R}$ है।
दिए गए मानों को रखने पर: $\tan \phi = \frac{8 - 5}{4} = \frac{3}{4}$.
अतः,$\phi = \tan^{-1}(3/4)$.
चूंकि $X_C > X_L$ है,इसलिए परिपथ की प्रकृति धारितात्मक (capacitive) है।
धारितात्मक परिपथ में,धारा वोल्टेज से कला कोण $\phi$ आगे होती है।
इस प्रकार,धारा वोल्टेज से $\tan^{-1}(3/4)$ आगे है।

(C) श्रेणी $LCR$ परिपथ में,कुल प्रत्यावर्ती emf $E$ का मान प्रतिरोधक $(V_R)$,प्रेरक $(V_L)$ और संधारित्र $(V_C)$ के सिरों पर विभवांतर के फेजर योग द्वारा दिया जाता है।
सूत्र $E = \sqrt{V_R^2 + (V_L - V_C)^2}$ है।
दिए गए मान $V_R = 80 \, V$,$V_L = 40 \, V$ और $V_C = 100 \, V$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$E = \sqrt{(80)^2 + (40 - 100)^2}$
$E = \sqrt{6400 + (-60)^2}$
$E = \sqrt{6400 + 3600}$
$E = \sqrt{10000}$
$E = 100 \, V$.

(A) $DC$ आपूर्ति के लिए,प्रेरक एक शुद्ध प्रतिरोधक के रूप में कार्य करता है। अतः,प्रतिरोध $R = \frac{V}{I_{DC}} = \frac{100}{1} = 100\, \Omega$ है।
$AC$ आपूर्ति के लिए,प्रतिबाधा $Z = \frac{V}{I_{AC}} = \frac{100}{0.5} = 200\, \Omega$ है।
$LR$ परिपथ की प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $200 = \sqrt{100^2 + X_L^2} \Rightarrow 40000 = 10000 + X_L^2 \Rightarrow X_L^2 = 30000$.
$X_L = \sqrt{30000} = 100\sqrt{3} \approx 173.2\, \Omega$.
चूंकि $X_L = 2\pi f L$,इसलिए $L = \frac{X_L}{2\pi f} = \frac{173.2}{2 \times 3.14 \times 50} = \frac{173.2}{314} \approx 0.55\, H$ प्राप्त होता है।

(D) $DC$ आपूर्ति के लिए,प्रेरक एक साधारण प्रतिरोधक के रूप में कार्य करता है क्योंकि $X_L = 2\pi fL$ और $f = 0$ होता है। अतः,$R = \frac{V}{I_1} = \frac{200}{1} = 200\,\Omega$.
$AC$ आपूर्ति के लिए,प्रतिबाधा $Z = \frac{V}{I_2} = \frac{200}{0.5} = 400\,\Omega$.
$RL$ परिपथ की प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ होती है।
मान रखने पर: $400 = \sqrt{200^2 + X_L^2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $160000 = 40000 + X_L^2$,जिससे $X_L^2 = 120000$ प्राप्त होता है।
$X_L = \sqrt{120000} = 200\sqrt{3}\,\Omega$.
चूंकि $X_L = 2\pi fL$,इसलिए $200\sqrt{3} = 2\pi f \left( \frac{2\sqrt{3}}{\pi} \right)$.
$200\sqrt{3} = 4\sqrt{3} f$.
$f = \frac{200\sqrt{3}}{4\sqrt{3}} = 50\,Hz$.

(A) $RC$ श्रेणी परिपथ का प्रतिबाधा (impedance) $Z$,$Z = \sqrt{R^2 + X_C^2} = \sqrt{R^2 + (\frac{1}{\omega C})^2}$ द्वारा दिया जाता है।
परिपथ में धारा $I$,$I = \frac{V}{Z}$ द्वारा दी जाती है।
बल्ब की चमक व्यय होने वाली शक्ति पर निर्भर करती है,जो $P = I^2 R$ है।
जैसे-जैसे $AC$ स्रोत की आवृत्ति $f$ बढ़ती है,कोणीय आवृत्ति $\omega = 2\pi f$ भी बढ़ती है।
चूंकि $X_C = \frac{1}{\omega C}$,$\omega$ में वृद्धि के कारण धारिता प्रतिघात (capacitive reactance) $X_C$ कम हो जाता है।
जैसे-जैसे $X_C$ घटता है,कुल प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + X_C^2}$ कम हो जाती है।
चूंकि $I = \frac{V}{Z}$,$Z$ में कमी के कारण परिपथ में बहने वाली धारा $I$ बढ़ जाती है।
जैसे-जैसे धारा $I$ बढ़ती है,व्यय होने वाली शक्ति $P = I^2 R$ बढ़ जाती है,और इसलिए बल्ब की चमक बढ़ जाती है।

(A) $RL$ श्रेणी परिपथ में,प्रतिबाधा (impedance) $Z$ का मान $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ होता है।
यहाँ,$X_L = \omega L$ प्रेरणिक प्रतिघात (inductive reactance) है।
अतः,$Z = \sqrt{R^2 + (\omega L)^2} = \sqrt{R^2 + \omega^2 L^2}$ होगा।
धारा का आयाम $I_0$,शिखर वोल्टेज $V_0$ और प्रतिबाधा $Z$ के अनुपात द्वारा दिया जाता है।
$I_0 = \frac{V_0}{Z} = \frac{V_0}{\sqrt{R^2 + \omega^2 L^2}}$।

(C) $LR$ श्रेणी परिपथ की प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $X_L = \omega L$ प्रेरणिक प्रतिघात है।
कम आवृत्ति के लिए,$\omega \to 0$,इसलिए $X_L = \omega L \to 0$। अतः,$Z = \sqrt{R^2 + 0^2} = R$।
उच्च आवृत्ति के लिए,$\omega \to \infty$,इसलिए $X_L = \omega L \to \infty$। अतः,$Z \approx X_L = \omega L$।
दिए गए विकल्पों का विश्लेषण करने पर,कम आवृत्ति पर प्रतिबाधा का मान $R$ की ओर प्रवृत्त होता है।

(C) $RL$ श्रेणी परिपथ में,स्रोत वोल्टेज $V_s$ प्रतिरोधक $(V_R)$ और प्रेरक $(V_L)$ के वोल्टेज का फेजर योग होता है:
$V_s = \sqrt{V_R^2 + V_L^2}$
दिया गया है $V_R = 70 \, V$ और $V_L = 20 \, V$:
$V_s = \sqrt{70^2 + 20^2} = \sqrt{4900 + 400} = \sqrt{5300} \approx 72.8 \, V$.
अतः,कथन $(A)$ सही है।
धारा और स्रोत वोल्टेज के बीच का कला कोण $\phi$ इस प्रकार है:
$\tan \phi = \frac{V_L}{V_R} = \frac{20}{70} = \frac{2}{7}$
इसलिए,$\phi = \tan^{-1} (2/7)$.
अतः,कथन $(B)$ भी सही है।
इसलिए,सही विकल्प $(C)$ है।

(B) दिया गया है: धारा $I = 11 \, A$,अनुप्रयुक्त वोल्टेज $V = 220 \, V$,प्रतिरोध $R = 20 \, \Omega$,संधारित्र के सिरों पर वोल्टेज $V_C = 200 \, V$ है।
$L-C-R$ परिपथ की प्रतिबाधा $Z = \frac{V}{I} = \frac{220}{11} = 20 \, \Omega$ है।
हम जानते हैं कि $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ होता है।
मान रखने पर: $20 = \sqrt{20^2 + (X_L - X_C)^2}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $400 = 400 + (X_L - X_C)^2$,जिसका अर्थ है कि $(X_L - X_C)^2 = 0$,इसलिए $X_L = X_C$ है।
चूंकि $V_L = I X_L$ और $V_C = I X_C$ होता है,इसलिए $X_L = X_C$ की स्थिति का अर्थ है कि $V_L = V_C$ है।
अतः,$V_L = 200 \, V$ है।

(C) दिया गया स्रोत वोल्टेज $V = 100\sqrt{2} \sin(\omega t) \, V$ है।
इसकी तुलना $V = V_0 \sin(\omega t)$ से करने पर,शिखर वोल्टेज $V_0 = 100\sqrt{2} \, V$ प्राप्त होता है।
$RMS$ वोल्टेज $V_{rms} = \frac{V_0}{\sqrt{2}} = \frac{100\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 100 \, V$ है।
एक $RL$ श्रेणी परिपथ में,कुल $RMS$ वोल्टेज $V_{rms}^2 = V_R^2 + V_L^2$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $V_R = 60 \, V$ और $V_{rms} = 100 \, V$ दिया गया है।
मान रखने पर: $(100)^2 = (60)^2 + V_L^2$.
$V_L^2 = 10000 - 3600 = 6400$.
$V_L = \sqrt{6400} = 80 \, V$.

(D) बल्ब का प्रतिरोध $R = \frac{V^2}{P} = \frac{60^2}{10} = 360 \, \Omega$ द्वारा दिया जाता है।
बल्ब के सिरों पर वोल्टेज $V_R = 60 \, V$ है और स्रोत वोल्टेज $V_S = 100 \, V$ है।
$RC$ श्रेणी परिपथ में,वोल्टेज के बीच संबंध $V_S^2 = V_R^2 + V_C^2$ होता है,जहाँ $V_C$ संधारित्र के सिरों पर वोल्टेज है।
$100^2 = 60^2 + V_C^2 \Rightarrow V_C^2 = 10000 - 3600 = 6400 \Rightarrow V_C = 80 \, V$।
परिपथ में प्रवाहित धारा $I = \frac{V_R}{R} = \frac{60}{360} = \frac{1}{6} \, A$ है।
संधारित्र के लिए ओम के नियम का उपयोग करने पर,$V_C = I X_C$,जहाँ $X_C$ धारितीय प्रतिघात है।
$X_C = \frac{V_C}{I} = \frac{80}{1/6} = 480 \, \Omega$।

(A) जब $D.C.$ स्रोत से जोड़ा जाता है,तो कुंडली एक शुद्ध प्रतिरोधक के रूप में कार्य करती है क्योंकि आवृत्ति शून्य होती है।
ओम के नियम का उपयोग करते हुए: $V = I R$
$R = \frac{V}{I} = \frac{100}{25} = 4\, \Omega$
जब $A.C.$ स्रोत से जोड़ा जाता है,तो कुंडली एक $LR$ परिपथ (श्रेणी में प्रतिरोधक और प्रेरक) के रूप में कार्य करती है।
प्रतिबाधा $Z$ इस प्रकार है: $Z = \frac{V}{I} = \frac{100}{20} = 5\, \Omega$
प्रतिबाधा,प्रतिरोध और प्रेरक प्रतिघात के बीच संबंध है: $Z = \sqrt{X_{L}^{2} + R^{2}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $Z^{2} = X_{L}^{2} + R^{2}$
$5^{2} = X_{L}^{2} + 4^{2}$
$25 = X_{L}^{2} + 16$
$X_{L}^{2} = 25 - 16 = 9$
$X_{L} = 3\, \Omega$
अतः,कुंडली का प्रतिघात $3\, \Omega$ है।

(A) $RL$ श्रेणी परिपथ में कलान्तर $\varphi$ का सूत्र है: $\tan \varphi = \frac{X_L}{R}$।
यहाँ,प्रेरणिक प्रतिघात $X_L = \omega L = 2\pi f L$ होता है।
दिया गया है: $R = 300\,\Omega$,$L = \frac{1}{\pi}\,H$,और $f = 200\,Hz$।
मान रखने पर:
$X_L = 2 \times \pi \times 200 \times \frac{1}{\pi} = 400\,\Omega$।
अब,कलान्तर की गणना करने पर:
$\tan \varphi = \frac{400}{300} = \frac{4}{3}$।
अतः,$\varphi = \tan^{-1}(\frac{4}{3})$।

(B) दिया गया है: पीक वोल्टेज $V_0 = 283 \, V$,कोणीय आवृत्ति $\omega = 320 \, rad/s$,प्रतिरोध $R = 5 \, \Omega$,प्रेरकत्व $L = 25 \, mH = 25 \times 10^{-3} \, H$,और धारिता $C = 1000 \, \mu F = 10^{-3} \, F$.
सबसे पहले,प्रेरणिक प्रतिघात $X_L$ की गणना करें:
$X_L = \omega L = 320 \times 25 \times 10^{-3} = 8 \, \Omega$.
इसके बाद,धारितीय प्रतिघात $X_C$ की गणना करें:
$X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{320 \times 10^{-3}} = 3.125 \, \Omega$.
परिपथ की कुल प्रतिबाधा $Z$:
$Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} = \sqrt{5^2 + (8 - 3.125)^2} = \sqrt{25 + (4.875)^2} \approx 7 \, \Omega$.
कलांतर $\phi$:
$\tan \phi = \frac{X_L - X_C}{R} = \frac{4.875}{5} \approx 0.975 \approx 1$.
अतः,$\phi \approx 45^{\circ}$ होगा।

(C) श्रेणी $LC$ परिपथ में,प्रेरक $(V_L)$ और संधारित्र $(V_C)$ के सिरों पर वोल्टेज विपरीत कला में होते हैं,अर्थात,उनके बीच $180^{\circ}$ का कलांतर होता है।
$AC$ स्रोत का कुल वोल्टेज $E$ व्यक्तिगत वोल्टेज के अंतर के परिमाण द्वारा दिया जाता है:
$E = |V_L - V_C|$
दिया गया है:
$V_L = 300\, V$
$V_C = 400\, V$
मान रखने पर:
$E = |300\, V - 400\, V|$
$E = |-100\, V|$
$E = 100\, V$

(A) $RL$ या $RC$ सर्किट में कलांतर $\phi$,$\tan \phi = \frac{X}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $\phi = \frac{\pi}{4}$,इसलिए $\tan(\frac{\pi}{4}) = 1$,जिसका अर्थ है $X = R$।
यहाँ,$\omega = 1000 \text{ rad/s}$ और $R = 1000 \Omega$ है।
$RC$ सर्किट के लिए,$X_C = \frac{1}{\omega C} = R \implies C = \frac{1}{\omega R} = \frac{1}{1000 \times 1000} = 10^{-6} \text{ F} = 1 \mu\text{F}$।
$RL$ सर्किट के लिए,$X_L = \omega L = R \implies L = \frac{R}{\omega} = \frac{1000}{1000} = 1 \text{ H}$।
विकल्पों की जाँच करने पर:
विकल्प $(A)$: $R = 1000 \Omega$,$C = 1 \mu\text{F}$। $X_C = \frac{1}{1000 \times 10^{-6}} = 1000 \Omega$। चूंकि $X_C = R$,कलांतर $\frac{\pi}{4}$ है।
अतः,विकल्प $(A)$ सही है।

(A) कोणीय आवृत्ति $\omega$ पर,$RC$ श्रेणी परिपथ में धारा $I$ इस प्रकार दी जाती है:
$I = \frac{V}{\sqrt{R^2 + X_C^2}} = \frac{V}{\sqrt{R^2 + (\frac{1}{\omega C})^2}}$ ..........$(i)$
जब आवृत्ति को बदलकर $\omega' = \frac{\omega}{3}$ कर दिया जाता है,तो नया धारिता प्रतिघात $X_C' = \frac{1}{\omega' C} = \frac{1}{(\omega/3)C} = \frac{3}{\omega C} = 3X_C$ होता है।
यह दिया गया है कि नई धारा $I' = \frac{I}{2}$ है,इसलिए:
$\frac{I}{2} = \frac{V}{\sqrt{R^2 + (3X_C)^2}}$ ..........$(ii)$
समीकरण $(i)$ को $(ii)$ से विभाजित करने पर:
$2 = \frac{\sqrt{R^2 + 9X_C^2}}{\sqrt{R^2 + X_C^2}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$4 = \frac{R^2 + 9X_C^2}{R^2 + X_C^2}$
$4R^2 + 4X_C^2 = R^2 + 9X_C^2$
$3R^2 = 5X_C^2$
$\frac{X_C^2}{R^2} = \frac{3}{5}$
$\frac{X_C}{R} = \sqrt{\frac{3}{5}}$

(B) श्रेणी $L-C-R$ परिपथ में,आपूर्ति वोल्टेज $V$ व्यक्तिगत घटकों के सिरों के बीच विभवांतर के फेजर योग (phasor sum) द्वारा दिया जाता है।
आपूर्ति वोल्टेज का सूत्र $V = \sqrt{V_R^2 + (V_L - V_C)^2}$ है।
दिया गया है:
$V_L = 60\,V$
$V_C = 30\,V$
$V_R = 40\,V$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$V = \sqrt{40^2 + (60 - 30)^2}$
$V = \sqrt{40^2 + 30^2}$
$V = \sqrt{1600 + 900}$
$V = \sqrt{2500}$
$V = 50\,V$.
अतः,आपूर्ति वोल्टेज $50\,V$ है।

(B) परिपथ में एक $AC$ स्रोत,एक प्रतिरोधक (बल्ब) और एक प्रेरक $L$ श्रेणीक्रम में जुड़े होते हैं।
जब प्रेरक में लोहे की छड़ डाली जाती है,तो इसका स्व-प्रेरकत्व $L$ बढ़ जाता है क्योंकि कोर की पारगम्यता (permeability) बढ़ जाती है।
प्रेरकीय प्रतिघात $X_L = \omega L$ द्वारा दिया जाता है।
जैसे-जैसे $L$ बढ़ता है,$X_L$ बढ़ता है।
परिपथ का कुल प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ है। जैसे-जैसे $X_L$ बढ़ता है,परिपथ की कुल प्रतिबाधा $Z$ बढ़ जाती है।
चूंकि स्रोत वोल्टेज $V$ स्थिर है,परिपथ में धारा $I = \frac{V}{Z}$ कम हो जाती है।
बल्ब की चमक व्यय होने वाली शक्ति $P = I^2 R$ पर निर्भर करती है।
चूंकि धारा $I$ कम हो जाती है,बल्ब द्वारा व्यय की गई शक्ति कम हो जाती है,और इसलिए,बल्ब मंद हो जाता है।

(B) $L-R$ श्रेणी परिपथ में कला कोण $\phi$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है:
$\tan \phi = \frac{X_L}{R} = \frac{\omega L}{R} = \frac{2 \pi f L}{R}$
दिए गए मान:
$f = \frac{100}{\pi} \ Hz$
$L = 0.025 \ H$
$R = 5 \ \Omega$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\tan \phi = \frac{2 \pi \times (100/\pi) \times 0.025}{5}$
$\tan \phi = \frac{2 \times 100 \times 0.025}{5}$
$\tan \phi = \frac{200 \times 0.025}{5} = \frac{5}{5} = 1$
चूंकि $\tan \phi = 1$,इसलिए कला कोण $\phi = \tan^{-1}(1) = 45^{\circ}$ है।

(A) श्रेणी $L-C-R$ परिपथ में प्रवाहित धारा $i$ का मान निम्न है:
$i = \frac{V_{rms}}{\sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}}$
दिया गया है: $V_{rms} = 10 \, V$,$R = 3 \, \Omega$,$X_L = 15 \, \Omega$,$X_C = 11 \, \Omega$.
मान रखने पर:
$i = \frac{10}{\sqrt{3^2 + (15 - 11)^2}} = \frac{10}{\sqrt{9 + 4^2}} = \frac{10}{\sqrt{25}} = \frac{10}{5} = 2 \, A$.
प्रेरक के सिरों पर विभवांतर $V_L = i X_L = 2 \times 15 = 30 \, V$ है।
संधारित्र के सिरों पर विभवांतर $V_C = i X_C = 2 \times 11 = 22 \, V$ है।
चूंकि प्रेरक और संधारित्र श्रेणी क्रम में हैं,इसलिए उनके संयोजन पर विभवांतर $|V_L - V_C| = |30 - 22| = 8 \, V$ होगा।