RL, RC and LC AC Circuits Questions in Hindi

(C) $LR$ परिपथ का समय नियतांक (time constant) $\tau = \frac{L}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
इसका अर्थ है कि $\frac{L}{R}$ की विमाएँ समय की विमाओं के समान हैं,अर्थात $[T]$।
इसलिए,$\frac{R}{L}$ की विमाएँ समय की विमाओं का व्युत्क्रम (reciprocal) होंगी।
$\frac{R}{L}$ की विमा $= \frac{1}{[T]} = [T^{-1}]$।

(B) $LR$ श्रेणी परिपथ में,प्रतिबाधा $Z$ का सूत्र $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ होता है।
यहाँ,$X_L$ प्रेरणिक प्रतिघात (Inductive Reactance) है,जिसे $X_L = \omega L$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
चूँकि कोणीय आवृत्ति $\omega = 2\pi f$ होती है,इसलिए $X_L$ के व्यंजक में इसे प्रतिस्थापित करने पर हमें $X_L = 2\pi fL$ प्राप्त होता है।
अब,$X_L$ का मान प्रतिबाधा के सूत्र में रखने पर,हमें $Z = \sqrt{R^2 + (2\pi fL)^2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$Z = \sqrt{R^2 + 4\pi^2 f^2 L^2}$।

(B) $RL$ श्रेणी परिपथ में,प्रतिरोधक के सिरों पर वोल्टेज $(V_R)$ और प्रेरक के सिरों पर वोल्टेज $(V_L)$ एक-दूसरे से $90^{\circ}$ के कलांतर पर होते हैं।
अतः,कुल आरोपित वोल्टेज $V$,$V_R$ और $V_L$ का फेजर योग है,जिसे निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$V = \sqrt{V_R^2 + V_L^2}$
यहाँ $V_R = 200 \, V$ और $V_L = 150 \, V$ दिया गया है।
मान रखने पर:
$V = \sqrt{(200)^2 + (150)^2}$
$V = \sqrt{40000 + 22500}$
$V = \sqrt{62500}$
$V = 250 \, V$.

(B) $RL$ श्रेणी सर्किट का प्रतिबाधा (impedance) $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $X_L = 2\pi f L$ है।
दिया गया है: $R = 10 \, \Omega$, $L = 20 \, H$, $V = 120 \, V$, और $f = 60 \, Hz$.
सबसे पहले, इंडक्टिव रिएक्टेंस $X_L = 2 \times \pi \times 60 \times 20 = 2400\pi \, \Omega$ की गणना करें।
$X_L \approx 2400 \times 3.1416 \approx 7540 \, \Omega$.
अब, प्रतिबाधा $Z = \sqrt{10^2 + (7540)^2} \approx 7540 \, \Omega$ की गणना करें।
धारा $I = \frac{V}{Z} = \frac{120}{7540} \approx 0.0159 \, A$.
निकटतम मान लेने पर, $I \approx 0.016 \, A$ प्राप्त होता है।

(A) $L-R$ श्रेणी परिपथ में,कुल आरोपित वोल्टेज $V$,प्रतिरोधक के सिरों पर वोल्टेज $V_R$ और प्रेरक (inductor) के सिरों पर वोल्टेज $V_L$ का फेजर योग होता है।
यह संबंध $V^2 = V_R^2 + V_L^2$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है: $V = 20\,V$ और $V_R = 12\,V$.
मान रखने पर: $20^2 = 12^2 + V_L^2$.
$400 = 144 + V_L^2$.
$V_L^2 = 400 - 144 = 256$.
$V_L = \sqrt{256} = 16\,V$.
अतः,कुंडली के सिरों पर विभवांतर $16\,V$ है।

(A) $LR$ श्रेणी परिपथ में,वोल्टेज और धारा के बीच का कला कोण $\phi$ इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\tan \phi = \frac{X_L}{R}$.
यहाँ,$R = 300 \ \Omega$,$L = \frac{1}{\pi} \ H$,और आवृत्ति $f = 200 \ Hz$ है।
प्रेरकीय प्रतिघात $X_L$ की गणना इस प्रकार की जाती है: $X_L = 2\pi f L = 2\pi \times 200 \times \frac{1}{\pi} = 400 \ \Omega$.
कला कोण के सूत्र में मान रखने पर:
$\tan \phi = \frac{400}{300} = \frac{4}{3}$.
अतः,कला कोण $\phi = \tan^{-1} \left( \frac{4}{3} \right)$ है।

(C) $LCR$ श्रेणी परिपथ में,प्रेरक $(V_L)$,प्रतिरोधक $(V_R)$ और संधारित्र $(V_C)$ के सिरों पर विभवांतर $V_L = 46\, V$,$V_R = 8\, V$ और $V_C = 40\, V$ दिया गया है।
स्रोत का कुल $EMF$ $(V)$ ज्ञात करने का सूत्र है: $V = \sqrt{V_R^2 + (V_L - V_C)^2}$।
दिए गए मानों को रखने पर: $V = \sqrt{8^2 + (46 - 40)^2}$।
$V = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10\, V$।
अतः,स्रोत का $EMF$ $10\, V$ है।

(D) $L-R$ परिपथ की प्रतिबाधा $Z$ का सूत्र $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ है,जहाँ $X_L = 2\pi fL$ है।
यहाँ $R = 30 \, \Omega$,$f = 50 \, Hz$,और $L = \frac{0.4}{\pi} \, H$ दिया गया है।
सबसे पहले,प्रेरणिक प्रतिघात (inductive reactance) $X_L = 2\pi \times 50 \times \frac{0.4}{\pi} = 100 \times 0.4 = 40 \, \Omega$ की गणना करें।
अब,प्रतिबाधा $Z = \sqrt{30^2 + 40^2} = \sqrt{900 + 1600} = \sqrt{2500} = 50 \, \Omega$ प्राप्त होती है।
परिपथ में धारा $I = \frac{V}{Z} = \frac{200}{50} = 4 \, A$ होगी।
अतः,प्रतिबाधा $50 \, \Omega$ और धारा $4 \, A$ है।

(B) एक श्रेणी $LCR$ परिपथ में,प्रतिबाधा $Z$,प्रतिरोध $R$ और कुल प्रतिघात $X = X_L - X_C$ का सदिश योग है।
प्रेरकीय प्रतिघात (inductive reactance) $X_L = L\omega$ द्वारा दिया जाता है।
धारितीय प्रतिघात (capacitive reactance) $X_C = \frac{1}{C\omega}$ द्वारा दिया जाता है।
कुल प्रतिबाधा $Z$ की गणना निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके की जाती है:
$Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$
सूत्र में $X_L$ और $X_C$ का मान रखने पर:
$Z = \sqrt{R^2 + \left(L\omega - \frac{1}{C\omega}\right)^2}$
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$Z = \left[R^2 + \left(L\omega - \frac{1}{C\omega}\right)^2\right]^{1/2}$

(D) दिया गया e.m.f. $E = E_0 \cos(\omega t)$ है,जहाँ $E_0 = 4 \, V$ और $\omega = 1000 \, rad/s$ है।
दिया गया प्रेरकत्व $L = 3 \, mH = 3 \times 10^{-3} \, H$ और प्रतिरोध $R = 4 \, \Omega$ है।
प्रेरकीय प्रतिघात $X_L = \omega L = 1000 \times 3 \times 10^{-3} = 3 \, \Omega$ है।
$LR$-परिपथ की प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \, \Omega$ है।
धारा का आयाम $I_0 = E_0 / Z = 4 / 5 = 0.8 \, A$ है।

(C) $RL$ श्रेणी परिपथ में,वोल्टेज और धारा के बीच कला कोण $\phi$ को सूत्र $\tan \phi = \frac{X_L}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि कला कोण $\phi = 45^o$,इसलिए हम इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$\tan 45^o = \frac{X_L}{R}$.
चूंकि $\tan 45^o = 1$,इसलिए $1 = \frac{X_L}{R}$ प्राप्त होता है।
अतः,$X_L = R$।

(B) जब $DC$ आपूर्ति दी जाती है,तो कुंडली एक शुद्ध प्रतिरोधक के रूप में कार्य करती है क्योंकि आवृत्ति शून्य होती है। इसलिए,प्रतिरोध $R = \frac{V}{I_{DC}} = \frac{100 \, V}{1 \, A} = 100 \, \Omega$ है।
जब $AC$ आपूर्ति दी जाती है,तो कुंडली प्रतिरोध और प्रेरणिक प्रतिघात (inductive reactance) दोनों प्रदान करती है। धारा के प्रति कुल विरोध को प्रतिबाधा $(Z)$ कहा जाता है।
$AC$ परिपथ के लिए ओम के नियम का उपयोग करते हुए,$Z = \frac{V}{I_{AC}} = \frac{100 \, V}{0.5 \, A} = 200 \, \Omega$ है।
अतः,कुंडली की प्रतिबाधा $200 \, \Omega$ है।

(C) दिया गया है: प्रतिरोध $R = 12\,\Omega$,प्रेरकत्व $L = 0.21\,H$,आवृत्ति $f = 50\,Hz$.
कोणीय आवृत्ति $\omega = 2\pi f = 2 \times \pi \times 50 = 100\pi\,rad/s$ है।
प्रेरकीय प्रतिघात $X_L = \omega L = 100\pi \times 0.21 = 21\pi\,\Omega$ है।
$\pi \approx 22/7$ का उपयोग करने पर,$X_L = 100 \times (22/7) \times 0.21 = 66\,\Omega$ प्राप्त होता है।
$RL$ श्रेणी परिपथ में कला कोण $\phi$ का सूत्र $\tan \phi = \frac{X_L}{R}$ है।
$\tan \phi = \frac{66}{12} = 5.5$.
$\phi = \tan^{-1}(5.5) \approx 79.7^o \approx 80^o$.

(B) श्रेणी $LR$ परिपथ में,प्रतिरोध $(V_R)$ और प्रेरकत्व $(V_L)$ के सिरों पर विभवांतर एक-दूसरे के साथ $90^{\circ}$ के कलांतर (phase difference) पर होते हैं।
दिया गया है: $V_L = 16\, V$ और $V_R = 20\, V$।
परिपथ में कुल विभवांतर $(V)$ फेजर योग द्वारा ज्ञात किया जाता है:
$V = \sqrt{V_R^2 + V_L^2}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$V = \sqrt{(20)^2 + (16)^2}$
$V = \sqrt{400 + 256}$
$V = \sqrt{656}$
$V \approx 25.6\, V$।

(D) दिया गया है: वोल्टेज $V = 220\, V$,आवृत्ति $f = 50\, Hz$,प्रेरकत्व $L = 0.2\, H$,प्रतिरोध $R = 20\, \Omega$।
सबसे पहले,प्रेरणिक प्रतिघात $X_L = 2 \pi f L = 2 \times 3.14 \times 50 \times 0.2 = 62.8\, \Omega$ की गणना करें।
$LR$ श्रेणी परिपथ की प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2} = \sqrt{20^2 + 62.8^2} = \sqrt{400 + 3943.84} = \sqrt{4343.84} \approx 65.9\, \Omega$ है।
परिपथ में धारा $I = \frac{V}{Z} = \frac{220}{65.9} \approx 3.33\, A$ है।

(A) दिया गया है: $V = 20\cos(2000t) \,V$,अतः $V_0 = 20 \,V$ और $\omega = 2000 \,rad/s$.
परिपथ में $R_1 = 6 \,\Omega$ का प्रतिरोध,$L = 5 \,mH$ का प्रेरक (जिसका आंतरिक प्रतिरोध $R_2 = 4 \,\Omega$ है) और $C = 50 \,\mu F$ का संधारित्र श्रेणीक्रम में जुड़े हैं।
कुल प्रतिरोध $R = R_1 + R_2 = 6 + 4 = 10 \,\Omega$.
प्रेरकीय प्रतिघात $X_L = \omega L = 2000 \times 5 \times 10^{-3} = 10 \,\Omega$.
धारतीय प्रतिघात $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2000 \times 50 \times 10^{-6}} = \frac{1}{0.1} = 10 \,\Omega$.
प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} = \sqrt{10^2 + (10 - 10)^2} = 10 \,\Omega$.
धारा का आयाम $i_0 = \frac{V_0}{Z} = \frac{20}{10} = 2 \,A$.

(A) एक $ac$ परिपथ जिसमें एक कुंडली (प्रतिरोध युक्त प्रेरक) है,वोल्टेज और धारा के बीच कलान्तर $\phi$ का सूत्र $\tan \phi = \frac{X_L}{R}$ होता है।
दिया गया है कि प्रतिघात $X_L = \sqrt{3} R$ है।
इस मान को सूत्र में रखने पर,हमें $\tan \phi = \frac{\sqrt{3} R}{R} = \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\tan \phi = \sqrt{3}$,इसलिए कलान्तर $\phi = 60^{\circ}$ होगा।
डिग्री को रेडियन में बदलने पर,$\phi = 60^{\circ} \times \frac{\pi}{180^{\circ}} = \frac{\pi}{3}$।

(A) एक $ac$ परिपथ में,यदि धारा वोल्टेज से $\phi$ कला कोण (phase angle) पीछे रहती है,तो परिपथ एक प्रेरक परिपथ होना चाहिए जिसमें एक प्रतिरोधक $(R)$ और एक प्रेरक $(L)$ हो।
$RL$ श्रेणी परिपथ में,प्रतिरोधक के सिरों पर वोल्टेज $(V_R)$ धारा $(I)$ के साथ समान कला में होता है,जबकि प्रेरक के सिरों पर वोल्टेज $(V_L)$ धारा से $90^\circ$ आगे होता है।
परिणामी वोल्टेज $V$,धारा से $\phi$ कला कोण से आगे होता है,जिसे इस प्रकार दिया जाता है:
$\tan \phi = \frac{V_L}{V_R} = \frac{I_0 X_L}{I_0 R} = \frac{X_L}{R}$
चूंकि धारा वोल्टेज से पीछे है,इसलिए परिपथ में $R$ और $L$ होने चाहिए।

(C) $RL$ श्रेणी परिपथ के लिए प्रतिबाधा $Z$ का सूत्र है: $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$,जहाँ $X_L = 2\pi \nu L$.
दिया गया है: $R = 40\, \Omega$,$L = 95.5\, \text{mH} = 95.5 \times 10^{-3}\, \text{H}$,और $\nu = 50\, \text{Hz}$.
सबसे पहले,प्रेरणिक प्रतिघात (inductive reactance) $X_L$ की गणना करें:
$X_L = 2 \times 3.1416 \times 50 \times 95.5 \times 10^{-3} \approx 30\, \Omega$.
अब,प्रतिबाधा $Z$ की गणना करें:
$Z = \sqrt{40^2 + 30^2} = \sqrt{1600 + 900} = \sqrt{2500} = 50\, \Omega$.

(C) दिया गया है: प्रतिरोध $R = 5\,\Omega$,प्रेरकत्व $L = 0.1\,H$,और कोणीय आवृत्ति $\omega = 50\,rad/s$ है।
$LR$ श्रेणी परिपथ में,धारा और $EMF$ के बीच कलान्तर $\phi$ को $\tan \phi = \frac{X_L}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले,प्रेरणिक प्रतिघात $X_L = \omega L = 50 \times 0.1 = 5\,\Omega$ की गणना करें।
अब,मानों को सूत्र में रखें: $\tan \phi = \frac{5}{5} = 1$ है।
अतः,$\phi = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$ है।

(B) $LR$ श्रेणी परिपथ का प्रतिबाधा $Z$, $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2} = \sqrt{R^2 + (\omega L)^2} = \sqrt{R^2 + \omega^2 L^2}$ द्वारा दिया जाता है।
$AC$ परिपथ में व्ययित शक्ति $P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $I_{rms} = \frac{V_{rms}}{Z}$ और शक्ति गुणांक $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ है, हम इन्हें शक्ति के सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:
$P = V_{rms} \left( \frac{V_{rms}}{Z} \right) \left( \frac{R}{Z} \right) = \frac{V_{rms}^2 R}{Z^2}$.
$Z^2 = R^2 + \omega^2 L^2$ प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:
$P = \frac{V^2 R}{R^2 + \omega^2 L^2}$.

(C) $RL$ परिपथ में कला कोण $\phi$ का सूत्र $\tan \phi = \frac{X_L}{R}$ होता है।
यहाँ, प्रेरणिक प्रतिघात $X_L = 2\pi \nu L$ है।
दिया गया है: प्रतिरोध $R = 200 \, \Omega$, प्रेरकत्व $L = 1.0 \, H$, और आवृत्ति $\nu = \frac{200}{2\pi} \, Hz$.
मान रखने पर: $X_L = 2\pi \times \left( \frac{200}{2\pi} \right) \times 1 = 200 \, \Omega$.
अब, $\tan \phi = \frac{200}{200} = 1$.
अतः, $\phi = \tan^{-1}(1) = 45^o$।

(D) $LR$ परिपथ की प्रतिबाधा (impedance) $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $X_L = 2\pi \nu L$ है।
यहाँ $R = 12 \, \Omega$,$L = 0.04 \, H$,$\nu = 50 \, Hz$ और $V = 220 \, V$ दिया गया है।
सबसे पहले,प्रेरणिक प्रतिघात (inductive reactance) की गणना करें: $X_L = 2 \times 3.14 \times 50 \times 0.04 = 12.56 \, \Omega$.
अब,प्रतिबाधा की गणना करें: $Z = \sqrt{12^2 + 12.56^2} = \sqrt{144 + 157.75} = \sqrt{301.75} \approx 17.37 \, \Omega$.
धारा $I = \frac{V}{Z} = \frac{220}{17.37} \approx 12.66 \, A \approx 12.7 \, A$.

(C) दिए गए परिपथ में,प्रेरक $L$ और संधारित्र $C$ को एक $AC$ बिजली आपूर्ति के साथ समानांतर क्रम में जोड़ा गया है।
अनुनाद (resonance) पर,प्रेरणिक प्रतिघात $X_L = \omega L$ और धारितीय प्रतिघात $X_C = \frac{1}{\omega C}$ बराबर होते हैं,अर्थात $X_L = X_C$।
समानांतर $LC$ परिपथ में अनुनाद पर,प्रेरक शाखा से बहने वाली धारा $(I_L)$ और संधारित्र शाखा से बहने वाली धारा $(I_C)$ परिमाण में समान लेकिन कला (phase) में विपरीत ($180^{\circ}$ का कलांतर) होती हैं।
इसलिए,स्रोत द्वारा प्रदान की गई कुल धारा $I = I_L + I_C = 0$ होती है।
एमीटर $A_3$ को मुख्य लाइन में स्रोत द्वारा प्रदान की गई कुल धारा को मापने के लिए रखा गया है।
चूंकि अनुनाद पर कुल धारा शून्य है,इसलिए एमीटर $A_3$ शून्य एम्पीयर का पाठ्यांक देगा।

(A) $LCR$ श्रेणी परिपथ में कला कोण $\phi$ का सूत्र $\tan \phi = \frac{X_C - X_L}{R}$ होता है।
चूंकि धारा वोल्टेज से आगे है,परिपथ धारिता (capacitive) है और कला कोण $\phi = -45^o$ है (या हम अग्रता के परिमाण को $\tan(45^o) = \frac{X_C - X_L}{R}$ के रूप में उपयोग कर सकते हैं)।
मान रखने पर: $\tan 45^o = \frac{\frac{1}{2\pi fC} - 2\pi fL}{R}$.
चूंकि $\tan 45^o = 1$,इसलिए $1 = \frac{\frac{1}{2\pi fC} - 2\pi fL}{R}$.
$R = \frac{1}{2\pi fC} - 2\pi fL$.
$\frac{1}{2\pi fC} = 2\pi fL + R$.
अतः,$C = \frac{1}{2\pi f(2\pi fL + R)}$.

(A) $DC$ के लिए,सोलेनोइड एक शुद्ध प्रतिरोध $R$ के रूप में कार्य करता है। दिया गया है $V = 100 \, V$ और $I = 1.0 \, A$,इसलिए $R = \frac{V}{I} = \frac{100}{1} = 100 \, \Omega$.
$AC$ के लिए,सोलेनोइड प्रतिबाधा $Z$ के साथ एक $LR$ परिपथ के रूप में कार्य करता है। दिया गया है $V = 100 \, V$ और $I = 0.5 \, A$,इसलिए $Z = \frac{V}{I} = \frac{100}{0.5} = 200 \, \Omega$.
प्रतिबाधा का सूत्र $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ है,जहाँ $X_L = 2\pi f L$.
मान रखने पर: $200 = \sqrt{100^2 + (2 \cdot \pi \cdot 50 \cdot L)^2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $40000 = 10000 + (100\pi L)^2$.
$30000 = (100\pi L)^2$.
वर्गमूल लेने पर: $100\sqrt{3} = 100\pi L$.
$L = \frac{\sqrt{3}}{\pi} \approx \frac{1.732}{3.1416} \approx 0.55 \, H$.

(C) $AC$ परिपथ में व्ययित औसत शक्ति $P = E_{rms} I_{rms} \cos \phi$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\cos \phi$ शक्ति गुणांक (power factor) है।
हम जानते हैं कि $E_{rms} = \frac{E_0}{\sqrt{2}}$ और $I_{rms} = \frac{I_0}{\sqrt{2}} = \frac{E_0}{Z\sqrt{2}}$ है।
शक्ति गुणांक $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $P = \left(\frac{E_0}{\sqrt{2}}\right) \left(\frac{E_0}{Z\sqrt{2}}\right) \left(\frac{R}{Z}\right) = \frac{E_0^2 R}{2Z^2}$।
दिया गया है कि प्रेरणिक प्रतिघात $X_L = R$ है,इसलिए प्रतिबाधा (impedance) $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2} = \sqrt{R^2 + R^2} = \sqrt{2}R$ है।
शक्ति के सूत्र में $Z^2 = 2R^2$ रखने पर: $P = \frac{E_0^2 R}{2(2R^2)} = \frac{E_0^2 R}{4R^2} = \frac{E_0^2}{4R}$।

(A) बल्ब की निर्धारित धारा $i = \frac{P}{V} = \frac{60}{10} = 6\, A$ है।
एक $RL$ श्रेणी परिपथ में,आपूर्ति वोल्टेज $V$,बल्ब के वोल्टेज $V_R$ और प्रेरक के वोल्टेज $V_L$ से $V = \sqrt{V_R^2 + V_L^2}$ द्वारा संबंधित है।
दिया गया है $V = 100\, V$ और $V_R = 10\, V$,इसलिए $100^2 = 10^2 + V_L^2$।
$V_L^2 = 10000 - 100 = 9900$।
$V_L = \sqrt{9900} \approx 99.5\, V$।
प्रेरकीय प्रतिघात $X_L = \frac{V_L}{i} = \frac{99.5}{6} \approx 16.58\, \Omega$ है।
चूंकि $X_L = 2\pi f L$,इसलिए $L = \frac{X_L}{2\pi f} = \frac{16.58}{2 \times 3.14 \times 50} = \frac{16.58}{314} \approx 0.0528\, H$।
अतः,आवश्यक स्व-प्रेरकत्व लगभग $0.052\, H$ है।

(C) $RC$ श्रेणी परिपथ में,धारा $I$ प्रतिरोधक $R$ और संधारित्र $C$ दोनों से होकर बहती है।
$1$. प्रतिरोधक के सिरों पर वोल्टेज ($V_R$,जिसे $V_2$ द्वारा मापा जाता है) हमेशा धारा ($I$,जिसे $A$ द्वारा मापा जाता है) के साथ समान कला में होता है। अतः,कथन $I$ सही है।
$2$. संधारित्र के सिरों पर वोल्टेज ($V_C$,जिसे $V_1$ द्वारा मापा जाता है) धारा से $\frac{\pi}{2}$ पीछे रहता है।
$3$. चूँकि $V_R$,$I$ के साथ समान कला में है,और $V_C$,$I$ से $\frac{\pi}{2}$ पीछे है,इसलिए $V_C$,$V_R$ से $\frac{\pi}{2}$ पीछे रहता है। इसका अर्थ है कि $V_R$,$V_C$ से $\frac{\pi}{2}$ आगे है। इसलिए,कथन $II$ सही है।
$4$. कथन $III$ गलत है क्योंकि $V_1$ (संधारित्र पर वोल्टेज) धारा $A$ से $\frac{\pi}{2}$ पीछे रहता है।
अतः,कथन $I$ और $II$ दोनों सही हैं।

(A) कोणीय आवृत्ति $\omega$ पर,$RC$ श्रेणी परिपथ में धारा $I$ इस प्रकार दी जाती है:
$I = \frac{V}{\sqrt{R^2 + X_C^2}} = \frac{V}{\sqrt{R^2 + (1/\omega C)^2}}$ ......$(i)$
जब आवृत्ति को बदलकर $\omega' = \omega/3$ कर दिया जाता है,तो नया धारिता प्रतिघात $X_C' = \frac{1}{(\omega/3)C} = 3X_C$ हो जाता है। नई धारा $I'$ को $I/2$ के रूप में दिया गया है:
$I/2 = \frac{V}{\sqrt{R^2 + (3X_C)^2}}$ ......$(ii)$
समीकरण $(i)$ को समीकरण $(ii)$ से विभाजित करने पर:
$2 = \frac{\sqrt{R^2 + 9X_C^2}}{\sqrt{R^2 + X_C^2}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$4 = \frac{R^2 + 9X_C^2}{R^2 + X_C^2}$
$4R^2 + 4X_C^2 = R^2 + 9X_C^2$
$3R^2 = 5X_C^2$
$\frac{X_C^2}{R^2} = \frac{3}{5}$
$\frac{X_C}{R} = \sqrt{\frac{3}{5}}$

(B) दिया गया है: $I_{rms} = 4 \, A$,$f = 50 \, Hz$,$P = 240 \, W$,$V_{rms} = 100 \, V$।
कुंडली में खपत शक्ति $P = I_{rms}^2 R$ द्वारा दी जाती है।
$R = \frac{P}{I_{rms}^2} = \frac{240}{4^2} = \frac{240}{16} = 15 \, \Omega$।
कुंडली का प्रतिबाधा (impedance) $Z = \frac{V_{rms}}{I_{rms}} = \frac{100}{4} = 25 \, \Omega$ है।
हम जानते हैं कि $Z^2 = R^2 + X_L^2$,जहाँ $X_L = 2\pi f L$ है।
$X_L = \sqrt{Z^2 - R^2} = \sqrt{25^2 - 15^2} = \sqrt{625 - 225} = \sqrt{400} = 20 \, \Omega$।
चूँकि $X_L = 2\pi f L$,इसलिए $20 = 2 \times \pi \times 50 \times L$।
$L = \frac{20}{100\pi} = \frac{1}{5\pi} \, H$।

(B) दिया गया है: $R = X_L$ और $X_L = 2X_C$,जिसका अर्थ है कि $X_C = \frac{R}{2}$।
श्रेणी $LCR$ परिपथ की प्रतिबाधा $Z$ इस प्रकार दी जाती है: $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$।
मान रखने पर: $Z = \sqrt{R^2 + (R - \frac{R}{2})^2} = \sqrt{R^2 + (\frac{R}{2})^2} = \sqrt{R^2 + \frac{R^2}{4}} = \sqrt{\frac{5R^2}{4}} = \frac{\sqrt{5}R}{2}$।
कलान्तर $\phi$ इस प्रकार दिया जाता है: $\tan \phi = \frac{X_L - X_C}{R}$।
मान रखने पर: $\tan \phi = \frac{R - R/2}{R} = \frac{R/2}{R} = \frac{1}{2}$।
अतः,$\phi = \tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$।
इस प्रकार,प्रतिबाधा $\frac{\sqrt{5}R}{2}$ है और कलान्तर $\tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$ है।

(C) एक श्रेणी $LCR$ परिपथ में,परिपथ प्रेरक होता है जब प्रेरणिक प्रतिघात (inductive reactance),धारितीय प्रतिघात (capacitive reactance) से अधिक होता है,अर्थात $X_L > X_C$।
बिंदु $A$ पर: $X_C > X_L$,इसलिए परिपथ धारितीय है।
बिंदु $B$ पर: $X_C = X_L$,जो अनुनाद (resonance) की स्थिति है,इसलिए परिपथ शुद्ध प्रतिरोधी है।
बिंदु $C$ पर: $X_L > X_C$,इसलिए परिपथ प्रेरक है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) एक समानांतर $RLC$ परिपथ में,प्रत्येक घटक पर समान प्रत्यावर्ती emf $E$ लगाया जाता है।
$1$. प्रतिरोधक से प्रवाहित धारा $I_R$ आरोपित emf $E$ के साथ समान कला (in phase) में होती है।
$2$. प्रेरक (inductor) से प्रवाहित धारा $I_L$ आरोपित emf $E$ से $\frac{\pi}{2}$ के कला कोण से पीछे (lags) रहती है।
$3$. संधारित्र (capacitor) से प्रवाहित धारा $I_C$ आरोपित emf $E$ से $\frac{\pi}{2}$ के कला कोण से आगे (leads) रहती है।
इन संबंधों की तुलना दिए गए आरेखों से करने पर,विकल्प $C$ में,$I_R$ और $E$ समान कला में हैं,$I_C$ ऊपर की ओर निर्देशित है ($\frac{\pi}{2}$ आगे),और $I_L$ नीचे की ओर निर्देशित है ($\frac{\pi}{2}$ पीछे)। अतः,विकल्प $C$ का आरेख कला संबंधों को सही ढंग से दर्शाता है।

(A) दिए गए आरेख से,धारा $i$ वोल्टेज $e$ से $\phi = \pi/4$ के कला कोण से आगे है। यह इंगित करता है कि यह एक $RC$ श्रेणी परिपथ है।
$RC$ परिपथ के लिए,कला कोण $\phi$ को $\tan \phi = \frac{X_C}{R} = \frac{1}{\omega CR}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $\phi = \pi/4$ दिया गया है,इसलिए $\tan(\pi/4) = 1$,जिसका अर्थ है $1 = \frac{1}{\omega CR}$,यानी $\omega CR = 1$.
यहाँ $\omega = 100 \text{ rad/s}$ दिया गया है,इसलिए $100 \times C \times R = 1$,या $CR = 1/100 = 0.01 \text{ s}$.
विकल्प $(A)$ की जाँच करने पर: $R = 1000 \, \Omega$ और $C = 10 \times 10^{-6} \text{ F} = 10^{-5} \text{ F}$.
अतः $CR = 1000 \times 10^{-5} = 10^{-2} = 0.01 \text{ s}$.
यह शर्त पूरी होती है,इसलिए विकल्प $(A)$ सही है।

(A) श्रेणी $LC$ परिपथ का कुल प्रतिघात $X$,प्रेरणिक प्रतिघात $X_L$ और धारितीय प्रतिघात $X_C$ के अंतर द्वारा दिया जाता है।
$X = X_L - X_C = 2\pi fL - \frac{1}{2\pi fC}$.
जैसे-जैसे आवृत्ति $f$ बढ़ती है,$X_L = 2\pi fL$ रैखिक रूप से बढ़ता है,जबकि $X_C = \frac{1}{2\pi fC}$ अतिपरवलयिक (hyperbolic) रूप से घटता है।
कम आवृत्ति पर,$X_C$ का मान अधिक होता है,जिससे कुल प्रतिघात ऋणात्मक हो जाता है।
उच्च आवृत्ति पर,$X_L$ का मान अधिक होता है,जिससे कुल प्रतिघात धनात्मक हो जाता है।
अनुनाद आवृत्ति $f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$ पर,कुल प्रतिघात शून्य होता है।
यह व्यवहार दर्शाने वाला वक्र ऋणात्मक मानों से शुरू होकर शून्य से गुजरते हुए धनात्मक मानों की ओर बढ़ना चाहिए।

(C) दिया गया है: $C = \frac{2.5}{\pi} \times 10^{-6} \, F$,$R = 3000 \, \Omega$,$V_{rms} = 200 \, V$,$\nu = 50 \, Hz$.
सबसे पहले,धारितीय प्रतिघात $X_C$ की गणना करें:
$X_C = \frac{1}{2\pi \nu C} = \frac{1}{2\pi \times 50 \times (\frac{2.5}{\pi} \times 10^{-6})} = \frac{1}{250 \times 10^{-6}} = 4000 \, \Omega$.
प्रतिबाधा $Z$ की गणना करें:
$Z = \sqrt{R^2 + X_C^2} = \sqrt{3000^2 + 4000^2} = \sqrt{9 \times 10^6 + 16 \times 10^6} = \sqrt{25 \times 10^6} = 5000 \, \Omega$.
शक्ति गुणांक $\cos \phi$ की गणना करें:
$\cos \phi = \frac{R}{Z} = \frac{3000}{5000} = 0.6$.
व्ययित शक्ति $P$ की गणना करें:
$P = \frac{V_{rms}^2 \cos \phi}{Z} = \frac{200^2 \times 0.6}{5000} = \frac{40000 \times 0.6}{5000} = 8 \times 0.6 = 4.8 \, W$.

(C) $dc$ स्रोत के लिए: $P = \frac{V^2}{R}$। दिया गया है $V = 10 \, V$ और $P = 20 \, W$,अतः $R = \frac{V^2}{P} = \frac{10^2}{20} = \frac{100}{20} = 5 \, \Omega$।
$ac$ स्रोत के लिए: $P = I_{rms}^2 R = \left( \frac{V}{Z} \right)^2 R = \frac{V^2 R}{Z^2}$। दिया गया है $V = 10 \, V$ और $P = 10 \, W$,अतः $Z^2 = \frac{V^2 R}{P} = \frac{10^2 \times 5}{10} = 50 \, \Omega^2$।
$RL$ परिपथ की प्रतिबाधा (impedance) $Z^2 = R^2 + X_L^2 = R^2 + (2 \pi \nu L)^2$ होती है।
मान रखने पर: $50 = 5^2 + (2 \pi \nu \times 10 \times 10^{-3})^2$।
$50 = 25 + (2 \pi \nu \times 10^{-2})^2$।
$25 = (2 \pi \nu \times 10^{-2})^2$।
वर्गमूल लेने पर: $5 = 2 \pi \nu \times 10^{-2}$।
$\nu = \frac{5}{2 \pi \times 10^{-2}} = \frac{500}{2 \pi} \approx \frac{500}{6.28} \approx 79.6 \, Hz \approx 80 \, Hz$।

(A) $RL$ परिपथ का पावर फैक्टर $\cos \phi = \frac{R}{Z} = \frac{1}{2}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $\cos \phi = 1/2$,इसलिए फेज कोण $\phi = 60^\circ$ है।
हम जानते हैं कि $\tan \phi = \frac{X_L}{R} = \frac{\omega L}{R}$ होता है।
मान रखने पर: $\tan 60^\circ = \frac{2 \pi f L}{R}$.
$\sqrt{3} = \frac{2 \pi \times 50 \times L}{100}$.
$\sqrt{3} = \frac{100 \pi L}{100}$.
$\sqrt{3} = \pi L$.
अतः,$L = \frac{\sqrt{3}}{\pi} \, H$।

(D) $RL$ परिपथ में कलांतर $\varphi$ का सूत्र $\tan \varphi = \frac{X_L}{R}$ होता है।
दिया गया है: $R = \pi \sqrt{3} \,\Omega$,$\varphi = 30^\circ$,और $\nu = 50 \,Hz$.
हम जानते हैं कि $X_L = 2\pi \nu L$.
सूत्र में मान रखने पर: $\tan 30^\circ = \frac{2\pi \nu L}{R}$.
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{2\pi \times 50 \times L}{\pi \sqrt{3}}$.
दोनों पक्षों से $\pi \sqrt{3}$ को हटाने पर: $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{100L}{\sqrt{3}}$.
$1 = 100L$.
$L = \frac{1}{100} = 0.01 \,H$.

(B) दिया गया है: धारा $i = 100 \sin(314t) \ A$ और वोल्टेज $e = 200 \sin(314t + \pi/3) \ V$ है।
शिखर मानों से,शिखर धारा $I_0 = 100 \ A$ और शिखर वोल्टेज $V_0 = 200 \ V$ है।
प्रतिबाधा $Z$ का मान $Z = V_0 / I_0 = 200 / 100 = 2 \ \Omega$ है।
$RL$ परिपथ में,प्रतिबाधा $Z$,प्रतिरोध $R$ और प्रतिघात $X_L$ के बीच संबंध $Z^2 = R^2 + X_L^2$ होता है।
यहाँ $R = 1 \ \Omega$ दिया गया है,इसलिए $2^2 = 1^2 + X_L^2$ होगा।
$4 = 1 + X_L^2 \implies X_L^2 = 3$।
अतः,$X_L = \sqrt{3} \ \Omega$।

(A) $RL$ श्रेणी परिपथ में,वोल्टेज और धारा के बीच कलान्तर $\varphi$ को सूत्र $\tan \varphi = \frac{X_L}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि प्रतिघात $X_L = \sqrt{3} R$ है।
इस मान को सूत्र में रखने पर: $\tan \varphi = \frac{\sqrt{3} R}{R} = \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\tan \varphi = \sqrt{3}$,इसलिए $\varphi = 60^{\circ}$ होगा।
डिग्री को रेडियन में बदलने पर: $\varphi = 60^{\circ} \times \frac{\pi}{180^{\circ}} = \frac{\pi}{3}$ रेडियन।

(A) $RC$ श्रेणी परिपथ में धारा $I = \frac{V}{\sqrt{R^2 + X_C^2}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $X_C = \frac{1}{\omega C}$ है।
प्रारंभिक आवृत्ति $\omega$ पर,$I = \frac{V}{\sqrt{R^2 + (1/\omega C)^2}}$ ... $(i)$
आवृत्ति $\omega' = \omega/3$ पर,नया प्रतिघात $X_C' = \frac{1}{(\omega/3)C} = \frac{3}{\omega C} = 3X_C$ है।
नई धारा $I' = I/2 = \frac{V}{\sqrt{R^2 + (3X_C)^2}}$ ... (ii)
समीकरण $(i)$ को (ii) से विभाजित करने पर,हमें $2 = \frac{\sqrt{R^2 + 9X_C^2}}{\sqrt{R^2 + X_C^2}}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $4 = \frac{R^2 + 9X_C^2}{R^2 + X_C^2}$.
$4R^2 + 4X_C^2 = R^2 + 9X_C^2$.
$3R^2 = 5X_C^2$.
$\frac{X_C^2}{R^2} = \frac{3}{5}$.
अतः,अनुपात $\frac{X_C}{R} = \sqrt{\frac{3}{5}}$ है।

(A) $RL$ श्रेणी परिपथ में कलान्तर $\phi$ का सूत्र $\tan \phi = \frac{X_L}{R}$ होता है।
यहाँ,$R = 300 \Omega$,$L = \frac{1}{\pi} \text{ H}$,और $f = 200 \text{ Hz}$ है।
प्रेरकीय प्रतिघात $X_L = \omega L = 2\pi f L$ होता है।
मान रखने पर: $X_L = 2\pi \times 200 \times \frac{1}{\pi} = 400 \Omega$.
अब,$\tan \phi = \frac{400}{300} = \frac{4}{3}$.
अतः,कलान्तर $\phi = \tan^{-1} \frac{4}{3}$ होगा।

(C) $AC$ परिपथ में औसत शक्ति $P = E_{rms} I_{rms} \cos \phi$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$E_{rms} = \frac{E_0}{\sqrt{2}}$ और $I_{rms} = \frac{I_0}{\sqrt{2}} = \frac{E_0}{Z\sqrt{2}}$ है।
शक्ति गुणांक $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$P = \frac{E_0}{\sqrt{2}} \times \frac{E_0}{Z\sqrt{2}} \times \frac{R}{Z} = \frac{E_0^2 R}{2Z^2}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि प्रेरणिक प्रतिघात $X_L = R$,इसलिए प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2} = \sqrt{R^2 + R^2} = \sqrt{2}R$ है।
$Z^2 = 2R^2$ को शक्ति के सूत्र में रखने पर:
$P = \frac{E_0^2 R}{2(2R^2)} = \frac{E_0^2 R}{4R^2} = \frac{E_0^2}{4R}$।

(B) $AC$ परिपथ में खपत शक्ति $P = I_{rms}^2 R$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $P = 240 W$ और $I_{rms} = 4 A$ दिया गया है,इसलिए $R = \frac{P}{I_{rms}^2} = \frac{240}{16} = 15 \Omega$ प्राप्त होता है।
परिपथ का प्रतिबाधा (impedance) $Z = \frac{V_{rms}}{I_{rms}} = \frac{100}{4} = 25 \Omega$ है।
हम जानते हैं कि $Z^2 = R^2 + X_L^2$,जहाँ $X_L$ प्रेरणिक प्रतिघात (inductive reactance) है।
$X_L = \sqrt{Z^2 - R^2} = \sqrt{25^2 - 15^2} = \sqrt{625 - 225} = \sqrt{400} = 20 \Omega$।
चूँकि $X_L = 2\pi f L$,इसलिए $20 = 2\pi(50)L$ प्राप्त होता है।
अतः,$L = \frac{20}{100\pi} = \frac{1}{5\pi} H$।

(B) प्रतिरोध $R$ की विमा $[M L^2 T^{-3} I^{-2}]$ है।
प्रेरकत्व $L$ की विमा $[M L^2 T^{-2} I^{-2}]$ है।
धारिता $C$ की विमा $[M^{-1} L^{-2} T^4 I^2]$ है।
विकल्प $B$ की जाँच करने पर:
$\frac{L}{R} = \frac{[M L^2 T^{-2} I^{-2}]}{[M L^2 T^{-3} I^{-2}]} = [T^1] = T$.
विकल्प $C$ की जाँच करने पर:
$\sqrt{LC} = \sqrt{[M L^2 T^{-2} I^{-2}] \cdot [M^{-1} L^{-2} T^4 I^2]} = \sqrt{[T^2]} = [T^1] = T$.
अतः,$\frac{L}{R}$ और $\sqrt{LC}$ दोनों की विमाएँ समय के समान हैं।

(B) दिया गया है: प्रतिरोध $R = 3\,\Omega$ और प्रेरणिक प्रतिघात $X_L = 3\,\Omega$ है।
एक $LR$ श्रेणी परिपथ में,लागू वोल्टेज और धारा के बीच कलान्तर $\phi$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\tan \phi = \frac{X_L}{R}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\tan \phi = \frac{3\,\Omega}{3\,\Omega} = 1$
अतः,कलान्तर:
$\phi = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$ रेडियन है।

(B) दिया गया है: प्रतिरोध $R = 30\,\Omega$.
$f = 50\,Hz$ आवृत्ति पर प्रेरणिक प्रतिघात $X_L = 20\,\Omega$.
चूंकि $X_L = 2\pi f L$,इसलिए प्रेरणिक प्रतिघात आवृत्ति के समानुपाती होता है $(X_L \propto f)$.
नई आवृत्ति $f' = 100\,Hz$ पर,नया प्रेरणिक प्रतिघात $X_L'$ होगा:
$X_L' = X_L \times \left(\frac{f'}{f}\right) = 20\,\Omega \times \left(\frac{100\,Hz}{50\,Hz}\right) = 40\,\Omega$.
$RL$ परिपथ की प्रतिबाधा (impedance) $Z = \sqrt{R^2 + (X_L')^2}$ द्वारा दी जाती है।
$Z = \sqrt{30^2 + 40^2} = \sqrt{900 + 1600} = \sqrt{2500} = 50\,\Omega$.
कुंडली में धारा $I = \frac{V}{Z} = \frac{200\,V}{50\,\Omega} = 4\,A$ होगी।