Alternating Current, Voltage (rms and Average) Questions in Hindi

(B) $DC$ एमीटर में,एक कुंडली एक स्थिर चुंबक के चुंबकीय क्षेत्र में घूमने के लिए स्वतंत्र होती है।
यदि ऐसी कुंडली से प्रत्यावर्ती धारा प्रवाहित की जाती है,तो हर बार धारा की दिशा बदलने पर टॉर्क अपनी दिशा बदल लेगा।
चूंकि $AC$ की आवृत्ति आमतौर पर अधिक होती है,इसलिए कुंडली अपने जड़त्व के कारण टॉर्क में होने वाले तीव्र परिवर्तनों का पालन नहीं कर पाती है।
परिणामस्वरूप,एक पूर्ण चक्र पर टॉर्क का औसत मान शून्य होता है और सूचक (पॉइंटर) शून्य स्थिति पर ही रहता है।

(B) तात्क्षणिक धारा का समीकरण $i = i_0 \cos(\omega t + \phi)$ है,जहाँ $i_0$ शिखर धारा (peak current) है।
दिए गए समीकरण $i = 4 \cos(\omega t + \phi)$ के साथ तुलना करने पर,हमें शिखर धारा $i_0 = 4 \text{ A}$ प्राप्त होती है।
प्रत्यावर्ती धारा $(AC)$ के लिए $r.m.s.$ मान और शिखर मान के बीच का संबंध $i_{r.m.s.} = \frac{i_0}{\sqrt{2}}$ है।
$i_0$ का मान रखने पर,$i_{r.m.s.} = \frac{4}{\sqrt{2}} = \frac{4 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \text{ A}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) प्रभावी वोल्टेज (जिसे रूट मीन स्क्वायर वोल्टेज,$V_{rms}$ के रूप में भी जाना जाता है) और शिखर वोल्टेज $(V_0)$ के बीच का संबंध इस प्रकार है: $V_{rms} = \frac{V_0}{\sqrt{2}}$.
यहाँ दिया गया है कि शिखर वोल्टेज $V_0 = 423 \ V$ है।
इस मान को सूत्र में रखने पर:
$V_{rms} = \frac{423}{\sqrt{2}} \approx \frac{423}{1.414} \approx 299.15 \ V$.
निकटतम पूर्णांक में लेने पर,हमें $V_{rms} = 300 \ V$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) ज्यावक्रीय (sinusoidal) प्रत्यावर्ती धारा के लिए शिखर धारा $(I_0)$ और रूट मीन स्क्वायर धारा $(I_{rms})$ के बीच का संबंध निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$I_{rms} = \frac{I_0}{\sqrt{2}}$
यहाँ दिया गया है कि शिखर मान $I_0 = 6 \ A$ है,इसलिए इस मान को सूत्र में रखने पर:
$I_{rms} = \frac{6}{\sqrt{2}}$
सरल बनाने के लिए,अंश और हर को $\sqrt{2}$ से गुणा करने पर:
$I_{rms} = \frac{6 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} \ A$
अतः,धारा का r.m.s. मान $3\sqrt{2} \ A$ है।

(C) दिया गया वोल्टेज समीकरण $V = 240 \sin(120t)$ है।
इसे मानक रूप $V = V_m \sin(\omega t)$ के साथ तुलना करने पर,हमें शिखर वोल्टेज $V_m = 240 \text{ V}$ और कोणीय आवृत्ति $\omega = 120 \text{ rad/s}$ प्राप्त होते हैं।
आवृत्ति $f$ का मान $f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{120}{2 \times 3.14159} \approx 19.1 \text{ Hz}$ है।
$r.m.s.$ वोल्टेज $V_{rms} = \frac{V_m}{\sqrt{2}} = \frac{240}{1.414} \approx 169.7 \text{ V} \approx 170 \text{ V}$ है।
अतः,आवृत्ति $19 \text{ Hz}$ है और $r.m.s.$ वोल्टेज $170 \text{ V}$ है।

(D) एक $AC$ परिपथ में,तात्कालिक वोल्टेज $E = E_0 \sin(\omega t)$ द्वारा दिया जाता है।
वोल्टेज का $r.m.s.$ (रूट मीन स्क्वायर) मान एक पूर्ण चक्र पर तात्कालिक मानों के वर्गों के औसत का वर्गमूल होता है।
गणितीय रूप से,$E_{rms} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_{0}^{T} E^2 dt}$।
$E = E_0 \sin(\omega t)$ रखने पर,हमें $E_{rms} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_{0}^{T} E_0^2 \sin^2(\omega t) dt}$ प्राप्त होता है।
इस समाकलन को हल करने पर,हमें $E_{rms} = \frac{E_0}{\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।

(C) $220 \, V$ का दिया गया मान $ac$ मेन्स के रूट मीन स्क्वायर $(rms)$ वोल्टेज को दर्शाता है।
शिखर वोल्टेज $(V_0)$ और $rms$ वोल्टेज $(V_{rms})$ के बीच का संबंध इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $V_0 = V_{rms} \times \sqrt{2}$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $V_0 = 220 \times 1.414$।
$V_0 = 311.08 \, V \approx 311 \, V$।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) ओम के नियम के अनुसार,रूट मीन स्क्वायर $(RMS)$ धारा: $I_{rms} = \frac{V_{rms}}{R} = \frac{200 \ V}{40 \ \Omega} = 5 \ A$ है।
शिखर धारा $(I_0)$ और $RMS$ धारा के बीच संबंध: $I_0 = I_{rms} \times \sqrt{2}$ है।
मान रखने पर: $I_0 = 5 \times 1.414 = 7.07 \ A$ प्राप्त होता है।
अतः,विद्युत धारा का शिखर मान लगभग $7 \ A$ है।

(B) भारत में पावर मेन्स में आपूर्ति की जाने वाली प्रत्यावर्ती धारा $(AC)$ की मानक आवृत्ति $50 \text{ Hz}$ है। इसका अर्थ है कि धारा प्रति सेकंड $50$ चक्र पूर्ण करती है।

(D) प्रत्यावर्ती धारा का आवर्तकाल $T$ इस प्रकार है: $T = \frac{1}{\nu} = \frac{1}{50} \ s = 0.02 \ s$.
शून्य से अधिकतम मान तक पहुँचने में लगा समय आवर्तकाल का एक-चौथाई होता है:
$t = \frac{T}{4} = \frac{0.02}{4} = 0.005 \ s = 5 \times 10^{-3} \ s$.
धारा का शिखर मान $(i_0)$,$r.m.s.$ मान $(i_{rms})$ से निम्नलिखित सूत्र द्वारा संबंधित है:
$i_0 = i_{rms} \times \sqrt{2} = 10 \times 1.414 = 14.14 \ A$.
अतः,लगा समय $5 \times 10^{-3} \ s$ है और शिखर मान $14.14 \ A$ है।

(C) प्रत्यावर्ती धारा के रूट मीन स्क्वायर $(RMS)$ मान को उस स्थिर धारा के मान के रूप में परिभाषित किया जाता है,जो किसी दिए गए प्रतिरोध से एक निश्चित समय के लिए प्रवाहित होने पर उतनी ही ऊष्मा उत्पन्न करती है जितनी प्रत्यावर्ती धारा समान अवधि में उत्पन्न करती है।
गणितीय रूप से,एक ज्यावक्रीय (sinusoidal) प्रत्यावर्ती धारा $I = I_0 \sin(\omega t)$ के लिए,$RMS$ मान $(I_{rms})$ इस प्रकार दिया जाता है:
$I_{rms} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_{0}^{T} I^2 dt}$
एक पूर्ण चक्र पर इस समाकलन को हल करने पर प्राप्त होता है:
$I_{rms} = \frac{I_0}{\sqrt{2}}$
जहाँ $I_0$ धारा का पीक (अधिकतम) मान है।
अतः,$RMS$ मान पीक मान का $1/\sqrt{2}$ गुना होता है।

(B) दिया गया है: शिखर मान $E_0 = 10 \ V$,आवृत्ति $f = 50 \ Hz$,और समय $t = \frac{1}{600} \ s$ है।
तात्क्षणिक e.m.f. का सूत्र $E = E_0 \cos(\omega t)$ है।
चूंकि $\omega = 2\pi f$,इसलिए $\omega = 2 \times \pi \times 50 = 100\pi \ rad/s$ होगा।
समीकरण में मान रखने पर:
$E = 10 \cos(100\pi \times \frac{1}{600})$
$E = 10 \cos(\frac{\pi}{6})$
चूंकि $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$,इसलिए:
$E = 10 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \ V$।

(C) $ac$ वोल्टेज के लिए मानक समीकरण $E = E_0 \sin(\omega t)$ है,जहाँ $\omega$ कोणीय आवृत्ति है।
दिए गए समीकरण $E = 170 \sin(377t)$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\omega = 377 \text{ rad/s}$ प्राप्त होता है।
कोणीय आवृत्ति $\omega$ और आवृत्ति $\nu$ के बीच का संबंध $\omega = 2\pi \nu$ है।
अतः,$\nu = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{377}{2 \times 3.14159} \approx 60.03 \text{ Hz}$।
निकटतम पूर्णांक में,आवृत्ति $60 \text{ Hz}$ है।

(A) $I = I_0 \sin(\omega t)$ द्वारा दी गई प्रत्यावर्ती धारा के लिए,एक पूर्ण चक्र पर धारा का औसत मान $I_{avg} = \frac{1}{T} \int_0^T I_0 \sin(\omega t) dt = 0$ होता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि धनात्मक और ऋणात्मक अर्ध-चक्र एक-दूसरे के प्रभाव को निरस्त कर देते हैं।
धारा के वर्ग का औसत मान $I_{rms}^2 = \frac{I_0^2}{2}$ होता है,जो शून्य नहीं है।
औसत शक्ति क्षय $P_{avg} = V_{rms} I_{rms} \cos(\phi)$ द्वारा दिया जाता है,जो सामान्यतः शून्य नहीं होता है,जब तक कि परिपथ पूरी तरह से रिएक्टिव न हो।
वोल्टेज और धारा के बीच कलांतर हमेशा शून्य नहीं होता है; यह परिपथ में मौजूद घटकों $(R, L, C)$ पर निर्भर करता है।

(C) दिया गया समीकरण $i = i_1 \cos \omega t + i_2 \sin \omega t$ है।
इसे $i = I_0 \sin(\omega t + \phi)$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ आयाम $I_0 = \sqrt{i_1^2 + i_2^2}$ है।
रूट मीन स्क्वायर (r.m.s.) धारा को $i_{rms} = \frac{I_0}{\sqrt{2}}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$I_0$ का मान रखने पर,हमें $i_{rms} = \frac{\sqrt{i_1^2 + i_2^2}}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}(i_1^2 + i_2^2)^{1/2}$ प्राप्त होता है।

(C) रूट मीन स्क्वायर $(RMS)$ वोल्टेज $V_{rms} = 220 V$ दिया गया है।
शिखर वोल्टेज $(V_0)$ और $RMS$ वोल्टेज $(V_{rms})$ के बीच का संबंध $V_0 = V_{rms} \times \sqrt{2}$ है।
मान रखने पर: $V_0 = 220 \times 1.414$.
$V_0 = 311.08 V$.
निकटतम पूर्णांक में,शिखर वोल्टेज $311 V$ है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) हॉट वायर एमीटर प्रत्यावर्ती धारा के रूट मीन स्क्वायर $(rms)$ मान को मापता है।
दिया गया है,$I_{rms} = 10 \ A$.
शिखर मान $(I_0)$ और $rms$ मान $(I_{rms})$ के बीच का संबंध $I_0 = I_{rms} \times \sqrt{2}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $I_0 = 10 \times 1.414 = 14.14 \ A$.
अतः,धारा का शिखर मान $14.14 \ A$ है।

(D) घरेलू उपयोग के लिए प्रदान किए गए $AC$ वोल्टेज को $220\,V$ के रूप में निर्दिष्ट किया जाता है।
यह मान आपूर्ति के रूट मीन स्क्वायर $(RMS)$ वोल्टेज को दर्शाता है।
$RMS$ मान को एक पूर्ण चक्र में तात्कालिक वोल्टेज के वर्गों के औसत के वर्गमूल के रूप में परिभाषित किया गया है।
यह वह समतुल्य $DC$ वोल्टेज है जो एक प्रतिरोधक में $AC$ वोल्टेज के समान ही ऊष्मा उत्पन्न करेगा।

(B) रूट मीन स्क्वायर (r.m.s.) वोल्टेज $V_{rms} = 220 \ V$ दिया गया है।
पीक वोल्टेज $(V_0)$ और r.m.s. वोल्टेज के बीच संबंध $V_0 = \sqrt{2} \times V_{rms}$ है।
दिए गए मान को रखने पर: $V_0 = 1.414 \times 220 \ V$।
$V_0 \approx 311 \ V$।
अतः,विद्युत उपकरणों को लगभग $311 \ V$ के तात्कालिक पीक वोल्टेज को सहन करने के लिए डिज़ाइन किया जाना चाहिए,जो दिए गए विकल्पों में $310 \ V$ के सबसे निकट है।

(B) प्रत्यावर्ती वोल्टेज का $r.m.s.$ मान उसके शिखर आयाम $(V_0)$ से इस सूत्र द्वारा संबंधित है: $V_{rms} = \frac{V_0}{\sqrt{2}}$.
दिया गया आयाम $V_0 = 120 \text{ V}$ है।
मान रखने पर: $V_{rms} = \frac{120}{1.414} \approx 84.8 \text{ V}$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) धारा का शिखर मान $i_0$ है और r.m.s. मान $i_{rms} = \frac{i_0}{\sqrt{2}}$ है।
दी गई प्रत्यावर्ती धारा का समीकरण $i = i_0 \sin(100 \pi t)$ है।
शिखर मान पर,कला $\omega t_1 = \frac{\pi}{2}$,इसलिए $t_1 = \frac{\pi}{2 \times 100 \pi} = \frac{1}{200} \, \text{s}$.
r.m.s. मान पर,$i = \frac{i_0}{\sqrt{2}}$,इसलिए $\sin(100 \pi t_2) = \frac{1}{\sqrt{2}} = \sin(\frac{\pi}{4})$.
अतः,$100 \pi t_2 = \frac{\pi}{4} \Rightarrow t_2 = \frac{1}{400} \, \text{s}$.
लगा समय $\Delta t = t_1 - t_2 = \frac{1}{200} - \frac{1}{400} = \frac{2-1}{400} = \frac{1}{400} \, \text{s}$.
$\Delta t = 0.0025 \, \text{s} = 2.5 \times 10^{-3} \, \text{s}$.

(C) दिए गए समीकरण $V = 5\sin(100\pi t - \frac{\pi}{6})$ और $I = 4\sin(100\pi t + \frac{\pi}{6})$ हैं।
इन्हें मानक रूपों $V = V_m\sin(\omega t + \phi_1)$ और $I = I_m\sin(\omega t + \phi_2)$ के साथ तुलना करने पर,हमें कला कोण $\phi_1 = -\frac{\pi}{6}$ और $\phi_2 = \frac{\pi}{6}$ प्राप्त होते हैं।
कलांतर $\Delta \phi = \phi_2 - \phi_1 = \frac{\pi}{6} - (-\frac{\pi}{6}) = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$ है।
चूंकि $\frac{\pi}{3}$ रेडियन $60^o$ के बराबर है और $\phi_2 > \phi_1$ है,इसलिए धारा वोल्टेज से $60^o$ आगे है।

(A) दिया गया $AC$ आपूर्ति वोल्टेज रूट मीन स्क्वायर मान है,$V_{rms} = 220 \ V$।
पीक वोल्टेज $V_0$ का मान $V_0 = V_{rms} \times \sqrt{2}$ द्वारा दिया जाता है।
धनात्मक अर्ध-चक्र के दौरान औसत e.m.f. $(V_{av})$ का सूत्र $V_{av} = \frac{2}{\pi} V_0$ है।
$V_0$ का मान रखने पर,हमें $V_{av} = \frac{2}{\pi} \times (V_{rms} \times \sqrt{2}) = \frac{2\sqrt{2}}{\pi} V_{rms}$ प्राप्त होता है।
$V_{rms} = 220 \ V$ रखने पर,$V_{av} = \frac{2 \times 1.414}{3.1416} \times 220 \approx 198 \ V$ प्राप्त होता है।

(B) प्रत्यावर्ती धारा (alternating current) का $r.m.s.$ (रूट मीन स्क्वायर) मान एक पूर्ण चक्र में तात्कालिक धाराओं के वर्गों के माध्य के वर्गमूल के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$I = I_0 \sin(\omega t)$ द्वारा दी गई ज्यावक्रीय (sinusoidal) प्रत्यावर्ती धारा के लिए,$r.m.s.$ मान की गणना इस प्रकार की जाती है:
$I_{rms} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_{0}^{T} I^2 dt} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_{0}^{T} I_0^2 \sin^2(\omega t) dt}$
एक आवर्तकाल $T$ पर इस समाकलन को हल करने पर प्राप्त होता है:
$I_{rms} = \frac{I_0}{\sqrt{2}}$
अतः,सही संबंध $I_{rms} = \frac{1}{\sqrt{2}} I_0$ है।

(A) दिया गया प्रत्यावर्ती वोल्टेज $E = 20 \sin 300t$ है।
एक पूर्ण चक्र पर ज्यावक्रीय (sinusoidal) प्रत्यावर्ती वोल्टेज का औसत मान,समय अवधि $T$ पर वोल्टेज के समाकलन और समय अवधि $T$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप से,$E_{avg} = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} E_0 \sin(\omega t) dt$ है।
चूंकि ज्या फलन (sine function) समय अक्ष के सापेक्ष सममित होता है,इसलिए धनात्मक अर्ध-चक्र के अंतर्गत आने वाला क्षेत्रफल ऋणात्मक अर्ध-चक्र के अंतर्गत आने वाले क्षेत्रफल के बराबर होता है।
अतः,धनात्मक और ऋणात्मक मान एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं,जिसके परिणामस्वरूप एक पूर्ण चक्र पर औसत मान $0$ प्राप्त होता है।

(C) प्रत्यावर्ती धारा के लिए,शिखर मान $(I_0)$ और वर्ग माध्य मूल (r.m.s.) मान $(I_{rms})$ के बीच का संबंध $I_{rms} = \frac{I_0}{\sqrt{2}}$ होता है।
शिखर मान और r.m.s. मान के अनुपात को ज्ञात करने के लिए इस सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\frac{I_0}{I_{rms}} = \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,अनुपात $\sqrt{2}$ है।

(A) दिया गया वोल्टेज $V_{rms} = 200 \ V$ और प्रतिरोध $R = 280 \ \Omega$ है।
सबसे पहले,रूट मीन स्क्वायर धारा $(I_{rms})$ की गणना करें:
$I_{rms} = \frac{V_{rms}}{R} = \frac{200}{280} = \frac{5}{7} \ A \approx 0.714 \ A$.
धारा का शिखर मान $(I_0)$,$I_{rms}$ से $I_0 = I_{rms} \times \sqrt{2}$ सूत्र द्वारा संबंधित है।
$I_0 = \frac{5}{7} \times 1.414 \approx 0.714 \times 1.414 \approx 1.01 \ A$.
अतः,धारा का शिखर मान लगभग $1 \ A$ है।

(D) $ac$ स्रोत की आवृत्ति $f = 50 \text{ Hz}$ है।
$ac$ चक्र का आवर्तकाल $T = 1/f = 1/50 \text{ s} = 0.02 \text{ s}$ है।
वोल्टेज $V = V_0 \sin(\omega t)$ के अनुसार बदलता है। चरम मान $t = T/4$ पर होता है और वोल्टेज $t = T/2$ पर शून्य होता है।
चरम मान $(V = V_0)$ से शून्य $(V = 0)$ तक जाने में लगा समय आवर्तकाल के एक चौथाई के बराबर होता है।
अतः,आवश्यक समय $t = T/4 = 0.02 / 4 = 0.005 \text{ s} = 5 \times 10^{-3} \text{ s}$ है।

(B) एक $AC$ परिपथ में,विभव का दिया गया मान रूट मीन स्क्वायर $(RMS)$ मान माना जाता है,जब तक कि अन्यथा न कहा गया हो।
दिया गया है: $V_{rms} = 10 \ V$.
शिखर मान $(V_0)$ और $RMS$ मान $(V_{rms})$ के बीच का संबंध इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $V_0 = \sqrt{2} \times V_{rms}$.
दी गई मान को प्रतिस्थापित करने पर: $V_0 = \sqrt{2} \times 10 = 10\sqrt{2} \ V$.
अतः,विभव का शिखर मान $10\sqrt{2} \ V$ है।

(C) प्रत्यावर्ती वोल्टेज के लिए दिया गया समीकरण $E = 141 \sin(628 t)$ है।
इसे मानक रूप $E = E_0 \sin(\omega t)$ के साथ तुलना करने पर,हमें पीक वोल्टेज $E_0 = 141 \text{ V}$ और कोणीय आवृत्ति $\omega = 628 \text{ rad/s}$ प्राप्त होता है।
रूट मीन स्क्वायर (rms) वोल्टेज $E_{rms} = \frac{E_0}{\sqrt{2}} = \frac{141}{1.414} \approx 100 \text{ V}$ द्वारा दिया जाता है।
कोणीय आवृत्ति और आवृत्ति $f$ के बीच संबंध $\omega = 2 \pi f$ है।
मान रखने पर,$628 = 2 \times 3.14 \times f$।
$f = \frac{628}{6.28} = 100 \text{ Hz}$।
अतः,rms वोल्टेज $100 \text{ V}$ है और आवृत्ति $100 \text{ Hz}$ है।

(C) पीक वोल्टेज $(E_0)$ और रूट मीन स्क्वायर वोल्टेज $(E_{rms})$ के बीच का संबंध इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $E_{rms} = \frac{E_0}{\sqrt{2}}$.
यहाँ दिया गया है कि अधिकतम वोल्टेज $E_0 = 707 \ V$ है।
मान रखने पर: $E_{rms} = \frac{707}{1.414} \approx 500 \ V$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) दिया गया वोल्टेज समीकरण: $V = 120 \sin(100\pi t) \cos(100\pi t)$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin(2\theta) = 2 \sin \theta \cos \theta$ का उपयोग करते हुए,हम समीकरण को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$V = 60 \times (2 \sin(100\pi t) \cos(100\pi t))$
$V = 60 \sin(200\pi t)$.
इसे मानक रूप $V = V_{\max} \sin(\omega t)$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
अधिकतम वोल्टेज $V_{\max} = 60 \, V$.
कोणीय आवृत्ति $\omega = 200\pi \, rad/s$.
चूंकि $\omega = 2\pi \nu$,इसलिए आवृत्ति $\nu$ होगी:
$\nu = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{200\pi}{2\pi} = 100 \, Hz$.
अतः,अधिकतम वोल्टेज $60 \, V$ है और आवृत्ति $100 \, Hz$ है।

(C) धारा का r.m.s. मान $i_{rms} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_{t_1}^{t_2} i^2 \ dt}$ के रूप में परिभाषित है,जहाँ $T = t_2 - t_1 = 4 - 2 = 2 \ s$ है।
सबसे पहले,माध्य वर्ग धारा $\overline{i^2}$ की गणना करें:
$\overline{i^2} = \frac{1}{2} \int_{2}^{4} (2\sqrt{t})^2 \ dt = \frac{1}{2} \int_{2}^{4} 4t \ dt$
$\overline{i^2} = 2 \int_{2}^{4} t \ dt = 2 \left[ \frac{t^2}{2} \right]_{2}^{4} = [t^2]_{2}^{4} = 4^2 - 2^2 = 16 - 4 = 12 \ A^2$.
अब,r.m.s. मान ज्ञात करें:
$i_{rms} = \sqrt{\overline{i^2}} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \ A$.

(B) धारा $I(t)$ का $r.m.s.$ मान $I_{rms} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_0^T I^2(t) dt}$ द्वारा दिया जाता है।
$(1)$ के लिए,$I = x_0 \sin \omega t$. $r.m.s.$ मान $\frac{x_0}{\sqrt{2}}$ है। अतः,$1-(ii)$.
$(2)$ के लिए,$I = x_0 \sin \omega t \cos \omega t = \frac{x_0}{2} \sin(2\omega t)$. शिखर मान $\frac{x_0}{2}$ है,इसलिए $r.m.s.$ मान $\frac{x_0/2}{\sqrt{2}} = \frac{x_0}{2\sqrt{2}}$ होगा। अतः,$2-(iii)$.
$(3)$ के लिए,$I = x_0 \sin \omega t + x_0 \cos \omega t = \sqrt{2} x_0 \sin(\omega t + \frac{\pi}{4})$. शिखर मान $\sqrt{2} x_0$ है,इसलिए $r.m.s.$ मान $\frac{\sqrt{2} x_0}{\sqrt{2}} = x_0$ होगा। अतः,$3-(i)$.
अतः,सही मिलान $1-(ii), 2-(iii), 3-(i)$ है।

(C) समय अंतराल $T$ पर धारा $i(t)$ का $r.m.s.$ मान निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $i_{rms} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_{0}^{T} i^2 dt}$.
यहाँ $i = t^2$ दिया गया है,इसलिए सूत्र में मान रखने पर:
$i_{rms} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_{0}^{T} (t^2)^2 dt} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_{0}^{T} t^4 dt}$.
समाकलन करने पर:
$\int_{0}^{T} t^4 dt = \left[ \frac{t^5}{5} \right]_{0}^{T} = \frac{T^5}{5}$.
अब,इस मान को $r.m.s.$ के सूत्र में रखने पर:
$i_{rms} = \sqrt{\frac{1}{T} \cdot \frac{T^5}{5}} = \sqrt{\frac{T^4}{5}} = \frac{T^2}{\sqrt{5}}$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) दिए गए चित्र से,विद्युत वाहक बल $(E)$,$\omega t = 0$ पर शून्य से शुरू होता है और $\omega t = \pi / 2$ पर अपने अधिकतम मान तक पहुँचता है। अतः,$E = E_0 \sin(\omega t)$ है।
धारा $(I)$,$\omega t = 0$ पर अपने न्यूनतम मान से शुरू होती है और $\omega t = \pi / 2$ पर शून्य हो जाती है। यह इंगित करता है कि धारा $I = I_0 \sin(\omega t - \pi / 2)$ समीकरण का पालन करती है।
कलाओं की तुलना करने पर,वोल्टेज की कला $\omega t$ है और धारा की कला $(\omega t - \pi / 2)$ है।
इसलिए,वोल्टेज धारा से $\pi / 2$ के कला कोण से आगे है।

(A) दिया गया तरंग रूप $V_0 = 10 \ V$ आयाम वाली एक वर्गाकार तरंग (square wave) है।
एक वर्गाकार तरंग के लिए जो $+V_0$ और $-V_0$ के बीच दोलन करती है,तात्कालिक वोल्टेज $V(t)$ या तो $+V_0$ या $-V_0$ होता है।
$r.m.s.$ वोल्टेज को $V_{rms} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_0^T V^2(t) dt}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
चूंकि हर समय $V^2(t) = V_0^2$ होता है,
$V_{rms} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_0^T V_0^2 dt} = \sqrt{\frac{V_0^2}{T} \cdot T} = V_0$.
यहाँ $V_0 = 10 \ V$ दिया गया है,इसलिए $V_{rms} = 10 \ V$ होगा।

(B) ग्राफ से, तरंग $M$ के लिए आवर्तकाल $T$ (एक पूर्ण चक्र पूरा करने में लगा समय) $0.4 \, s$ है।
इसलिए, आवृत्ति $\nu = \frac{1}{T} = \frac{1}{0.4} = 2.5 \, Hz$ है।
तरंग $M$, $t = 0$ पर शून्य मान और धनात्मक ढलान के साथ शुरू होती है, जो $\sin(\omega t)$ को दर्शाती है।
तरंग $N$, $t = 0$ पर ऋणात्मक मान के साथ शुरू होती है और $M$ की तुलना में बाद में अपने शिखर पर पहुँचती है। विशेष रूप से, $N$ एक चौथाई चक्र से पीछे है।
एक चौथाई चक्र की देरी $\frac{\pi}{2}$ रेडियन के कला अंतराल (phase lag) के अनुरूप है।
अतः, $N$ का $M$ पर कला अंतर $-\frac{\pi}{2}$ रेडियन है।

(C) एक प्रतिरोधक $R$ में समय $t$ में $AC$ धारा द्वारा उत्पन्न ऊष्मा $H_{AC} = I_{rms}^2 Rt$ द्वारा दी जाती है।
उसी प्रतिरोधक $R$ में समान समय $t$ में $2 \, A$ की $DC$ धारा द्वारा उत्पन्न ऊष्मा $H_{DC} = I_{DC}^2 Rt$ है।
प्रश्न के अनुसार,$H_{AC} = 3 \times H_{DC}$ है।
सूत्रों को प्रतिस्थापित करने पर: $I_{rms}^2 Rt = 3 \times (2^2) Rt$.
दोनों पक्षों से $R$ और $t$ को हटाने पर: $I_{rms}^2 = 3 \times 4 = 12$.
अतः,$I_{rms} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \approx 3.46 \, A$.

(D) दिया गया समीकरण $I = I_0 \sin(\omega t)$ है,जहाँ $I_0 = 100 \ A$ और $\omega = 200 \pi \ rad/s$ है।
धारा अपना अधिकतम मान तब प्राप्त करती है जब $\sin(\omega t) = 1$ हो,जो $\omega t = \frac{\pi}{2}$ पर होता है।
$\omega$ का मान रखने पर: $(200 \pi) t = \frac{\pi}{2}$।
$t$ के लिए हल करने पर: $t = \frac{\pi}{2 \times 200 \pi} = \frac{1}{400} \ s$।

(D) $AC$ स्रोत का आवर्तकाल $T = 1/f = 1/50 = 0.02\,sec$ है।
वोल्टेज को अपने अधिकतम मान से शून्य तक पहुँचने में लगा समय आवर्तकाल का एक-चौथाई होता है।
समय $t = T/4 = 0.02 / 4 = 0.005\,sec = 5 \times 10^{-3}\,sec$.

(C) धारा का $r.m.s.$ मान $i_{rms} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_{t_1}^{t_2} i^2 \ dt}$ के रूप में परिभाषित है,जहाँ $T = t_2 - t_1 = 4 - 2 = 2 \ s$ है।
सबसे पहले,माध्य वर्ग मान $\overline{i^2} = \frac{1}{T} \int_{2}^{4} (2\sqrt{t})^2 \ dt$ की गणना करें।
$\overline{i^2} = \frac{1}{2} \int_{2}^{4} 4t \ dt = 2 \int_{2}^{4} t \ dt$.
समाकलन का मान निकालने पर: $2 \left[ \frac{t^2}{2} \right]_{2}^{4} = [t^2]_{2}^{4} = 4^2 - 2^2 = 16 - 4 = 12$.
अंततः,$i_{rms} = \sqrt{\overline{i^2}} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \ A$.

(C) $T$ समयांतराल के दौरान धारा $i(t)$ का $r.m.s.$ मान निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $i_{rms} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_{0}^{T} i^2 dt}$.
यहाँ $i = t^2$ दिया गया है,इसलिए $i^2 = t^4$ होगा।
इस मान को सूत्र में रखने पर:
$i_{rms} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_{0}^{T} t^4 dt}$.
समाकलन का मान ज्ञात करने पर: $\int_{0}^{T} t^4 dt = \left[ \frac{t^5}{5} \right]_{0}^{T} = \frac{T^5}{5}$.
अब,इस मान को समीकरण में रखने पर:
$i_{rms} = \sqrt{\frac{1}{T} \cdot \frac{T^5}{5}} = \sqrt{\frac{T^4}{5}} = \frac{T^2}{\sqrt{5}}$.

(C) समय $t$ के फलन के रूप में दिया गया विभवांतर $V$:
$V = V_0$,जब $0 \leq t \leq \frac{T}{2}$
$V = 0$,जब $\frac{T}{2} \leq t \leq T$
$r.m.s.$ मान की परिभाषा के अनुसार:
$V_{rms} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_0^T V^2 dt}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$V_{rms} = \sqrt{\frac{1}{T} \left( \int_0^{T/2} V_0^2 dt + \int_{T/2}^T 0^2 dt \right)}$
$V_{rms} = \sqrt{\frac{1}{T} \left( V_0^2 [t]_0^{T/2} + 0 \right)}$
$V_{rms} = \sqrt{\frac{V_0^2}{T} \cdot \frac{T}{2}}$
$V_{rms} = \sqrt{\frac{V_0^2}{2}}$
$V_{rms} = \frac{V_0}{\sqrt{2}}$

(C) कलान्तर $\phi$ और समयांतर $\Delta t$ के बीच का संबंध $\Delta t = \frac{T}{2\pi} \times \phi$ द्वारा दिया जाता है।
दी गई आवृत्ति $f = 50 \ Hz$ है,इसलिए आवर्तकाल $T = \frac{1}{f} = \frac{1}{50} \ s$ होगा।
कलान्तर $\phi = \frac{\pi}{4}$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\Delta t = \frac{(1/50)}{2\pi} \times \frac{\pi}{4} = \frac{1}{50 \times 2 \times 4} = \frac{1}{400} \ s$.
$\Delta t = 0.0025 \ s = 2.5 \ ms$.

(A) तात्कालिक धारा $I = I_0 \sin(\omega t + \phi_I)$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\phi_I = 0$ है।
तात्कालिक emf $E = E_0 \sin(\omega t + \phi_E)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\phi_E = -\pi/6$ है।
$E$ और $I$ के बीच कलान्तर को $\Delta \phi = \phi_E - \phi_I$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
मान रखने पर,हमें $\Delta \phi = (-\pi/6) - (0) = -\pi/6 \, rad$ प्राप्त होता है।
अतः,कलान्तर $-\pi/6 \, rad$ है।

(C) प्रत्यावर्ती धारा $(ac)$ द्वारा उत्पन्न ऊष्मा का सूत्र $H_{ac} = i_{rms}^2Rt$ है।
दिष्ट धारा $(dc)$ द्वारा उत्पन्न ऊष्मा का सूत्र $H_{dc} = i^2Rt$ है।
प्रश्न के अनुसार,$H_{ac} = 3 \times H_{dc}$ है।
सूत्रों को प्रतिस्थापित करने पर: $i_{rms}^2Rt = 3 \times i^2Rt$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों से $R$ और $t$ को हटाने पर,हमें $i_{rms}^2 = 3 \times i^2$ मिलता है।
यहाँ $i = 2 \ A$ दिया गया है,इसलिए $i_{rms}^2 = 3 \times (2)^2 = 3 \times 4 = 12$ है।
अतः,$i_{rms} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \approx 3.46 \ A$।

(D) $AC$ अमीटर को प्रत्यावर्ती धारा के रूट-मीन-स्क्वायर $(RMS)$ मान को मापने के लिए डिज़ाइन किया गया है।
इसके विपरीत,$DC$ अमीटर को एक पूर्ण चक्र पर धारा के औसत मान को मापने के लिए डिज़ाइन किया गया है।
साइनसॉइडल प्रत्यावर्ती धारा के लिए,एक पूर्ण चक्र पर औसत मान $I_{avg} = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} I_{0} \sin(\omega t) dt = 0$ के रूप में परिभाषित है।
चूंकि $DC$ अमीटर औसत धारा को मापता है,इसलिए यह शून्य रीडिंग दिखाएगा।

(A) समय अवधि $T$ पर धारा $I(t)$ का $rms$ मान $I_{rms} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_{0}^{T} I(t)^2 dt}$ के रूप में परिभाषित है।
दिया गया है $I = I_0 + I_1 \sin \omega t$, अतः $I^2 = I_0^2 + I_1^2 \sin^2 \omega t + 2 I_0 I_1 \sin \omega t$ होगा।
अब, एक पूर्ण चक्र $T = \frac{2\pi}{\omega}$ पर समाकलन करने पर:
$I_{rms}^2 = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} (I_0^2 + I_1^2 \sin^2 \omega t + 2 I_0 I_1 \sin \omega t) dt$ प्राप्त होता है।
चूंकि एक पूर्ण चक्र पर $\sin \omega t$ का औसत मान $0$ होता है, इसलिए पद $\int_{0}^{T} 2 I_0 I_1 \sin \omega t dt = 0$ होगा।
एक पूर्ण चक्र पर $\sin^2 \omega t$ का औसत मान $\frac{1}{2}$ होता है।
अतः, $I_{rms}^2 = I_0^2 + I_1^2 \left( \frac{1}{2} \right) = I_0^2 + 0.5 I_1^2$।
इसलिए, $I_{rms} = \sqrt{I_0^2 + 0.5 I_1^2}$।

(C) धारा का $r.m.s.$ (वर्ग माध्य मूल) मान उस स्थिर दिष्ट धारा के मान के रूप में परिभाषित किया जाता है जो,जब किसी दिए गए समय के लिए एक दिए गए प्रतिरोधक से होकर बहती है,तो उतनी ही ऊष्मा उत्पन्न करती है जितनी कि वही प्रत्यावर्ती धारा उसी समय के लिए उसी प्रतिरोधक में उत्पन्न करती है।
दिए गए वर्गाकार तरंग (square wave) धारा के लिए:
$I(t) = 2 \text{ A}$,$0 < t < 0.01 \text{ s}$ के लिए
$I(t) = -2 \text{ A}$,$0.01 < t < 0.02 \text{ s}$ के लिए
समय अवधि $T = 0.02 \text{ s}$ है।
$r.m.s.$ धारा को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$I_{rms} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_{0}^{T} I^2(t) dt}$
$I_{rms} = \sqrt{\frac{1}{0.02} \left[ \int_{0}^{0.01} (2)^2 dt + \int_{0.01}^{0.02} (-2)^2 dt \right]}$
$I_{rms} = \sqrt{\frac{1}{0.02} \left[ 4 \times 0.01 + 4 \times 0.01 \right]}$
$I_{rms} = \sqrt{\frac{1}{0.02} \left[ 0.04 + 0.04 \right]}$
$I_{rms} = \sqrt{\frac{0.08}{0.02}} = \sqrt{4} = 2 \text{ A}$.
अतः,$r.m.s.$ धारा $2 \text{ A}$ है।