LC Oscillations Questions in Hindi

(B) $LC$ परिपथ की अनुनादी आवृत्ति का सूत्र $f = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}$ है।
इस सूत्र को $LC$ के लिए व्यवस्थित करने पर,हमें $\sqrt{LC} = \frac{1}{2\pi f}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $LC = \frac{1}{4\pi^2 f^2}$।
चूंकि $4\pi^2$ एक विमाहीन स्थिरांक है,इसलिए $LC$ की विमाएँ $\frac{1}{f^2}$ की विमाओं के समान होंगी।
आवृत्ति $f$ की विमा $[T^{-1}]$ होती है।
अतः,$LC$ की विमाएँ $[T^{-1}]^{-2} = [T^2]$ होंगी।
मूलभूत विमाओं के संदर्भ में,इसे $[M^0 L^0 T^2]$ के रूप में लिखा जाता है।

(D) जब एक आवेशित संधारित्र को एक कुंडली (प्रेरक) के साथ समानांतर में जोड़ा जाता है,तो यह एक $LC$ परिपथ बनाता है।
प्रारंभ में,ऊर्जा संधारित्र के विद्युत क्षेत्र में $U_E = \frac{1}{2} \frac{Q^2}{C}$ के रूप में संग्रहीत होती है।
जैसे-जैसे संधारित्र निरावेशित (discharge) होता है,कुंडली से धारा प्रवाहित होती है,जिससे चुंबकीय क्षेत्र बनता है और ऊर्जा $U_B = \frac{1}{2} L I^2$ के रूप में संग्रहीत होती है।
संधारित्र के विद्युत क्षेत्र और प्रेरक के चुंबकीय क्षेत्र के बीच ऊर्जा के आदान-प्रदान के कारण,संधारित्र पर आवेश और परिपथ में धारा ज्यावक्रीय (sinusoidal) रूप से दोलन करते हैं।
एक आदर्श $LC$ परिपथ में (प्रतिरोध नगण्य मानते हुए),ये दोलन बिना किसी अवमंदन के अनंत काल तक जारी रहते हैं।

(A) $LC$ परिपथ की अनुनादी आवृत्ति का सूत्र: $\nu_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$ है।
दिए गए मान $L = 0.25 \ H$ और $C = 0.1 \times 10^{-6} \ F$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\nu_0 = \frac{1}{2 \times 3.14159 \times \sqrt{0.25 \times 0.1 \times 10^{-6}}}$
$\nu_0 = \frac{1}{6.28318 \times \sqrt{0.025 \times 10^{-6}}}$
$\nu_0 = \frac{1}{6.28318 \times \sqrt{25 \times 10^{-9}}}$
$\nu_0 = \frac{1}{6.28318 \times 1.5811 \times 10^{-4}}$
$\nu_0 = \frac{10^4}{6.28318 \times 0.15811} \approx \frac{10000}{9.934} \approx 1006.6 \ Hz$.
निकटतम पूर्णांक में लेने पर,हमें $1007 \ Hz$ प्राप्त होता है।

(C) $LC$ परिपथ की आवृत्ति $f = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}$ द्वारा दी जाती है।
$LC$ परिपथ के दोलनों का आवर्तकाल $T$,सूत्र $T = 2\pi \sqrt{LC}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $2\pi$ एक विमाहीन नियतांक है,इसलिए $\sqrt{LC}$ की विमाएँ आवर्तकाल $T$ की विमाओं के समान होनी चाहिए।
अतः,$\sqrt{LC}$ की विमा समय $([T])$ है।

(C) $LC$ परिपथ की अनुनादी आवृत्ति $\nu$ का सूत्र है: $\nu = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}$.
दिया गया है: $L = 10^{-4} \ H$ और $C = 10^{-6} \ F$.
सूत्र में मान रखने पर:
$\nu = \frac{1}{2\pi \sqrt{10^{-4} \times 10^{-6}}}$
$\nu = \frac{1}{2\pi \sqrt{10^{-10}}}$
$\nu = \frac{1}{2\pi \times 10^{-5}}$
$\nu = \frac{10^5}{2\pi} \ Hz$.

(B) $L-C$ परिपथ में,दोलन की कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि प्राकृतिक आवृत्ति $f$ का कोणीय आवृत्ति के साथ संबंध $f = \frac{\omega}{2\pi}$ होता है,इसलिए हम इस समीकरण में $\omega$ का मान प्रतिस्थापित करते हैं।
अतः,प्राकृतिक आवृत्ति $f = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}$ होती है।

(C) $LC$ सर्किट की अनुनादी आवृत्ति का सूत्र है: $\nu_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$।
दिया गया है: $L = 0.5 \ mH = 5 \times 10^{-4} \ H$ और $C = 20 \ \mu F = 20 \times 10^{-6} \ F$।
सूत्र में मान रखने पर:
$\nu_0 = \frac{1}{2 \times 3.14 \times \sqrt{5 \times 10^{-4} \times 20 \times 10^{-6}}}$
$\nu_0 = \frac{1}{6.28 \times \sqrt{100 \times 10^{-10}}}$
$\nu_0 = \frac{1}{6.28 \times 10^{-4}}$
$\nu_0 = \frac{10000}{6.28} \approx 1592 \ Hz$।

(C) टैंक सर्किट की अनुनादी आवृत्ति (resonant frequency) $\nu$ का सूत्र है: $\nu = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}$।
दिया गया है: $L = 10 \, \mu H = 10 \times 10^{-6} \, H$ और $C = 1 \, nF = 1 \times 10^{-9} \, F$।
मान रखने पर:
$\nu = \frac{1}{2 \times 3.14159 \times \sqrt{10 \times 10^{-6} \times 1 \times 10^{-9}}}$
$\nu = \frac{1}{2 \times 3.14159 \times \sqrt{10^{-14}}}$
$\nu = \frac{1}{6.28318 \times 10^{-7}}$
$\nu \approx 0.159155 \times 10^7 \, Hz$
$\nu \approx 1591550 \, Hz = 1591.55 \, kHz \approx 1592 \, kHz$।

(B) $LC$ परिपथ की अनुनादी आवृत्ति $\nu$ का सूत्र $\nu = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}$ है।
यहाँ $L = 100 \times 10^{-6} \, H$ और $C = 400 \times 10^{-12} \, F$ दिया गया है।
$\nu = \frac{1}{2\pi \sqrt{100 \times 10^{-6} \times 400 \times 10^{-12}}} = \frac{1}{2\pi \sqrt{4 \times 10^{-14}}} = \frac{1}{2\pi \times 2 \times 10^{-7}} = \frac{10^7}{4\pi} \, Hz$.
तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{c}{\nu}$ है,जहाँ $c = 3 \times 10^8 \, m/s$ है।
$\lambda = \frac{3 \times 10^8}{10^7 / 4\pi} = \frac{3 \times 10^8 \times 4\pi}{10^7} = 120\pi \, m$.
$\pi \approx 3.14159$ का उपयोग करने पर,$\lambda \approx 120 \times 3.14159 \approx 377 \, m$ प्राप्त होता है।

(D) $LC$ परिपथ में ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,कुल ऊर्जा नियत रहती है।
प्रारंभ में,संधारित्र में संचित ऊर्जा $U_i = \frac{1}{2} C V_1^2$ है।
जब संधारित्र का विभव $V_2$ हो जाता है,तो संधारित्र में संचित ऊर्जा $U_c = \frac{1}{2} C V_2^2$ होती है।
शेष ऊर्जा प्रेरक में चुंबकीय ऊर्जा के रूप में संचित होती है,$U_L = \frac{1}{2} L I^2$।
ऊर्जा संरक्षण के अनुसार: $\frac{1}{2} C V_1^2 = \frac{1}{2} C V_2^2 + \frac{1}{2} L I^2$।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\frac{1}{2} L I^2 = \frac{1}{2} C (V_1^2 - V_2^2)$।
धारा $I$ के लिए हल करने पर: $I^2 = \frac{C(V_1^2 - V_2^2)}{L}$।
अतः,$I = \sqrt{\frac{C(V_1^2 - V_2^2)}{L}}$।

(D) $LC$ दोलित्र की आवृत्ति का सूत्र $f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$ है।
मान लीजिए प्रारंभिक आवृत्ति $f_1 = f$ है,जहाँ प्रेरकत्व $L_1 = L$ और धारिता $C_1 = C$ है।
मान लीजिए नई आवृत्ति $f_2$ है,जहाँ नया प्रेरकत्व $L_2 = 2L$ और नई धारिता $C_2 = 4C$ है।
आवृत्तियों के अनुपात का उपयोग करने पर:
$\frac{f_2}{f_1} = \frac{\frac{1}{2\pi\sqrt{L_2 C_2}}}{\frac{1}{2\pi\sqrt{L_1 C_1}}} = \sqrt{\frac{L_1 C_1}{L_2 C_2}}$
मान रखने पर:
$\frac{f_2}{f} = \sqrt{\frac{L \times C}{2L \times 4C}} = \sqrt{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$
अतः,नई आवृत्ति $f_2 = \frac{f}{2\sqrt{2}}$ होगी।

(D) $LC$ परिपथ में ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,कुल ऊर्जा नियत रहती है।
संधारित्र में संचित प्रारंभिक ऊर्जा $U_i = \frac{1}{2} C V_1^2$ है।
जब संधारित्र के सिरों पर विभवांतर $V_2$ होता है,तो संधारित्र में संचित ऊर्जा $U_c = \frac{1}{2} C V_2^2$ होती है।
शेष ऊर्जा प्रेरक में चुंबकीय ऊर्जा के रूप में संचित होती है,$U_L = \frac{1}{2} L I^2$।
ऊर्जा संरक्षण के अनुसार: $\frac{1}{2} C V_1^2 = \frac{1}{2} C V_2^2 + \frac{1}{2} L I^2$।
$I^2$ के लिए समीकरण को व्यवस्थित करने पर: $L I^2 = C(V_1^2 - V_2^2)$।
अतः,$I^2 = \frac{C(V_1^2 - V_2^2)}{L}$।
इसलिए,धारा $I = [\frac{C(V_1^2 - V_2^2)}{L}]^{1/2}$ प्राप्त होती है।

(A) दिया गया है: धारिता $C = 2 \times 10^{-6} \, F$,प्रेरकत्व $L = 0.6 \times 10^{-3} \, H$,प्रारंभिक वोल्टेज $V_0 = 12 \, V$,तात्क्षणिक वोल्टेज $V = 6 \, V$.
$LC$ परिपथ में ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत का उपयोग करते हुए:
कुल ऊर्जा $E = \frac{1}{2} C V_0^2 = \frac{1}{2} C V^2 + \frac{1}{2} L I^2$.
मान रखने पर:
$\frac{1}{2} \times (2 \times 10^{-6}) \times (12)^2 = \frac{1}{2} \times (2 \times 10^{-6}) \times (6)^2 + \frac{1}{2} \times (0.6 \times 10^{-3}) \times I^2$.
$(2 \times 10^{-6}) \times 144 = (2 \times 10^{-6}) \times 36 + (0.6 \times 10^{-3}) \times I^2$.
$288 \times 10^{-6} = 72 \times 10^{-6} + 0.6 \times 10^{-3} \times I^2$.
$216 \times 10^{-6} = 0.6 \times 10^{-3} \times I^2$.
$I^2 = \frac{216 \times 10^{-6}}{0.6 \times 10^{-3}} = 360 \times 10^{-3} = 0.36$.
$I = \sqrt{0.36} = 0.6 \, A$.

(D) $t = 0$ पर,स्विच बंद किया जाता है। परिपथ में एक प्रेरक $L$ और दो संधारित्र $C_1$ और $C_2$ श्रेणीक्रम में जुड़े हैं। तुल्य धारिता $C_{eq} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2}$ है।
$t = 0$ पर,प्रेरक में संचित ऊर्जा $U_L = \frac{1}{2} L I_0^2$ है और संधारित्र में ऊर्जा $U_C = 0$ है।
जैसे-जैसे $t$ बढ़ता है,ऊर्जा प्रेरक और तुल्य संधारित्र के बीच दोलन करती है। ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,संधारित्र में अधिकतम ऊर्जा प्रेरक की प्रारंभिक ऊर्जा के बराबर होती है:
$\frac{1}{2} C_{eq} V_{max}^2 = \frac{1}{2} L I_0^2$
$V_{max} = I_0 \sqrt{\frac{L}{C_{eq}}} = I_0 \sqrt{\frac{L(C_1 + C_2)}{C_1 C_2}}$
संधारित्र पर अधिकतम आवेश $Q_{max} = C_{eq} V_{max} = I_0 \sqrt{\frac{L C_1 C_2}{C_1 + C_2}}$ होता है।

(B) $LC$ परिपथ में कुल ऊर्जा स्थिर रहती है और इसे $U = \frac{q_0^2}{2C}$ द्वारा दिया जाता है।
किसी भी समय $t$ पर,संधारित्र पर आवेश $q = q_0 \cos(\omega t)$ होता है,जहाँ $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ है।
विद्युत क्षेत्र में संग्रहीत ऊर्जा $U_E = \frac{q^2}{2C} = \frac{q_0^2 \cos^2(\omega t)}{2C}$ है।
चुंबकीय क्षेत्र में संग्रहीत ऊर्जा $U_B = U - U_E = \frac{q_0^2}{2C} - \frac{q_0^2 \cos^2(\omega t)}{2C} = \frac{q_0^2}{2C} \sin^2(\omega t)$ है।
हमें दिया गया है कि ऊर्जा समान रूप से संग्रहीत है,इसलिए $U_E = U_B$ है।
$\frac{q_0^2}{2C} \cos^2(\omega t) = \frac{q_0^2}{2C} \sin^2(\omega t) \implies \cos^2(\omega t) = \sin^2(\omega t) \implies \tan^2(\omega t) = 1$ है।
अतः,$\omega t = \frac{\pi}{4}$ है।
$\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $t = \frac{\pi}{4} \sqrt{LC}$ प्राप्त होता है।

(D) संधारित्र में संचित कुल ऊर्जा $U_{total} = \frac{1}{2} CV^2$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $C = 6 \ \mu F = 6 \times 10^{-6} \ F$ और $V = 6 \ V$ है।
$U_{total} = \frac{1}{2} \times 6 \times 10^{-6} \times (6)^2 = 108 \times 10^{-6} \ J$ है।
जब प्रेरक को जोड़ा जाता है,तो ऊर्जा संधारित्र के विद्युत क्षेत्र और प्रेरक के चुंबकीय क्षेत्र के बीच दोलन करती है।
हमें दिया गया है कि चुंबकीय क्षेत्र की ऊर्जा $(U_B)$ कुल ऊर्जा का एक-तिहाई है:
$U_B = \frac{1}{3} U_{total} = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} CV^2$ है।
चूंकि $U_B = \frac{1}{2} LI^2$,इसलिए $\frac{1}{2} LI^2 = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} CV^2$ है।
$I^2 = \frac{C V^2}{3L} = \frac{6 \times 10^{-6} \times 36}{3 \times 0.2 \times 10^{-3}} = \frac{216 \times 10^{-6}}{0.6 \times 10^{-3}} = 0.36$ है।
$I = \sqrt{0.36} = 0.6 \ A$।

(B) दिए गए $LC$ परिपथ में,संधारित्र की धनात्मक प्लेट उस तार से जुड़ी है जिससे धारा $I$ प्लेट से दूर बह रही है।
चूंकि धारा $I$ धनात्मक प्लेट से बाहर निकलती है,इसलिए संधारित्र पर आवेश $Q$ कम हो रहा होगा ($Q$ घट रहा है)।
जैसे-जैसे संधारित्र पर आवेश $Q$ घटता है,संधारित्र के सिरों पर विभवांतर $V = Q/C$ भी घटता है।
यह विभवांतर प्रेरक (inductor) के लिए स्रोत के रूप में कार्य करता है। जैसे-जैसे संधारित्र डिस्चार्ज होता है,परिपथ में धारा $I$ प्रेरक में चुंबकीय क्षेत्र ऊर्जा बनाने के लिए बढ़ती है।
इसलिए,इस क्षण पर,धारा $I$ बढ़ रही है और आवेश $Q$ घट रहा है।

(C) विद्युत चुम्बकीय तरंगों की गति $c = 3 \times 10^8\ m/s$ होती है।
आवृत्ति $f$ का मान $f = \frac{c}{\lambda} = \frac{3 \times 10^8}{300} = 10^6\ Hz$ है।
$LC$ परिपथ की अनुनादी आवृत्ति $f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$ होती है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, $f^2 = \frac{1}{4 \pi^2 LC}$ प्राप्त होता है।
प्रेरकत्व $L$ के लिए सूत्र: $L = \frac{1}{4 \pi^2 f^2 C}$ है।
मान रखने पर: $L = \frac{1}{4 \times (3.14)^2 \times (10^6)^2 \times 9.6 \times 10^{-6}}$.
$L = \frac{1}{4 \times 9.86 \times 10^{12} \times 9.6 \times 10^{-6}} = \frac{1}{378.6 \times 10^6} \approx 2.64 \times 10^{-9}\ H$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार, निकटतम मान $2.5\ nH$ है।

(C) प्रारंभ में,कैपेसिटर पर आवेश $q_0 = CE$ है और इंडक्टर में धारा $i = 0$ है।
जब स्विच बंद किया जाता है,तो सर्किट $2E$ $EMF$ की बैटरी से जुड़ा एक $LC$ सर्किट बनाता है।
ऊर्जा संरक्षण का उपयोग करते हुए,किसी भी समय $t$ पर कुल ऊर्जा इंडक्टर की ऊर्जा,कैपेसिटर की ऊर्जा और बैटरी द्वारा किए गए कार्य का योग है।
मान लीजिए कैपेसिटर पर आवेश $q$ है। कैपेसिटर में संचित ऊर्जा $\frac{q^2}{2C}$ है और इंडक्टर में $\frac{1}{2}Li^2$ है।
बैटरी द्वारा किया गया कार्य $W = \int (2E) i \, dt = 2E \int dq = 2E(q - q_0)$ है।
ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत को लागू करने पर: $\frac{q_0^2}{2C} + W = \frac{q^2}{2C} + \frac{1}{2}Li^2$.
अधिकतम आवेश $q_{max}$ पर,धारा $i = 0$ होती है। अतः,$\frac{q_0^2}{2C} + 2E(q_{max} - q_0) = \frac{q_{max}^2}{2C}$.
$q_0 = CE$ रखने पर: $\frac{(CE)^2}{2C} + 2E(q_{max} - CE) = \frac{q_{max}^2}{2C}$.
$\frac{C^2E^2}{2C} + 2Eq_{max} - 2CE^2 = \frac{q_{max}^2}{2C} \Rightarrow \frac{CE^2}{2} + 2Eq_{max} - 2CE^2 = \frac{q_{max}^2}{2C}$.
$2C$ से गुणा करने पर: $C^2E^2 + 4CEq_{max} - 4C^2E^2 = q_{max}^2$.
$q_{max}^2 - 4CEq_{max} + 3C^2E^2 = 0$.
द्विघात समीकरण को हल करने पर: $q_{max} = \frac{4CE \pm \sqrt{16C^2E^2 - 12C^2E^2}}{2} = \frac{4CE \pm 2CE}{2}$.
$q_{max} = 3CE$ या $q_{max} = CE$. चूंकि आवेश बढ़ता है,इसलिए अधिकतम आवेश $3CE$ है।

(D) दिया गया है: धारिता $C = 60\,\mu F = 60 \times 10^{-6}\,F$,वोल्टेज $V = 100\,V$,प्रेरकत्व $L = 15\,mH = 15 \times 10^{-3}\,H$.
$LC$ परिपथ में,संधारित्र में संचित ऊर्जा प्रेरक में संचित ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
संधारित्र में अधिकतम ऊर्जा $U_{max} = \frac{1}{2} C V^2$ है।
प्रेरक में अधिकतम ऊर्जा $U_{max} = \frac{1}{2} L I_{max}^2$ है।
दोनों को बराबर करने पर: $\frac{1}{2} L I_{max}^2 = \frac{1}{2} C V^2$.
$I_{max} = V \sqrt{\frac{C}{L}}$.
मान रखने पर: $I_{max} = 100 \times \sqrt{\frac{60 \times 10^{-6}}{15 \times 10^{-3}}} = 100 \times \sqrt{4 \times 10^{-3}} = 100 \times 0.0632 = 6.32\,A$.
यहाँ $2\sqrt{10} \approx 6.32\,A$ है,अतः सही विकल्प $D$ है।

(B) संधारित्र में संचित प्रारंभिक ऊर्जा $U_0 = \frac{1}{2} C V_0^2$ है।
जब $25\%$ ऊर्जा प्रेरक में स्थानांतरित हो जाती है,तो संधारित्र में शेष ऊर्जा $U = U_0 - 0.25 U_0 = 0.75 U_0 = \frac{3}{4} U_0$ होती है।
चूंकि संधारित्र में संचित ऊर्जा का सूत्र $U = \frac{1}{2} C V^2$ है,इसलिए हमारे पास $\frac{1}{2} C V^2 = \frac{3}{4} (\frac{1}{2} C V_0^2)$ है।
इसे सरल करने पर,हमें $V^2 = \frac{3}{4} V_0^2$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें $V = \frac{\sqrt{3}}{2} V_0$ प्राप्त होता है।

(A) $LC$ परिपथ में,किसी भी क्षण प्रेरक (inductor) के सिरों पर विभवांतर संधारित्र के सिरों पर विभवांतर के बराबर होना चाहिए।
किरचॉफ के वोल्टेज नियम का उपयोग करते हुए,हमें $V_L = V_C$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $L \left| \frac{di}{dt} \right| = \frac{q}{C}$।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\left| \frac{di}{dt} \right| = \frac{q}{LC}$ प्राप्त होता है।
$\left| \frac{di}{dt} \right|$ का अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हमें आवेश $q$ के अधिकतम मान का उपयोग करना होगा,जो $q_0$ दिया गया है।
अतः,$\left| \frac{di}{dt} \right|_{\max} = \frac{q_0}{LC}$।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{d^2q}{dt^2} + \omega^2q = 0$ है,जहाँ $\omega^2 = 16\pi^2$ है।
अतः,$\omega = 4\pi \, rad/s$ प्राप्त होता है।
आवेश $q(t)$ के लिए सामान्य हल $q(t) = q_0 \cos(\omega t + \phi)$ है।
यह दिया गया है कि $t = 0$ पर आवेश अधिकतम $(q_0 = 24\,\mu C)$ है,इसलिए $\phi = 0$ होगा।
अतः,$q(t) = 24 \cos(4\pi t)$।
$t = \frac{1}{12}\,s$ पर,आवेश $q = 24 \cos(4\pi \times \frac{1}{12}) = 24 \cos(\frac{\pi}{3})$ होगा।
चूंकि $\cos(\frac{\pi}{3}) = 0.5$ है,इसलिए $q = 24 \times 0.5 = 12\,\mu C$ प्राप्त होता है।

(A) $LC$ परिपथ में कुल ऊर्जा नियत रहती है और यह संधारित्र में संचित प्रारंभिक ऊर्जा के बराबर होती है: $U_{total} = \frac{Q_0^2}{2C}$.
किसी भी समय $t$ पर,कुल ऊर्जा संधारित्र की ऊर्जा $(U_C)$ और प्रेरक की ऊर्जा $(U_L)$ के योग के बराबर होती है: $U_{total} = U_C + U_L$.
दिया गया है कि $U_C = 3U_L$,इसलिए ऊर्जा संरक्षण के समीकरण में यह मान रखने पर:
$U_{total} = 3U_L + U_L = 4U_L$.
कुल ऊर्जा और प्रेरक की ऊर्जा के सूत्र रखने पर:
$\frac{Q_0^2}{2C} = 4 \left( \frac{1}{2} L i^2 \right) = 2 L i^2$.
धारा $i$ के लिए हल करने पर:
$i^2 = \frac{Q_0^2}{4LC} \Rightarrow i = \frac{Q_0}{2\sqrt{LC}}$.

(C) एक दोलनशील $LC$ परिपथ में कुल ऊर्जा $U_{T}$ स्थिर रहती है और यह संधारित्र में संग्रहीत अधिकतम ऊर्जा द्वारा दी जाती है: $U_{T} = \frac{Q^{2}}{2C}$.
जब ऊर्जा विद्युत क्षेत्र (संधारित्र) और चुंबकीय क्षेत्र (प्रेरक) के बीच समान रूप से संग्रहीत होती है,तो संधारित्र में ऊर्जा $U_{E}$ कुल ऊर्जा की आधी होती है: $U_{E} = \frac{U_{T}}{2}$.
ऊर्जा के व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{q^{2}}{2C} = \frac{1}{2} \left( \frac{Q^{2}}{2C} \right)$.
इसे सरल करने पर: $q^{2} = \frac{Q^{2}}{2}$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,संधारित्र पर आवेश $q = \frac{Q}{\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।

(A) $LC$ परिपथ में,किसी भी क्षण प्रेरक (inductor) के सिरों पर वोल्टेज संधारित्र के सिरों पर वोल्टेज के बराबर होना चाहिए।
किरचॉफ के वोल्टेज नियम का उपयोग करने पर:
$-L \frac{di}{dt} = \frac{q}{C}$
दोनों पक्षों का परिमाण (magnitude) लेने पर:
$\left| \frac{di}{dt} \right| = \frac{q}{LC}$
$\left| \frac{di}{dt} \right|$ का अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हमें आवेश $q$ का अधिकतम मान $q_0$ लेना होगा।
अतः,${\left| \frac{di}{dt} \right|_{\max }} = \frac{{{q_0}}}{{LC}}$.

(B) दिया गया है: प्रेरकत्व $L = 20 \, mH = 20 \times 10^{-3} \, H$,धारिता $C = 50 \, \mu F = 50 \times 10^{-6} \, F$.
$LC$ परिपथ की कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ है।
दोलन का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{LC}$ है।
प्रारंभ में,$t = 0$ पर,ऊर्जा पूरी तरह से संधारित्र के विद्युत क्षेत्र में संचित होती है। ऊर्जा संधारित्र के विद्युत क्षेत्र और प्रेरक के चुंबकीय क्षेत्र के बीच दोलन करती है।
संचित ऊर्जा $t = \frac{T}{4}, \frac{3T}{4}, \dots$ समय पर पूरी तरह से चुंबकीय होती है।
प्रथम समय $t = \frac{T}{4} = \frac{2\pi \sqrt{LC}}{4} = \frac{\pi}{2} \sqrt{LC}$ की गणना करते हुए।
मान रखने पर: $t = \frac{3.14}{2} \sqrt{20 \times 10^{-3} \times 50 \times 10^{-6}} = 1.57 \times \sqrt{1000 \times 10^{-9}} = 1.57 \times \sqrt{10^{-6}} = 1.57 \times 10^{-3} \, s$.
अतः,$t = 1.57 \, ms$.

(A) दिया गया है: धारिता $C = 0.2\, \mu F = 0.2 \times 10^{-6}\, F$.
प्रेरकत्व $L = 0.5\, mH = 0.5 \times 10^{-3}\, H$.
प्रारंभिक विभवांतर $V_0 = 10\, V$.
समय $t$ पर विभवांतर $V = 5\, V$.
$LC$ परिपथ में ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,कुल ऊर्जा स्थिर रहती है:
$\frac{1}{2} C V_0^2 = \frac{1}{2} C V^2 + \frac{1}{2} L I^2$
मान रखने पर:
$\frac{1}{2} \times (0.2 \times 10^{-6}) \times (10)^2 = \frac{1}{2} \times (0.2 \times 10^{-6}) \times (5)^2 + \frac{1}{2} \times (0.5 \times 10^{-3}) \times I^2$
$(0.2 \times 10^{-6}) \times 100 = (0.2 \times 10^{-6}) \times 25 + (0.5 \times 10^{-3}) \times I^2$
$20 \times 10^{-6} = 5 \times 10^{-6} + (0.5 \times 10^{-3}) \times I^2$
$15 \times 10^{-6} = (0.5 \times 10^{-3}) \times I^2$
$I^2 = \frac{15 \times 10^{-6}}{0.5 \times 10^{-3}} = 30 \times 10^{-3} = 0.03$
$I = \sqrt{0.03} = \sqrt{3 \times 10^{-2}} = \sqrt{3} \times 10^{-1} \approx 1.732 \times 0.1 = 0.1732\, A$.
अतः,धारा का मान लगभग $0.17\, A$ है।

(C) जब कुंजी को $(2)$ पर ले जाया जाता है,तो संधारित्र प्रेरक के माध्यम से डिस्चार्ज होता है,जिससे एक $LC$ ऑसिलेटर बनता है।
मान लीजिए $Q$ संधारित्र पर अधिकतम आवेश है। निकाय की कुल ऊर्जा $U_{total} = \frac{Q^2}{2C}$ है।
हम चाहते हैं कि संधारित्र की ऊर्जा $U_C$ प्रेरक की ऊर्जा $U_L$ के बराबर हो। चूंकि $U_C + U_L = U_{total}$,यदि $U_C = U_L$ है,तो $U_C = \frac{1}{2} U_{total}$ होगा।
$\frac{q^2}{2C} = \frac{1}{2} \left( \frac{Q^2}{2C} \right) \Rightarrow q^2 = \frac{Q^2}{2} \Rightarrow q = \frac{Q}{\sqrt{2}}$.
समय $t$ पर संधारित्र पर आवेश $q = Q \cos(\omega t)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ है।
$q = \frac{Q}{\sqrt{2}}$ रखने पर,हमें $Q \cos(\omega t) = \frac{Q}{\sqrt{2}} \Rightarrow \cos(\omega t) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $\omega t = \frac{\pi}{4}$ है।
अतः,$t = \frac{\pi}{4\omega} = \frac{\pi}{4} \sqrt{LC}$।

(C) $L-C$ परिपथ में कुल ऊर्जा स्थिर रहती है और इसे $U = U_E + U_B$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $U_E = \frac{q^2}{2C}$ विद्युत ऊर्जा है और $U_B = \frac{1}{2}Li^2$ चुंबकीय ऊर्जा है।
अधिकतम आवेश $Q$ पर,धारा $i = 0$ होती है,इसलिए कुल ऊर्जा $U = \frac{Q^2}{2C}$ है।
जब ऊर्जा विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों के बीच समान रूप से संग्रहीत होती है,तो $U_E = U_B$ होता है।
चूंकि $U = U_E + U_B$,इसलिए $U_E = \frac{1}{2}U$ होता है।
ऊर्जा के व्यंजक रखने पर:
$\frac{q^2}{2C} = \frac{1}{2} \left( \frac{Q^2}{2C} \right)$
$\frac{q^2}{2C} = \frac{Q^2}{4C}$
$q^2 = \frac{Q^2}{2}$
$q = \frac{Q}{\sqrt{2}}$

(D) $LC$ दोलनों में,संधारित्र में संचित ऊर्जा प्रेरक में चुंबकीय ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,अधिकतम स्थिर वैद्युत ऊर्जा अधिकतम चुंबकीय ऊर्जा के बराबर होती है:
$\frac{1}{2} C V^2 = \frac{1}{2} L I_{\max}^2$
$I_{\max} = V \sqrt{\frac{C}{L}}$
दिया गया है: $C = 60 \times 10^{-6} \, F$,$V = 50 \, V$,$L = 1.5 \times 10^{-3} \, H$.
मान रखने पर:
$I_{\max} = 50 \times \sqrt{\frac{60 \times 10^{-6}}{1.5 \times 10^{-3}}}$
$I_{\max} = 50 \times \sqrt{\frac{60 \times 10^{-3}}{1.5}}$
$I_{\max} = 50 \times \sqrt{40 \times 10^{-3}} = 50 \times \sqrt{0.04}$
$I_{\max} = 50 \times 0.2 = 10 \, A$.

(C) संधारित्र में संचित ऊर्जा $U_E = \frac{1}{2}CV^2$ द्वारा दी जाती है।
जब संधारित्र प्रेरक के माध्यम से डिस्चार्ज होता है,तो यह ऊर्जा प्रेरक के चुंबकीय क्षेत्र में स्थानांतरित हो जाती है,जो $U_B = \frac{1}{2}LI_{\max}^2$ है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,$U_E = U_B$,इसलिए $\frac{1}{2}CV^2 = \frac{1}{2}LI_{\max}^2$।
दिए गए मानों को रखने पर: $C = 2 \times 10^{-6}\,F$,$V = 100\,V$,और $L = 20 \times 10^{-3}\,H$।
$(2 \times 10^{-6}) \times (100)^2 = (20 \times 10^{-3}) \times I_{\max}^2$।
$(2 \times 10^{-6}) \times 10^4 = 0.02 \times I_{\max}^2$।
$0.02 = 0.02 \times I_{\max}^2$।
$I_{\max}^2 = 1$,जिससे हमें $I_{\max} = 1\,A$ प्राप्त होता है।

(B) $L-C$ परिपथ में कुल ऊर्जा स्थिर रहती है और इसे $U_{total} = \frac{Q^2}{2C}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $Q$ अधिकतम आवेश है।
किसी भी क्षण,कुल ऊर्जा स्थिरवैद्युत ऊर्जा $(U_E)$ और चुंबकीय ऊर्जा $(U_B)$ का योग होती है: $U_{total} = U_E + U_B = \frac{q^2}{2C} + \frac{1}{2}LI^2$.
प्रश्न के अनुसार,ऊर्जा विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों के बीच समान रूप से संग्रहीत है,इसलिए $U_E = U_B$.
चूंकि $U_E + U_B = U_{total}$,इसलिए $2U_E = U_{total}$ होगा।
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर: $2 \left( \frac{q^2}{2C} \right) = \frac{Q^2}{2C}$.
इसे सरल करने पर,हमें $\frac{q^2}{C} = \frac{Q^2}{2C}$ प्राप्त होता है।
अतः,$q^2 = \frac{Q^2}{2}$,जिससे $q = \frac{Q}{\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है:
धारिता $C = 30\,\mu F = 30 \times 10^{-6}\,F$
प्रेरकत्व $L = 27\,mH = 27 \times 10^{-3}\,H$
$LC$ परिपथ में मुक्त दोलनों की कोणीय आवृत्ति $\omega$ का सूत्र है:
$\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$
मान रखने पर:
$\omega = \frac{1}{\sqrt{(27 \times 10^{-3}) \times (30 \times 10^{-6})}}$
$\omega = \frac{1}{\sqrt{810 \times 10^{-9}}}$
$\omega = \frac{1}{\sqrt{81 \times 10^{-8}}}$
$\omega = \frac{1}{9 \times 10^{-4}}$
$\omega = \frac{10^4}{9} \approx 1.11 \times 10^3\,rad\,s^{-1}$
अतः,कोणीय आवृत्ति $1.1 \times 10^3\,rad\,s^{-1}$ है।

(B) $LC$ परिपथ में,कुल ऊर्जा संरक्षित रहती है।
प्रारंभ में,ऊर्जा संधारित्र में स्थिर-वैद्युत स्थितिज ऊर्जा के रूप में संचित होती है: $U_E = \frac{1}{2} CV_0^2$.
जब धारा अपने अधिकतम मान $I_0$ तक पहुँचती है,तो पूरी ऊर्जा प्रेरक में चुंबकीय स्थितिज ऊर्जा के रूप में संचित हो जाती है: $U_B = \frac{1}{2} LI_0^2$.
ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार: $\frac{1}{2} CV_0^2 = \frac{1}{2} LI_0^2$.
$I_0$ के लिए हल करने पर: $I_0 = V_0 \sqrt{\frac{C}{L}}$.
यहाँ $C = 1 \times 10^{-6} \, F$,$V_0 = 10 \, V$,और $L = 0.1 \times 10^{-3} \, H = 10^{-4} \, H$ दिया गया है।
मान रखने पर: $I_0 = 10 \times \sqrt{\frac{10^{-6}}{10^{-4}}} = 10 \times \sqrt{10^{-2}} = 10 \times 0.1 = 1 \, A$.

(B) दिए गए परिपथ में,दो प्रेरक $L$ और $2L$ श्रेणीक्रम में जुड़े हुए हैं। इसलिए,तुल्य प्रेरकत्व $L_{eq} = L + 2L = 3L$ है।
दो संधारित्र $C$ और $2C$ समांतर क्रम में जुड़े हुए हैं। इसलिए,तुल्य धारिता $C_{eq} = C + 2C = 3C$ है।
$LC$ परिपथ के लिए दोलन की आवृत्ति $f$ का सूत्र $f = \frac{1}{2\pi\sqrt{L_{eq}C_{eq}}}$ होता है।
तुल्य मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $f = \frac{1}{2\pi\sqrt{(3L)(3C)}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{9LC}} = \frac{1}{2\pi \times 3\sqrt{LC}} = \frac{1}{6\pi\sqrt{LC}}$।

(A) $LCR$ परिपथ के लिए,बिना किसी बाहरी स्रोत वाले बंद लूप में किरचॉफ के वोल्टेज नियम $(KVL)$ को लागू करने पर:
$-L \frac{di}{dt} - \frac{q}{C} - iR = 0$
चूंकि $i = \frac{dq}{dt}$,हमें प्राप्त होता है:
$L \frac{d^2q}{dt^2} + R \frac{dq}{dt} + \frac{1}{C}q = 0$
एक यांत्रिक अवमंदित हार्मोनिक ऑसिलेटर के लिए,गति का समीकरण है:
$m \frac{d^2x}{dt^2} + b \frac{dx}{dt} + kx = 0$
इन दोनों अवकल समीकरणों की पद-दर-पद तुलना करने पर:
$1$. दूसरे अवकलज का गुणांक: $L$,$m$ के अनुरूप है।
$2$. पहले अवकलज का गुणांक: $R$,$b$ के अनुरूप है।
$3$. विस्थापन/आवेश का गुणांक: $\frac{1}{C}$,$k$ के अनुरूप है,जिसका अर्थ है कि $C$,$\frac{1}{k}$ के अनुरूप है।
अतः,सही तुल्यता $L \leftrightarrow m, C \leftrightarrow \frac{1}{k}, R \leftrightarrow b$ है।

मान लीजिए कि संधारित्र पर प्रारंभिक आवेश $q_{0}$ है। आवेशित संधारित्र को $L$ प्रेरकत्व वाले प्रेरक से जोड़ा जाता है। यह $LC$ परिपथ $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ आवृत्ति के साथ दोलन बनाए रखेगा।
किसी क्षण $t$ पर,संधारित्र पर आवेश $q$ और धारा $i$ इस प्रकार हैं:
$q(t) = q_{0} \cos(\omega t)$
$i(t) = -q_{0} \omega \sin(\omega t)$
समय $t$ पर संधारित्र में संचित ऊर्जा:
$U_{E} = \frac{q^{2}}{2C} = \frac{q_{0}^{2}}{2C} \cos^{2}(\omega t)$
समय $t$ पर प्रेरक में संचित ऊर्जा:
$U_{M} = \frac{1}{2} L i^{2} = \frac{1}{2} L (q_{0} \omega \sin(\omega t))^{2} = \frac{1}{2} L q_{0}^{2} \omega^{2} \sin^{2}(\omega t)$
चूंकि $\omega^{2} = \frac{1}{LC}$,इसलिए:
$U_{M} = \frac{1}{2} L q_{0}^{2} \left(\frac{1}{LC}\right) \sin^{2}(\omega t) = \frac{q_{0}^{2}}{2C} \sin^{2}(\omega t)$
ऊर्जा का योग:
$U = U_{E} + U_{M} = \frac{q_{0}^{2}}{2C} \cos^{2}(\omega t) + \frac{q_{0}^{2}}{2C} \sin^{2}(\omega t)$
$U = \frac{q_{0}^{2}}{2C} (\cos^{2}(\omega t) + \sin^{2}(\omega t)) = \frac{q_{0}^{2}}{2C}$
चूंकि $q_{0}$ और $C$ स्थिर हैं,इसलिए कुल ऊर्जा $U$ समय के साथ स्थिर रहती है।

(B) दिया गया है:
धारिता $C = 30\; \mu F = 30 \times 10^{-6}\; F$
प्रेरकत्व $L = 27\; mH = 27 \times 10^{-3}\; H$
$LC$ परिपथ के लिए मुक्त दोलनों की कोणीय आवृत्ति $\omega_r$ का सूत्र है:
$\omega_r = \frac{1}{\sqrt{LC}}$
मान रखने पर:
$\omega_r = \frac{1}{\sqrt{27 \times 10^{-3} \times 30 \times 10^{-6}}}$
$\omega_r = \frac{1}{\sqrt{810 \times 10^{-9}}}$
$\omega_r = \frac{1}{\sqrt{810 \times 10^{-9}}} = \frac{1}{9 \times 10^{-4}}$
$\omega_r = \frac{10^4}{9} \approx 1.11 \times 10^3\; rad/s$
अतः,परिपथ के मुक्त दोलनों की कोणीय आवृत्ति $1.11 \times 10^3\; rad/s$ है।

(A) संधारित्र की धारिता $C = 30\; \mu F = 30 \times 10^{-6}\; F$ है।
प्रेरक का प्रेरकत्व $L = 27\; mH = 27 \times 10^{-3}\; H$ है।
संधारित्र पर प्रारंभिक आवेश $Q = 6\; mC = 6 \times 10^{-3}\; C$ है।
परिपथ में संचित कुल ऊर्जा प्रारंभ में संधारित्र के विद्युत क्षेत्र में संचित होती है,जो $E = \frac{1}{2} \frac{Q^2}{C}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $E = \frac{1}{2} \times \frac{(6 \times 10^{-3})^2}{30 \times 10^{-6}} = \frac{1}{2} \times \frac{36 \times 10^{-6}}{30 \times 10^{-6}} = \frac{1}{2} \times 1.2 = 0.6\; J$.
चूंकि $LC$ परिपथ को आदर्श माना गया है (कोई प्रतिरोध नहीं है),इसलिए कुल ऊर्जा संरक्षित रहती है और संधारित्र के विद्युत क्षेत्र और प्रेरक के चुंबकीय क्षेत्र के बीच दोलन करती है। अतः,बाद के समय में भी कुल ऊर्जा $0.6\; J$ ही रहेगी।

(A) दिया गया है: $L = 20 \; mH = 20 \times 10^{-3} \; H$,$C = 50 \; \mu F = 50 \times 10^{-6} \; F$,$Q = 10 \; mC = 10 \times 10^{-3} \; C$.
$(a)$ कुल ऊर्जा $E = \frac{1}{2} \frac{Q^2}{C} = \frac{(10 \times 10^{-3})^2}{2 \times 50 \times 10^{-6}} = 1 \; J$. चूंकि प्रतिरोध $R = 0$ है,इसलिए कुल ऊर्जा संरक्षित रहती है।
$(b)$ प्राकृतिक कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}} = 10^3 \; rad/s$. आवृत्ति $f = \frac{\omega}{2\pi} \approx 159.2 \; Hz$.
$(c)$ आवर्तकाल $T = \frac{1}{f} \approx 6.28 \; ms$.
$(i)$ विद्युत ऊर्जा $t = 0, \frac{T}{2}, T, \dots$ पर अधिकतम होती है।
$(ii)$ चुंबकीय ऊर्जा $t = \frac{T}{4}, \frac{3T}{4}, \dots$ पर अधिकतम होती है।
$(d)$ ऊर्जा समान रूप से विभाजित तब होती है जब $Q' = \frac{Q}{\sqrt{2}}$. अतः $t = (2n+1)\frac{T}{8}$ समय पर ऊर्जा समान रूप से विभाजित होती है।
$(e)$ यदि एक प्रतिरोधक जोड़ा जाता है,तो प्रारंभिक $1 \; J$ ऊर्जा अंततः ऊष्मा के रूप में नष्ट हो जाएगी।

(C) $A.C.$ परिपथ में,आवेश $q$ का दोलन यांत्रिक सरल आवर्त गति में विस्थापन $x$ के अनुरूप होता है।
धारा $I$ आवेश के परिवर्तन की दर है,$I = dq/dt$,जो वेग $v = dx/dt$ के अनुरूप है।
इसलिए,$LCR$ परिपथ के अवकल समीकरण में आवेश $q$ विस्थापन चर के रूप में कार्य करता है,जो $L(d^2q/dt^2) + R(dq/dt) + q/C = E(t)$ है।

(A) $LC$ परिपथ की अनुनाद आवृत्ति $\omega_0$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दी जाती है:
$\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$
दिए गए मान:
$L = 1.00 \, mH = 1.00 \times 10^{-3} \, H$
$C = 1.00 \, nF = 1.00 \times 10^{-9} \, F$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{(1.00 \times 10^{-3}) \times (1.00 \times 10^{-9})}}$
$\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{1.00 \times 10^{-12}}}$
$\omega_0 = \frac{1}{1.00 \times 10^{-6}}$
$\omega_0 = 1.00 \times 10^6 \, rad/s$

(N/A) $LC$ परिपथ एक विद्युत परिपथ है जिसमें नगण्य प्रतिरोध वाला एक प्रेरक (inductor) एक संधारित्र (capacitor) के साथ समांतर क्रम में जुड़ा होता है।
$LC$ दोलन उस प्रक्रिया को संदर्भित करते हैं जिसमें एक आवेशित संधारित्र एक प्रेरक के माध्यम से निरावेशित (discharge) होता है,जिससे ऊर्जा संधारित्र के विद्युत क्षेत्र और प्रेरक के चुंबकीय क्षेत्र के बीच दोलन करती है। यदि ऊर्जा का कोई ह्रास न हो,तो इसके परिणामस्वरूप स्थिर आयाम और स्थिर आवृत्ति के विद्युत दोलन उत्पन्न होते हैं।

(N/A) चित्र में एक $LC$ परिपथ दर्शाया गया है। इस परिपथ में,एक संधारित्र $(C)$ और एक प्रेरक $(L)$ श्रेणीक्रम में जुड़े हुए हैं। मान लीजिए कि समय $t=0$ पर,संधारित्र $q_m$ आवेश से आवेशित है।
जिस क्षण परिपथ पूरा होता है,संधारित्र पर आवेश कम होने लगता है,जिससे परिपथ में धारा $I$ उत्पन्न होती है।
मान लीजिए कि किसी समय $t$ पर परिपथ में आवेश $q$ और धारा $I$ है।
चूंकि धारा $I$ बढ़ रही है,$\frac{dI}{dt}$ धनात्मक है। प्रेरक $L$ में प्रेरित emf की ध्रुवता चित्र में दिखाए अनुसार होगी,जिसका अर्थ है $V_a > V_b$।
जैसे-जैसे $q$ घटता है,$I$ बढ़ता है,इसलिए $I = -\frac{dq}{dt}$।
किसी भी क्षण प्रेरक में प्रेरित emf $V = \varepsilon = -L \frac{dI}{dt}$ द्वारा दिया जाता है।
संधारित्र के सिरों पर विभवांतर $V_C = \frac{q}{C}$ है।
किरचॉफ के लूप नियम के अनुसार,बंद लूप के चारों ओर विभवांतर का योग शून्य होता है:
$-L \frac{dI}{dt} + \frac{q}{C} = 0$।
चूंकि $I = -\frac{dq}{dt}$,इसलिए $\frac{dI}{dt} = -\frac{d^2q}{dt^2}$।
इसे लूप समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$-L \left( -\frac{d^2q}{dt^2} \right) + \frac{q}{C} = 0$
अतः,अवकल समीकरण $L \frac{d^2q}{dt^2} + \frac{q}{C} = 0$ है।

(D) $L-C$ परिपथ का अवकल समीकरण इस प्रकार है,
$\frac{d^{2} q}{d t^{2}}+\frac{1}{LC} q=0$
जहाँ $q$ संधारित्र पर आवेश है।
इस समीकरण का सामान्य हल है,
$q(t) = q_{m} \cos(\omega_{0} t + \phi)$
जहाँ $q_{m}$ अधिकतम आवेश है,$\omega_{0} = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ कोणीय आवृत्ति है,और $\phi$ कला नियतांक है।
मान लीजिए कि $t = 0$ पर संधारित्र पूर्णतः आवेशित है,तो $q(0) = q_{m}$।
$q_{m} = q_{m} \cos(\phi) \implies \cos(\phi) = 1 \implies \phi = 0$।
अतः,$q(t) = q_{m} \cos(\omega_{0} t)$।
धारा $I$ आवेश के प्रवाह की दर है,$I = -\frac{dq}{dt}$ (क्योंकि संधारित्र निरावेशित हो रहा है)।
$I = -\frac{d}{dt} [q_{m} \cos(\omega_{0} t)] = -q_{m} \omega_{0} (-\sin(\omega_{0} t)) = q_{m} \omega_{0} \sin(\omega_{0} t)$।
अधिकतम धारा $I_{m} = q_{m} \omega_{0}$ को परिभाषित करने पर,हमें प्राप्त होता है,
$I = I_{m} \sin(\omega_{0} t)$।

(N/A) एक $LC$ परिपथ में धारिता $C$ वाला एक संधारित्र और प्रेरकत्व $L$ वाला एक प्रेरक होता है।
$1$. प्रारंभ में,संधारित्र अधिकतम आवेश $q_m$ तक आवेशित होता है। संधारित्र में संचित विद्युत ऊर्जा $U_E = \frac{1}{2} \frac{q_m^2}{C}$ होती है। चूंकि परिपथ खुला है,इसलिए धारा $I = 0$ है और प्रेरक में चुंबकीय ऊर्जा $U_B = 0$ है।
$2$. जब $t = 0$ पर स्विच बंद किया जाता है,तो संधारित्र निरावेशित (discharge) होना शुरू हो जाता है। जैसे-जैसे धारा $I$ प्रेरक से होकर बहती है,यह एक चुंबकीय क्षेत्र बनाती है और चुंबकीय ऊर्जा $U_B = \frac{1}{2} LI^2$ बनने लगती है।
$3$. $t = \frac{T}{4}$ पर,संधारित्र पूरी तरह से निरावेशित हो जाता है $(q = 0)$ और धारा अपने अधिकतम मान $I_m$ तक पहुँच जाती है। अब सारी ऊर्जा प्रेरक के चुंबकीय क्षेत्र में संचित हो जाती है: $U_B = \frac{1}{2} LI_m^2$।
$4$. इसके बाद,प्रेरक के बैक $EMF$ के कारण धारा बहती रहती है,जो संधारित्र को विपरीत ध्रुवता के साथ आवेशित करती है। यह प्रक्रिया जारी रहती है,जिससे संधारित्र के विद्युत क्षेत्र और प्रेरक के चुंबकीय क्षेत्र के बीच ऊर्जा के निरंतर दोलन होते रहते हैं।

(N/A) $LC$ दोलन, स्प्रिंग से जुड़े एक ब्लॉक के यांत्रिक दोलनों के समान होते हैं।
$LC$ दोलन के लिए अवकल समीकरण $\frac{d^{2} q}{d t^{2}} + \frac{q}{LC} = 0$ है, जिसे $\frac{d^{2} q}{d t^{2}} + \omega_{0}^{2} q = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$\omega_{0}$ आवृत्ति के साथ दोलन करने वाले $m$ द्रव्यमान के ब्लॉक के लिए समीकरण $\frac{d^{2} x}{d t^{2}} + \omega_{0}^{2} x = 0$ है, जहाँ $\omega_{0} = \sqrt{\frac{k}{m}}$ और $k$ स्प्रिंग नियतांक है।
यांत्रिकी में, $k = \frac{F}{x}$ इकाई विस्तार या संपीड़न उत्पन्न करने के लिए आवश्यक बल को दर्शाता है। इसका मात्रक $N \cdot m^{-1}$ है।
$LC$ परिपथ में, संबंधित समीकरण $V = \frac{q}{C}$ है, इसलिए $\frac{1}{C} = \frac{V}{q}$, जो इकाई आवेश को संग्रहित करने के लिए आवश्यक विभवांतर को दर्शाता है।
नीचे दी गई तालिका यांत्रिक और विद्युत राशियों के बीच सादृश्यता दर्शाती है:

यांत्रिक प्रणाली	विद्युत प्रणाली
द्रव्यमान $m$	प्रेरकत्व $L$
बल नियतांक $k$	धारिता का व्युत्क्रम $1/C$
विस्थापन $x$	आवेश $q$
वेग $v = \frac{dx}{dt}$	धारा $I = \frac{dq}{dt}$
यांत्रिक ऊर्जा $E = \frac{1}{2} k x^{2} + \frac{1}{2} m v^{2}$	विद्युतचुंबकीय ऊर्जा $E = \frac{1}{2} \frac{q^{2}}{C} + \frac{1}{2} L I^{2}$

(N/A) $(i)$ प्रत्येक प्रेरक (inductor) में कुछ प्रतिरोध होता है। इस प्रतिरोध का प्रभाव परिपथ में आवेश और धारा पर अवमंदन (damping) प्रभाव डालता है,और अंततः दोलन समाप्त हो जाते हैं।
$(ii)$ यदि प्रतिरोध शून्य भी हो,तो भी निकाय की कुल ऊर्जा स्थिर नहीं रहेगी। यह विद्युत चुम्बकीय तरंगों के रूप में निकाय से बाहर विकिरित हो जाती है।
वास्तव में,रेडियो और $TV$ ट्रांसमीटर इसी विकिरण पर निर्भर करते हैं।