Mix Examples-Alternating Current Questions in Hindi

(D) दी गई राशियों की विमाएँ इस प्रकार हैं:
$L = [M L^2 T^{-2} A^{-2}]$
$C = [M^{-1} L^{-2} T^4 A^2]$
$R = [M L^2 T^{-3} A^{-2}]$
$1$. $\frac{1}{RC}$ के लिए: समय नियतांक $\tau = RC$ की विमा समय $[T]$ होती है। अतः,$\frac{1}{RC}$ की विमा $[T^{-1}]$ है,जो आवृत्ति है।
$2$. $\frac{R}{L}$ के लिए: अनुपात $\frac{R}{L}$ की विमा $[M L^2 T^{-3} A^{-2}] / [M L^2 T^{-2} A^{-2}] = [T^{-1}]$ है,जो आवृत्ति है।
$3$. $\frac{1}{\sqrt{LC}}$ के लिए: अनुनादी आवृत्ति $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ की विमा $[T^{-1}]$ है,जो आवृत्ति है।
$4$. $\frac{C}{L}$ के लिए: विमा $[M^{-1} L^{-2} T^4 A^2] / [M L^2 T^{-2} A^{-2}] = [M^{-2} L^{-4} T^6 A^4]$ है। यह आवृत्ति की विमा को नहीं दर्शाता है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) प्रेषित शक्ति $P = VI$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $V$ वोल्टेज है और $I$ धारा है। एक निश्चित शक्ति $P$ के लिए,यदि वोल्टेज $V$ को बढ़ाया जाता है,तो धारा $I$ कम हो जाती है।
ट्रांसमिशन लाइनों में ऊष्मा के कारण होने वाली शक्ति हानि $P_{loss} = I^2 R$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $R$ तारों का प्रतिरोध है।
$I = P/V$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $P_{loss} = (P/V)^2 R = P^2 R / V^2$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$P_{loss} \propto 1/V^2$। वोल्टेज $V$ को बढ़ाकर,बिजली की हानि काफी कम हो जाती है,जिससे ट्रांसमिशन अधिक किफायती और कुशल हो जाता है। इसलिए,विकल्प $B$ सही है।

(D) बल्ब द्वारा खपत की गई शक्ति $P = \frac{V^2}{R}$ सूत्र द्वारा दी जाती है,जहाँ $V$ वोल्टेज है और $R$ बल्ब का प्रतिरोध है।
बल्ब के लिए,प्रतिरोध $R$ फिलामेंट का एक स्थिर गुण है।
जब $V$ वोल्टेज के $DC$ स्रोत से जोड़ा जाता है,तो खपत की गई शक्ति $P_{DC} = \frac{V^2}{R}$ होती है।
जब समान $RMS$ वोल्टेज $V$ के $AC$ स्रोत से जोड़ा जाता है,तो खपत की गई शक्ति $P_{AC} = \frac{V_{rms}^2}{R} = \frac{V^2}{R}$ होती है।
चूंकि दोनों स्थितियों में खपत की गई शक्ति समान है,इसलिए बल्ब की चमक समान रहेगी।

(A) $LCR$ श्रेणी $ac$ परिपथ में,आरोपित वोल्टेज $V$ और धारा $i$ के बीच का कलांतर $\phi$,$\tan \phi = \frac{X_L - X_C}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
यदि $X_L > X_C$ है,तो परिपथ प्रेरक (inductive) होता है,और कला कोण $\phi$,$0$ और $\pi/2$ के बीच होता है (धारा वोल्टेज से पीछे रहती है)।
यदि $X_L < X_C$ है,तो परिपथ धारिता (capacitive) होता है,और कला कोण $\phi$,$-\pi/2$ और $0$ के बीच होता है (धारा वोल्टेज से आगे रहती है)।
यदि $X_L = X_C$ है,तो परिपथ अनुनाद (resonance) की स्थिति में होता है,और $\phi = 0$ होता है।
अतः,कला कोण का परिमाण $|\phi|$,$X_L$ और $X_C$ के मानों पर निर्भर करते हुए $0$ से $\pi/2$ के बीच होता है।

$Choke coil$ एक ऐसा प्रेरक है जिसमें उच्च प्रेरकत्व और नगण्य प्रतिरोध होता है। $AC$ परिपथ में, खपत की गई औसत शक्ति $P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$ द्वारा दी जाती है। एक शुद्ध प्रेरक के लिए, कला कोण $\phi = 90^{\circ}$ होता है, इसलिए शक्ति गुणांक $\cos 90^{\circ} = 0$ होता है। परिणामस्वरूप, एक आदर्श $Choke coil$ द्वारा खपत की गई शक्ति शून्य होती है। इसके विपरीत, $Rheostat$ एक प्रतिरोधक है जो ऊर्जा को ऊष्मा ($I^2R$ हानि) के रूप में नष्ट करता है। इसलिए, महत्वपूर्ण शक्ति हानि के बिना $AC$ परिपथ में धारा को नियंत्रित करने के लिए $Choke coil$ को प्राथमिकता दी जाती है।

(D) दी गई राशियों की विमाएँ इस प्रकार हैं:
$1$. $RC$ परिपथ के लिए,समय नियतांक $\tau = RC$ है। अतः,$\frac{1}{RC}$ की विमा $[T^{-1}]$ है,जो आवृत्ति की विमा है।
$2$. $RL$ परिपथ के लिए,समय नियतांक $\tau = \frac{L}{R}$ है। अतः,$\frac{R}{L}$ की विमा $[T^{-1}]$ है,जो आवृत्ति की विमा है।
$3$. $LC$ परिपथ के लिए,अनुनादी आवृत्ति $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ द्वारा दी जाती है। अतः,$\frac{1}{\sqrt{LC}}$ की विमा $[T^{-1}]$ है,जो आवृत्ति की विमा है।
$4$. $\frac{C}{L}$ संयोजन के लिए,हम जानते हैं कि अनुनादी आवृत्ति $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ है। इसलिए,$\omega^2 = \frac{1}{LC}$,जिसका अर्थ है कि $LC = \frac{1}{\omega^2}$। $LC$ की विमा $[T^2]$ है। अतः,$\frac{C}{L}$ की विमा $\frac{[C]}{[L]} = \frac{[C]^2}{[LC]} = \frac{[C]^2}{[T^2]}$ है। यह आवृत्ति की विमा नहीं है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) एक $A.C.$ परिपथ में,धारा और वोल्टेज के बीच का कला संबंध परिपथ में मौजूद घटकों पर निर्भर करता है।
यदि परिपथ शुद्ध रूप से प्रतिरोधी है,तो धारा वोल्टेज के साथ समान कला में होती है।
यदि परिपथ प्रेरक (inductive) है,तो धारा वोल्टेज से पीछे रहती है।
यदि परिपथ धारिता (capacitive) वाला है,तो धारा वोल्टेज से आगे रहती है।
इसलिए,परिपथ विन्यास के आधार पर धारा वोल्टेज से आगे,पीछे या समान कला में हो सकती है।

(C) दिए गए परिपथ आरेख में,एक $LCR$ श्रेणी परिपथ $220 \, V$ के $AC$ स्रोत से जुड़ा है।
वोल्टमीटर प्रतिरोधक के सिरों पर जुड़ा है,इसलिए इसकी रीडिंग प्रतिरोधक पर वोल्टेज $(V_R)$ है।
$LCR$ श्रेणी परिपथ में,कुल वोल्टेज $V$ का मान $V = \sqrt{V_R^2 + (V_L - V_C)^2}$ द्वारा दिया जाता है।
आरेख से,प्रेरक (inductor) पर वोल्टेज $V_L = 300 \, V$ और संधारित्र (capacitor) पर वोल्टेज $V_C = 300 \, V$ है।
इन मानों को रखने पर: $220 = \sqrt{V_R^2 + (300 - 300)^2}$.
$220 = \sqrt{V_R^2 + 0} = V_R$.
अतः,वोल्टमीटर की रीडिंग $V_R = 220 \, V$ है।
परिपथ में धारा $i$ का मान $i = \frac{V_R}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $R = 100 \, \Omega$ दिया गया है,इसलिए $i = \frac{220}{100} = 2.2 \, A$.
इसलिए,वोल्टमीटर की रीडिंग $220 \, V$ और एमीटर की रीडिंग $2.2 \, A$ है।

(D) परिपथ में $R_1 = 6\,\Omega$ का प्रतिरोध $L = 5\,mH$,$R_2 = 4\,\Omega$ और $C = 50\,\mu F$ वाली $LCR$ शाखा के साथ श्रेणीक्रम में जुड़ा है।
यहाँ $\omega = 2000\,rad/s$ है।
प्रेरकीय प्रतिघात $X_L = \omega L = 2000 \times 5 \times 10^{-3} = 10\,\Omega$.
धारतीय प्रतिघात $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2000 \times 50 \times 10^{-6}} = 10\,\Omega$.
कुल प्रतिरोध $R_{total} = R_1 + R_2 = 6 + 4 = 10\,\Omega$.
चूंकि $X_L = X_C$,परिपथ अनुनाद (resonance) की स्थिति में है।
कुल प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R_{total}^2 + (X_L - X_C)^2} = \sqrt{10^2 + 0^2} = 10\,\Omega$.
अधिकतम धारा $I_0 = \frac{V_0}{Z} = \frac{20}{10} = 2\,A$.
$RMS$ धारा $I_{rms} = \frac{I_0}{\sqrt{2}} = \frac{2}{1.414} \approx 1.41\,A$.
वोल्टमीटर $LCR$ शाखा के सिरों पर जुड़ा है। इस शाखा की प्रतिबाधा $Z_{LCR} = \sqrt{R_2^2 + (X_L - X_C)^2} = \sqrt{4^2 + 0^2} = 4\,\Omega$ है।
अतः,इस शाखा पर वोल्टेज $V_{LCR} = I_{rms} \times Z_{LCR} = 1.41 \times 4 = 5.64\,V \approx 5.6\,V$ प्राप्त होता है।

(A) हाँ, यह $AC$ परिपथ में संभव है। किरचॉफ का धारा नियम $(KCL)$ बताता है कि $DC$ परिपथों के लिए जंक्शन पर धाराओं का बीजगणितीय योग शून्य होता है। हालाँकि, $AC$ परिपथों में, धाराएँ फेज़र (phasors) होती हैं। जंक्शन $B$ पर धाराओं का योग फेज़रों के सदिश योग द्वारा दिया जाता है: $\vec{I}_{in} = \vec{I}_{out1} + \vec{I}_{out2}$। यदि धाराओं के बीच के फेज़ कोण ऐसे हैं कि $15 \ A$ और $5 \ A$ का सदिश योग $10 \ A$ प्राप्त होता है, तो यह वितरण संभव है।

(C) दिए गए फेजर आरेख से यह स्पष्ट है कि धारा $i_{rms}$,वोल्टेज $E_{rms}$ से $\phi = 45^\circ$ के कला कोण (phase angle) से पीछे (lagging) है।
$AC$ परिपथ में,धारा वोल्टेज से पीछे तब होती है जब परिपथ की प्रकृति प्रेरक (inductive) होती है।
$LR$ परिपथ स्वाभाविक रूप से प्रेरक होता है,इसलिए इसमें धारा हमेशा वोल्टेज से पीछे रहेगी।
$LCR$ परिपथ भी प्रेरक हो सकता है यदि प्रेरक प्रतिघात $X_L$,धारिता प्रतिघात $X_C$ से अधिक हो (अर्थात $X_L > X_C$)।
अतः,परिपथ या तो $LR$ परिपथ हो सकता है या $X_L > X_C$ वाला $LCR$ परिपथ हो सकता है।
इसलिए,सही विकल्प $C$ है।

(B) एक एंटी-रेज़ोनेंट सर्किट (समानांतर $LC$ सर्किट) में,रेज़ोनेंट आवृत्ति $\nu_0$ पर प्रतिबाधा (impedance) अधिकतम होती है।
चूंकि धारा $i = \frac{V}{Z}$ होती है,इसलिए रेज़ोनेंट आवृत्ति पर धारा $i$ न्यूनतम होती है।
रेज़ोनेंट आवृत्ति के अलावा अन्य आवृत्तियों पर,प्रतिबाधा $Z$ कम हो जाती है,जिससे धारा $i$ बढ़ जाती है।
इसलिए,$i -
u$ वक्र रेज़ोनेंट आवृत्ति पर न्यूनतम मान दिखाता है,जो विकल्प $B$ में दिखाए गए ग्राफ के अनुरूप है।

(C) परिपथ में एक प्रेरक $L$ और एक बल्ब $B$ श्रेणीक्रम में $AC$ स्रोत के साथ जुड़े हैं। परिपथ की प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ है,जहाँ $R$ बल्ब का प्रतिरोध है और $X_L = \omega L$ प्रेरणिक प्रतिघात है।
जब कुंडली में लोहे की छड़ डाली जाती है,तो कोर की पारगम्यता (permeability) बढ़ जाती है,जिससे कुंडली का स्व-प्रेरकत्व $L$ काफी बढ़ जाता है।
चूंकि $X_L = \omega L$ है,इसलिए $L$ में वृद्धि होने से प्रेरणिक प्रतिघात $X_L$ में वृद्धि होती है।
जैसे-जैसे कुल प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ बढ़ती है,परिपथ में कुल धारा $I = \frac{V}{Z}$ कम हो जाती है।
बल्ब की चमक उसके द्वारा व्यय की गई शक्ति $P = I^2 R$ पर निर्भर करती है। चूंकि धारा $I$ कम हो जाती है,इसलिए बल्ब द्वारा व्यय की गई शक्ति कम हो जाती है,और इस प्रकार बल्ब की चमक कम हो जाती है।

(C) दिया गया है: प्रतिरोध $R = 100 \, \Omega$,धारितीय प्रतिघात $X_C = 100 \, \Omega$,और $RMS$ वोल्टेज $V_{rms} = 220 \, V$ है।
$RC$ श्रेणी परिपथ की कुल प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + X_C^2} = \sqrt{100^2 + 100^2} = 100\sqrt{2} \, \Omega$ है।
स्रोत का शिखर वोल्टेज $V_0 = V_{rms} \sqrt{2} = 220\sqrt{2} \, V$ है।
परिपथ में प्रवाहित शिखर चालन धारा $I_0 = \frac{V_0}{Z} = \frac{220\sqrt{2}}{100\sqrt{2}} = 2.2 \, A$ है।
मैक्सवेल द्वारा एम्पीयर के नियम में किए गए संशोधन के अनुसार,संधारित्र की प्लेटों के बीच विस्थापन धारा $I_d$,जोड़ने वाले तारों में प्रवाहित चालन धारा $I_c$ के बराबर होती है।
अतः,विस्थापन धारा का शिखर मान चालन धारा के शिखर मान के बराबर,यानी $2.2 \, A$ होगा।

(C) दिया गया है: $C = \frac{2.5}{\pi} \times 10^{-6} \, F$,$R = 3000 \, \Omega$,$V_{rms} = 200 \, V$,$\nu = 50 \, Hz$.
सबसे पहले,धारितीय प्रतिघात (capacitive reactance) $X_C = \frac{1}{2\pi \nu C} = \frac{1}{2\pi \times 50 \times (\frac{2.5}{\pi} \times 10^{-6})} = \frac{1}{250 \times 10^{-6}} = 4000 \, \Omega$ की गणना करें।
परिपथ की प्रतिबाधा (impedance) $Z = \sqrt{R^2 + X_C^2} = \sqrt{3000^2 + 4000^2} = 5000 \, \Omega$ है।
शक्ति गुणांक $\cos \phi = \frac{R}{Z} = \frac{3000}{5000} = 0.6$ है।
व्यय होने वाली शक्ति $P = \frac{V_{rms}^2 \cos \phi}{Z} = \frac{200^2 \times 0.6}{5000} = \frac{40000 \times 0.6}{5000} = 8 \times 0.6 = 4.8 \, W$ है।

(B) जब $C$ को हटा दिया जाता है,तो परिपथ एक $RL$ परिपथ बन जाता है। कला कोण $\phi$ का सूत्र $\tan \phi = \frac{X_L}{R}$ है।
यहाँ $\phi = \pi /3$ दिया गया है,इसलिए $\tan(\pi /3) = \frac{X_L}{R} \implies \sqrt{3} = \frac{X_L}{R} \implies X_L = R\sqrt{3}$।
जब $L$ को हटा दिया जाता है,तो परिपथ एक $RC$ परिपथ बन जाता है। कला कोण $\phi$ का सूत्र $\tan \phi = \frac{X_C}{R}$ है।
यहाँ $\phi = \pi /3$ दिया गया है,इसलिए $\tan(\pi /3) = \frac{X_C}{R} \implies \sqrt{3} = \frac{X_C}{R} \implies X_C = R\sqrt{3}$।
चूंकि $X_L = X_C$ है,इसलिए परिपथ अनुनाद (resonance) की स्थिति में है।
$LCR$ परिपथ में अनुनाद पर,प्रतिबाधा $Z = R$ होती है।
चूंकि $R = 100 \ \Omega$ दिया गया है,इसलिए $Z = 100 \ \Omega$ होगा।

(B) दिया गया है: $e = 75 \sin(\omega t) \text{ V}$ और $i = 1.5 \sin(\omega t + 45^\circ) \text{ A}$।
यहाँ,धारा $i$,वोल्टेज $e$ से $\phi = 45^\circ$ के कला कोण (phase angle) से आगे है।
चूंकि धारा वोल्टेज से आगे है,इसलिए परिपथ की प्रकृति धारितात्मक (capacitive) होनी चाहिए। इसका अर्थ है कि बॉक्स में एक संधारित्र होना चाहिए।
वोल्टेज और धारा के बीच कला अंतर होने के कारण,कला विस्थापन (phase shift) के लिए बॉक्स में एक प्रतिरोध $R$ होना चाहिए।
चूंकि परिपथ धारितात्मक है,इसलिए शुद्ध प्रतिघात $X = X_C - X_L$ धारितात्मक होना चाहिए $(X_C > X_L)$। यह अनिवार्य रूप से यह नहीं बताता कि बॉक्स में प्रेरक होना ही चाहिए। अतः,'बॉक्स में एक प्रेरक होना चाहिए' कथन गलत है।
पावर फैक्टर $\cos \phi = \cos(45^\circ) = 1/\sqrt{2} \approx 0.707$ है। इस प्रकार,विकल्प $(d)$ सही है।
अतः,गलत कथन $(b)$ है।

(A) आवृत्ति की विमा $[T^{-1}]$ होती है।
$1$. $RC$ परिपथ के लिए,समय नियतांक (time constant) $\tau = RC$ होता है। चूंकि $\tau$ की विमा समय $[T]$ है,इसलिए $\frac{1}{RC}$ राशि की विमा आवृत्ति $[T^{-1}]$ होती है।
$2$. $RL$ परिपथ के लिए,समय नियतांक $\tau = \frac{L}{R}$ होता है। चूंकि $\tau$ की विमा समय $[T]$ है,इसलिए $\frac{R}{L}$ राशि की विमा आवृत्ति $[T^{-1}]$ होती है।
$3$. $LC$ परिपथ के लिए,अनुनादी आवृत्ति (resonant frequency) $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ द्वारा दी जाती है। अतः,$\frac{1}{\sqrt{LC}}$ की विमा भी आवृत्ति $[T^{-1}]$ होती है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,$\frac{1}{RC}$ और $\frac{R}{L}$ का संयोजन आवृत्ति की विमा को दर्शाता है।

(C) संधारित्र (capacitor) वाली ऊपरी शाखा में,धारा $I_1$ आरोपित वोल्टेज $V$ से $\phi_1 = \frac{\pi}{2}$ के कला कोण से आगे (leads) है।
प्रतिरोधक $R$ और प्रेरक $X_L$ वाली निचली शाखा में,धारा $I_2$ आरोपित वोल्टेज $V$ से $\phi_2 = \tan^{-1} \left( \frac{X_L}{R} \right)$ के कला कोण से पीछे (lags) है।
दोनों धाराओं $I_1$ और $I_2$ के बीच कुल कलांतर वोल्टेज $V$ के सापेक्ष उनके व्यक्तिगत कला विस्थापन का योग है।
अतः,कलांतर $\Delta \phi = \phi_1 + \phi_2 = \frac{\pi}{2} + \tan^{-1} \left( \frac{X_L}{R} \right)$ है।

(D) परिपथ का प्रतिघात $X = X_L - X_C$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $X_L = \omega L$ प्रेरक प्रतिघात है और $X_C = 1/(\omega C)$ धारिता प्रतिघात है।
कुल प्रतिघात के शून्य $(X = 0)$ होने के लिए:
$1$. यदि परिपथ में प्रेरक और संधारित्र दोनों हैं,तो उन्हें अनुनाद (resonance) में होना चाहिए ताकि $X_L = X_C$ हो,जिसके परिणामस्वरूप $X = 0$ प्राप्त होता है।
$2$. यदि परिपथ में केवल प्रतिरोधक (resistors) हैं,तो कोई प्रेरक या संधारित्र मौजूद नहीं है,इसलिए $X_L = 0$ और $X_C = 0$ होता है,जिससे $X = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,परिपथ में प्रेरक और संधारित्र दोनों (अनुनाद में) हो सकते हैं या न तो कोई प्रेरक और न ही कोई संधारित्र (शुद्ध प्रतिरोधक परिपथ) हो सकता है।
इसलिए,सही विकल्प $(D)$ है।

(A) $LCR$ परिपथ में, किसी भी समय $t$ पर संधारित्र पर आवेश $Q(t) = Q_0 e^{-Rt/2L} \cos(\omega' t + \phi)$ द्वारा दिया जाता है।
किसी भी चक्र पर संधारित्र पर अधिकतम आवेश $Q_{max}(t) = Q_0 e^{-Rt/2L}$ होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हमें $Q^2_{max}(t) = Q^2_0 e^{-Rt/L}$ प्राप्त होता है।
यह समीकरण समय के साथ अधिकतम आवेश के वर्ग के चरघातांकीय क्षय को दर्शाता है।
क्षय की दर $R/L$ कारक पर निर्भर करती है। चूंकि $L_1 > L_2$, इसलिए क्षय स्थिरांक $R/L_1$, $R/L_2$ से छोटा है।
इसलिए, $L_2$ वाले परिपथ में आवेश $L_1$ वाले परिपथ की तुलना में तेजी से घटता है।
अतः, $L_1$ के लिए ग्राफ $L_2$ के ग्राफ की तुलना में धीमा क्षय दिखाएगा।

(A) जब धारिता को हटा दिया जाता है,तो परिपथ एक $LR$ परिपथ बन जाता है।
कला कोण $\phi = 30^\circ$ दिया गया है,इसलिए $\tan \phi = \frac{\omega L}{R}$।
$\omega L = R \tan 30^\circ = 200 \times \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{200}{\sqrt{3}} \, \Omega$।
जब प्रेरक को हटा दिया जाता है,तो परिपथ एक $CR$ परिपथ बन जाता है।
कला कोण $\phi = 30^\circ$ दिया गया है,इसलिए $\tan \phi = \frac{1}{\omega C R}$।
$\frac{1}{\omega C} = R \tan 30^\circ = 200 \times \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{200}{\sqrt{3}} \, \Omega$।
मूल $LCR$ परिपथ में,प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + (\omega L - \frac{1}{\omega C})^2}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $Z = \sqrt{200^2 + (\frac{200}{\sqrt{3}} - \frac{200}{\sqrt{3}})^2} = \sqrt{200^2 + 0} = 200 \, \Omega$।
$AC$ परिपथ में व्ययित शक्ति $P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$ है,जहाँ $\cos \phi = \frac{R}{Z}$।
चूंकि $\omega L = \frac{1}{\omega C}$,परिपथ अनुनाद (resonance) में है,इसलिए $\phi = 0^\circ$ और $\cos \phi = 1$।
$P = \frac{V_{rms}^2}{Z^2} \times R = \frac{220^2}{200^2} \times 200 = \frac{220 \times 220}{200} = 242 \, W$।

(A) किसी भी समय $t$ पर $LCR$ सर्किट के लिए किरचॉफ का वोल्टेज नियम $(KVL)$ लागू करने पर:
$\frac{q}{C} - iR - L \frac{di}{dt} = 0$
चूंकि $i = -\frac{dq}{dt}$,हमारे पास है:
$\frac{q}{C} + R \frac{dq}{dt} + L \frac{d^2q}{dt^2} = 0$
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर अवमंदित हार्मोनिक ऑसिलेटर का अवकल समीकरण प्राप्त होता है:
$\frac{d^2q}{dt^2} + \frac{R}{L} \frac{dq}{dt} + \frac{q}{LC} = 0$
संधारित्र पर आवेश $q(t) = Q_0 e^{-\frac{Rt}{2L}} \cos(\omega' t + \phi)$ के रूप में घटता है।
किसी भी चक्र पर अधिकतम आवेश एनवेलप $Q_{Max} = Q_0 e^{-\frac{Rt}{2L}}$ द्वारा दिया जाता है।
इसका वर्ग करने पर,हमें $Q_{Max}^2 = Q_0^2 e^{-\frac{Rt}{L}}$ प्राप्त होता है।
क्षय स्थिरांक $\lambda = \frac{R}{L}$ की तुलना करने पर,हम देखते हैं कि एक निश्चित $R$ के लिए,छोटा $L$ एक बड़ा क्षय स्थिरांक देता है,जिसका अर्थ है कि आवेश तेजी से घटता है।
चूंकि $L_1 > L_2$,$L_2$ के लिए क्षय स्थिरांक $L_1$ से बड़ा है।
इसलिए,$L_2$ के लिए वक्र $L_1$ के वक्र की तुलना में तेजी से घटता है।

(A) दिए गए समीकरण $e = 100 \sin(20t)$ और $i = 20 \sin(30t - \frac{\pi}{4})$ हैं।
नोट: $e.m.f.$ और धारा की आवृत्तियाँ अलग-अलग हैं $(20 \neq 30)$। ऐसे मामले में,एक पूर्ण चक्र पर औसत शक्ति शून्य होती है क्योंकि कलांतर $\phi$ स्थिर नहीं है।
हालाँकि,यदि हम यह मान लें कि प्रश्न समान आवृत्ति के लिए $\phi = 45^{\circ}$ (या $\frac{\pi}{4}$) कलांतर का संकेत देता है,तो गणना इस प्रकार है:
औसत शक्ति $P_{\text{avg}} = V_{\text{rms}} I_{\text{rms}} \cos \phi = \left(\frac{V_0}{\sqrt{2}}\right) \left(\frac{I_0}{\sqrt{2}}\right) \cos \phi$
$P_{\text{avg}} = \left(\frac{100}{\sqrt{2}}\right) \left(\frac{20}{\sqrt{2}}\right) \cos 45^{\circ} = \frac{2000}{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1000}{\sqrt{2}} \text{ W}$.
वाटहीन धारा $I_w = I_{\text{rms}} \sin \phi = \left(\frac{I_0}{\sqrt{2}}\right) \sin 45^{\circ} = \left(\frac{20}{\sqrt{2}}\right) \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{20}{2} = 10 \text{ A}$.
अतः,मान $\frac{1000}{\sqrt{2}}$ और $10$ हैं।

(D) दिया गया है: $R = 100 \,\Omega$,$V = 200 \,V$,$\omega = 300 \,rad/s$.
जब संधारित्र को हटा दिया जाता है,तो परिपथ $LR$ परिपथ बन जाता है। कला कोण $\tan(60^o) = \frac{X_L}{R} \implies X_L = 100\sqrt{3} \,\Omega$.
जब प्रेरकत्व को हटा दिया जाता है,तो परिपथ $RC$ परिपथ बन जाता है,$\tan(60^o) = \frac{X_C}{R} \implies X_C = 100\sqrt{3} \,\Omega$.
चूंकि $X_L = X_C$,परिपथ अनुनाद (resonance) की स्थिति में है।
अनुनाद पर,$Z = R = 100 \,\Omega$.
धारा $I = \frac{V}{Z} = \frac{200}{100} = 2 \,A$.
व्ययित शक्ति $P = I^2 R = (2)^2 \times 100 = 400 \,W$.

(D) कथन-$I$ सत्य है क्योंकि संधारित्र का उपयोग $a.c.$ परिपथ में शक्ति का क्षय किए बिना धारा को सीमित करने के लिए किया जा सकता है, जो चोक कुंडली के समान कार्य करता है।
कथन-$II$ सत्य है क्योंकि धारितीय प्रतिघात $X_C = 1 / (2\pi f C)$ होता है। $d.c.$ के लिए, $f = 0$, इसलिए $X_C = \infty$ ($d.c.$ को रोकता है), जबकि $a.c.$ के लिए, यह सीमित प्रतिघात प्रदान करता है।
चूंकि संधारित्र $a.c.$ परिपथ में बिना शक्ति हानि के धारा को सीमित करने के लिए प्रतिघात प्रदान करता है, इसलिए कथन-$II$, कथन-$I$ की सही व्याख्या है।

(A) प्रतिरोधक पर कुल वोल्टेज $V_{net}$ तीनों स्रोतों का योग है: $V_{net} = V_1 + V_2 + V_3$.
इन्हें फेजर के रूप में दर्शाने पर:
$V_1 = 3 \angle 0^\circ = 3 + j0$
$V_2 = 5 \angle 30^\circ = 5(\cos 30^\circ + j \sin 30^\circ) = 5(\frac{\sqrt{3}}{2} + j \frac{1}{2}) = \frac{5\sqrt{3}}{2} + j 2.5$
$V_3 = 5 \angle -127^\circ = 5(\cos(-127^\circ) + j \sin(-127^\circ)) \approx 5(-0.6 - j 0.8) = -3 - j 4$
घटकों को जोड़ने पर:
$V_{real} = 3 + \frac{5\sqrt{3}}{2} - 3 = \frac{5\sqrt{3}}{2} \approx 4.33$
$V_{imag} = 0 + 2.5 - 4 = -1.5$
शिखर वोल्टेज $V_{max} = \sqrt{V_{real}^2 + V_{imag}^2} = \sqrt{(\frac{5\sqrt{3}}{2})^2 + (-1.5)^2} = \sqrt{\frac{75}{4} + 2.25} = \sqrt{18.75 + 2.25} = \sqrt{21} \text{ V}$.
शिखर धारा $I_{max} = \frac{V_{max}}{R} = \frac{\sqrt{21}}{\sqrt{7/3}} = \sqrt{\frac{21 \times 3}{7}} = \sqrt{9} = 3 \text{ A}$.

(B) सर्किट का प्रारंभिक प्रतिघात $X_i = |X_{Ci} - X_{Li}| = |\frac{1}{\omega C_i} - \omega L_i|$ है।
प्रारंभ में,संधारित्र तरल से भरा है $(C_i = \frac{K \varepsilon_0 A}{\ell})$ और इंडक्टर खाली है $(L_i = \mu_0 n^2 A \ell)$।
अतः,$X_i = |\frac{\ell}{\omega K \varepsilon_0 A} - \omega \mu_0 n^2 A \ell|$।
तरल के इंडक्टर में भर जाने के बाद,संधारित्र खाली हो जाता है $(C_f = \frac{\varepsilon_0 A}{\ell})$ और इंडक्टर तरल से भर जाता है $(L_f = \mu_0 \mu_r n^2 A \ell)$।
अतः,$X_f = |\frac{\ell}{\omega \varepsilon_0 A} - \omega \mu_0 \mu_r n^2 A \ell|$।
अनुपात लेने पर,$\frac{X_i}{X_f} = \left| \frac{\frac{\ell}{\omega K \varepsilon_0 A} - \omega \mu_0 n^2 A \ell}{\frac{\ell}{\omega \varepsilon_0 A} - \omega \mu_0 \mu_r n^2 A \ell} \right|$।
अंश और हर को $\omega \varepsilon_0 A / \ell$ से गुणा करने पर,हमें $\frac{X_i}{X_f} = \left| \frac{\frac{1}{K} - \omega^2 \mu_0 \varepsilon_0 n^2 A^2}{1 - \omega^2 \mu_0 \varepsilon_0 \mu_r n^2 A^2} \right|$ प्राप्त होता है।
$\mu_0 \varepsilon_0 = \frac{1}{c^2}$ और $\omega^2 A^2 n^2 = c^2$ का उपयोग करने पर,पद $\omega^2 \mu_0 \varepsilon_0 n^2 A^2 = \frac{c^2}{c^2} = 1$ हो जाता है।
इस प्रकार,$\frac{X_i}{X_f} = \left| \frac{\frac{1}{K} - 1}{1 - \mu_r} \right| = \left| \frac{1 - K}{K(1 - \mu_r)} \right| = \frac{1 - K}{K(1 - \mu_r)}$।

(A) स्थिति $1$ में,परिपथ एक $LR$ श्रेणी परिपथ है। कला कोण $\phi$ को $\tan \phi = \frac{X_L}{R} = \frac{\omega L}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $\phi = \pi / 6$,$\omega = 1000 \text{ rad/s}$,और $L = \sqrt{3} \text{ mH} = \sqrt{3} \times 10^{-3} \text{ H}$.
$\tan(\pi / 6) = \frac{1000 \times \sqrt{3} \times 10^{-3}}{R} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{R} \implies R = 3 \, \Omega$.
स्थिति $2$ में,परिपथ एक $RC$ श्रेणी परिपथ है। कला कोण $\phi$ को $\tan \phi = \frac{X_C}{R} = \frac{1}{\omega C R}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $C = \frac{1000}{3} \, \mu\text{F} = \frac{1000}{3} \times 10^{-6} \text{ F}$.
$\tan \phi = \frac{1}{1000 \times (\frac{1000}{3} \times 10^{-6}) \times 3} = \frac{1}{1000 \times \frac{1}{3} \times 10^{-3} \times 3} = \frac{1}{1} = 1$.
चूँकि $\tan \phi = 1$,इसलिए $\phi = \pi / 4$. $RC$ परिपथ में,धारा स्रोत $emf$ से $\phi$ आगे होती है। अतः,धारा स्रोत $emf$ से $\pi / 4$ आगे है।

(A) प्रतिरोध $R$ में $t$ समय के लिए $I$ परिमाण की स्थिर $DC$ धारा द्वारा उत्पन्न ऊष्मा $H_{DC} = I^2 R t$ द्वारा दी जाती है।
उसी प्रतिरोध $R$ में $t$ समय के लिए $I$ शिखर मान वाली $AC$ धारा द्वारा उत्पन्न ऊष्मा $H_{AC} = I_{rms}^2 R t$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $I_{rms} = \frac{I}{\sqrt{2}}$,इसलिए $H_{AC} = \left(\frac{I}{\sqrt{2}}\right)^2 R t = \frac{I^2 R t}{2}$ होगा।
अतः,उत्पन्न ऊष्मा का अनुपात $\frac{H_{DC}}{H_{AC}} = \frac{I^2 R t}{I^2 R t / 2} = \frac{2}{1}$ है।

(C) $LCR$ श्रेणी परिपथ में,अधिकतम धारा अनुनाद (resonance) पर प्राप्त होती है,जहाँ प्रतिबाधा $Z$ कुंडली के प्रतिरोध $R$ के बराबर होती है।
दिया गया है: $V_{rms} = 24 \,V$ और $I_{rms, max} = 6 \,A$.
अनुनाद पर,$Z = R = V_{rms} / I_{rms, max} = 24 / 6 = 4 \,\Omega$.
यह $R = 4 \,\Omega$ कुंडली का प्रतिरोध है।
जब कुंडली को $E = 12 \,V$ के $emf$ और $r = 4 \,\Omega$ के आंतरिक प्रतिरोध वाली $DC$ बैटरी से जोड़ा जाता है,तो परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{total} = R + r = 4 \,\Omega + 4 \,\Omega = 8 \,\Omega$ होता है।
स्थिर अवस्था में धारा $I = E / R_{total} = 12 / 8 = 1.5 \,A$ प्राप्त होती है।

(D) $V(t) = V_0 \sin \omega t$ $AC$ वोल्टेज स्रोत से जुड़े एक श्रेणी $LR$ परिपथ में,धारा $I(t) = I_0 \sin(\omega t - \phi)$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $I_0 = \frac{V_0}{Z}$ और $Z = \sqrt{R^2 + (\omega L)^2}$ है।
धारा का क्षणिक (transient) भाग,जिसमें $e^{-Rt/L}$ पद शामिल है,$t \to \infty$ होने पर शून्य हो जाता है क्योंकि $t_0 \gg \frac{L}{R}$ है।
इसलिए,बहुत लंबे समय के बाद,केवल स्थिर-अवस्था ज्यावक्रीय धारा शेष रहती है,जो स्रोत वोल्टेज के समान आवृत्ति के साथ दोलन करती है लेकिन इसमें $\phi = \tan^{-1}(\frac{\omega L}{R})$ का कलांतर (phase lag) होता है।
यह स्थिर-अवस्था ज्यावक्रीय दोलन के अनुरूप है।

(A) एक श्रेणी $RLC$ परिपथ में, प्रेरक (inductor) के सिरों पर वोल्टेज $V_L = I X_L = I (2 \pi f L)$ होता है और संधारित्र (capacitor) के सिरों पर वोल्टेज $V_C = I X_C = I \left( \frac{1}{2 \pi f C} \right)$ होता है।
यह दिया गया है कि जैसे-जैसे आवृत्ति $f$ बदलती है, धारा $I$ को स्थिर रखा जाता है।
व्यंजकों से, हम देख सकते हैं कि $V_L \propto f$, जो मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा को दर्शाता है।
साथ ही, $V_C \propto \frac{1}{f}$, जो एक आयताकार हाइपरबोला को दर्शाता है।
इसलिए, वह ग्राफ जिसमें $V_L$, $f$ के साथ रैखिक रूप से बढ़ता है और $V_C$, $f$ के साथ हाइपरबोलिक रूप से घटता है, सही निरूपण है।

(C) दिया गया प्रतिरोध $R = 100\,\Omega$,वोल्टेज $V = 200\,V$ है।
जब संधारित्र को हटा दिया जाता है,तो परिपथ एक $L-R$ परिपथ बन जाता है। कला कोण (phase angle) $\phi = 60^o$ के लिए $\tan 60^o = \frac{X_L}{R}$ होता है।
$\Rightarrow X_L = R \tan 60^o = 100 \times \sqrt{3} = 100\sqrt{3}\,\Omega$.
जब प्रेरक को हटा दिया जाता है,तो परिपथ एक $C-R$ परिपथ बन जाता है। कला कोण $\phi = 60^o$ के लिए $\tan 60^o = \frac{X_C}{R}$ होता है।
$\Rightarrow X_C = R \tan 60^o = 100 \times \sqrt{3} = 100\sqrt{3}\,\Omega$.
चूंकि $X_L = X_C$,परिपथ अनुनाद (resonance) की स्थिति में है।
अनुनाद में,प्रतिबाधा (impedance) $Z = R = 100\,\Omega$ होती है।
अतः धारा $I = \frac{V}{Z} = \frac{200}{100} = 2\,A$ होगी।

(A) परिपथ का कुल प्रतिरोध $R$ सभी व्यक्तिगत प्रतिरोधों का योग है: $R = 0.1 \, \Omega + 5.9 \, \Omega + 4 \, \Omega = 10 \, \Omega$।
प्रेरक प्रतिघात $X_L = \omega L = 2000 \, rad/s \times 5 \times 10^{-3} \, H = 10 \, \Omega$ है।
धारितीय प्रतिघात $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2000 \, rad/s \times 50 \times 10^{-6} \, F} = \frac{1}{0.1} = 10 \, \Omega$ है।
$LCR$ परिपथ की प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर, $Z = \sqrt{10^2 + (10 - 10)^2} = \sqrt{100} = 10 \, \Omega$।
परिपथ में धारा $I = \frac{V}{Z} = \frac{20 \, V}{10 \, \Omega} = 2 \, A$ होगी।

(C) $dc$ स्रोत के लिए: प्रेरक एक शॉर्ट सर्किट के रूप में कार्य करता है (केवल प्रतिरोध $R$)। शक्ति $P_{dc} = \frac{V^2}{R}$.
दिया गया है $V = 10\, V$ और $P_{dc} = 20\, W$,इसलिए $R = \frac{10^2}{20} = \frac{100}{20} = 5\, \Omega$.
$ac$ स्रोत के लिए: प्रतिबाधा (impedance) $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$,जहाँ $X_L = 2\pi f L$.
शक्ति $P_{ac} = \frac{V^2 R}{Z^2} = \frac{V^2 R}{R^2 + X_L^2}$.
दिया गया है $P_{ac} = 10\, W$,इसलिए $10 = \frac{10^2 \times 5}{5^2 + X_L^2} \Rightarrow 10 = \frac{500}{25 + X_L^2}$.
$25 + X_L^2 = 50 \Rightarrow X_L^2 = 25 \Rightarrow X_L = 5\, \Omega$.
चूँकि $X_L = 2\pi f L$,इसलिए $5 = 2 \times 3.14 \times f \times (10 \times 10^{-3})$.
$f = \frac{5}{2 \times 3.14 \times 0.01} = \frac{5}{0.0628} \approx 79.6\, Hz \approx 80\, Hz$.

(C) दिया गया वोल्टेज स्रोत $E = 150 \sin(100t)$ है,जहाँ शिखर वोल्टेज $V_0 = 150 \, V$ है।
यह उपकरण एक हाफ-वेव रेक्टिफायर के रूप में कार्य करता है,जो केवल $AC$ इनपुट के धनात्मक अर्ध-चक्र के दौरान ही धारा को प्रवाहित होने देता है।
हाफ-वेव रेक्टिफाइड धारा के लिए,$r.m.s.$ मान $i_{rms} = \frac{i_0}{2}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $i_0$ शिखर धारा है।
शिखर धारा $i_0 = \frac{V_0}{R} = \frac{150}{20} = 7.5 \, A$ है।
अतः,$i_{rms} = \frac{7.5}{2} = 3.75 \, A$ होगा।

(A) $R-L-C$ श्रेणी परिपथ में,कलान्तर $\phi$ को $\tan \phi = \frac{|X_L - X_C|}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
जब $L$ को हटा दिया जाता है,तो परिपथ एक $R-C$ परिपथ बन जाता है। कलान्तर $\tan \phi = \frac{X_C}{R}$ है। दिया गया है कि $\phi = \pi/3$,इसलिए $\tan(\pi/3) = \sqrt{3} = \frac{X_C}{R}$,जिससे $X_C = R\sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
जब $C$ को हटा दिया जाता है,तो परिपथ एक $R-L$ परिपथ बन जाता है। कलान्तर $\tan \phi = \frac{X_L}{R}$ है। दिया गया है कि $\phi = \pi/3$,इसलिए $\tan(\pi/3) = \sqrt{3} = \frac{X_L}{R}$,जिससे $X_L = R\sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $X_L = X_C$,मूल $R-L-C$ परिपथ अनुनाद (resonance) की स्थिति में है।
अनुनाद पर,प्रतिबाधा $Z = R$ होती है और कलान्तर $\phi = 0$ होता है।
अतः शक्ति गुणांक $\cos \phi = \cos(0) = 1$ है।

(D) कथन गलत है क्योंकि ओम का नियम $(V = IR)$ प्रतिबाधा $(Z)$ की अवधारणा का उपयोग करके $a.c.$ परिपथों पर लागू किया जा सकता है। $a.c.$ परिपथ के लिए, संबंध $V = IZ$ है, जहाँ $Z$ प्रतिबाधा है।
कारण भी गलत है क्योंकि संधारित्र द्वारा प्रदान किए गए अवरोध को धारितीय प्रतिघात $(X_C)$ कहा जाता है, प्रतिरोध नहीं। यद्यपि यह सत्य है कि $X_C = 1 / (2\pi fC)$ आवृत्ति पर निर्भर करता है, लेकिन इसे सामान्य परिपथ सिद्धांत के संदर्भ में 'प्रतिरोध' कहना तकनीकी रूप से गलत है, और पूरा कथन गलत दावे को सही नहीं ठहराता है।

(A) एक लाइन के माध्यम से प्रेषित शक्ति $P = VI$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $V$ वोल्टेज है और $I$ धारा है।
प्रतिरोध $R$ के कारण ट्रांसमिशन लाइन में शक्ति हानि $P_{\text{loss}} = I^2R$ द्वारा दी जाती है।
$I = \frac{P}{V}$ प्रतिस्थापित करने पर, हमें $P_{\text{loss}} = (\frac{P}{V})^2 R = \frac{P^2 R}{V^2}$ प्राप्त होता है।
इस व्यंजक से यह स्पष्ट है कि $P_{\text{loss}} \propto \frac{1}{V^2}$ है।
इसलिए, वोल्टेज $V$ को बढ़ाकर, शक्ति हानि $P_{\text{loss}}$ को काफी कम किया जा सकता है।
अतः, कथन और कारण दोनों सही हैं, और कारण, कथन की सही व्याख्या है।

(D) श्रेणी $LCR$ परिपथ में शिखर धारा $I_{\max} = \frac{\varepsilon_{\max}}{Z}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $Z = \sqrt{R^2 + (\omega L - \frac{1}{\omega C})^2}$ है।
शुद्ध प्रतिरोधक तत्व में,धारा आवृत्ति से स्वतंत्र होती है,लेकिन श्रेणी $LCR$ परिपथ में,प्रतिबाधा $Z$ कोणीय आवृत्ति $\omega$ पर निर्भर करती है।
जैसे-जैसे $\omega$ बढ़ता है,पद $(\omega L - \frac{1}{\omega C})^2$ बदलता है। विशेष रूप से,धारा $I_{\max}$ अनुनाद $(\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}})$ पर अपना अधिकतम मान प्राप्त करती है और अनुनाद से किसी भी दिशा में दूर जाने पर घटती है।
इसलिए,यह कथन कि धारा हमेशा कोणीय आवृत्ति में वृद्धि के साथ बढ़ती है,गलत है।
प्रदान किया गया कारण शिखर धारा के लिए एक सही सूत्र है,लेकिन यह गलत कथन का समर्थन नहीं करता है।
अतः,कथन गलत है और कारण सही है।

(N/A) हाँ, किरचॉफ के वोल्टेज नियम के अनुसार प्रयुक्त तात्कालिक वोल्टेज श्रेणीबद्ध तत्वों पर तात्कालिक वोल्टेज के बीजगणितीय योग के बराबर होता है। हालाँकि, $rms$ वोल्टेज के लिए यह सत्य नहीं है क्योंकि विभिन्न तत्वों पर वोल्टेज सामान्यतः समान कला (phase) में नहीं होते हैं।
$(b)$ इंडक्शन कॉइल के प्राथमिक परिपथ में कॉन्टैक्ट ब्रेकर पर स्पार्किंग को रोकने के लिए संधारित्र का उपयोग किया जाता है। जब परिपथ टूटता है, तो धारा में तीव्र परिवर्तन प्राथमिक कॉइल में उच्च बैक $emf$ प्रेरित करता है, जिससे संपर्कों पर स्पार्क हो सकता है। संधारित्र धारा के लिए एक मार्ग प्रदान करता है, ऊर्जा को अवशोषित करता है और स्पार्क को रोकता है।
$(c)$ $dc$ सिग्नल के लिए, आवृत्ति $0$ है। इंडक्टिव रिएक्टेंस $X_L = 2\pi fL = 0$ है, जबकि कैपेसिटिव रिएक्टेंस $X_C = 1/(2\pi fC) \to \infty$ है। अतः, $dc$ वोल्टेज $C$ पर गिरता है। उच्च आवृत्ति वाले $ac$ सिग्नल के लिए, $X_L$ बहुत बड़ा और $X_C$ बहुत छोटा होता है। अतः, $ac$ वोल्टेज $L$ पर गिरता है।
$(d)$ यदि $ac$ लाइन से जोड़ा जाए, तो लोहे की कोर डालने पर लैंप कम चमकेगा। लोहे की कोर चोक के इंडक्टेंस $L$ को बढ़ाती है, जिससे इंडक्टिव रिएक्टेंस $X_L = 2\pi fL$ बढ़ जाता है। यह परिपथ के कुल प्रतिबाधा (impedance) को बढ़ाता है, जिससे धारा कम हो जाती है और लैंप की चमक कम हो जाती है।
$(e)$ फ्लोरोसेंट ट्यूब परिपथ में धारा को सीमित करने के लिए चोक कॉइल का उपयोग किया जाता है क्योंकि इसमें उच्च रिएक्टेंस और कम प्रतिरोध होता है, जिससे महत्वपूर्ण शक्ति का अपव्यय नहीं होता है। एक सामान्य प्रतिरोधक गर्मी के रूप में शक्ति का अपव्यय $(I^2R)$ करेगा, जो अक्षम है।

(B) लंबी दूरी के पावर ट्रांसमिशन के लिए $D.C.$ वोल्टेज की तुलना में $A.C.$ वोल्टेज को प्राथमिकता देने का मुख्य कारण वोल्टेज रूपांतरण की आसानी है।
ट्रांसफार्मर का उपयोग करके,$A.C.$ वोल्टेज को ट्रांसमिशन के लिए बहुत उच्च मान तक आसानी से बढ़ाया जा सकता है,जिससे लाइनों से बहने वाली धारा $(I)$ काफी कम हो जाती है।
चूंकि ट्रांसमिशन लाइनों में पावर लॉस $P_{loss} = I^2R$ द्वारा दिया जाता है,इसलिए धारा को कम करने से ऊष्मा के कारण होने वाली ऊर्जा हानि ($I^2R$ लॉस) में भारी कमी आती है।
$D.C.$ वोल्टेज को साधारण ट्रांसफार्मर का उपयोग करके आसानी से बढ़ाया या घटाया नहीं जा सकता है,जो इसे लंबी दूरी के ट्रांसमिशन के लिए अक्षम बनाता है।

(A) $AC$ परिपथ में,वोल्टेज और धारा समय के साथ बदलने वाली राशियाँ हैं जिन्हें घूर्णन सदिशों (rotating vectors) के रूप में दर्शाया जा सकता है।
इन घूर्णन सदिशों को फेजर (phasors) के रूप में जाना जाता है।
फेजर आरेख एक ग्राफिकल निरूपण है जो $AC$ परिपथ में प्रत्यावर्ती धारा और वोल्टेज के बीच चरण संबंध को दर्शाता है।
यह वोल्टेज और धारा सदिशों के बीच के चरण अंतर $\phi$ को समझने में मदद करता है,जो प्रतिरोधक,प्रेरक और संधारित्र वाले $AC$ परिपथों के विश्लेषण के लिए आवश्यक है।

(A) प्रणोदित दोलनों से गुजरने वाली एक यांत्रिक प्रणाली में,अवकल समीकरण $m \frac{d^2x}{dt^2} + b \frac{dx}{dt} + kx = F_0 \sin(\omega t)$ द्वारा दिया जाता है।
$LCR$ श्रेणी परिपथ में,आवेश $q$ के लिए अवकल समीकरण $L \frac{d^2q}{dt^2} + R \frac{dq}{dt} + \frac{q}{C} = V_0 \sin(\omega t)$ है।
इन दोनों समीकरणों की तुलना करने पर,हम देख सकते हैं कि $LCR$ परिपथ में आवेश $q$,यांत्रिक प्रणाली में विस्थापन $x$ के अनुरूप है।
अतः,विस्थापन $x$ के अनुरूप भौतिक राशि आवेश $q$ है।

(A) $LCR$ श्रेणी परिपथ में,आवेश $q$ के लिए अवकल समीकरण $L \frac{d^2q}{dt^2} + R \frac{dq}{dt} + \frac{q}{C} = E(t)$ द्वारा दिया जाता है।
इसकी तुलना प्रणोदित यांत्रिक दोलक के समीकरण $m \frac{d^2x}{dt^2} + b \frac{dx}{dt} + kx = F(t)$ से करने पर,हम अनुरूप राशियों की पहचान कर सकते हैं।
विस्थापन $x$ के द्वितीय अवकलज वाला पद $m \frac{d^2x}{dt^2}$ है,जो विद्युत परिपथ में $L \frac{d^2q}{dt^2}$ के अनुरूप है।
अतः,द्रव्यमान $m$ के अनुरूप भौतिक राशि स्व-प्रेरकत्व $L$ है।

(A) प्रणोदित दोलनों से गुजरने वाले एक यांत्रिक निकाय में,गति का समीकरण $m \frac{d^2x}{dt^2} + b \frac{dx}{dt} + kx = F_0 \cos(\omega t)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $b$ अवमंदन नियतांक है।
$LCR$ श्रेणी परिपथ में,आवेश $q$ के लिए अवकल समीकरण $L \frac{d^2q}{dt^2} + R \frac{dq}{dt} + \frac{q}{C} = V_0 \cos(\omega t)$ है।
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर,हम देखते हैं कि चर के प्रथम अवकलज (यांत्रिकी में वेग $\frac{dx}{dt}$ और परिपथ में धारा $I = \frac{dq}{dt}$) से जुड़ा पद ऊर्जा क्षय करने वाले घटक को दर्शाता है।
इसलिए,$LCR$ परिपथ में प्रतिरोध $R$,प्रणोदित दोलनों में अवमंदन नियतांक $b$ के अनुरूप है।

(A) दिया है: शक्ति $P = 2 \, kW = 2000 \, W$,$V_{rms} = 223 \, V$,$\tan \phi = -\frac{3}{4}$.
चूंकि धारा पीछे है,परिपथ प्रेरक (inductive) है,जिसका अर्थ है $X_L > X_C$। अतः,$\tan \phi = \frac{X_L - X_C}{R} = \frac{3}{4}$.
$Z = \frac{V^2}{P} = \frac{223^2}{2000} = \frac{50000}{2000} = 25 \, \Omega$.
$Z^2 = R^2 + (X_L - X_C)^2$ का उपयोग करने पर,$25^2 = R^2 + (\frac{3}{4}R)^2 = R^2 + \frac{9}{16}R^2 = \frac{25}{16}R^2$.
$625 = \frac{25}{16}R^2 \Rightarrow R^2 = 400 \Rightarrow R = 20 \, \Omega$.
$X_L - X_C = \frac{3}{4} \times 20 = 15 \, \Omega$. अतः,$X_C - X_L = -15 \, \Omega$.
$I_M = \frac{V_m}{Z} = \frac{\sqrt{2} \times 223}{25} \approx 12.6 \, A$.
यदि $R, X_L, X_C$ को दोगुना किया जाता है,तो $Z' = \sqrt{(2R)^2 + (2(X_L - X_C))^2} = 2Z = 50 \, \Omega$.
$I' = \frac{V}{Z'} = \frac{I}{2} = 6.3 \, A$. शक्ति $P' = V I' \cos \phi = \frac{P}{2} = 1 \, kW$.