Only Inductor, Only Capacitor and Only Resistor Circuit Questions in Hindi

(B) $AC$ परिपथ में एक प्रतिरोधक में व्यय होने वाली शक्ति का सूत्र है: $P = \frac{V_{rms}^2}{R}$।
दिया गया है:
$V_{rms} = 30 \ V$
$R = 10 \ \Omega$
सूत्र में मान रखने पर:
$P = \frac{(30)^2}{10} = \frac{900}{10} = 90 \ W$।
अतः,व्यय होने वाली शक्ति $90 \ W$ है।

(A) एक चोक कॉइल को उच्च प्रेरकत्व और कम प्रतिरोध रखने के लिए डिज़ाइन किया जाता है।
चूंकि एक प्रेरक (inductor) एक आदर्श गैर-प्रतिरोधक उपकरण है,इसलिए यह एक प्रतिरोधक की तरह ऊष्मा के रूप में शक्ति का उपभोग नहीं करता है।
उच्च प्रेरकत्व $(L)$ और बहुत कम प्रतिरोध $(R)$ वाली कॉइल का उपयोग करके,हम शक्ति हानि $(P = I^2 R)$ को कम करते हुए $AC$ सर्किट में धारा को नियंत्रित कर सकते हैं।
इसलिए,सही विकल्प $A$ है।

(A) चोक कॉइल उच्च प्रेरकत्व (inductance) और नगण्य प्रतिरोध वाली एक कुंडली है। इसका उपयोग $AC$ परिपथों में धारा को नियंत्रित करने के लिए किया जाता है।
$AC$ परिपथ में,प्रेरणिक प्रतिघात (inductive reactance) $X_L = \omega L = 2\pi f L$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि $f > 0$ होता है,इसलिए चोक कॉइल धारा के मार्ग में महत्वपूर्ण प्रतिबाधा उत्पन्न करती है।
$DC$ परिपथ में,आवृत्ति $f = 0$ होती है,इसलिए प्रेरणिक प्रतिघात $X_L = 0$ हो जाता है। कॉइल नगण्य प्रतिरोध वाले एक साधारण तार की तरह कार्य करती है,जिससे यह धारा को प्रभावी ढंग से नियंत्रित नहीं कर पाती है।

(B) एक शुद्ध संधारित्र परिपथ के लिए,लगाया गया प्रत्यावर्ती e.m.f. $e = e_0 \sin(\omega t)$ द्वारा दिया जाता है।
एक संधारित्र में,धारा $i$,वोल्टेज $e$ से $\pi / 2$ के कला कोण (phase angle) से आगे होती है।
इसलिए,धारा के लिए व्यंजक $i = i_0 \sin(\omega t + \pi / 2)$ है।
यह दर्शाता है कि धारा e.m.f. से $\pi / 2$ आगे है।

(C) एक शुद्ध प्रतिरोधक $AC$ परिपथ में, वोल्टेज $V$ और धारा $I$ को $V = V_m \sin(\omega t)$ और $I = I_m \sin(\omega t)$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि दोनों के लिए कला कोण $\omega t$ है, इसलिए उनके बीच कोई कला अंतर नहीं है।
अतः, धारा और वोल्टेज समान कला में हैं।

(D) एक शुद्ध प्रेरक परिपथ में,धारा वोल्टेज से $90^{\circ}$ के कला कोण से पीछे रहती है।
$AC$ परिपथ में व्यय होने वाली औसत शक्ति का सूत्र $P_{\text{avg}} = V_{\text{rms}} I_{\text{rms}} \cos \phi$ है,जहाँ $\phi$ वोल्टेज और धारा के बीच का कलांतर है।
एक शुद्ध प्रेरक के लिए,कलांतर $\phi = 90^{\circ}$ होता है।
चूंकि $\cos 90^{\circ} = 0$ होता है,इसलिए व्यय होने वाली औसत शक्ति $P_{\text{avg}} = V_{\text{rms}} I_{\text{rms}} \cos 90^{\circ} = 0$ होगी।
अतः,एक शुद्ध प्रेरक में कोई शक्ति व्यय नहीं होती है।

(A) एक शुद्ध प्रेरक (pure inductor) परिपथ में,प्रतिरोध $R = 0$ होता है।
एक प्रेरक के लिए,वोल्टेज $V$,धारा $I$ से $\phi = 90^o$ या $\pi/2$ रेडियन के कला कोण (phase angle) से आगे रहता है।
अतः,प्रयुक्त $ac$ वोल्टेज का $e.m.f.$ धारा से $90^o$ आगे रहता है।

(B) एक शुद्ध प्रेरक परिपथ में,प्रेरक के सिरों पर वोल्टेज $V$,धारा $I$ से $90^{\circ}$ (या $\frac{\pi}{2}$ रेडियन) के कला कोण से आगे होता है।
इसके विपरीत,इसका अर्थ यह है कि धारा $I$,विद्युत वाहक बल (e.m.f.) से $90^{\circ}$ पीछे रहती है।
गणितीय रूप से,यदि $V = V_m \sin(\omega t)$ है,तो $I = I_m \sin(\omega t - 90^{\circ})$ होगा।
अतः,धारा e.m.f. से $90^{\circ}$ पीछे रहती है।

(B) दिया गया प्रत्यावर्ती वोल्टेज $E = 200\sqrt{2} \sin(100t)$ है।
इसे मानक समीकरण $E = E_0 \sin(\omega t)$ से तुलना करने पर,हमें शिखर वोल्टेज $E_0 = 200\sqrt{2} \text{ V}$ और कोणीय आवृत्ति $\omega = 100 \text{ rad/s}$ प्राप्त होती है।
धारिता $C = 1 \mu F = 1 \times 10^{-6} \text{ F}$ है।
धारितीय प्रतिघात $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{100 \times 10^{-6}} = 10^4 \Omega$ है।
$RMS$ वोल्टेज $V_{rms} = \frac{E_0}{\sqrt{2}} = \frac{200\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 200 \text{ V}$ है।
$AC$ एमीटर का पाठ्यांक $RMS$ धारा $I_{rms}$ को दर्शाता है,अतः $I_{rms} = \frac{V_{rms}}{X_C} = \frac{200}{10^4} = 2 \times 10^{-2} \text{ A}$ है।
इसे मिलीएम्पियर में बदलने पर,$I_{rms} = 2 \times 10^{-2} \times 10^3 \text{ mA} = 20 \text{ mA}$ प्राप्त होता है।

(D) $AC$ परिपथ में औसत शक्ति क्षय का सूत्र $P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$ है,जहाँ $\phi$ वोल्टेज और धारा के बीच का कलांतर (phase difference) है।
शुद्ध संधारित्र परिपथ में,धारा वोल्टेज से $\phi = 90^\circ$ (या $\pi/2$ रेडियन) के कोण से आगे होती है।
शक्ति गुणांक (power factor) $\cos \phi = \cos 90^\circ = 0$ होता है।
इस मान को शक्ति के सूत्र में रखने पर,हमें $P = V_{rms} I_{rms} \times 0 = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,एक शुद्ध संधारित्र में औसत शक्ति क्षय शून्य होता है।

(C) प्रेरक का प्रेरणिक प्रतिघात (inductive reactance) $X_L$ सूत्र $X_L = 2\pi f L$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है: $V = 120 \, V$,$f = 60 \, Hz$,और $L = 0.70 \, H$।
मान रखने पर: $X_L = 2 \times 3.1416 \times 60 \times 0.70 \approx 263.89 \, \Omega$।
प्रेरक से प्रवाहित होने वाली धारा $I$ का मान $I = \frac{V}{X_L}$ द्वारा प्राप्त होता है।
$I = \frac{120}{263.89} \approx 0.455 \, A$।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) प्रेरकीय प्रतिघात $X_L$ का सूत्र $X_L = 2\pi \nu L$ है।
दिया गया है: $X_L = 100\, \Omega$ और आवृत्ति $\nu = 50\, Hz$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$100 = 2 \times \pi \times 50 \times L$
$100 = 100 \times \pi \times L$
$L = \frac{1}{\pi} = \frac{1}{3.14} \approx 0.318\, H$ है।
दशमलव के दो स्थानों तक पूर्णांकित करने पर, हमें $L \approx 0.32\, H$ प्राप्त होता है।

(A) धारितीय प्रतिघात $X_C$ का सूत्र $X_C = \frac{1}{2\pi \nu C}$ है।
दिए गए मान आवृत्ति $\nu = 4000\, Hz$ और धारिता $C = 25\,\mu F = 25 \times 10^{-6}\, F$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$X_C = \frac{1}{2 \times \pi \times 4000 \times 25 \times 10^{-6}}$
$X_C = \frac{1}{2 \times \pi \times 10^5 \times 10^{-6}}$
$X_C = \frac{1}{2 \times \pi \times 10^{-1}}$
$X_C = \frac{1}{0.2 \times \pi} = \frac{10}{2\pi} = \frac{5}{\pi}\,\Omega$.

(A) $AC$ परिपथ में, शक्ति क्षय का सूत्र $P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$ है, जहाँ $\phi$ वोल्टेज और धारा के बीच का कला कोण (phase angle) है।
शुद्ध प्रेरक परिपथ के लिए, वोल्टेज और धारा के बीच कलांतर $\phi = 90^\circ$ होता है।
शक्ति गुणांक $\cos 90^\circ = 0$ होता है।
चूंकि कुंडली अतिचालक पदार्थ से बनी है, इसलिए इसका प्रतिरोध $R = 0$ है।
अतः, कुंडली में व्यय होने वाली शक्ति $P = I^2 R = I^2 \times 0 = 0$ है।

(B) एक शुद्ध प्रतिरोधक $ac$ परिपथ में,वोल्टेज $v = V_m \sin(\omega t)$ और धारा $i = I_m \sin(\omega t)$ ओम के नियम द्वारा दी जाती है,जहाँ $I_m = V_m / R$ है।
चूंकि वोल्टेज और धारा दोनों के लिए कला कोण $\omega t$ है,इसलिए उनके बीच का कला अंतर शून्य है।
अतः,धारा $e.m.f.$ के साथ समान कला में होती है।

(A) दिया गया है: प्रेरकत्व $L = 1 \, H$,वोल्टेज $V = 200 \, V$,आवृत्ति $f = 50 \, Hz$।
प्रेरकीय प्रतिघात $X_L = \omega L = 2 \pi f L$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $X_L = 2 \times 3.1416 \times 50 \times 1 = 314.16 \, \Omega$।
धारा $i$ का मान $i = \frac{V}{X_L}$ है।
$i = \frac{200}{314.16} \approx 0.637 \, A$।

(D) प्रेरकीय प्रतिघात $X_L$ का सूत्र है: $X_L = 2 \pi \nu L$, जहाँ $\nu$ आवृत्ति है और $L$ प्रेरकत्व है。
दिया गया है: $X_L = 50 \, \Omega$ और $\nu = 50 \, Hz$。
$L$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $L = \frac{X_L}{2 \pi \nu}$。
मान रखने पर: $L = \frac{50}{2 \times 3.14 \times 50} = \frac{1}{2 \times 3.14} = \frac{1}{6.28} \approx 0.159 \, H$。
दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर, हमें $L \approx 0.16 \, H$ प्राप्त होता है。

(B) एक संधारित्र का धारितीय प्रतिघात (capacitive reactance) इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: ${X_C} = \frac{1}{{2\pi \nu C}}$.
इस संबंध से यह स्पष्ट है कि ${X_C} \propto \frac{1}{\nu }$.
जैसे-जैसे आवृत्ति $\nu$ बढ़ती है,धारितीय प्रतिघात ${X_C}$ घटता जाता है।
इसलिए,उच्च आवृत्ति के लिए,एक संधारित्र कम प्रतिघात प्रदान करता है।

(B) सही उत्तर $(b)$ है।
$AC$ परिपथ में,चोक कुंडली अनिवार्य रूप से उच्च प्रेरकत्व और नगण्य प्रतिरोध वाला एक प्रेरक है।
इसका उपयोग विद्युत ऊर्जा के महत्वपूर्ण नुकसान के बिना परिपथ में धारा को सीमित करने या घटाने के लिए किया जाता है।
एक प्रतिरोधक के विपरीत,जो ऊर्जा को ऊष्मा ($I^2R$ हानि) के रूप में नष्ट करता है,एक आदर्श चोक कुंडली कोई शक्ति व्यय नहीं करती है क्योंकि वोल्टेज और धारा के बीच कलांतर $90^{\circ}$ होता है,जिसके परिणामस्वरूप शक्ति गुणांक $\cos(90^{\circ}) = 0$ होता है।

(C) प्रेरणिक प्रतिघात का सूत्र $X_L = 2\pi \nu L$ होता है।
यहाँ,प्रेरकत्व $L = \frac{1}{\pi } \, H$ और आवृत्ति $\nu = 50 \, Hz$ दी गई है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$X_L = 2 \times \pi \times 50 \times \frac{1}{\pi }$.
$X_L = 2 \times 50 = 100 \, \Omega$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) धारितीय प्रतिघात $X_C$ का सूत्र है: $X_C = \frac{1}{2\pi \nu C}$.
दिया गया है: $X_C = 25 \ \Omega$,$\nu = \frac{400}{\pi} \ Hz$.
$C$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $C = \frac{1}{2\pi \nu X_C}$.
मान रखने पर: $C = \frac{1}{2 \times \pi \times (\frac{400}{\pi}) \times 25}$.
$C = \frac{1}{2 \times 400 \times 25} = \frac{1}{20000} \ F$.
$\mu F$ में बदलने पर: $C = \frac{1}{20000} \times 10^6 \ \mu F = \frac{100}{2} \ \mu F = 50 \ \mu F$.

(C) प्रेरक प्रतिघात (inductive reactance) $X_L$ का मान $X_L = 2\pi fL$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $f = 60\,Hz$ और $L = 0.7\,H$ दिया गया है,अतः:
$X_L = 2 \times 3.1416 \times 60 \times 0.7 = 263.89\,\Omega$.
प्रेरक में धारा $I$ का मान $I = \frac{V}{X_L}$ द्वारा ज्ञात किया जाता है।
मान रखने पर: $I = \frac{120}{263.89} \approx 0.455\,A$.

(A) शुद्ध संधारित्र वाले $AC$ परिपथ में,संधारित्र पर वोल्टेज $V = V_m \sin(\omega t)$ द्वारा दिया जाता है।
परिपथ में धारा $I = C \frac{dV}{dt} = C \frac{d}{dt}(V_m \sin(\omega t)) = \omega C V_m \cos(\omega t)$ द्वारा प्राप्त होती है।
इसे $I = I_m \sin(\omega t + \frac{\pi}{2})$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ $I_m = \omega C V_m$ है।
कलाओं की तुलना करने पर,धारा विभवांतर से $\frac{\pi}{2}$ रेडियन (या $90^{\circ}$) के कला कोण से आगे (Forward) होती है।

(B) $ac$ आपूर्ति से जुड़े $LCR$ परिपथ में,प्रतिरोधक $(R)$ ही एकमात्र ऐसा घटक है जो ऊष्मा के रूप में ऊर्जा का क्षय करता है,जिसे सूत्र $E = i^2 Rt$ द्वारा दर्शाया जाता है।
प्रेरक $(L)$ और संधारित्र $(C)$ ऊर्जा का क्षय नहीं करते हैं; इसके बजाय,वे क्रमशः चुंबकीय क्षेत्र और विद्युत क्षेत्र के रूप में ऊर्जा का भंडारण करते हैं और इसे परिपथ में वापस लौटा देते हैं।

(D) शुद्ध प्रेरक परिपथ में $e.m.f.$ $(E)$ और धारा $(i)$ के तात्क्षणिक मान $E = E_0 \sin(\omega t)$ और $i = i_0 \sin(\omega t - \frac{\pi}{2})$ द्वारा दिए जाते हैं।
तात्क्षणिक शक्ति $P_{inst}$,$E$ और $i$ का गुणनफल है:
$P_{inst} = E \cdot i = E_0 \sin(\omega t) \cdot i_0 \sin(\omega t - \frac{\pi}{2})$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin(\omega t - \frac{\pi}{2}) = -\cos(\omega t)$ का उपयोग करते हुए:
$P_{inst} = E_0 i_0 \sin(\omega t) \cdot (-\cos(\omega t))$
$P_{inst} = -E_0 i_0 \sin(\omega t) \cos(\omega t)$
डबल एंगल सर्वसमिका $\sin(2\theta) = 2 \sin \theta \cos \theta$ का उपयोग करते हुए:
$P_{inst} = -\frac{1}{2} E_0 i_0 \sin(2\omega t)$
अतः,तात्क्षणिक शक्ति की कोणीय आवृत्ति साइन फलन के अंदर $t$ का गुणांक है,जो $2\omega$ है।

(B) एक संधारित्र परिपथ के लिए,धारिता प्रतिघात $X_C = \frac{1}{\omega C}$ द्वारा दिया जाता है।
परिपथ में धारा $I$,$I = \frac{V}{X_C}$ द्वारा दी जाती है।
$X_C$ का व्यंजक रखने पर,हमें $I = \frac{V}{1/(\omega C)} = V \omega C$ प्राप्त होता है।
चूंकि वोल्टेज $V$ और धारिता $C$ स्थिर हैं,इसलिए धारा $I$ कोणीय आवृत्ति $\omega$ के सीधे समानुपाती है $(I \propto \omega)$।
यह मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा को दर्शाता है। इसलिए,विकल्प $B$ में दिया गया ग्राफ आवृत्ति के साथ धारा के परिवर्तन को सही ढंग से दर्शाता है।

(C) एक शुद्ध प्रेरक परिपथ में,वोल्टेज $V$ धारा $i$ से $90^o$ (या $\pi/2$ रेडियन) के कला कोण (phase angle) से आगे होता है।
यदि वोल्टेज को $V = V_m \sin(\omega t + \phi)$ के रूप में दर्शाया जाता है,तो धारा को $i = I_m \sin(\omega t + \phi - 90^o) = -I_m \cos(\omega t + \phi)$ के रूप में दर्शाया जाता है।
दिए गए वोल्टेज ग्राफ को देखने पर,$t = 0$ पर वोल्टेज अपने अधिकतम मान पर है। यह कोसाइन फलन $V = V_m \cos(\omega t)$ के अनुरूप है।
इसलिए,धारा $i = I_m \sin(\omega t - 90^o) = -I_m \cos(\omega t)$ होनी चाहिए।
$t = 0$ पर,$i = -I_m$,जिसका अर्थ है कि धारा का ग्राफ ऋणात्मक शिखर (negative peak) से शुरू होना चाहिए। दिए गए विकल्पों में से,जो ग्राफ ऋणात्मक कोसाइन तरंग को दर्शाता है,वह विकल्प $C$ है।

(C) एक प्रेरक का प्रेरणिक प्रतिघात $X_L$ सूत्र द्वारा दिया जाता है: $X_L = 2\pi fL$, जहाँ $f$ आवृत्ति है और $L$ प्रेरकत्व है।
दोनों पक्षों का व्युत्क्रम लेने पर, हमें प्राप्त होता है: $\frac{1}{X_L} = \frac{1}{2\pi fL}$।
इसे इस प्रकार फिर से लिखा जा सकता है: $\frac{1}{X_L} = \left( \frac{1}{2\pi L} \right) \cdot \frac{1}{f}$।
मान लीजिए $y = \frac{1}{X_L}$ और $x = f$ है। तो समीकरण $y = \frac{k}{x}$ बन जाता है, जहाँ $k = \frac{1}{2\pi L}$ एक स्थिरांक है।
यह एक आयताकार अतिपरवलय का समीकरण है। इसलिए, $\frac{1}{X_L}$ और $f$ के बीच का ग्राफ एक आयताकार अतिपरवलय है।

(C) कैपेसिटिव रिएक्टेंस $X_C = \frac{1}{2\pi f C}$ द्वारा दिया जाता है,जिसका अर्थ है कि $X_C \propto \frac{1}{f}$। यह एक आयताकार हाइपरबोला को दर्शाता है,जो $X_1$ के ग्राफ से मेल खाता है।
इंडक्टिव रिएक्टेंस $X_L = 2\pi f L$ द्वारा दिया जाता है,जिसका अर्थ है कि $X_L \propto f$। यह मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा को दर्शाता है,जो $X_2$ के ग्राफ से मेल खाता है।
इसलिए,$X_1$ एक कैपेसिटर है और $X_2$ एक इंडक्टर है।

(B) धारिता प्रतिघात $X_C$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2\pi fC}$
यह दर्शाता है कि $X_C$ आवृत्ति $f$ के व्युत्क्रमानुपाती है,अर्थात $X_C \propto \frac{1}{f}$.
जैसे-जैसे आवृत्ति $f$ बढ़ती है,धारिता प्रतिघात $X_C$ अतिपरवलयिक (hyperbolically) रूप से घटता है।
इसलिए,इस संबंध को दर्शाने वाला वक्र एक आयताकार अतिपरवलय है,जो ग्राफ $B$ के अनुरूप है।

(D) प्रेरक के सिरों पर वोल्टेज $E = E_0 \sin(\omega t)$ है।
शुद्ध प्रेरक में,धारा वोल्टेज से $\pi/2$ पीछे रहती है,इसलिए $i = i_0 \sin(\omega t - \pi/2) = -i_0 \cos(\omega t)$.
तात्कालिक शक्ति $P$ का मान $P = E \cdot i$ होता है।
$P = (E_0 \sin(\omega t)) \cdot (-i_0 \cos(\omega t))$.
$P = -E_0 i_0 \sin(\omega t) \cos(\omega t)$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin(2\theta) = 2 \sin(\theta) \cos(\theta)$ का उपयोग करने पर:
$P = -\frac{E_0 i_0}{2} \sin(2\omega t)$.
तात्कालिक शक्ति की कोणीय आवृत्ति $2\omega$ है,अतः शक्ति की आवृत्ति $2\omega$ होगी।

(B) दिया गया है,प्रत्यावर्ती वोल्टेज $e = 200 \sqrt{2} \sin(100 t) \; V$ है।
इस समीकरण की तुलना मानक समीकरण $e = E_0 \sin(\omega t)$ से करने पर,हमें शिखर वोल्टेज $E_0 = 200 \sqrt{2} \; V$ और कोणीय आवृत्ति $\omega = 100 \; rad/s$ प्राप्त होती है।
$rms$ वोल्टेज $E_{\text{rms}} = \frac{E_0}{\sqrt{2}} = \frac{200 \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 200 \; V$ है।
धारिता $C = 1 \; \mu F = 1 \times 10^{-6} \; F$ है।
धारितीय प्रतिघात $X_C$ का सूत्र $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{100 \times 10^{-6}} = \frac{1}{10^{-4}} = 10^4 \; \Omega$ है।
$rms$ धारा $I_{\text{rms}} = \frac{E_{\text{rms}}}{X_C} = \frac{200}{10^4} = 2 \times 10^{-2} \; A$ है।
इसे मिलीएम्पियर $(mA)$ में बदलने पर,$I_{\text{rms}} = 2 \times 10^{-2} \times 10^3 \; mA = 20 \; mA$ प्राप्त होता है।

(A) जब एक आदर्श संधारित्र को $AC$ वोल्टेज स्रोत से जोड़ा जाता है,तो धारा $I(t)$ वोल्टेज $V(t)$ से $90^\circ$ के कलांतर से आगे होती है।
चूंकि चार्जिंग के दौरान संधारित्र में संचित ऊर्जा डिस्चार्जिंग के दौरान सर्किट में वापस आ जाती है,इसलिए एक पूर्ण चक्र में आदर्श संधारित्र द्वारा उपभोग की गई शुद्ध ऊर्जा शून्य होती है।
अतः,कथन $A$ सही है।

(A) दिया गया है: $f = 50\, Hz$,$C = 100\, \mu F = 10^{-4}\, F$,$I_m = 1.57\, A$.
कोणीय आवृत्ति $\omega = 2\pi f = 2 \times \pi \times 50 = 100\pi\, rad/s$.
धारितीय प्रतिघात $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{100\pi \times 10^{-4}} = \frac{100}{\pi} \approx \frac{100}{3.14} \approx 31.85\, \Omega$.
शिखर वोल्टेज $E_m = I_m \times X_C = 1.57 \times 31.85 \approx 50\, V$.
शुद्ध धारितीय परिपथ में,वोल्टेज धारा से $\pi / 2$ रेडियन पीछे रहता है। यदि धारा $I = I_m \sin(\omega t)$ है,तो वोल्टेज $E = E_m \sin(\omega t - \pi / 2)$ होगा।
मान रखने पर: $E = 50\, \sin(100\pi t - \pi / 2)$.

(D) धारितीय प्रतिघात $X$ का सूत्र $X = \frac{1}{2 \pi f C}$ है,जहाँ $f$ आवृत्ति है और $C$ धारिता है।
दिया गया है कि नई धारिता $C^{\prime} = 2C$ और नई आवृत्ति $f^{\prime} = 2f$ है।
नया प्रतिघात $X^{\prime}$ की गणना इस प्रकार की जाती है:
$X^{\prime} = \frac{1}{2 \pi f^{\prime} C^{\prime}} = \frac{1}{2 \pi (2f) (2C)} = \frac{1}{4 (2 \pi f C)}$.
चूँकि $X = \frac{1}{2 \pi f C}$,इसलिए हम इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$X^{\prime} = \frac{X}{4}$.

(D) प्रेरक प्रतिघात (inductive reactance) $X_L = \omega L = 2\pi f L$ द्वारा दिया जाता है।
$f_1 = 50\,Hz$ और $L = 2\,H$ के लिए,प्रतिघात $X_{L1} = 2\pi \times 50 \times 2 = 200\pi\,\Omega$ है।
प्रारंभिक धारा $I = V / X_{L1} = V / (200\pi)$ है।
जब आवृत्ति को बदलकर $f_2 = 400\,Hz$ कर दिया जाता है,तो नया प्रेरक प्रतिघात $X_{L2} = 2\pi \times 400 \times 2 = 1600\pi\,\Omega$ होता है।
नई धारा $I'$ का मान $I' = V / X_{L2} = V / (1600\pi)$ है।
दोनों धाराओं की तुलना करने पर: $I' = (V / 200\pi) / 8 = I / 8$ प्राप्त होता है।
शुद्ध प्रेरक परिपथ में,धारा वोल्टेज से $90^o$ पीछे रहती है।

(B) दिया गया वोल्टेज $V = V_{0} \sin(\omega t)$ है,जहाँ $V_{0} = 300\sqrt{2} \text{ V}$ और $\omega = 100 \text{ rad/s}$ है।
धारितीय प्रतिघात (capacitive reactance) $X_{C} = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{100 \times 1 \times 10^{-6}} = \frac{1}{10^{-4}} = 10^{4} \ \Omega$ है।
शिखर धारा (peak current) $i_{0} = \frac{V_{0}}{X_{C}} = \frac{300\sqrt{2}}{10^{4}} = 300\sqrt{2} \times 10^{-4} \text{ A} = 30\sqrt{2} \times 10^{-3} \text{ A} = 30\sqrt{2} \text{ mA}$ है।
$AC$ एमीटर धारा का $rms$ मान मापता है।
$i_{rms} = \frac{i_{0}}{\sqrt{2}} = \frac{30\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 30 \text{ mA}$.

(D) एक शुद्ध प्रेरक में,धारा वोल्टेज से $\pi/2$ या $90^\circ$ के कला कोण (phase angle) से पीछे रहती है।
यदि वोल्टेज को $V = V_m \cos(\omega t)$ के रूप में दर्शाया जाता है,तो धारा $i = I_m \cos(\omega t - \pi/2) = I_m \sin(\omega t)$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया वोल्टेज ग्राफ एक कोसाइन तरंग है जो $t = 0$ पर अपने अधिकतम मान से शुरू होती है।
चूंकि धारा वोल्टेज से $90^\circ$ पीछे है,इसलिए धारा का ग्राफ एक साइन तरंग होनी चाहिए जो $t = 0$ पर शून्य से शुरू हो और धनात्मक दिशा में बढ़े।
इसकी तुलना दिए गए विकल्पों से करने पर,जो ग्राफ $t = 0$ पर शून्य से शुरू होने वाली साइन तरंग को दर्शाता है,वह विकल्प $D$ है।

(B) एक शुद्ध प्रेरक परिपथ में,प्रेरक के सिरों पर वोल्टेज उसमें बहने वाली धारा से $\frac{\pi}{2}$ रेडियन (या $90^{\circ}$) के कला कोण (phase angle) से आगे रहता है।
ऐसा इसलिए होता है क्योंकि प्रेरक में उत्पन्न प्रेरित विद्युत वाहक बल $(EMF)$ धारा के परिवर्तन का विरोध करता है,जिसके कारण वोल्टेज धारा से पहले अपने अधिकतम मान तक पहुँच जाता है।

(C) एक शुद्ध प्रेरक के लिए,धारा $i$,वोल्टेज $V$ से $\pi / 2$ के कला कोण (phase angle) से पीछे रहती है।
यदि वोल्टेज को $V = V_m \sin(\omega t)$ के रूप में दर्शाया जाता है,तो धारा $i = I_m \sin(\omega t - \pi / 2) = -I_m \cos(\omega t)$ होगी।
दिए गए आरेख में,वोल्टेज $V$ को $0$ से शुरू होने वाली और बढ़ती हुई साइन तरंग के रूप में दिखाया गया है।
इसलिए,धारा $i$ को एक ऋणात्मक कोसाइन तरंग होना चाहिए,जो $t = 0$ पर ऋणात्मक अधिकतम मान से शुरू होती है और $t = \pi / (2\omega)$ पर $0$ तक बढ़ती है।
यह विकल्प $C$ में दिखाए गए ग्राफ के अनुरूप है।

(B) एक शुद्ध प्रेरक परिपथ में,धारा हमेशा विद्युत वाहक बल (emf) से $\frac{\pi}{2}$ के कला कोण से पीछे रहती है।
दिए गए वोल्टेज $V(t) = V_0 \sin(\omega t)$ के लिए,धारा $I(t) = I_0 \sin(\omega t - \frac{\pi}{2})$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$V_0 = 100 \, V$ और $\omega = 500 \, rad/s$ है।
शिखर धारा $I_0$ की गणना इस प्रकार की जाती है: $I_0 = \frac{V_0}{\omega L} = \frac{100}{500 \times 0.02} = \frac{100}{10} = 10 \, A$.
धारा के समीकरण में मान रखने पर:
$I(t) = 10 \sin(500t - \frac{\pi}{2})$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin(\theta - \frac{\pi}{2}) = -\cos(\theta)$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I(t) = -10 \cos(500t)$.

(B) दिया गया प्रत्यावर्ती वोल्टेज $v(t) = 220 \sin(100 \pi t)$ है।
चूंकि लोड शुद्ध प्रतिरोधक है,धारा $i(t)$ वोल्टेज के साथ समान कला में है,जिसे $i(t) = I_0 \sin(100 \pi t)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I_0$ शिखर धारा है।
धारा शून्य से अपने शिखर मान के आधे तक बढ़ती है,इसलिए $i(t) = \frac{I_0}{2}$.
इस मान को समीकरण में रखने पर: $\frac{I_0}{2} = I_0 \sin(100 \pi t) \implies \sin(100 \pi t) = \frac{1}{2}$.
इसका अर्थ है $100 \pi t = \frac{\pi}{6}$ (क्योंकि $\sin(30^\circ) = 0.5$).
$t$ के लिए हल करने पर: $t = \frac{\pi}{6 \times 100 \pi} = \frac{1}{600} \text{ s}$.
मिलीसेकंड में बदलने पर: $t = \frac{1000}{600} \text{ ms} = 1.67 \text{ ms}$.
दिए गए विकल्पों और चित्र के आधार पर,यदि प्रश्न आधे शिखर मान से शिखर मान तक पहुँचने का समय पूछता है,तो $t = \frac{\pi/2 - \pi/6}{100 \pi} = \frac{\pi/3}{100 \pi} = 3.33 \text{ ms}$ प्राप्त होता है। अतः सही विकल्प $3.3 \text{ ms}$ है।

(B) चोक कॉइल एक प्रेरक (inductor) है जिसका उपयोग $AC$ परिपथ में शक्ति के महत्वपूर्ण नुकसान के बिना धारा को नियंत्रित करने के लिए किया जाता है। $AC$ परिपथ में व्ययित शक्ति $P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ शक्ति गुणांक है। एक आदर्श चोक कॉइल के लिए,प्रेरणिक प्रतिघात $X_L$ की तुलना में प्रतिरोध $R$ यथासंभव कम होना चाहिए। इसलिए,एक कुशल चोक कॉइल के लिए,$X_L >> R$ होता है।

(C) एक शुद्ध प्रतिरोधक $AC$ परिपथ में, वोल्टेज $V = V_m \sin(\omega t)$ और धारा $I = I_m \sin(\omega t)$ समान कला में होते हैं।
इसका अर्थ है कि वोल्टेज और धारा के बीच कलांतर शून्य होता है।
इसलिए, धारा और वोल्टेज एक ही समय पर अपने अधिकतम और न्यूनतम मान तक पहुँचते हैं।

(B) प्रेरक से प्रवाहित धारा $I = I_0 \sin(\omega t)$ है।
प्रेरक के सिरों पर वोल्टेज $V_L = L \frac{dI}{dt}$ द्वारा दिया जाता है।
$I$ का मान रखने पर:
$V_L = L \frac{d}{dt} (I_0 \sin(\omega t))$
$V_L = L I_0 \omega \cos(\omega t)$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos(\theta) = \sin(\theta + \pi/2)$ का उपयोग करने पर:
$V_L = I_0 \omega L \sin(\omega t + \pi/2)$.
अतः,वोल्टेज धारा से $\pi/2$ कला (phase) में आगे है।

(C) लागू वोल्टेज $V_c$ का आयाम $A.C.$ स्रोत की आवृत्ति से स्वतंत्र है,इसलिए यह समान रहता है।
कैपेसिटिव रिएक्टेंस $X_c = \frac{1}{2\pi f C}$ द्वारा दिया जाता है।
जैसे-जैसे आवृत्ति $f$ घटती है,कैपेसिटिव रिएक्टेंस $X_c$ बढ़ता है।
धारा का आयाम $I_c = \frac{V_c}{X_c}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $V_c$ स्थिर है और $X_c$ बढ़ता है,इसलिए धारा $I_c$ का आयाम घट जाएगा।

(A) इंडक्टर का प्रतिघात $X_L = \omega L = 2 \pi f L$ द्वारा दिया जाता है। जैसे-जैसे आवृत्ति $f$ बढ़ती है,$X_L$ बढ़ता है।
संधारित्र का प्रतिघात $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2 \pi f C}$ द्वारा दिया जाता है। जैसे-जैसे आवृत्ति $f$ बढ़ती है,$X_C$ घटता है।
प्रतिरोधक का प्रतिरोध $R$ आवृत्ति से स्वतंत्र होता है।
चूंकि प्रश्न में पूछा गया है कि आवृत्ति को बहुत कम मान से बढ़ाने पर क्या होता है,तो इंडक्टिव रिएक्टेंस $(X_L)$ आवृत्ति के साथ सीधे बढ़ता है।

(C) शुद्ध संधारित्र वाले $AC$ परिपथ में वोल्टेज और धारा के बीच कलान्तर $\phi = -\pi/2$ होता है।
औसत शक्ति $P_{av} = E_v I_v \cos(\phi)$ द्वारा दी जाती है।
$\phi$ का मान रखने पर,$P_{av} = E_v I_v \cos(-\pi/2) = E_v I_v (0) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,शुद्ध संधारित्र परिपथ में कोई शक्ति व्यय नहीं होता है।
हालाँकि,कारण में कहा गया है कि परिपथ में कोई धारा प्रवाहित नहीं हो रही है,जो गलत है क्योंकि संधारित्र के धारितीय प्रतिघात $X_C = 1/(2\pi f C)$ के कारण इसमें $AC$ धारा प्रवाहित होती है।
इसलिए,कथन सही है,लेकिन कारण गलत है।

(A) प्रेरणिक प्रतिघात $X_L$ का सूत्र $X_L = 2 \pi \nu L$ है।
दिया गया है: $L = 25.0 \; mH = 25 \times 10^{-3} \; H$,$\nu = 50 \; Hz$,और $V_{rms} = 220 \; V$.
मान रखने पर: $X_L = 2 \times 3.14 \times 50 \times 25 \times 10^{-3} \; \Omega = 7.85 \; \Omega$.
$rms$ धारा $I_{rms}$ का सूत्र $I_{rms} = \frac{V_{rms}}{X_L}$ है।
मान रखने पर: $I_{rms} = \frac{220 \; V}{7.85 \; \Omega} \approx 28.03 \; A$.

(N/A) जब एक $dc$ स्रोत को संधारित्र से जोड़ा जाता है, तो संधारित्र आवेशित हो जाता है और आवेशित होने के बाद परिपथ में कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है; इसलिए, लैंप नहीं जलेगा। यदि $C$ को कम किया जाता है तो भी कोई परिवर्तन नहीं होगा।
$ac$ स्रोत के साथ, संधारित्र धारिता प्रतिघात (capacitive reactance) $X_C = 1 / (\omega C)$ प्रदान करता है और परिपथ में धारा प्रवाहित होती है। परिणामस्वरूप, लैंप जलेगा।
यदि धारिता $C$ को कम किया जाता है, तो धारिता प्रतिघात $X_C = 1 / (\omega C)$ बढ़ जाता है। परिणामस्वरूप, परिपथ में धारा कम हो जाती है और लैंप पहले की तुलना में कम चमकीला जलेगा।