Inductance, Capacitance and Resistance in Series and Parallel Questions in Hindi

(C) $LCR$ परिपथ की अनुनाद आवृत्ति का सूत्र $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ होता है।
चूंकि अनुनाद आवृत्ति समान रहती है,इसलिए $\omega_1 = \omega_2$ होगा।
अतः,$\frac{1}{\sqrt{L_1 C_1}} = \frac{1}{\sqrt{L_2 C_2}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$L_1 C_1 = L_2 C_2$ प्राप्त होता है।
यहाँ $L_1 = L$,$C_1 = C$,और $C_2 = 4C$ दिया गया है,इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$L \cdot C = L_2 \cdot (4C)$।
$L_2$ के लिए हल करने पर,$L_2 = \frac{L \cdot C}{4C} = \frac{L}{4}$ प्राप्त होता है।

(C) $LCR$ श्रेणी परिपथ की प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है: $R = 100\, \Omega$,$L = 0.5\, H$,$C = 10 \times 10^{-6}\, F$,और $f = 50\, Hz$.
कोणीय आवृत्ति $\omega = 2\pi f = 2 \times \pi \times 50 = 100\pi\, rad/s$.
प्रेरकीय प्रतिघात $X_L = \omega L = 100\pi \times 0.5 = 50\pi \approx 157.08\, \Omega$.
धारितीय प्रतिघात $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{100\pi \times 10 \times 10^{-6}} = \frac{1}{10^{-3}\pi} = \frac{1000}{\pi} \approx 318.31\, \Omega$.
अब,$Z = \sqrt{100^2 + (157.08 - 318.31)^2} = \sqrt{10000 + (-161.23)^2} = \sqrt{10000 + 25995.11} = \sqrt{35995.11} \approx 189.72\, \Omega$.

(C) श्रेणी $R-L-C$ परिपथ के लिए प्रतिबाधा $Z$ का सूत्र: $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ है।
सबसे पहले,प्रेरणिक प्रतिघात (inductive reactance) $X_L = \omega L = 1000 \times 0.9 = 900 \, \Omega$ की गणना करें।
इसके बाद,धारितीय प्रतिघात (capacitive reactance) $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{1000 \times 2.0 \times 10^{-6}} = \frac{10^6}{2000} = 500 \, \Omega$ की गणना करें।
अब,इन मानों को प्रतिबाधा के सूत्र में रखें:
$Z = \sqrt{300^2 + (900 - 500)^2}$
$Z = \sqrt{300^2 + 400^2}$
$Z = \sqrt{90000 + 160000} = \sqrt{250000} = 500 \, \Omega$.

(C) एक श्रेणी $LCR$ परिपथ में,कुल प्रयुक्त वोल्टेज $V$ घटकों के सिरों पर वोल्टेज के फेजर योग द्वारा दिया जाता है:
$V = \sqrt{V_R^2 + (V_L - V_C)^2}$
दिया गया है:
$V_R = 5\, V$
$V_L = 10\, V$
$V_C = 10\, V$
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$V = \sqrt{5^2 + (10 - 10)^2}$
$V = \sqrt{25 + 0^2}$
$V = \sqrt{25} = 5\, V$
अतः,प्रयुक्त $ac$ वोल्टेज $5\, V$ है।

(C) श्रेणी $LCR$ परिपथ में,धारा $I$ सभी घटकों से समान रूप से प्रवाहित होती है।
$1$. प्रतिरोधक $(V_R)$ के सिरों के बीच विभवांतर धारा के साथ समान कला में होता है।
$2$. प्रेरक $(V_L)$ के सिरों के बीच विभवांतर धारा से $\pi / 2$ आगे होता है।
$3$. संधारित्र $(V_C)$ के सिरों के बीच विभवांतर धारा से $\pi / 2$ पीछे होता है।
$4$. इसलिए,$V_L$ और $V_C$ के बीच का कलांतर $\pi / 2 - (-\pi / 2) = \pi$ होता है।
अतः,यह कथन कि संधारित्र और प्रेरक के बीच विभवांतर का कलांतर $\pi / 2$ है,गलत है।

(D) $LCR$ श्रेणी परिपथ की प्रतिबाधा $Z$ का सूत्र $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ है।
दिया गया है: $R = 11\,\Omega$,$X_L = 25\,\Omega$,$X_C = 18\,\Omega$.
मान रखने पर: $Z = \sqrt{11^2 + (25 - 18)^2} = \sqrt{121 + 7^2} = \sqrt{121 + 49} = \sqrt{170} \approx 13.03\,\Omega$.
लगभग $Z \approx 13\,\Omega$ लेने पर,परिपथ में धारा $I = V/Z = 260/13 = 20\,A$ होगी।

(A) श्रेणी $LCR$ परिपथ में,आपूर्ति वोल्टेज $V$ घटकों के सिरों के बीच व्यक्तिगत विभवांतर के फेजर योग द्वारा दिया जाता है।
सूत्र है: $V = \sqrt{V_R^2 + (V_L - V_C)^2}$
दिया गया है:
$V_L = 60\,V$
$V_C = 30\,V$
$V_R = 40\,V$
मान रखने पर:
$V = \sqrt{40^2 + (60 - 30)^2}$
$V = \sqrt{1600 + 30^2}$
$V = \sqrt{1600 + 900}$
$V = \sqrt{2500}$
$V = 50\,V$
अतः,आपूर्ति वोल्टेज $50\,V$ है।

(D) एक $LCR$ श्रेणी $ac$ परिपथ में,प्रेरक $(V_L)$ के सिरों पर विभवांतर और संधारित्र $(V_C)$ के सिरों पर विभवांतर एक-दूसरे से $180^{\circ}$ के कलांतर (phase difference) पर होते हैं।
दिया गया है कि $V_L = 50\,V$ और $V_C = 50\,V$ है।
$LC$ संयोजन के सिरों पर कुल विभवांतर फेजर योग द्वारा प्राप्त होता है: $V_{LC} = |V_L - V_C|$.
मान रखने पर: $V_{LC} = |50\,V - 50\,V| = 0\,V$.
अतः,$LC$ संयोजन के सिरों पर विभवांतर $0\,V$ होगा।

(C) यह परिपथ एक $LCR$ श्रेणी परिपथ है जो $200 \ V$ के $AC$ स्रोत से जुड़ा है।
चित्र से,प्रेरक (inductor) के सिरों पर वोल्टेज $V_L = 100 \ V$ है और संधारित्र (capacitor) के सिरों पर वोल्टेज $V_C = 100 \ V$ है।
$LCR$ श्रेणी परिपथ में कुल वोल्टेज $V_{total}$ का सूत्र है:
$V_{total}^2 = V_R^2 + (V_L - V_C)^2$
यहाँ $V_{total} = 200 \ V$,$V_L = 100 \ V$,और $V_C = 100 \ V$ दिया गया है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$(200)^2 = V_R^2 + (100 - 100)^2$
$40000 = V_R^2 + 0$
$V_R = 200 \ V$
वोल्टमीटर $V$ प्रतिरोधक के सिरों पर जुड़ा हुआ है,इसलिए इसका पाठ्यांक $V_R$ के बराबर होगा।
अतः,वोल्टमीटर का पाठ्यांक $200 \ V$ है।

(D) $LCR$ श्रेणी परिपथ में, जब संधारित्र को हटा दिया जाता है, तो परिपथ एक $LR$ परिपथ बन जाता है। कला कोण (phase angle) $\tan \phi = \frac{X_L}{R}$ द्वारा दिया जाता है। $\phi = 60^o$ दिए जाने पर, $\tan 60^o = \frac{X_L}{R} \Rightarrow X_L = R \sqrt{3}$.
जब प्रेरक को हटा दिया जाता है, तो परिपथ एक $RC$ परिपथ बन जाता है। कला कोण $\tan \phi = \frac{X_C}{R}$ द्वारा दिया जाता है। $\phi = 60^o$ दिए जाने पर, $\tan 60^o = \frac{X_C}{R} \Rightarrow X_C = R \sqrt{3}$.
चूंकि $X_L = X_C$, इसलिए दोनों घटकों के मौजूद होने पर परिपथ अनुनाद (resonance) की स्थिति में होता है。
अनुनाद पर, प्रतिबाधा (impedance) $Z = R = 100 \, \Omega$.
औसत व्ययित शक्ति $P = \frac{V^2}{R} = \frac{200^2}{100} = \frac{40000}{100} = 400 \, W$ है।

(C) परिपथ में $X_L = 30 \, \Omega$ प्रेरणिक प्रतिघात वाला एक प्रेरक और $X_C = 20 \, \Omega$ धारितीय प्रतिघात वाला एक संधारित्र $V = 90 \, V$ के $AC$ स्रोत के साथ समानांतर क्रम में जुड़े हैं।
प्रेरक से प्रवाहित धारा $i_L = \frac{V}{X_L} = \frac{90}{30} = 3 \, A$ है।
संधारित्र से प्रवाहित धारा $i_C = \frac{V}{X_C} = \frac{90}{20} = 4.5 \, A$ है।
चूंकि प्रेरक में धारा वोल्टेज से $90^\circ$ पीछे रहती है और संधारित्र में धारा वोल्टेज से $90^\circ$ आगे रहती है,इसलिए ये धाराएं विपरीत कला में हैं।
परिपथ से प्रवाहित कुल धारा $i = |i_C - i_L| = |4.5 - 3| = 1.5 \, A$ है।
परिपथ की प्रतिबाधा $Z = \frac{V}{i} = \frac{90}{1.5} = 60 \, \Omega$ है।

(C) श्रेणी $LCR$ परिपथ की प्रतिबाधा $(Z)$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दी जाती है:
$Z = \sqrt{R^2 + \left( 2\pi fL - \frac{1}{2\pi fC} \right)^2}$
$1$. कम आवृत्तियों पर $(f \to 0)$,धारितीय प्रतिघात $X_C = \frac{1}{2\pi fC}$ बहुत बड़ा हो जाता है,इसलिए $Z \to \infty$ होता है।
$2$. अनुनादी आवृत्ति $f_r = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}$ पर,प्रेरणिक प्रतिघात $X_L = 2\pi fL$ धारितीय प्रतिघात $X_C$ के बराबर हो जाता है,जिससे पद $(X_L - X_C) = 0$ हो जाता है। इस प्रकार,प्रतिबाधा अपना न्यूनतम मान $Z = R$ प्राप्त करती है।
$3$. उच्च आवृत्तियों पर $(f > f_r)$,प्रेरणिक प्रतिघात $X_L = 2\pi fL$ बहुत बड़ा हो जाता है,जिसके कारण $Z$ फिर से बढ़ने लगता है।
अतः,$Z$ बनाम $f$ का ग्राफ एक उच्च मान से शुरू होता है,$f_r$ पर न्यूनतम हो जाता है और फिर बढ़ता है। यह व्यवहार ग्राफ $C$ द्वारा सही ढंग से दर्शाया गया है।

(B) $RL$ परिपथ के लिए,कला कोण $\phi = \pi / 3$ है। कला कोण का टेंजेंट $\tan \phi = \frac{X_L}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$\tan(\pi / 3) = \frac{X_L}{R} \implies \sqrt{3} = \frac{X_L}{100} \implies X_L = 100\sqrt{3} \ \Omega$.
$RC$ परिपथ के लिए,कला कोण $\phi = \pi / 3$ है। कला कोण का टेंजेंट $\tan \phi = \frac{X_C}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$\tan(\pi / 3) = \frac{X_C}{R} \implies \sqrt{3} = \frac{X_C}{100} \implies X_C = 100\sqrt{3} \ \Omega$.
$LCR$ परिपथ में,प्रतिबाधा $Z$ का सूत्र $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ है।
चूंकि $X_L = X_C$,इसलिए $(X_L - X_C) = 0$ होगा।
अतः,$Z = \sqrt{R^2 + 0} = R = 100 \ \Omega$.

(B) दिया गया है: $R = X_L$ और $R = 2X_C$,जिसका अर्थ है $X_L = R$ और $X_C = \frac{R}{2}$।
$LCR$ श्रेणी परिपथ की प्रतिबाधा $Z$ का सूत्र है: $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$।
मान रखने पर: $Z = \sqrt{R^2 + (R - \frac{R}{2})^2} = \sqrt{R^2 + (\frac{R}{2})^2} = \sqrt{R^2 + \frac{R^2}{4}} = \sqrt{\frac{5R^2}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}R$।
कलांतर $\phi$ का सूत्र है: $\tan \phi = \frac{X_L - X_C}{R}$।
मान रखने पर: $\tan \phi = \frac{R - \frac{R}{2}}{R} = \frac{R/2}{R} = \frac{1}{2}$।
अतः,$\phi = \tan^{-1}(\frac{1}{2})$।
इस प्रकार,प्रतिबाधा $\frac{\sqrt{5}}{2}R$ है और कलांतर $\tan^{-1}(\frac{1}{2})$ है।

(C) इस परिपथ में एक प्रेरक (inductor) और एक संधारित्र (capacitor) $90 \; V$ के $AC$ स्रोत के साथ समानांतर क्रम में जुड़े हुए हैं।
प्रेरक शाखा के लिए,धारा $I_L = \frac{V}{X_L} = \frac{90}{30} = 3 \; A$ है।
संधारित्र शाखा के लिए,धारा $I_C = \frac{V}{X_C} = \frac{90}{20} = 4.5 \; A$ है।
चूंकि प्रेरक और संधारित्र में धाराएं एक-दूसरे से $180^{\circ}$ के कलांतर (phase difference) पर होती हैं,इसलिए स्रोत से ली गई कुल धारा $I = |I_C - I_L| = |4.5 - 3| = 1.5 \; A$ होगी।
समानांतर परिपथ की प्रतिबाधा $Z = \frac{V}{I} = \frac{90}{1.5} = 60 \; \Omega$ प्राप्त होती है।

(A) $LCR$ श्रेणी परिपथ में कला कोण $\phi$ का सूत्र $\tan \phi = \frac{X_C - X_L}{R}$ होता है।
चूंकि धारा वोल्टेज से आगे है, इसलिए परिपथ धारितात्मक (capacitive) है, जिसका अर्थ है $X_C > X_L$। कला कोण $\phi = 45^{\circ}$ है।
मान रखने पर: $\tan 45^{\circ} = \frac{X_C - X_L}{R}$।
चूंकि $\tan 45^{\circ} = 1$, इसलिए $1 = \frac{\frac{1}{2\pi fC} - 2\pi fL}{R}$।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $R = \frac{1}{2\pi fC} - 2\pi fL$।
$\frac{1}{2\pi fC} = 2\pi fL + R$।
अतः, $C = \frac{1}{2\pi f(2\pi fL + R)}$।

(A) जब $L$ को हटा दिया जाता है,तो परिपथ एक $RC$ परिपथ बन जाता है। कलान्तर $\phi_1$ को $\tan \phi_1 = \frac{X_C}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $\phi_1 = \pi / 3$,इसलिए $\tan(\pi / 3) = \frac{X_C}{R} \implies X_C = R \sqrt{3}$।
जब $C$ को हटा दिया जाता है,तो परिपथ एक $RL$ परिपथ बन जाता है। कलान्तर $\phi_2$ को $\tan \phi_2 = \frac{X_L}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $\phi_2 = \pi / 3$,इसलिए $\tan(\pi / 3) = \frac{X_L}{R} \implies X_L = R \sqrt{3}$।
चूंकि $X_L = X_C$,परिपथ अनुनाद (resonance) की स्थिति में है।
श्रेणी $LCR$ परिपथ में,प्रतिबाधा $Z$ को $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ द्वारा दिया जाता है।
$X_L = X_C$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $Z = \sqrt{R^2 + 0} = R$ प्राप्त होता है।
शक्ति गुणांक $\cos \phi = \frac{R}{Z} = \frac{R}{R} = 1$ है।

(D) दिया गया है: $L = 20 \, mH = 20 \times 10^{-3} \, H$,$C = 50 \, \mu F = 50 \times 10^{-6} \, F$,$R = 40 \, \Omega$,$V = 10 \, \sin \, 340t$.
$V = V_0 \sin \omega t$ से तुलना करने पर,$V_0 = 10 \, V$ और $\omega = 340 \, rad/s$ प्राप्त होता है।
प्रेरकीय प्रतिघात $X_L = \omega L = 340 \times 20 \times 10^{-3} = 6.8 \, \Omega$.
धारतीय प्रतिघात $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{340 \times 50 \times 10^{-6}} = \frac{10^6}{17000} \approx 58.82 \, \Omega$.
प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + (X_C - X_L)^2} = \sqrt{40^2 + (58.82 - 6.8)^2} = \sqrt{1600 + (52.02)^2} = \sqrt{1600 + 2706.08} = \sqrt{4306.08} \approx 65.62 \, \Omega$.
शिखर धारा $I_0 = \frac{V_0}{Z} = \frac{10}{65.62} \, A$.
शक्ति गुणांक $\cos \phi = \frac{R}{Z} = \frac{40}{65.62}$.
शक्ति हानि $P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi = \frac{1}{2} V_0 I_0 \cos \phi = \frac{1}{2} \times 10 \times \frac{10}{65.62} \times \frac{40}{65.62} = \frac{2000}{4306} \approx 0.46 \, W$.

(B) $LC$ परिपथ की अनुनादी आवृत्ति (resonant frequency) $\nu = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि दोनों के लिए एक ही संधारित्र $C$ का उपयोग किया जाता है,इसलिए $\nu \propto \frac{1}{\sqrt{L}}$ होता है।
शॉर्ट वेव की तरंगदैर्ध्य कम होती है $(\lambda_s < \lambda_m)$,जिसका अर्थ है कि उनकी आवृत्ति अधिक होती है $(\nu_s > \nu_m)$,क्योंकि $\nu = \frac{c}{\lambda}$ होता है।
चूंकि $\nu_s > \nu_m$ है,इसलिए $\frac{1}{\sqrt{L_s}} > \frac{1}{\sqrt{L_m}}$ होगा।
दोनों पक्षों का वर्ग करने और पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $L_s < L_m$ प्राप्त होता है।

(C) परिपथ आरेख से,हमारे पास प्रतिरोध $R = 10 \ \Omega$,प्रेरकत्व $L = 0.1 \ H$,और कोणीय आवृत्ति $\omega = 100 \ rad/s$ है।
शक्ति गुणांक $\cos \phi = \frac{R}{Z} = \frac{R}{\sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ द्वारा दिया जाता है।
इसका अर्थ है $Z = R\sqrt{2}$,इसलिए $R^2 + (X_L - X_C)^2 = 2R^2$,जो सरल होकर $(X_L - X_C)^2 = R^2$ हो जाता है।
अतः,$X_L - X_C = \pm R$.
यहाँ $X_L = \omega L = 100 \times 0.1 = 10 \ \Omega$.
स्थिति $1$: $10 - X_C = 10 \implies X_C = 0$ (जो संभव नहीं है)।
स्थिति $2$: $10 - X_C = -10 \implies X_C = 20 \ \Omega$.
चूंकि $X_C = \frac{1}{\omega C}$,इसलिए $20 = \frac{1}{100 \times C}$.
$C = \frac{1}{2000} \ F = 0.5 \times 10^{-3} \ F = 500 \ \mu F$.

(D) $L-R$ परिपथ के लिए: $\cos \phi_1 = \frac{R_1}{Z_1} = 0.6 = \frac{3}{5}$। अतः,$\sin \phi_1 = \frac{X_L}{Z_1} = 0.8 = \frac{4}{5}$। इसलिए,$X_L = \frac{4}{3} R_1$।
$C-R$ परिपथ के लिए: $\cos \phi_2 = \frac{R_2}{Z_2} = 0.5 = \frac{1}{2}$। अतः,$\sin \phi_2 = \frac{X_C}{Z_2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$। इसलिए,$X_C = \sqrt{3} R_2$।
जब श्रेणी में जोड़ा जाता है,तो परिपथ एक $L-C-R$ परिपथ बन जाता है। शक्ति गुणांक $1$ होने के लिए,परिपथ को अनुनाद (resonance) में होना चाहिए,जिसका अर्थ है $X_L = X_C$।
प्रतिघातों (reactances) की तुलना करने पर: $\frac{4}{3} R_1 = \sqrt{3} R_2$।
अतः,अनुपात $\frac{R_1}{R_2} = \frac{3\sqrt{3}}{4}$।

(D) परिपथ में एक प्रतिरोधक $R$,एक प्रेरक $L$ और संधारित्र $C$ के श्रेणी संयोजन के साथ समानांतर में जुड़ा है।
अधिकतम वोल्टेज $V_0 = 200 \, \text{V}$ है। अतः $RMS$ वोल्टेज $V_{\text{rms}} = \frac{V_0}{\sqrt{2}} = \frac{200}{\sqrt{2}} = 100\sqrt{2} \, \text{V}$ होगा।
प्रतिरोधक से प्रवाहित धारा $I_R = \frac{V_{\text{rms}}}{R} = \frac{100\sqrt{2}}{100} = \sqrt{2} \, \text{A}$ है।
$LC$ शाखा से प्रवाहित धारा $I_{LC} = \frac{V_{\text{rms}}}{|X_L - X_C|} = \frac{100\sqrt{2}}{|200 - 100|} = \frac{100\sqrt{2}}{100} = \sqrt{2} \, \text{A}$ है।
चूंकि प्रतिरोधक से प्रवाहित धारा वोल्टेज के साथ समान कला में होती है और $LC$ शाखा से प्रवाहित धारा वोल्टेज के साथ $90^\circ$ के कलांतर पर होती है,इसलिए कुल $RMS$ धारा $I_{\text{rms}} = \sqrt{I_R^2 + I_{LC}^2}$ द्वारा दी जाती है।
$I_{\text{rms}} = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{2 + 2} = \sqrt{4} = 2 \, \text{A}$.

(D) प्रारंभिक श्रेणी $LR$ परिपथ में,प्रतिबाधा (impedance) $Z_1 = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ है।
दिया गया है $X_L = 3R$,इसलिए $Z_1 = \sqrt{R^2 + (3R)^2} = \sqrt{10R^2} = R\sqrt{10}$।
प्रारंभिक शक्ति गुणांक $\cos \phi_1 = \frac{R}{Z_1} = \frac{R}{R\sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}}$ है।
जब $X_C = R$ वाला संधारित्र श्रेणी में जोड़ा जाता है,तो परिपथ $LCR$ परिपथ बन जाता है।
नई प्रतिबाधा $Z_2 = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ है।
मान रखने पर,$Z_2 = \sqrt{R^2 + (3R - R)^2} = \sqrt{R^2 + (2R)^2} = \sqrt{5R^2} = R\sqrt{5}$।
नया शक्ति गुणांक $\cos \phi_2 = \frac{R}{Z_2} = \frac{R}{R\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$ है।
नए शक्ति गुणांक और पुराने शक्ति गुणांक का अनुपात $\frac{\cos \phi_2}{\cos \phi_1} = \frac{1/\sqrt{5}}{1/\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{5}} = \sqrt{2}$ है।

(A) श्रेणी $LCR$ परिपथ में,धारा $I$ सभी तत्वों से समान गुजरती है।
प्रत्येक तत्व पर विभवांतर $V_R = I \cdot R$,$V_L = I \cdot X_L$,और $V_C = I \cdot X_C$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है: $R = 11 \, \Omega$,$X_L = 120 \, \Omega$,$X_C = 120 \, \Omega$.
कुल प्रतिबाधा (impedance) $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} = \sqrt{11^2 + (120 - 120)^2} = 11 \, \Omega$.
धारा $I = V / Z = 110 / 11 = 10 \, A$.
अब,विभवांतर की गणना करने पर:
$V_R = I \cdot R = 10 \times 11 = 110 \, V$.
$V_L = I \cdot X_L = 10 \times 120 = 1200 \, V$.
$V_C = I \cdot X_C = 10 \times 120 = 1200 \, V$.
मानों की तुलना करने पर,$V_R = 110 \, V$ न्यूनतम विभवांतर है।

(A) अनुनाद पर, परिपथ में धारा $I_{rms} = \frac{V_R}{R} = \frac{60 \, V}{120 \, \Omega} = 0.5 \, A$ होती है।
प्रेरकत्व के सिरों पर वोल्टेज $V_L = I_{rms} \times X_L = I_{rms} \times (\omega L)$ है।
मान रखने पर: $40 = 0.5 \times (4 \times 10^3) \times L.$
$40 = 2000 \times L \implies L = \frac{40}{2000} = 0.02 \, H = 20 \, mH.$
अनुनाद पर, संधारित्र के सिरों पर वोल्टेज $V_C$, प्रेरकत्व के वोल्टेज $V_L$ के बराबर होता है, इसलिए $V_C = 40 \, V.$
$V_C = I_{rms} \times X_C = I_{rms} \times \left(\frac{1}{\omega C}\right).$
$40 = 0.5 \times \left(\frac{1}{4 \times 10^3 \times C}\right).$
$40 = \frac{0.5}{4000 \times C} \implies C = \frac{0.5}{4000 \times 40} = \frac{0.5}{160000} = \frac{1}{320000} \, F.$
$C = \frac{1}{320000} \times 10^6 \, \mu F = \frac{100}{32} \, \mu F = 3.125 \, \mu F = \frac{25}{8} \, \mu F.$

(C) इस परिपथ में $X_L = 24 \ \Omega$ प्रेरणिक प्रतिघात (inductive reactance) वाला एक प्रेरक और $X_C = 48 \ \Omega$ धारिता प्रतिघात (capacitive reactance) वाला एक संधारित्र $240 \ V$ के $AC$ स्रोत के साथ समानांतर में जुड़े हुए हैं।
प्रेरक से प्रवाहित धारा $I_L = \frac{V}{X_L} = \frac{240}{24} = 10 \ A$ है।
संधारित्र से प्रवाहित धारा $I_C = \frac{V}{X_C} = \frac{240}{48} = 5 \ A$ है।
एक समानांतर $LC$ परिपथ में,धाराएं $I_L$ और $I_C$ एक-दूसरे से $180^{\circ}$ के कलांतर (phase difference) पर होती हैं। इसलिए,एमीटर द्वारा मापी गई कुल धारा $I$ दोनों धाराओं के अंतर का परिमाण है:
$I = |I_L - I_C| = |10 \ A - 5 \ A| = 5 \ A$.

(B) दिया गया है: $R = X_L = 2X_C$।
दिए गए संबंध से,हमारे पास $X_L = R$ और $X_C = R/2$ है।
श्रेणी $LCR$ परिपथ की प्रतिबाधा $Z$ इस प्रकार दी जाती है:
$Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$
मान रखने पर:
$Z = \sqrt{R^2 + (R - R/2)^2} = \sqrt{R^2 + (R/2)^2} = \sqrt{R^2 + R^2/4} = \sqrt{5R^2/4} = \frac{\sqrt{5}R}{2}$।
कलान्तर $\phi$ इस प्रकार दिया जाता है:
$\tan \phi = \frac{X_L - X_C}{R}$
मान रखने पर:
$\tan \phi = \frac{R - R/2}{R} = \frac{R/2}{R} = 1/2$।
अतः,$\phi = \tan^{-1}(1/2)$।
इस प्रकार,प्रतिबाधा $\frac{\sqrt{5}R}{2}$ है और कलान्तर $\tan^{-1}(1/2)$ है।

(D) परिपथ में दो समानांतर शाखाएं हैं जो एक $AC$ स्रोत $V = V_0 \sin(\omega t)$ से जुड़ी हैं।
शाखा $1$ में $R$ और $X_L$ श्रेणीक्रम में हैं। बिंदु $A$ पर विभव (निचले तार के सापेक्ष) इंडक्टर के सिरों पर वोल्टेज है: $V_A = V_0 \frac{X_L}{\sqrt{R^2 + X_L^2}} \sin(\omega t + \phi)$,जहाँ $\tan \phi = R/X_L$.
शाखा $2$ में $R$ और $X_C$ श्रेणीक्रम में हैं। बिंदु $B$ पर विभव (निचले तार के सापेक्ष) कैपेसिटर के सिरों पर वोल्टेज है: $V_B = V_0 \frac{X_C}{\sqrt{R^2 + X_C^2}} \sin(\omega t - \phi)$,जहाँ $\tan \phi = R/X_C$.
दिया है $R_1 = R_2 = R$ और $X_L = X_C = X$,मान लें $Z = \sqrt{R^2 + X^2}$। तो $V_A = \frac{V_0 X}{Z} \sin(\omega t + \phi)$ और $V_B = \frac{V_0 X}{Z} \sin(\omega t - \phi)$।
विभवांतर $V_A - V_B = \frac{V_0 X}{Z} [\sin(\omega t + \phi) - \sin(\omega t - \phi)] = \frac{V_0 X}{Z} [2 \cos(\omega t) \sin(\phi)]$।
चूंकि $\sin \phi = R/Z$,इसलिए $V_A - V_B = \frac{V_0 X}{Z} [2 \cos(\omega t) \frac{R}{Z}] = \frac{2 V_0 X R}{Z^2} \cos(\omega t) = \frac{2 V_0 X R}{R^2 + X^2} \cos(\omega t)$।
शिखर मान $V_{peak} = \frac{2 V_0 X R}{R^2 + X^2}$ है। $RMS$ मान $V_{RMS} = \frac{V_{peak}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} V_0 X R}{R^2 + X^2}$ होगा।

(A) $RLC$ श्रेणी परिपथ में अधिकतम धारा $I_0 = \frac{V_0}{Z}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $Z$ परिपथ की प्रतिबाधा है।
परिपथ में धारा $i(t) = I_0 \sin(\omega t - \phi)$ है।
संधारित्र पर आवेश $q(t)$ और धारा $i(t)$ के बीच संबंध $i = \frac{dq}{dt}$ है।
धारा का समाकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है $q(t) = \int i(t) dt = \int I_0 \sin(\omega t - \phi) dt = -\frac{I_0}{\omega} \cos(\omega t - \phi)$।
संधारित्र पर अधिकतम आवेश $Q_0$ इस व्यंजक का आयाम है:
$Q_0 = \frac{I_0}{\omega}$।
$I_0 = \frac{V_0}{Z}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$Q_0 = \frac{V_0}{\omega Z}$।

(B) दिया गया है: $R = 8.0\ \Omega$,$C = 5.0\ \mu F = 5.0 \times 10^{-6}\ F$,$L = 50.0\ mH = 50.0 \times 10^{-3}\ H$.
अनुनाद आवृत्ति $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} = \frac{1}{\sqrt{50 \times 10^{-3} \times 5 \times 10^{-6}}} = 2000\ rad/s$.
परिचालन आवृत्ति $\omega = \frac{1}{2} \omega_0 = 1000\ rad/s$.
प्रेरकीय प्रतिघात $X_L = \omega L = 1000 \times 50 \times 10^{-3} = 50\ \Omega$.
धारतीय प्रतिघात $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{1000 \times 5 \times 10^{-6}} = 200\ \Omega$.
प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} = \sqrt{8^2 + (50 - 200)^2} = \sqrt{64 + 22500} = \sqrt{22564} \approx 150.21\ \Omega$.
$I_{rms} = \frac{V_{rms}}{Z} = \frac{400}{150.21} \approx 2.663\ A$.
शक्ति $P = I_{rms}^2 R = (2.663)^2 \times 8 \approx 56.72\ W$.
निकटतम पूर्णांक में,$P \approx 57\ W$.

(D) श्रेणी $LCR$ परिपथ में,कुल वोल्टेज $V$ का मान $V = \sqrt{V_R^2 + (V_L - V_C)^2}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है: $V = 220 \ V$,$V_L = 300 \ V$,$V_C = 300 \ V$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $220 = \sqrt{V_R^2 + (300 - 300)^2}$।
$220 = \sqrt{V_R^2 + 0^2} = V_R$।
अतः,प्रतिरोधक पर लगे वोल्टमीटर का पाठ्यांक $V_R = 220 \ V$ है।
परिपथ में धारा $I$ का मान $I = \frac{V_R}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $R = 100 \ \Omega$ दिया गया है,इसलिए $I = \frac{220 \ V}{100 \ \Omega} = 2.2 \ A$।
इसलिए,पाठ्यांक $220 \ V$ और $2.2 \ A$ हैं।

(A) दिए गए परिपथ से,वोल्टेज $V = 200 \sin(100t) \, V$ है। इसे $V = V_m \sin(\omega t)$ के साथ तुलना करने पर,हमें $V_m = 200 \, V$ और $\omega = 100 \, rad/s$ प्राप्त होता है।
$RMS$ वोल्टेज $V_{\text{rms}} = \frac{V_m}{\sqrt{2}} = \frac{200}{\sqrt{2}} = 100\sqrt{2} \, V$ है।
परिपथ के घटक $R = 50 \, \Omega$,$L = 0.5 \, H$,और $C = 100 \, \mu F = 100 \times 10^{-6} \, F$ हैं।
प्रेरक प्रतिघात (Inductive reactance) $X_L = \omega L = 100 \times 0.5 = 50 \, \Omega$ है।
धारितीय प्रतिघात (Capacitive reactance) $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{100 \times 100 \times 10^{-6}} = \frac{1}{0.01} = 100 \, \Omega$ है।
$LCR$ परिपथ की प्रतिबाधा (Impedance) $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ द्वारा दी जाती है।
$Z = \sqrt{50^2 + (50 - 100)^2} = \sqrt{50^2 + (-50)^2} = \sqrt{2500 + 2500} = \sqrt{5000} = 50\sqrt{2} \, \Omega$ है।
प्रभावी $(RMS)$ धारा $I_{\text{rms}} = \frac{V_{\text{rms}}}{Z} = \frac{100\sqrt{2}}{50\sqrt{2}} = 2 \, A$ है।

(C) एक श्रेणी $LCR$ परिपथ में,कुल आरोपित वोल्टेज $V$,प्रतिरोधक $(V_R)$,प्रेरक $(V_L)$ और संधारित्र $(V_C)$ के सिरों पर व्यक्तिगत वोल्टेज के फेजर योग द्वारा दिया जाता है।
सूत्र है: $V = \sqrt{V_R^2 + (V_L - V_C)^2}$
चित्र से दिए गए मान:
$V_R = 40 \, V$
$V_L = 50 \, V$
$V_C = 20 \, V$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$V = \sqrt{(40)^2 + (50 - 20)^2}$
$V = \sqrt{40^2 + 30^2}$
$V = \sqrt{1600 + 900}$
$V = \sqrt{2500}$
$V = 50 \, V$
अतः,आरोपित स्रोत का वोल्टेज $50 \, V$ है।

(A) यह परिपथ एक श्रेणी $LCR$ परिपथ है जिसमें प्रतिरोध $R = 18 \ \Omega$,प्रेरणिक प्रतिघात $X_L = 40 \ \Omega$ और धारितीय प्रतिघात $X_C = 16 \ \Omega$ है।
श्रेणी $LCR$ परिपथ की प्रतिबाधा $Z$ का सूत्र है:
$Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$
दिए गए मानों को रखने पर:
$Z = \sqrt{18^2 + (40 - 16)^2}$
$Z = \sqrt{18^2 + 24^2}$
$Z = \sqrt{324 + 576}$
$Z = \sqrt{900}$
$Z = 30 \ \Omega$
अतः,परिपथ की प्रतिबाधा $30 \ \Omega$ है।

(B) दिए गए परिपथ से,वोल्टेज $V = 200\sqrt{2} \sin(300t)$ है,इसलिए $RMS$ वोल्टेज $V_{rms} = 200 \, V$ और कोणीय आवृत्ति $\omega = 300 \, rad/s$ है।
दिया गया है $R = 3000 \, \Omega$,$L = \frac{50}{3} \, H$,और $C = \frac{10}{3} \, \mu F = \frac{10}{3} \times 10^{-6} \, F$।
प्रेरक प्रतिघात $X_{L} = \omega L = 300 \times \frac{50}{3} = 5000 \, \Omega$।
धारिता प्रतिघात $X_{C} = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{300 \times \frac{10}{3} \times 10^{-6}} = \frac{1}{10^{-3}} = 1000 \, \Omega$।
प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^{2} + (X_{L} - X_{C})^{2}} = \sqrt{3000^{2} + (5000 - 1000)^{2}} = \sqrt{3000^{2} + 4000^{2}} = 5000 \, \Omega$।
खपत औसत शक्ति $P = I_{rms}^{2} R = \left(\frac{V_{rms}}{Z}\right)^{2} R$ है।
$P = \left(\frac{200}{5000}\right)^{2} \times 3000 = \left(\frac{1}{25}\right)^{2} \times 3000 = \frac{3000}{625} = 4.8 \, W$।

(C) परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{total} = R_1 + R_2 = 44 \,\Omega + 36 \,\Omega = 80 \,\Omega$ है।
परिपथ का कुल प्रतिघात $X_{total} = X_L - X_C = 90 \,\Omega - 30 \,\Omega = 60 \,\Omega$ है।
परिपथ की प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R_{total}^2 + X_{total}^2} = \sqrt{80^2 + 60^2} = \sqrt{6400 + 3600} = \sqrt{10000} = 100 \,\Omega$ है।
परिपथ में $RMS$ धारा $I_{rms} = \frac{V_{rms}}{Z} = \frac{200 \,V}{100 \,\Omega} = 2 \,A$ है।
कुंडली में व्ययित शक्ति $P_{coil} = I_{rms}^2 \times R_2$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर,$P_{coil} = (2 \,A)^2 \times 36 \,\Omega = 4 \times 36 = 144 \,W$ प्राप्त होता है।

(B) $a.c.$ परिपथ में व्ययित औसत शक्ति $P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$V_{rms} = \varepsilon$ और $I_{rms} = \frac{\varepsilon}{Z}$,जहाँ $Z$ $LCR$ परिपथ की प्रतिबाधा (impedance) है।
शक्ति गुणांक $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ है।
इन मानों को शक्ति के सूत्र में रखने पर:
$P = \varepsilon \cdot \left( \frac{\varepsilon}{Z} \right) \cdot \left( \frac{R}{Z} \right) = \frac{\varepsilon^2 R}{Z^2}$.
$LCR$ श्रेणी परिपथ के लिए प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + (L\omega - \frac{1}{C\omega})^2}$ है।
इसलिए,$Z^2 = R^2 + (L\omega - \frac{1}{C\omega})^2$.
$Z^2$ का मान शक्ति के समीकरण में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$P = \frac{\varepsilon^2 R}{R^2 + (L\omega - \frac{1}{C\omega})^2}$.

(C) श्रेणी $LCR$ परिपथ में,धारा $I = \frac{V}{\sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}}$ द्वारा दी जाती है।
परिपथ आरेख से,प्रेरक के सिरों पर वोल्टेज $V_L = 10 \text{ V}$ और संधारित्र के सिरों पर वोल्टेज $V_C = 10 \text{ V}$ है।
चूंकि $V_L = V_C$,परिपथ अनुनाद की स्थिति में है,जिसका अर्थ है $X_L = X_C$।
$L-C$ संयोजन के सिरों पर वोल्टेज $V_{LC} = |V_L - V_C|$ है।
चूंकि $V_L = V_C = 10 \text{ V}$,इसलिए $V_{LC} = |10 - 10| = 0 \text{ V}$।
यदि प्रतिरोध $R$ को बदल दिया जाए,तो परिपथ में धारा $I$ बदल जाती है।
हालाँकि,अनुनाद के लिए शर्त $(X_L = X_C)$ केवल स्रोत की आवृत्ति और $L$ तथा $C$ के मानों पर निर्भर करती है,$R$ पर नहीं।
इसलिए,$V_L = I X_L$ और $V_C = I X_C$ जैसे-जैसे $I$ बदलेगा,वैसे-वैसे बदलेंगे,लेकिन उनका अंतर $V_{LC} = I(X_L - X_C)$ हमेशा $0 \text{ V}$ रहेगा क्योंकि $X_L - X_C = 0$ है।
अतः,$L-C$ संयोजन के सिरों पर वोल्टेज समान (शून्य) रहता है।

(A) दिया गया है: $R = 100\,\Omega$,$V = 200\,V$.
जब धारिता को हटा दिया जाता है,तो परिपथ एक $LR$ श्रेणी परिपथ बन जाता है। कला कोण $\phi = 60^o$ के लिए $\tan(60^o) = \frac{X_L}{R}$ होता है।
अतः,$X_L = R \tan(60^o) = 100 \times \sqrt{3} = 100\sqrt{3}\,\Omega$.
जब प्रेरकत्व को हटा दिया जाता है,तो परिपथ एक $RC$ श्रेणी परिपथ बन जाता है। कला कोण $\phi = 60^o$ के लिए $\tan(60^o) = \frac{X_C}{R}$ होता है।
अतः,$X_C = R \tan(60^o) = 100 \times \sqrt{3} = 100\sqrt{3}\,\Omega$.
मूल $LCR$ परिपथ में,प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ होती है।
चूंकि $X_L = X_C$,इसलिए $Z = \sqrt{R^2 + 0} = R = 100\,\Omega$.
परिपथ में धारा $I = \frac{V}{Z} = \frac{200}{100} = 2\,A$ है।

(A) $LCR$ परिपथ में कला कोण (phase angle) $\phi$ को इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\tan \phi = \frac{X_C - X_L}{R}$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\tan \phi = \frac{8\,\Omega - 5\,\Omega}{4\,\Omega} = \frac{3\,\Omega}{4\,\Omega} = \frac{3}{4}$.
अतः,$\phi = \tan^{-1}(3/4)$.
चूंकि $X_C > X_L$ है,इसलिए परिपथ की प्रकृति धारितात्मक (capacitive) है,जिसका अर्थ है कि धारा वोल्टेज से $\phi$ कला कोण आगे है।

(C) दिया गया वोल्टेज $V = 20 \cos(2000t)$ है,इसलिए शिखर वोल्टेज $V_0 = 20 \, V$ है। $RMS$ वोल्टेज $V_{rms} = \frac{V_0}{\sqrt{2}} = \frac{20}{\sqrt{2}} = 10\sqrt{2} \, V \approx 14.14 \, V$ है।
कोणीय आवृत्ति $\omega = 2000 \, rad/s$ है। प्रेरणिक प्रतिघात $X_L = \omega L = 2000 \times 5 \times 10^{-3} = 10 \, \Omega$ है। धारितीय प्रतिघात $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2000 \times 50 \times 10^{-6}} = 10 \, \Omega$ है।
चूंकि $X_L = X_C$,श्रेणी $LC$ शाखा अनुनाद (resonance) की स्थिति में है। $LC$ शाखा का प्रतिबाधा $Z_{LC} = \sqrt{R_{LC}^2 + (X_L - X_C)^2} = \sqrt{4^2 + 0^2} = 4 \, \Omega$ है।
परिपथ की कुल प्रतिबाधा $Z = R_{total} + Z_{LC} = 6 \, \Omega + 4 \, \Omega = 10 \, \Omega$ है।
परिपथ में $RMS$ धारा $I_{rms} = \frac{V_{rms}}{Z} = \frac{10\sqrt{2}}{10} = \sqrt{2} \approx 1.414 \, A$ है। अतः,एमीटर का पाठ्यांक $1.4 \, A$ है।
वोल्टमीटर $LC$ शाखा के सिरों पर जुड़ा है। इस शाखा पर वोल्टेज $V_{LC} = I_{rms} \times Z_{LC} = 1.414 \times 4 = 5.656 \, V \approx 5.6 \, V$ है।

(C) श्रेणी $LCR$ परिपथ में,कुल $rms$ वोल्टेज $V$ को इस संबंध द्वारा दिया जाता है: $V = \sqrt{V_R^2 + (V_L - V_C)^2}$.
दिए गए अनुपात $V_L : V_C : V_R = 1 : 2 : 3$ के अनुसार,हम इन वोल्टेज को एक स्थिरांक $x$ के रूप में $V_L = x$,$V_C = 2x$,और $V_R = 3x$ लिख सकते हैं।
इन मानों को $V$ के सूत्र में रखने पर:
$100 = \sqrt{(3x)^2 + (x - 2x)^2}$
$100 = \sqrt{9x^2 + (-x)^2}$
$100 = \sqrt{9x^2 + x^2}$
$100 = \sqrt{10x^2}$
$100 = x\sqrt{10}$
$x = \frac{100}{\sqrt{10}} = 10\sqrt{10} \approx 10 \times 3.162 = 31.62 \, V$.
अब,$V_R$ की गणना करने पर:
$V_R = 3x = 3 \times 31.62 = 94.86 \, V$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,$V_R$ का मान $90 \, V$ के निकट है।

(D) $LR$ परिपथ का शक्ति गुणांक $\cos \phi = \frac{R}{Z} = \frac{R}{\sqrt{R^2 + X_L^2}}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $X_L = 2R$,इसलिए पुराना शक्ति गुणांक $\cos \phi_1 = \frac{R}{\sqrt{R^2 + (2R)^2}} = \frac{R}{\sqrt{5R^2}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$ है।
जब $X_C = R$ वाला एक संधारित्र श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,तो नई प्रतिबाधा (impedance) $Z_{new} = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ होती है।
मान रखने पर,$Z_{new} = \sqrt{R^2 + (2R - R)^2} = \sqrt{R^2 + R^2} = \sqrt{2R^2} = R\sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
नया शक्ति गुणांक $\cos \phi_2 = \frac{R}{Z_{new}} = \frac{R}{R\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
नए शक्ति गुणांक और पुराने शक्ति गुणांक का अनुपात $\frac{\cos \phi_2}{\cos \phi_1} = \frac{1/\sqrt{2}}{1/\sqrt{5}} = \sqrt{\frac{5}{2}}$ है।

(D) श्रेणी $LCR$ परिपथ में,कुल वोल्टेज $V$ को निम्नलिखित संबंध द्वारा दिया जाता है:
$V = \sqrt{V_R^2 + (V_L - V_C)^2}$
चित्र से दिया गया है:
$V = 220\,V$
$V_L = 300\,V$
$V_C = 300\,V$
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$220 = \sqrt{V_R^2 + (300 - 300)^2}$
$220 = \sqrt{V_R^2 + 0^2}$
$V_R = 220\,V$
अब,परिपथ में धारा $I$ का मान है:
$I = \frac{V_R}{R}$
यहाँ $R = 100\,\Omega$ दिया गया है:
$I = \frac{220}{100} = 2.2\,A$
अतः,वोल्टमीटर का पाठ्यांक $220\,V$ और एमीटर का पाठ्यांक $2.2\,A$ होगा।

(C) दिया गया है: $L = 20\,mH = 20 \times 10^{-3}\,H,$ $C = 120\,\mu F = 120 \times 10^{-6}\,F,$ $R = 60\,\Omega,$ $V_{rms} = 24\,V,$ $f = 50\,Hz,$ $t = 60\,s.$
प्रेरकीय प्रतिघात: $X_L = 2\pi fL = 2\pi \times 50 \times 20 \times 10^{-3} = 2\pi \approx 6.28\,\Omega.$
धारतीय प्रतिघात: $X_C = \frac{1}{2\pi fC} = \frac{1}{2\pi \times 50 \times 120 \times 10^{-6}} = \frac{1}{0.012\pi} \approx 26.53\,\Omega.$
प्रतिबाधा: $Z = \sqrt{R^2 + (X_C - X_L)^2} = \sqrt{60^2 + (26.53 - 6.28)^2} = \sqrt{3600 + (20.25)^2} = \sqrt{3600 + 410.06} = \sqrt{4010.06} \approx 63.33\,\Omega.$
व्ययित शक्ति: $P = I_{rms}^2 R = \left(\frac{V_{rms}}{Z}\right)^2 R = \left(\frac{24}{63.33}\right)^2 \times 60 \approx (0.379)^2 \times 60 \approx 0.1436 \times 60 \approx 8.616\,W.$
व्ययित ऊर्जा: $E = P \times t = 8.616 \times 60 \approx 516.96\,J \approx 5.17 \times 10^2\,J.$

(C) दिया गया है: $\omega = 100 \, rad/s$,$L = \frac{\sqrt{3}}{10} \, H$,$R_1 = 10 \, \Omega$,$C = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 10^{-3} \, F$,$R_2 = 20 \, \Omega$.
$L-R_1$ शाखा के लिए:
प्रेरक प्रतिघात (Inductive reactance) $X_L = \omega L = 100 \times \frac{\sqrt{3}}{10} = 10\sqrt{3} \, \Omega$.
वोल्टेज $V$ के सापेक्ष धारा $I_1$ का कला कोण $\phi_1$,$\tan \phi_1 = -\frac{X_L}{R_1} = -\frac{10\sqrt{3}}{10} = -\sqrt{3}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$\phi_1 = -60^\circ$.
$C-R_2$ शाखा के लिए:
धारितीय प्रतिघात (Capacitive reactance) $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{100 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \times 10^{-3}} = \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{20}} = \frac{20}{\sqrt{3}} \, \Omega$.
वोल्टेज $V$ के सापेक्ष धारा $I_2$ का कला कोण $\phi_2$,$\tan \phi_2 = \frac{X_C}{R_2} = \frac{20/\sqrt{3}}{20} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$\phi_2 = 30^\circ$.
$I_1$ और $I_2$ के बीच का कलान्तर $|\phi_2 - \phi_1| = |30^\circ - (-60^\circ)| = 90^\circ$ है।

(C) $LCR$ श्रेणी परिपथ में,कुल वोल्टेज $V$ को निम्नलिखित संबंध द्वारा दिया जाता है:
$V = \sqrt{V_{R}^{2} + (V_{L} - V_{C})^{2}}$
चित्र से दिया गया है:
$V_{L} = 100 \, V$
$V_{C} = 100 \, V$
$V = 200 \, V$
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$200 = \sqrt{V_{R}^{2} + (100 - 100)^{2}}$
$200 = \sqrt{V_{R}^{2} + 0^{2}}$
$200 = V_{R}$
अतः,प्रतिरोध $R$ के सिरों पर जुड़े वोल्टमीटर का पाठ्यांक $200 \, V$ होगा।

(C) $LCR$ श्रेणी परिपथ में,कला कोण (phase angle) $\phi$ को $\tan \phi = \frac{X_L - X_C}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
जब $L$ को हटा दिया जाता है,तो परिपथ एक $RC$ परिपथ बन जाता है। धारा वोल्टेज से $45^o$ आगे है,इसलिए $\phi = -45^o$। अतः,$\tan(-45^o) = -\frac{X_C}{R}$,जिसका अर्थ है $\frac{X_C}{R} = 1$,या $X_C = R$।
जब $C$ को हटा दिया जाता है,तो परिपथ एक $RL$ परिपथ बन जाता है। धारा वोल्टेज से $45^o$ पीछे है,इसलिए $\phi = 45^o$। अतः,$\tan(45^o) = \frac{X_L}{R}$,जिसका अर्थ है $\frac{X_L}{R} = 1$,या $X_L = R$।
चूंकि $X_L = R$ और $X_C = R$,इसलिए $X_L = X_C$ होता है। इसका मतलब है कि परिपथ अनुनाद (resonance) की स्थिति में है।
अनुनाद पर,परिपथ की प्रतिबाधा (impedance) $Z = R = 100 \, \Omega$ है।
मूल परिपथ में प्रवाहित धारा $I = \frac{V}{Z} = \frac{100 \, V}{100 \, \Omega} = 1 \, A$ है।

(C) यह परिपथ एक प्रेरक (inductor) और एक संधारित्र (capacitor) से बना है जो $V = 75 \, V$ के $AC$ वोल्टेज स्रोत के साथ समानांतर में जुड़े हैं।
प्रेरक से गुजरने वाली धारा $i_L = 5 \, A$ है और संधारित्र से गुजरने वाली धारा $i_C = 2 \, A$ है।
एक समानांतर $LC$ परिपथ में,धाराएं $i_L$ और $i_C$ एक-दूसरे से $180^{\circ}$ के कलांतर (phase difference) पर होती हैं। इसलिए,स्रोत से ली गई कुल धारा $i_{LC}$ दोनों धाराओं के परिमाण का अंतर है:
$i_{LC} = |i_L - i_C| = |5 \, A - 2 \, A| = 3 \, A$.
समानांतर संयोजन की समतुल्य प्रतिबाधा $Z$ ओम के नियम द्वारा दी जाती है:
$Z = \frac{V}{i_{LC}} = \frac{75 \, V}{3 \, A} = 25 \, \Omega$.
अतः,परिपथ की प्रतिबाधा $25 \, \Omega$ है।

(C) परिपथ का कुल प्रतिरोध $R = R_1 + R_2 = 44\,\Omega + 36\,\Omega = 80\,\Omega$ है।
परिपथ का कुल प्रतिघात $X = X_L - X_C = 90\,\Omega - 30\,\Omega = 60\,\Omega$ है।
परिपथ की प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + X^2} = \sqrt{80^2 + 60^2} = \sqrt{6400 + 3600} = \sqrt{10000} = 100\,\Omega$ है।
परिपथ में $RMS$ धारा $I_{rms} = \frac{V_{rms}}{Z} = \frac{200\,V}{100\,\Omega} = 2\,A$ है।
कुंडली में व्यय होने वाली शक्ति $P = I_{rms}^2 \times R_2$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $R_2$ कुंडली का प्रतिरोध है।
$P = (2\,A)^2 \times 36\,\Omega = 4 \times 36 = 144\,W$.