RL, RC and LC AC Circuits Questions in Hindi

(A) यह परिपथ एक $LCR$ श्रेणी परिपथ है जिसमें $R = 100\,\Omega$,$X_L = 200\,\Omega$,और $X_C = 100\,\Omega$ है।
परिपथ की प्रतिबाधा $Z$ इस प्रकार है:
$Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$
$Z = \sqrt{100^2 + (200 - 100)^2}$
$Z = \sqrt{100^2 + 100^2} = \sqrt{2 \times 100^2} = 100 \sqrt{2}\,\Omega$
$rms$ धारा $I_{rms}$ का मान है:
$I_{rms} = \frac{V_{rms}}{Z}$
चूंकि $V_{rms} = 200 \sqrt{2}\,V$ दिया गया है,इसलिए:
$I_{rms} = \frac{200 \sqrt{2}}{100 \sqrt{2}} = 2\,A$

(C) दिए गए पैरामीटर $R = 80\,\Omega$,$X_{L} = 100\,\Omega$ और $X_{C} = 40\,\Omega$ हैं।
पीक वोल्टेज (आयाम) $V_{0} = 2500\,V$ है।
श्रेणी $LCR$ परिपथ की प्रतिबाधा $Z$ को $Z = \sqrt{R^2 + (X_{L} - X_{C})^2}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $Z = \sqrt{80^2 + (100 - 40)^2} = \sqrt{80^2 + 60^2} = \sqrt{6400 + 3600} = \sqrt{10000} = 100\,\Omega$।
धारा का आयाम $I_{0}$ को $I_{0} = \frac{V_{0}}{Z}$ द्वारा दिया जाता है।
$I_{0} = \frac{2500}{100} = 25\,A$।

(C) एक श्रेणी $L, R$ परिपथ के लिए,शक्ति गुणांक $\cos \phi = \frac{R}{Z} = \frac{R}{\sqrt{R^2 + X_L^2}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $X_L = \omega L$ है।
प्रारंभिक कोणीय आवृत्ति $\omega_1 = 1000 \ rad/s$ और शक्ति गुणांक $\cos \phi_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}$ दिया गया है।
चूँकि $\cos \phi_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए कला कोण (phase angle) $\phi_1 = 45^{\circ}$ है।
अतः,$\tan \phi_1 = \frac{X_{L1}}{R} = \frac{\omega_1 L}{R} = \tan 45^{\circ} = 1$ है।
यह दर्शाता है कि $R = \omega_1 L = 1000 L$ है।
जब स्रोत को बदलकर $E = (20 \sin 2000 t) \ V$ कर दिया जाता है,तो नई कोणीय आवृत्ति $\omega_2 = 2000 \ rad/s$ होती है।
नया प्रेरणिक प्रतिघात (inductive reactance) $X_{L2} = \omega_2 L = 2000 L = 2(\omega_1 L) = 2R$ है।
नया शक्ति गुणांक $\cos \phi_2 = \frac{R}{\sqrt{R^2 + X_{L2}^2}} = \frac{R}{\sqrt{R^2 + (2R)^2}} = \frac{R}{\sqrt{R^2 + 4R^2}} = \frac{R}{\sqrt{5R^2}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$ होगा।

(D) $DC$ वोल्टेज के लिए, इंडक्टर एक शुद्ध प्रतिरोधक के रूप में कार्य करता है क्योंकि $DC$ के लिए $X_L = 0$ होता है।
$R = \frac{V}{I} = \frac{100 \, V}{5 \, A} = 20 \, \Omega$.
$AC$ वोल्टेज के लिए, परिपथ एक $LR$ श्रेणी परिपथ है।
दिया गया है $X_L = 20\sqrt{3} \, \Omega$ और $R = 20 \, \Omega$.
प्रतिबाधा $Z$ इस प्रकार है: $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2} = \sqrt{20^2 + (20\sqrt{3})^2} = \sqrt{400 + 1200} = \sqrt{1600} = 40 \, \Omega$.
$RMS$ वोल्टेज $V_{rms} = \frac{V_{peak}}{\sqrt{2}} = \frac{200}{\sqrt{2}} \, V$ है।
$RMS$ धारा $I_{rms} = \frac{V_{rms}}{Z} = \frac{200 / \sqrt{2}}{40} = \frac{5}{\sqrt{2}} \, A$ है।
परिपथ में व्ययित शक्ति $P = I_{rms}^2 R$ है।
$P = \left( \frac{5}{\sqrt{2}} \right)^2 \times 20 = \frac{25}{2} \times 20 = 250 \, W$.

(A) दिया गया है: प्रतिरोध $R = 90 \Omega$, आपूर्ति वोल्टेज $V = 120 \text{ V}$, आवृत्ति $f = 60 \text{ Hz}$, प्रतिरोधक के सिरों पर वोल्टेज $V_R = 36 \text{ V}$।
श्रेणी परिपथ में धारा $I = \frac{V_R}{R} = \frac{36}{90} = 0.4 \text{ A}$ है।
परिपथ की प्रतिबाधा (impedance) $Z = \frac{V}{I} = \frac{120}{0.4} = 300 \Omega$ है।
हम जानते हैं कि $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$, इसलिए $300 = \sqrt{90^2 + X_L^2}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $90000 = 8100 + X_L^2$।
$X_L^2 = 90000 - 8100 = 81900$।
$X_L = \sqrt{81900} \approx 286.18 \Omega$।
चूंकि $X_L = 2 \pi f L$, इसलिए $L = \frac{X_L}{2 \pi f} = \frac{286.18}{2 \times 3.14 \times 60} = \frac{286.18}{376.8} \approx 0.76 \text{ H}$ प्राप्त होता है।

(A) $RC$ परिपथ की प्रतिबाधा (impedance) $Z = \sqrt{R^2 + X_C^2}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $X_C = \frac{1}{\omega C}$ धारितीय प्रतिघात (capacitive reactance) है।
जब संधारित्र की प्लेटों के बीच एक परावैद्युत रखा जाता है,तो इसकी धारिता $C$ बढ़ जाती है $(C' = KC)$।
चूंकि $X_C = \frac{1}{\omega C}$,इसलिए $C$ में वृद्धि होने से धारितीय प्रतिघात कम हो जाता है $(X_C \downarrow)$।
जैसे-जैसे $X_C$ घटता है,परिपथ की कुल प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + X_C^2}$ कम हो जाती है $(Z \downarrow)$।
$AC$ परिपथ के लिए ओम के नियम के अनुसार,धारा $I = \frac{V}{Z}$ होती है। चूंकि $Z$ घटता है,इसलिए परिपथ में धारा $I$ बढ़ जाती है।
परिणामस्वरूप,बल्ब में व्यय होने वाली शक्ति $(P = I^2 R)$ बढ़ जाती है,और बल्ब की चमक बढ़ जाती है।

(D) स्थिति-$I$: $DC$ आपूर्ति
$DC$ परिपथ के लिए,प्रेरक (inductor) एक शॉर्ट सर्किट की तरह कार्य करता है (केवल प्रतिरोध).
$R = \frac{V}{I} = \frac{20 \ V}{5 \ A} = 4 \ \Omega$
स्थिति-$II$: $AC$ आपूर्ति
$AC$ परिपथ के लिए,प्रतिबाधा (impedance) $Z$ का मान $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ होता है।
$Z = \frac{V}{I} = \frac{20 \ V}{4 \ A} = 5 \ \Omega$
चूंकि $Z^2 = R^2 + X_L^2$,इसलिए $5^2 = 4^2 + X_L^2$.
$25 = 16 + X_L^2 \Rightarrow X_L^2 = 9 \Rightarrow X_L = 3 \ \Omega$
हम जानते हैं कि $X_L = 2 \pi f L$,जहाँ $f = 50 \ Hz$ और $\pi = 3$ है।
$3 = 2 \times 3 \times 50 \times L$
$3 = 300 \times L$
$L = \frac{3}{300} \ H = 0.01 \ H$
मिलीहेनरी $(mH)$ में बदलने पर:
$L = 0.01 \times 1000 \ mH = 10 \ mH$

(C) दिया गया है:
संधारित्र का प्रतिघात $X_C = 4 \sqrt{3} \Omega$
प्रतिरोध $R = 4 \Omega$
शिखर वोल्टेज $V_0 = 8 \sqrt{2} \text{ V}$
चरण $1$: $RC$ परिपथ की प्रतिबाधा $Z$ की गणना करें।
$Z = \sqrt{R^2 + X_C^2}$
$Z = \sqrt{4^2 + (4 \sqrt{3})^2} = \sqrt{16 + 16 \times 3} = \sqrt{16 + 48} = \sqrt{64} = 8 \Omega$
चरण $2$: $RMS$ वोल्टेज $V_{\text{rms}}$ की गणना करें।
$V_{\text{rms}} = \frac{V_0}{\sqrt{2}} = \frac{8 \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 8 \text{ V}$
चरण $3$: $RMS$ धारा $I_{\text{rms}}$ की गणना करें।
$I_{\text{rms}} = \frac{V_{\text{rms}}}{Z} = \frac{8}{8} = 1 \text{ A}$
चरण $4$: शक्ति क्षय $P$ की गणना करें।
शक्ति का क्षय केवल प्रतिरोधक में होता है।
$P = I_{\text{rms}}^2 \times R = (1)^2 \times 4 = 4 \text{ W}$

(B) $RC$ श्रेणी परिपथ की प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + X_C^2}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $X_C = \frac{1}{\omega C}$ धारितीय प्रतिघात है।
$X_C$ का मान रखने पर,हमें $Z = \sqrt{R^2 + \left(\frac{1}{\omega C}\right)^2}$ प्राप्त होता है।
जैसे-जैसे कोणीय आवृत्ति $\omega$ बढ़ती है,धारितीय प्रतिघात $X_C = \frac{1}{\omega C}$ घटता है।
चूंकि $Z = \sqrt{R^2 + X_C^2}$,इसलिए $X_C$ में कमी होने से परिपथ की कुल प्रतिबाधा $Z$ कम हो जाती है।
परिपथ में धारा $I = \frac{V_0}{Z}$ द्वारा दी जाती है। चूंकि $V_0$ स्थिर है और $Z$ घट रहा है,इसलिए धारा $I$ बढ़ जाती है।
बल्ब की चमक व्यय होने वाली शक्ति $P = I^2 R$ के समानुपाती होती है। जैसे-जैसे धारा $I$ बढ़ती है,व्यय होने वाली शक्ति बढ़ती है और बल्ब अधिक रोशनी देता है।

(A) श्रेणी $R-C$ परिपथ में,प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + X_C^2}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $X_C = \frac{1}{\omega C}$ है।
जब $K = 4$ स्थिरांक वाला परावैद्युत डाला जाता है,तो नई धारिता $C' = KC = 4C$ हो जाती है।
परिणामस्वरूप,नया धारिता प्रतिघात $X_C' = \frac{1}{\omega (4C)} = \frac{X_C}{4}$ हो जाता है।
चूंकि $X_C' < X_C$,कुल प्रतिबाधा $Z' = \sqrt{R^2 + (X_C')^2}$,$Z = \sqrt{R^2 + X_C^2}$ से कम है।
परिपथ में धारा $I = \frac{V}{Z}$ है। चूंकि $Z' < Z$,स्थिति $(B)$ में धारा स्थिति $(A)$ से अधिक है,इसलिए $I_R^B > I_R^A$ (विकल्प $B$ सत्य है)।
संधारित्र के सिरों पर वोल्टेज $V_C = I X_C = \frac{V}{\sqrt{R^2 + X_C^2}} X_C = \frac{V}{\sqrt{(R/X_C)^2 + 1}}$ है।
जैसे-जैसे $X_C$ घटता है,पद $(R/X_C)^2$ बढ़ता है,जिससे हर $\sqrt{(R/X_C)^2 + 1}$ बड़ा हो जाता है।
इसलिए,जब $X_C$ घटता है तो $V_C$ घट जाता है। अतः,$V_C^A > V_C^B$ (विकल्प $C$ सत्य है)।
अतः,सही कथन $(B)$ और $(C)$ हैं।

(C) दिया गया है: $\omega = 500 \ rad/s$.
श्रेणी $R-C$ परिपथ की प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + X_C^2}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $X_C = \frac{1}{\omega C}$ है।
$Z = R\sqrt{1.25}$ दिया गया है,इसलिए $Z^2 = 1.25R^2$ होगा।
प्रतिबाधा सूत्र में मान रखने पर: $R^2 + X_C^2 = 1.25R^2$.
$X_C^2 = 0.25R^2$.
$X_C = 0.5R$.
चूंकि $X_C = \frac{1}{\omega C}$,इसलिए $\frac{1}{\omega C} = 0.5R$ प्राप्त होता है।
समय नियतांक $\tau = RC$ के लिए व्यवस्थित करने पर: $RC = \frac{1}{0.5\omega}$.
$\omega = 500 \ rad/s$ रखने पर: $\tau = \frac{1}{0.5 \times 500} = \frac{1}{250} = 0.004 \ s$.
मिलीसेकंड में बदलने पर: $\tau = 0.004 \times 1000 \ ms = 4 \ ms$.

(A) दिया गया है: आपूर्ति वोल्टेज $V = 200 V$,आवृत्ति $f = 50 Hz$,शक्ति $P = 500 W$,लैंप पर वोल्टेज $V_R = 100 V$.
$1$. चूंकि सर्किट एक $RC$ श्रेणी सर्किट है,इसलिए आपूर्ति वोल्टेज $V = \sqrt{V_R^2 + V_C^2}$ है।
$200^2 = 100^2 + V_C^2 \Rightarrow V_C^2 = 40000 - 10000 = 30000$.
$V_C = 100\sqrt{3} V$.
$2$. फेज एंगल $\varphi$ को $\tan \varphi = \frac{V_C}{V_R} = \frac{100\sqrt{3}}{100} = \sqrt{3}$ द्वारा दिया जाता है।
$\varphi = \tan^{-1}(\sqrt{3}) = 60^{\circ}$.
$3$. शक्ति $P = V_R \cdot I \Rightarrow 500 = 100 \cdot I \Rightarrow I = 5 A$.
साथ ही,$V_C = I \cdot X_C \Rightarrow 100\sqrt{3} = 5 \cdot X_C \Rightarrow X_C = 20\sqrt{3} \Omega$.
$4$. $X_C = \frac{1}{2\pi f C} \Rightarrow 20\sqrt{3} = \frac{1}{2 \cdot \pi \cdot 50 \cdot C \cdot 10^{-6}}$.
$C = \frac{1}{20\sqrt{3} \cdot 100 \cdot \pi} \cdot 10^6 = \frac{10^6}{2000 \cdot \pi \sqrt{3}} = \frac{1000}{2 \cdot 5} = 100 \mu F$.
अतः,$C = 100 \mu F$ और $\varphi = 60^{\circ}$।

(A) दिया गया है: स्व-प्रेरकत्व $L = 1 \ H$,प्रतिरोध $R = 100 \pi \ \Omega$,वोल्टेज $V_{rms} = 100 \pi \ V$,आवृत्ति $f = 50 \ Hz$।
सबसे पहले,प्रेरणिक प्रतिघात $X_L = \omega L = 2 \pi f L = 2 \pi \times 50 \times 1 = 100 \pi \ \Omega$ की गणना करें।
$LR$ श्रेणी परिपथ की प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2} = \sqrt{(100 \pi)^2 + (100 \pi)^2} = \sqrt{2 \times (100 \pi)^2} = 100 \pi \sqrt{2} \ \Omega$ है।
$RMS$ धारा $I_{rms} = \frac{V_{rms}}{Z} = \frac{100 \pi}{100 \pi \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \ A$ है।
अधिकतम धारा $I_{max} = I_{rms} \sqrt{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \times \sqrt{2} = 1 \ A$ प्राप्त होती है।

(B) मान लीजिए इनपुट वोल्टेज $V_{\text{in}}$ है। परिपथ में समानांतर में दो विभव विभाजक (potential dividers) हैं।
बाईं शाखा के लिए,निचले नोड के सापेक्ष बिंदु $A$ पर वोल्टेज $V_A = V_{\text{in}} \cdot \frac{-jX_C}{R - jX_C}$ है।
दाईं शाखा के लिए,निचले नोड के सापेक्ष बिंदु $B$ पर वोल्टेज $V_B = V_{\text{in}} \cdot \frac{R}{R - jX_C}$ है।
अतः,विभवांतर $(V_B - V_A)$ इस प्रकार है:
$V_B - V_A = V_{\text{in}} \cdot \frac{R + jX_C}{R - jX_C}$.
मान लीजिए $Z = R - jX_C$ है। तब $V_B - V_A = V_{\text{in}} \cdot \frac{R + jX_C}{R - jX_C}$।
$V_{\text{in}}$ के सापेक्ष $(V_B - V_A)$ का कलांतर $\frac{R + jX_C}{R - jX_C}$ का कलांतर है।
मान लीजिए $\tan \theta = \frac{X_C}{R}$ है। तब $(R + jX_C)$ का कलांतर $\theta$ है और $(R - jX_C)$ का कलांतर $-\theta$ है।
अनुपात का कलांतर $\theta - (-\theta) = 2\theta$ है।
दिया गया है कि कलांतर $90^{\circ}$ है,इसलिए $2\theta = 90^{\circ}$,अर्थात $\theta = 45^{\circ}$।
अतः,$\tan 45^{\circ} = \frac{X_C}{R} \implies 1 = \frac{1}{\omega RC} \implies \omega = \frac{1}{RC}$।
मान रखने पर: $R = 10^5 \ \Omega$,$C = 100 \times 10^{-12} \ F = 10^{-10} \ F$।
$\omega = \frac{1}{10^5 \times 10^{-10}} = \frac{1}{10^{-5}} = 10^5 \ rad/sec$।
$10^x$ के साथ तुलना करने पर,हमें $x = 5$ प्राप्त होता है।

(A) परिपथ में एक बल्ब (प्रतिरोध $R$) और एक संधारित्र $(C)$ श्रेणीक्रम में जुड़े हैं,जो एक $R-C$ परिपथ बनाते हैं।
$R-C$ परिपथ की प्रतिबाधा (impedance) $Z = \sqrt{R^2 + X_C^2}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $X_C = \frac{1}{2\pi fC}$ धारितीय प्रतिघात (capacitive reactance) है।
जब $AC$ स्रोत की आवृत्ति $f$ बढ़ाई जाती है,तो धारितीय प्रतिघात $X_C = \frac{1}{2\pi fC}$ घट जाता है।
चूँकि $Z = \sqrt{R^2 + X_C^2}$,$X_C$ में कमी होने से परिपथ की कुल प्रतिबाधा $Z$ कम हो जाती है।
$AC$ परिपथ के लिए ओम के नियम के अनुसार,धारा $i = \frac{V}{Z}$ है। चूँकि स्रोत वोल्टेज $V$ स्थिर है और $Z$ घट रहा है,इसलिए परिपथ से प्रवाहित होने वाली धारा $i$ बढ़ जाती है।
बल्ब की चमक उसके द्वारा व्यय की गई शक्ति $P = i^2R$ के समानुपाती होती है। जैसे-जैसे धारा $i$ बढ़ती है,बल्ब द्वारा व्यय की गई शक्ति बढ़ती है,और इसलिए बल्ब अधिक तीव्र प्रकाश देगा।

(B) $DC$ आपूर्ति के लिए,कुंडली एक शुद्ध प्रतिरोध $R$ के रूप में कार्य करती है। दिया गया है $V = 100 \ V$ और $I = 25 \ A$,इसलिए प्रतिरोध $R = \frac{V}{I} = \frac{100}{25} = 4 \ \Omega$ है।
$AC$ आपूर्ति के लिए,कुंडली प्रतिबाधा $Z$ के साथ एक $LR$ परिपथ के रूप में कार्य करती है। दिया गया है $V = 100 \ V$ और $I = 20 \ A$,इसलिए प्रतिबाधा $Z = \frac{V}{I} = \frac{100}{20} = 5 \ \Omega$ है।
प्रतिबाधा $Z$,प्रतिरोध $R$ और प्रेरणिक प्रतिघात $X_L$ के साथ $Z^2 = R^2 + X_L^2$ सूत्र द्वारा संबंधित है।
मान रखने पर,$5^2 = 4^2 + X_L^2$.
$25 = 16 + X_L^2 \Rightarrow X_L^2 = 25 - 16 = 9$.
अतः,प्रतिघात $X_L = \sqrt{9} = 3 \ \Omega$ है।

(C) श्रेणी $L-C-R$ परिपथ की प्रतिबाधा (impedance) $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि $|X_L - X_C| = R$,इसलिए प्रतिबाधा के सूत्र में मान रखने पर:
$Z = \sqrt{R^2 + R^2} = \sqrt{2R^2} = R\sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
परिपथ में अधिकतम धारा $I_0 = \frac{V_0}{Z} = \frac{V_0}{R\sqrt{2}}$ है।
संधारित्र के सिरों पर विभवांतर $V_C = I_0 X_C$ है।
संधारित्र के सिरों पर विभवांतर का r.m.s. मान $V_{C,rms} = I_{rms} X_C$ है।
चूंकि $I_{rms} = \frac{I_0}{\sqrt{2}} = \frac{V_0}{R\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{V_0}{2R}$ है,इसलिए:
$V_{C,rms} = \frac{V_0}{2R} \cdot \frac{1}{\omega C} = \frac{V_0}{2R\omega C}$।

(D) $LR$ श्रेणी परिपथ में,प्रतिबाधा $Z$ का सूत्र $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ होता है।
यहाँ,$R$ प्रतिरोध है और $X_L$ प्रेरणिक प्रतिघात (inductive reactance) है।
प्रेरणिक प्रतिघात $X_L$ को $X_L = \omega L$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जहाँ $\omega = 2 \pi f$ है।
$\omega$ का मान रखने पर,हमें $X_L = 2 \pi f L$ प्राप्त होता है।
अब,प्रतिबाधा के सूत्र में $X_L$ का मान रखने पर:
$Z = \sqrt{R^2 + (2 \pi f L)^2}$
$Z = \sqrt{R^2 + 4 \pi^2 f^2 L^2}$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) दिया गया है: प्रेरकत्व $L = \frac{0.3}{\pi} \ H$,प्रतिरोध $R = 40 \ \Omega$,वोल्टेज $V = 230 \ V$,आवृत्ति $f = 50 \ Hz$.
सबसे पहले,प्रेरणिक प्रतिघात $X_L = 2\pi f L$ की गणना करें।
$X_L = 2 \times \pi \times 50 \times \frac{0.3}{\pi} = 100 \times 0.3 = 30 \ \Omega$.
$LR$ परिपथ की प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ द्वारा दी जाती है।
$Z = \sqrt{40^2 + 30^2} = \sqrt{1600 + 900} = \sqrt{2500} = 50 \ \Omega$.
परिपथ में धारा $I = \frac{V}{Z}$ द्वारा दी जाती है।
$I = \frac{230}{50} = 4.6 \ A$.
अतः,प्रतिबाधा $50 \ \Omega$ है और धारा $4.6 \ A$ है।

(D) दिया गया है: प्रेरकत्व $L = \frac{100}{\pi} \text{ mH} = \frac{0.1}{\pi} \text{ H}$,धारिता $C = \frac{10^{-3}}{2\pi} \text{ F}$,प्रतिरोध $R = 10 \Omega$,आवृत्ति $f = 50 \text{ Hz}$.
सबसे पहले,प्रेरणिक प्रतिघात (inductive reactance) $X_L = 2\pi f L = 2\pi \times 50 \times \frac{0.1}{\pi} = 100 \times 0.1 = 10 \Omega$ की गणना करें।
इसके बाद,धारितीय प्रतिघात (capacitive reactance) $X_C = \frac{1}{2\pi f C} = \frac{1}{2\pi \times 50 \times \frac{10^{-3}}{2\pi}} = \frac{1}{50 \times 10^{-3}} = \frac{1000}{50} = 20 \Omega$ की गणना करें।
कला कोण $\phi$ का स्पर्शज्या $\tan \phi = \frac{X_L - X_C}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\tan \phi = \frac{10 - 20}{10} = \frac{-10}{10} = -1$.
अतः कला कोण के स्पर्शज्या का परिमाण $|\tan \phi| = 1$ है।

(D) $RL$ सर्किट में वोल्टेज और करंट के बीच का फेज एंगल $\phi$,$\tan \phi = \frac{X_L}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $\phi = 45^{\circ}$,$R = 80 \Omega$,और $f = 480 \text{ Hz}$ दिया गया है।
चूंकि $\tan 45^{\circ} = 1$,इसलिए $1 = \frac{X_L}{R}$,जिसका अर्थ है $X_L = R$।
$X_L = 2 \pi f L$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $2 \pi f L = R$ प्राप्त होता है।
$L$ के लिए हल करने पर: $L = \frac{R}{2 \pi f}$।
मान रखने पर: $L = \frac{80}{2 \pi \times 480} = \frac{80}{960 \pi} = \frac{1}{12 \pi} \text{ H}$।

(A) जब $80 \ V$ $d.c.$ लगाया जाता है,तो सोलेनोइड एक शुद्ध प्रतिरोधक के रूप में कार्य करता है क्योंकि $d.c.$ की आवृत्ति शून्य होती है,इसलिए प्रेरक प्रतिघात $X_L = 2 \pi fL = 0$ होता है।
प्रतिरोध $R = \frac{V}{I_{dc}} = \frac{80 \ V}{0.8 \ A} = 100 \ \Omega$.
जब $80 \ V$ $a.c.$ लगाया जाता है,तो प्रतिबाधा $Z = \frac{V}{I_{ac}} = \frac{80 \ V}{0.4 \ A} = 200 \ \Omega$.
$RL$ परिपथ के लिए प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ होती है।
मान रखने पर: $200 = \sqrt{100^2 + X_L^2}$.
$40000 = 10000 + X_L^2 \Rightarrow X_L^2 = 30000$.
$X_L = \sqrt{30000} \approx 173.2 \ \Omega$.
चूंकि $X_L = 2 \pi fL$,इसलिए $L = \frac{X_L}{2 \pi f} = \frac{173.2}{2 \times 3.14 \times 50} = \frac{173.2}{314} \approx 0.55 \ H$.
अतः,प्रतिबाधा $200 \ \Omega$ और प्रेरकत्व $0.55 \ H$ है।

(B) श्रेणी $LCR$ परिपथ की प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है $R = \frac{X_L}{2}$,इसलिए $X_L = 2R$ है।
दिया गया है $R = 2X_C$,इसलिए $X_C = \frac{R}{2}$ है।
इन मानों को प्रतिबाधा के सूत्र में रखने पर:
$Z = \sqrt{R^2 + (2R - \frac{R}{2})^2} = \sqrt{R^2 + (\frac{3R}{2})^2} = \sqrt{R^2 + \frac{9R^2}{4}} = \sqrt{\frac{13R^2}{4}} = \frac{\sqrt{13}}{2} R$.
कलान्तर $\phi$ का मान $\tan \phi = \frac{X_L - X_C}{R}$ द्वारा प्राप्त होता है।
मान रखने पर: $\tan \phi = \frac{2R - R/2}{R} = \frac{3R/2}{R} = \frac{3}{2}$.
अतः,$\phi = \tan^{-1}(\frac{3}{2})$.

(B) दिया गया है: $R = X_C = \frac{1}{\omega C}$.
प्रारंभिक प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + X_C^2} = \sqrt{R^2 + R^2} = \sqrt{2} R$.
प्रारंभिक शिखर धारा $I_0 = \frac{V_0}{Z} = \frac{V_0}{\sqrt{2} R}$,जिसका अर्थ है कि $\frac{V_0}{R} = \sqrt{2} I_0$.
जब कोणीय आवृत्ति $\omega' = \frac{\omega}{\sqrt{3}}$ हो जाती है,तो नया धारिता प्रतिघात $X_C' = \frac{1}{\omega' C} = \frac{1}{(\omega / \sqrt{3}) C} = \sqrt{3} \left(\frac{1}{\omega C}\right) = \sqrt{3} R$.
नई प्रतिबाधा $Z' = \sqrt{R^2 + (X_C')^2} = \sqrt{R^2 + (\sqrt{3} R)^2} = \sqrt{R^2 + 3R^2} = \sqrt{4R^2} = 2R$.
नई शिखर धारा $I_0' = \frac{V_0}{Z'} = \frac{V_0}{2R} = \frac{1}{2} \left(\frac{V_0}{R}\right) = \frac{1}{2} (\sqrt{2} I_0) = \frac{I_0}{\sqrt{2}}$.

(A) $LCR$ श्रेणी परिपथ में वोल्टेज और धारा के बीच कलांतर $\phi$ इस प्रकार दिया जाता है: $\tan \phi = \frac{X_L - X_C}{R}$।
दिया गया है $\phi = 45^{\circ}$,इसलिए $\tan 45^{\circ} = 1$।
अतः,$\frac{\omega L - \frac{1}{\omega C}}{R} = 1$।
$\omega L - \frac{1}{\omega C} = R$।
$\omega L = R + \frac{1}{\omega C} = \frac{R \omega C + 1}{\omega C}$।
चूंकि $\omega = 2 \pi f$,हमारे पास है $L = \frac{R \omega C + 1}{\omega^2 C} = \frac{R(2 \pi f)C + 1}{(2 \pi f)^2 C}$।
$L = \frac{1 + 2 \pi fCR}{4 \pi^2 f^2 C}$।

(A) $d.c.$ आपूर्ति के लिए,प्रेरक एक शुद्ध प्रतिरोधक के रूप में कार्य करता है:
$R = \frac{V}{I} = \frac{100 \ V}{1 \ A} = 100 \ \Omega$.
$a.c.$ आपूर्ति के लिए,प्रतिबाधा $Z$ इस प्रकार है:
$Z = \frac{V}{I} = \frac{100 \ V}{0.5 \ A} = 200 \ \Omega$.
$LR$ परिपथ की प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ है,जहाँ $X_L = 2 \pi f L$.
मान रखने पर: $200 = \sqrt{100^2 + X_L^2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $40000 = 10000 + X_L^2 \Rightarrow X_L^2 = 30000$.
$X_L = \sqrt{30000} = 100\sqrt{3} \ \Omega$.
चूंकि $X_L = 2 \pi f L$,इसलिए $100\sqrt{3} = 2 \pi (50) L$.
$100\sqrt{3} = 100 \pi L \Rightarrow L = \frac{\sqrt{3}}{\pi} \ H$.

(C) $d.c.$ स्रोत के लिए,प्रेरक एक साधारण प्रतिरोधक के रूप में कार्य करता है क्योंकि आवृत्ति शून्य होती है। अतः,प्रतिरोध $R = \frac{V}{I} = \frac{12 \ V}{4 \ A} = 3 \ \Omega$ है।
$a.c.$ स्रोत के लिए,प्रतिबाधा $Z = \frac{V}{I} = \frac{12 \ V}{2.4 \ A} = 5 \ \Omega$ है।
$RL$ परिपथ की प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ होती है,जहाँ $X_L$ प्रेरणिक प्रतिघात है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$Z^2 = R^2 + X_L^2$,इसलिए $X_L^2 = Z^2 - R^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16$।
अतः,$X_L = 4 \ \Omega$।
चूंकि $X_L = 2 \pi f L$,इसलिए $L = \frac{X_L}{2 \pi f} = \frac{4}{2 \pi \times 50} = \frac{4}{100 \pi} = \frac{4}{\pi} \times 10^{-2} \ H$ प्राप्त होता है।

(B) संधारित्र का धारिता प्रतिघात $X_{C} = \frac{1}{2 \pi f C}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$f$ $A.C.$ स्रोत की आवृत्ति है और $C$ धारिता है।
जब धारिता $C$ को कम किया जाता है,तो धारिता प्रतिघात $X_{C}$ बढ़ जाता है।
इसी प्रकार,जब आवृत्ति $f$ को कम किया जाता है,तो धारिता प्रतिघात $X_{C}$ बढ़ जाता है।
चूंकि बल्ब संधारित्र के साथ श्रेणीक्रम में है,परिपथ का कुल प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + X_{C}^2}$ द्वारा दी जाती है।
दोनों स्थितियों में $X_{C}$ के बढ़ने से,परिपथ की कुल प्रतिबाधा $Z$ बढ़ जाती है।
$A.C.$ परिपथ के लिए ओम के नियम के अनुसार,धारा $I = \frac{V}{Z}$ होती है।
चूंकि प्रतिबाधा $Z$ बढ़ जाती है,इसलिए बल्ब से प्रवाहित होने वाली धारा $I$ कम हो जाती है।
बल्ब की चमक व्यय होने वाली शक्ति $P = I^2 R$ पर निर्भर करती है।
जैसे-जैसे धारा $I$ कम होती है,व्यय होने वाली शक्ति और बल्ब की चमक दोनों स्थितियों में कम हो जाती है।

(C) $LCR$ श्रेणी परिपथ में,धारा $I$ सभी घटकों में समान होती है। प्रतिरोध $R$ के सिरों पर वोल्टेज $V_R$ धारा के साथ समान कला में होता है। प्रेरक $V_L$ के सिरों पर वोल्टेज धारा से $90^\circ$ आगे होता है,और संधारित्र $V_C$ के सिरों पर वोल्टेज धारा से $90^\circ$ पीछे होता है।
इस प्रकार,$V_L$ और $V_C$ विपरीत दिशाओं में हैं। शुद्ध प्रतिक्रियाशील वोल्टेज $(V_L - V_C)$ है।
फेजर आरेख का उपयोग करते हुए,परिणामी वोल्टेज $V$,$V_R$ और $(V_L - V_C)$ का सदिश योग है,जो एक-दूसरे के लंबवत हैं।
पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर: $V^2 = V_R^2 + (V_L - V_C)^2$.

(D) $LR$ परिपथ के लिए,प्रतिबाधा (impedance) $Z$ का सूत्र $Z = \sqrt{R^2 + (\omega L)^2}$ है।
दिए गए समीकरण $E = 4 \cos(1000 t)$ की तुलना मानक समीकरण $E = E_0 \cos(\omega t)$ से करने पर,हमें $E_0 = 4 \ V$ और $\omega = 1000 \ rad/s$ प्राप्त होता है।
यहाँ $L = 3 \ mH = 3 \times 10^{-3} \ H$ और $R = 4 \ \Omega$ दिया गया है।
प्रेरकीय प्रतिघात (inductive reactance) $X_L = \omega L = 1000 \times 3 \times 10^{-3} = 3 \ \Omega$ है।
अब,प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \ \Omega$ है।
अधिकतम धारा $I_0 = \frac{E_0}{Z} = \frac{4}{5} = 0.8 \ A$ होगी।

(D) समांतर $LC$ परिपथ में,प्रेरक से प्रवाहित धारा $(I_L)$ वोल्टेज से $90^{\circ}$ पीछे होती है,और संधारित्र से प्रवाहित धारा $(I_C)$ वोल्टेज से $90^{\circ}$ आगे होती है।
इस प्रकार,धाराएं $I_L$ और $I_C$ एक-दूसरे से $180^{\circ}$ के कलांतर (phase difference) पर हैं।
स्रोत से ली गई कुल धारा $I$ दोनों धाराओं के अंतर का परिमाण है:
$I = |I_C - I_L|$
यहाँ $I_L = 0.6 \,A$ और $I_C = 0.9 \,A$ दिया गया है।
$I = |0.9 \,A - 0.6 \,A| = 0.3 \,A$.

(D) एक श्रेणी $LCR$ परिपथ में,प्रेरक $(V_L)$ के सिरों पर वोल्टेज धारा से $90^{\circ}$ आगे होता है,और संधारित्र $(V_C)$ के सिरों पर वोल्टेज धारा से $90^{\circ}$ पीछे होता है।
चूंकि श्रेणी परिपथ में सभी घटकों के लिए धारा समान होती है,इसलिए $V_L$ और $V_C$ के बीच का कलांतर $180^{\circ}$ होता है।
हालाँकि,व्यक्तिगत वोल्टेज $V_L$ और $V_C$ स्रोत वोल्टेज $(V_S)$ के साथ समान कला में नहीं होते हैं,जब तक कि परिपथ अनुनाद की स्थिति में न हो।
इसलिए,यह कथन कि वे 'स्रोत वोल्टेज के साथ समान कला में होते हैं' गलत है,जो $D$ को सही विकल्प बनाता है।

(B) श्रेणी $LCR$ परिपथ में, कुल वोल्टेज (e.m.f.) '$e$' को व्यक्तिगत घटकों के वोल्टेज के फेजर योग द्वारा ज्ञात किया जाता है:
$e = \sqrt{V_R^2 + (V_L - V_C)^2}$
दिया गया है:
$V_R = 40 \,V$
$V_L = 80 \,V$
$V_C = 40 \,V$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$e = \sqrt{(40)^2 + (80 - 40)^2}$
$e = \sqrt{1600 + (40)^2}$
$e = \sqrt{1600 + 1600}$
$e = \sqrt{3200}$
$e = \sqrt{1600 \times 2}$
$e = 40 \sqrt{2} \,V$

(B) $AC$ परिपथ में व्ययित औसत शक्ति $P = E_{rms} I_{rms} \cos \phi$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,शक्ति गुणांक $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ है।
rms धारा $I_{rms} = \frac{E_{rms}}{Z} = \frac{E_0}{\sqrt{2} Z}$ है।
इन मानों को शक्ति के सूत्र में रखने पर: $P = \left( \frac{E_0}{\sqrt{2}} \right) \left( \frac{E_0}{\sqrt{2} Z} \right) \left( \frac{R}{Z} \right) = \frac{E_0^2 R}{2 Z^2}$।
दिया गया है कि प्रेरणिक प्रतिघात $X_L = R$,इसलिए प्रतिबाधा (impedance) $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2} = \sqrt{R^2 + R^2} = \sqrt{2} R$ है।
$Z^2 = 2 R^2$ को शक्ति के समीकरण में रखने पर: $P = \frac{E_0^2 R}{2 (2 R^2)} = \frac{E_0^2 R}{4 R^2} = \frac{E_0^2}{4 R}$।

(C) एक श्रेणी $LCR$ परिपथ में,वोल्टेज और धारा के बीच का कला कोण $\phi$ इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\tan \phi = \frac{X_L - X_C}{R}$.
चूंकि धारा वोल्टेज से $45^{\circ}$ आगे है,इसलिए कला कोण $\phi = -45^{\circ}$ होगा।
मान रखने पर: $\tan(-45^{\circ}) = \frac{X_L - X_C}{R}$.
$-1 = \frac{X_L - X_C}{R}$.
$-R = X_L - X_C$.
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $X_C = X_L + R$.

(D) $LR$ परिपथ में,वोल्टेज और धारा के बीच का कला कोण (phase angle) $\phi$ सूत्र $\tan \phi = \frac{X_L}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $\phi = 45^{\circ}$ दिया गया है,इसलिए $\tan 45^{\circ} = 1$ होगा।
अतः,$\frac{X_L}{R} = 1$,जिसका अर्थ है कि $X_L = R$।
यहाँ $R = 100 \ \Omega$ दिया गया है,इसलिए $X_L = 100 \ \Omega$ होगा।
प्रेरकीय प्रतिघात (inductive reactance) का सूत्र $X_L = 2 \pi f L$ है।
मान रखने पर,$100 = 2 \pi \times 100 \times L$।
$L$ के लिए हल करने पर,$L = \frac{100}{2 \pi \times 100} = \frac{1}{2 \pi} \ H$ प्राप्त होता है।

(B) $LR$ श्रेणी परिपथ के लिए,वोल्टेज और धारा के बीच कला कोण $\phi$ का सूत्र है: $\tan \phi = \frac{X_L}{R}$।
यहाँ,$X_L = \omega L = 2 \pi f L$ होता है।
दिया गया है: $L = \frac{1}{\pi} \text{ H}$,$R = 300 \text{ } \Omega$,और $f = 200 \text{ Hz}$।
मान रखने पर: $X_L = 2 \pi \times 200 \times \frac{1}{\pi} = 400 \text{ } \Omega$।
अब,$\tan \phi = \frac{400}{300} = \frac{4}{3}$।
अतः,$\phi = \tan^{-1}(\frac{4}{3})$।

(B) $RL$ परिपथ में वोल्टेज और धारा के बीच कलांतर (phase difference) $\phi$ को $\tan \phi = \frac{X_L}{R}$ द्वारा दर्शाया जाता है।
यहाँ $\phi = 45^{\circ}$,$R = 100 \ \Omega$,और $f = 1000 \ Hz$ दिया गया है।
चूंकि $\tan 45^{\circ} = 1$,इसलिए $X_L = R$ होगा।
$X_L = 2 \pi f L$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $2 \pi f L = R$ प्राप्त होता है।
अतः,$L = \frac{R}{2 \pi f}$।
मान रखने पर: $L = \frac{100}{2 \pi \times 1000} = \frac{100}{2000 \pi} = \frac{1}{20 \pi} = \frac{0.05}{\pi} \ H$।

(A) प्रारंभिक प्रतिबाधा (impedance) $Z = \sqrt{R^2 + X_c^2}$ है,जहाँ $X_c = \frac{1}{\omega C}$ है।
प्रारंभिक धारा $I = \frac{V}{Z}$ है।
जब आवृत्ति बदलकर $\omega' = \frac{\omega}{3}$ हो जाती है,तो नया धारिता प्रतिघात $X_c' = \frac{1}{\omega' C} = \frac{1}{(\omega/3) C} = 3X_c$ होता है।
नई प्रतिबाधा $Z' = \sqrt{R^2 + (X_c')^2} = \sqrt{R^2 + (3X_c)^2}$ है।
दिया गया है कि नई धारा $I' = \frac{I}{2}$ है,इसलिए $\frac{V}{Z'} = \frac{1}{2} \frac{V}{Z}$,जिसका अर्थ है $Z' = 2Z$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(Z')^2 = 4Z^2$,इसलिए $R^2 + 9X_c^2 = 4(R^2 + X_c^2)$।
$R^2 + 9X_c^2 = 4R^2 + 4X_c^2$।
$5X_c^2 = 3R^2$।
$\frac{X_c^2}{R^2} = \frac{3}{5} = 0.6$।
अतः,अनुपात $\frac{X_c}{R} = \sqrt{0.6}$ है।

(D) प्रारंभिक प्रतिबाधा (impedance) $Z = \sqrt{R^2 + X_c^2}$ है,जहाँ $X_c = \frac{1}{\omega C}$ है। प्रारंभिक धारा $I = \frac{V}{Z}$ है।
जब आवृत्ति बदलकर $\omega' = \frac{\omega}{3}$ हो जाती है,तो नया प्रतिघात $X_c' = \frac{1}{\omega' C} = \frac{1}{(\omega/3)C} = 3X_c$ होता है।
नई प्रतिबाधा $Z' = \sqrt{R^2 + (3X_c)^2} = \sqrt{R^2 + 9X_c^2}$ है।
नई धारा $I' = \frac{V}{Z'} = \frac{I}{2}$ है,जिसका अर्थ है कि $Z' = 2Z$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$Z'^2 = 4Z^2$,इसलिए $R^2 + 9X_c^2 = 4(R^2 + X_c^2)$ है।
$R^2 + 9X_c^2 = 4R^2 + 4X_c^2$ है।
$5X_c^2 = 3R^2$ है।
$\frac{X_c^2}{R^2} = \frac{3}{5}$ है।
अतः,अनुपात $\frac{X_c}{R} = \sqrt{\frac{3}{5}}$ है।

(B) श्रेणी $RL$ परिपथ में,वोल्टेज और धारा के बीच कला कोण $\phi$ को सूत्र $\tan \phi = \frac{X_L}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ कला कोण $\phi = 45^{\circ}$ और प्रतिरोध $R = 40 \ \Omega$ दिया गया है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\tan 45^{\circ} = \frac{X_L}{40}$.
चूंकि $\tan 45^{\circ} = 1$,इसलिए:
$1 = \frac{X_L}{40}$.
अतः,प्रेरणिक प्रतिघात $X_L = 40 \ \Omega$ होगा।

(C) $LCR$ श्रेणी परिपथ में,प्रेरक (inductor) के सिरों पर वोल्टेज $V_L$ और संधारित्र (capacitor) के सिरों पर वोल्टेज $V_C$ एक-दूसरे के साथ $180^{\circ}$ के कलांतर (phase difference) पर होते हैं।
दिया गया है कि $V_L = 60 \,V$ और $V_C = 60 \,V$ है।
$LC$ संयोजन के सिरों पर परिणामी वोल्टेज $V_{LC} = |V_L - V_C|$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,हमें $V_{LC} = |60 \,V - 60 \,V| = 0 \,V$ प्राप्त होता है।
अतः,$LC$ संयोजन के सिरों पर वोल्टेज $0 \,V$ है।

(A) श्रेणी $LCR$ परिपथ में,धारा $I$ सभी घटकों के लिए समान होती है।
$1$. प्रतिरोधक $(V_R)$ के सिरों पर विभवांतर धारा $I$ के साथ समान कला में होता है।
$2$. संधारित्र $(V_C)$ के सिरों पर विभवांतर धारा $I$ से $\frac{\pi}{2}$ पीछे होता है।
$3$. प्रेरक $(V_L)$ के सिरों पर विभवांतर धारा $I$ से $\frac{\pi}{2}$ आगे होता है।
विकल्पों का मूल्यांकन:
$(A)$ $R$ $(V_R)$ के सिरों पर विभवांतर $I$ के साथ समान कला में है,और संधारित्र $(V_C)$ के सिरों पर विभवांतर $I$ से $\frac{\pi}{2}$ पीछे है। अतः,$V_R$ और $V_C$ के बीच कलान्तर $\frac{\pi}{2}$ है। यह सही है।
$(B)$ आरोपित e.m.f. $(V)$ धारा $I$ से $\phi$ कोण आगे या पीछे होता है,जबकि $V_R$,$I$ के साथ समान कला में होता है। अतः,$V$ और $V_R$ समान कला में नहीं हैं। यह गलत है।
$(C)$ आरोपित e.m.f. $(V)$ और $V_L$ के बीच कलान्तर $(\frac{\pi}{2} - \phi)$ होता है। यह गलत है।
$(D)$ $V_L$,$I$ से $\frac{\pi}{2}$ आगे है और $V_C$,$I$ से $\frac{\pi}{2}$ पीछे है। अतः,$V_L$ और $V_C$ के बीच कलान्तर $\pi$ है। यह गलत है।

(A) तात्क्षणिक e.m.f. $E = E_{0} \sin \omega t$ द्वारा दिया जाता है।
$AC$ परिपथ में व्यय होने वाली औसत शक्ति $P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$ सूत्र द्वारा दी जाती है,जहाँ $\cos \phi$ शक्ति गुणांक (power factor) है।
यहाँ,$V_{rms} = \frac{E_{0}}{\sqrt{2}}$ और $I_{rms} = \frac{V_{rms}}{Z} = \frac{E_{0}}{\sqrt{2} Z}$ है।
शक्ति गुणांक $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ है।
अतः,$P = \left( \frac{E_{0}}{\sqrt{2}} \right) \left( \frac{E_{0}}{\sqrt{2} Z} \right) \left( \frac{R}{Z} \right) = \frac{E_{0}^{2} R}{2 Z^{2}}$.
$LR$ श्रेणी परिपथ के लिए,प्रतिबाधा (impedance) $Z = \sqrt{R^{2} + X_{L}^{2}}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि $X_{L} = R$,इसलिए $Z = \sqrt{R^{2} + R^{2}} = \sqrt{2 R^{2}} = R \sqrt{2}$।
अतः,$Z^{2} = 2 R^{2}$।
शक्ति के समीकरण में $Z^{2}$ का मान रखने पर: $P = \frac{E_{0}^{2} R}{2 (2 R^{2})} = \frac{E_{0}^{2} R}{4 R^{2}} = \frac{E_{0}^{2}}{4 R}$।

(A) श्रेणी $LCR$ परिपथ की प्रतिबाधा $Z$ का सूत्र निम्नलिखित है:
$Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$
जहाँ $X_L = \omega L$ और $X_C = \frac{1}{\omega C}$ है।
चरण $1$: प्रेरणिक प्रतिघात (inductive reactance) $X_L$ की गणना करें।
$X_L = \omega L = 1000 \times 0.9 = 900 \Omega$.
चरण $2$: धारितीय प्रतिघात (capacitive reactance) $X_C$ की गणना करें।
$X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{1000 \times 2 \times 10^{-6}} = \frac{1}{2 \times 10^{-3}} = 500 \Omega$.
चरण $3$: प्रतिबाधा $Z$ की गणना करें।
$Z = \sqrt{300^2 + (900 - 500)^2}$
$Z = \sqrt{300^2 + 400^2}$
$Z = \sqrt{90000 + 160000} = \sqrt{250000}$
$Z = 500 \Omega$.

(B) लैंप की चमक परिपथ में बहने वाली धारा पर निर्भर करती है।
$RC$ श्रेणी परिपथ में,धारिता प्रतिघात $X_{C} = \frac{1}{\omega C}$ द्वारा दिया जाता है।
जब धारिता $C$ को कम किया जाता है,तो धारिता प्रतिघात $X_{C}$ बढ़ जाता है।
परिपथ की कुल प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + X_{C}^2}$ होती है।
जैसे-जैसे $X_{C}$ बढ़ता है,परिपथ की कुल प्रतिबाधा $Z$ बढ़ जाती है।
$AC$ परिपथ के लिए ओम के नियम के अनुसार,धारा $I = \frac{V}{Z}$ होती है।
चूंकि $Z$ बढ़ता है,इसलिए लैंप से बहने वाली धारा $I$ कम हो जाती है।
अतः,लैंप कम चमक के साथ जलेगा।