RL, RC and LC AC Circuits Questions in Hindi

(B) $A.C.$ परिपथ में,धारा $(I)$ और वोल्टेज $(V)$ के बीच के संबंध को $I-V$ प्लॉट में लिसाजस आकृति द्वारा दर्शाया जा सकता है।
शुद्ध संधारित्र परिपथ के लिए,धारा वोल्टेज से $90^o$ आगे होती है।
शुद्ध प्रेरक परिपथ के लिए,धारा वोल्टेज से $90^o$ पीछे होती है।
दिए गए ग्राफ में,$x$-अक्ष धारा को दर्शाता है और $y$-अक्ष वोल्टेज को दर्शाता है।
जैसे-जैसे समय आगे बढ़ता है (तीर द्वारा इंगित),वक्र एक दीर्घवृत्त बनाता है।
जिस बिंदु पर धारा अधिकतम होती है ($x$-अक्ष पर),वहां वोल्टेज शून्य होता है और बढ़ रहा होता है।
यह इंगित करता है कि धारा वोल्टेज से पहले अपने शिखर पर पहुंच जाती है।
इसलिए,धारा वोल्टेज से लगभग $90^o$ आगे है।

(B) दिया गया है: प्रतिबाधा $Z = 10\,\Omega$,आवृत्ति $f = 1000\,Hz$,कला कोण $\phi = 45^\circ$.
$RL$ सर्किट में कला कोण $\tan \phi = \frac{\omega L}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $\phi = 45^\circ$,$\tan 45^\circ = 1$,इसलिए $\omega L = R$.
प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + (\omega L)^2} = 10\,\Omega$ है।
$R = \omega L$ रखने पर,$Z = \sqrt{(\omega L)^2 + (\omega L)^2} = \sqrt{2}(\omega L) = 10$.
अतः,$\omega L = \frac{10}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2}\,\Omega$.
हम जानते हैं कि $\omega = 2\pi f = 2\pi \times 1000 = 2000\pi\,rad/s$.
इसलिए,$L = \frac{5\sqrt{2}}{2000\pi} = \frac{1}{\sqrt{2} \times 200\pi}\,H$.

(D) प्रारंभिक परिपथ में,$R$ और $6\,\Omega$ के प्रतिरोधक श्रेणीक्रम में हैं। $6\,\Omega$ के प्रतिरोधक के सिरों पर विभवांतर $V_{6\Omega} = 3\,V$ है।
ओम के नियम का उपयोग करते हुए,परिपथ में धारा $I = \frac{V_{6\Omega}}{6\,\Omega} = \frac{3}{6} = 0.5\,A$ है।
कुल वोल्टेज $V = 5\,V$ है। $R$ और $6\,\Omega$ वाले श्रेणी परिपथ में,$V = I(R+6)$ होता है। अतः,$5 = 0.5(R+6)$,जिससे $R+6 = 10$ प्राप्त होता है,यानी $R = 4\,\Omega$।
जब $R$ को $X_L$ प्रतिघात वाले प्रेरक $L$ से बदल दिया जाता है,तो परिपथ एक $L-R$ श्रेणी परिपथ बन जाता है। धारा $I = 0.5\,A$ समान रहती है।
नए परिपथ की प्रतिबाधा $Z = \sqrt{X_L^2 + 6^2}$ है।
$V = IZ$ का उपयोग करते हुए,$5 = 0.5 \sqrt{X_L^2 + 36}$ प्राप्त होता है।
$10 = \sqrt{X_L^2 + 36} \implies 100 = X_L^2 + 36 \implies X_L^2 = 64 \implies X_L = 8\,\Omega$।
प्रेरक के सिरों पर विभवांतर $V_L = I \cdot X_L = 0.5 \times 8 = 4\,V$ है।

(A) $AC$ परिपथ में व्ययित शक्ति का सूत्र है:
$P = V_{rms} I_{rms} \cos\phi$
चूंकि $\cos\phi = \frac{R}{Z}$,इसलिए:
$P = V_{rms} I_{rms} \left( \frac{R}{Z} \right)$ ..........$(1)$
सबसे पहले,परिपथ की कुल प्रतिबाधा $Z$ की गणना करें:
$Z = \frac{V_{rms}}{I_{rms}} = \frac{120}{3} = 40\,\Omega$
अब,समीकरण $(1)$ में मान रखें:
$108 = (120)(3) \times \frac{R}{40}$
$108 = 360 \times \frac{R}{40}$
$108 = 9R$
$R = \frac{108}{9} = 12\,\Omega$
अतः,परिपथ में प्रतिरोध $12\,\Omega$ है।

(A) कुल वोल्टेज $V$ को $V^2 = V_R^2 + V_L^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $V_R = 54 \, V$ और $V = 120 \, V$ है।
$V_L = \sqrt{V^2 - V_R^2} = \sqrt{120^2 - 54^2} = \sqrt{14400 - 2916} = \sqrt{11484} \approx 107.16 \, V$.
प्रतिरोधक द्वारा उपभोग की गई शक्ति $P = V_R \cdot I$ है,इसलिए $I = P / V_R = 16 / 54 \, A$.
प्रेरक (inductor) पर वोल्टेज $V_L = I \cdot X_L = I \cdot (2 \pi f L)$ है।
मान रखने पर: $107.16 = (16 / 54) \cdot 2 \cdot \pi \cdot 60 \cdot L$.
$107.16 = (16 / 54) \cdot 377 \cdot L$.
$L = (107.16 \cdot 54) / (16 \cdot 377) \approx 5786.64 / 6032 \approx 0.96 \, H$.
निकटतम पूर्णांक में पूर्णांकित करने पर,$L \approx 1 \, H$.

(A) $1$. बल्ब की चमक परिपथ में व्यय होने वाली शक्ति पर निर्भर करती है,जो $P = I_{rms}^2 R_{bulb}$ द्वारा दी जाती है।
$2$. $RC$ परिपथ में धारा $I_{rms} = \frac{V_{rms}}{Z}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $Z = \sqrt{R_{total}^2 + X_C^2}$ परिपथ की प्रतिबाधा (impedance) है।
$3$. यहाँ,$X_C = \frac{1}{\omega C}$ धारितीय प्रतिघात (capacitive reactance) है।
$4$. जब संधारित्र में परावैद्युत स्लैब डाली जाती है,तो धारिता $C$ बढ़ जाती है ($C' = KC$,जहाँ $K > 1$)।
$5$. जैसे-जैसे $C$ बढ़ता है,धारितीय प्रतिघात $X_C = \frac{1}{\omega C}$ घट जाता है।
$6$. चूँकि $Z = \sqrt{R_{total}^2 + X_C^2}$ है,$X_C$ में कमी के कारण कुल प्रतिबाधा $Z$ में कमी आती है।
$7$. प्रतिबाधा $Z$ में कमी के परिणामस्वरूप परिपथ में प्रवाहित होने वाली धारा $I_{rms}$ बढ़ जाती है।
$8$. चूँकि $P = I_{rms}^2 R_{bulb}$ है,$I_{rms}$ में वृद्धि से बल्ब द्वारा व्यय की गई शक्ति बढ़ जाती है,इसलिए बल्ब की चमक बढ़ जाएगी।

(B) $L-R$ श्रेणी परिपथ में,प्रतिबाधा $Z$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$
जहाँ $R$ प्रतिरोध है और $X_L$ प्रेरणिक प्रतिघात (inductive reactance) है।
प्रेरणिक प्रतिघात $X_L$ को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है:
$X_L = \omega L = 2 \pi f L$
प्रतिबाधा सूत्र में $X_L$ का मान रखने पर:
$Z = \sqrt{R^2 + (2 \pi f L)^2}$
$Z = \sqrt{R^2 + 4 \pi^2 f^2 L^2}$

(D) श्रेणी $LCR$ परिपथ में,प्रतिबाधा $Z$ का मान $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $X_L = 2\pi fL$ और $X_C = \frac{1}{2\pi fC}$ है।
$f = 0$ ($DC$ स्थिति) पर,धारितीय प्रतिघात $X_C = \frac{1}{2\pi fC} = \infty$ होता है। चूँकि $X_C$ श्रेणी में है,इसलिए कुल प्रतिबाधा $Z = \infty$ हो जाती है। अतः,धारा $I = \frac{E}{Z} = \frac{200}{\infty} = 0\,A$ होगी।
$f = \infty$ पर,प्रेरणिक प्रतिघात $X_L = 2\pi fL = \infty$ होता है। चूँकि $X_L$ श्रेणी में है,इसलिए कुल प्रतिबाधा $Z = \infty$ हो जाती है। अतः,धारा $I = \frac{E}{Z} = \frac{200}{\infty} = 0\,A$ होगी।
इस प्रकार,$f = 0$ और $f = \infty$ दोनों स्थितियों में धारा $0\,A$ होगी।

(B) $RC$ श्रेणी परिपथ में कुल वोल्टेज $V$ का सूत्र $V^2 = V_R^2 + V_C^2$ है।
सबसे पहले,प्रतिरोधक के सिरों पर विभवांतर की गणना करें: $V_R = I \times R = 1.5 \, A \times 30 \, \Omega = 45 \, V$.
अब,मानों को सूत्र में रखें: $V_C = \sqrt{V^2 - V_R^2}$.
$V_C = \sqrt{(120)^2 - (45)^2}$.
$V_C = \sqrt{14400 - 2025} = \sqrt{12375}$.
$V_C \approx 111.24 \, V$.
निकटतम पूर्णांक में,संधारित्र के सिरों पर विभवांतर $111 \, V$ है।

(C) दिया गया है:
$I = 10 \sin \omega t$
$V = 10 \sin \left( \omega t + \pi / 4 \right)$
इन समीकरणों की तुलना सामान्य रूप $I = I_0 \sin \omega t$ और $V = V_0 \sin (\omega t + \phi)$ से करने पर,हम देखते हैं कि कलांतर $\phi = \pi / 4$ है।
चूंकि वोल्टेज धारा से $\pi / 4$ के कोण से आगे (lead) है,इसलिए परिपथ की प्रकृति प्रेरक (inductive) होनी चाहिए।
एक $RL$ परिपथ (प्रतिरोध और प्रेरक) में वोल्टेज धारा से आगे रहता है।
एक $LCR$ परिपथ में भी वोल्टेज धारा से आगे हो सकता है यदि प्रेरक प्रतिघात $X_L$,धारिता प्रतिघात $X_C$ से अधिक हो (अर्थात $X_L > X_C$)।
अतः,परिपथ में $L$ और $R$ दोनों हो सकते हैं,या $L, C$ और $R$ तीनों तत्व हो सकते हैं यदि कुल प्रतिघात प्रेरक हो।
इस प्रकार,विकल्प $(b)$ और $(d)$ सही हैं।

(A) $LCR$ श्रेणी परिपथ में कला कोण (phase angle) $\phi$ का सूत्र $\tan \phi = \frac{X_C - X_L}{R}$ होता है।
दिए गए मानों को रखने पर: $\tan \phi = \frac{8 - 5}{4} = \frac{3}{4}$.
अतः,$\phi = \tan^{-1}(3/4)$.
चूंकि $X_C > X_L$ है,इसलिए परिपथ की प्रकृति धारितात्मक (capacitive) है,जिसका अर्थ है कि धारा वोल्टेज से $\tan^{-1}(3/4)$ के कला कोण से आगे (lead) है।

(B) $LR$ श्रेणी परिपथ के लिए,समय नियतांक $\tau = \frac{L}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
जब बैटरी को $AC$ स्रोत से बदल दिया जाता है,तो $LR$ परिपथ की प्रतिबाधा (impedance) $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2} = \sqrt{R^2 + (\omega L)^2}$ होती है।
शक्ति गुणांक $\cos \phi$ को $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$Z$ का व्यंजक प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\cos \phi = \frac{R}{\sqrt{R^2 + \omega^2 L^2}}$ प्राप्त होता है।
अंश और हर को $R$ से विभाजित करने पर,हमें $\cos \phi = \frac{1}{\sqrt{1 + \omega^2 (\frac{L}{R})^2}}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\tau = \frac{L}{R}$,इस मान को समीकरण में रखने पर $\cos \phi = \frac{1}{\sqrt{1 + \omega^2 \tau^2}}$ प्राप्त होता है।

(A) $RL$ परिपथ में कलांतर $\phi$ का सूत्र $\tan \phi = \frac{X_L}{R}$ होता है।
यहाँ,$X_L = \omega L = 2\pi f L$ है।
दिया गया है: $R = 4\,\Omega$,$L = 0.01\,H$,$f = 50\,Hz$।
मान रखने पर: $\tan \phi = \frac{2\pi \times 50 \times 0.01}{4}$।
$\tan \phi = \frac{100\pi \times 0.01}{4} = \frac{\pi}{4}$।
अतः,कलांतर $\phi = \tan^{-1}\left(\frac{\pi}{4}\right)$ होगा।

(B) $AC$ श्रेणी $LR$ परिपथ में,प्रतिरोधक $(V_R)$ और प्रेरक $(V_L)$ के सिरों पर वोल्टेज $90^{\circ}$ के कलांतर (phase difference) पर होते हैं।
स्रोत का कुल विभवांतर $(V)$ फेजर योग द्वारा दिया जाता है:
$V = \sqrt{V_R^2 + V_L^2}$
दिया गया है:
$V_L = 16 \, V$
$V_R = 20 \, V$
मान रखने पर:
$V = \sqrt{(20)^2 + (16)^2}$
$V = \sqrt{400 + 256}$
$V = \sqrt{656}$
$V \approx 25.61 \, V$
दिए गए विकल्पों के अनुसार,कुल विभवांतर $25.6 \, V$ है।

(B) दिया गया है: $L = 0.7 \, H$,$R = 220 \, \Omega$,$V_{rms} = 220 \, V$,$f = 50 \, Hz$.
सबसे पहले,प्रेरणिक प्रतिघात $X_L$ की गणना करें:
$X_L = 2 \pi f L = 2 \times \frac{22}{7} \times 50 \times 0.7 = 220 \, \Omega$.
कला कोण $\phi$ इस प्रकार है:
$\tan \phi = \frac{X_L}{R} = \frac{220}{220} = 1 \implies \phi = 45^o$.
कुल प्रतिबाधा $Z$ है:
$Z = \sqrt{R^2 + X_L^2} = \sqrt{220^2 + 220^2} = 220\sqrt{2} \, \Omega$.
$rms$ धारा $I_{rms}$ है:
$I_{rms} = \frac{V_{rms}}{Z} = \frac{220}{220\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \, A$.
धारा का वाटहीन घटक $I_{rms} \sin \phi$ है:
$I_{wattless} = I_{rms} \sin 45^o = \frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 0.5 \, A$.
अतः,कला कोण $45^o$ है और वाटहीन घटक $0.5 \, A$ है।

(D) एक शुद्ध प्रेरक में,धारा प्रेरक के सिरों के बीच विभवांतर से $\pi/2$ रेडियन (या $90^{\circ}$) के कला कोण से पीछे रहती है।
यह कला संबंध $A.C.$ स्रोत की आवृत्ति से स्वतंत्र है।
इसलिए,प्रेरक $L$ के सिरों के बीच धारा और विभवांतर के बीच का कला कोण आवृत्ति में परिवर्तन की परवाह किए बिना $90^{\circ}$ पर स्थिर रहता है।
हालाँकि,यदि प्रश्न पूरे $LR$ श्रेणी परिपथ के कला कोण $\phi$ के बारे में है,तो यह $\tan \phi = \frac{X_L}{R} = \frac{\omega L}{R} = \frac{2\pi f L}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
जैसे-जैसे आवृत्ति $f$ बढ़ती है,$\tan \phi$ बढ़ता है,और इस प्रकार स्रोत वोल्टेज और धारा के बीच का कला कोण $\phi$ बढ़ता जाता है।
दिए गए विकल्पों को देखते हुए,प्रश्न परिपथ के कला कोण के बारे में पूछना चाहता है,जो आवृत्ति बढ़ने के साथ बढ़ता है।

(A) दिया गया है,प्रतिरोध $R = 30\,\Omega$ और $f = 50\,Hz$ आवृत्ति पर प्रेरणिक प्रतिघात $X_L = 20\,\Omega$ है।
चूंकि $X_L = 2\pi f L$,इसलिए $20 = 2\pi(50)L$,जिसका अर्थ है $L = \frac{20}{100\pi} = \frac{1}{5\pi}\,H$।
जब आवृत्ति बदलकर $f' = 100\,Hz$ कर दी जाती है,तो नया प्रेरणिक प्रतिघात $X_L' = 2\pi f' L = 2\pi(100)(\frac{1}{5\pi}) = 40\,\Omega$ होगा।
$100\,Hz$ पर कुंडली की प्रतिबाधा (impedance) $Z = \sqrt{R^2 + (X_L')^2} = \sqrt{30^2 + 40^2} = \sqrt{900 + 1600} = \sqrt{2500} = 50\,\Omega$ है।
कुंडली में प्रवाहित धारा $I = \frac{V}{Z} = \frac{200}{50} = 4\,A$ है।

(A) $A.C.$ स्रोत के लिए,प्रतिबाधा $Z = \frac{V}{I_{AC}} = \frac{12 \; V}{0.2 \; A} = 60 \; \Omega$ है।
$D.C.$ स्रोत के लिए,प्रतिरोध $R = \frac{V}{I_{DC}} = \frac{12 \; V}{0.4 \; A} = 30 \; \Omega$ है।
चूंकि $Z > R$,परिपथ में प्रतिरोध $(R)$ के साथ एक प्रेरक $(L)$ होना चाहिए।
$D.C.$ परिपथ में,एक आदर्श संधारित्र अनंत प्रतिरोध प्रदान करता है,लेकिन चूंकि $D.C.$ स्थिति में धारा प्रवाहित हो रही है,इसलिए परिपथ में संधारित्र नहीं हो सकता है। अतः,यह परिपथ एक श्रेणी $LR$ परिपथ है।

(A) दिया गया है: $L = 40 \times 10^{-3} \; H$,$C = 100 \times 10^{-6} \; F$,$V(t) = 10 \sin (314 t)$.
यहाँ,$\omega = 314 \; rad/s$.
प्रेरकीय प्रतिघात $X_{L} = \omega L = 314 \times 40 \times 10^{-3} = 12.56 \; \Omega$.
धारितीय प्रतिघात $X_{C} = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{314 \times 100 \times 10^{-6}} = \frac{10^{4}}{314} \approx 31.85 \; \Omega$.
चूंकि $X_{C} > X_{L}$,परिपथ धारितीय है।
कुल प्रतिघात $X = X_{C} - X_{L} = 31.85 - 12.56 = 19.29 \; \Omega$.
अधिकतम धारा $I_{m} = \frac{V_{m}}{X} = \frac{10}{19.29} \approx 0.52 \; A$.
एक धारितीय परिपथ में,धारा वोल्टेज से $\frac{\pi}{2}$ आगे होती है।
अतः,$I(t) = I_{m} \sin (\omega t + \frac{\pi}{2}) = 0.52 \sin (314 t + \frac{\pi}{2}) = 0.52 \cos (314 t)$.

(B) जब लोहे की छड़ को इंडक्टर में डाला जाता है,तो कोर की चुंबकीय पारगम्यता (magnetic permeability) बढ़ जाती है,जिससे कॉइल का स्व-प्रेरकत्व (self-inductance) $(L)$ बढ़ जाता है।
कॉइल का प्रेरणिक प्रतिघात (inductive reactance) $X_L = \omega L$ द्वारा दिया जाता है। जैसे-जैसे $L$ बढ़ता है,प्रेरणिक प्रतिघात $X_L$ भी बढ़ता है।
श्रेणी परिपथ का कुल प्रतिबाधा (impedance) $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ है,जहाँ $R$ बल्ब का प्रतिरोध है। जैसे-जैसे $X_L$ बढ़ता है,परिपथ की कुल प्रतिबाधा $Z$ बढ़ जाती है।
चूंकि स्रोत वोल्टेज $V$ स्थिर है,इसलिए परिपथ में धारा $I = V/Z$ कम हो जाती है।
लाइट बल्ब की चमक व्यय हुई शक्ति $P = I^2 R$ पर निर्भर करती है। चूंकि धारा $I$ कम हो जाती है,इसलिए बल्ब में व्यय हुई शक्ति कम हो जाती है,और इसलिए,लाइट बल्ब की चमक घट जाती है।

(A) $R = 200 \; \Omega, C = 15.0 \; \mu F = 15.0 \times 10^{-6} \; F$
$V = 220 \; V, \nu = 50 \; Hz$
$(a)$ धारा की गणना करने के लिए,हमें परिपथ के प्रतिबाधा $Z$ की आवश्यकता है:
$X_C = \frac{1}{2 \pi \nu C} = \frac{1}{2 \times 3.14 \times 50 \times 15.0 \times 10^{-6}} \approx 212.3 \; \Omega$
$Z = \sqrt{R^2 + X_C^2} = \sqrt{200^2 + 212.3^2} \approx 291.67 \; \Omega$
$I = \frac{V}{Z} = \frac{220}{291.67} \approx 0.754 \; A$
$(b)$ प्रतिरोधक के सिरों पर वोल्टेज $V_R = I R = 0.754 \times 200 = 150.8 \; V$ है।
संधारित्र के सिरों पर वोल्टेज $V_C = I X_C = 0.754 \times 212.3 = 160.1 \; V$ है।
उनका बीजगणितीय योग $150.8 + 160.1 = 310.9 \; V$ है,जो $220 \; V$ के स्रोत वोल्टेज से अधिक है। यह कोई विरोधाभास नहीं है क्योंकि $V_R$ और $V_C$ समान कला में नहीं हैं। $V_R$ धारा के साथ समान कला में है,जबकि $V_C$ धारा से $90^{\circ}$ पीछे है। कुल वोल्टेज फेजर योग है: $V = \sqrt{V_R^2 + V_C^2} = \sqrt{150.8^2 + 160.1^2} \approx 220 \; V$।

(A) $LC$ परिपथ की अनुनादी आवृत्ति (resonant frequency) $f = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}$ द्वारा दी जाती है।
धारिता के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$C = \frac{1}{4\pi^2 f^2 L}$ प्राप्त होता है।
यहाँ $L = 200 \;\mu H = 200 \times 10^{-6} \;H$ दिया गया है।
$f_1 = 800 \;kHz = 800 \times 10^3 \;Hz$ के लिए:
$C_1 = \frac{1}{4 \times (3.14)^2 \times (800 \times 10^3)^2 \times 200 \times 10^{-6}} \approx 198 \;pF$.
$f_2 = 1200 \;kHz = 1200 \times 10^3 \;Hz$ के लिए:
$C_2 = \frac{1}{4 \times (3.14)^2 \times (1200 \times 10^3)^2 \times 200 \times 10^{-6}} \approx 88 \;pF$.
अतः,परिवर्ती संधारित्र की रेंज $88 \;pF$ से $198 \;pF$ है।

(A) दिया गया है:
प्रेरकत्व $L = 0.50 \; H$
प्रतिरोध $R = 100 \; \Omega$
$RMS$ वोल्टेज $V_{rms} = 240 \; V$
आवृत्ति $f = 50 \; Hz$
$(a)$ पीक वोल्टेज $V_0 = \sqrt{2} \times V_{rms} = 1.414 \times 240 = 339.41 \; V$.
कोणीय आवृत्ति $\omega = 2 \pi f = 2 \pi \times 50 = 100 \pi \; rad/s$.
प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + (\omega L)^2} = \sqrt{100^2 + (100 \pi \times 0.5)^2} = \sqrt{10000 + 24674} = \sqrt{34674} \approx 186.21 \; \Omega$.
अधिकतम धारा $I_0 = \frac{V_0}{Z} = \frac{339.41}{186.21} \approx 1.82 \; A$.
$(b)$ कला कोण $\phi$ इस प्रकार है: $\tan \phi = \frac{\omega L}{R} = \frac{100 \pi \times 0.5}{100} = \frac{\pi}{2} \approx 1.57$.
$\phi = \tan^{-1}(1.57) \approx 57.5^{\circ}$.
रेडियन में परिवर्तन: $\phi = 57.5 \times \frac{\pi}{180} \approx 1.003 \; rad$.
समय अंतराल $\Delta t = \frac{\phi}{\omega} = \frac{1.003}{100 \pi} \approx 3.19 \times 10^{-3} \; s = 3.2 \; ms$.

(A) दिया गया है: प्रेरकत्व $L = 0.50 \; H$,प्रतिरोध $R = 100 \; \Omega$,$RMS$ वोल्टेज $V_{rms} = 240 \; V$,आवृत्ति $\nu = 10 \; kHz = 10^4 \; Hz$.
$(a)$ पीक वोल्टेज $V_0 = V_{rms} \sqrt{2} = 240 \sqrt{2} \approx 339.4 \; V$.
कोणीय आवृत्ति $\omega = 2 \pi \nu = 2 \pi \times 10^4 \; rad/s$.
प्रेरक प्रतिघात $X_L = \omega L = 2 \pi \times 10^4 \times 0.5 = \pi \times 10^4 \approx 31416 \; \Omega$.
प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2} = \sqrt{100^2 + (31416)^2} \approx 31416 \; \Omega$.
अधिकतम धारा $I_0 = \frac{V_0}{Z} = \frac{339.4}{31416} \approx 1.08 \times 10^{-2} \; A$.
$(b)$ कला कोण $\phi = \tan^{-1}(\frac{\omega L}{R}) = \tan^{-1}(\frac{31416}{100}) \approx \tan^{-1}(314.16) \approx 89.82^{\circ}$.
समय अंतराल $\Delta t = \frac{\phi}{\omega} = \frac{89.82 \times \pi / 180}{2 \pi \times 10^4} \approx 2.5 \times 10^{-5} \; s = 25 \; \mu s$.
बहुत उच्च आवृत्तियों पर,$X_L = \omega L$ बहुत बड़ा हो जाता है,जिससे $Z$ बहुत बड़ा हो जाता है,इसलिए $I_0 \to 0$,जो एक ओपन सर्किट की तरह कार्य करता है। स्थिर अवस्था में $DC$ परिपथ में,$\omega = 0$,इसलिए $X_L = 0$,और प्रेरक एक शुद्ध चालक (शॉर्ट सर्किट) के रूप में कार्य करता है।

(A) संधारित्र की धारिता,$C = 100 \;\mu\,F = 100 \times 10^{-6} \;F$.
प्रतिरोधक का प्रतिरोध,$R = 40 \;\Omega$.
आपूर्ति वोल्टेज $(RMS)$,$V_{rms} = 110 \;V$.
आवृत्ति,$f = 60 \;Hz$.
$(a)$ कोणीय आवृत्ति,$\omega = 2\pi f = 120\pi \;rad/s$.
प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + X_C^2}$,जहाँ $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{120\pi \times 100 \times 10^{-6}} \approx 26.53 \;\Omega$.
$Z = \sqrt{40^2 + 26.53^2} = \sqrt{1600 + 703.84} = \sqrt{2303.84} \approx 48 \;\Omega$.
शिखर वोल्टेज $V_0 = V_{rms} \sqrt{2} = 110 \times 1.414 = 155.56 \;V$.
अधिकतम धारा $I_0 = \frac{V_0}{Z} = \frac{155.56}{48} \approx 3.24 \;A$.
$(b)$ $RC$ परिपथ में,धारा वोल्टेज से $\phi$ कला कोण से आगे होती है,जहाँ $\tan \phi = \frac{X_C}{R} = \frac{26.53}{40} = 0.66325$.
$\phi = \tan^{-1}(0.66325) \approx 33.55^{\circ} = 0.5856 \;rad$.
समय अंतराल $\Delta t = \frac{\phi}{\omega} = \frac{0.5856}{120\pi} \approx 1.55 \times 10^{-3} \;s = 1.55 \;ms$.

(A) दिया गया है: $C = 100 \;\mu F = 100 \times 10^{-6} \;F$,$R = 40 \;\Omega$,$V_{rms} = 110 \;V$,$f = 12 \;kHz = 12 \times 10^3 \;Hz$.
कोणीय आवृत्ति $\omega = 2\pi f = 2 \times \pi \times 12 \times 10^3 = 24\pi \times 10^3 \;rad/s$.
पीक वोल्टेज $V_0 = V_{rms} \sqrt{2} = 110 \sqrt{2} \;V$.
धारितीय प्रतिघात $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{24\pi \times 10^3 \times 100 \times 10^{-6}} = \frac{1}{2.4\pi} \approx 0.1326 \;\Omega$.
प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + X_C^2} = \sqrt{40^2 + (0.1326)^2} \approx 40 \;\Omega$.
$(a)$ अधिकतम धारा $I_0 = \frac{V_0}{Z} = \frac{110 \sqrt{2}}{40} \approx 3.89 \;A \approx 3.9 \;A$.
$(b)$ कला कोण $\phi = \tan^{-1}(\frac{X_C}{R}) = \tan^{-1}(\frac{0.1326}{40}) \approx 0.19^\circ$.
समय अंतराल $\Delta t = \frac{\phi}{\omega} = \frac{0.19 \times \pi}{180 \times 24\pi \times 10^3} \approx 4.4 \times 10^{-8} \;s$.
बहुत उच्च आवृत्तियों पर,$X_C = \frac{1}{\omega C} \to 0$ हो जाता है,इसलिए संधारित्र एक चालक के रूप में कार्य करता है। $dc$ परिपथ में,$f=0$ होने के कारण $\omega=0$ और $X_C \to \infty$ हो जाता है,जो एक खुले परिपथ (open circuit) की तरह कार्य करता है।

(A) दिया गया है: $L = 80 \, mH = 0.08 \, H$,$C = 60 \, \mu F = 60 \times 10^{-6} \, F$,$V_{rms} = 230 \, V$,$f = 50 \, Hz$.
कोणीय आवृत्ति $\omega = 2 \pi f = 100 \pi \approx 314.16 \, rad/s$.
प्रेरकीय प्रतिघात $X_L = \omega L = 100 \pi \times 0.08 = 8 \pi \approx 25.13 \, \Omega$.
धारतीय प्रतिघात $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{100 \pi \times 60 \times 10^{-6}} = \frac{10^6}{6000 \pi} \approx 53.05 \, \Omega$.
कुल प्रतिघात $X = |X_L - X_C| = |25.13 - 53.05| = 27.92 \, \Omega$.
$(a)$ $I_{rms} = \frac{V_{rms}}{X} = \frac{230}{27.92} \approx 8.24 \, A$. धारा का आयाम $I_0 = I_{rms} \sqrt{2} \approx 8.24 \times 1.414 \approx 11.65 \, A$.
$(b)$ $V_{L,rms} = I_{rms} X_L = 8.24 \times 25.13 \approx 207.07 \, V$. $V_{C,rms} = I_{rms} X_C = 8.24 \times 53.05 \approx 437.13 \, V$.
$(c)$ प्रेरक में औसत शक्ति $P_L = V_{L,rms} I_{rms} \cos(90^\circ) = 0 \, W$.
$(d)$ संधारित्र में औसत शक्ति $P_C = V_{C,rms} I_{rms} \cos(90^\circ) = 0 \, W$.
$(e)$ कुल औसत शक्ति $P = P_L + P_C = 0 \, W$.

(N/A) एक $L-C-R$ श्रेणी $AC$ परिपथ में,सभी घटकों से प्रवाहित होने वाली धारा $i$ समान होती है। मान लीजिए तात्कालिक धारा $i = I_m \sin(\omega t)$ है।
$(i)$ प्रतिरोध $(R)$ के सिरों पर वोल्टेज $(V_R)$ का सूत्र $V_R = iR$ है।
$(ii)$ प्रेरक $(L)$ के सिरों पर वोल्टेज $(V_L)$ का सूत्र $V_L = iX_L$ है,जहाँ $X_L = \omega L$ प्रेरणिक प्रतिघात (inductive reactance) है। अतः,$V_L = i(\omega L)$।
$(iii)$ संधारित्र $(C)$ के सिरों पर वोल्टेज $(V_C)$ का सूत्र $V_C = iX_C$ है,जहाँ $X_C = \frac{1}{\omega C}$ धारितीय प्रतिघात (capacitive reactance) है। अतः,$V_C = i(\frac{1}{\omega C})$।

(B) $LCR$ श्रेणी परिपथ में,कला कोण (phase angle) $\phi$ को $\tan \phi = \frac{X_L - X_C}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
स्थिति $1$: यदि ${X_L} > {X_C}$ है,तो $\tan \phi > 0$ होता है,जिसका अर्थ है कि $\phi$ धनात्मक है। इस स्थिति में,वोल्टेज धारा से आगे होता है,या धारा वोल्टेज से पीछे होती है।
स्थिति $2$: यदि ${X_C} > {X_L}$ है,तो $\tan \phi < 0$ होता है,जिसका अर्थ है कि $\phi$ ऋणात्मक है। इस स्थिति में,धारा वोल्टेज से आगे होती है।
अतः,जब ${X_C} < {X_L}$ होता है,तो धारा वोल्टेज से पीछे होती है,और जब ${X_C} > {X_L}$ होता है,तो धारा वोल्टेज से आगे होती है।

(N/A) प्रेरक प्रतिघात $X_{L} = 2 \pi \nu L$ द्वारा और धारिता प्रतिघात $X_{C} = \frac{1}{2 \pi \nu C}$ द्वारा दिया जाता है।
बहुत उच्च आवृत्तियों के लिए,$\nu \rightarrow \infty$.
जैसे-जैसे $\nu \rightarrow \infty$,प्रेरक प्रतिघात $X_{L} \rightarrow \infty$,जो एक ओपन सर्किट के रूप में कार्य करता है। इसके विपरीत,धारिता प्रतिघात $X_{C} \rightarrow 0$,जो एक शॉर्ट सर्किट के रूप में कार्य करता है।
इसलिए,दिए गए परिपथ में,संधारित्र $C_{1}$ और $C_{2}$ शॉर्ट सर्किट (तार) के रूप में कार्य करते हैं,और प्रेरक $L_{1}$ और $L_{2}$ ओपन सर्किट (पथ में रुकावट) के रूप में कार्य करते हैं।
घटकों को उनके उच्च-आवृत्ति समतुल्यों के साथ बदलने पर,परिपथ प्रतिरोधों $R_{1}$ और $R_{3}$ के श्रेणी संयोजन में सरल हो जाता है।
अतः,प्रभावी प्रतिबाधा $Z_{eq} = R_{1} + R_{3}$ है।

(A) दिया गया है: प्रेरकत्व $L = 0.01 \, H$,प्रतिरोध $R = 1 \, \Omega$,वोल्टेज $V = 200 \, V$,आवृत्ति $f = 50 \, Hz$.
$1$. प्रेरणिक प्रतिघात $X_L$ की गणना:
$X_L = 2 \pi f L = 2 \times 3.1416 \times 50 \times 0.01 = 3.1416 \, \Omega$.
$2$. परिपथ की प्रतिबाधा $Z$ की गणना:
$Z = \sqrt{R^2 + X_L^2} = \sqrt{1^2 + (3.1416)^2} = \sqrt{1 + 9.8696} = \sqrt{10.8696} \approx 3.297 \, \Omega$.
$3$. कला कोण $\phi$ की गणना:
$\tan \phi = \frac{X_L}{R} = \frac{3.1416}{1} = 3.1416$.
$\phi = \tan^{-1}(3.1416) \approx 72.34^{\circ}$.
$4$. समयांतर $\Delta t$ की गणना:
$\Delta t = \frac{\phi}{\omega} = \frac{\phi}{2 \pi f} = \frac{72.34 \times \pi / 180}{2 \times \pi \times 50} = \frac{72.34}{36000} \approx 0.00201 \, s$ या $2.01 \, ms$.

(N/A) $LCR$ परिपथ के लिए दिया गया समीकरण:
$L \frac{di}{dt} + Ri + \frac{q}{C} = V_m \sin \omega t$
$(a)$ दोनों पक्षों को $i$ से गुणा करने पर:
$Li \frac{di}{dt} + i^2 R + \frac{q}{C} i = V_m i \sin \omega t$
चूंकि $i = \frac{dq}{dt}$,हम लिख सकते हैं:
$\frac{d}{dt} \left( \frac{1}{2} L i^2 \right) + i^2 R + \frac{d}{dt} \left( \frac{q^2}{2C} \right) = Vi$
$(b)$ भौतिक व्याख्या:
$Li \frac{di}{dt} = \frac{d}{dt} (\frac{1}{2} L i^2)$ प्रेरक (inductor) में संचित चुंबकीय ऊर्जा के परिवर्तन की दर है।
$i^2 R$ प्रतिरोधक में जूल ऊष्मीय (शक्ति क्षय) की दर है।
$\frac{q}{C} i = \frac{d}{dt} (\frac{q^2}{2C})$ संधारित्र (capacitor) में संचित विद्युत ऊर्जा के परिवर्तन की दर है।
$Vi$ स्रोत द्वारा प्रदान की गई तात्कालिक शक्ति है।
$(c)$ समीकरण $\frac{d}{dt} (\frac{1}{2} L i^2 + \frac{q^2}{2C}) + i^2 R = Vi$ ऊर्जा संरक्षण को दर्शाता है,जहाँ स्रोत द्वारा प्रदान की गई शक्ति संचित ऊर्जा में परिवर्तन की दर और ऊष्मा के रूप में क्षयित शक्ति के योग के बराबर है।
$(d)$ एक चक्र $T = \frac{2\pi}{\omega}$ पर समाकलन करने पर:
$\int_0^T \frac{d}{dt} (\frac{1}{2} L i^2 + \frac{q^2}{2C}) dt + \int_0^T i^2 R dt = \int_0^T Vi dt$
चूंकि $L$ और $C$ में संचित ऊर्जा आवर्ती है,एक चक्र पर अवकलज का समाकलन शून्य होता है।
$0 + I_{rms}^2 R T = \int_0^T Vi dt$
चूंकि $I_{rms}^2 R T > 0$,औसत शक्ति $\int_0^T Vi dt$ धनात्मक होनी चाहिए। इसका अर्थ है कि $\cos \phi > 0$,अर्थात कलांतर $\phi$ न्यूनकोण होना चाहिए।

(A) $RL$ परिपथ का प्रतिबाधा (impedance) $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2} = 100\, \Omega$ द्वारा दिया जाता है।
यह दिया गया है कि वोल्टेज धारा से $\phi = 45^{\circ}$ आगे है,इसलिए $\tan \phi = \frac{X_L}{R}$।
चूंकि $\tan 45^{\circ} = 1$,इसलिए $X_L = R$ प्राप्त होता है।
प्रतिबाधा समीकरण में $X_L = R$ रखने पर: $\sqrt{X_L^2 + X_L^2} = 100 \Rightarrow \sqrt{2} X_L = 100$।
अतः,$X_L = \frac{100}{\sqrt{2}} = 50\sqrt{2}\, \Omega$।
चूंकि $X_L = 2\pi f L$,इसलिए $L = \frac{X_L}{2\pi f} = \frac{50\sqrt{2}}{2 \times \pi \times 1000}$।
$L = \frac{25\sqrt{2}}{1000\pi} \approx \frac{25 \times 1.414}{3141.59} \approx 0.01125\, H = 1.125 \times 10^{-2}\, H$।

(B) जब प्रेरक में लोहे की छड़ डाली जाती है,तो इसका स्व-प्रेरकत्व (self-inductance) $L$ बढ़ जाता है क्योंकि कोर की पारगम्यता (permeability) बढ़ जाती है।
प्रेरक प्रतिघात (inductive reactance) $X_L = \omega L$ द्वारा दिया जाता है। जैसे-जैसे $L$ बढ़ता है,$X_L$ भी बढ़ता है।
परिपथ की प्रतिबाधा (impedance) $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ है। चूँकि $X_L$ बढ़ता है,इसलिए परिपथ की कुल प्रतिबाधा $Z$ बढ़ जाती है।
परिपथ में धारा $I = \frac{V}{Z}$ द्वारा दी जाती है। जैसे-जैसे $Z$ बढ़ता है,परिपथ में बहने वाली धारा $I$ कम हो जाती है।
बल्ब में व्यय होने वाली शक्ति $P = I^2 R$ द्वारा दी जाती है। चूँकि धारा $I$ कम हो जाती है,इसलिए बल्ब में व्यय होने वाली शक्ति कम हो जाती है,और इसलिए,प्रकाश बल्ब की चमक घट जाती है।

(A) श्रेणी $R-C$ परिपथ के लिए,कुल अनुप्रयुक्त वोल्टेज $V$,प्रतिरोधक के सिरों पर वोल्टेज $V_R$ और संधारित्र के सिरों पर वोल्टेज $V_C$ के फेजर योग द्वारा दिया जाता है:
$V^2 = V_R^2 + V_C^2$
यहाँ $V = 10\, V$ और $V_C = 8\, V$ दिया गया है,इसलिए:
$10^2 = V_R^2 + 8^2$
$100 = V_R^2 + 64$
$V_R^2 = 100 - 64 = 36$
$V_R = 6\, V$
अब,धारा और अनुप्रयुक्त वोल्टेज के बीच कलांतर $\phi$ इस प्रकार दिया जाता है:
$\tan \phi = \frac{V_C}{V_R}$
$\tan \phi = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$
$\phi = \tan^{-1}\left(\frac{4}{3}\right)$
अतः,$R$ के सिरों पर वोल्टेज $6\, V$ है और कलांतर $\tan^{-1}\left(\frac{4}{3}\right)$ है।

(B) $LCR$ श्रेणी परिपथ में,स्रोत वोल्टेज $V$ और घटकों पर वोल्टेज के बीच संबंध इस प्रकार है:
$V^{2} = V_{R}^{2} + (V_{L} - V_{C})^{2}$
दिया गया है:
$V = 120 \ V$
$V_{R} = 40 \ V$
$V_{L} = 50 \ V$
समीकरण में मान रखने पर:
$120^{2} = 40^{2} + (50 - V_{C})^{2}$
$14400 = 1600 + (50 - V_{C})^{2}$
$(50 - V_{C})^{2} = 14400 - 1600 = 12800$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$50 - V_{C} = \pm \sqrt{12800} = \pm \sqrt{6400 \times 2} = \pm 80\sqrt{2}$
स्थिति $1$: $50 - V_{C} = 80\sqrt{2} \implies V_{C} = 50 - 80\sqrt{2}$ (ऋणात्मक मान,जो संभव नहीं है)
स्थिति $2$: $50 - V_{C} = -80\sqrt{2} \implies V_{C} = 50 + 80\sqrt{2}$
$V_{C} = 10(5 + 8\sqrt{2}) \ V$

(D) वोल्टेज और धारा के बीच कलांतर $\phi$ को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
$(a)$ शुद्ध प्रतिरोधक परिपथ में,वोल्टेज और धारा समान कला में होते हैं,इसलिए कलांतर $0$ है।
$(b)$ शुद्ध प्रेरक परिपथ में,वोल्टेज धारा से $\frac{\pi}{2}$ आगे होता है,जिसका अर्थ है कि धारा वोल्टेज से $\frac{\pi}{2}$ पीछे है।
$(c)$ शुद्ध संधारित्र परिपथ में,धारा वोल्टेज से $\frac{\pi}{2}$ आगे होती है।
$(d)$ $LCR$ श्रेणी परिपथ में,कलांतर $\tan \phi = \frac{X_L - X_C}{R}$ द्वारा दिया जाता है,या समान रूप से $\tan \phi = \frac{-(X_C - X_L)}{R}$,जो चिह्न परिपाटी के आधार पर $\tan^{-1}\left(\frac{X_C - X_L}{R}\right)$ के अनुरूप है।
इनकी तुलना करने पर,हमें $(a)-(ii), (b)-(iii), (c)-(i), (d)-(iv)$ प्राप्त होता है।

(B) $AC$ परिपथ का शक्ति गुणांक $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रारंभिक परिपथ ($RL$ परिपथ) के लिए:
$Z = \sqrt{R^2 + X_L^2} = \sqrt{R^2 + (3R)^2} = \sqrt{R^2 + 9R^2} = \sqrt{10R^2} = R\sqrt{10}$.
पुराना शक्ति गुणांक,$\cos \phi = \frac{R}{R\sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}}$.
नए परिपथ ($RLC$ परिपथ) के लिए:
$Z' = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} = \sqrt{R^2 + (3R - 2R)^2} = \sqrt{R^2 + R^2} = \sqrt{2R^2} = R\sqrt{2}$.
नया शक्ति गुणांक,$\cos \phi' = \frac{R}{R\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
नए शक्ति गुणांक और पुराने शक्ति गुणांक का अनुपात:
$\frac{\cos \phi'}{\cos \phi} = \frac{1/\sqrt{2}}{1/\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{2}} = \sqrt{5} = \frac{\sqrt{5}}{1}$.
इसकी तुलना $\sqrt{5} : x$ से करने पर,हमें $x = 1$ प्राप्त होता है।

(A) $LCR$ परिपथ में कला कोण $\phi$,$\tan \phi = \frac{X_C - X_L}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि धारा वोल्टेज से आगे है,परिपथ धारितात्मक (capacitive) है और कला कोण $\phi = 45^{\circ}$ है (जब $X_C > X_L$ हो)।
अतः,$\tan 45^{\circ} = \frac{X_C - X_L}{R} \implies 1 = \frac{X_C - X_L}{R}$.
इससे $X_C - X_L = R$ प्राप्त होता है।
यहाँ $L = 30 \, {mH} = 0.03 \, {H}$,$R = 1 \, \Omega$,और $\omega = 300 \, {rad/s}$ है।
$X_L = \omega L = 300 \times 0.03 = 9 \, \Omega$.
मान रखने पर: $X_C - 9 = 1 \implies X_C = 10 \, \Omega$.
चूंकि $X_C = \frac{1}{\omega C}$,इसलिए $\frac{1}{300 \times C} = 10$.
$C = \frac{1}{3000} = \frac{1}{3} \times 10^{-3} \, {F}$.
अतः,$x = 3$.

(D) दिया गया है: $R=100\,\Omega$,$L=0.5\,mH = 0.5 \times 10^{-3}\,H$,$C=0.1\,pF = 0.1 \times 10^{-12}\,F$,$f=50\,Hz$.
कोणीय आवृत्ति $\omega = 2\pi f = 2\pi \times 50 = 100\pi\,rad/s$.
इंडक्टिव रिएक्टेंस $X_L = \omega L = 100\pi \times 0.5 \times 10^{-3} = 0.05\pi\,\Omega \approx 0.157\,\Omega$.
कैपेसिटिव रिएक्टेंस $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{100\pi \times 0.1 \times 10^{-12}} = \frac{10^{11}}{10\pi} = \frac{10^{10}}{\pi}\,\Omega \approx 3.18 \times 10^9\,\Omega$.
चूंकि $X_C \gg X_L$ और $X_C \gg R$,इसलिए परिपथ मुख्य रूप से कैपेसिटिव है।
कला कोण $\phi$ का मान $\tan \phi = \frac{X_L - X_C}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $X_C$,$R$ और $X_L$ की तुलना में बहुत बड़ा है,इसलिए $\tan \phi \approx -\infty$,जिसका अर्थ है $\phi \approx -90^{\circ}$।
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि धारा वोल्टेज से लगभग $90^{\circ}$ आगे है,जो पुष्टि करता है कि परिपथ मुख्य रूप से कैपेसिटिव है।

(C) प्रेरक प्रतिघात (Inductive reactance),$X_L = \omega L = 2\pi f L$.
मान रखने पर,$X_L = 2 \times \frac{22}{7} \times 50 \times 0.07 = 100 \times \frac{22}{7} \times 0.07 = 22\,\Omega$.
परिपथ की प्रतिबाधा (Impedance),$Z = \sqrt{R^2 + X_L^2} = \sqrt{12^2 + 22^2} = \sqrt{144 + 484} = \sqrt{628} \approx 25.06\,\Omega \approx 25\,\Omega$.
परिपथ में धारा,$I = \frac{V}{Z} = \frac{220}{25} = 8.8\,A$.
कला कोण $\phi$ के लिए,$\tan \phi = \frac{X_L}{R} = \frac{22}{12} = \frac{11}{6}$.
अतः,$\phi = \tan^{-1}\left(\frac{11}{6}\right)$.

(A) दिया गया है: $V(t) = 210 \sin(3000t) \text{ V}$,$L = 10 \text{ mH} = 10^{-2} \text{ H}$,$C = 25 \mu\text{F} = 25 \times 10^{-6} \text{ F}$,$R = 100 \Omega$.
कोणीय आवृत्ति $\omega = 3000 \text{ rad/s}$.
प्रेरक प्रतिघात $X_L = \omega L = 3000 \times 10^{-2} = 30 \Omega$.
धारतीय प्रतिघात $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{3000 \times 25 \times 10^{-6}} = \frac{1}{0.075} = \frac{40}{3} \Omega \approx 13.33 \Omega$.
कलांतर $\Phi$ का सूत्र $\tan \Phi = \frac{X_L - X_C}{R}$ है।
$\tan \Phi = \frac{30 - 13.33}{100} = \frac{16.67}{100} = 0.1667 \approx 0.17$.
अतः,$\Phi = \tan^{-1}(0.17)$.

(B) लैंप का प्रतिरोध $R = \frac{V_L^2}{P} = \frac{100^2}{50} = 200\,\Omega$ है।
$RC$ श्रेणी परिपथ में,कुल वोल्टेज $V$ को $V^2 = V_R^2 + V_C^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $V_R = 100\,V$ लैंप के सिरों पर वोल्टेज है।
$200^2 = 100^2 + V_C^2 \Rightarrow V_C^2 = 40000 - 10000 = 30000 \Rightarrow V_C = 100\sqrt{3}\,V$।
परिपथ में धारा $I = \frac{V_R}{R} = \frac{100}{200} = 0.5\,A$ है।
धारितीय प्रतिघात $X_C = \frac{V_C}{I} = \frac{100\sqrt{3}}{0.5} = 200\sqrt{3}\,\Omega$ है।
चूँकि $X_C = \frac{1}{2\pi f C}$,हमारे पास $200\sqrt{3} = \frac{1}{2 \times \pi \times 50 \times C} \Rightarrow C = \frac{1}{200\sqrt{3} \times 100\pi} = \frac{1}{20000\pi\sqrt{3}}\,F$ है।
$\mu F$ में बदलने पर: $C = \frac{10^6}{20000\pi\sqrt{3}} = \frac{50}{\pi\sqrt{3}}\,\mu F$।
इसकी तुलना $C = \frac{50}{\pi\sqrt{x}}\,\mu F$ से करने पर,हमें $x = 3$ प्राप्त होता है।

(D) घटक $X$ के लिए,करंट वोल्टेज के साथ समान कला में है,इसलिए $X$ एक प्रतिरोधक (resistor) है।
प्रतिरोध $R = \frac{V_0}{I_0} = \frac{100}{5} = 20\,\Omega$ है।
घटक $Y$ के लिए,करंट वोल्टेज से $\frac{\pi}{2}$ पीछे रहता है,इसलिए $Y$ एक प्रेरक (inductor) है।
प्रेरकीय प्रतिघात $X_L = \frac{V_0}{I_0} = \frac{100}{5} = 20\,\Omega$ है।
जब $X$ और $Y$ को श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,तो कुल प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2} = \sqrt{20^2 + 20^2} = 20\sqrt{2}\,\Omega$ होती है।
श्रेणीक्रम सर्किट में पीक करंट $I_0 = \frac{V_0}{Z} = \frac{100}{20\sqrt{2}} = \frac{5}{\sqrt{2}}\,A$ है।
rms करंट $I_{rms} = \frac{I_0}{\sqrt{2}} = \frac{5/\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{5}{2}\,A$ होगा।

(C) एक श्रेणी $RLC$ परिपथ में,कुल वोल्टेज (स्रोत का $e.m.f.$) व्यक्तिगत विभवांतरों के फेजर योग द्वारा दिया जाता है:
$V_{source} = \sqrt{V_R^2 + (V_L - V_C)^2}$
दिया गया है:
$V_R = 30 \,V$
$V_L = 60 \,V$
$V_C = 100 \,V$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$V_{source} = \sqrt{(30)^2 + (60 - 100)^2}$
$V_{source} = \sqrt{(30)^2 + (-40)^2}$
$V_{source} = \sqrt{900 + 1600}$
$V_{source} = \sqrt{2500} = 50 \,V$
अतः,स्रोत का $e.m.f.$ $50 \,V$ है।

(C) दिया गया है: $L = 10^{-3} \,H$,$C = 3 \times 10^{-7} \,F$,$f = 50 \,Hz$.
कोणीय आवृत्ति $\omega = 2 \pi f = 2 \pi \times 50 = 100 \pi \,rad/s$.
प्रेरक प्रतिघात $X_L = \omega L = (100 \pi) \times 10^{-3} = 0.1 \pi \, \Omega$.
धारतीय प्रतिघात $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{100 \pi \times 3 \times 10^{-7}} = \frac{10^7}{300 \pi} = \frac{10^5}{3 \pi} \, \Omega$.
चूंकि यह एक श्रेणी $L-C$ परिपथ है,प्रतिबाधा $Z = |X_L - X_C|$.
$Z = |0.1 \pi - \frac{10^5}{3 \pi}|$.
चूंकि $\frac{10^5}{3 \pi} \approx 10610 \, \Omega$ और $0.1 \pi \approx 0.314 \, \Omega$,इसलिए प्रतिबाधा $Z = \frac{10^5}{3 \pi} - 0.1 \pi = \frac{10^5}{3 \pi} - \frac{\pi}{10} \, \Omega$ है।

(C) बल्ब की रेटिंग $P = 100 \,W$ और $V_b = 300 \,V$ है।
बल्ब से प्रवाहित धारा $I = \frac{P}{V_b} = \frac{100}{300} = \frac{1}{3} \,A$ है।
बल्ब का प्रतिरोध $R = \frac{V_b^2}{P} = \frac{300^2}{100} = 900 \,\Omega$ है।
जब इसे $V = 500 \,V$ की आपूर्ति से जोड़ा जाता है,तो कुल प्रतिबाधा (impedance) $Z = \frac{V}{I} = \frac{500}{1/3} = 1500 \,\Omega$ होती है।
$LR$ परिपथ में,$Z^2 = R^2 + X_L^2$,इसलिए $X_L^2 = Z^2 - R^2$.
$X_L^2 = 1500^2 - 900^2 = (1500 - 900)(1500 + 900) = 600 \times 2400 = 1440000$.
$X_L = \sqrt{1440000} = 1200 \,\Omega$.
चूंकि $X_L = 2 \pi f L$,इसलिए $1200 = 2 \pi \left(\frac{150}{\pi}\right) L$.
$1200 = 300 L$,जिससे $L = 4 \,H$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है: $R = 3\,\Omega$,$L = 25.48\,mH = 25.48 \times 10^{-3}\,H$,$C = 796\,\mu F = 796 \times 10^{-6}\,F$,और $f = 50\,Hz$.
सबसे पहले,प्रेरणिक प्रतिघात (inductive reactance) $X_L$ की गणना करें:
$X_L = 2\pi f L = 2 \times 3.14 \times 50 \times 25.48 \times 10^{-3} \approx 8\,\Omega$.
इसके बाद,धारितीय प्रतिघात (capacitive reactance) $X_C$ की गणना करें:
$X_C = \frac{1}{2\pi f C} = \frac{1}{2 \times 3.14 \times 50 \times 796 \times 10^{-6}} \approx 4\,\Omega$.
श्रेणी $LCR$ परिपथ की प्रतिबाधा $Z$ इस प्रकार दी जाती है:
$Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$.
मान रखने पर:
$Z = \sqrt{3^2 + (8 - 4)^2} = \sqrt{9 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\,\Omega$.

(B) दिया गया है: $R = 400\,\Omega$,$L = (3/\pi)\,H$,$e = 400 \sin(100\pi t)$.
$e = E_0 \sin(\omega t)$ से तुलना करने पर,$E_0 = 400\,V$ और $\omega = 100\pi\,rad/s$ प्राप्त होता है।
प्रेरकीय प्रतिघात $X_L = \omega L = 100\pi \times (3/\pi) = 300\,\Omega$.
प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2} = \sqrt{400^2 + 300^2} = 500\,\Omega$.
शिखर धारा $I_0 = E_0 / Z = 400 / 500 = 0.8\,A = (4/5)\,A$. अतः,विकल्प $(a)$ गलत है।
श्रेणी $RL$ परिपथ में,प्रतिरोधक के सिरों पर विभवांतर हमेशा धारा के साथ समान कला में होता है। अतः,विकल्प $(b)$ सही है।
प्रेरक के सिरों पर विभवांतर हमेशा धारा से $90^{\circ}$ आगे होता है। अतः,विकल्प $(c)$ और $(d)$ गलत हैं।