Alternating Current, Voltage (rms and Average) Questions in Gujarati

(D) આપેલ પ્રવાહ $i = i_1 + i_2$ છે,જ્યાં $i_1 = 2\sin(100\pi t)$ અને $i_2 = 2\sin(100\pi t + 30^\circ)$.
ફેઝર સરવાળાની રીતનો ઉપયોગ કરતા,પરિણામી પ્રવાહ $i = I_0 \sin(100\pi t + \phi)$ મળે.
કંપનવિસ્તાર $I_0 = \sqrt{I_{01}^2 + I_{02}^2 + 2I_{01}I_{02}\cos(\theta)}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I_{01} = 2$,$I_{02} = 2$,અને $\theta = 30^\circ$.
$I_0 = \sqrt{2^2 + 2^2 + 2(2)(2)\cos(30^\circ)} = \sqrt{4 + 4 + 8(\frac{\sqrt{3}}{2})} = \sqrt{8 + 4\sqrt{3}}$.
$I_0 = \sqrt{4(2 + \sqrt{3})} = 2\sqrt{2 + \sqrt{3}}$.
$RMS$ મૂલ્ય (અસરકારક મૂલ્ય) $I_{rms} = \frac{I_0}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}\sqrt{2 + \sqrt{3}} = \sqrt{4 + 2\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{3}+1)^2} = \sqrt{3} + 1 \, A$.
આ મૂલ્ય વિકલ્પોમાં આપેલ ન હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) પ્રવાહનું $r.m.s.$ મૂલ્ય $I_{rms} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_0^T i^2 dt}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
કિસ્સા $I$ અને $II$ માટે,પ્રવાહ એ રેક્ટિફાઇડ સાઇન વેવ છે: $i = |I_0 \sin(\omega t)|$. તેનું $r.m.s.$ મૂલ્ય $I_1 = I_2 = \frac{I_0}{\sqrt{2}} \approx 0.707 I_0$ છે.
કિસ્સા $III$ માટે,પ્રવાહ એ સ્ક્વેર વેવ છે: અડધા ચક્ર માટે $i = I_0$ અને બાકીના અડધા માટે $-I_0$. તેનું $r.m.s.$ મૂલ્ય $I_3 = \sqrt{\frac{1}{T} (I_0^2 \cdot \frac{T}{2} + (-I_0)^2 \cdot \frac{T}{2})} = I_0$ છે.
કિસ્સા $IV$ માટે,પ્રવાહ એ ત્રિકોણીય વેવ છે: $0 < t < T/2$ માટે $i = \frac{2I_0}{T} t$. તેનું $r.m.s.$ મૂલ્ય $I_4 = \sqrt{\frac{1}{T} \int_0^T i^2 dt} = \frac{I_0}{\sqrt{3}} \approx 0.577 I_0$ છે.
મૂલ્યોની સરખામણી કરતા: $I_3 = I_0$,$I_1 = I_2 = 0.707 I_0$,અને $I_4 = 0.577 I_0$.
આમ,સાચો સંબંધ $I_3 > I_1 = I_2 > I_4$ છે.

(D) આપેલ વોલ્ટેજ $e(t) = 5[\cos \omega t + \sqrt{3} \sin \omega t]$.
$2$ વડે ગુણતા અને ભાગતા,$e(t) = 10[\frac{1}{2} \cos \omega t + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \omega t]$.
નિત્યસમ $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા,$e(t) = 10 \sin(\omega t + \frac{\pi}{3})$.
પ્રવાહ $i(t) = 5 \sin(\omega t + \frac{\pi}{4})$ આપેલ છે.
વોલ્ટેજની કળા $\phi_v = \frac{\pi}{3}$ અને પ્રવાહની કળા $\phi_i = \frac{\pi}{4}$ છે.
કળા તફાવત $\Delta \phi = \phi_v - \phi_i = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} = \frac{4\pi - 3\pi}{12} = \frac{\pi}{12}$.
આમ,વોલ્ટેજ પ્રવાહ કરતા $\frac{\pi}{12}$ જેટલો આગળ છે.

(A) આપેલ સ્ક્વેર વેવ માટે,વોલ્ટેજ $V(t)$ એ $0 < t < T/2$ માટે $V_0$ છે અને $T/2 < t < T$ માટે $-V_0$ છે.
$1$. અડધા ચક્ર ($0$ થી $T/2$) માટે સરેરાશ મૂલ્ય:
$V_{mean} = \frac{1}{T/2} \int_0^{T/2} V_0 dt = \frac{2}{T} [V_0 t]_0^{T/2} = \frac{2}{T} \cdot V_0 \cdot \frac{T}{2} = V_0$.
$2$. સંપૂર્ણ ચક્ર (અથવા અડધા ચક્ર) માટે $rms$ મૂલ્ય:
$V_{rms} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_0^T V^2 dt} = \sqrt{\frac{1}{T} [\int_0^{T/2} V_0^2 dt + \int_{T/2}^T (-V_0)^2 dt]} = \sqrt{\frac{1}{T} [V_0^2 \cdot \frac{T}{2} + V_0^2 \cdot \frac{T}{2}]} = \sqrt{\frac{1}{T} \cdot V_0^2 \cdot T} = V_0$.
આમ,સરેરાશ અને $rms$ મૂલ્યો અનુક્રમે $V_0$ અને $V_0$ છે.

(B) $ac$ સર્કિટમાં તત્કાલિન વોલ્ટેજ $V = V_0 \sin(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\omega = 2\pi n$ અને $n$ એ સોર્સની આવૃત્તિ છે.
સર્કિટમાં તત્કાલિન પાવર $P$ એ $P = V \cdot I = V_0 \sin(\omega t) \cdot I_0 \sin(\omega t + \phi) = V_0 I_0 \sin(\omega t) \sin(\omega t + \phi)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin A \sin B = \frac{1}{2} [\cos(A-B) - \cos(A+B)]$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$P = \frac{V_0 I_0}{2} [\cos(\phi) - \cos(2\omega t + \phi)]$
પાવરના સમીકરણમાં $2\omega$ વાળું પદ હોવાથી,પાવરના ફેરફારની આવૃત્તિ $2n$ છે.

(D) વોલ્ટેજ તરંગ $T$ આવર્તકાળ સાથે આવર્તિત છે. ચાલો $t = 0$ થી $t = T$ સુધીનું એક ચક્ર ધ્યાનમાં લઈએ.
$t = 0$ થી $t = T$ ના અંતરાલમાં,વોલ્ટેજ $V(t)$ એ $-V_0$ થી $+V_0$ સુધી રેખીય રીતે બદલાય છે.
$(0, -V_0)$ અને $(T, V_0)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ:
$V(t) = \frac{V_0 - (-V_0)}{T - 0} t - V_0 = \frac{2V_0}{T} t - V_0$
$RMS$ મૂલ્ય $V_{rms}$ નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત થાય છે:
$V_{rms} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_0^T V^2 dt}$
$V(t)$ ની કિંમત મૂકતા:
$V_{rms}^2 = \frac{1}{T} \int_0^T \left( \frac{2V_0}{T} t - V_0 \right)^2 dt$
ધારો કે $u = \frac{2V_0}{T} t - V_0$,તો $du = \frac{2V_0}{T} dt$,તેથી $dt = \frac{T}{2V_0} du$.
જ્યારે $t=0, u=-V_0$; જ્યારે $t=T, u=V_0$.
$V_{rms}^2 = \frac{1}{T} \int_{-V_0}^{V_0} u^2 \left( \frac{T}{2V_0} \right) du = \frac{1}{2V_0} \left[ \frac{u^3}{3} \right]_{-V_0}^{V_0} = \frac{1}{2V_0} \left( \frac{V_0^3}{3} - \frac{(-V_0)^3}{3} \right) = \frac{1}{2V_0} \left( \frac{2V_0^3}{3} \right) = \frac{V_0^2}{3}$
તેથી,$V_{rms} = \frac{V_0}{\sqrt{3}}$.

(B) આવર્ત વિધેયનું $r.m.s.$ મૂલ્ય $V_{rms} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_0^T V^2 dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આકૃતિ પરથી,વોલ્ટેજ $V$ એ $0 \le t < \frac{T}{4}$ માટે $V_0$ છે અને $\frac{T}{4} \le t < T$ માટે $0$ છે.
આ મૂલ્યોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$V_{rms} = \sqrt{\frac{1}{T} \left( \int_0^{T/4} V_0^2 dt + \int_{T/4}^T 0^2 dt \right)}$
$V_{rms} = \sqrt{\frac{1}{T} \left( V_0^2 [t]_0^{T/4} + 0 \right)}$
$V_{rms} = \sqrt{\frac{1}{T} \cdot V_0^2 \cdot \frac{T}{4}}$
$V_{rms} = \sqrt{\frac{V_0^2}{4}}$
$V_{rms} = \frac{V_0}{2}$

(A) આપેલ તરંગ સ્વરૂપ એ $V_0 = 10 \ V$ અને $-V_0 = -10 \ V$ કંપનવિસ્તાર ધરાવતું ચોરસ તરંગ (square wave) છે.
ચોરસ તરંગ માટે,તત્કાલીન વોલ્ટેજ $V(t)$ એ આવર્તકાળના અડધા ભાગ માટે $10 \ V$ અને બાકીના અડધા ભાગ માટે $-10 \ V$ છે.
$r.m.s.$ વોલ્ટેજની વ્યાખ્યા $V_{r.m.s.} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_{0}^{T} V^2(t) \ dt}$ મુજબ આપવામાં આવે છે.
ચોક્કસ સમયગાળા $T$ દરમિયાન $V^2(t) = (10)^2 = 100$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$V_{r.m.s.} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_{0}^{T} 100 \ dt} = \sqrt{\frac{1}{T} \cdot 100 \cdot T} = \sqrt{100} = 10 \ V$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) પ્રવાહનું $r.m.s.$ મૂલ્ય $I_{rms} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_{0}^{T} I^2 dt}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
આપેલ છે $I = I_0 + I_1 \sin \omega t$,તેથી $I^2 = I_0^2 + I_1^2 \sin^2 \omega t + 2 I_0 I_1 \sin \omega t$.
એક સંપૂર્ણ સમયગાળા $T = \frac{2\pi}{\omega}$ પર સંકલન કરતા:
$I_{rms}^2 = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} (I_0^2 + I_1^2 \sin^2 \omega t + 2 I_0 I_1 \sin \omega t) dt$.
પૂર્ણ ચક્ર પર $\sin \omega t$ નું સરેરાશ મૂલ્ય $0$ હોવાથી,પદ $\int_{0}^{T} 2 I_0 I_1 \sin \omega t dt = 0$ થશે.
પૂર્ણ ચક્ર પર $\sin^2 \omega t$ નું સરેરાશ મૂલ્ય $\frac{1}{2}$ છે.
આમ,$I_{rms}^2 = I_0^2 + I_1^2 \left( \frac{1}{2} \right) + 0 = I_0^2 + \frac{I_1^2}{2}$.
તેથી,$I_{rms} = \sqrt{I_0^2 + \frac{I_1^2}{2}}$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $V = 100 \sin(100 \pi t) \cos(100 \pi t)$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin(2\theta) = 2 \sin \theta \cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે સમીકરણને આ રીતે લખી શકીએ:
$V = 50 \times (2 \sin(100 \pi t) \cos(100 \pi t))$
$V = 50 \sin(200 \pi t)$.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $V = V_0 \sin(\omega t)$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $V_0$ એ પીક વોલ્ટેજ છે અને $\omega = 2 \pi f$ છે:
પીક વોલ્ટેજ $V_0 = 50 \text{ V}$.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 200 \pi \text{ rad/s}$.
કારણ કે $\omega = 2 \pi f$,તેથી $200 \pi = 2 \pi f$,જે આપણને $f = 100 \text{ Hz}$ આપે છે.
આમ,પીક વોલ્ટેજ $50 \text{ V}$ છે અને આવૃત્તિ $100 \text{ Hz}$ છે. તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(D) આપેલ વોલ્ટેજ $e = e_1 \sin \omega t + e_2 \cos \omega t$ છે.
આપણે આને $e = E_0 \sin(\omega t + \phi)$ તરીકે લખી શકીએ,જ્યાં $E_0 = \sqrt{e_1^2 + e_2^2}$ એ મહત્તમ (પીક) વોલ્ટેજ છે.
ઓલ્ટરનેટિંગ વોલ્ટેજ $e = E_0 \sin(\omega t + \phi)$ નું રૂટ મીન સ્ક્વેર $(RMS)$ મૂલ્ય $V_{rms} = \frac{E_0}{\sqrt{2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$E_0$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $V_{rms} = \frac{\sqrt{e_1^2 + e_2^2}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{e_1^2 + e_2^2}{2}}$ મળે છે.

(B) એસી (Alternating Current) પ્રવાહનું રૂટ મીન સ્ક્વેર $(I_{\text{rms}})$ મૂલ્ય એ એક સંપૂર્ણ ચક્ર દરમિયાન તત્કાલિન પ્રવાહના વર્ગોના સરેરાશનું વર્ગમૂળ છે.
$I = I_{0} \sin(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવતા સાઇનસૉઇડલ એસી પ્રવાહ માટે,$I_{\text{rms}}$ ની ગણતરી નીચે મુજબ થાય છે:
$I_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_{0}^{T} I^{2} dt}$
$I = I_{0} \sin(\omega t)$ મૂકતા:
$I_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_{0}^{T} I_{0}^{2} \sin^{2}(\omega t) dt}$
$I_{\text{rms}} = I_{0} \sqrt{\frac{1}{T} \int_{0}^{T} \frac{1 - \cos(2\omega t)}{2} dt}$
$I_{\text{rms}} = I_{0} \sqrt{\frac{1}{2T} [t - \frac{\sin(2\omega t)}{2\omega}]_{0}^{T}}$
કારણ કે $\sin(2\omega T) = \sin(4\pi) = 0$ છે,તેથી:
$I_{\text{rms}} = I_{0} \sqrt{\frac{T}{2T}} = \frac{I_{0}}{\sqrt{2}}$
તેથી,સાચો સંબંધ $I_{\text{rms}} = \frac{1}{\sqrt{2}} I_{0}$ છે.

(B) રૂટ મીન સ્ક્વેર $(RMS)$ પ્રવાહનું સૂત્ર $I_{rms} = \sqrt{\frac{1}{T_2 - T_1} \int_{T_1}^{T_2} i^2 dt}$ છે.
અહીં $i = 2\sqrt{t}$ આપેલ છે,તેથી $i^2 = 4t$ થાય.
સમયનો અંતરાલ $T_1 = 2\,s$ થી $T_2 = 4\,s$ છે,તેથી $T_2 - T_1 = 4 - 2 = 2\,s$.
હવે,સંકલન (integral) ગણીએ: $\int_{2}^{4} 4t \,dt = [2t^2]_{2}^{4} = 2(4^2 - 2^2) = 2(16 - 4) = 2(12) = 24$.
આ કિંમતોને $RMS$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$I_{rms} = \sqrt{\frac{24}{2}} = \sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}\,A$.

(C) આપેલ સમીકરણ $i = a \sin(\omega t) + b \cos(\omega t)$ છે.
આપણે આને $i = \sqrt{a^2 + b^2} \left( \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} \sin(\omega t) + \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} \cos(\omega t) \right)$ તરીકે ફરીથી લખી શકીએ છીએ.
ધારો કે $\frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} = \cos \phi$ અને $\frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} = \sin \phi$.
તેથી $i = \sqrt{a^2 + b^2} \sin(\omega t + \phi)$.
પ્રવાહનું મહત્તમ મૂલ્ય (કંપવિસ્તાર) $i_0 = \sqrt{a^2 + b^2}$ છે.
એસી પ્રવાહનું $rms$ મૂલ્ય $i_{rms} = \frac{i_0}{\sqrt{2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$i_0$ નું મૂલ્ય મૂકતા,આપણને $i_{rms} = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}}$ મળે છે.

(D) પ્રવાહ માટેનું આપેલ સમીકરણ $I = I_0 \sin(\omega t)$ છે,જ્યાં $I_0 = 100 \, A$ અને $\omega = 200 \pi \, rad/s$ છે.
પ્રવાહ તેના મહત્તમ મૂલ્ય $(I = I_0)$ સુધી પહોંચે તે માટે,સાઈન વિધેયનો ખૂણો $\frac{\pi}{2}$ હોવો જોઈએ.
તેથી,$\omega t = \frac{\pi}{2}$.
$\omega$ નું મૂલ્ય મૂકતા: $200 \pi t = \frac{\pi}{2}$.
$t$ માટે ઉકેલતા: $t = \frac{\pi}{2 \times 200 \pi} = \frac{1}{400} \, s$.

(C) આપેલ પ્રવાહનું સમીકરણ: $i = 2\sin(100\pi t) + 2\cos(100\pi t + 30^{\circ})$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ નો ઉપયોગ કરીને,બીજા પદનું વિસ્તરણ કરતા:
$i = 2\sin(100\pi t) + 2[\cos(100\pi t)\cos(30^{\circ}) - \sin(100\pi t)\sin(30^{\circ})]$.
$\cos(30^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ અને $\sin(30^{\circ}) = \frac{1}{2}$ કિંમતો મૂકતા:
$i = 2\sin(100\pi t) + 2[\cos(100\pi t) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \sin(100\pi t) \cdot \frac{1}{2}]$.
$i = 2\sin(100\pi t) + \sqrt{3}\cos(100\pi t) - \sin(100\pi t)$.
$i = \sin(100\pi t) + \sqrt{3}\cos(100\pi t)$.
આ સમીકરણ $i = I_m \sin(100\pi t + \phi)$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં કંપવિસ્તાર $I_m = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2\,A$ છે.
અસરકારક મૂલ્ય ($RMS$ મૂલ્ય) $I_{\text{rms}} = \frac{I_m}{\sqrt{2}}$ દ્વારા મળે છે.
$I_{\text{rms}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}\,A$.

(B) અલ્ટરનેટિંગ કરંટ માટે આપેલ સમીકરણ $I = I_0 \cos(\omega t)$ છે.
આને પ્રમાણિત સમીકરણ $I = I_{peak} \cos(\omega t)$ સાથે સરખાવતા,પ્રવાહનું પીક (મહત્તમ) મૂલ્ય $I_{peak} = I_0$ મળે છે.
અલ્ટરનેટિંગ કરંટનું રૂટ મીન સ્ક્વેર $(rms)$ મૂલ્ય $I_{rms} = \frac{I_{peak}}{\sqrt{2}}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
$I_{peak}$ નું મૂલ્ય મૂકતા,આપણને $I_{rms} = \frac{I_0}{\sqrt{2}}$ મળે છે.
તેથી,$rms$ મૂલ્ય $\frac{I_0}{\sqrt{2}}$ છે અને પીક મૂલ્ય $I_0$ છે.

(B) પ્રવાહનું $rms$ મૂલ્ય $I_{rms} = \sqrt{\frac{1}{T_2 - T_1} \int_{T_1}^{T_2} I^2 dt}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
આપેલ છે કે $I = 2\sqrt{t}$,તેથી $I^2 = 4t$.
સમયગાળો $T_1 = 2 \, s$ થી $T_2 = 4 \, s$ છે,તેથી સમયનો તફાવત $T_2 - T_1 = 4 - 2 = 2 \, s$ છે.
સંકલનની ગણતરી કરતા: $\int_{2}^{4} 4t \, dt = [2t^2]_{2}^{4} = 2(4^2 - 2^2) = 2(16 - 4) = 2(12) = 24$.
હવે,સરેરાશ વર્ગિત મૂલ્ય $\langle I^2 \rangle = \frac{1}{2} \times 24 = 12 \, A^2$ થાય.
તેથી,$I_{rms} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \, A$ મળે.

(B) સામાન્ય $DC$ વોલ્ટમીટર $AC$ વોલ્ટેજ માપી શકતું નથી કારણ કે એક સંપૂર્ણ ચક્ર પર અલ્ટરનેટિંગ વોલ્ટેજનું સરેરાશ મૂલ્ય શૂન્ય હોય છે, જેના કારણે સાધન શૂન્ય રીડિંગ દર્શાવે છે.
$AC$ વોલ્ટેજ માપવા માટે, આપણે એવા સાધનનો ઉપયોગ કરીએ છીએ જે પ્રવાહની ઉષ્મીય અસર પર કાર્ય કરે છે, જે પ્રવાહની દિશાથી સ્વતંત્ર છે.
હોટ વાયર વોલ્ટમીટર એ પ્રવાહની ઉષ્મીય અસર $(H = I^2Rt)$ ના સિદ્ધાંત પર કાર્ય કરે છે, જ્યાં વિચલન એ પ્રવાહ (અથવા વોલ્ટેજ) ના વર્ગના પ્રમાણમાં હોય છે. તેથી, તે $AC$ વોલ્ટેજનું $RMS$ મૂલ્ય માપી શકે છે.

(C) આપેલ પ્રવાહ $i = I_0 + I_1 \sin \omega t$ છે,જ્યાં $I_0 = 3$ અને $I_1 = 4$ છે.
પ્રવાહનું અસરકારક $(RMS)$ મૂલ્ય $I_{rms} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_0^T i^2 dt}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
$i = I_0 + I_1 \sin \omega t$ મૂકતા:
$I_{rms} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_0^T (I_0^2 + I_1^2 \sin^2 \omega t + 2 I_0 I_1 \sin \omega t) dt}$.
પૂર્ણ ચક્ર પર સંકલનના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{T} \int_0^T dt = 1$,$\frac{1}{T} \int_0^T \sin^2 \omega t dt = \frac{1}{2}$,અને $\frac{1}{T} \int_0^T \sin \omega t dt = 0$.
તેથી,$I_{rms} = \sqrt{I_0^2 + \frac{I_1^2}{2}}$.
$I_0 = 3$ અને $I_1 = 4$ કિંમતો મૂકતા:
$I_{rms} = \sqrt{3^2 + \frac{4^2}{2}} = \sqrt{9 + \frac{16}{2}} = \sqrt{9 + 8} = \sqrt{17}$.

(B) આલેખ પરથી,તરંગ $M$ માટે આવર્તકાળ $T$ (એક પૂર્ણ ચક્ર પૂર્ણ કરવા માટે લાગતો સમય) $0.4 \, s$ છે.
તેથી,આવૃત્તિ $f = \frac{1}{T} = \frac{1}{0.4} = 2.5 \, Hz$ થાય.
તરંગ $M$ એ $t=0$ સમયે $0$ મૂલ્યથી શરૂ થાય છે,જ્યારે તરંગ $N$ એ જ બિંદુએ $t=0.1 \, s$ સમયે પહોંચે છે.
બંને તરંગો વચ્ચેનો સમય તફાવત $\Delta t = 0.1 \, s$ છે.
કળા તફાવત $\Delta \phi = \frac{2\pi}{T} \times \Delta t = \frac{2\pi}{0.4} \times 0.1 = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ મળે.
તરંગ $N$ એ તરંગ $M$ કરતા પાછળ હોવાથી,$M$ ની સાપેક્ષે $N$ નો કળા તફાવત $-\frac{\pi}{2}$ રેડિયન છે.

(B) પરિણામી કરંટ $I = a + b \sin \omega t$ છે.
કરંટનું અસરકારક $(RMS)$ મૂલ્ય $I_{rms} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_{0}^{T} I^2 dt}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$I_{rms}^2 = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} (a + b \sin \omega t)^2 dt$.
પદનું વિસ્તરણ કરતા: $I_{rms}^2 = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} (a^2 + b^2 \sin^2 \omega t + 2ab \sin \omega t) dt$.
એક સંપૂર્ણ સમયગાળા $T$ પર સંકલન કરતા:
$\int_{0}^{T} a^2 dt = a^2 T$
$\int_{0}^{T} b^2 \sin^2 \omega t dt = b^2 \int_{0}^{T} \frac{1 - \cos 2\omega t}{2} dt = \frac{b^2 T}{2}$
$\int_{0}^{T} 2ab \sin \omega t dt = 0$ (કારણ કે સંપૂર્ણ ચક્ર દરમિયાન સાઈન તરંગની સરેરાશ શૂન્ય હોય છે).
આ કિંમતો મૂકતા: $I_{rms}^2 = \frac{1}{T} (a^2 T + \frac{b^2 T}{2} + 0) = a^2 + \frac{b^2}{2}$.
તેથી,$I_{rms} = \sqrt{a^2 + \frac{b^2}{2}}$.

(C) આપેલ પ્રવાહ $i = i_1 \cos \omega t + i_2 \sin \omega t$ છે.
પ્રવાહનું $r.m.s.$ મૂલ્ય $i_{rms} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_0^T i^2 dt}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
પ્રથમ,$i^2 = (i_1 \cos \omega t + i_2 \sin \omega t)^2 = i_1^2 \cos^2 \omega t + i_2^2 \sin^2 \omega t + 2 i_1 i_2 \sin \omega t \cos \omega t$ ગણો.
પૂર્ણ સમયગાળા $T = \frac{2\pi}{\omega}$ પર સંકલન કરતા:
$\int_0^T \cos^2 \omega t dt = \frac{T}{2}$,$\int_0^T \sin^2 \omega t dt = \frac{T}{2}$,અને $\int_0^T \sin \omega t \cos \omega t dt = 0$ મળે છે.
તેથી,સરેરાશ વર્ગ મૂલ્ય $i_{rms}^2 = \frac{1}{T} [i_1^2 (\frac{T}{2}) + i_2^2 (\frac{T}{2}) + 0] = \frac{i_1^2 + i_2^2}{2}$ થાય.
આમ,$i_{rms} = \sqrt{\frac{i_1^2 + i_2^2}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} (i_1^2 + i_2^2)^{1/2}$ મળે છે.

(A) સમયગાળા $[t_1, t_2]$ પર પ્રવાહ $I$ નું સરેરાશ મૂલ્ય $I_{av} = \frac{1}{t_2 - t_1} \int_{t_1}^{t_2} I \, dt$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$t_1 = 0$ અને $t_2 = \frac{\pi}{\omega}$ છે.
$I_{av} = \frac{1}{\frac{\pi}{\omega} - 0} \int_0^{\frac{\pi}{\omega}} I_0 \sin \omega t \, dt$
$I_{av} = \frac{\omega}{\pi} I_0 \left[ \frac{-\cos \omega t}{\omega} \right]_0^{\frac{\pi}{\omega}}$
$I_{av} = \frac{I_0}{\pi} [-\cos(\omega \cdot \frac{\pi}{\omega}) - (-\cos(0))]$
$I_{av} = \frac{I_0}{\pi} [-\cos(\pi) + \cos(0)]$
$I_{av} = \frac{I_0}{\pi} [-(-1) + 1] = \frac{I_0}{\pi} [1 + 1] = \frac{2I_0}{\pi}$.

(D) તત્કાલીન પ્રવાહ $I = I_0 \sin(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શૂન્યથી મહત્તમ મૂલ્ય સુધી બદલાવા માટે,પ્રવાહ $I = 0$ થી $I = I_0$ સુધી જવો જોઈએ.
આમ,$\sin(\omega t) = 1$.
આનો અર્થ એ છે કે $\omega t = \frac{\pi}{2}$.
$\omega = 2\pi f$ મૂકતા,આપણને $2\pi f t = \frac{\pi}{2}$ મળે છે.
આપેલ આવૃત્તિ $f = 50\,Hz$ છે,તેથી સમીકરણ $2\pi(50)t = \frac{\pi}{2}$ બને છે.
$100\pi t = \frac{\pi}{2}$.
$t = \frac{1}{200}\,s = 0.005\,s = 5\,ms$.

(C) આવર્તક વિધેયનું સરેરાશ મૂલ્ય એક સંપૂર્ણ સમયગાળા દરમિયાન વક્ર હેઠળના ક્ષેત્રફળને સમયગાળા વડે ભાગવાથી મળે છે.
આકૃતિ પરથી,પોટેન્શિયલ તફાવત $V$ એ $T$ સમયગાળાના એક ચક્રમાં માત્ર $t = 0$ થી $t = T/2$ સુધી જ શૂન્યતર છે.
એક ચક્ર માટે $V-t$ આલેખ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ એ $T/2$ પાયો અને $V_0$ ઊંચાઈ ધરાવતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ છે:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ} = \frac{1}{2} \times \frac{T}{2} \times V_0 = \frac{V_0 T}{4}$.
સરેરાશ મૂલ્ય $\langle V \rangle$ છે:
$\langle V \rangle = \frac{\text{ક્ષેત્રફળ}}{T} = \frac{\frac{V_0 T}{4}}{T} = \frac{V_0}{4}$.

(B) $(1)$ $x = x_0 \sin \omega t$ માટે,$r.m.s.$ મૂલ્ય $I_{rms} = \frac{x_0}{\sqrt{2}}$ છે. તેથી,$(A \to ii)$.
$(2)$ $x = x_0 \sin \omega t \cos \omega t = \frac{x_0}{2} \sin(2\omega t)$ માટે,મહત્તમ મૂલ્ય $\frac{x_0}{2}$ છે. $r.m.s.$ મૂલ્ય $\frac{x_0/2}{\sqrt{2}} = \frac{x_0}{2\sqrt{2}}$ થાય. તેથી,$(B \to iii)$.
$(3)$ $x = x_0 \sin \omega t + x_0 \cos \omega t = \sqrt{2} x_0 \sin(\omega t + \frac{\pi}{4})$ માટે,મહત્તમ મૂલ્ય $\sqrt{2} x_0$ છે. $r.m.s.$ મૂલ્ય $\frac{\sqrt{2} x_0}{\sqrt{2}} = x_0$ થાય. તેથી,$(C \to i)$.

(B) આપેલ પ્રવાહ $i = i_1 \sin \omega t + i_2 \cos \omega t$ છે.
આપણે તેને $i = I_0 \sin(\omega t + \phi)$ તરીકે લખી શકીએ,જ્યાં $I_0$ એ મહત્તમ પ્રવાહ છે.
મહત્તમ પ્રવાહનો વર્ગ $I_0^2 = i_1^2 + i_2^2$ થાય છે.
તેથી,$I_0 = \sqrt{i_1^2 + i_2^2}$.
સાઇનસૉઇડલ પ્રવાહનું $r.m.s.$ મૂલ્ય $I_{rms} = \frac{I_0}{\sqrt{2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$I_0$ નું મૂલ્ય મૂકતા,આપણને $I_{rms} = \frac{\sqrt{i_1^2 + i_2^2}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{i_1^2 + i_2^2}{2}}$ મળે છે.

(C) આપેલ તરંગ સ્વરૂપ એ હાફ-વેવ રેક્ટિફાઇડ $A.C.$ સિગ્નલ દર્શાવે છે.
$T$ આવર્તકાળના એક સંપૂર્ણ ચક્ર માટે,વોલ્ટેજ $V(t)$ નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત થાય છે:
$V(t) = V_0 \sin(\omega t)$ જ્યારે $0 \le t \le T/2$
$V(t) = 0$ જ્યારે $T/2 < t \le T$
જ્યાં $\omega = \frac{2\pi}{T}$.
$r.m.s.$ મૂલ્ય $V_{rms} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_{0}^{T} V^2(t) dt}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
$V_{rms}^2 = \frac{1}{T} \left[ \int_{0}^{T/2} (V_0 \sin(\omega t))^2 dt + \int_{T/2}^{T} 0^2 dt \right]$
$V_{rms}^2 = \frac{V_0^2}{T} \int_{0}^{T/2} \sin^2(\frac{2\pi t}{T}) dt$
નિત્યસમ $\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$V_{rms}^2 = \frac{V_0^2}{T} \int_{0}^{T/2} \frac{1 - \cos(\frac{4\pi t}{T})}{2} dt = \frac{V_0^2}{2T} \left[ t - \frac{T}{4\pi} \sin(\frac{4\pi t}{T}) \right]_{0}^{T/2}$
$V_{rms}^2 = \frac{V_0^2}{2T} \left[ (\frac{T}{2} - 0) - (0 - 0) \right] = \frac{V_0^2}{2T} \cdot \frac{T}{2} = \frac{V_0^2}{4}$
તેથી,$V_{rms} = \sqrt{\frac{V_0^2}{4}} = \frac{V_0}{2}$.

(C) આપેલ પ્રવાહ $i = 3 + 4 \sin \omega t$ છે.
$RMS$ મૂલ્ય શોધવા માટે,આપણે પહેલા સરેરાશ વર્ગ મૂલ્ય $i^2_{rms} = \overline{i^2}$ શોધીએ.
$i^2 = (3 + 4 \sin \omega t)^2 = 9 + 16 \sin^2 \omega t + 24 \sin \omega t$.
પૂર્ણ ચક્ર પર સરેરાશ લેતા:
$\overline{i^2} = \overline{9} + 16 \overline{\sin^2 \omega t} + 24 \overline{\sin \omega t}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે પૂર્ણ ચક્ર માટે $\overline{\sin^2 \omega t} = 1/2$ અને $\overline{\sin \omega t} = 0$ થાય છે.
તેથી,$i^2_{rms} = 9 + 16(1/2) + 0 = 9 + 8 = 17$.
આમ,$RMS$ મૂલ્ય $i_{rms} = \sqrt{\overline{i^2}} = \sqrt{17}$ મળે છે.

(B) આપેલ પ્રવાહ તરંગ $i = 5 + 5 \sin(100 \omega t)$ છે.
એક સમયગાળા $T$ પર સરેરાશ મૂલ્ય શોધવા માટે,આપણે સૂત્ર $\langle i \rangle = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} i \, dt$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$i$ માટેનું સમીકરણ મૂકતા:
$\langle i \rangle = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} (5 + 5 \sin(100 \omega t)) \, dt$.
આને બે ભાગમાં વહેંચી શકાય છે:
$\langle i \rangle = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} 5 \, dt + \frac{1}{T} \int_{0}^{T} 5 \sin(100 \omega t) \, dt$.
એક સંપૂર્ણ ચક્ર પર સાઈન વિધેયનું સરેરાશ મૂલ્ય $0$ હોય છે,એટલે કે $\langle \sin(100 \omega t) \rangle = 0$.
તેથી,$\langle i \rangle = 5 + 0 = 5 \text{ A}$.

(A) આપેલ $AC$ વોલ્ટેજ એ $rms$ મૂલ્ય છે,તેથી $E_{rms} = 220\,V$ છે.
પીક વોલ્ટેજ $E_{0}$ અને $E_{rms}$ વચ્ચેનો સંબંધ $E_{rms} = \frac{E_{0}}{\sqrt{2}}$ છે,જે પરથી $E_{0} = E_{rms} \times \sqrt{2} = 220\sqrt{2}\,V$ મળે છે.
ધન અર્ધચક્ર દરમિયાન સરેરાશ $emf$ નું સૂત્ર $E_{avg} = \frac{2}{\pi} E_{0}$ છે.
$E_{0}$ નું મૂલ્ય મૂકતા,$E_{avg} = \frac{2}{\pi} \times 220\sqrt{2}$ મળે છે.
$\pi \approx 3.14$ અને $\sqrt{2} \approx 1.414$ લેતા,$E_{avg} = \frac{2}{3.14} \times 220 \times 1.414 \approx 0.637 \times 311.13 \approx 198.18\,V$ મળે છે.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,સરેરાશ $emf$ $198\,V$ થાય છે.

(B) અલ્ટરનેટિંગ કરંટ $(AC)$ એટલે એવો પ્રવાહ જે સમયાંતરે તેની દિશા બદલે છે અને સમય સાથે તેનું મૂલ્ય પણ બદલાય છે.
આપેલ આલેખોમાં,ચારેય કિસ્સાઓ $(a), (b), (c)$ અને $(d)$ માં $EMF$ (અને પરિણામે પ્રવાહ) સમયની ધરીને ઓળંગે છે,જેનો અર્થ છે કે $EMF$ તેની ધ્રુવીયતા (ચિહ્ન) સમયાંતરે બદલે છે.
આમ,ચારેય આલેખોમાં $EMF$ ની ધ્રુવીયતા બદલાતી હોવાથી,તે બધા અલ્ટરનેટિંગ $EMF$ અથવા $AC$ તરંગો દર્શાવે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(b)$ છે.

(N/A) આપેલ પાવર $P = 100\;W$ અને rms વોલ્ટેજ $V = 220\;V$ છે.
બલ્બનો અવરોધ નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$R = \frac{V^2}{P} = \frac{(220\;V)^2}{100\;W} = 484\;\Omega$
$(b)$ સોર્સનો પીક વોલ્ટેજ $(V_m)$ નીચે મુજબ મળે છે:
$V_m = \sqrt{2} \times V = 1.414 \times 220\;V \approx 311\;V$
$(c)$ બલ્બમાંથી વહેતો rms પ્રવાહ $(I)$ $P = I \times V$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે:
$I = \frac{P}{V} = \frac{100\;W}{220\;V} \approx 0.454\;A$

(N/A) આપેલ છે,પીક વોલ્ટેજ $V_{0} = 300 \; V$.
$rms$ વોલ્ટેજ સંબંધ $V_{rms} = \frac{V_{0}}{\sqrt{2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $V_{rms} = \frac{300}{1.414} \approx 212.1 \; V$.
$(b)$ આપેલ છે,$rms$ પ્રવાહ $I_{rms} = 10 \; A$.
પીક પ્રવાહ $I_{0}$ સંબંધ $I_{0} = \sqrt{2} \times I_{rms}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $I_{0} = 1.414 \times 10 = 14.14 \; A$.

(N/A) $DC$ સિગ્નલ (પ્રવાહ અથવા વોલ્ટેજ) સમય સાથે તેમની દિશા બદલતા નથી. તેઓ એકદિશીય સિગ્નલ છે.
જો સ્ત્રોતમાંથી મળતો વોલ્ટેજ સમય સાથે સાઈન વિધેયની જેમ બદલાતો હોય,તો આવા વોલ્ટેજને અલ્ટરનેટિંગ વોલ્ટેજ ($AC$ વોલ્ટેજ) કહેવામાં આવે છે.
$AC$ વોલ્ટેજ દ્વારા સર્કિટમાં વહેતા પ્રવાહને અલ્ટરનેટિંગ કરંટ ($AC$ કરંટ) કહેવામાં આવે છે.
નીચેના કારણોસર $DC$ કરતા $AC$ ને પસંદ કરવામાં આવે છે:
$1$. $AC$ વોલ્ટેજને ટ્રાન્સફોર્મરની મદદથી સરળતાથી અને કાર્યક્ષમ રીતે એક વોલ્ટેજ સ્તરમાંથી બીજા વોલ્ટેજ સ્તરમાં રૂપાંતરિત કરી શકાય છે,જે $DC$ સાથે શક્ય નથી.
$2$. $AC$ નો ઉપયોગ કરીને વિદ્યુત ઉર્જાને લાંબા અંતર સુધી $DC$ ની તુલનામાં વધુ આર્થિક રીતે ટ્રાન્સમિટ અને વિતરિત કરી શકાય છે.

(N/A) $A.C.$ (અલ્ટરનેટિંગ કરંટ) સિગ્નલ એ વિદ્યુત પ્રવાહ અથવા વોલ્ટેજ છે જે સમયાંતરે તેની દિશા બદલે છે અને સમય સાથે સતત તેનું મૂલ્ય બદલાતું રહે છે.
$D.C.$ (ડાયરેક્ટ કરંટ) થી વિપરીત,જે એક જ દિશામાં વહે છે,$A.C.$ મોટાભાગની પાવર એપ્લિકેશન્સમાં સાઇનસૉઇડલ તરંગ સ્વરૂપને અનુસરે છે.
$A.C.$ વોલ્ટેજ માટેનું ગાણિતિક સમીકરણ સામાન્ય રીતે $V(t) = V_m \sin(\omega t + \phi)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V_m$ એ પીક વોલ્ટેજ છે,$\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે અને $\phi$ એ ફેઝ કોન્સ્ટન્ટ છે.
$A.C.$ નો ઉપયોગ પાવર વિતરણ માટે વ્યાપકપણે થાય છે કારણ કે ટ્રાન્સફોર્મરનો ઉપયોગ કરીને તેના વોલ્ટેજને સરળતાથી વધારી કે ઘટાડી શકાય છે.

(N/A) અલ્ટરનેટિંગ કરંટ $(AC)$ ના રૂટ મીન સ્ક્વેર (rms) મૂલ્યને તેવા સ્થિર ડાયરેક્ટ કરંટ $(DC)$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જે જ્યારે આપેલ અવરોધકમાંથી પસાર થાય છે,ત્યારે તે એક સંપૂર્ણ ચક્ર દરમિયાન અલ્ટરનેટિંગ કરંટ જેટલી જ ઉષ્મા ઉત્પન્ન કરે છે.
rms કરંટને $I$ અથવા $I_{rms}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
rms કરંટ $I$ અને પીક કરંટ $I_{m}$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$I = \frac{I_{m}}{\sqrt{2}} \approx 0.707 I_{m}$
ગાણિતિક રીતે,તે નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે:
$I_{rms} = \sqrt{\overline{I}^{2}} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_{0}^{T} I_{m}^{2} \sin^{2}(\omega t) dt} = \sqrt{\frac{1}{2} I_{m}^{2}} = \frac{I_{m}}{\sqrt{2}}$
તે જ રીતે,વોલ્ટેજ માટે:
$V = \frac{V_{m}}{\sqrt{2}} \approx 0.707 V_{m}$
આ સંબંધો દર્શાવે છે કે $DC$ સર્કિટની જેમ જ $AC$ સર્કિટમાં પણ rms મૂલ્યોનો ઉપયોગ કરીને $V = IR$ સંબંધ સાચો રહે છે.
કરંટ વિરુદ્ધ $\omega t$ નો આલેખ પીક મૂલ્ય $I_{m}$ સાથે કરંટનું સાઇનસૉઇડલ વિચલન દર્શાવે છે અને અચળ rms મૂલ્ય $I$ ને આડી રેખા તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.

(N/A) $AC$ વોલ્ટેજ એ એવો વોલ્ટેજ છે જે સમયાંતરે તેની દિશા બદલે છે અને સમય સાથે સતત તેનું મૂલ્ય બદલાતું રહે છે.
$AC$ વોલ્ટેજ માટેનું સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$v(t) = V_m \sin(\omega t + \phi)$
જ્યાં:
$v(t)$ એ સમય $t$ પરનો તત્કાલીન વોલ્ટેજ છે.
$V_m$ એ મહત્તમ વોલ્ટેજ (કંપવિસ્તાર) છે.
$\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે,જ્યાં $\omega = 2\pi f$ ($f$ એ આવૃત્તિ છે).
$t$ એ સમય છે.
$\phi$ એ ફેઝ કોન્સ્ટન્ટ (કળા અચળાંક) છે.

(A) $AC$ સર્કિટમાં તત્કાલિન પ્રવાહ $I(t) = I_{max} \sin(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમયગાળા $T$ ના એક સંપૂર્ણ ચક્ર પર તત્કાલિન પ્રવાહના મૂલ્યોનો સરવાળો (અથવા સંકલન) શોધવા માટે,આપણે $\int_{0}^{T} I(t) dt$ ની ગણતરી કરીએ છીએ.
$\int_{0}^{T} I_{max} \sin(\omega t) dt = I_{max} [-\frac{\cos(\omega t)}{\omega}]_{0}^{T}$.
કારણ કે $\omega = \frac{2\pi}{T}$,તેથી $\omega T = 2\pi$ થાય છે.
સીમાઓ મૂકતા: $I_{max} [-\frac{\cos(2\pi)}{\omega} - (-\frac{\cos(0)}{\omega})] = I_{max} [-\frac{1}{\omega} + \frac{1}{\omega}] = 0$.
તેથી,એક સંપૂર્ણ $AC$ ચક્ર પર તત્કાલિન પ્રવાહના મૂલ્યોનો સરવાળો $0$ થાય છે.

(N/A) ઓલ્ટરનેટિંગ કરંટનું $rms$ (રૂટ મીન સ્ક્વેર) મૂલ્ય એટલે એક સંપૂર્ણ ચક્ર દરમિયાન તત્કાલીન પ્રવાહોના વર્ગોના સરેરાશનું વર્ગમૂળ.
તેને ઓલ્ટરનેટિંગ કરંટનું આભાસી અથવા અસરકારક મૂલ્ય પણ કહેવામાં આવે છે.
તે એક એવા સ્થિર ડાયરેક્ટ કરંટ $(DC)$ ના મૂલ્યને દર્શાવે છે જે,જ્યારે કોઈ અવરોધમાંથી ચોક્કસ સમય માટે પસાર કરવામાં આવે,ત્યારે તેટલી જ ઉષ્મા ઉત્પન્ન કરે છે જેટલી ઓલ્ટરનેટિંગ કરંટ તે જ અવરોધમાં તેટલા જ સમયમાં ઉત્પન્ન કરે છે.
પીક કરંટ $(I_0)$ ના સંદર્ભમાં $rms$ પ્રવાહ $(I_{rms})$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$I_{rms} = \frac{I_0}{\sqrt{2}} \approx 0.707 I_0$

(B) આપેલ વોલ્ટેજ $V_{rms} = 220\, V$ એ અલ્ટરનેટિંગ વોલ્ટેજનું રૂટ મીન સ્ક્વેર (rms) મૂલ્ય દર્શાવે છે.
પીક વોલ્ટેજ $(V_0)$ અને રૂટ મીન સ્ક્વેર વોલ્ટેજ $(V_{rms})$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $V_0 = V_{rms} \times \sqrt{2}$.
આપેલ કિંમત મૂકતા: $V_0 = 220 \times 1.414$.
$V_0 \approx 311.08\, V$.
તેથી,મહત્તમ વોલ્ટેજ આશરે $311\, V$ છે.

(B) ભારતમાં,$AC$ સપ્લાયની આવૃત્તિ $f = 50 \ Hz$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે પ્રવાહ $1$ $sec$ માં $50$ ચક્ર પૂર્ણ કરે છે.
સાઇન તરંગના એક સંપૂર્ણ ચક્રમાં,વોલ્ટેજ બે વાર શૂન્યમાંથી પસાર થાય છે (એકવાર શરૂઆતમાં/અંતમાં અને એકવાર અડધા ચક્રના બિંદુએ).
તેથી,$1$ $sec$ માં વોલ્ટેજ કેટલી વાર શૂન્ય થાય છે તેની સંખ્યા $2 \times f$ છે.
ગણતરી: $2 \times 50 = 100$ વખત.

(N/A) આપેલ તરંગ સ્વરૂપ એક આવર્તકીય ચોરસ તરંગ (square wave) છે. પ્રવાહ $I(t)$ સમયગાળા $0 < t < T/2$ માટે $I_1 = 1 \text{ A}$ અને સમયગાળા $T/2 < t < T$ માટે $I_2 = -2 \text{ A}$ મૂલ્ય ધરાવે છે.
રૂટ મીન સ્ક્વેર પ્રવાહ $I_{rms}$ નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત થાય છે:
$I_{rms} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_{0}^{T} I^2(t) dt}$
કિંમતો મૂકતા:
$I_{rms} = \sqrt{\frac{1}{T} \left[ \int_{0}^{T/2} (1)^2 dt + \int_{T/2}^{T} (-2)^2 dt \right]}$
$I_{rms} = \sqrt{\frac{1}{T} \left[ (1 \times T/2) + (4 \times T/2) \right]}$
$I_{rms} = \sqrt{\frac{1}{T} \left[ \frac{T}{2} + 2T \right]} = \sqrt{\frac{1}{T} \left( \frac{5T}{2} \right)}$
$I_{rms} = \sqrt{2.5} \approx 1.58 \text{ A}$.

(N/A) ડાયરેક્ટ કરંટ $(DC)$ માટે,$1$ એમ્પીયર એટલે પ્રતિ સેકન્ડ વહેતો $1$ કુલંબ વિદ્યુતભાર.
અલ્ટરનેટિંગ કરંટ $(AC)$ સ્ત્રોતની આવૃત્તિ સાથે સમયાંતરે તેની દિશા બદલે છે. જો આપણે સરેરાશ પ્રવાહ માપીએ,તો તે સંપૂર્ણ ચક્ર દરમિયાન શૂન્ય થાય છે,જે પાવર માપવા માટે ઉપયોગી નથી.
તેથી,$AC$ એમ્પીયરને એવી ગુણધર્મ પર વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જે પ્રવાહની દિશાથી સ્વતંત્ર છે,જે ઉષ્મીય અસર (જૂલની ઉષ્મીય અસર) છે.
$AC$ નો $1$ એમ્પીયર એટલે તે અલ્ટરનેટિંગ કરંટનું મૂલ્ય જે આપેલ અવરોધમાં તેટલી જ ઉષ્મા ઉત્પન્ન કરે છે જેટલી $1$ એમ્પીયરનો $DC$ પ્રવાહ સમાન સમયગાળામાં તે જ અવરોધમાં ઉત્પન્ન કરે છે. આને પ્રવાહનું રૂટ-મીન-સ્ક્વેર $(RMS)$ મૂલ્ય કહેવામાં આવે છે.

(B) આપેલ પ્રવાહ $I = I_{1} \sin \omega t + I_{2} \cos \omega t$ છે.
આને $I = I_{0} \sin(\omega t + \phi)$ સ્વરૂપમાં લખી શકાય,જ્યાં $I_{0}$ એ મહત્તમ પ્રવાહ (પીક કરંટ) છે.
કંપનવિસ્તાર $I_{0} = \sqrt{I_{1}^{2} + I_{2}^{2}}$ દ્વારા મળે છે.
હોટ વાયર એમીટર પ્રવાહનું રૂટ મીન સ્ક્વેર $(RMS)$ મૂલ્ય માપે છે.
$RMS$ મૂલ્ય $I_{rms} = \frac{I_{0}}{\sqrt{2}}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.
$I_{0}$ નું મૂલ્ય મૂકતા,આપણને $I_{rms} = \sqrt{\frac{I_{1}^{2} + I_{2}^{2}}{2}}$ મળે છે.

(A) $AC$ પરિપથમાં તત્કાલીન પ્રવાહ $i = i_{0} \cos(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $i_{0}$ એ મહત્તમ પ્રવાહ છે.
$t = 0$ સમયે,પ્રવાહ તેના મહત્તમ મૂલ્ય પર છે,$i = i_{0}$.
પ્રવાહનું $rms$ મૂલ્ય $i_{rms} = \frac{i_{0}}{\sqrt{2}}$ છે.
આપણે તે સમય $t$ શોધવો છે જ્યારે $i = \frac{i_{0}}{\sqrt{2}}$ થાય.
$\cos(\omega t) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ લેતા,આપણને $\omega t = \frac{\pi}{4}$ મળે છે.
$\omega = 2\pi f$ મૂકતા,$2\pi f t = \frac{\pi}{4}$ મળે.
$t$ માટે ઉકેલતા,$t = \frac{1}{8f}$.
અહીં $f = 50\, Hz$ આપેલ છે,તેથી $t = \frac{1}{8 \times 50} = \frac{1}{400}\, s$.
$t = 0.0025\, s = 2.5\, ms$.

(A) આપેલ સમીકરણ $i = i_{1} \sin \omega t + i_{2} \cos \omega t$ છે.
આપણે $\cos \omega t$ ને $\sin(\omega t + 90^{\circ})$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
તેથી,$i = i_{1} \sin \omega t + i_{2} \sin(\omega t + 90^{\circ})$.
આ $90^{\circ}$ ના કળા તફાવત ધરાવતા બે સાઇનસૉઇડલ પ્રવાહોનું સુપરપોઝિશન દર્શાવે છે.
પરિણામી મહત્તમ પ્રવાહ $i_{0}$ એ $i_{0} = \sqrt{i_{1}^{2} + i_{2}^{2} + 2i_{1}i_{2} \cos(90^{\circ})}$ દ્વારા મળે છે.
કારણ કે $\cos(90^{\circ}) = 0$ છે,તેથી $i_{0} = \sqrt{i_{1}^{2} + i_{2}^{2}}$ મળે છે.
રૂટ મીન સ્ક્વેર (rms) પ્રવાહ $i_{rms} = \frac{i_{0}}{\sqrt{2}}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.
તેથી,$i_{rms} = \frac{\sqrt{i_{1}^{2} + i_{2}^{2}}}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}(i_{1}^{2} + i_{2}^{2})^{1/2}$.

(A) આપેલ પ્રવાહ $i = i_1 + i_2$ છે,જ્યાં $i_1 = \sqrt{42} \sin \left(\frac{2 \pi}{T} t\right)$ અને $i_2 = 10$ છે.
મિશ્ર પ્રવાહ $i = i_1 + i_2$ નું $r.m.s.$ મૂલ્ય $I_{rms} = \sqrt{I_{1,rms}^2 + I_{2,rms}^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સાઇનસૉઇડલ ઘટક $i_1$ માટે,$r.m.s.$ મૂલ્ય $I_{1,rms} = \frac{I_0}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{42}}{\sqrt{2}} = \sqrt{21}$ છે.
અચળ ઘટક $i_2 = 10$ માટે,$r.m.s.$ મૂલ્ય $I_{2,rms} = 10$ છે.
તેથી,$I_{rms} = \sqrt{(\sqrt{21})^2 + 10^2} = \sqrt{21 + 100} = \sqrt{121} = 11 \text{ A}$ થાય.

(A) $AC$ પરિપથમાં તત્કાલીન પ્રવાહ $i = i_0 \sin(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મહત્તમ મૂલ્ય પર,$i = i_0$,તેથી $i_0 = i_0 \sin(\omega t_1) \Rightarrow \omega t_1 = \frac{\pi}{2}$.
$rms$ મૂલ્ય પર,$i = \frac{i_0}{\sqrt{2}}$,તેથી $\frac{i_0}{\sqrt{2}} = i_0 \sin(\omega t_2) \Rightarrow \omega t_2 = \frac{\pi}{4}$.
મહત્તમ મૂલ્યથી $rms$ મૂલ્ય સુધી બદલાવા માટે લાગતો સમય $\Delta t = t_1 - t_2$ છે.
$\Delta t = \frac{\pi}{2\omega} - \frac{\pi}{4\omega} = \frac{\pi}{4\omega}$.
કારણ કે $\omega = 2\pi f$,તેથી $\Delta t = \frac{\pi}{4(2\pi f)} = \frac{1}{8f}$.
અહીં $f = 50\, Hz$ આપેલ છે,તેથી $\Delta t = \frac{1}{8 \times 50} = \frac{1}{400}\, s$.
મિલીસેકન્ડમાં રૂપાંતરિત કરતા: $\Delta t = \frac{1}{400} \times 1000\, ms = 2.5\, ms$.