Half Power Frequency , Quality Factor ,Resonance in AC Circuit Questions in Gujarati

(B) $L-C-R$ શ્રેણી પરિપથમાં,સ્ત્રોત દ્વારા આપવામાં આવતો પાવર $P = I^2 R = \frac{V^2 R}{Z^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ એ પરિપથનો ઈમ્પીડન્સ (પ્રતિબાધા) છે.
પાવર મહત્તમ થાય તે માટે,ઈમ્પીડન્સ $Z$ ન્યૂનતમ હોવો જોઈએ.
$Z$ ત્યારે ન્યૂનતમ થાય છે જ્યારે રિએક્ટન્સનો ભાગ $(X_L - X_C)$ શૂન્ય બને.
આ સ્થિતિને અનુનાદ (Resonance) કહેવામાં આવે છે,જ્યાં $X_L = X_C$ થાય છે.
કારણ કે $X_L = \omega L$ અને $X_C = \frac{1}{\omega C}$ છે,તેથી મહત્તમ પાવર માટેની શરત $\omega L = \frac{1}{\omega C}$ છે.

(B) અનુનાદ સમયે, ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $(X_L)$ એ કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $(X_C)$ ની બરાબર હોય છે, એટલે કે $X_L = X_C$.
તેથી, $LCR$ પરિપથનો કુલ ઇમ્પિડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} = R$ થાય છે.
અનુનાદ સમયે પરિપથ શુદ્ધ અવરોધક (purely resistive) પરિપથ તરીકે વર્તે છે, તેથી વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ વચ્ચેનો કળા તફાવત (phase angle) $\phi = 0$ હોય છે.
પાવર ફેક્ટરને $\cos \phi$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
આમ, $\cos(0) = 1$ થાય છે.

(D) આપેલ છે કે ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ એ કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ $X_C$ ની બરાબર છે,તેથી $X_L = X_C = X$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $X_L = \omega L$ અને $X_C = \frac{1}{\omega C}$.
$X_L = X_C$ હોવાથી,$\omega L = \frac{1}{\omega C}$,જેનો અર્થ છે કે $\omega^2 = \frac{1}{LC}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $L = 1\, mH = 10^{-3}\, H$ અને $C = 10\, \mu F = 10 \times 10^{-6}\, F = 10^{-5}\, F$.
$\omega^2 = \frac{1}{10^{-3} \times 10^{-5}} = \frac{1}{10^{-8}} = 10^8$.
તેથી,$\omega = \sqrt{10^8} = 10^4\, rad/s$.
રિએક્ટન્સ $X$ એ $X = \omega L = 10^4 \times 10^{-3} = 10\, \Omega$ દ્વારા મળે છે.

(A) શ્રેણી $LC$ સર્કિટમાં પ્રવાહ અનુનાદ (resonance) ની સ્થિતિમાં મહત્તમ હોય છે.
અનુનાદ સમયે,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ એ કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ જેટલો હોય છે,એટલે કે $X_L = X_C$.
આનો અર્થ એ છે કે $\omega L = \frac{1}{\omega C}$,જે અનુનાદ કોણીય આવૃત્તિ $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ આપે છે.
આપેલ છે: $L = 0.5 \, H$ અને $C = 8 \times 10^{-6} \, F$.
કિંમતો મૂકતા: $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{0.5 \times 8 \times 10^{-6}}} = \frac{1}{\sqrt{4 \times 10^{-6}}}$.
$\omega_0 = \frac{1}{2 \times 10^{-3}} = \frac{1000}{2} = 500 \, rad/s$.

(B) $LCR$ શ્રેણી સર્કિટમાં રેઝોનન્સ ફ્રીક્વન્સી $\omega$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$
અહીં આપેલ કિંમતો $L = 8.0 \, H$ અને $C = 0.5 \times 10^{-6} \, F$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\omega = \frac{1}{\sqrt{8.0 \times 0.5 \times 10^{-6}}}$
$\omega = \frac{1}{\sqrt{4.0 \times 10^{-6}}}$
$\omega = \frac{1}{2.0 \times 10^{-3}}$
$\omega = 0.5 \times 10^{3} = 500 \, rad/s$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) શ્રેણી $LCR$ પરિપથની અનુનાદ આવૃત્તિનું સૂત્ર: $f_r = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}$ છે。
આ સૂત્ર દર્શાવે છે કે અનુનાદ આવૃત્તિ માત્ર ઇન્ડક્ટન્સ $L$ અને કેપેસિટન્સ $C$ પર આધાર રાખે છે。
તે પરિપથના અવરોધ $R$ થી સ્વતંત્ર છે。
તેથી, જો અવરોધ અડધો કરવામાં આવે, તો પણ અનુનાદ આવૃત્તિ અપરિવર્તિત રહે છે。

(D) $LC$ સર્કિટની અનુનાદિત આવૃત્તિનું સૂત્ર $f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$ છે.
અહીં $2\pi$ એ પરિમાણરહિત અચળાંક હોવાથી,આવૃત્તિનું પરિમાણ $\frac{1}{\sqrt{LC}}$ ના પરિમાણને સમાન થાય છે.
તેથી,આવૃત્તિનું પરિમાણ દર્શાવતું સંયોજન $(LC)^{-1/2}$ છે.

(A) અનુનાદ સમયે,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $(X_L)$ એ કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $(X_C)$ જેટલું હોય છે,એટલે કે $X_L = X_C$.
$L-C-R$ શ્રેણી સર્કિટમાં,કુલ ઇમ્પિડન્સ $(Z)$ નું સૂત્ર $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ છે.
અનુનાદ સમયે,$X_L - X_C = 0$ હોવાથી,ઇમ્પિડન્સ $Z = R$ બને છે.
આનો અર્થ એ છે કે સર્કિટ શુદ્ધ અવરોધક સર્કિટ તરીકે વર્તે છે.
શુદ્ધ અવરોધક સર્કિટમાં,વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ સમાન કળામાં હોય છે.
તેથી,લાગુ પડેલા વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ વચ્ચેનો કળા તફાવત $(\phi)$ $0$ હોય છે.

(A) $LC$ સર્કિટની અનુનાદ આવૃત્તિનું સૂત્ર $f = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}$ છે.
આ સૂત્ર પરથી જોઈ શકાય છે કે અનુનાદ આવૃત્તિ એ કેપેસિટન્સના વર્ગમૂળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે: $f \propto \frac{1}{\sqrt{C}}$.
ધારો કે પ્રારંભિક આવૃત્તિ $f_1 = f$ અને પ્રારંભિક કેપેસિટન્સ $C_1 = C$ છે.
જો નવું કેપેસિટન્સ $C_2 = 4C$ હોય,તો નવી અનુનાદ આવૃત્તિ $f_2$ નીચે મુજબ મળે:
$f_2 = \frac{1}{2\pi \sqrt{L(4C)}} = \frac{1}{2\pi \sqrt{4} \sqrt{LC}} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}$.
પ્રારંભિક આવૃત્તિ $f$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે:
$f_2 = \frac{f}{2}$.

(C) શ્રેણી $LCR$ સર્કિટમાં,ઇમ્પિડન્સ $Z$ એ $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $X_L = \omega L$ અને $X_C = \frac{1}{\omega C}$ છે.
રેઝોનન્સ સમયે,$\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$,તેથી $X_L = X_C$ થાય છે.
જ્યારે આવૃત્તિ $\omega > \omega_0$ હોય,ત્યારે ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = \omega L$ વધે છે અને કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C = \frac{1}{\omega C}$ ઘટે છે.
આમ,$X_L > X_C$ હોવાથી,ચોખ્ખો રિએક્ટન્સ $(X_L - X_C)$ ધન મળે છે,જેનો અર્થ છે કે સર્કિટ ઇન્ડક્ટિવ સર્કિટ તરીકે વર્તે છે.

(A) $LCR$ સર્કિટનો ઈમ્પીડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઈમ્પીડન્સ ન્યૂનતમ હોવા માટે,સર્કિટ રેઝોનન્સ (અનુનાદ) સ્થિતિમાં હોવી જોઈએ,જ્યાં $X_L = X_C$ થાય.
રેઝોનન્ટ આવૃત્તિ $\nu_0$ નું સૂત્ર $\nu_0 = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}$ છે.
અહીં $L = 1 \, \text{mH} = 10^{-3} \, \text{H}$ અને $C = 0.1 \, \mu\text{F} = 0.1 \times 10^{-6} \, \text{F} = 10^{-7} \, \text{F}$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\nu_0 = \frac{1}{2\pi \sqrt{10^{-3} \times 10^{-7}}} = \frac{1}{2\pi \sqrt{10^{-10}}}$.
$\nu_0 = \frac{1}{2\pi \times 10^{-5}} = \frac{10^5}{2\pi} \, \text{Hz}$ (અથવા $\text{s}^{-1}$).
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) શ્રેણી $LC$ સર્કિટમાં,જ્યારે સર્કિટ રેઝોનન્સ (અનુનાદ) સ્થિતિમાં હોય ત્યારે પ્રવાહ મહત્તમ હોય છે.
રેઝોનન્સ સમયે,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ એ કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ જેટલું હોય છે,એટલે કે $X_L = X_C$.
રેઝોનન્સ સમયે કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$
આપેલ છે:
$L = 1 \ H$
$C = 25 \ \mu F = 25 \times 10^{-6} \ F$
કિંમતો મૂકતા:
$\omega = \frac{1}{\sqrt{1 \times 25 \times 10^{-6}}}$
$\omega = \frac{1}{5 \times 10^{-3}}$
$\omega = \frac{1000}{5} = 200 \ rad/s$

(B) આપેલ આવૃત્તિ $v = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}$ એ શ્રેણી $LCR$ સર્કિટની રેઝોનન્ટ આવૃત્તિ છે.
રેઝોનન્સ સમયે,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = \omega L$ એ કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C = \frac{1}{\omega C}$ જેટલું હોય છે.
પરિણામે,ચોખ્ખો રિએક્ટન્સ $X = X_L - X_C = 0$ થાય છે.
સર્કિટનો ઇમ્પિડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ ઘટીને $Z = R$ થાય છે.
ઇમ્પિડન્સ સંપૂર્ણપણે અવરોધક હોવાથી,સર્કિટમાં પ્રવાહ એ લાગુ પાડવામાં આવેલા $e.m.f.$ સાથે સમાન કળામાં હોય છે.
વધુમાં,ઇન્ડક્ટર અને કેપેસિટર પરનો વોલ્ટેજ ડ્રોપ એકબીજાને રદ કરે છે $(V_L + V_C = 0)$,જેનો અર્થ છે કે સમગ્ર લાગુ પાડવામાં આવેલ $e.m.f.$ એ રઝિસ્ટર $R$ પર જોવા મળે છે.

(A) $LCR$ સર્કિટનો ક્વોલિટી ફેક્ટર $(Q)$ એ રેઝોનન્સ સમયે ઇન્ડક્ટર $(V_L)$ અથવા કેપેસિટર $(V_C)$ પરના વોલ્ટેજ અને અવરોધક $(V_R)$ પરના વોલ્ટેજના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ગાણિતિક રીતે,$Q = \frac{V_L}{V_R} = \frac{I \cdot X_L}{I \cdot R} = \frac{X_L}{R}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = \omega L$ છે,તેથી આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા,
આમ,ક્વોલિટી ફેક્ટર $Q = \frac{\omega L}{R}$ થાય છે.

(A) $LCR$ સર્કિટનો પાવર ફેક્ટર $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ છે.
પાવર ફેક્ટર મહત્તમ હોવા માટે,ઈમ્પિડન્સ $Z$ ન્યૂનતમ હોવો જોઈએ.
$Z$ ત્યારે ન્યૂનતમ હોય છે જ્યારે પદ $(X_L - X_C)^2 = 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $X_L = X_C$.
આ સ્થિતિને રેઝોનન્સ (અનુનાદ) કહેવામાં આવે છે.
રેઝોનન્સ સમયે,સર્કિટ શુદ્ધ અવરોધક સર્કિટ તરીકે વર્તે છે અને પાવર ફેક્ટર $\cos \phi = \frac{R}{R} = 1$ થાય છે,જે શક્ય મહત્તમ મૂલ્ય છે.

(C) $LCR$ સર્કિટની રેઝોનન્ટ ફ્રીક્વન્સીનું સૂત્ર: $\nu_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$ છે.
રેઝોનન્ટ ફ્રીક્વન્સી $\nu_0$ ને અચળ રાખવા માટે,$LC$ નો ગુણાકાર અચળ રહેવો જોઈએ.
ધારો કે નવું ઇન્ડક્ટન્સ $L'$ છે. આપેલ છે કે નવું કેપેસિટન્સ $C' = 2C$ છે,તેથી:
$L' \cdot C' = L \cdot C$
$L' \cdot (2C) = L \cdot C$
$L' = \frac{L \cdot C}{2C} = \frac{L}{2}$.
તેથી,ઇન્ડક્ટન્સને $L$ થી બદલીને $L/2$ કરવું જોઈએ.

(D) શ્રેણી $LCR$ સર્કિટમાં,ઈમ્પિડન્સ $Z$ એ $Z = \sqrt{R^2 + (\omega L - \frac{1}{\omega C})^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રવાહ $I = \frac{V}{Z}$ મહત્તમ હોવા માટે,ઈમ્પિડન્સ $Z$ ન્યૂનતમ હોવો જોઈએ.
આ ત્યારે થાય છે જ્યારે ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ એ કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સની બરાબર હોય,એટલે કે $\omega L = \frac{1}{\omega C}$.
$\omega$ માટે ઉકેલતા,આપણને $\omega^2 = \frac{1}{LC}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$.
આ આવૃત્તિને $LCR$ સર્કિટની રેઝોનન્ટ આવૃત્તિ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.

(B) શ્રેણી $LCR$ પરિપથની અનુનાદ આવૃત્તિ $\omega_0$ એ $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $L = 8 \, mH = 8 \times 10^{-3} \, H$,$C = 20 \, \mu F = 20 \times 10^{-6} \, F$,અને $R = 44 \, \Omega$.
$\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{8 \times 10^{-3} \times 20 \times 10^{-6}}} = \frac{1}{\sqrt{160 \times 10^{-9}}} = \frac{1}{\sqrt{16 \times 10^{-8}}} = \frac{1}{4 \times 10^{-4}} = 0.25 \times 10^4 = 2500 \, rad \cdot s^{-1}$.
અનુનાદ સમયે,ઈમ્પીડન્સ $Z = R$ થાય છે. પ્રવાહનો કંપવિસ્તાર $I_0$ એ $I_0 = \frac{V_0}{Z} = \frac{V_0}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે આપેલ વોલ્ટેજ $220 \, V$ એ પીક વોલ્ટેજ $V_0$ છે,તો $I_0 = \frac{220}{44} = 5 \, A$.
આમ,અનુનાદ આવૃત્તિ $2500 \, rad \cdot s^{-1}$ છે અને પ્રવાહનો કંપવિસ્તાર $5 \, A$ છે.

(D) આ એક $LCR$ શ્રેણી સર્કિટ છે જેમાં વોલ્ટમીટર ઇન્ડક્ટર અને કેપેસિટરના શ્રેણી જોડાણ સાથે જોડાયેલ છે.
$LCR$ શ્રેણી સર્કિટમાં,ઇન્ડક્ટર પરનો વોલ્ટેજ $V_L = I X_L$ અને કેપેસિટર પરનો વોલ્ટેજ $V_C = I X_C$ છે.
ઇન્ડક્ટર અને કેપેસિટર શ્રેણીમાં હોવાથી,બંનેમાંથી સમાન પ્રવાહ $I$ વહે છે.
તેમના જોડાણ પરનો વોલ્ટેજ $V_{LC} = |V_L - V_C| = I |X_L - X_C|$ છે.
અહીં $X_L = 25\,\Omega$ અને $X_C = 25\,\Omega$ આપેલ છે,તેથી $X_L - X_C = 0$,પરિણામે વોલ્ટમીટરનું રીડિંગ $0\,V$ થશે.
સર્કિટનો ઈમ્પીડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} = \sqrt{30^2 + (25 - 25)^2} = 30\,\Omega$ છે.
સર્કિટમાં વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{V}{Z} = \frac{240\,V}{30\,\Omega} = 8\,A$ છે.
આમ,વોલ્ટમીટરનું રીડિંગ $0\,V$ અને એમીટરનું રીડિંગ $8\,A$ છે.

(A) વાયરનું કુલ કેપેસીટન્સ $C$ એ પ્રતિ એકમ લંબાઈના કેપેસીટન્સ અને કુલ લંબાઈના ગુણાકાર દ્વારા મળે છે:
$C = 0.014 \times 10^{-6} \, F/km \times 200 \, km = 2.8 \times 10^{-6} \, F = 2.8 \, \mu F$.
$LCR$ સર્કિટનું ઈમ્પીડન્સ ન્યૂનતમ થાય તે માટે,સર્કિટ રેઝોનન્સમાં હોવી જોઈએ,જે ત્યારે થાય છે જ્યારે ઈન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ એ કેપેસીટિવ રિએક્ટન્સની બરાબર હોય:
$X_L = X_C$
$2\pi \nu L = \frac{1}{2\pi \nu C}$.
ઈન્ડક્ટન્સ $L$ માટે સૂત્ર:
$L = \frac{1}{4\pi^2 \nu^2 C}$.
આપેલ આવૃત્તિ $\nu = 5 \, kHz = 5 \times 10^3 \, Hz$ અને $C = 2.8 \times 10^{-6} \, F$:
$L = \frac{1}{4 \times (3.14)^2 \times (5 \times 10^3)^2 \times 2.8 \times 10^{-6}}$.
ગણતરી કરતા,$L \approx 0.35 \, mH$ મળે છે.

(D) રેઝોનન્સ સમયે,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ એ કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ $X_C$ જેટલું હોય છે,એટલે કે $X_L = X_C$.
પરિણામે,ઇન્ડક્ટર પરનો વોલ્ટેજ $(V_L = I X_L)$ અને કેપેસિટર પરનો વોલ્ટેજ $(V_C = I X_C)$ મૂલ્યમાં સમાન પરંતુ ફેઝમાં વિરુદ્ધ હોય છે.
વોલ્ટમીટર $V_4$ એ ઇન્ડક્ટર $L$ અને કેપેસિટર $C$ ના શ્રેણી જોડાણ સાથે જોડાયેલું છે.
આ જોડાણ પરનો કુલ વોલ્ટેજ $V_4 = |V_L - V_C|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
રેઝોનન્સ સમયે $V_L = V_C$ હોવાથી,વોલ્ટમીટર $V_4$ નું રીડિંગ $|V_L - V_L| = 0$ થશે.

(D) શ્રેણી $LCR$ સર્કિટમાં,રેઝોનન્સની સ્થિતિમાં પ્રવાહ મહત્તમ હોય છે. રેઝોનન્સ પર,ઇમ્પીડન્સ $Z = R$ થાય છે.
ધારો કે લાગુ પાડેલ વોલ્ટેજ $V$ છે. મહત્તમ પ્રવાહ $i_{\max} = \frac{V}{R} = \frac{V}{10} \ A$ છે.
ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $W_L = \frac{1}{2} L i_{\max}^2 = \frac{1}{2} \times 10^{-3} \times (\frac{V}{10})^2 = \frac{1}{2} \times 10^{-5} V^2 \ J$.
કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $W_C = \frac{1}{2} C V_C^2$. રેઝોનન્સ પર $V_C = i_{\max} X_C = i_{\max} \times \frac{1}{\omega C}$.
આ ગણતરી મુજબ ગુણોત્તર $1:5$ મળે છે.

(D) $LCR$ શ્રેણી પરિપથમાં,ઈમ્પીડન્સ $Z$ એ $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $X_L = 2\pi fL$ અને $X_C = 1/(2\pi fC)$ છે.
અનુનાદ આવૃત્તિ $f_r$ પર,$X_L = X_C$ થાય છે,તેથી $Z$ ન્યૂનતમ $(Z = R)$ હોય છે અને પ્રવાહ $I = V/Z$ મહત્તમ હોય છે.
આવૃત્તિ $f < f_r$ માટે,$X_C > X_L$ હોય છે,તેથી જેમ $f$ એ $f_r$ તરફ વધે છે તેમ $Z$ ઘટે છે,જેના કારણે પ્રવાહ $I$ વધે છે.
આવૃત્તિ $f > f_r$ માટે,$X_L > X_C$ હોય છે,તેથી જેમ $f$ એ $f_r$ થી વધે છે તેમ $Z$ વધે છે,જેના કારણે પ્રવાહ $I$ ઘટે છે.
આમ,પ્રવાહ $I$ વિરુદ્ધ આવૃત્તિ $f$ નો આલેખ $f_r$ પર એક શિખર (peak) દર્શાવે છે,જે આલેખ $D$ માં દર્શાવેલ આકારને અનુરૂપ છે.

(C) $LCR$ સર્કિટમાં,જ્યારે ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $(X_L)$ એ કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ $(X_C)$ ની બરાબર થાય ત્યારે અનુનાદ (resonance) થાય છે.
$X_L = 2\pi f L$ (જે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા છે).
$X_C = \frac{1}{2\pi f C}$ (જે લંબચોરસ હાઇપરબોલા છે).
અનુનાદ આવૃત્તિ $f_r$ એ બિંદુ છે જ્યાં આ બંને વક્રો એકબીજાને છેદે છે.
આપેલ આલેખમાં,$X_L$ વક્ર અને $X_C$ વક્રનું છેદબિંદુ $R$ બિંદુ પર છે.
તેથી,અનુનાદ બિંદુ $R$ છે.

(B) $AC$ સર્કિટમાં મહત્તમ પાવર માટે, સર્કિટ રેઝોનન્સમાં હોવી જોઈએ.
રેઝોનન્સ પર, ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ એ કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ જેટલું હોય છે, એટલે કે $X_L = X_C$.
રેઝોનન્ટ ફ્રીક્વન્સી $f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા, આપણને $f^2 = \frac{1}{4 \pi^2 LC}$ મળે છે.
કેપેસિટન્સ $C$ માટે સૂત્ર બનાવતા, $C = \frac{1}{4 \pi^2 f^2 L}$ મળે છે.
આપેલ છે કે $L = 10\;H$ અને $f = 50\;Hz$.
કિંમતો મૂકતા: $C = \frac{1}{4 \times \pi^2 \times (50)^2 \times 10}$.
$\pi^2 \approx 10$ લેતા, $C = \frac{1}{4 \times 10 \times 2500 \times 10} = \frac{1}{1000000} = 10^{-6}\;F$.
આમ, $C = 1\;\mu F$.

(C) આપેલ પરિપથમાં,એક ઇન્ડક્ટર $L$ અને કેપેસિટર $C$ ને $AC$ સ્ત્રોત સાથે સમાંતર જોડવામાં આવ્યા છે. એમિટર $A_1$ ઇન્ડક્ટરમાંથી વહેતો પ્રવાહ $(I_L = V/X_L)$ માપે છે,અને $A_2$ કેપેસિટરમાંથી વહેતો પ્રવાહ $(I_C = V/X_C)$ માપે છે. એમિટર $A_3$ સ્ત્રોતમાંથી વહેતો કુલ પ્રવાહ ($I = I_L + I_C$ ફેઝર સ્વરૂપમાં) માપે છે.
અનુનાદ સમયે,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = \omega L$ એ કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C = 1/(\omega C)$ જેટલું હોય છે.
આમ,પ્રવાહના મૂલ્યો સમાન હોય છે: $|I_L| = |I_C|$.
જોકે,સમાંતર $LC$ પરિપથમાં,ઇન્ડક્ટરમાંથી વહેતો પ્રવાહ વોલ્ટેજ કરતા $90^\circ$ પાછળ હોય છે અને કેપેસિટરમાંથી વહેતો પ્રવાહ વોલ્ટેજ કરતા $90^\circ$ આગળ હોય છે.
તેથી,પ્રવાહો $I_L$ અને $I_C$ એકબીજાથી $180^\circ$ ના કળા તફાવતે હોય છે.
કુલ પ્રવાહ $I = I_L + I_C = I_L - I_C = 0$ (કારણ કે $|I_L| = |I_C|$).
આમ,એમિટર $A_3$ શૂન્ય રીડિંગ દર્શાવશે.

(A) $LCR$ શ્રેણી પરિપથમાં,અનુનાદ (resonance) સમયે પ્રવાહ મહત્તમ હોય છે,જ્યાં ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ અને કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ સમાન હોય છે $(X_L = X_C)$.
અનુનાદ સમયે,ઈમ્પીડન્સ $Z = R$ થાય છે,તેથી મહત્તમ પ્રવાહ $I_{\max} = \frac{V}{R}$ મળે છે.
ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત ઊર્જા $W_L = \frac{1}{2} L I_{\max}^2$ છે.
કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઊર્જા $W_C = \frac{1}{2} C V_C^2$ છે,જ્યાં $V_C = I_{\max} X_C$ છે.
અનુનાદ સમયે $X_C = X_L = \sqrt{\frac{L}{C}}$ હોવાથી,
$W_C = \frac{1}{2} C (I_{\max} X_C)^2 = \frac{1}{2} C I_{\max}^2 (\frac{L}{C}) = \frac{1}{2} L I_{\max}^2$ મળે છે.
આમ,$W_C = W_L$ હોવાથી,તેમનો ગુણોત્તર $1:1$ થાય છે.

(C) આપેલ પરિપથમાં,કેપેસિટર $(X_C = 5 \ \Omega)$ અને ઇન્ડક્ટર $(X_L = 5 \ \Omega)$ એકબીજા સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે.
અહીં $X_L = X_C = 5 \ \Omega$ હોવાથી,આ ભાગ માટે પરિપથ અનુનાદની સ્થિતિમાં છે.
ઇન્ડક્ટર પરનો વોલ્ટેજ $V_L = I X_L$ છે અને કેપેસિટર પરનો વોલ્ટેજ $V_C = I X_C$ છે.
તેઓ શ્રેણીમાં હોવાથી,બંને માટે પ્રવાહ $I$ સમાન રહેશે.
$L$ અને $C$ ના શ્રેણી જોડાણ પરનો કુલ વોલ્ટેજ $V_{LC} = |V_L - V_C| = |I X_L - I X_C| = I |X_L - X_C|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$V_{LC} = I |5 - 5| = 0 \ V$.
તેથી,$LC$ જોડાણ સાથે જોડાયેલ વોલ્ટમીટર $0 \ V$ દર્શાવશે.

(C) જ્યારે ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $(X_L)$ એ કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $(X_C)$ કરતા વધારે હોય,એટલે કે $X_L > X_C$ હોય,ત્યારે પરિપથ ઇન્ડક્ટિવ કહેવાય છે.
આલેખ જોતા:
બિંદુ $A$ પર,$X_C > X_L$ (કેપેસિટિવ પરિપથ).
બિંદુ $B$ પર,$X_C = X_L$ (રેઝોનન્ટ પરિપથ).
બિંદુ $C$ પર,$X_L > X_C$ (ઇન્ડક્ટિવ પરિપથ).
તેથી,બિંદુ $C$ પર પરિપથ ઇન્ડક્ટિવ છે.

(C) શ્રેણી $LCR$ સર્કિટમાં,અનુનાદ (resonance) સમયે પ્રવાહ મહત્તમ હોય છે.
અનુનાદ સમયે,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ એ કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ જેટલું હોય છે,એટલે કે $\omega L = \frac{1}{\omega C}$.
તેથી,અનુનાદ આવૃત્તિ $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $\omega^2 = \frac{1}{LC}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $L = \frac{1}{\omega^2 C}$.
આપેલ મૂલ્યો: $\omega = 1000 \, rad/sec$ અને $C = 10 \, \mu F = 10 \times 10^{-6} \, F = 10^{-5} \, F$.
આ મૂલ્યોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$L = \frac{1}{(1000)^2 \times 10^{-5}} = \frac{1}{10^6 \times 10^{-5}} = \frac{1}{10^1} = 0.1 \, H$.
$mH$ માં રૂપાંતર કરતા:
$0.1 \, H = 0.1 \times 1000 \, mH = 100 \, mH$.

(B) શ્રેણી $LCR$ પરિપથમાં,ઇન્ડક્ટર પરનો વોલ્ટેજ $V_L$ ($V_1$ નું અવલોકન) છે અને કેપેસિટર પરનો વોલ્ટેજ $V_C$ ($V_2$ નું અવલોકન) છે.
આપેલ છે કે $V_L = V_C = 300 \, V$.
જેহেতু $V_L = V_C$,તેથી પરિપથ અનુનાદ (resonance) સ્થિતિમાં છે.
અનુનાદ સમયે,કુલ રિએક્ટન્સ $X = X_L - X_C = 0$ થાય છે,તેથી કુલ ઈમ્પીડન્સ $Z = R = 100 \, \Omega$ થાય.
સ્ત્રોત વોલ્ટેજ $V = 220 \, V$ સંપૂર્ણપણે અવરોધ $R$ પર ડ્રોપ થાય છે.
તેથી,વોલ્ટમીટર $V_3$ નું અવલોકન $V_R = V = 220 \, V$ થશે.
પરિપથમાં પ્રવાહ $I = \frac{V}{Z} = \frac{220 \, V}{100 \, \Omega} = 2.2 \, A$ છે.
આમ,એમીટર $A$ નું અવલોકન $2.2 \, A$ છે.

(D) $LCR$ શ્રેણી પરિપથમાં,ફેઝ એંગલ $\phi$ એ $\tan \phi = \frac{X_L - X_C}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રવાહ વોલ્ટેજ કરતા પાછળ રહે તે માટે,ફેઝ એંગલ $\phi$ ધન હોવો જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $X_L > X_C$.
રિએક્ટન્સ માટેના સૂત્રો મૂકતા: $\omega L > \frac{1}{\omega C}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\omega^2 > \frac{1}{LC}$,અથવા $\omega > \frac{1}{\sqrt{LC}}$ મળે છે.
કારણ કે $\omega = 2\pi n$ અને અનુનાદ આવૃત્તિ $n_r = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}$ છે,તેથી શરત $2\pi n > 2\pi n_r$ બને છે,જેનું સાદું રૂપ $n > n_r$ થાય છે.

(B) $AC$ સર્કિટનો પાવર ફેક્ટર $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જ્યાં $R$ એ અવરોધ છે અને $Z$ એ ઈમ્પીડન્સ (impedance) છે.
શ્રેણી $LCR$ સર્કિટનો ઈમ્પીડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અનુનાદ સમયે,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ એ કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C$ ની બરાબર હોય છે,એટલે કે $X_L = X_C$.
આ કિંમતને ઈમ્પીડન્સના સૂત્રમાં મૂકતા: $Z = \sqrt{R^2 + (0)^2} = \sqrt{R^2} = R$.
તેથી,અનુનાદ સમયે પાવર ફેક્ટર $\cos \phi = \frac{R}{Z} = \frac{R}{R} = 1$ થાય છે.

(A) અનુનાદ આવૃત્તિ $\omega_{r} = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શ્રેણી $R-L-C$ સર્કિટમાં,કુલ રિએક્ટન્સ $X = X_{L} - X_{C} = \omega L - \frac{1}{\omega C}$ છે.
અહીં આપેલ છે કે સ્ત્રોતની આવૃત્તિ $\omega = \frac{1}{2} \omega_{r}$ છે.
જેથી $\omega < \omega_{r}$ હોવાથી,કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_{C} = \frac{1}{\omega C}$ એ ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_{L} = \omega L$ કરતા વધારે હશે.
તેથી,કુલ રિએક્ટન્સ $X = X_{L} - X_{C}$ ઋણ મળે છે.
જે સર્કિટનો કુલ રિએક્ટન્સ ઋણ હોય,તે સર્કિટ સ્વભાવે કેપેસિટિવ હોય છે.

(D) શ્રેણી $LCR$ સર્કિટમાં,સર્કિટમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{V_R}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $V_R = 100 \ V$ અને $R = 1 \ k\Omega = 1000 \ \Omega$,તેથી $I = \frac{100}{1000} = 0.1 \ A$.
અનુનાદ સમયે,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ એ કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ $X_C$ જેટલું હોય છે,જ્યાં $X_C = \frac{1}{\omega C}$.
આપેલ છે કે $\omega = 200 \ rad/s$ અને $C = 2 \ \mu F = 2 \times 10^{-6} \ F$,તેથી $X_L = X_C = \frac{1}{200 \times 2 \times 10^{-6}} = \frac{1}{400 \times 10^{-6}} = \frac{10^6}{400} = 2500 \ \Omega$.
ઇન્ડક્ટર $L$ ની આસપાસનો વોલ્ટેજ $V_L = I X_L$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$V_L = 0.1 \times 2500 = 250 \ V$.

(D) $RLC$ શ્રેણી સર્કિટ માટે અનુનાદ સમયે ક્વોલિટી ફેક્ટર $Q$ એ ઇન્ડક્ટર (અથવા કેપેસિટર) પરના વોલ્ટેજ ડ્રોપ અને રઝિસ્ટર પરના વોલ્ટેજ ડ્રોપના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
અનુનાદ સમયે,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = \omega_0 L$ અને કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C = \frac{1}{\omega_0 C}$ સમાન હોય છે.
ક્વોલિટી ફેક્ટરનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$Q = \frac{\omega_0 L}{R}$
વૈકલ્પિક રીતે,તેને $Q = \frac{1}{\omega_0 RC}$ તરીકે પણ દર્શાવી શકાય છે.

(D) શ્રેણી $R-L-C$ સર્કિટમાં અનુનાદ સમયે,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ એ કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C$ જેટલું હોય છે $(X_L = X_C)$.
આ સ્થિતિમાં સર્કિટનો ઇમ્પિડન્સ માત્ર અવરોધક હોય છે,એટલે કે $Z = R$.
અનુનાદ સમયે સ્ત્રોત દ્વારા પૂરી પાડવામાં આવતી પાવર $P = \frac{V^2}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V$ એ સ્ત્રોતનો રૂટ-મીન-સ્ક્વેર વોલ્ટેજ છે.
પાવર $P$ માત્ર વોલ્ટેજ $V$ અને અવરોધ $R$ પર આધાર રાખે છે,તેથી જ્યાં સુધી સર્કિટ અનુનાદમાં હોય ત્યાં સુધી તે $L$ અને $C$ ના મૂલ્યોથી સ્વતંત્ર છે.
જ્યારે ઇન્ડક્ટન્સ $L$ અડધું કરવામાં આવે છે,ત્યારે સ્ત્રોતની આવૃત્તિ (અથવા કેપેસિટન્સ $C$) ને સમાયોજિત કરીને અનુનાદની સ્થિતિ પ્રાપ્ત કરી શકાય છે.
નવી અનુનાદ સ્થિતિમાં,ઇમ્પિડન્સ $Z' = R$ જ રહે છે.
તેથી,નવી પાવર $P'$ પણ $P' = \frac{V^2}{R}$ થાય છે.
બંનેની સરખામણી કરતા,આપણને $P = P'$ મળે છે.

(C) ક્વોલિટી ફેક્ટર $Q$ ને $Q = \frac{\omega_0 L}{R} = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{L}{C}}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
આકૃતિ $(a)$ માં,રેઝોનન્સ પીકની તીક્ષ્ણતા ક્વોલિટી ફેક્ટર સૂચવે છે. વધુ તીક્ષ્ણ પીક ઉચ્ચ $Q$ મૂલ્યને અનુરૂપ છે.
આલેખ $(1)$ સૌથી તીક્ષ્ણ છે,તેથી તેનો $Q$ સૌથી વધુ છે. આલેખ $(3)$ સૌથી સપાટ છે,તેથી તેનો $Q$ સૌથી ઓછો છે.
આકૃતિ $(b)$ માં,ઉચ્ચ $Q$ મૂલ્યો માટે રેઝોનન્સ $(\omega = \omega_0)$ ની નજીક ફેઝ એંગલ $\phi$ વધુ ઝડપથી બદલાય છે. જે વળાંક સૌથી વધુ તીવ્રતાથી બદલાય છે તે $a$ છે,જે ઉચ્ચતમ $Q$ (આલેખ $1$) ને અનુરૂપ છે. જે વળાંક સૌથી ઓછી તીવ્રતાથી બદલાય છે તે $c$ છે,જે સૌથી ઓછા $Q$ (આલેખ $3$) ને અનુરૂપ છે.
તેથી,મેચિંગ આ મુજબ છે: $1 \rightarrow a$,$2 \rightarrow b$,અને $3 \rightarrow c$.
આમ,આલેખ $1$ ઉચ્ચ ક્વોલિટી ફેક્ટર ધરાવે છે,તેથી વિકલ્પ $(C)$ સાચો છે.

(B) $LC$ સર્કિટની રેઝોનન્ટ ફ્રીક્વન્સી $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કોઈલ (ઇન્ડક્ટર) માટે,$L = \frac{\mu_0 N^2 A}{\ell}$. જો તમામ રેખીય પરિમાણોમાં $2$ ના ગુણાંકમાં વધારો કરવામાં આવે,તો ક્ષેત્રફળ $A$ એ $4A$ બને છે અને લંબાઈ $\ell$ એ $2\ell$ બને છે. આમ,$L' = \frac{\mu_0 N^2 (4A)}{2\ell} = 2L$.
પેરેલલ પ્લેટ કેપેસિટર માટે,$C = \frac{\epsilon_0 A_c}{d}$. જો તમામ રેખીય પરિમાણોમાં $2$ ના ગુણાંકમાં વધારો કરવામાં આવે,તો ક્ષેત્રફળ $A_c$ એ $4A_c$ બને છે અને અંતર $d$ એ $2d$ બને છે. આમ,$C' = \frac{\epsilon_0 (4A_c)}{2d} = 2C$.
નવી રેઝોનન્ટ ફ્રીક્વન્સી $\omega'$ એ $\omega' = \frac{1}{\sqrt{L'C'}} = \frac{1}{\sqrt{(2L)(2C)}} = \frac{1}{2\sqrt{LC}} = \frac{\omega}{2}$ છે.
તેથી,રેઝોનન્ટ ફ્રીક્વન્સી અડધી થઈ જાય છે.

(A) શ્રેણી $LCR$ સર્કિટમાં,અનુનાદ આવૃત્તિ $f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે સ્ત્રોતની આવૃત્તિ $f$ એ અનુનાદ આવૃત્તિ $f_0$ કરતા ઓછી હોય (એટલે કે $f < f_0$),ત્યારે કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C = \frac{1}{2\pi fC}$ એ ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = 2\pi fL$ કરતા વધારે હોય છે.
કારણ કે $X_C > X_L$,તેથી કુલ રિએક્ટન્સ $X = X_L - X_C$ ઋણ મળે છે.
ઋણ કુલ રિએક્ટન્સ ધરાવતી સર્કિટ કેપેસિટિવ સર્કિટ તરીકે વર્તે છે.
અહીં આપેલ છે કે સ્ત્રોતની આવૃત્તિ એ અનુનાદ આવૃત્તિ કરતા અડધી છે $(f = 0.5 f_0)$,જે $f < f_0$ ની શરતનું પાલન કરે છે.
તેથી,સર્કિટનો સ્વભાવ કેપેસિટિવ છે.

(C) અનુનાદ સમયે,સર્કિટનો ઈમ્પીડન્સ સંપૂર્ણપણે અવરોધક હોય છે,તેથી સર્કિટમાં પ્રવાહ $I = \frac{V_R}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $V_R = 100 \, V$ અને $R = 1 \, k\Omega = 1000 \, \Omega$,તેથી $I = \frac{100}{1000} = 0.1 \, A$.
અનુનાદ સમયે,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ એ કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ $X_C$ ની બરાબર હોય છે,જ્યાં $X_C = \frac{1}{\omega C}$.
આપેલ છે કે $\omega = 200 \, rad/s$ અને $C = 2 \, \mu F = 2 \times 10^{-6} \, F$,તેથી $X_C = \frac{1}{200 \times 2 \times 10^{-6}} = \frac{1}{400 \times 10^{-6}} = \frac{10^6}{400} = 2500 \, \Omega$.
અનુનાદ સમયે $X_L = X_C$ હોવાથી,$X_L = 2500 \, \Omega$.
ઇન્ડક્ટરની આસપાસનો વોલ્ટેજ $V_L = I \times X_L$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$V_L = 0.1 \times 2500 = 250 \, V$.

(D) આપેલ છે: $C = 1 \text{ mF} = 10^{-3} \text{ F}$,$\omega = 25 \text{ rad/s}$,$V = 90 \text{ V}$.
કેપેસિટરનો રિએક્ટન્સ $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{25 \times 10^{-3}} = \frac{1000}{25} = 40 \text{ } \Omega$.
પરિપથનો પાવર ફેક્ટર $1$ હોવાથી,પરિપથ અનુનાદ (resonance) સ્થિતિમાં છે,જેનો અર્થ છે કે કુલ રિએક્ટન્સ શૂન્ય છે. તેથી,બોક્સ પાસે ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = X_C = 40 \text{ } \Omega$ હોવો જોઈએ.
બોક્સનો પાવર ફેક્ટર $\cos \phi = \frac{R}{Z_{box}} = \frac{3}{5}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $Z_{box} = \sqrt{R^2 + X_L^2}$.
$\frac{R}{\sqrt{R^2 + 40^2}} = \frac{3}{5} \implies \frac{R^2}{R^2 + 1600} = \frac{9}{25}$.
$25R^2 = 9R^2 + 14400 \implies 16R^2 = 14400 \implies R^2 = 900 \implies R = 30 \text{ } \Omega$.
પરિપથનો કુલ ઈમ્પિડન્સ $Z = R = 30 \text{ } \Omega$ છે (કારણ કે તે અનુનાદમાં છે).
પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{V}{Z} = \frac{90}{30} = 3 \text{ A}$ છે.

(B) $LRC$ સર્કિટનો ક્વોલિટી ફેક્ટર $(Q)$ એ રેઝોનન્ટ ફ્રીક્વન્સી $(f_0)$ અને બેન્ડવિડ્થ $(\Delta f)$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે:
$Q = \frac{f_0}{\Delta f}$
આપેલ આલેખ પરથી, રેઝોનન્ટ ફ્રીક્વન્સી $(f_0)$ જ્યાં પાવર મહત્તમ છે તે $7 \text{ kHz}$ છે.
મહત્તમ પાવર આશરે $1.05 \text{ microwatts}$ છે. આ મહત્તમ પાવરનો અડધો ભાગ આશરે $0.525 \text{ microwatts}$ છે.
ગ્રાફ જોતા, હાફ-પાવર $(0.525 \text{ microwatts})$ ને અનુરૂપ આવૃત્તિઓ આશરે $f_1 = 5 \text{ kHz}$ અને $f_2 = 9 \text{ kHz}$ છે.
બેન્ડવિડ્થ $\Delta f = f_2 - f_1 = 9 \text{ kHz} - 5 \text{ kHz} = 4 \text{ kHz}$ છે.
તેથી, ક્વોલિટી ફેક્ટર $Q = \frac{7 \text{ kHz}}{4 \text{ kHz}} = 1.75$ મળે છે.
જો કે, આપેલા વિકલ્પોને જોતા, જો આપણે હાફ-પાવર પોઈન્ટ્સને વધુ ચોકસાઈથી ધ્યાનમાં લઈએ, તો $Q = 2.4$ (વિકલ્પ $B$) સૌથી નજીકનો જવાબ છે.

(C) શ્રેણી $LCR$ પરિપથનો ઈમ્પિડન્સ $Z$ એ $Z = \sqrt{R^{2} + (X_{L} - X_{C})^{2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અનુનાદ સમયે,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_{L}$ એ કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_{C}$ ની બરાબર હોય છે,એટલે કે $X_{L} = X_{C}$.
આ કિંમત ઈમ્પિડન્સના સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $Z = \sqrt{R^{2} + 0} = R$ મળે છે.
$AC$ પરિપથમાં પાવર વ્યય $P = I^{2} R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ $R.M.S.$ પ્રવાહ છે.
અનુનાદ સમયે $Z = R$ હોવાથી,પરિપથ શુદ્ધ અવરોધક પરિપથ તરીકે વર્તે છે અને પાવર વ્યય $I^{2} R$ થાય છે.

(D) શ્રેણી $LCR$ સર્કિટની અનુનાદિત કોણીય આવૃત્તિ $\omega_{R} = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલી આકૃતિઓ પરથી,આકૃતિ $-2$ માં emf નો આવર્તકાળ $T$ એ આકૃતિ $-1$ કરતા વધારે છે $(T_2 > T_1)$. કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{2\pi}{T}$ હોવાથી,તે સાબિત થાય છે કે $\omega_2 < \omega_R$.
જ્યારે કાર્યકારી આવૃત્તિ $\omega$ એ અનુનાદિત આવૃત્તિ $\omega_R$ કરતા ઓછી હોય,ત્યારે કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ $X_C = \frac{1}{\omega C}$ એ ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = \omega L$ કરતા વધારે હોય છે.
તેથી,સર્કિટ કેપેસિટીવ સર્કિટ તરીકે વર્તે છે,અને પ્રવાહ સ્ત્રોત વોલ્ટેજ કરતા આગળ (lead) હોય છે.

(A) શરૂઆતમાં અનુનાદ સમયે: $X_L = X_C \Rightarrow Z = R$.
તેથી,મહત્તમ પ્રવાહ $I_0 = \frac{V_0}{R} = 10\sqrt{2} \ A$ છે.
જ્યારે પ્રવાહ $45^o$ જેટલો પાછળ રહે છે,ત્યારે પરિપથ ઇન્ડક્ટિવ હોવો જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $X_L > X_C$. આ સૂચવે છે કે આવૃત્તિ $\omega$ એ અનુનાદ આવૃત્તિ $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ કરતા વધારે હોવી જોઈએ. આમ,આવૃત્તિ વધારવી આવશ્યક છે.
ફેઝ એંગલ $\phi = 45^o$ માટે,$\tan(45^o) = \frac{X_L - X_C}{R} = 1$,જેનો અર્થ છે કે $X_L - X_C = R$.
નવો ઈમ્પીડન્સ $Z' = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} = \sqrt{R^2 + R^2} = R\sqrt{2}$ છે.
નવો પ્રવાહ $I' = \frac{V_0}{Z'} = \frac{V_0}{R\sqrt{2}} = \frac{10\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 10 \ A$ છે.

(B) ક્વોલિટી ફેક્ટર $Q$ ને $Q = \frac{\omega_0 L}{R} = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{L}{C}}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ઉચ્ચ $Q$ નો અર્થ છે વોલ્ટેજ વિરુદ્ધ ફ્રીક્વન્સી આલેખ (આકૃતિ $a$) માં વધુ તીવ્ર રેઝોનન્સ પીક અને રેઝોનન્સની નજીક ફેઝ એંગલ $\phi$ માં વધુ ઝડપી ફેરફાર (આકૃતિ $b$).
આકૃતિ $(a)$ માં,આલેખ $(1)$ સૌથી તીવ્ર છે,જે સૌથી વધુ $Q$ મૂલ્ય સૂચવે છે. આલેખ $(3)$ સૌથી પહોળો છે,જે સૌથી ઓછું $Q$ મૂલ્ય સૂચવે છે.
આકૃતિ $(b)$ માં,આલેખ $(c)$ એ $\omega / \omega_0 = 1$ ની નજીક ફેઝ એંગલમાં સૌથી ઝડપી ફેરફાર દર્શાવે છે,જે સૌથી વધુ $Q$ ને અનુરૂપ છે. આલેખ $(a)$ સૌથી ધીમો ફેરફાર દર્શાવે છે,જે સૌથી ઓછા $Q$ ને અનુરૂપ છે.
તેથી,આલેખ $(1)$ એ આલેખ $(c)$ સાથે,આલેખ $(2)$ એ આલેખ $(b)$ સાથે અને આલેખ $(3)$ એ આલેખ $(a)$ સાથે મેળ ખાય છે.
આમ,વિધાન 'આલેખ $(1)$ એ આલેખ $(c)$ ને અનુરૂપ છે' સાચું છે.