Alternating Current, Voltage (rms and Average) Questions in Gujarati

(B) $DC$ એમીટરમાં,એક કોઈલ સ્થિર ચુંબકના ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં મુક્તપણે ફરી શકે છે.
જો આવી કોઈલમાંથી અલ્ટરનેટિંગ કરંટ પસાર કરવામાં આવે,તો જ્યારે પણ કરંટની દિશા બદલાય ત્યારે ટોર્ક તેની દિશા બદલશે.
$AC$ ની આવૃત્તિ સામાન્ય રીતે ઊંચી હોવાથી,કોઈલ તેના જડત્વને કારણે ટોર્કમાં થતા ઝડપી ફેરફારોને અનુસરી શકતી નથી.
પરિણામે,એક પૂર્ણ ચક્ર દરમિયાન ટોર્કનું સરેરાશ મૂલ્ય શૂન્ય થાય છે અને પોઇન્ટર શૂન્ય સ્થિતિ પર જ રહે છે.

(B) તત્કાલીન પ્રવાહનું સમીકરણ $i = i_0 \cos(\omega t + \phi)$ છે,જ્યાં $i_0$ એ મહત્તમ (પીક) પ્રવાહ છે.
આપેલ સમીકરણ $i = 4 \cos(\omega t + \phi)$ સાથે સરખાવતા,આપણને મહત્તમ પ્રવાહ $i_0 = 4 \text{ A}$ મળે છે.
અલ્ટરનેટિંગ કરંટ $(AC)$ માટે $r.m.s.$ મૂલ્ય અને મહત્તમ મૂલ્ય વચ્ચેનો સંબંધ $i_{r.m.s.} = \frac{i_0}{\sqrt{2}}$ છે.
$i_0$ ની કિંમત મૂકતા,$i_{r.m.s.} = \frac{4}{\sqrt{2}} = \frac{4 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \text{ A}$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) અસરકારક વોલ્ટેજ (જેને રૂટ મીન સ્ક્વેર વોલ્ટેજ,$V_{rms}$ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે) અને મહત્તમ વોલ્ટેજ $(V_0)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $V_{rms} = \frac{V_0}{\sqrt{2}}$.
અહીં આપેલ છે કે મહત્તમ વોલ્ટેજ $V_0 = 423 \ V$ છે.
આ કિંમતને સૂત્રમાં મૂકતા:
$V_{rms} = \frac{423}{\sqrt{2}} \approx \frac{423}{1.414} \approx 299.15 \ V$.
નજીકની પૂર્ણાંક સંખ્યામાં લેતા,આપણને $V_{rms} = 300 \ V$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) સાઇનસૉઇડલ અલ્ટરનેટિંગ કરંટ માટે મહત્તમ કરંટ $(I_0)$ અને રૂટ મીન સ્ક્વેર કરંટ $(I_{rms})$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$I_{rms} = \frac{I_0}{\sqrt{2}}$
અહીં આપેલ છે કે મહત્તમ મૂલ્ય $I_0 = 6 \ A$ છે,તેથી આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા:
$I_{rms} = \frac{6}{\sqrt{2}}$
સરળ બનાવવા માટે,અંશ અને છેદને $\sqrt{2}$ વડે ગુણતા:
$I_{rms} = \frac{6 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} \ A$
તેથી,કરંટનું r.m.s. મૂલ્ય $3\sqrt{2} \ A$ થાય છે.

(C) આપેલ વોલ્ટેજ સમીકરણ $V = 240 \sin(120t)$ છે.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $V = V_m \sin(\omega t)$ સાથે સરખાવતા,આપણને મહત્તમ વોલ્ટેજ $V_m = 240 \text{ V}$ અને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 120 \text{ rad/s}$ મળે છે.
આવૃત્તિ $f$ નું સૂત્ર $f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{120}{2 \times 3.14159} \approx 19.1 \text{ Hz}$ છે.
$r.m.s.$ વોલ્ટેજ $V_{rms} = \frac{V_m}{\sqrt{2}} = \frac{240}{1.414} \approx 169.7 \text{ V} \approx 170 \text{ V}$ છે.
આમ,આવૃત્તિ $19 \text{ Hz}$ અને $r.m.s.$ વોલ્ટેજ $170 \text{ V}$ છે.

(D) એક $AC$ પરિપથમાં,તાત્ક્ષણિક વોલ્ટેજ $E = E_0 \sin(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વોલ્ટેજનું $r.m.s.$ (રૂટ મીન સ્ક્વેર) મૂલ્ય એ એક પૂર્ણ ચક્ર દરમિયાન તાત્ક્ષણિક મૂલ્યોના વર્ગોના સરેરાશનું વર્ગમૂળ છે.
ગાણિતિક રીતે,$E_{rms} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_{0}^{T} E^2 dt}$.
$E = E_0 \sin(\omega t)$ મૂકતા,આપણને $E_{rms} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_{0}^{T} E_0^2 \sin^2(\omega t) dt}$ મળે છે.
આ સંકલન ઉકેલતા,આપણને $E_{rms} = \frac{E_0}{\sqrt{2}}$ મળે છે.

(C) આપેલ $220 \, V$ નું મૂલ્ય $ac$ મેઈન્સના રૂટ મીન સ્ક્વેર $(rms)$ વોલ્ટેજ દર્શાવે છે.
મહત્તમ વોલ્ટેજ $(V_0)$ અને $rms$ વોલ્ટેજ $(V_{rms})$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $V_0 = V_{rms} \times \sqrt{2}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $V_0 = 220 \times 1.414$.
$V_0 = 311.08 \, V \approx 311 \, V$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) ઓહ્મના નિયમ મુજબ,રૂટ મીન સ્ક્વેર $(RMS)$ પ્રવાહ: $I_{rms} = \frac{V_{rms}}{R} = \frac{200 \ V}{40 \ \Omega} = 5 \ A$ છે.
મહત્તમ પ્રવાહ $(I_0)$ અને $RMS$ પ્રવાહ વચ્ચેનો સંબંધ: $I_0 = I_{rms} \times \sqrt{2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $I_0 = 5 \times 1.414 = 7.07 \ A$ મળે છે.
તેથી,વિદ્યુત પ્રવાહનું મહત્તમ મૂલ્ય આશરે $7 \ A$ છે.

(B) ભારતમાં પાવર મેઈન્સમાં પૂરા પાડવામાં આવતા અલ્ટરનેટિંગ કરંટ $(AC)$ ની પ્રમાણિત આવૃત્તિ $50 \text{ Hz}$ છે. આનો અર્થ એ છે કે પ્રવાહ પ્રતિ સેકન્ડ $50$ ચક્ર પૂર્ણ કરે છે.

(D) આલ્ટરનેટિંગ પ્રવાહનો આવર્તકાળ $T$ નીચે મુજબ મળે છે: $T = \frac{1}{\nu} = \frac{1}{50} \ s = 0.02 \ s$.
શૂન્યથી મહત્તમ મૂલ્ય સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય એ આવર્તકાળનો ચોથો ભાગ હોય છે:
$t = \frac{T}{4} = \frac{0.02}{4} = 0.005 \ s = 5 \times 10^{-3} \ s$.
પ્રવાહનું મહત્તમ મૂલ્ય $(i_0)$ એ $r.m.s.$ મૂલ્ય $(i_{rms})$ સાથે નીચેના સૂત્ર દ્વારા સંબંધિત છે:
$i_0 = i_{rms} \times \sqrt{2} = 10 \times 1.414 = 14.14 \ A$.
આમ,લાગતો સમય $5 \times 10^{-3} \ s$ અને મહત્તમ મૂલ્ય $14.14 \ A$ છે.

(C) અલ્ટરનેટિંગ કરંટનું રૂટ મીન સ્ક્વેર $(RMS)$ મૂલ્ય એ સ્થાયી પ્રવાહના તે મૂલ્ય તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જે જ્યારે આપેલ સમય માટે આપેલ અવરોધમાંથી વહે છે,ત્યારે તેટલી જ ઉષ્મા ઉત્પન્ન કરે છે જેટલી અલ્ટરનેટિંગ કરંટ સમાન સમયગાળામાં ઉત્પન્ન કરે છે.
ગાણિતિક રીતે,સાઇનસૉઇડલ અલ્ટરનેટિંગ કરંટ $I = I_0 \sin(\omega t)$ માટે,$RMS$ મૂલ્ય $(I_{rms})$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$I_{rms} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_{0}^{T} I^2 dt}$
એક સંપૂર્ણ ચક્ર પર આ સંકલન ઉકેલતા આપણને મળે છે:
$I_{rms} = \frac{I_0}{\sqrt{2}}$
જ્યાં $I_0$ એ પ્રવાહનું પીક (મહત્તમ) મૂલ્ય છે.
તેથી,$RMS$ મૂલ્ય એ પીક મૂલ્યના $1/\sqrt{2}$ ગણું હોય છે.

(B) આપેલ છે: મહત્તમ મૂલ્ય $E_0 = 10 \ V$,આવૃત્તિ $f = 50 \ Hz$,અને સમય $t = \frac{1}{600} \ s$.
તત્કાલીન e.m.f. નું સૂત્ર $E = E_0 \cos(\omega t)$ છે.
અહીં $\omega = 2\pi f$ હોવાથી,$\omega = 2 \times \pi \times 50 = 100\pi \ rad/s$ થાય.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$E = 10 \cos(100\pi \times \frac{1}{600})$
$E = 10 \cos(\frac{\pi}{6})$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$,તેથી:
$E = 10 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \ V$.

(C) $ac$ વોલ્ટેજ માટેનું પ્રમાણિત સમીકરણ $E = E_0 \sin(\omega t)$ છે,જ્યાં $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે.
આપેલ સમીકરણ $E = 170 \sin(377t)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\omega = 377 \text{ rad/s}$ મળે છે.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ અને આવૃત્તિ $\nu$ વચ્ચેનો સંબંધ $\omega = 2\pi \nu$ છે.
તેથી,$\nu = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{377}{2 \times 3.14159} \approx 60.03 \text{ Hz}$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,આવૃત્તિ $60 \text{ Hz}$ થાય છે.

(A) $I = I_0 \sin(\omega t)$ દ્વારા દર્શાવેલ એસી $(AC)$ પ્રવાહ માટે,એક સંપૂર્ણ ચક્ર પર પ્રવાહનું સરેરાશ મૂલ્ય $I_{avg} = \frac{1}{T} \int_0^T I_0 \sin(\omega t) dt = 0$ થાય છે. આનું કારણ એ છે કે ધન અને ઋણ અર્ધ-ચક્ર એકબીજાની અસરને નાબૂદ કરે છે.
પ્રવાહના વર્ગનું સરેરાશ મૂલ્ય $I_{rms}^2 = \frac{I_0^2}{2}$ છે,જે શૂન્ય નથી.
સરેરાશ પાવર વ્યય $P_{avg} = V_{rms} I_{rms} \cos(\phi)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે સામાન્ય રીતે શૂન્ય હોતો નથી,સિવાય કે પરિપથ સંપૂર્ણપણે રિએક્ટિવ હોય.
વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ વચ્ચેનો કળા તફાવત હંમેશા શૂન્ય હોતો નથી; તે પરિપથમાં રહેલા ઘટકો $(R, L, C)$ પર આધાર રાખે છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $i = i_1 \cos \omega t + i_2 \sin \omega t$ છે.
આને $i = I_0 \sin(\omega t + \phi)$ તરીકે લખી શકાય,જ્યાં કંપવિસ્તાર $I_0 = \sqrt{i_1^2 + i_2^2}$ છે.
રૂટ મીન સ્ક્વેર (r.m.s.) કરંટની વ્યાખ્યા મુજબ $i_{rms} = \frac{I_0}{\sqrt{2}}$ થાય.
$I_0$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $i_{rms} = \frac{\sqrt{i_1^2 + i_2^2}}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}(i_1^2 + i_2^2)^{1/2}$ મળે છે.

(C) રૂટ મીન સ્ક્વેર $(RMS)$ વોલ્ટેજ $V_{rms} = 220 V$ આપેલ છે.
પીક વોલ્ટેજ $(V_0)$ અને $RMS$ વોલ્ટેજ $(V_{rms})$ વચ્ચેનો સંબંધ $V_0 = V_{rms} \times \sqrt{2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $V_0 = 220 \times 1.414$.
$V_0 = 311.08 V$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,પીક વોલ્ટેજ $311 V$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) હોટ વાયર એમીટર ઓલ્ટરનેટિંગ કરંટનું રૂટ મીન સ્ક્વેર $(rms)$ મૂલ્ય માપે છે.
આપેલ છે,$I_{rms} = 10 \ A$.
મહત્તમ મૂલ્ય $(I_0)$ અને $rms$ મૂલ્ય $(I_{rms})$ વચ્ચેનો સંબંધ $I_0 = I_{rms} \times \sqrt{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમત મૂકતા: $I_0 = 10 \times 1.414 = 14.14 \ A$.
તેથી,કરંટનું મહત્તમ મૂલ્ય $14.14 \ A$ છે.

(D) ઘરેલું ઉપયોગ માટે પૂરા પાડવામાં આવતા $AC$ વોલ્ટેજને $220\,V$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
આ મૂલ્ય સપ્લાયના રૂટ મીન સ્ક્વેર $(RMS)$ વોલ્ટેજને દર્શાવે છે.
$RMS$ મૂલ્ય એટલે એક સંપૂર્ણ ચક્ર દરમિયાન તત્કાલીન વોલ્ટેજના વર્ગોના સરેરાશનું વર્ગમૂળ.
તે તેટલો જ $DC$ વોલ્ટેજ છે જે અવરોધમાં $AC$ વોલ્ટેજ જેટલી જ ગરમી ઉત્પન્ન કરે છે.

(B) રૂટ મીન સ્ક્વેર (r.m.s.) વોલ્ટેજ $V_{rms} = 220 \ V$ તરીકે આપવામાં આવ્યો છે.
પીક વોલ્ટેજ $(V_0)$ અને r.m.s. વોલ્ટેજ વચ્ચેનો સંબંધ $V_0 = \sqrt{2} \times V_{rms}$ છે.
આપેલ કિંમત મૂકતા: $V_0 = 1.414 \times 220 \ V$.
$V_0 \approx 311 \ V$.
તેથી,વિદ્યુત ઉપકરણોને આશરે $311 \ V$ જેટલો ત્વરિત પીક વોલ્ટેજ સહન કરવા માટે ડિઝાઇન કરવા જોઈએ,જે આપેલા વિકલ્પોમાં $310 \ V$ ની સૌથી નજીક છે.

(B) અલ્ટરનેટિંગ વોલ્ટેજનું $r.m.s.$ મૂલ્ય તેના મહત્તમ કંપવિસ્તાર $(V_0)$ સાથે નીચેના સૂત્ર દ્વારા સંબંધિત છે: $V_{rms} = \frac{V_0}{\sqrt{2}}$.
અહીં આપેલ કંપવિસ્તાર $V_0 = 120 \text{ V}$ છે.
કિંમત મૂકતા: $V_{rms} = \frac{120}{1.414} \approx 84.8 \text{ V}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) પ્રવાહનું મહત્તમ મૂલ્ય $i_0$ છે અને r.m.s. મૂલ્ય $i_{rms} = \frac{i_0}{\sqrt{2}}$ છે.
આપેલ એસી પ્રવાહનું સમીકરણ $i = i_0 \sin(100 \pi t)$ છે.
મહત્તમ મૂલ્ય માટે,કળા $\omega t_1 = \frac{\pi}{2}$,તેથી $t_1 = \frac{\pi}{2 \times 100 \pi} = \frac{1}{200} \, \text{s}$.
r.m.s. મૂલ્ય માટે,$i = \frac{i_0}{\sqrt{2}}$,તેથી $\sin(100 \pi t_2) = \frac{1}{\sqrt{2}} = \sin(\frac{\pi}{4})$.
આમ,$100 \pi t_2 = \frac{\pi}{4} \Rightarrow t_2 = \frac{1}{400} \, \text{s}$.
લાગતો સમય $\Delta t = t_1 - t_2 = \frac{1}{200} - \frac{1}{400} = \frac{2-1}{400} = \frac{1}{400} \, \text{s}$.
$\Delta t = 0.0025 \, \text{s} = 2.5 \times 10^{-3} \, \text{s}$.

(C) આપેલા સમીકરણો $V = 5\sin(100\pi t - \frac{\pi}{6})$ અને $I = 4\sin(100\pi t + \frac{\pi}{6})$ છે.
તેમને પ્રમાણિત સ્વરૂપો $V = V_m\sin(\omega t + \phi_1)$ અને $I = I_m\sin(\omega t + \phi_2)$ સાથે સરખાવતા,આપણને ફેઝ એંગલ $\phi_1 = -\frac{\pi}{6}$ અને $\phi_2 = \frac{\pi}{6}$ મળે છે.
ફેઝ તફાવત $\Delta \phi = \phi_2 - \phi_1 = \frac{\pi}{6} - (-\frac{\pi}{6}) = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$ છે.
ચૂકી $\frac{\pi}{3}$ રેડિયન એ $60^o$ ની બરાબર છે અને $\phi_2 > \phi_1$ છે,તેથી પ્રવાહ વોલ્ટેજ કરતા $60^o$ આગળ છે.

(A) આપેલ $AC$ સપ્લાય વોલ્ટેજ એ રૂટ મીન સ્ક્વેર મૂલ્ય છે,$V_{rms} = 220 \ V$.
પીક વોલ્ટેજ $V_0$ એ $V_0 = V_{rms} \times \sqrt{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધન અર્ધચક્ર દરમિયાન સરેરાશ e.m.f. $(V_{av})$ નું સૂત્ર $V_{av} = \frac{2}{\pi} V_0$ છે.
$V_0$ નું મૂલ્ય મૂકતા,આપણને $V_{av} = \frac{2}{\pi} \times (V_{rms} \times \sqrt{2}) = \frac{2\sqrt{2}}{\pi} V_{rms}$ મળે છે.
$V_{rms} = 220 \ V$ મૂકતા,$V_{av} = \frac{2 \times 1.414}{3.1416} \times 220 \approx 198 \ V$ મળે છે.

(B) એક $ac$ પ્રવાહનું $r.m.s.$ (રૂટ મીન સ્ક્વેર) મૂલ્ય એ એક સંપૂર્ણ ચક્ર દરમિયાન ત્વરિત પ્રવાહોના વર્ગોના સરેરાશના વર્ગમૂળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$I = I_0 \sin(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવતા સાઇનસૉઇડલ $ac$ પ્રવાહ માટે,$r.m.s.$ મૂલ્ય નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$I_{rms} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_{0}^{T} I^2 dt} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_{0}^{T} I_0^2 \sin^2(\omega t) dt}$
એક સમયગાળા $T$ પર આ સંકલન ઉકેલતા આપણને મળે છે:
$I_{rms} = \frac{I_0}{\sqrt{2}}$
તેથી,સાચો સંબંધ $I_{rms} = \frac{1}{\sqrt{2}} I_0$ છે.

(A) આપેલ અલ્ટરનેટિંગ વોલ્ટેજ $E = 20 \sin 300t$ છે.
એક સંપૂર્ણ ચક્ર પર સાઇનસૉઇડલ અલ્ટરનેટિંગ વોલ્ટેજનું સરેરાશ મૂલ્ય એ સમયગાળા $T$ પર વોલ્ટેજના સંકલન અને સમયગાળા $T$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ગાણિતિક રીતે,$E_{avg} = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} E_0 \sin(\omega t) dt$.
સાઇન વિધેય સમય અક્ષની સાપેક્ષમાં સંમિત હોવાથી,ધન અર્ધ-ચક્ર હેઠળનું ક્ષેત્રફળ એ ઋણ અર્ધ-ચક્ર હેઠળના ક્ષેત્રફળ જેટલું જ હોય છે.
તેથી,ધન અને ઋણ મૂલ્યો એકબીજાને રદ કરે છે,જેના પરિણામે એક સંપૂર્ણ ચક્ર પર સરેરાશ મૂલ્ય $0$ મળે છે.

(C) અલ્ટરનેટિંગ કરંટ માટે,પીક મૂલ્ય $(I_0)$ અને રૂટ મીન સ્ક્વેર (r.m.s.) મૂલ્ય $(I_{rms})$ વચ્ચેનો સંબંધ $I_{rms} = \frac{I_0}{\sqrt{2}}$ છે.
પીક મૂલ્ય અને r.m.s. મૂલ્યના ગુણોત્તરને શોધવા માટે આ સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$\frac{I_0}{I_{rms}} = \sqrt{2}$.
તેથી,ગુણોત્તર $\sqrt{2}$ છે.

(A) આપેલ વોલ્ટેજ $V_{rms} = 200 \ V$ અને અવરોધ $R = 280 \ \Omega$ છે.
સૌ પ્રથમ,રૂટ મીન સ્ક્વેર પ્રવાહ $(I_{rms})$ ની ગણતરી કરો:
$I_{rms} = \frac{V_{rms}}{R} = \frac{200}{280} = \frac{5}{7} \ A \approx 0.714 \ A$.
પ્રવાહનું મહત્તમ મૂલ્ય $(I_0)$ એ $I_{rms}$ સાથે $I_0 = I_{rms} \times \sqrt{2}$ સૂત્ર દ્વારા સંબંધિત છે.
$I_0 = \frac{5}{7} \times 1.414 \approx 0.714 \times 1.414 \approx 1.01 \ A$.
તેથી,પ્રવાહનું મહત્તમ મૂલ્ય આશરે $1 \ A$ છે.

(D) $ac$ સ્ત્રોતની આવૃત્તિ $f = 50 \text{ Hz}$ છે.
$ac$ ચક્રનો સમયગાળો $T = 1/f = 1/50 \text{ s} = 0.02 \text{ s}$ છે.
વોલ્ટેજ $V = V_0 \sin(\omega t)$ મુજબ બદલાય છે. મહત્તમ મૂલ્ય $t = T/4$ સમયે મળે છે અને વોલ્ટેજ $t = T/2$ સમયે શૂન્ય થાય છે.
મહત્તમ મૂલ્ય $(V = V_0)$ થી શૂન્ય $(V = 0)$ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય એ સમયગાળાના ચોથા ભાગ જેટલો હોય છે.
તેથી,જરૂરી સમય $t = T/4 = 0.02 / 4 = 0.005 \text{ s} = 5 \times 10^{-3} \text{ s}$ છે.

(B) $AC$ સર્કિટમાં,પોટેન્શિયલનું આપેલ મૂલ્ય એ રૂટ મીન સ્ક્વેર $(RMS)$ મૂલ્ય ગણવામાં આવે છે,સિવાય કે અન્યથા જણાવેલ હોય.
આપેલ છે: $V_{rms} = 10 \ V$.
પીક મૂલ્ય $(V_0)$ અને $RMS$ મૂલ્ય $(V_{rms})$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $V_0 = \sqrt{2} \times V_{rms}$.
આપેલ કિંમત મૂકતા: $V_0 = \sqrt{2} \times 10 = 10\sqrt{2} \ V$.
તેથી,પોટેન્શિયલનું પીક મૂલ્ય $10\sqrt{2} \ V$ છે.

(C) ઓલ્ટરનેટિંગ વોલ્ટેજ માટેનું આપેલ સમીકરણ $E = 141 \sin(628 t)$ છે.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $E = E_0 \sin(\omega t)$ સાથે સરખાવતા,આપણને પીક વોલ્ટેજ $E_0 = 141 \text{ V}$ અને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 628 \text{ rad/s}$ મળે છે.
રૂટ મીન સ્ક્વેર (rms) વોલ્ટેજ $E_{rms} = \frac{E_0}{\sqrt{2}} = \frac{141}{1.414} \approx 100 \text{ V}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કોણીય આવૃત્તિ અને આવૃત્તિ $f$ વચ્ચેનો સંબંધ $\omega = 2 \pi f$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$628 = 2 \times 3.14 \times f$.
$f = \frac{628}{6.28} = 100 \text{ Hz}$.
આમ,rms વોલ્ટેજ $100 \text{ V}$ છે અને આવૃત્તિ $100 \text{ Hz}$ છે.

(C) પીક વોલ્ટેજ $(E_0)$ અને રૂટ મીન સ્ક્વેર વોલ્ટેજ $(E_{rms})$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $E_{rms} = \frac{E_0}{\sqrt{2}}$.
અહીં આપેલ છે કે મહત્તમ વોલ્ટેજ $E_0 = 707 \ V$ છે.
કિંમત મૂકતા: $E_{rms} = \frac{707}{1.414} \approx 500 \ V$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) આપેલ વોલ્ટેજ સમીકરણ: $V = 120 \sin(100\pi t) \cos(100\pi t)$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin(2\theta) = 2 \sin \theta \cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે સમીકરણને આ રીતે લખી શકીએ:
$V = 60 \times (2 \sin(100\pi t) \cos(100\pi t))$
$V = 60 \sin(200\pi t)$.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $V = V_{\max} \sin(\omega t)$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
મહત્તમ વોલ્ટેજ $V_{\max} = 60 \, V$.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 200\pi \, rad/s$.
કારણ કે $\omega = 2\pi \nu$,તેથી આવૃત્તિ $\nu$ થશે:
$\nu = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{200\pi}{2\pi} = 100 \, Hz$.
આમ,મહત્તમ વોલ્ટેજ $60 \, V$ અને આવૃત્તિ $100 \, Hz$ છે.

(C) પ્રવાહનું r.m.s. મૂલ્ય $i_{rms} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_{t_1}^{t_2} i^2 \ dt}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જ્યાં $T = t_2 - t_1 = 4 - 2 = 2 \ s$ છે.
પ્રથમ,સરેરાશ વર્ગ પ્રવાહ $\overline{i^2}$ ની ગણતરી કરો:
$\overline{i^2} = \frac{1}{2} \int_{2}^{4} (2\sqrt{t})^2 \ dt = \frac{1}{2} \int_{2}^{4} 4t \ dt$
$\overline{i^2} = 2 \int_{2}^{4} t \ dt = 2 \left[ \frac{t^2}{2} \right]_{2}^{4} = [t^2]_{2}^{4} = 4^2 - 2^2 = 16 - 4 = 12 \ A^2$.
હવે,r.m.s. મૂલ્ય શોધો:
$i_{rms} = \sqrt{\overline{i^2}} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \ A$.

(B) પ્રવાહ $I(t)$ નું $r.m.s.$ મૂલ્ય $I_{rms} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_0^T I^2(t) dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(1)$ માટે,$I = x_0 \sin \omega t$. $r.m.s.$ મૂલ્ય $\frac{x_0}{\sqrt{2}}$ છે. તેથી,$1-(ii)$.
$(2)$ માટે,$I = x_0 \sin \omega t \cos \omega t = \frac{x_0}{2} \sin(2\omega t)$. મહત્તમ મૂલ્ય $\frac{x_0}{2}$ છે,તેથી $r.m.s.$ મૂલ્ય $\frac{x_0/2}{\sqrt{2}} = \frac{x_0}{2\sqrt{2}}$ થાય. તેથી,$2-(iii)$.
$(3)$ માટે,$I = x_0 \sin \omega t + x_0 \cos \omega t = \sqrt{2} x_0 \sin(\omega t + \frac{\pi}{4})$. મહત્તમ મૂલ્ય $\sqrt{2} x_0$ છે,તેથી $r.m.s.$ મૂલ્ય $\frac{\sqrt{2} x_0}{\sqrt{2}} = x_0$ થાય. તેથી,$3-(i)$.
તેથી,સાચી જોડ $1-(ii), 2-(iii), 3-(i)$ છે.

(C) $T$ સમયગાળા દરમિયાન પ્રવાહ $i(t)$ નું $r.m.s.$ મૂલ્ય નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $i_{rms} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_{0}^{T} i^2 dt}$.
અહીં $i = t^2$ આપેલ છે,તેથી સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા:
$i_{rms} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_{0}^{T} (t^2)^2 dt} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_{0}^{T} t^4 dt}$.
સંકલન કરતા:
$\int_{0}^{T} t^4 dt = \left[ \frac{t^5}{5} \right]_{0}^{T} = \frac{T^5}{5}$.
હવે,આ કિંમતને $r.m.s.$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$i_{rms} = \sqrt{\frac{1}{T} \cdot \frac{T^5}{5}} = \sqrt{\frac{T^4}{5}} = \frac{T^2}{\sqrt{5}}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) આપેલી આકૃતિ પરથી,emf $(E)$ એ $\omega t = 0$ સમયે શૂન્યથી શરૂ થાય છે અને $\omega t = \pi / 2$ સમયે મહત્તમ મૂલ્ય પ્રાપ્ત કરે છે. તેથી,$E = E_0 \sin(\omega t)$.
પ્રવાહ $(I)$ એ $\omega t = 0$ સમયે તેના ન્યૂનતમ મૂલ્યથી શરૂ થાય છે અને $\omega t = \pi / 2$ સમયે શૂન્ય થાય છે. આ દર્શાવે છે કે પ્રવાહ $I = I_0 \sin(\omega t - \pi / 2)$ સમીકરણને અનુસરે છે.
કળાઓની સરખામણી કરતા,વોલ્ટેજની કળા $\omega t$ છે અને પ્રવાહની કળા $(\omega t - \pi / 2)$ છે.
તેથી,વોલ્ટેજ એ પ્રવાહ કરતા $\pi / 2$ જેટલી કળામાં આગળ છે.

(A) આપેલ તરંગ સ્વરૂપ $V_0 = 10 \ V$ કંપવિસ્તાર ધરાવતું ચોરસ તરંગ (square wave) છે.
ચોરસ તરંગ માટે જે $+V_0$ અને $-V_0$ વચ્ચે દોલન કરે છે,તત્કાલીન વોલ્ટેજ $V(t)$ કાં તો $+V_0$ અથવા $-V_0$ હોય છે.
$r.m.s.$ વોલ્ટેજને $V_{rms} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_0^T V^2(t) dt}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
કારણ કે દરેક સમયે $V^2(t) = V_0^2$ છે,
$V_{rms} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_0^T V_0^2 dt} = \sqrt{\frac{V_0^2}{T} \cdot T} = V_0$.
અહીં $V_0 = 10 \ V$ આપેલ છે,તેથી $V_{rms} = 10 \ V$ થાય.

(B) આલેખ પરથી, તરંગ $M$ માટે આવર્તકાળ $T$ (એક પૂર્ણ ચક્ર પૂર્ણ કરવા માટે લાગતો સમય) $0.4 \, s$ છે.
તેથી, આવૃત્તિ $\nu = \frac{1}{T} = \frac{1}{0.4} = 2.5 \, Hz$ થાય.
તરંગ $M$ એ $t = 0$ સમયે શૂન્ય મૂલ્ય અને ધન ઢાળ સાથે શરૂ થાય છે, જે $\sin(\omega t)$ દર્શાવે છે.
તરંગ $N$ એ $t = 0$ સમયે ઋણ મૂલ્ય સાથે શરૂ થાય છે અને $M$ કરતા મોડું તેના શિખર પર પહોંચે છે. ખાસ કરીને, $N$ એ $M$ ની સરખામણીમાં એક ચતુર્થાંશ ચક્ર જેટલું પાછળ છે.
એક ચતુર્થાંશ ચક્રનો વિલંબ એ $\frac{\pi}{2}$ રેડિયનના કળા તફાવત (લેગ) ને અનુરૂપ છે.
આમ, $N$ નો $M$ પર કળા તફાવત $-\frac{\pi}{2}$ રેડિયન છે.

(C) અવરોધ $R$ માં $t$ સમયમાં $AC$ પ્રવાહ દ્વારા ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા $H_{AC} = I_{rms}^2 Rt$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તે જ અવરોધ $R$ માં $t$ સમયમાં $2 \, A$ ના $DC$ પ્રવાહ દ્વારા ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા $H_{DC} = I_{DC}^2 Rt$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$H_{AC} = 3 \times H_{DC}$ છે.
સૂત્રો મૂકતા: $I_{rms}^2 Rt = 3 \times (2^2) Rt$.
બંને બાજુથી $R$ અને $t$ ને દૂર કરતા: $I_{rms}^2 = 3 \times 4 = 12$.
તેથી,$I_{rms} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \approx 3.46 \, A$.

(D) આપેલ સમીકરણ $I = I_0 \sin(\omega t)$ છે,જ્યાં $I_0 = 100 \ A$ અને $\omega = 200 \pi \ rad/s$ છે.
પ્રવાહ તેનું મહત્તમ મૂલ્ય ત્યારે પ્રાપ્ત કરે છે જ્યારે $\sin(\omega t) = 1$ થાય,જે $\omega t = \frac{\pi}{2}$ સમયે થાય છે.
$\omega$ ની કિંમત મૂકતા: $(200 \pi) t = \frac{\pi}{2}$.
$t$ માટે ઉકેલતા: $t = \frac{\pi}{2 \times 200 \pi} = \frac{1}{400} \ s$.

(D) $AC$ ઉદ્ગમનો આવર્તકાળ $T = 1/f = 1/50 = 0.02\,sec$ છે.
વોલ્ટેજ તેના મહત્તમ મૂલ્યથી શૂન્ય થવા માટે લાગતો સમય આવર્તકાળના ચોથા ભાગ જેટલો હોય છે.
સમય $t = T/4 = 0.02 / 4 = 0.005\,sec = 5 \times 10^{-3}\,sec$.

(C) પ્રવાહનું $r.m.s.$ મૂલ્ય $i_{rms} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_{t_1}^{t_2} i^2 \ dt}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જ્યાં $T = t_2 - t_1 = 4 - 2 = 2 \ s$ છે.
પ્રથમ,સરેરાશ વર્ગ મૂલ્ય $\overline{i^2} = \frac{1}{T} \int_{2}^{4} (2\sqrt{t})^2 \ dt$ ની ગણતરી કરો.
$\overline{i^2} = \frac{1}{2} \int_{2}^{4} 4t \ dt = 2 \int_{2}^{4} t \ dt$.
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા: $2 \left[ \frac{t^2}{2} \right]_{2}^{4} = [t^2]_{2}^{4} = 4^2 - 2^2 = 16 - 4 = 12$.
અંતે,$i_{rms} = \sqrt{\overline{i^2}} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \ A$.

(C) $T$ સમયગાળા દરમિયાન પ્રવાહ $i(t)$ નું $r.m.s.$ મૂલ્ય નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $i_{rms} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_{0}^{T} i^2 dt}$.
અહીં $i = t^2$ આપેલ છે,તેથી $i^2 = t^4$ થાય.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા:
$i_{rms} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_{0}^{T} t^4 dt}$.
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા: $\int_{0}^{T} t^4 dt = \left[ \frac{t^5}{5} \right]_{0}^{T} = \frac{T^5}{5}$.
હવે,આ કિંમતને સમીકરણમાં મૂકતા:
$i_{rms} = \sqrt{\frac{1}{T} \cdot \frac{T^5}{5}} = \sqrt{\frac{T^4}{5}} = \frac{T^2}{\sqrt{5}}$.

(C) સમય $t$ ના વિધેય તરીકે આપેલ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$:
$V = V_0$,જ્યારે $0 \leq t \leq \frac{T}{2}$
$V = 0$,જ્યારે $\frac{T}{2} \leq t \leq T$
$r.m.s.$ મૂલ્યની વ્યાખ્યા મુજબ:
$V_{rms} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_0^T V^2 dt}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$V_{rms} = \sqrt{\frac{1}{T} \left( \int_0^{T/2} V_0^2 dt + \int_{T/2}^T 0^2 dt \right)}$
$V_{rms} = \sqrt{\frac{1}{T} \left( V_0^2 [t]_0^{T/2} + 0 \right)}$
$V_{rms} = \sqrt{\frac{V_0^2}{T} \cdot \frac{T}{2}}$
$V_{rms} = \sqrt{\frac{V_0^2}{2}}$
$V_{rms} = \frac{V_0}{\sqrt{2}}$

(C) કળા તફાવત $\phi$ અને સમય તફાવત $\Delta t$ વચ્ચેનો સંબંધ $\Delta t = \frac{T}{2\pi} \times \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ આવૃત્તિ $f = 50 \ Hz$ હોવાથી,આવર્તકાળ $T = \frac{1}{f} = \frac{1}{50} \ s$ થાય.
કળા તફાવત $\phi = \frac{\pi}{4}$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\Delta t = \frac{(1/50)}{2\pi} \times \frac{\pi}{4} = \frac{1}{50 \times 2 \times 4} = \frac{1}{400} \ s$.
$\Delta t = 0.0025 \ s = 2.5 \ ms$.

(A) તત્કાલીન પ્રવાહ $I = I_0 \sin(\omega t + \phi_I)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\phi_I = 0$ છે.
તત્કાલીન emf $E = E_0 \sin(\omega t + \phi_E)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\phi_E = -\pi/6$ છે.
$E$ અને $I$ વચ્ચેનો કળા તફાવત $\Delta \phi = \phi_E - \phi_I$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\Delta \phi = (-\pi/6) - (0) = -\pi/6 \, rad$ મળે છે.
તેથી,કળા તફાવત $-\pi/6 \, rad$ છે.

(C) અલ્ટરનેટિંગ કરંટ $(ac)$ દ્વારા ઉત્પન્ન થતી ગરમીનું સૂત્ર $H_{ac} = i_{rms}^2Rt$ છે.
ડાયરેક્ટ કરંટ $(dc)$ દ્વારા ઉત્પન્ન થતી ગરમીનું સૂત્ર $H_{dc} = i^2Rt$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$H_{ac} = 3 \times H_{dc}$.
સૂત્રો મૂકતા: $i_{rms}^2Rt = 3 \times i^2Rt$.
બંને બાજુથી $R$ અને $t$ ને દૂર કરતા,આપણને $i_{rms}^2 = 3 \times i^2$ મળે છે.
અહીં $i = 2 \ A$ આપેલ છે,તેથી $i_{rms}^2 = 3 \times (2)^2 = 3 \times 4 = 12$.
તેથી,$i_{rms} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \approx 3.46 \ A$.

(D) $AC$ એમીટરને અલ્ટરનેટિંગ કરંટના રૂટ-મીન-સ્ક્વેર $(RMS)$ મૂલ્યને માપવા માટે ડિઝાઇન કરવામાં આવ્યું છે.
તેનાથી વિપરીત,$DC$ એમીટરને સંપૂર્ણ ચક્ર દરમિયાન પ્રવાહના સરેરાશ મૂલ્યને માપવા માટે ડિઝાઇન કરવામાં આવ્યું છે.
સાઇનસૉઇડલ અલ્ટરનેટિંગ કરંટ માટે,એક સંપૂર્ણ ચક્ર પર સરેરાશ મૂલ્ય $I_{avg} = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} I_{0} \sin(\omega t) dt = 0$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.
જેহেতু $DC$ એમીટર સરેરાશ પ્રવાહ માપે છે,તેથી તે શૂન્ય રીડિંગ દર્શાવશે.

(A) સમયગાળા $T$ પર પ્રવાહ $I(t)$ નું $rms$ મૂલ્ય $I_{rms} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_{0}^{T} I(t)^2 dt}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.
આપેલ છે કે $I = I_0 + I_1 \sin \omega t$, તેથી $I^2 = I_0^2 + I_1^2 \sin^2 \omega t + 2 I_0 I_1 \sin \omega t$.
હવે, એક સંપૂર્ણ ચક્ર $T = \frac{2\pi}{\omega}$ પર સંકલન કરતા:
$I_{rms}^2 = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} (I_0^2 + I_1^2 \sin^2 \omega t + 2 I_0 I_1 \sin \omega t) dt$.
સંપૂર્ણ ચક્ર પર $\sin \omega t$ નું સરેરાશ મૂલ્ય $0$ હોવાથી, પદ $\int_{0}^{T} 2 I_0 I_1 \sin \omega t dt = 0$ થશે.
સંપૂર્ણ ચક્ર પર $\sin^2 \omega t$ નું સરેરાશ મૂલ્ય $\frac{1}{2}$ છે.
તેથી, $I_{rms}^2 = I_0^2 + I_1^2 \left( \frac{1}{2} \right) = I_0^2 + 0.5 I_1^2$.
આમ, $I_{rms} = \sqrt{I_0^2 + 0.5 I_1^2}$.

(C) પ્રવાહનું $r.m.s.$ (રૂટ મીન સ્ક્વેર) મૂલ્ય એ સ્થાયી ડાયરેક્ટ કરંટના તે મૂલ્ય તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જે,જ્યારે આપેલ સમય માટે આપેલ અવરોધકમાંથી વહે છે,ત્યારે તેટલી જ ઉષ્મા ઉત્પન્ન કરે છે જેટલી તે જ સમય માટે તે જ અવરોધકમાં અલ્ટરનેટિંગ કરંટ ઉત્પન્ન કરે છે.
આપેલ સ્ક્વેર વેવ પ્રવાહ માટે:
$I(t) = 2 \text{ A}$,$0 < t < 0.01 \text{ s}$ માટે
$I(t) = -2 \text{ A}$,$0.01 < t < 0.02 \text{ s}$ માટે
સમયગાળો $T = 0.02 \text{ s}$ છે.
$r.m.s.$ પ્રવાહ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$I_{rms} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_{0}^{T} I^2(t) dt}$
$I_{rms} = \sqrt{\frac{1}{0.02} \left[ \int_{0}^{0.01} (2)^2 dt + \int_{0.01}^{0.02} (-2)^2 dt \right]}$
$I_{rms} = \sqrt{\frac{1}{0.02} \left[ 4 \times 0.01 + 4 \times 0.01 \right]}$
$I_{rms} = \sqrt{\frac{1}{0.02} \left[ 0.04 + 0.04 \right]}$
$I_{rms} = \sqrt{\frac{0.08}{0.02}} = \sqrt{4} = 2 \text{ A}$.
આમ,$r.m.s.$ પ્રવાહ $2 \text{ A}$ છે.