LC Oscillations Questions in Gujarati

(B) $LC$ પરિપથની અનુનાદિત આવૃત્તિનું સૂત્ર $f = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}$ છે.
આ સૂત્રને $LC$ માટે ગોઠવતા,આપણને $\sqrt{LC} = \frac{1}{2\pi f}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $LC = \frac{1}{4\pi^2 f^2}$.
અહીં $4\pi^2$ એ પરિમાણરહિત અચળાંક હોવાથી,$LC$ ના પરિમાણો એ $\frac{1}{f^2}$ ના પરિમાણો સમાન થાય.
આવૃત્તિ $f$ નું પરિમાણ $[T^{-1}]$ છે.
તેથી,$LC$ ના પરિમાણો $[T^{-1}]^{-2} = [T^2]$ થાય.
મૂળભૂત પરિમાણોના સંદર્ભમાં,આને $[M^0 L^0 T^2]$ તરીકે લખવામાં આવે છે.

(D) જ્યારે ચાર્જ થયેલ કેપેસિટરને કોઈલ (ઇન્ડક્ટર) સાથે સમાંતરમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે તે $LC$ સર્કિટ બનાવે છે.
શરૂઆતમાં,ઉર્જા કેપેસિટરના વિદ્યુતક્ષેત્રમાં $U_E = \frac{1}{2} \frac{Q^2}{C}$ તરીકે સંગ્રહિત થાય છે.
જેમ કેપેસિટર ડિસ્ચાર્જ થાય છે,તેમ કોઈલમાંથી પ્રવાહ વહે છે,જે ચુંબકીય ક્ષેત્ર બનાવે છે અને ઉર્જાને $U_B = \frac{1}{2} L I^2$ તરીકે સંગ્રહિત કરે છે.
કેપેસિટરના વિદ્યુતક્ષેત્ર અને ઇન્ડક્ટરના ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચે ઉર્જાની આપ-લે થવાને કારણે,કેપેસિટર પરનો ચાર્જ અને સર્કિટમાં વહેતો પ્રવાહ સાઇનસૉઇડલ રીતે દોલનો કરે છે.
આદર્શ $LC$ સર્કિટમાં (અવરોધ શૂન્ય ધારતા),આ દોલનો અવમંદન વગર અનંત સમય સુધી ચાલુ રહે છે.

(A) $LC$ સર્કિટની અનુનાદ આવૃત્તિનું સૂત્ર: $\nu_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$ છે.
આપેલ કિંમતો $L = 0.25 \ H$ અને $C = 0.1 \times 10^{-6} \ F$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\nu_0 = \frac{1}{2 \times 3.14159 \times \sqrt{0.25 \times 0.1 \times 10^{-6}}}$
$\nu_0 = \frac{1}{6.28318 \times \sqrt{0.025 \times 10^{-6}}}$
$\nu_0 = \frac{1}{6.28318 \times \sqrt{25 \times 10^{-9}}}$
$\nu_0 = \frac{1}{6.28318 \times 1.5811 \times 10^{-4}}$
$\nu_0 = \frac{10^4}{6.28318 \times 0.15811} \approx \frac{10000}{9.934} \approx 1006.6 \ Hz$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,આપણને $1007 \ Hz$ મળે છે.

(C) $LC$ સર્કિટની આવૃત્તિ $f = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$LC$ સર્કિટના દોલનોનો સમયગાળો $T$ એ $T = 2\pi \sqrt{LC}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $2\pi$ એ પરિમાણ રહિત અચળાંક હોવાથી,$\sqrt{LC}$ ના પરિમાણ એ સમયગાળા $T$ ના પરિમાણ જેટલા જ હોવા જોઈએ.
તેથી,$\sqrt{LC}$ નું પરિમાણ સમય $([T])$ છે.

(C) $LC$ સર્કિટની રેઝોનન્ટ આવૃત્તિ $\nu$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\nu = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}$.
આપેલ છે: $L = 10^{-4} \ H$ અને $C = 10^{-6} \ F$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\nu = \frac{1}{2\pi \sqrt{10^{-4} \times 10^{-6}}}$
$\nu = \frac{1}{2\pi \sqrt{10^{-10}}}$
$\nu = \frac{1}{2\pi \times 10^{-5}}$
$\nu = \frac{10^5}{2\pi} \ Hz$.

(B) $L-C$ સર્કિટમાં,દોલનની કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રાકૃતિક આવૃત્તિ $f$ એ કોણીય આવૃત્તિ સાથે $f = \frac{\omega}{2\pi}$ સંબંધ ધરાવે છે,તેથી આપણે આ સમીકરણમાં $\omega$ ની કિંમત મૂકીએ છીએ.
આમ,પ્રાકૃતિક આવૃત્તિ $f = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}$ થાય છે.

(C) $LC$ સર્કિટની રેઝોનન્ટ ફ્રીક્વન્સી માટેનું સૂત્ર: $\nu_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$ છે.
આપેલ છે: $L = 0.5 \ mH = 5 \times 10^{-4} \ H$ અને $C = 20 \ \mu F = 20 \times 10^{-6} \ F$.
કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\nu_0 = \frac{1}{2 \times 3.14 \times \sqrt{5 \times 10^{-4} \times 20 \times 10^{-6}}}$
$\nu_0 = \frac{1}{6.28 \times \sqrt{100 \times 10^{-10}}}$
$\nu_0 = \frac{1}{6.28 \times 10^{-4}}$
$\nu_0 = \frac{10000}{6.28} \approx 1592 \ Hz$.

(C) ટેન્ક સર્કિટની રેઝોનન્ટ ફ્રીક્વન્સી $\nu$ માટેનું સૂત્ર: $\nu = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}$ છે.
આપેલ છે: $L = 10 \, \mu H = 10 \times 10^{-6} \, H$ અને $C = 1 \, nF = 1 \times 10^{-9} \, F$.
કિંમતો મૂકતા:
$\nu = \frac{1}{2 \times 3.14159 \times \sqrt{10 \times 10^{-6} \times 1 \times 10^{-9}}}$
$\nu = \frac{1}{2 \times 3.14159 \times \sqrt{10^{-14}}}$
$\nu = \frac{1}{6.28318 \times 10^{-7}}$
$\nu \approx 0.159155 \times 10^7 \, Hz$
$\nu \approx 1591550 \, Hz = 1591.55 \, kHz \approx 1592 \, kHz$.

(B) $LC$ સર્કિટની રેઝોનન્ટ આવૃત્તિ $\nu$ નું સૂત્ર $\nu = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}$ છે.
અહીં $L = 100 \times 10^{-6} \, H$ અને $C = 400 \times 10^{-12} \, F$ આપેલ છે.
$\nu = \frac{1}{2\pi \sqrt{100 \times 10^{-6} \times 400 \times 10^{-12}}} = \frac{1}{2\pi \sqrt{4 \times 10^{-14}}} = \frac{1}{2\pi \times 2 \times 10^{-7}} = \frac{10^7}{4\pi} \, Hz$.
તરંગલંબાઇ $\lambda$ નું સૂત્ર $\lambda = \frac{c}{\nu}$ છે,જ્યાં $c = 3 \times 10^8 \, m/s$.
$\lambda = \frac{3 \times 10^8}{10^7 / 4\pi} = \frac{3 \times 10^8 \times 4\pi}{10^7} = 120\pi \, m$.
$\pi \approx 3.14159$ લેતા,$\lambda \approx 120 \times 3.14159 \approx 377 \, m$ મળે છે.

(D) $LC$ પરિપથમાં ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,કુલ ઉર્જા અચળ રહે છે.
શરૂઆતમાં કેપેસીટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U_i = \frac{1}{2} C V_1^2$ છે.
જ્યારે કેપેસીટરનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V_2$ થાય,ત્યારે કેપેસીટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U_c = \frac{1}{2} C V_2^2$ થાય છે.
બાકીની ઉર્જા ઇન્ડક્ટરમાં ચુંબકીય ઉર્જા તરીકે સંગ્રહિત થાય છે,$U_L = \frac{1}{2} L I^2$.
ઉર્જા સંરક્ષણ મુજબ: $\frac{1}{2} C V_1^2 = \frac{1}{2} C V_2^2 + \frac{1}{2} L I^2$.
પદોને ગોઠવતા: $\frac{1}{2} L I^2 = \frac{1}{2} C (V_1^2 - V_2^2)$.
પ્રવાહ $I$ માટે ઉકેલતા: $I^2 = \frac{C(V_1^2 - V_2^2)}{L}$.
તેથી,$I = \sqrt{\frac{C(V_1^2 - V_2^2)}{L}}$.

(D) $LC$ ઓસિલેટરની આવૃત્તિનું સૂત્ર $f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$ છે.
ધારો કે પ્રારંભિક આવૃત્તિ $f_1 = f$ છે,જ્યાં ઇન્ડક્ટન્સ $L_1 = L$ અને કેપેસિટન્સ $C_1 = C$ છે.
ધારો કે નવી આવૃત્તિ $f_2$ છે,જ્યાં નવું ઇન્ડક્ટન્સ $L_2 = 2L$ અને નવું કેપેસિટન્સ $C_2 = 4C$ છે.
આવૃત્તિઓના ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{f_2}{f_1} = \frac{\frac{1}{2\pi\sqrt{L_2 C_2}}}{\frac{1}{2\pi\sqrt{L_1 C_1}}} = \sqrt{\frac{L_1 C_1}{L_2 C_2}}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{f_2}{f} = \sqrt{\frac{L \times C}{2L \times 4C}} = \sqrt{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$
તેથી,નવી આવૃત્તિ $f_2 = \frac{f}{2\sqrt{2}}$ થશે.

(D) $LC$ સર્કિટમાં ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,કુલ ઉર્જા અચળ રહે છે.
કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત પ્રારંભિક ઉર્જા $U_i = \frac{1}{2} C V_1^2$ છે.
જ્યારે કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_2$ હોય,ત્યારે કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U_c = \frac{1}{2} C V_2^2$ થાય છે.
બાકીની ઉર્જા ઇન્ડક્ટરમાં ચુંબકીય ઉર્જા તરીકે સંગ્રહિત થાય છે,$U_L = \frac{1}{2} L I^2$.
ઉર્જા સંરક્ષણ મુજબ: $\frac{1}{2} C V_1^2 = \frac{1}{2} C V_2^2 + \frac{1}{2} L I^2$.
$I^2$ માટે સમીકરણ ગોઠવતા: $L I^2 = C(V_1^2 - V_2^2)$.
આમ,$I^2 = \frac{C(V_1^2 - V_2^2)}{L}$.
તેથી,પ્રવાહ $I = [\frac{C(V_1^2 - V_2^2)}{L}]^{1/2}$ મળે છે.

(A) આપેલ છે: કેપેસીટન્સ $C = 2 \times 10^{-6} \, F$,ઇન્ડક્ટન્સ $L = 0.6 \times 10^{-3} \, H$,પ્રારંભિક વોલ્ટેજ $V_0 = 12 \, V$,તત્કાલીન વોલ્ટેજ $V = 6 \, V$.
$LC$ સર્કિટમાં ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
કુલ ઉર્જા $E = \frac{1}{2} C V_0^2 = \frac{1}{2} C V^2 + \frac{1}{2} L I^2$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{2} \times (2 \times 10^{-6}) \times (12)^2 = \frac{1}{2} \times (2 \times 10^{-6}) \times (6)^2 + \frac{1}{2} \times (0.6 \times 10^{-3}) \times I^2$.
$(2 \times 10^{-6}) \times 144 = (2 \times 10^{-6}) \times 36 + (0.6 \times 10^{-3}) \times I^2$.
$288 \times 10^{-6} = 72 \times 10^{-6} + 0.6 \times 10^{-3} \times I^2$.
$216 \times 10^{-6} = 0.6 \times 10^{-3} \times I^2$.
$I^2 = \frac{216 \times 10^{-6}}{0.6 \times 10^{-3}} = 360 \times 10^{-3} = 0.36$.
$I = \sqrt{0.36} = 0.6 \, A$.

(D) $t = 0$ સમયે,સ્વીચ બંધ કરવામાં આવે છે. પરિપથમાં ઇન્ડક્ટર $L$ અને બે કેપેસિટર $C_1$ અને $C_2$ શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે. સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2}$ છે.
$t = 0$ સમયે,ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U_L = \frac{1}{2} L I_0^2$ છે અને કેપેસિટરમાં ઉર્જા $U_C = 0$ છે.
જેમ $t$ વધે છે,ઉર્જા ઇન્ડક્ટર અને સમતુલ્ય કેપેસિટર વચ્ચે દોલન કરે છે. ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,કેપેસિટરમાં મહત્તમ ઉર્જા એ ઇન્ડક્ટરની પ્રારંભિક ઉર્જા જેટલી હોય છે:
$\frac{1}{2} C_{eq} V_{max}^2 = \frac{1}{2} L I_0^2$
$V_{max} = I_0 \sqrt{\frac{L}{C_{eq}}} = I_0 \sqrt{\frac{L(C_1 + C_2)}{C_1 C_2}}$
કેપેસિટર પરનો મહત્તમ વિદ્યુતભાર $Q_{max} = C_{eq} V_{max} = I_0 \sqrt{\frac{L C_1 C_2}{C_1 + C_2}}$ થાય છે.

(B) $LC$ સર્કિટમાં કુલ ઉર્જા અચળ હોય છે અને તે $U = \frac{q_0^2}{2C}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કોઈપણ સમયે $t$ પર,કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $q = q_0 \cos(\omega t)$ છે,જ્યાં $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$.
વિદ્યુત ક્ષેત્રમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U_E = \frac{q^2}{2C} = \frac{q_0^2 \cos^2(\omega t)}{2C}$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U_B = U - U_E = \frac{q_0^2}{2C} - \frac{q_0^2 \cos^2(\omega t)}{2C} = \frac{q_0^2}{2C} \sin^2(\omega t)$ છે.
આપણને આપેલ છે કે ઉર્જા સમાન રીતે સંગ્રહિત થાય છે,તેથી $U_E = U_B$.
$\frac{q_0^2}{2C} \cos^2(\omega t) = \frac{q_0^2}{2C} \sin^2(\omega t) \implies \cos^2(\omega t) = \sin^2(\omega t) \implies \tan^2(\omega t) = 1$.
આમ,$\omega t = \frac{\pi}{4}$.
$\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ મૂકતા,આપણને $t = \frac{\pi}{4} \sqrt{LC}$ મળે છે.

(D) કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત કુલ ઉર્જા $U_{total} = \frac{1}{2} CV^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $C = 6 \ \mu F = 6 \times 10^{-6} \ F$ અને $V = 6 \ V$ છે.
$U_{total} = \frac{1}{2} \times 6 \times 10^{-6} \times (6)^2 = 108 \times 10^{-6} \ J$.
જ્યારે ઇન્ડક્ટર જોડવામાં આવે છે,ત્યારે ઉર્જા કેપેસિટરના વિદ્યુત ક્ષેત્ર અને ઇન્ડક્ટરના ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચે દોલન કરે છે.
આપણને આપેલ છે કે ચુંબકીય ક્ષેત્રની ઉર્જા $(U_B)$ એ કુલ ઉર્જાના ત્રીજા ભાગની છે:
$U_B = \frac{1}{3} U_{total} = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} CV^2$.
$U_B = \frac{1}{2} LI^2$ હોવાથી,$\frac{1}{2} LI^2 = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} CV^2$.
$I^2 = \frac{C V^2}{3L} = \frac{6 \times 10^{-6} \times 36}{3 \times 0.2 \times 10^{-3}} = \frac{216 \times 10^{-6}}{0.6 \times 10^{-3}} = 0.36$.
$I = \sqrt{0.36} = 0.6 \ A$.

(B) આપેલ $LC$ સર્કિટમાં,કેપેસિટરની ધન પ્લેટ તે વાયર સાથે જોડાયેલ છે જેમાંથી પ્રવાહ $I$ પ્લેટથી દૂર વહી રહ્યો છે.
જેમ કે પ્રવાહ $I$ ધન પ્લેટમાંથી બહાર નીકળે છે,તેથી કેપેસિટર પરનો વીજભાર $Q$ ઘટતો હોવો જોઈએ ($Q$ ઘટી રહ્યો છે).
જેમ કે કેપેસિટર પરનો વીજભાર $Q$ ઘટે છે,તેમ કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = Q/C$ પણ ઘટે છે.
આ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત ઇન્ડક્ટર માટે સ્ત્રોત તરીકે કાર્ય કરે છે. જેમ કે કેપેસિટર ડિસ્ચાર્જ થાય છે,સર્કિટમાં પ્રવાહ $I$ ઇન્ડક્ટરમાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉર્જા બનાવવા માટે વધે છે.
તેથી,આ ક્ષણે,પ્રવાહ $I$ વધી રહ્યો છે અને વીજભાર $Q$ ઘટી રહ્યો છે.

(C) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોની ઝડપ $c = 3 \times 10^8\ m/s$ છે.
આવૃત્તિ $f$ નીચે મુજબ મળે: $f = \frac{c}{\lambda} = \frac{3 \times 10^8}{300} = 10^6\ Hz$.
$LC$ સર્કિટની રેઝોનન્ટ આવૃત્તિ $f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા, $f^2 = \frac{1}{4 \pi^2 LC}$ મળે.
ઇન્ડક્ટન્સ $L$ માટે સૂત્ર: $L = \frac{1}{4 \pi^2 f^2 C}$.
કિંમતો મૂકતા: $L = \frac{1}{4 \times (3.14)^2 \times (10^6)^2 \times 9.6 \times 10^{-6}}$.
$L = \frac{1}{4 \times 9.86 \times 10^{12} \times 9.6 \times 10^{-6}} = \frac{1}{378.6 \times 10^6} \approx 2.64 \times 10^{-9}\ H$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ, સૌથી નજીકનું મૂલ્ય $2.5\ nH$ છે.

(C) શરૂઆતમાં,કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $q_0 = CE$ છે અને ઇન્ડક્ટરમાં પ્રવાહ $i = 0$ છે.
જ્યારે સ્વીચ બંધ કરવામાં આવે છે,ત્યારે સર્કિટ $2E$ $EMF$ ની બેટરી સાથે જોડાયેલ $LC$ સર્કિટ બનાવે છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,કોઈપણ સમયે $t$ પર કુલ ઉર્જા એ ઇન્ડક્ટરની ઉર્જા,કેપેસિટરની ઉર્જા અને બેટરી દ્વારા થયેલ કાર્યનો સરવાળો છે.
ધારો કે કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $q$ છે. કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $\frac{q^2}{2C}$ છે અને ઇન્ડક્ટરમાં $\frac{1}{2}Li^2$ છે.
બેટરી દ્વારા થયેલ કાર્ય $W = \int (2E) i \, dt = 2E \int dq = 2E(q - q_0)$ છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના સિદ્ધાંતને લાગુ પાડતા: $\frac{q_0^2}{2C} + W = \frac{q^2}{2C} + \frac{1}{2}Li^2$.
મહત્તમ વિદ્યુતભાર $q_{max}$ પર,પ્રવાહ $i = 0$ થાય છે. તેથી,$\frac{q_0^2}{2C} + 2E(q_{max} - q_0) = \frac{q_{max}^2}{2C}$.
$q_0 = CE$ મૂકતા: $\frac{(CE)^2}{2C} + 2E(q_{max} - CE) = \frac{q_{max}^2}{2C}$.
$\frac{C^2E^2}{2C} + 2Eq_{max} - 2CE^2 = \frac{q_{max}^2}{2C} \Rightarrow \frac{CE^2}{2} + 2Eq_{max} - 2CE^2 = \frac{q_{max}^2}{2C}$.
$2C$ વડે ગુણતા: $C^2E^2 + 4CEq_{max} - 4C^2E^2 = q_{max}^2$.
$q_{max}^2 - 4CEq_{max} + 3C^2E^2 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા: $q_{max} = \frac{4CE \pm \sqrt{16C^2E^2 - 12C^2E^2}}{2} = \frac{4CE \pm 2CE}{2}$.
$q_{max} = 3CE$ અથવા $q_{max} = CE$. વિદ્યુતભાર વધતો હોવાથી,મહત્તમ વિદ્યુતભાર $3CE$ છે.

(D) આપેલ છે: કેપેસિટન્સ $C = 60\,\mu F = 60 \times 10^{-6}\,F$,વોલ્ટેજ $V = 100\,V$,ઇન્ડક્ટન્સ $L = 15\,mH = 15 \times 10^{-3}\,H$.
$LC$ સર્કિટમાં,કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
કેપેસિટરમાં મહત્તમ ઉર્જા $U_{max} = \frac{1}{2} C V^2$ છે.
ઇન્ડક્ટરમાં મહત્તમ ઉર્જા $U_{max} = \frac{1}{2} L I_{max}^2$ છે.
બંનેને સરખાવતા: $\frac{1}{2} L I_{max}^2 = \frac{1}{2} C V^2$.
$I_{max} = V \sqrt{\frac{C}{L}}$.
કિંમતો મૂકતા: $I_{max} = 100 \times \sqrt{\frac{60 \times 10^{-6}}{15 \times 10^{-3}}} = 100 \times \sqrt{4 \times 10^{-3}} = 100 \times 0.0632 = 6.32\,A$.
અહીં $2\sqrt{10} \approx 6.32\,A$ થાય છે,તેથી સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત પ્રારંભિક ઉર્જા $U_0 = \frac{1}{2} C V_0^2$ છે.
જ્યારે $25\%$ ઉર્જા ઇન્ડક્ટરમાં સ્થાનાંતરિત થાય છે,ત્યારે કેપેસિટરમાં બાકી રહેલી ઉર્જા $U = U_0 - 0.25 U_0 = 0.75 U_0 = \frac{3}{4} U_0$ થાય છે.
કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જાનું સૂત્ર $U = \frac{1}{2} C V^2$ હોવાથી,આપણને $\frac{1}{2} C V^2 = \frac{3}{4} (\frac{1}{2} C V_0^2)$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા,$V^2 = \frac{3}{4} V_0^2$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$V = \frac{\sqrt{3}}{2} V_0$ મળે છે.

(A) $LC$ સર્કિટમાં,કોઈપણ ક્ષણે ઇન્ડક્ટર પરનો વોલ્ટેજ કેપેસિટર પરના વોલ્ટેજ જેટલો હોવો જોઈએ.
કિર્ચોફના વોલ્ટેજ નિયમનો ઉપયોગ કરતા,આપણને $V_L = V_C$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $L \left| \frac{di}{dt} \right| = \frac{q}{C}$.
આને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\left| \frac{di}{dt} \right| = \frac{q}{LC}$ મળે છે.
$\left| \frac{di}{dt} \right|$ નું મહત્તમ મૂલ્ય શોધવા માટે,આપણે વિદ્યુતભાર $q$ નું મહત્તમ મૂલ્ય વાપરવું પડે,જે $q_0$ આપેલ છે.
તેથી,$\left| \frac{di}{dt} \right|_{\max} = \frac{q_0}{LC}$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{d^2q}{dt^2} + \omega^2q = 0$ છે,જ્યાં $\omega^2 = 16\pi^2$ છે.
તેથી,$\omega = 4\pi \, rad/s$ મળે.
વિદ્યુતભાર $q(t)$ માટેનું સામાન્ય ઉકેલ $q(t) = q_0 \cos(\omega t + \phi)$ છે.
આપેલ છે કે $t = 0$ સમયે વિદ્યુતભાર મહત્તમ $(q_0 = 24\,\mu C)$ છે,તેથી $\phi = 0$ થશે.
આમ,$q(t) = 24 \cos(4\pi t)$.
$t = \frac{1}{12}\,s$ સમયે,વિદ્યુતભાર $q = 24 \cos(4\pi \times \frac{1}{12}) = 24 \cos(\frac{\pi}{3})$ થશે.
કારણ કે $\cos(\frac{\pi}{3}) = 0.5$ છે,તેથી $q = 24 \times 0.5 = 12\,\mu C$ મળે.

(A) $LC$ સર્કિટમાં કુલ ઉર્જા અચળ રહે છે અને તે કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત પ્રારંભિક ઉર્જા જેટલી હોય છે: $U_{total} = \frac{Q_0^2}{2C}$.
કોઈપણ સમયે $t$,કુલ ઉર્જા એ કેપેસિટરની ઉર્જા $(U_C)$ અને ઇન્ડક્ટરની ઉર્જા $(U_L)$ ના સરવાળા જેટલી હોય છે: $U_{total} = U_C + U_L$.
આપેલ છે કે $U_C = 3U_L$,તેથી ઉર્જા સંરક્ષણના સમીકરણમાં આ કિંમત મૂકતા:
$U_{total} = 3U_L + U_L = 4U_L$.
કુલ ઉર્જા અને ઇન્ડક્ટરની ઉર્જાના સૂત્રો મૂકતા:
$\frac{Q_0^2}{2C} = 4 \left( \frac{1}{2} L i^2 \right) = 2 L i^2$.
પ્રવાહ $i$ માટે ઉકેલતા:
$i^2 = \frac{Q_0^2}{4LC} \Rightarrow i = \frac{Q_0}{2\sqrt{LC}}$.

(C) દોલિત $LC$ સર્કિટમાં કુલ ઉર્જા $U_{T}$ અચળ હોય છે અને તે કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત મહત્તમ ઉર્જા દ્વારા આપવામાં આવે છે: $U_{T} = \frac{Q^{2}}{2C}$.
જ્યારે ઉર્જા વિદ્યુતક્ષેત્ર (કેપેસિટર) અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર (ઇન્ડક્ટર) વચ્ચે સમાન રીતે વહેંચાયેલી હોય,ત્યારે કેપેસિટરમાં રહેલી ઉર્જા $U_{E}$ એ કુલ ઉર્જાના અડધા જેટલી હોય છે: $U_{E} = \frac{U_{T}}{2}$.
ઉર્જાના સમીકરણો મૂકતા,આપણને મળે છે: $\frac{q^{2}}{2C} = \frac{1}{2} \left( \frac{Q^{2}}{2C} \right)$.
આનું સાદું રૂપ આપતા: $q^{2} = \frac{Q^{2}}{2}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $q = \frac{Q}{\sqrt{2}}$ મળે છે.

(A) $LC$ સર્કિટમાં,કોઈપણ ક્ષણે ઇન્ડક્ટર પરનો વોલ્ટેજ કેપેસિટર પરના વોલ્ટેજ જેટલો હોવો જોઈએ.
કિર્ચોફના વોલ્ટેજ નિયમનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$-L \frac{di}{dt} = \frac{q}{C}$
બંને બાજુ માન (magnitude) લેતા:
$\left| \frac{di}{dt} \right| = \frac{q}{LC}$
$\left| \frac{di}{dt} \right|$ નું મહત્તમ મૂલ્ય શોધવા માટે,આપણે વિદ્યુતભાર $q$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $q_0$ લેવું પડે.
તેથી,${\left| \frac{di}{dt} \right|_{\max }} = \frac{{{q_0}}}{{LC}}$.

(B) આપેલ છે: ઇન્ડક્ટન્સ $L = 20 \, mH = 20 \times 10^{-3} \, H$,કેપેસિટન્સ $C = 50 \, \mu F = 50 \times 10^{-6} \, F$.
$LC$ સર્કિટની કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ છે.
દોલનનો સમયગાળો $T = 2\pi \sqrt{LC}$ છે.
શરૂઆતમાં,$t = 0$ સમયે,ઉર્જા સંપૂર્ણપણે કેપેસિટરના વિદ્યુત ક્ષેત્રમાં સંગ્રહિત હોય છે. ઉર્જા કેપેસિટરના વિદ્યુત ક્ષેત્ર અને ઇન્ડક્ટરના ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચે દોલન કરે છે.
સંગ્રહિત ઉર્જા $t = \frac{T}{4}, \frac{3T}{4}, \dots$ સમયે સંપૂર્ણપણે ચુંબકીય હોય છે.
પ્રથમ સમયગાળો $t = \frac{T}{4} = \frac{2\pi \sqrt{LC}}{4} = \frac{\pi}{2} \sqrt{LC}$ ગણતા.
કિંમતો મૂકતા: $t = \frac{3.14}{2} \sqrt{20 \times 10^{-3} \times 50 \times 10^{-6}} = 1.57 \times \sqrt{1000 \times 10^{-9}} = 1.57 \times \sqrt{10^{-6}} = 1.57 \times 10^{-3} \, s$.
આમ,$t = 1.57 \, ms$.

(A) આપેલ છે: કેપેસીટન્સ $C = 0.2\, \mu F = 0.2 \times 10^{-6}\, F$.
ઇન્ડક્ટન્સ $L = 0.5\, mH = 0.5 \times 10^{-3}\, H$.
પ્રારંભિક વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_0 = 10\, V$.
સમય $t$ પર વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = 5\, V$.
$LC$ સર્કિટમાં ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,કુલ ઉર્જા અચળ રહે છે:
$\frac{1}{2} C V_0^2 = \frac{1}{2} C V^2 + \frac{1}{2} L I^2$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{2} \times (0.2 \times 10^{-6}) \times (10)^2 = \frac{1}{2} \times (0.2 \times 10^{-6}) \times (5)^2 + \frac{1}{2} \times (0.5 \times 10^{-3}) \times I^2$
$(0.2 \times 10^{-6}) \times 100 = (0.2 \times 10^{-6}) \times 25 + (0.5 \times 10^{-3}) \times I^2$
$20 \times 10^{-6} = 5 \times 10^{-6} + (0.5 \times 10^{-3}) \times I^2$
$15 \times 10^{-6} = (0.5 \times 10^{-3}) \times I^2$
$I^2 = \frac{15 \times 10^{-6}}{0.5 \times 10^{-3}} = 30 \times 10^{-3} = 0.03$
$I = \sqrt{0.03} = \sqrt{3 \times 10^{-2}} = \sqrt{3} \times 10^{-1} \approx 1.732 \times 0.1 = 0.1732\, A$.
આમ,પ્રવાહ આશરે $0.17\, A$ છે.

(C) જ્યારે કીને $(2)$ પર ખસેડવામાં આવે છે,ત્યારે કેપેસિટર ઇન્ડક્ટર દ્વારા ડિસ્ચાર્જ થાય છે,જે $LC$ ઓસિલેટર બનાવે છે.
ધારો કે $Q$ એ કેપેસિટર પરનો મહત્તમ ચાર્જ છે. સિસ્ટમની કુલ ઉર્જા $U_{total} = \frac{Q^2}{2C}$ છે.
આપણે ઇચ્છીએ છીએ કે કેપેસિટરની ઉર્જા $U_C$ એ ઇન્ડક્ટરની ઉર્જા $U_L$ જેટલી હોય. કારણ કે $U_C + U_L = U_{total}$,જો $U_C = U_L$ હોય,તો $U_C = \frac{1}{2} U_{total}$ થાય.
$\frac{q^2}{2C} = \frac{1}{2} \left( \frac{Q^2}{2C} \right) \Rightarrow q^2 = \frac{Q^2}{2} \Rightarrow q = \frac{Q}{\sqrt{2}}$.
સમય $t$ પર કેપેસિટર પરનો ચાર્જ $q = Q \cos(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$.
$q = \frac{Q}{\sqrt{2}}$ મૂકતા,આપણને $Q \cos(\omega t) = \frac{Q}{\sqrt{2}} \Rightarrow \cos(\omega t) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $\omega t = \frac{\pi}{4}$.
તેથી,$t = \frac{\pi}{4\omega} = \frac{\pi}{4} \sqrt{LC}$.

(C) $L-C$ સર્કિટમાં કુલ ઉર્જા અચળ રહે છે અને તે $U = U_E + U_B$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $U_E = \frac{q^2}{2C}$ એ વિદ્યુત ઉર્જા છે અને $U_B = \frac{1}{2}Li^2$ એ ચુંબકીય ઉર્જા છે.
મહત્તમ વિદ્યુતભાર $Q$ હોય ત્યારે પ્રવાહ $i = 0$ હોય છે,તેથી કુલ ઉર્જા $U = \frac{Q^2}{2C}$ થાય.
જ્યારે ઉર્જા વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચે સમાન રીતે વહેંચાયેલી હોય,ત્યારે $U_E = U_B$ થાય.
$U = U_E + U_B$ હોવાથી,$U_E = \frac{1}{2}U$ થાય.
ઉર્જાના સમીકરણો મૂકતા:
$\frac{q^2}{2C} = \frac{1}{2} \left( \frac{Q^2}{2C} \right)$
$\frac{q^2}{2C} = \frac{Q^2}{4C}$
$q^2 = \frac{Q^2}{2}$
$q = \frac{Q}{\sqrt{2}}$

(D) $LC$ દોલનોમાં,કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા ઇન્ડક્ટરમાં ચુંબકીય ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,મહત્તમ સ્થિત વિદ્યુત ઉર્જા એ મહત્તમ ચુંબકીય ઉર્જા જેટલી હોય છે:
$\frac{1}{2} C V^2 = \frac{1}{2} L I_{\max}^2$
$I_{\max} = V \sqrt{\frac{C}{L}}$
આપેલ છે: $C = 60 \times 10^{-6} \, F$,$V = 50 \, V$,$L = 1.5 \times 10^{-3} \, H$.
કિંમતો મૂકતા:
$I_{\max} = 50 \times \sqrt{\frac{60 \times 10^{-6}}{1.5 \times 10^{-3}}}$
$I_{\max} = 50 \times \sqrt{\frac{60 \times 10^{-3}}{1.5}}$
$I_{\max} = 50 \times \sqrt{40 \times 10^{-3}} = 50 \times \sqrt{0.04}$
$I_{\max} = 50 \times 0.2 = 10 \, A$.

(C) કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U_E = \frac{1}{2}CV^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે કેપેસિટર ઇન્ડક્ટર દ્વારા ડિસ્ચાર્જ થાય છે,ત્યારે આ ઉર્જા ઇન્ડક્ટરના ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં સ્થાનાંતરિત થાય છે,જે $U_B = \frac{1}{2}LI_{\max}^2$ છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$U_E = U_B$,તેથી $\frac{1}{2}CV^2 = \frac{1}{2}LI_{\max}^2$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $C = 2 \times 10^{-6}\,F$,$V = 100\,V$,અને $L = 20 \times 10^{-3}\,H$.
$(2 \times 10^{-6}) \times (100)^2 = (20 \times 10^{-3}) \times I_{\max}^2$.
$(2 \times 10^{-6}) \times 10^4 = 0.02 \times I_{\max}^2$.
$0.02 = 0.02 \times I_{\max}^2$.
$I_{\max}^2 = 1$,જે આપણને $I_{\max} = 1\,A$ આપે છે.

(B) $L-C$ સર્કિટમાં કુલ ઉર્જા અચળ રહે છે અને તે $U_{total} = \frac{Q^2}{2C}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $Q$ એ મહત્તમ વિદ્યુતભાર છે.
કોઈપણ સમયે,કુલ ઉર્જા એ સ્થિત-વિદ્યુત ઉર્જા $(U_E)$ અને ચુંબકીય ઉર્જા $(U_B)$ નો સરવાળો છે: $U_{total} = U_E + U_B = \frac{q^2}{2C} + \frac{1}{2}LI^2$.
પ્રશ્ન મુજબ,ઉર્જા વિદ્યુતક્ષેત્ર અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચે સમાન રીતે વહેંચાયેલી છે,તેથી $U_E = U_B$.
આથી $U_E + U_B = U_{total}$ હોવાથી,$2U_E = U_{total}$ થાય.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા: $2 \left( \frac{q^2}{2C} \right) = \frac{Q^2}{2C}$.
આને સાદું રૂપ આપતા,$\frac{q^2}{C} = \frac{Q^2}{2C}$ મળે છે.
તેથી,$q^2 = \frac{Q^2}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $q = \frac{Q}{\sqrt{2}}$.

(A) આપેલ છે:
કેપેસિટન્સ $C = 30\,\mu F = 30 \times 10^{-6}\,F$
ઇન્ડક્ટન્સ $L = 27\,mH = 27 \times 10^{-3}\,H$
$LC$ પરિપથમાં મુક્ત દોલનોની કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ માટેનું સૂત્ર:
$\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$
કિંમતો મૂકતા:
$\omega = \frac{1}{\sqrt{(27 \times 10^{-3}) \times (30 \times 10^{-6})}}$
$\omega = \frac{1}{\sqrt{810 \times 10^{-9}}}$
$\omega = \frac{1}{\sqrt{81 \times 10^{-8}}}$
$\omega = \frac{1}{9 \times 10^{-4}}$
$\omega = \frac{10^4}{9} \approx 1.11 \times 10^3\,rad\,s^{-1}$
આમ,કોણીય આવૃત્તિ $1.1 \times 10^3\,rad\,s^{-1}$ છે.

(B) $LC$ સર્કિટમાં,કુલ ઉર્જાનું સંરક્ષણ થાય છે.
શરૂઆતમાં,ઉર્જા કેપેસિટરમાં સ્થિત-વિદ્યુત સ્થિતિ ઉર્જા તરીકે સંગ્રહિત થાય છે: $U_E = \frac{1}{2} CV_0^2$.
જ્યારે પ્રવાહ તેના મહત્તમ મૂલ્ય $I_0$ પર પહોંચે છે,ત્યારે બધી ઉર્જા ઇન્ડક્ટરમાં ચુંબકીય સ્થિતિ ઉર્જા તરીકે સંગ્રહિત થાય છે: $U_B = \frac{1}{2} LI_0^2$.
ઉર્જા સંરક્ષણના સિદ્ધાંત મુજબ: $\frac{1}{2} CV_0^2 = \frac{1}{2} LI_0^2$.
$I_0$ માટે ઉકેલતા: $I_0 = V_0 \sqrt{\frac{C}{L}}$.
અહીં $C = 1 \times 10^{-6} \, F$,$V_0 = 10 \, V$,અને $L = 0.1 \times 10^{-3} \, H = 10^{-4} \, H$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $I_0 = 10 \times \sqrt{\frac{10^{-6}}{10^{-4}}} = 10 \times \sqrt{10^{-2}} = 10 \times 0.1 = 1 \, A$.

(B) આપેલ સર્કિટમાં,બે ઇન્ડક્ટર $L$ અને $2L$ શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે. તેથી,સમતુલ્ય ઇન્ડક્ટન્સ $L_{eq} = L + 2L = 3L$ થાય.
બે કેપેસિટર $C$ અને $2C$ સમાંતરમાં જોડાયેલા છે. તેથી,સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq} = C + 2C = 3C$ થાય.
$LC$ સર્કિટ માટે દોલનની આવૃત્તિ $f$ નું સૂત્ર $f = \frac{1}{2\pi\sqrt{L_{eq}C_{eq}}}$ છે.
સમતુલ્ય કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $f = \frac{1}{2\pi\sqrt{(3L)(3C)}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{9LC}} = \frac{1}{2\pi \times 3\sqrt{LC}} = \frac{1}{6\pi\sqrt{LC}}$.

(A) $LCR$ સર્કિટ માટે,બાહ્ય સ્ત્રોત વગરના બંધ લૂપમાં કિર્ચોફના વોલ્ટેજ નિયમ $(KVL)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$-L \frac{di}{dt} - \frac{q}{C} - iR = 0$
કારણ કે $i = \frac{dq}{dt}$,તેથી આપણને મળે છે:
$L \frac{d^2q}{dt^2} + R \frac{dq}{dt} + \frac{1}{C}q = 0$
યાંત્રિક ડેમ્પ્ડ હાર્મોનિક ઓસિલેટર માટે,ગતિનું સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$m \frac{d^2x}{dt^2} + b \frac{dx}{dt} + kx = 0$
આ બંને વિકલ સમીકરણોની પદ-દર-પદ સરખામણી કરતા:
$1$. બીજા વિકલનનો સહગુણક: $L$ એ $m$ ને અનુરૂપ છે.
$2$. પ્રથમ વિકલનનો સહગુણક: $R$ એ $b$ ને અનુરૂપ છે.
$3$. સ્થાનાંતર/વીજભારનો સહગુણક: $\frac{1}{C}$ એ $k$ ને અનુરૂપ છે,જેનો અર્થ છે કે $C$ એ $\frac{1}{k}$ ને અનુરૂપ છે.
આમ,સાચી સમાનતા $L \leftrightarrow m, C \leftrightarrow \frac{1}{k}, R \leftrightarrow b$ છે.

ધારો કે કેપેસિટર પરનો પ્રારંભિક વિદ્યુતભાર $q_{0}$ છે. ધારો કે ચાર્જ થયેલ કેપેસિટરને $L$ ઇન્ડક્ટન્સ ધરાવતા ઇન્ડક્ટર સાથે જોડવામાં આવે છે. આ $LC$ સર્કિટ $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ આવૃત્તિ સાથે દોલનો જાળવી રાખશે.
કોઈ ક્ષણ $t$ પર,કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $q$ અને પ્રવાહ $i$ નીચે મુજબ છે:
$q(t) = q_{0} \cos(\omega t)$
$i(t) = -q_{0} \omega \sin(\omega t)$
સમય $t$ પર કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા:
$U_{E} = \frac{q^{2}}{2C} = \frac{q_{0}^{2}}{2C} \cos^{2}(\omega t)$
સમય $t$ પર ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા:
$U_{M} = \frac{1}{2} L i^{2} = \frac{1}{2} L (q_{0} \omega \sin(\omega t))^{2} = \frac{1}{2} L q_{0}^{2} \omega^{2} \sin^{2}(\omega t)$
કારણ કે $\omega^{2} = \frac{1}{LC}$,તેથી:
$U_{M} = \frac{1}{2} L q_{0}^{2} \left(\frac{1}{LC}\right) \sin^{2}(\omega t) = \frac{q_{0}^{2}}{2C} \sin^{2}(\omega t)$
ઉર્જાનો સરવાળો:
$U = U_{E} + U_{M} = \frac{q_{0}^{2}}{2C} \cos^{2}(\omega t) + \frac{q_{0}^{2}}{2C} \sin^{2}(\omega t)$
$U = \frac{q_{0}^{2}}{2C} (\cos^{2}(\omega t) + \sin^{2}(\omega t)) = \frac{q_{0}^{2}}{2C}$
અહીં $q_{0}$ અને $C$ અચળ હોવાથી,કુલ ઉર્જા $U$ સમય સાથે અચળ રહે છે.

(B) આપેલ છે:
કેપેસિટન્સ $C = 30\; \mu F = 30 \times 10^{-6}\; F$
ઇન્ડક્ટન્સ $L = 27\; mH = 27 \times 10^{-3}\; H$
$LC$ પરિપથ માટે મુક્ત દોલનોની કોણીય આવૃત્તિ $\omega_r$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\omega_r = \frac{1}{\sqrt{LC}}$
કિંમતો મૂકતા:
$\omega_r = \frac{1}{\sqrt{27 \times 10^{-3} \times 30 \times 10^{-6}}}$
$\omega_r = \frac{1}{\sqrt{810 \times 10^{-9}}}$
$\omega_r = \frac{1}{\sqrt{810 \times 10^{-9}}} = \frac{1}{9 \times 10^{-4}}$
$\omega_r = \frac{10^4}{9} \approx 1.11 \times 10^3\; rad/s$
આમ,પરિપથના મુક્ત દોલનોની કોણીય આવૃત્તિ $1.11 \times 10^3\; rad/s$ છે.

(A) કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C = 30\; \mu F = 30 \times 10^{-6}\; F$ છે.
ઇન્ડક્ટરનું ઇન્ડક્ટન્સ $L = 27\; mH = 27 \times 10^{-3}\; H$ છે.
કેપેસિટર પરનો પ્રારંભિક ચાર્જ $Q = 6\; mC = 6 \times 10^{-3}\; C$ છે.
સર્કિટમાં સંગ્રહિત કુલ ઉર્જા શરૂઆતમાં કેપેસિટરના વિદ્યુતક્ષેત્રમાં સંગ્રહિત થાય છે,જે $E = \frac{1}{2} \frac{Q^2}{C}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $E = \frac{1}{2} \times \frac{(6 \times 10^{-3})^2}{30 \times 10^{-6}} = \frac{1}{2} \times \frac{36 \times 10^{-6}}{30 \times 10^{-6}} = \frac{1}{2} \times 1.2 = 0.6\; J$.
કારણ કે $LC$ સર્કિટ આદર્શ માનવામાં આવે છે (કોઈ અવરોધ નથી),કુલ ઉર્જાનું સંરક્ષણ થાય છે અને તે કેપેસિટરના વિદ્યુતક્ષેત્ર અને ઇન્ડક્ટરના ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચે દોલન કરે છે. તેથી,પછીના સમયે પણ કુલ ઉર્જા $0.6\; J$ જ રહેશે.

(A) આપેલ છે: $L = 20 \; mH = 20 \times 10^{-3} \; H$,$C = 50 \; \mu F = 50 \times 10^{-6} \; F$,$Q = 10 \; mC = 10 \times 10^{-3} \; C$.
$(a)$ કુલ ઉર્જા $E = \frac{1}{2} \frac{Q^2}{C} = \frac{(10 \times 10^{-3})^2}{2 \times 50 \times 10^{-6}} = 1 \; J$. અવરોધ $R = 0$ હોવાથી,કુલ ઉર્જા સંરક્ષિત રહે છે.
$(b)$ પ્રાકૃતિક કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}} = 10^3 \; rad/s$. આવૃત્તિ $f = \frac{\omega}{2\pi} \approx 159.2 \; Hz$.
$(c)$ આવર્તકાળ $T = \frac{1}{f} \approx 6.28 \; ms$.
$(i)$ વિદ્યુત ઉર્જા $t = 0, \frac{T}{2}, T, \dots$ સમયે મહત્તમ હોય છે.
$(ii)$ ચુંબકીય ઉર્જા $t = \frac{T}{4}, \frac{3T}{4}, \dots$ સમયે મહત્તમ હોય છે.
$(d)$ ઉર્જા સમાન રીતે વહેંચાય ત્યારે $Q' = \frac{Q}{\sqrt{2}}$. આથી $t = (2n+1)\frac{T}{8}$ સમયે ઉર્જા સમાન રીતે વહેંચાય છે.
$(e)$ જો અવરોધક ઉમેરવામાં આવે,તો શરૂઆતની તમામ $1 \; J$ ઉર્જા ગરમી સ્વરૂપે વ્યય પામશે.

(C) $A.C.$ સર્કિટમાં,વીજભાર $q$ નું દોલન એ યાંત્રિક સરળ આવર્ત ગતિમાં સ્થાનાંતર $x$ ને સમાન છે.
પ્રવાહ $I$ એ વીજભારના ફેરફારનો દર છે,$I = dq/dt$,જે વેગ $v = dx/dt$ ને સમાન છે.
તેથી,$LCR$ સર્કિટના વિકલ સમીકરણમાં વીજભાર $q$ એ સ્થાનાંતર ચલ તરીકે કાર્ય કરે છે,જે $L(d^2q/dt^2) + R(dq/dt) + q/C = E(t)$ છે.

(A) $LC$ પરિપથની અનુનાદ આવૃત્તિ $\omega_0$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$
આપેલ કિંમતો:
$L = 1.00 \, mH = 1.00 \times 10^{-3} \, H$
$C = 1.00 \, nF = 1.00 \times 10^{-9} \, F$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{(1.00 \times 10^{-3}) \times (1.00 \times 10^{-9})}}$
$\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{1.00 \times 10^{-12}}}$
$\omega_0 = \frac{1}{1.00 \times 10^{-6}}$
$\omega_0 = 1.00 \times 10^6 \, rad/s$

(N/A) $LC$ સર્કિટ એ એક વિદ્યુત સર્કિટ છે જેમાં અવગણ્ય અવરોધ ધરાવતું ઇન્ડક્ટર કેપેસિટર સાથે સમાંતર જોડાયેલું હોય છે.
$LC$ દોલનો એટલે એવી પ્રક્રિયા જેમાં ચાર્જ થયેલું કેપેસિટર ઇન્ડક્ટર દ્વારા ડિસ્ચાર્જ થાય છે,જેના કારણે ઉર્જા કેપેસિટરના વિદ્યુત ક્ષેત્ર અને ઇન્ડક્ટરના ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચે દોલન કરે છે. જો કોઈ ઉર્જાનો વ્યય ન થતો હોય,તો આના પરિણામે અચળ કંપનવિસ્તાર અને અચળ આવૃત્તિ ધરાવતા વિદ્યુત દોલનો ઉત્પન્ન થાય છે.

(N/A) આકૃતિમાં $LC$ સર્કિટ દર્શાવેલ છે. આ સર્કિટમાં કેપેસિટર $(C)$ અને ઇન્ડક્ટર $(L)$ શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે. ધારો કે $t=0$ સમયે,કેપેસિટર $q_m$ જેટલા વિદ્યુતભારથી ચાર્જ થયેલું છે.
જે ક્ષણે સર્કિટ પૂર્ણ થાય છે,કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર ઘટવાનું શરૂ કરે છે,જેના કારણે સર્કિટમાં પ્રવાહ $I$ ઉત્પન્ન થાય છે.
ધારો કે $t$ સમયે સર્કિટમાં વિદ્યુતભાર $q$ અને પ્રવાહ $I$ છે.
પ્રવાહ $I$ વધતો હોવાથી,$\frac{dI}{dt}$ ધન છે. ઇન્ડક્ટર $L$ માં ઉદ્ભવતું પ્રેરિત emf આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબની ધ્રુવીયતા ધરાવશે,જેનો અર્થ છે કે $V_a > V_b$.
જેમ $q$ ઘટે છે,તેમ $I$ વધે છે,તેથી $I = -\frac{dq}{dt}$.
કોઈપણ ક્ષણે ઇન્ડક્ટરમાં પ્રેરિત emf $V = \varepsilon = -L \frac{dI}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_C = \frac{q}{C}$ છે.
કિર્ચોફના લૂપના નિયમ મુજબ,બંધ લૂપની આસપાસના વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવતોનો સરવાળો શૂન્ય થાય છે:
$-L \frac{dI}{dt} + \frac{q}{C} = 0$.
કારણ કે $I = -\frac{dq}{dt}$,તેથી $\frac{dI}{dt} = -\frac{d^2q}{dt^2}$.
આ કિંમત લૂપ સમીકરણમાં મૂકતા:
$-L \left( -\frac{d^2q}{dt^2} \right) + \frac{q}{C} = 0$
તેથી,વિકલ સમીકરણ $L \frac{d^2q}{dt^2} + \frac{q}{C} = 0$ મળે છે.

(D) $L-C$ સર્કિટનું વિકલ સમીકરણ નીચે મુજબ છે,
$\frac{d^{2} q}{d t^{2}}+\frac{1}{LC} q=0$
જ્યાં $q$ એ કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર છે.
આ સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ છે,
$q(t) = q_{m} \cos(\omega_{0} t + \phi)$
જ્યાં $q_{m}$ એ મહત્તમ વિદ્યુતભાર છે,$\omega_{0} = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે,અને $\phi$ એ ફેઝ કોન્સ્ટન્ટ છે.
ધારો કે $t = 0$ સમયે કેપેસિટર સંપૂર્ણ ચાર્જ થયેલું છે,તેથી $q(0) = q_{m}$.
$q_{m} = q_{m} \cos(\phi) \implies \cos(\phi) = 1 \implies \phi = 0$.
આમ,$q(t) = q_{m} \cos(\omega_{0} t)$.
પ્રવાહ $I$ એ વિદ્યુતભારના વહનનો દર છે,$I = -\frac{dq}{dt}$ (કેપેસિટર ડિસ્ચાર્જ થાય છે તેમ).
$I = -\frac{d}{dt} [q_{m} \cos(\omega_{0} t)] = -q_{m} \omega_{0} (-\sin(\omega_{0} t)) = q_{m} \omega_{0} \sin(\omega_{0} t)$.
મહત્તમ પ્રવાહ $I_{m} = q_{m} \omega_{0}$ લેતા,આપણને મળે છે,
$I = I_{m} \sin(\omega_{0} t)$.

(N/A) $LC$ પરિપથમાં કેપેસિટન્સ $C$ ધરાવતો કેપેસિટર અને ઇન્ડક્ટન્સ $L$ ધરાવતો ઇન્ડક્ટર હોય છે.
$1$. શરૂઆતમાં,કેપેસિટર મહત્તમ વિદ્યુતભાર $q_m$ સુધી ચાર્જ થયેલું હોય છે. કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત વિદ્યુત ઊર્જા $U_E = \frac{1}{2} \frac{q_m^2}{C}$ છે. પરિપથ ખુલ્લો હોવાથી,પ્રવાહ $I = 0$ છે અને ઇન્ડક્ટરમાં ચુંબકીય ઊર્જા $U_B = 0$ છે.
$2$. જ્યારે $t = 0$ સમયે સ્વીચ બંધ કરવામાં આવે છે,ત્યારે કેપેસિટર ડિસ્ચાર્જ થવાનું શરૂ કરે છે. જેમ પ્રવાહ $I$ ઇન્ડક્ટરમાંથી વહે છે,તેમ તે ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે અને ચુંબકીય ઊર્જા $U_B = \frac{1}{2} LI^2$ વધવા લાગે છે.
$3$. $t = \frac{T}{4}$ સમયે,કેપેસિટર સંપૂર્ણપણે ડિસ્ચાર્જ થઈ જાય છે $(q = 0)$ અને પ્રવાહ તેના મહત્તમ મૂલ્ય $I_m$ સુધી પહોંચે છે. હવે બધી ઊર્જા ઇન્ડક્ટરના ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં સંગ્રહિત થાય છે: $U_B = \frac{1}{2} LI_m^2$.
$4$. આ પછી,ઇન્ડક્ટરના બેક $EMF$ ને કારણે પ્રવાહ વહેવાનું ચાલુ રાખે છે,જે કેપેસિટરને વિરુદ્ધ ધ્રુવીયતા સાથે ચાર્જ કરે છે. આ પ્રક્રિયા ચાલુ રહે છે,જેના પરિણામે કેપેસિટરના વિદ્યુત ક્ષેત્ર અને ઇન્ડક્ટરના ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચે ઊર્જાના સતત દોલનો થાય છે.

(N/A) $LC$ દોલનો એ સ્પ્રિંગ સાથે જોડાયેલા બ્લોકના યાંત્રિક દોલનોને સમાન છે.
$LC$ દોલન માટેનું વિકલ સમીકરણ $\frac{d^{2} q}{d t^{2}} + \frac{q}{LC} = 0$ છે, જેને $\frac{d^{2} q}{d t^{2}} + \omega_{0}^{2} q = 0$ તરીકે લખી શકાય છે.
$\omega_{0}$ આવૃત્તિ સાથે દોલન કરતા $m$ દળના બ્લોક માટેનું સમીકરણ $\frac{d^{2} x}{d t^{2}} + \omega_{0}^{2} x = 0$ છે, જ્યાં $\omega_{0} = \sqrt{\frac{k}{m}}$ અને $k$ એ સ્પ્રિંગ અચળાંક છે.
યાંત્રિકશાસ્ત્રમાં, $k = \frac{F}{x}$ એ એકમ વિસ્તરણ કે સંકોચન ઉત્પન્ન કરવા માટે જરૂરી બળ દર્શાવે છે. તેનો એકમ $N \cdot m^{-1}$ છે.
$LC$ સર્કિટમાં, અનુરૂપ સમીકરણ $V = \frac{q}{C}$ છે, તેથી $\frac{1}{C} = \frac{V}{q}$, જે એકમ વિદ્યુતભાર સંગ્રહિત કરવા માટે જરૂરી વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત દર્શાવે છે.
નીચેનું કોષ્ટક યાંત્રિક અને વિદ્યુત રાશિઓ વચ્ચેની સામ્યતા દર્શાવે છે:

યાંત્રિક તંત્ર	વિદ્યુત તંત્ર
દળ $m$	ઇન્ડક્ટન્સ $L$
બળ અચળાંક $k$	કેપેસિટન્સનો વ્યસ્ત $1/C$
સ્થાનાંતર $x$	વિદ્યુતભાર $q$
વેગ $v = \frac{dx}{dt}$	પ્રવાહ $I = \frac{dq}{dt}$
યાંત્રિક ઉર્જા $E = \frac{1}{2} k x^{2} + \frac{1}{2} m v^{2}$	વિદ્યુતચુંબકીય ઉર્જા $E = \frac{1}{2} \frac{q^{2}}{C} + \frac{1}{2} L I^{2}$

(N/A) $(i)$ દરેક ઇન્ડક્ટર પાસે થોડો અવરોધ હોય છે. આ અવરોધની અસર સર્કિટમાં વિદ્યુતભાર અને પ્રવાહ પર ડેમ્પિંગ (અવમંદન) અસર લાવે છે,અને અંતે દોલનો શમી જાય છે.
$(ii)$ જો અવરોધ શૂન્ય હોય તો પણ,તંત્રની કુલ ઉર્જા અચળ રહેતી નથી. તે વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોના સ્વરૂપમાં તંત્રમાંથી બહાર ઉત્સર્જિત થાય છે.
વાસ્તવમાં,રેડિયો અને $TV$ ટ્રાન્સમીટર આ વિકિરણ પર આધાર રાખે છે.