Only Inductor, Only Capacitor and Only Resistor Circuit Questions in Gujarati

(B) $AC$ સર્કિટમાં અવરોધમાં વ્યય થતો પાવર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $P = \frac{V_{rms}^2}{R}$.
આપેલ છે:
$V_{rms} = 30 \ V$
$R = 10 \ \Omega$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$P = \frac{(30)^2}{10} = \frac{900}{10} = 90 \ W$.
તેથી,વ્યય થતો પાવર $90 \ W$ છે.

(A) ચોક કોઇલ એવી રીતે ડિઝાઇન કરવામાં આવે છે કે જેથી તેનું ઇન્ડક્ટન્સ ઉચ્ચ અને અવરોધ ઓછો હોય.
ઇન્ડક્ટર એ આદર્શ રીતે બિન-અવરોધક ઉપકરણ હોવાથી,તે અવરોધની જેમ ગરમીના સ્વરૂપમાં પાવરનો વ્યય કરતું નથી.
ઉચ્ચ ઇન્ડક્ટન્સ $(L)$ અને ખૂબ જ ઓછા અવરોધ $(R)$ ધરાવતી કોઇલનો ઉપયોગ કરીને,આપણે પાવરનો વ્યય $(P = I^2 R)$ ઘટાડીને $AC$ સર્કિટમાં પ્રવાહને નિયંત્રિત કરી શકીએ છીએ.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) ચોક કોઈલ એ ઉચ્ચ ઇન્ડક્ટન્સ અને નહિવત અવરોધ ધરાવતું ઇન્ડક્ટર છે. તેનો ઉપયોગ $AC$ સર્કિટમાં પ્રવાહને નિયંત્રિત કરવા માટે થાય છે.
$AC$ સર્કિટમાં,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = \omega L = 2\pi f L$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $f > 0$ હોવાથી,ચોક કોઈલ પ્રવાહ સામે નોંધપાત્ર અવરોધ (ઇમ્પિડન્સ) પેદા કરે છે.
$DC$ સર્કિટમાં,આવૃત્તિ $f = 0$ હોય છે,તેથી ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = 0$ થાય છે. આ કિસ્સામાં કોઈલ નહિવત અવરોધ ધરાવતા સાદા તાર તરીકે વર્તે છે,જે પ્રવાહને અસરકારક રીતે નિયંત્રિત કરી શકતી નથી.

(B) શુદ્ધ કેપેસિટિવ સર્કિટ માટે,લાગુ પાડવામાં આવેલ ઓલ્ટરનેટિંગ e.m.f. $e = e_0 \sin(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કેપેસિટરમાં,પ્રવાહ $i$ એ વોલ્ટેજ $e$ કરતા $\pi / 2$ ના ફેઝ એંગલથી આગળ હોય છે.
તેથી,પ્રવાહ માટેનું સમીકરણ $i = i_0 \sin(\omega t + \pi / 2)$ છે.
આ દર્શાવે છે કે પ્રવાહ e.m.f. કરતા $\pi / 2$ જેટલો આગળ છે.

(C) શુદ્ધ અવરોધક $AC$ પરિપથમાં, વોલ્ટેજ $V$ અને પ્રવાહ $I$ ને $V = V_m \sin(\omega t)$ અને $I = I_m \sin(\omega t)$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
બંને માટે કળા કોણ $\omega t$ હોવાથી, તેમની વચ્ચે કોઈ કળા તફાવત નથી.
તેથી, પ્રવાહ અને વોલ્ટેજ સમાન કળામાં છે.

(D) શુદ્ધ ઇન્ડક્ટિવ સર્કિટમાં,પ્રવાહ વોલ્ટેજ કરતા $90^{\circ}$ જેટલો પાછળ હોય છે.
$AC$ સર્કિટમાં વ્યય થતા સરેરાશ પાવરનું સૂત્ર $P_{\text{avg}} = V_{\text{rms}} I_{\text{rms}} \cos \phi$ છે,જ્યાં $\phi$ એ વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ વચ્ચેનો કળા તફાવત છે.
શુદ્ધ ઇન્ડક્ટર માટે,કળા તફાવત $\phi = 90^{\circ}$ હોય છે.
કારણ કે $\cos 90^{\circ} = 0$ થાય છે,તેથી વ્યય થતો સરેરાશ પાવર $P_{\text{avg}} = V_{\text{rms}} I_{\text{rms}} \cos 90^{\circ} = 0$ મળે છે.
આમ,શુદ્ધ ઇન્ડક્ટરમાં કોઈ પાવરનો વ્યય થતો નથી.

(A) શુદ્ધ ઇન્ડક્ટિવ પરિપથમાં,અવરોધ $R = 0$ હોય છે.
ઇન્ડક્ટર માટે,વોલ્ટેજ $V$ એ પ્રવાહ $I$ કરતા $\phi = 90^o$ અથવા $\pi/2$ રેડિયનના ફેઝ એંગલ (કળા તફાવત) થી આગળ હોય છે.
તેથી,લાગુ પાડેલ $ac$ વોલ્ટેજનો $e.m.f.$ પ્રવાહ કરતા $90^o$ આગળ હોય છે.

(B) શુદ્ધ ઇન્ડક્ટિવ સર્કિટમાં,ઇન્ડક્ટર પરનો વોલ્ટેજ $V$ એ પ્રવાહ $I$ કરતા $90^{\circ}$ (અથવા $\frac{\pi}{2}$ રેડિયન) ના કળા તફાવતથી આગળ હોય છે.
તેથી,આનો અર્થ એ છે કે પ્રવાહ $I$ એ ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ (e.m.f.) કરતા $90^{\circ}$ પાછળ રહે છે.
ગાણિતિક રીતે,જો $V = V_m \sin(\omega t)$ હોય,તો $I = I_m \sin(\omega t - 90^{\circ})$ થાય.
તેથી,પ્રવાહ e.m.f. કરતા $90^{\circ}$ પાછળ રહે છે.

(B) આપેલ ઓલ્ટરનેટિંગ વોલ્ટેજ $E = 200\sqrt{2} \sin(100t)$ છે.
આ સમીકરણને પ્રમાણિત સમીકરણ $E = E_0 \sin(\omega t)$ સાથે સરખાવતા,આપણને પીક વોલ્ટેજ $E_0 = 200\sqrt{2} \text{ V}$ અને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 100 \text{ rad/s}$ મળે છે.
કેપેસિટન્સ $C = 1 \mu F = 1 \times 10^{-6} \text{ F}$ છે.
કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{100 \times 10^{-6}} = 10^4 \Omega$ થાય.
$RMS$ વોલ્ટેજ $V_{rms} = \frac{E_0}{\sqrt{2}} = \frac{200\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 200 \text{ V}$ છે.
એસી એમીટરનું રીડિંગ એ $RMS$ પ્રવાહ $I_{rms}$ દર્શાવે છે,તેથી $I_{rms} = \frac{V_{rms}}{X_C} = \frac{200}{10^4} = 2 \times 10^{-2} \text{ A}$.
મિલીએમ્પિયરમાં રૂપાંતર કરતા,$I_{rms} = 2 \times 10^{-2} \times 10^3 \text{ mA} = 20 \text{ mA}$ મળે છે.

(D) $AC$ સર્કિટમાં સરેરાશ પાવર વ્યયનું સૂત્ર $P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$ છે,જ્યાં $\phi$ એ વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ વચ્ચેનો કળા તફાવત છે.
શુદ્ધ કેપેસીટિવ સર્કિટમાં,પ્રવાહ વોલ્ટેજ કરતા $\phi = 90^\circ$ (અથવા $\pi/2$ રેડિયન) જેટલો આગળ હોય છે.
પાવર ફેક્ટર $\cos \phi = \cos 90^\circ = 0$ થાય છે.
આ કિંમત પાવરના સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $P = V_{rms} I_{rms} \times 0 = 0$ મળે છે.
તેથી,શુદ્ધ કેપેસીટરમાં સરેરાશ પાવર વ્યય શૂન્ય હોય છે.

(C) ઇન્ડક્ટરનો ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ એ સૂત્ર $X_L = 2\pi f L$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $V = 120 \, V$,$f = 60 \, Hz$,અને $L = 0.70 \, H$.
કિંમતો મૂકતા: $X_L = 2 \times 3.1416 \times 60 \times 0.70 \approx 263.89 \, \Omega$.
ઇન્ડક્ટરમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I$ એ $I = \frac{V}{X_L}$ દ્વારા મળે છે.
$I = \frac{120}{263.89} \approx 0.455 \, A$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ નું સૂત્ર $X_L = 2\pi \nu L$ છે.
આપેલ છે: $X_L = 100\, \Omega$ અને આવૃત્તિ $\nu = 50\, Hz$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$100 = 2 \times \pi \times 50 \times L$
$100 = 100 \times \pi \times L$
$L = \frac{1}{\pi} = \frac{1}{3.14} \approx 0.318\, H$.
બે દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા, આપણને $L \approx 0.32\, H$ મળે છે.

(A) કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C$ એ સૂત્ર $X_C = \frac{1}{2\pi \nu C}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ કિંમતો આવૃત્તિ $\nu = 4000\, Hz$ અને કેપેસિટન્સ $C = 25\,\mu F = 25 \times 10^{-6}\, F$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$X_C = \frac{1}{2 \times \pi \times 4000 \times 25 \times 10^{-6}}$
$X_C = \frac{1}{2 \times \pi \times 10^5 \times 10^{-6}}$
$X_C = \frac{1}{2 \times \pi \times 10^{-1}}$
$X_C = \frac{1}{0.2 \times \pi} = \frac{10}{2\pi} = \frac{5}{\pi}\,\Omega$.

(A) $AC$ સર્કિટમાં, પાવર વ્યયનું સૂત્ર $P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$ છે, જ્યાં $\phi$ એ વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ વચ્ચેનો ફેઝ એંગલ છે.
શુદ્ધ ઇન્ડક્ટિવ સર્કિટ માટે, વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ વચ્ચેનો ફેઝ તફાવત $\phi = 90^\circ$ હોય છે.
પાવર ફેક્ટર $\cos 90^\circ = 0$ થાય છે.
કોઈલ સુપરકન્ડક્ટિંગ મટીરીયલની બનેલી હોવાથી, તેનો અવરોધ $R = 0$ છે.
તેથી, કોઈલમાં વ્યય થતો પાવર $P = I^2 R = I^2 \times 0 = 0$ થાય છે.

(B) શુદ્ધ અવરોધક $ac$ સર્કિટમાં,વોલ્ટેજ $v = V_m \sin(\omega t)$ અને પ્રવાહ $i = I_m \sin(\omega t)$ ઓહ્મના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I_m = V_m / R$ છે.
વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ બંને માટે કળા કોણ $\omega t$ હોવાથી,તેમની વચ્ચેનો કળા તફાવત શૂન્ય છે.
તેથી,પ્રવાહ $e.m.f.$ સાથે સમાન કળામાં હોય છે.

(A) આપેલ છે: ઇન્ડક્ટન્સ $L = 1 \, H$,વોલ્ટેજ $V = 200 \, V$,આવૃત્તિ $f = 50 \, Hz$.
ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = \omega L = 2 \pi f L$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $X_L = 2 \times 3.1416 \times 50 \times 1 = 314.16 \, \Omega$.
પ્રવાહ $i$ નું સૂત્ર $i = \frac{V}{X_L}$ છે.
$i = \frac{200}{314.16} \approx 0.637 \, A$.

(D) ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ નું સૂત્ર: $X_L = 2 \pi \nu L$ છે, જ્યાં $\nu$ એ આવૃત્તિ છે અને $L$ એ ઇન્ડક્ટન્સ છે。
આપેલ છે: $X_L = 50 \, \Omega$ અને $\nu = 50 \, Hz$.
$L$ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા: $L = \frac{X_L}{2 \pi \nu}$.
કિંમતો મૂકતા: $L = \frac{50}{2 \times 3.14 \times 50} = \frac{1}{2 \times 3.14} = \frac{1}{6.28} \approx 0.159 \, H$.
બે દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા, આપણને $L \approx 0.16 \, H$ મળે છે。

(B) કેપેસિટરનું કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: ${X_C} = \frac{1}{{2\pi \nu C}}$.
આ સંબંધ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે ${X_C} \propto \frac{1}{\nu }$.
જેમ આવૃત્તિ $\nu$ વધે છે,તેમ કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ ${X_C}$ ઘટે છે.
તેથી,ઊંચી આવૃત્તિ માટે,કેપેસિટર ઓછું રિએક્ટન્સ આપે છે.

(B) સાચો જવાબ $(b)$ છે.
$AC$ સર્કિટમાં,ચોક કોઈલ એ મૂળભૂત રીતે ઉચ્ચ ઇન્ડક્ટન્સ અને નહિવત અવરોધ ધરાવતું ઇન્ડક્ટર છે.
તેનો ઉપયોગ વિદ્યુત ઉર્જાના નોંધપાત્ર વ્યય વિના સર્કિટમાં પ્રવાહને મર્યાદિત કરવા અથવા ઘટાડવા માટે થાય છે.
રેઝિસ્ટરથી વિપરીત,જે ઉર્જાને ગરમી ($I^2R$ વ્યય) તરીકે વિખેરી નાખે છે,એક આદર્શ ચોક કોઈલ કોઈ પાવર વાપરતી નથી કારણ કે વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ વચ્ચેનો કળા તફાવત $90^{\circ}$ હોય છે,જેના પરિણામે પાવર ફેક્ટર $\cos(90^{\circ}) = 0$ થાય છે.

(C) ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સનું સૂત્ર $X_L = 2\pi \nu L$ છે.
અહીં,ઇન્ડક્ટન્સ $L = \frac{1}{\pi } \, H$ અને આવૃત્તિ $\nu = 50 \, Hz$ આપેલ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$X_L = 2 \times \pi \times 50 \times \frac{1}{\pi }$.
$X_L = 2 \times 50 = 100 \, \Omega$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) કેપેસીટિવ રિએક્ટન્સ $X_C$ નું સૂત્ર: $X_C = \frac{1}{2\pi \nu C}$ છે.
આપેલ છે: $X_C = 25 \ \Omega$,$\nu = \frac{400}{\pi} \ Hz$.
$C$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા: $C = \frac{1}{2\pi \nu X_C}$.
કિંમતો મૂકતા: $C = \frac{1}{2 \times \pi \times (\frac{400}{\pi}) \times 25}$.
$C = \frac{1}{2 \times 400 \times 25} = \frac{1}{20000} \ F$.
$\mu F$ માં ફેરવતા: $C = \frac{1}{20000} \times 10^6 \ \mu F = \frac{100}{2} \ \mu F = 50 \ \mu F$.

(C) ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ નું સૂત્ર $X_L = 2\pi fL$ છે.
અહીં $f = 60\,Hz$ અને $L = 0.7\,H$ આપેલ છે,તેથી:
$X_L = 2 \times 3.1416 \times 60 \times 0.7 = 263.89\,\Omega$.
ઇન્ડક્ટરમાં વહેતો પ્રવાહ $I$ શોધવા માટે $I = \frac{V}{X_L}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
કિંમતો મૂકતા: $I = \frac{120}{263.89} \approx 0.455\,A$.

(A) માત્ર કેપેસિટિવ $AC$ પરિપથમાં,કેપેસિટર પરનો વોલ્ટેજ $V = V_m \sin(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પરિપથમાં પ્રવાહ $I = C \frac{dV}{dt} = C \frac{d}{dt}(V_m \sin(\omega t)) = \omega C V_m \cos(\omega t)$ દ્વારા મળે છે.
આને $I = I_m \sin(\omega t + \frac{\pi}{2})$ તરીકે લખી શકાય,જ્યાં $I_m = \omega C V_m$ છે.
કળાઓની સરખામણી કરતા,પ્રવાહ એ સ્થિતિમાન તફાવત કરતા $\frac{\pi}{2}$ રેડિયન (અથવા $90^{\circ}$) જેટલો આગળ (Forward) હોય છે.

(B) $ac$ સપ્લાય સાથે જોડાયેલા $LCR$ પરિપથમાં,અવરોધ $(R)$ એ એકમાત્ર એવો ઘટક છે જે ઉર્જાનો ઉષ્મા સ્વરૂપે વ્યય કરે છે,જેનું સૂત્ર $E = i^2 Rt$ છે.
ઇન્ડક્ટર $(L)$ અને કેપેસિટર $(C)$ ઉર્જાનો વ્યય કરતા નથી; તેના બદલે,તેઓ અનુક્રમે ચુંબકીય ક્ષેત્ર અને વિદ્યુત ક્ષેત્રના સ્વરૂપમાં ઉર્જાનો સંગ્રહ કરે છે અને તેને પરિપથમાં પાછી આપે છે.

(D) શુદ્ધ ઇન્ડક્ટિવ સર્કિટમાં $e.m.f.$ $(E)$ અને પ્રવાહ $(i)$ ના તત્કાલીન મૂલ્યો $E = E_0 \sin(\omega t)$ અને $i = i_0 \sin(\omega t - \frac{\pi}{2})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તત્કાલીન પાવર $P_{inst}$ એ $E$ અને $i$ નો ગુણાકાર છે:
$P_{inst} = E \cdot i = E_0 \sin(\omega t) \cdot i_0 \sin(\omega t - \frac{\pi}{2})$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin(\omega t - \frac{\pi}{2}) = -\cos(\omega t)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P_{inst} = E_0 i_0 \sin(\omega t) \cdot (-\cos(\omega t))$
$P_{inst} = -E_0 i_0 \sin(\omega t) \cos(\omega t)$
ડબલ એંગલ નિત્યસમ $\sin(2\theta) = 2 \sin \theta \cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P_{inst} = -\frac{1}{2} E_0 i_0 \sin(2\omega t)$
આમ,તત્કાલીન પાવરની કોણીય આવૃત્તિ એ સાઈન વિધેયની અંદર $t$ નો સહગુણક છે,જે $2\omega$ છે.

(B) કેપેસીટિવ સર્કિટ માટે,કેપેસીટિવ રિએક્ટન્સ $X_C = \frac{1}{\omega C}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સર્કિટમાં પ્રવાહ $I$,$I = \frac{V}{X_C}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$X_C$ માટેનું સૂત્ર મૂકતા,આપણને $I = \frac{V}{1/(\omega C)} = V \omega C$ મળે છે.
અહીં વોલ્ટેજ $V$ અને કેપેસીટન્સ $C$ અચળ હોવાથી,પ્રવાહ $I$ એ કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ ના સમપ્રમાણમાં છે $(I \propto \omega)$.
આ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા દર્શાવે છે. તેથી,વિકલ્પ $B$ માં આપેલો આલેખ આવૃત્તિ સાથે પ્રવાહના ફેરફારને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે.

(C) શુદ્ધ ઇન્ડક્ટિવ સર્કિટમાં,વોલ્ટેજ $V$ એ પ્રવાહ $i$ કરતા $90^o$ (અથવા $\pi/2$ રેડિયન) ના ફેઝ એંગલથી આગળ હોય છે.
જો વોલ્ટેજ $V = V_m \sin(\omega t + \phi)$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે,તો પ્રવાહ $i = I_m \sin(\omega t + \phi - 90^o) = -I_m \cos(\omega t + \phi)$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
આપેલ વોલ્ટેજ ગ્રાફને જોતા,$t = 0$ સમયે વોલ્ટેજ તેના મહત્તમ મૂલ્ય પર છે. આ કોસાઇન વિધેય $V = V_m \cos(\omega t)$ ને અનુરૂપ છે.
તેથી,પ્રવાહ $i = I_m \sin(\omega t - 90^o) = -I_m \cos(\omega t)$ હોવો જોઈએ.
$t = 0$ સમયે,$i = -I_m$,જેનો અર્થ છે કે પ્રવાહનો ગ્રાફ નકારાત્મક પીક (negative peak) થી શરૂ થવો જોઈએ. આપેલા વિકલ્પોમાંથી,જે ગ્રાફ નકારાત્મક કોસાઇન તરંગ દર્શાવે છે તે વિકલ્પ $C$ છે.

(C) ઇન્ડક્ટરનો ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $X_L = 2\pi fL$, જ્યાં $f$ એ આવૃત્તિ છે અને $L$ એ ઇન્ડક્ટન્સ છે.
બંને બાજુનો વ્યસ્ત લેતા, આપણને મળે છે: $\frac{1}{X_L} = \frac{1}{2\pi fL}$.
આને આ રીતે ફરીથી લખી શકાય: $\frac{1}{X_L} = \left( \frac{1}{2\pi L} \right) \cdot \frac{1}{f}$.
ધારો કે $y = \frac{1}{X_L}$ અને $x = f$. તો સમીકરણ $y = \frac{k}{x}$ બને છે, જ્યાં $k = \frac{1}{2\pi L}$ એક અચળાંક છે.
આ લંબચોરસ હાયપરબોલાનું સમીકરણ છે. તેથી, $\frac{1}{X_L}$ અને $f$ વચ્ચેનો આલેખ લંબચોરસ હાયપરબોલા છે.

(C) કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C = \frac{1}{2\pi f C}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $X_C \propto \frac{1}{f}$. આ એક લંબચોરસ હાયપરબોલા દર્શાવે છે,જે $X_1$ ના આલેખ સાથે મેળ ખાય છે.
ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = 2\pi f L$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $X_L \propto f$. આ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા દર્શાવે છે,જે $X_2$ ના આલેખ સાથે મેળ ખાય છે.
તેથી,$X_1$ એ કેપેસિટર છે અને $X_2$ એ ઇન્ડક્ટર છે.

(B) કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ $X_C$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2\pi fC}$
આ દર્શાવે છે કે $X_C$ એ આવૃત્તિ $f$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે,એટલે કે $X_C \propto \frac{1}{f}$.
જેમ જેમ આવૃત્તિ $f$ વધે છે,તેમ કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ $X_C$ હાયપરબોલિક રીતે ઘટે છે.
તેથી,આ સંબંધ દર્શાવતો વક્ર એ લંબચોરસ હાયપરબોલા છે,જે આલેખ $B$ ને અનુરૂપ છે.

(D) ઇન્ડક્ટર પરનો વોલ્ટેજ $E = E_0 \sin(\omega t)$ છે.
શુદ્ધ ઇન્ડક્ટરમાં,પ્રવાહ વોલ્ટેજ કરતા $\pi/2$ જેટલો પાછળ હોય છે,તેથી $i = i_0 \sin(\omega t - \pi/2) = -i_0 \cos(\omega t)$.
તત્કાલીન પાવર $P$ એ $P = E \cdot i$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$P = (E_0 \sin(\omega t)) \cdot (-i_0 \cos(\omega t))$.
$P = -E_0 i_0 \sin(\omega t) \cos(\omega t)$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin(2\theta) = 2 \sin(\theta) \cos(\theta)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P = -\frac{E_0 i_0}{2} \sin(2\omega t)$.
તત્કાલીન પાવરની કોણીય આવૃત્તિ $2\omega$ છે,તેથી પાવરની આવૃત્તિ $2\omega$ થાય.

(B) આપેલ છે કે,ઓલ્ટરનેટિંગ વોલ્ટેજ $e = 200 \sqrt{2} \sin(100 t) \; V$ છે.
આ સમીકરણને પ્રમાણિત સમીકરણ $e = E_0 \sin(\omega t)$ સાથે સરખાવતા,આપણને પીક વોલ્ટેજ $E_0 = 200 \sqrt{2} \; V$ અને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 100 \; rad/s$ મળે છે.
$rms$ વોલ્ટેજ $E_{\text{rms}} = \frac{E_0}{\sqrt{2}} = \frac{200 \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 200 \; V$ થાય.
કેપેસિટન્સ $C = 1 \; \mu F = 1 \times 10^{-6} \; F$ છે.
કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C$ નું સૂત્ર $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{100 \times 10^{-6}} = \frac{1}{10^{-4}} = 10^4 \; \Omega$ છે.
$rms$ પ્રવાહ $I_{\text{rms}} = \frac{E_{\text{rms}}}{X_C} = \frac{200}{10^4} = 2 \times 10^{-2} \; A$ મળે.
મિલીએમ્પિયર $(mA)$ માં ફેરવતા,$I_{\text{rms}} = 2 \times 10^{-2} \times 10^3 \; mA = 20 \; mA$ થાય.

(A) જ્યારે એક આદર્શ કેપેસિટરને $AC$ વોલ્ટેજ સ્ત્રોત સાથે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે પ્રવાહ $I(t)$ એ વોલ્ટેજ $V(t)$ કરતા $90^\circ$ ના કળા તફાવતથી આગળ હોય છે.
કેપેસિટર ચાર્જિંગ દરમિયાન સંગ્રહિત ઉર્જા ડિસ્ચાર્જિંગ દરમિયાન સર્કિટમાં પાછી આપે છે,તેથી એક સંપૂર્ણ ચક્ર દરમિયાન આદર્શ કેપેસિટર દ્વારા વપરાતી ચોખ્ખી ઉર્જા શૂન્ય હોય છે.
તેથી,વિધાન $A$ સાચું છે.

(A) આપેલ છે: $f = 50\, Hz$,$C = 100\, \mu F = 10^{-4}\, F$,$I_m = 1.57\, A$.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2\pi f = 2 \times \pi \times 50 = 100\pi\, rad/s$.
કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{100\pi \times 10^{-4}} = \frac{100}{\pi} \approx \frac{100}{3.14} \approx 31.85\, \Omega$.
મહત્તમ વોલ્ટેજ $E_m = I_m \times X_C = 1.57 \times 31.85 \approx 50\, V$.
શુદ્ધ કેપેસિટિવ સર્કિટમાં,વોલ્ટેજ પ્રવાહ કરતા $\pi / 2$ રેડિયન પાછળ હોય છે. જો પ્રવાહ $I = I_m \sin(\omega t)$ હોય,તો વોલ્ટેજ $E = E_m \sin(\omega t - \pi / 2)$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $E = 50\, \sin(100\pi t - \pi / 2)$.

(D) કેપેસીટિવ રિએક્ટન્સ $X$ નું સૂત્ર $X = \frac{1}{2 \pi f C}$ છે,જ્યાં $f$ એ આવૃત્તિ છે અને $C$ એ કેપેસીટન્સ છે.
આપેલ છે કે નવું કેપેસીટન્સ $C^{\prime} = 2C$ અને નવી આવૃત્તિ $f^{\prime} = 2f$ છે.
નવો રિએક્ટન્સ $X^{\prime}$ નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$X^{\prime} = \frac{1}{2 \pi f^{\prime} C^{\prime}} = \frac{1}{2 \pi (2f) (2C)} = \frac{1}{4 (2 \pi f C)}$.
કારણ કે $X = \frac{1}{2 \pi f C}$,તેથી આપણે આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકીએ છીએ:
$X^{\prime} = \frac{X}{4}$.

(D) ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = \omega L = 2\pi f L$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$f_1 = 50\,Hz$ અને $L = 2\,H$ માટે,રિએક્ટન્સ $X_{L1} = 2\pi \times 50 \times 2 = 200\pi\,\Omega$ છે.
પ્રારંભિક પ્રવાહ $I = V / X_{L1} = V / (200\pi)$ છે.
જ્યારે આવૃત્તિ બદલીને $f_2 = 400\,Hz$ કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવો ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_{L2} = 2\pi \times 400 \times 2 = 1600\pi\,\Omega$ થાય છે.
નવો પ્રવાહ $I'$ એ $I' = V / X_{L2} = V / (1600\pi)$ છે.
બંને પ્રવાહોની સરખામણી કરતા: $I' = (V / 200\pi) / 8 = I / 8$.
શુદ્ધ ઇન્ડક્ટિવ સર્કિટમાં,પ્રવાહ વોલ્ટેજ કરતા $90^o$ પાછળ રહે છે.

(B) આપેલ વોલ્ટેજ $V = V_{0} \sin(\omega t)$ છે,જ્યાં $V_{0} = 300\sqrt{2} \text{ V}$ અને $\omega = 100 \text{ rad/s}$ છે.
કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_{C} = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{100 \times 1 \times 10^{-6}} = \frac{1}{10^{-4}} = 10^{4} \ \Omega$ છે.
પીક પ્રવાહ $i_{0} = \frac{V_{0}}{X_{C}} = \frac{300\sqrt{2}}{10^{4}} = 300\sqrt{2} \times 10^{-4} \text{ A} = 30\sqrt{2} \times 10^{-3} \text{ A} = 30\sqrt{2} \text{ mA}$ છે.
$AC$ એમીટર પ્રવાહનું $rms$ મૂલ્ય માપે છે.
$i_{rms} = \frac{i_{0}}{\sqrt{2}} = \frac{30\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 30 \text{ mA}$.

(D) શુદ્ધ ઇન્ડક્ટરમાં,પ્રવાહ વોલ્ટેજ કરતા $\pi/2$ અથવા $90^\circ$ ના ફેઝ એંગલ (phase angle) થી પાછળ રહે છે.
જો વોલ્ટેજને $V = V_m \cos(\omega t)$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે,તો પ્રવાહ $i = I_m \cos(\omega t - \pi/2) = I_m \sin(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ વોલ્ટેજ ગ્રાફ એ કોસાઇન વેવ છે જે $t = 0$ સમયે તેના મહત્તમ મૂલ્યથી શરૂ થાય છે.
પ્રવાહ વોલ્ટેજ કરતા $90^\circ$ પાછળ હોવાથી,પ્રવાહનો ગ્રાફ એ સાઇન વેવ હોવો જોઈએ જે $t = 0$ સમયે શૂન્યથી શરૂ થાય અને ધન દિશામાં વધે.
આને આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,જે ગ્રાફ $t = 0$ સમયે શૂન્યથી શરૂ થતો સાઇન વેવ દર્શાવે છે તે વિકલ્પ $D$ છે.

(B) શુદ્ધ ઇન્ડક્ટિવ સર્કિટમાં,ઇન્ડક્ટર પરનો વોલ્ટેજ તેમાંથી વહેતા પ્રવાહ કરતા $\frac{\pi}{2}$ રેડિયન (અથવા $90^{\circ}$) ના ફેઝ એંગલ જેટલો આગળ હોય છે.
આ એટલા માટે થાય છે કારણ કે ઇન્ડક્ટરમાં ઉત્પન્ન થતું પ્રેરિત ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(EMF)$ પ્રવાહના ફેરફારનો વિરોધ કરે છે,જેના કારણે વોલ્ટેજ પ્રવાહ પહેલા તેના મહત્તમ મૂલ્ય સુધી પહોંચે છે.

(C) શુદ્ધ ઇન્ડક્ટર માટે,પ્રવાહ $i$ એ વોલ્ટેજ $V$ કરતા $\pi / 2$ જેટલા ફેઝ એંગલ (phase angle) થી પાછળ રહે છે.
જો વોલ્ટેજને $V = V_m \sin(\omega t)$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે,તો પ્રવાહ $i = I_m \sin(\omega t - \pi / 2) = -I_m \cos(\omega t)$ થાય.
આપેલ આકૃતિમાં,વોલ્ટેજ $V$ ને $0$ થી શરૂ થતા અને વધતા સાઈન તરંગ તરીકે દર્શાવવામાં આવ્યો છે.
તેથી,પ્રવાહ $i$ એ ઋણ કોસાઇન તરંગ હોવો જોઈએ,જે $t = 0$ સમયે ઋણ મહત્તમ મૂલ્યથી શરૂ થાય છે અને $t = \pi / (2\omega)$ સમયે $0$ સુધી વધે છે.
આ વિકલ્પ $C$ માં દર્શાવેલ આલેખને અનુરૂપ છે.

(B) શુદ્ધ ઇન્ડક્ટિવ સર્કિટમાં,પ્રવાહ હંમેશા emf કરતા $\frac{\pi}{2}$ જેટલો પાછળ રહે છે.
આપેલ વોલ્ટેજ $V(t) = V_0 \sin(\omega t)$ માટે,પ્રવાહ $I(t) = I_0 \sin(\omega t - \frac{\pi}{2})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$V_0 = 100 \, V$ અને $\omega = 500 \, rad/s$ છે.
મહત્તમ પ્રવાહ $I_0$ ની ગણતરી આ મુજબ થાય છે: $I_0 = \frac{V_0}{\omega L} = \frac{100}{500 \times 0.02} = \frac{100}{10} = 10 \, A$.
પ્રવાહના સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$I(t) = 10 \sin(500t - \frac{\pi}{2})$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin(\theta - \frac{\pi}{2}) = -\cos(\theta)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$I(t) = -10 \cos(500t)$.

(B) આપેલ એસી વોલ્ટેજ $v(t) = 220 \sin(100 \pi t)$ છે.
લોડ શુદ્ધ અવરોધક હોવાથી,પ્રવાહ $i(t)$ વોલ્ટેજ સાથે સમાન કળામાં છે,જે $i(t) = I_0 \sin(100 \pi t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I_0$ એ મહત્તમ પ્રવાહ છે.
પ્રવાહ શૂન્યથી તેના મહત્તમ મૂલ્યના અડધા સુધી વધે છે,તેથી $i(t) = \frac{I_0}{2}$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{I_0}{2} = I_0 \sin(100 \pi t) \implies \sin(100 \pi t) = \frac{1}{2}$.
આનો અર્થ એ છે કે $100 \pi t = \frac{\pi}{6}$ (કારણ કે $\sin(30^\circ) = 0.5$).
$t$ માટે ઉકેલતા: $t = \frac{\pi}{6 \times 100 \pi} = \frac{1}{600} \text{ s}$.
મિલીસેકન્ડમાં રૂપાંતરિત કરતા: $t = \frac{1000}{600} \text{ ms} = 1.67 \text{ ms}$.
આપેલ વિકલ્પો અને આકૃતિના આધારે,જો પ્રશ્ન અડધા મહત્તમ મૂલ્યથી મહત્તમ મૂલ્ય સુધીનો સમય પૂછતો હોય,તો $t = \frac{\pi/2 - \pi/6}{100 \pi} = \frac{\pi/3}{100 \pi} = 3.33 \text{ ms}$ મળે. તેથી સાચો વિકલ્પ $3.3 \text{ ms}$ છે.

(B) ચોક કોઈલ એ એક ઇન્ડક્ટર છે જેનો ઉપયોગ $AC$ સર્કિટમાં પાવરના નોંધપાત્ર વ્યય વિના પ્રવાહને નિયંત્રિત કરવા માટે થાય છે. $AC$ સર્કિટમાં વપરાતો પાવર $P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ એ પાવર ફેક્ટર છે. આદર્શ ચોક કોઈલ માટે,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ ની સરખામણીમાં અવરોધ $R$ શક્ય તેટલો ઓછો હોવો જોઈએ. તેથી,કાર્યક્ષમ ચોક કોઈલ માટે,$X_L >> R$ હોવું જરૂરી છે.

(C) શુદ્ધ અવરોધક $AC$ પરિપથમાં, વોલ્ટેજ $V = V_m \sin(\omega t)$ અને પ્રવાહ $I = I_m \sin(\omega t)$ સમાન કળામાં હોય છે.
આનો અર્થ એ છે કે વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ વચ્ચેનો કળા તફાવત શૂન્ય છે.
તેથી, પ્રવાહ અને વોલ્ટેજ એક જ સમયે તેમના મહત્તમ અને ન્યૂનતમ મૂલ્યો સુધી પહોંચે છે.

(B) ઇન્ડક્ટરમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I = I_0 \sin(\omega t)$ છે.
ઇન્ડક્ટરની આસપાસનો વોલ્ટેજ $V_L = L \frac{dI}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$I$ નું સૂત્ર મૂકતા:
$V_L = L \frac{d}{dt} (I_0 \sin(\omega t))$
$V_L = L I_0 \omega \cos(\omega t)$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos(\theta) = \sin(\theta + \pi/2)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$V_L = I_0 \omega L \sin(\omega t + \pi/2)$.
આમ,વોલ્ટેજ પ્રવાહ કરતા $\pi/2$ જેટલો કળામાં આગળ છે.

(C) લાગુ કરેલ વોલ્ટેજ $V_c$ નો કંપનવિસ્તાર $A.C.$ સ્ત્રોતની આવૃત્તિથી સ્વતંત્ર છે,તેથી તે સમાન રહે છે.
કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ $X_c = \frac{1}{2\pi f C}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જેમ આવૃત્તિ $f$ ઘટે છે,તેમ કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ $X_c$ વધે છે.
પ્રવાહનો કંપનવિસ્તાર $I_c = \frac{V_c}{X_c}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $V_c$ અચળ છે અને $X_c$ વધે છે,તેથી પ્રવાહ $I_c$ નો કંપનવિસ્તાર ઘટશે.

(A) ઇન્ડક્ટરનું રિએક્ટન્સ $X_L = \omega L = 2 \pi f L$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જેમ આવૃત્તિ $f$ વધે છે,તેમ $X_L$ વધે છે.
કેપેસિટરનું રિએક્ટન્સ $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2 \pi f C}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જેમ આવૃત્તિ $f$ વધે છે,તેમ $X_C$ ઘટે છે.
રઝિસ્ટરનો અવરોધ $R$ આવૃત્તિથી સ્વતંત્ર છે.
પ્રશ્નમાં પૂછવામાં આવ્યું છે કે જ્યારે આવૃત્તિ ખૂબ જ ઓછી કિંમતથી વધારવામાં આવે છે,ત્યારે ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $(X_L)$ આવૃત્તિ સાથે સીધું વધે છે.

(C) શુદ્ધ કેપેસિટર ધરાવતી $AC$ સર્કિટમાં વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ વચ્ચેનો કળા તફાવત $\phi = -\pi/2$ હોય છે.
સરેરાશ પાવર $P_{av} = E_v I_v \cos(\phi)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\phi$ ની કિંમત મૂકતા,$P_{av} = E_v I_v \cos(-\pi/2) = E_v I_v (0) = 0$ મળે છે.
આમ,શુદ્ધ કેપેસિટર સર્કિટમાં કોઈ પાવર વ્યય થતો નથી.
જોકે,કારણમાં જણાવેલ છે કે સર્કિટમાં કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી,જે ખોટું છે કારણ કે કેપેસિટરના કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ $X_C = 1/(2\pi f C)$ ને કારણે તેમાં $AC$ પ્રવાહ વહે છે.
તેથી,વિધાન સાચું છે,પરંતુ કારણ ખોટું છે.

(A) ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ નું સૂત્ર $X_L = 2 \pi \nu L$ છે.
આપેલ છે: $L = 25.0 \; mH = 25 \times 10^{-3} \; H$,$\nu = 50 \; Hz$,અને $V_{rms} = 220 \; V$.
કિંમતો મૂકતા: $X_L = 2 \times 3.14 \times 50 \times 25 \times 10^{-3} \; \Omega = 7.85 \; \Omega$.
$rms$ પ્રવાહ $I_{rms}$ નું સૂત્ર $I_{rms} = \frac{V_{rms}}{X_L}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $I_{rms} = \frac{220 \; V}{7.85 \; \Omega} \approx 28.03 \; A$.

(N/A) જ્યારે $dc$ સ્ત્રોતને કેપેસિટર સાથે જોડવામાં આવે છે, ત્યારે કેપેસિટર ચાર્જ થાય છે અને ચાર્જ થયા પછી પરિપથમાં કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી; તેથી, લેમ્પ પ્રકાશિત થશે નહીં. જો $C$ ઘટાડવામાં આવે તો પણ કોઈ ફેરફાર થશે નહીં.
$ac$ સ્ત્રોત સાથે, કેપેસિટર કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ $X_C = 1 / (\omega C)$ આપે છે અને પરિપથમાં પ્રવાહ વહે છે. પરિણામે, લેમ્પ પ્રકાશિત થશે.
જો કેપેસિટન્સ $C$ ઘટાડવામાં આવે, તો કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ $X_C = 1 / (\omega C)$ વધે છે. પરિણામે, પરિપથમાં પ્રવાહ ઘટે છે અને લેમ્પ પહેલા કરતા ઓછો પ્રકાશિત થશે.