Mix Examples-Alternating Current Questions in Gujarati

(D) આપેલ ભૌતિક રાશિઓના પરિમાણો નીચે મુજબ છે:
$L = [M L^2 T^{-2} A^{-2}]$
$C = [M^{-1} L^{-2} T^4 A^2]$
$R = [M L^2 T^{-3} A^{-2}]$
$1$. $\frac{1}{RC}$ માટે: ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ $\tau = RC$ નું પરિમાણ સમય $[T]$ છે. તેથી,$\frac{1}{RC}$ નું પરિમાણ $[T^{-1}]$ છે,જે આવૃત્તિ દર્શાવે છે.
$2$. $\frac{R}{L}$ માટે: ગુણોત્તર $\frac{R}{L}$ નું પરિમાણ $[M L^2 T^{-3} A^{-2}] / [M L^2 T^{-2} A^{-2}] = [T^{-1}]$ છે,જે આવૃત્તિ દર્શાવે છે.
$3$. $\frac{1}{\sqrt{LC}}$ માટે: રેઝોનન્ટ ફ્રીક્વન્સી $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ નું પરિમાણ $[T^{-1}]$ છે,જે આવૃત્તિ દર્શાવે છે.
$4$. $\frac{C}{L}$ માટે: પરિમાણ $[M^{-1} L^{-2} T^4 A^2] / [M L^2 T^{-2} A^{-2}] = [M^{-2} L^{-4} T^6 A^4]$ છે. આ આવૃત્તિનું પરિમાણ દર્શાવતું નથી.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) ટ્રાન્સમિટ થયેલ પાવર $P = VI$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V$ એ વોલ્ટેજ છે અને $I$ એ પ્રવાહ છે. નિશ્ચિત પાવર $P$ માટે,જો વોલ્ટેજ $V$ વધારવામાં આવે,તો પ્રવાહ $I$ ઘટે છે.
ટ્રાન્સમિશન લાઈનોમાં ગરમીને કારણે થતો પાવર લોસ $P_{loss} = I^2 R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R$ એ વાયરનો અવરોધ છે.
$I = P/V$ મૂકતા,આપણને $P_{loss} = (P/V)^2 R = P^2 R / V^2$ મળે છે.
આમ,$P_{loss} \propto 1/V^2$. વોલ્ટેજ $V$ વધારીને,પાવર લોસ નોંધપાત્ર રીતે ઘટાડી શકાય છે,જે ટ્રાન્સમિશનને વધુ આર્થિક અને કાર્યક્ષમ બનાવે છે. તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(D) બલ્બ દ્વારા વપરાતો પાવર $P = \frac{V^2}{R}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V$ એ વોલ્ટેજ છે અને $R$ એ બલ્બનો અવરોધ છે.
બલ્બ માટે,અવરોધ $R$ એ ફિલામેન્ટનો અચળ ગુણધર્મ છે.
જ્યારે $V$ વોલ્ટેજના $DC$ સ્ત્રોત સાથે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે વપરાતો પાવર $P_{DC} = \frac{V^2}{R}$ છે.
જ્યારે સમાન $RMS$ વોલ્ટેજ $V$ ના $AC$ સ્ત્રોત સાથે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે વપરાતો પાવર $P_{AC} = \frac{V_{rms}^2}{R} = \frac{V^2}{R}$ છે.
બંને કિસ્સામાં વપરાતો પાવર સમાન હોવાથી,બલ્બની તેજસ્વીતા સમાન રહેશે.

(A) $LCR$ શ્રેણી $ac$ સર્કિટમાં,લાગુ પાડવામાં આવેલ વોલ્ટેજ $V$ અને પ્રવાહ $i$ વચ્ચેનો કળા તફાવત $\phi$ એ $\tan \phi = \frac{X_L - X_C}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જો $X_L > X_C$ હોય,તો સર્કિટ ઇન્ડક્ટિવ છે અને ફેઝ એંગલ $\phi$ એ $0$ અને $\pi/2$ ની વચ્ચે હોય છે (પ્રવાહ વોલ્ટેજ કરતા પાછળ રહે છે).
જો $X_L < X_C$ હોય,તો સર્કિટ કેપેસિટિવ છે અને ફેઝ એંગલ $\phi$ એ $-\pi/2$ અને $0$ ની વચ્ચે હોય છે (પ્રવાહ વોલ્ટેજ કરતા આગળ રહે છે).
જો $X_L = X_C$ હોય,તો સર્કિટ રેઝોનન્સમાં છે અને $\phi = 0$ થાય છે.
તેથી,ફેઝ એંગલનું મૂલ્ય $|\phi|$ એ $X_L$ અને $X_C$ ના મૂલ્યો પર આધાર રાખીને $0$ થી $\pi/2$ ની વચ્ચે હોય છે.

$Choke coil$ એ ઉચ્ચ ઇન્ડક્ટન્સ અને નહિવત અવરોધ ધરાવતું ઇન્ડક્ટર છે। $AC$ સર્કિટમાં, વપરાતો સરેરાશ પાવર $P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે। શુદ્ધ ઇન્ડક્ટર માટે, ફેઝ એંગલ $\phi = 90^{\circ}$ હોય છે, તેથી પાવર ફેક્ટર $\cos 90^{\circ} = 0$ થાય છે। પરિણામે, આદર્શ $Choke coil$ દ્વારા વપરાતો પાવર શૂન્ય હોય છે। તેનાથી વિપરીત, $Rheostat$ એ એક અવરોધક છે જે ઉર્જાને ગરમી ($I^2R$ નુકસાન) તરીકે વ્યય કરે છે। તેથી, નોંધપાત્ર પાવર નુકસાન વિના $AC$ સર્કિટમાં પ્રવાહને નિયંત્રિત કરવા માટે $Choke coil$ ને પસંદ કરવામાં આવે છે।

(D) આપેલ રાશિઓના પરિમાણો નીચે મુજબ છે:
$1$. $RC$ સર્કિટ માટે,ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ $\tau = RC$ છે. તેથી,$\frac{1}{RC}$ નું પરિમાણ $[T^{-1}]$ છે,જે આવૃત્તિનું પરિમાણ છે.
$2$. $RL$ સર્કિટ માટે,ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ $\tau = \frac{L}{R}$ છે. તેથી,$\frac{R}{L}$ નું પરિમાણ $[T^{-1}]$ છે,જે આવૃત્તિનું પરિમાણ છે.
$3$. $LC$ સર્કિટ માટે,રેઝોનન્ટ આવૃત્તિ $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. તેથી,$\frac{1}{\sqrt{LC}}$ નું પરિમાણ $[T^{-1}]$ છે,જે આવૃત્તિનું પરિમાણ છે.
$4$. $\frac{C}{L}$ સંયોજન માટે,આપણે જાણીએ છીએ કે રેઝોનન્ટ આવૃત્તિ $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ છે. તેથી,$\omega^2 = \frac{1}{LC}$,જેનો અર્થ છે કે $LC = \frac{1}{\omega^2}$. $LC$ નું પરિમાણ $[T^2]$ છે. તેથી,$\frac{C}{L}$ નું પરિમાણ $\frac{[C]}{[L]} = \frac{[C]^2}{[LC]} = \frac{[C]^2}{[T^2]}$ થાય છે. આ આવૃત્તિનું પરિમાણ ધરાવતું નથી.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) $A.C.$ સર્કિટમાં,પ્રવાહ અને વોલ્ટેજ વચ્ચેનો કળા સંબંધ સર્કિટમાં રહેલા ઘટકો પર આધાર રાખે છે.
જો સર્કિટ શુદ્ધ અવરોધક હોય,તો પ્રવાહ વોલ્ટેજ સાથે સમાન કળામાં હોય છે.
જો સર્કિટ ઇન્ડક્ટિવ હોય,તો પ્રવાહ વોલ્ટેજ કરતા પાછળ હોય છે.
જો સર્કિટ કેપેસિટીવ હોય,તો પ્રવાહ વોલ્ટેજ કરતા આગળ હોય છે.
તેથી,સર્કિટની ગોઠવણીના આધારે પ્રવાહ વોલ્ટેજ કરતા આગળ,પાછળ અથવા સમાન કળામાં હોઈ શકે છે.

(C) આપેલ સર્કિટ આકૃતિમાં,$LCR$ શ્રેણી સર્કિટ $220 \, V$ ના $AC$ સ્ત્રોત સાથે જોડાયેલ છે.
વોલ્ટમીટર અવરોધક (resistor) ની આસપાસ જોડાયેલ છે,તેથી તેનું અવલોકન અવરોધક પરનો વોલ્ટેજ $(V_R)$ છે.
$LCR$ શ્રેણી સર્કિટમાં,કુલ વોલ્ટેજ $V$ નું સૂત્ર $V = \sqrt{V_R^2 + (V_L - V_C)^2}$ છે.
આકૃતિ પરથી,ઇન્ડક્ટર પરનો વોલ્ટેજ $V_L = 300 \, V$ અને કેપેસિટર પરનો વોલ્ટેજ $V_C = 300 \, V$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $220 = \sqrt{V_R^2 + (300 - 300)^2}$.
$220 = \sqrt{V_R^2 + 0} = V_R$.
આમ,વોલ્ટમીટરનું અવલોકન $V_R = 220 \, V$ છે.
સર્કિટમાં પ્રવાહ $i$ નું સૂત્ર $i = \frac{V_R}{R}$ છે.
અહીં $R = 100 \, \Omega$ આપેલ છે,તેથી $i = \frac{220}{100} = 2.2 \, A$.
તેથી,વોલ્ટમીટરનું અવલોકન $220 \, V$ અને એમીટરનું અવલોકન $2.2 \, A$ છે.

(D) આ સર્કિટમાં $R_1 = 6\,\Omega$ નો અવરોધ $L = 5\,mH$,$R_2 = 4\,\Omega$ અને $C = 50\,\mu F$ ધરાવતી $LCR$ શાખા સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલ છે.
અહીં $\omega = 2000\,rad/s$ છે.
ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = \omega L = 2000 \times 5 \times 10^{-3} = 10\,\Omega$.
કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2000 \times 50 \times 10^{-6}} = 10\,\Omega$.
કુલ અવરોધ $R_{total} = R_1 + R_2 = 6 + 4 = 10\,\Omega$.
અહીં $X_L = X_C$ હોવાથી,સર્કિટ અનુનાદ (resonance) સ્થિતિમાં છે.
કુલ ઇમ્પીડન્સ $Z = \sqrt{R_{total}^2 + (X_L - X_C)^2} = \sqrt{10^2 + 0^2} = 10\,\Omega$.
મહત્તમ પ્રવાહ $I_0 = \frac{V_0}{Z} = \frac{20}{10} = 2\,A$.
$RMS$ પ્રવાહ $I_{rms} = \frac{I_0}{\sqrt{2}} = \frac{2}{1.414} \approx 1.41\,A$.
વોલ્ટમીટર $LCR$ શાખાની સમાંતર જોડાયેલ છે. આ શાખાનો ઇમ્પીડન્સ $Z_{LCR} = \sqrt{R_2^2 + (X_L - X_C)^2} = \sqrt{4^2 + 0^2} = 4\,\Omega$ છે.
તેથી,આ શાખા પરનો વોલ્ટેજ $V_{LCR} = I_{rms} \times Z_{LCR} = 1.41 \times 4 = 5.64\,V \approx 5.6\,V$ મળે છે.

(A) હા, તે $AC$ સર્કિટમાં શક્ય છે. કિર્ચોફનો પ્રવાહનો નિયમ $(KCL)$ જણાવે છે કે $DC$ સર્કિટ માટે જંકશન પરના પ્રવાહોનો બીજગણિતીય સરવાળો શૂન્ય હોય છે. જો કે, $AC$ સર્કિટમાં, પ્રવાહો ફેઝર્સ (phasors) છે. જંકશન $B$ પરના પ્રવાહોનો સરવાળો ફેઝર્સના સદિશ સરવાળા દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\vec{I}_{in} = \vec{I}_{out1} + \vec{I}_{out2}$. જો પ્રવાહો વચ્ચેના ફેઝ એંગલ એવા હોય કે $15 \ A$ અને $5 \ A$ નો સદિશ સરવાળો $10 \ A$ મળે, તો આ વિતરણ શક્ય છે.

(C) આપેલ ફેઝર ડાયાગ્રામ પરથી જોઈ શકાય છે કે પ્રવાહ $i_{rms}$ એ વોલ્ટેજ $E_{rms}$ કરતા $\phi = 45^\circ$ ના ફેઝ એંગલથી પાછળ (lagging) છે.
$AC$ પરિપથમાં,જ્યારે પરિપથ ઇન્ડક્ટિવ સ્વભાવનો હોય ત્યારે પ્રવાહ વોલ્ટેજ કરતા પાછળ રહે છે.
$LR$ પરિપથ સ્વભાવે ઇન્ડક્ટિવ હોય છે,તેથી તેમાં પ્રવાહ હંમેશા વોલ્ટેજ કરતા પાછળ રહેશે.
$LCR$ પરિપથ પણ ઇન્ડક્ટિવ હોઈ શકે છે જો ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ એ કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ $X_C$ કરતા વધારે હોય (એટલે કે $X_L > X_C$).
તેથી,પરિપથ કાં તો $LR$ પરિપથ હોઈ શકે અથવા $X_L > X_C$ વાળો $LCR$ પરિપથ હોઈ શકે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) એન્ટી-રેઝોનન્ટ સર્કિટ (સમાંતર $LC$ સર્કિટ) માં,રેઝોનન્ટ ફ્રીક્વન્સી $\nu_0$ પર ઈમ્પેડન્સ મહત્તમ હોય છે.
કારણ કે પ્રવાહ $i = \frac{V}{Z}$ છે,તેથી રેઝોનન્ટ ફ્રીક્વન્સી પર પ્રવાહ $i$ ન્યૂનતમ હોય છે.
રેઝોનન્ટ ફ્રીક્વન્સી સિવાયની ફ્રીક્વન્સી પર,ઈમ્પેડન્સ $Z$ ઘટે છે,જેના કારણે પ્રવાહ $i$ વધે છે.
તેથી,$i -
u$ વક્ર રેઝોનન્ટ ફ્રીક્વન્સી પર ન્યૂનતમ મૂલ્ય દર્શાવે છે,જે વિકલ્પ $B$ માં દર્શાવેલ ગ્રાફને અનુરૂપ છે.

(C) પરિપથમાં એક ઇન્ડક્ટર $L$ અને એક બલ્બ $B$ શ્રેણીમાં $AC$ સોર્સ સાથે જોડાયેલા છે. પરિપથનો ઇમ્પીડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ છે,જ્યાં $R$ એ બલ્બનો અવરોધ છે અને $X_L = \omega L$ એ ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ છે.
જ્યારે ગૂંચળામાં લોખંડનો સળિયો દાખલ કરવામાં આવે છે,ત્યારે કોરની પરમીએબિલિટી વધે છે,જેનાથી ગૂંચળાનું સેલ્ફ-ઇન્ડક્ટન્સ $L$ નોંધપાત્ર રીતે વધે છે.
$X_L = \omega L$ હોવાથી,$L$ માં વધારો થવાથી ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ માં વધારો થાય છે.
જેમ કુલ ઇમ્પીડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ વધે છે,તેમ પરિપથમાં વહેતો કુલ પ્રવાહ $I = \frac{V}{Z}$ ઘટે છે.
બલ્બની તેજસ્વિતા તેના દ્વારા વપરાતા પાવર $P = I^2 R$ પર આધાર રાખે છે. પ્રવાહ $I$ ઘટતો હોવાથી,બલ્બ દ્વારા વપરાતો પાવર ઘટે છે અને તેથી બલ્બની તેજસ્વિતા ઘટે છે.

(C) આપેલ છે: અવરોધ $R = 100 \, \Omega$,કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C = 100 \, \Omega$,અને $RMS$ વોલ્ટેજ $V_{rms} = 220 \, V$.
$RC$ શ્રેણી પરિપથનો કુલ ઈમ્પીડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + X_C^2} = \sqrt{100^2 + 100^2} = 100\sqrt{2} \, \Omega$ છે.
સોર્સનો મહત્તમ વોલ્ટેજ $V_0 = V_{rms} \sqrt{2} = 220\sqrt{2} \, V$ છે.
પરિપથમાં વહેતો મહત્તમ વહન પ્રવાહ $I_0 = \frac{V_0}{Z} = \frac{220\sqrt{2}}{100\sqrt{2}} = 2.2 \, A$ છે.
મેક્સવેલના એમ્પીયરના નિયમના સુધારા મુજબ,કેપેસિટરની પ્લેટો વચ્ચેનો સ્થાનાંતર પ્રવાહ $I_d$ એ વાયરમાં વહેતા વહન પ્રવાહ $I_c$ જેટલો જ હોય છે.
તેથી,સ્થાનાંતર પ્રવાહનું મહત્તમ મૂલ્ય એ વહન પ્રવાહના મહત્તમ મૂલ્ય જેટલું જ એટલે કે $2.2 \, A$ થાય છે.

(C) આપેલ છે: $C = \frac{2.5}{\pi} \times 10^{-6} \, F$,$R = 3000 \, \Omega$,$V_{rms} = 200 \, V$,$\nu = 50 \, Hz$.
પ્રથમ,કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C = \frac{1}{2\pi \nu C} = \frac{1}{2\pi \times 50 \times (\frac{2.5}{\pi} \times 10^{-6})} = \frac{1}{250 \times 10^{-6}} = 4000 \, \Omega$ ગણો.
સર્કિટનું ઈમ્પીડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + X_C^2} = \sqrt{3000^2 + 4000^2} = 5000 \, \Omega$ છે.
પાવર ફેક્ટર $\cos \phi = \frac{R}{Z} = \frac{3000}{5000} = 0.6$ છે.
વ્યય થતો પાવર $P = \frac{V_{rms}^2 \cos \phi}{Z} = \frac{200^2 \times 0.6}{5000} = \frac{40000 \times 0.6}{5000} = 8 \times 0.6 = 4.8 \, W$ છે.

(B) જ્યારે $C$ દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે સર્કિટ $RL$ સર્કિટ બને છે. ફેઝ એંગલ $\phi$ માટેનું સૂત્ર $\tan \phi = \frac{X_L}{R}$ છે.
અહીં $\phi = \pi /3$ આપેલ છે,તેથી $\tan(\pi /3) = \frac{X_L}{R} \implies \sqrt{3} = \frac{X_L}{R} \implies X_L = R\sqrt{3}$.
જ્યારે $L$ દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે સર્કિટ $RC$ સર્કિટ બને છે. ફેઝ એંગલ $\phi$ માટેનું સૂત્ર $\tan \phi = \frac{X_C}{R}$ છે.
અહીં $\phi = \pi /3$ આપેલ છે,તેથી $\tan(\pi /3) = \frac{X_C}{R} \implies \sqrt{3} = \frac{X_C}{R} \implies X_C = R\sqrt{3}$.
અહીં $X_L = X_C$ હોવાથી,સર્કિટ રેઝોનન્સ (અનુનાદ) ની સ્થિતિમાં છે.
$LCR$ સર્કિટમાં રેઝોનન્સ સમયે,ઇમ્પિડન્સ $Z = R$ થાય છે.
$R = 100 \ \Omega$ આપેલ હોવાથી,$Z = 100 \ \Omega$ થશે.

(B) આપેલ છે: $e = 75 \sin(\omega t) \text{ V}$ અને $i = 1.5 \sin(\omega t + 45^\circ) \text{ A}$.
અહીં,પ્રવાહ $i$ એ વોલ્ટેજ $e$ કરતા $\phi = 45^\circ$ ના ફેઝ એંગલથી આગળ છે.
જ્યારે પ્રવાહ વોલ્ટેજ કરતા આગળ હોય,ત્યારે સર્કિટ કેપેસિટિવ સ્વભાવની હોય છે. આનો અર્થ એ છે કે બોક્સમાં કેપેસિટર હોવું જ જોઈએ.
વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ વચ્ચે ફેઝ તફાવત હોવાથી,ફેઝ શિફ્ટ માટે બોક્સમાં અવરોધ $R$ હોવો જ જોઈએ.
સર્કિટ કેપેસિટિવ હોવાથી,ચોખ્ખો રિએક્ટન્સ $X = X_C - X_L$ કેપેસિટિવ હોવો જોઈએ $(X_C > X_L)$. આનો અર્થ એ નથી કે ઇન્ડક્ટર હોઈ જ ન શકે,પરંતુ તે જરૂરી નથી કે ઇન્ડક્ટર હોય જ. તેથી,'બોક્સમાં ઇન્ડક્ટર હોવું જ જોઈએ' તે વિધાન ખોટું છે.
પાવર ફેક્ટર $\cos \phi = \cos(45^\circ) = 1/\sqrt{2} \approx 0.707$ છે. આમ,વિકલ્પ $(d)$ સાચું છે.
તેથી,ખોટું વિધાન $(b)$ છે.

(A) આવૃત્તિનું પરિમાણ $[T^{-1}]$ છે.
$1$. $RC$ સર્કિટ માટે,ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ $\tau = RC$ છે. કારણ કે $\tau$ નું પરિમાણ સમય $[T]$ છે,તેથી $\frac{1}{RC}$ રાશિનું પરિમાણ આવૃત્તિ $[T^{-1}]$ થાય છે.
$2$. $RL$ સર્કિટ માટે,ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ $\tau = \frac{L}{R}$ છે. કારણ કે $\tau$ નું પરિમાણ સમય $[T]$ છે,તેથી $\frac{R}{L}$ રાશિનું પરિમાણ આવૃત્તિ $[T^{-1}]$ થાય છે.
$3$. $LC$ સર્કિટ માટે,રેઝોનન્ટ આવૃત્તિ $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આમ,$\frac{1}{\sqrt{LC}}$ નું પરિમાણ પણ આવૃત્તિ $[T^{-1}]$ છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$\frac{1}{RC}$ અને $\frac{R}{L}$ નું સંયોજન આવૃત્તિના પરિમાણ દર્શાવે છે.

(C) કેપેસિટર ધરાવતી ઉપરની શાખામાં,પ્રવાહ $I_1$ એ લાગુ પડેલા વોલ્ટેજ $V$ કરતા $\phi_1 = \frac{\pi}{2}$ ના ફેઝ ખૂણાથી આગળ છે.
રેઝિસ્ટર $R$ અને ઇન્ડક્ટર $X_L$ ધરાવતી નીચેની શાખામાં,પ્રવાહ $I_2$ એ લાગુ પડેલા વોલ્ટેજ $V$ કરતા $\phi_2 = \tan^{-1} \left( \frac{X_L}{R} \right)$ ના ફેઝ ખૂણાથી પાછળ છે.
બે પ્રવાહો $I_1$ અને $I_2$ વચ્ચેનો કુલ ફેઝ તફાવત એ વોલ્ટેજ $V$ ની સાપેક્ષમાં તેમના વ્યક્તિગત ફેઝ શિફ્ટનો સરવાળો છે.
તેથી,ફેઝ તફાવત $\Delta \phi = \phi_1 + \phi_2 = \frac{\pi}{2} + \tan^{-1} \left( \frac{X_L}{R} \right)$ છે.

(D) સર્કિટનો રિએક્ટન્સ $X = X_L - X_C$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $X_L = \omega L$ એ ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ છે અને $X_C = 1/(\omega C)$ એ કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ છે.
ચોખ્ખો રિએક્ટન્સ શૂન્ય $(X = 0)$ થવા માટે:
$1$. જો સર્કિટમાં ઇન્ડક્ટર અને કેપેસિટર બંને હોય,તો તેઓ રેઝોનન્સમાં હોવા જોઈએ જેથી $X_L = X_C$ થાય,જેના પરિણામે $X = 0$ મળે.
$2$. જો સર્કિટમાં માત્ર અવરોધકો (resistors) હોય,તો તેમાં કોઈ ઇન્ડક્ટર કે કેપેસિટર હોતા નથી,તેથી $X_L = 0$ અને $X_C = 0$ થાય,જે $X = 0$ તરફ દોરી જાય છે.
તેથી,સર્કિટમાં ઇન્ડક્ટર અને કેપેસિટર બંને (રેઝોનન્સમાં) હોઈ શકે છે અથવા ઇન્ડક્ટર કે કેપેસિટર બંનેમાંથી કોઈ પણ ન હોઈ શકે (શુદ્ધ અવરોધક સર્કિટ).
આમ,સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.

(A) $LCR$ પરિપથમાં, કોઈપણ સમયે $t$ પર સંઘારક પરનો વિદ્યુતભાર $Q(t) = Q_0 e^{-Rt/2L} \cos(\omega' t + \phi)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કોઈપણ ચક્ર પર સંઘારક પરનો મહત્તમ વિદ્યુતભાર $Q_{max}(t) = Q_0 e^{-Rt/2L}$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા, આપણને $Q^2_{max}(t) = Q^2_0 e^{-Rt/L}$ મળે છે.
આ સમીકરણ સમય સાથે મહત્તમ વિદ્યુતભારના વર્ગના ઘાતાંકીય ઘટાડાને રજૂ કરે છે.
ઘટાડાનો દર $R/L$ અવયવ પર આધાર રાખે છે. કારણ કે $L_1 > L_2$, તેથી ઘટાડાનો અચળાંક $R/L_1$ એ $R/L_2$ કરતા નાનો છે.
તેથી, $L_2$ ધરાવતા પરિપથમાં વિદ્યુતભાર $L_1$ ધરાવતા પરિપથ કરતા ઝડપથી ઘટે છે.
આમ, $L_1$ માટેનો ગ્રાફ $L_2$ માટેના ગ્રાફની સરખામણીમાં ધીમો ઘટાડો દર્શાવશે.

(A) જ્યારે કેપેસિટન્સ દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે સર્કિટ $LR$ સર્કિટ બને છે.
ફેઝ એંગલ $\phi = 30^\circ$ આપેલ છે,તેથી $\tan \phi = \frac{\omega L}{R}$.
$\omega L = R \tan 30^\circ = 200 \times \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{200}{\sqrt{3}} \, \Omega$.
જ્યારે ઇન્ડક્ટર દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે સર્કિટ $CR$ સર્કિટ બને છે.
ફેઝ એંગલ $\phi = 30^\circ$ આપેલ છે,તેથી $\tan \phi = \frac{1}{\omega C R}$.
$\frac{1}{\omega C} = R \tan 30^\circ = 200 \times \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{200}{\sqrt{3}} \, \Omega$.
મૂળ $LCR$ સર્કિટમાં,ઇમ્પિડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + (\omega L - \frac{1}{\omega C})^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $Z = \sqrt{200^2 + (\frac{200}{\sqrt{3}} - \frac{200}{\sqrt{3}})^2} = \sqrt{200^2 + 0} = 200 \, \Omega$.
$AC$ સર્કિટમાં વપરાતો પાવર $P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$ છે,જ્યાં $\cos \phi = \frac{R}{Z}$.
કારણ કે $\omega L = \frac{1}{\omega C}$,સર્કિટ રેઝોનન્સમાં છે,તેથી $\phi = 0^\circ$ અને $\cos \phi = 1$.
$P = \frac{V_{rms}^2}{Z^2} \times R = \frac{220^2}{200^2} \times 200 = \frac{220 \times 220}{200} = 242 \, W$.

(A) કોઈપણ સમયે $t$ પર $LCR$ સર્કિટ માટે કિર્ચોફનો વોલ્ટેજ નિયમ $(KVL)$ લાગુ પાડતા:
$\frac{q}{C} - iR - L \frac{di}{dt} = 0$
કારણ કે $i = -\frac{dq}{dt}$,તેથી:
$\frac{q}{C} + R \frac{dq}{dt} + L \frac{d^2q}{dt^2} = 0$
આને ફરીથી ગોઠવતા ડેમ્પ્ડ હાર્મોનિક ઓસિલેટરનું વિકલ સમીકરણ મળે છે:
$\frac{d^2q}{dt^2} + \frac{R}{L} \frac{dq}{dt} + \frac{q}{LC} = 0$
કેપેસિટર પરનો ચાર્જ $q(t) = Q_0 e^{-\frac{Rt}{2L}} \cos(\omega' t + \phi)$ મુજબ ઘટે છે.
કોઈપણ ચક્ર પર મહત્તમ ચાર્જ એન્વલપ $Q_{Max} = Q_0 e^{-\frac{Rt}{2L}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આનો વર્ગ કરતા,આપણને $Q_{Max}^2 = Q_0^2 e^{-\frac{Rt}{L}}$ મળે છે.
ક્ષય અચળાંક $\lambda = \frac{R}{L}$ ની સરખામણી કરતા,આપણે જોઈએ છીએ કે નિશ્ચિત $R$ માટે,નાનું $L$ એ મોટો ક્ષય અચળાંક આપે છે,જેનો અર્થ છે કે ચાર્જ ઝડપથી ઘટે છે.
$L_1 > L_2$ હોવાથી,$L_2$ માટેનો ક્ષય અચળાંક $L_1$ કરતા મોટો છે.
તેથી,$L_2$ માટેનો વક્ર $L_1$ માટેના વક્ર કરતા ઝડપથી ઘટે છે.

(A) આપેલા સમીકરણો $e = 100 \sin(20t)$ અને $i = 20 \sin(30t - \frac{\pi}{4})$ છે.
નોંધ: $e.m.f.$ અને પ્રવાહની આવૃત્તિઓ અલગ છે $(20 \neq 30)$. આવા કિસ્સામાં,સંપૂર્ણ ચક્ર પર સરેરાશ પાવર શૂન્ય થાય છે કારણ કે કળા તફાવત $\phi$ અચળ નથી.
જો કે,જો આપણે ધારી લઈએ કે પ્રશ્ન સમાન આવૃત્તિ માટે $\phi = 45^{\circ}$ (અથવા $\frac{\pi}{4}$) કળા તફાવત સૂચવે છે,તો ગણતરી નીચે મુજબ છે:
સરેરાશ પાવર $P_{\text{avg}} = V_{\text{rms}} I_{\text{rms}} \cos \phi = \left(\frac{V_0}{\sqrt{2}}\right) \left(\frac{I_0}{\sqrt{2}}\right) \cos \phi$
$P_{\text{avg}} = \left(\frac{100}{\sqrt{2}}\right) \left(\frac{20}{\sqrt{2}}\right) \cos 45^{\circ} = \frac{2000}{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1000}{\sqrt{2}} \text{ W}$.
વોટલેસ પ્રવાહ $I_w = I_{\text{rms}} \sin \phi = \left(\frac{I_0}{\sqrt{2}}\right) \sin 45^{\circ} = \left(\frac{20}{\sqrt{2}}\right) \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{20}{2} = 10 \text{ A}$.
આમ,મૂલ્યો $\frac{1000}{\sqrt{2}}$ અને $10$ છે.

(D) આપેલ છે: $R = 100 \,\Omega$,$V = 200 \,V$,$\omega = 300 \,rad/s$.
જ્યારે કેપેસિટન્સ દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે પરિપથ $LR$ પરિપથ બને છે. ફેઝ એંગલ $\tan(60^o) = \frac{X_L}{R} \implies X_L = 100\sqrt{3} \,\Omega$.
જ્યારે ઇન્ડક્ટન્સ દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે પરિપથ $RC$ પરિપથ બને છે,$\tan(60^o) = \frac{X_C}{R} \implies X_C = 100\sqrt{3} \,\Omega$.
અહીં $X_L = X_C$ હોવાથી,પરિપથ અનુનાદ (resonance) સ્થિતિમાં છે.
અનુનાદ સમયે,$Z = R = 100 \,\Omega$.
પ્રવાહ $I = \frac{V}{Z} = \frac{200}{100} = 2 \,A$.
વ્યય થતો પાવર $P = I^2 R = (2)^2 \times 100 = 400 \,W$.

(D) વિધાન-$I$ સાચું છે કારણ કે કેપેસિટરનો ઉપયોગ $a.c.$ સર્કિટમાં પાવરનો વ્યય કર્યા વિના પ્રવાહને મર્યાદિત કરવા માટે કરી શકાય છે, જે ચોક કોઇલ જેવું જ કાર્ય કરે છે.
વિધાન-$II$ સાચું છે કારણ કે કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ $X_C = 1 / (2\pi f C)$ છે. $d.c.$ માટે, $f = 0$, તેથી $X_C = \infty$ ($d.c.$ ને બ્લોક કરે છે), જ્યારે $a.c.$ માટે, તે મર્યાદિત રિએક્ટન્સ આપે છે.
કેપેસિટર $a.c.$ સર્કિટમાં પાવરના નુકસાન વિના પ્રવાહને મર્યાદિત કરવા માટે રિએક્ટન્સ પ્રદાન કરતું હોવાથી, વિધાન-$II$ એ વિધાન-$I$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(A) અવરોધ પરનો કુલ વોલ્ટેજ $V_{net}$ એ ત્રણેય સ્ત્રોતોનો સરવાળો છે: $V_{net} = V_1 + V_2 + V_3$.
આને ફેઝર્સ તરીકે દર્શાવતા:
$V_1 = 3 \angle 0^\circ = 3 + j0$
$V_2 = 5 \angle 30^\circ = 5(\cos 30^\circ + j \sin 30^\circ) = 5(\frac{\sqrt{3}}{2} + j \frac{1}{2}) = \frac{5\sqrt{3}}{2} + j 2.5$
$V_3 = 5 \angle -127^\circ = 5(\cos(-127^\circ) + j \sin(-127^\circ)) \approx 5(-0.6 - j 0.8) = -3 - j 4$
ઘટકોનો સરવાળો કરતા:
$V_{real} = 3 + \frac{5\sqrt{3}}{2} - 3 = \frac{5\sqrt{3}}{2} \approx 4.33$
$V_{imag} = 0 + 2.5 - 4 = -1.5$
પીક વોલ્ટેજ $V_{max} = \sqrt{V_{real}^2 + V_{imag}^2} = \sqrt{(\frac{5\sqrt{3}}{2})^2 + (-1.5)^2} = \sqrt{\frac{75}{4} + 2.25} = \sqrt{18.75 + 2.25} = \sqrt{21} \text{ V}$.
પીક પ્રવાહ $I_{max} = \frac{V_{max}}{R} = \frac{\sqrt{21}}{\sqrt{7/3}} = \sqrt{\frac{21 \times 3}{7}} = \sqrt{9} = 3 \text{ A}$.

(B) સર્કિટનો પ્રારંભિક રિએક્ટન્સ $X_i = |X_{Ci} - X_{Li}| = |\frac{1}{\omega C_i} - \omega L_i|$ છે.
શરૂઆતમાં,કેપેસિટર પ્રવાહીથી ભરેલું છે $(C_i = \frac{K \varepsilon_0 A}{\ell})$ અને ઇન્ડક્ટર ખાલી છે $(L_i = \mu_0 n^2 A \ell)$.
તેથી,$X_i = |\frac{\ell}{\omega K \varepsilon_0 A} - \omega \mu_0 n^2 A \ell|$.
પ્રવાહી ઇન્ડક્ટરમાં ભરાઈ ગયા પછી,કેપેસિટર ખાલી થઈ જાય છે $(C_f = \frac{\varepsilon_0 A}{\ell})$ અને ઇન્ડક્ટર પ્રવાહીથી ભરાઈ જાય છે $(L_f = \mu_0 \mu_r n^2 A \ell)$.
તેથી,$X_f = |\frac{\ell}{\omega \varepsilon_0 A} - \omega \mu_0 \mu_r n^2 A \ell|$.
ગુણોત્તર લેતા,$\frac{X_i}{X_f} = \left| \frac{\frac{\ell}{\omega K \varepsilon_0 A} - \omega \mu_0 n^2 A \ell}{\frac{\ell}{\omega \varepsilon_0 A} - \omega \mu_0 \mu_r n^2 A \ell} \right|$.
અંશ અને છેદને $\omega \varepsilon_0 A / \ell$ વડે ગુણતા,આપણને $\frac{X_i}{X_f} = \left| \frac{\frac{1}{K} - \omega^2 \mu_0 \varepsilon_0 n^2 A^2}{1 - \omega^2 \mu_0 \varepsilon_0 \mu_r n^2 A^2} \right|$ મળે છે.
$\mu_0 \varepsilon_0 = \frac{1}{c^2}$ અને $\omega^2 A^2 n^2 = c^2$ નો ઉપયોગ કરતા,પદ $\omega^2 \mu_0 \varepsilon_0 n^2 A^2 = \frac{c^2}{c^2} = 1$ થાય છે.
આમ,$\frac{X_i}{X_f} = \left| \frac{\frac{1}{K} - 1}{1 - \mu_r} \right| = \left| \frac{1 - K}{K(1 - \mu_r)} \right| = \frac{1 - K}{K(1 - \mu_r)}$.

(A) સ્થાન $1$ માં,સર્કિટ એ $LR$ શ્રેણી સર્કિટ છે. ફેઝ એંગલ $\phi$ એ $\tan \phi = \frac{X_L}{R} = \frac{\omega L}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\phi = \pi / 6$,$\omega = 1000 \text{ rad/s}$,અને $L = \sqrt{3} \text{ mH} = \sqrt{3} \times 10^{-3} \text{ H}$.
$\tan(\pi / 6) = \frac{1000 \times \sqrt{3} \times 10^{-3}}{R} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{R} \implies R = 3 \, \Omega$.
સ્થાન $2$ માં,સર્કિટ એ $RC$ શ્રેણી સર્કિટ છે. ફેઝ એંગલ $\phi$ એ $\tan \phi = \frac{X_C}{R} = \frac{1}{\omega C R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $C = \frac{1000}{3} \, \mu\text{F} = \frac{1000}{3} \times 10^{-6} \text{ F}$.
$\tan \phi = \frac{1}{1000 \times (\frac{1000}{3} \times 10^{-6}) \times 3} = \frac{1}{1000 \times \frac{1}{3} \times 10^{-3} \times 3} = \frac{1}{1} = 1$.
કારણ કે $\tan \phi = 1$,તેથી $\phi = \pi / 4$. $RC$ સર્કિટમાં,પ્રવાહ એ સોર્સ $emf$ કરતા $\phi$ જેટલો આગળ હોય છે. તેથી,પ્રવાહ સોર્સ $emf$ કરતા $\pi / 4$ જેટલો આગળ છે.

(A) અવરોધ $R$ માં $t$ સમય માટે $I$ મૂલ્યના સ્થાયી $DC$ પ્રવાહ દ્વારા ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા $H_{DC} = I^2 R t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તે જ અવરોધ $R$ માં $t$ સમય માટે $I$ મહત્તમ મૂલ્ય ધરાવતા $AC$ પ્રવાહ દ્વારા ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા $H_{AC} = I_{rms}^2 R t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $I_{rms} = \frac{I}{\sqrt{2}}$ હોવાથી,$H_{AC} = \left(\frac{I}{\sqrt{2}}\right)^2 R t = \frac{I^2 R t}{2}$ થાય.
તેથી,ઉત્પન્ન થતી ઉષ્માનો ગુણોત્તર $\frac{H_{DC}}{H_{AC}} = \frac{I^2 R t}{I^2 R t / 2} = \frac{2}{1}$ મળે છે.

(C) $LCR$ શ્રેણી પરિપથમાં,મહત્તમ પ્રવાહ અનુનાદ (resonance) સમયે મળે છે,જ્યાં ઈમ્પિડન્સ $Z$ એ કોઈલના અવરોધ $R$ જેટલો હોય છે.
આપેલ છે: $V_{rms} = 24 \,V$ અને $I_{rms, max} = 6 \,A$.
અનુનાદ સમયે,$Z = R = V_{rms} / I_{rms, max} = 24 / 6 = 4 \,\Omega$.
આ $R = 4 \,\Omega$ એ કોઈલનો અવરોધ છે.
જ્યારે કોઈલને $E = 12 \,V$ ના $emf$ અને $r = 4 \,\Omega$ ના આંતરિક અવરોધ ધરાવતી $DC$ બેટરી સાથે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{total} = R + r = 4 \,\Omega + 4 \,\Omega = 8 \,\Omega$ થાય છે.
સ્થાયી અવસ્થામાં પ્રવાહ $I = E / R_{total} = 12 / 8 = 1.5 \,A$ મળે છે.

(D) $V(t) = V_0 \sin \omega t$ $AC$ વોલ્ટેજ સ્ત્રોત સાથે જોડાયેલ શ્રેણી $LR$ સર્કિટમાં,પ્રવાહ $I(t) = I_0 \sin(\omega t - \phi)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I_0 = \frac{V_0}{Z}$ અને $Z = \sqrt{R^2 + (\omega L)^2}$ છે.
પ્રવાહનો ટ્રાન્ઝિયન્ટ ભાગ,જેમાં $e^{-Rt/L}$ પદનો સમાવેશ થાય છે,તે $t \to \infty$ તરીકે શૂન્ય થઈ જાય છે કારણ કે $t_0 \gg \frac{L}{R}$ છે.
તેથી,ખૂબ લાંબા સમય પછી,માત્ર સ્થાયી-સ્થિતિ સાઇનસોઇડલ પ્રવાહ બાકી રહે છે,જે સ્ત્રોત વોલ્ટેજની સમાન આવૃત્તિ સાથે દોલન કરે છે પરંતુ $\phi = \tan^{-1}(\frac{\omega L}{R})$ જેટલો ફેઝ લેગ (કળા તફાવત) ધરાવે છે.
આ સ્થાયી-સ્થિતિ સાઇનસોઇડલ દોલનને અનુરૂપ છે.

(A) શ્રેણી $RLC$ સર્કિટમાં, ઇન્ડક્ટર પરનો વોલ્ટેજ $V_L = I X_L = I (2 \pi f L)$ છે અને કેપેસિટર પરનો વોલ્ટેજ $V_C = I X_C = I \left( \frac{1}{2 \pi f C} \right)$ છે.
આપેલ છે કે જેમ આવૃત્તિ $f$ બદલાય છે તેમ પ્રવાહ $I$ અચળ રાખવામાં આવે છે.
સમીકરણો પરથી, આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $V_L \propto f$, જે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા દર્શાવે છે.
તેમજ, $V_C \propto \frac{1}{f}$, જે લંબચોરસ હાયપરબોલા દર્શાવે છે.
તેથી, જે આલેખમાં $V_L$ એ $f$ સાથે રેખીય રીતે વધે છે અને $V_C$ એ $f$ સાથે હાયપરબોલિક રીતે ઘટે છે, તે સાચું નિરૂપણ છે.

(C) આપેલ અવરોધ $R = 100\,\Omega$,વોલ્ટેજ $V = 200\,V$ છે.
જ્યારે કેપેસિટર દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે સર્કિટ $L-R$ સર્કિટ બને છે. ફેઝ એંગલ $\phi = 60^o$ માટે $\tan 60^o = \frac{X_L}{R}$ થાય.
$\Rightarrow X_L = R \tan 60^o = 100 \times \sqrt{3} = 100\sqrt{3}\,\Omega$.
જ્યારે ઇન્ડક્ટર દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે સર્કિટ $C-R$ સર્કિટ બને છે. ફેઝ એંગલ $\phi = 60^o$ માટે $\tan 60^o = \frac{X_C}{R}$ થાય.
$\Rightarrow X_C = R \tan 60^o = 100 \times \sqrt{3} = 100\sqrt{3}\,\Omega$.
અહીં $X_L = X_C$ હોવાથી,સર્કિટ અનુનાદ (resonance) સ્થિતિમાં છે.
અનુનાદ સ્થિતિમાં,ઇમ્પીડન્સ $Z = R = 100\,\Omega$ થાય.
તેથી પ્રવાહ $I = \frac{V}{Z} = \frac{200}{100} = 2\,A$ મળે.

(A) સર્કિટનો કુલ અવરોધ $R$ એ તમામ વ્યક્તિગત અવરોધોનો સરવાળો છે: $R = 0.1 \, \Omega + 5.9 \, \Omega + 4 \, \Omega = 10 \, \Omega$.
ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = \omega L = 2000 \, rad/s \times 5 \times 10^{-3} \, H = 10 \, \Omega$ છે.
કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2000 \, rad/s \times 50 \times 10^{-6} \, F} = \frac{1}{0.1} = 10 \, \Omega$ છે.
$LCR$ સર્કિટનો ઈમ્પીડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા, $Z = \sqrt{10^2 + (10 - 10)^2} = \sqrt{100} = 10 \, \Omega$.
સર્કિટમાં વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{V}{Z} = \frac{20 \, V}{10 \, \Omega} = 2 \, A$ થાય.

(C) $dc$ સ્ત્રોત માટે: ઇન્ડક્ટર શોર્ટ સર્કિટ તરીકે વર્તે છે (માત્ર અવરોધ $R$). પાવર $P_{dc} = \frac{V^2}{R}$.
આપેલ છે $V = 10\, V$ અને $P_{dc} = 20\, W$,તેથી $R = \frac{10^2}{20} = \frac{100}{20} = 5\, \Omega$.
$ac$ સ્ત્રોત માટે: ઇમ્પીડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$,જ્યાં $X_L = 2\pi f L$.
પાવર $P_{ac} = \frac{V^2 R}{Z^2} = \frac{V^2 R}{R^2 + X_L^2}$.
આપેલ છે $P_{ac} = 10\, W$,તેથી $10 = \frac{10^2 \times 5}{5^2 + X_L^2} \Rightarrow 10 = \frac{500}{25 + X_L^2}$.
$25 + X_L^2 = 50 \Rightarrow X_L^2 = 25 \Rightarrow X_L = 5\, \Omega$.
કારણ કે $X_L = 2\pi f L$,તેથી $5 = 2 \times 3.14 \times f \times (10 \times 10^{-3})$.
$f = \frac{5}{2 \times 3.14 \times 0.01} = \frac{5}{0.0628} \approx 79.6\, Hz \approx 80\, Hz$.

(C) આપેલ વોલ્ટેજ સ્ત્રોત $E = 150 \sin(100t)$ છે,જ્યાં મહત્તમ વોલ્ટેજ $V_0 = 150 \, V$ છે.
આ ઉપકરણ હાફ-વેવ રેક્ટિફાયર તરીકે કામ કરે છે,જે માત્ર $AC$ ઇનપુટના ધન અર્ધ-ચક્ર દરમિયાન જ પ્રવાહને વહેવા દે છે.
હાફ-વેવ રેક્ટિફાઇડ પ્રવાહ માટે,$r.m.s.$ મૂલ્ય $i_{rms} = \frac{i_0}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $i_0$ એ મહત્તમ પ્રવાહ છે.
મહત્તમ પ્રવાહ $i_0 = \frac{V_0}{R} = \frac{150}{20} = 7.5 \, A$ છે.
તેથી,$i_{rms} = \frac{7.5}{2} = 3.75 \, A$ થાય.

(A) $R-L-C$ શ્રેણી પરિપથમાં,કળા તફાવત $\phi$ એ $\tan \phi = \frac{|X_L - X_C|}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે $L$ દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે પરિપથ $R-C$ પરિપથ બને છે. કળા તફાવત $\tan \phi = \frac{X_C}{R}$ છે. આપેલ છે કે $\phi = \pi/3$,તેથી $\tan(\pi/3) = \sqrt{3} = \frac{X_C}{R}$,એટલે કે $X_C = R\sqrt{3}$.
જ્યારે $C$ દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે પરિપથ $R-L$ પરિપથ બને છે. કળા તફાવત $\tan \phi = \frac{X_L}{R}$ છે. આપેલ છે કે $\phi = \pi/3$,તેથી $\tan(\pi/3) = \sqrt{3} = \frac{X_L}{R}$,એટલે કે $X_L = R\sqrt{3}$.
કારણ કે $X_L = X_C$,મૂળ $R-L-C$ પરિપથ અનુનાદ (resonance) સ્થિતિમાં છે.
અનુનાદ સમયે,ઈમ્પીડન્સ $Z = R$ થાય છે અને કળા તફાવત $\phi = 0$ થાય છે.
તેથી પાવર ફેક્ટર $\cos \phi = \cos(0) = 1$ થાય છે.

(D) વિધાન ખોટું છે કારણ કે ઓહ્મનો નિયમ $(V = IR)$ ઈમ્પિડન્સ $(Z)$ ના ખ્યાલનો ઉપયોગ કરીને $a.c.$ સર્કિટમાં લાગુ કરી શકાય છે। $a.c.$ સર્કિટ માટે, સંબંધ $V = IZ$ છે, જ્યાં $Z$ એ ઈમ્પિડન્સ છે.
કારણ પણ ખોટું છે કારણ કે કેપેસિટર દ્વારા આપવામાં આવતા અવરોધને કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $(X_C)$ કહેવામાં આવે છે, અવરોધ (Resistance) નહીં. જોકે તે સાચું છે કે $X_C = 1 / (2\pi fC)$ આવૃત્તિ પર આધાર રાખે છે, પરંતુ તેને સામાન્ય સર્કિટ થિયરીના સંદર્ભમાં 'અવરોધ' કહેવું તકનીકી રીતે અચોક્કસ છે, અને સમગ્ર વિધાન ખોટા વિધાનને યોગ્ય ઠેરવતું નથી.

(A) ટ્રાન્સમિશન લાઇન દ્વારા ટ્રાન્સમિટ થતો પાવર $P = VI$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $V$ એ વોલ્ટેજ છે અને $I$ એ પ્રવાહ છે.
અવરોધ $R$ ને કારણે ટ્રાન્સમિશન લાઇનમાં થતો પાવર વ્યય $P_{\text{loss}} = I^2R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$I = \frac{P}{V}$ મૂકતા, આપણને $P_{\text{loss}} = (\frac{P}{V})^2 R = \frac{P^2 R}{V^2}$ મળે છે.
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ છે કે $P_{\text{loss}} \propto \frac{1}{V^2}$.
તેથી, વોલ્ટેજ $V$ વધારીને, પાવર વ્યય $P_{\text{loss}}$ નોંધપાત્ર રીતે ઘટાડી શકાય છે.
આમ, વિધાન અને કારણ બંને સાચા છે, અને કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી છે.

(D) શ્રેણી $LCR$ સર્કિટમાં પીક પ્રવાહ $I_{\max} = \frac{\varepsilon_{\max}}{Z}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $Z = \sqrt{R^2 + (\omega L - \frac{1}{\omega C})^2}$.
શુદ્ધ અવરોધક ઘટકમાં,પ્રવાહ આવૃત્તિથી સ્વતંત્ર છે,પરંતુ શ્રેણી $LCR$ સર્કિટમાં,ઈમ્પીડન્સ $Z$ એ કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ પર આધાર રાખે છે.
જેમ $\omega$ વધે છે,તેમ પદ $(\omega L - \frac{1}{\omega C})^2$ બદલાય છે. ખાસ કરીને,પ્રવાહ $I_{\max}$ રેઝોનન્સ $(\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}})$ પર તેનું મહત્તમ મૂલ્ય પ્રાપ્ત કરે છે અને રેઝોનન્સથી બંને દિશામાં દૂર જતાં ઘટે છે.
તેથી,વિધાન કે પ્રવાહ હંમેશા કોણીય આવૃત્તિ વધવાથી વધે છે તે ખોટું છે.
આપેલ કારણ પીક પ્રવાહ માટેનું સાચું સૂત્ર છે,પરંતુ તે ખોટા વિધાનને સમર્થન આપતું નથી.
આમ,વિધાન ખોટું છે અને કારણ સાચું છે.

(N/A) હા, કિર્ચોફના વોલ્ટેજ નિયમ મુજબ લાગુ પાડવામાં આવેલ તત્કાલીન વોલ્ટેજ એ શ્રેણીબદ્ધ ઘટકો પરના તત્કાલીન વોલ્ટેજના બીજગણિતીય સરવાળા જેટલો હોય છે। જોકે, $rms$ વોલ્ટેજ માટે આ સાચું નથી કારણ કે વિવિધ ઘટકો પરના વોલ્ટેજ સામાન્ય રીતે સમાન કળામાં (phase) હોતા નથી।
$(b)$ ઇન્ડક્શન કોઈલની પ્રાઈમરી સર્કિટમાં કોન્ટેક્ટ બ્રેકર પર સ્પાર્કિંગ અટકાવવા માટે કેપેસિટરનો ઉપયોગ થાય છે। જ્યારે સર્કિટ તોડવામાં આવે છે, ત્યારે પ્રવાહમાં ઝડપી ફેરફાર પ્રાઈમરી કોઈલમાં ઉચ્ચ બેક $emf$ ઉત્પન્ન કરે છે, જે સંપર્કો પર સ્પાર્કનું કારણ બને છે। કેપેસિટર પ્રવાહ માટે માર્ગ પૂરો પાડે છે, ઉર્જા શોષી લે છે અને સ્પાર્ક અટકાવે છે।
$(c)$ $dc$ સિગ્નલ માટે, આવૃત્તિ $0$ છે। ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = 2\pi fL = 0$ છે, જ્યારે કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C = 1/(2\pi fC) \to \infty$ છે। તેથી, $dc$ વોલ્ટેજ $C$ પર ડ્રોપ થાય છે। ઉચ્ચ આવૃત્તિના $ac$ સિગ્નલ માટે, $X_L$ ખૂબ મોટું અને $X_C$ ખૂબ નાનું હોય છે। તેથી, $ac$ વોલ્ટેજ $L$ પર ડ્રોપ થાય છે।
$(d)$ જો $ac$ લાઇન સાથે જોડવામાં આવે, તો આયર્ન કોર દાખલ કરવાથી લેમ્પ ઓછો પ્રકાશિત થશે। આયર્ન કોર ચોકનું ઇન્ડક્ટન્સ $L$ વધારે છે, જે ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = 2\pi fL$ વધારે છે। આ સર્કિટનો કુલ ઇમ્પિડન્સ વધારે છે, જેનાથી પ્રવાહ ઘટે છે અને લેમ્પની તેજસ્વીતા ઘટે છે।
$(e)$ ફ્લોરોસન્ટ ટ્યુબ સર્કિટમાં પ્રવાહને મર્યાદિત કરવા માટે ચોક કોઈલનો ઉપયોગ થાય છે કારણ કે તેમાં ઉચ્ચ રિએક્ટન્સ અને ઓછો અવરોધ હોય છે, જેથી નોંધપાત્ર પાવરનો વ્યય થતો નથી। સામાન્ય અવરોધ ગરમીના સ્વરૂપમાં પાવરનો વ્યય $(I^2R)$ કરશે, જે બિનકાર્યક્ષમ છે।

(B) લાંબા અંતરના પાવર ટ્રાન્સમિશન માટે $D.C.$ વોલ્ટેજ કરતા $A.C.$ વોલ્ટેજને પસંદ કરવાનું મુખ્ય કારણ વોલ્ટેજ રૂપાંતરણની સરળતા છે.
ટ્રાન્સફોર્મરનો ઉપયોગ કરીને,$A.C.$ વોલ્ટેજને ટ્રાન્સમિશન માટે ખૂબ જ ઊંચા મૂલ્ય સુધી સરળતાથી વધારી શકાય છે,જે લાઈનોમાંથી વહેતા પ્રવાહ $(I)$ ને નોંધપાત્ર રીતે ઘટાડે છે.
ટ્રાન્સમિશન લાઈનોમાં પાવર લોસ $P_{loss} = I^2R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,તેથી પ્રવાહ ઘટાડવાથી ગરમીને કારણે થતા ઉર્જાના વ્યય ($I^2R$ લોસ) માં મોટો ઘટાડો થાય છે.
$D.C.$ વોલ્ટેજને સાદા ટ્રાન્સફોર્મરનો ઉપયોગ કરીને સરળતાથી વધારી કે ઘટાડી શકાતો નથી,જે તેને લાંબા અંતરના ટ્રાન્સમિશન માટે બિનકાર્યક્ષમ બનાવે છે.

(A) $AC$ સર્કિટમાં,વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ એ સમય સાથે બદલાતી રાશિઓ છે જેને ફરતા સદિશો (rotating vectors) તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
આ ફરતા સદિશોને ફેઝર (phasors) તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.
ફેઝર ડાયાગ્રામ એ એક ગ્રાફિકલ રજૂઆત છે જે $AC$ સર્કિટમાં ઓલ્ટરનેટિંગ કરંટ અને વોલ્ટેજ વચ્ચેનો ફેઝ સંબંધ દર્શાવે છે.
તે વોલ્ટેજ અને પ્રવાહના સદિશો વચ્ચેના ફેઝ તફાવત $\phi$ ને સમજવામાં મદદ કરે છે,જે અવરોધક,ઇન્ડક્ટર અને કેપેસિટર ધરાવતી $AC$ સર્કિટના વિશ્લેષણ માટે જરૂરી છે.

(A) બળપૂર્વકના દોલનો અનુભવતી યાંત્રિક સિસ્ટમમાં,વિકલ સમીકરણ $m \frac{d^2x}{dt^2} + b \frac{dx}{dt} + kx = F_0 \sin(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$LCR$ શ્રેણી સર્કિટમાં,વીજભાર $q$ માટેનું વિકલ સમીકરણ $L \frac{d^2q}{dt^2} + R \frac{dq}{dt} + \frac{q}{C} = V_0 \sin(\omega t)$ છે.
આ બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $LCR$ સર્કિટમાં વીજભાર $q$ એ યાંત્રિક સિસ્ટમમાં સ્થાનાંતર $x$ ને સમાન (analogous) છે.
તેથી,સ્થાનાંતર $x$ ને અનુરૂપ ભૌતિક રાશિ વીજભાર $q$ છે.

(A) $LCR$ શ્રેણી સર્કિટમાં,વિદ્યુતભાર $q$ માટેનું વિકલ સમીકરણ $L \frac{d^2q}{dt^2} + R \frac{dq}{dt} + \frac{q}{C} = E(t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ સમીકરણની સરખામણી બળપ્રેરિત યાંત્રિક દોલક,$m \frac{d^2x}{dt^2} + b \frac{dx}{dt} + kx = F(t)$ સાથે કરતા,આપણે અનુરૂપ રાશિઓ ઓળખી શકીએ છીએ.
સ્થાનાંતર $x$ ના દ્વિતીય વિકલન સાથેનું પદ $m \frac{d^2x}{dt^2}$ છે,જે વિદ્યુત સર્કિટમાં $L \frac{d^2q}{dt^2}$ ને અનુરૂપ છે.
તેથી,દળ $m$ ને અનુરૂપ ભૌતિક રાશિ સેલ્ફ-ઇન્ડક્ટન્સ $L$ છે.

(A) યાંત્રિક તંત્રમાં ફોર્સ્ડ ઓસિલેશન માટે ગતિનું સમીકરણ $m \frac{d^2x}{dt^2} + b \frac{dx}{dt} + kx = F_0 \cos(\omega t)$ છે,જ્યાં $b$ એ ડેમ્પિંગ કોન્સ્ટન્ટ છે.
$LCR$ શ્રેણી સર્કિટમાં,વિદ્યુતભાર $q$ માટેનું વિકલ સમીકરણ $L \frac{d^2q}{dt^2} + R \frac{dq}{dt} + \frac{q}{C} = V_0 \cos(\omega t)$ છે.
આ બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે ચલના પ્રથમ વિકલન સાથે સંકળાયેલ પદ (યાંત્રિકીમાં વેગ $\frac{dx}{dt}$ અને સર્કિટમાં પ્રવાહ $I = \frac{dq}{dt}$) એ ઉર્જાનો વ્યય કરતું ઘટક દર્શાવે છે.
તેથી,$LCR$ સર્કિટમાં અવરોધ $R$ એ ફોર્સ્ડ ઓસિલેશનમાં રહેલા ડેમ્પિંગ કોન્સ્ટન્ટ $b$ ને અનુરૂપ છે.

(A) આપેલ છે: પાવર $P = 2 \, kW = 2000 \, W$,$V_{rms} = 223 \, V$,$\tan \phi = -\frac{3}{4}$.
પ્રવાહ પાછળ હોવાથી,પરિપથ ઇન્ડક્ટિવ છે,એટલે કે $X_L > X_C$. તેથી,$\tan \phi = \frac{X_L - X_C}{R} = \frac{3}{4}$.
$Z = \frac{V^2}{P} = \frac{223^2}{2000} = \frac{50000}{2000} = 25 \, \Omega$.
$Z^2 = R^2 + (X_L - X_C)^2$ નો ઉપયોગ કરતા,$25^2 = R^2 + (\frac{3}{4}R)^2 = R^2 + \frac{9}{16}R^2 = \frac{25}{16}R^2$.
$625 = \frac{25}{16}R^2 \Rightarrow R^2 = 400 \Rightarrow R = 20 \, \Omega$.
$X_L - X_C = \frac{3}{4} \times 20 = 15 \, \Omega$. તેથી,$X_C - X_L = -15 \, \Omega$.
$I_M = \frac{V_m}{Z} = \frac{\sqrt{2} \times 223}{25} \approx 12.6 \, A$.
જો $R, X_L, X_C$ બમણા કરવામાં આવે,તો $Z' = \sqrt{(2R)^2 + (2(X_L - X_C))^2} = 2Z = 50 \, \Omega$.
$I' = \frac{V}{Z'} = \frac{I}{2} = 6.3 \, A$. પાવર $P' = V I' \cos \phi = \frac{P}{2} = 1 \, kW$.