Inductance, Capacitance and Resistance in Series and Parallel Questions in Gujarati

(C) $LCR$ સર્કિટની અનુનાદ આવૃત્તિનું સૂત્ર $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ છે.
અનુનાદ આવૃત્તિ સમાન રહેતી હોવાથી,$\omega_1 = \omega_2$ થાય.
તેથી,$\frac{1}{\sqrt{L_1 C_1}} = \frac{1}{\sqrt{L_2 C_2}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$L_1 C_1 = L_2 C_2$ મળે.
અહીં $L_1 = L$,$C_1 = C$,અને $C_2 = 4C$ આપેલ છે,આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$L \cdot C = L_2 \cdot (4C)$.
$L_2$ માટે ઉકેલતા,$L_2 = \frac{L \cdot C}{4C} = \frac{L}{4}$ મળે.

(C) $LCR$ શ્રેણી પરિપથ માટે ઇમ્પિડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $R = 100\, \Omega$,$L = 0.5\, H$,$C = 10 \times 10^{-6}\, F$,અને $f = 50\, Hz$.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2\pi f = 2 \times \pi \times 50 = 100\pi\, rad/s$.
ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = \omega L = 100\pi \times 0.5 = 50\pi \approx 157.08\, \Omega$.
કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{100\pi \times 10 \times 10^{-6}} = \frac{1}{10^{-3}\pi} = \frac{1000}{\pi} \approx 318.31\, \Omega$.
હવે,$Z = \sqrt{100^2 + (157.08 - 318.31)^2} = \sqrt{10000 + (-161.23)^2} = \sqrt{10000 + 25995.11} = \sqrt{35995.11} \approx 189.72\, \Omega$.

(C) શ્રેણી $R-L-C$ સર્કિટ માટે ઈમ્પીડન્સ $Z$ નું સૂત્ર: $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ છે.
પ્રથમ,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = \omega L = 1000 \times 0.9 = 900 \, \Omega$ ગણો.
ત્યારબાદ,કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{1000 \times 2.0 \times 10^{-6}} = \frac{10^6}{2000} = 500 \, \Omega$ ગણો.
હવે,આ કિંમતોને ઈમ્પીડન્સના સૂત્રમાં મૂકો:
$Z = \sqrt{300^2 + (900 - 500)^2}$
$Z = \sqrt{300^2 + 400^2}$
$Z = \sqrt{90000 + 160000} = \sqrt{250000} = 500 \, \Omega$.

(C) શ્રેણી $LCR$ પરિપથમાં,કુલ લાગુ પાડવામાં આવેલ વોલ્ટેજ $V$ એ ઘટકો પરના વોલ્ટેજના ફેઝર સરવાળા દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$V = \sqrt{V_R^2 + (V_L - V_C)^2}$
આપેલ છે:
$V_R = 5\, V$
$V_L = 10\, V$
$V_C = 10\, V$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$V = \sqrt{5^2 + (10 - 10)^2}$
$V = \sqrt{25 + 0^2}$
$V = \sqrt{25} = 5\, V$
તેથી,લાગુ પાડવામાં આવેલ $ac$ વોલ્ટેજ $5\, V$ છે.

(C) શ્રેણી $LCR$ પરિપથમાં,પ્રવાહ $I$ બધા ઘટકોમાંથી સમાન વહે છે.
$1$. અવરોધક $(V_R)$ ના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત પ્રવાહ સાથે સમાન કળામાં હોય છે.
$2$. ઇન્ડક્ટર $(V_L)$ ના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત પ્રવાહ કરતા $\pi / 2$ જેટલો આગળ હોય છે.
$3$. કેપેસિટર $(V_C)$ ના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત પ્રવાહ કરતા $\pi / 2$ જેટલો પાછળ હોય છે.
$4$. તેથી,$V_L$ અને $V_C$ વચ્ચેનો કળા તફાવત $\pi / 2 - (-\pi / 2) = \pi$ થાય છે.
આમ,કેપેસિટર અને ઇન્ડક્ટર વચ્ચેનો કળા તફાવત $\pi / 2$ છે તેવું વિધાન ખોટું છે.

(D) $LCR$ શ્રેણી સર્કિટનો ઇમ્પિડન્સ $Z$ એ $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $R = 11\,\Omega$,$X_L = 25\,\Omega$,$X_C = 18\,\Omega$.
કિંમતો મૂકતા: $Z = \sqrt{11^2 + (25 - 18)^2} = \sqrt{121 + 7^2} = \sqrt{121 + 49} = \sqrt{170} \approx 13.03\,\Omega$.
આશરે $Z \approx 13\,\Omega$ લેતા,સર્કિટમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I = V/Z = 260/13 = 20\,A$ થાય.

(A) શ્રેણી $LCR$ સર્કિટમાં,સપ્લાય વોલ્ટેજ $V$ એ ઘટકો પરના વ્યક્તિગત વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવતોના ફેઝર સરવાળા દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સૂત્ર છે: $V = \sqrt{V_R^2 + (V_L - V_C)^2}$
આપેલ છે:
$V_L = 60\,V$
$V_C = 30\,V$
$V_R = 40\,V$
કિંમતો મૂકતા:
$V = \sqrt{40^2 + (60 - 30)^2}$
$V = \sqrt{1600 + 30^2}$
$V = \sqrt{1600 + 900}$
$V = \sqrt{2500}$
$V = 50\,V$
તેથી,સપ્લાય વોલ્ટેજ $50\,V$ છે.

(D) $LCR$ શ્રેણી $ac$ સર્કિટમાં,ઇન્ડક્ટર પરનો વોલ્ટેજ $(V_L)$ અને કેપેસિટર પરનો વોલ્ટેજ $(V_C)$ એકબીજા સાથે $180^{\circ}$ ના કળા તફાવત (phase difference) પર હોય છે.
આપેલ છે કે $V_L = 50\,V$ અને $V_C = 50\,V$.
$LC$ સંયોજન પરનો કુલ વોલ્ટેજ ફેઝર સરવાળા દ્વારા મળે છે: $V_{LC} = |V_L - V_C|$.
કિંમતો મૂકતા: $V_{LC} = |50\,V - 50\,V| = 0\,V$.
તેથી,$LC$ સંયોજન પરનો વોલ્ટેજ $0\,V$ થશે.

(C) આ સર્કિટ એક $LCR$ શ્રેણી સર્કિટ છે જે $200 \ V$ ના $AC$ સ્ત્રોત સાથે જોડાયેલ છે.
આકૃતિ પરથી,ઇન્ડક્ટર પરનો વોલ્ટેજ $V_L = 100 \ V$ છે અને કેપેસિટર પરનો વોલ્ટેજ $V_C = 100 \ V$ છે.
$LCR$ શ્રેણી સર્કિટમાં કુલ વોલ્ટેજ $V_{total}$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$V_{total}^2 = V_R^2 + (V_L - V_C)^2$
અહીં $V_{total} = 200 \ V$,$V_L = 100 \ V$,અને $V_C = 100 \ V$ આપેલ છે.
આ કિંમતો મૂકતા:
$(200)^2 = V_R^2 + (100 - 100)^2$
$40000 = V_R^2 + 0$
$V_R = 200 \ V$
વોલ્ટમીટર $V$ એ અવરોધક (resistor) ની આસપાસ જોડાયેલ છે,તેથી તેનું રીડિંગ $V_R$ જેટલું હશે.
તેથી,વોલ્ટમીટરનું રીડિંગ $200 \ V$ છે.

(D) $LCR$ શ્રેણી પરિપથમાં, જ્યારે કેપેસિટર દૂર કરવામાં આવે છે, ત્યારે પરિપથ $LR$ પરિપથ બને છે. ફેઝ એંગલ $\tan \phi = \frac{X_L}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે। $\phi = 60^o$ આપેલ હોવાથી, $\tan 60^o = \frac{X_L}{R} \Rightarrow X_L = R \sqrt{3}$.
જ્યારે ઇન્ડક્ટર દૂર કરવામાં આવે છે, ત્યારે પરિપથ $RC$ પરિપથ બને છે. ફેઝ એંગલ $\tan \phi = \frac{X_C}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે। $\phi = 60^o$ આપેલ હોવાથી, $\tan 60^o = \frac{X_C}{R} \Rightarrow X_C = R \sqrt{3}$.
$X_L = X_C$ હોવાથી, બંને ઘટકો હાજર હોય ત્યારે પરિપથ અનુનાદ (resonance) સ્થિતિમાં હોય છે.
અનુનાદ સમયે, ઇમ્પિડન્સ $Z = R = 100 \, \Omega$.
સરેરાશ પાવર વ્યય $P = \frac{V^2}{R} = \frac{200^2}{100} = \frac{40000}{100} = 400 \, W$ થાય છે.

(C) આ સર્કિટમાં $X_L = 30 \, \Omega$ ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ ધરાવતું ઇન્ડક્ટર અને $X_C = 20 \, \Omega$ કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ ધરાવતું કેપેસિટર $V = 90 \, V$ ના $AC$ સ્ત્રોત સાથે સમાંતર જોડાયેલ છે.
ઇન્ડક્ટરમાંથી વહેતો પ્રવાહ $i_L = \frac{V}{X_L} = \frac{90}{30} = 3 \, A$ છે.
કેપેસિટરમાંથી વહેતો પ્રવાહ $i_C = \frac{V}{X_C} = \frac{90}{20} = 4.5 \, A$ છે.
ઇન્ડક્ટરમાં પ્રવાહ વોલ્ટેજ કરતા $90^\circ$ પાછળ હોય છે અને કેપેસિટરમાં પ્રવાહ વોલ્ટેજ કરતા $90^\circ$ આગળ હોય છે,તેથી આ પ્રવાહો વિરુદ્ધ કળામાં છે.
સર્કિટમાંથી વહેતો કુલ પ્રવાહ $i = |i_C - i_L| = |4.5 - 3| = 1.5 \, A$ છે.
સર્કિટનું ઈમ્પિડન્સ $Z = \frac{V}{i} = \frac{90}{1.5} = 60 \, \Omega$ થાય.

(C) શ્રેણી $LCR$ સર્કિટનો ઈમ્પિડન્સ $(Z)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$Z = \sqrt{R^2 + \left( 2\pi fL - \frac{1}{2\pi fC} \right)^2}$
$1$. ઓછી આવૃત્તિઓ પર $(f \to 0)$,કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ $X_C = \frac{1}{2\pi fC}$ ખૂબ મોટું થઈ જાય છે,તેથી $Z \to \infty$ થાય છે.
$2$. રેઝોનન્ટ આવૃત્તિ $f_r = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}$ પર,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = 2\pi fL$ એ કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ $X_C$ જેટલું થાય છે,જેનાથી પદ $(X_L - X_C) = 0$ બને છે. આમ,ઈમ્પિડન્સ તેનું ન્યૂનતમ મૂલ્ય $Z = R$ પ્રાપ્ત કરે છે.
$3$. ઊંચી આવૃત્તિઓ પર $(f > f_r)$,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = 2\pi fL$ ખૂબ મોટું થઈ જાય છે,જેના કારણે $Z$ ફરીથી વધવા લાગે છે.
તેથી,$Z$ વિરુદ્ધ $f$ નો આલેખ ઊંચા મૂલ્યથી શરૂ થાય છે,$f_r$ પર ન્યૂનતમ થાય છે અને પછી વધે છે. આ વર્તણૂક આલેખ $C$ દ્વારા યોગ્ય રીતે દર્શાવવામાં આવી છે.

(B) $RL$ પરિપથ માટે,કળા તફાવત $\phi = \pi / 3$ છે. કળા તફાવતનું ટેન્જન્ટ $\tan \phi = \frac{X_L}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$\tan(\pi / 3) = \frac{X_L}{R} \implies \sqrt{3} = \frac{X_L}{100} \implies X_L = 100\sqrt{3} \ \Omega$.
$RC$ પરિપથ માટે,કળા તફાવત $\phi = \pi / 3$ છે. કળા તફાવતનું ટેન્જન્ટ $\tan \phi = \frac{X_C}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$\tan(\pi / 3) = \frac{X_C}{R} \implies \sqrt{3} = \frac{X_C}{100} \implies X_C = 100\sqrt{3} \ \Omega$.
$LCR$ પરિપથમાં,ઇમ્પિડન્સ $Z$ નું સૂત્ર $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ છે.
અહીં $X_L = X_C$ હોવાથી,$(X_L - X_C) = 0$ થાય.
તેથી,$Z = \sqrt{R^2 + 0} = R = 100 \ \Omega$.

(B) આપેલ છે: $R = X_L$ અને $R = 2X_C$,જેનો અર્થ છે કે $X_L = R$ અને $X_C = \frac{R}{2}$.
$LCR$ શ્રેણી પરિપથનો ઇમ્પિડન્સ $Z$ નીચે મુજબ છે: $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$.
કિંમતો મૂકતા: $Z = \sqrt{R^2 + (R - \frac{R}{2})^2} = \sqrt{R^2 + (\frac{R}{2})^2} = \sqrt{R^2 + \frac{R^2}{4}} = \sqrt{\frac{5R^2}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}R$.
કળા તફાવત $\phi$ માટેનું સૂત્ર: $\tan \phi = \frac{X_L - X_C}{R}$.
કિંમતો મૂકતા: $\tan \phi = \frac{R - \frac{R}{2}}{R} = \frac{R/2}{R} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\phi = \tan^{-1}(\frac{1}{2})$.
આમ,ઇમ્પિડન્સ $\frac{\sqrt{5}}{2}R$ છે અને કળા તફાવત $\tan^{-1}(\frac{1}{2})$ છે.

(C) આ પરિપથમાં એક ઇન્ડક્ટર અને એક કેપેસિટર $90 \; V$ ના $AC$ ઉદગમ સાથે સમાંતર જોડેલા છે.
ઇન્ડક્ટર શાખા માટે,પ્રવાહ $I_L = \frac{V}{X_L} = \frac{90}{30} = 3 \; A$ છે.
કેપેસિટર શાખા માટે,પ્રવાહ $I_C = \frac{V}{X_C} = \frac{90}{20} = 4.5 \; A$ છે.
ઇન્ડક્ટર અને કેપેસિટરમાં વહેતા પ્રવાહો એકબીજાથી $180^{\circ}$ ના કળા તફાવત પર હોવાથી,ઉદગમમાંથી ખેંચાતો કુલ પ્રવાહ $I = |I_C - I_L| = |4.5 - 3| = 1.5 \; A$ થાય.
સમાંતર પરિપથનો ઇમ્પિડન્સ $Z = \frac{V}{I} = \frac{90}{1.5} = 60 \; \Omega$ મળે છે.

(A) $LCR$ શ્રેણી પરિપથમાં કળા તફાવત $\phi$ નું સૂત્ર $\tan \phi = \frac{X_C - X_L}{R}$ છે.
અહીં પ્રવાહ વોલ્ટેજ કરતાં આગળ હોવાથી, પરિપથ કેપેસિટિવ છે, એટલે કે $X_C > X_L$. કળા તફાવત $\phi = 45^{\circ}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\tan 45^{\circ} = \frac{X_C - X_L}{R}$.
$\tan 45^{\circ} = 1$ હોવાથી, $1 = \frac{\frac{1}{2\pi fC} - 2\pi fL}{R}$ મળે.
પદોને ગોઠવતા: $R = \frac{1}{2\pi fC} - 2\pi fL$.
$\frac{1}{2\pi fC} = 2\pi fL + R$.
તેથી, $C = \frac{1}{2\pi f(2\pi fL + R)}$.

(A) જ્યારે $L$ દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે પરિપથ $RC$ પરિપથ બને છે. કળા તફાવત $\phi_1$ એ $\tan \phi_1 = \frac{X_C}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\phi_1 = \pi / 3$,તેથી $\tan(\pi / 3) = \frac{X_C}{R} \implies X_C = R \sqrt{3}$.
જ્યારે $C$ દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે પરિપથ $RL$ પરિપથ બને છે. કળા તફાવત $\phi_2$ એ $\tan \phi_2 = \frac{X_L}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\phi_2 = \pi / 3$,તેથી $\tan(\pi / 3) = \frac{X_L}{R} \implies X_L = R \sqrt{3}$.
અહીં $X_L = X_C$ હોવાથી,પરિપથ અનુનાદ (resonance) સ્થિતિમાં છે.
શ્રેણી $LCR$ પરિપથમાં,ઈમ્પીડન્સ $Z$ એ $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$X_L = X_C$ મૂકતા,આપણને $Z = \sqrt{R^2 + 0} = R$ મળે છે.
પાવર ફેક્ટર $\cos \phi = \frac{R}{Z} = \frac{R}{R} = 1$ થાય છે.

(D) આપેલ છે: $L = 20 \, mH = 20 \times 10^{-3} \, H$,$C = 50 \, \mu F = 50 \times 10^{-6} \, F$,$R = 40 \, \Omega$,$V = 10 \, \sin \, 340t$.
$V = V_0 \sin \omega t$ સાથે સરખાવતા,$V_0 = 10 \, V$ અને $\omega = 340 \, rad/s$ મળે છે.
ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = \omega L = 340 \times 20 \times 10^{-3} = 6.8 \, \Omega$.
કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{340 \times 50 \times 10^{-6}} = \frac{10^6}{17000} \approx 58.82 \, \Omega$.
ઇમ્પિડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + (X_C - X_L)^2} = \sqrt{40^2 + (58.82 - 6.8)^2} = \sqrt{1600 + (52.02)^2} = \sqrt{1600 + 2706.08} = \sqrt{4306.08} \approx 65.62 \, \Omega$.
પીક પ્રવાહ $I_0 = \frac{V_0}{Z} = \frac{10}{65.62} \, A$.
પાવર ફેક્ટર $\cos \phi = \frac{R}{Z} = \frac{40}{65.62}$.
પાવરનો વ્યય $P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi = \frac{1}{2} V_0 I_0 \cos \phi = \frac{1}{2} \times 10 \times \frac{10}{65.62} \times \frac{40}{65.62} = \frac{2000}{4306} \approx 0.46 \, W$.

(B) $LC$ સર્કિટની રેઝોનન્ટ ફ્રીક્વન્સી $\nu = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને માટે એક જ કેપેસીટર $C$ નો ઉપયોગ થતો હોવાથી,આપણને $\nu \propto \frac{1}{\sqrt{L}}$ મળે છે.
શોર્ટ વેવની તરંગલંબાઇ ટૂંકી હોય છે $(\lambda_s < \lambda_m)$,જેનો અર્થ છે કે તેમની આવૃત્તિ વધારે હોય છે $(\nu_s > \nu_m)$,કારણ કે $\nu = \frac{c}{\lambda}$.
જેથી $\nu_s > \nu_m$ હોવાથી,$\frac{1}{\sqrt{L_s}} > \frac{1}{\sqrt{L_m}}$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા અને સાદું રૂપ આપતા,આપણને $L_s < L_m$ મળે છે.

(C) આપેલ સર્કિટ આકૃતિ પરથી,અવરોધ $R = 10 \ \Omega$,ઇન્ડક્ટન્સ $L = 0.1 \ H$,અને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 100 \ rad/s$ છે.
પાવર ફેક્ટર $\cos \phi = \frac{R}{Z} = \frac{R}{\sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $Z = R\sqrt{2}$,તેથી $R^2 + (X_L - X_C)^2 = 2R^2$,જેનું સાદું રૂપ $(X_L - X_C)^2 = R^2$ થાય છે.
આમ,$X_L - X_C = \pm R$.
અહીં $X_L = \omega L = 100 \times 0.1 = 10 \ \Omega$.
કિસ્સો $1$: $10 - X_C = 10 \implies X_C = 0$ (જે શક્ય નથી).
કિસ્સો $2$: $10 - X_C = -10 \implies X_C = 20 \ \Omega$.
કારણ કે $X_C = \frac{1}{\omega C}$,તેથી $20 = \frac{1}{100 \times C}$.
$C = \frac{1}{2000} \ F = 0.5 \times 10^{-3} \ F = 500 \ \mu F$.

(D) $L-R$ પરિપથ માટે: $\cos \phi_1 = \frac{R_1}{Z_1} = 0.6 = \frac{3}{5}$. તેથી,$\sin \phi_1 = \frac{X_L}{Z_1} = 0.8 = \frac{4}{5}$. આમ,$X_L = \frac{4}{3} R_1$.
$C-R$ પરિપથ માટે: $\cos \phi_2 = \frac{R_2}{Z_2} = 0.5 = \frac{1}{2}$. તેથી,$\sin \phi_2 = \frac{X_C}{Z_2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. આમ,$X_C = \sqrt{3} R_2$.
જ્યારે શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે,ત્યારે પરિપથ $L-C-R$ પરિપથ બને છે. પાવર ફેક્ટર $1$ હોવા માટે,પરિપથ અનુનાદ (resonance) સ્થિતિમાં હોવો જોઈએ,એટલે કે $X_L = X_C$.
રિએક્ટન્સને સરખાવતા: $\frac{4}{3} R_1 = \sqrt{3} R_2$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{R_1}{R_2} = \frac{3\sqrt{3}}{4}$.

(D) પરિપથમાં અવરોધ $R$ એ ઇન્ડક્ટર $L$ અને કેપેસિટર $C$ ના શ્રેણી જોડાણ સાથે સમાંતરમાં છે.
મહત્તમ વોલ્ટેજ $V_0 = 200 \, \text{V}$ છે. તેથી $RMS$ વોલ્ટેજ $V_{\text{rms}} = \frac{V_0}{\sqrt{2}} = \frac{200}{\sqrt{2}} = 100\sqrt{2} \, \text{V}$ થાય.
અવરોધમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I_R = \frac{V_{\text{rms}}}{R} = \frac{100\sqrt{2}}{100} = \sqrt{2} \, \text{A}$ છે.
$LC$ શાખામાંથી વહેતો પ્રવાહ $I_{LC} = \frac{V_{\text{rms}}}{|X_L - X_C|} = \frac{100\sqrt{2}}{|200 - 100|} = \frac{100\sqrt{2}}{100} = \sqrt{2} \, \text{A}$ છે.
અવરોધમાંથી વહેતો પ્રવાહ વોલ્ટેજ સાથે સમાન કળામાં હોય છે અને $LC$ શાખામાંથી વહેતો પ્રવાહ વોલ્ટેજ સાથે $90^\circ$ ના કળા તફાવતે હોય છે,તેથી કુલ $RMS$ પ્રવાહ $I_{\text{rms}} = \sqrt{I_R^2 + I_{LC}^2}$ દ્વારા મળે છે.
$I_{\text{rms}} = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{2 + 2} = \sqrt{4} = 2 \, \text{A}$.

(D) શરૂઆતની શ્રેણી $LR$ સર્કિટમાં,ઈમ્પીડન્સ $Z_1 = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ છે.
આપેલ છે કે $X_L = 3R$,તેથી $Z_1 = \sqrt{R^2 + (3R)^2} = \sqrt{10R^2} = R\sqrt{10}$.
પ્રારંભિક પાવર ફેક્ટર $\cos \phi_1 = \frac{R}{Z_1} = \frac{R}{R\sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}}$ છે.
જ્યારે $X_C = R$ ધરાવતો કેપેસિટર શ્રેણીમાં ઉમેરવામાં આવે છે,ત્યારે સર્કિટ $LCR$ સર્કિટ બને છે.
નવો ઈમ્પીડન્સ $Z_2 = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$Z_2 = \sqrt{R^2 + (3R - R)^2} = \sqrt{R^2 + (2R)^2} = \sqrt{5R^2} = R\sqrt{5}$.
નવો પાવર ફેક્ટર $\cos \phi_2 = \frac{R}{Z_2} = \frac{R}{R\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$ છે.
નવા પાવર ફેક્ટર અને જૂના પાવર ફેક્ટરનો ગુણોત્તર $\frac{\cos \phi_2}{\cos \phi_1} = \frac{1/\sqrt{5}}{1/\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{5}} = \sqrt{2}$ થાય છે.

(A) શ્રેણી $LCR$ સર્કિટમાં,પ્રવાહ $I$ બધા ઘટકોમાંથી સમાન વહે છે.
દરેક ઘટક પરનો પોટેન્શિયલ તફાવત $V_R = I \cdot R$,$V_L = I \cdot X_L$,અને $V_C = I \cdot X_C$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $R = 11 \, \Omega$,$X_L = 120 \, \Omega$,$X_C = 120 \, \Omega$.
કુલ ઇમ્પિડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} = \sqrt{11^2 + (120 - 120)^2} = 11 \, \Omega$.
પ્રવાહ $I = V / Z = 110 / 11 = 10 \, A$.
હવે,પોટેન્શિયલ તફાવતની ગણતરી કરતા:
$V_R = I \cdot R = 10 \times 11 = 110 \, V$.
$V_L = I \cdot X_L = 10 \times 120 = 1200 \, V$.
$V_C = I \cdot X_C = 10 \times 120 = 1200 \, V$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા,$V_R = 110 \, V$ એ ન્યૂનતમ પોટેન્શિયલ તફાવત છે.

(A) અનુનાદ સમયે, પરિપથમાં પ્રવાહ $I_{rms} = \frac{V_R}{R} = \frac{60 \, V}{120 \, \Omega} = 0.5 \, A$ થાય.
ઇન્ડક્ટર પરનો વોલ્ટેજ $V_L = I_{rms} \times X_L = I_{rms} \times (\omega L)$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $40 = 0.5 \times (4 \times 10^3) \times L.$
$40 = 2000 \times L \implies L = \frac{40}{2000} = 0.02 \, H = 20 \, mH.$
અનુનાદ સમયે, કેપેસિટર પરનો વોલ્ટેજ $V_C$ એ ઇન્ડક્ટર પરના વોલ્ટેજ $V_L$ જેટલો જ હોય છે, તેથી $V_C = 40 \, V.$
$V_C = I_{rms} \times X_C = I_{rms} \times \left(\frac{1}{\omega C}\right).$
$40 = 0.5 \times \left(\frac{1}{4 \times 10^3 \times C}\right).$
$40 = \frac{0.5}{4000 \times C} \implies C = \frac{0.5}{4000 \times 40} = \frac{0.5}{160000} = \frac{1}{320000} \, F.$
$C = \frac{1}{320000} \times 10^6 \, \mu F = \frac{100}{32} \, \mu F = 3.125 \, \mu F = \frac{25}{8} \, \mu F.$

(C) આ સર્કિટમાં $X_L = 24 \ \Omega$ ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ ધરાવતું ઇન્ડક્ટર અને $X_C = 48 \ \Omega$ કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ ધરાવતું કેપેસિટર $240 \ V$ ના $AC$ સોર્સ સાથે સમાંતર જોડેલા છે.
ઇન્ડક્ટરમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I_L = \frac{V}{X_L} = \frac{240}{24} = 10 \ A$ છે.
કેપેસિટરમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I_C = \frac{V}{X_C} = \frac{240}{48} = 5 \ A$ છે.
સમાંતર $LC$ સર્કિટમાં,પ્રવાહ $I_L$ અને $I_C$ એકબીજાથી $180^{\circ}$ ના ફેઝ તફાવત પર હોય છે. તેથી,એમીટર દ્વારા માપવામાં આવતો કુલ પ્રવાહ $I$ એ બંને પ્રવાહોના તફાવતનું મૂલ્ય છે:
$I = |I_L - I_C| = |10 \ A - 5 \ A| = 5 \ A$.

(B) આપેલ છે: $R = X_L = 2X_C$.
આપેલ સંબંધ પરથી,આપણી પાસે $X_L = R$ અને $X_C = R/2$ છે.
શ્રેણી $LCR$ પરિપથનો ઈમ્પીડન્સ $Z$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$
કિંમતો મૂકતા:
$Z = \sqrt{R^2 + (R - R/2)^2} = \sqrt{R^2 + (R/2)^2} = \sqrt{R^2 + R^2/4} = \sqrt{5R^2/4} = \frac{\sqrt{5}R}{2}$.
કળા તફાવત $\phi$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$\tan \phi = \frac{X_L - X_C}{R}$
કિંમતો મૂકતા:
$\tan \phi = \frac{R - R/2}{R} = \frac{R/2}{R} = 1/2$.
તેથી,$\phi = \tan^{-1}(1/2)$.
આમ,ઈમ્પીડન્સ $\frac{\sqrt{5}R}{2}$ છે અને કળા તફાવત $\tan^{-1}(1/2)$ છે.

(D) આ સર્કિટમાં બે સમાંતર શાખાઓ છે જે $AC$ સ્ત્રોત $V = V_0 \sin(\omega t)$ સાથે જોડાયેલ છે.
શાખા $1$ માં $R$ અને $X_L$ શ્રેણીમાં છે. બિંદુ $A$ પાસેનું પોટેન્શિયલ (નીચેના વાયરની સાપેક્ષમાં) ઇન્ડક્ટર પરનો વોલ્ટેજ છે: $V_A = V_0 \frac{X_L}{\sqrt{R^2 + X_L^2}} \sin(\omega t + \phi)$,જ્યાં $\tan \phi = R/X_L$.
શાખા $2$ માં $R$ અને $X_C$ શ્રેણીમાં છે. બિંદુ $B$ પાસેનું પોટેન્શિયલ (નીચેના વાયરની સાપેક્ષમાં) કેપેસિટર પરનો વોલ્ટેજ છે: $V_B = V_0 \frac{X_C}{\sqrt{R^2 + X_C^2}} \sin(\omega t - \phi)$,જ્યાં $\tan \phi = R/X_C$.
આપેલ છે કે $R_1 = R_2 = R$ અને $X_L = X_C = X$,ધારો કે $Z = \sqrt{R^2 + X^2}$. તો $V_A = \frac{V_0 X}{Z} \sin(\omega t + \phi)$ અને $V_B = \frac{V_0 X}{Z} \sin(\omega t - \phi)$.
પોટેન્શિયલ તફાવત $V_A - V_B = \frac{V_0 X}{Z} [\sin(\omega t + \phi) - \sin(\omega t - \phi)] = \frac{V_0 X}{Z} [2 \cos(\omega t) \sin(\phi)]$.
કારણ કે $\sin \phi = R/Z$,તેથી $V_A - V_B = \frac{V_0 X}{Z} [2 \cos(\omega t) \frac{R}{Z}] = \frac{2 V_0 X R}{Z^2} \cos(\omega t) = \frac{2 V_0 X R}{R^2 + X^2} \cos(\omega t)$.
પીક મૂલ્ય $V_{peak} = \frac{2 V_0 X R}{R^2 + X^2}$ છે. $RMS$ મૂલ્ય $V_{RMS} = \frac{V_{peak}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} V_0 X R}{R^2 + X^2}$ થાય.

(A) $RLC$ શ્રેણી પરિપથમાં મહત્તમ પ્રવાહ $I_0 = \frac{V_0}{Z}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $Z$ એ પરિપથનો ઈમ્પીડન્સ (અડચણ) છે.
પરિપથમાં પ્રવાહ $i(t) = I_0 \sin(\omega t - \phi)$ છે.
કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $q(t)$ અને પ્રવાહ $i(t)$ વચ્ચેનો સંબંધ $i = \frac{dq}{dt}$ છે.
પ્રવાહનું સંકલન કરતા,આપણને મળે છે $q(t) = \int i(t) dt = \int I_0 \sin(\omega t - \phi) dt = -\frac{I_0}{\omega} \cos(\omega t - \phi)$.
કેપેસિટર પરનો મહત્તમ વિદ્યુતભાર $Q_0$ એ આ સમીકરણનો કંપવિસ્તાર છે:
$Q_0 = \frac{I_0}{\omega}$.
$I_0 = \frac{V_0}{Z}$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$Q_0 = \frac{V_0}{\omega Z}$.

(B) આપેલ છે: $R = 8.0\ \Omega$,$C = 5.0\ \mu F = 5.0 \times 10^{-6}\ F$,$L = 50.0\ mH = 50.0 \times 10^{-3}\ H$.
અનુનાદ આવૃત્તિ $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} = \frac{1}{\sqrt{50 \times 10^{-3} \times 5 \times 10^{-6}}} = 2000\ rad/s$.
કાર્યકારી આવૃત્તિ $\omega = \frac{1}{2} \omega_0 = 1000\ rad/s$.
ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = \omega L = 1000 \times 50 \times 10^{-3} = 50\ \Omega$.
કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{1000 \times 5 \times 10^{-6}} = 200\ \Omega$.
ઇમ્પિડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} = \sqrt{8^2 + (50 - 200)^2} = \sqrt{64 + 22500} = \sqrt{22564} \approx 150.21\ \Omega$.
$I_{rms} = \frac{V_{rms}}{Z} = \frac{400}{150.21} \approx 2.663\ A$.
પાવર $P = I_{rms}^2 R = (2.663)^2 \times 8 \approx 56.72\ W$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં,$P \approx 57\ W$.

(D) શ્રેણી $LCR$ સર્કિટમાં,કુલ વોલ્ટેજ $V$ એ $V = \sqrt{V_R^2 + (V_L - V_C)^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $V = 220 \ V$,$V_L = 300 \ V$,$V_C = 300 \ V$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા: $220 = \sqrt{V_R^2 + (300 - 300)^2}$.
$220 = \sqrt{V_R^2 + 0^2} = V_R$.
આમ,અવરોધ પરના વોલ્ટમીટરનું રીડિંગ $V_R = 220 \ V$ છે.
સર્કિટમાં પ્રવાહ $I$ એ $I = \frac{V_R}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$R = 100 \ \Omega$ આપેલ હોવાથી,$I = \frac{220 \ V}{100 \ \Omega} = 2.2 \ A$.
તેથી,રીડિંગ્સ $220 \ V$ અને $2.2 \ A$ છે.

(A) આપેલ સર્કિટ પરથી,વોલ્ટેજ $V = 200 \sin(100t) \, V$ છે. આને $V = V_m \sin(\omega t)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $V_m = 200 \, V$ અને $\omega = 100 \, rad/s$ મળે છે.
$RMS$ વોલ્ટેજ $V_{\text{rms}} = \frac{V_m}{\sqrt{2}} = \frac{200}{\sqrt{2}} = 100\sqrt{2} \, V$ છે.
સર્કિટના ઘટકો $R = 50 \, \Omega$,$L = 0.5 \, H$,અને $C = 100 \, \mu F = 100 \times 10^{-6} \, F$ છે.
ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = \omega L = 100 \times 0.5 = 50 \, \Omega$.
કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{100 \times 100 \times 10^{-6}} = \frac{1}{0.01} = 100 \, \Omega$.
$LCR$ સર્કિટનો ઇમ્પિડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$Z = \sqrt{50^2 + (50 - 100)^2} = \sqrt{50^2 + (-50)^2} = \sqrt{2500 + 2500} = \sqrt{5000} = 50\sqrt{2} \, \Omega$.
અસરકારક $(RMS)$ પ્રવાહ $I_{\text{rms}} = \frac{V_{\text{rms}}}{Z} = \frac{100\sqrt{2}}{50\sqrt{2}} = 2 \, A$ છે.

(C) શ્રેણી $LCR$ પરિપથમાં,કુલ લાગુ પાડેલ વોલ્ટેજ $V$ એ અવરોધ $(V_R)$,ઇન્ડક્ટર $(V_L)$ અને કેપેસિટર $(V_C)$ ના વોલ્ટેજના ફેઝર સરવાળા દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સૂત્ર છે: $V = \sqrt{V_R^2 + (V_L - V_C)^2}$
આકૃતિ પરથી આપેલ કિંમતો:
$V_R = 40 \, V$
$V_L = 50 \, V$
$V_C = 20 \, V$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$V = \sqrt{(40)^2 + (50 - 20)^2}$
$V = \sqrt{40^2 + 30^2}$
$V = \sqrt{1600 + 900}$
$V = \sqrt{2500}$
$V = 50 \, V$
તેથી,લાગુ પાડેલ સ્ત્રોતનો વોલ્ટેજ $50 \, V$ છે.

(A) આપેલ પરિપથ એ શ્રેણી $LCR$ પરિપથ છે જેમાં અવરોધ $R = 18 \ \Omega$,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = 40 \ \Omega$ અને કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C = 16 \ \Omega$ છે.
શ્રેણી $LCR$ પરિપથના ઈમ્પીડન્સ $Z$ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$Z = \sqrt{18^2 + (40 - 16)^2}$
$Z = \sqrt{18^2 + 24^2}$
$Z = \sqrt{324 + 576}$
$Z = \sqrt{900}$
$Z = 30 \ \Omega$
તેથી,પરિપથનો ઈમ્પીડન્સ $30 \ \Omega$ છે.

(B) આપેલ પરિપથ પરથી,વોલ્ટેજ $V = 200\sqrt{2} \sin(300t)$ છે,તેથી $RMS$ વોલ્ટેજ $V_{rms} = 200 \, V$ અને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 300 \, rad/s$ છે.
આપેલ છે કે $R = 3000 \, \Omega$,$L = \frac{50}{3} \, H$,અને $C = \frac{10}{3} \, \mu F = \frac{10}{3} \times 10^{-6} \, F$.
ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_{L} = \omega L = 300 \times \frac{50}{3} = 5000 \, \Omega$.
કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_{C} = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{300 \times \frac{10}{3} \times 10^{-6}} = \frac{1}{10^{-3}} = 1000 \, \Omega$.
ઇમ્પિડન્સ $Z = \sqrt{R^{2} + (X_{L} - X_{C})^{2}} = \sqrt{3000^{2} + (5000 - 1000)^{2}} = \sqrt{3000^{2} + 4000^{2}} = 5000 \, \Omega$.
વપરાતો સરેરાશ પાવર $P = I_{rms}^{2} R = \left(\frac{V_{rms}}{Z}\right)^{2} R$ છે.
$P = \left(\frac{200}{5000}\right)^{2} \times 3000 = \left(\frac{1}{25}\right)^{2} \times 3000 = \frac{3000}{625} = 4.8 \, W$.

(C) પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{total} = R_1 + R_2 = 44 \,\Omega + 36 \,\Omega = 80 \,\Omega$ છે.
પરિપથનો કુલ રિએક્ટન્સ $X_{total} = X_L - X_C = 90 \,\Omega - 30 \,\Omega = 60 \,\Omega$ છે.
પરિપથનું ઈમ્પીડન્સ $Z = \sqrt{R_{total}^2 + X_{total}^2} = \sqrt{80^2 + 60^2} = \sqrt{6400 + 3600} = \sqrt{10000} = 100 \,\Omega$ છે.
પરિપથમાં વહેતો $RMS$ પ્રવાહ $I_{rms} = \frac{V_{rms}}{Z} = \frac{200 \,V}{100 \,\Omega} = 2 \,A$ છે.
કોઈલમાં વ્યય થતો પાવર $P_{coil} = I_{rms}^2 \times R_2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$P_{coil} = (2 \,A)^2 \times 36 \,\Omega = 4 \times 36 = 144 \,W$ મળે છે.

(B) $a.c.$ પરિપથમાં વ્યય થતો સરેરાશ પાવર $P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$V_{rms} = \varepsilon$ અને $I_{rms} = \frac{\varepsilon}{Z}$,જ્યાં $Z$ એ $LCR$ પરિપથનો ઈમ્પીડન્સ (પ્રતિબાધા) છે.
પાવર ફેક્ટર $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ છે.
આ કિંમતોને પાવરના સૂત્રમાં મૂકતા:
$P = \varepsilon \cdot \left( \frac{\varepsilon}{Z} \right) \cdot \left( \frac{R}{Z} \right) = \frac{\varepsilon^2 R}{Z^2}$.
$LCR$ શ્રેણી પરિપથ માટે ઈમ્પીડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + (L\omega - \frac{1}{C\omega})^2}$ છે.
તેથી,$Z^2 = R^2 + (L\omega - \frac{1}{C\omega})^2$.
$Z^2$ ની કિંમત પાવરના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$P = \frac{\varepsilon^2 R}{R^2 + (L\omega - \frac{1}{C\omega})^2}$.

(C) શ્રેણી $LCR$ પરિપથમાં,પ્રવાહ $I = \frac{V}{\sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પરિપથ આકૃતિ પરથી,ઇન્ડક્ટરના બે છેડા વચ્ચેનો વોલ્ટેજ $V_L = 10 \text{ V}$ અને કેપેસિટરના બે છેડા વચ્ચેનો વોલ્ટેજ $V_C = 10 \text{ V}$ છે.
$V_L = V_C$ હોવાથી,પરિપથ અનુનાદની સ્થિતિમાં છે,એટલે કે $X_L = X_C$.
$L-C$ સંયોજનના બે છેડા વચ્ચેનો વોલ્ટેજ $V_{LC} = |V_L - V_C|$ છે.
$V_L = V_C = 10 \text{ V}$ હોવાથી,$V_{LC} = |10 - 10| = 0 \text{ V}$.
જો અવરોધ $R$ બદલવામાં આવે,તો પરિપથમાં પ્રવાહ $I$ બદલાય છે.
જોકે,અનુનાદ માટેની શરત $(X_L = X_C)$ માત્ર સ્ત્રોતની આવૃત્તિ અને $L$ તથા $C$ ના મૂલ્યો પર આધાર રાખે છે,$R$ પર નહીં.
તેથી,$V_L = I X_L$ અને $V_C = I X_C$ એ $I$ બદલાતા બદલાશે,પરંતુ તેમનો તફાવત $V_{LC} = I(X_L - X_C)$ એ $0 \text{ V}$ જ રહેશે કારણ કે $X_L - X_C = 0$.
આમ,$L-C$ સંયોજનના બે છેડા વચ્ચેનો વોલ્ટેજ સમાન (શૂન્ય) રહે છે.

(A) આપેલ છે: $R = 100\,\Omega$,$V = 200\,V$.
જ્યારે કેપેસિટન્સ દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે પરિપથ $LR$ શ્રેણી પરિપથ બને છે. ફેઝ એંગલ $\phi = 60^o$ માટે $\tan(60^o) = \frac{X_L}{R}$ થાય.
તેથી,$X_L = R \tan(60^o) = 100 \times \sqrt{3} = 100\sqrt{3}\,\Omega$.
જ્યારે ઇન્ડક્ટન્સ દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે પરિપથ $RC$ શ્રેણી પરિપથ બને છે. ફેઝ એંગલ $\phi = 60^o$ માટે $\tan(60^o) = \frac{X_C}{R}$ થાય.
તેથી,$X_C = R \tan(60^o) = 100 \times \sqrt{3} = 100\sqrt{3}\,\Omega$.
મૂળ $LCR$ પરિપથમાં,ઇમ્પિડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$.
અહીં $X_L = X_C$ હોવાથી,$Z = \sqrt{R^2 + 0} = R = 100\,\Omega$.
પરિપથમાં પ્રવાહ $I = \frac{V}{Z} = \frac{200}{100} = 2\,A$ થાય.

(A) $LCR$ સર્કિટમાં ફેઝ એંગલ $\phi$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\tan \phi = \frac{X_C - X_L}{R}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\tan \phi = \frac{8\,\Omega - 5\,\Omega}{4\,\Omega} = \frac{3\,\Omega}{4\,\Omega} = \frac{3}{4}$.
તેથી,$\phi = \tan^{-1}(3/4)$.
અહીં $X_C > X_L$ હોવાથી,સર્કિટ કેપેસિટીવ પ્રકારની છે,જેનો અર્થ છે કે પ્રવાહ વોલ્ટેજ કરતા $\phi$ જેટલા ફેઝ એંગલથી આગળ છે.

(C) આપેલ વોલ્ટેજ $V = 20 \cos(2000t)$ છે,તેથી મહત્તમ વોલ્ટેજ $V_0 = 20 \, V$ છે. $RMS$ વોલ્ટેજ $V_{rms} = \frac{V_0}{\sqrt{2}} = \frac{20}{\sqrt{2}} = 10\sqrt{2} \, V \approx 14.14 \, V$ થાય.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2000 \, rad/s$ છે. ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = \omega L = 2000 \times 5 \times 10^{-3} = 10 \, \Omega$ છે. કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2000 \times 50 \times 10^{-6}} = 10 \, \Omega$ છે.
અહીં $X_L = X_C$ હોવાથી,શ્રેણી $LC$ શાખા અનુનાદ (resonance) સ્થિતિમાં છે. $LC$ શાખાનો ઇમ્પિડન્સ $Z_{LC} = \sqrt{R_{LC}^2 + (X_L - X_C)^2} = \sqrt{4^2 + 0^2} = 4 \, \Omega$ થાય.
સર્કિટનો કુલ ઇમ્પિડન્સ $Z = R_{total} + Z_{LC} = 6 \, \Omega + 4 \, \Omega = 10 \, \Omega$ છે.
સર્કિટમાં $RMS$ પ્રવાહ $I_{rms} = \frac{V_{rms}}{Z} = \frac{10\sqrt{2}}{10} = \sqrt{2} \approx 1.414 \, A$ થાય. આમ,એમીટરનું રીડિંગ $1.4 \, A$ છે.
વોલ્ટમીટર $LC$ શાખાની આસપાસ જોડાયેલ છે. આ શાખા પરનો વોલ્ટેજ $V_{LC} = I_{rms} \times Z_{LC} = 1.414 \times 4 = 5.656 \, V \approx 5.6 \, V$ થાય.

(C) શ્રેણીબદ્ધ $LCR$ સર્કિટમાં,કુલ $rms$ વોલ્ટેજ $V$ નીચેના સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $V = \sqrt{V_R^2 + (V_L - V_C)^2}$.
આપેલ ગુણોત્તર $V_L : V_C : V_R = 1 : 2 : 3$ પરથી,આપણે આ વોલ્ટેજને અચળાંક $x$ ના સ્વરૂપમાં $V_L = x$,$V_C = 2x$,અને $V_R = 3x$ તરીકે લખી શકીએ.
આ કિંમતોને $V$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$100 = \sqrt{(3x)^2 + (x - 2x)^2}$
$100 = \sqrt{9x^2 + (-x)^2}$
$100 = \sqrt{9x^2 + x^2}$
$100 = \sqrt{10x^2}$
$100 = x\sqrt{10}$
$x = \frac{100}{\sqrt{10}} = 10\sqrt{10} \approx 10 \times 3.162 = 31.62 \, V$.
હવે,$V_R$ ની ગણતરી કરતા:
$V_R = 3x = 3 \times 31.62 = 94.86 \, V$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,$V_R$ નું મૂલ્ય $90 \, V$ ની નજીક છે.

(D) $LR$ સર્કિટનો પાવર ફેક્ટર $\cos \phi = \frac{R}{Z} = \frac{R}{\sqrt{R^2 + X_L^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $X_L = 2R$,તેથી જૂનો પાવર ફેક્ટર $\cos \phi_1 = \frac{R}{\sqrt{R^2 + (2R)^2}} = \frac{R}{\sqrt{5R^2}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$ થાય.
જ્યારે $X_C = R$ ધરાવતું કેપેસિટર શ્રેણીમાં ઉમેરવામાં આવે છે,ત્યારે નવો ઇમ્પિડન્સ $Z_{new} = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,$Z_{new} = \sqrt{R^2 + (2R - R)^2} = \sqrt{R^2 + R^2} = \sqrt{2R^2} = R\sqrt{2}$ મળે.
નવો પાવર ફેક્ટર $\cos \phi_2 = \frac{R}{Z_{new}} = \frac{R}{R\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ થાય.
નવા પાવર ફેક્ટર અને જૂના પાવર ફેક્ટરનો ગુણોત્તર $\frac{\cos \phi_2}{\cos \phi_1} = \frac{1/\sqrt{2}}{1/\sqrt{5}} = \sqrt{\frac{5}{2}}$ થાય.

(D) શ્રેણી $LCR$ સર્કિટમાં,કુલ વોલ્ટેજ $V$ નીચેના સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$V = \sqrt{V_R^2 + (V_L - V_C)^2}$
આકૃતિ પરથી આપેલ છે:
$V = 220\,V$
$V_L = 300\,V$
$V_C = 300\,V$
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$220 = \sqrt{V_R^2 + (300 - 300)^2}$
$220 = \sqrt{V_R^2 + 0^2}$
$V_R = 220\,V$
હવે,સર્કિટમાં પ્રવાહ $I$ નીચે મુજબ મળે છે:
$I = \frac{V_R}{R}$
અહીં $R = 100\,\Omega$ આપેલ છે:
$I = \frac{220}{100} = 2.2\,A$
આમ,વોલ્ટમીટરનું રીડિંગ $220\,V$ અને એમીટરનું રીડિંગ $2.2\,A$ હશે.

(C) આપેલ છે: $L = 20\,mH = 20 \times 10^{-3}\,H,$ $C = 120\,\mu F = 120 \times 10^{-6}\,F,$ $R = 60\,\Omega,$ $V_{rms} = 24\,V,$ $f = 50\,Hz,$ $t = 60\,s.$
ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ: $X_L = 2\pi fL = 2\pi \times 50 \times 20 \times 10^{-3} = 2\pi \approx 6.28\,\Omega.$
કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ: $X_C = \frac{1}{2\pi fC} = \frac{1}{2\pi \times 50 \times 120 \times 10^{-6}} = \frac{1}{0.012\pi} \approx 26.53\,\Omega.$
ઇમ્પીડન્સ: $Z = \sqrt{R^2 + (X_C - X_L)^2} = \sqrt{60^2 + (26.53 - 6.28)^2} = \sqrt{3600 + (20.25)^2} = \sqrt{3600 + 410.06} = \sqrt{4010.06} \approx 63.33\,\Omega.$
વ્યય થતો પાવર: $P = I_{rms}^2 R = \left(\frac{V_{rms}}{Z}\right)^2 R = \left(\frac{24}{63.33}\right)^2 \times 60 \approx (0.379)^2 \times 60 \approx 0.1436 \times 60 \approx 8.616\,W.$
વ્યય થતી ઉર્જા: $E = P \times t = 8.616 \times 60 \approx 516.96\,J \approx 5.17 \times 10^2\,J.$

(C) આપેલ છે: $\omega = 100 \, rad/s$,$L = \frac{\sqrt{3}}{10} \, H$,$R_1 = 10 \, \Omega$,$C = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 10^{-3} \, F$,$R_2 = 20 \, \Omega$.
$L-R_1$ શાખા માટે:
ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = \omega L = 100 \times \frac{\sqrt{3}}{10} = 10\sqrt{3} \, \Omega$.
વોલ્ટેજ $V$ ની સાપેક્ષમાં પ્રવાહ $I_1$ નો કળા કોણ $\phi_1$ એ $\tan \phi_1 = -\frac{X_L}{R_1} = -\frac{10\sqrt{3}}{10} = -\sqrt{3}$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,$\phi_1 = -60^\circ$.
$C-R_2$ શાખા માટે:
કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{100 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \times 10^{-3}} = \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{20}} = \frac{20}{\sqrt{3}} \, \Omega$.
વોલ્ટેજ $V$ ની સાપેક્ષમાં પ્રવાહ $I_2$ નો કળા કોણ $\phi_2$ એ $\tan \phi_2 = \frac{X_C}{R_2} = \frac{20/\sqrt{3}}{20} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,$\phi_2 = 30^\circ$.
$I_1$ અને $I_2$ વચ્ચેનો કળા તફાવત $|\phi_2 - \phi_1| = |30^\circ - (-60^\circ)| = 90^\circ$ છે.

(C) $LCR$ શ્રેણી સર્કિટમાં,કુલ વોલ્ટેજ $V$ નીચેના સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$V = \sqrt{V_{R}^{2} + (V_{L} - V_{C})^{2}}$
આકૃતિ પરથી આપેલ છે:
$V_{L} = 100 \, V$
$V_{C} = 100 \, V$
$V = 200 \, V$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$200 = \sqrt{V_{R}^{2} + (100 - 100)^{2}}$
$200 = \sqrt{V_{R}^{2} + 0^{2}}$
$200 = V_{R}$
તેથી,અવરોધ $R$ ને સમાંતર જોડેલા વોલ્ટમીટરનું રીડિંગ $200 \, V$ થશે.

(C) $LCR$ શ્રેણી પરિપથમાં,ફેઝ એંગલ $\phi$ એ $\tan \phi = \frac{X_L - X_C}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે $L$ ને દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે પરિપથ $RC$ પરિપથ બને છે. પ્રવાહ વોલ્ટેજ કરતા $45^o$ આગળ છે,તેથી $\phi = -45^o$. આમ,$\tan(-45^o) = -\frac{X_C}{R}$,જે સૂચવે છે કે $\frac{X_C}{R} = 1$,અથવા $X_C = R$.
જ્યારે $C$ ને દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે પરિપથ $RL$ પરિપથ બને છે. પ્રવાહ વોલ્ટેજ કરતા $45^o$ પાછળ છે,તેથી $\phi = 45^o$. આમ,$\tan(45^o) = \frac{X_L}{R}$,જે સૂચવે છે કે $\frac{X_L}{R} = 1$,અથવા $X_L = R$.
કારણ કે $X_L = R$ અને $X_C = R$,તેથી $X_L = X_C$ થાય છે. આનો અર્થ એ છે કે પરિપથ રેઝોનન્સ (અનુનાદ) સ્થિતિમાં છે.
રેઝોનન્સ પર,પરિપથનો ઈમ્પીડન્સ $Z = R = 100 \, \Omega$ છે.
મૂળ પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{V}{Z} = \frac{100 \, V}{100 \, \Omega} = 1 \, A$ છે.

(C) આ સર્કિટમાં એક ઇન્ડક્ટર અને એક કેપેસિટર $V = 75 \, V$ ના $AC$ વોલ્ટેજ સોર્સ સાથે સમાંતર જોડાયેલા છે.
ઇન્ડક્ટરમાંથી વહેતો પ્રવાહ $i_L = 5 \, A$ છે અને કેપેસિટરમાંથી વહેતો પ્રવાહ $i_C = 2 \, A$ છે.
સમાંતર $LC$ સર્કિટમાં,પ્રવાહો $i_L$ અને $i_C$ એકબીજાથી $180^{\circ}$ ના ફેઝ તફાવત પર હોય છે. તેથી,સોર્સમાંથી ખેંચાતો કુલ પ્રવાહ $i_{LC}$ એ બંને પ્રવાહોના મૂલ્યોનો તફાવત છે:
$i_{LC} = |i_L - i_C| = |5 \, A - 2 \, A| = 3 \, A$.
સમાંતર જોડાણનો સમતુલ્ય ઈમ્પીડન્સ $Z$ ઓહ્મના નિયમ દ્વારા મળે છે:
$Z = \frac{V}{i_{LC}} = \frac{75 \, V}{3 \, A} = 25 \, \Omega$.
આમ,સર્કિટનો ઈમ્પીડન્સ $25 \, \Omega$ છે.

(C) પરિપથનો કુલ અવરોધ $R = R_1 + R_2 = 44\,\Omega + 36\,\Omega = 80\,\Omega$ છે.
પરિપથનો કુલ રિએક્ટન્સ $X = X_L - X_C = 90\,\Omega - 30\,\Omega = 60\,\Omega$ છે.
પરિપથનું ઈમ્પિડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + X^2} = \sqrt{80^2 + 60^2} = \sqrt{6400 + 3600} = \sqrt{10000} = 100\,\Omega$ છે.
પરિપથમાં $RMS$ પ્રવાહ $I_{rms} = \frac{V_{rms}}{Z} = \frac{200\,V}{100\,\Omega} = 2\,A$ છે.
કોઈલમાં વ્યય થતો પાવર $P = I_{rms}^2 \times R_2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R_2$ એ કોઈલનો અવરોધ છે.
$P = (2\,A)^2 \times 36\,\Omega = 4 \times 36 = 144\,W$.