Alternating Current, Voltage (rms and Average) Questions in Gujarati

(C) અલ્ટરનેટિંગ વોલ્ટેજનું તત્કાલીન મૂલ્ય $V(t) = V_{\max} \sin(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
એક સંપૂર્ણ ચક્ર ($t = 0$ થી $t = T$) પર સરેરાશ મૂલ્ય શોધવા માટે,આપણે સમયગાળા $T$ પર વિધેયનું સંકલન કરીએ છીએ અને તેને સમયગાળા વડે ભાગીએ છીએ:
$V_{\text{avg}} = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} V_{\max} \sin(\omega t) dt$.
કારણ કે $\omega = \frac{2\pi}{T}$,સંકલન આ મુજબ થશે:
$V_{\text{avg}} = \frac{V_{\max}}{T} \int_{0}^{T} \sin\left(\frac{2\pi}{T} t\right) dt$.
સંપૂર્ણ સમયગાળા પર સાઈન વિધેયનું સંકલન શૂન્ય થાય છે કારણ કે પ્રથમ અર્ધ-ચક્રનો ધન વિસ્તાર બીજા અર્ધ-ચક્રના ઋણ વિસ્તારને બરાબર રદ કરે છે.
તેથી,$V_{\text{avg}} = 0$.

(A) તત્કાલીન પ્રવાહ $i = i_{m} \sin(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
$rms$ મૂલ્ય પર, $i = i_{rms} = \frac{i_{m}}{\sqrt{2}}$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{i_{m}}{\sqrt{2}} = i_{m} \sin(\omega t)$.
$\sin(\omega t) = \frac{1}{\sqrt{2}}$, જેનો અર્થ છે કે $\omega t = \frac{\pi}{4}$.
કારણ કે $\omega = 2 \pi f$, તેથી $2 \pi f t = \frac{\pi}{4}$.
$t = \frac{1}{8f}$.
અહીં $f = 50 \text{ Hz}$ આપેલ છે, તેથી $t = \frac{1}{8 \times 50} = \frac{1}{400} \text{ s}$.
$t = 0.0025 \text{ s} = 2.5 \text{ ms}$.

(B) $AC$ જનરેટરનો તત્કાલિન વોલ્ટેજ $V = V_m \sin(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $V_m$ એ મહત્તમ વોલ્ટેજ છે અને $\omega = 2 \pi \nu$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે.
આપેલ છે: $V_m = 100 \text{ V}$, $t = \frac{1}{100 \pi} \text{ s}$ સમયે $V = 2 \text{ V}$.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$2 = 100 \sin\left(2 \pi \nu \times \frac{1}{100 \pi}\right)$
$2 = 100 \sin\left(\frac{\nu}{50}\right)$
$\frac{2}{100} = \sin\left(\frac{\nu}{50}\right)$
અહીં ખૂણો $\frac{\nu}{50}$ ખૂબ નાનો હોવાથી, આપણે $\sin(\theta) \approx \theta$ આસન્નમૂલ્યનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ:
$\frac{1}{50} = \frac{\nu}{50}$
$\nu = 1 \text{ Hz}$.

(B) આપેલ છે: $I_{rms} = 5 \text{ A}$,આવૃત્તિ $f = 50 \text{ Hz}$.
સમય $t=0$ પર $I=0$ હોવાથી,પ્રવાહનું સમીકરણ $I = I_0 \sin(\omega t)$ થશે.
પ્રથમ,મહત્તમ પ્રવાહ $I_0 = \sqrt{2} \times I_{rms} = 5\sqrt{2} \text{ A}$ શોધો.
ત્યારબાદ,કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2\pi f = 2\pi \times 50 = 100\pi \text{ rad/s}$ શોધો.
હવે,$t = \frac{1}{300} \text{ s}$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$I = 5\sqrt{2} \sin(100\pi \times \frac{1}{300})$
$I = 5\sqrt{2} \sin(\frac{\pi}{3})$
કારણ કે $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$,તેથી:
$I = 5\sqrt{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 5 \sqrt{\frac{2 \times 3}{4}} = 5 \sqrt{\frac{3}{2}} \text{ A}$.

(C) આપેલ સમીકરણ $V = V_0 \sin(\omega t)$ છે,જ્યાં $V_0 = 311 \ V$ અને $\omega = 314 \ rad/s$ છે.
વોલ્ટેજનું $rms$ મૂલ્ય $V_{rms} = \frac{V_0}{\sqrt{2}}$ દ્વારા મળે છે.
$V_{rms} = \frac{311}{1.414} \approx 220 \ V$.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2\pi f$ છે.
$314 = 2 \times 3.14 \times f$.
$314 = 6.28 \times f$.
$f = \frac{314}{6.28} = 50 \ Hz$.
આમ,$rms$ વોલ્ટેજ $220 \ V$ અને આવૃત્તિ $50 \ Hz$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $i = i_1 \sin \omega t + i_2 \cos \omega t$ છે.
આપણે તેને $i = A \sin(\omega t + \phi)$ તરીકે ફરીથી લખી શકીએ,જ્યાં $A$ એ પરિણામી કરંટનો કંપવિસ્તાર (amplitude) છે.
$A$ શોધવા માટે,આપણે સહગુણકોની સરખામણી કરીએ: $i_1 = A \cos \phi$ અને $i_2 = A \sin \phi$.
આ સમીકરણોનો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા: $i_1^2 + i_2^2 = A^2 \cos^2 \phi + A^2 \sin^2 \phi = A^2(\cos^2 \phi + \sin^2 \phi) = A^2$.
આમ,કંપવિસ્તાર $A = \sqrt{i_1^2 + i_2^2}$ મળે છે.
સાઇનસૉઇડલ કરંટ $i = A \sin(\omega t + \phi)$ નું rms મૂલ્ય $i_{rms} = \frac{A}{\sqrt{2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$A$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $i_{rms} = \sqrt{\frac{i_1^2 + i_2^2}{2}}$ મળે છે.

(D) તાત્કાલિક પ્રવાહ $ I = I_0 \sin(\omega t) $ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$ rms $ મૂલ્ય પર, $ I = I_{rms} = \frac{I_0}{\sqrt{2}} $.
તેથી, $ \frac{I_0}{\sqrt{2}} = I_0 \sin(\omega t_1) \Rightarrow \sin(\omega t_1) = \frac{1}{\sqrt{2}} $.
આનાથી $ \omega t_1 = \frac{\pi}{4} $ મળે છે.
કારણ કે $ \omega = \frac{2\pi}{T} $, આપણી પાસે $ \frac{2\pi}{T} t_1 = \frac{\pi}{4} \Rightarrow t_1 = \frac{T}{8} $ છે.
મહત્તમ મૂલ્ય $ t_2 = \frac{T}{4} $ પર પ્રાપ્ત થાય છે.
$ rms $ મૂલ્યથી મહત્તમ મૂલ્ય સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $ \Delta t = t_2 - t_1 = \frac{T}{4} - \frac{T}{8} = \frac{T}{8} $ છે.
આપેલ આવૃત્તિ $ f = 50 \,Hz $ હોવાથી, સમયગાળો $ T = \frac{1}{f} = \frac{1}{50} \,s = 0.02 \,s $ છે.
તેથી, $ \Delta t = \frac{0.02}{8} = 0.0025 \,s = 2.5 \times 10^{-3} \,s $.
આમ, વિકલ્પ $ D $ સાચો છે.

(B) ભારતમાં,કર્ણાટક સહિત,પ્રમાણભૂત ઘરેલું $AC$ પાવર સપ્લાય $220 \text{ V}, 50 \text{ Hz}$ તરીકે નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે.
પરંપરા મુજબ,$AC$ સર્કિટ માટે આપવામાં આવેલ વોલ્ટેજ મૂલ્ય એ રૂટ મીન સ્ક્વેર $(RMS)$ મૂલ્ય છે,કારણ કે તે તે અસરકારક વોલ્ટેજનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે જે સમાન $DC$ વોલ્ટેજ જેટલી જ ગરમીની અસર ઉત્પન્ન કરે છે.
$50 \text{ Hz}$ ની આવૃત્તિ એ અલ્ટરનેટિંગ કરંટના પ્રતિ સેકન્ડ ચક્રની સંખ્યા દર્શાવે છે.
તેથી,$220 \text{ V}$ એ $RMS$ વોલ્ટેજ છે અને $50 \text{ Hz}$ એ આવૃત્તિ છે.

(C) $ AC $ પ્રવાહને સમીકરણ $ I = I_{\text{max}} \sin(\omega t) $ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
એક સંપૂર્ણ ચક્ર માટે,પ્રવાહનું સરેરાશ મૂલ્ય $ I_{\text{avg}} $ એ સમયગાળા $ T $ પર પ્રવાહના સંકલન અને સમયગાળા $ T $ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
$ I_{\text{avg}} = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} I_{\text{max}} \sin(\omega t) dt $.
કારણ કે સંપૂર્ણ સમયગાળા $ T $ પર $ \sin(\omega t) $ નું સંકલન શૂન્ય થાય છે,તેથી સંપૂર્ણ ચક્ર પર સરેરાશ પ્રવાહ હંમેશા $ 0 $ હોય છે.
તેથી,કોઈપણ સાઇનસૉઇડલ $ AC $ પ્રવાહ માટે,સંપૂર્ણ ચક્ર પર સરેરાશ મૂલ્ય $ 0 $ હોય છે.

(C) વોલ્ટેજનું રૂટ મીન સ્ક્વેર $(RMS)$ મૂલ્ય,$ V_{rms} $,અને $A$.$C$. સ્ત્રોતનો મહત્તમ વોલ્ટેજ,$ V_{0} $,નીચેના સૂત્ર દ્વારા સંબંધિત છે:
$ V_{rms} = \frac{V_{0}}{\sqrt{2}} $
આપેલ છે કે મલ્ટિમીટર $RMS$ મૂલ્ય વાંચે છે,$ V_{rms} = 100 \,V $.
મહત્તમ વોલ્ટેજ $ V_{0} $ શોધવા માટે,આપણે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવીએ છીએ:
$ V_{0} = V_{rms} \times \sqrt{2} $
આપેલ કિંમત મૂકતા:
$ V_{0} = 100 \times 1.414 = 141.4 \,V $
આમ,$A$.$C$. સ્ત્રોતના વોલ્ટેજનું મહત્તમ મૂલ્ય $ 141.4 \,V $ છે.

(D) આપેલ છે: $R = 20 \Omega$,$V = 200 \sin (10 \pi t)$.
ઓમના નિયમ મુજબ,$I = \frac{V}{R} = \frac{200}{20} \sin (10 \pi t) = 10 \sin (10 \pi t)$.
પીક પ્રવાહ $I_0 = 10 \text{ A}$ છે.
rms પ્રવાહ $I_{\text{rms}} = \frac{I_0}{\sqrt{2}} = \frac{10}{\sqrt{2}} \text{ A}$ છે.
પીક મૂલ્ય માટે,$10 = 10 \sin (10 \pi t_1) \Rightarrow \sin (10 \pi t_1) = 1 \Rightarrow 10 \pi t_1 = \frac{\pi}{2} \Rightarrow t_1 = \frac{1}{20} \text{ s}$.
rms મૂલ્ય માટે,$\frac{10}{\sqrt{2}} = 10 \sin (10 \pi t_2) \Rightarrow \sin (10 \pi t_2) = \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow 10 \pi t_2 = \frac{\pi}{4} \Rightarrow t_2 = \frac{1}{40} \text{ s}$.
પીકથી rms સુધી બદલાતા લાગતો સમય $\Delta t = t_1 - t_2 = \frac{1}{20} - \frac{1}{40} = \frac{1}{40} = 0.025 \text{ s} = 2.5 \times 10^{-2} \text{ s}$.

(C) આપેલ અલ્ટરનેટિંગ કરંટ $i = 3 \sin \omega t + 4 \cos \omega t$ છે.
આપણે તેને $i = I_0 \sin(\omega t + \phi)$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકીએ છીએ,જ્યાં $I_0$ એ પીક કરંટ છે.
$a \sin \theta + b \cos \theta = \sqrt{a^2 + b^2} \sin(\theta + \phi)$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$I_0 = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \ A$.
$rms$ કરંટનું સૂત્ર $I_{rms} = \frac{I_0}{\sqrt{2}}$ છે.
$I_0$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $I_{rms} = \frac{5}{\sqrt{2}} \ A$ મળે છે.

(A) આપેલ વોલ્ટેજ $V = 200 V$ એ $RMS$ વોલ્ટેજ $(V_{rms})$ છે.
મહત્તમ વોલ્ટેજનું સૂત્ર $V_{peak} = \sqrt{2} \times V_{rms}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$V_{peak} = 1.414 \times 200 = 282.8 V$.
મહત્તમ પ્રવાહ $I_{peak} = \frac{V_{peak}}{R}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$I_{peak} = \frac{282.8}{280} \approx 1.01 A$.
તેથી,મહત્તમ પ્રવાહ આશરે $1 A$ છે.

(B) $AC$ નું $rms$ મૂલ્ય $V_{rms} = 220 \ V$ આપેલ છે.
$AC$ નું પીક મૂલ્ય $(V_0)$ આ મુજબ ગણવામાં આવે છે: $V_0 = \sqrt{2} \times V_{rms} = 1.414 \times 220 \approx 311 \ V$.
$DC$ માટે,વોલ્ટેજ $220 \ V$ પર અચળ રહે છે.
કારણ કે $220 \ V$ $AC$ નો પીક વોલ્ટેજ $311 \ V$ છે,જે $DC$ ના અચળ $220 \ V$ કરતા ઘણો વધારે છે,તેથી $220 \ V$ $AC$ એ $220 \ V$ $DC$ કરતા વધુ જોખમી છે.

(B) આપેલ $emf$ $E = 6 \sin \omega t + 4 \sin 2 \omega t \text{ V}$ છે.
બિન-સાઇનસૉઇડલ આવર્તકીય તરંગ માટે $E = E_1 \sin \omega t + E_2 \sin 2 \omega t + \dots$,$rms$ મૂલ્ય $E_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{E_1^2 + E_2^2 + \dots}{2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$E_1 = 6 \text{ V}$ અને $E_2 = 4 \text{ V}$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$E_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{6^2 + 4^2}{2}}$
$E_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{36 + 16}{2}}$
$E_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{52}{2}}$
$E_{\text{rms}} = \sqrt{26} \text{ V}$.
આમ,$emf$ નું $rms$ મૂલ્ય $\sqrt{26} \text{ V}$ છે.

(A) આપેલ emf $E = 8 \sin \omega t + 6 \cos \omega t$ છે.
આપણે તેને $E = A \sin(\omega t + \phi)$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકીએ છીએ,જ્યાં $A$ એ મહત્તમ કંપવિસ્તાર (peak amplitude) છે.
$8 \sin \omega t + 6 \cos \omega t$ ની સરખામણી $A \sin(\omega t + \phi) = A \sin \omega t \cos \phi + A \cos \omega t \sin \phi$ સાથે કરતા,આપણને મળે છે:
$A \cos \phi = 8$ અને $A \sin \phi = 6$.
આ સમીકરણોનો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$A^2(\cos^2 \phi + \sin^2 \phi) = 8^2 + 6^2$
$A^2 = 64 + 36 = 100$
$A = 10 \text{ V}$.
rms મૂલ્ય $E_{rms}$ એ મહત્તમ મૂલ્ય $A$ સાથે $E_{rms} = \frac{A}{\sqrt{2}}$ સૂત્ર દ્વારા સંબંધિત છે.
$E_{rms} = \frac{10}{\sqrt{2}} = \frac{10 \times \sqrt{2}}{2} = 5 \sqrt{2} \text{ V}$.

(A) આપેલ emf $E = 8 \sin \omega t + 6 \cos \omega t$ છે.
આપણે આને $E = E_0 \sin(\omega t + \phi)$ સ્વરૂપમાં ફરીથી લખી શકીએ છીએ.
આ કરવા માટે,$\sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$ વડે ગુણીને ભાગો.
$E = 10 \left( \frac{8}{10} \sin \omega t + \frac{6}{10} \cos \omega t \right)$.
ધારો કે $\cos \phi = \frac{8}{10} = 0.8$ અને $\sin \phi = \frac{6}{10} = 0.6$.
તેથી $E = 10 (\sin \omega t \cos \phi + \cos \omega t \sin \phi) = 10 \sin(\omega t + \phi)$.
આને $E = E_0 \sin(\omega t + \phi)$ સાથે સરખાવતા,આપણને મહત્તમ મૂલ્ય $E_0 = 10 \text{ V}$ મળે છે.
$RMS$ મૂલ્ય $E_{RMS} = \frac{E_0}{\sqrt{2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$E_{RMS} = \frac{10}{\sqrt{2}} = 5 \sqrt{2} \text{ V}$.

(B) તત્કાલીન વોલ્ટેજ $V$ એ $V = V_0 \sin(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V_0$ એ મહત્તમ વોલ્ટેજ છે અને $\omega = 2\pi f$ છે.
આપેલ છે કે $f = 50 \ Hz$,તેથી $\omega = 2 \times \pi \times 50 = 100\pi \ rad/s$.
આપણે તે સમય $t$ શોધવો છે જ્યારે $V = \frac{V_0}{2}$ હોય.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{V_0}{2} = V_0 \sin(100\pi t)$.
$\sin(100\pi t) = \frac{1}{2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$,તેથી $100\pi t = \frac{\pi}{6}$.
$t = \frac{\pi}{6 \times 100\pi} = \frac{1}{600} \ s$.

(B) એસી $(AC)$ પ્રવાહ માટેનું પ્રમાણિત સમીકરણ $I(t) = I_0 \sin(\omega t)$ છે,જ્યાં $I_0$ એ મહત્તમ પ્રવાહ (પીક કરંટ) છે અને $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે.
આપેલ સમીકરણ $I(t) = 50 \sin(200 \pi t)$ સાથે સરખાવતા,આપણને મહત્તમ પ્રવાહ $I_0 = 50 \text{ A}$ અને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 200 \pi \text{ rad/s}$ મળે છે.
પ્રવાહનું $RMS$ મૂલ્ય $I_{RMS} = \frac{I_0}{\sqrt{2}} = \frac{50}{\sqrt{2}} = 25 \sqrt{2} \text{ A}$ થાય છે.
આવૃત્તિ $f$ અને કોણીય આવૃત્તિ વચ્ચેનો સંબંધ $\omega = 2 \pi f$ છે.
$\omega$ ની કિંમત મૂકતા,$200 \pi = 2 \pi f$,તેથી $f = 100 \text{ Hz}$ મળે છે.
આમ,આવૃત્તિ $100 \text{ Hz}$ અને $RMS$ મૂલ્ય $25 \sqrt{2} \text{ A}$ છે.

(D) $A.C.$ સર્કિટમાં તત્કાલિન પ્રવાહ $i = i_0 \sin(\omega t + \phi)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મહત્તમ મૂલ્ય પર,$i = i_0$,જે $\omega t_1 = \frac{\pi}{2}$ પર થાય છે.
$R.M.S.$ મૂલ્ય પર,$i = i_{R.M.S.} = \frac{i_0}{\sqrt{2}}$,જે $\omega t_2 = \frac{\pi}{4}$ (અથવા $\frac{3\pi}{4}$) પર થાય છે.
સમયનો તફાવત $\Delta t = t_1 - t_2$ એ $\omega \Delta t = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$ દ્વારા મળે છે.
કારણ કે $\omega = 2 \pi f$,તેથી $2 \pi f \Delta t = \frac{\pi}{4}$.
$f = 50 Hz$ મૂકતા,આપણને $2 \pi (50) \Delta t = \frac{\pi}{4}$ મળે છે.
$100 \pi \Delta t = \frac{\pi}{4} \Rightarrow \Delta t = \frac{1}{400} s$.
$\Delta t = 0.0025 s = 2.5 ms$.

(A) આપેલ સમીકરણ $i = 2 \sin \omega t + 6 \cos \omega t$ છે.
આ $i = a \sin \omega t + b \cos \omega t$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $a = 2$ અને $b = 6$ છે.
પીક કરંટ $i_0$ નું મૂલ્ય $i_0 = \sqrt{a^2 + b^2}$ દ્વારા મળે છે.
$i_0 = \sqrt{2^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40} = 2 \sqrt{10} \ A$.
$R.M.S.$ કરંટ $i_{rms}$ અને પીક કરંટ $i_0$ વચ્ચેનો સંબંધ $i_{rms} = \frac{i_0}{\sqrt{2}}$ છે.
તેથી,$i_{rms} = \frac{2 \sqrt{10}}{\sqrt{2}} = 2 \sqrt{5} \ A$.

(A) રૂટ મીન સ્ક્વેર વોલ્ટેજ $V_{rms} = 220 \ V$ આપેલ છે।
પીક વોલ્ટેજ $V_0$ એ $V_{rms}$ સાથે $V_0 = V_{rms} \sqrt{2}$ સૂત્ર દ્વારા સંબંધિત છે।
તેથી, $V_0 = 220 \sqrt{2} \ V$.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ એ $\omega = 2 \pi f$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $f = 50 \ \text{Hz}$ છે।
આમ, $\omega = 2 \pi \times 50 = 100 \pi \ \text{rad/s}$.
તત્કાલિન પોટેન્શિયલ તફાવત $V(t) = V_0 \cos(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
કિંમતો મૂકતા, આપણને $V(t) = 220 \sqrt{2} \cos(100 \pi t)$ મળે છે।

(D) આવર્તક વિધેય $v(t)$ નું રૂટ મીન સ્ક્વેર (rms) મૂલ્ય $V_{rms} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_{0}^{T} v^2(t) dt}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
આપેલ આકૃતિ પરથી,સ્થિતિમાનનો તફાવત $v(t)$ એ $0 \le t < \frac{T}{2}$ અંતરાલ માટે $V_0$ છે અને $\frac{T}{2} \le t < T$ અંતરાલ માટે $0$ છે.
તેથી,$V_{rms}^2 = \frac{1}{T} \left[ \int_{0}^{T/2} V_0^2 dt + \int_{T/2}^{T} 0^2 dt \right]$.
$V_{rms}^2 = \frac{1}{T} \left[ V_0^2 \cdot \frac{T}{2} + 0 \right] = \frac{V_0^2}{2}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $V_{rms} = \frac{V_0}{\sqrt{2}}$ મળે છે.

(C) અલ્ટરનેટિંગ કરંટ માટે આપેલ સમીકરણ $I = I_0 \sin(\omega t + \phi)$ છે,જ્યાં $I_0 = 20 \ A$ અને $\omega = 100 \pi \ rad/s$ છે.
પ્રવાહનું રૂટ મીન સ્ક્વેર (r.m.s.) મૂલ્ય $I_{rms} = \frac{I_0}{\sqrt{2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$I_0$ નું મૂલ્ય મૂકતા: $I_{rms} = \frac{20}{\sqrt{2}} = 10 \sqrt{2} \ A$.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2 \pi f = 100 \pi$ છે.
આવૃત્તિ $f$ માટે ઉકેલતા: $f = \frac{100 \pi}{2 \pi} = 50 \ Hz$.
તેથી,r.m.s. મૂલ્ય $10 \sqrt{2} \ A$ છે અને આવૃત્તિ $50 \ Hz$ છે.

(C) આપેલ છે: $I_{rms} = 10 \, A$ અને $R = 12 \, \Omega$.
મહત્તમ પ્રવાહ $I_0$ એ $I_0 = I_{rms} \times \sqrt{2}$ સંબંધ દ્વારા મળે છે.
$I_0 = 10 \times 1.414 = 14.14 \, A$.
ઓહ્મના નિયમ મુજબ અવરોધ પરનો મહત્તમ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_0 = I_0 \times R$ છે.
$V_0 = 14.14 \times 12 = 169.68 \, V$.

(D) રૂટ મીન સ્ક્વેર (r.m.s) પ્રવાહને $i_{rms} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_{0}^{T} i^2 dt}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $i = i_{0}(t / T)$,તેથી $i^2 = i_{0}^2 (t^2 / T^2)$.
આ કિંમતને સૂત્રમાં મૂકતા:
$i_{rms}^2 = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} \frac{i_{0}^2 t^2}{T^2} dt = \frac{i_{0}^2}{T^3} \int_{0}^{T} t^2 dt$.
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા: $\int_{0}^{T} t^2 dt = \left[ \frac{t^3}{3} \right]_{0}^{T} = \frac{T^3}{3}$.
તેથી,$i_{rms}^2 = \frac{i_{0}^2}{T^3} \cdot \frac{T^3}{3} = \frac{i_{0}^2}{3}$.
વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $i_{rms} = \frac{i_{0}}{\sqrt{3}}$ મળે છે.

(D) સાઇનુસોઇડલ $AC$ સર્કિટ માટે મહત્તમ (પીક) વોલ્ટેજ $V_0$ અને રૂટ મીન સ્ક્વેર $(rms)$ વોલ્ટેજ $V_{rms}$ વચ્ચેનો સંબંધ $V_{rms} = \frac{V_0}{\sqrt{2}}$ છે.
આ સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને મહત્તમ વોલ્ટેજ અને $rms$ વોલ્ટેજનો ગુણોત્તર $\frac{V_0}{V_{rms}} = \sqrt{2}$ મળે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sqrt{2} \approx 1.414$,આ ગુણોત્તરને ટકાવારીમાં ફેરવવા માટે તેને $100\%$ વડે ગુણતા:
તેથી,ટકાવારી મૂલ્ય $1.414 \times 100\% = 141.4\%$ થાય છે.

(D) પાવર $P$ નું સૂત્ર $P = V_{rms} \times I_{rms}$ છે.
અહીં $P = 12 \text{ W}$ અને $V_{rms} = 24 \text{ V}$ આપેલ છે,તેથી આપણે $I_{rms}$ ની ગણતરી નીચે મુજબ કરી શકીએ:
$I_{rms} = \frac{P}{V_{rms}} = \frac{12}{24} = 0.5 \text{ A}$.
પીક કરંટ $I_0$ અને $I_{rms}$ વચ્ચેનો સંબંધ $I_0 = I_{rms} \times \sqrt{2}$ છે.
$I_{rms}$ નું મૂલ્ય મૂકતા,આપણને મળે છે:
$I_0 = 0.5 \times \sqrt{2} = \frac{1}{2} \times \sqrt{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \text{ A}$.

(D) $AC$ જનરેટરમાં પ્રેરિત emf સમીકરણ $\varepsilon = \varepsilon_0 \sin(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$t = 0$ સમયે,$\varepsilon = \varepsilon_0 \sin(0) = 0$ થાય છે.
emf તેનું મહત્તમ મૂલ્ય ત્યારે પ્રાપ્ત કરે છે જ્યારે $\sin(\omega t) = 1$ હોય.
આ સ્થિતિ ત્યારે સર્જાય છે જ્યારે $\omega t = \frac{\pi}{2}$ હોય.
$t$ માટે ઉકેલતા,આપણને $t = \frac{\pi}{2\omega}$ મળે છે.
તેથી,પ્રેરિત emf સમય $t = \frac{\pi}{2\omega}$ પર મહત્તમ હોય છે.

(B) તત્કાલીન પ્રવાહનું સમીકરણ $I = I_0 \sin(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I_0$ એ મહત્તમ પ્રવાહ છે અને $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે.
મહત્તમ મૂલ્ય સુધી પહોંચવા માટે,સાઈન વિધેયનું મૂલ્ય $1$ હોવું જોઈએ,જે ત્યારે થાય છે જ્યારે ફેઝ એંગલ $\omega t = \frac{\pi}{2}$ હોય.
$\omega = 2 \pi f$ મૂકતા,આપણને $2 \pi f t = \frac{\pi}{2}$ મળે છે.
સમય $t$ માટે ઉકેલતા,$t = \frac{1}{4f}$ મળે છે.
આવૃત્તિ $f = 60 \text{ Hz}$ આપેલ હોવાથી,આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$t = \frac{1}{4 \times 60} = \frac{1}{240} \text{ s}$.
તેથી,પ્રવાહને શૂન્યથી તેના મહત્તમ મૂલ્ય સુધી પહોંચવામાં $1/240 \text{ s}$ સમય લાગે છે.