ધારો કે $\overline{a}=\hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k}$ અને $\overline{b}=\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$ બે સદિશો છે. જો $\overline{c}$ એવો સદિશ હોય કે જેથી $\overline{b} \times \overline{c}=\overline{b} \times \overline{a}$ અને $\overline{c} \cdot \overline{a}=0$ થાય,તો $\overline{c} \cdot \overline{b}$ ની કિંમત શોધો.

જો $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ એ અસમતલીય એકમ સદિશો હોય કે જેથી $\bar{a} \times(\bar{b} \times \bar{c})=\frac{(\bar{b}+\bar{c})}{\sqrt{2}}$ થાય,તો $\bar{a}$ અને $\bar{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો શોધો.

સદિશો $\vec{p}=a \hat{i}+b \hat{j}+c \hat{k}$,$\vec{q}=d \hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k}$ અને $\vec{r}=3 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}$ એ ત્રિકોણ $ABC$ બનાવે છે,જ્યાં $\vec{p}=\vec{q}+\vec{r}$ છે. જો $\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $5 \sqrt{6}$ ચોરસ એકમ હોય,તો $a, b, c$ ના નિરપેક્ષ મૂલ્યોનો સરવાળો કેટલો થાય?

જો $\hat{i}+y \hat{j}$,$\hat{i}+2 \hat{k}$ અને $3 \hat{j}+\hat{k}$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\sqrt{6}$ ચોરસ એકમ હોય,તો $y$ ની કિંમતો શોધો.

પ્રથમ અષ્ટમાંશમાં આવેલા સમઘનને ધ્યાનમાં લો જેની બાજુઓ $OP, OQ$ અને $OR$ ની લંબાઈ $1$ છે,જે અનુક્રમે $x$-અક્ષ,$y$-અક્ષ અને $z$-અક્ષ પર છે,જ્યાં $O(0,0,0)$ ઉગમબિંદુ છે. ધારો કે $S\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$ એ સમઘનનું કેન્દ્ર છે અને $T$ એ ઉગમબિંદુ $O$ ની સામેનું સમઘનનું શિરોબિંદુ છે જેથી $S$ એ વિકર્ણ $OT$ પર આવેલું હોય. જો $\overrightarrow{p} = \overrightarrow{SP}, \overrightarrow{q} = \overrightarrow{SQ}, \overrightarrow{r} = \overrightarrow{SR}$ અને $\overrightarrow{t} = \overrightarrow{ST}$ હોય,તો $|(\overrightarrow{p} \times \overrightarrow{q}) \times (\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{t})|$ નું મૂલ્ય શોધો.

$2$ એકમ લંબાઈનો સદિશ $\vec{a}$ એ $X$-અક્ષ અને $Y$-અક્ષ દરેક સાથે $60^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે. જો $\sqrt{2}$ એકમ લંબાઈનો બીજો સદિશ $\vec{b}$ એ $Y$-અક્ષ અને $Z$-અક્ષ દરેક સાથે $45^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે,તો $\vec{a} \times \vec{b} = $