Vector or Cross product of two vectors and its applications Questions in Gujarati

(C) આપેલ છે કે $\vec{b} \cdot \vec{c} = |\vec{b}| |\vec{c}| \cos(\frac{\pi}{3}) = 10$.
અહીં $|\vec{b}| = 5$ હોવાથી,$5 |\vec{c}| (\frac{1}{2}) = 10$,જે દર્શાવે છે કે $|\vec{c}| = 4$.
હવે,સદિશ ગુણાકારનું માન $|\vec{b} \times \vec{c}| = |\vec{b}| |\vec{c}| \sin(\frac{\pi}{3}) = 5 \times 4 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}$ થાય.
કારણ કે $\vec{a}$ એ $\vec{b} \times \vec{c}$ ને લંબ છે,તેથી $\vec{a}$ અને $\vec{b} \times \vec{c}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{2}$ છે.
આમ,$|\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c})| = |\vec{a}| |\vec{b} \times \vec{c}| \sin(\frac{\pi}{2}) = \sqrt{3} \times 10\sqrt{3} \times 1 = 30$.

(A) આપેલ સદિશો $\vec{a} = 2\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}$ અને $\vec{b} = 3\hat{i} + 5\hat{j} - 2\hat{k}$ છે.
સદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \times \vec{b}$ નિશ્ચાયકની મદદથી ગણવામાં આવે છે:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & 5 & -2 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}((1)(-2) - (3)(5)) - \hat{j}((2)(-2) - (3)(3)) + \hat{k}((2)(5) - (1)(3))$
$= \hat{i}(-2 - 15) - \hat{j}(-4 - 9) + \hat{k}(10 - 3)$
$= -17\hat{i} + 13\hat{j} + 7\hat{k}$
હવે,માન $|\vec{a} \times \vec{b}|$ આ મુજબ છે:
$|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{(-17)^2 + (13)^2 + (7)^2}$
$= \sqrt{289 + 169 + 49}$
$= \sqrt{507}$

(A) આપેલ છે કે $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{b} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$.
પ્રથમ,$\vec{a} + \vec{b} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}$ શોધો.
ત્યારબાદ,$\vec{a} - \vec{b} = 0\hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k}$ શોધો.
બંને સદિશોને લંબ સદિશ મેળવવા માટે તેમનો ક્રોસ ગુણાકાર $\vec{c} = (\vec{a} + \vec{b}) \times (\vec{a} - \vec{b})$ કરો.
$\vec{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 4 \\ 0 & -1 & -2 \end{vmatrix} = -2\hat{i} + 4\hat{j} - 2\hat{k}$.
તેનું માન $|\vec{c}| = \sqrt{(-2)^2 + 4^2 + (-2)^2} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$ છે.
માટે,જરૂરી એકમ સદિશ $\frac{\vec{c}}{|\vec{c}|} = \frac{-2\hat{i} + 4\hat{j} - 2\hat{k}}{2\sqrt{6}} = \frac{-1}{\sqrt{6}}\hat{i} + \frac{2}{\sqrt{6}}\hat{j} - \frac{1}{\sqrt{6}}\hat{k}$ થાય.

(B) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(1, 1, 1)$,$B(1, 2, 3)$ અને $C(2, 3, 1)$ છે.
પ્રથમ,આપણે સદિશો $\overrightarrow{AB}$ અને $\overrightarrow{AC}$ શોધીએ:
$\overrightarrow{AB} = (1-1)\hat{i} + (2-1)\hat{j} + (3-1)\hat{k} = 0\hat{i} + 1\hat{j} + 2\hat{k} = \hat{j} + 2\hat{k}$
$\overrightarrow{AC} = (2-1)\hat{i} + (3-1)\hat{j} + (1-1)\hat{k} = 1\hat{i} + 2\hat{j} + 0\hat{k} = \hat{i} + 2\hat{j}$
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
હવે,સદિશ ગુણાકાર $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$ ની ગણતરી કરીએ:
$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}(0 - 4) - \hat{j}(0 - 2) + \hat{k}(0 - 1) = -4\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$.
આગળ,સદિશ ગુણાકારનું માન શોધો:
$|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \sqrt{(-4)^2 + (2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{16 + 4 + 1} = \sqrt{21}$.
આમ,ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \sqrt{21}$ ચોરસ એકમ છે.

(A) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ જેની પાસપાસેની બાજુઓ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ હોય,તે તેમના સદિશ ગુણાકારના માન દ્વારા આપવામાં આવે છે,એટલે કે $|\vec{a} \times \vec{b}|$.
પ્રથમ,આપણે નિશ્ચાયકની રીતનો ઉપયોગ કરીને સદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \times \vec{b}$ શોધીએ:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 1 & 4 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}(1(1) - 4(-1)) - \hat{j}(3(1) - 4(1)) + \hat{k}(3(-1) - 1(1))$
$= \hat{i}(1 + 4) - \hat{j}(3 - 4) + \hat{k}(-3 - 1)$
$= 5\hat{i} + \hat{j} - 4\hat{k}$.
હવે,આપણે મળેલા સદિશનું માન શોધીએ:
$|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{(5)^2 + (1)^2 + (-4)^2}$
$= \sqrt{25 + 1 + 16} = \sqrt{42}$.
આમ,સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $\sqrt{42}$ ચોરસ એકમ છે.

(A) અહીં,$\vec{a} = \hat{i} - 7\hat{j} + 7\hat{k}$ અને $\vec{b} = 3\hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}$ આપેલ છે.
સદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \times \vec{b}$ નિશ્ચાયક દ્વારા મેળવી શકાય છે:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -7 & 7 \\ 3 & -2 & 2 \end{vmatrix}$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$= \hat{i}((-7)(2) - (7)(-2)) - \hat{j}((1)(2) - (7)(3)) + \hat{k}((1)(-2) - (-7)(3))$
$= \hat{i}(-14 + 14) - \hat{j}(2 - 21) + \hat{k}(-2 + 21)$
$= 0\hat{i} + 19\hat{j} + 19\hat{k}$
હવે,માન $|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{0^2 + 19^2 + 19^2}$
$= \sqrt{19^2 + 19^2} = \sqrt{2 \times 19^2} = 19\sqrt{2}$.

(A) આપેલ છે કે $\vec{a}=3 \hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k}$ અને $\vec{b}=\hat{i}+2 \hat{j}-2 \hat{k}$.
પ્રથમ,સદિશોનો સરવાળો અને તફાવત શોધો:
$\vec{a}+\vec{b} = 4\hat{i} + 4\hat{j}$
$\vec{a}-\vec{b} = 2\hat{i} + 4\hat{k}$
હવે,ક્રોસ પ્રોડક્ટ $(\vec{a}+\vec{b}) \times (\vec{a}-\vec{b})$ શોધો:
$(\vec{a}+\vec{b}) \times (\vec{a}-\vec{b}) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 4 & 4 & 0 \\ 2 & 0 & 4 \end{vmatrix} = 16\hat{i} - 16\hat{j} - 8\hat{k}$
ક્રોસ પ્રોડક્ટનું માન શોધો:
$|(\vec{a}+\vec{b}) \times (\vec{a}-\vec{b})| = \sqrt{16^2 + (-16)^2 + (-8)^2} = 24$
બંનેને લંબ એકમ સદિશ:
$\pm \frac{16\hat{i} - 16\hat{j} - 8\hat{k}}{24} = \pm \frac{2\hat{i} - 2\hat{j} - \hat{k}}{3} = \pm \frac{2}{3}\hat{i} \mp \frac{2}{3}\hat{j} \mp \frac{1}{3}\hat{k}$

(N/A) અમે સદિશ ગુણાકારના સરવાળા પર વિભાજનના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$(\vec{a}-\vec{b}) \times(\vec{a}+\vec{b}) = (\vec{a}-\vec{b}) \times \vec{a} + (\vec{a}-\vec{b}) \times \vec{b}$
$= (\vec{a} \times \vec{a}) - (\vec{b} \times \vec{a}) + (\vec{a} \times \vec{b}) - (\vec{b} \times \vec{b})$
કોઈપણ સદિશનો પોતાની સાથેનો સદિશ ગુણાકાર શૂન્ય સદિશ હોવાથી,એટલે કે $\vec{a} \times \vec{a} = \vec{0}$ અને $\vec{b} \times \vec{b} = \vec{0}$,અને પ્રતિ-ક્રમિક ગુણધર્મ $\vec{b} \times \vec{a} = -(\vec{a} \times \vec{b})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \vec{0} - (-\vec{a} \times \vec{b}) + (\vec{a} \times \vec{b}) - \vec{0}$
$= (\vec{a} \times \vec{b}) + (\vec{a} \times \vec{b})$
$= 2(\vec{a} \times \vec{b})$
આમ,આપેલ પદ સાબિત થાય છે.

(A) આપેલ છે કે બે સદિશોનો ક્રોસ ગુણાકાર શૂન્ય સદિશ છે: $(2 \hat{i}+6 \hat{j}+27 \hat{k}) \times(\hat{i}+\lambda \hat{j}+\mu \hat{k})=\overrightarrow{0}$.
આપણે ક્રોસ ગુણાકારને નિશ્ચાયક તરીકે દર્શાવી શકીએ:
$\left|\begin{array}{ccc}\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 6 & 27 \\ 1 & \lambda & \mu\end{array}\right|=0 \hat{i}+0 \hat{j}+0 \hat{k}$.
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$\hat{i}(6 \mu-27 \lambda)-\hat{j}(2 \mu-27)+\hat{k}(2 \lambda-6)=0 \hat{i}+0 \hat{j}+0 \hat{k}$.
બંને બાજુના ઘટકોની સરખામણી કરતા:
$1) \ 6 \mu-27 \lambda=0$
$2) \ -(2 \mu-27)=0 \Rightarrow 2 \mu=27 \Rightarrow \mu=\frac{27}{2}$
$3) \ 2 \lambda-6=0 \Rightarrow 2 \lambda=6 \Rightarrow \lambda=3$.
$\lambda=3$ ને પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા: $6(\frac{27}{2}) - 27(3) = 81 - 81 = 0$,જે સુસંગત છે.
આમ,$\lambda=3$ અને $\mu=\frac{27}{2}$ મળે છે.

(N/A) આપેલ છે કે $\vec{a}=a_{1} \hat{i}+a_{2} \hat{j}+a_{3} \hat{k}$,$\vec{b}=b_{1} \hat{i}+b_{2} \hat{j}+b_{3} \hat{k}$,અને $\vec{c}=c_{1} \hat{i}+c_{2} \hat{j}+c_{3} \hat{k}$.
પ્રથમ,$(\vec{b}+\vec{c}) = (b_{1}+c_{1}) \hat{i} + (b_{2}+c_{2}) \hat{j} + (b_{3}+c_{3}) \hat{k}$ ગણો.
હવે,$\vec{a} \times(\vec{b}+\vec{c}) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1}+c_{1} & b_{2}+c_{2} & b_{3}+c_{3} \end{vmatrix}$
$= \hat{i}[a_{2}(b_{3}+c_{3}) - a_{3}(b_{2}+c_{2})] - \hat{j}[a_{1}(b_{3}+c_{3}) - a_{3}(b_{1}+c_{1})] + \hat{k}[a_{1}(b_{2}+c_{2}) - a_{2}(b_{1}+c_{1})]$
$= \hat{i}[a_{2}b_{3} + a_{2}c_{3} - a_{3}b_{2} - a_{3}c_{2}] + \hat{j}[a_{3}b_{1} + a_{3}c_{1} - a_{1}b_{3} - a_{1}c_{3}] + \hat{k}[a_{1}b_{2} + a_{1}c_{2} - a_{2}b_{1} - a_{2}c_{1}] \dots (1)$
આગળ,$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{vmatrix} = \hat{i}(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}) + \hat{j}(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}) + \hat{k}(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}) \dots (2)$
અને $\vec{a} \times \vec{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{vmatrix} = \hat{i}(a_{2}c_{3}-a_{3}c_{2}) + \hat{j}(a_{3}c_{1}-a_{1}c_{3}) + \hat{k}(a_{1}c_{2}-a_{2}c_{1}) \dots (3)$
$(2)$ અને $(3)$ નો સરવાળો કરતા:
$(\vec{a} \times \vec{b}) + (\vec{a} \times \vec{c}) = \hat{i}(a_{2}b_{3} + a_{2}c_{3} - a_{3}b_{2} - a_{3}c_{2}) + \hat{j}(a_{3}b_{1} + a_{3}c_{1} - a_{1}b_{3} - a_{1}c_{3}) + \hat{k}(a_{1}b_{2} + a_{1}c_{2} - a_{2}b_{1} - a_{2}c_{1}) \dots (4)$
$(1)$ અને $(4)$ ની સરખામણી કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $\vec{a} \times(\vec{b}+\vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}$. આમ સાબિત થાય છે.

(B) આપેલ વિધાનનું પ્રતિપ વિધાન આ મુજબ છે: જો $\vec{a} \times \vec{b}=\overrightarrow{0}$ હોય,તો $\vec{a}=\overrightarrow{0}$ અથવા $\vec{b}=\overrightarrow{0}$ થાય.
આ પ્રતિપ વિધાન હંમેશા સત્ય હોતું નથી.
બે શૂન્યતર સમાંતર સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ લો.
ધારો કે $\vec{a}=2 \hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k}$ અને $\vec{b}=4 \hat{i}+6 \hat{j}+8 \hat{k}.$
સદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા:
$\vec{a} \times \vec{b}=\left|\begin{array}{ccc}\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 4 \\ 4 & 6 & 8\end{array}\right| = \hat{i}(24-24) - \hat{j}(16-16) + \hat{k}(12-12) = \overrightarrow{0}.$
અહીં,$|\vec{a}| = \sqrt{2^2+3^2+4^2} = \sqrt{29} \neq 0$ અને $|\vec{b}| = \sqrt{4^2+6^2+8^2} = \sqrt{116} \neq 0.$
અહીં $\vec{a} \times \vec{b} = \overrightarrow{0}$ છે,છતાં $\vec{a} \neq \overrightarrow{0}$ અને $\vec{b} \neq \overrightarrow{0}$ હોવાથી,આ પ્રતિપ વિધાન સત્ય નથી.

(A) ત્રિકોણ $ABC$ ના શિરોબિંદુઓ $A(1,1,2), B(2,3,5)$ અને $C(1,5,5)$ આપેલા છે.
સદિશો $\overrightarrow{AB}$ અને $\overrightarrow{AC}$ નીચે મુજબ છે:
$\overrightarrow{AB} = (2-1)\hat{i} + (3-1)\hat{j} + (5-2)\hat{k} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$
$\overrightarrow{AC} = (1-1)\hat{i} + (5-1)\hat{j} + (5-2)\hat{k} = 0\hat{i} + 4\hat{j} + 3\hat{k}$
$\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}|$ દ્વારા મળે છે.
$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(6-12) - \hat{j}(3-0) + \hat{k}(4-0) = -6\hat{i} - 3\hat{j} + 4\hat{k}$.
$|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \sqrt{(-6)^2 + (-3)^2 + 4^2} = \sqrt{36 + 9 + 16} = \sqrt{61}$.
તેથી,$\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{\sqrt{61}}{2}$ ચોરસ એકમ છે.

(A) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ જેની પાસપાસેની બાજુઓ સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ દ્વારા દર્શાવેલ હોય,તે તેમના સદિશ ગુણાકારના માન $|\vec{a} \times \vec{b}|$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ સદિશો $\vec{a} = \hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}$ અને $\vec{b} = 2\hat{i} - 7\hat{j} + \hat{k}$ છે.
પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \times \vec{b}$ શોધો:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 3 \\ 2 & -7 & 1 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}((-1)(1) - (3)(-7)) - \hat{j}((1)(1) - (3)(2)) + \hat{k}((1)(-7) - (-1)(2))$
$= \hat{i}(-1 + 21) - \hat{j}(1 - 6) + \hat{k}(-7 + 2)$
$= 20\hat{i} + 5\hat{j} - 5\hat{k}$.
હવે,તેનું માન $|\vec{a} \times \vec{b}|$ શોધો:
$|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{(20)^2 + (5)^2 + (-5)^2}$
$= \sqrt{400 + 25 + 25}$
$= \sqrt{450}$
$= \sqrt{225 \times 2}$
$= 15\sqrt{2}$.
આમ,સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $15\sqrt{2}$ ચોરસ એકમ છે.

(B) લંબચોરસ $ABCD$ ના શિરોબિંદુઓ $A, B, C$ અને $D$ ના સ્થાન સદિશો નીચે મુજબ છે:
$\overrightarrow{OA} = -\hat{i} + \frac{1}{2}\hat{j} + 4\hat{k}, \overrightarrow{OB} = \hat{i} + \frac{1}{2}\hat{j} + 4\hat{k}$
$\overrightarrow{OC} = \hat{i} - \frac{1}{2}\hat{j} + 4\hat{k}, \overrightarrow{OD} = -\hat{i} - \frac{1}{2}\hat{j} + 4\hat{k}$
પાસેની બાજુઓ $\overrightarrow{AB}$ અને $\overrightarrow{BC}$ ની ગણતરી નીચે મુજબ છે:
$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = (1 - (-1))\hat{i} + (\frac{1}{2} - \frac{1}{2})\hat{j} + (4 - 4)\hat{k} = 2\hat{i}$
$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB} = (1 - 1)\hat{i} + (-\frac{1}{2} - \frac{1}{2})\hat{j} + (4 - 4)\hat{k} = -\hat{j}$
લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ તેની પાસેની બાજુઓના સદિશ ગુણાકારના માન જેટલું હોય છે:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{BC}|$
$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{BC} = (2\hat{i}) \times (-\hat{j}) = -2(\hat{i} \times \hat{j}) = -2\hat{k}$
$|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{BC}| = |-2\hat{k}| = 2$
આમ,લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $2$ ચોરસ એકમ છે.

(A) ધારો કે પાસપાસેની બાજુઓ $\vec{a} = 2 \hat{i}-4 \hat{j}+5 \hat{k}$ અને $\vec{b} = \hat{i}-2 \hat{j}-3 \hat{k}$ છે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનો વિકર્ણ $\vec{d} = \vec{a} + \vec{b} = (2+1) \hat{i} + (-4-2) \hat{j} + (5-3) \hat{k} = 3 \hat{i} - 6 \hat{j} + 2 \hat{k}$ દ્વારા મળે છે.
વિકર્ણનું માન $|\vec{d}| = \sqrt{3^2 + (-6)^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 36 + 4} = \sqrt{49} = 7$ છે.
વિકર્ણને સમાંતર એકમ સદિશ $\frac{\vec{d}}{|\vec{d}|} = \frac{3 \hat{i} - 6 \hat{j} + 2 \hat{k}}{7} = \frac{3}{7} \hat{i} - \frac{6}{7} \hat{j} + \frac{2}{7} \hat{k}$ છે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $|\vec{a} \times \vec{b}|$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -4 & 5 \\ 1 & -2 & -3 \end{vmatrix} = \hat{i}(12 - (-10)) - \hat{j}(-6 - 5) + \hat{k}(-4 - (-4)) = 22 \hat{i} + 11 \hat{j} + 0 \hat{k}$.
ક્ષેત્રફળ $= |22 \hat{i} + 11 \hat{j}| = \sqrt{22^2 + 11^2} = \sqrt{484 + 121} = \sqrt{605} = 11 \sqrt{5}$ ચોરસ એકમ.

(A) ધારો કે $\vec{d}=d_{1} \hat{i}+d_{2} \hat{j}+d_{3} \hat{k}$.
કારણ કે $\vec{d}$ એ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ બંનેને લંબ છે,તેથી $\vec{d} \cdot \vec{a} = 0$ અને $\vec{d} \cdot \vec{b} = 0$.
$\vec{d} \cdot \vec{a} = d_{1} + 4d_{2} + 2d_{3} = 0$ .....$(i)$
$\vec{d} \cdot \vec{b} = 3d_{1} - 2d_{2} + 7d_{3} = 0$ .....$(ii)$
વળી,આપેલ છે કે $\vec{c} \cdot \vec{d} = 15$,તેથી $2d_{1} - d_{2} + 4d_{3} = 15$ .....$(iii)$
$(i)$ પરથી,$d_{1} = -4d_{2} - 2d_{3}$. આને $(ii)$ માં મૂકતા:
$3(-4d_{2} - 2d_{3}) - 2d_{2} + 7d_{3} = 0 \Rightarrow -12d_{2} - 6d_{3} - 2d_{2} + 7d_{3} = 0 \Rightarrow -14d_{2} + d_{3} = 0 \Rightarrow d_{3} = 14d_{2}$.
$d_{3} = 14d_{2}$ ને $(i)$ માં મૂકતા:
$d_{1} + 4d_{2} + 2(14d_{2}) = 0 \Rightarrow d_{1} + 4d_{2} + 28d_{2} = 0 \Rightarrow d_{1} = -32d_{2}$.
હવે $d_{1}$ અને $d_{3}$ ને $(iii)$ માં મૂકતા:
$2(-32d_{2}) - d_{2} + 4(14d_{2}) = 15 \Rightarrow -64d_{2} - d_{2} + 56d_{2} = 15 \Rightarrow -9d_{2} = 15 \Rightarrow d_{2} = -\frac{15}{9} = -\frac{5}{3}$.
તેથી $d_{1} = -32(-\frac{5}{3}) = \frac{160}{3}$ અને $d_{3} = 14(-\frac{5}{3}) = -\frac{70}{3}$.
આમ,$\vec{d} = \frac{160}{3} \hat{i} - \frac{5}{3} \hat{j} - \frac{70}{3} \hat{k} = \frac{1}{3}(160 \hat{i} - 5 \hat{j} - 70 \hat{k})$.

(A) ધારો કે $\vec{a} = \hat{i} + 2 \hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{b} = -\hat{i} + 3 \hat{j} + 4 \hat{k}$ છે.
$\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ને સમાવતા સમતલને લંબ સદિશ ક્રોસ પ્રોડક્ટ $\vec{a} \times \vec{b}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 1 \\ -1 & 3 & 4 \end{vmatrix} = \hat{i}(8 - 3) - \hat{j}(4 + 1) + \hat{k}(3 + 2) = 5\hat{i} - 5\hat{j} + 5\hat{k}$.
આ સદિશનું માન $|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{5^2 + (-5)^2 + 5^2} = \sqrt{25 + 25 + 25} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}$ છે.
સમતલને લંબ એકમ સદિશ $\hat{n} = \frac{\vec{a} \times \vec{b}}{|\vec{a} \times \vec{b}|} = \frac{5\hat{i} - 5\hat{j} + 5\hat{k}}{5\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}(\hat{i} - \hat{j} + \hat{k})$ છે.
સમતલને લંબ $10\sqrt{3}$ માન ધરાવતા સદિશો $\pm 10\sqrt{3} \times \hat{n} = \pm 10\sqrt{3} \times \frac{1}{\sqrt{3}}(\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) = \pm 10(\hat{i} - \hat{j} + \hat{k})$ દ્વારા મળે છે.
આમ,જરૂરી સદિશો $10\hat{i} - 10\hat{j} + 10\hat{k}$ અને $-10\hat{i} + 10\hat{j} - 10\hat{k}$ છે.

(A) ધારો કે ત્રિકોણની ત્રણ બાજુઓ $BC, CA$ અને $AB$ ને અનુક્રમે સદિશો $\vec{a}, \vec{b}$ અને $\vec{c}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે (આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ).
આપણી પાસે $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે $\vec{a} + \vec{b} = -\vec{c}$.
બંને બાજુ $\vec{a}$ સાથે ક્રોસ પ્રોડક્ટ લેતા: $\vec{a} \times (\vec{a} + \vec{b}) = \vec{a} \times (-\vec{c}) \Rightarrow \vec{a} \times \vec{a} + \vec{a} \times \vec{b} = -\vec{a} \times \vec{c} \Rightarrow \vec{0} + \vec{a} \times \vec{b} = \vec{c} \times \vec{a} \Rightarrow \vec{a} \times \vec{b} = \vec{c} \times \vec{a}$.
તે જ રીતે,$\vec{a} + \vec{b} = -\vec{c}$ ની બંને બાજુ $\vec{b}$ સાથે ક્રોસ પ્રોડક્ટ લેતા: $(\vec{a} + \vec{b}) \times \vec{b} = -\vec{c} \times \vec{b} \Rightarrow \vec{a} \times \vec{b} + \vec{b} \times \vec{b} = \vec{b} \times \vec{c} \Rightarrow \vec{a} \times \vec{b} = \vec{b} \times \vec{c}$.
આમ,$\vec{a} \times \vec{b} = \vec{b} \times \vec{c} = \vec{c} \times \vec{a}$.
આ સદિશોના માન લેતા: $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{b} \times \vec{c}| = |\vec{c} \times \vec{a}|$.
ક્રોસ પ્રોડક્ટની વ્યાખ્યા $|\vec{u} \times \vec{v}| = |\vec{u}||\vec{v}| \sin \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\theta$ એ સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો છે:
$|\vec{a}||\vec{b}| \sin(\pi - C) = |\vec{b}||\vec{c}| \sin(\pi - A) = |\vec{c}||\vec{a}| \sin(\pi - B)$.
કારણ કે $\sin(\pi - \theta) = \sin \theta$,આપણને મળે છે:
$ab \sin C = bc \sin A = ca \sin B$.
આખા સમીકરણને $abc$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{ab \sin C}{abc} = \frac{bc \sin A}{abc} = \frac{ca \sin B}{abc} \Rightarrow \frac{\sin C}{c} = \frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b}$.
તેથી,$\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c}$.

(A) ધારો કે $\vec{a} = 2 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}$ અને $\vec{b} = 4 \hat{i}-\hat{j}+3 \hat{k}$.
$\vec{a}$ અને $\vec{b}$ બંનેને લંબ સદિશ તેમના સદિશ ગુણાકાર $\vec{r} = \vec{a} \times \vec{b}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{r} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -1 & 2 \\ 4 & -1 & 3 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}(-3 - (-2)) - \hat{j}(6 - 8) + \hat{k}(-2 - (-4))$
$= \hat{i}(-1) - \hat{j}(-2) + \hat{k}(2) = -\hat{i} + 2 \hat{j} + 2 \hat{k}$.
$\vec{r}$ નું માન $|\vec{r}| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$ છે.
$\vec{r}$ ની દિશામાં એકમ સદિશ $\hat{r} = \frac{\vec{r}}{|\vec{r}|} = \frac{-\hat{i} + 2 \hat{j} + 2 \hat{k}}{3}$ છે.
$\vec{r}$ ની દિશામાં $6$ માન ધરાવતો સદિશ $6 \hat{r} = 6 \left( \frac{-\hat{i} + 2 \hat{j} + 2 \hat{k}}{3} \right) = 2(-\hat{i} + 2 \hat{j} + 2 \hat{k}) = -2 \hat{i} + 4 \hat{j} + 4 \hat{k}$ થાય.

(N/A) આપેલ છે કે,$\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=0$
$\Rightarrow \vec{b}=-\vec{c}-\vec{a}$
હવે,$\vec{a} \times \vec{b}=\vec{a} \times(-\vec{c}-\vec{a})$
$=(\vec{a} \times(-\vec{c}))+(\vec{a} \times(-\vec{a}))$
$=-( \vec{a} \times \vec{c} ) - 0 = \vec{c} \times \vec{a} \ldots (i)$
તે જ રીતે,$\vec{b} \times \vec{c}=(-\vec{c}-\vec{a}) \times \vec{c}$
$=(-\vec{c} \times \vec{c})+(-\vec{a} \times \vec{c})$
$=0 - (\vec{a} \times \vec{c}) = \vec{c} \times \vec{a} \ldots (ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ પરથી,આપણને મળે છે કે $\vec{a} \times \vec{b}=\vec{b} \times \vec{c}=\vec{c} \times \vec{a}$.
ભૌમિતિક અર્થઘટન:
જો $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ એ ત્રિકોણ $ABC$ ની ક્રમમાં લીધેલી બાજુઓ હોય,તો $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=0$ થાય. બે સદિશોના સદિશ ગુણાકારનું માન તે સદિશો દ્વારા બનતા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ દર્શાવે છે. કારણ કે $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{b} \times \vec{c} = \vec{c} \times \vec{a}$ છે,તેથી આ સદિશોમાંથી કોઈપણ બેને પાસપાસેની બાજુઓ તરીકે લઈને બનતા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના ક્ષેત્રફળ સમાન છે. આ હકીકત સાથે સુસંગત છે કે આ સદિશો એક ત્રિકોણ બનાવે છે,અને સદિશ ગુણાકાર એ સદિશો દ્વારા બનતા ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળના બમણા જેટલું મૂલ્ય દર્શાવે છે.

(N/A) શિરોબિંદુઓના સ્થાન સદિશો $\vec{A} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$,$\vec{B} = 2\hat{i} - \hat{j} + 4\hat{k}$,અને $\vec{C} = 4\hat{i} + 5\hat{j} - \hat{k}$ છે.
પ્રથમ,આપણે સદિશો $\vec{AB}$ અને $\vec{AC}$ શોધીએ:
$\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (2-1)\hat{i} + (-1-2)\hat{j} + (4-3)\hat{k} = \hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k}$
$\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} = (4-1)\hat{i} + (5-2)\hat{j} + (-1-3)\hat{k} = 3\hat{i} + 3\hat{j} - 4\hat{k}$
હવે,સદિશ ગુણાકાર $\vec{AB} \times \vec{AC}$ ની ગણતરી કરીએ:
$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -3 & 1 \\ 3 & 3 & -4 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}((-3)(-4) - (1)(3)) - \hat{j}((1)(-4) - (1)(3)) + \hat{k}((1)(3) - (-3)(3))$
$= \hat{i}(12 - 3) - \hat{j}(-4 - 3) + \hat{k}(3 + 9)$
$= 9\hat{i} + 7\hat{j} + 12\hat{k}$
આગળ,સદિશ ગુણાકારનું માન શોધીએ:
$|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{9^2 + 7^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 49 + 144} = \sqrt{274}$
ત્રિકોણ $ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$ દ્વારા મળે છે:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \sqrt{274} \text{ ચોરસ એકમ}$.

(N/A) ધારો કે $ABCD$ અને $ABFE$ એ એક જ પાયા $AB$ પર અને બે સમાંતર રેખાઓ $AB$ અને $DF$ ની વચ્ચે આવેલા બે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
ધારો કે $\overrightarrow{AB} = \vec{a}$ અને $\overrightarrow{AD} = \vec{b}$.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ નું ક્ષેત્રફળ તેની પાસપાસેની બાજુઓના સદિશ ગુણાકારના માન જેટલું હોય છે:
$\text{Area}(ABCD) = |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD}| = |\vec{a} \times \vec{b}|$.
હવે,સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABFE$ માટે,પાસપાસેની બાજુઓ $\overrightarrow{AB}$ અને $\overrightarrow{AE}$ છે.
જેમ કે $D, E, C, F$ એ $AB$ ને સમાંતર એક જ રેખા પર આવેલા છે,આપણે લખી શકીએ કે $\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DE}$.
કારણ કે $\overrightarrow{DE}$ એ $\overrightarrow{AB}$ ને સમાંતર છે,તેથી $\overrightarrow{DE} = k\vec{a}$ જ્યાં $k$ એક અદિશ છે.
આમ,$\overrightarrow{AE} = \vec{b} + k\vec{a}$.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABFE$ નું ક્ષેત્રફળ:
$\text{Area}(ABFE) = |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AE}|$
$= |\vec{a} \times (\vec{b} + k\vec{a})|$
$= |(\vec{a} \times \vec{b}) + (\vec{a} \times k\vec{a})|$
$= |(\vec{a} \times \vec{b}) + k(\vec{a} \times \vec{a})|$.
કોઈપણ સદિશનો પોતાની સાથેનો સદિશ ગુણાકાર શૂન્ય હોવાથી $(\vec{a} \times \vec{a} = \vec{0})$:
$\text{Area}(ABFE) = |\vec{a} \times \vec{b} + \vec{0}| = |\vec{a} \times \vec{b}|$.
તેથી,$\text{Area}(ABFE) = \text{Area}(ABCD)$.
આમ,સાબિત થાય છે કે એક જ પાયા પર અને બે સમાંતર રેખાઓની વચ્ચે આવેલા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના ક્ષેત્રફળ સમાન હોય છે.

(B) આપેલ બિંદુઓ $P(3, -1, 2)$ અને $Q(1, 2, -4)$ છે.
રેખાઓ $PR$ અને $QS$ ના દિક સદિશો $\vec{v_1} = 4\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ અને $\vec{v_2} = -2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$ છે.
$P, T, Q$ ને સમાવતા સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 4 & -1 & 2 \\ -2 & 1 & -2 \end{vmatrix} = 0\hat{i} + 4\hat{j} + 2\hat{k}$ છે.
એકમ અભિલંબ સદિશ $\hat{n} = \frac{4\hat{j} + 2\hat{k}}{\sqrt{20}} = \frac{2\hat{j} + \hat{k}}{\sqrt{5}}$.
છેદબિંદુ $T$ માટે,રેખા $PT: \vec{r} = (3\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}) + \lambda(4\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k})$ અને રેખા $QT: \vec{r} = (\hat{i} + 2\hat{j} - 4\hat{k}) + \mu(-2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k})$.
યામ સરખાવતા: $3+4\lambda = 1-2\mu \Rightarrow 2\lambda + \mu = -1$ અને $-1-\lambda = 2+\mu \Rightarrow \lambda + \mu = -3$.
ઉકેલતા: $\lambda = 2, \mu = -5$.
બિંદુ $T = (11, -3, 6)$.
સદિશ $\vec{OA} = \vec{OT} \pm |\vec{TA}|\hat{n} = (11\hat{i} - 3\hat{j} + 6\hat{k}) \pm (2\hat{j} + \hat{k})$.
કિસ્સો $1$: $\vec{OA} = 11\hat{i} - \hat{j} + 7\hat{k} \Rightarrow |\vec{OA}| = \sqrt{171}$.
કિસ્સો $2$: $\vec{OA} = 11\hat{i} - 5\hat{j} + 5\hat{k} \Rightarrow |\vec{OA}| = \sqrt{171}$.

(N/A) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A, B, C$ છે જેના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ છે.
$\Delta ABC$ નું સદિશ ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\overrightarrow{AB} = \vec{b} - \vec{a}$ અને $\overrightarrow{AC} = \vec{c} - \vec{a}$.
સદિશ ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2}[(\vec{b} - \vec{a}) \times (\vec{c} - \vec{a})]$
$= \frac{1}{2}[\vec{b} \times \vec{c} - \vec{b} \times \vec{a} - \vec{a} \times \vec{c} + \vec{a} \times \vec{a}]$
કારણ કે $\vec{a} \times \vec{a} = 0$,$-\vec{b} \times \vec{a} = \vec{a} \times \vec{b}$,અને $-\vec{a} \times \vec{c} = \vec{c} \times \vec{a}$,તેથી આપણને મળે છે:
સદિશ ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2}[\vec{b} \times \vec{c} + \vec{a} \times \vec{b} + \vec{c} \times \vec{a}]$.
બિંદુઓ સમરેખ હોય તે માટે,ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
તેથી,$\frac{1}{2}[\vec{b} \times \vec{c} + \vec{c} \times \vec{a} + \vec{a} \times \vec{b}] = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\vec{b} \times \vec{c} + \vec{c} \times \vec{a} + \vec{a} \times \vec{b} = 0$.
ત્રિકોણના સમતલને લંબ એકમ સદિશ $\hat{n} = \frac{\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}|} = \frac{\vec{a} \times \vec{b} + \vec{b} \times \vec{c} + \vec{c} \times \vec{a}}{|\vec{a} \times \vec{b} + \vec{b} \times \vec{c} + \vec{c} \times \vec{a}|}$ છે.

(N/A) ધારો કે $\vec{c}=x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}.$
આપેલ છે કે $\vec{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ અને $\vec{b}=\hat{j}-\hat{k}.$
$\vec{a} \times \vec{c}=\vec{b}$ માટે,
$\begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ x & y & z \end{vmatrix} = 0\hat{i} + 1\hat{j} - 1\hat{k}.$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને મળે $\hat{i}(z-y) - \hat{j}(z-x) + \hat{k}(y-x) = 0\hat{i} + 1\hat{j} - 1\hat{k}.$
સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$z-y=0 \implies z=y \quad (i)$
$x-z=1 \implies x=z+1 \quad (ii)$
$y-x=-1 \quad (iii)$
વળી,$\vec{a} \cdot \vec{c}=3 \implies x+y+z=3 \quad (iv).$
$(iv)$ માં $x=z+1$ અને $y=z$ મુકતા:
$(z+1) + z + z = 3 \implies 3z+1=3 \implies 3z=2 \implies z=\frac{2}{3}.$
આમ,$y=\frac{2}{3}$ અને $x=\frac{2}{3}+1=\frac{5}{3}.$
તેથી,$\vec{c}=\frac{5}{3}\hat{i}+\frac{2}{3}\hat{j}+\frac{2}{3}\hat{k} = \frac{1}{3}(5\hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k}).$

(B) સદિશ $\overrightarrow{c}$ એ $\overrightarrow{a}$ અને $\overrightarrow{b}$ બંનેને લંબ હોવાથી,તે તેમના સદિશ ગુણાકાર $\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}$ ને સમાંતર હશે. તેથી,આપણે $\overrightarrow{c}=\lambda(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b})$ લખી શકીએ,જ્યાં $\lambda$ એક અદિશ છે.
પ્રથમ,$\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}$ ની ગણતરી કરીએ:
$\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}=\begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1 - (-2)) - \hat{j}(1 - (-1)) + \hat{k}(2 - 1) = 3\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}.$
આપેલ છે કે $\overrightarrow{c}\cdot(\hat{i}+\hat{j}+3\hat{k})=8,$ તેથી $\overrightarrow{c}=\lambda(3\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k})$ મૂકતા:
$\lambda(3\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k})\cdot(\hat{i}+\hat{j}+3\hat{k})=8$
$\lambda(3(1) + (-2)(1) + (1)(3)) = 8$
$\lambda(3 - 2 + 3) = 8 \Rightarrow 4\lambda = 8 \Rightarrow \lambda = 2.$
હવે,$\overrightarrow{c}\cdot(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b})$ ની કિંમત શોધીએ:
$\overrightarrow{c}\cdot(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}) = \lambda(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}) = \lambda|\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}|^2.$
$|\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}|^2 = 3^2 + (-2)^2 + 1^2 = 9 + 4 + 1 = 14.$
તેથી,$\overrightarrow{c}\cdot(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}) = 2 \times 14 = 28.$

(B) આપેલ છે કે $|\vec{a}|=|\vec{b}|$ અને $\vec{a} \perp \vec{b}$.
વળી,$|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}|$.
કારણ કે $\vec{a} \perp \vec{b}$,તેથી $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}| \sin 90^{\circ} = |\vec{a}||\vec{b}|$.
આ કિંમત આપેલ સમીકરણમાં મૂકતા: $|\vec{a}||\vec{b}| = |\vec{a}|$.
કારણ કે $\vec{a}$ શૂન્યેતર સદિશ છે,$|\vec{a}| \neq 0$,તેથી $|\vec{b}| = 1$. પરિણામે,$|\vec{a}| = 1$.
આમ,$\vec{a}$ અને $\vec{b}$ પરસ્પર લંબ એકમ સદિશો છે.
ધારો કે $\vec{a} = \hat{i}$ અને $\vec{b} = \hat{j}$. તો $\vec{a} \times \vec{b} = \hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$.
ધારો કે $\vec{v} = \vec{a} + \vec{b} + (\vec{a} \times \vec{b}) = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$.
$\vec{v}$ અને $\vec{a}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\cos \theta = \frac{\vec{v} \cdot \vec{a}}{|\vec{v}| |\vec{a}|}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{v} \cdot \vec{a} = (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) \cdot \hat{i} = 1$.
$|\vec{v}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$ અને $|\vec{a}| = 1$.
તેથી,$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{3} \times 1} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
આમ,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$.

(B) આપેલ સદિશો $\vec{a} = \hat{i} + \alpha \hat{j} + 3 \hat{k}$ અને $\vec{b} = 3 \hat{i} - \alpha \hat{j} + \hat{k}$ છે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $|\vec{a} \times \vec{b}| = 8 \sqrt{3}$ છે.
પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \times \vec{b}$ શોધીએ:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & \alpha & 3 \\ 3 & -\alpha & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(\alpha - (-3\alpha)) - \hat{j}(1 - 9) + \hat{k}(-\alpha - 3\alpha) = 4\alpha \hat{i} + 8 \hat{j} - 4\alpha \hat{k}$.
હવે,તેનું માન શોધીએ:
$|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{(4\alpha)^2 + 8^2 + (-4\alpha)^2} = \sqrt{16\alpha^2 + 64 + 16\alpha^2} = \sqrt{32\alpha^2 + 64}$.
આપેલ ક્ષેત્રફળ સાથે સરખાવતા:
$\sqrt{32\alpha^2 + 64} = 8 \sqrt{3} \Rightarrow 32\alpha^2 + 64 = 64 \times 3 = 192$.
$32\alpha^2 = 192 - 64 = 128 \Rightarrow \alpha^2 = 4$.
છેલ્લે,અદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \cdot \vec{b}$ શોધીએ:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(3) + (\alpha)(-\alpha) + (3)(1) = 3 - \alpha^2 + 3 = 6 - \alpha^2$.
$\alpha^2 = 4$ મૂકતા,આપણને $\vec{a} \cdot \vec{b} = 6 - 4 = 2$ મળે છે.

(D) આપેલ છે કે $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$,તેથી $(1)(1) + (5)(3) + (\alpha)(\beta) = 0$,જેનો અર્થ છે કે $1 + 15 + \alpha\beta = 0$,એટલે કે $\alpha\beta = -16$.
આગળ,$\vec{b} \times \vec{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 3 & \beta \\ -1 & 2 & -3 \end{vmatrix} = \hat{i}(-9 - 2\beta) - \hat{j}(-3 + \beta) + \hat{k}(2 + 3) = (-9 - 2\beta)\hat{i} + (3 - \beta)\hat{j} + 5\hat{k}$.
આપેલ છે કે $|\vec{b} \times \vec{c}| = 5\sqrt{3}$,તેથી $|\vec{b} \times \vec{c}|^2 = 75$.
$(-9 - 2\beta)^2 + (3 - \beta)^2 + 5^2 = 75$
$(81 + 36\beta + 4\beta^2) + (9 - 6\beta + \beta^2) + 25 = 75$
$5\beta^2 + 30\beta + 115 = 75$
$5\beta^2 + 30\beta + 40 = 0 \Rightarrow \beta^2 + 6\beta + 8 = 0$.
$\beta$ માટે ઉકેલતા,$(\beta + 4)(\beta + 2) = 0$,તેથી $\beta = -4$ અથવા $\beta = -2$.
જો $\beta = -4$,તો $\alpha = 4$. જો $\beta = -2$,તો $\alpha = 8$.
હવે,$|\vec{a}|^2 = 1^2 + 5^2 + \alpha^2 = 26 + \alpha^2$.
$\alpha = 4$ માટે,$|\vec{a}|^2 = 26 + 16 = 42$.
$\alpha = 8$ માટે,$|\vec{a}|^2 = 26 + 64 = 90$.
સૌથી મોટી કિંમત $90$ છે.

(C) આપેલ છે કે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ સમાન માન ધરાવતા પરસ્પર લંબ સદિશો છે,ધારો કે $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = k$.
સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના નિયમ $\vec{u} \times (\vec{v} \times \vec{w}) = (\vec{u} \cdot \vec{w})\vec{v} - (\vec{u} \cdot \vec{v})\vec{w}$ નો ઉપયોગ કરીને,દરેક પદનું વિસ્તરણ કરતા:
$\vec{a} \times \{(\vec{r}-\vec{b}) \times \vec{a}\} = (\vec{a} \cdot \vec{a})(\vec{r}-\vec{b}) - (\vec{a} \cdot (\vec{r}-\vec{b}))\vec{a} = k^2(\vec{r}-\vec{b}) - (\vec{a} \cdot \vec{r})\vec{a}$.
તે જ રીતે,$\vec{b} \times \{(\vec{r}-\vec{c}) \times \vec{b}\} = k^2(\vec{r}-\vec{c}) - (\vec{b} \cdot \vec{r})\vec{b}$ અને $\vec{c} \times \{(\vec{r}-\vec{a}) \times \vec{c}\} = k^2(\vec{r}-\vec{a}) - (\vec{c} \cdot \vec{r})\vec{c}$.
આ બધાનો સરવાળો કરતા,આપણને $k^2(3\vec{r} - (\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})) - ((\vec{a} \cdot \vec{r})\vec{a} + (\vec{b} \cdot \vec{r})\vec{b} + (\vec{c} \cdot \vec{r})\vec{c}) = \vec{0}$ મળે છે.
કારણ કે $\vec{r} = x\vec{a} + y\vec{b} + z\vec{c}$ જ્યાં $x = \frac{\vec{r} \cdot \vec{a}}{k^2}$,$y = \frac{\vec{r} \cdot \vec{b}}{k^2}$,$z = \frac{\vec{r} \cdot \vec{c}}{k^2}$,તેથી પદાવલિ $k^2(3\vec{r} - (\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})) - k^2(x\vec{a} + y\vec{b} + z\vec{c}) = \vec{0}$ બને છે.
આનું સાદું રૂપ $3\vec{r} - (\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}) - \vec{r} = \vec{0}$ થાય છે,જે $2\vec{r} = \vec{a}+\vec{b}+\vec{c}$ આપે છે.
તેથી,$\vec{r} = \frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})$.

(D) આપેલ છે કે $\vec{a} = 2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$,તેથી $|\vec{a}|^2 = 2^2 + 1^2 + (-2)^2 = 4 + 1 + 4 = 9$,જેનો અર્થ છે કે $|\vec{a}| = 3$.
આપેલ છે કે $|\vec{c} - \vec{a}| = 2\sqrt{2}$. બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે $|\vec{c}|^2 + |\vec{a}|^2 - 2(\vec{c} \cdot \vec{a}) = (2\sqrt{2})^2 = 8$.
કારણ કે $\vec{a} \cdot \vec{c} = |\vec{c}|$,ધારો કે $|\vec{c}| = c$. તો $c^2 + 9 - 2c = 8$.
$c^2 - 2c + 1 = 0 \Rightarrow (c - 1)^2 = 0 \Rightarrow c = 1$. આમ,$|\vec{c}| = 1$.
હવે,$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(0 - (-2)) - \hat{j}(0 - (-2)) + \hat{k}(2 - 1) = 2\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$.
તેનું માન $|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$.
ક્રોસ પ્રોડક્ટનું માન $|(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c}| = |\vec{a} \times \vec{b}| |\vec{c}| \sin(\theta)$,જ્યાં $\theta = \frac{\pi}{6}$.
$|(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c}| = (3)(1) \sin(\frac{\pi}{6}) = 3 \times \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.

(A) આપેલ સદિશો $\vec{p}=2 \hat{i}+3 \hat{j}+\hat{k}$ અને $\vec{q}=\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}$ છે.
પ્રથમ,સદિશોનો સરવાળો અને તફાવત શોધો:
$\vec{p}+\vec{q} = 3\hat{i} + 5\hat{j} + 2\hat{k}$
$\vec{p}-\vec{q} = \hat{i} + \hat{j} + 0\hat{k}$
સદિશ $\vec{r}$ એ $(\vec{p}+\vec{q})$ અને $(\vec{p}-\vec{q})$ બંનેને લંબ હોવાથી,તે તેમના સદિશ ગુણાકાર (cross product) ને સમાંતર હશે:
$(\vec{p}+\vec{q}) \times (\vec{p}-\vec{q}) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 5 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = -2\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}$.
ધારો કે $\vec{v} = -2\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}$. તેનું માન $|\vec{v}| = \sqrt{4+4+4} = 2\sqrt{3}$ છે.
સદિશ $\vec{r} = \pm |\vec{r}| \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} = \pm \sqrt{3} \frac{-2\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}}{2\sqrt{3}} = \pm (-\hat{i} + \hat{j} - \hat{k})$ છે.
આમ,$|\alpha|=1, |\beta|=1, |\gamma|=1$ મળે.
તેથી,$|\alpha|+|\beta|+|\gamma| = 1+1+1 = 3$.

(C) આપેલ છે કે $\vec{a} \times \vec{b} = 13 \hat{i} - \hat{j} - 4 \hat{k}$. કારણ કે $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{b} = 0$,તેથી $(13 \hat{i} - \hat{j} - 4 \hat{k}) \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \lambda \hat{k}) = 0$.
$13 - 1 - 4\lambda = 0 \Rightarrow 4\lambda = 12 \Rightarrow \lambda = 3$.
આમ,$\vec{b} = \hat{i} + \hat{j} + 3 \hat{k}$.
સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના નિયમ $(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{b} = (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{b} - (\vec{b} \cdot \vec{b}) \vec{a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{b} = (13 \hat{i} - \hat{j} - 4 \hat{k}) \times (\hat{i} + \hat{j} + 3 \hat{k}) = \hat{i}(-3+4) - \hat{j}(39+4) + \hat{k}(13+1) = \hat{i} - 43 \hat{j} + 14 \hat{k}$.
આપેલ છે કે $\vec{a} \cdot \vec{b} = -21$ અને $|\vec{b}|^2 = 1^2 + 1^2 + 3^2 = 11$,તેથી $-21 \vec{b} - 11 \vec{a} = \hat{i} - 43 \hat{j} + 14 \hat{k}$.
$-21(\hat{i} + \hat{j} + 3 \hat{k}) - 11 \vec{a} = \hat{i} - 43 \hat{j} + 14 \hat{k} \Rightarrow 11 \vec{a} = -22 \hat{i} + 22 \hat{j} - 77 \hat{k} \Rightarrow \vec{a} = -2 \hat{i} + 2 \hat{j} - 7 \hat{k}$.
હવે,$(\vec{b}-\vec{a}) \cdot(\hat{k}-\hat{j})+(\vec{b}+\vec{a}) \cdot(\hat{i}-\hat{k})$ ની ગણતરી કરીએ:
$\vec{b}-\vec{a} = (1 - (-2))\hat{i} + (1 - 2)\hat{j} + (3 - (-7))\hat{k} = 3 \hat{i} - \hat{j} + 10 \hat{k}$.
$\vec{b}+\vec{a} = (1 - 2)\hat{i} + (1 + 2)\hat{j} + (3 - 7)\hat{k} = -\hat{i} + 3 \hat{j} - 4 \hat{k}$.
$(\vec{b}-\vec{a}) \cdot(\hat{k}-\hat{j}) = (3 \hat{i} - \hat{j} + 10 \hat{k}) \cdot (0 \hat{i} - 1 \hat{j} + 1 \hat{k}) = 0 + 1 + 10 = 11$.
$(\vec{b}+\vec{a}) \cdot(\hat{i}-\hat{k}) = (-\hat{i} + 3 \hat{j} - 4 \hat{k}) \cdot (1 \hat{i} + 0 \hat{j} - 1 \hat{k}) = -1 + 0 + 4 = 3$.
સરવાળો $= 11 + 3 = 14$.

(A) આપેલ છે કે $|\vec{a}|=4$ અને $|\vec{b}|=3$.
આપણે $|(\vec{a}-\vec{b}) \times (\vec{a}+\vec{b})|^{2} + 4(\vec{a} \cdot \vec{b})^{2}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
ક્રોસ પ્રોડક્ટનું વિસ્તરણ કરતા:
$(\vec{a}-\vec{b}) \times (\vec{a}+\vec{b}) = \vec{a} \times \vec{a} + \vec{a} \times \vec{b} - \vec{b} \times \vec{a} - \vec{b} \times \vec{b}$.
કારણ કે $\vec{a} \times \vec{a} = 0$ અને $\vec{b} \times \vec{b} = 0$,અને $\vec{b} \times \vec{a} = -(\vec{a} \times \vec{b})$,તેથી:
$(\vec{a}-\vec{b}) \times (\vec{a}+\vec{b}) = 0 + \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{b} - 0 = 2(\vec{a} \times \vec{b})$.
હવે,$|2(\vec{a} \times \vec{b})|^{2} = 4|\vec{a} \times \vec{b}|^{2} = 4|\vec{a}|^{2}|\vec{b}|^{2} \sin^{2} \theta$.
વળી,$4(\vec{a} \cdot \vec{b})^{2} = 4(|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta)^{2} = 4|\vec{a}|^{2}|\vec{b}|^{2} \cos^{2} \theta$.
આ બંનેનો સરવાળો કરતા:
$4|\vec{a}|^{2}|\vec{b}|^{2} \sin^{2} \theta + 4|\vec{a}|^{2}|\vec{b}|^{2} \cos^{2} \theta = 4|\vec{a}|^{2}|\vec{b}|^{2} (\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta) = 4|\vec{a}|^{2}|\vec{b}|^{2}$.
$|\vec{a}|=4$ અને $|\vec{b}|=3$ ની કિંમતો મૂકતા:
$4 \times (4)^{2} \times (3)^{2} = 4 \times 16 \times 9 = 576$.

(D) વિકર્ણો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ધરાવતા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $\text{Area} = \frac{1}{2} |\vec{a} \times \vec{b}| = 2 \sqrt{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$|\vec{a} \times \vec{b}| = 4 \sqrt{2}$.
આપેલ છે કે $|\vec{a}|=1$ અને $|\vec{a} \cdot \vec{b}| = |\vec{a} \times \vec{b}|$,તેથી આપણી પાસે $|\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta$ છે,જ્યાં $\theta$ એ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
કારણ કે $\theta$ લઘુકોણ છે,$\cos \theta = \sin \theta \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{4}$.
હવે,$|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \frac{\pi}{4} = 1 \cdot |\vec{b}| \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 4 \sqrt{2} \Rightarrow |\vec{b}| = 8$.
આપેલ છે કે $\vec{c} = 2 \sqrt{2}(\vec{a} \times \vec{b}) - 2 \vec{b}$.
કારણ કે $(\vec{a} \times \vec{b})$ એ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ બંનેને લંબ છે,સદિશો $(2 \sqrt{2}(\vec{a} \times \vec{b}))$ અને $(-2 \vec{b})$ પરસ્પર લંબ છે.
તેથી,$|\vec{c}|^2 = |2 \sqrt{2}(\vec{a} \times \vec{b})|^2 + |-2 \vec{b}|^2 = 8(4 \sqrt{2})^2 + 4(8)^2 = 8(32) + 4(64) = 256 + 256 = 512$.
$|\vec{c}| = \sqrt{512} = 16 \sqrt{2}$.
હવે,$\vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot (2 \sqrt{2}(\vec{a} \times \vec{b}) - 2 \vec{b}) = 2 \sqrt{2} (\vec{b} \cdot (\vec{a} \times \vec{b})) - 2 |\vec{b}|^2 = 0 - 2(8)^2 = -128$.
ધારો કે $\alpha$ એ $\vec{b}$ અને $\vec{c}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે. તો $\cos \alpha = \frac{\vec{b} \cdot \vec{c}}{|\vec{b}| |\vec{c}|} = \frac{-128}{8 \cdot 16 \sqrt{2}} = \frac{-128}{128 \sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$\alpha = \frac{3 \pi}{4}$.

(D) આપેલ સદિશો $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ અને $\vec{c} = 2\hat{i} - 3\hat{j} + 2\hat{k}$ છે.
આપણને શરત $\vec{b} \times \vec{c} = \vec{a}$ આપેલ છે.
સદિશ ગુણાકારની વ્યાખ્યા મુજબ,સદિશ $\vec{a}$ એ $\vec{b}$ અને $\vec{c}$ બંનેને લંબ હોવો જોઈએ.
આનો અર્થ એ થાય કે $\vec{a} \cdot \vec{c} = 0$ થવું જોઈએ.
ચાલો આપણે ડોટ પ્રોડક્ટ $\vec{a} \cdot \vec{c}$ ની ગણતરી કરીએ:
$\vec{a} \cdot \vec{c} = (1)(2) + (1)(-3) + (-1)(2) = 2 - 3 - 2 = -3$.
અહીં $\vec{a} \cdot \vec{c} = -3 \neq 0$ હોવાથી,સદિશ $\vec{a}$ એ $\vec{c}$ ને લંબ નથી.
તેથી,એવો કોઈ સદિશ $\vec{b}$ અસ્તિત્વ ધરાવતો નથી કે જેથી $\vec{b} \times \vec{c} = \vec{a}$ થાય.
આમ,આવા સદિશો $\vec{b}$ ની સંખ્યા $0$ છે.

(D) આપેલ છે કે $\overrightarrow{a} = \alpha \hat{i} + 2 \hat{j} - \hat{k}$ અને $\overrightarrow{b} = -2 \hat{i} + \alpha \hat{j} + \hat{k}$.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $|\vec{a} \times \vec{b}|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા: $\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \alpha & 2 & -1 \\ -2 & \alpha & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(2 + \alpha) - \hat{j}(\alpha - 2) + \hat{k}(\alpha^{2} + 4)$.
$|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{(\alpha + 2)^{2} + (\alpha - 2)^{2} + (\alpha^{2} + 4)^{2}} = \sqrt{\alpha^{2} + 4\alpha + 4 + \alpha^{2} - 4\alpha + 4 + (\alpha^{2} + 4)^{2}} = \sqrt{2(\alpha^{2} + 4) + (\alpha^{2} + 4)^{2}}$.
આપેલ છે કે $|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{15(\alpha^{2} + 4)}$,તેથી $2(\alpha^{2} + 4) + (\alpha^{2} + 4)^{2} = 15(\alpha^{2} + 4)$.
$(\alpha^{2} + 4)$ વડે ભાગતા,આપણને $2 + (\alpha^{2} + 4) = 15$ મળે છે,તેથી $\alpha^{2} + 4 = 13$,જેનો અર્થ છે કે $\alpha^{2} = 9$.
હવે,$|\vec{a}|^{2} = \alpha^{2} + 2^{2} + (-1)^{2} = \alpha^{2} + 5 = 9 + 5 = 14$.
$|\vec{b}|^{2} = (-2)^{2} + \alpha^{2} + 1^{2} = 4 + \alpha^{2} + 1 = \alpha^{2} + 5 = 14$.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = \alpha(-2) + 2(\alpha) + (-1)(1) = -2\alpha + 2\alpha - 1 = -1$.
અંતે,$2|\vec{a}|^{2} + (\vec{a} \cdot \vec{b})|\vec{b}|^{2} = 2(14) + (-1)(14) = 28 - 14 = 14$.

(A) $\overrightarrow{a}$ નો $\overrightarrow{c}$ પરનો પ્રક્ષેપ $\frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{c}|} = \frac{10}{3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c} = (\alpha)(1) + (3)(2) + (-1)(-2) = \alpha + 6 + 2 = \alpha + 8$ ગણતા.
$|\overrightarrow{c}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$ ગણતા.
આમ,$\frac{\alpha + 8}{3} = \frac{10}{3} \Rightarrow \alpha + 8 = 10 \Rightarrow \alpha = 2$.
હવે,આપણે $\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}$ ગણીએ:
$\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -\beta & 4 \\ 1 & 2 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(2\beta - 8) - \hat{j}(-6 - 4) + \hat{k}(6 + \beta) = (2\beta - 8)\hat{i} + 10\hat{j} + (6 + \beta)\hat{k}$.
આપેલ છે કે $\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c} = -6 \hat{i} + 10 \hat{j} + 7 \hat{k}$,ઘટકોની સરખામણી કરતા:
$2\beta - 8 = -6 \Rightarrow 2\beta = 2 \Rightarrow \beta = 1$.
તેથી,$\alpha + \beta = 2 + 1 = 3$.

(A) પ્રથમ સમતલનો અભિલંબ $\vec{n}_{1} = \hat{i} \times (\hat{i} + \hat{j}) = \hat{k}$ છે.
બીજા સમતલનો અભિલંબ $\vec{n}_{2} = (\hat{i} - \hat{j}) \times (\hat{i} + \hat{k}) = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ છે.
છેદરેખા $\vec{v} = \vec{n}_{1} \times \vec{n}_{2} = \hat{k} \times (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = -\hat{i} + \hat{j}$ ને સમાંતર છે.
તેથી,$\vec{a} = -\hat{i} + \hat{j}$.
આપેલ છે કે $\vec{b} = \hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}$.
$\vec{a}$ અને $\vec{b}$ વચ્ચેના ખૂણા $\theta$ માટે $\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$ થાય.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (-1)(1) + (1)(-2) + (0)(2) = -1 - 2 = -3$.
$|\vec{a}| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
$|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2} = 3$.
$\cos \theta = \frac{-3}{\sqrt{2} \times 3} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$.
આમ,ગુરુકોણ $\theta = \frac{3\pi}{4}$ થાય.

(D) સૌ પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \times \vec{b}$ શોધો:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \alpha & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -\alpha \end{vmatrix} = (1 - \alpha) \hat{i} + (\alpha^2 - 2) \hat{j} + (\alpha - 2) \hat{k}$.
ધારો કે $\vec{v} = \vec{a} \times \vec{b}$ અને $\vec{c} = -\hat{i} + 2 \hat{j} - 2 \hat{k}$. સદિશ $\vec{c}$ નું માન $|\vec{c}| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + (-2)^2} = 3$ છે.
પ્રક્ષેપનું સૂત્ર $\frac{\vec{v} \cdot \vec{c}}{|\vec{c}|} = 30$ છે.
$\vec{v} \cdot \vec{c} = (1 - \alpha)(-1) + (\alpha^2 - 2)(2) + (\alpha - 2)(-2) = 2\alpha^2 - \alpha - 1$.
તેથી,$\frac{2\alpha^2 - \alpha - 1}{3} = 30 \implies 2\alpha^2 - \alpha - 91 = 0$.
આ દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા,$(\alpha - 7)(2\alpha + 13) = 0$.
તેથી $\alpha = 7$ અથવા $\alpha = -\frac{13}{2}$.
શરત $\alpha > 0$ હોવાથી,$\alpha = 7$ મળે.

(D) આપેલ છે કે $\vec{a} \times \vec{b} = 4\vec{c}$,$\vec{b} \times \vec{c} = 9\vec{a}$,અને $\vec{c} \times \vec{a} = \alpha\vec{b}$.
પ્રથમ સમીકરણનું માન લેતા: $|\vec{a} \times \vec{b}| = |4\vec{c}| \implies |\vec{a}||\vec{b}| = 4|\vec{c}|$.
તે જ રીતે,$|\vec{b}||\vec{c}| = 9|\vec{a}|$ અને $|\vec{c}||\vec{a}| = \alpha|\vec{b}|$.
આ ત્રણેય સમીકરણોનો ગુણાકાર કરતા: $(|\vec{a}||\vec{b}||\vec{c}|)^2 = 36\alpha |\vec{a}||\vec{b}||\vec{c}| \implies |\vec{a}||\vec{b}||\vec{c}| = 36\alpha$.
સમીકરણો ઉકેલતા $|\vec{a}| = 2\sqrt{\alpha}, |\vec{b}| = 6, |\vec{c}| = 3\sqrt{\alpha}$ મળે છે.
સરવાળો $|\vec{a}| + |\vec{b}| + |\vec{c}| = 36$ માં કિંમતો મુકતા: $2\sqrt{\alpha} + 6 + 3\sqrt{\alpha} = 36 \implies 5\sqrt{\alpha} = 30 \implies \sqrt{\alpha} = 6 \implies \alpha = 36$.

(B) આપેલ છે કે $|\vec{a}| = 9$. કારણ કે $(x \vec{a} + y \vec{b}) \perp (6y \vec{a} - 18x \vec{b})$,તેમનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$(x \vec{a} + y \vec{b}) \cdot (6y \vec{a} - 18x \vec{b}) = 0$
$6xy |\vec{a}|^2 - 18x^2 (\vec{a} \cdot \vec{b}) + 6y^2 (\vec{a} \cdot \vec{b}) - 18xy |\vec{b}|^2 = 0$
$6xy (|\vec{a}|^2 - 3|\vec{b}|^2) + (\vec{a} \cdot \vec{b})(6y^2 - 18x^2) = 0$
આ સમીકરણ દરેક $(x, y)$ માટે સાચું હોવાથી,$xy$,$x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકો શૂન્ય હોવા જોઈએ:
$|\vec{a}|^2 - 3|\vec{b}|^2 = 0 \implies |\vec{b}|^2 = \frac{|\vec{a}|^2}{3} = \frac{81}{3} = 27$
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$
હવે,$|\vec{a} \times \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2 = 81 \times 27 - 0 = 2187$
$|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{2187} = \sqrt{81 \times 27} = 9 \times 3 \sqrt{3} = 27 \sqrt{3}$.

(D) આપેલ સદિશો $\vec{u}=2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ અને $\vec{v}=-3 \hat{j}+2 \hat{k}$ છે.
પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $\vec{u} \times \vec{v}$ શોધો:
$\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -1 & 1 \\ 0 & -3 & 2 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}(-2 - (-3)) - \hat{j}(4 - 0) + \hat{k}(-6 - 0)$
$= \hat{i}(1) - 4 \hat{j} - 6 \hat{k} = \hat{i} - 4 \hat{j} - 6 \hat{k}$.
$\vec{w}$ એ $XY$-સમતલમાં એકમ સદિશ હોવાથી,તેને $\vec{w} = \cos \theta \hat{i} + \sin \theta \hat{j}$ તરીકે દર્શાવી શકાય.
હવે,અદિશ ગુણાકાર $|(\vec{u} \times \vec{v}) \cdot \vec{w}|$ શોધો:
$|(\hat{i} - 4 \hat{j} - 6 \hat{k}) \cdot (\cos \theta \hat{i} + \sin \theta \hat{j})| = |\cos \theta - 4 \sin \theta|$.
$a \cos \theta + b \sin \theta$ સ્વરૂપના પદનું મહત્તમ મૂલ્ય $\sqrt{a^2 + b^2}$ થાય છે.
અહીં,$a = 1$ અને $b = -4$ છે.
મહત્તમ મૂલ્ય $= \sqrt{1^2 + (-4)^2} = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17}$.

(D) આપેલ છે કે $\vec{a}=\hat{i}+2 \hat{j}+\lambda \hat{k}$ અને $\vec{b}=3 \hat{i}-5 \hat{j}-\lambda \hat{k}$.
$\vec{a} \times \vec{c}=\vec{b} \times \vec{c}$ પરથી,$(\vec{a}-\vec{b}) \times \vec{c} = \vec{0}$ મળે.
આનો અર્થ એ છે કે $(\vec{a}-\vec{b})$ એ $\vec{c}$ ને સમાંતર છે,તેથી $\vec{a}-\vec{b} = \mu \vec{c}$ કોઈ અદિશ $\mu$ માટે.
$\vec{a}-\vec{b} = (1-3)\hat{i} + (2-(-5))\hat{j} + (\lambda - (-\lambda))\hat{k} = -2\hat{i} + 7\hat{j} + 2\lambda\hat{k}$ ગણતા.
આમ,$\mu \vec{c} = -2\hat{i} + 7\hat{j} + 2\lambda\hat{k}$.
$\vec{a} \cdot \vec{c} = 7$ આપેલ હોવાથી,$\vec{a} \cdot (\frac{1}{\mu} (-2\hat{i} + 7\hat{j} + 2\lambda\hat{k})) = 7$,જે $-2 + 14 + 2\lambda^2 = 7\mu$ આપે છે,એટલે કે $12 + 2\lambda^2 = 7\mu$.
$2\vec{b} \cdot \vec{c} = -43$ આપેલ હોવાથી,$\vec{b} \cdot (\frac{1}{\mu} (-2\hat{i} + 7\hat{j} + 2\lambda\hat{k})) = -\frac{43}{2}$,જે $-6 - 35 - 2\lambda^2 = -\frac{43}{2}\mu$ આપે છે,એટલે કે $41 + 2\lambda^2 = \frac{43}{2}\mu$.
સમીકરણો $2\lambda^2 = 7\mu - 12$ અને $2\lambda^2 = \frac{43}{2}\mu - 41$ ઉકેલતા,$7\mu - 12 = 21.5\mu - 41$ મળે,તેથી $14.5\mu = 29$,જે $\mu = 2$ આપે છે.
ત્યારબાદ $2\lambda^2 = 7(2) - 12 = 2$,તેથી $\lambda^2 = 1$.
અંતે,$\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(3) + (2)(-5) + (\lambda)(-\lambda) = 3 - 10 - \lambda^2 = -7 - 1 = -8$.
આમ,$|\vec{a} \cdot \vec{b}| = |-8| = 8$.

(A) આપેલ છે $\vec{a} = -\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$. સદિશ $\vec{b}$ એ $\vec{a}$ ને $90^{\circ}$ ફેરવીને મેળવવામાં આવે છે જેથી તે $y$-અક્ષમાંથી પસાર થાય. આનો અર્થ એ છે કે $\vec{b}$ એ $\vec{a}$ અને $\hat{j}$ ના સમતલમાં છે.
તેથી,$\vec{b} = \lambda(\vec{a} \times (\vec{a} \times \hat{j}))$.
ત્રિગુણિત ગુણાકારની ગણતરી કરતા: $\vec{a} \times \hat{j} = (-\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) \times \hat{j} = -\hat{k} + \hat{i} = \hat{i} - \hat{k}$.
પછી $\vec{a} \times (\vec{a} \times \hat{j}) = (-\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) \times (\hat{i} - \hat{k}) = \hat{j} + 2\hat{k} + 2\hat{i} + \hat{j} = 2\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$.
કારણ કે $|\vec{b}| = |\vec{a}| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{6}$,આપણી પાસે $\sqrt{6} = |\lambda| \sqrt{2^2 + 2^2 + 2^2} = |\lambda| \sqrt{12} = 2\sqrt{3}|\lambda|$.
તેથી,$|\lambda| = \frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
કારણ કે $\vec{b}$ એ $y$-અક્ષમાંથી પસાર થાય છે,$\vec{b} \cdot \hat{j} > 0$. $\lambda = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ ચકાસતા,$\vec{b} = -\sqrt{2}\hat{i} - \sqrt{2}\hat{j} - \sqrt{2}\hat{k}$. આ $\vec{b} \cdot \hat{j} = -\sqrt{2} < 0$ આપે છે.
$\lambda = \frac{1}{\sqrt{2}}$ ચકાસતા,$\vec{b} = \sqrt{2}\hat{i} + \sqrt{2}\hat{j} + \sqrt{2}\hat{k}$. આ $\vec{b} \cdot \hat{j} = \sqrt{2} > 0$ આપે છે. તેથી $\vec{b} = \sqrt{2}\hat{i} + \sqrt{2}\hat{j} + \sqrt{2}\hat{k}$.
હવે,$3\vec{a} + \sqrt{2}\vec{b} = 3(-\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) + \sqrt{2}(\sqrt{2}\hat{i} + \sqrt{2}\hat{j} + \sqrt{2}\hat{k}) = -\hat{i} + 8\hat{j} + 5\hat{k}$.
$\vec{c} = 5\hat{i} + 4\hat{j} + 3\hat{k}$ પરનો પ્રક્ષેપ $\frac{(- \hat{i} + 8\hat{j} + 5\hat{k}) \cdot (5\hat{i} + 4\hat{j} + 3\hat{k})}{\sqrt{5^2 + 4^2 + 3^2}} = \frac{-5 + 32 + 15}{\sqrt{50}} = \frac{42}{5\sqrt{2}} = \frac{21\sqrt{2}}{5} = 4.2\sqrt{2}$.

(A) આપેલ પદ $((\vec{a} + \vec{b}) \times (\vec{a} \times \vec{b})) \times (\vec{a} - \vec{b}) = 8 \hat{i} - 40 \hat{j} - 24 \hat{k}$ છે.
વેક્ટર ટ્રિપલ પ્રોડક્ટના નિયમ $(\vec{u} \times \vec{v}) \times \vec{w} = (\vec{u} \cdot \vec{w})\vec{v} - (\vec{v} \cdot \vec{w})\vec{u}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\vec{u} = \vec{a} + \vec{b}$,$\vec{v} = \vec{a} \times \vec{b}$,અને $\vec{w} = \vec{a} - \vec{b}$.
અહીં $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = |\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2 = (\lambda^2 + 4 + 9) - (1 + \lambda^2 + 4) = 8$ થાય છે,તેથી પદ $8(\vec{a} \times \vec{b}) = 8 \hat{i} - 40 \hat{j} - 24 \hat{k}$ માં ફેરવાય છે.
આમ,$\vec{a} \times \vec{b} = \hat{i} - 5 \hat{j} - 3 \hat{k}$.
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \lambda & 2 & -3 \\ 1 & -\lambda & 2 \end{vmatrix} = (4 - 3\lambda)\hat{i} - (2\lambda + 3)\hat{j} + (-\lambda^2 - 2)\hat{k}$ ની ગણતરી કરતા.
સરખામણી કરતા: $4 - 3\lambda = 1 \Rightarrow \lambda = 1$. ચકાસણી: $-(2(1) + 3) = -5$ અને $-(1^2 + 2) = -3$. જે સાચું છે.
$\lambda = 1$ માટે,$\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}$ અને $\vec{b} = \hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$.
તેથી $\vec{a} + \vec{b} = 2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ અને $\vec{a} - \vec{b} = 3\hat{j} - 5\hat{k}$.
$(\vec{a} + \vec{b}) \times (\vec{a} - \vec{b}) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -1 \\ 0 & 3 & -5 \end{vmatrix} = (-5 + 3)\hat{i} - (-10 - 0)\hat{j} + (6 - 0)\hat{k} = -2\hat{i} + 10\hat{j} + 6\hat{k}$.
$\lambda = 1$ હોવાથી,આપણે $|1(-2\hat{i} + 10\hat{j} + 6\hat{k})|^2 = (-2)^2 + 10^2 + 6^2 = 4 + 100 + 36 = 140$ મેળવીએ છીએ.

(D) આપેલ છે કે $2(\vec{a} \times \vec{b}) = 3(\vec{c} \times \vec{a})$.
આને $\vec{a} \times (2\vec{b} + 3\vec{c}) = 0$ તરીકે લખી શકાય.
આનો અર્થ એ છે કે $\vec{a} = \lambda(2\vec{b} + 3\vec{c})$ કોઈ અદિશ $\lambda$ માટે.
આપેલ છે કે $|\vec{a}| = \sqrt{31}$,$|\vec{b}| = 1/2$,અને $|\vec{c}| = 2$.
$\vec{b}$ અને $\vec{c}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = \frac{2\pi}{3}$ છે,તેથી $\vec{b} \cdot \vec{c} = |\vec{b}||\vec{c}| \cos(2\pi/3) = (1/2)(2)(-1/2) = -1/2$.
હવે,$|\vec{a}|^2 = \lambda^2 |2\vec{b} + 3\vec{c}|^2 = \lambda^2 (4|\vec{b}|^2 + 9|\vec{c}|^2 + 12\vec{b} \cdot \vec{c})$.
$31 = \lambda^2 (4(1/4) + 9(4) + 12(-1/2)) = \lambda^2 (1 + 36 - 6) = 31\lambda^2$.
આમ,$\lambda^2 = 1$,તેથી $\lambda = \pm 1$.
તેથી $\vec{a} = \pm(2\vec{b} + 3\vec{c})$.
આપણે $\left(\frac{\vec{a} \times \vec{c}}{\vec{a} \cdot \vec{b}}\right)^2 = \frac{|\vec{a} \times \vec{c}|^2}{(\vec{a} \cdot \vec{b})^2}$ ની ગણતરી કરવાની છે.
$|\vec{a} \times \vec{c}|^2 = |\pm(2\vec{b} + 3\vec{c}) \times \vec{c}|^2 = |2(\vec{b} \times \vec{c})|^2 = 4|\vec{b} \times \vec{c}|^2 = 4(|\vec{b}|^2|\vec{c}|^2 - (\vec{b} \cdot \vec{c})^2) = 4(1/4 \cdot 4 - (-1/2)^2) = 4(1 - 1/4) = 3$.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = \pm(2\vec{b} + 3\vec{c}) \cdot \vec{b} = \pm(2|\vec{b}|^2 + 3\vec{b} \cdot \vec{c}) = \pm(2(1/4) + 3(-1/2)) = \pm(1/2 - 3/2) = \pm(-1) = \mp 1$.
તેથી,$(\vec{a} \cdot \vec{b})^2 = 1$.
તેથી,$\left(\frac{\vec{a} \times \vec{c}}{\vec{a} \cdot \vec{b}}\right)^2 = \frac{3}{1} = 3$.

(C) ચતુષ્કોણ $ABCD$ નું ક્ષેત્રફળ $\text{Area} = \frac{1}{2} |\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{BD}| = 18$ દ્વારા મળે છે,તેથી $|\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{BD}| = 36$.
આપેલ શિરોબિંદુઓ: $A(2,6,2), B(-4,0,\lambda), C(2,3,-1), D(4,5,0)$.
સદિશો $\overrightarrow{AC}$ અને $\overrightarrow{BD}$ શોધો:
$\overrightarrow{AC} = (2-2)\hat{i} + (3-6)\hat{j} + (-1-2)\hat{k} = 0\hat{i} - 3\hat{j} - 3\hat{k}$.
$\overrightarrow{BD} = (4-(-4))\hat{i} + (5-0)\hat{j} + (0-\lambda)\hat{k} = 8\hat{i} + 5\hat{j} - \lambda\hat{k}$.
ક્રોસ પ્રોડક્ટ $\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{BD}$ ની ગણતરી કરો:
$\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{BD} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & -3 & -3 \\ 8 & 5 & -\lambda \end{vmatrix} = \hat{i}(3\lambda + 15) - \hat{j}(0 - (-24)) + \hat{k}(0 - (-24)) = (3\lambda + 15)\hat{i} - 24\hat{j} + 24\hat{k}$.
તેનું માન શોધો:
$|\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{BD}| = \sqrt{(3\lambda + 15)^2 + (-24)^2 + (24)^2} = 36$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(3\lambda + 15)^2 + 576 + 576 = 1296$.
$(3\lambda + 15)^2 = 1296 - 1152 = 144$.
$3\lambda + 15 = \pm 12$.
કિસ્સો $1$: $3\lambda + 15 = 12 \Rightarrow 3\lambda = -3 \Rightarrow \lambda = -1$.
કિસ્સો $2$: $3\lambda + 15 = -12 \Rightarrow 3\lambda = -27 \Rightarrow \lambda = -9$.
$|\lambda| \leq 5$ હોવાથી,આપણે $\lambda = -1$ લઈશું.
અંતે,$5 - 6\lambda = 5 - 6(-1) = 5 + 6 = 11$.

(B) ચતુષ્કોણ $ABCD$ નું ક્ષેત્રફળ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\text{Area} = \frac{1}{2} |\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{BD}|$.
સૌ પ્રથમ,આપણે સદિશો $\overrightarrow{AC}$ અને $\overrightarrow{BD}$ શોધીએ:
$\overrightarrow{AC} = C - A = (-2-2, -3-1, 5-1) = (-4, -4, 4) = -4\hat{i} - 4\hat{j} + 4\hat{k}$.
$\overrightarrow{BD} = D - B = (1-1, -6-2, -7-5) = (0, -8, -12) = 0\hat{i} - 8\hat{j} - 12\hat{k}$.
હવે,સદિશ ગુણાકાર $\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{BD}$ ની ગણતરી કરો:
$\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{BD} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -4 & -4 & 4 \\ 0 & -8 & -12 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}((-4)(-12) - (4)(-8)) - \hat{j}((-4)(-12) - (4)(0)) + \hat{k}((-4)(-8) - (-4)(0))$
$= \hat{i}(48 + 32) - \hat{j}(48 - 0) + \hat{k}(32 - 0)$
$= 80\hat{i} - 48\hat{j} + 32\hat{k}$.
હવે,સદિશ ગુણાકારનું માન શોધો:
$|\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{BD}| = \sqrt{80^2 + (-48)^2 + 32^2} = \sqrt{6400 + 2304 + 1024} = \sqrt{9728}$.
$\sqrt{9728} = \sqrt{256 \times 38} = 16\sqrt{38}$.
અંતે,ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{BD}| = \frac{1}{2} \times 16\sqrt{38} = 8\sqrt{38}$ થાય.

(A) આપેલ છે કે $\overline{OP} = -\hat{i}-2\hat{j}+3\hat{k}$.
$\overline{AB} = \overline{OB} - \overline{OA} = (2\hat{i}+4\hat{j}-2\hat{k}) - (-2\hat{i}+\hat{j}-3\hat{k}) = 4\hat{i}+3\hat{j}+\hat{k}$.
$\overline{AC} = \overline{OC} - \overline{OA} = (-4\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k}) - (-2\hat{i}+\hat{j}-3\hat{k}) = -2\hat{i}+\hat{j}+2\hat{k}$.
$\overline{AB}$ અને $\overline{AC}$ બંનેને લંબ સદિશ $\vec{n} = \overline{AB} \times \overline{AC}$ છે.
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 4 & 3 & 1 \\ -2 & 1 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(6-1) - \hat{j}(8+2) + \hat{k}(4+6) = 5\hat{i}-10\hat{j}+10\hat{k}$.
$\vec{n}$ પર $\overline{OP}$ નો પ્રક્ષેપ $\frac{|\overline{OP} \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}$ દ્વારા મળે છે.
$\overline{OP} \cdot \vec{n} = (-1)(5) + (-2)(-10) + (3)(10) = -5 + 20 + 30 = 45$.
$|\vec{n}| = \sqrt{5^2 + (-10)^2 + 10^2} = \sqrt{25 + 100 + 100} = \sqrt{225} = 15$.
પ્રક્ષેપ $= \frac{|45|}{15} = 3$.