Vector or Cross product of two vectors and its applications Questions in Gujarati

(A) આપેલ છે કે $\vec{u} \cdot \hat{n} = 0$ અને $\vec{v} \cdot \hat{n} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\hat{n}$ એ $\vec{u}$ અને $\vec{v}$ બંનેને લંબ છે.
તેથી,$\hat{n}$ એ સદિશ ગુણાકાર $\vec{u} \times \vec{v}$ ને સમાંતર હોવો જોઈએ.
$\vec{u} \times \vec{v} = (\hat{i} + \hat{j}) \times (\hat{i} - \hat{j}) = -\hat{i} \times \hat{j} + \hat{j} \times \hat{i} = -\hat{k} - \hat{k} = -2\hat{k}$.
એકમ સદિશ $\hat{n} = \pm \frac{\vec{u} \times \vec{v}}{|\vec{u} \times \vec{v}|} = \pm \frac{-2\hat{k}}{2} = \pm \hat{k}$ મળે.
હવે,$|\vec{w} \cdot \hat{n}| = |(\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) \cdot (\pm \hat{k})| = |\pm 3| = 3$ થાય.

(A) આપેલ સદિશો $a = i + j + 2k$ અને $b = 3i + j + k$ છે.
સદિશ ગુણાકાર $a \times b$ નિશ્ચાયકની મદદથી નીચે મુજબ ગણી શકાય:
$a \times b = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 1 & 1 & 2 \\ 3 & 1 & 1 \end{vmatrix}$
પ્રથમ હારના આધારે નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$a \times b = i(1 \times 1 - 2 \times 1) - j(1 \times 1 - 2 \times 3) + k(1 \times 1 - 1 \times 3)$
$a \times b = i(1 - 2) - j(1 - 6) + k(1 - 3)$
$a \times b = -i - j(-5) + k(-2)$
$a \times b = -i + 5j - 2k$

(B) ત્રિકોણ $\Delta ABC$ માં,સદિશ સરવાળાના ત્રિકોણના નિયમ મુજબ,$\vec{BC} + \vec{CA} + \vec{AB} = \vec{0}$ થાય.
આપેલ છે કે $\vec{BC} = \vec{a}$,$\vec{CA} = \vec{b}$ અને $\vec{AB} = \vec{c}$,તેથી $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$.
બંને બાજુ $\vec{a}$ સાથે સદિશ ગુણાકાર (cross product) લેતા: $\vec{a} \times (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \times \vec{0}$.
કારણ કે $\vec{a} \times \vec{a} = \vec{0}$,આપણને $\vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c} = \vec{0}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{c} \times \vec{a}$.
તે જ રીતે,બંને બાજુ $\vec{b}$ સાથે સદિશ ગુણાકાર લેતા: $\vec{b} \times (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) = \vec{b} \times \vec{0}$.
આનાથી $\vec{b} \times \vec{a} + \vec{b} \times \vec{c} = \vec{0}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\vec{b} \times \vec{c} = \vec{a} \times \vec{b}$.
તેથી,$\vec{a} \times \vec{b} = \vec{b} \times \vec{c} = \vec{c} \times \vec{a}$.

(D) આપેલ છે કે $\hat{u}$ અને $\hat{v}$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|\hat{u}| = 1$ અને $|\hat{v}| = 1$.
ધારો કે $\vec{w} = 2\hat{u} \times 3\hat{v} = 6(\hat{u} \times \hat{v})$.
આપણને આપેલ છે કે $\vec{w}$ એક એકમ સદિશ છે,તેથી $|\vec{w}| = 1$.
તેથી,$|6(\hat{u} \times \hat{v})| = 1$.
$6|\hat{u}||\hat{v}|\sin\theta = 1$,જ્યાં $\theta$ એ $\hat{u}$ અને $\hat{v}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
કારણ કે $|\hat{u}| = 1$ અને $|\hat{v}| = 1$,આપણી પાસે $6(1)(1)\sin\theta = 1$ છે.
$6\sin\theta = 1$,જેનો અર્થ છે કે $\sin\theta = \frac{1}{6}$.
કારણ કે $\theta$ લઘુકોણ છે,$\sin\theta$ ધન છે,અને અંતરાલ $(0, \frac{\pi}{2})$ માં $\theta$ નું માત્ર એક જ મુલ્ય છે જેના માટે $\sin\theta = \frac{1}{6}$ થાય,જે $\theta = \arcsin(\frac{1}{6})$ છે.
આમ,$\theta$ નું માત્ર એક જ ચોક્કસ મુલ્ય મળે છે.

(C) ધારો કે $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{b} = \hat{i} + \hat{j}$.
બંને સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ને લંબ સદિશ તેમના સદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \times \vec{b}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}(0 - 1) - \hat{j}(0 - 1) + \hat{k}(1 - 1)$
$= -\hat{i} + \hat{j} + 0\hat{k} = -(\hat{i} - \hat{j})$.
બંનેને લંબ હોય તેવો કોઈપણ સદિશ આ સદિશનો અદિશ ગુણિત હોય,જેને કોઈ અદિશ $c$ માટે $c(\hat{i} - \hat{j})$ તરીકે લખી શકાય.

(C) ધારો કે $\vec{a} = 3i + 2j - k$ અને $\vec{b} = 12i + 5j - 5k$.
બંને સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ને લંબ સદિશ તેમના સદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \times \vec{b}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 3 & 2 & -1 \\ 12 & 5 & -5 \end{vmatrix}$
$= i(2(-5) - (-1)(5)) - j(3(-5) - (-1)(12)) + k(3(5) - 2(12))$
$= i(-10 + 5) - j(-15 + 12) + k(15 - 24)$
$= -5i + 3j - 9k$.
આ સદિશનું માન $|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{(-5)^2 + 3^2 + (-9)^2} = \sqrt{25 + 9 + 81} = \sqrt{115}$ છે.
બંનેને લંબ એકમ સદિશ $\pm \frac{\vec{a} \times \vec{b}}{|\vec{a} \times \vec{b}|} = \pm \frac{-5i + 3j - 9k}{\sqrt{115}}$ થાય.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચો વિકલ્પ $\frac{-5i + 3j - 9k}{\sqrt{115}}$ છે.

(B) ત્રિકોણ $ABC$ માં,બાજુઓ સદિશ $\vec{BC} = a$,$\vec{CA} = b$,અને $\vec{AB} = c$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
સદિશ સરવાળાના ત્રિકોણના નિયમ મુજબ,ત્રિકોણની બાજુઓને ક્રમમાં લેતા તેમનો સરવાળો શૂન્ય થાય છે.
તેથી,$\vec{BC} + \vec{CA} + \vec{AB} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $a + b + c = 0$.
આ સમીકરણનો $a$ સાથે સદિશ ગુણાકાર (cross product) લેતા:
$a \times (a + b + c) = a \times 0$
$a \times a + a \times b + a \times c = 0$
કારણ કે $a \times a = 0$,આપણને $a \times b = c \times a$ મળે છે.
તે જ રીતે,$b$ સાથે સદિશ ગુણાકાર લેતા:
$b \times (a + b + c) = b \times 0$
$b \times a + b \times b + b \times c = 0$
$b \times a + b \times c = 0 \implies a \times b = b \times c$.
તેથી,$a \times b = b \times c = c \times a$ થાય છે.

(A) આપેલ છે કે $\vec{r} \times \vec{a} = \vec{b}$.
કારણ કે $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ પરસ્પર લંબ છે,તેથી $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.
આપણે $\vec{r}$ ને $\vec{a}$,$\vec{b}$,અને $\vec{a} \times \vec{b}$ ના રેખીય સંયોજન તરીકે દર્શાવી શકીએ છીએ:
$\vec{r} = x\vec{a} + y\vec{b} + z(\vec{a} \times \vec{b})$ જ્યાં $x, y, z$ અદિશ છે.
બંને બાજુ $\vec{a}$ સાથે સદિશ ગુણાકાર (cross product) લેતા:
$(\vec{r} \times \vec{a}) = (x\vec{a} + y\vec{b} + z(\vec{a} \times \vec{b})) \times \vec{a}$
$\vec{b} = x(\vec{a} \times \vec{a}) + y(\vec{b} \times \vec{a}) + z((\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{a})$
$\vec{a} \times \vec{a} = 0$ અને $(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{a} = (\vec{a} \cdot \vec{a})\vec{b} - (\vec{b} \cdot \vec{a})\vec{a}$ હોવાથી:
$\vec{b} = y(\vec{b} \times \vec{a}) + z((\vec{a} \cdot \vec{a})\vec{b} - 0)$
$\vec{b} = -y(\vec{a} \times \vec{b}) + z(\vec{a} \cdot \vec{a})\vec{b}$
$\vec{b}$ અને $(\vec{a} \times \vec{b})$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$-y = 0 \implies y = 0$
$z(\vec{a} \cdot \vec{a}) = 1 \implies z = \frac{1}{\vec{a} \cdot \vec{a}}$
આ કિંમતો $\vec{r}$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\vec{r} = x\vec{a} + \frac{1}{\vec{a} \cdot \vec{a}} (\vec{a} \times \vec{b})$.

(C) સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ને સમાવતા સમતલને લંબ એકમ સદિશ $\hat{n} = \pm \frac{\vec{a} \times \vec{b}}{|\vec{a} \times \vec{b}|}$ દ્વારા મળે છે.
પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \times \vec{b}$ શોધો:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -6 & -3 \\ 4 & 3 & -1 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}((-6)(-1) - (-3)(3)) - \hat{j}((2)(-1) - (-3)(4)) + \hat{k}((2)(3) - (-6)(4))$
$= \hat{i}(6 + 9) - \hat{j}(-2 + 12) + \hat{k}(6 + 24)$
$= 15\hat{i} - 10\hat{j} + 30\hat{k}$.
હવે,તેનું માન $|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{15^2 + (-10)^2 + 30^2} = \sqrt{225 + 100 + 900} = \sqrt{1225} = 35$.
તેથી એકમ સદિશ $\pm \frac{15\hat{i} - 10\hat{j} + 30\hat{k}}{35} = \pm \frac{3\hat{i} - 2\hat{j} + 6\hat{k}}{7}$ થાય.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $C$ એ $\frac{3\hat{i} - 2\hat{j} + 6\hat{k}}{7}$ છે.

(C) બે સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ વચ્ચેના ખૂણા $\theta$ માટે $\sin \theta$ નું સૂત્ર $\sin \theta = \frac{|\vec{a} \times \vec{b}|}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$ છે.
પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \times \vec{b}$ શોધો:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -2 & 3 \\ 2 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-2 - 3) - \hat{j}(1 - 6) + \hat{k}(1 - (-4)) = -5\hat{i} + 5\hat{j} + 5\hat{k}$.
હવે,સદિશ ગુણાકારનું માન શોધો:
$|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{(-5)^2 + 5^2 + 5^2} = \sqrt{25 + 25 + 25} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}$.
હવે,સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ના માન શોધો:
$|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}$.
$|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}$.
છેલ્લે,આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકો:
$\sin \theta = \frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{6}} = \frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{84}} = \frac{5\sqrt{3}}{2\sqrt{21}} = \frac{5\sqrt{3}}{2\sqrt{7}\sqrt{3}} = \frac{5}{2\sqrt{7}}$.

(C) ધારો કે બિંદુઓના સ્થાન સદિશો $\vec{r}_1 = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{r}_2 = 2\hat{i} - 3\hat{j} - \hat{k}$ છે.
બળ $\vec{F} = 3\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$ એ $\vec{r}_1$ પર લાગે છે અને $-\vec{F}$ એ $\vec{r}_2$ પર લાગે છે.
બળયુગ્મની ચાકમાત્રા $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\vec{r} = \vec{r}_1 - \vec{r}_2$.
$\vec{r} = (\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) - (2\hat{i} - 3\hat{j} - \hat{k}) = -\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$.
$\vec{\tau} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 2 & 2 \\ 3 & 2 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-2 - 4) - \hat{j}(1 - 6) + \hat{k}(-2 - 6) = -6\hat{i} + 5\hat{j} - 8\hat{k}$.
ચાકમાત્રાનું મૂલ્ય $|\vec{\tau}| = \sqrt{(-6)^2 + 5^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 25 + 64} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}$.

(A) ધારો કે બિંદુઓ $A(1, -1, 2)$,$B(2, 0, -1)$ અને $C(0, 2, 1)$ છે.
સમતલમાં રહેલા બે સદિશો શોધીએ:
$\vec{AB} = (2-1)i + (0-(-1))j + (-1-2)k = i + j - 3k$
$\vec{AC} = (0-1)i + (2-(-1))j + (1-2)k = -i + 3j - k$
સમતલને લંબ સદિશ ક્રોસ પ્રોડક્ટ $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{n} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 1 & 1 & -3 \\ -1 & 3 & -1 \end{vmatrix} = i(-1 - (-9)) - j(-1 - 3) + k(3 - (-1)) = 8i + 4j + 4k$.
સમતલને લંબ એકમ સદિશ $\hat{n} = \pm \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}$ છે.
$|\vec{n}| = \sqrt{8^2 + 4^2 + 4^2} = \sqrt{64 + 16 + 16} = \sqrt{96} = 4\sqrt{6}$.
$\hat{n} = \pm \frac{8i + 4j + 4k}{4\sqrt{6}} = \pm \frac{2i + j + k}{\sqrt{6}}$.

(B) ચતુષ્કોણ $OABC$ નું ક્ષેત્રફળ એ $\triangle OAB$ અને $\triangle OBC$ ના ક્ષેત્રફળના સરવાળા તરીકે ગણી શકાય.
$\triangle OAB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |\overline{OA} \times \overline{OB}| = \frac{1}{2} |\vec{a} \times (10\vec{a} + 2\vec{b})| = \frac{1}{2} |10(\vec{a} \times \vec{a}) + 2(\vec{a} \times \vec{b})| = \frac{1}{2} |0 + 2(\vec{a} \times \vec{b})| = |\vec{a} \times \vec{b}|$.
$\triangle OBC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |\overline{OB} \times \overline{OC}| = \frac{1}{2} |(10\vec{a} + 2\vec{b}) \times \vec{b}| = \frac{1}{2} |10(\vec{a} \times \vec{b}) + 2(\vec{b} \times \vec{b})| = \frac{1}{2} |10(\vec{a} \times \vec{b}) + 0| = 5|\vec{a} \times \vec{b}|$.
આમ,$p = |\vec{a} \times \vec{b}| + 5|\vec{a} \times \vec{b}| = 6|\vec{a} \times \vec{b}|$.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ કે જેની પાસપાસેની બાજુઓ $OA$ અને $OC$ છે તેનું ક્ષેત્રફળ $q = |\vec{a} \times \vec{b}|$ છે.
તેથી,$p/q = \frac{6|\vec{a} \times \vec{b}|}{|\vec{a} \times \vec{b}|} = 6$.

(B) સદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \times \vec{b}$ એ એકમ સદિશો અને સદિશોના ઘટકો દ્વારા બનતા નિશ્ચાયક દ્વારા મેળવી શકાય છે:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 2 & -1 \\ 6 & -3 & 2 \end{vmatrix}$
પ્રથમ હાર મુજબ નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$= \hat{i} ((2)(2) - (-1)(-3)) - \hat{j} ((2)(2) - (-1)(6)) + \hat{k} ((2)(-3) - (2)(6))$
$= \hat{i} (4 - 3) - \hat{j} (4 + 6) + \hat{k} (-6 - 12)$
$= \hat{i} (1) - \hat{j} (10) + \hat{k} (-18)$
$= \hat{i} - 10\hat{j} - 18\hat{k}$

(B) બિંદુઓ $P(1, -1, 2)$,$Q(2, 0, -1)$ અને $R(0, 2, 1)$ ધરાવતા સમતલને લંબ એકમ સદિશ શોધવા માટે,આપણે પહેલા સમતલમાં રહેલા બે સદિશો શોધીએ:
$\vec{PQ} = (2-1)\hat{i} + (0-(-1))\hat{j} + (-1-2)\hat{k} = \hat{i} + \hat{j} - 3\hat{k}$
$\vec{PR} = (0-1)\hat{i} + (2-(-1))\hat{j} + (1-2)\hat{k} = -\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}$
હવે,સદિશ ગુણાકાર $\vec{n} = \vec{PQ} \times \vec{PR}$ શોધો:
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & -3 \\ -1 & 3 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-1 - (-9)) - \hat{j}(-1 - 3) + \hat{k}(3 - (-1)) = 8\hat{i} + 4\hat{j} + 4\hat{k}$
આ સદિશને $4$ વડે ભાગતા,આપણને લંબ સદિશની દિશામાં સદિશ મળે છે: $2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$.
તેનું માન $\sqrt{2^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{4+1+1} = \sqrt{6}$ છે.
આમ,એકમ સદિશ $\frac{2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}}{\sqrt{6}}$ થાય.

(B) સૌ પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $a \times b$ શોધો:
$a \times b = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 2 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = i(0 - (-2)) - j(0 - (-2)) + k(2 - 1) = 2i - 2j + k$.
તેનું માન $|a \times b| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = 3$ છે.
આપેલ છે કે $|c - a| = 2\sqrt{2}$,બંને બાજુ વર્ગ કરતા $|c - a|^2 = 8$ મળે.
$|c|^2 - 2(a \cdot c) + |a|^2 = 8$.
કારણ કે $a \cdot c = |c|$ અને $|a|^2 = 2^2 + 1^2 + (-2)^2 = 9$,તેથી:
$|c|^2 - 2|c| + 9 = 8 \implies |c|^2 - 2|c| + 1 = 0 \implies (|c| - 1)^2 = 0 \implies |c| = 1$.
અંતે,સદિશ ગુણાકારનું માન:
$|(a \times b) \times c| = |a \times b| |c| \sin(30^{\circ}) = 3 \times 1 \times \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.

(C) બે સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ નો સદિશ ગુણાકાર (ક્રોસ પ્રોડક્ટ),જેને $\vec{a} \times \vec{b}$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,તે એક એવો સદિશ આપે છે જે $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ બંને ધરાવતા સમતલને લંબ હોય છે.
બંનેને લંબ એકમ સદિશ શોધવા માટે,આપણે આ ક્રોસ પ્રોડક્ટને તેના માન (magnitude) વડે ભાગીએ છીએ.
$\vec{a}$ અને $\vec{b}$ બંનેને લંબ એકમ સદિશ $\hat{n}$ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\hat{n} = \pm \frac{\vec{a} \times \vec{b}}{|\vec{a} \times \vec{b}|}$.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચું સૂત્ર $\frac{\vec{a} \times \vec{b}}{|\vec{a} \times \vec{b}|}$ છે.

(B) બે સદિશો $a$ અને $b$ ના સદિશ ગુણાકારનું માન $|a \times b| = |a| |b| \sin(\theta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આપેલ છે કે $|a| = 4, |b| = 2$ અને $\theta = \pi/6$.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને $|a \times b| = 4 \times 2 \times \sin(\pi/6)$ મળે છે.
કારણ કે $\sin(\pi/6) = 1/2$,તેથી $|a \times b| = 4 \times 2 \times (1/2) = 4$.
આમ,$|a \times b|^{2} = (4)^{2} = 16$.

(B) ધારો કે સ્થાન સદિશો $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$,$\vec{b} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - 4\hat{k}$,અને $\vec{c} = 7\hat{i} + 4\hat{j} + 9\hat{k}$ છે.
સમતલમાં બે સદિશો $\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} - 5\hat{k}$ અને $\vec{AC} = \vec{c} - \vec{a} = 6\hat{i} + 3\hat{j} + 8\hat{k}$ છે.
સમતલને લંબ સદિશ $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & -5 \\ 6 & 3 & 8 \end{vmatrix}$ છે.
$\vec{n} = \hat{i}(16 + 15) - \hat{j}(8 + 30) + \hat{k}(3 - 12) = 31\hat{i} - 38\hat{j} - 9\hat{k}$.
તેનું માન $|\vec{n}| = \sqrt{31^2 + (-38)^2 + (-9)^2} = \sqrt{961 + 1444 + 81} = \sqrt{2486}$ છે.
એકમ સદિશ $\hat{n} = \pm \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|} = \pm \frac{31\hat{i} - 38\hat{j} - 9\hat{k}}{\sqrt{2486}}$ છે.
વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(A) પ્રથમ સમતલ સદિશો $\vec{n}_1 = \vec{i}$ અને $\vec{n}_2 = \vec{i} + \vec{j}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે. આ સમતલનો અભિલંબ $\vec{N}_1 = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \vec{i} \times (\vec{i} + \vec{j}) = \vec{k}$ છે.
બીજું સમતલ સદિશો $\vec{n}_3 = \vec{i} - \vec{j}$ અને $\vec{n}_4 = \vec{i} + \vec{k}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે. આ સમતલનો અભિલંબ $\vec{N}_2 = \vec{n}_3 \times \vec{n}_4 = (\vec{i} - \vec{j}) \times (\vec{i} + \vec{k}) = \vec{i} \times \vec{i} + \vec{i} \times \vec{k} - \vec{j} \times \vec{i} - \vec{j} \times \vec{k} = 0 - \vec{j} + \vec{k} - \vec{i} = -\vec{i} - \vec{j} + \vec{k}$ છે.
સદિશ $\vec{a}$ એ છેદરેખાને સમાંતર હોવાથી,$\vec{a}$ એ $\vec{N}_1 \times \vec{N}_2 = \vec{k} \times (-\vec{i} - \vec{j} + \vec{k}) = -(\vec{k} \times \vec{i}) - (\vec{k} \times \vec{j}) + (\vec{k} \times \vec{k}) = -\vec{j} + \vec{i} + 0 = \vec{i} - \vec{j}$ ને સમાંતર છે.
ધારો કે $\vec{b} = \vec{i} - 2\vec{j} + 2\vec{k}$. $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\cos \theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(1) + (-1)(-2) + (0)(2) = 1 + 2 = 3$.
$|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$.
$|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = 3$.
$\cos \theta = \frac{3}{\sqrt{2} \cdot 3} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
આમ,$\theta = \frac{\pi}{4}$. સદિશ $\vec{a}$ વિરુદ્ધ દિશામાં હોઈ શકે છે,તેથી ખૂણો $\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$ પણ હોઈ શકે છે.

(B) રેખાઓ $L_1$ અને $L_2$ ના દિશા સદિશો અનુક્રમે $\vec{v_1} = 3\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$ અને $\vec{v_2} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ છે.
$L_1$ અને $L_2$ બંનેને લંબ સદિશ તેમના સદિશ ગુણાકાર $\vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(3 - 4) - \hat{j}(9 - 2) + \hat{k}(6 - 1) = -\hat{i} - 7\hat{j} + 5\hat{k}$.
આ સદિશનું માન $|\vec{n}| = \sqrt{(-1)^2 + (-7)^2 + 5^2} = \sqrt{1 + 49 + 25} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}$ છે.
તેથી,બંને રેખાઓને લંબ એકમ સદિશ $\pm \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|} = \pm \frac{-\hat{i} - 7\hat{j} + 5\hat{k}}{5\sqrt{3}}$ થાય.

(A) આપેલ છે કે $2\vec{u} \times 3\vec{v}$ એ એકમ સદિશ છે,તેથી તેનું માન $1$ હોવું જોઈએ.
આમ,$|2\vec{u} \times 3\vec{v}| = 1$.
ચૂંક $\vec{u}$ અને $\vec{v}$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|\vec{u}| = 1$ અને $|\vec{v}| = 1$.
સદિશ ગુણાકારના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$|2\vec{u} \times 3\vec{v}| = 6|\vec{u}||\vec{v}|\sin\theta = 6(1)(1)\sin\theta = 6\sin\theta$.
પ્રશ્ન મુજબ,$6\sin\theta = 1$,જેનો અર્થ છે કે $\sin\theta = \frac{1}{6}$.
ચૂંક $\theta$ એ લઘુકોણ છે,તેથી $\theta = \arcsin(\frac{1}{6})$ માટે $\theta$ નું માત્ર એક જ મૂલ્ય શક્ય છે.

(D) ધારો કે $\vec{b} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$.
આપેલ છે $\vec{a} \cdot \vec{b} = 3$,જ્યાં $\vec{a} = 0\vec{i} + 1\vec{j} - 1\vec{k}$.
તેથી,$(0)(x) + (1)(y) + (-1)(z) = 3 \Rightarrow y - z = 3 \quad \dots(1)$.
વળી,$\vec{a} \times \vec{b} = -\vec{c} = -(\vec{i} - \vec{j} - \vec{k}) = -\vec{i} + \vec{j} + \vec{k}$.
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 1 & -1 \\ x & y & z \end{vmatrix} = (z + y)\vec{i} - (z)\vec{j} - (x)\vec{k}$.
સરખાવતા,$z + y = -1$,$-z = 1 \Rightarrow z = -1$,$-x = 1 \Rightarrow x = -1$.
સમીકરણ $(1)$ માં કિંમત મૂકતા,$y - (-1) = 3 \Rightarrow y + 1 = 3 \Rightarrow y = 2$.
પરંતુ,વિકલ્પ $D$ ચકાસતા: $\vec{b} = -\vec{i} + \vec{j} - 2\vec{k}$.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(1) + (-1)(-2) = 1 + 2 = 3$. (સાચું)
$\vec{a} \times \vec{b} = -\vec{i} + \vec{j} + \vec{k} = -\vec{c}$. (સાચું)
તેથી,સાચો જવાબ $-\vec{i} + \vec{j} - 2\vec{k}$ છે.

(C) આપેલ છે કે $\vec a = 2\hat i + \hat j - 2\hat k$ અને $\vec b = \hat i + \hat j$.
પ્રથમ,$\vec a$ નું માન શોધો: $|\vec a| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{4+1+4} = 3$.
હવે,સદિશ ગુણાકાર $\vec a \times \vec b$ શોધો:
$\vec a \times \vec b = \begin{vmatrix} \hat i & \hat j & \hat k \\ 2 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 2\hat i - 2\hat j + \hat k$.
તેનું માન $|\vec a \times \vec b| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = 3$ છે.
આપેલ છે કે $|(\vec a \times \vec b) \times \vec c| = 3$ અને $\vec c$ તથા $\vec a \times \vec b$ વચ્ચેનો ખૂણો $30^\circ$ છે,તેથી $|\vec u \times \vec v| = |\vec u||\vec v| \sin \theta$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$|\vec a \times \vec b||\vec c| \sin 30^\circ = 3 \implies 3 \cdot |\vec c| \cdot \frac{1}{2} = 3 \implies |\vec c| = 2$.
હવે,$|\vec c - \vec a| = 3$ શરતનો ઉપયોગ કરતા,બંને બાજુ વર્ગ લેતા:
$|\vec c - \vec a|^2 = 3^2 \implies |\vec c|^2 + |\vec a|^2 - 2(\vec a \cdot \vec c) = 9$.
કિંમતો મૂકતા: $2^2 + 3^2 - 2(\vec a \cdot \vec c) = 9 \implies 4 + 9 - 2(\vec a \cdot \vec c) = 9 \implies 13 - 2(\vec a \cdot \vec c) = 9$.
તેથી,$2(\vec a \cdot \vec c) = 4 \implies \vec a \cdot \vec c = 2$.

(D) ધારો કે $b = b_1 i + b_2 j + b_3 k$.
આપેલ છે કે $a \cdot b = 3$,તેથી $b_1 + b_2 + b_3 = 3$ ......$(i)$.
આપેલ છે કે $a \times b = c$,જ્યાં $a = (1, 1, 1)$ અને $c = (0, 1, -1)$,ક્રોસ પ્રોડક્ટની ગણતરી કરતા:
$a \times b = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 1 & 1 & 1 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix} = (b_3 - b_2)i + (b_1 - b_3)j + (b_2 - b_1)k$.
આને $c = (0, 1, -1)$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$b_3 - b_2 = 0$ ......$(ii)$
$b_1 - b_3 = 1$ ......$(iii)$
$b_2 - b_1 = -1$ ......$(iv)$
$(ii)$ પરથી,$b_2 = b_3$. આ કિંમત $(i)$ માં મૂકતા,$b_1 + 2b_2 = 3$.
$(iii)$ પરથી,$b_1 = 1 + b_3 = 1 + b_2$.
$b_1$ ની કિંમત $b_1 + 2b_2 = 3$ માં મૂકતા,$(1 + b_2) + 2b_2 = 3$,તેથી $3b_2 = 2$,જેનો અર્થ છે કે $b_2 = \frac{2}{3}$.
તેથી $b_3 = \frac{2}{3}$ અને $b_1 = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}$.
આમ,$b = \left( \frac{5}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3} \right)$.

(B) આપેલ સદિશો $a = 3i - 5j$ અને $b = 6i + 3j$ છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે સદિશ ગુણાકાર $c = a \times b$ શોધીએ:
$c = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 3 & -5 & 0 \\ 6 & 3 & 0 \end{vmatrix} = i(0 - 0) - j(0 - 0) + k(9 - (-30)) = 39k$.
હવે,આપણે સદિશોના માન શોધીએ:
$|a| = \sqrt{3^2 + (-5)^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34}$.
$|b| = \sqrt{6^2 + 3^2} = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45}$.
$|c| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 39^2} = 39$.
તેથી,ગુણોત્તર $|a|:|b|:|c|$ એ $\sqrt{34} : \sqrt{45} : 39$ થાય.

(A) સદિશો $i$ અને $i + j$ ને સમાવતા સમતલનો અભિલંબ સદિશ $n_1 = i \times (i + j) = k$ છે. આ સમતલનું સમીકરણ $r \cdot k = 0$ છે,જેનો અર્થ છે કે $z = 0.$
સદિશો $i - j$ અને $i + k$ ને સમાવતા સમતલનો અભિલંબ સદિશ $n_2 = (i - j) \times (i + k) = -i - j + k$ છે. આ સમતલનું સમીકરણ $r \cdot (-i - j + k) = 0$ છે,જેનો અર્થ છે કે $x + y - z = 0.$
સદિશ $a$ આ બંને સમતલોની છેદરેખાને સમાંતર છે,તેથી $a$ એ અભિલંબ $n_1$ અને $n_2$ ના સદિશ ગુણાકારને સમાંતર હોવો જોઈએ: $v = n_1 \times n_2 = k \times (-i - j + k) = i - j.$
આમ,$a$ એ $i - j$ ને સમાંતર છે.
ધારો કે $a = i - j$ અને $b = i - 2j + 2k$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે.
$\cos \theta = \frac{a \cdot b}{|a| |b|} = \frac{(1)(1) + (-1)(-2) + (0)(2)}{\sqrt{1^2 + (-1)^2} \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2}} = \frac{3}{\sqrt{2} \cdot 3} = \frac{1}{\sqrt{2}}.$
સદિશ $a$ એ $i - j$ અથવા $-(i - j)$ ની દિશામાં હોઈ શકે છે,તેથી $\cos \theta = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}.$
તેથી,$\theta = \frac{\pi}{4}$ અથવા $\theta = \frac{3\pi}{4}$.

(C) આપેલ છે કે $2\hat{a} = \hat{b} \times \hat{c} + 2\hat{b}$.
બંને બાજુ $\hat{b}$ સાથે ડોટ ગુણાકાર લેતા:
$2(\hat{a} \cdot \hat{b}) = (\hat{b} \times \hat{c}) \cdot \hat{b} + 2(\hat{b} \cdot \hat{b})$
કારણ કે $(\hat{b} \times \hat{c}) \cdot \hat{b} = 0$ અને $\hat{b} \cdot \hat{b} = 1$,તેથી $2(\hat{a} \cdot \hat{b}) = 2$,એટલે કે $\hat{a} \cdot \hat{b} = 1$.
$\hat{a}$ અને $\hat{b}$ એકમ સદિશો હોવાથી,$\hat{a} \cdot \hat{b} = 1$ નો અર્થ છે કે $\hat{a} = \hat{b}$.
મૂળ સમીકરણમાં $\hat{a} = \hat{b}$ મૂકતા: $2\hat{b} = \hat{b} \times \hat{c} + 2\hat{b}$,જેનો અર્થ છે કે $\hat{b} \times \hat{c} = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $\hat{c} = \hat{b}$ અથવા $\hat{c} = -\hat{b}$.
કિસ્સો $1$: જો $\hat{c} = \hat{b}$ હોય,તો $|2\hat{a} + \hat{b} + \hat{c}| = |2\hat{b} + \hat{b} + \hat{b}| = |4\hat{b}| = 4$.
કિસ્સો $2$: જો $\hat{c} = -\hat{b}$ હોય,તો $|2\hat{a} + \hat{b} + \hat{c}| = |2\hat{b} + \hat{b} - \hat{b}| = |2\hat{b}| = 2$.
શક્ય કિંમતોનો સરવાળો $4 + 2 = 6$ થાય છે.

(B) આપેલ છે કે $|\vec{a}| = |\vec{b}| = \sqrt{2}$ અને $|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{5}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 5$.
$2 + 2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 5 \Rightarrow 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 1 \Rightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{2}$.
હવે,$|\vec{a} \times \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2 = (2)(2) - (\frac{1}{2})^2 = 4 - \frac{1}{4} = \frac{15}{4}$.
આપેલ છે કે $\vec{c} = \vec{a} + 2\vec{b} + 2(\vec{a} \times \vec{b})$.
કારણ કે $\vec{a} \times \vec{b}$ એ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ બંનેને લંબ છે,તેથી $|\vec{c}|^2 = |\vec{a} + 2\vec{b}|^2 + |2(\vec{a} \times \vec{b})|^2 = |\vec{a}|^2 + 4|\vec{b}|^2 + 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 4|\vec{a} \times \vec{b}|^2$.
$|\vec{c}|^2 = 2 + 4(2) + 4(\frac{1}{2}) + 4(\frac{15}{4}) = 2 + 8 + 2 + 15 = 27$.
તેથી,$|\vec{c}| = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$.

(D) સદિશ $\vec{B}$ ને $\vec{B} = A_x \hat{i} + A_y \hat{j} + A_z \hat{k}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $A_x, A_y, A_z$ એ અનુક્રમે $yz, zx, xy$ સમતલ પર $\Delta PQR$ ના પ્રક્ષેપોના ક્ષેત્રફળ છે.
સદિશ ક્ષેત્રફળના ગુણધર્મ મુજબ,$\vec{B} = \frac{1}{2} (\vec{PQ} \times \vec{PR})$.
આપેલ છે કે $P(1, 2, -3)$,$Q(-2, 1, -4)$ અને $R(3, 4, -2)$,તેથી:
$\vec{PQ} = (-2-1)\hat{i} + (1-2)\hat{j} + (-4 - (-3))\hat{k} = -3\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}$.
$\vec{PR} = (3-1)\hat{i} + (4-2)\hat{j} + (-2 - (-3))\hat{k} = 2\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$.
હવે,$\vec{PQ} \times \vec{PR} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -3 & -1 & -1 \\ 2 & 2 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-1 - (-2)) - \hat{j}(-3 - (-2)) + \hat{k}(-6 - (-2)) = \hat{i} + \hat{j} - 4\hat{k}$.
આમ,$\vec{B} = \frac{1}{2} (\hat{i} + \hat{j} - 4\hat{k})$.
તેથી,$|\vec{B}|^2 = \left( \frac{1}{2} \right)^2 (1^2 + 1^2 + (-4)^2) = \frac{1}{4} (1 + 1 + 16) = \frac{18}{4} = \frac{9}{2}$.

(C) ધારો કે $\vec{v} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ અને સમતલ નક્કી કરતા બે સદિશો $\vec{a} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}$ અને $\vec{b} = \hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ છે.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}$ દ્વારા મળે છે:
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix} = 5\hat{i} - 5\hat{j} - 5\hat{k}$.
આપણે અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \hat{i} - \hat{j} - \hat{k}$ લઈ શકીએ.
ધારો કે $\theta$ એ સદિશ $\vec{v}$ અને સમતલ વચ્ચેનો ખૂણો છે. તો સદિશ $\vec{v}$ અને અભિલંબ $\vec{n}$ વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ} - \theta$ થાય.
આપેલ છે કે $\cot \theta = \sqrt{2}$,તેથી $\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$,જેથી $\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$ અને $\cos \theta = \sqrt{\frac{2}{3}}$.
ડોટ પ્રોડક્ટના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\sin \theta = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{|\vec{v}| |\vec{n}|}$.
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{|x - y - z|}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \sqrt{3}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{1}{3} = \frac{(x - y - z)^2}{3(x^2 + y^2 + z^2)}$.
$x^2 + y^2 + z^2 = x^2 + y^2 + z^2 - 2xy + 2yz - 2zx$.
$0 = -2xy + 2yz - 2zx$.
$xy + zx = yz$,એટલે કે $x(y + z) = yz$.

(A) આપેલ છે કે $|\vec c - \vec a| = \sqrt{14}$. બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$|\vec c|^2 + |\vec a|^2 - 2(\vec c \cdot \vec a) = 14$ મળે.
અહીં $\vec a = 2\hat i + \hat j - 2\hat k$ હોવાથી,$|\vec a| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{9} = 3$ થાય.
તેથી,$|\vec c|^2 + 9 - 2(\vec c \cdot \vec a) = 14$,જેનો અર્થ છે કે $|\vec c|^2 - 2(\vec c \cdot \vec a) = 5$ ........$(1)$.
આપેલ છે કે $\vec a \cdot \vec c + 2|\vec c| = 0$,તેથી $\vec a \cdot \vec c = -2|\vec c|$.
આ કિંમત $(1)$ માં મૂકતા,$|\vec c|^2 - 2(-2|\vec c|) = 5$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $|\vec c|^2 + 4|\vec c| - 5 = 0$ થાય.
અવયવ પાડતા $(|\vec c| + 5)(|\vec c| - 1) = 0$ મળે. $|\vec c| > 0$ હોવાથી,$|\vec c| = 1$ થાય.
હવે,$\vec a \times \vec b = \begin{vmatrix} \hat i & \hat j & \hat k \\ 2 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 2\hat i - 2\hat j + \hat k$.
તેથી $|\vec a \times \vec b| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{9} = 3$ થાય.
હવે સદિશ ગુણાકારનું માન $|(\vec a \times \vec b) \times \vec c| = |\vec a \times \vec b| |\vec c| \sin(30^o) = 3 \times 1 \times \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$ મળે.

(A) ધારો કે $\vec{r}_1 = a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}$ અને $\vec{r}_2 = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}$ છે.
આપેલ છે કે $a^2 + b^2 + c^2 = 1$,તેથી $|\vec{r}_1| = 1$ થાય.
સદિશ ગુણાકાર $\vec{r}_1 \times \vec{r}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ a & b & c \\ 2 & 3 & 4 \end{vmatrix} = \hat{i}(4b - 3c) - \hat{j}(4a - 2c) + \hat{k}(3a - 2b)$ મળે.
તેના માનનો વર્ગ $|\vec{r}_1 \times \vec{r}_2|^2 = (4b - 3c)^2 + (4a - 2c)^2 + (3a - 2b)^2$ થાય.
ગુણધર્મ $|\vec{r}_1 \times \vec{r}_2| = |\vec{r}_1| |\vec{r}_2| \sin \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\theta$ એ બે સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો છે.
અહીં $|\vec{r}_1| = 1$ અને $|\vec{r}_2| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 9 + 16} = \sqrt{29}$ છે,તેથી $|\vec{r}_1 \times \vec{r}_2| = \sqrt{29} \sin \theta$ મળે.
તેથી,$|\vec{r}_1 \times \vec{r}_2|^2 = 29 \sin^2 \theta$ થાય.
$\sin^2 \theta$ ની મહત્તમ કિંમત $1$ હોવાથી,આપેલ પદાવલિની મહત્તમ કિંમત $29 \times 1 = 29$ થાય.

(B) ધારો કે $\vec{x} = a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}$.
$\vec{x}$ એકમ સદિશ હોવાથી,$a^2 + b^2 + c^2 = 1$.
સદિશ ગુણાકાર:
$\vec{x} \times (\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ a & b & c \\ 1 & -2 & 1 \end{vmatrix} = (b+2c)\hat{i} - (a-c)\hat{j} + (-2a-b)\hat{k}$.
આને $-\hat{i} + \hat{k}$ સાથે સરખાવતા:
$b + 2c = -1$,$a - c = 0$,અને $-2a - b = 1$.
$a = c$ લેતા,$b + 2a = -1$ અને $-2a - b = 1$ મળે છે,જે સમાન સમીકરણ છે.
$a^2 + b^2 + c^2 = 1$ માં કિંમત મૂકતા,$a^2 + (-1-2a)^2 + a^2 = 1$.
$a^2 + 1 + 4a + 4a^2 + a^2 = 1 \Rightarrow 6a^2 + 4a = 0$.
તેથી,$2a(3a + 2) = 0$,જેનો અર્થ $a = 0$ અથવા $a = -\frac{2}{3}$.
જો $a = 0$,તો $c = 0$ અને $b = -1$,તેથી $\vec{x} = -\hat{j}$.
જો $a = -\frac{2}{3}$,તો $c = -\frac{2}{3}$ અને $b = -1 - 2(-\frac{2}{3}) = \frac{1}{3}$.
આમ,$\vec{x} = -\frac{2}{3}\hat{i} + \frac{1}{3}\hat{j} - \frac{2}{3}\hat{k} = -\frac{1}{3}(2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k})$.

(B) આપેલ છે કે,$2\vec{a} + 3\vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$.
આ સમીકરણ પરથી,$\vec{c} = -(2\vec{a} + 3\vec{b})$.
હવે,પદ $\vec{a} \times \vec{b} + \vec{b} \times \vec{c} + \vec{c} \times \vec{a}$ ધ્યાનમાં લો.
$\vec{c} = -(2\vec{a} + 3\vec{b})$ ની કિંમત મૂકતા:
$= \vec{a} \times \vec{b} + \vec{b} \times (-(2\vec{a} + 3\vec{b})) + (-(2\vec{a} + 3\vec{b})) \times \vec{a}$
ક્રોસ પ્રોડક્ટના વિભાજનના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$= \vec{a} \times \vec{b} - 2(\vec{b} \times \vec{a}) - 3(\vec{b} \times \vec{b}) - 2(\vec{a} \times \vec{a}) - 3(\vec{b} \times \vec{a})$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\vec{x} \times \vec{x} = \vec{0}$ અને $\vec{b} \times \vec{a} = -(\vec{a} \times \vec{b})$:
$= \vec{a} \times \vec{b} - 2(-(\vec{a} \times \vec{b})) - 3(\vec{0}) - 2(\vec{0}) - 3(-(\vec{a} \times \vec{b}))$
$= \vec{a} \times \vec{b} + 2(\vec{a} \times \vec{b}) + 3(\vec{a} \times \vec{b})$
$= 6(\vec{a} \times \vec{b})$.
વૈકલ્પિક રીતે,$2\vec{a} + 3\vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$ માં $\vec{b}$ સાથે ક્રોસ પ્રોડક્ટ લેતા:
$2(\vec{a} \times \vec{b}) + 3(\vec{b} \times \vec{b}) + (\vec{c} \times \vec{b}) = \vec{0} \Rightarrow 2(\vec{a} \times \vec{b}) = \vec{b} \times \vec{c} \Rightarrow \vec{a} \times \vec{b} = \frac{1}{2}(\vec{b} \times \vec{c})$.
આ કિંમત $6(\vec{a} \times \vec{b})$ માં મૂકતા,આપણને $6 \times \frac{1}{2}(\vec{b} \times \vec{c}) = 3(\vec{b} \times \vec{c})$ મળે છે.

(C) ધારો કે $\vec{u} = \sqrt{3}(\vec{a} \times \vec{b})$ અને $\vec{v} = \vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{a}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\vec{v} = \vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{a})$.
$\vec{a} \times \vec{b}$ એ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ને લંબ છે,અને $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{a})$ પણ $\vec{a}$ ને લંબ છે,તેથી $\vec{u} \perp \vec{v}$ થાય.
આમ,આ ત્રિકોણ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં એક ખૂણો $\frac{\pi}{2}$ છે.
હવે,$|\vec{u}| = \sqrt{3}|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{3}|\vec{a}||\vec{b}|\sin \theta = \sqrt{3}|\vec{b}|\sin \theta$,જ્યાં $\theta$ એ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
તે જ રીતે,$|\vec{v}| = |\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{a})| = |\vec{a}| |\vec{b} \times \vec{a}| \sin(90^{\circ}) = |\vec{b}|\sin \theta$.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં,ધારો કે $\alpha$ એ બાજુઓ $\vec{u}$ અને $\vec{v}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
તો $\tan \alpha = \frac{|\vec{u}|}{|\vec{v}|} = \frac{\sqrt{3}|\vec{b}|\sin \theta}{|\vec{b}|\sin \theta} = \sqrt{3}$.
તેથી,$\alpha = \frac{\pi}{3}$.
ત્રીજો ખૂણો $\pi - \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6}$ થશે.
આમ,ત્રિકોણના ખૂણાઓ $\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}$ છે.

(B) ધારો કે વિકર્ણો $\vec{d_1} = 8\hat{i} - 6\hat{j} + 0\hat{k}$ અને $\vec{d_2} = 3\hat{i} + 4\hat{j} - 12\hat{k}$ છે.
વિકર્ણો $\vec{d_1}$ અને $\vec{d_2}$ ધરાવતા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $\text{Area} = \frac{1}{2} |\vec{d_1} \times \vec{d_2}|$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $\vec{d_1} \times \vec{d_2}$ શોધો:
$\vec{d_1} \times \vec{d_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 8 & -6 & 0 \\ 3 & 4 & -12 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}((-6)(-12) - (0)(4)) - \hat{j}((8)(-12) - (0)(3)) + \hat{k}((8)(4) - (-6)(3))$
$= 72\hat{i} + 96\hat{j} + 50\hat{k}$.
હવે,સદિશ ગુણાકારનું માન શોધો:
$|\vec{d_1} \times \vec{d_2}| = \sqrt{72^2 + 96^2 + 50^2}$
$= \sqrt{5184 + 9216 + 2500}$
$= \sqrt{16900} = 130$.
તેથી,સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times 130 = 65$ ચોરસ એકમ છે.

(B) આપેલ છે કે $\vec{b} = 3\hat{j} + 4\hat{k}$ અને $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j}$.
$\vec{b_1}$ એ $\vec{a}$ ને સમાંતર છે,તેથી $\vec{b_1} = \text{proj}_{\vec{a}} \vec{b} = \left( \frac{\vec{b} \cdot \vec{a}}{|\vec{a}|^2} \right) \vec{a}$.
$\vec{b} \cdot \vec{a} = (3\hat{j} + 4\hat{k}) \cdot (\hat{i} + \hat{j}) = 3$.
$|\vec{a}|^2 = |\hat{i} + \hat{j}|^2 = 1^2 + 1^2 = 2$.
આમ,$\vec{b_1} = \frac{3}{2}(\hat{i} + \hat{j}) = \frac{3}{2}\hat{i} + \frac{3}{2}\hat{j}$.
કારણ કે $\vec{b} = \vec{b_1} + \vec{b_2}$,તેથી $\vec{b_2} = \vec{b} - \vec{b_1} = (3\hat{j} + 4\hat{k}) - (\frac{3}{2}\hat{i} + \frac{3}{2}\hat{j}) = -\frac{3}{2}\hat{i} + \frac{3}{2}\hat{j} + 4\hat{k}$.
હવે,સદિશ ગુણાકાર $\vec{b_1} \times \vec{b_2}$ ની ગણતરી કરો:
$\vec{b_1} \times \vec{b_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3/2 & 3/2 & 0 \\ -3/2 & 3/2 & 4 \end{vmatrix}$.
$= \hat{i} \left( (3/2)(4) - (0)(3/2) \right) - \hat{j} \left( (3/2)(4) - (0)(-3/2) \right) + \hat{k} \left( (3/2)(3/2) - (3/2)(-3/2) \right)$.
$= \hat{i}(6) - \hat{j}(6) + \hat{k}(9/4 + 9/4) = 6\hat{i} - 6\hat{j} + \frac{9}{2}\hat{k}$.

(D) આપેલ છે કે $\vec a = 2\hat i + \hat j - 2\hat k$ અને $\vec b = \hat i + \hat j$.
પ્રથમ,$\vec a$ નું માન શોધો: $|\vec a| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = 3$.
હવે,સદિશ ગુણાકાર $\vec a \times \vec b$ શોધો:
$\vec a \times \vec b = \begin{vmatrix} \hat i & \hat j & \hat k \\ 2 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 2\hat i - 2\hat j + \hat k$.
તેનું માન $|\vec a \times \vec b| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = 3$ થાય.
આપેલ છે કે $|\vec c - \vec a| = 2\sqrt 2$,બંને બાજુ વર્ગ કરતા $|\vec c - \vec a|^2 = 8$.
વિસ્તરણ કરતા,$|\vec c|^2 + |\vec a|^2 - 2(\vec c \cdot \vec a) = 8$.
$|\vec a| = 3$ અને $\vec a \cdot \vec c = |\vec c|$ મૂકતા,$|\vec c|^2 + 9 - 2|\vec c| = 8$.
આથી $|\vec c|^2 - 2|\vec c| + 1 = 0$,એટલે કે $(|\vec c| - 1)^2 = 0$,તેથી $|\vec c| = 1$.
છેલ્લે,સદિશ ગુણાકારનું માન $|(\vec a \times \vec b) \times \vec c| = |\vec a \times \vec b| |\vec c| \sin 30^o$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $3 \times 1 \times \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.

(D) ધારો કે $\vec{v} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ એ માંગેલ એકમ સદિશ છે.
$\vec{v}$ એ $\vec{a} = 2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ ને લંબ હોવાથી,$\vec{v} \cdot \vec{a} = 0$.
$2x - y + 2z = 0$ ...... $(i)$
$\vec{v}$ એ $\vec{b} = \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ અને $\vec{c} = 2\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$ સાથે સમતલીય હોવાથી,$\vec{v} = p\vec{b} + q\vec{c}$.
$\vec{v} = (p + 2q)\hat{i} + (p + 2q)\hat{j} - (p + q)\hat{k}$.
તેથી $x = p + 2q, y = p + 2q, z = -(p + q)$.
સમીકરણ $(i)$ માં કિંમત મુકતા: $2(p + 2q) - (p + 2q) + 2(-p - q) = 0$.
$2p + 4q - p - 2q - 2p - 2q = 0 \Rightarrow -p = 0 \Rightarrow p = 0$.
તેથી $x = 2q, y = 2q, z = -q$.
$\vec{v}$ એકમ સદિશ હોવાથી,$x^2 + y^2 + z^2 = 1$.
$(2q)^2 + (2q)^2 + (-q)^2 = 1 \Rightarrow 9q^2 = 1 \Rightarrow q = \pm \frac{1}{3}$.
$q = \frac{1}{3}$ લેતા,$\vec{v} = \frac{2}{3}\hat{i} + \frac{2}{3}\hat{j} - \frac{1}{3}\hat{k} = \frac{2\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}}{3}$.
આ વિકલ્પ $D$ સાથે સુસંગત છે.

(B) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $O(0, 0, 0)$,$P(1, 2, 1)$,$Q(2, 1, 3)$,અને $R(-1, 1, 2)$ છે.
ફલકો $OPQ$ અને $PQR$ વચ્ચેનો ખૂણો શોધવા માટે,આપણે આ ફલકોના અભિલંબ સદિશો શોધીશું.
ફલક $OPQ$ માટે,અભિલંબ સદિશ $\vec{n_1} = \vec{OP} \times \vec{OQ} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(6-1) - \hat{j}(3-2) + \hat{k}(1-4) = 5\hat{i} - \hat{j} - 3\hat{k}$.
ફલક $PQR$ માટે,અભિલંબ સદિશ $\vec{n_2} = \vec{PQ} \times \vec{PR}$.
$\vec{PQ} = (2-1)\hat{i} + (1-2)\hat{j} + (3-1)\hat{k} = \hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$.
$\vec{PR} = (-1-1)\hat{i} + (1-2)\hat{j} + (2-1)\hat{k} = -2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$.
$\vec{n_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 2 \\ -2 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-1+2) - \hat{j}(1+4) + \hat{k}(-1-2) = \hat{i} - 5\hat{j} - 3\hat{k}$.
ફલકો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\cos \theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|}$ દ્વારા મળે છે.
$|\vec{n_1}| = \sqrt{5^2 + (-1)^2 + (-3)^2} = \sqrt{25+1+9} = \sqrt{35}$.
$|\vec{n_2}| = \sqrt{1^2 + (-5)^2 + (-3)^2} = \sqrt{1+25+9} = \sqrt{35}$.
$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (5)(1) + (-1)(-5) + (-3)(-3) = 5 + 5 + 9 = 19$.
$\cos \theta = \frac{19}{\sqrt{35} \cdot \sqrt{35}} = \frac{19}{35}$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{19}{35}\right)$.

(A) આપેલ છે કે $\vec{a}, \vec{b},$ અને $\vec{c}$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = 1.$
સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c}.$
આપેલ છે કે $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = \frac{1}{2} \vec{b},$ તેથી $(\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c} = \frac{1}{2} \vec{b}.$
કારણ કે $\vec{b}$ અને $\vec{c}$ સમાંતર નથી,તેઓ સુરેખ રીતે સ્વતંત્ર છે. $\vec{b}$ અને $\vec{c}$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા,આપણને $\vec{a} \cdot \vec{c} = \frac{1}{2}$ અને $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ મળે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \alpha = 1 \cdot 1 \cdot \cos \alpha = 0 \implies \alpha = 90^{\circ}.$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\vec{a} \cdot \vec{c} = |\vec{a}| |\vec{c}| \cos \beta = 1 \cdot 1 \cdot \cos \beta = \frac{1}{2} \implies \beta = 60^{\circ}.$
આમ,$|\alpha - \beta| = |90^{\circ} - 60^{\circ}| = 30^{\circ}.$

(D) ધારો કે $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{b} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$.
$\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ને સમાવતા સમતલને લંબ સદિશ $\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(3-2) - \hat{j}(3-1) + \hat{k}(2-1) = \hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$.
સદિશ $\vec{v} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}$ નો સદિશ $\vec{n}$ પરના પ્રક્ષેપનું મૂલ્ય $\frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}$ છે.
$\vec{v} \cdot \vec{n} = (2)(1) + (3)(-2) + (1)(1) = 2 - 6 + 1 = -3$.
$|\vec{n}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}$.
તેથી,પ્રક્ષેપનું મૂલ્ય $\frac{|-3|}{\sqrt{6}} = \frac{3}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{9}{6}} = \sqrt{\frac{3}{2}}$ છે.

(A) પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \times \vec{b}$ શોધો:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 2 & x \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(2 + x) - \hat{j}(3 - x) + \hat{k}(-3 - 2) = (x + 2)\hat{i} + (x - 3)\hat{j} - 5\hat{k}$.
હવે,તેનું માન $r = |\vec{a} \times \vec{b}|$ શોધો:
$r^2 = (x + 2)^2 + (x - 3)^2 + (-5)^2$
$r^2 = (x^2 + 4x + 4) + (x^2 - 6x + 9) + 25$
$r^2 = 2x^2 - 2x + 38 = 2(x^2 - x + 19)$.
કૌંસમાં રહેલા પદ માટે પૂર્ણવર્ગની રીત વાપરો:
$r^2 = 2\left((x - \frac{1}{2})^2 + 19 - \frac{1}{4}\right) = 2\left((x - \frac{1}{2})^2 + \frac{75}{4}\right) = 2(x - \frac{1}{2})^2 + \frac{75}{2}$.
કારણ કે $(x - \frac{1}{2})^2 \geq 0$,તેથી $r^2$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $\frac{75}{2}$ છે.
તેથી,$r^2 \geq \frac{75}{2} \implies r \geq \sqrt{\frac{75}{2}} = 5\sqrt{\frac{3}{2}}$.
આમ,શરત $r \geq 5\sqrt{\frac{3}{2}}$ છે.

(A) આપેલ છે કે $\vec{\alpha} = 3\hat{i} + \hat{j}$ અને $\vec{\beta} = 2\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}.$
કારણ કે $\vec{\beta}_1$ એ $\vec{\alpha}$ ને સમાંતર છે,તેથી $\vec{\beta}_1 = \lambda \vec{\alpha} = \lambda(3\hat{i} + \hat{j}).$
આપેલ છે કે $\vec{\beta} = \vec{\beta}_1 - \vec{\beta}_2,$ તેથી $\vec{\beta}_2 = \vec{\beta}_1 - \vec{\beta} = \lambda(3\hat{i} + \hat{j}) - (2\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}) = (3\lambda - 2)\hat{i} + (\lambda + 1)\hat{j} - 3\hat{k}.$
કારણ કે $\vec{\beta}_2$ એ $\vec{\alpha}$ ને લંબ છે,તેથી $\vec{\beta}_2 \cdot \vec{\alpha} = 0.$
$((3\lambda - 2)\hat{i} + (\lambda + 1)\hat{j} - 3\hat{k}) \cdot (3\hat{i} + \hat{j}) = 0.$
$3(3\lambda - 2) + 1(\lambda + 1) = 0 \implies 9\lambda - 6 + \lambda + 1 = 0 \implies 10\lambda = 5 \implies \lambda = \frac{1}{2}.$
આમ,$\vec{\beta}_1 = \frac{3}{2}\hat{i} + \frac{1}{2}\hat{j}$ અને $\vec{\beta}_2 = (\frac{3}{2} - 2)\hat{i} + (\frac{1}{2} + 1)\hat{j} - 3\hat{k} = -\frac{1}{2}\hat{i} + \frac{3}{2}\hat{j} - 3\hat{k}.$
હવે,$\vec{\beta}_1 \times \vec{\beta}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ -\frac{1}{2} & \frac{3}{2} & -3 \end{vmatrix}.$
$= \hat{i}(-\frac{3}{2} - 0) - \hat{j}(-\frac{9}{2} - 0) + \hat{k}(\frac{9}{4} - (-\frac{1}{4})) = -\frac{3}{2}\hat{i} + \frac{9}{2}\hat{j} + \frac{10}{4}\hat{k} = -\frac{3}{2}\hat{i} + \frac{9}{2}\hat{j} + \frac{5}{2}\hat{k}.$
$= \frac{1}{2}(-3\hat{i} + 9\hat{j} + 5\hat{k}).$

(A) સૌ પ્રથમ,$\vec{a} + \vec{b} = 4\hat{i} + 4\hat{j}$ અને $\vec{a} - \vec{b} = 2\hat{i} + 4\hat{k}$ મેળવો.
બંને સદિશોને લંબ સદિશ તેમનો ક્રોસ ગુણાકાર છે:
$\vec{v} = (\vec{a} + \vec{b}) \times (\vec{a} - \vec{b}) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 4 & 4 & 0 \\ 2 & 0 & 4 \end{vmatrix} = 16\hat{i} - 16\hat{j} - 8\hat{k} = 8(2\hat{i} - 2\hat{j} - \hat{k})$.
આ સદિશનું માન $8 \times 3 = 24$ છે.
$12$ માન ધરાવતો સદિશ મેળવવા માટે,આપણે તેને $\frac{12}{24} = \frac{1}{2}$ વડે ગુણવું પડે.
તેથી,જરૂરી સદિશ $\pm 4(2\hat{i} - 2\hat{j} - \hat{k})$ છે.

(C) આપેલ છે કે $\vec{b} \times \vec{c} = \vec{b} \times \vec{a}$,તેથી આપણે લખી શકીએ $\vec{b} \times (\vec{c} - \vec{a}) = \vec{0}$.
આનો અર્થ એ છે કે $\vec{c} - \vec{a}$ એ $\vec{b}$ ને સમાંતર છે,તેથી $\vec{c} - \vec{a} = k\vec{b}$ કોઈ અદિશ $k$ માટે.
આમ,$\vec{c} = \vec{a} + k\vec{b}$.
આપેલ છે કે $\vec{c} \cdot \vec{a} = 0$,તેથી $\vec{c}$ ની કિંમત મૂકતા:
$(\vec{a} + k\vec{b}) \cdot \vec{a} = 0 \Rightarrow |\vec{a}|^2 + k(\vec{b} \cdot \vec{a}) = 0$.
માન અને અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા:
$|\vec{a}|^2 = 1^2 + (-2)^2 + 1^2 = 6$.
$\vec{b} \cdot \vec{a} = (1)(1) + (-1)(-2) + (1)(1) = 1 + 2 + 1 = 4$.
આ કિંમતો મૂકતા: $6 + k(4) = 0 \Rightarrow 4k = -6 \Rightarrow k = -\frac{3}{2}$.
હવે,$\vec{c} \cdot \vec{b} = (\vec{a} + k\vec{b}) \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{b} + k|\vec{b}|^2$.
$|\vec{b}|^2 = 1^2 + (-1)^2 + 1^2 = 3$.
$\vec{c} \cdot \vec{b} = 4 + (-\frac{3}{2})(3) = 4 - \frac{9}{2} = \frac{8-9}{2} = -\frac{1}{2}$.