Scalar or Dot product of two vectors and its applications Questions in Gujarati

(C) આપેલ છે કે $(\vec{x}-\vec{a}) \cdot (\vec{x}+\vec{a}) = 12$.
અદિશ ગુણાકારના વિભાજનના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$\vec{x} \cdot \vec{x} + \vec{x} \cdot \vec{a} - \vec{a} \cdot \vec{x} - \vec{a} \cdot \vec{a} = 12$.
અદિશ ગુણાકાર ક્રમનો નિયમ પાળે છે,તેથી $\vec{x} \cdot \vec{a} = \vec{a} \cdot \vec{x}$,જે એકબીજાને રદ કરશે:
$|\vec{x}|^2 - |\vec{a}|^2 = 12$.
આપેલ છે કે $\vec{a}$ એકમ સદિશ છે,તેથી $|\vec{a}| = 1$ અને $|\vec{a}|^2 = 1$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$|\vec{x}|^2 - 1 = 12$.
$|\vec{x}|^2 = 13$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $|\vec{x}| = \sqrt{13}$ મળે છે.

(A) આપેલ સદિશો $\vec{a}=2 \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}, \vec{b}=-\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}$ અને $\vec{c}=3 \hat{i}+\hat{j}$ છે.
સૌ પ્રથમ,સદિશ $\vec{a}+\lambda \vec{b}$ ની ગણતરી કરો:
$\vec{a}+\lambda \vec{b} = (2 \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}) + \lambda(-\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k})$
$= (2-\lambda) \hat{i} + (2+2\lambda) \hat{j} + (3+\lambda) \hat{k}.$
કારણ કે $(\vec{a}+\lambda \vec{b})$ એ $\vec{c}$ ને લંબ છે,તેથી તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થવો જોઈએ:
$(\vec{a}+\lambda \vec{b}) \cdot \vec{c} = 0$
$[(2-\lambda) \hat{i} + (2+2\lambda) \hat{j} + (3+\lambda) \hat{k}] \cdot (3 \hat{i} + \hat{j} + 0 \hat{k}) = 0$
ડોટ ગુણાકારની ગણતરી કરતા:
$3(2-\lambda) + 1(2+2\lambda) + 0(3+\lambda) = 0$
$6 - 3\lambda + 2 + 2\lambda = 0$
$8 - \lambda = 0$
$\lambda = 8.$

બે સદિશો લંબ છે તેમ દર્શાવવા માટે,તેમનો અદિશ ગુણાકાર (dot product) $0$ હોવો જોઈએ.
ધારો કે $\vec{u} = |\vec{a}| \vec{b}+|\vec{b}| \vec{a}$ અને $\vec{v} = |\vec{a}| \vec{b}-|\vec{b}| \vec{a}$.
અદિશ ગુણાકાર $\vec{u} \cdot \vec{v}$ ની ગણતરી કરીએ:
$\vec{u} \cdot \vec{v} = (|\vec{a}| \vec{b}+|\vec{b}| \vec{a}) \cdot (|\vec{a}| \vec{b}-|\vec{b}| \vec{a})$
અદિશ ગુણાકારના વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$= |\vec{a}|^2 (\vec{b} \cdot \vec{b}) - |\vec{a}||\vec{b}| (\vec{b} \cdot \vec{a}) + |\vec{b}||\vec{a}| (\vec{a} \cdot \vec{b}) - |\vec{b}|^2 (\vec{a} \cdot \vec{a})$
કારણ કે $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$ અને $\vec{x} \cdot \vec{x} = |\vec{x}|^2$:
$= |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 - |\vec{a}||\vec{b}| (\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{a}||\vec{b}| (\vec{a} \cdot \vec{b}) - |\vec{b}|^2 |\vec{a}|^2$
$= |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 - |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2$
$= 0$
અદિશ ગુણાકાર $0$ હોવાથી,સદિશો $|\vec{a}| \vec{b}+|\vec{b}| \vec{a}$ અને $|\vec{a}| \vec{b}-|\vec{b}| \vec{a}$ એકબીજાને લંબ છે.

(B) આપેલ છે કે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = 1$ થાય.
આપણને સમીકરણ $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}$ આપેલ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે:
$|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|^{2} = |\vec{0}|^{2}$
અદિશ ગુણાકારનું વિસ્તરણ કરતા:
$(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}) \cdot (\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}) = 0$
$|\vec{a}|^{2} + |\vec{b}|^{2} + |\vec{c}|^{2} + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$
માન $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = 1$ મૂકતા:
$1^{2} + 1^{2} + 1^{2} + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$
$3 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$
જરૂરી પદ માટે ઉકેલતા:
$2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = -3$
$\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a} = -\frac{3}{2}$

(N/A) ધારો કે $\vec{a}=2 \hat{i}+4 \hat{j}+3 \hat{k}$ અને $\vec{b}=3 \hat{i}+3 \hat{j}-6 \hat{k}$ છે.
તેથી,તેમનો અદિશ ગુણાકાર:
$\vec{a} \cdot \vec{b}=(2)(3)+(4)(3)+(3)(-6)=6+12-18=0$ થાય છે.
હવે આપણે તેમના માન (magnitude) જોઈએ:
$|\vec{a}|=\sqrt{2^{2}+4^{2}+3^{2}}=\sqrt{4+16+9}=\sqrt{29} \neq 0.$
$|\vec{b}|=\sqrt{3^{2}+3^{2}+(-6)^{2}}=\sqrt{9+9+36}=\sqrt{54} \neq 0.$
અહીં $\vec{a} \cdot \vec{b}=0$ છે પરંતુ $\vec{a} \neq \vec{0}$ અને $\vec{b} \neq \vec{0}$ છે,તેથી આપેલ વિધાનનું પ્રતીપ વિધાન સાચું હોવું જરૂરી નથી.

(A) $\triangle ABC$ ના શિરોબિંદુઓ $A(1,2,3), B(-1,0,0),$ અને $C(0,1,2)$ આપેલા છે.
$\angle ABC$ એ સદિશો $\overrightarrow{BA}$ અને $\overrightarrow{BC}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
$\overrightarrow{BA} = (1 - (-1))\hat{i} + (2 - 0)\hat{j} + (3 - 0)\hat{k} = 2\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$.
$\overrightarrow{BC} = (0 - (-1))\hat{i} + (1 - 0)\hat{j} + (2 - 0)\hat{k} = \hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$.
$\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = (2)(1) + (2)(1) + (3)(2) = 2 + 2 + 6 = 10$.
$|\overrightarrow{BA}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 4 + 9} = \sqrt{17}$.
$|\overrightarrow{BC}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}$.
ડોટ પ્રોડક્ટના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\cos(\angle ABC) = \frac{\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BA}| |\overrightarrow{BC}|} = \frac{10}{\sqrt{17} \times \sqrt{6}} = \frac{10}{\sqrt{102}}$.
તેથી,$\angle ABC = \cos^{-1}\left(\frac{10}{\sqrt{102}}\right)$.

ધારો કે બિંદુઓ $A, B,$ અને $C$ ના સ્થાન સદિશો $\overrightarrow{OA} = 2 \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$,$\overrightarrow{OB} = \hat{i} - 3 \hat{j} - 5 \hat{k}$,અને $\overrightarrow{OC} = 3 \hat{i} - 4 \hat{j} - 4 \hat{k}$ છે.
$\Delta ABC$ ની બાજુઓ દર્શાવતા સદિશો નીચે મુજબ છે:
$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = (1-2) \hat{i} + (-3+1) \hat{j} + (-5-1) \hat{k} = -\hat{i} - 2 \hat{j} - 6 \hat{k}$
$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB} = (3-1) \hat{i} + (-4+3) \hat{j} + (-4+5) \hat{k} = 2 \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$
$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA} = (3-2) \hat{i} + (-4+1) \hat{j} + (-4-1) \hat{k} = \hat{i} - 3 \hat{j} - 5 \hat{k}$
હવે,બાજુઓના માનના વર્ગની ગણતરી કરીએ:
$|\overrightarrow{AB}|^2 = (-1)^2 + (-2)^2 + (-6)^2 = 1 + 4 + 36 = 41$
$|\overrightarrow{BC}|^2 = (2)^2 + (-1)^2 + (1)^2 = 4 + 1 + 1 = 6$
$|\overrightarrow{AC}|^2 = (1)^2 + (-3)^2 + (-5)^2 = 1 + 9 + 25 = 35$
અહીં $|\overrightarrow{BC}|^2 + |\overrightarrow{AC}|^2 = 6 + 35 = 41 = |\overrightarrow{AB}|^2$ હોવાથી,બાજુઓ પાયથાગોરસના પ્રમેયનું પાલન કરે છે.
તેથી,$\Delta ABC$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.

(A) આપેલ રેખાઓ $\vec{r} = \vec{a}_1 + \lambda \vec{b}_1$ અને $\vec{r} = \vec{a}_2 + \mu \vec{b}_2$ સ્વરૂપમાં છે.
અહીં,$\vec{b}_1 = \hat{i} + 2 \hat{j} + 2 \hat{k}$ અને $\vec{b}_2 = 3 \hat{i} + 2 \hat{j} + 6 \hat{k}$ છે.
બે રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\cos \theta = \left| \frac{\vec{b}_1 \cdot \vec{b}_2}{|\vec{b}_1| |\vec{b}_2|} \right|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ,ડોટ પ્રોડક્ટની ગણતરી કરો: $\vec{b}_1 \cdot \vec{b}_2 = (1)(3) + (2)(2) + (2)(6) = 3 + 4 + 12 = 19$.
આગળ,માન (magnitudes) ની ગણતરી કરો: $|\vec{b}_1| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$.
$|\vec{b}_2| = \sqrt{3^2 + 2^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 4 + 36} = \sqrt{49} = 7$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા: $\cos \theta = \left| \frac{19}{3 \times 7} \right| = \frac{19}{21}$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{19}{21}\right)$.

(A) આ બે રેખાઓ સમાંતર છે કારણ કે તેમના દિશા સદિશો સમાન છે,$\vec{b} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 6\hat{k}$.
આપણી પાસે $\vec{a}_{1} = \hat{i} + 2\hat{j} - 4\hat{k}$ અને $\vec{a}_{2} = 3\hat{i} + 3\hat{j} - 5\hat{k}$ છે.
બે સમાંતર રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|\vec{b} \times (\vec{a}_{2} - \vec{a}_{1})|}{|\vec{b}|}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
પ્રથમ,$\vec{a}_{2} - \vec{a}_{1} = (3-1)\hat{i} + (3-2)\hat{j} + (-5 - (-4))\hat{k} = 2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ ગણો.
ત્યારબાદ,ક્રોસ પ્રોડક્ટ $\vec{b} \times (\vec{a}_{2} - \vec{a}_{1}) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 6 \\ 2 & 1 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-3-6) - \hat{j}(-2-12) + \hat{k}(2-6) = -9\hat{i} + 14\hat{j} - 4\hat{k}$ ગણો.
તેનું માન $|\vec{b} \times (\vec{a}_{2} - \vec{a}_{1})| = \sqrt{(-9)^2 + 14^2 + (-4)^2} = \sqrt{81 + 196 + 16} = \sqrt{293}$ છે.
$\vec{b}$ નું માન $|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$ છે.
આમ,અંતર $d = \frac{\sqrt{293}}{7}$ છે.

(A) ધારો કે $Q$ એ આપેલી રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આપેલી રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો શોધવાનું સૂત્ર,$\cos Q = \left| \frac{\vec{b}_{1} \cdot \vec{b}_{2}}{|\vec{b}_{1}| |\vec{b}_{2}|} \right|$ છે.
આપેલી રેખાઓ અનુક્રમે $\vec{b}_{1} = 3 \hat{i} + 2 \hat{j} + 6 \hat{k}$ અને $\vec{b}_{2} = \hat{i} + 2 \hat{j} + 2 \hat{k}$ સદિશોને સમાંતર છે.
સદિશોના માન શોધો:
$|\vec{b}_{1}| = \sqrt{3^{2} + 2^{2} + 6^{2}} = \sqrt{9 + 4 + 36} = \sqrt{49} = 7$.
$|\vec{b}_{2}| = \sqrt{1^{2} + 2^{2} + 2^{2}} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$.
સદિશોનો અદિશ ગુણાકાર શોધો:
$\vec{b}_{1} \cdot \vec{b}_{2} = (3 \hat{i} + 2 \hat{j} + 6 \hat{k}) \cdot (\hat{i} + 2 \hat{j} + 2 \hat{k})$
$= (3 \times 1) + (2 \times 2) + (6 \times 2) = 3 + 4 + 12 = 19$.
કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\cos Q = \frac{19}{7 \times 3} = \frac{19}{21}$.
તેથી,$Q = \cos ^{-1}\left(\frac{19}{21}\right)$.

(A) આપેલ રેખાઓ અનુક્રમે સદિશો $\vec{b}_{1}=\hat{i}-\hat{j}-2\hat{k}$ અને $\vec{b}_{2}=3\hat{i}-5\hat{j}-4\hat{k}$ ને સમાંતર છે.
પ્રથમ,સદિશોના માન શોધો:
$|\vec{b}_{1}|=\sqrt{(1)^{2}+(-1)^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{1+1+4}=\sqrt{6}$
$|\vec{b}_{2}|=\sqrt{(3)^{2}+(-5)^{2}+(-4)^{2}}=\sqrt{9+25+16}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$
હવે,ડોટ પ્રોડક્ટ $\vec{b}_{1} \cdot \vec{b}_{2}$ શોધો:
$\vec{b}_{1} \cdot \vec{b}_{2} = (1)(3) + (-1)(-5) + (-2)(-4) = 3 + 5 + 8 = 16$
રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $Q$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\cos Q = \frac{|\vec{b}_{1} \cdot \vec{b}_{2}|}{|\vec{b}_{1}| |\vec{b}_{2}|}$
કિંમતો મૂકતા:
$\cos Q = \frac{16}{\sqrt{6} \cdot 5\sqrt{2}} = \frac{16}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} \cdot 5\sqrt{2}} = \frac{16}{5 \cdot 2 \cdot \sqrt{3}} = \frac{16}{10\sqrt{3}} = \frac{8}{5\sqrt{3}}$
તેથી,$Q = \cos^{-1}\left(\frac{8}{5\sqrt{3}}\right)$.

(D) ધારો કે બે રેખાઓના દિશા ગુણોત્તર $l_1 = (a, b, c)$ અને $l_2 = (b-c, c-a, a-b)$ છે.
બે રેખાઓ જેના દિશા ગુણોત્તર $(a_1, b_1, c_1)$ અને $(a_2, b_2, c_2)$ હોય તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ નીચે મુજબ મળે છે: $\cos \theta = \frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$.
દિશા ગુણોત્તરનો ડોટ ગુણાકાર ગણો:
$a(b-c) + b(c-a) + c(a-b) = ab - ac + bc - ba + ca - cb = 0$.
અહીં ડોટ ગુણાકાર $0$ હોવાથી,સૂત્રનો અંશ $0$ થશે.
તેથી,$\cos \theta = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = 90^{\circ}$.

(N/A) ધારો કે $\vec{a} = l_{1}\hat{i} + m_{1}\hat{j} + n_{1}\hat{k}$,$\vec{b} = l_{2}\hat{i} + m_{2}\hat{j} + n_{2}\hat{k}$,અને $\vec{c} = l_{3}\hat{i} + m_{3}\hat{j} + n_{3}\hat{k}$ એ ત્રણ પરસ્પર લંબ રેખાઓની દિશામાં એકમ સદિશો છે.
ધારો કે $\vec{d} = (l_{1}+l_{2}+l_{3})\hat{i} + (m_{1}+m_{2}+m_{3})\hat{j} + (n_{1}+n_{2}+n_{3})\hat{k} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$.
ધારો કે $\alpha, \beta, \gamma$ એ $\vec{d}$ અને અનુક્રમે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ વચ્ચેના ખૂણા છે.
તો $\cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{d}}{|\vec{a}| |\vec{d}|} = \frac{\vec{a} \cdot (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})}{|\vec{d}|} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{a} + \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}}{|\vec{d}|}$.
રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોવાથી,$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$,$\vec{a} \cdot \vec{c} = 0$,અને $\vec{a} \cdot \vec{a} = 1$.
આમ,$\cos \alpha = \frac{1}{|\vec{d}|}$.
તે જ રીતે,$\cos \beta = \frac{\vec{b} \cdot (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})}{|\vec{d}|} = \frac{1}{|\vec{d}|}$ અને $\cos \gamma = \frac{\vec{c} \cdot (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})}{|\vec{d}|} = \frac{1}{|\vec{d}|}$.
ચૂકી $\cos \alpha = \cos \beta = \cos \gamma$,તેથી $\alpha = \beta = \gamma$. આમ,આ રેખા ત્રણ પરસ્પર લંબ રેખાઓ સાથે સમાન ખૂણા બનાવે છે.

(A) આપેલ છે કે $|\vec{a}|=3$ અને $|\vec{b}|=\frac{\sqrt{2}}{3}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે ક્રોસ પ્રોડક્ટનું માન $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
કારણ કે $\vec{a} \times \vec{b}$ એક એકમ સદિશ છે,તેનું માન $1$ હોવું જોઈએ,એટલે કે $|\vec{a} \times \vec{b}| = 1$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે:
$3 \times \frac{\sqrt{2}}{3} \times \sin \theta = 1$
$\sqrt{2} \sin \theta = 1$
$\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$
કારણ કે $\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$,તેથી ખૂણો $\theta = \frac{\pi}{4}$ થાય.
આમ,જો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{4}$ હોય,તો $\vec{a} \times \vec{b}$ એક એકમ સદિશ બને છે.

(D) ધારો કે $\theta$ એ $\overrightarrow{AB}$ અને $\overrightarrow{CD}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
પ્રથમ,સદિશોની ગણતરી કરો:
$\overrightarrow{AB} = (2\hat{i} + 5\hat{j}) - (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = \hat{i} + 4\hat{j} - \hat{k}$
$\overrightarrow{CD} = (\hat{i} - 6\hat{j} - \hat{k}) - (3\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}) = -2\hat{i} - 8\hat{j} + 2\hat{k}$
માન (magnitudes) ની ગણતરી કરો:
$|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{1^2 + 4^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 16 + 1} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$
$|\overrightarrow{CD}| = \sqrt{(-2)^2 + (-8)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 64 + 4} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$
અદિશ ગુણાકાર (dot product) ની ગણતરી કરો:
$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = (1)(-2) + (4)(-8) + (-1)(2) = -2 - 32 - 2 = -36$
ખૂણા $\cos \theta$ ની ગણતરી કરો:
$\cos \theta = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{CD}|} = \frac{-36}{(3\sqrt{2})(6\sqrt{2})} = \frac{-36}{18 \times 2} = \frac{-36}{36} = -1$
$\cos \theta = -1$ હોવાથી,$\theta = \pi$ મળે છે.
સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો $\pi$ હોવાથી,સદિશો સમરેખ છે (ખાસ કરીને,તેઓ વિરુદ્ધ દિશામાં છે). વૈકલ્પિક રીતે,$\overrightarrow{CD} = -2(\hat{i} + 4\hat{j} - \hat{k}) = -2\overrightarrow{AB}$,જે સાબિત કરે છે કે તેઓ સમરેખ છે.

(A) આપેલ છે કે $\vec{a} \cdot (\vec{b}+\vec{c}) = 0$,$\vec{b} \cdot (\vec{c}+\vec{a}) = 0$,અને $\vec{c} \cdot (\vec{a}+\vec{b}) = 0$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|^2 = (\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}) \cdot (\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})$.
આનું વિસ્તરણ કરતા:
$|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a})$.
આપેલ શરતો પરથી:
$\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c} = 0$
$\vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{a} = 0$
$\vec{c} \cdot \vec{a} + \vec{c} \cdot \vec{b} = 0$
આ ત્રણેય સમીકરણોનો સરવાળો કરતા,આપણને $2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$ મળે છે.
તેથી,$|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2$.
આપેલ મૂલ્યો મૂકતા:
$|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|^2 = 3^2 + 4^2 + 5^2 = 9 + 16 + 25 = 50$.
તેથી,$|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}| = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$.

(B) આપેલ છે કે $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}.$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે $(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}) \cdot (\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}) = 0.$
ડોટ પ્રોડક્ટનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને મળે $|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 0.$
આપેલ મૂલ્યો $|\vec{a}|=1, |\vec{b}|=4, |\vec{c}|=2$ મૂકતા:
$1^2 + 4^2 + 2^2 + 2\mu = 0.$
$1 + 16 + 4 + 2\mu = 0.$
$21 + 2\mu = 0.$
$2\mu = -21.$
$\mu = -\frac{21}{2}.$

ધારો કે $\vec{\beta}_{1} = \lambda \vec{\alpha}$,જ્યાં $\lambda$ એક અદિશ છે. તેથી $\vec{\beta}_{1} = 3\lambda \hat{i} - \lambda \hat{j}$.
હવે,$\vec{\beta}_{2} = \vec{\beta} - \vec{\beta}_{1} = (2 - 3\lambda) \hat{i} + (1 + \lambda) \hat{j} - 3\hat{k}$.
કારણ કે $\vec{\beta}_{2}$ એ $\vec{\alpha}$ ને લંબ છે,તેથી $\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta}_{2} = 0$ થાય.
$3(2 - 3\lambda) - 1(1 + \lambda) = 0$
$6 - 9\lambda - 1 - \lambda = 0$
$5 - 10\lambda = 0 \implies \lambda = \frac{1}{2}$.
આમ,$\vec{\beta}_{1} = \frac{3}{2}\hat{i} - \frac{1}{2}\hat{j}$ અને $\vec{\beta}_{2} = \frac{1}{2}\hat{i} + \frac{3}{2}\hat{j} - 3\hat{k}$.

(A) ધારો કે $\vec{a} = \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$.
ધારો કે $\vec{b} = (2 \hat{i}+4 \hat{j}-5 \hat{k}) + (\lambda \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}) = (2+\lambda) \hat{i}+6 \hat{j}-2 \hat{k}$.
$\vec{b}$ ની દિશામાં એકમ સદિશ $\hat{b} = \frac{\vec{b}}{|\vec{b}|} = \frac{(2+\lambda) \hat{i}+6 \hat{j}-2 \hat{k}}{\sqrt{(2+\lambda)^{2}+6^{2}+(-2)^{2}}} = \frac{(2+\lambda) \hat{i}+6 \hat{j}-2 \hat{k}}{\sqrt{\lambda^{2}+4 \lambda+44}}$.
અદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \cdot \hat{b} = 1$.
$\Rightarrow \frac{(2+\lambda)(1) + (6)(1) + (-2)(1)}{\sqrt{\lambda^{2}+4 \lambda+44}} = 1$.
$\Rightarrow \frac{\lambda+6}{\sqrt{\lambda^{2}+4 \lambda+44}} = 1$.
$\Rightarrow \lambda+6 = \sqrt{\lambda^{2}+4 \lambda+44}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(\lambda+6)^{2} = \lambda^{2}+4 \lambda+44$.
$\Rightarrow \lambda^{2}+12 \lambda+36 = \lambda^{2}+4 \lambda+44$.
$\Rightarrow 8 \lambda = 8$.
$\Rightarrow \lambda = 1$.

કારણ કે $\vec{a}, \vec{b}$ અને $\vec{c}$ પરસ્પર લંબ સદિશો છે,તેથી $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{c} \cdot \vec{a} = 0$ થાય.
આપેલ છે કે $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}|$.
ધારો કે સદિશ $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ એ $\vec{a}, \vec{b}$ અને $\vec{c}$ સાથે અનુક્રમે $\theta_{1}, \theta_{2}$ અને $\theta_{3}$ ખૂણો બનાવે છે.
તેથી,$\cos \theta_{1} = \frac{(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) \cdot \vec{a}}{|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}| |\vec{a}|} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{a} + \vec{b} \cdot \vec{a} + \vec{c} \cdot \vec{a}}{|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}| |\vec{a}|} = \frac{|\vec{a}|^2}{|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}| |\vec{a}|} = \frac{|\vec{a}|}{|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|}$.
તે જ રીતે,$\cos \theta_{2} = \frac{(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) \cdot \vec{b}}{|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}| |\vec{b}|} = \frac{|\vec{b}|}{|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|}$ અને $\cos \theta_{3} = \frac{(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) \cdot \vec{c}}{|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}| |\vec{c}|} = \frac{|\vec{c}|}{|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|}$.
જેમ કે $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}|$,તેથી $\cos \theta_{1} = \cos \theta_{2} = \cos \theta_{3}$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $\theta_{1} = \theta_{2} = \theta_{3}$.
આમ,સદિશ $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ એ $\vec{a}, \vec{b}$ અને $\vec{c}$ સાથે સમાન ખૂણે નમેલો છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $(\vec{a}+\vec{b}) \cdot(\vec{a}+\vec{b})=|\vec{a}|^{2}+|\vec{b}|^{2}$
અદિશ ગુણાકારના વિભાજનના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$\vec{a} \cdot \vec{a} + \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{a} + \vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|^{2} + |\vec{b}|^{2}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^{2}$,$\vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{b}|^{2}$,અને અદિશ ગુણાકાર ક્રમનો નિયમ પાળે છે $(\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a})$:
$|\vec{a}|^{2} + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^{2} = |\vec{a}|^{2} + |\vec{b}|^{2}$
બંને બાજુથી $|\vec{a}|^{2} + |\vec{b}|^{2}$ બાદ કરતા:
$2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 0$
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$
અહીં $\vec{a} \neq \vec{0}$ અને $\vec{b} \neq \vec{0}$ હોવાથી,બે શૂન્યતર સદિશોનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય થાય તો જ તેઓ પરસ્પર લંબ હોય. તેથી,$\vec{a} \perp \vec{b}$.

(C) ધારો કે $\theta$ એ બે સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
ધારો કે $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ શૂન્યતર સદિશો છે,તેથી તેમના માન $|\vec{a}|$ અને $|\vec{b}|$ ધન છે.
અદિશ ગુણાકારની વ્યાખ્યા મુજબ,$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$.
આપેલ છે કે $\vec{a} \cdot \vec{b} \geq 0$,તેથી $|\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta \geq 0$.
કારણ કે $|\vec{a}| > 0$ અને $|\vec{b}| > 0$,તેથી $\cos \theta \geq 0$ થાય.
બે સદિશો વચ્ચેના ખૂણા $\theta$ માટે,આપણે જાણીએ છીએ કે $0 \leq \theta \leq \pi$.
આ અંતરાલમાં,$\cos \theta \geq 0$ ત્યારે જ થાય જ્યારે $0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$.
આમ,$\vec{a} \cdot \vec{b} \geq 0$ ત્યારે થાય જ્યારે $0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$.
સાચો જવાબ $C$ છે.

(D) ધારો કે $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ બે એકમ સદિશો છે અને $\theta$ તેમની વચ્ચેનો ખૂણો છે.
તેથી,$|\vec{a}| = |\vec{b}| = 1$.
હવે,$\vec{a}+\vec{b}$ એક એકમ સદિશ છે જો $|\vec{a}+\vec{b}| = 1$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે $|\vec{a}+\vec{b}|^2 = 1^2$.
$(\vec{a}+\vec{b}) \cdot (\vec{a}+\vec{b}) = 1$.
$\vec{a} \cdot \vec{a} + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + \vec{b} \cdot \vec{b} = 1$.
$|\vec{a}|^2 + 2|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta + |\vec{b}|^2 = 1$.
કારણ કે $|\vec{a}| = 1$ અને $|\vec{b}| = 1$,તેથી $1^2 + 2(1)(1) \cos \theta + 1^2 = 1$.
$1 + 2 \cos \theta + 1 = 1$.
$2 \cos \theta = -1$.
$\cos \theta = -\frac{1}{2}$.
$\cos \theta = -\frac{1}{2}$ હોવાથી,ખૂણો $\theta = \frac{2\pi}{3}$ થાય.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે અક્ષો પરના એકમ સદિશો $\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$ માટે,ક્રોસ પ્રોડક્ટ્સ $\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}$,$\hat{i} \times \hat{k} = -\hat{j}$,અને $\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$ છે.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\hat{i} \cdot(\hat{j} \times \hat{k})+\hat{j} \cdot(\hat{i} \times \hat{k})+\hat{k} \cdot(\hat{i} \times \hat{j})$
$= \hat{i} \cdot \hat{i} + \hat{j} \cdot (-\hat{j}) + \hat{k} \cdot \hat{k}$
$= 1 - \hat{j} \cdot \hat{j} + 1$
$= 1 - 1 + 1$
$= 1$
આમ,સાચો જવાબ $A$ છે.

(A) ધારો કે $\theta$ એ બે સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
ધારો કે $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ શૂન્યતર સદિશો છે,તેથી $|\vec{a}| > 0$ અને $|\vec{b}| > 0$ છે.
આપેલ શરત $|\vec{a} \cdot \vec{b}| = |\vec{a} \times \vec{b}|$ છે.
અદિશ ગુણાકાર અને સદિશ ગુણાકારની વ્યાખ્યા મુજબ,$|\vec{a}||\vec{b}| |\cos \theta| = |\vec{a}||\vec{b}| |\sin \theta|$.
$|\vec{a}|$ અને $|\vec{b}|$ ધન હોવાથી,બંને બાજુને $|\vec{a}||\vec{b}|$ વડે ભાગતા,આપણને $|\cos \theta| = |\sin \theta|$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $|\tan \theta| = 1$.
$\theta$ ની $[0, \pi]$ અંતરાલમાં કિંમત માટે,$\tan \theta = 1$ લેતા $\theta = \frac{\pi}{4}$ મળે છે.
આમ,જ્યારે $\theta = \frac{\pi}{4}$ હોય ત્યારે આ શરત સંતોષાય છે.
સાચો જવાબ $A$ છે.

(D) આપેલ સદિશો $\vec{a} = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$,$\vec{b} = \hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$ અને $\vec{c} = \hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}$ છે.
પ્રથમ,સદિશ $\vec{v} = \lambda\vec{b} + \vec{c}$ ની ગણતરી કરો:
$\vec{v} = \lambda(\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}) + (\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k})$
$= (\lambda + 1)\hat{i} + (\lambda + 3)\hat{j} - (2\lambda + 1)\hat{k}$.
કારણ કે $\vec{a}$ એ $\vec{v}$ ને લંબ છે,તેથી તેમનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય હોવો જોઈએ,એટલે કે $\vec{a} \cdot \vec{v} = 0$.
$(2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) \cdot ((\lambda + 1)\hat{i} + (\lambda + 3)\hat{j} - (2\lambda + 1)\hat{k}) = 0$
$2(\lambda + 1) - 1(\lambda + 3) + 1(-2\lambda - 1) = 0$
$2\lambda + 2 - \lambda - 3 - 2\lambda - 1 = 0$
$-\lambda - 2 = 0$
$\lambda = -2$.

(N/A) ધારો કે $\widehat{OP}$ અને $\widehat{OQ}$ એ એકમ સદિશો છે જે $x$-અક્ષની ધન દિશા સાથે અનુક્રમે $A$ અને $B$ ખૂણા બનાવે છે. તેથી $\angle QOP = A-B$ (આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ).
આપણે જાણીએ છીએ કે $\widehat{OP} = \cos A \hat{i} + \sin A \hat{j}$ અને $\widehat{OQ} = \cos B \hat{i} + \sin B \hat{j}$.
અદિશ ગુણાકારની વ્યાખ્યા મુજબ,$\widehat{OP} \cdot \widehat{OQ} = |\widehat{OP}| |\widehat{OQ}| \cos(A-B)$.
કારણ કે $\widehat{OP}$ અને $\widehat{OQ}$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|\widehat{OP}| = 1$ અને $|\widehat{OQ}| = 1$.
તેથી,$\widehat{OP} \cdot \widehat{OQ} = \cos(A-B) \quad \dots(1)$.
ઘટકોના સ્વરૂપમાં,$\widehat{OP} \cdot \widehat{OQ} = (\cos A \hat{i} + \sin A \hat{j}) \cdot (\cos B \hat{i} + \sin B \hat{j})$.
ગુણધર્મ $\hat{i} \cdot \hat{i} = 1, \hat{j} \cdot \hat{j} = 1, \hat{i} \cdot \hat{j} = 0$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\widehat{OP} \cdot \widehat{OQ} = \cos A \cos B + \sin A \sin B \quad \dots(2)$.
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ પરથી,આપણને મળે છે:
$\cos(A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$.

(A) ધારો કે $\vec{a} = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{b} = 3\hat{i} + 4\hat{j} - \hat{k}$ છે.
બે સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવાનું સૂત્ર $\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$ છે.
પ્રથમ,અદિશ ગુણાકાર શોધો: $\vec{a} \cdot \vec{b} = (2)(3) + (-1)(4) + (1)(-1) = 6 - 4 - 1 = 1$.
ત્યારબાદ,માન શોધો: $|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}$ અને $|\vec{b}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 16 + 1} = \sqrt{26}$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા: $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{26}} = \frac{1}{\sqrt{156}} = \frac{1}{\sqrt{4 \times 39}} = \frac{1}{2\sqrt{39}}$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{2\sqrt{39}}\right)$.

(A) આપેલ સદિશો $\vec{a}=3 \hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}$ અને $\vec{b}=2 \hat{i}-2 \hat{j}+4 \hat{k}$ છે.
પ્રથમ,ડોટ ગુણાકાર $\vec{a} \cdot \vec{b} = (3)(2) + (1)(-2) + (2)(4) = 6 - 2 + 8 = 12$ શોધો.
ત્યારબાદ,માન શોધો: $|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{14}$ અને $|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 4^2} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$.
સૂત્ર $\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\cos \theta = \frac{12}{\sqrt{14} \cdot 2\sqrt{6}} = \frac{6}{\sqrt{84}} = \frac{3}{\sqrt{21}}$ મળે.
હવે,નિત્યસમ $\sin \theta = \sqrt{1 - \cos^2 \theta}$ નો ઉપયોગ કરો.
$\sin \theta = \sqrt{1 - (\frac{3}{\sqrt{21}})^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{21}} = \sqrt{\frac{12}{21}} = \sqrt{\frac{4}{7}} = \frac{2}{\sqrt{7}}$.

(D) આપેલ સ્થાન સદિશો $\overrightarrow{OA} = \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$,$\overrightarrow{OB} = 2\hat{i}-\hat{j}+3\hat{k}$,$\overrightarrow{OC} = 2\hat{i}-3\hat{k}$,અને $\overrightarrow{OD} = 3\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}$ છે.
$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = (2-1)\hat{i} + (-1 - (-1))\hat{j} + (3-1)\hat{k} = \hat{i} + 0\hat{j} + 2\hat{k}$.
$\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OC} = (3-2)\hat{i} + (-2-0)\hat{j} + (1 - (-3))\hat{k} = \hat{i} - 2\hat{j} + 4\hat{k}$.
$\overrightarrow{CD}$ પર $\overrightarrow{AB}$ નો પ્રક્ષેપ $\frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{CD}|}$ દ્વારા મળે છે.
$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = (1)(1) + (0)(-2) + (2)(4) = 1 + 0 + 8 = 9$.
$|\overrightarrow{CD}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 4 + 16} = \sqrt{21}$.
તેથી,પ્રક્ષેપ $\frac{9}{\sqrt{21}} = \frac{9\sqrt{21}}{21} = \frac{3\sqrt{21}}{7}$ એકમ છે.

(A) આપેલ છે કે $\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{a} = \overrightarrow{r} \times \overrightarrow{b}$,તેથી $\overrightarrow{r} \times (\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}) = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $\overrightarrow{r}$ એ $(\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b})$ ને સમાંતર છે.
$\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = (2-7)\hat{i} + (-3-1)\hat{j} + (4 - (-6))\hat{k} = -5\hat{i} - 4\hat{j} + 10\hat{k}$ ગણો.
તેથી,$\overrightarrow{r} = \lambda(-5\hat{i} - 4\hat{j} + 10\hat{k})$.
આપેલ છે કે $\overrightarrow{r} \cdot (\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) = -3$,$\overrightarrow{r}$ ની કિંમત મૂકતા:
$\lambda(-5\hat{i} - 4\hat{j} + 10\hat{k}) \cdot (\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) = -3$.
$\lambda(-5 - 8 + 10) = -3 \Rightarrow -3\lambda = -3 \Rightarrow \lambda = 1$.
આમ,$\overrightarrow{r} = -5\hat{i} - 4\hat{j} + 10\hat{k}$.
છેલ્લે,$\overrightarrow{r} \cdot (2\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k}) = (-5)(2) + (-4)(-3) + (10)(1) = -10 + 12 + 10 = 12$.

(N/A) ધારો કે $ABCD$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે જ્યાં $\overrightarrow{AB} = \vec{p}$ અને $\overrightarrow{AD} = \vec{q}$. તેથી $\overrightarrow{BC} = \vec{q}$.
સદિશ સરવાળાના ત્રિકોણના નિયમ મુજબ:
$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \vec{p} + \vec{q} = \vec{a} \quad \dots(i)$
$\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB} = \vec{q} - \vec{p} = \vec{b} \quad \dots(ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા,$\vec{a} + \vec{b} = 2\vec{q} \Rightarrow \vec{q} = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b})$.
$(i)$ માંથી $(ii)$ બાદ કરતા,$\vec{a} - \vec{b} = 2\vec{p} \Rightarrow \vec{p} = \frac{1}{2}(\vec{a} - \vec{b})$.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $|\vec{p} \times \vec{q}|$ દ્વારા મળે છે.
$|\vec{p} \times \vec{q}| = |\frac{1}{2}(\vec{a} - \vec{b}) \times \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b})| = \frac{1}{4} |\vec{a} \times \vec{a} + \vec{a} \times \vec{b} - \vec{b} \times \vec{a} - \vec{b} \times \vec{b}|$.
કારણ કે $\vec{a} \times \vec{a} = 0$ અને $\vec{b} \times \vec{b} = 0$,અને $\vec{b} \times \vec{a} = -(\vec{a} \times \vec{b})$,તેથી:
$|\vec{p} \times \vec{q}| = \frac{1}{4} |\vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{b}| = \frac{1}{4} |2(\vec{a} \times \vec{b})| = \frac{1}{2} |\vec{a} \times \vec{b}|$.
હવે,વિકર્ણો $\vec{a} = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{b} = \hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}$ માટે:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & 3 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1 - 3) - \hat{j}(-2 - 1) + \hat{k}(6 + 1) = -2\hat{i} + 3\hat{j} + 7\hat{k}$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |\vec{a} \times \vec{b}| = \frac{1}{2} \sqrt{(-2)^2 + 3^2 + 7^2} = \frac{1}{2} \sqrt{4 + 9 + 49} = \frac{\sqrt{62}}{2} \text{ ચોરસ એકમ}$.

(B) આપેલ છે કે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = 1$.
આપેલ સમીકરણ $|\vec{a}-\vec{b}|^{2}+|\vec{a}-\vec{c}|^{2}=8$ નું વિસ્તરણ કરતા:
$(|\vec{a}|^{2} + |\vec{b}|^{2} - 2\vec{a}\cdot\vec{b}) + (|\vec{a}|^{2} + |\vec{c}|^{2} - 2\vec{a}\cdot\vec{c}) = 8$
કારણ કે $|\vec{a}|^{2} = |\vec{b}|^{2} = |\vec{c}|^{2} = 1$,તેથી:
$(1 + 1 - 2\vec{a}\cdot\vec{b}) + (1 + 1 - 2\vec{a}\cdot\vec{c}) = 8$
$4 - 2(\vec{a}\cdot\vec{b} + \vec{a}\cdot\vec{c}) = 8$
$-2(\vec{a}\cdot\vec{b} + \vec{a}\cdot\vec{c}) = 4$
$\vec{a}\cdot\vec{b} + \vec{a}\cdot\vec{c} = -2$
હવે,$|\vec{a}+2\vec{b}|^{2}+|\vec{a}+2\vec{c}|^{2}$ ની કિંમત શોધીએ:
$= (|\vec{a}|^{2} + 4|\vec{b}|^{2} + 4\vec{a}\cdot\vec{b}) + (|\vec{a}|^{2} + 4|\vec{c}|^{2} + 4\vec{a}\cdot\vec{c})$
$= (1 + 4 + 4\vec{a}\cdot\vec{b}) + (1 + 4 + 4\vec{a}\cdot\vec{c})$
$= 10 + 4(\vec{a}\cdot\vec{b} + \vec{a}\cdot\vec{c})$
$\vec{a}\cdot\vec{b} + \vec{a}\cdot\vec{c} = -2$ કિંમત મૂકતા:
$= 10 + 4(-2) = 10 - 8 = 2$.

(C) વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,બિંદુ $P$ નો સ્થાન સદિશ:
$\overrightarrow{OP} = \frac{\lambda(2\hat{i}+\hat{j}+3\hat{k}) + 1(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})}{\lambda+1} = \frac{2\lambda+1}{\lambda+1}\hat{i} + \frac{\lambda+1}{\lambda+1}\hat{j} + \frac{3\lambda+1}{\lambda+1}\hat{k}$
હવે,$\overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OP}$ ની ગણતરી કરતા:
$\overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OP} = (2\hat{i}+\hat{j}+3\hat{k}) \cdot \left( \frac{2\lambda+1}{\lambda+1}\hat{i} + \hat{j} + \frac{3\lambda+1}{\lambda+1}\hat{k} \right) = \frac{4\lambda+2 + \lambda+1 + 9\lambda+3}{\lambda+1} = \frac{14\lambda+6}{\lambda+1}$
ત્યારબાદ,$\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OP}$ ની ગણતરી કરતા:
$\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OP} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ \frac{2\lambda+1}{\lambda+1} & 1 & \frac{3\lambda+1}{\lambda+1} \end{vmatrix} = \left( \frac{3\lambda+1}{\lambda+1} - 1 \right)\hat{i} - \left( \frac{3\lambda+1}{\lambda+1} - \frac{2\lambda+1}{\lambda+1} \right)\hat{j} + \left( 1 - \frac{2\lambda+1}{\lambda+1} \right)\hat{k}$
$= \frac{2\lambda}{\lambda+1}\hat{i} - \frac{\lambda}{\lambda+1}\hat{j} - \frac{\lambda}{\lambda+1}\hat{k}$
$|\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OP}|^{2} = \frac{4\lambda^{2} + \lambda^{2} + \lambda^{2}}{(\lambda+1)^{2}} = \frac{6\lambda^{2}}{(\lambda+1)^{2}}$
આ કિંમતોને આપેલ સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{14\lambda+6}{\lambda+1} - 3 \left( \frac{6\lambda^{2}}{(\lambda+1)^{2}} \right) = 6$
$(\lambda+1)^{2}$ વડે ગુણતા:
$(14\lambda+6)(\lambda+1) - 18\lambda^{2} = 6(\lambda+1)^{2}$
$14\lambda^{2} + 20\lambda + 6 - 18\lambda^{2} = 6(\lambda^{2} + 2\lambda + 1)$
$-4\lambda^{2} + 20\lambda + 6 = 6\lambda^{2} + 12\lambda + 6$
$10\lambda^{2} - 8\lambda = 0$
$\lambda > 0$ હોવાથી,$10\lambda = 8 \Rightarrow \lambda = 0.8$.

(D) ધારો કે $\vec{p} = a \hat{i} + b \hat{j} + c \hat{k}$ અને $\vec{q} = b \hat{i} + c \hat{j} + a \hat{k}$.
આપેલ છે કે $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 1$,તેથી $|\vec{p}| = 1$ અને $|\vec{q}| = 1$.
ડોટ પ્રોડક્ટ $\vec{p} \cdot \vec{q} = ab + bc + ca$ થાય.
ધારો કે $a \cos \theta = b \cos \left(\theta + \frac{2\pi}{3}\right) = c \cos \left(\theta + \frac{4\pi}{3}\right) = k$.
તેથી $a = \frac{k}{\cos \theta}$,$b = \frac{k}{\cos(\theta + 2\pi/3)}$,$c = \frac{k}{\cos(\theta + 4\pi/3)}$.
સેકન્ટના સરવાળા માટેના નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,$a+b+c = 0$ મળે.
તેથી $(a+b+c)^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2(ab + bc + ca) = 0$.
$1 + 2(ab + bc + ca) = 0$ હોવાથી,$ab + bc + ca = -1/2$.
આમ,$\cos \phi = \frac{-1/2}{1} = -1/2$,તેથી $\phi = \frac{2\pi}{3}$.

(A) આપેલ છે કે $\overrightarrow{a}$ પર $\overrightarrow{b}$ નો પ્રક્ષેપ = $\overrightarrow{a}$ પર $\overrightarrow{c}$ નો પ્રક્ષેપ.
$\Rightarrow \frac{\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|} = \frac{\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|} \Rightarrow \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{a} = \overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}$.
વળી,$\overrightarrow{b}$ એ $\overrightarrow{c}$ ને લંબ છે,તેથી $\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} = 0$.
ધારો કે $k = |\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} - \overrightarrow{c}|$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$k^2 = |\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} - \overrightarrow{c}|^2 = |\overrightarrow{a}|^2 + |\overrightarrow{b}|^2 + |\overrightarrow{c}|^2 + 2(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}) - 2(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}) - 2(\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c})$.
ચૂકી $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$ અને $\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} = 0$,તેથી પદો ઉડી જશે:
$k^2 = |\overrightarrow{a}|^2 + |\overrightarrow{b}|^2 + |\overrightarrow{c}|^2 + 2(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}) - 2(0) = |\overrightarrow{a}|^2 + |\overrightarrow{b}|^2 + |\overrightarrow{c}|^2$.
આપેલ મૂલ્યો $|\overrightarrow{a}|=2, |\overrightarrow{b}|=4, |\overrightarrow{c}|=4$ મૂકતા:
$k^2 = 2^2 + 4^2 + 4^2 = 4 + 16 + 16 = 36$.
તેથી,$k = \sqrt{36} = 6$.

(A) આપેલ છે કે $|\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}|=|\overrightarrow{x}|$. બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$|\overrightarrow{x}|^2+|\overrightarrow{y}|^2+2\overrightarrow{x}\cdot\overrightarrow{y}=|\overrightarrow{x}|^2$
$|\overrightarrow{y}|^2+2\overrightarrow{x}\cdot\overrightarrow{y}=0$ --- $(1)$
આપેલ છે કે $(2\overrightarrow{x}+\lambda\overrightarrow{y})$ એ $\overrightarrow{y}$ ને લંબ છે,તેથી તેમનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$(2\overrightarrow{x}+\lambda\overrightarrow{y})\cdot\overrightarrow{y}=0$
$2\overrightarrow{x}\cdot\overrightarrow{y}+\lambda|\overrightarrow{y}|^2=0$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ પરથી,$2\overrightarrow{x}\cdot\overrightarrow{y}=-|\overrightarrow{y}|^2$. આ કિંમત સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$-|\overrightarrow{y}|^2+\lambda|\overrightarrow{y}|^2=0$
$(\lambda-1)|\overrightarrow{y}|^2=0$
અહીં $\overrightarrow{y}$ શૂન્યતર સદિશ હોવાથી,$|\overrightarrow{y}|^2 \neq 0$. તેથી,$\lambda-1=0$,જેનો અર્થ છે કે $\lambda=1$.

(D) ધારો કે $\theta$ એ એકમ સદિશો $\overrightarrow{a}$ અને $\overrightarrow{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}| = \sqrt{|\overrightarrow{a}|^2 + |\overrightarrow{b}|^2 + 2\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}} = \sqrt{1+1+2\cos \theta} = \sqrt{2+2\cos \theta} = 2|\cos(\theta/2)|$.
તે જ રીતે,$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}| = \sqrt{|\overrightarrow{a}|^2 + |\overrightarrow{b}|^2 - 2\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}} = \sqrt{2-2\cos \theta} = 2|\sin(\theta/2)|$.
આમ,પદાવલિ $f(\theta) = \sqrt{3}(2|\cos(\theta/2)|) + 2|\sin(\theta/2)|$ બને છે.
કોશી-શ્વાર્ટઝ અસમતા અથવા $a\cos x + b\sin x \leq \sqrt{a^2+b^2}$ ના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,મહત્તમ કિંમત $\sqrt{(\sqrt{3} \times 2)^2 + 2^2} = \sqrt{12+4} = \sqrt{16} = 4$ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે $\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{a} = \overrightarrow{b} \times \overrightarrow{r}$,તેથી $\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{a} + \overrightarrow{r} \times \overrightarrow{b} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\overrightarrow{r} \times (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $\overrightarrow{r}$ એ $(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b})$ ને સમાંતર છે.
$\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = (\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}) + (2\hat{i} - 3\hat{j} + 5\hat{k}) = 3\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$.
તેથી,$\overrightarrow{r} = \lambda(3\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k})$ કોઈ અદિશ $\lambda$ માટે.
$\overrightarrow{r}$ ની કિંમત $\overrightarrow{r} \cdot (\alpha\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) = 3$ માં મૂકતા:
$\lambda(3\alpha - 2 + 2) = 3 \Rightarrow 3\lambda\alpha = 3 \Rightarrow \lambda\alpha = 1$.
$\overrightarrow{r}$ ની કિંમત $\overrightarrow{r} \cdot (2\hat{i} + 5\hat{j} - \alpha\hat{k}) = -1$ માં મૂકતા:
$\lambda(6 - 5 - 2\alpha) = -1 \Rightarrow \lambda(1 - 2\alpha) = -1 \Rightarrow \lambda - 2\lambda\alpha = -1$.
$\lambda\alpha = 1$ હોવાથી,$\lambda - 2(1) = -1 \Rightarrow \lambda = 1$.
તેથી $\alpha = 1/\lambda = 1$.
આમ,$\overrightarrow{r} = 3\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$.
$|\overrightarrow{r}|^{2} = 3^{2} + (-1)^{2} + 2^{2} = 9 + 1 + 4 = 14$.
અંતે,$\alpha + |\overrightarrow{r}|^{2} = 1 + 14 = 15$.

(C) સદિશ $\overrightarrow{x}$ એ $\overrightarrow{a}$ અને $\overrightarrow{b}$ ના સમતલમાં હોવાથી,આપણે લખી શકીએ $\overrightarrow{x} = \lambda\overrightarrow{a} + \mu\overrightarrow{b} = \lambda(2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) + \mu(\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}) = (2\lambda + \mu)\hat{i} + (2\mu - \lambda)\hat{j} + (\lambda - \mu)\hat{k}$.
આપેલ છે કે $\overrightarrow{x} \perp (3\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k})$,તેથી $\overrightarrow{x} \cdot (3\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}) = 0$.
$3(2\lambda + \mu) + 2(2\mu - \lambda) - 1(\lambda - \mu) = 0 \implies 6\lambda + 3\mu + 4\mu - 2\lambda - \lambda + \mu = 0 \implies 3\lambda + 8\mu = 0 \implies \lambda = -\frac{8}{3}\mu$.
$\overrightarrow{a}$ પર $\overrightarrow{x}$ નો પ્રક્ષેપ $\frac{\overrightarrow{x} \cdot \overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|} = \frac{17\sqrt{6}}{2}$ છે.
$|\overrightarrow{a}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{6}$.
$\overrightarrow{x} \cdot \overrightarrow{a} = (2\lambda + \mu)(2) + (2\mu - \lambda)(-1) + (\lambda - \mu)(1) = 4\lambda + 2\mu - 2\mu + \lambda + \lambda - \mu = 6\lambda - \mu$.
તેથી,$\frac{6\lambda - \mu}{\sqrt{6}} = \frac{17\sqrt{6}}{2} \implies 6\lambda - \mu = 51$.
$\lambda = -\frac{8}{3}\mu$ ને $6\lambda - \mu = 51$ માં મૂકતા: $6(-\frac{8}{3}\mu) - \mu = 51 \implies -16\mu - \mu = 51 \implies -17\mu = 51 \implies \mu = -3$.
તેથી $\lambda = -\frac{8}{3}(-3) = 8$.
આમ,$\overrightarrow{x} = 8(2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) - 3(\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}) = (16-3)\hat{i} + (-8-6)\hat{j} + (8+3)\hat{k} = 13\hat{i} - 14\hat{j} + 11\hat{k}$.
$|\overrightarrow{x}|^{2} = 13^2 + (-14)^2 + 11^2 = 169 + 196 + 121 = 486$.

(B) ધારો કે $\vec{c} = \overline{AB}, \vec{b} = \overline{AC},$ અને $\vec{a} = \overline{BC}.$ આપેલ છે કે $|\vec{a}|=8, |\vec{b}|=7, |\vec{c}|=10.$
$\triangle ABC$ માં શિરોબિંદુ $A$ પાસે કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\theta$ એ $\overline{AB}$ અને $\overline{AC}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે:
$|\vec{a}|^2 = |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 - 2|\vec{b}||\vec{c}| \cos \theta$
$8^2 = 7^2 + 10^2 - 2(7)(10) \cos \theta$
$64 = 49 + 100 - 140 \cos \theta$
$140 \cos \theta = 149 - 64 = 85$
$\cos \theta = \frac{85}{140} = \frac{17}{28}.$
સદિશ $\overline{AB}$ (જે $\vec{c}$ છે) નો $\overline{AC}$ (જે $\vec{b}$ છે) પરનો પ્રક્ષેપ $|\vec{c}| \cos \theta$ દ્વારા મળે છે.
પ્રક્ષેપ $= 10 \times \frac{17}{28} = \frac{170}{28} = \frac{85}{14}.$

(A) સદિશ $\overrightarrow{c}$ એ $\overrightarrow{a}$ અને $\overrightarrow{b}$ સાથે સમતલીય હોવાથી,આપણે $\overrightarrow{c} = x\overrightarrow{a} + y\overrightarrow{b}$ લખી શકીએ.
આપેલ છે કે $\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} = 0$,તેથી $\overrightarrow{b} \cdot (x\overrightarrow{a} + y\overrightarrow{b}) = 0$,જે સૂચવે છે કે $x(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}) + y|\overrightarrow{b}|^{2} = 0$.
અહીં $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = (-1)(2) + (1)(0) + (1)(1) = -1$ અને $|\overrightarrow{b}|^{2} = 2^{2} + 0^{2} + 1^{2} = 5$ છે.
તેથી,$-x + 5y = 0 \Rightarrow x = 5y$.
આમ,$\overrightarrow{c} = y(5\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) = y(5(-\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) + (2\hat{i} + \hat{k})) = y(-3\hat{i} + 5\hat{j} + 6\hat{k})$.
આપેલ છે કે $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c} = 7$,તેથી $y((-1)(-3) + (1)(5) + (1)(6)) = 7 \Rightarrow y(3 + 5 + 6) = 7 \Rightarrow 14y = 7 \Rightarrow y = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\overrightarrow{c} = -\frac{3}{2}\hat{i} + \frac{5}{2}\hat{j} + 3\hat{k}$.
હવે $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} = (-\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) + (2\hat{i} + \hat{k}) + (-\frac{3}{2}\hat{i} + \frac{5}{2}\hat{j} + 3\hat{k}) = (2 - 1 - \frac{3}{2})\hat{i} + (1 + \frac{5}{2})\hat{j} + (1 + 1 + 3)\hat{k} = -\frac{1}{2}\hat{i} + \frac{7}{2}\hat{j} + 5\hat{k}$.
અંતે,$2|\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}|^{2} = 2((\frac{-1}{2})^{2} + (\frac{7}{2})^{2} + 5^{2}) = 2(\frac{1}{4} + \frac{49}{4} + 25) = 2(\frac{50}{4} + 25) = 2(12.5 + 25) = 2(37.5) = 75$.

(C) આપેલ છે કે $\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{a} = \overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a}$,તેથી આપણે લખી શકીએ કે $(\overrightarrow{r} - \overrightarrow{c}) \times \overrightarrow{a} = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $\overrightarrow{r} - \overrightarrow{c}$ એ $\overrightarrow{a}$ ને સમાંતર છે,તેથી કોઈ અદિશ $\lambda$ માટે $\overrightarrow{r} = \overrightarrow{c} + \lambda \overrightarrow{a}$ થાય.
આપેલ છે કે $\overrightarrow{r} \cdot \overrightarrow{b} = 0$,તેથી $\overrightarrow{r}$ ની કિંમત મૂકતા:
$(\overrightarrow{c} + \lambda \overrightarrow{a}) \cdot \overrightarrow{b} = 0 \Rightarrow \overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{b} + \lambda (\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}) = 0$.
ડોટ ગુણાકારની ગણતરી કરતા:
$\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{b} = (1)(1) + (-1)(-1) + (-1)(0) = 1 + 1 = 2$.
$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = (1)(1) + (2)(-1) + (-1)(0) = 1 - 2 = -1$.
આમ,$2 + \lambda(-1) = 0 \Rightarrow \lambda = 2$.
હવે,$\overrightarrow{r} \cdot \overrightarrow{a} = (\overrightarrow{c} + 2\overrightarrow{a}) \cdot \overrightarrow{a} = \overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a} + 2|\overrightarrow{a}|^2$.
$\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a} = (1)(1) + (-1)(2) + (-1)(-1) = 1 - 2 + 1 = 0$.
$|\overrightarrow{a}|^2 = 1^2 + 2^2 + (-1)^2 = 1 + 4 + 1 = 6$.
તેથી,$\overrightarrow{r} \cdot \overrightarrow{a} = 0 + 2(6) = 12$.

(D) ધારો કે ભોંયતળિયાના શિરોબિંદુઓ $A(0,0,0)$,$B(10,0,0)$,$C(10,10,0)$,અને $D(0,10,0)$ છે. ધારો કે હોલની ઊંચાઈ $h$ છે. તો છતના શિરોબિંદુઓ $E(0,0,h)$,$F(10,0,h)$,$G(10,10,h)$,અને $H(0,10,h)$ થશે.
સદિશ $\overrightarrow{AG} = (10-0)\hat{i} + (10-0)\hat{j} + (h-0)\hat{k} = 10\hat{i} + 10\hat{j} + h\hat{k}$.
સદિશ $\overrightarrow{BH} = (0-10)\hat{i} + (10-0)\hat{j} + (h-0)\hat{k} = -10\hat{i} + 10\hat{j} + h\hat{k}$.
$\overrightarrow{AG}$ અને $\overrightarrow{BH}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\cos \theta = \frac{\overrightarrow{AG} \cdot \overrightarrow{BH}}{|\overrightarrow{AG}| |\overrightarrow{BH}|}$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે કે $\cos \theta = \frac{1}{5}$,તેથી:
$\frac{1}{5} = \frac{(10\hat{i} + 10\hat{j} + h\hat{k}) \cdot (-10\hat{i} + 10\hat{j} + h\hat{k})}{\sqrt{10^2 + 10^2 + h^2} \sqrt{(-10)^2 + 10^2 + h^2}}$
$\frac{1}{5} = \frac{-100 + 100 + h^2}{200 + h^2} = \frac{h^2}{200 + h^2}$.
$200 + h^2 = 5h^2 \Rightarrow 4h^2 = 200 \Rightarrow h^2 = 50 \Rightarrow h = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ મીટર.

(D) ધારો કે $\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$.
ધારો કે $\vec{v_1} = 2\hat{i} + 4\hat{j} - 5\hat{k}$ અને $\vec{v_2} = -\lambda\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$.
સદિશોનો સરવાળો $\vec{b} = \vec{v_1} + \vec{v_2} = (2 - \lambda)\hat{i} + 6\hat{j} - 2\hat{k}$ છે.
$\vec{a}$ નો $\vec{b}$ પરનો પ્રક્ષેપ $\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|} = 1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ,ડોટ પ્રોડક્ટની ગણતરી કરો: $\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(2 - \lambda) + (2)(6) + (1)(-2) = 2 - \lambda + 12 - 2 = 12 - \lambda$.
ત્યારબાદ,$\vec{b}$ નું માન શોધો: $|\vec{b}| = \sqrt{(2 - \lambda)^2 + 6^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 - 4\lambda + \lambda^2 + 36 + 4} = \sqrt{\lambda^2 - 4\lambda + 44}$.
પ્રક્ષેપને $1$ સાથે સરખાવતા: $\frac{12 - \lambda}{\sqrt{\lambda^2 - 4\lambda + 44}} = 1$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(12 - \lambda)^2 = \lambda^2 - 4\lambda + 44$.
$144 - 24\lambda + \lambda^2 = \lambda^2 - 4\lambda + 44$.
$144 - 44 = 24\lambda - 4\lambda$.
$100 = 20\lambda$.
$\lambda = 5$.

(C) આપેલ છે કે $|2 \vec{a}+3 \vec{b}|=|3 \vec{a}+\vec{b}|$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$|2 \vec{a}+3 \vec{b}|^{2}=|3 \vec{a}+\vec{b}|^{2}$ મળે.
$(2 \vec{a}+3 \vec{b}) \cdot (2 \vec{a}+3 \vec{b}) = (3 \vec{a}+\vec{b}) \cdot (3 \vec{a}+\vec{b})$.
$4|\vec{a}|^{2} + 12(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 9|\vec{b}|^{2} = 9|\vec{a}|^{2} + 6(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^{2}$.
પદોને ગોઠવતા,$8|\vec{b}|^{2} - 5|\vec{a}|^{2} + 6(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 0$ મળે.
કારણ કે $\frac{1}{8} \vec{a}$ એકમ સદિશ છે,તેથી $|\frac{1}{8} \vec{a}| = 1 \Rightarrow |\vec{a}| = 8$.
વળી,$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos 60^{\circ} = 8 \cdot |\vec{b}| \cdot \frac{1}{2} = 4|\vec{b}|$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $8|\vec{b}|^{2} + 6(4|\vec{b}|) - 5(8)^{2} = 0$.
$8|\vec{b}|^{2} + 24|\vec{b}| - 320 = 0$.
$8$ વડે ભાગતા,$|\vec{b}|^{2} + 3|\vec{b}| - 40 = 0$ મળે.
$(|\vec{b}| + 8)(|\vec{b}| - 5) = 0$.
સદિશનું માન $|\vec{b}|$ હંમેશા ધન હોવાથી,$|\vec{b}| = 5$.

(D) ધારો કે સદિશોનું માન $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = k$ છે. તેઓ પરસ્પર લંબ હોવાથી,$\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{c} \cdot \vec{a} = 0$ થાય.
ધારો કે $\vec{v} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$. તો $|\vec{v}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 3k^2$.
તેથી,$|\vec{v}| = \sqrt{3}k$.
$\vec{a}$ અને $\vec{v}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ નીચે મુજબ મળે: $\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{v}}{|\vec{a}| |\vec{v}|} = \frac{\vec{a} \cdot (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})}{k \cdot \sqrt{3}k} = \frac{|\vec{a}|^2 + 0 + 0}{\sqrt{3}k^2} = \frac{k^2}{\sqrt{3}k^2} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
આપણે $36 \cos^2 2\theta$ શોધવાનું છે. નિત્યસમ $\cos 2\theta = 2 \cos^2 \theta - 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$\cos 2\theta = 2(\frac{1}{\sqrt{3}})^2 - 1 = 2(\frac{1}{3}) - 1 = \frac{2}{3} - 1 = -\frac{1}{3}$ મળે.
તેથી,$36 \cos^2 2\theta = 36(-\frac{1}{3})^2 = 36(\frac{1}{9}) = 4$.

(A) ધારો કે $\vec{a} = \overrightarrow{BC}$,$\vec{b} = \overrightarrow{AC}$,અને $\vec{c} = \overrightarrow{BA}$.
આપેલ છે કે $|\vec{a}| = 3$,$|\vec{b}| = 5$,અને $|\vec{c}| = 7$.
ત્રિકોણ $ABC$ માં,શિરોબિંદુ $B$ પાસે કોસાઇનના નિયમ મુજબ:
$|\overrightarrow{AC}|^2 = |\overrightarrow{BA}|^2 + |\overrightarrow{BC}|^2 - 2 |\overrightarrow{BA}| |\overrightarrow{BC}| \cos(\angle ABC)$
$5^2 = 7^2 + 3^2 - 2(7)(3) \cos(\angle ABC)$
$25 = 49 + 9 - 42 \cos(\angle ABC)$
$25 = 58 - 42 \cos(\angle ABC)$
$42 \cos(\angle ABC) = 58 - 25 = 33$
$\cos(\angle ABC) = \frac{33}{42} = \frac{11}{14}$.
સદિશ $\overrightarrow{BA}$ નો સદિશ $\overrightarrow{BC}$ પરનો પ્રક્ષેપ $|\overrightarrow{BA}| \cos(\angle ABC)$ દ્વારા મળે છે.
પ્રક્ષેપ $= 7 \times \frac{11}{14} = \frac{11}{2}$.

(A) આપેલ છે $\vec{v}_{1} = \sqrt{3} p \hat{i} + \hat{j}$ અને $\vec{v}_{2} = 2 \hat{i} + (p + 1) \hat{j}$.
પરિભ્રમણ સદિશનું માન જાળવી રાખે છે,તેથી $|\vec{v}_{1}| = |\vec{v}_{2}|$.
$(\sqrt{3}p)^2 + 1^2 = 2^2 + (p + 1)^2$
$3p^2 + 1 = 4 + p^2 + 2p + 1$
$2p^2 - 2p - 4 = 0 \Rightarrow p^2 - p - 2 = 0$.
$p$ માટે ઉકેલતા,$(p - 2)(p + 1) = 0$. $p > 0$ હોવાથી,$p = 2$.
આમ,$\vec{v}_{1} = 2\sqrt{3} \hat{i} + \hat{j}$ અને $\vec{v}_{2} = 2 \hat{i} + 3 \hat{j}$.
$|\vec{v}_{1}| = \sqrt{13}$ અને $|\vec{v}_{2}| = \sqrt{13}$.
$\vec{v}_{1} \cdot \vec{v}_{2} = |\vec{v}_{1}| |\vec{v}_{2}| \cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,$(2\sqrt{3})(2) + (1)(3) = 13 \cos \theta$.
$4\sqrt{3} + 3 = 13 \cos \theta \Rightarrow \cos \theta = \frac{4\sqrt{3} + 3}{13}$.
$\sin \theta = \frac{6\sqrt{3} - 2}{13}$ મળે છે.
$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{6\sqrt{3} - 2}{4\sqrt{3} + 3}$.
$\frac{\alpha \sqrt{3} - 2}{4\sqrt{3} + 3}$ સાથે સરખાવતા,$\alpha = 6$ મળે છે.

(C) આપેલ છે: $|\vec{a}|=2$ અને $|\vec{b}|=5$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}| \sin \theta = 8$.
કિંમતો મૂકતા: $2 \times 5 \times \sin \theta = 8 \implies 10 \sin \theta = 8 \implies \sin \theta = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$.
કારણ કે $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,તેથી $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta = 1 - (\frac{4}{5})^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$.
આમ,$|\cos \theta| = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$.
હવે,$|\vec{a} \cdot \vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}| |\cos \theta|$.
$|\vec{a} \cdot \vec{b}| = 2 \times 5 \times \frac{3}{5} = 6$.