Scalar or Dot product of two vectors and its applications Questions in Gujarati

(A) ધારો કે સદિશ $a = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ છે.
આપેલ છે કે $a \cdot \hat{i} = a \cdot (\hat{i} + \hat{j}) = a \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$.
$a \cdot \hat{i} = a \cdot (\hat{i} + \hat{j})$ પરથી,આપણને $a \cdot \hat{i} = a \cdot \hat{i} + a \cdot \hat{j}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $a \cdot \hat{j} = 0$. આમ,$y = 0$.
$a \cdot (\hat{i} + \hat{j}) = a \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$ પરથી,આપણને $a \cdot \hat{i} + a \cdot \hat{j} = a \cdot \hat{i} + a \cdot \hat{j} + a \cdot \hat{k}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $a \cdot \hat{k} = 0$. આમ,$z = 0$.
કારણ કે $a \cdot \hat{i} = x$,અને જો આપણે $a = \hat{i}$ લઈએ,તો $a \cdot \hat{i} = 1$,$a \cdot (\hat{i} + \hat{j}) = 1$,અને $a \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = 1$ થાય છે.
તેથી,$a = \hat{i}$ એ આપેલ શરતોનું પાલન કરે છે.

(B) સદિશ $\vec{a}$ નો શૂન્યેતર સદિશ $\vec{b}$ પરનો લંબ પ્રક્ષેપ એ $\vec{b}$ ની દિશામાં $\vec{a}$ નો ઘટક છે.
$\vec{a}$ નો $\vec{b}$ પરના પ્રક્ષેપનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\text{Proj}_{\vec{b}} \vec{a} = \left( \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|} \right) \hat{b}$
અહીં એકમ સદિશ $\hat{b} = \frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}$ હોવાથી,આપણે તેને સૂત્રમાં મૂકીએ:
$\text{Proj}_{\vec{b}} \vec{a} = \left( \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|} \right) \left( \frac{\vec{b}}{|\vec{b}|} \right)$
આ પદનું સાદુરૂપ આપતા આપણને મળે છે:
$\text{Proj}_{\vec{b}} \vec{a} = \frac{(\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{b}}{|\vec{b}|^2}$

(B) આપેલ છે કે $A$ અને $B$ ના સ્થાન સદિશો $\vec{a} = 2\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{b} = 2\hat{i} + 4\hat{j} + 4\hat{k}$ છે.
પ્રથમ,બાજુઓ $OA$ અને $OB$ ની લંબાઈની ગણતરી કરો:
$OA = |\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$.
$OB = |\vec{b}| = \sqrt{2^2 + 4^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16 + 16} = \sqrt{36} = 6$.
કોણ દ્વિભાજક પ્રમેય મુજબ,$\angle BOA$ નો આંતરિક દ્વિભાજક $OD$ એ બાજુ $AB$ ને તેની પાસેની બાજુઓના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે,જે $OA : OB = 3 : 6 = 1 : 2$ છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને,બિંદુ $D$ નો સ્થાન સદિશ નીચે મુજબ મળે છે:
$\vec{d} = \frac{2\vec{a} + 1\vec{b}}{1 + 2} = \frac{2(2\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) + (2\hat{i} + 4\hat{j} + 4\hat{k})}{3} = \frac{(4+2)\hat{i} + (4+4)\hat{j} + (2+4)\hat{k}}{3} = \frac{6\hat{i} + 8\hat{j} + 6\hat{k}}{3} = 2\hat{i} + \frac{8}{3}\hat{j} + 2\hat{k}$.
આંતરિક દ્વિભાજક $OD$ ની લંબાઈ એ $\vec{d}$ નું માન છે:
$|OD| = \sqrt{2^2 + (\frac{8}{3})^2 + 2^2} = \sqrt{4 + \frac{64}{9} + 4} = \sqrt{8 + \frac{64}{9}} = \sqrt{\frac{72 + 64}{9}} = \sqrt{\frac{136}{9}} = \frac{\sqrt{136}}{3}$.

(A) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A, B, C$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\vec{0}, \vec{a}, \vec{b}$ છે.
$P$ એ $AB$ પર છે જેથી $AP:PB = 1:2$,તેથી $P$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{p} = \frac{1}{3}\vec{a}$ છે.
$Q$ એ $BC$ પર છે જેથી $BQ:QC = 1:2$,તેથી $Q$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{q} = \frac{2\vec{b} + \vec{a}}{3}$ છે.
માસ પોઈન્ટ ભૂમિતિનો ઉપયોગ કરતા:
$C$ પર $1$ દળ મૂકો. $BQ:QC=1:2$ હોવાથી,$B$ પરનું દળ $2$ થશે. $AP:PB=1:2$ હોવાથી,$A$ પરનું દળ $4$ થશે.
છેદબિંદુ $D$ નું કુલ દળ $4+2+1=7$ થશે.
ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર $\frac{Area(\triangle BCD)}{Area(\triangle ABC)} = \frac{Mass(A)}{Mass(A)+Mass(B)+Mass(C)} = \frac{4}{4+2+1} = \frac{4}{7}$ છે.
આપેલ છે કે $\triangle BCD$ નું ક્ષેત્રફળ $7$ છે,તેથી $\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= 7 \times \frac{7}{4} = \frac{49}{4}$ થાય.
આમ,વિકલ્પ $(a)$ સાચો છે.

(D) ધારો કે સ્થાન સદિશો $\vec{a} = \hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k}$,$\vec{b} = 2\hat{i}-\hat{j}$,$\vec{c} = \hat{i}+\hat{j}+3\hat{k}$,અને $\vec{d} = 4\hat{j}+5\hat{k}$ છે.
બાજુઓ દર્શાવતા સદિશોની ગણતરી કરો:
$\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = \hat{i} - 3\hat{j} - 2\hat{k}$.
$\vec{BC} = \vec{c} - \vec{b} = -\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$.
$\vec{CD} = \vec{d} - \vec{c} = -\hat{i} + 3\hat{j} + 2\hat{k}$.
$\vec{DA} = \vec{a} - \vec{d} = \hat{i} - 2\hat{j} - 3\hat{k}$.
અહીં $\vec{AB} = -\vec{CD}$ અને $\vec{BC} = -\vec{DA}$ હોવાથી,સામસામેની બાજુઓ સમાંતર અને સમાન લંબાઈની છે.
પાસેની બાજુઓનો ડોટ ગુણાકાર $\vec{AB} \cdot \vec{BC} = -13 \neq 0$ છે.
તેથી,આ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.

(C) આપેલ છે કે $\vec{a}$ પર $\vec{b}$ ના પ્રક્ષેપની લંબાઈ $\frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}|} = \frac{8}{\sqrt{14}}$ છે.
પ્રથમ,$\vec{a}$ નું માન શોધો: $|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 3^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 9 + 4} = \sqrt{14}$.
તેથી,$|\vec{a} \cdot \vec{b}| = \frac{8}{\sqrt{14}} \times \sqrt{14} = 8$.
આગળ,$\vec{a} \times \vec{b}$ નું માન શોધો: $|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{7^2 + (-5)^2 + (-4)^2} = \sqrt{49 + 25 + 16} = \sqrt{90}$.
નિત્યસમ $|\vec{a} \times \vec{b}|^2 + |\vec{a} \cdot \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$90 + 8^2 = (\sqrt{14})^2 |\vec{b}|^2$
$90 + 64 = 14 |\vec{b}|^2$
$154 = 14 |\vec{b}|^2$
$|\vec{b}|^2 = \frac{154}{14} = 11$
તેથી,$|\vec{b}| = \sqrt{11}$.

(B) ધારો કે $\vec{a} = x^2 \hat{i} + 2 x \hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{b} = \hat{i} - 2 \hat{j} + x \hat{k}$ છે.
બે સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ ગુરુકોણ હોય જો તેમનો અદિશ ગુણાકાર (dot product) ઋણ હોય,એટલે કે $\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (x^2)(1) + (2x)(-2) + (1)(x) < 0$
$x^2 - 4x + x < 0$
$x^2 - 3x < 0$
$x(x - 3) < 0$
ચિહ્ન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતા,પદાવલિ $x(x - 3)$ એ $x$ ની કિંમત $(0, 3)$ અંતરાલમાં હોય ત્યારે ઋણ મળે છે.
આમ,ખૂણો ગુરુકોણ હોય ત્યારે $x \in (0, 3)$ થાય.

(B) સદિશ $v$ નો સદિશ $u$ પરનો ઘટક શોધવાનું સૂત્ર $\frac{v \cdot u}{|u|}$ છે.
આપેલ છે કે $u = -2 \hat{i} + 2 \hat{j} + \hat{k}$ અને $v = \hat{i} - 2 \hat{j} + 2 \hat{k}$.
પ્રથમ,અદિશ ગુણાકાર $v \cdot u = (1)(-2) + (-2)(2) + (2)(1) = -2 - 4 + 2 = -4$ શોધો.
ત્યારબાદ,$u$ નું માન $|u| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$ શોધો.
તેથી,$u$ પર $v$ નો ઘટક $\frac{v \cdot u}{|u|} = \frac{-4}{3}$ થાય.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) બિંદુઓ $A, B, C$ અને $D$ ના સ્થાન સદિશો $\vec{a} = \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,$\vec{b} = 4\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}$,$\vec{c} = 5\hat{i}+\hat{j}$,અને $\vec{d} = 7\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}$ આપેલ છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે સદિશો $\vec{AB}$ અને $\vec{CD}$ શોધીએ:
$\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = (4-1)\hat{i} + (-1-1)\hat{j} + (2-1)\hat{k} = 3\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$.
$\vec{CD} = \vec{d} - \vec{c} = (7-5)\hat{i} + (2-1)\hat{j} + (3-0)\hat{k} = 2\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}$.
સદિશ $\vec{AB}$ નો $\vec{CD}$ પરનો પ્રક્ષેપ શોધવાનું સૂત્ર $\frac{|\vec{AB} \cdot \vec{CD}|}{|\vec{CD}|}$ છે.
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી: $\vec{AB} \cdot \vec{CD} = (3)(2) + (-2)(1) + (1)(3) = 6 - 2 + 3 = 7$.
$\vec{CD}$ નું માન: $|\vec{CD}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 1 + 9} = \sqrt{14}$.
તેથી,પ્રક્ષેપ $\frac{7}{\sqrt{14}} = \frac{7}{\sqrt{7 \times 2}} = \sqrt{\frac{7}{2}}$ થાય.
આમ,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(B) આપણી પાસે છે,$\cos \alpha = \frac{a \cdot b}{|a||b|}, \cos \beta = \frac{b \cdot c}{|b||c|}$ અને $\cos \gamma = \frac{c \cdot a}{|c||a|}$.
આપેલ છે કે $|a|=|b|=|c|=\lambda$ (જ્યાં $\lambda > 0$),તેથી:
$\cos \alpha = \frac{a \cdot b}{\lambda^2}, \cos \beta = \frac{b \cdot c}{\lambda^2}, \cos \gamma = \frac{c \cdot a}{\lambda^2}$.
તેથી,$\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma = \frac{a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a}{\lambda^2} \quad \dots (i)$
આપણે જાણીએ છીએ કે $|a+b+c|^2 = (a+b+c) \cdot (a+b+c) = |a|^2 + |b|^2 + |c|^2 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a)$.
કારણ કે $|a+b+c|^2 \geq 0$,તેથી:
$|a|^2 + |b|^2 + |c|^2 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) \geq 0$
$\lambda^2 + \lambda^2 + \lambda^2 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) \geq 0$
$3\lambda^2 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) \geq 0$
$2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) \geq -3\lambda^2$
$a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a \geq -\frac{3}{2}\lambda^2 \quad \dots (ii)$
$(ii)$ ને $(i)$ માં મૂકતા:
$\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma = \frac{a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a}{\lambda^2} \geq \frac{-\frac{3}{2}\lambda^2}{\lambda^2} = -\frac{3}{2}$.
આમ,ન્યૂનતમ કિંમત $-\frac{3}{2}$ છે.

(C) ધારો કે બે રેખાઓના દિક-ગુણોત્તરો $\vec{a} = (2, -1, 2)$ અને $\vec{b} = (K, 3, 5)$ છે.
આપેલ છે કે રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 45^{\circ}$ છે.
બે રેખાઓના દિક-ગુણોત્તરો $(a_1, b_1, c_1)$ અને $(a_2, b_2, c_2)$ વચ્ચેના ખૂણા માટેનું સૂત્ર $\cos \theta = \frac{|a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\cos 45^{\circ} = \frac{|(2)(K) + (-1)(3) + (2)(5)|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} \sqrt{K^2 + 3^2 + 5^2}}$
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{|2K - 3 + 10|}{\sqrt{4 + 1 + 4} \sqrt{K^2 + 9 + 25}}$
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{|2K + 7|}{3 \sqrt{K^2 + 34}}$
$3 \sqrt{K^2 + 34} = \sqrt{2} |2K + 7|$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$9(K^2 + 34) = 2(2K + 7)^2$
$9K^2 + 306 = 2(4K^2 + 28K + 49)$
$9K^2 + 306 = 8K^2 + 56K + 98$
$K^2 - 56K + 208 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$(K - 4)(K - 52) = 0$
આમ,$K = 4$ અથવા $K = 52$.
આપેલ વિકલ્પોમાં $4$ હોવાથી,સાચો જવાબ $K = 4$ છે.

(C) આપેલ બિંદુઓ $A(3,4,5), B(4,6,3), C(-1,2,4)$ અને $D(1,0,5)$ છે.
રેખા $DC$ ના દિકગુણોત્તરો $(x_C - x_D, y_C - y_D, z_C - z_D) = (-1-1, 2-0, 4-5) = (-2, 2, -1)$ છે.
રેખા $AB$ ના દિકગુણોત્તરો $(x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A) = (4-3, 6-4, 3-5) = (1, 2, -2)$ છે.
ધારો કે રેખાઓ $AB$ અને $DC$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે. $\cos \theta$ માટેનું સૂત્ર:
$\cos \theta = \frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$
કિંમતો મૂકતા:
$\cos \theta = \frac{|(-2)(1) + (2)(2) + (-1)(-2)|}{\sqrt{(-2)^2 + 2^2 + (-1)^2} \sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2}}$
$\cos \theta = \frac{|-2 + 4 + 2|}{\sqrt{4 + 4 + 1} \sqrt{1 + 4 + 4}}$
$\cos \theta = \frac{4}{\sqrt{9} \sqrt{9}} = \frac{4}{3 \times 3} = \frac{4}{9}$.

(D) ધારો કે સદિશ $r$ એ $a$ અને $b$ ના સમતલમાં છે. તેથી,$r$ ને $r = a + tb$ તરીકે દર્શાવી શકાય.
$r = (i + 2j + k) + t(i - j + k) = (1 + t)i + (2 - t)j + (1 + t)k$.
$r$ નો $c$ પરનો પ્રક્ષેપ $\frac{r \cdot c}{|c|}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં $|c| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{3}$.
પ્રક્ષેપ $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{((1 + t)i + (2 - t)j + (1 + t)k) \cdot (i + j - k)}{\sqrt{3}}$.
બંને બાજુ $\sqrt{3}$ વડે ગુણતા,$1 = (1 + t)(1) + (2 - t)(1) + (1 + t)(-1)$.
$1 = 1 + t + 2 - t - 1 - t$.
$1 = 2 - t$.
$t = 1$.
$t = 1$ ની કિંમત $r$ માં મૂકતા:
$r = (1 + 1)i + (2 - 1)j + (1 + 1)k = 2i + j + 2k$.

(B) સદિશ $\overrightarrow{a}$ પર સદિશ $\overrightarrow{b}$ ના લંબ પ્રક્ષેપનું સૂત્ર $\frac{(\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{a}) \overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|^2}$ છે.
અહીં $\overrightarrow{a} = \hat{i} - \hat{j} - \hat{k}$ અને $\overrightarrow{b} = \lambda \hat{i} - 3 \hat{j} + \hat{k}$ આપેલ છે.
પ્રથમ,અદિશ ગુણાકાર $\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{a} = (\lambda)(1) + (-3)(-1) + (1)(-1) = \lambda + 3 - 1 = \lambda + 2$ શોધો.
ત્યારબાદ,$|\overrightarrow{a}|^2 = (1)^2 + (-1)^2 + (-1)^2 = 1 + 1 + 1 = 3$ શોધો.
તેથી,પ્રક્ષેપ $\frac{(\lambda + 2)}{3} (\hat{i} - \hat{j} - \hat{k})$ થશે.
આપેલ પ્રક્ષેપ $\frac{4}{3}(\hat{i} - \hat{j} - \hat{k})$ સાથે સરખાવતા,$\frac{\lambda + 2}{3} = \frac{4}{3}$ મળે.
તેથી,$\lambda + 2 = 4$,જેનો અર્થ છે કે $\lambda = 2$.

(B) બાજુ $AB$ ના દિકગુણોત્તર $(6-1, 11-(-1), 2-2) = (5, 12, 0)$ છે.
બાજુ $AC$ ના દિકગુણોત્તર $(1-1, 2-(-1), 6-2) = (0, 3, 4)$ છે.
સદિશ $\vec{AB}$ અને $\vec{AC}$ વચ્ચેના ખૂણા $A$ નો કોસાઇન નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$\cos A = \frac{a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$
કિંમતો મૂકતા:
$\cos A = \frac{(5)(0) + (12)(3) + (0)(4)}{\sqrt{5^2 + 12^2 + 0^2} \sqrt{0^2 + 3^2 + 4^2}}$
$\cos A = \frac{0 + 36 + 0}{\sqrt{25 + 144 + 0} \sqrt{0 + 9 + 16}}$
$\cos A = \frac{36}{\sqrt{169} \sqrt{25}}$
$\cos A = \frac{36}{13 \times 5} = \frac{36}{65}$.

(C) ધારો કે સ્થાન સદિશો $\vec{a} = \vec{i}+\vec{j}-\vec{k}$,$\vec{b} = -\vec{i}+2\vec{j}+\vec{k}$,$\vec{c} = \vec{j}+2\vec{k}$,અને $\vec{d} = 2\vec{i}-\vec{j}+2\vec{k}$ છે.
રેખા $AB$ એ $A$ માંથી પસાર થાય છે અને તેનો દિશા સદિશ $\vec{p} = \vec{b}-\vec{a} = -2\vec{i} + \vec{j} + 2\vec{k}$ છે.
રેખા $CD$ એ $C$ માંથી પસાર થાય છે અને તેનો દિશા સદિશ $\vec{q} = \vec{d}-\vec{c} = 2\vec{i} - 2\vec{j} + 0\vec{k}$ છે.
બે રેખાઓ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર $d = \frac{|(\vec{c}-\vec{a}) \cdot (\vec{p} \times \vec{q})|}{|\vec{p} \times \vec{q}|}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં $\vec{c}-\vec{a} = -\vec{i} + 0\vec{j} + 3\vec{k}$ છે.
$\vec{p} \times \vec{q} = 4\vec{i} + 4\vec{j} + 2\vec{k}$ મળે છે.
$|\vec{p} \times \vec{q}| = 6$ થાય છે.
અંશનું મૂલ્ય $|(\vec{c}-\vec{a}) \cdot (\vec{p} \times \vec{q})| = |(-1)(4) + (0)(4) + (3)(2)| = 2$ થાય છે.
તેથી,$d = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

(B) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A, B, C$ ના સ્થાન સદિશો $\vec{a} = 3\hat{i}-2\hat{j}-\hat{k}$,$\vec{b} = -2\hat{i}-\hat{j}+3\hat{k}$,અને $\vec{c} = -\hat{i}+3\hat{j}-2\hat{k}$ છે.
પ્રથમ,બાજુઓની લંબાઈના વર્ગની ગણતરી કરીએ:
$AB^2 = |\vec{b}-\vec{a}|^2 = |(-5)\hat{i} + \hat{j} + 4\hat{k}|^2 = 25+1+16 = 42$
$BC^2 = |\vec{c}-\vec{b}|^2 = |\hat{i} + 4\hat{j} - 5\hat{k}|^2 = 1+16+25 = 42$
$AC^2 = |\vec{c}-\vec{a}|^2 = |(-4)\hat{i} + 5\hat{j} - \hat{k}|^2 = 16+25+1 = 42$
અહીં $AB^2 = BC^2 = AC^2 = 42$ હોવાથી,ત્રિકોણ સમબાજુ છે.
સમબાજુ ત્રિકોણ માટે,લંબકેન્દ્ર $H$ એ મધ્યકેન્દ્ર $G$ સાથે સંપાતી હોય છે.
મધ્યકેન્દ્ર $G = \frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3} = \frac{(3-2-1)\hat{i} + (-2-1+3)\hat{j} + (-1+3-2)\hat{k}}{3} = \vec{0}$.
તેથી,$H = (0,0,0)$.
હવે,$\overrightarrow{HA} + \overrightarrow{HB} + \overrightarrow{HC} = (\vec{a}-\vec{h}) + (\vec{b}-\vec{h}) + (\vec{c}-\hat{h}) = \vec{a}+\vec{b}+\vec{c} - 3\vec{h}$.
$\vec{h} = \vec{0}$ અને $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c} = \vec{0}$ હોવાથી,$\overrightarrow{HA} + \overrightarrow{HB} + \overrightarrow{HC} = \vec{0}$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે,$\vec{r} \times \vec{a} = \vec{b} \times \vec{a}$.
આનો અર્થ એ છે કે $(\vec{r} - \vec{b}) \times \vec{a} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\vec{r} - \vec{b}$ એ $\vec{a}$ ને સમાંતર છે.
તેથી,પ્રથમ રેખાનું સમીકરણ $\vec{r} = \vec{b} + p\vec{a} = \hat{j} + p\hat{i}$ છે.
તે જ રીતે,બીજી રેખા $\vec{r} \times \vec{b} = \vec{a} \times \vec{b}$ માટે,આપણી પાસે $(\vec{r} - \vec{a}) \times \vec{b} = 0$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે $\vec{r} - \vec{a}$ એ $\vec{b}$ ને સમાંતર છે.
તેથી,બીજી રેખાનું સમીકરણ $\vec{r} = \vec{a} + q\vec{b} = \hat{i} + q\hat{j}$ છે.
છેદબિંદુ માટે,$\hat{j} + p\hat{i} = \hat{i} + q\hat{j}$.
$\hat{i}$ અને $\hat{j}$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા,આપણને $p = 1$ અને $q = 1$ મળે છે.
પ્રથમ સમીકરણમાં $p=1$ મૂકતા,આપણને $\vec{r} = \hat{j} + 1(\hat{i}) = \hat{i} + \hat{j}$ મળે છે.

(A) ધારો કે ઘનની બાજુની લંબાઈ $a$ છે. આપણે $(0,0,0), (a,0,0), (0,a,0), (0,0,a), (a,a,0), (a,0,a), (0,a,a),$ અને $(a,a,a)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતો ઘન વિચારીએ.
ઘનના બે વિકર્ણોને સદિશો $\vec{d_1}$ અને $\vec{d_2}$ દ્વારા દર્શાવી શકાય છે.
ધારો કે $\vec{d_1}$ એ $(0,0,0)$ થી $(a,a,a)$ સુધીનો સદિશ છે,તેથી $\vec{d_1} = a\hat{i} + a\hat{j} + a\hat{k}$.
ધારો કે $\vec{d_2}$ એ $(a,0,0)$ થી $(0,a,a)$ સુધીનો સદિશ છે,તેથી $\vec{d_2} = (0-a)\hat{i} + (a-0)\hat{j} + (a-0)\hat{k} = -a\hat{i} + a\hat{j} + a\hat{k}$.
આ બે સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\cos \theta = \frac{\vec{d_1} \cdot \vec{d_2}}{|\vec{d_1}| |\vec{d_2}|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા: $\vec{d_1} \cdot \vec{d_2} = (a)(-a) + (a)(a) + (a)(a) = -a^2 + a^2 + a^2 = a^2$.
માનની ગણતરી કરતા: $|\vec{d_1}| = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$ અને $|\vec{d_2}| = \sqrt{(-a)^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$.
આમ,$\cos \theta = \frac{a^2}{(a\sqrt{3})(a\sqrt{3})} = \frac{a^2}{3a^2} = \frac{1}{3}$.
તેથી,$\theta = \cos ^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)$.

(A) આપેલ છે કે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની બાજુઓ $\vec{PQ} = 3\hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}$ અને $\vec{PS} = \hat{i} - 2\hat{k}$ છે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો $\vec{d_1} = \vec{PR} = \vec{PQ} + \vec{PS}$ અને $\vec{d_2} = \vec{QS} = \vec{PS} - \vec{PQ}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{PR}$ ની ગણતરી:
$\vec{PR} = (3\hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}) + (\hat{i} - 2\hat{k}) = 4\hat{i} - 2\hat{j} + 0\hat{k} = 4\hat{i} - 2\hat{j}$.
$\vec{QS}$ ની ગણતરી:
$\vec{QS} = (\hat{i} - 2\hat{k}) - (3\hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}) = -2\hat{i} + 2\hat{j} - 4\hat{k}$.
ધારો કે $\theta$ એ વિકર્ણો $\vec{PR}$ અને $\vec{QS}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
$\cos \theta = \frac{\vec{PR} \cdot \vec{QS}}{|\vec{PR}| |\vec{QS}|}$.
$\vec{PR} \cdot \vec{QS} = (4\hat{i} - 2\hat{j} + 0\hat{k}) \cdot (-2\hat{i} + 2\hat{j} - 4\hat{k}) = (4)(-2) + (-2)(2) + (0)(-4) = -8 - 4 + 0 = -12$.
$|\vec{PR}| = \sqrt{4^2 + (-2)^2 + 0^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.
$|\vec{QS}| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 4 + 16} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$.
$\cos \theta = \frac{-12}{(2\sqrt{5})(2\sqrt{6})} = \frac{-12}{4\sqrt{30}} = \frac{-3}{\sqrt{30}} = -\sqrt{\frac{9}{30}} = -\sqrt{\frac{3}{10}}$.
આમ,$\cos \theta = -\sqrt{\frac{3}{10}}$.

(B) ધારો કે બિંદુઓ $A = 2 \vec{a}+3 \vec{b}-\vec{c}$,$B = 3 \vec{a}+4 \vec{b}-2 \vec{c}$,$C = \vec{a}-2 \vec{b}+3 \vec{c}$,અને $D = \vec{a}-6 \vec{b}+6 \vec{c}$ છે.
$A$ અને $B$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $\vec{r} = A + t(B-A)$ દ્વારા મળે છે:
$\vec{r} = (2 \vec{a}+3 \vec{b}-\vec{c}) + t((3 \vec{a}+4 \vec{b}-2 \vec{c}) - (2 \vec{a}+3 \vec{b}-\vec{c}))$
$\vec{r} = (2+t) \vec{a} + (3+t) \vec{b} + (-1-t) \vec{c} \quad (i)$
$C$ અને $D$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $\vec{r} = C + s(D-C)$ દ્વારા મળે છે:
$\vec{r} = (\vec{a}-2 \vec{b}+3 \vec{c}) + s((\vec{a}-6 \vec{b}+6 \vec{c}) - (\vec{a}-2 \vec{b}+3 \vec{c}))$
$\vec{r} = \vec{a} + (-2-4s) \vec{b} + (3+3s) \vec{c} \quad (ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ માં $\vec{a}, \vec{b}, \text{ અને } \vec{c}$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$2+t = 1 \implies t = -1$
$3+t = -2-4s$
$-1-t = 3+3s$
બીજા સમીકરણમાં $t = -1$ મૂકતા:
$3-1 = -2-4s \implies 2 = -2-4s \implies 4s = -4 \implies s = -1$
ત્રીજા સમીકરણ સાથે સુસંગતતા તપાસતા:
$-1 - (-1) = 3 + 3(-1) \implies 0 = 0$. સિસ્ટમ સુસંગત છે.
સમીકરણ $(i)$ માં $t = -1$ મૂકતા:
$\vec{r} = (2-1) \vec{a} + (3-1) \vec{b} + (-1-(-1)) \vec{c} = \vec{a} + 2 \vec{b}$.

(B) આપેલ છે કે $|\vec{a}| = |\vec{b}| = \sqrt{14}$ અને $\vec{a} \cdot \vec{b} = -7$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$.
કિંમતો મૂકતા: $-7 = (\sqrt{14})(\sqrt{14}) \cos \theta = 14 \cos \theta$.
તેથી,$\cos \theta = -\frac{7}{14} = -\frac{1}{2}$.
કારણ કે $\cos \theta = -\frac{1}{2}$,તેથી $\sin \theta = \sqrt{1 - \cos^2 \theta} = \sqrt{1 - (-\frac{1}{2})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
હવે,પદાવલિ $\frac{|\vec{a} \times \vec{b}|}{|\vec{a} \cdot \vec{b}|} = \frac{|\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta}{|\vec{a}| |\vec{b}| |\cos \theta|} = \frac{\sin \theta}{|\cos \theta|}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{|-\frac{1}{2}|} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}$.

(A) લંબઘનના શિરોબિંદુઓ $O(0,0,0)$,$A(a,0,0)$,$B(0,b,0)$,$C(0,0,c)$,$F(a,b,0)$,$D(a,0,c)$,$E(0,b,c)$,અને $G(a,b,c)$ છે.
આપેલ આકૃતિ મુજબ,$d_1$ એ $XY$-સમતલને સમાંતર સમતલ ($z=c$ પર) પરનો વિકર્ણ $CG$ છે,જે $C(0,0,c)$ અને $G(a,b,c)$ ને જોડે છે. તેથી,સદિશ $\vec{d}_1 = \vec{G} - \vec{C} = (a-0)\hat{i} + (b-0)\hat{j} + (c-c)\hat{k} = a\hat{i} + b\hat{j}$.
$d_2$ એ સમતલ $\pi_2$ ($y=b$ પર $ZX$-સમતલને સમાંતર) પરનો વિકર્ણ $GB$ છે,જે $G(a,b,c)$ અને $B(0,b,0)$ ને જોડે છે. તેથી,સદિશ $\vec{d}_2 = \vec{B} - \vec{G} = (0-a)\hat{i} + (b-b)\hat{j} + (0-c)\hat{k} = -a\hat{i} - c\hat{k}$.
જોકે,આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ સદિશોની દિશાને ધ્યાનમાં લેતા,આપણે $\vec{d}_1 = a\hat{i} + b\hat{j}$ અને $\vec{d}_2 = a\hat{i} + c\hat{k}$ લઈએ છીએ.
$\vec{d}_1$ અને $\vec{d}_2$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\cos \theta = \frac{\vec{d}_1 \cdot \vec{d}_2}{|\vec{d}_1| |\vec{d}_2|}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{d}_1 \cdot \vec{d}_2 = (a\hat{i} + b\hat{j}) \cdot (a\hat{i} + c\hat{k}) = a^2$.
$|\vec{d}_1| = \sqrt{a^2 + b^2}$ અને $|\vec{d}_2| = \sqrt{a^2 + c^2}$.
તેથી,$\cos \theta = \frac{a^2}{\sqrt{a^2+b^2} \sqrt{a^2+c^2}}$.

(D) આપેલ રેખાઓ $r = a_1 + \lambda b_1$ અને $r = a_2 + \mu b_2$ છે,જ્યાં $a_1 = 3i + 5j + 7k$,$b_1 = i + 2j + k$,$a_2 = -i - j - k$,અને $b_2 = 7i - 6j + k$ છે.
પ્રથમ,આપણે સદિશ ગુણાકાર $b_1 \times b_2$ શોધીએ:
$b_1 \times b_2 = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 1 & 2 & 1 \\ 7 & -6 & 1 \end{vmatrix} = i(2 + 6) - j(1 - 7) + k(-6 - 14) = 8i + 6j - 20k$.
તેનું માન $|b_1 \times b_2| = \sqrt{8^2 + 6^2 + (-20)^2} = \sqrt{64 + 36 + 400} = \sqrt{500} = 10\sqrt{5}$ છે.
આગળ,$a_2 - a_1 = (-i - j - k) - (3i + 5j + 7k) = -4i - 6j - 8k$ શોધીએ.
અદિશ ત્રિગુણક $(a_2 - a_1) \cdot (b_1 \times b_2) = (-4i - 6j - 8k) \cdot (8i + 6j - 20k) = (-4)(8) + (-6)(6) + (-8)(-20) = -32 - 36 + 160 = 92$ છે.
લઘુત્તમ અંતર $d = \frac{|(a_2 - a_1) \cdot (b_1 \times b_2)|}{|b_1 \times b_2|} = \frac{92}{10\sqrt{5}} = \frac{46}{5\sqrt{5}}$ મળે છે.

(B) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A(\vec{a})$,$B(\vec{0})$,અને $C(\vec{c})$ છે.
$P$ એ $AB$ ને $1:2$ ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે,તેથી $\vec{p} = \frac{2}{3}\vec{a}$.
$Q$ એ $BC$ ને $1:2$ ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે,તેથી $\vec{q} = \frac{1}{3}\vec{c}$.
$AQ$ રેખાનું સમીકરણ $\vec{r} = (1-t)\vec{a} + t(\frac{1}{3}\vec{c})$ છે.
$CP$ રેખાનું સમીકરણ $\vec{r} = (1-s)\vec{c} + s(\frac{2}{3}\vec{a})$ છે.
છેદબિંદુ $D$ માટે સહગુણકો સરખાવતા,$s = \frac{2}{7}$ અને $t = \frac{6}{7}$ મળે છે.
તેથી,$\vec{d} = \frac{1}{7}\vec{a} + \frac{2}{7}\vec{c}$.
$\triangle BCD$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |\vec{d} \times \vec{c}| = \frac{1}{14} |\vec{a} \times \vec{c}|$ થાય.
ત્રિકોણ $ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $k = \frac{1}{2} |\vec{a} \times \vec{c}|$ હોવાથી,$\triangle BCD$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{7} k$ થાય.

(D) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A, B, C$ ના સ્થાન સદિશો $\vec{a} = 12 \hat{i}-12 \hat{j}-18 \hat{k}$,$\vec{b} = -3 \hat{i}-6 \hat{j}-9 \hat{k}$,અને $\vec{c} = 3 \hat{i}+3 \hat{j}-24 \hat{k}$ છે.
બાજુઓની લંબાઈ ગણો:
$a = |\vec{BC}| = |6\hat{i} + 9\hat{j} - 15\hat{k}| = \sqrt{342}$.
$b = |\vec{AC}| = |-9\hat{i} + 15\hat{j} - 6\hat{k}| = \sqrt{342}$.
$c = |\vec{AB}| = |-15\hat{i} + 6\hat{j} + 9\hat{k}| = \sqrt{342}$.
અહીં $a=b=c$ હોવાથી,ત્રિકોણ સમબાજુ છે.
સમબાજુ ત્રિકોણનું અંતઃકેન્દ્ર એ મધ્યકેન્દ્ર જ હોય છે,જે $\frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}$ દ્વારા મળે છે.
અંતઃકેન્દ્ર $= \frac{12\hat{i} - 15\hat{j} - 51\hat{k}}{3} = 4\hat{i} - 5\hat{j} - 17\hat{k}$.

(D) ધારો કે $A, B, C$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ છે. ધારો કે $\vec{a} = \vec{0}$. તો $\vec{b} = \vec{b}$ અને $\vec{c} = \vec{c}$.
બિંદુઓ $P, Q, R$ એ $BC, CA, AB$ ને $3:4, 2:5, 9:5$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે:
$\vec{P} = \frac{3\vec{c} + 4\vec{b}}{7}$,$\vec{Q} = \frac{5\vec{c} + 2\vec{a}}{7} = \frac{5\vec{c}}{7}$,$\vec{R} = \frac{9\vec{b} + 5\vec{a}}{14} = \frac{9\vec{b}}{14}$.
હવે,$\vec{AP} + \vec{BQ} + \vec{CR} = (\vec{P} - \vec{a}) + (\vec{Q} - \vec{b}) + (\vec{R} - \vec{c})$
$= \frac{3\vec{c} + 4\vec{b}}{7} + (\frac{5\vec{c}}{7} - \vec{b}) + (\frac{9\vec{b}}{14} - \vec{c})$
$= \frac{6\vec{c} + 8\vec{b} + 10\vec{c} - 14\vec{b} + 9\vec{b} - 14\vec{c}}{14} = \frac{3\vec{b} + 2\vec{c}}{14}$.
બિંદુ $D$ એ $BC$ ને $2:3$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે,તેથી $\vec{D} = \frac{2\vec{c} + 3\vec{b}}{5}$.
કારણ કે $\vec{A} = \vec{0}$,$\vec{AD} = \vec{D} = \frac{3\vec{b} + 2\vec{c}}{5}$.
આમ,$\frac{\vec{AP} + \vec{BQ} + \vec{CR}}{\vec{AD}} = \frac{(3\vec{b} + 2\vec{c})/14}{(3\vec{b} + 2\vec{c})/5} = \frac{5}{14}$.
તેથી,$k = \frac{5}{14}$.
અંતે,$(14k + 1) : (14k - 1) = (14 \times \frac{5}{14} + 1) : (14 \times \frac{5}{14} - 1) = (5 + 1) : (5 - 1) = 6 : 4 = 3 : 2$.

(A) આપેલ છે કે $|\bar{a}|=5$,$|\bar{b}|=12$,અને $|\bar{a}-\bar{b}|=13$.
$|\bar{a}-\bar{b}|=13$ સમીકરણનો વર્ગ કરતા,આપણને મળે છે $|\bar{a}|^2 + |\bar{b}|^2 - 2(\bar{a} \cdot \bar{b}) = 169$.
કિંમતો મૂકતા: $25 + 144 - 2(\bar{a} \cdot \bar{b}) = 169$.
$169 - 2(\bar{a} \cdot \bar{b}) = 169$,જેનો અર્થ છે કે $\bar{a} \cdot \bar{b} = 0$.
હવે,આપણે $|2\bar{a}+\bar{b}|$ શોધવાનું છે.
$|2\bar{a}+\bar{b}|^2 = (2\bar{a}+\bar{b}) \cdot (2\bar{a}+\bar{b}) = 4|\bar{a}|^2 + |\bar{b}|^2 + 4(\bar{a} \cdot \bar{b})$.
કિંમતો મૂકતા: $4(25) + 144 + 4(0) = 100 + 144 = 244$.
તેથી,$|2\bar{a}+\bar{b}| = \sqrt{244} = \sqrt{4 \times 61} = 2\sqrt{61}$.

(B) ધારો કે બિંદુઓ $A, B, C, D$ ના સ્થાન સદિશો $\vec{a} = 7\bar{i}-4\bar{j}+7\bar{k}$,$\vec{b} = \bar{i}-6\bar{j}+10\bar{k}$,$\vec{c} = -\bar{i}-3\bar{j}+4\bar{k}$,અને $\vec{d} = 5\bar{i}-\bar{j}+\bar{k}$ છે.
ચતુષ્કોણ $ABCD$ ના વિકર્ણોના મધ્યબિંદુઓ શોધીએ.
$AC$ નું મધ્યબિંદુ = $\frac{\vec{a}+\vec{c}}{2} = \frac{(7-1)\bar{i} + (-4-3)\bar{j} + (7+4)\bar{k}}{2} = \frac{6\bar{i}-7\bar{j}+11\bar{k}}{2} = 3\bar{i}-3.5\bar{j}+5.5\bar{k}$.
$BD$ નું મધ્યબિંદુ = $\frac{\vec{b}+\vec{d}}{2} = \frac{(1+5)\bar{i} + (-6-1)\bar{j} + (10+1)\bar{k}}{2} = \frac{6\bar{i}-7\bar{j}+11\bar{k}}{2} = 3\bar{i}-3.5\bar{j}+5.5\bar{k}$.
બંને મધ્યબિંદુઓ સમાન હોવાથી,$ABCD$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે અને વિકર્ણોનું છેદબિંદુ આ મધ્યબિંદુ જ છે.
તેથી,$p=3, q=-3.5, r=5.5$.
$p+q+r = 3-3.5+5.5 = 5$.

(B) ધારો કે $|\vec{AC}| = k$. તો $|\vec{AD}| = 3k$ અને $|\vec{AB}| = 5k$.
કારણ કે $\vec{AC}$ એ $\angle A = \frac{2\pi}{3}$ નો દ્વિભાજક છે,$\vec{AB}$ અને $\vec{AC}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{3}$ છે,અને $\vec{AD}$ અને $\vec{AC}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{3}$ છે.
$\vec{AB}$ અને $\vec{AD}$ ની દિશામાં એકમ સદિશો $\hat{u}$ અને $\hat{v}$ લો.
તેથી,$\vec{AC} = \frac{k}{2\cos(\pi/6)} (\frac{\vec{AB}}{5k} + \frac{\vec{AD}}{3k}) = \frac{1}{\sqrt{3}} (\frac{\vec{AB}}{5} + \frac{\vec{AD}}{3})$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\vec{BC} = \vec{AC} - \vec{AB}$.
ડોટ પ્રોડક્ટના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને,$\vec{AB}$ અને $\vec{BC}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\cos^{-1}\left(\frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}\right)$ મળે છે.

(D) ધારો કે ત્રણ બિંદુઓના સ્થાન સદિશો $\vec{P} = \lambda \vec{a}-2 \vec{b}+\vec{c}$,$\vec{Q} = 2 \vec{a}+\lambda \vec{b}-2 \vec{c}$,અને $\vec{R} = 4 \vec{a}+7 \vec{b}-8 \vec{c}$ છે.
બિંદુઓ સમરેખ હોવાથી,સદિશો $\vec{PQ}$ અને $\vec{QR}$ સમાંતર હોવા જોઈએ,એટલે કે કોઈ અદિશ $k$ માટે $\vec{PQ} = k \vec{QR}$.
$\vec{PQ} = \vec{Q} - \vec{P} = (2-\lambda) \vec{a} + (\lambda+2) \vec{b} - 3 \vec{c}$.
$\vec{QR} = \vec{R} - \vec{Q} = 2 \vec{a} + (7-\lambda) \vec{b} - 6 \vec{c}$.
$\vec{PQ} = k \vec{QR}$ હોવાથી:
$(2-\lambda) \vec{a} + (\lambda+2) \vec{b} - 3 \vec{c} = k [2 \vec{a} + (7-\lambda) \vec{b} - 6 \vec{c}]$.
$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ અસમતલીય હોવાથી,તેઓ સુરેખ રીતે સ્વતંત્ર છે. સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$\vec{c}$ માટે: $-3 = -6k \Rightarrow k = \frac{1}{2}$.
$\vec{a}$ માટે: $2-\lambda = 2k = 2(\frac{1}{2}) = 1 \Rightarrow \lambda = 1$.
$\vec{b}$ માટે: $\lambda+2 = k(7-\lambda) = \frac{1}{2}(7-\lambda) \Rightarrow 2\lambda+4 = 7-\lambda \Rightarrow 3\lambda = 3 \Rightarrow \lambda = 1$.
$\lambda = 1$ માટે બંને શરતો સંતોષાય છે.

(B) આપેલ સ્થાન સદિશો $\overrightarrow{OP} = \hat{i}+2 \hat{j}-7 \hat{k}$ અને $\overrightarrow{OQ} = 5 \hat{i}-3 \hat{j}+4 \hat{k}$ છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે સદિશ $\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OP}$ શોધીએ.
$\overrightarrow{PQ} = (5 \hat{i}-3 \hat{j}+4 \hat{k}) - (\hat{i}+2 \hat{j}-7 \hat{k}) = 4 \hat{i}-5 \hat{j}+11 \hat{k}$.
$z$-અક્ષનો દિશા સદિશ $\hat{k} = 0 \hat{i} + 0 \hat{j} + 1 \hat{k}$ છે.
ધારો કે $\theta$ એ $\overrightarrow{PQ}$ અને $z$-અક્ષ વચ્ચેનો ખૂણો છે. ખૂણાનો કોસાઇન $\cos \theta = \frac{\overrightarrow{PQ} \cdot \hat{k}}{|\overrightarrow{PQ}| |\hat{k}|}$ દ્વારા મળે છે.
ડોટ પ્રોડક્ટની ગણતરી કરતા: $\overrightarrow{PQ} \cdot \hat{k} = (4)(0) + (-5)(0) + (11)(1) = 11$.
$\overrightarrow{PQ}$ ના માનની ગણતરી કરતા: $|\overrightarrow{PQ}| = \sqrt{4^2 + (-5)^2 + 11^2} = \sqrt{16 + 25 + 121} = \sqrt{162}$.
કારણ કે $|\hat{k}| = 1$,તેથી $\cos \theta = \frac{11}{\sqrt{162} \times 1} = \frac{11}{\sqrt{162}}$.

(A) આપેલ છે કે $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ પરસ્પર લંબ છે,તેથી તેમનો અદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ થાય.
આપણને $|\vec{a}| = 8$ અને $|\vec{b}| = 3$ આપેલ છે.
આપણે $|\vec{a} - 2\vec{b}|$ ની કિંમત શોધવાની છે.
ગુણધર્મ $|\vec{v}|^2 = \vec{v} \cdot \vec{v}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$|\vec{a} - 2\vec{b}|^2 = (\vec{a} - 2\vec{b}) \cdot (\vec{a} - 2\vec{b})$
$= |\vec{a}|^2 + 4|\vec{b}|^2 - 4(\vec{a} \cdot \vec{b})$
જાણીતી કિંમતો મૂકતા:
$= (8)^2 + 4(3)^2 - 4(0)$
$= 64 + 4(9) - 0$
$= 64 + 36 = 100$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$|\vec{a} - 2\vec{b}| = \sqrt{100} = 10$.

(B) ધારો કે $\vec{a} = \vec{BC} = 2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{b} = \vec{CD} = \hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}$.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં,બાજુઓ $\vec{BC}$ અને $\vec{CD}$ છે. વિકર્ણો $\vec{AC} = \vec{BC} + \vec{CD} = (2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) + (\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}) = 3\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}$ અને $\vec{BD} = \vec{BC} - \vec{CD} = (2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) - (\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}) = \hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}$ છે.
ધારો કે $\vec{d_1} = \vec{AC} = 3\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}$ અને $\vec{d_2} = \vec{BD} = \hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}$.
$|\vec{d_1}| = \sqrt{3^2 + 3^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 9 + 1} = \sqrt{19}$.
$|\vec{d_2}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 1 + 9} = \sqrt{11}$.
$\vec{d_1} \cdot \vec{d_2} = (3)(1) + (3)(-1) + (-1)(3) = 3 - 3 - 3 = -3$.
$\cos \theta = \frac{\vec{d_1} \cdot \vec{d_2}}{|\vec{d_1}| |\vec{d_2}|} = \frac{-3}{\sqrt{19} \cdot \sqrt{11}} = \frac{-3}{\sqrt{209}}$.
કારણ કે $\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - \frac{9}{209} = \frac{200}{209}$,તેથી $\sin \theta = \frac{\sqrt{200}}{\sqrt{209}} = \frac{10\sqrt{2}}{\sqrt{209}}$.
તેથી,$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{10\sqrt{2} / \sqrt{209}}{-3 / \sqrt{209}} = \frac{-10\sqrt{2}}{3}$.

(A) સદિશ $\vec{v}$ નો $\vec{a}$ પરનો પ્રક્ષેપ $\left(\frac{\vec{v} \cdot \vec{a}}{|\vec{a}|^2}\right) \vec{a}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ,$|\vec{a}|^2 = (1)^2 + (-2)^2 + (2)^2 = 1 + 4 + 4 = 9$ ગણો.
$\vec{p}$ ($\vec{b}$ નો $\vec{a}$ પરનો પ્રક્ષેપ) માટે:
$\vec{p} = \left(\frac{(6)(1) + (2)(-2) + (-3)(2)}{9}\right) \vec{a} = \left(\frac{6 - 4 - 6}{9}\right) \vec{a} = \frac{-4}{9} \vec{a}$.
$\vec{q}$ ($\vec{c}$ નો $\vec{a}$ પરનો પ્રક્ષેપ) માટે:
$\vec{q} = \left(\frac{(3)(1) + (-4)(-2) + (-12)(2)}{9}\right) \vec{a} = \left(\frac{3 + 8 - 24}{9}\right) \vec{a} = \frac{-13}{9} \vec{a}$.
હવે,આપણે $13 \vec{p}$ શોધવાનું છે:
$13 \vec{p} = 13 \left(\frac{-4}{9} \vec{a}\right) = \frac{-52}{9} \vec{a}$.
$\vec{q} = \frac{-13}{9} \vec{a}$ સાથે સરખાવતા,આપણે જોઈએ છીએ કે $4 \vec{q} = 4 \left(\frac{-13}{9} \vec{a}\right) = \frac{-52}{9} \vec{a}$.
તેથી,$13 \vec{p} = 4 \vec{q}$.

(B) ધારો કે $A, B, C, D, E, P$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}, \vec{e}, \vec{p}$ છે.
$D$ એ $BC$ ને $2:1$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે,તેથી $\vec{d} = \frac{2\vec{c} + \vec{b}}{3} \Rightarrow 3\vec{d} = 2\vec{c} + \vec{b} \quad (1)$.
$E$ એ $CA$ ને $2:1$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે,તેથી $\vec{e} = \frac{2\vec{a} + \vec{c}}{3} \Rightarrow 3\vec{e} = 2\vec{a} + \vec{c} \quad (2)$.
$(1)$ પરથી,$2\vec{c} = 3\vec{d} - \vec{b}$.
$(2)$ પરથી,$\vec{c} = 3\vec{e} - 2\vec{a} \Rightarrow 2\vec{c} = 6\vec{e} - 4\vec{a}$.
$2\vec{c}$ માટે બંને અભિવ્યક્તિઓને સરખાવતા:
$3\vec{d} - \vec{b} = 6\vec{e} - 4\vec{a} \Rightarrow 4\vec{a} + 3\vec{d} = 6\vec{e} + \vec{b}$.
$7$ વડે ભાગતા:
$\frac{4\vec{a} + 3\vec{d}}{7} = \frac{6\vec{e} + \vec{b}}{7}$.
આ બિંદુ $\vec{p}$ એ $AD$ ને $3:4$ ના ગુણોત્તરમાં અને $BE$ ને $1:6$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે. તેથી,$P$ એ $AD$ ને $3:4$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.

(B) $\vec{a}$ ને લંબ $\vec{b}$ નો ઘટક શોધવાનું સૂત્ર $\vec{b}_{\perp} = \vec{b} - \text{proj}_{\vec{a}} \vec{b} = \vec{b} - \left( \frac{\vec{b} \cdot \vec{a}}{|\vec{a}|^2} \right) \vec{a}$ છે.
અહીં $\vec{a} = \hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}$ અને $\vec{b} = 2\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k}$ આપેલ છે.
પ્રથમ,અદિશ ગુણાકાર શોધો: $\vec{b} \cdot \vec{a} = (2)(1) + (-3)(-2) + (1)(2) = 2 + 6 + 2 = 10$.
ત્યારબાદ,$\vec{a}$ ના માનનો વર્ગ શોધો: $|\vec{a}|^2 = (1)^2 + (-2)^2 + (2)^2 = 1 + 4 + 4 = 9$.
હવે,$\vec{b}$ નો $\vec{a}$ પરનો પ્રક્ષેપ $\frac{10}{9}(\hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k})$ થશે.
છેલ્લે,લંબ ઘટક $\vec{b}_{\perp} = (2\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k}) - \frac{10}{9}(\hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}) = \frac{1}{9}(18\hat{i} - 27\hat{j} + 9\hat{k} - 10\hat{i} + 20\hat{j} - 20\hat{k}) = \frac{1}{9}(8\hat{i} - 7\hat{j} - 11\hat{k})$.

(D) આપેલ છે કે $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|\bar{a}| = |\bar{b}| = |\bar{c}| = 1$.
આપેલ પદાવલિ $|\bar{a}-\bar{b}|^2+|\bar{a}-\bar{c}|^2=10$ છે.
તેનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને મળે છે:
$(|\bar{a}|^2+|\bar{b}|^2-2\bar{a}\cdot\bar{b}) + (|\bar{a}|^2+|\bar{c}|^2-2\bar{a}\cdot\bar{c}) = 10$
કારણ કે $|\bar{a}|=|\bar{b}|=|\bar{c}|=1$,તેથી:
$(1+1-2\bar{a}\cdot\bar{b}) + (1+1-2\bar{a}\cdot\bar{c}) = 10$
$4 - 2\bar{a}\cdot(\bar{b}+\bar{c}) = 10$
$-2\bar{a}\cdot(\bar{b}+\bar{c}) = 6$
$\bar{a}\cdot(\bar{b}+\bar{c}) = -3$ ... $(i)$
વિધાન $(I)$ માટે: $|\bar{a}+2 \bar{b}|^2+|2 \bar{a}+\bar{c}|^2$
$= (|\bar{a}|^2 + 4|\bar{b}|^2 + 4\bar{a}\cdot\bar{b}) + (4|\bar{a}|^2 + |\bar{c}|^2 + 4\bar{a}\cdot\bar{c})$
$= (1 + 4 + 4\bar{a}\cdot\bar{b}) + (4 + 1 + 4\bar{a}\cdot\bar{c})$
$= 10 + 4(\bar{a}\cdot\bar{b} + \bar{a}\cdot\bar{c})$
$= 10 + 4(\bar{a}\cdot(\bar{b}+\bar{c}))$
$= 10 + 4(-3) = 10 - 12 = -2$.
તેથી $-2 \neq 2$,વિધાન $(I)$ ખોટું છે.
વિધાન $(II)$ માટે: $|2 \bar{a}+3 \bar{b}|^2+|3 \bar{a}+2 \bar{c}|^2$
$= (4|\bar{a}|^2 + 9|\bar{b}|^2 + 12\bar{a}\cdot\bar{b}) + (9|\bar{a}|^2 + 4|\bar{c}|^2 + 12\bar{a}\cdot\bar{c})$
$= (4 + 9 + 12\bar{a}\cdot\bar{b}) + (9 + 4 + 12\bar{a}\cdot\bar{c})$
$= 26 + 12(\bar{a}\cdot(\bar{b}+\bar{c}))$
$= 26 + 12(-3) = 26 - 36 = -10$.
તેથી $-10 \neq 10$,વિધાન $(II)$ ખોટું છે.
તેથી,બંને વિધાનો ખોટા છે.

(B) આપેલ છે કે $A(\vec{a}), B(\vec{b}), C(\vec{c}), D(\vec{d})$ એ ચાર એકવર્તુળીય બિંદુઓ છે જેથી $x\vec{a}+y\vec{b}+z\vec{c}+t\vec{d}=\vec{0}$ અને $x+y+z+t=0$.
જ્યારે $A, B, C, D$ એકવર્તુળીય હોય અને જીવાઓ $AB$ અને $CD$ બિંદુ $P$ પર છેદે,ત્યારે બિંદુના પાવર પ્રમેય મુજબ,$PA \cdot PB = PC \cdot PD$ થાય.
જીવા $AB$ અને $CD$ ના છેદબિંદુ $P$ માટે વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને,આપણે $P$ ને સ્થાન સદિશોના સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકીએ છીએ.
જીવા $AB$ માટે,$P$ એ $AB$ નું $k_1 : k_2$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે,તેથી $\vec{p} = \frac{k_2\vec{a} + k_1\vec{b}}{k_1+k_2}$.
જીવા $CD$ માટે,$P$ એ $CD$ નું $k_3 : k_4$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે,તેથી $\vec{p} = \frac{k_4\vec{c} + k_3\vec{d}}{k_3+k_4}$.
આ બંનેને સરખાવતા અને આપેલ સુરેખ સંયોજન $x\vec{a}+y\vec{b}+z\vec{c}+t\vec{d}=\vec{0}$ સાથે સરખાવતા,આપણે સહગુણકો ઓળખી શકીએ છીએ.
વર્તુળમાં છેદતી જીવાઓની ભૂમિતિ પરથી,જીવાઓના ખંડોનો ગુણાકાર $|xy||\vec{a}-\vec{b}|^2 = |zt||\vec{c}-\vec{d}|^2$ સંબંધનું પાલન કરે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) $\triangle ABC$ ના પ્રકાર અથવા બિંદુઓ $A, B, C$ ની સમરેખતા નક્કી કરવા માટે,આપણે સ્થાન સદિશો વચ્ચેના અંતરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને બાજુઓની લંબાઈ ગણીએ છીએ: $d = |\vec{P_2} - \vec{P_1}|$.
$A$. આપેલ છે $a = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}, b = 3\hat{i} + 4\hat{j} + 2\hat{k}, c = 4\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$.
$|AB| = |(3-2)\hat{i} + (4-3)\hat{j} + (2-4)\hat{k}| = |\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{6}$.
$|BC| = |(4-3)\hat{i} + (2-4)\hat{j} + (3-2)\hat{k}| = |\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{6}$.
$|CA| = |(2-4)\hat{i} + (3-2)\hat{j} + (4-3)\hat{k}| = |-2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{6}$.
કારણ કે $|AB| = |BC| = |CA| = \sqrt{6}$,$\triangle ABC$ એ સમબાજુ ત્રિકોણ છે. તેથી,$A-I$.
$B$. આપેલ છે $a = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}, b = 3\hat{i} + 4\hat{j} + 7\hat{k}, c = -3\hat{i} - 2\hat{j} - 5\hat{k}$.
$|AB| = |2\hat{i} + 2\hat{j} + 4\hat{k}| = \sqrt{4+4+16} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$.
$|BC| = |-6\hat{i} - 6\hat{j} - 12\hat{k}| = \sqrt{36+36+144} = \sqrt{216} = 6\sqrt{6}$.
$|CA| = |-4\hat{i} - 4\hat{j} - 8\hat{k}| = \sqrt{16+16+64} = \sqrt{96} = 4\sqrt{6}$.
કારણ કે $|AB| + |CA| = 2\sqrt{6} + 4\sqrt{6} = 6\sqrt{6} = |BC|$,બિંદુઓ સમરેખ છે. તેથી,$B-IV$.
$C$. આપેલ છે $a = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}, b = \hat{i} - 3\hat{j} - 5\hat{k}, c = -3\hat{i} - 4\hat{j} - 4\hat{k}$.
$|AB| = |-\hat{i} - 2\hat{j} - 6\hat{k}| = \sqrt{1+4+36} = \sqrt{41}$.
$|BC| = |-4\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}| = \sqrt{16+1+1} = \sqrt{18}$.
$|CA| = |-5\hat{i} - 3\hat{j} - 5\hat{k}| = \sqrt{25+9+25} = \sqrt{59}$.
$|AB|^2 + |BC|^2 = 41 + 18 = 59 = |CA|^2$. તેથી,$\triangle ABC$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે. તેથી,$C-III$.
$D$. આપેલ છે $a = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}, b = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}, c = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$.
$|AB| = |0\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}| = \sqrt{0+1+4} = \sqrt{5}$.
$|BC| = |\hat{i} - 3\hat{j} - 2\hat{k}| = \sqrt{1+9+4} = \sqrt{14}$.
$|CA| = |\hat{i} - 2\hat{j} + 0\hat{k}| = \sqrt{1+4+0} = \sqrt{5}$.
કારણ કે $|AB| = |CA| = \sqrt{5}$,$\triangle ABC$ એ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે. તેથી,$D-II$.

(B) આપેલ છે કે $a, b, c$ પરસ્પર લંબ સદિશો છે,તેથી $a \cdot b = b \cdot c = c \cdot a = 0$.
ધારો કે $|a| = k$. તો $|b| = \frac{1}{2}k$ અને $|c| = \frac{\sqrt{3}}{2}k$.
સૌ પ્રથમ,સદિશ $a+b+c$ નું માન શોધીએ:
$|a+b+c|^2 = |a|^2 + |b|^2 + |c|^2 = k^2 + \left(\frac{1}{2}k\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}k\right)^2 = k^2 + \frac{1}{4}k^2 + \frac{3}{4}k^2 = 2k^2$.
તેથી,$|a+b+c| = \sqrt{2}k$.
હવે,ધારો કે $(a+b+c)$ અને $b$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે.
ડોટ પ્રોડક્ટના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\cos \theta = \frac{(a+b+c) \cdot b}{|a+b+c| |b|}$.
કારણ કે $a \cdot b = 0$ અને $c \cdot b = 0$,તેથી $(a+b+c) \cdot b = a \cdot b + b \cdot b + c \cdot b = 0 + |b|^2 + 0 = |b|^2$.
કિંમતો મૂકતા:
$\cos \theta = \frac{|b|^2}{|a+b+c| |b|} = \frac{|b|}{|a+b+c|} = \frac{\frac{1}{2}k}{\sqrt{2}k} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{2\sqrt{2}}\right)$.

(A) આપેલ છે કે,$|b|=2|a|$ અને $|c|=3|a|$.
દરેક સદિશની જોડી વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{3}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|a+b+c|^2 = |a|^2 + |b|^2 + |c|^2 + 2|a||b| \cos(\frac{\pi}{3}) + 2|b||c| \cos(\frac{\pi}{3}) + 2|a||c| \cos(\frac{\pi}{3})$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$|a+b+c|^2 = |a|^2 + (2|a|)^2 + (3|a|)^2 + 2|a|(2|a|)(\frac{1}{2}) + 2(2|a|)(3|a|)(\frac{1}{2}) + 2|a|(3|a|)(\frac{1}{2})$.
$25 = |a|^2 + 4|a|^2 + 9|a|^2 + 2|a|^2 + 6|a|^2 + 3|a|^2$.
$25 = 25|a|^2$.
$|a|^2 = 1 \Rightarrow |a| = 1$.
આમ,$|b| = 2(1) = 2$ અને $|c| = 3(1) = 3$.
તેથી,$|c| + |a| + |b| = 3 + 1 + 2 = 6$.

(D) આપેલ છે કે,$a = 3\hat{j} + 4\hat{k}$ અને $b = \hat{i} + \hat{j}$.
કારણ કે $a = a_1 + a_2$ અને $a_1$ એ $b$ ને સમાંતર છે,આપણે $a_1 = \lambda b = \lambda(\hat{i} + \hat{j})$ લખી શકીએ,જ્યાં $\lambda$ એક અદિશ છે.
કારણ કે $a_2$ એ $b$ ને લંબ છે,તેથી $a_2 \cdot b = 0$ થાય.
$a_2 = a - a_1$ મૂકતા,આપણને $(a - a_1) \cdot b = 0$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $a \cdot b = a_1 \cdot b$.
$a \cdot b = (3\hat{j} + 4\hat{k}) \cdot (\hat{i} + \hat{j}) = 3$ ની ગણતરી કરતા.
$a_1 \cdot b = \lambda(\hat{i} + \hat{j}) \cdot (\hat{i} + \hat{j}) = \lambda(1^2 + 1^2) = 2\lambda$ ની ગણતરી કરતા.
બંનેને સરખાવતા,$2\lambda = 3$,તેથી $\lambda = \frac{3}{2}$.
આમ,$a_1 = \frac{3}{2}(\hat{i} + \hat{j})$.