Scalar or Dot product of two vectors and its applications Questions in Gujarati

(B) આપેલ છે કે,$|\vec{a} \cdot \vec{b}|=|\vec{a} \times \vec{b}|$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|\vec{a} \cdot \vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}| |\cos \theta|$ અને $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}| |\sin \theta|$,જ્યાં $\theta$ એ સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
તેથી,$|\vec{a}||\vec{b}| |\cos \theta| = |\vec{a}||\vec{b}| |\sin \theta|$
$|\cos \theta| = |\sin \theta|$
$|\tan \theta| = 1$
આથી $\theta = \frac{\pi}{4}$ અથવા $\theta = \frac{3\pi}{4}$ મળે.
આપેલ છે કે $\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} < 0$,જેનો અર્થ છે કે $\cos \theta < 0$.
કારણ કે $\cos(\frac{3\pi}{4}) = -\frac{1}{\sqrt{2}} < 0$ છે,તેથી ખૂણો $\theta = \frac{3\pi}{4}$ થાય.
નોંધો કે $\sec^{-1}(-\sqrt{2}) = \frac{3\pi}{4}$ કારણ કે $\sec(\frac{3\pi}{4}) = -\sqrt{2}$ થાય છે.

(A) આપેલ સદિશો $\vec{u} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}$,$\vec{v} = -3\hat{i} + 2\hat{j}$,અને $\vec{w} = \hat{i} - \hat{j} + 4\hat{k}$ છે.
બે સદિશો લંબ હોય જો તેમનો અદિશ ગુણાકાર (dot product) $0$ થાય.
પ્રથમ,$\vec{u} \cdot \vec{v} = (2)(-3) + (3)(2) + (1)(0) = -6 + 6 + 0 = 0$ ગણીએ. અદિશ ગુણાકાર $0$ હોવાથી,$\vec{u} \perp \vec{v}$ છે.
ત્યારબાદ,$\vec{u} \cdot \vec{w} = (2)(1) + (3)(-1) + (1)(4) = 2 - 3 + 4 = 3 \neq 0$ ગણીએ. તેથી,$\vec{u}$ એ $\vec{w}$ ને લંબ નથી.
અંતે,$\vec{v} \cdot \vec{w} = (-3)(1) + (2)(-1) + (0)(4) = -3 - 2 + 0 = -5 \neq 0$ ગણીએ. તેથી,$\vec{v}$ એ $\vec{w}$ ને લંબ નથી.
આમ,$\vec{u}$ એ $\vec{v}$ ને લંબ છે પણ $\vec{w}$ ને નહીં.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ બે સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ માટે,ક્રોસ પ્રોડક્ટનું મૂલ્ય $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta$ છે,જ્યાં $\theta$ એ તેમની વચ્ચેનો ખૂણો છે. બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $(\vec{a} \times \vec{b})^2 = |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 \sin^2 \theta$ મળે છે.
તે જ રીતે,ડોટ પ્રોડક્ટ $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$ છે. બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $(\vec{a} \cdot \vec{b})^2 = |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 \cos^2 \theta$ મળે છે.
આ કિંમતોને આપેલ પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{(\vec{a} \times \vec{b})^2 + (\vec{a} \cdot \vec{b})^2}{2|\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2} = \frac{|\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 \sin^2 \theta + |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 \cos^2 \theta}{2|\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2}$
$= \frac{|\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)}{2|\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2}$
કારણ કે $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ હોવાથી,પદાવલિનું સાદું રૂપ નીચે મુજબ થશે:
$= \frac{|\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 (1)}{2|\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2} = \frac{1}{2}$.

(C) બે સદિશો $\vec{u}$ અને $\vec{v}$ ના સદિશ ગુણાકારનું માન $|\vec{u} \times \vec{v}| = |\vec{u}||\vec{v}| \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ તેમની વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આપેલ છે કે $\theta = 45^{\circ}$,તેથી $|\vec{u} \times \vec{v}| = |\vec{u}||\vec{v}| \sin 45^{\circ} = |\vec{u}||\vec{v}| \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)$.
બે સદિશોનો અદિશ ગુણાકાર $\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}||\vec{v}| \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\theta = 45^{\circ}$ માટે,$\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}||\vec{v}| \cos 45^{\circ} = |\vec{u}||\vec{v}| \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)$.
કારણ કે $\sin 45^{\circ} = \cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,તેથી સાબિત થાય છે કે $|\vec{u} \times \vec{v}| = \vec{u} \cdot \vec{v}$.

(A) આપણને $\vec{a} = 3 \hat{i} - \hat{j}$ અને $\vec{b} = 2 \hat{i} + \hat{j} - 3 \hat{k}$ આપેલ છે.
કારણ કે $\overrightarrow{b_1}$ એ $\vec{a}$ ને સમાંતર છે,આપણે લખી શકીએ $\overrightarrow{b_1} = \lambda \vec{a} = \lambda(3 \hat{i} - \hat{j}) = 3\lambda \hat{i} - \lambda \hat{j}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\vec{b} = \overrightarrow{b_1} + \overrightarrow{b_2}$,તેથી $\overrightarrow{b_2} = \vec{b} - \overrightarrow{b_1} = (2 - 3\lambda) \hat{i} + (1 + \lambda) \hat{j} - 3 \hat{k}$.
કારણ કે $\overrightarrow{b_2}$ એ $\vec{a}$ ને લંબ છે,તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય: $\overrightarrow{b_2} \cdot \vec{a} = 0$.
$(2 - 3\lambda)(3) + (1 + \lambda)(-1) + (-3)(0) = 0$.
$6 - 9\lambda - 1 - \lambda = 0$.
$5 - 10\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = \frac{1}{2}$.
$\lambda = \frac{1}{2}$ ને $\overrightarrow{b_2}$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\overrightarrow{b_2} = (2 - 3(\frac{1}{2})) \hat{i} + (1 + \frac{1}{2}) \hat{j} - 3 \hat{k}$.
$\overrightarrow{b_2} = (2 - \frac{3}{2}) \hat{i} + (\frac{3}{2}) \hat{j} - 3 \hat{k} = \frac{1}{2} \hat{i} + \frac{3}{2} \hat{j} - 3 \hat{k}$.

(A) આપેલ છે કે,$a, b, c, d$ સદિશો છે જ્યાં $|d|=1$.
આપેલ સમીકરણો નીચે મુજબ છે:
$a+b+c=s d$ $(1)$
$b+c+d=a$ $(2)$
સમીકરણ $(2)$ પરથી,આપણે $b+c = a-d$ લખી શકીએ.
આ કિંમતને સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$a + (a-d) = s d$
$2a - d = s d$
$2a = (s+1) d$
$a = \frac{s+1}{2} d$
આપેલ છે કે $a \cdot d = 4$. $a$ ની કિંમત મૂકતા:
$\left(\frac{s+1}{2} d\right) \cdot d = 4$
કારણ કે $|d|=1$,તેથી $d \cdot d = |d|^2 = 1^2 = 1$.
$\frac{s+1}{2} (1) = 4$
$s+1 = 8$
$s = 7$.

(B) આપેલ છે કે,$A = 2 \hat{i} + \log_2 x \hat{j} + s \hat{k}$ અને $B = \log_2 x \hat{i} + s \hat{j} + \log_2 x \hat{k}$ છે.
ધારો કે $A$ અને $B$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે. તો,$\cos \theta = \frac{A \cdot B}{|A| |B|}$ થાય.
$A \cdot B = (2)(\log_2 x) + (\log_2 x)(s) + (s)(\log_2 x) = 2 \log_2 x + 2s \log_2 x = 2 \log_2 x (1 + s)$ થાય.
જો $\theta$ લઘુકોણ હોય,તો $\cos \theta > 0$ હોવું જોઈએ.
કારણ કે $|A| > 0$ અને $|B| > 0$ છે,તેથી $\cos \theta > 0$ ની શરતનો અર્થ એ છે કે $A \cdot B > 0$ થાય.
તેથી,$2 \log_2 x (1 + s) > 0$ થાય.
આપેલ છે કે $\log_2 x > 0$,તેથી અસમતાની નિશાની બદલ્યા વગર આપણે $2 \log_2 x$ વડે ભાગી શકીએ છીએ.
આમ,$1 + s > 0$,જેનો અર્થ છે કે $s > -1$ થાય.

(D) આપેલ છે કે $A = \hat{i} + 2 \hat{j}$.
ધારો કે $B = x \hat{i} + y \hat{j}$.
આપણને સમીકરણો $(A + B) \cdot B = 15$ અને $A \cdot B = 6$ આપેલા છે.
પ્રથમ સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા: $A \cdot B + B \cdot B = 15$.
કારણ કે $B \cdot B = |B|^2$,તેથી $A \cdot B + |B|^2 = 15$.
$A \cdot B = 6$ ની કિંમત મૂકતા:
$6 + |B|^2 = 15$.
$|B|^2 = 15 - 6 = 9$.
તેથી,$|B| = \sqrt{9} = 3$.

(B) આપેલ છે કે $a, b, c$ ત્રણ સદિશો છે જ્યાં $|a|=3, |b|=4, |c|=5$ અને $a+b+c=0$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $a+b+c=0$,તેથી $a+b=-c$ લખી શકાય.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(a+b)^2 = (-c)^2$ મળે.
ડોટ પ્રોડક્ટના નિયમ મુજબ,$|a|^2 + |b|^2 + 2(a \cdot b) = |c|^2$ થાય.
આપેલ મૂલ્યો મૂકતા: $3^2 + 4^2 + 2(a \cdot b) = 5^2$.
$9 + 16 + 2(a \cdot b) = 25$.
$25 + 2(a \cdot b) = 25$.
$2(a \cdot b) = 0$.
તેથી,$a \cdot b = 0$.

(D) આપેલ સદિશો $a = x^2 \hat{i} + x \hat{j} + 3 \hat{k}$ અને $b = x \hat{i} - 4 \hat{j} + 2 \hat{k}$ છે.
આપણને શરત $a \cdot b > 6$ આપેલી છે.
બે સદિશો $a = a_1 \hat{i} + b_1 \hat{j} + c_1 \hat{k}$ અને $b = a_2 \hat{i} + b_2 \hat{j} + c_2 \hat{k}$ નો અદિશ ગુણાકાર $a \cdot b = a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
આપેલ સદિશોને મૂકતા:
$(x^2 \hat{i} + x \hat{j} + 3 \hat{k}) \cdot (x \hat{i} - 4 \hat{j} + 2 \hat{k}) > 6$
$x^2(x) + x(-4) + 3(2) > 6$
$x^3 - 4x + 6 > 6$
$x^3 - 4x > 0$
$x(x^2 - 4) > 0$
$x(x - 2)(x + 2) > 0$
વેવી કર્વ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતા,નિર્ણાયક બિંદુઓ $x = -2, 0, 2$ છે.
અંતરાલો તપાસતા:
$x > 2$ માટે,$x(x-2)(x+2) > 0$ (ધન).
$0 < x < 2$ માટે,$x(x-2)(x+2) < 0$ (ઋણ).
$-2 < x < 0$ માટે,$x(x-2)(x+2) > 0$ (ધન).
$x < -2$ માટે,$x(x-2)(x+2) < 0$ (ઋણ).
આમ,ઉકેલ $x \in (-2, 0) \cup (2, \infty)$ છે.

(B) આપેલ છે કે $A(4,3,5)$,$B(0,6,0)$,$C(-8,1,4)$ અને $D$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના શિરોબિંદુઓ છે.
ધારો કે $D$ એ $(x, y, z)$ બિંદુ છે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો એકબીજાને દુભાગે છે,તેથી $AC$ નું મધ્યબિંદુ એ $BD$ ના મધ્યબિંદુ જેટલું થાય.
$\left(\frac{4+(-8)}{2}, \frac{3+1}{2}, \frac{5+4}{2}\right) = \left(\frac{x+0}{2}, \frac{y+6}{2}, \frac{z+0}{2}\right)$
$\left(-2, 2, \frac{9}{2}\right) = \left(\frac{x}{2}, \frac{y+6}{2}, \frac{z}{2}\right)$
યામોને સરખાવતા,આપણને $x = -4$,$y = -2$,$z = 9$ મળે છે.
આમ,$D$ એ $(-4, -2, 9)$ છે.
હવે,સદિશ $\vec{AC} = (-8-4)\hat{i} + (1-3)\hat{j} + (4-5)\hat{k} = -12\hat{i} - 2\hat{j} - \hat{k}$.
સદિશ $\vec{BD} = (-4-0)\hat{i} + (-2-6)\hat{j} + (9-0)\hat{k} = -4\hat{i} - 8\hat{j} + 9\hat{k}$.
ધારો કે $\theta$ એ $\vec{AC}$ અને $\vec{BD}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
$\cos \theta = \frac{|\vec{AC} \cdot \vec{BD}|}{|\vec{AC}| |\vec{BD}|} = \frac{|(-12)(-4) + (-2)(-8) + (-1)(9)|}{\sqrt{(-12)^2 + (-2)^2 + (-1)^2} \sqrt{(-4)^2 + (-8)^2 + 9^2}}$
$\cos \theta = \frac{|48 + 16 - 9|}{\sqrt{144 + 4 + 1} \sqrt{16 + 64 + 81}} = \frac{55}{\sqrt{149} \sqrt{161}}$
તેથી,$\theta = \cos ^{-1}\left(\frac{55}{\sqrt{149} \sqrt{161}}\right)$.

(D) આપેલ છે કે,$|a| = 7$ અને $|b| = 8$.
બે સદિશોનો અદિશ ગુણાકાર $a \cdot b = |a||b| \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો છે.
બંને બાજુ માન લેતા,આપણને $|a \cdot b| = |a||b| |\cos \theta|$ મળે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા,$|a \cdot b| = 7 \times 8 |\cos \theta| = 56 |\cos \theta|$.
$|\cos \theta|$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $1$ છે,જે $\theta = 0$ અથવા $\theta = \pi$ હોય ત્યારે મળે છે.
તેથી,$|a \cdot b|$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $56 \times 1 = 56$ થાય છે.

(A) આપેલ સદિશો $a=\hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}$,$b=2 \hat{i}+4 \hat{j}+\hat{k}$ અને $c=\lambda \hat{i}+\hat{j}+\mu \hat{k}$ છે.
સદિશો પરસ્પર લંબ હોવાથી,તેમનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$a \cdot c = 0 \implies (1)(\lambda) + (-1)(1) + (2)(\mu) = 0 \implies \lambda + 2\mu = 1$ ...$(i)$
$b \cdot c = 0 \implies (2)(\lambda) + (4)(1) + (1)(\mu) = 0 \implies 2\lambda + \mu = -4$ ...(ii)
સમીકરણ (ii) પરથી,$\mu = -4 - 2\lambda$ મળે.
આ કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$\lambda + 2(-4 - 2\lambda) = 1$
$\lambda - 8 - 4\lambda = 1$
$-3\lambda = 9 \implies \lambda = -3$.
હવે,$\lambda = -3$ ને $\mu = -4 - 2\lambda$ માં મૂકતા:
$\mu = -4 - 2(-3) = -4 + 6 = 2$.
આમ,$(\lambda, \mu) = (-3, 2)$ થાય.

(B) આપેલ સદિશો $a = t^2 \hat{i} + e^t \hat{j} + \hat{k}$ અને $b = 2 \hat{i} + t^2 \hat{j} + \log t \hat{k}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે અદિશ ગુણાકાર $f(t) = a \cdot b$ એ અનુરૂપ ઘટકોના ગુણાકારનો સરવાળો છે:
$f(t) = (t^2)(2) + (e^t)(t^2) + (1)(\log t) = 2t^2 + t^2 e^t + \log t$.
હવે,$f(t)$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$f^{\prime}(t) = \frac{d}{dt}(2t^2) + \frac{d}{dt}(t^2 e^t) + \frac{d}{dt}(\log t)$
$f^{\prime}(t) = 4t + (2t e^t + t^2 e^t) + \frac{1}{t}$.
$f^{\prime}(1)$ શોધવા માટે,$t = 1$ મૂકતા:
$f^{\prime}(1) = 4(1) + (2(1) e^1 + (1)^2 e^1) + \frac{1}{1}$
$f^{\prime}(1) = 4 + 2e + e + 1$
$f^{\prime}(1) = 5 + 3e$.

(C) આપેલ છે કે $u$ અને $v$ એ $\mathbb{R}^3$ માં શૂન્યતર સદિશો છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે સદિશ ગુણાકારનું માન $|u \times v| = |u||v| \sin \theta$ છે અને અદિશ ગુણાકાર $u \cdot v = |u||v| \cos \theta$ છે,જ્યાં $\theta$ એ સદિશો $u$ અને $v$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આ કિંમતોને $|u \times v|^2 + |u \cdot v|^2$ પદમાં મૂકતા:
$|u \times v|^2 + |u \cdot v|^2 = (|u||v| \sin \theta)^2 + (|u||v| \cos \theta)^2$
$= |u|^2|v|^2 \sin^2 \theta + |u|^2|v|^2 \cos^2 \theta$
$= |u|^2|v|^2 (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)$
કારણ કે $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,તેથી આપણને મળે છે:
$= |u|^2|v|^2(1) = |u|^2|v|^2$.

(B) આપેલ છે કે $B = 3\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}$ અને $C = 5\hat{i}+\hat{j}-3\hat{k}$.
સદિશ $\vec{BC} = C - B = (5-3)\hat{i} + (1-(-2))\hat{j} + (-3-1)\hat{k} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - 4\hat{k}$.
કારણ કે $\max \{AB, BC, AC\} = BC$,તેથી $BC$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle ABC$ નો કર્ણ છે,જેનો અર્થ છે કે $\angle A = 90^{\circ}$.
તેથી,$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 0$.
આપણે $\vec{AB} \cdot \vec{AC} + \vec{BA} \cdot \vec{BC} + \vec{CA} \cdot \vec{CB}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 0$ હોવાથી,પદાવલિ $\vec{BA} \cdot \vec{BC} + \vec{CA} \cdot \vec{CB}$ બને છે.
$\triangle ABC$ માં પ્રક્ષેપ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\vec{BA} \cdot \vec{BC} = |\vec{BA}| |\vec{BC}| \cos B = |\vec{BA}|^2$ અને $\vec{CA} \cdot \vec{CB} = |\vec{CA}| |\vec{CB}| \cos C = |\vec{CA}|^2$.
આમ,પદાવલિ $|\vec{BA}|^2 + |\vec{CA}|^2$ થાય છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$|\vec{BA}|^2 + |\vec{CA}|^2 = |\vec{BC}|^2$.
$|\vec{BC}|^2 = (2)^2 + (3)^2 + (-4)^2 = 4 + 9 + 16 = 29$.

(D) આપેલ છે કે,$a+b+c=0$.
આનો અર્થ એ થાય કે $a+b=-c$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે $(a+b)^2 = (-c)^2$.
$|a|^2 + |b|^2 + 2(a \cdot b) = |c|^2$.
આપેલ મૂલ્યો $|a|=3, |b|=5, |c|=7$ મૂકતા:
$3^2 + 5^2 + 2|a||b| \cos \theta = 7^2$.
$9 + 25 + 2(3)(5) \cos \theta = 49$.
$34 + 30 \cos \theta = 49$.
$30 \cos \theta = 49 - 34$.
$30 \cos \theta = 15$.
$\cos \theta = \frac{15}{30} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}(\frac{1}{2}) = 60^{\circ}$.

(C) આપેલ છે કે,$r \times b = c \times b$.
આનો અર્થ એ થાય કે $(r - c) \times b = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $(r - c)$ એ $b$ ને સમાંતર છે,તેથી આપણે કોઈ અદિશ $\lambda$ માટે $(r - c) = \lambda b$ લખી શકીએ.
આમ,$r = c + \lambda b$ ...$(i)$.
આપણને એ પણ આપેલ છે કે $r \cdot a = 0$.
$(i)$ માંથી $r$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $(c + \lambda b) \cdot a = 0$ મળે છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા $c \cdot a + \lambda (b \cdot a) = 0$ મળે છે.
$\lambda$ માટે ઉકેલતા,આપણને $\lambda = -\frac{c \cdot a}{b \cdot a}$ મળે છે ...(ii).
$\lambda$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા,આપણને $r = c - \left( \frac{c \cdot a}{b \cdot a} \right) b$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે,$|u|=3$,$|v|=5$,અને $|w|=7$.
$u+v+w=0$ હોવાથી,આપણે $u+v=-w$ લખી શકીએ.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $|u+v|^2 = |-w|^2$ મળે.
$|a+b|^2 = |a|^2 + |b|^2 + 2(u \cdot v)$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$|u|^2 + |v|^2 + 2|u||v| \cos \theta = |w|^2$,જ્યાં $\theta$ એ $u$ અને $v$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$3^2 + 5^2 + 2(3)(5) \cos \theta = 7^2$
$9 + 25 + 30 \cos \theta = 49$
$34 + 30 \cos \theta = 49$
$30 \cos \theta = 49 - 34$
$30 \cos \theta = 15$
$\cos \theta = \frac{15}{30} = \frac{1}{2}$
તેથી,$\theta = 60^{\circ}$.

(A) ધારો કે બિંદુઓ $A$ અને $B$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $a$ અને $b$ છે. રેખાખંડ $AB$ ના મધ્યબિંદુ $M$ નો સ્થાન સદિશ $\frac{a+b}{2}$ છે.
લંબદ્વિભાજક $M$ માંથી પસાર થાય છે અને સદિશ $\vec{AB} = b - a$ (અથવા $a - b$) ને લંબ છે.
ધારો કે $P$ એ લંબદ્વિભાજક પરનું કોઈપણ બિંદુ છે જેનો સ્થાન સદિશ $r$ છે. તો સદિશ $\vec{MP} = r - \frac{a+b}{2}$ એ સદિશ $\vec{AB} = a - b$ ને લંબ હોવો જોઈએ.
બે લંબ સદિશોનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય હોવાથી,આપણને મળે છે:
$\left(r - \frac{a+b}{2}\right) \cdot (a - b) = 0$
$2$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$(2r - (a + b)) \cdot (a - b) = 0$
આમ,સમીકરણ $(2r - a - b) \cdot (a - b) = 0$ છે.

(C) આપેલ સદિશો $a = 2\hat{i} + \hat{j} - 3\hat{k}$ અને $b = 3\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ છે.
પ્રથમ,$2a + b$ ની ગણતરી કરો:
$2a + b = 2(2\hat{i} + \hat{j} - 3\hat{k}) + (3\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}) = (4\hat{i} + 2\hat{j} - 6\hat{k}) + (3\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}) = 7\hat{i} + \hat{j} - 4\hat{k}$.
ત્યારબાદ,$a + 2b$ ની ગણતરી કરો:
$a + 2b = (2\hat{i} + \hat{j} - 3\hat{k}) + 2(3\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}) = (2\hat{i} + \hat{j} - 3\hat{k}) + (6\hat{i} - 2\hat{j} + 4\hat{k}) = 8\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$.
ધારો કે $u = 2a + b = 7\hat{i} + \hat{j} - 4\hat{k}$ અને $v = a + 2b = 8\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$.
$u$ અને $v$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\cos \theta = \frac{u \cdot v}{|u| |v|}$ દ્વારા મળે છે.
$u \cdot v = (7)(8) + (1)(-1) + (-4)(1) = 56 - 1 - 4 = 51$.
$|u| = \sqrt{7^2 + 1^2 + (-4)^2} = \sqrt{49 + 1 + 16} = \sqrt{66}$.
$|v| = \sqrt{8^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{64 + 1 + 1} = \sqrt{66}$.
તેથી,$\cos \theta = \frac{51}{\sqrt{66} \sqrt{66}} = \frac{51}{66}$.
આમ,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{51}{66}\right)$.

(A) ધારો કે સદિશ $u = -2 \hat{i} + 2 \hat{j} + \hat{k}$ અને $v = \hat{i} - 2 \hat{j} + 2 \hat{k}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે.
અદિશ ગુણાકારના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\cos \theta = \frac{u \cdot v}{|u||v|}$.
પ્રથમ,અદિશ ગુણાકાર શોધો: $u \cdot v = (-2)(1) + (2)(-2) + (1)(2) = -2 - 4 + 2 = -4$.
ત્યારબાદ,માન શોધો: $|u| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$ અને $|v| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા: $\cos \theta = \frac{-4}{3 \times 3} = -\frac{4}{9}$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}\left(-\frac{4}{9}\right)$.
નોંધ: આપેલા વિકલ્પોમાં $\cos^{-1}\left(\frac{4}{9}\right)$ હોવાથી,વિકલ્પ $A$ સાચો ગણવામાં આવે છે.

(B) આપેલ છે: $p \times q = p \times r$ અને $p \cdot q = p \cdot r$
$p \times q = p \times r$ પરથી,આપણને મળે છે:
$p \times q - p \times r = 0$
$p \times (q - r) = 0$
આ સૂચવે છે કે $p$ એ $(q - r)$ ને સમાંતર છે અથવા $(q - r) = 0$ છે.
$p \cdot q = p \cdot r$ પરથી,આપણને મળે છે:
$p \cdot q - p \cdot r = 0$
$p \cdot (q - r) = 0$
આ સૂચવે છે કે $p$ એ $(q - r)$ ને લંબ છે અથવા $(q - r) = 0$ છે.
કારણ કે $p$ એ શૂન્યતર સદિશ $(q - r)$ ને એકસાથે સમાંતર અને લંબ હોઈ શકે નહીં,તેથી $(q - r) = 0$ હોવું જોઈએ.
તેથી,$q = r$ ($p \neq 0$ ધારીને).
આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(C) આપેલ છે કે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = 1$.
આપેલ સમીકરણ $\vec{a} + \vec{b} = -\sqrt{3} \vec{c}$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |-\sqrt{3} \vec{c}|^2$ મળે.
$|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 3|\vec{c}|^2$.
કિંમતો મૂકતા,$1^2 + 1^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 3(1)^2$.
$2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 3$.
$2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 1$.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$,જ્યાં $\theta$ એ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
$\frac{1}{2} = (1)(1) \cos \theta$.
$\cos \theta = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\theta = \frac{\pi}{3}$.

(B) સ્થાન સદિશો $\vec{A} = \hat{i} + 2\hat{j} - 5\hat{k}$,$\vec{B} = -2\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$,અને $\vec{C} = 2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ છે.
આપણે $\angle B$ શોધવાની જરૂર છે,જે સદિશો $\vec{BA}$ અને $\vec{BC}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
$\vec{BA} = \vec{A} - \vec{B} = (1 - (-2))\hat{i} + (2 - 2)\hat{j} + (-5 - 1)\hat{k} = 3\hat{i} - 6\hat{k}$.
$\vec{BC} = \vec{C} - \vec{B} = (2 - (-2))\hat{i} + (1 - 2)\hat{j} + (-1 - 1)\hat{k} = 4\hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k}$.
ખૂણા $\angle B$ નો કોસાઇન $\cos(\angle B) = \frac{\vec{BA} \cdot \vec{BC}}{|\vec{BA}| |\vec{BC}|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\vec{BA} \cdot \vec{BC} = (3)(4) + (0)(-1) + (-6)(-2) = 12 + 0 + 12 = 24$.
$|\vec{BA}| = \sqrt{3^2 + 0^2 + (-6)^2} = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$.
$|\vec{BC}| = \sqrt{4^2 + (-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 1 + 4} = \sqrt{21}$.
$\cos(\angle B) = \frac{24}{3\sqrt{5} \times \sqrt{21}} = \frac{8}{\sqrt{5} \times \sqrt{21}} = \frac{8}{\sqrt{105}}$.
તેથી,$\angle B = \cos^{-1}\left(\frac{8}{\sqrt{105}}\right)$.

(B) આપેલ સમીકરણ $a+xb+yc=0$ છે.
બંને બાજુ $b$ સાથે સદિશ ગુણાકાર (cross product) લેતા:
$a \times b + x(b \times b) + y(c \times b) = 0$
$b \times b = 0$ હોવાથી,આપણને $a \times b = y(b \times c)$ મળે છે.
બંને બાજુ $c$ સાથે સદિશ ગુણાકાર લેતા:
$a \times c + x(b \times c) + y(c \times c) = 0$
$c \times c = 0$ હોવાથી,આપણને $c \times a = x(b \times c)$ મળે છે.
હવે,આ કિંમતોને આપેલ પદ $a \times b + b \times c + c \times a = 6(b \times c)$ માં મૂકતા:
$y(b \times c) + (b \times c) + x(b \times c) = 6(b \times c)$
$(x+y+1)(b \times c) = 6(b \times c)$
જો $b \times c \neq 0$ હોય,તો $x+y+1=6$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $x+y=5$ અથવા $x+y-5=0$ થાય છે.

(C) આપેલ છે કે,$r \cdot a = 0$ અને $r \times b = c \times b$.
$r \times b = c \times b$ પરથી,આપણને $(r - c) \times b = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે કોઈ અદિશ $k$ માટે $r - c = k b$.
તેથી,$r = c + k b$.
બંને બાજુ $a$ સાથે અદિશ ગુણાકાર લેતા:
$r \cdot a = (c + k b) \cdot a = c \cdot a + k (b \cdot a)$.
$r \cdot a = 0$ હોવાથી,$0 = c \cdot a + k (b \cdot a)$.
આમ,$k = -\frac{c \cdot a}{b \cdot a}$.
$k$ ની કિંમત $r$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$r = c - \left(\frac{c \cdot a}{b \cdot a}\right) b$.

(D) ધારો કે ઉગમબિંદુ $O$ ની સાપેક્ષમાં $A, B, C$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ છે.
આપેલ છે કે $\vec{a}+2\vec{b}+3\vec{c}=\vec{0}$.
$D$ એ $AC$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$D$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{d} = \frac{\vec{a}+\vec{c}}{2}$ છે.
$E$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$E$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{e} = \frac{\vec{b}+\vec{c}}{2}$ છે.
$\triangle ODE$ નું ક્ષેત્રફળ $\text{Area} = \frac{1}{2} |\vec{d} \times \vec{e}|$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{d}$ અને $\vec{e}$ ની કિંમતો મૂકતા:
$\text{Area} = \frac{1}{2} |(\frac{\vec{a}+\vec{c}}{2}) \times (\frac{\vec{b}+\vec{c}}{2})| = \frac{1}{8} |\vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c} + \vec{c} \times \vec{b} + \vec{c} \times \vec{c}|$.
$\vec{c} \times \vec{c} = \vec{0}$ હોવાથી,$\text{Area} = \frac{1}{8} |\vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c} - \vec{b} \times \vec{c}|$.
આપેલ સમીકરણ $\vec{a}+2\vec{b}+3\vec{c}=\vec{0}$ માં,$\vec{b}$ સાથે ક્રોસ પ્રોડક્ટ લેતા $\vec{a} \times \vec{b} + 3(\vec{c} \times \vec{b}) = \vec{0} \Rightarrow \vec{a} \times \vec{b} = 3(\vec{b} \times \vec{c})$ મળે.
$\vec{c}$ સાથે ક્રોસ પ્રોડક્ટ લેતા $\vec{a} \times \vec{c} + 2(\vec{b} \times \vec{c}) = \vec{0} \Rightarrow \vec{a} \times \vec{c} = 2(\vec{c} \times \vec{b})$ મળે.
આ કિંમતોને ક્ષેત્રફળના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\text{Area} = \frac{1}{8} |3(\vec{b} \times \vec{c}) + 2(\vec{c} \times \vec{b}) - (\vec{b} \times \vec{c})| = \frac{1}{8} |3(\vec{b} \times \vec{c}) - 2(\vec{b} \times \vec{c}) - (\vec{b} \times \vec{c})| = \frac{1}{8} |0| = 0$.

(D) આપેલ છે કે,$|a|=1, |b|=2, |c|=3$ અને $b \cdot c=0$.
$a$ ની દિશામાં $b$ નો પ્રક્ષેપ એ $a$ ની દિશામાં $c$ ના પ્રક્ષેપ જેટલો હોવાથી:
$\frac{a \cdot b}{|a|} = \frac{a \cdot c}{|a|} \implies a \cdot b = a \cdot c$.
હવે,આપણે $|2a+3b-3c|$ શોધવાનું છે.
ધારો કે $X = 2a+3b-3c$. તો $|X|^2 = (2a+3b-3c) \cdot (2a+3b-3c)$.
$|X|^2 = 4|a|^2 + 9|b|^2 + 9|c|^2 + 12(a \cdot b) - 18(b \cdot c) - 12(a \cdot c)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$|X|^2 = 4(1)^2 + 9(2)^2 + 9(3)^2 + 12(a \cdot b) - 18(0) - 12(a \cdot c)$.
$a \cdot b = a \cdot c$ હોવાથી,$12(a \cdot b)$ અને $-12(a \cdot c)$ પદો ઉડી જશે.
$|X|^2 = 4 + 36 + 81 + 0 = 121$.
તેથી,$|2a+3b-3c| = \sqrt{121} = 11$.

(B) આપેલ છે કે $|a|=3, |b|=5, |c|=7$.
સદિશ $a$ એ $(b+c)$ ને લંબ હોવાથી,$a \cdot (b+c) = 0 \implies a \cdot b + a \cdot c = 0$ ... $(i)$
સદિશ $b$ એ $(c+a)$ ને લંબ હોવાથી,$b \cdot (c+a) = 0 \implies b \cdot c + b \cdot a = 0$ ... $(ii)$
સદિશ $c$ એ $(a+b)$ ને લંબ હોવાથી,$c \cdot (a+b) = 0 \implies c \cdot a + c \cdot b = 0$ ... $(iii)$
સમીકરણો $(i), (ii)$ અને $(iii)$ નો સરવાળો કરતા,આપણને મળે છે:
$2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) = 0 \implies a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a = 0$.
હવે,આપણે $|a+b+c|^2$ ની ગણતરી કરીએ:
$|a+b+c|^2 = |a|^2 + |b|^2 + |c|^2 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a)$
$|a+b+c|^2 = (3)^2 + (5)^2 + (7)^2 + 2(0) = 9 + 25 + 49 = 83$.
અંતે,આપણે માંગેલ પદાવલિની કિંમત શોધીએ:
$\sqrt{(a+b+c)^2 - 2} = \sqrt{83 - 2} = \sqrt{81} = 9$.

(B) ધારો કે બિંદુઓ $A, B, C, D$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ છે.
આપેલ છે કે $|\vec{b}-\vec{a}|^2 + |\vec{d}-\vec{c}|^2 = |\vec{c}-\vec{b}|^2 + |\vec{a}-\vec{d}|^2$.
ડોટ પ્રોડક્ટના ગુણધર્મ $|\vec{x}-\vec{y}|^2 = |\vec{x}|^2 + |\vec{y}|^2 - 2\vec{x} \cdot \vec{y}$ નો ઉપયોગ કરીને વર્ગોનું વિસ્તરણ કરતા:
$|\vec{b}|^2 + |\vec{a}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{d}|^2 + |\vec{c}|^2 - 2\vec{c} \cdot \vec{d} = |\vec{c}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2\vec{b} \cdot \vec{c} + |\vec{a}|^2 + |\vec{d}|^2 - 2\vec{d} \cdot \vec{a}$.
બંને બાજુથી સમાન પદો $|\vec{a}|^2, |\vec{b}|^2, |\vec{c}|^2, |\vec{d}|^2$ ને દૂર કરતા:
$-2\vec{a} \cdot \vec{b} - 2\vec{c} \cdot \vec{d} = -2\vec{b} \cdot \vec{c} - 2\vec{d} \cdot \vec{a}$.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા:
$\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{c} \cdot \vec{d} - \vec{b} \cdot \vec{c} - \vec{d} \cdot \vec{a} = 0$.
પદાવલિનું અવયવીકરણ કરતા:
$(\vec{a}-\vec{c}) \cdot (\vec{b}-\vec{d}) = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $\vec{AC} \cdot \vec{DB} = 0$,જેનો અર્થ થાય છે કે $\vec{AC} \cdot \vec{BD} = 0$.

(A) $3D$ અવકાશમાં કોઈપણ સદિશ $a$ ને ત્રણ પરસ્પર લંબ સદિશો $b$,$c$,અને $b \times c$ ના રેખીય સંયોજન તરીકે દર્શાવી શકાય છે (ધારો કે $b$ અને $c$ સમાંતર નથી).
સદિશ $a$ નું ${b, c, b \times c}$ આધારના સંદર્ભમાં સામાન્ય વિસ્તરણ નીચે મુજબ છે:
$a = \left\{\frac{a \cdot b}{|b|^2}\right\} b + \left\{\frac{a \cdot c}{|c|^2}\right\} c + \left\{\frac{a \cdot (b \times c)}{|b \times c|^2}\right\} (b \times c)$
આપેલ પદાવલિ સાથે સરખાવતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે આ પદાવલિ બરાબર સદિશ $a$ છે.
તેથી,પદાવલિનું માન એ સદિશ $a$ ના માન જેટલું થાય.
$|a| = |\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}$.

(D) ધારો કે $ABC$ એક ત્રિકોણ છે જેના શિરોબિંદુઓ $A, B, C$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\alpha, \beta, \gamma$ છે. ધારો કે $AM$ એ $A$ માંથી $BC$ પરનો લંબ છે.
$\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ:
$\text{Area} = \frac{1}{2} |BC| \cdot |AM|$
સ્થાન સદિશોના સ્વરૂપમાં $\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ:
$\text{Area} = \frac{1}{2} |\alpha \times \beta + \beta \times \gamma + \gamma \times \alpha|$
બંને ક્ષેત્રફળને સરખાવતા:
$\frac{1}{2} |BC| \cdot |AM| = \frac{1}{2} |\alpha \times \beta + \beta \times \gamma + \gamma \times \alpha|$
અહીં બાજુ $BC$ ની લંબાઈ $|\gamma - \beta|$ છે,તેથી:
$|\gamma - \beta| \cdot |AM| = |\alpha \times \beta + \beta \times \gamma + \gamma \times \alpha|$
આમ,લંબ $AM$ ની લંબાઈ:
$|AM| = \frac{|\alpha \times \beta + \beta \times \gamma + \gamma \times \alpha|}{|\gamma - \beta|}$

(A) આપેલ સદિશો $\bar{a}=5\bar{m}-3\bar{n}$,$\bar{c}=-4\bar{m}-\bar{n}$,અને $\bar{d}=-\bar{m}+\bar{n}$ છે.
પ્રથમ,$\bar{x}$ ની ગણતરી કરો:
$\bar{x} = \frac{\bar{a}+\bar{c}+\bar{d}}{3} = \frac{(5\bar{m}-3\bar{n}) + (-4\bar{m}-\bar{n}) + (-\bar{m}+\bar{n})}{3} = \frac{0\bar{m}-3\bar{n}}{3} = -\bar{n}$.
ત્યારબાદ,$\bar{y}$ ની ગણતરી કરો:
$\bar{y} = \frac{\bar{c}+\bar{d}}{5} = \frac{(-4\bar{m}-\bar{n}) + (-\bar{m}+\bar{n})}{5} = \frac{-5\bar{m}}{5} = -\bar{m}$.
લંબચોરસની પાસપાસેની બાજુઓ હોવાથી $\bar{m}$ અને $\bar{n}$ પરસ્પર લંબ છે,તેથી $\bar{m} \cdot \bar{n} = 0$. તેથી,$\bar{x} = -\bar{n}$ અને $\bar{y} = -\bar{m}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{2}$ થાય.

(B) સ્થાન સદિશો $\vec{A} = 4\hat{i} + 7\hat{j} + 8\hat{k}$,$\vec{B} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}$,અને $\vec{C} = 2\hat{i} + 5\hat{j} + 7\hat{k}$ છે.
પ્રથમ,બાજુઓ $AB$ અને $AC$ ની લંબાઈ શોધો:
$AB = |\vec{B} - \vec{A}| = \sqrt{(-2)^2 + (-4)^2 + (-4)^2} = \sqrt{36} = 6$.
$AC = |\vec{C} - \vec{A}| = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{9} = 3$.
કોણ દ્વિભાજક પ્રમેય મુજબ,$D$ એ $BC$ નું $AB:AC = 6:3 = 2:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$D$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{D} = \frac{2\vec{C} + 1\vec{B}}{3} = 2\hat{i} + \frac{13}{3}\hat{j} + 6\hat{k}$ મળે છે.
હવે,$AD = |\vec{D} - \vec{A}| = |-2\hat{i} - \frac{8}{3}\hat{j} - 2\hat{k}| = \sqrt{4 + \frac{64}{9} + 4} = \sqrt{\frac{136}{9}} = \frac{2}{3}\sqrt{34}$.

(A) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A, B, C$ છે. આપેલ છે કે ત્રિકોણ $C$ આગળ કાટખૂણો ધરાવે છે,તેથી $\overrightarrow{CA} \perp \overrightarrow{CB}$,જેનો અર્થ છે કે $\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = 0$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB}$,તેથી $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CB}$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$E = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB}$
$E = \overrightarrow{AB} \cdot (\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CB}) + (-\overrightarrow{CB}) \cdot (-\overrightarrow{AB}) + 0$
$E = |\overrightarrow{AB}|^2 - \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{CB} \cdot \overrightarrow{AB}$
કારણ કે $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{CB} \cdot \overrightarrow{AB}$,આ પદો ઉડી જશે.
$E = |\overrightarrow{AB}|^2 = p^2$.

(C) ધારો કે જરૂરી સદિશ $\bar{r} = x\bar{i} + y\bar{j} + z\bar{k}$ છે.
આપેલ છે કે $\bar{a}$,$\bar{b}$,અને $\bar{c}$ એકમ સદિશો છે.
$\bar{a} = \frac{1}{3}(\bar{i}-2\bar{j}+2\bar{k})$,$|\bar{a}| = 1$.
$\bar{b} = \frac{1}{5}(-4\bar{i}-3\bar{k})$,$|\bar{b}| = 1$.
$\bar{c} = \bar{j}$,$|\bar{c}| = 1$.
ધારો કે $\bar{r}$ અને દરેક સદિશ $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે. તેથી $\bar{r} \cdot \bar{a} = \bar{r} \cdot \bar{b} = \bar{r} \cdot \bar{c} = |\bar{r}| \cos \theta = \sqrt{51} \cos \theta = k$.
$\frac{1}{3}(x-2y+2z) = k \implies x-2y+2z = 3k$.
$\frac{1}{5}(-4x-3z) = k \implies -4x-3z = 5k$.
$y = k$.
વિકલ્પ $C$ તપાસતા: $\bar{r} = -5\bar{i}+\bar{j}+5\bar{k}$,$|\bar{r}| = \sqrt{25+1+25} = \sqrt{51}$.
$\bar{r} \cdot \bar{a} = \frac{1}{3}(-5+2+10) = 1$. $\bar{r} \cdot \bar{b} = \frac{1}{5}(20-15) = 1$. $\bar{r} \cdot \bar{c} = 1$. બધા ડોટ ગુણાકાર સમાન હોવાથી,સાચો સદિશ $-5\bar{i}+\bar{j}+5\bar{k}$ છે.

(A) આપેલ છે કે $\bar{a}$ અને $\bar{b}$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|\bar{a}| = 1$ અને $|\bar{b}| = 1$.
ધારો કે $\bar{a}$ અને $\bar{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે.
તેથી $\bar{a} \cdot \bar{b} = |\bar{a}||\bar{b}| \cos \theta = \cos \theta$.
વળી,$|\bar{v}| = |\bar{a} \times \bar{b}| = |\bar{a}||\bar{b}| \sin \theta = \sin \theta$.
હવે,$\bar{u} = \bar{a} - (\bar{a} \cdot \bar{b}) \bar{b} = \bar{a} - (\cos \theta) \bar{b}$ લો.
તેથી $|\bar{u}|^2 = |\bar{a} - (\cos \theta) \bar{b}|^2 = |\bar{a}|^2 + \cos^2 \theta |\bar{b}|^2 - 2 \cos \theta (\bar{a} \cdot \bar{b})$.
$|\bar{u}|^2 = 1 + \cos^2 \theta - 2 \cos^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = \sin^2 \theta$.
આમ,$|\bar{u}| = \sin \theta$.
કારણ કે $|\bar{v}| = \sin \theta$ અને $|\bar{u}| = \sin \theta$,તેથી $|\bar{v}| = |\bar{u}|$ થાય.

(B) આપેલ છે કે $\bar{r} \times \bar{a} = \bar{b} \times \bar{a}$,તેથી આપણે લખી શકીએ $\bar{r} \times \bar{a} - \bar{b} \times \bar{a} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $(\bar{r} - \bar{b}) \times \bar{a} = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે સદિશ $(\bar{r} - \bar{b})$ એ $\bar{a}$ ને સમાંતર હોવો જોઈએ.
તેથી,આપણે કોઈ અદિશ $k$ માટે $\bar{r} - \bar{b} = k\bar{a}$ અથવા $\bar{r} = \bar{b} + k\bar{a}$ લખી શકીએ.
આપણને $\bar{r} \cdot \bar{c} = 0$ પણ આપેલ છે.
$\bar{r}$ માટેના આ સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા,આપણને $(\bar{b} + k\bar{a}) \cdot \bar{c} = 0$ મળે છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$\bar{b} \cdot \bar{c} + k(\bar{a} \cdot \bar{c}) = 0$ મળે છે.
$k$ માટે ઉકેલતા,$k = -\frac{\bar{b} \cdot \bar{c}}{\bar{a} \cdot \bar{c}}$ મળે છે.
$k$ ની આ કિંમતને $\bar{r}$ ના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $\bar{r} = \bar{b} - \left(\frac{\bar{b} \cdot \bar{c}}{\bar{a} \cdot \bar{c}}\right) \bar{a}$ મળે છે.

(D) આપેલ છે કે $\lambda \bar{a} = \bar{b} - 2\bar{c}$.
બંને બાજુ માન લેતા: $|\lambda \bar{a}|^2 = |\bar{b} - 2\bar{c}|^2$.
$\lambda^2 |\bar{a}|^2 = |\bar{b}|^2 + 4|\bar{c}|^2 - 4(\bar{b} \cdot \bar{c})$.
અહીં $|\bar{a}|=1, |\bar{c}|=1, |\bar{b}|=4$ હોવાથી,$\lambda^2 = 16 + 4 - 4(\bar{b} \cdot \bar{c}) = 20 - 4(\bar{b} \cdot \bar{c})$.
વળી,$|\bar{b} \times \bar{c}|^2 = |\bar{b}|^2 |\bar{c}|^2 - (\bar{b} \cdot \bar{c})^2$.
$15 = (4)^2(1)^2 - (\bar{b} \cdot \bar{c})^2$.
$15 = 16 - (\bar{b} \cdot \bar{c})^2$,જેનો અર્થ છે કે $(\bar{b} \cdot \bar{c})^2 = 1$,તેથી $\bar{b} \cdot \bar{c} = \pm 1$.
કિસ્સો $1$: $\bar{b} \cdot \bar{c} = 1$.
$\lambda^2 = 20 - 4(1) = 16 \implies \lambda = \pm 4$.
કિસ્સો $2$: $\bar{b} \cdot \bar{c} = -1$.
$\lambda^2 = 20 - 4(-1) = 24 \implies \lambda = \pm \sqrt{24} = \pm 2\sqrt{6}$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $\pm 4$ છે.

(C) આપેલ છે કે $|\bar{u}|=1, |\bar{v}|=2, |\bar{w}|=3$.
$\bar{v}$ નો $\bar{u}$ પરનો પ્રક્ષેપ = $\bar{w}$ નો $\bar{u}$ પરનો પ્રક્ષેપ હોવાથી,$\frac{\bar{v} \cdot \bar{u}}{|\bar{u}|} = \frac{\bar{w} \cdot \bar{u}}{|\bar{u}|}$.
$|\bar{u}|=1$ હોવાથી,$\bar{v} \cdot \bar{u} = \bar{w} \cdot \bar{u}$ મળે,એટલે કે $(\bar{v}-\bar{w}) \cdot \bar{u} = 0$.
વળી,$\bar{v} \perp \bar{w}$ હોવાથી $\bar{v} \cdot \bar{w} = 0$.
હવે,$|\bar{u}-\bar{v}+\bar{w}|^2 = (\bar{u}-\bar{v}+\bar{w}) \cdot (\bar{u}-\bar{v}+\bar{w})$.
$= |\bar{u}|^2 + |\bar{v}|^2 + |\bar{w}|^2 - 2(\bar{u} \cdot \bar{v}) + 2(\bar{u} \cdot \bar{w}) - 2(\bar{v} \cdot \bar{w})$.
$\bar{u} \cdot \bar{v} = \bar{u} \cdot \bar{w}$ અને $\bar{v} \cdot \bar{w} = 0$ હોવાથી,$-2(\bar{u} \cdot \bar{v}) + 2(\bar{u} \cdot \bar{w})$ પદો ઉડી જશે.
$= |\bar{u}|^2 + |\bar{v}|^2 + |\bar{w}|^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 = 1 + 4 + 9 = 14$.
તેથી,$|\bar{u}-\bar{v}+\bar{w}| = \sqrt{14}$.

(A) આપેલ શરત $|\bar{a}-\bar{c}| = |\bar{b}-\bar{c}|$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$|\bar{a}-\bar{c}|^2 = |\bar{b}-\bar{c}|^2$ મળે.
ગુણધર્મ $|\bar{x}|^2 = \bar{x} \cdot \bar{x}$ નો ઉપયોગ કરતા,$(\bar{a}-\bar{c}) \cdot (\bar{a}-\bar{c}) = (\bar{b}-\bar{c}) \cdot (\bar{b}-\bar{c})$ મળે.
ડોટ પ્રોડક્ટનું વિસ્તરણ કરતા: $|\bar{a}|^2 - 2(\bar{a} \cdot \bar{c}) + |\bar{c}|^2 = |\bar{b}|^2 - 2(\bar{b} \cdot \bar{c}) + |\bar{c}|^2$.
સાદુરૂપ આપતા,$|\bar{a}|^2 - |\bar{b}|^2 = 2(\bar{a} \cdot \bar{c}) - 2(\bar{b} \cdot \bar{c}) = 2(\bar{a}-\bar{b}) \cdot \bar{c}$ મળે.
હવે,પદાવલિ $E = (\bar{b}-\bar{a}) \cdot \left(\bar{c}-\frac{\bar{a}+\bar{b}}{2}\right)$ ધ્યાનમાં લો.
$E = (\bar{b}-\bar{a}) \cdot \bar{c} - (\bar{b}-\bar{a}) \cdot \left(\frac{\bar{a}+\bar{b}}{2}\right)$.
$E = -(\bar{a}-\bar{b}) \cdot \bar{c} - \frac{1}{2}(\bar{b}-\bar{a}) \cdot (\bar{b}+\bar{a})$.
નિત્યસમ $(\bar{b}-\bar{a}) \cdot (\bar{b}+\bar{a}) = |\bar{b}|^2 - |\bar{a}|^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = -(\bar{a}-\bar{b}) \cdot \bar{c} - \frac{1}{2}(|\bar{b}|^2 - |\bar{a}|^2)$.
અગાઉના પરિણામ પરથી,$(\bar{a}-\bar{b}) \cdot \bar{c} = \frac{1}{2}(|\bar{a}|^2 - |\bar{b}|^2)$.
આ કિંમત મૂકતા: $E = -\frac{1}{2}(|\bar{a}|^2 - |\bar{b}|^2) - \frac{1}{2}(|\bar{b}|^2 - |\bar{a}|^2) = -\frac{1}{2}|\bar{a}|^2 + \frac{1}{2}|\bar{b}|^2 - \frac{1}{2}|\bar{b}|^2 + \frac{1}{2}|\bar{a}|^2 = 0$.

(B) આપેલ છે: $|\bar{a}| = 1$,$|\bar{b}| = 2$,$|\bar{c}| = 3$.
કારણ કે $\bar{b} \perp \bar{c}$,તેથી $\bar{b} \cdot \bar{c} = 0$.
$\bar{b}$ નો $\bar{a}$ પરનો પ્રક્ષેપ $\frac{\bar{b} \cdot \bar{a}}{|\bar{a}|} = \bar{b} \cdot \bar{a}$ થાય (કારણ કે $|\bar{a}| = 1$).
$\bar{c}$ નો $\bar{a}$ પરનો પ્રક્ષેપ $\frac{\bar{c} \cdot \bar{a}}{|\bar{a}|} = \bar{c} \cdot \bar{a}$ થાય.
આપેલ છે કે $\bar{b} \cdot \bar{a} = \bar{c} \cdot \bar{a} = k$.
હવે,$|\bar{a} - \bar{b} + \bar{c}|^2 = |\bar{a}|^2 + |\bar{b}|^2 + |\bar{c}|^2 - 2(\bar{a} \cdot \bar{b}) + 2(\bar{a} \cdot \bar{c}) - 2(\bar{b} \cdot \bar{c})$.
કિંમતો મૂકતા: $|\bar{a} - \bar{b} + \bar{c}|^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 - 2k + 2k - 2(0) = 1 + 4 + 9 = 14$.
તેથી,$|\bar{a} - \bar{b} + \bar{c}| = \sqrt{14}$.

(D) આપેલ સદિશો $a=2 \hat{i}+\hat{k}$,$b=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,અને $c=4 \hat{i}-3 \hat{j}+7 \hat{k}$ છે.
આપેલ શરત: $r \times b = c \times b$.
આનો અર્થ છે કે $(r-c) \times b = 0$,જેનો અર્થ છે કે $(r-c)$ એ $b$ ને સમાંતર છે.
તેથી,$r-c = \lambda b$,અથવા $r = c + \lambda b$ ... $(i)$.
વળી આપેલ છે કે $r \cdot a = 0$.
આ શરતમાં $(i)$ પરથી $r$ ની કિંમત મૂકતા:
$(c + \lambda b) \cdot a = 0$
$(4 \hat{i}-3 \hat{j}+7 \hat{k} + \lambda(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})) \cdot (2 \hat{i}+\hat{k}) = 0$
$((4+\lambda) \hat{i} + (-3+\lambda) \hat{j} + (7+\lambda) \hat{k}) \cdot (2 \hat{i}+\hat{k}) = 0$
$2(4+\lambda) + 1(7+\lambda) = 0$
$8 + 2\lambda + 7 + \lambda = 0$
$3\lambda + 15 = 0 \implies \lambda = -5$.
$(i)$ માં $\lambda = -5$ મૂકતા:
$r = (4 \hat{i}-3 \hat{j}+7 \hat{k}) - 5(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})$
$r = (4-5) \hat{i} + (-3-5) \hat{j} + (7-5) \hat{k}$
$r = -\hat{i} - 8 \hat{j} + 2 \hat{k}$.

(A) બે સદિશો લંબ હોય જો તેમનો અદિશ ગુણાકાર $0$ થાય.
આપેલ સદિશો $\vec{a} = \hat{i}-2x\hat{j}-3y\hat{k}$ અને $\vec{b} = \hat{i}+3x\hat{j}+2y\hat{k}$ છે.
અદિશ ગુણાકાર લેતા: $\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(1) + (-2x)(3x) + (-3y)(2y) = 0$.
$1 - 6x^2 - 6y^2 = 0$.
$6x^2 + 6y^2 = 1$.
$x^2 + y^2 = \frac{1}{6}$.
આ સમીકરણ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પર કેન્દ્ર અને $\frac{1}{\sqrt{6}}$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ દર્શાવે છે.

(A) આપેલ છે કે,$\overrightarrow{a}=2 x^2 \hat{i}+4 x \hat{j}+\hat{k}$ અને $\overrightarrow{b}=7 \hat{i}-2 \hat{j}+x \hat{k}$.
આપણને આપેલ છે કે $90^{\circ} < \theta < 180^{\circ}$,જેનો અર્થ છે કે $\cos \theta < 0$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos \theta = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}|}$.
કારણ કે $|\overrightarrow{a}|$ અને $|\overrightarrow{b}|$ એ માન છે,તે હંમેશા ધન હોય છે. તેથી,$\cos \theta < 0$ નો અર્થ છે કે $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} < 0$.
ડોટ પ્રોડક્ટની ગણતરી:
$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = (2 x^2)(7) + (4 x)(-2) + (1)(x) = 14 x^2 - 8 x + x = 14 x^2 - 7 x$.
અસમતાને શૂન્ય કરતા નાની લેતા:
$14 x^2 - 7 x < 0$
$7 x(2 x - 1) < 0$
આ અસમતા ઉકેલવા માટે,આપણે નિર્ણાયક બિંદુઓ $x = 0$ અને $x = \frac{1}{2}$ શોધીએ છીએ.
અંતરાલોની ચકાસણી:
$x < 0$ માટે,$7 x(2 x - 1) > 0$.
$0 < x < \frac{1}{2}$ માટે,$7 x(2 x - 1) < 0$.
$x > \frac{1}{2}$ માટે,$7 x(2 x - 1) > 0$.
આમ,જે અંતરાલ માટે અભિવ્યક્તિ ઋણ છે તે $x \in \left(0, \frac{1}{2}\right)$ છે.

(A) ધારો કે સદિશ $a = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ છે.
આપેલ છે કે $a \cdot \hat{i} = a \cdot (\hat{i} + \hat{j}) = a \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$.
$a \cdot \hat{i} = a \cdot (\hat{i} + \hat{j})$ પરથી,આપણને $a \cdot \hat{i} = a \cdot \hat{i} + a \cdot \hat{j}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $a \cdot \hat{j} = 0$. આમ,$y = 0$.
$a \cdot (\hat{i} + \hat{j}) = a \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$ પરથી,આપણને $a \cdot \hat{i} + a \cdot \hat{j} = a \cdot \hat{i} + a \cdot \hat{j} + a \cdot \hat{k}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $a \cdot \hat{k} = 0$. આમ,$z = 0$.
કારણ કે $a \cdot \hat{i} = x$,અને જો આપણે $a = \hat{i}$ લઈએ,તો $a \cdot \hat{i} = 1$,$a \cdot (\hat{i} + \hat{j}) = 1$,અને $a \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = 1$ થાય છે.
તેથી,$a = \hat{i}$ એ આપેલ શરતોનું પાલન કરે છે.