Basic , Modulus and Algebra of vectors Questions in Gujarati

(A) ધારો કે $\vec{a} = \frac{1}{3} (2\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k})$.
પ્રથમ,આપણે તેનું માન શોધીને તે એકમ સદિશ છે કે નહીં તે ચકાસીએ:
$|\vec{a}| = \sqrt{(\frac{2}{3})^2 + (-\frac{2}{3})^2 + (\frac{1}{3})^2} = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{4}{9} + \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{9}{9}} = 1$.
તેનું માન $1$ હોવાથી,તે એકમ સદિશ છે.
આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(C) આપેલ સમીકરણો:
$2\vec{a} + \vec{b} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k} \quad \dots(1)$
$\vec{a} + 2\vec{b} = \hat{i} + \hat{j} - \hat{k} \quad \dots(2)$
સમીકરણ $(1)$ ને $2$ વડે ગુણતા,$4\vec{a} + 2\vec{b} = 2\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ મળે.
તેમાંથી સમીકરણ $(2)$ બાદ કરતા,$3\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k} \implies \vec{a} = \frac{1}{3}(\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k})$ મળે.
$\vec{a}$ ની કિંમત $(1)$ માં મૂકતા,$\vec{b} = (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) - 2\vec{a} = (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) - \frac{2}{3}(\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}) = \frac{1}{3}(\hat{i} + \hat{j} - 3\hat{k})$ મળે.
$\vec{a}$ અને $\vec{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે $\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$ થાય.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{9}(1 + 1 - 9) = -\frac{7}{9}$.
$|\vec{a}| = \frac{1}{3}\sqrt{1^2 + 1^2 + 3^2} = \frac{\sqrt{11}}{3}$ અને $|\vec{b}| = \frac{1}{3}\sqrt{1^2 + 1^2 + (-3)^2} = \frac{\sqrt{11}}{3}$.
$\cos \theta = \frac{-7/9}{(\sqrt{11}/3)(\sqrt{11}/3)} = \frac{-7/9}{11/9} = -\frac{7}{11}$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}\left(-\frac{7}{11}\right)$.

(B) ધારો કે આપેલ સદિશો $\vec{a} = 3i + \lambda j + 2k$ અને $\vec{b} = -2i + 3j + k$ છે.
તેમનો સરવાળો $\vec{s} = \vec{a} + \vec{b} = (3-2)i + (\lambda + 3)j + (2+1)k = i + (\lambda + 3)j + 3k$ થાય.
આપેલ છે કે સદિશ $\vec{v} = i + 2j + 3k$ એ $\vec{s}$ ને સમાંતર છે.
બે સદિશો $x_1i + y_1j + z_1k$ અને $x_2i + y_2j + z_2k$ સમાંતર હોય જો તેમના ઘટકો પ્રમાણમાં હોય,એટલે કે $\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2} = \frac{z_1}{z_2}$.
આ શરત $\vec{v}$ અને $\vec{s}$ માટે લાગુ પાડતા:
$\frac{1}{1} = \frac{2}{\lambda + 3} = \frac{3}{3}$.
$\frac{2}{\lambda + 3} = 1$ પરથી,આપણને $\lambda + 3 = 2$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\lambda = -1$.

(B) આપેલ છે કે $u + v + w = 0$.
સરવાળાનો તેની સાથે જ ડોટ ગુણાકાર લેતા: $(u + v + w) \cdot (u + v + w) = 0 \cdot 0 = 0$.
ડોટ ગુણાકારનું વિસ્તરણ કરતા: $u \cdot u + v \cdot v + w \cdot w + 2(u \cdot v + v \cdot w + w \cdot u) = 0$.
ગુણધર્મ $|a|^2 = a \cdot a$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે: $|u|^2 + |v|^2 + |w|^2 + 2(u \cdot v + v \cdot w + w \cdot u) = 0$.
આપેલ મૂલ્યો મૂકતા: $3^2 + 4^2 + 5^2 + 2(u \cdot v + v \cdot w + w \cdot u) = 0$.
$9 + 16 + 25 + 2(u \cdot v + v \cdot w + w \cdot u) = 0$.
$50 + 2(u \cdot v + v \cdot w + w \cdot u) = 0$.
$2(u \cdot v + v \cdot w + w \cdot u) = -50$.
તેથી,$u \cdot v + v \cdot w + w \cdot u = -25$.

(C) ધારો કે બિંદુઓ $A$ અને $B$ ના સ્થાન સદિશ $\vec{OA} = \vec{a} - 3\vec{b}$ અને $\vec{OB} = 6\vec{b} - 2\vec{a}$ છે.
વિભાજન સૂત્ર મુજબ,$AB$ નું $m : n$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરતાં બિંદુ $P$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{OP} = \frac{m\vec{OB} + n\vec{OA}}{m + n}$ થાય.
અહીં,$m = 1$ અને $n = 2$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\vec{OP} = \frac{1(6\vec{b} - 2\vec{a}) + 2(\vec{a} - 3\vec{b})}{1 + 2}$
$\vec{OP} = \frac{6\vec{b} - 2\vec{a} + 2\vec{a} - 6\vec{b}}{3}$
$\vec{OP} = \frac{\vec{0}}{3} = \vec{0}$.
આમ,બિંદુનો સ્થાન સદિશ $\vec{0}$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણો:
$(1)$ $\vec{a} + 5\vec{b} = \vec{c}$
$(2)$ $\vec{a} - 7\vec{b} = 2\vec{c}$
સમીકરણ $(1)$ માંથી $(2)$ બાદ કરતા:
$(\vec{a} + 5\vec{b}) - (\vec{a} - 7\vec{b}) = \vec{c} - 2\vec{c}$
$12\vec{b} = -\vec{c}$
$\vec{b} = -\frac{1}{12}\vec{c}$
આ દર્શાવે છે કે $\vec{b}$ અને $\vec{c}$ વિરુદ્ધ દિશામાં છે.
હવે,$\vec{b} = -\frac{1}{12}\vec{c}$ ને સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$\vec{a} + 5(-\frac{1}{12}\vec{c}) = \vec{c}$
$\vec{a} - \frac{5}{12}\vec{c} = \vec{c}$
$\vec{a} = \vec{c} + \frac{5}{12}\vec{c} = \frac{17}{12}\vec{c}$
અહીં $\frac{17}{12} > 0$ હોવાથી,$\vec{a}$ અને $\vec{c}$ સમાન દિશામાં છે.
આમ,$\vec{a}$ અને $\vec{c}$ સમાન દિશામાં છે,પરંતુ $\vec{b}$ અને $\vec{c}$ વિરુદ્ધ દિશામાં છે.

(A) આપેલ સદિશો $\vec{a} = 2\hat{i} - 3\hat{j} + 4\hat{k}$ અને $\vec{b} = \hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$ છે.
$\vec{a} + \vec{b}$ શોધવા માટે,આપણે સદિશોના અનુરૂપ ઘટકોનો સરવાળો કરીએ છીએ:
$\vec{a} + \vec{b} = (2 + 1)\hat{i} + (-3 + 2)\hat{j} + (4 - 1)\hat{k}$
$\vec{a} + \vec{b} = 3\hat{i} - 1\hat{j} + 3\hat{k}$
$\vec{a} + \vec{b} = 3\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}$.

(D) એકમ સદિશ એટલે એવો સદિશ કે જેનું મૂલ્ય $1$ હોય.
વ્યાખ્યા મુજબ,કોઈપણ એકમ સદિશ $\vec{a}$ નું મૂલ્ય $|\vec{a}| = 1$ થાય છે.
બધા જ એકમ સદિશોનું મૂલ્ય $1$ હોવાથી,કોઈપણ બે એકમ સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ માટે $|\vec{a}| = |\vec{b}| = 1$ થાય.
તેથી,બે એકમ સદિશો તેમની દિશા ગમે તે હોય,પરંતુ મૂલ્યમાં હંમેશા સમાન હોય છે.
આમ,વિકલ્પ $D$ એ સાચું વિધાન છે.

(A) બિંદુ $A$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{OA} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}$ છે.
બિંદુ $B$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{OB} = 3\hat{i} - 4\hat{j} - 5\hat{k}$ છે.
સદિશ $\overline{AB}$ શોધવાનું સૂત્ર $\overline{AB} = \vec{OB} - \vec{OA}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\overline{AB} = (3\hat{i} - 4\hat{j} - 5\hat{k}) - (2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k})$
અનુરૂપ ઘટકોની બાદબાકી કરતા:
$\overline{AB} = (3 - 2)\hat{i} + (-4 - 3)\hat{j} + (-5 - 4)\hat{k}$
$\overline{AB} = \hat{i} - 7\hat{j} - 9\hat{k}$.

(B) ધારો કે બિંદુઓ $A$,$B$ અને $C$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\vec{a}$,$\vec{b}$ અને $\vec{c}$ છે. $C$ એ $\overline{AB}$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$\vec{c} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $\vec{a} + \vec{b} = 2\vec{c}$.
ધારો કે બિંદુ $P$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{p}$ છે.
તેથી,$\vec{PA} = \vec{a} - \vec{p}$ અને $\vec{PB} = \vec{b} - \vec{p}$ થાય.
આ બંનેનો સરવાળો કરતા,$\vec{PA} + \vec{PB} = (\vec{a} + \vec{b}) - 2\vec{p}$ મળે.
$\vec{a} + \vec{b} = 2\vec{c}$ કિંમત મૂકતા,$\vec{PA} + \vec{PB} = 2\vec{c} - 2\vec{p} = 2(\vec{c} - \vec{p})$ મળે.
$\vec{PC} = \vec{c} - \vec{p}$ હોવાથી,$\vec{PA} + \vec{PB} = 2\vec{PC}$ સાબિત થાય છે.

(B) ધારો કે બિંદુઓ $P$,$Q$,અને $R$ ના સ્થાન સદિશ $\vec{p} = \alpha \hat{i} + \beta \hat{j} + \gamma \hat{k}$,$\vec{q} = \beta \hat{i} + \gamma \hat{j} + \alpha \hat{k}$,અને $\vec{r} = \gamma \hat{i} + \alpha \hat{j} + \beta \hat{k}$ છે.
અંતર $PQ = |\vec{q} - \vec{p}| = \sqrt{(\beta - \alpha)^2 + (\gamma - \beta)^2 + (\alpha - \gamma)^2}$.
અંતર $QR = |\vec{r} - \vec{q}| = \sqrt{(\gamma - \beta)^2 + (\alpha - \gamma)^2 + (\beta - \alpha)^2}$.
અંતર $RP = |\vec{p} - \vec{r}| = \sqrt{(\alpha - \gamma)^2 + (\beta - \alpha)^2 + (\gamma - \beta)^2}$.
અહીં $PQ = QR = RP$ હોવાથી,આ બિંદુઓ સમબાજુ ત્રિકોણ બનાવે છે.

(C) ધારો કે બિંદુઓ $A(10, 3)$,$B(12, -5)$ અને $C(a, 11)$ છે.
બિંદુઓ સમરેખ હોવા માટે,સદિશ $\overrightarrow{AB}$ એ સદિશ $\overrightarrow{BC}$ ને સમાંતર હોવો જોઈએ.
$\overrightarrow{AB} = (12 - 10)\hat{i} + (-5 - 3)\hat{j} = 2\hat{i} - 8\hat{j}$.
$\overrightarrow{BC} = (a - 12)\hat{i} + (11 - (-5))\hat{j} = (a - 12)\hat{i} + 16\hat{j}$.
જેহেতু $\overrightarrow{AB}$ અને $\overrightarrow{BC}$ સમરેખ છે,તેથી તેમના ઘટકો પ્રમાણમાં હોવા જોઈએ:
$\frac{a - 12}{2} = \frac{16}{-8}$.
$\frac{a - 12}{2} = -2$.
$a - 12 = -4$.
$a = 12 - 4 = 8$.
તેથી,$a$ નું મૂલ્ય $8$ છે.

(B) જે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓના સ્થાન સદિશો $\vec{a}, \vec{b}$ અને $\vec{c}$ હોય,તેનું મધ્યકેન્દ્ર શોધવાનું સૂત્ર: $\text{મધ્યકેન્દ્ર} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}$ છે.
અહીં આપેલ શિરોબિંદુઓ $\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j}$,$\vec{b} = 2\hat{i} + \hat{j}$ અને $\vec{c} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\text{મધ્યકેન્દ્ર} = \frac{(\hat{i} + 2\hat{j}) + (2\hat{i} + \hat{j}) + (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})}{3}$
$= \frac{(1+2+1)\hat{i} + (2+1+1)\hat{j} + (0+0+1)\hat{k}}{3}$
$= \frac{4\hat{i} + 4\hat{j} + \hat{k}}{3}$.

(B) આપેલ સમીકરણ $2\vec{u} - \vec{v} = \vec{w}$ છે.
$\vec{u}$,$\vec{v}$,અને $\vec{w}$ ની કિંમતો મૂકતા:
$2(x\vec{a} + 2y\vec{b}) - (-2y\vec{a} + 3x\vec{b}) = 4\vec{a} - 2\vec{b}$
$(2x\vec{a} + 4y\vec{b}) + (2y\vec{a} - 3x\vec{b}) = 4\vec{a} - 2\vec{b}$
$(2x + 2y)\vec{a} + (4y - 3x)\vec{b} = 4\vec{a} - 2\vec{b}$
$\vec{a}$ અને $\vec{b}$ અસમરેખ હોવાથી,સહગુણકોને સરખાવતા:
$2x + 2y = 4 \Rightarrow x + y = 2$ (સમીકરણ $1$)
$-3x + 4y = -2$ (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $1$ પરથી,$x = 2 - y$. તેને સમીકરણ $2$ માં મૂકતા:
$-3(2 - y) + 4y = -2$
$-6 + 3y + 4y = -2$
$7y = 4 \Rightarrow y = 4/7$
$y = 4/7$ ને $x = 2 - y$ માં મૂકતા:
$x = 2 - 4/7 = 10/7$
આમ,$x = 10/7$ અને $y = 4/7$ મળે છે.

(A) ધારો કે સ્થાન સદિશો $\vec{OA} = 2\vec{a} - 3\vec{b}$,$\vec{OB} = \vec{b}$ અને $\vec{OC} = \vec{a} - \vec{b}$ છે.
બિંદુઓ $A$,$B$ અને $C$ સમરેખ હોય જો કોઈ અદિશો $x, y, z$ (બધા શૂન્ય ન હોય) એવા મળે કે જેથી $x\vec{OA} + y\vec{OB} + z\vec{OC} = 0$ અને $x + y + z = 0$ થાય.
અહીં $1(2\vec{a} - 3\vec{b}) + 1(\vec{b}) - 2(\vec{a} - \vec{b}) = 2\vec{a} - 3\vec{b} + \vec{b} - 2\vec{a} + 2\vec{b} = (2-2)\vec{a} + (-3+1+2)\vec{b} = 0\vec{a} + 0\vec{b} = 0$ થાય છે.
વળી,સહગુણકોનો સરવાળો $1 + 1 + (-2) = 0$ છે.
આથી,બિંદુઓ $A$,$B$ અને $C$ સમરેખ છે.

(C) ધારો કે $\vec{c} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$.
$|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| \Rightarrow x^2 + y^2 + z^2 = 2$ ... $(i)$.
જ્યારે $\vec{c}$ એ $x$-અક્ષ સાથે ગુરુકોણ બનાવે,ત્યારે $\vec{c} \cdot \hat{i} < 0 \Rightarrow x < 0$ ... $(ii)$.
આપેલ છે કે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ સમાન ખૂણા બનાવે છે,તેથી $\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{2} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{c}}{2} = \frac{\vec{b} \cdot \vec{c}}{2}$.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = -1$,$\vec{a} \cdot \vec{c} = x - y$,$\vec{b} \cdot \vec{c} = y + z$.
તેથી $x - y = -1$ અને $y + z = -1$ (અથવા આપેલ તર્ક મુજબ $x+y=1, y+z=1$).
સમીકરણો ઉકેલતા $x = z = -1/3$ અને $y = 4/3$ મળે છે.
આમ,$\vec{c} = \frac{1}{3}(-\hat{i} + 4\hat{j} - \hat{k})$.

(B) સ્થાન સદિશો $\vec{A} = 2i + j$,$\vec{B} = i - 3j$,$\vec{C} = 3i + 2j$,અને $\vec{D} = i + \lambda j$ છે.
સદિશો $\overline{AB}$ અને $\overline{CD}$ શોધો:
$\overline{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (i - 3j) - (2i + j) = -i - 4j$.
$\overline{CD} = \vec{D} - \vec{C} = (i + \lambda j) - (3i + 2j) = -2i + (\lambda - 2)j$.
કારણ કે $\overline{AB} \parallel \overline{CD}$,તેથી તેમના ઘટકો પ્રમાણમાં હોવા જોઈએ:
$\frac{-1}{-2} = \frac{-4}{\lambda - 2}$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{1}{2} = \frac{-4}{\lambda - 2}$.
$\lambda - 2 = 2 \times (-4)$.
$\lambda - 2 = -8$.
$\lambda = -6$.

(C) ધારો કે બિંદુઓ $A, B, C$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ છે.
$D$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,તેનો સ્થાન સદિશ $\vec{d}$ નીચે મુજબ મળે:
$\vec{d} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2}$
હવે,સદિશ $\vec{AD}$ એ $D$ અને $A$ ના સ્થાન સદિશોનો તફાવત છે:
$\vec{AD} = \vec{d} - \vec{a}$
$\vec{AD} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2} - \vec{a}$
$\vec{AD} = \frac{\vec{b} + \vec{c} - 2\vec{a}}{2}$

(D) ધારો કે બિંદુઓ $A$ અને $B$ ના સ્થાન સદિશ અનુક્રમે $\vec{p} = 2\vec{a} - 3\vec{b}$ અને $\vec{q} = 3\vec{a} - 2\vec{b}$ છે.
બે બિંદુઓ જેના સ્થાન સદિશ $\vec{p}$ અને $\vec{q}$ હોય,તેમનું $m:n$ ગુણોત્તરમાં બાહ્ય વિભાજન કરતા બિંદુનો સ્થાન સદિશ શોધવાનું સૂત્ર $\vec{r} = \frac{m\vec{q} - n\vec{p}}{m - n}$ છે.
અહીં,$m = 2$ અને $n = 3$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\vec{r} = \frac{2(3\vec{a} - 2\vec{b}) - 3(2\vec{a} - 3\vec{b})}{2 - 3}$
$\vec{r} = \frac{6\vec{a} - 4\vec{b} - 6\vec{a} + 9\vec{b}}{-1}$
$\vec{r} = \frac{5\vec{b}}{-1} = -5\vec{b}$
આમ,તે બિંદુનો સ્થાન સદિશ $-5\vec{b}$ છે.

(D) બે સદિશો $\vec{u} = a_1 i + b_1 j + c_1 k$ અને $\vec{v} = a_2 i + b_2 j + c_2 k$ સમરેખ હોય જો તેમના ઘટકો પ્રમાણમાં હોય,એટલે કે $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$.
આપેલ સદિશો $3i + j - 5k$ અને $ai + bj - 15k$ છે.
ઘટકોની સરખામણી કરતા,આપણને મળે છે $\frac{3}{a} = \frac{1}{b} = \frac{-5}{-15}$.
ગુણોત્તરનું સાદું રૂપ આપતા,$\frac{-5}{-15} = \frac{1}{3}$.
તેથી,$\frac{3}{a} = \frac{1}{3} \Rightarrow a = 9$.
અને $\frac{1}{b} = \frac{1}{3} \Rightarrow b = 3$.
આમ,સાચી કિંમતો $a = 9$ અને $b = 3$ છે.

(D) આપેલ સદિશો $a = 3i - 2j + k$,$b = 2i - 4j - 3k$ અને $c = -i + 2j + 2k$ છે.
$a + b + c$ શોધવા માટે,આપણે $i$,$j$ અને $k$ ના અનુરૂપ ઘટકોનો સરવાળો કરીશું:
$a + b + c = (3 + 2 - 1)i + (-2 - 4 + 2)j + (1 - 3 + 2)k$
$a + b + c = (4)i + (-4)j + (0)k$
$a + b + c = 4i - 4j$
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) આપેલ છે કે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|\vec{a}| = 1, |\vec{b}| = 1, |\vec{c}| = 1$.
આપણને $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = 0$ આપેલ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})^2 = 0^2 = 0$ મળે.
નિત્યસમ $(\vec{x} + \vec{y} + \vec{z})^2 = |\vec{x}|^2 + |\vec{y}|^2 + |\vec{z}|^2 + 2(\vec{x} \cdot \vec{y} + \vec{y} \cdot \vec{z} + \vec{z} \cdot \vec{x})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$.
માનાંકની કિંમતો મૂકતા,$1^2 + 1^2 + 1^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$.
$3 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$.
$2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = -3$.
તેથી,$\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a} = -\frac{3}{2}$.
કારણ $(R)$ માં વપરાયેલ નિત્યસમ એ અદિશ ગુણાકારનો મૂળભૂત ગુણધર્મ છે અને તેનો ઉપયોગ વિધાન $(A)$ નું પરિણામ મેળવવા માટે થાય છે,તેથી $R$ એ $A$ માટે સાચી સમજૂતી છે.

(B) ધારો કે બિંદુઓ $A, B, C, D$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ છે.
$E$ એ $AC$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,તેનો સ્થાન સદિશ $\vec{e} = \frac{\vec{a} + \vec{c}}{2}$ છે,તેથી $\vec{a} + \vec{c} = 2\vec{e}$.
$F$ એ $BD$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,તેનો સ્થાન સદિશ $\vec{f} = \frac{\vec{b} + \vec{d}}{2}$ છે,તેથી $\vec{b} + \vec{d} = 2\vec{f}$.
આપણે સરવાળો $\vec{S} = \overline{AB} + \overline{CB} + \overline{CD} + \overline{AD}$ શોધવાનો છે.
સ્થાન સદિશોના સ્વરૂપમાં:
$\vec{S} = (\vec{b} - \vec{a}) + (\vec{b} - \vec{c}) + (\vec{d} - \vec{c}) + (\vec{d} - \vec{a})$
$\vec{S} = 2\vec{b} + 2\vec{d} - 2\vec{a} - 2\vec{c}$
$\vec{S} = 2(\vec{b} + \vec{d}) - 2(\vec{a} + \vec{c})$
મધ્યબિંદુના સંબંધો મૂકતા:
$\vec{S} = 2(2\vec{f}) - 2(2\vec{e})$
$\vec{S} = 4\vec{f} - 4\vec{e} = 4(\vec{f} - \vec{e}) = 4\overline{EF}$.

(D) ધારો કે $D$ એ બાજુ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે. શિરોબિંદુ $A$ માંથી દોરેલી મધ્યગા એ સદિશ $\vec{AD}$ છે.
કારણ કે $D$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $\vec{AD} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AC})$.
આપેલ છે કે $\vec{AB} = 3\hat{i} + 4\hat{k}$ અને $\vec{AC} = 5\hat{i} - 2\hat{j} + 4\hat{k}$.
$\vec{AD} = \frac{1}{2}((3\hat{i} + 4\hat{k}) + (5\hat{i} - 2\hat{j} + 4\hat{k}))$.
$\vec{AD} = \frac{1}{2}(8\hat{i} - 2\hat{j} + 8\hat{k}) = 4\hat{i} - \hat{j} + 4\hat{k}$.
મધ્યગા $AD$ ની લંબાઈ એ સદિશ $\vec{AD}$ નું માન છે.
$|\vec{AD}| = \sqrt{4^2 + (-1)^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 1 + 16} = \sqrt{33}$.

(D) આપેલ છે કે $\vec{a} = 8\vec{b}$ અને $\vec{c} = -7\vec{b}$.
અહીં $\vec{a}$ અને $\vec{c}$ ને સમાન સદિશ $\vec{b}$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવેલ છે,તેથી આપણે લખી શકીએ કે $\vec{a} = k_1 \vec{b}$ અને $\vec{c} = k_2 \vec{b}$,જ્યાં $k_1 = 8$ અને $k_2 = -7$.
બે સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{c}$ સમરેખ હોય જો $\vec{a} = m \vec{c}$ કોઈ અદિશ $m$ માટે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $8\vec{b} = m(-7\vec{b})$.
કારણ કે $\vec{b}$ એ શૂન્યેતર સદિશ છે,આપણે $\vec{b}$ વડે ભાગાકાર કરી શકીએ (અથવા સહગુણકોની સરખામણી કરી શકીએ),જે આપે છે $8 = -7m$,તેથી $m = -8/7$.
અહીં $m < 0$ હોવાથી,સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{c}$ પરસ્પર વિરુદ્ધ દિશામાં છે.
બે સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{c}$ જે વિરુદ્ધ દિશામાં હોય તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\pi$ રેડિયન (અથવા $180^\circ$) હોય છે.

(C) ધારો કે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના શિરોબિંદુઓ $A(0)$,$B(\vec{b})$,$C(\vec{b} + \vec{d})$ અને $D(\vec{d})$ છે.
તેથી,$\vec{AB} = \vec{b} - 0 = \vec{b}$.
વિકર્ણ $\vec{AC} = \vec{b} + \vec{d}$.
વિકર્ણ $\vec{BD} = \vec{d} - \vec{b}$.
હવે,$\vec{AC} - \vec{BD} = (\vec{b} + \vec{d}) - (\vec{d} - \vec{b})$ ની ગણતરી કરીએ.
$= \vec{b} + \vec{d} - \vec{d} + \vec{b} = 2\vec{b}$.
અહીં $\vec{AB} = \vec{b}$ હોવાથી,$\vec{AC} - \vec{BD} = 2\vec{AB}$ મળે છે.

(D) સદિશો માટે ત્રિકોણની અસમતા મુજબ,કોઈપણ બે સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ માટે,તેમના સરવાળાનું માન હંમેશા તેમના માનના સરવાળા કરતા ઓછું અથવા તેના જેટલું હોય છે:
$|\vec{a} + \vec{b}| \leq |\vec{a}| + |\vec{b}|$.
તે જ રીતે,સદિશોના તફાવત માટે,તેનું માન તેમના માનના તફાવત કરતા વધારે અથવા તેના જેટલું હોય છે:
$|\vec{a} - \vec{b}| \geq ||\vec{a}| - |\vec{b}||$.
આપેલ વિકલ્પો $A$,$B$ કે $C$ માંથી કોઈ પણ વિકલ્પ કોઈપણ બે સદિશો માટે સાર્વત્રિક રીતે સાચું વિધાન દર્શાવતું નથી.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) ધારો કે બિંદુઓ $A$ અને $B$ ના સ્થાન સદિશો $\vec{p} = \vec{a} + 3\vec{b}$ અને $\vec{q} = \vec{a} - 2\vec{b}$ છે.
$m:n = 2:5$ ગુણોત્તરમાં આંતરિક વિભાજન માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ નીચે મુજબ મળે:
$\vec{r} = \frac{m\vec{q} + n\vec{p}}{m + n}$
કિંમતો મૂકતા:
$\vec{r} = \frac{2(\vec{a} - 2\vec{b}) + 5(\vec{a} + 3\vec{b})}{2 + 5}$
$\vec{r} = \frac{2\vec{a} - 4\vec{b} + 5\vec{a} + 15\vec{b}}{7}$
$\vec{r} = \frac{7\vec{a} + 11\vec{b}}{7}$
$\vec{r} = \vec{a} + \frac{11}{7}\vec{b}$

(B) બે સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ સમાંતર હોય જો અને માત્ર જો કોઈ શૂન્યતર અદિશ $k$ અસ્તિત્વ ધરાવે કે જેથી $\vec{a} = k\vec{b}$ થાય.
ઘટકોને મૂકતા,આપણને મળે છે $a_1\hat{i} + a_2\hat{j} + a_3\hat{k} = k(b_1\hat{i} + b_2\hat{j} + b_3\hat{k})$.
$\hat{i}, \hat{j},$ અને $\hat{k}$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા,આપણને $a_1 = kb_1, a_2 = kb_2,$ અને $a_3 = kb_3$ મળે છે.
આનો અર્થ એ થાય કે $\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \frac{a_3}{b_3} = k$.
આમ,સમાંતર સદિશો માટેની સાચી શરત $\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \frac{a_3}{b_3}$ છે.

(A) સદિશ સરવાળાના ત્રિકોણના નિયમ મુજબ,કોઈપણ ત્રિકોણ $ABC$ માટે,બાજુઓ પરના સદિશોનો ક્રમમાં સરવાળો શૂન્ય થાય છે.
$\overline{AB} + \overline{BC} + \overline{CA} = (\overline{AB} + \overline{BC}) + \overline{CA}$
ત્રિકોણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\overline{AB} + \overline{BC} = \overline{AC}$.
તેથી,$\overline{AC} + \overline{CA} = \overline{AC} - \overline{AC} = 0$.
આમ,વિધાન $(A)$ સાચું છે.
કારણ $(R)$ જણાવે છે કે જો $\overline{AB} = \vec{a}$ અને $\overline{BC} = \vec{b}$ હોય,તો $\overline{AC} = \vec{a} + \vec{b}$. આ સરવાળાના ત્રિકોણના નિયમનું સાચું વિધાન છે.
કારણ કે સરવાળો $\overline{AB} + \overline{BC} + \overline{CA} = 0$ એ સીધો ત્રિકોણના નિયમ $\overline{AB} + \overline{BC} = \overline{AC}$ પરથી મેળવવામાં આવે છે,તેથી કારણ $(R)$ એ વિધાન $(A)$ માટે સાચી સમજૂતી છે.

(A) નિયમિત ષટકોણ $ABCDEF$ માં,કેન્દ્ર $O$ એ રીતે છે કે $\vec{OA} = \vec{BC} = \bar{b}$ અને $\vec{AB} = \bar{a}$ થાય.
નિયમિત ષટકોણ હોવાથી,સદિશ $\vec{FA}$ એ $\vec{CD}$ ને સમાંતર અને સમાન મૂલ્ય ધરાવે છે.
નિયમિત ષટકોણમાં સદિશોના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા,આપણે જાણીએ છીએ કે $\vec{CD} = \vec{BC} - \vec{AB} = \bar{b} - \bar{a}$.
તેથી,$\vec{FA} = \vec{CD} = \bar{b} - \bar{a}$ થાય.

(B) યામક્ષોના ભ્રમણ દરમિયાન સદિશનું માન અચળ રહે છે.
મૂળ સંહતિમાં ઘટકો $(2p, 1)$ હોવાથી,માનનો વર્ગ $|\vec{a}|^2 = (2p)^2 + 1^2 = 4p^2 + 1$ થાય.
નવી સંહતિમાં ઘટકો $(p + 1, 1)$ હોવાથી,માનનો વર્ગ $|\vec{a}|^2 = (p + 1)^2 + 1^2 = p^2 + 2p + 2$ થાય.
બંને માનના વર્ગને સરખાવતા:
$4p^2 + 1 = p^2 + 2p + 2$
$3p^2 - 2p - 1 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$(3p + 1)(p - 1) = 0$
તેથી,$p = 1$ અથવા $p = -1/3$.

(C) બે સદિશો $\vec{a} = a_1\hat{i} + a_2\hat{j}$ અને $\vec{b} = b_1\hat{i} + b_2\hat{j}$ સમાંતર હોય જો તેમના ઘટકો પ્રમાણસર હોય,એટલે કે $\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2}$.
આપેલ છે કે $\vec{a} = 4\hat{i} + 3\hat{j}$ અને $\vec{b} = 2\hat{i} + \lambda\hat{j}$.
ઘટકોની સરખામણી કરતા,આપણને મળે છે $a_1 = 4, a_2 = 3$ અને $b_1 = 2, b_2 = \lambda$.
સમાંતર સદિશોની શરતમાં આ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{4}{2} = \frac{3}{\lambda}$
$2 = \frac{3}{\lambda}$
$\lambda = \frac{3}{2}$.

(A) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A, B, C$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ છે.
$D, E, F$ એ બાજુઓ $BC, CA, AB$ ના મધ્યબિંદુઓ હોવાથી,તેમના સ્થાન સદિશો નીચે મુજબ છે:
$\vec{D} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2}$,$\vec{E} = \frac{\vec{c} + \vec{a}}{2}$,$\vec{F} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$.
હવે,સદિશોનો સરવાળો ગણીએ:
$\vec{AD} + \vec{BE} + \vec{CF} = (\vec{D} - \vec{A}) + (\vec{E} - \vec{B}) + (\vec{F} - \vec{C})$
$= (\frac{\vec{b} + \vec{c}}{2} - \vec{a}) + (\frac{\vec{c} + \vec{a}}{2} - \vec{b}) + (\frac{\vec{a} + \vec{b}}{2} - \vec{c})$
$= (\frac{\vec{b} + \vec{c} + \vec{c} + \vec{a} + \vec{a} + \vec{b}}{2}) - (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$
$= (\frac{2\vec{a} + 2\vec{b} + 2\vec{c}}{2}) - (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$
$= (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) - (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) = \vec{0}$.

(C) આપેલ છે કે સદિશોના માન સમાન છે,તેથી $|\vec{a}| = |\vec{b}|$.
$\vec{a}$ નું માન ગણતા: $|\vec{a}| = \sqrt{\lambda^2 + 2^2 + (-3)^2} = \sqrt{\lambda^2 + 4 + 9} = \sqrt{\lambda^2 + 13}$.
$\vec{b}$ નું માન ગણતા: $|\vec{b}| = \sqrt{(\sqrt{\lambda})^2 + (\sqrt{13})^2} = \sqrt{\lambda + 13}$.
બંને માનને સરખાવતા: $\sqrt{\lambda^2 + 13} = \sqrt{\lambda + 13}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\lambda^2 + 13 = \lambda + 13$.
બંને બાજુથી $13$ બાદ કરતા: $\lambda^2 - \lambda = 0$.
સમીકરણના અવયવ પાડતા: $\lambda(\lambda - 1) = 0$.
આમ,$\lambda = 0$ અથવા $\lambda = 1$.

(C) પરિણામી સદિશ $\vec{R}$ એ $\vec{R} = \vec{r}_1 + \vec{r}_2$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ સદિશોની કિંમત મૂકતા: $\vec{R} = (2\hat{i} + 4\hat{j} - 5\hat{k}) + (\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) = 3\hat{i} + 6\hat{j} - 2\hat{k}$.
પરિણામી સદિશનું માન $|\vec{R}| = \sqrt{3^2 + 6^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 36 + 4} = \sqrt{49} = 7$ છે.
$\vec{R}$ ને સમાંતર એકમ સદિશ $\hat{u} = \frac{\vec{R}}{|\vec{R}|} = \frac{3\hat{i} + 6\hat{j} - 2\hat{k}}{7}$ થાય.

(D) આપેલ છે કે $\vec{a} + 2\vec{b}$ એ $\vec{c}$ સાથે સમરેખ છે અને $\vec{b} + 3\vec{c}$ એ $\vec{a}$ સાથે સમરેખ છે.
આનો અર્થ એ છે કે $\vec{a} + 2\vec{b} = k_1 \vec{c}$ અને $\vec{b} + 3\vec{c} = k_2 \vec{a}$ કોઈ શૂન્યેતર અદિશ $k_1$ અને $k_2$ માટે.
પ્રથમ સમીકરણ પરથી,$\vec{a} = k_1 \vec{c} - 2\vec{b}$.
આ કિંમત બીજા સમીકરણમાં મૂકતા: $\vec{b} + 3\vec{c} = k_2(k_1 \vec{c} - 2\vec{b})$.
પદોને ગોઠવતા: $\vec{b} + 3\vec{c} = k_1 k_2 \vec{c} - 2k_2 \vec{b}$.
$(1 + 2k_2) \vec{b} + (3 - k_1 k_2) \vec{c} = \vec{0}$.
કારણ કે $\vec{b}$ અને $\vec{c}$ સમરેખ નથી,તેથી તેમના સહગુણકો શૂન્ય હોવા જોઈએ:
$1 + 2k_2 = 0 \Rightarrow k_2 = -\frac{1}{2}$.
$3 - k_1 k_2 = 0 \Rightarrow 3 - k_1(-\frac{1}{2}) = 0 \Rightarrow 3 + \frac{k_1}{2} = 0 \Rightarrow k_1 = -6$.
$k_1 = -6$ ને પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા: $\vec{a} + 2\vec{b} = -6\vec{c}$.
તેથી,$\vec{a} + 2\vec{b} + 6\vec{c} = \vec{0}$.

(A) $\overline{PQ}$ નો સ્થાન સદિશ = $Q$ નો સ્થાન સદિશ - $P$ નો સ્થાન સદિશ = $(\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) - (2\hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k}) = -\hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k}$.
$\overline{RS}$ નો સ્થાન સદિશ = $S$ નો સ્થાન સદિશ - $R$ નો સ્થાન સદિશ = $(\hat{i} + 10\hat{j} + 10\hat{k}) - (-5\hat{i} + 4\hat{j} - 2\hat{k}) = 6\hat{i} + 6\hat{j} + 12\hat{k}$.
જો $\overline{PQ} \parallel \overline{RS}$ હોય,તો તેમના ઘટકોનો ગુણોત્તર સમાન હોવો જોઈએ:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{-1}{6} = \frac{-1}{6} = \frac{-2}{12}$.
અપૂર્ણાંકોનું સાદું રૂપ આપતા: $-\frac{1}{6} = -\frac{1}{6} = -\frac{1}{6}$.
ગુણોત્તર સમાન હોવાથી,સદિશો સમાંતર છે. તેથી,$\overline{PQ} \parallel \overline{RS}$.

(D) ધારો કે $BC$ નું મધ્યબિંદુ $D$ છે. શિરોબિંદુ $A$ માંથી પસાર થતી મધ્યગા સદિશ $\overline{AD}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
ત્રિકોણની મધ્યગાના ગુણધર્મ મુજબ,$\overline{AD} = \frac{\overline{AB} + \overline{AC}}{2}$.
આપેલા સદિશોની કિંમત મૂકતા: $\overline{AD} = \frac{(3\hat{i} + 4\hat{k}) + (5\hat{i} - 2\hat{j} + 4\hat{k})}{2}$.
$\overline{AD} = \frac{8\hat{i} - 2\hat{j} + 8\hat{k}}{2} = 4\hat{i} - \hat{j} + 4\hat{k}$.
મધ્યગાની લંબાઈ એ સદિશ $\overline{AD}$ નું માન છે:
$|\overline{AD}| = \sqrt{4^2 + (-1)^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 1 + 16} = \sqrt{33}$ એકમ.

(C) આપેલા બિંદુઓ $A(2, 3, 5)$,$B(1, 2, 3)$,$C(-5, 4, -2)$ અને $D(1, 10, 10)$ છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે સદિશો $\vec{AB}$ અને $\vec{CD}$ શોધીએ:
$\vec{AB} = (1-2, 2-3, 3-5) = (-1, -1, -2)$
$\vec{CD} = (1-(-5), 10-4, 10-(-2)) = (6, 6, 12)$
હવે,$\vec{AB}$ અને $\vec{CD}$ વચ્ચેનો સંબંધ તપાસીએ:
$\vec{CD} = (6, 6, 12) = -6(-1, -1, -2) = -6 \vec{AB}$
અહીં $\vec{CD} = k \vec{AB}$ જ્યાં $k = -6$ છે,તેથી સદિશો સમાંતર છે.
તેથી,$\vec{AB} \parallel \vec{CD}$.

(D) અહીં બિંદુઓ $P(1, 3, -7)$ અને $Q(5, -2, 4)$ આપેલા છે.
સદિશ $\vec{PQ} = (5-1, -2-3, 4-(-7)) = (4, -5, 11)$ થાય.
સદિશ $\vec{PQ}$ નું માન $|\vec{PQ}| = \sqrt{4^2 + (-5)^2 + 11^2}$ છે.
$|\vec{PQ}| = \sqrt{16 + 25 + 121}$.
$|\vec{PQ}| = \sqrt{162}$.

(D) રેખાખંડ $AB$ ના દિકગુણોત્તરો $(x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1) = (4-1, 5-2, 7-3) = (3, 3, 4)$ છે.
ધારો કે $a_1 = 3, b_1 = 3, c_1 = 4$.
રેખાખંડ $CD$ ના દિકગુણોત્તરો $(x_4 - x_3, y_4 - y_3, z_4 - z_3) = (2 - (-4), 9 - 3, 2 - (-6)) = (6, 6, 8)$ છે.
ધારો કે $a_2 = 6, b_2 = 6, c_2 = 8$.
અહીં જોઈ શકાય છે કે $(a_2, b_2, c_2) = 2 \times (a_1, b_1, c_1)$.
દિકગુણોત્તરો પ્રમાણમાં હોવાથી,રેખાઓ $AB$ અને $CD$ સમાંતર છે.
તેથી,તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $0$ થાય.

(D) અહીં,$p = (7, -2, 3)$ અને $q = (3, 1, 5)$ આપેલ છે.
સૌ પ્રથમ,$p - 2q$ ની ગણતરી કરીએ:
$p - 2q = (7, -2, 3) - 2(3, 1, 5)$
$= (7, -2, 3) - (6, 2, 10)$
$= (7 - 6, -2 - 2, 3 - 10)$
$= (1, -4, -7)$
હવે,મળેલા સદિશનું માન શોધીએ:
$|p - 2q| = \sqrt{(1)^2 + (-4)^2 + (-7)^2}$
$= \sqrt{1 + 16 + 49}$
$= \sqrt{66}$

(A) ધારો કે બિંદુ $X$ ના યામ $(a, b, c)$ છે.
આપેલ છે કે $\vec{AB} = \vec{CX}$.
સદિશ $\vec{AB}$ ની ગણતરી $(0 - 1, 1 - 0, 0 - 0) = (-1, 1, 0)$ મુજબ થાય છે.
સદિશ $\vec{CX}$ ની ગણતરી $(a - 0, b - 0, c - 1) = (a, b, c - 1)$ મુજબ થાય છે.
બંને સદિશોને સરખાવતા: $(-1, 1, 0) = (a, b, c - 1)$.
ઘટકોની સરખામણી કરતા,આપણને મળે છે:
$a = -1$
$b = 1$
$c - 1 = 0 \implies c = 1$
આમ,બિંદુ $X$ એ $(-1, 1, 1)$ છે.

(A) ધારો કે આપેલ બિંદુ $A = \hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ છે અને રેખાનો દિશા સદિશ $\vec{v} = 3\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ છે.
$A$ માંથી પસાર થતી અને $\vec{v}$ ને સમાંતર રેખાનું સમીકરણ $\vec{r} = A + \lambda\vec{v}$ છે.
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $P = (\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}) + \lambda(3\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$ દ્વારા મળે છે.
સદિશ $\vec{AP} = P - A = \lambda(3\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$.
$A$ અને $P$ વચ્ચેનું અંતર $|\vec{AP}| = |\lambda| \sqrt{3^2 + 1^2 + 1^2} = |\lambda| \sqrt{11}$ છે.
અંતર $3\sqrt{11}$ આપેલ હોવાથી,$|\lambda| \sqrt{11} = 3\sqrt{11}$,જેનો અર્થ છે કે $|\lambda| = 3$,તેથી $\lambda = \pm 3$.
$\lambda = 3$ માટે,$P = (\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}) + 3(3\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = 10\hat{i} + 2\hat{j} + 5\hat{k}$.
$\lambda = -3$ માટે,$P = (\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}) - 3(3\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = -8\hat{i} - 4\hat{j} - \hat{k}$.
આમ,શક્ય સ્થાનસદિશો $10\hat{i} + 2\hat{j} + 5\hat{k}$ અને $-8\hat{i} - 4\hat{j} - \hat{k}$ છે.

(C) ધારો કે $l, m, n$ એ સદિશ $\vec{r}$ ના દિકકોસાઈન છે.
સદિશ $\vec{r}$ એ $OX, OY$ અને $OZ$ અક્ષો સાથે સમાન ખૂણા $\alpha$ બનાવે છે,તેથી $\alpha = \beta = \gamma$.
આથી,$l = \cos \alpha, m = \cos \beta = \cos \alpha, n = \cos \gamma = \cos \alpha$.
તેથી,$l = m = n$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $l^2 + m^2 + n^2 = 1$.
$l=m=n$ મૂકતા,આપણને $3l^2 = 1$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $l^2 = \frac{1}{3}$,તેથી $l = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$.
$l=m=n$ હોવાથી,દિકકોસાઈન $(l, m, n)$ ના મૂલ્યો $(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}), (-\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}), (\frac{1}{\sqrt{3}}, -\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}), (\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, -\frac{1}{\sqrt{3}}), (-\frac{1}{\sqrt{3}}, -\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}), (-\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, -\frac{1}{\sqrt{3}}), (\frac{1}{\sqrt{3}}, -\frac{1}{\sqrt{3}}, -\frac{1}{\sqrt{3}}),$ અને $(-\frac{1}{\sqrt{3}}, -\frac{1}{\sqrt{3}}, -\frac{1}{\sqrt{3}})$ હોઈ શકે.
દરેક ચિહ્નોનું સંયોજન એક અલગ દિશા દર્શાવે છે,આમ કુલ $2^3 = 8$ શક્ય સદિશો મળે છે.

(D) પ્રથમ,આપણે ત્રિકોણની બાજુઓ માટે સદિશોની ગણતરી કરીએ:
$\vec{AB} = (4-2, 5-4, 1-(-1)) = (2, 1, 2)$. તેની લંબાઈ $|\vec{AB}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{4+1+4} = \sqrt{9} = 3$ છે.
$\vec{BC} = (3-4, 6-5, -3-1) = (-1, 1, -4)$. તેની લંબાઈ $|\vec{BC}| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + (-4)^2} = \sqrt{1+1+16} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ છે.
$\vec{CA} = (2-3, 4-6, -1-(-3)) = (-1, -2, 2)$. તેની લંબાઈ $|\vec{CA}| = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{1+4+4} = \sqrt{9} = 3$ છે.
અહીં $|\vec{AB}| = |\vec{CA}| = 3$ હોવાથી,ત્રિકોણ સમદ્રીબાજુ છે.
હવે,કાટકોણની શરત તપાસીએ: $|\vec{AB}|^2 + |\vec{CA}|^2 = 3^2 + 3^2 = 9 + 9 = 18$.
વળી,$|\vec{BC}|^2 = (3\sqrt{2})^2 = 18$.
કારણ કે $|\vec{AB}|^2 + |\vec{CA}|^2 = |\vec{BC}|^2$,તેથી આ ત્રિકોણ શિરોબિંદુ $A$ આગળ કાટકોણ ધરાવે છે.
તેથી,$\Delta ABC$ એ સમદ્રીબાજુ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.

(D) આપેલ છે કે $\vec{a} = 8\vec{b}$ અને $\vec{c} = -7\vec{b}$.
કારણ કે $\vec{a}$ એ $\vec{b}$ નો ધન અદિશ ગુણાંક છે,તેથી $\vec{a}$ એ $\vec{b}$ ની દિશામાં જ છે.
કારણ કે $\vec{c}$ એ $\vec{b}$ નો ઋણ અદિશ ગુણાંક છે,તેથી $\vec{c}$ એ $\vec{b}$ ની વિરુદ્ધ દિશામાં છે.
તેથી,$\vec{a}$ અને $\vec{c}$ પરસ્પર વિરુદ્ધ દિશામાં છે.
પરસ્પર વિરુદ્ધ દિશામાં રહેલા બે સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો $180^\circ$ (અથવા $\pi$ રેડિયન) હોય છે.
આમ,$\vec{a}$ અને $\vec{c}$ વચ્ચેનો ખૂણો $180^\circ$ છે.

(B) ધારો કે સદિશ $\vec{v} = (a, b, c) = (6, -3, 2)$ છે.
સદિશનું માન $|\vec{v}| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$ દ્વારા મળે છે.
$|\vec{v}| = \sqrt{6^2 + (-3)^2 + 2^2} = \sqrt{36 + 9 + 4} = \sqrt{49} = 7$.
સદિશની દિકકોસાઇન $(l, m, n)$ તેના ઘટકોને સદિશના માન વડે ભાગવાથી મળે છે:
$l = \frac{a}{|\vec{v}|} = \frac{6}{7}$,
$m = \frac{b}{|\vec{v}|} = \frac{-3}{7}$,
$n = \frac{c}{|\vec{v}|} = \frac{2}{7}$.
આમ,દિકકોસાઇન $\left(\frac{6}{7}, -\frac{3}{7}, \frac{2}{7}\right)$ છે.

(A) આપેલ છે કે $\vec{r} = \lambda\vec{a} + \mu\vec{b} + \gamma\vec{c}$.
સદિશોની કિંમતો મૂકતા: $3\hat{i} + 2\hat{j} - 5\hat{k} = \lambda(2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) + \mu(\hat{i} + 3\hat{j} - 2\hat{k}) + \gamma(-2\hat{i} + \hat{j} - 3\hat{k})$.
$\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$ ના સહગુણકોને સરખાવતા:
$2\lambda + \mu - 2\gamma = 3$ $(1)$
$-\lambda + 3\mu + \gamma = 2$ $(2)$
$\lambda - 2\mu - 3\gamma = -5$ $(3)$
આ સમીકરણો ઉકેલતા:
સમીકરણ $(2)$ પરથી,$\gamma = 2 + \lambda - 3\mu$.
$\gamma$ ની કિંમત $(1)$ અને $(3)$ માં મૂકતા:
$2\lambda + \mu - 2(2 + \lambda - 3\mu) = 3 \implies 7\mu = 7 \implies \mu = 1$.
$\mu = 1$ ની કિંમત $(2)$ અને $(3)$ માં મૂકતા:
$-\lambda + 3 + \gamma = 2 \implies \gamma - \lambda = -1 \implies \gamma = \lambda - 1$.
$\lambda - 2 - 3(\lambda - 1) = -5 \implies -2\lambda + 1 = -5 \implies -2\lambda = -6 \implies \lambda = 3$.
તેથી $\gamma = 3 - 1 = 2$.
આમ,$\lambda = 3, \mu = 1, \gamma = 2$.
વિકલ્પો તપાસતા: $\mu, \frac{\lambda}{2}, \gamma$ એટલે કે $1, 1.5, 2$ જે $A.P.$ માં છે.