Basic , Modulus and Algebra of vectors Questions in Gujarati

(A) આપેલ સદિશ સમીકરણ $\alpha \vec{a} + \beta \vec{b} + \gamma \vec{c} = -3(\hat{i} - \hat{k})$ છે.
આપેલ સદિશોની કિંમત મૂકતા,$\alpha(1, 2, 3) + \beta(2, 3, 1) + \gamma(3, 1, 2) = -3(1, 0, -1)$ મળે.
આનાથી નીચે મુજબના સુરેખ સમીકરણો મળે છે:
$1) \alpha + 2\beta + 3\gamma = -3$
$2) 2\alpha + 3\beta + \gamma = 0$
$3) 3\alpha + \beta + 2\gamma = 3$
ત્રણેય સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $(\alpha + 2\alpha + 3\alpha) + (2\beta + 3\beta + \beta) + (3\gamma + \gamma + 2\gamma) = -3 + 0 + 3 \Rightarrow 6\alpha + 6\beta + 6\gamma = 0 \Rightarrow \alpha + \beta + \gamma = 0$.
સમીકરણ $(2)$ પરથી,$\gamma = -2\alpha - 3\beta$. આને $\alpha + \beta + \gamma = 0$ માં મૂકતા $\alpha + \beta - 2\alpha - 3\beta = 0 \Rightarrow -\alpha - 2\beta = 0 \Rightarrow \alpha = -2\beta$ મળે.
$\alpha = -2\beta$ ને સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા: $(-2\beta) + 2\beta + 3\gamma = -3 \Rightarrow 3\gamma = -3 \Rightarrow \gamma = -1$.
કારણ કે $\alpha + \beta + \gamma = 0$,તેથી $-2\beta + \beta - 1 = 0 \Rightarrow -\beta = 1 \Rightarrow \beta = -1$.
તેથી $\alpha = -2(-1) = 2$.
આમ,ત્રિપુટી $(\alpha, \beta, \gamma)$ એ $(2, -1, -1)$ છે.

(B) આપેલ છે કે $\vec{u} + \vec{v} + \vec{w} = \vec{0}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે $|\vec{u} + \vec{v} + \vec{w}|^2 = |\vec{0}|^2$.
નિત્યસમ $|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$|\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2 + |\vec{w}|^2 + 2(\vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{v} \cdot \vec{w} + \vec{w} \cdot \vec{u}) = 0$.
આપેલ મૂલ્યો $|\vec{u}| = 3$,$|\vec{v}| = 4$ અને $|\vec{w}| = 5$ મૂકતા:
$3^2 + 4^2 + 5^2 + 2(\vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{v} \cdot \vec{w} + \vec{w} \cdot \vec{u}) = 0$.
$9 + 16 + 25 + 2(\vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{v} \cdot \vec{w} + \vec{w} \cdot \vec{u}) = 0$.
$50 + 2(\vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{v} \cdot \vec{w} + \vec{w} \cdot \vec{u}) = 0$.
$2(\vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{v} \cdot \vec{w} + \vec{w} \cdot \vec{u}) = -50$.
તેથી,$\vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{v} \cdot \vec{w} + \vec{w} \cdot \vec{u} = -25$.

(A) કારણ કે $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ સુરેખ રીતે આધારિત છે,આપણે કોઈ અદિશ $\lambda \neq 0$ માટે $\vec{b} = \lambda \vec{a}$ લખી શકીએ છીએ.
આ કિંમત આપેલ સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{|\vec{a} + \lambda \vec{a}|}{|\vec{a} - \lambda \vec{a}|} = 2$
$\frac{|1 + \lambda| |\vec{a}|}{|1 - \lambda| |\vec{a}|} = 2$
$\vec{a} \neq 0$ હોવાથી,$\frac{|1 + \lambda|}{|1 - \lambda|} = 2$ મળે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\frac{(1 + \lambda)^2}{(1 - \lambda)^2} = 4$
$(1 + \lambda)^2 = 4(1 - \lambda)^2$
$1 + 2\lambda + \lambda^2 = 4(1 - 2\lambda + \lambda^2)$
$1 + 2\lambda + \lambda^2 = 4 - 8\lambda + 4\lambda^2$
$3\lambda^2 - 10\lambda + 3 = 0$
$(3\lambda - 1)(\lambda - 3) = 0$
આમ,$\lambda = 3$ અથવા $\lambda = \frac{1}{3}$ મળે.
શરત $|\vec{b}| > |\vec{a}|$ આપેલ છે,તેથી $|\lambda \vec{a}| > |\vec{a}|$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $|\lambda| > 1$.
તેથી,$\lambda = 3$ એ એકમાત્ર માન્ય ઉકેલ છે.
આમ,$\vec{b} = 3\vec{a}$.

(A) આપેલ સમીકરણ $\vec{r} \times \vec{b} = \vec{r} \times \vec{c}$ છે.
આને $\vec{r} \times \vec{b} - \vec{r} \times \vec{c} = \vec{0}$ તરીકે લખી શકાય,જેનો અર્થ છે કે $\vec{r} \times (\vec{b} - \vec{c}) = \vec{0}$.
$\vec{b} - \vec{c} = (\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) - (3\hat{i} + 2\hat{k}) = -2\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$ ની ગણતરી કરો.
$\vec{r} \times (\vec{b} - \vec{c}) = \vec{0}$ હોવાથી,સદિશ $\vec{r}$ એ $(\vec{b} - \vec{c})$ ને સમાંતર હોવો જોઈએ.
તેથી,$\vec{r} = \lambda (-2\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k})$.
$\vec{r}$ એકમ સદિશ હોવા માટે,$|\vec{r}| = 1$ હોવું જોઈએ,તેથી $|\lambda| \sqrt{(-2)^2 + 2^2 + (-1)^2} = 1$.
$|\lambda| \sqrt{4 + 4 + 1} = 1 \Rightarrow |\lambda| \sqrt{9} = 1 \Rightarrow 3|\lambda| = 1 \Rightarrow \lambda = \pm \frac{1}{3}$.
તેથી,$\hat{r} = \pm \frac{1}{3} (-2\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}) = \pm \left( \frac{2\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}}{3} \right)$.

(B) ધારો કે $\overrightarrow{a}$ અને $\overrightarrow{b}$ બે એકમ સદિશો છે,તેથી $|\overrightarrow{a}| = |\overrightarrow{b}| = 1$. ધારો કે તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે.
તેમના સરવાળાનું માન $|\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 2(1)(1)\cos \theta} = \sqrt{2 + 2\cos \theta} = 2\cos(\theta/2)$ છે.
તેમના તફાવતનું માન $|\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}| = \sqrt{1^2 + 1^2 - 2(1)(1)\cos \theta} = \sqrt{2 - 2\cos \theta} = 2\sin(\theta/2)$ છે.
આપેલ શરત: $|\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}| < |\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}| < \sqrt{3}|\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}|$.
પ્રથમ ભાગ: $|\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}| < |\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}| \Rightarrow 2\sin(\theta/2) < 2\cos(\theta/2) \Rightarrow \tan(\theta/2) < 1 \Rightarrow \theta/2 < \pi/4 \Rightarrow \theta < \pi/2$.
બીજો ભાગ: $|\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}| < \sqrt{3}|\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}| \Rightarrow 2\cos(\theta/2) < \sqrt{3} \cdot 2\sin(\theta/2) \Rightarrow \cot(\theta/2) < \sqrt{3} \Rightarrow \tan(\theta/2) > 1/\sqrt{3} \Rightarrow \theta/2 > \pi/6 \Rightarrow \theta > \pi/3$.
આ બંનેને જોડતા,આપણને $\theta \in \left(\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}\right)$ મળે છે.

(C) સદિશ સરવાળાના ત્રિકોણના નિયમ મુજબ,આપણી પાસે છે:
$\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD} + \vec{DE} = \vec{AE}$ ........$(1)$
તે જ રીતે,બીજા માર્ગ માટે:
$\vec{AH} + \vec{HG} + \vec{GF} + \vec{FE} = \vec{AE}$ ........$(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને સમીકરણ $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD} + \vec{DE} + \vec{AH} + \vec{HG} + \vec{GF} + \vec{FE} = \vec{AE} + \vec{AE} = 2\vec{AE}$

(D) સદિશ $\overrightarrow{a}$ નો $\overrightarrow{b}$ પરનો પ્રક્ષેપ $\frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સદિશ $\overrightarrow{b}$ નો $\overrightarrow{a}$ પરનો પ્રક્ષેપ $\frac{\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\overrightarrow{a}$ નો $\overrightarrow{b}$ પરનો પ્રક્ષેપ અને $\overrightarrow{b}$ નો $\overrightarrow{a}$ પરના પ્રક્ષેપનો ગુણોત્તર:
$\frac{\frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}}{\frac{\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|}} = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|} \times \frac{|\overrightarrow{a}|}{\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{a}}$
અદિશ ગુણાકાર ક્રમનો નિયમ પાળતો હોવાથી,$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{a}$ થાય.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow{b}|} = \frac{2}{3}$ મળે છે.

(D) બિંદુઓ $A, B, C$ ના સ્થાન સદિશો $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j}$,$\vec{b} = \hat{i} - \hat{j}$,અને $\vec{c} = p\hat{i} - q\hat{j} + r\hat{k}$ છે.
બિંદુઓ $A, B, C$ સમરેખ હોવા માટે,સદિશો $\overrightarrow{AB}$ અને $\overrightarrow{AC}$ સમાંતર હોવા જોઈએ,એટલે કે કોઈ અદિશ $\lambda$ માટે $\overrightarrow{AC} = \lambda \overrightarrow{AB}$ થાય.
$\overrightarrow{AB} = \vec{b} - \vec{a} = (\hat{i} - \hat{j}) - (\hat{i} + \hat{j}) = -2\hat{j}$ ગણો.
$\overrightarrow{AC} = \vec{c} - \vec{a} = (p-1)\hat{i} - (q+1)\hat{j} + r\hat{k}$ ગણો.
$\overrightarrow{AC} = \lambda \overrightarrow{AB}$ હોવાથી,$(p-1)\hat{i} - (q+1)\hat{j} + r\hat{k} = -2\lambda\hat{j}$ મળે.
$\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$1$) $p-1 = 0 \implies p = 1$.
$2$) $-(q+1) = -2\lambda \implies q+1 = 2\lambda$.
$3$) $r = 0$.
વિકલ્પ $D$ મુજબ,જો $p=1, q=2, r=0$ હોય,તો $2+1 = 2\lambda \implies 3 = 2\lambda \implies \lambda = 1.5$. આ એક માન્ય અદિશ છે,તેથી બિંદુઓ સમરેખ છે. આમ,$p=1, q=2, r=0$ એ સાચી શક્યતા છે.

(B) આપેલ છે કે $p = (x + 4y)\vec{a} + (2x + y + 1)\vec{b}$ અને $q = (y - 2x + 2)\vec{a} + (2x - 3y - 1)\vec{b}$.
$3p = 2q$ હોવાથી:
$3[(x + 4y)\vec{a} + (2x + y + 1)\vec{b}] = 2[(y - 2x + 2)\vec{a} + (2x - 3y - 1)\vec{b}]$
$(3x + 12y)\vec{a} + (6x + 3y + 3)\vec{b} = (2y - 4x + 4)\vec{a} + (4x - 6y - 2)\vec{b}$
$\vec{a}$ અને $\vec{b}$ અસમરેખ હોવાથી,સહગુણકોને સરખાવતા:
$1) 3x + 12y = 2y - 4x + 4 \Rightarrow 7x + 10y = 4$
$2) 6x + 3y + 3 = 4x - 6y - 2 \Rightarrow 2x + 9y = -5$
સમીકરણ $(1)$ ને $2$ વડે અને $(2)$ ને $7$ વડે ગુણતા:
$14x + 20y = 8$
$14x + 63y = -35$
બાદબાકી કરતા: $(63y - 20y) = -35 - 8 \Rightarrow 43y = -43 \Rightarrow y = -1$
$y = -1$ ને $2x + 9y = -5$ માં મૂકતા:
$2x + 9(-1) = -5 \Rightarrow 2x - 9 = -5 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2$
આમ,$x = 2$ અને $y = -1$ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે $|\vec{a}| = 1$,$|\vec{b}| = 1$,અને $|\vec{a} - \vec{b}| = 1$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|\vec{a} - \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b})$.
જ્યાં $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$ અને $\theta$ એ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
તેથી,$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2|\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$1^2 = 1^2 + 1^2 - 2(1)(1) \cos \theta$
$1 = 1 + 1 - 2 \cos \theta$
$1 = 2 - 2 \cos \theta$
$2 \cos \theta = 1$
$\cos \theta = \frac{1}{2}$
તેથી,$\theta = \frac{\pi}{3}$.

(C) ધારો કે $\triangle ABC$ ના મધ્યકેન્દ્રનો સ્થાન સદિશ $\vec{G}$ છે. આપણે જાણીએ છીએ કે $\vec{G} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}$.
ધારો કે $\vec{H}$ એ લંબકેન્દ્રનો સ્થાન સદિશ છે અને $\vec{P}$ એ પરિકેન્દ્રનો સ્થાન સદિશ છે. આપણને આપેલ છે કે $\vec{P} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{4}$.
કોઈપણ ત્રિકોણમાં,મધ્યકેન્દ્ર $\vec{G}$ એ લંબકેન્દ્ર $\vec{H}$ અને પરિકેન્દ્ર $\vec{P}$ ને જોડતા રેખાખંડનું $2:1$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે. એટલે કે,$\vec{G} = \frac{2\vec{P} + 1\vec{H}}{2+1} = \frac{2\vec{P} + \vec{H}}{3}$.
તેથી,$3\vec{G} = 2\vec{P} + \vec{H}$,જેનો અર્થ છે કે $\vec{H} = 3\vec{G} - 2\vec{P}$.
$\vec{G}$ અને $\vec{P}$ ની કિંમતો મૂકતા:
$\vec{H} = 3\left(\frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}\right) - 2\left(\frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{4}\right)$
$\vec{H} = (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) - \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{2}$
$\vec{H} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{2}$.

(C) આપેલ છે કે $|2\vec{a} - \vec{b}| = 5$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$|2\vec{a} - \vec{b}|^2 = 25$.
ગુણધર્મ $|\vec{u} - \vec{v}|^2 = |\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2 - 2(\vec{u} \cdot \vec{v})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$4|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 25$.
$|\vec{a}| = 2$ અને $|\vec{b}| = 3$ મૂકતા:
$4(2)^2 + (3)^2 - 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 25$.
$16 + 9 - 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 25$.
$25 - 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 25 \implies 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 0 \implies \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.
હવે,$|2\vec{a} + \vec{b}|$ શોધવા માટે:
$|2\vec{a} + \vec{b}|^2 = 4|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 4(\vec{a} \cdot \vec{b})$.
કિંમતો મૂકતા:
$|2\vec{a} + \vec{b}|^2 = 4(4) + 9 + 4(0) = 16 + 9 = 25$.
તેથી,$|2\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{25} = 5$.

(D) ધારો કે $\vec{c} = a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}$.
આપેલ છે કે $\vec{c} \times (\hat{i} + 2\hat{j} + 5\hat{k}) = \vec{0}$,જેનો અર્થ છે કે $\vec{c}$ એ સદિશ $\vec{v} = \hat{i} + 2\hat{j} + 5\hat{k}$ ને સમાંતર છે.
તેથી,કોઈ અદિશ $k$ માટે $\vec{c} = k(\hat{i} + 2\hat{j} + 5\hat{k})$ થાય.
આપેલ છે કે $|\vec{c}|^2 = 60$,તેથી $k^2(1^2 + 2^2 + 5^2) = 60$.
$k^2(1 + 4 + 25) = 60 \Rightarrow 30k^2 = 60 \Rightarrow k^2 = 2 \Rightarrow k = \pm\sqrt{2}$.
$k = \sqrt{2}$ લેતા,આપણને $\vec{c} = \sqrt{2}\hat{i} + 2\sqrt{2}\hat{j} + 5\sqrt{2}\hat{k}$ મળે.
હવે,અદિશ ગુણાકાર $\vec{c} \cdot (-7\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k})$ ની ગણતરી કરીએ:
$= (\sqrt{2}\hat{i} + 2\sqrt{2}\hat{j} + 5\sqrt{2}\hat{k}) \cdot (-7\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k})$
$= \sqrt{2}(-7) + 2\sqrt{2}(2) + 5\sqrt{2}(3)$
$= -7\sqrt{2} + 4\sqrt{2} + 15\sqrt{2} = 12\sqrt{2}$.

(B) આપેલ છે કે $\hat{x}, \hat{y}, \hat{z}$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|\hat{x}| = |\hat{y}| = |\hat{z}| = 1$.
આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ સદિશો માટે,$|\hat{x} + \hat{y} + \hat{z}|^2 \geq 0$.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $|\hat{x}|^2 + |\hat{y}|^2 + |\hat{z}|^2 + 2(\hat{x} \cdot \hat{y} + \hat{y} \cdot \hat{z} + \hat{z} \cdot \hat{x}) \geq 0$ મળે છે.
માન મૂકતા,$1 + 1 + 1 + 2(\hat{x} \cdot \hat{y} + \hat{y} \cdot \hat{z} + \hat{z} \cdot \hat{x}) \geq 0$,જેનો અર્થ છે કે $3 + 2(\hat{x} \cdot \hat{y} + \hat{y} \cdot \hat{z} + \hat{z} \cdot \hat{x}) \geq 0$.
આમ,$2(\hat{x} \cdot \hat{y} + \hat{y} \cdot \hat{z} + \hat{z} \cdot \hat{x}) \geq -3$.
હવે,પદાવલિ $S = |\hat{x} + \hat{y}|^2 + |\hat{y} + \hat{z}|^2 + |\hat{z} + \hat{x}|^2$ ધ્યાનમાં લો.
$S = (\hat{x} \cdot \hat{x} + \hat{y} \cdot \hat{y} + 2\hat{x} \cdot \hat{y}) + (\hat{y} \cdot \hat{y} + \hat{z} \cdot \hat{z} + 2\hat{y} \cdot \hat{z}) + (\hat{z} \cdot \hat{z} + \hat{x} \cdot \hat{x} + 2\hat{z} \cdot \hat{x})$.
$S = 2(|\hat{x}|^2 + |\hat{y}|^2 + |\hat{z}|^2) + 2(\hat{x} \cdot \hat{y} + \hat{y} \cdot \hat{z} + \hat{z} \cdot \hat{x})$.
$S = 2(1 + 1 + 1) + 2(\hat{x} \cdot \hat{y} + \hat{y} \cdot \hat{z} + \hat{z} \cdot \hat{x}) = 6 + 2(\hat{x} \cdot \hat{y} + \hat{y} \cdot \hat{z} + \hat{z} \cdot \hat{x})$.
કારણ કે $2(\hat{x} \cdot \hat{y} + \hat{y} \cdot \hat{z} + \hat{z} \cdot \hat{x}) \geq -3$,તેથી $S$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $6 - 3 = 3$ છે.

(B) બે સદિશો $\vec{u}$ અને $\vec{v}$ સમરેખ હોય જો કોઈ શૂન્યેતર અદિશ $k$ અસ્તિત્વ ધરાવે કે જેથી $\vec{u} = k\vec{v}$ થાય.
આપેલ છે કે $\vec{u} = (\alpha - 2)\vec{a} + \vec{b}$ અને $\vec{v} = (2 + 3\alpha)\vec{a} - 3\vec{b}$.
સદિશો $\vec{u}$ અને $\vec{v}$ સમરેખ હોવાથી,$(\alpha - 2)\vec{a} + \vec{b} = k((2 + 3\alpha)\vec{a} - 3\vec{b})$.
પદોને ગોઠવતા,$(\alpha - 2 - k(2 + 3\alpha))\vec{a} + (1 + 3k)\vec{b} = 0$.
કારણ કે $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ અસમરેખ છે,તેથી તેમના સહગુણકો શૂન્ય હોવા જોઈએ.
આમ,$1 + 3k = 0 \Rightarrow k = -\frac{1}{3}$.
$k = -\frac{1}{3}$ ની કિંમત $\vec{a}$ ના સહગુણકમાં મૂકતા:
$\alpha - 2 - (-\frac{1}{3})(2 + 3\alpha) = 0$.
$\alpha - 2 + \frac{2}{3} + \alpha = 0$.
$2\alpha = 2 - \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$.
$\alpha = \frac{2}{3}$.

(A) આપેલા સદિશો $\vec{\alpha} = (\lambda - 2)\vec{a} + \vec{b}$ અને $\vec{\beta} = (4\lambda - 2)\vec{a} + 3\vec{b}$ છે.
જ્યાં $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ અસમરેખ હોવાથી,$\vec{\alpha}$ અને $\vec{\beta}$ સમરેખ ત્યારે જ થાય જો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ના સહગુણકોનો ગુણોત્તર સમાન હોય.
આથી,$\frac{\lambda - 2}{4\lambda - 2} = \frac{1}{3}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા,$3(\lambda - 2) = 1(4\lambda - 2)$.
$3\lambda - 6 = 4\lambda - 2$.
પદોને ગોઠવતા,$3\lambda - 4\lambda = -2 + 6$.
$-\lambda = 4$.
તેથી,$\lambda = -4$.

(N/A) દક્ષિણથી પશ્ચિમ તરફ $30^\circ$ ના ખૂણે $40 \, km$ ના સ્થાનાંતરને આલેખ દ્વારા દર્શાવવા માટે:
$1$. ઉત્તર $(N)$,દક્ષિણ $(S)$,પૂર્વ $(E)$ અને પશ્ચિમ $(W)$ દિશાઓ સાથે એક યામ પદ્ધતિ દોરો.
$2$. યોગ્ય માપક્રમ પસંદ કરો,ઉદાહરણ તરીકે,$1 \, cm = 10 \, km$. તેથી,$40 \, km$ એ $4 \, cm$ ની લંબાઈને અનુરૂપ છે.
$3$. ઉગમબિંદુ $O$ થી શરૂ કરીને,દક્ષિણથી પશ્ચિમ તરફ $30^\circ$ ની દિશામાં (એટલે કે,દક્ષિણ ધરીથી શરૂ કરીને પશ્ચિમ તરફ $30^\circ$ ખસીને) $4 \, cm$ લંબાઈનો રેખાખંડ $OP$ દોરો.
$4$. સદિશ $\vec{OP}$ એ દક્ષિણથી પશ્ચિમ તરફ $30^\circ$ ના ખૂણે $40 \, km$ ના જરૂરી સ્થાનાંતરને દર્શાવે છે.

(A) અદિશ રાશિ એટલે એવી ભૌતિક રાશિ કે જે માત્ર મૂલ્ય ધરાવે છે અને તેને કોઈ દિશા હોતી નથી.
સમય એ એક ભૌતિક રાશિ છે જે સેકન્ડમાં માપવામાં આવે છે. તેની સાથે કોઈ ચોક્કસ દિશા જોડાયેલી હોતી નથી.
તેથી,$5 \text{ સેકન્ડ}$ એ અદિશ રાશિ છે.

(A) આપેલ માપ $1000 \, cm^{3}$ છે,જે ઘનફળ (volume) દર્શાવે છે.
ઘનફળ એ એક એવી ભૌતિક રાશિ છે જે માત્ર મૂલ્ય ધરાવે છે,દિશા નહીં.
તેથી,ઘનફળ એ અદિશ રાશિ છે.

(B) $10 \text{ Newton}$ નું માપ બળ (force) દર્શાવે છે.
બળ એ એક ભૌતિક રાશિ છે જે મૂલ્ય અને દિશા બંને ધરાવે છે.
તેથી,બળ એ સદિશ રાશિ છે.

(A) અદિશ રાશિ એટલે એવી ભૌતિક રાશિ કે જેનું માત્ર મૂલ્ય હોય છે અને દિશા હોતી નથી.
સદિશ રાશિ એટલે એવી ભૌતિક રાશિ કે જેનું મૂલ્ય અને દિશા બંને હોય છે.
આપેલ માપ $30 \, km/hr$ છે,જે ઝડપ દર્શાવે છે.
ઝડપ એ વેગનું મૂલ્ય છે અને તેની કોઈ ચોક્કસ દિશા હોતી નથી.
તેથી,$30 \, km/hr$ એ અદિશ રાશિ છે.

(A) ઘનતા એટલે એકમ કદ દીઠ દળ. દળ અને કદ બંને અદિશ રાશિઓ હોવાથી,તેમનો ગુણોત્તર એટલે કે ઘનતા પણ અદિશ રાશિ છે. તેને માત્ર મૂલ્ય હોય છે પરંતુ કોઈ ચોક્કસ દિશા હોતી નથી. તેથી,$10 \, g/cm^3$ એ અદિશ રાશિ છે.

(B) અદિશ રાશિ માત્ર તેના મૂલ્ય દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જ્યારે સદિશ રાશિ મૂલ્ય અને દિશા બંને દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
આપેલ માપ $20 \text{ m/s}$ ઉત્તર દિશા તરફ છે.
તેમાં મૂલ્ય $(20 \text{ m/s})$ અને દિશા (ઉત્તર તરફ) બંને હોવાથી,તે એક સદિશ રાશિ છે.
તેથી,આ માપ સદિશ છે.

(N/A) જો બે કે તેથી વધુ સદિશો એક જ રેખાને સમાંતર હોય,તો તેમને સમરેખ સદિશો કહેવામાં આવે છે,પછી ભલે તેમના માન અને દિશા ગમે તે હોય.
આકૃતિ જોતા,સદિશો $\vec{c}$ અને $\vec{d}$ એક જ રેખા પર આવેલા છે (અથવા એક જ રેખાને સમાંતર છે).
તેથી,સમરેખ સદિશો $\vec{c}$ અને $\vec{d}$ છે.

(N/A) બે સદિશોને સમાન ત્યારે કહેવાય છે જ્યારે તેમનું માન (magnitude) અને દિશા સમાન હોય.
$1$. સદિશ $\vec{a}$ નું માન $1 \text{ unit}$ છે અને તે એક ચોક્કસ દિશામાં છે.
$2$. સદિશ $\vec{b}$ નું માન $2 \text{ units}$ છે અને તે અલગ દિશામાં છે.
$3$. સદિશ $\vec{c}$ નું માન $1 \text{ unit}$ છે અને તે $\vec{a}$ જેવી જ દિશામાં છે.
$4$. સદિશ $\vec{d}$ નું માન $2 \text{ units}$ છે અને તે $\vec{b}$ ની વિરુદ્ધ દિશામાં છે.
આમ,સદિશ $\vec{a}$ અને $\vec{c}$ નું માન $(1 \text{ unit})$ અને દિશા સમાન છે.
તેથી,સમાન સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{c}$ છે.

(N/A) સહ-આદિ (coinitial) સદિશો એટલે એવા સદિશો કે જેઓનું પ્રારંભિક બિંદુ સમાન હોય.
આકૃતિ જોતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે સદિશો $\vec{b}$,$\vec{c}$,અને $\vec{d}$ ત્રણેય એક જ બિંદુમાંથી ઉદ્ભવે છે.
તેથી,સહ-આદિ સદિશો $\vec{b}$,$\vec{c}$,અને $\vec{d}$ છે.

(N/A) $40 \, km$,ઉત્તરની પૂર્વ દિશામાં $30^{\circ}$ ના સ્થાનાંતરને આલેખ દ્વારા દર્શાવવા માટે:
$1$. ઉત્તર,દક્ષિણ,પૂર્વ અને પશ્ચિમ દિશાઓ સાથેની યામ પદ્ધતિ દોરો.
$2$. ઉગમબિંદુ $O$ ને પ્રારંભિક બિંદુ તરીકે લો.
$3$. ઉગમબિંદુ $O$ માંથી એક કિરણ $OP$ એવી રીતે દોરો કે જે ઉત્તર દિશા સાથે પૂર્વ તરફ $30^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે.
$4$. $1 \, cm = 10 \, km$ ના માપક્રમનો ઉપયોગ કરીને,$40 \, km$ દર્શાવવા માટે સદિશ $OP$ ની લંબાઈ $4 \, cm$ લો.
$5$. સદિશ $\overrightarrow{OP}$ એ જરૂરી સ્થાનાંતર દર્શાવે છે.

(A) અદિશ રાશિ એટલે એવી ભૌતિક રાશિ કે જેમાં માત્ર મૂલ્ય હોય છે અને દિશા હોતી નથી.
$10 \text{ kg}$ એ દળ દર્શાવે છે,જે પદાર્થમાં રહેલા દ્રવ્યના જથ્થાનું માપ છે.
દળને માત્ર મૂલ્ય હોય છે અને તેને દર્શાવવા માટે કોઈ દિશાની જરૂર પડતી નથી,તેથી તે અદિશ રાશિ છે.
આથી,$10 \text{ kg}$ એ અદિશ છે.

(B) અદિશ રાશિ ફક્ત તેના મૂલ્ય દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જ્યારે સદિશ રાશિ મૂલ્ય અને દિશા બંને દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
આપેલ માપમાં,$2 \text{ મીટર}$ એ મૂલ્ય દર્શાવે છે અને $\text{ઉત્તર-પશ્ચિમ}$ એ દિશા દર્શાવે છે.
આ માપમાં મૂલ્ય અને દિશા બંનેનો સમાવેશ થતો હોવાથી,તે એક સદિશ રાશિ છે.

(A) અદિશ રાશિ એટલે એવી ભૌતિક રાશિ કે જેમાં માત્ર મૂલ્ય હોય છે અને દિશા હોતી નથી.
સદિશ રાશિ એટલે એવી ભૌતિક રાશિ કે જેમાં મૂલ્ય અને દિશા બંને હોય છે.
માપ $40^{o}$ એ ખૂણો દર્શાવે છે,જેનું માત્ર મૂલ્ય હોય છે અને તેની સાથે કોઈ ચોક્કસ દિશા જોડાયેલી હોતી નથી.
તેથી,$40^{o}$ એ અદિશ રાશિ છે.

(A) $40$ $watt$ એ અદિશ રાશિ છે કારણ કે તે માત્ર મૂલ્ય ધરાવે છે અને તેની સાથે કોઈ દિશા જોડાયેલી નથી.

(A) અદિશ રાશિ એટલે એવી ભૌતિક રાશિ કે જેમાં માત્ર મૂલ્ય હોય છે અને દિશા હોતી નથી.
વિદ્યુતભાર,જે $Coulomb$ માં માપવામાં આવે છે,તે એક અદિશ રાશિ છે કારણ કે તેની સાથે કોઈ ચોક્કસ દિશા જોડાયેલી હોતી નથી.
તેથી,$10^{-19} \text{ Coulomb}$ એ અદિશ રાશિ છે.

(B) $20 \, m/s^{2}$ એ પ્રવેગ દર્શાવે છે.
પ્રવેગ એ સદિશ રાશિ છે કારણ કે તે મૂલ્ય અને દિશા બંને ધરાવે છે.

(A) અદિશ રાશિ એટલે એવી ભૌતિક રાશિ કે જેમાં માત્ર મૂલ્ય હોય છે અને કોઈ દિશા હોતી નથી.
સદિશ રાશિ એટલે એવી ભૌતિક રાશિ કે જેમાં મૂલ્ય અને દિશા બંને હોય છે.
સમયગાળો એ ઘટનાનો સમય દર્શાવે છે,જે ફક્ત તેના મૂલ્ય દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે (દા.ત.,$5 \text{ સેકન્ડ}$).
તેમાં કોઈ ચોક્કસ દિશા હોતી નથી,તેથી સમયગાળો એ અદિશ રાશિ છે.

(A) અદિશ રાશિ એટલે એવી ભૌતિક રાશિ કે જેમાં માત્ર મૂલ્ય હોય છે અને દિશા હોતી નથી.
અંતર એ બે બિંદુઓ વચ્ચે પદાર્થ દ્વારા કાપવામાં આવેલા કુલ પથની લંબાઈ દર્શાવે છે.
અંતર સાથે કોઈ ચોક્કસ દિશા સંકળાયેલી ન હોવાથી,તેને અદિશ રાશિ તરીકે વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે.

(B) અદિશ રાશિ માત્ર તેના મૂલ્ય દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જ્યારે સદિશ રાશિ તેના મૂલ્ય અને દિશા બંને દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
બળ એ એક ભૌતિક રાશિ છે જેને સંપૂર્ણ રીતે વર્ણવવા માટે મૂલ્ય (ધક્કો કે ખેંચાણનું પ્રમાણ) અને ચોક્કસ દિશા બંનેની જરૂર પડે છે.
તેથી,બળ એ સદિશ રાશિ છે.

(B) અદિશ રાશિ માત્ર તેના મૂલ્ય (magnitude) દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જ્યારે સદિશ રાશિ તેના મૂલ્ય અને દિશા બંને દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
વેગ એ સ્થાનાંતરના ફેરફારનો દર છે,જેમાં દિશાનો સમાવેશ થાય છે.
તેથી,વેગ એ સદિશ રાશિ છે.

(N/A) સહ-આદ્ય સદિશો એવા સદિશો છે જે એક જ બિંદુએથી શરૂ થાય છે.
ચોરસને જોતા,સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{d}$ ચોરસના ઉપરના ડાબા ખૂણેથી શરૂ થાય છે.
તેથી,$\vec{a}$ અને $\vec{d}$ સહ-આદ્ય સદિશો છે.

(N/A) બે સદિશોને સમાન કહેવામાં આવે છે જો તેમનું મૂલ્ય અને દિશા સમાન હોય.
આપેલ ચોરસમાં,સદિશ $\overrightarrow{a}$ અને $\overrightarrow{c}$ નું મૂલ્ય સમાન છે (ચોરસની બાજુની લંબાઈ) પરંતુ દિશાઓ વિરુદ્ધ છે.
સદિશ $\overrightarrow{d}$ અને $\overrightarrow{b}$ નું મૂલ્ય સમાન છે (ચોરસની બાજુની લંબાઈ) પરંતુ દિશાઓ વિરુદ્ધ છે.
સદિશોની દિશાઓ જોતા:
- $\overrightarrow{a}$ જમણી તરફ નિર્દેશ કરે છે.
- $\overrightarrow{c}$ ડાબી તરફ નિર્દેશ કરે છે.
- $\overrightarrow{d}$ નીચેની તરફ નિર્દેશ કરે છે.
- $\overrightarrow{b}$ નીચેની તરફ નિર્દેશ કરે છે.
તેથી,સદિશ $\overrightarrow{d}$ અને $\overrightarrow{b}$ સમાન છે કારણ કે તેમનું મૂલ્ય અને દિશા સમાન છે.

(N/A) બે સદિશોને સમરેખ કહેવામાં આવે છે જો તેઓ એક જ રેખાને સમાંતર હોય,તેમના મૂલ્યો અને દિશાઓને ધ્યાનમાં લીધા વગર.
આપેલ ચોરસમાં,સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{c}$ એકબીજાને સમાંતર છે પરંતુ તેમની દિશાઓ વિરુદ્ધ છે. તેથી,તેઓ સમરેખ છે.
જોકે,તેઓ સમાન નથી કારણ કે સમાન સદિશો માટે સમાન મૂલ્ય અને સમાન દિશા હોવી જરૂરી છે.
આમ,જે સદિશો સમરેખ છે પરંતુ સમાન નથી તે $\vec{a}$ અને $\vec{c}$ છે.

(A) સાચું
બે સદિશોને સમરેખ કહેવામાં આવે છે જો તેઓ એક જ રેખાને સમાંતર હોય,પછી ભલે તેમના મૂલ્યો અને દિશાઓ ગમે તે હોય.
કારણ કે $-\vec{a}$ એ $\vec{a}$ નો અદિશ ગુણાંક છે (ચોક્કસ રીતે,$-\vec{a} = -1 \times \vec{a}$),તેથી સદિશો $\vec{a}$ અને $-\vec{a}$ એકબીજાને સમાંતર છે.
તેથી,$\vec{a}$ અને $-\vec{a}$ સમરેખ છે.

(B) આ વિધાન $False$ (ખોટું) છે.
સમરેખ સદિશો એટલે એવા સદિશો જે એક જ રેખાને સમાંતર હોય,તેમના માન ગમે તે હોઈ શકે છે.
ઉદાહરણ તરીકે,જો $\vec{a} = 2\hat{i}$ અને $\vec{b} = 3\hat{i}$ હોય,તો બંને સમરેખ છે કારણ કે તે $x$-અક્ષને સમાંતર છે,પરંતુ તેમના માન $|\vec{a}| = 2$ અને $|\vec{b}| = 3$ છે,જે સમાન નથી.

(B) આ વિધાન અસત્ય છે.
બે સદિશોના માન સમાન હોય તો પણ તે એક જ રેખાને સમાંતર હોય તે જરૂરી નથી.
સમાન માન હોવાનો અર્થ એ નથી કે સદિશો સમરેખ છે.
ઉદાહરણ તરીકે,સદિશ $\vec{a} = \hat{i}$ અને સદિશ $\vec{b} = \hat{j}$ લો.
બંને સદિશોનું માન $1$ છે,પરંતુ તેઓ સમરેખ નથી કારણ કે તેઓ એક જ રેખાને સમાંતર નથી.

(B) આ વિધાન ખોટું છે.
બે સદિશોને સમાન ત્યારે કહેવાય છે જો તેમનું માન અને દિશા સમાન હોય.
સમરેખ સદિશો એવા સદિશો છે જે એક જ રેખાને સમાંતર હોય છે,પછી ભલે તેમના માન અને દિશા ગમે તે હોય.
જો બે સમરેખ સદિશોનું માન સમાન હોય તો પણ,તેમની દિશા વિરુદ્ધ હોઈ શકે છે (દા.ત.,$\vec{a}$ અને $-\vec{a}$),જે તેમને અસમાન બનાવે છે.

(A) બે સદિશો $\vec{a} = a_1 \hat{i} + a_2 \hat{j} + a_3 \hat{k}$ અને $\vec{b} = b_1 \hat{i} + b_2 \hat{j} + b_3 \hat{k}$ સમાન હોય જો અને તો જ તેમના અનુરૂપ ઘટકો સમાન હોય,એટલે કે $a_1 = b_1, a_2 = b_2$ અને $a_3 = b_3$.
આપેલ સદિશો $\vec{a} = x \hat{i} + 2 \hat{j} + z \hat{k}$ અને $\vec{b} = 2 \hat{i} + y \hat{j} + \hat{k}$ છે.
$\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ના ઘટકોની સરખામણી કરતા:
$\hat{i}$ ઘટક માટે: $x = 2$.
$\hat{j}$ ઘટક માટે: $2 = y$,જેનો અર્થ છે કે $y = 2$.
$\hat{k}$ ઘટક માટે: $z = 1$.
તેથી,કિંમતો $x = 2, y = 2, z = 1$ છે.

(N/A) આપેલ સદિશો $\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j}$ અને $\vec{b} = 2\hat{i} + \hat{j}$ છે.
સદિશ $\vec{a}$ નું માન $|\vec{a}| = \sqrt{1^{2} + 2^{2}} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$ છે.
સદિશ $\vec{b}$ નું માન $|\vec{b}| = \sqrt{2^{2} + 1^{2}} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$ છે.
તેથી,$|\vec{a}| = \sqrt{5}$ અને $|\vec{b}| = \sqrt{5}$ હોવાથી,$|\vec{a}| = |\vec{b}|$ થાય છે.
બે સદિશો ત્યારે જ સમાન કહેવાય જો તેમના અનુરૂપ ઘટકો સમાન હોય. અહીં,$\vec{a}$ ના ઘટકો $(1, 2)$ છે અને $\vec{b}$ ના ઘટકો $(2, 1)$ છે.
$(1, 2) \neq (2, 1)$ હોવાથી,સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ સમાન નથી.

(A) સદિશ $\vec{a}$ ની દિશામાં એકમ સદિશ $\hat{a} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ,સદિશ $\vec{a}$ નું માન શોધો:
$|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14}$.
હવે,સદિશ $\vec{a}$ ને તેના માન વડે ભાગતા:
$\hat{a} = \frac{1}{\sqrt{14}}(2\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}) = \frac{2}{\sqrt{14}}\hat{i} + \frac{3}{\sqrt{14}}\hat{j} + \frac{1}{\sqrt{14}}\hat{k}$.

(A) આપેલ સદિશ $\vec{a} = \hat{i} - 2\hat{j}$ નું માન $|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$ છે.
$\vec{a}$ ની દિશામાં એકમ સદિશ $\hat{a} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} = \frac{1}{\sqrt{5}}(\hat{i} - 2\hat{j}) = \frac{1}{\sqrt{5}}\hat{i} - \frac{2}{\sqrt{5}}\hat{j}$ થાય.
તેથી,$\vec{a}$ ની દિશામાં $7$ એકમ માન ધરાવતો સદિશ $7\hat{a} = 7 \left( \frac{1}{\sqrt{5}}\hat{i} - \frac{2}{\sqrt{5}}\hat{j} \right) = \frac{7}{\sqrt{5}}\hat{i} - \frac{14}{\sqrt{5}}\hat{j}$ મળે.

(A) ધારો કે $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$.
આપેલ છે કે $\vec{a} = 2\hat{i} + 2\hat{j} - 5\hat{k}$ અને $\vec{b} = 2\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}$.
તેથી $\vec{c} = (2+2)\hat{i} + (2+1)\hat{j} + (-5+3)\hat{k} = 4\hat{i} + 3\hat{j} - 2\hat{k}$.
$\vec{c}$ નું માન $|\vec{c}| = \sqrt{4^2 + 3^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 9 + 4} = \sqrt{29}$ છે.
$\vec{c}$ ની દિશામાં એકમ સદિશ $\hat{c} = \frac{\vec{c}}{|\vec{c}|}$ દ્વારા મળે છે.
$\hat{c} = \frac{1}{\sqrt{29}}(4\hat{i} + 3\hat{j} - 2\hat{k}) = \frac{4}{\sqrt{29}}\hat{i} + \frac{3}{\sqrt{29}}\hat{j} - \frac{2}{\sqrt{29}}\hat{k}$.

(A) સદિશ $P$ થી $Q$ તરફ નિર્દેશિત હોવાથી,$P$ એ પ્રારંભિક બિંદુ છે અને $Q$ એ અંતિમ બિંદુ છે.
સદિશ $\overrightarrow{PQ}$ એ અંતિમ બિંદુ અને પ્રારંભિક બિંદુના સ્થાન સદિશોના તફાવત દ્વારા મળે છે:
$\overrightarrow{PQ} = (x_2 - x_1)\hat{i} + (y_2 - y_1)\hat{j} + (z_2 - z_1)\hat{k}$
અહીં $P(2, 3, 0)$ અને $Q(-1, -2, -4)$ આપેલ છે:
$\overrightarrow{PQ} = (-1 - 2)\hat{i} + (-2 - 3)\hat{j} + (-4 - 0)\hat{k}$
$\overrightarrow{PQ} = -3\hat{i} - 5\hat{j} - 4\hat{k}$