Basic , Modulus and Algebra of vectors Questions in Gujarati

(A) બે સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ સમરેખ હોય જો કોઈ અદિશ $m$ માટે $\vec{a} = m\vec{b}$ થાય.
આપેલ છે કે $\vec{a} = \hat{i} - \hat{j}$ અને $\vec{b} = -2\hat{i} + k\hat{j}$.
સદિશો મૂકતા,આપણને મળે $\hat{i} - \hat{j} = m(-2\hat{i} + k\hat{j})$.
બંને બાજુ $\hat{i}$ અને $\hat{j}$ ના સહગુણકોને સરખાવતા:
$\hat{i}$ માટે: $1 = -2m \implies m = -1/2$.
$\hat{j}$ માટે: $-1 = mk$.
$m = -1/2$ ને બીજા સમીકરણમાં મૂકતા: $-1 = (-1/2)k$.
$k$ માટે ઉકેલતા,આપણને $k = 2$ મળે છે.

(A) ધારો કે સદિશ $a$ ને તેના ઘટકોના સ્વરૂપમાં $a = x i + y j + z k$ તરીકે દર્શાવેલ છે.
તો,$a$ નો એકમ સદિશો $i, j, k$ સાથેનો અદિશ ગુણાકાર નીચે મુજબ છે:
$a \cdot i = (x i + y j + z k) \cdot i = x$
$a \cdot j = (x i + y j + z k) \cdot j = y$
$a \cdot k = (x i + y j + z k) \cdot k = z$
આ કિંમતોને આપેલ પદાવલિમાં મૂકતા:
$(a \cdot i)i + (a \cdot j)j + (a \cdot k)k = x i + y j + z k$
કારણ કે $x i + y j + z k = a$,તેથી આ પદાવલિનું સાદું રૂપ $a$ મળે છે.

(D) ધારો કે $r = xi + yj + zk$.
આપેલ છે કે $r \cdot i = r \cdot j = r \cdot k$, તેથી $x = y = z$ મળે।
ધારો કે $x = y = z = a$. તો $r = a(i + j + k)$ થાય।
આપેલ છે કે $|r| = 3$, તેથી $\sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = 3$.
$\sqrt{3a^2} = 3 \Rightarrow |a|\sqrt{3} = 3$.
$|a| = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$.
આમ, $a = \pm \sqrt{3}$.
તેથી, $r = \pm \sqrt{3}(i + j + k)$.

(D) ધારો કે $\vec{v} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$. તેનું માન $|\vec{v}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$ છે.
$\vec{v}$ અને $\hat{i}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\alpha$ એ $\cos \alpha = \frac{\vec{v} \cdot \hat{i}}{|\vec{v}| |\hat{i}|} = \frac{(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) \cdot \hat{i}}{\sqrt{3} \cdot 1} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ દ્વારા મળે છે. તેથી,$\alpha = \cos^{-1}(\frac{1}{\sqrt{3}})$.
$\vec{v}$ અને $\hat{j}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\beta$ એ $\cos \beta = \frac{\vec{v} \cdot \hat{j}}{|\vec{v}| |\hat{j}|} = \frac{(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) \cdot \hat{j}}{\sqrt{3} \cdot 1} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ દ્વારા મળે છે. તેથી,$\beta = \cos^{-1}(\frac{1}{\sqrt{3}})$.
$\vec{v}$ અને $\hat{k}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\gamma$ એ $\cos \gamma = \frac{\vec{v} \cdot \hat{k}}{|\vec{v}| |\hat{k}|} = \frac{(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) \cdot \hat{k}}{\sqrt{3} \cdot 1} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ દ્વારા મળે છે. તેથી,$\gamma = \cos^{-1}(\frac{1}{\sqrt{3}})$.
આમ,$\alpha = \beta = \gamma$ થાય છે.

(B) ધારો કે સદિશ $r = xi + yj + zk$ છે।
તેથી, ડોટ ગુણાકાર નીચે મુજબ થશે:
$r \cdot i = x$
$r \cdot j = y$
$r \cdot k = z$
આ કિંમતોને આપેલ પદાવલિમાં મૂકતા:
$(r \cdot i)^2 + (r \cdot j)^2 + (r \cdot k)^2 = x^2 + y^2 + z^2$
સદિશ $r$ નું માન $|r| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ હોવાથી, $|r|^2 = x^2 + y^2 + z^2 = r^2$ થાય।
તેથી, $(r \cdot i)^2 + (r \cdot j)^2 + (r \cdot k)^2 = r^2$ મળે છે।

(B) ધારો કે એકમ સદિશ $\vec{r} = y\hat{j} + z\hat{k}$ છે. તે એકમ સદિશ હોવાથી,$|\vec{r}| = \sqrt{y^2 + z^2} = 1$ થાય.
સદિશ $\vec{r}$ અને $y$-અક્ષ $(\hat{j})$ વચ્ચેનો ખૂણો $\alpha$ માટે,$\cos(30^\circ) = \frac{\vec{r} \cdot \hat{j}}{|\vec{r}| |\hat{j}|} = \frac{y}{1 \times 1} = y$.
તેથી,$y = \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
સદિશ $\vec{r}$ અને $z$-અક્ષ $(\hat{k})$ વચ્ચેનો ખૂણો $\beta$ માટે,$\cos(60^\circ) = \frac{\vec{r} \cdot \hat{k}}{|\vec{r}| |\hat{k}|} = \frac{z}{1 \times 1} = z$.
તેથી,$z = \cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$.
સદિશ $yz$-સમતલમાં હોવાથી,$x$-ઘટક $0$ થશે.
તેથી,ઘટકો $(0, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$ છે.

(A) ધારો કે $\vec{a} = a_1\hat{i} + a_2\hat{j} + a_3\hat{k}$ છે.
તેથી,અદિશ ગુણાકાર નીચે મુજબ થશે:
$\vec{a} \cdot \hat{i} = a_1$
$\vec{a} \cdot \hat{j} = a_2$
$\vec{a} \cdot \hat{k} = a_3$
આ કિંમતોને $\vec{a}$ ના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\vec{a} = (\vec{a} \cdot \hat{i})\hat{i} + (\vec{a} \cdot \hat{j})\hat{j} + (\vec{a} \cdot \hat{k})\hat{k}$.

(C) સમબાજુ ચતુષ્કોણમાં,બધી બાજુઓની લંબાઈ સમાન હોય છે. તેથી,પાસપાસેની બાજુઓના સદિશો $a$ અને $b$ ના માન સમાન છે,એટલે કે $|a| = |b|$.
કોઈપણ સદિશ $v$ માટે,અદિશ ગુણાકાર $v \cdot v = |v||v| \cos(0^\circ) = |v|^2$ થાય.
સદિશો $a$ અને $b$ માટે આ લાગુ પાડતા:
$a \cdot a = |a|^2$
$b \cdot b = |b|^2$
કારણ કે $|a| = |b|$,તેથી $|a|^2 = |b|^2$ થાય.
તેથી,$a \cdot a = b \cdot b$ મળે છે.

(B) વ્યાખ્યા મુજબ,એકમ સદિશનો તેની પોતાની સાથેનો અદિશ ગુણાકાર $\hat{a} \cdot \hat{a} = |\hat{a}| |\hat{a}| \cos(0^\circ) = (1)(1)(1) = 1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $\hat{i}$ એક એકમ સદિશ છે,તેથી $\hat{i} \cdot \hat{i} = 1$.
વિકલ્પ $(a)$ ખોટો છે કારણ કે $\hat{i} \cdot \hat{j} = 0$ થાય છે કારણ કે તેઓ પરસ્પર લંબ છે.
વિકલ્પ $(c)$ ખોટો છે કારણ કે બે સદિશોનો સદિશ ગુણાકાર એક સદિશ આપે છે,અદિશ નહીં.
વિકલ્પ $(d)$ ખોટો છે કારણ કે $\hat{i} \times (\hat{j} \times \hat{k}) = \hat{i} \times \hat{i} = \vec{0}$ થાય છે.

(D) આપેલ સ્થાન સદિશો: $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$,$\vec{b} = 2\hat{i} + 5\hat{j}$,$\vec{c} = 3\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}$,$\vec{d} = \hat{i} - 6\hat{j} - \hat{k}$.
$\overrightarrow{AB} = \vec{b} - \vec{a} = (2-1)\hat{i} + (5-1)\hat{j} + (0-1)\hat{k} = \hat{i} + 4\hat{j} - \hat{k}$.
$\overrightarrow{CD} = \vec{d} - \vec{c} = (1-3)\hat{i} + (-6-2)\hat{j} + (-1 - (-3))\hat{k} = -2\hat{i} - 8\hat{j} + 2\hat{k}$.
અહીં $\overrightarrow{CD} = -2(\hat{i} + 4\hat{j} - \hat{k}) = -2\overrightarrow{AB}$ છે.
જ્યારે એક સદિશ બીજા સદિશનો ઋણ અદિશ ગુણાંક હોય,ત્યારે તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\pi$ રેડિયન હોય છે.
અદિશ ગુણાકારના સૂત્ર મુજબ: $\cos \theta = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{CD}|} = \frac{-2 - 32 - 2}{\sqrt{18} \sqrt{72}} = \frac{-36}{36} = -1$.
તેથી,$\theta = \pi$.

(A) ધારો કે સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે,તેથી $\theta = 30^o$ છે.
આપણે $3\vec{a}$ અને $-4\vec{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો શોધવાનો છે.
કારણ કે $3 > 0$ છે,સદિશ $3\vec{a}$ એ $\vec{a}$ ની દિશામાં જ છે.
કારણ કે $-4 < 0$ છે,સદિશ $-4\vec{b}$ એ $\vec{b}$ ની વિરુદ્ધ દિશામાં છે.
$\vec{a}$ અને $\vec{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો $30^o$ છે.
તેથી,$\vec{a}$ અને $-\vec{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો $180^o - 30^o = 150^o$ થશે.
જેમ કે $3\vec{a}$ એ $\vec{a}$ ની દિશામાં છે અને $-4\vec{b}$ એ $-\vec{b}$ ની દિશામાં છે,તેથી $3\vec{a}$ અને $-4\vec{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો $150^o$ થશે.

(B) ધારો કે બે એકમ સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ છે,જેથી $|\vec{a}| = 1$ અને $|\vec{b}| = 1$ થાય.
આપેલ છે કે તેમનો સરવાળો એક એકમ સદિશ છે,તેથી $|\vec{a} + \vec{b}| = 1$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = 1^2$ મળે.
નિત્યસમ $|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b})$ નો ઉપયોગ કરતા,$1 + 1 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 1$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = -1$,તેથી $\vec{a} \cdot \vec{b} = -\frac{1}{2}$.
હવે,આપણે તેમના તફાવતનું માન $|\vec{a} - \vec{b}|$ શોધવાનું છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|\vec{a} - \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b})$.
જ્ઞાત કિંમતો મૂકતા,$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = 1 + 1 - 2(-\frac{1}{2}) = 1 + 1 + 1 = 3$.
તેથી,$|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{3}$ થાય.

(D) બે સદિશો $a = a_1 i + a_2 j$ અને $b = b_1 i + b_2 j$ સમાંતર હોય જો તેમના ઘટકો પ્રમાણસર હોય,એટલે કે $\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2}$.
અહીં $a = 1i - 2j$ અને $b = 2i + \lambda j$ આપેલ છે.
ઘટકોની સરખામણી કરતા,$a_1 = 1, a_2 = -2$ અને $b_1 = 2, b_2 = \lambda$ મળે છે.
સદિશો સમાંતર હોવાથી,$\frac{1}{2} = \frac{-2}{\lambda}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા,$\lambda = 2 \times (-2) = -4$ મળે છે.

(A) ધારો કે સદિશ $\vec{A}$ છે જેનું મૂલ્ય $|\vec{A}| = 14$ છે.
આપેલ છે કે સદિશ $x-$ અક્ષ સાથે $\theta = 60^\circ$ નો ખૂણો બનાવે છે.
$x-$ અક્ષની દિશામાં સદિશનો ઘટક $A_x = |\vec{A}| \cos \theta = 14 \cos 60^\circ$ દ્વારા મળે છે.
$\cos 60^\circ = 1/2$ હોવાથી,$A_x = 14 \times (1/2) = 7$.
$y-$ અક્ષની દિશામાં સદિશનો ઘટક $A_y = |\vec{A}| \sin \theta = 14 \sin 60^\circ$ દ્વારા મળે છે.
$\sin 60^\circ = \sqrt{3}/2$ હોવાથી,$A_y = 14 \times (\sqrt{3}/2) = 7\sqrt{3}$.
આમ,ઘટકો $7$ અને $7\sqrt{3}$ છે.

(B) આપેલ છે કે $b = 3j + 4k$ અને $b_1 = \frac{3}{2}i + \frac{3}{2}j$ એ $b$ નો $a$ ને સમાંતર ઘટક છે.
કારણ કે $b = b_1 + b_2$,જ્યાં $b_2$ એ $b$ નો $a$ ને લંબ ઘટક છે,આપણે લખી શકીએ કે $b_2 = b - b_1$.
આપેલ સદિશોની કિંમત મૂકતા:
$b_2 = (0i + 3j + 4k) - (\frac{3}{2}i + \frac{3}{2}j + 0k)$
$b_2 = (0 - \frac{3}{2})i + (3 - \frac{3}{2})j + (4 - 0)k$
$b_2 = -\frac{3}{2}i + \frac{3}{2}j + 4k$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) સદિશ $\vec{a}$ નો સદિશ $\vec{b}$ પરનો પ્રક્ષેપ શોધવાનું સૂત્ર $\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}$ છે.
ધારો કે $\vec{a} = i + j + k$ અને $\vec{b} = j$.
પ્રથમ,અદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \cdot \vec{b} = (i + j + k) \cdot j = (1)(0) + (1)(1) + (1)(0) = 1$ ગણો.
ત્યારબાદ,સદિશ $\vec{b}$ નું માન $|\vec{b}| = |j| = 1$ ગણો.
તેથી,પ્રક્ષેપ $\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|} = \frac{1}{1} = 1$ થાય.

(D) સદિશોનો અદિશ ગુણાકાર (dot product) એ સદિશ બાદબાકી પર વિભાજનના નિયમનું પાલન કરે છે.
કોઈપણ સદિશો $a, b,$ અને $c$ માટે,આ ગુણધર્મ $a \cdot (b - c) = a \cdot b - a \cdot c$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિકલ્પ $A$ ખોટો છે કારણ કે સદિશ ત્રિગુણક ગુણાકાર જૂથના નિયમનું પાલન કરતું નથી.
વિકલ્પ $B$ ખોટો છે કારણ કે સદિશનો સદિશ ગુણાકાર (cross product) એ ક્રમનો નિયમ જાળવતું નથી,એટલે કે $a \times b = -(b \times a)$.
વિકલ્પ $C$ ગાણિતિક રીતે અર્થહીન છે કારણ કે અદિશ ગુણાકારનું પરિણામ અદિશ મળે છે,અને બે અદિશોનો સદિશ ગુણાકાર વ્યાખ્યાયિત નથી.
તેથી,સાચું વિધાન $a \cdot (b - c) = a \cdot b - a \cdot c$ છે.

(C) આપેલ છે કે $a \cdot b = 0$. આનો અર્થ એ છે કે કાં તો $a = 0$,$b = 0$,અથવા $a \perp b$ છે.
વળી,આપેલ છે કે $a \times b = 0$. આનો અર્થ એ છે કે કાં તો $a = 0$,$b = 0$,અથવા $a \parallel b$ છે.
બંને શરતો એકસાથે સંતોષાય તે માટે,$a$ અને $b$ એક જ સમયે લંબ અને સમાંતર ન હોઈ શકે,સિવાય કે તેમાંથી ઓછામાં ઓછો એક સદિશ શૂન્ય સદિશ હોય.
તેથી,કાં તો $a = 0$ અથવા $b = 0$ છે.

(A) બે સદિશો $u$ અને $v$ નો સદિશ ગુણાકાર (ક્રોસ પ્રોડક્ટ) એન્ટી-કોમ્યુટેટિવ છે,જેનો અર્થ છે કે $u \times v = -(v \times u)$.
તેથી,$u \times v = v \times u$ ગુણધર્મ ખોટો છે.
વિકલ્પ $A$ એ સદિશોનો ગુણધર્મ નથી.

(D) ધારો કે $l, m, n$ એ સદિશ $r$ ના દિકકોસાઇન છે. સદિશ યામ અક્ષો સાથે સમાન ખૂણે નમેલો હોવાથી,$l = m = n$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે $l^2 + m^2 + n^2 = 1$. $l = m = n$ મૂકતા,આપણને $3l^2 = 1$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $l^2 = \frac{1}{3}$.
સદિશ $r$ નું શીર્ષ ધન અષ્ટમાંશમાં હોવાથી,$l, m, n$ ધન હોવા જોઈએ. તેથી,$l = m = n = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
સદિશ $r$ ને $r = |r|(li + mj + nk)$ તરીકે દર્શાવી શકાય.
$|r| = 6$ આપેલ હોવાથી,$r = 6 \left( \frac{1}{\sqrt{3}}i + \frac{1}{\sqrt{3}}j + \frac{1}{\sqrt{3}}k \right)$.
આનું સાદું રૂપ આપતા,$r = \frac{6}{\sqrt{3}}(i + j + k) = 2\sqrt{3}(i + j + k)$ મળે છે.

(B) બિંદુઓ $A(1, -1, 2)$ અને $B(3, 1, 1)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $r = a + \lambda v$ છે,જ્યાં $a = i - j + 2k$ અને દિશા સદિશ $v = (3-1)i + (1-(-1))j + (1-2)k = 2i + 2j - k$ છે.
રેખા પરના કોઈપણ બિંદુ $P$ નો સ્થાન સદિશ $r = (i - j + 2k) + \lambda (2i + 2j - k)$ છે.
બિંદુ $A$ થી અંતર $|\lambda v| = |\lambda| |v| = 3|\lambda|$ છે.
આપેલ અંતર $3\sqrt{11}$ હોવાથી,$3|\lambda| = 3\sqrt{11}$,એટલે કે $|\lambda| = \sqrt{11}$.
વિકલ્પ $B$ માટે,જો આપણે $P = -8i - 4j - k$ લઈએ,તો $AP = -9i - 3j - 3k$ થાય,જેનું માન $\sqrt{81+9+9} = \sqrt{99} = 3\sqrt{11}$ છે. તેથી,$-8i - 4j - k$ એ સાચો સ્થાન સદિશ છે.

(C) ધારો કે સમઘનને યામ પદ્ધતિમાં એવી રીતે મૂકવામાં આવ્યો છે કે તેની ધાર $x, y,$ અને $z$ અક્ષ પર રહે. ઉગમબિંદુ પર મળતા ત્રણ પાસપાસેના ફલકોના વિકર્ણો સદિશો $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j}$,$\vec{b} = \hat{j} + \hat{k}$,અને $\vec{c} = \hat{k} + \hat{i}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
આ દિશાઓમાં એકમ સદિશો $\hat{u}_1 = \frac{\hat{i} + \hat{j}}{\sqrt{2}}$,$\hat{u}_2 = \frac{\hat{j} + \hat{k}}{\sqrt{2}}$,અને $\hat{u}_3 = \frac{\hat{k} + \hat{i}}{\sqrt{2}}$ છે.
બળો $\vec{F}_1 = 1 \cdot \hat{u}_1$,$\vec{F}_2 = 2 \cdot \hat{u}_2$,અને $\vec{F}_3 = 3 \cdot \hat{u}_3$ તરીકે આપેલ છે.
પરિણામી બળ $\vec{R} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \vec{F}_3 = \frac{1(\hat{i} + \hat{j}) + 2(\hat{j} + \hat{k}) + 3(\hat{k} + \hat{i})}{\sqrt{2}} = \frac{(1+3)\hat{i} + (1+2)\hat{j} + (2+3)\hat{k}}{\sqrt{2}} = \frac{4\hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k}}{\sqrt{2}}$.
પરિણામી બળનું મૂલ્ય $|\vec{R}| = \frac{\sqrt{4^2 + 3^2 + 5^2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{16 + 9 + 25}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}} = \sqrt{25} = 5 \text{ dynes}$ છે.

(B) આપેલ છે કે સદિશ $b$ ઉત્તર-પૂર્વ દિશામાં છે અને સદિશ $c$ ઉત્તર-પશ્ચિમ દિશામાં છે.
ઉત્તર-પૂર્વ અને ઉત્તર-પશ્ચિમ વચ્ચેનો ખૂણો $90^\circ$ હોવાથી,સદિશો $b$ અને $c$ પરસ્પર લંબ છે,તેથી $b \cdot c = 0$.
આપેલ છે કે $|b| = |c| = 4$.
આપણે $d = c - b$ નું માન અને દિશા શોધવાની છે.
માન $|d|^2 = |c - b|^2 = |c|^2 + |b|^2 - 2(b \cdot c)$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $|d|^2 = 4^2 + 4^2 - 0 = 16 + 16 = 32$.
તેથી,$|d| = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$.
દિશા વિશે,કારણ કે $c$ એ $135^\circ$ પર છે અને $b$ એ ધન $x$-અક્ષ (પૂર્વ) થી $45^\circ$ પર છે,સદિશ $d = c - b$ એ સદિશ તફાવતની દિશામાં એટલે કે પશ્ચિમ તરફ નિર્દેશ કરે છે.

(D) ધારો કે બે આપેલા શિરોબિંદુઓ $\vec{A} = \hat{i} - \hat{j}$ અને $\vec{B} = \hat{j} + \hat{k}$ છે.
કોઈપણ બિંદુ $\vec{C}$ ત્રિકોણનું ત્રીજું શિરોબિંદુ બને તે માટે,બિંદુઓ $\vec{A}$,$\vec{B}$ અને $\vec{C}$ સમરેખ ન હોવા જોઈએ.
ત્રણ બિંદુઓ સમરેખ હોય જો સદિશો $\vec{AB}$ અને $\vec{AC}$ સમાંતર હોય.
અહીં,$\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (\hat{j} + \hat{k}) - (\hat{i} - \hat{j}) = -\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$.
વિકલ્પ $(a)$ તપાસતા: $\vec{C} = \hat{i} + \hat{k}$,તો $\vec{AC} = (\hat{i} + \hat{k}) - (\hat{i} - \hat{j}) = \hat{j} + \hat{k}$. $\vec{AC}$ એ $\vec{AB}$ નો અદિશ ગુણાંક નથી,તેથી તેઓ સમરેખ નથી.
વિકલ્પ $(b)$ તપાસતા: $\vec{C} = \hat{i} - 2\hat{j} - \hat{k}$,તો $\vec{AC} = (\hat{i} - 2\hat{j} - \hat{k}) - (\hat{i} - \hat{j}) = -\hat{j} - \hat{k}$. $\vec{AC}$ એ $\vec{AB}$ નો અદિશ ગુણાંક નથી,તેથી તેઓ સમરેખ નથી.
વિકલ્પ $(c)$ તપાસતા: $\vec{C} = \hat{i} - \hat{k}$,તો $\vec{AC} = (\hat{i} - \hat{k}) - (\hat{i} - \hat{j}) = \hat{j} - \hat{k}$. $\vec{AC}$ એ $\vec{AB}$ નો અદિશ ગુણાંક નથી,તેથી તેઓ સમરેખ નથી.
આમ,આપેલા તમામ વિકલ્પો ત્રીજું શિરોબિંદુ હોઈ શકે છે.

(B) ધારો કે $a = xi + yj + zk$. આપેલ છે કે $|a| = 50$ અને $b = 6i - 8j - \frac{15}{2}k$.
સદિશ $a$ અને $b$ સમરેખ હોવાથી, $a = \lambda b$ કોઈ અદિશ $\lambda$ માટે.
તેથી, $a = \lambda(6i - 8j - \frac{15}{2}k) = 6\lambda i - 8\lambda j - \frac{15}{2}\lambda k$.
$|a| = 50$ આપેલ હોવાથી, $|a|^2 = 2500$.
$|a|^2 = (6\lambda)^2 + (-8\lambda)^2 + (-\frac{15}{2}\lambda)^2 = 36\lambda^2 + 64\lambda^2 + \frac{225}{4}\lambda^2 = 100\lambda^2 + \frac{225}{4}\lambda^2 = \frac{625}{4}\lambda^2$.
$\frac{625}{4}\lambda^2 = 2500$ લેતા, $\lambda^2 = \frac{2500 \times 4}{625} = 16$, તેથી $\lambda = \pm 4$.
સદિશ $a$ એ $z$-અક્ષની ધન દિશા સાથે લઘુકોણ બનાવતો હોવાથી, $a$ નો $z$-ઘટક ધન હોવો જોઈએ.
$z$-ઘટક $-\frac{15}{2}\lambda$ છે. આ ધન હોવા માટે $\lambda$ ઋણ હોવો જોઈએ, તેથી $\lambda = -4$.
$\lambda = -4$ ને $a = \lambda b$ માં મૂકતા, $a = -4(6i - 8j - \frac{15}{2}k) = -24i + 32j + 30k$.

(B) યામ પદ્ધતિના પરિભ્રમણ દરમિયાન સદિશનું માન અચળ રહે છે.
આપેલ છે કે મૂળ ઘટકો $(2p, 1)$ છે અને નવા ઘટકો $(p+1, 1)$ છે.
સદિશના માનનો વર્ગ $x^2 + y^2$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,$(2p)^2 + 1^2 = (p+1)^2 + 1^2$.
$4p^2 + 1 = p^2 + 2p + 1 + 1$.
$3p^2 - 2p - 1 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા: $3p^2 - 3p + p - 1 = 0$.
$3p(p-1) + 1(p-1) = 0$.
$(3p+1)(p-1) = 0$.
આમ,$p = 1$ અથવા $p = -\frac{1}{3}$.

(B) ધારો કે દિશા ગુણોત્તર $a = 2, b = -3, c = 6$ છે.
આ ગુણોત્તર દ્વારા બનતા સદિશનું માન $\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$ છે.
દિશા કોસાઇન $(l, m, n)$ નીચે મુજબ મળે છે: $\frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}, \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}, \frac{c}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $l = \frac{2}{7}, m = \frac{-3}{7}, n = \frac{6}{7}$ મળે છે.
આમ,દિશા કોસાઇન $\frac{2}{7}, \frac{-3}{7}, \frac{6}{7}$ છે.

(C) આપેલ છે કે $a \cdot b = 0$,જેનો અર્થ છે કે $a = 0$,$b = 0$ અથવા $a \perp b$ છે.
આપેલ છે કે $a \times b = 0$,જેનો અર્થ છે કે $a = 0$,$b = 0$ અથવા $a \parallel b$ છે.
કોઈપણ શૂન્યતર સદિશ એકસાથે લંબ અને સમાંતર હોઈ શકે નહીં,તેથી બંને સમીકરણોનું પાલન કરવા માટે એકમાત્ર શક્યતા એ છે કે સદિશોમાંથી કોઈ એક શૂન્ય સદિશ હોવો જોઈએ,એટલે કે $a = 0$ અથવા $b = 0$.

(D) અહીં $\bar{a} + \bar{b}$ અને $\bar{c}$ સમાંતર છે,તેથી કોઈ અદિશ $k \in \mathbb{R}$ માટે $\bar{a} + \bar{b} = k\bar{c}$ $(1)$
વળી $\bar{b} + \bar{c}$ અને $\bar{a}$ સમાંતર છે,તેથી કોઈ અદિશ $m \in \mathbb{R}$ માટે $\bar{b} + \bar{c} = m\bar{a}$ $(2)$
$(2)$ પરથી,$\bar{c} = m\bar{a} - \bar{b}$. આ કિંમત $(1)$ માં મુકતા:
$\bar{a} + \bar{b} = k(m\bar{a} - \bar{b})$
$\bar{a} + \bar{b} = km\bar{a} - k\bar{b}$
$(1 - km)\bar{a} + (1 + k)\bar{b} = \bar{0}$
અહીં $\bar{a}$ અને $\bar{b}$ શૂન્યેતર અને અસમાંતર હોવાથી,તેમના સહગુણકો શૂન્ય થવા જોઈએ:
$1 - km = 0 \implies km = 1$
$1 + k = 0 \implies k = -1$
$k = -1$ ને $km = 1$ માં મુકતા,$m = -1$ મળે છે.
હવે,$k = -1$ ને $(1)$ માં મુકતા:
$\bar{a} + \bar{b} = -1\bar{c} \implies \bar{a} + \bar{b} + \bar{c} = \bar{0}$

(C) ધારો કે બિંદુ $A$ નો સ્થાનસદિશ $\overrightarrow{OA} = 2i + 3j - k$ છે.
ધારો કે મધ્યબિંદુ $P$ નો સ્થાનસદિશ $\overrightarrow{OP} = 3(i + j + k) = 3i + 3j + 3k$ છે.
ધારો કે બીજા છેડા $B$ નો સ્થાનસદિશ $\overrightarrow{OB}$ છે.
$P$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,આપણી પાસે સૂત્ર છે:
$\overrightarrow{OP} = \frac{\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}}{2}$
$2$ વડે ગુણતા,આપણને મળે:
$2\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}$
$\overrightarrow{OB} = 2\overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OA}$
કિંમતો મુકતા:
$\overrightarrow{OB} = 2(3i + 3j + 3k) - (2i + 3j - k)$
$\overrightarrow{OB} = (6i + 6j + 6k) - (2i + 3j - k)$
$\overrightarrow{OB} = (6-2)i + (6-3)j + (6-(-1))k$
$\overrightarrow{OB} = 4i + 3j + 7k$

(D) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A, B, C$ છે જેના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ છે.
મધ્યકેન્દ્ર $G$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{g} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શિરોબિંદુઓથી મધ્યકેન્દ્ર તરફના સદિશો $\vec{GA} = \vec{a} - \vec{g}$,$\vec{GB} = \vec{b} - \vec{g}$,અને $\vec{GC} = \vec{c} - \vec{g}$ છે.
આ સદિશોનો સરવાળો $\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = (\vec{a} - \vec{g}) + (\vec{b} - \vec{g}) + (\vec{c} - \vec{g})$ થાય.
$= (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) - 3\vec{g}$.
$\vec{g} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}$ કિંમત મૂકતા,આપણને મળે:
$= (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) - 3 \left( \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3} \right) = (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) - (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) = \vec{0}$.

(D) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A, B, C$ ના સ્થાન સદિશ $\vec{a} = i + j$,$\vec{b} = j + k$ અને $\vec{c} = k + i$ છે.
મધ્યબિંદુઓ $D, E, F$ ના સ્થાન સદિશ નીચે મુજબ છે:
$\vec{d} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2} = \frac{(j + k) + (k + i)}{2} = \frac{i + j + 2k}{2}$
$\vec{e} = \frac{\vec{a} + \vec{c}}{2} = \frac{(i + j) + (k + i)}{2} = \frac{2i + j + k}{2}$
$\vec{f} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2} = \frac{(i + j) + (j + k)}{2} = \frac{i + 2j + k}{2}$
$\Delta DEF$ ના મધ્યકેન્દ્ર $G$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{g} = \frac{\vec{d} + \vec{e} + \vec{f}}{3}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{g} = \frac{1}{3} \left( \frac{i + j + 2k + 2i + j + k + i + 2j + k}{2} \right)$
$\vec{g} = \frac{1}{3} \left( \frac{4i + 4j + 4k}{2} \right) = \frac{1}{3} (2i + 2j + 2k) = \frac{2}{3}(i + j + k)$.

(D) બે સદિશો $\vec{a} = a_1i + a_2j + a_3k$ અને $\vec{b} = b_1i + b_2j + b_3k$ સમરેખ હોય જો તેમના ઘટકો પ્રમાણમાં હોય,એટલે કે $\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \frac{a_3}{b_3} = \lambda$.
આપેલ સદિશો $\vec{a} = 3i - 2j + 5k$ અને $\vec{b} = -2i + pj - qk$ છે.
ઘટકોના ગુણોત્તરને સરખાવતા:
$\frac{3}{-2} = \frac{-2}{p} = \frac{5}{-q}$.
$\frac{3}{-2} = \frac{-2}{p}$ પરથી,આપણને $3p = 4$ મળે છે,તેથી $p = 4/3$.
$\frac{3}{-2} = \frac{5}{-q}$ પરથી,આપણને $3(-q) = 5(-2)$ મળે છે,તેથી $-3q = -10$,જેનો અર્થ છે કે $q = 10/3$.
તેથી,$(p, q) = (4/3, 10/3)$.

(A) સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ના અંતઃકોણ દ્વિભાજકની દિશામાં એકમ સદિશ $\hat{u} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} + \frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}$ દ્વારા મળે છે.
પ્રથમ,માન શોધો: $|\vec{a}| = \sqrt{7^2 + (-4)^2 + (-4)^2} = \sqrt{49 + 16 + 16} = \sqrt{81} = 9$.
$|\vec{b}| = \sqrt{(-2)^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3$.
હવે,$\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} = \frac{1}{9}(7\hat{i} - 4\hat{j} - 4\hat{k})$ અને $\frac{\vec{b}}{|\vec{b}|} = \frac{1}{3}(-2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}) = \frac{1}{9}(-6\hat{i} - 3\hat{j} + 6\hat{k})$.
સરવાળો કરતા: $\hat{u} = \frac{1}{9}(7-6)\hat{i} + \frac{1}{9}(-4-3)\hat{j} + \frac{1}{9}(-4+6)\hat{k} = \frac{1}{9}(\hat{i} - 7\hat{j} + 2\hat{k})$.
આ સદિશનું માન $\sqrt{(\frac{1}{9})^2 + (-\frac{7}{9})^2 + (\frac{2}{9})^2} = \sqrt{\frac{1+49+4}{81}} = \sqrt{\frac{54}{81}} = \frac{3\sqrt{6}}{9} = \frac{\sqrt{6}}{3}$ છે.
કારણ કે $\vec{c} = k\hat{u}$ અને $|\vec{c}| = 5\sqrt{6}$,તેથી $|k| \cdot \frac{\sqrt{6}}{3} = 5\sqrt{6}$,જે $|k| = 15$ આપે છે.
આમ,$\vec{c} = 15 \cdot \frac{1}{9}(\hat{i} - 7\hat{j} + 2\hat{k}) = \frac{5}{3}(\hat{i} - 7\hat{j} + 2\hat{k})$.

(D) આપેલ છે કે $\vec{a} + 3\vec{b}$ એ $\vec{c}$ સાથે સમરેખ છે,તેથી કોઈ અદિશ $k$ માટે $\vec{a} + 3\vec{b} = k\vec{c}$ થાય.
તે જ રીતે,$\vec{b} + 2\vec{c}$ એ $\vec{a}$ સાથે સમરેખ છે,તેથી કોઈ અદિશ $m$ માટે $\vec{b} + 2\vec{c} = m\vec{a}$ થાય.
પ્રથમ સમીકરણ પરથી,$3\vec{b} = k\vec{c} - \vec{a}$,એટલે કે $\vec{b} = \frac{k}{3}\vec{c} - \frac{1}{3}\vec{a}$.
આ કિંમતને બીજા સમીકરણમાં મૂકતા: $(\frac{k}{3}\vec{c} - \frac{1}{3}\vec{a}) + 2\vec{c} = m\vec{a}$.
પદોને ગોઠવતા: $(\frac{k}{3} + 2)\vec{c} = (m + \frac{1}{3})\vec{a}$.
અહીં $\vec{a}$ અને $\vec{c}$ શૂન્યેત્તર અને અસમરેખ હોવાથી,તેમના સહગુણકો શૂન્ય થવા જોઈએ: $\frac{k}{3} + 2 = 0 \implies k = -6$ અને $m + \frac{1}{3} = 0 \implies m = -\frac{1}{3}$.
$k = -6$ ને પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા: $\vec{a} + 3\vec{b} = -6\vec{c}$.
તેથી,$\vec{a} + 3\vec{b} + 6\vec{c} = \vec{0}$.

(A) ધારો કે ત્રણ બિંદુઓ $A$,$B$ અને $C$ છે જેના સ્થાન સદિશો $\vec{OA} = \vec{a}$,$\vec{OB} = \vec{b}$ અને $\vec{OC} = 3\vec{a} - 2\vec{b}$ છે.
બિંદુઓ સમરેખ છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે સદિશો $\vec{AB}$ અને $\vec{BC}$ જોઈએ.
$\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = \vec{b} - \vec{a}$.
$\vec{BC} = \vec{OC} - \vec{OB} = (3\vec{a} - 2\vec{b}) - \vec{b} = 3\vec{a} - 3\vec{b} = 3(\vec{a} - \vec{b})$.
અહીં $\vec{BC} = -3(\vec{b} - \vec{a}) = -3\vec{AB}$ હોવાથી,સદિશો $\vec{AB}$ અને $\vec{BC}$ સમાંતર છે.
તેઓ સામાન્ય બિંદુ $B$ ધરાવતા હોવાથી,બિંદુઓ $A$,$B$ અને $C$ સમરેખ છે.

(B) બે સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ સમાન ત્યારે જ કહેવાય જો તેમનું માન અને દિશા સમાન હોય.
તેથી,જો $\vec{a} = \vec{b}$ હોય,તો બંને સદિશો સમાન માન અને સમાન દિશા ધરાવતા હોવા જોઈએ.

(D) સ્થાન સદિશો $\vec{p} = -2\hat{i} - \hat{j}$,$\vec{q} = 4\hat{i}$,$\vec{r} = 3\hat{i} + 3\hat{j}$,અને $\vec{s} = -3\hat{i} + 2\hat{j}$ છે.
બાજુઓ દર્શાવતા સદિશોની ગણતરી:
$\vec{PQ} = \vec{q} - \vec{p} = 6\hat{i} + \hat{j}$.
$\vec{QR} = \vec{r} - \vec{q} = -\hat{i} + 3\hat{j}$.
$\vec{RS} = \vec{s} - \vec{r} = -6\hat{i} - \hat{j}$.
$\vec{SP} = \vec{p} - \vec{s} = \hat{i} - 3\hat{j}$.
અહીં $\vec{PQ} = -\vec{RS}$ અને $\vec{QR} = -\vec{SP}$ હોવાથી,સામસામેની બાજુઓ સમાંતર અને સમાન લંબાઈની છે,તેથી $PQRS$ સમાંતર બાજુ ચતુષ્કોણ છે.
લંબપણાની ચકાસણી: $\vec{PQ} \cdot \vec{QR} = (6)(-1) + (1)(3) = -3 \neq 0$. તેથી તે લંબચોરસ નથી.
બાજુઓની લંબાઈ: $|\vec{PQ}| = \sqrt{37}$ અને $|\vec{QR}| = \sqrt{10}$.
પાસેની બાજુઓ સમાન નથી અને ખૂણો $90^{\circ}$ નથી,તેથી તે માત્ર સમાંતર બાજુ ચતુષ્કોણ છે.

(C) આપેલ સદિશો $p = 7i - 2j + 3k$ અને $q = 3i + j + 5k$ છે.
સૌ પ્રથમ,$2q$ ની ગણતરી કરો:
$2q = 2(3i + j + 5k) = 6i + 2j + 10k$.
હવે,$p - 2q$ શોધો:
$p - 2q = (7i - 2j + 3k) - (6i + 2j + 10k) = (7-6)i + (-2-2)j + (3-10)k = i - 4j - 7k$.
છેલ્લે,માન $|p - 2q|$ ની ગણતરી કરો:
$|p - 2q| = \sqrt{(1)^2 + (-4)^2 + (-7)^2} = \sqrt{1 + 16 + 49} = \sqrt{66}$.

(B) ધારો કે આપેલા બળોનું પરિણામી બળ $\vec{R}$ છે.
$\vec{R} = \overline{AB} + \overline{AE} + \overline{DC} + \overline{ED}$
સદિશ સરવાળાના ત્રિકોણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\overline{AE} + \overline{ED} = \overline{AD}$
તેથી,$\vec{R} = \overline{AB} + \overline{AD} + \overline{DC}$
કારણ કે $\overline{AD} + \overline{DC} = \overline{AC}$,તેથી:
$\vec{R} = \overline{AB} + \overline{AC}$
આપણે અંતિમ પરિણામી બળ $2\overline{AC}$ મેળવવા માંગીએ છીએ.
ધારો કે ઉમેરવાનું બળ $\vec{F}$ છે.
$\vec{R} + \vec{F} = 2\overline{AC}$
$(\overline{AB} + \overline{AC}) + \vec{F} = 2\overline{AC}$
$\vec{F} = 2\overline{AC} - \overline{AC} - \overline{AB}$
$\vec{F} = \overline{AC} - \overline{AB}$
ત્રિકોણના નિયમ મુજબ,$\overline{AB} + \overline{BC} = \overline{AC}$,જેનો અર્થ છે કે $\overline{BC} = \overline{AC} - \overline{AB}$.
તેથી,$\vec{F} = \overline{BC}$.

(A) ધારો કે નિયમિત ષષ્ટકોણના શિરોબિંદુઓ $O, A, B, C, D, E$ ક્રમમાં છે. ધારો કે $\vec{OA} = a$ અને $\vec{AB} = b$.
નિયમિત ષષ્ટકોણમાં,બાજુઓ માન (magnitude) માં સમાન અને વિરુદ્ધ બાજુઓને સમાંતર હોય છે.
ક્રમમાં બાજુઓ દર્શાવતા સદિશો નીચે મુજબ છે:
$1$. $\vec{OA} = a$
$2$. $\vec{AB} = b$
$3$. $\vec{BC} = \vec{OA} - \vec{AB} = a - b$
$4$. $\vec{CD} = -\vec{OA} = -a$
$5$. $\vec{DE} = -\vec{AB} = -b$
$6$. $\vec{EO} = -\vec{BC} = -(a - b) = b - a$
આમ,બાકીની ચાર બાજુઓ $a - b, -a, -b, b - a$ છે.

(A) સ્થાન સદિશ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ ધરાવતા ત્રણ બિંદુઓ $A, B, C$ સમરેખ હોય તે માટે,એવા અદિશ $x, y, z$ (જે બધા એકસાથે શૂન્ય ન હોય) અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $x\vec{a} + y\vec{b} + z\vec{c} = \vec{0}$ અને $x + y + z = 0$ થાય.
આનું કારણ એ છે કે ત્રણ બિંદુઓ સમરેખ હોવાની શરત એ છે કે સદિશ $\vec{AB}$ એ $\vec{AC}$ નો અદિશ ગુણક હોય,એટલે કે $(\vec{b} - \vec{a}) = k(\vec{c} - \vec{a})$.
આને ફરીથી ગોઠવતા $\vec{b} - \vec{a} = k\vec{c} - k\vec{a}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $(k-1)\vec{a} + \vec{b} - k\vec{c} = \vec{0}$.
આને $x\vec{a} + y\vec{b} + z\vec{c} = \vec{0}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = k-1$,$y = 1$,અને $z = -k$ મળે છે.
આ સહગુણકોનો સરવાળો કરતા: $x + y + z = (k-1) + 1 + (-k) = 0$ થાય છે.

(A) આપેલ છે કે $C$ નો $B$ ની સાપેક્ષે સ્થાન સદિશ $\vec{BC} = \hat{i} + \hat{j}$ છે.
$B$ નો $A$ ની સાપેક્ષે સ્થાન સદિશ $\vec{AB} = \hat{i} - \hat{j}$ છે.
આપણે $C$ નો $A$ ની સાપેક્ષે સ્થાન સદિશ એટલે કે $\vec{AC}$ શોધવાનો છે.
સદિશ સરવાળાના ત્રિકોણના નિયમ મુજબ:
$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\vec{AC} = (\hat{i} - \hat{j}) + (\hat{i} + \hat{j})$.
પદનું સાદું રૂપ આપતા:
$\vec{AC} = \hat{i} + \hat{i} - \hat{j} + \hat{j} = 2\hat{i}$.
આમ,$C$ નો $A$ ની સાપેક્ષે સ્થાન સદિશ $2\hat{i}$ છે.

(A) સદિશો માટે ત્રિકોણની અસમતા મુજબ,કોઈપણ બે સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ માટે,તેમના સરવાળાનું માન હંમેશા તેમના માનના સરવાળા કરતા ઓછું અથવા તેના જેટલું હોય છે,એટલે કે $|\vec{a} + \vec{b}| \le |\vec{a}| + |\vec{b}|$.
વધુમાં,વ્યસ્ત ત્રિકોણ અસમતા મુજબ $|\vec{a} + \vec{b}| \ge ||\vec{a}| - |\vec{b}||$ થાય છે.
કારણ કે $|\vec{a}| - |\vec{b}| \le ||\vec{a}| - |\vec{b}||$,તેથી $|\vec{a} + \vec{b}| \ge |\vec{a}| - |\vec{b}|$ સાચું છે.
તેથી,વિધાન $|\vec{a} + \vec{b}| \ge |\vec{a}| - |\vec{b}|$ હંમેશા સાચું છે.

(B) આપેલ છે કે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = 1$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|\vec{x} - \vec{y}|^2 = |\vec{x}|^2 + |\vec{y}|^2 - 2(\vec{x} \cdot \vec{y})$.
પદાવલિનું વિસ્તરણ કરતા:
$|\vec{a} - \vec{b}|^2 + |\vec{b} - \vec{c}|^2 + |\vec{c} - \vec{a}|^2 = (|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b}) + (|\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 - 2\vec{b} \cdot \vec{c}) + (|\vec{c}|^2 + |\vec{a}|^2 - 2\vec{c} \cdot \vec{a})$
$= 2(|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2) - 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a})$
$= 2(1 + 1 + 1) - 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 6 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a})$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) \geq 0$.
તેથી,$2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = |\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|^2 - 3$.
આ કિંમત મૂકતા:
$6 - (|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|^2 - 3) = 9 - |\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|^2$.
કારણ કે $|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|^2 \geq 0$,તેથી મહત્તમ કિંમત $9$ મળે જ્યારે $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$ હોય.

(C) આપેલા બિંદુઓ $A(2, 3)$, $B(p, 9)$ અને $C(1, -1)$ છે।
બિંદુઓ $A, B$ અને $C$ સમરેખ હોવા માટે, સદિશ $\vec{AB}$ એ સદિશ $\vec{AC}$ ને સમાંતર હોવો જોઈએ।
$\vec{AB} = (p - 2)i + (9 - 3)j = (p - 2)i + 6j$.
$\vec{AC} = (1 - 2)i + (-1 - 3)j = -i - 4j$.
કારણ કે $\vec{AB} \parallel \vec{AC}$, તેમના ઘટકોનો ગુણોત્તર સમાન હોવો જોઈએ:
$\frac{p - 2}{-1} = \frac{6}{-4}$.
$\frac{p - 2}{-1} = -\frac{3}{2}$.
$p - 2 = \frac{3}{2}$.
$p = 2 + \frac{3}{2} = \frac{4 + 3}{2} = \frac{7}{2}$.

(A) આપેલ સદિશો $\vec{a} = -4\hat{i} + 2\hat{j} - 5\hat{k}$ અને $\vec{b} = 12\hat{i} - 6\hat{j} + 15\hat{k}$ છે.
બે સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ સમાંતર હોય જો કોઈ અદિશ $k$ માટે $\vec{b} = k\vec{a}$ થાય.
ઘટકોનો ગુણોત્તર તપાસીએ:
$\frac{b_x}{a_x} = \frac{12}{-4} = -3$
$\frac{b_y}{a_y} = \frac{-6}{2} = -3$
$\frac{b_z}{a_z} = \frac{15}{-5} = -3$
અહીં ગુણોત્તર સમાન હોવાથી,$\vec{b} = -3\vec{a}$ મળે છે.
તેથી,સદિશો સમાંતર છે.

(D) બે સદિશો $\vec{a} = a_1\hat{i} + a_2\hat{j} + a_3\hat{k}$ અને $\vec{b} = b_1\hat{i} + b_2\hat{j} + b_3\hat{k}$ સમાંતર હોય જો તેમના ઘટકો પ્રમાણમાં હોય,એટલે કે $\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \frac{a_3}{b_3}$.
આપેલા સદિશો $3\hat{i} - 2\hat{j} + 5\hat{k}$ અને $-2\hat{i} + p\hat{j} - q\hat{k}$ છે.
ઘટકોના ગુણોત્તરને સરખાવતા:
$\frac{3}{-2} = \frac{-2}{p} = \frac{5}{-q}$.
પ્રથમ,$p$ માટે ઉકેલતા:
$\frac{3}{-2} = \frac{-2}{p} \Rightarrow 3p = 4 \Rightarrow p = 4/3$.
ત્યારબાદ,$q$ માટે ઉકેલતા:
$\frac{3}{-2} = \frac{5}{-q} \Rightarrow -3q = -10 \Rightarrow q = 10/3$.
આમ,$p = 4/3$ અને $q = 10/3$ થાય.

(B) જો $a$ અને $b$ બે અસમરેખ સદિશો હોય,તો તેઓ જે સમતલમાં આવેલા છે તે સમતલ માટે તેઓ આધાર (basis) બનાવે છે.
કોઈપણ સદિશ $r$ જે $a$ અને $b$ ના સમતલમાં હોય (એટલે કે $a$ અને $b$ સાથે સમતલીય હોય),તેને $a$ અને $b$ ના સુરેખ સંયોજન (linear combination) તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
તેથી,એવા અનન્ય અદિશો $m$ અને $n$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $r = ma + nb$ થાય.