Basic , Modulus and Algebra of vectors Questions in Gujarati

(B) આપેલ છે કે $P$ એ રેખાખંડ $AB$ ને $m : n$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
સદિશો માટે વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,ઉગમબિંદુ $O$ ની સાપેક્ષે બિંદુ $P$ નો સ્થાન સદિશ નીચે મુજબ મળે છે:
$\overrightarrow{OP} = \frac{n\overrightarrow{OA} + m\overrightarrow{OB}}{m + n}$
આપેલ કિંમતો $\overrightarrow{OA} = \vec{a}$ અને $\overrightarrow{OB} = \vec{b}$ મૂકતા:
$\overrightarrow{OP} = \frac{n\vec{a} + m\vec{b}}{m + n}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $(B)$ છે.

(A) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A, B, C$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ છે.
કારણ કે $D, E, F$ એ $BC, CA, AB$ ના મધ્યબિંદુઓ છે,તેથી તેમના સ્થાન સદિશો:
$\vec{d} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2}$,$\vec{e} = \frac{\vec{c} + \vec{a}}{2}$,$\vec{f} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$ છે.
હવે,આપણે સદિશોની ગણતરી કરીએ:
$\overrightarrow{AD} = \vec{d} - \vec{a} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2} - \vec{a} = \frac{\vec{b} + \vec{c} - 2\vec{a}}{2}$
$\overrightarrow{BE} = \vec{e} - \vec{b} = \frac{\vec{c} + \vec{a}}{2} - \vec{b} = \frac{\vec{c} + \vec{a} - 2\vec{b}}{2}$
$\overrightarrow{CF} = \vec{f} - \vec{c} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2} - \vec{c} = \frac{\vec{a} + \vec{b} - 2\vec{c}}{2}$
આ સદિશોનો સરવાળો કરતા:
$\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BE} + \overrightarrow{CF} = \frac{(\vec{b} + \vec{c} - 2\vec{a}) + (\vec{c} + \vec{a} - 2\vec{b}) + (\vec{a} + \vec{b} - 2\vec{c})}{2}$
$= \frac{(\vec{a} - 2\vec{a} + \vec{a}) + (\vec{b} - 2\vec{b} + \vec{b}) + (\vec{c} - 2\vec{c} + \vec{c})}{2} = \frac{0}{2} = \vec{0}$.
આમ,સરવાળો શૂન્ય સદિશ છે.

(D) આપેલ છે કે $\overrightarrow{AC} = 3\overrightarrow{AB}$.
ધારો કે $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ એ અનુક્રમે બિંદુઓ $A$ અને $B$ ના સ્થાન સદિશો છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\overrightarrow{AB} = \vec{b} - \vec{a}$.
આ કિંમત આપેલ સમીકરણમાં મૂકતા:
$\overrightarrow{AC} = 3(\vec{b} - \vec{a}) = 3\vec{b} - 3\vec{a}$.
ધારો કે $\vec{c}$ એ બિંદુ $C$ નો સ્થાન સદિશ છે. તેથી $\overrightarrow{AC} = \vec{c} - \vec{a}$.
$\overrightarrow{AC}$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\vec{c} - \vec{a} = 3\vec{b} - 3\vec{a}$.
$\vec{c} = 3\vec{b} - 3\vec{a} + \vec{a}$.
$\vec{c} = 3\vec{b} - 2\vec{a}$.
આમ,બિંદુ $C$ નો સ્થાન સદિશ $3\vec{b} - 2\vec{a}$ છે.

(B) સ્થાન સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ધરાવતા બિંદુઓને જોડતા રેખાખંડના મધ્યબિંદુ $M$ નો સ્થાન સદિશ શોધવાનું સૂત્ર: $\vec{m} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$ છે.
અહીં $\vec{a} = \hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ અને $\vec{b} = 3\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}$ આપેલ છે.
સદિશોનો સરવાળો કરતા: $\vec{a} + \vec{b} = (1+3)\hat{i} + (-1-1)\hat{j} + (2+3)\hat{k} = 4\hat{i} - 2\hat{j} + 5\hat{k}$.
હવે તેને $2$ વડે ભાગતા: $\vec{m} = \frac{4\hat{i} - 2\hat{j} + 5\hat{k}}{2} = 2\hat{i} - \hat{j} + \frac{5}{2}\hat{k}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં, સામસામેની બાજુઓ દર્શાવતા સદિશો સમાન હોય છે, તેથી $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$.
ધારો કે $D$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{d} = xi + yj + zk$ છે.
સ્થાન સદિશો $\vec{a} = i + 3j + 5k$, $\vec{b} = i + j + k$, અને $\vec{c} = 7i + 7j + 7k$ આપેલ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\overrightarrow{AB} = \vec{b} - \vec{a} = (1-1)i + (1-3)j + (1-5)k = 0i - 2j - 4k$.
તે જ રીતે, $\overrightarrow{DC} = \vec{c} - \vec{d} = (7-x)i + (7-y)j + (7-z)k$.
$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ ને સરખાવતા, આપણને મળે છે:
$0 = 7 - x \Rightarrow x = 7$
$-2 = 7 - y \Rightarrow y = 9$
$-4 = 7 - z \Rightarrow z = 11$
આમ, $D$ નો સ્થાન સદિશ $7i + 9j + 11k$ છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણમાં,વિકર્ણો એકબીજાને દુભાગે છે. તેથી,$P$ એ બંને વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ નું મધ્યબિંદુ છે.
મધ્યબિંદુ માટેના સેક્શન ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરીને,વિકર્ણ $AC$ માટે જેનું મધ્યબિંદુ $P$ છે,આપણને મળે છે:
$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = 2\overrightarrow{OP}$ ......$(i)$
તે જ રીતે,વિકર્ણ $BD$ માટે જેનું મધ્યબિંદુ $P$ છે,આપણને મળે છે:
$\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD} = 2\overrightarrow{OP}$ ......$(ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા,આપણને મળે છે:
$(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC}) + (\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD}) = 2\overrightarrow{OP} + 2\overrightarrow{OP}$
$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = 4\overrightarrow{OP}$

(A) ધારો કે બિંદુ $P$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{p} = xi + yj + zk$ છે.
આપેલ છે કે $A, B, C$ ના સ્થાન સદિશો $\vec{a} = i, \vec{b} = j, \vec{c} = k$ છે.
સદિશ $\overrightarrow{AB} = \vec{b} - \vec{a} = j - i$ થાય.
સદિશ $\overrightarrow{CP} = \vec{p} - \vec{c} = xi + yj + (z - 1)k$ થાય.
આપેલ શરત $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CP}$ મુજબ,$j - i = xi + yj + (z - 1)k$ મળે.
બંને બાજુ $i, j$ અને $k$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$x = -1, y = 1, z - 1 = 0 \Rightarrow z = 1$ મળે.
આમ,$P$ નો સ્થાન સદિશ $-i + j + k$ છે.

(B) આપેલ સ્થાન સદિશો: $\vec{a} = 2i + 3j + 5k$,$\vec{b} = i + 2j + 3k$,$\vec{c} = -5i + 4j - 2k$,$\vec{d} = i + 10j + 10k$.
સદિશ $\overrightarrow{AB} = \vec{b} - \vec{a} = (1-2)i + (2-3)j + (3-5)k = -i - j - 2k$ ની ગણતરી કરો.
સદિશ $\overrightarrow{CD} = \vec{d} - \vec{c} = (1 - (-5))i + (10-4)j + (10 - (-2))k = 6i + 6j + 12k$ ની ગણતરી કરો.
અહીં જોઈ શકાય છે કે $\overrightarrow{CD} = -6(-i - j - 2k) = -6 \overrightarrow{AB}$.
જેથી $\overrightarrow{CD}$ એ $\overrightarrow{AB}$ નો અદિશ ગુણાંક હોવાથી,સદિશો સમાંતર છે. આમ,$\overrightarrow{AB} \parallel \overrightarrow{CD}$.

(C) ધારો કે $\overrightarrow{OA} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}$ એ એક અંત્યબિંદુ $A$ નો સ્થાન સદિશ છે અને $\overrightarrow{OP} = 3\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k}$ એ રેખાખંડ $AB$ ના મધ્યબિંદુ $P$ નો સ્થાન સદિશ છે.
ધારો કે $\overrightarrow{OB}$ એ બીજા અંત્યબિંદુ $B$ નો સ્થાન સદિશ છે.
$P$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,આપણી પાસે સંબંધ છે:
$\overrightarrow{OP} = \frac{\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}}{2}$
$2$ વડે ગુણતા,આપણને મળે:
$2\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}$
$\overrightarrow{OB} = 2\overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OA}$
આપેલા સદિશોની કિંમત મૂકતા:
$\overrightarrow{OB} = 2(3\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k}) - (2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k})$
$\overrightarrow{OB} = (6\hat{i} + 6\hat{j} + 6\hat{k}) - (2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k})$
$\overrightarrow{OB} = (6-2)\hat{i} + (6-3)\hat{j} + (6-(-1))\hat{k}$
$\overrightarrow{OB} = 4\hat{i} + 3\hat{j} + 7\hat{k}$
આમ,બીજા અંત્યબિંદુનો સ્થાન સદિશ $4\hat{i} + 3\hat{j} + 7\hat{k}$ છે.

(D) ધારો કે શિરોબિંદુઓના સ્થાન સદિશો $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ અને $\vec{a'}, \vec{b'}, \vec{c'}$ છે.
મધ્યકેન્દ્રો $G$ અને $G'$ માટે $\vec{g} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}$ અને $\vec{g'} = \frac{\vec{a'} + \vec{b'} + \vec{c'}}{3}$ થાય.
તેથી,$\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = 3\vec{g}$ અને $\vec{a'} + \vec{b'} + \vec{c'} = 3\vec{g'}$.
આપણે $\overrightarrow{AA'} + \overrightarrow{BB'} + \overrightarrow{CC'} = (\vec{a'} - \vec{a}) + (\vec{b'} - \vec{b}) + (\vec{c'} - \vec{c})$ શોધવાનું છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $(\vec{a'} + \vec{b'} + \vec{c'}) - (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) = 3\vec{g'} - 3\vec{g} = 3(\vec{g'} - \vec{g})$ મળે છે.
કારણ કે $\vec{g'} - \vec{g} = \overrightarrow{GG'}$,તેથી પરિણામ $3\overrightarrow{GG'}$ છે.

(B) ધારો કે ઉગમબિંદુ પરિકેન્દ્ર $O$ પર છે. તો $A, B, C$ ના સ્થાન સદિશો $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ છે,જ્યાં $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = R$ છે.
લંબકેન્દ્ર $O'$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{o'} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે $\overrightarrow{O'A} + \overrightarrow{O'B} + \overrightarrow{O'C}$ ની ગણતરી કરવાની છે.
ઉગમબિંદુ $O$ ની સાપેક્ષમાં સ્થાન સદિશોની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરતા:
$\overrightarrow{O'A} = \vec{a} - \vec{o'} = \vec{a} - (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) = -(\vec{b} + \vec{c})$
$\overrightarrow{O'B} = \vec{b} - \vec{o'} = \vec{b} - (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) = -(\vec{a} + \vec{c})$
$\overrightarrow{O'C} = \vec{c} - \vec{o'} = \vec{c} - (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) = -(\vec{a} + \vec{b})$
આ બધાનો સરવાળો કરતા:
$\overrightarrow{O'A} + \overrightarrow{O'B} + \overrightarrow{O'C} = -(\vec{b} + \vec{c} + \vec{a} + \vec{c} + \vec{a} + \vec{b}) = -2(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) = -2\vec{o'}$.
કારણ કે $\vec{o'}$ એ સદિશ $\overrightarrow{OO'}$ છે,તેથી $\overrightarrow{O'A} + \overrightarrow{O'B} + \overrightarrow{O'C} = -2\overrightarrow{OO'} = 2\overrightarrow{O'O}$ થાય.

(A) નિયમિત ષટ્કોણ $ABCDEF$ માં,ધારો કે કેન્દ્ર $O$ છે.
આપેલ છે કે $\overrightarrow{AB} = a$ અને $\overrightarrow{BC} = b$.
ષટ્કોણના ગુણધર્મ મુજબ,$\overrightarrow{AD} = 2\overrightarrow{BC} = 2b$ અને $\overrightarrow{ED} = \overrightarrow{AB} = a$.
હવે,$\triangle AED$ માં,સદિશ સરવાળાના ત્રિકોણના નિયમ મુજબ,$\overrightarrow{AE} + \overrightarrow{ED} = \overrightarrow{AD}$.
તેથી,$\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{ED}$.
કિંમતો મૂકતા,$\overrightarrow{AE} = 2b - a$.

(A) આપેલ છે કે $B$ ની સાપેક્ષે બિંદુ $C$ નો સ્થાન સદિશ $\overrightarrow{BC} = i + j$ છે.
તે જ રીતે,$A$ ની સાપેક્ષે $B$ નો સ્થાન સદિશ $\overrightarrow{AB} = i - j$ છે.
સદિશ સરવાળાના ત્રિકોણના નિયમ મુજબ,$A$ ની સાપેક્ષે $C$ નો સ્થાન સદિશ $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $\overrightarrow{AC} = (i - j) + (i + j) = 2i$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) ધારો કે $\overrightarrow{OA} = 6b - 2a$ અને $\overrightarrow{OP} = a - b$. ધારો કે $\overrightarrow{OB} = r$.
બિંદુ $P$ એ $AB$ નું $1 : 2$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરતું હોવાથી,વિભાજન સૂત્ર મુજબ $P$ નો સ્થાન સદિશ:
$\overrightarrow{OP} = \frac{1(\overrightarrow{OB}) + 2(\overrightarrow{OA})}{1 + 2}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$a - b = \frac{r + 2(6b - 2a)}{3}$
$3(a - b) = r + 12b - 4a$
$3a - 3b = r + 12b - 4a$
$r = 3a - 3b - 12b + 4a$
$r = 7a - 15b$
આમ,$B$ નો સ્થાન સદિશ $7a - 15b$ છે.

(B) બિંદુઓ $A$ અને $B$ ના સ્થાન સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ હોય,તો તેમના મધ્યબિંદુ $M$ નો સ્થાન સદિશ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$\vec{m} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$
આપેલ છે કે $\vec{a} = \hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}$ અને $\vec{b} = 3\hat{i} - \hat{j} - 3\hat{k}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\vec{m} = \frac{(\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}) + (3\hat{i} - \hat{j} - 3\hat{k})}{2}$
$\vec{m} = \frac{(1+3)\hat{i} + (3-1)\hat{j} + (-1-3)\hat{k}}{2}$
$\vec{m} = \frac{4\hat{i} + 2\hat{j} - 4\hat{k}}{2}$
$\vec{m} = 2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) કારણ કે $C$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BC} = 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $\overrightarrow{AC} = -\overrightarrow{BC}$.
$\triangle PAC$ અને $\triangle PBC$ માં સદિશ સરવાળાના ત્રિકોણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\overrightarrow{PA} = \overrightarrow{PC} + \overrightarrow{CA}$
$\overrightarrow{PB} = \overrightarrow{PC} + \overrightarrow{CB}$
આ બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} = (\overrightarrow{PC} + \overrightarrow{CA}) + (\overrightarrow{PC} + \overrightarrow{CB})$
$\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} = 2\overrightarrow{PC} + (\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB})$
$C$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$\overrightarrow{CA} = -\overrightarrow{CB}$ થાય,તેથી $\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB} = 0$.
તેથી,$\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} = 2\overrightarrow{PC}$.

(D) આપેલ છે કે $D$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $\overrightarrow{AD} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} = \frac{1}{2}\vec{a}$.
આપેલ છે કે $E$ એ $AC$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $\overrightarrow{AE} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} = \frac{1}{2}\vec{b}$.
$\triangle ADE$ માં સદિશ સરવાળાના ત્રિકોણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DE} = \overrightarrow{AE}$.
તેથી,$\overrightarrow{DE} = \overrightarrow{AE} - \overrightarrow{AD}$.
કિંમતો મૂકતા,$\overrightarrow{DE} = \frac{1}{2}\vec{b} - \frac{1}{2}\vec{a} = \frac{\vec{b}}{2} - \frac{\vec{a}}{2}$.

(B) સદિશ સરવાળાના ત્રિકોણના નિયમ મુજબ,$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$ થાય.
આપેલા સદિશોની કિંમત મૂકતા,આપણને $a + b = c$ મળે છે.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $a + b - c = 0$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) આપેલ છે કે $\overrightarrow{OA} = a$ અને $\overrightarrow{OB} = b$.
બિંદુ $C$ એ $OA$ પર આવેલું છે જેથી $2AC = CO$. આનો અર્થ એ છે કે $C$ એ $OA$ ને $O$ થી $A$ તરફ $1:2$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\overrightarrow{OC} = \frac{2}{3}\overrightarrow{OA} = \frac{2}{3}a$.
કારણ કે $CD$ એ $OB$ ને સમાંતર છે અને $|\overrightarrow{CD}| = 3|\overrightarrow{OB}|$ છે,તેથી $\overrightarrow{CD} = 3\overrightarrow{OB} = 3b$.
હવે,$\overrightarrow{OD} = \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{CD} = \frac{2}{3}a + 3b$.
અંતે,$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OA} = (\frac{2}{3}a + 3b) - a = 3b - \frac{1}{3}a$.

(A) આપેલ સંબંધ $2\overrightarrow{AC} = 3\overrightarrow{CB}$ છે.
આપણે સદિશોને ઉગમબિંદુ $O$ ના સંદર્ભમાં આ રીતે લખી શકીએ: $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA}$ અને $\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC}$.
આ કિંમતોને આપેલ સમીકરણમાં મૂકતા:
$2(\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA}) = 3(\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC})$
$2\overrightarrow{OC} - 2\overrightarrow{OA} = 3\overrightarrow{OB} - 3\overrightarrow{OC}$
$2\overrightarrow{OA} + 3\overrightarrow{OB}$ ને કર્તા બનાવતા:
$2\overrightarrow{OA} + 3\overrightarrow{OB} = 2\overrightarrow{OC} + 3\overrightarrow{OC}$
$2\overrightarrow{OA} + 3\overrightarrow{OB} = 5\overrightarrow{OC}$

(C) આપેલ સમીકરણ: $\overrightarrow {AO} + \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {BO} + \overrightarrow {OC}$.
સદિશ સરવાળાના ત્રિકોણના નિયમ મુજબ,$\overrightarrow {AO} + \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {AB}$.
તે જ રીતે,$\overrightarrow {BO} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {BC}$.
તેથી,$\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {BC}$.
આનો અર્થ એ છે કે સદિશ $\overrightarrow {AB}$ નું મૂલ્ય સદિશ $\overrightarrow {BC}$ ના મૂલ્ય જેટલું છે,એટલે કે $|\overrightarrow {AB}| = |\overrightarrow {BC}|$.
બે બાજુઓ $AB$ અને $BC$ ની લંબાઈ સમાન હોવાથી,બિંદુઓ $A, B, C$ એક સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ બનાવે છે.

(A) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A$,$B$ અને $C$ છે,જેના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\vec{a}$,$\vec{b}$ અને $\vec{c}$ છે.
મધ્યગાઓ એ શિરોબિંદુઓથી સામેની બાજુઓના મધ્યબિંદુઓ તરફ દોરેલા સદિશો છે.
બાજુઓ $BC$,$CA$ અને $AB$ ના મધ્યબિંદુઓ $D$,$E$ અને $F$ છે.
મધ્યબિંદુઓના સ્થાન સદિશો $\vec{d} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2}$,$\vec{e} = \frac{\vec{a} + \vec{c}}{2}$ અને $\vec{f} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$ છે.
મધ્યગાઓ દર્શાવતા સદિશો $\vec{AD} = \vec{d} - \vec{a} = \frac{\vec{b} + \vec{c} - 2\vec{a}}{2}$ છે.
તેવી જ રીતે,$\vec{BE} = \frac{\vec{a} + \vec{c} - 2\vec{b}}{2}$ અને $\vec{CF} = \frac{\vec{a} + \vec{b} - 2\vec{c}}{2}$ છે.
આ સદિશોનો સરવાળો $\vec{AD} + \vec{BE} + \vec{CF} = \frac{(\vec{b} + \vec{c} - 2\vec{a}) + (\vec{a} + \vec{c} - 2\vec{b}) + (\vec{a} + \vec{b} - 2\vec{c})}{2}$ થાય.
અંશનું સાદુરૂપ આપતા: $(\vec{a} - \vec{a}) + (\vec{b} - \vec{b}) + (\vec{c} - \vec{c}) = 0$.
આમ,સરવાળો $\frac{0}{2} = 0$ થાય છે.

(B) ધારો કે બે બિંદુઓના સ્થાન સદિશો $\vec{p} = 2a - 3b$ અને $\vec{q} = 3a - 2b$ છે.
બે બિંદુઓના સ્થાન સદિશો $\vec{p}$ અને $\vec{q}$ ને જોડતા રેખાખંડનું $m : n$ ગુણોત્તરમાં અંતઃવિભાજન કરતા બિંદુનો સ્થાન સદિશ $\vec{r} = \frac{m\vec{q} + n\vec{p}}{m + n}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$m = 2$,$n = 3$,$\vec{p} = 2a - 3b$,અને $\vec{q} = 3a - 2b$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\vec{r} = \frac{2(3a - 2b) + 3(2a - 3b)}{2 + 3}$
$\vec{r} = \frac{6a - 4b + 6a - 9b}{5}$
$\vec{r} = \frac{12a - 13b}{5}$
$\vec{r} = \frac{12}{5}a - \frac{13}{5}b$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) આપેલ છે કે બિંદુઓ $A, B, C$ ના સ્થાન સદિશો $\vec{a} = \hat{i}$,$\vec{b} = \hat{j}$,અને $\vec{c} = \hat{k}$ છે.
સદિશ $\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = \hat{j} - \hat{i}$ થાય.
ધારો કે બિંદુ $X$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{x}$ છે. તેથી $\vec{CX} = \vec{x} - \vec{c} = \vec{x} - \hat{k}$ થાય.
આપેલ છે કે $\vec{AB} = \vec{CX}$,તેથી $\hat{j} - \hat{i} = \vec{x} - \hat{k}$ મળે.
આમ,$\vec{x} = -\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ થાય.

(A) સ્થાન સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ધરાવતા બે બિંદુઓને જોડતા રેખાખંડનું $m : n$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરતા બિંદુ $C$ નો સ્થાન સદિશ વિભાજનના સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $\vec{r} = \frac{m\vec{b} + n\vec{a}}{m + n}$.
અહીં,ગુણોત્તર $m : n = 2 : 1$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\vec{OC} = \frac{2(\vec{b}) + 1(\vec{a})}{2 + 1}$
$\vec{OC} = \frac{\vec{a} + 2\vec{b}}{3}$.

(A) ત્રિકોણ $ABC$ ના શિરોબિંદુઓ $A, B$ અને $C$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $a, b$ અને $c$ છે.
ત્રિકોણના મધ્યકેન્દ્ર $G$ નો સ્થાન સદિશ $g = \frac{a + b + c}{3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે સદિશોનો સરવાળો $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC}$ શોધવાનો છે.
બે બિંદુઓ વચ્ચેના સદિશની વ્યાખ્યા મુજબ,$\overrightarrow{GA} = a - g$,$\overrightarrow{GB} = b - g$,અને $\overrightarrow{GC} = c - g$.
તેમનો સરવાળો કરતા:
$\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = (a - g) + (b - g) + (c - g)$
$= (a + b + c) - 3g$
$g = \frac{a + b + c}{3}$ કિંમત મૂકતા:
$= (a + b + c) - 3 \left( \frac{a + b + c}{3} \right)$
$= (a + b + c) - (a + b + c) = 0$.

(C) $A(x_1, y_1)$ અને $B(x_2, y_2)$ ને જોડતા રેખાખંડના મધ્યબિંદુ $C$ ના યામ $\left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ $A(2, -1)$ અને $B(-4, 3)$ માટે,$C$ ના યામ $\left( \frac{2 + (-4)}{2}, \frac{-1 + 3}{2} \right) = \left( \frac{-2}{2}, \frac{2}{2} \right) = (-1, 1)$ થાય.
$O$ એ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ હોવાથી,સ્થાન સદિશ $\overrightarrow{OC} = (-1 - 0)i + (1 - 0)j = -i + j$ મળે.

(D) નિયમિત ષટ્કોણ $ABCDEF$ માં,ધારો કે $O$ એ ષટ્કોણનું કેન્દ્ર છે. આપણે સદિશોને ષટ્કોણની બાજુઓના સંદર્ભમાં દર્શાવી શકીએ છીએ.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\overrightarrow {AD} = 2\overrightarrow {BC}$,$\overrightarrow {EB} = 2\overrightarrow {FA}$,અને $\overrightarrow {FC} = 2\overrightarrow {AB}$.
તેથી,$\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {EB} + \overrightarrow {FC} = 2\overrightarrow {BC} + 2\overrightarrow {FA} + 2\overrightarrow {AB}$.
$= 2(\overrightarrow {FA} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC}) = 2(\overrightarrow {FC}) = 2(2\overrightarrow {AB}) = 4\overrightarrow {AB}$.

(C) ધારો કે બિંદુ $A$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{OA} = a + 2b$ છે.
ધારો કે બિંદુ $P$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{OP} = a$ છે.
ધારો કે બિંદુ $B$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{OB} = x$ છે.
વિભાજન સૂત્ર મુજબ,$P$ એ $AB$ નું $2:3$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે:
$\vec{OP} = \frac{2(\vec{OB}) + 3(\vec{OA})}{2 + 3}$
$a = \frac{2x + 3(a + 2b)}{5}$
$5a = 2x + 3a + 6b$
$2x = 5a - 3a - 6b$
$2x = 2a - 6b$
$x = a - 3b$
તેથી,$B$ નો સ્થાન સદિશ $a - 3b$ છે.

(A) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A, B, C$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ છે.
$D, E, F$ એ અનુક્રમે $AB, AC, BC$ ના મધ્યબિંદુઓ હોવાથી,તેમના સ્થાન સદિશો:
$\vec{d} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$,$\vec{e} = \frac{\vec{a} + \vec{c}}{2}$,$\vec{f} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2}$ છે.
હવે,$\overrightarrow{BE} = \vec{e} - \vec{b} = \frac{\vec{a} + \vec{c}}{2} - \vec{b} = \frac{\vec{a} + \vec{c} - 2\vec{b}}{2}$.
અને $\overrightarrow{AF} = \vec{f} - \vec{a} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2} - \vec{a} = \frac{\vec{b} + \vec{c} - 2\vec{a}}{2}$.
આ બંને સદિશોનો સરવાળો કરતા:
$\overrightarrow{BE} + \overrightarrow{AF} = \frac{\vec{a} + \vec{c} - 2\vec{b} + \vec{b} + \vec{c} - 2\vec{a}}{2} = \frac{2\vec{c} - \vec{a} - \vec{b}}{2} = \vec{c} - \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$.
$\vec{d} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$ હોવાથી,આપણને મળે છે $\overrightarrow{BE} + \overrightarrow{AF} = \vec{c} - \vec{d} = \overrightarrow{DC}$.

(D) સ્થાન સદિશો $\vec{OA} = i + j$,$\vec{OB} = i - j$,અને $\vec{OC} = a i + b j + c k$ છે.
બિંદુઓ $A, B, C$ સમરેખ હોવા માટે,સદિશો $\vec{AB}$ અને $\vec{BC}$ સમાંતર હોવા જોઈએ.
$\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = (i - j) - (i + j) = -2j$ શોધો.
$\vec{BC} = \vec{OC} - \vec{OB} = (a i + b j + c k) - (i - j) = (a - 1)i + (b + 1)j + ck$ શોધો.
જેহেতু $\vec{AB}$ અને $\vec{BC}$ સમરેખ છે,તેથી એક અદિશ $k$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે જેથી $\vec{AB} = k \vec{BC}$ થાય.
$-2j = k((a - 1)i + (b + 1)j + ck)$.
બંને બાજુ $i, j, k$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$k(a - 1) = 0$
$k(b + 1) = -2$
$kc = 0$
$kc = 0$ પરથી,$k \neq 0$ હોવાથી (અન્યથા $\vec{AB} = 0$ થાય,જે શક્ય નથી),આપણને $c = 0$ મળે છે.
$k(a - 1) = 0$ પરથી,આપણને $a = 1$ મળે છે.
$k(b + 1) = -2$ પરથી,$b$ કોઈપણ સ્વૈચ્છિક અદિશ હોઈ શકે છે.
તેથી,સમરેખતા માટેની શરત $c = 0, a = 1$ અને $b$ સ્વૈચ્છિક અદિશ છે.

(D) ધારો કે બિંદુઓ $P = a + b$,$Q = a - b$,અને $R = a + kb$ છે.
બિંદુઓ સમરેખ હોવા માટે,સદિશો $\overrightarrow{PQ}$ અને $\overrightarrow{QR}$ સમાંતર હોવા જોઈએ.
$\overrightarrow{PQ} = Q - P = (a - b) - (a + b) = -2b$.
$\overrightarrow{QR} = R - Q = (a + kb) - (a - b) = (k + 1)b$.
આ સદિશો સમાંતર હોય તે માટે,એક અદિશ $\lambda$ અસ્તિત્વ ધરાવવો જોઈએ જેથી $\overrightarrow{PQ} = \lambda \overrightarrow{QR}$ થાય.
$-2b = \lambda(k + 1)b$.
અહીં $b$ એક સદિશ હોવાથી,આનો અર્થ એ થાય કે $-2 = \lambda(k + 1)$.
આ સમીકરણ કોઈપણ $k$ માટે સાચું છે જો આપણે યોગ્ય $\lambda$ પસંદ કરી શકીએ. જો $k = -1$ હોય,તો બિંદુઓ $Q$ અને $R$ સંપાતી થાય છે,જે તેમને સમરેખ બનાવે છે. અન્ય કોઈપણ $k$ માટે,સદિશો પ્રમાણસર છે. આમ,$k$ કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા હોઈ શકે છે.

(A) આપેલ છે કે બિંદુઓ $A, B, C$ ના સ્થાન સદિશો $\vec{OA} = a$,$\vec{OB} = b$,અને $\vec{OC} = 3a - 2b$ છે.
પ્રથમ,આપણે સદિશો $\vec{AB}$ અને $\vec{AC}$ શોધીએ:
$\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = b - a$
$\vec{AC} = \vec{OC} - \vec{OA} = (3a - 2b) - a = 2a - 2b = -2(b - a)$
આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $\vec{AC} = -2 \vec{AB}$.
જેથી $\vec{AC}$ એ $\vec{AB}$ નો અદિશ ગુણાંક છે,તેથી સદિશો સમાંતર છે.
તેઓ સામાન્ય બિંદુ $A$ ધરાવતા હોવાથી,બિંદુઓ $A, B, C$ સમરેખ છે.

(A) વ્યાખ્યા મુજબ,સદિશોનો સમૂહ સુરેખ રીતે સ્વતંત્ર છે જો શૂન્ય સદિશમાં પરિણમતું એકમાત્ર સુરેખ સંયોજન એવું હોય કે જેમાં બધા અદિશો શૂન્ય હોય.
કારણ કે $a, b, c$ એ અસમરેખ સદિશો છે (અને ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશના સંદર્ભમાં,જો તેઓ સુરેખ રીતે સ્વતંત્ર હોય),તો સમીકરણ $xa + yb + zc = 0$ સૂચવે છે કે $x = 0, y = 0, z = 0$.
જો ઓછામાં ઓછો એક અદિશ શૂન્યતર હોત,તો સદિશો સુરેખ રીતે પરતંત્ર હોત,જે આ સંદર્ભમાં અસમરેખ સદિશોના ગુણધર્મથી વિરોધાભાસી છે.

(A) ધારો કે બિંદુઓ $A(60, 3)$,$B(40, -8)$ અને $C(a, -52)$ છે.
બિંદુઓ સમરેખ હોવાથી,સદિશ $\overrightarrow{AB}$ એ સદિશ $\overrightarrow{BC}$ ને સમાંતર હોવો જોઈએ.
$\overrightarrow{AB} = (40 - 60)i + (-8 - 3)j = -20i - 11j$.
$\overrightarrow{BC} = (a - 40)i + (-52 - (-8))j = (a - 40)i - 44j$.
સમરેખતા માટે,કોઈ અદિશ $k$ માટે $\overrightarrow{AB} = k\overrightarrow{BC}$ થાય.
$-20i - 11j = k((a - 40)i - 44j)$.
$j$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા: $-11 = -44k$,જે આપણને $k = \frac{11}{44} = \frac{1}{4}$ આપે છે.
$i$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા: $-20 = k(a - 40)$.
$k = \frac{1}{4}$ મૂકતા: $-20 = \frac{1}{4}(a - 40)$.
$-80 = a - 40$.
$a = -80 + 40 = -40$.

(C) બિંદુ $A$ નો સ્થાન સદિશ $\overrightarrow{OA} = 4\,i + 5\,j$ આપેલ છે.
$\overrightarrow{OA}$ ને સમાંતર એકમ સદિશ શોધવા માટે,આપણે સૂત્ર $\hat{a} = \frac{\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|}$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
પ્રથમ,$\overrightarrow{OA}$ નું માન શોધો:
$|\overrightarrow{OA}| = \sqrt{4^2 + 5^2} = \sqrt{16 + 25} = \sqrt{41}$.
હવે,એકમ સદિશ છે:
$\hat{OA} = \frac{4\,i + 5\,j}{\sqrt{41}} = \frac{1}{\sqrt{41}}(4\,i + 5\,j)$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) ધારો કે બિંદુઓ $A(10, 3)$,$B(12, -5)$ અને $C(a, 11)$ છે.
બિંદુઓ સમરેખ હોવાથી,સદિશ $\overrightarrow{AB}$ એ સદિશ $\overrightarrow{BC}$ ને સમાંતર હોવો જોઈએ.
$\overrightarrow{AB} = (12 - 10)i + (-5 - 3)j = 2i - 8j$.
$\overrightarrow{BC} = (a - 12)i + (11 - (-5))j = (a - 12)i + 16j$.
સમરેખતા માટે,કોઈ અદિશ $k$ માટે $\overrightarrow{AB} = k \overrightarrow{BC}$ થાય.
$2i - 8j = k[(a - 12)i + 16j]$.
$j$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા: $-8 = 16k \Rightarrow k = -\frac{1}{2}$.
$i$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા: $2 = k(a - 12)$.
$k = -\frac{1}{2}$ મુકતા: $2 = -\frac{1}{2}(a - 12)$.
$-4 = a - 12 \Rightarrow a = 8$.

(D) ધારો કે બિંદુઓ $A$,$B$ અને $C$ છે જેના સ્થાન સદિશો $\vec{OA} = a + b$,$\vec{OB} = a - b$ અને $\vec{OC} = a + kb$ છે.
બિંદુઓ સમરેખ હોય તે માટે,સદિશો $\vec{AB}$ અને $\vec{BC}$ સમાંતર હોવા જોઈએ,એટલે કે $\vec{AB} = \lambda \vec{BC}$ કોઈ અદિશ $\lambda$ માટે.
$\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = (a - b) - (a + b) = -2b$ ગણો.
$\vec{BC} = \vec{OC} - \vec{OB} = (a + kb) - (a - b) = (k + 1)b$ ગણો.
સમરેખતા માટે,$-2b = \lambda(k + 1)b$.
આનો અર્થ એ છે કે $-2 = \lambda(k + 1)$. કારણ કે $\lambda$ કોઈપણ શૂન્યતર વાસ્તવિક સંખ્યા હોઈ શકે છે,$k$ કોઈપણ વાસ્તવિક કિંમત લઈ શકે છે.
આમ,$k$ ની દરેક વાસ્તવિક કિંમત માટે બિંદુઓ સમરેખ છે.

(B) આપેલ સ્થાન સદિશો $\vec{A} = 2i + j,$ $\vec{B} = i - 3j,$ $\vec{C} = 3i + 2j,$ અને $\vec{D} = i + \lambda j$ છે.
પ્રથમ,સદિશો $\overrightarrow{AB}$ અને $\overrightarrow{CD}$ ની ગણતરી કરો:
$\overrightarrow{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (i - 3j) - (2i + j) = -i - 4j.$
$\overrightarrow{CD} = \vec{D} - \vec{C} = (i + \lambda j) - (3i + 2j) = -2i + (\lambda - 2)j.$
કારણ કે $\overrightarrow{AB} \parallel \overrightarrow{CD}$ છે,તેથી તેમના ઘટકો પ્રમાણસર હોવા જોઈએ:
$\frac{-1}{-2} = \frac{-4}{\lambda - 2}.$
$\lambda$ માટે ઉકેલતા:
$\frac{1}{2} = \frac{-4}{\lambda - 2}$
$\lambda - 2 = 2 \times (-4)$
$\lambda - 2 = -8$
$\lambda = -6.$

(A) બે સદિશો $\vec{a} = a_1\,i + a_2\,j + a_3\,k$ અને $\vec{b} = b_1\,i + b_2\,j + b_3\,k$ સમાંતર હોય જો તેમના ઘટકો પ્રમાણસર હોય,એટલે કે $\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \frac{a_3}{b_3}$.
આપેલ સદિશો $3\,i + 2\,j - k$ અને $6\,i - 4xj + yk$ છે.
ઘટકોની સરખામણી કરતા,આપણને મળે છે $\frac{3}{6} = \frac{2}{-4x} = \frac{-1}{y}$.
$\frac{3}{6} = \frac{2}{-4x}$ પરથી,આપણને $\frac{1}{2} = \frac{1}{-2x}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $-2x = 2$,તેથી $x = -1$.
$\frac{3}{6} = \frac{-1}{y}$ પરથી,આપણને $\frac{1}{2} = \frac{-1}{y}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $y = -2$.
તેથી,કિંમતો $x = -1$ અને $y = -2$ છે.

(B) સદિશો $a$,$b$ અને $a + b$ એ સમતલીય છે.
આનું કારણ એ છે કે કોઈપણ સદિશ $v = x(a) + y(b)$ એ સદિશો $a$ અને $b$ નું રેખીય સંયોજન છે,જેનો અર્થ છે કે $v$ એ $a$ અને $b$ ના સમતલમાં જ આવેલો છે.
અહીં,$a + b = 1(a) + 1(b)$.
કારણ કે $a + b$ ને $a$ અને $b$ ના રેખીય સંયોજન તરીકે અદિશ $1$ અને $1$ સાથે દર્શાવી શકાય છે,તેથી આ ત્રણેય સદિશો સમતલીય છે.

(D) ધારો કે બિંદુઓ $A, B, C$ છે જેના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $a, b, c$ છે.
બિંદુઓ સમરેખ હોવાથી,સદિશો $\vec{AB}$ અને $\vec{AC}$ સમાંતર છે.
તેથી,કોઈ અદિશ $k$ માટે $\vec{AB} = k \vec{AC}$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે $(b - a) = k(c - a)$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $b - a = kc - ka$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $a(k - 1) + b - kc = 0$ થાય છે.
ધારો કે $x = k - 1$,$y = 1$,અને $z = -k$.
તો $xa + yb + zc = 0$ થાય.
અદિશોનો સરવાળો ગણતા: $x + y + z = (k - 1) + 1 + (-k) = 0$.
તેથી,ત્રણ સમરેખ બિંદુઓ માટે,એવા અદિશો $x, y, z$ (બધા શૂન્ય ન હોય) અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $xa + yb + zc = 0$ અને $x + y + z = 0$ થાય.

(C) આપેલ સદિશો $a = (2, 5)$ અને $b = (1, 4)$ છે.
સૌ પ્રથમ,સદિશોનો સરવાળો શોધો: $a + b = (2 + 1, 5 + 4) = (3, 9).$
પરિણામી સદિશમાંથી $3$ સામાન્ય લેતા: $(3, 9) = 3(1, 3).$
જો કોઈ અદિશ $k \neq 0$ માટે $v = k \cdot u$ હોય,તો સદિશ $v$ એ $u$ ને સમાંતર કહેવાય.
અહીં,$(3, 9) = 3 \cdot (1, 3).$
તેથી,સદિશ $(a + b)$ એ $(1, 3)$ ને સમાંતર છે.

(C) સદિશો $c = (x - 2)a + b$ અને $d = (2x + 1)a - b$ સમરેખ હોવાથી,કોઈ અદિશ $\lambda$ એવું મળે કે જેથી $c = \lambda d$ થાય.
$c$ અને $d$ ના પદો મૂકતા:
$(x - 2)a + b = \lambda ((2x + 1)a - b)$
પદોને ગોઠવતા:
$(x - 2)a + b = \lambda(2x + 1)a - \lambda b$
$((x - 2) - \lambda(2x + 1))a + (1 + \lambda)b = 0$
અહીં $a$ અને $b$ અસમરેખ હોવાથી,તેઓ સુરેખ રીતે સ્વતંત્ર છે. તેથી,$a$ અને $b$ ના સહગુણકો શૂન્ય થવા જોઈએ:
$1 + \lambda = 0 \Rightarrow \lambda = -1$
$(x - 2) - \lambda(2x + 1) = 0$
બીજા સમીકરણમાં $\lambda = -1$ મૂકતા:
$(x - 2) - (-1)(2x + 1) = 0$
$x - 2 + 2x + 1 = 0$
$3x - 1 = 0$
$x = \frac{1}{3}$

(A) આપેલ સ્થાન સદિશો:
$\vec{p} = 2a + 4c$
$\vec{q} = 5a + 3\sqrt{3}b + 4c$
$\vec{r} = -2\sqrt{3}b + c$
$\vec{s} = 2a + c$
$\overrightarrow{PQ} = \vec{q} - \vec{p} = (5a + 3\sqrt{3}b + 4c) - (2a + 4c) = 3a + 3\sqrt{3}b = 3(a + \sqrt{3}b)$ શોધો.
$\overrightarrow{RS} = \vec{s} - \vec{r} = (2a + c) - (-2\sqrt{3}b + c) = 2a + 2\sqrt{3}b = 2(a + \sqrt{3}b)$ શોધો.
અહીં $\overrightarrow{PQ} = \frac{3}{2} \overrightarrow{RS}$ હોવાથી,સદિશો એકબીજાના અદિશ ગુણક છે.
તેથી,$\overrightarrow{PQ}$ એ $\overrightarrow{RS}$ ને સમાંતર છે.

(C) બે સદિશો $a = (a_1, a_2)$ અને $b = (b_1, b_2)$ સમરેખ હોય જો તેમના ઘટકો પ્રમાણસર હોય,એટલે કે $\frac{b_1}{a_1} = \frac{b_2}{a_2} = \lambda$.
અહીં $a = (1, -1)$ અને $b = (-2, m)$ આપેલ છે.
ઘટકોની સરખામણી કરતા,આપણને મળે છે $\frac{-2}{1} = \frac{m}{-1}$.
$-2 = \frac{m}{-1}$.
$m = (-2) \times (-1) = 2$.
આમ,$m$ ની કિંમત $2$ છે.

(B) ધારો કે બિંદુ $B$ એ રેખાખંડ $AC$ નું $\lambda : 1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$B$ નો સ્થાન સદિશ નીચે મુજબ મળે:
$\vec{B} = \frac{\lambda \vec{C} + 1 \vec{A}}{\lambda + 1}$
આપેલા સ્થાન સદિશોની કિંમત મૂકતા:
$5i - 2k = \frac{\lambda (11i + 3j + 7k) + (i - 2j - 8k)}{\lambda + 1}$
$j$ ના સહગુણકોને સરખાવતા:
$0 = \frac{3\lambda - 2}{\lambda + 1}$
$3\lambda - 2 = 0$
$\lambda = \frac{2}{3}$
આમ,$B$ એ $AC$ નું $2:3$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.

(C) આપેલ છે કે $a$ અને $b$ બે અસમરેખ સદિશો છે.
આપણને સમીકરણ $xa + yb = 0$ આપેલ છે.
જો $x \neq 0$ હોય,તો આપણે $xa = -yb$ લખી શકીએ,જેનો અર્થ છે કે $a = -(\frac{y}{x})b$.
આનો અર્થ એ થાય કે સદિશ $a$ એ સદિશ $b$ નો અદિશ ગુણાંક છે,જે સૂચવે છે કે $a$ અને $b$ સમરેખ છે.
પરંતુ,આપેલ છે કે $a$ અને $b$ અસમરેખ છે,જે વિરોધાભાસ છે.
તેથી,આપણી ધારણા કે $x \neq 0$ ખોટી હોવી જોઈએ,તેથી $x = 0$.
સમીકરણ $xa + yb = 0$ માં $x = 0$ મૂકતા,આપણને $0a + yb = 0$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $yb = 0$ થાય છે.
સદિશ $b$ એ શૂન્યતર સદિશ હોવાથી,$y = 0$ મળે છે.
આમ,અસમરેખ સદિશો માટે,$xa + yb = 0$ નો અર્થ $x = 0$ અને $y = 0$ થાય છે.

(C) વ્યાખ્યા મુજબ,બે સદિશો $a$ અને $b$ નું કોઈપણ સુરેખ સંયોજન,જે $xa + yb$ દ્વારા આપવામાં આવે છે (જ્યાં $x$ અને $y$ અદિશ છે),તે $a$ અને $b$ દ્વારા બનતા સમતલમાં આવેલું હોય છે.
કારણ કે $a$ અને $b$ અસમરેખ છે,તેઓ એક અનન્ય સમતલ નક્કી કરે છે.
તેથી,સદિશ $xa + yb$ એ $a$ અને $b$ સાથે એકતલીય છે.

(A) આપેલ છે કે $a + b + c = \alpha d$ અને $b + c + d = \beta a$.
પ્રથમ સમીકરણમાં $d$ ઉમેરતા,આપણને $a + b + c + d = (\alpha + 1)d$ મળે છે.
બીજા સમીકરણમાં $a$ ઉમેરતા,આપણને $a + b + c + d = (\beta + 1)a$ મળે છે.
$a + b + c + d$ માટેના આ બંને પદોને સરખાવતા,$(\alpha + 1)d = (\beta + 1)a$ મળે છે.
જો $\alpha \neq -1$ હોય,તો $d = \frac{\beta + 1}{\alpha + 1} a$ થાય.
આ કિંમતને પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા: $a + b + c = \alpha \left( \frac{\beta + 1}{\alpha + 1} \right) a$.
આ દર્શાવે છે કે $a, b, c$ સમતલીય છે,જે આપેલ શરત કે તેઓ અસમતલીય છે તેનો વિરોધાભાસ કરે છે.
તેથી,$\alpha + 1 = 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $\alpha = -1$.
પરિણામે,$a + b + c + d = (\alpha + 1)d = (-1 + 1)d = 0$.