Basic , Modulus and Algebra of vectors Questions in Gujarati

(A) બિંદુ $P$ અને $Q$ ના સ્થાન સદિશો $\vec{p}$ અને $\vec{q}$ હોય,તો તેમને જોડતા રેખાખંડનું $m:n$ ગુણોત્તરમાં અંતઃવિભાજન કરતા બિંદુ $R$ નો સ્થાન સદિશ વિભાજન સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $\overrightarrow{OR} = \frac{m\vec{q} + n\vec{p}}{m + n}$.
અહીં $\vec{p} = 3\vec{a} - 2\vec{b}$,$\vec{q} = \vec{a} + \vec{b}$,$m = 2$ અને $n = 1$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\overrightarrow{OR} = \frac{2(\vec{a} + \vec{b}) + 1(3\vec{a} - 2\vec{b})}{2 + 1}$
$\overrightarrow{OR} = \frac{2\vec{a} + 2\vec{b} + 3\vec{a} - 2\vec{b}}{3}$
$\overrightarrow{OR} = \frac{5\vec{a}}{3}$.

(A) બિંદુઓ $P$ અને $Q$ ના સ્થાન સદિશો $\vec{p}$ અને $\vec{q}$ હોય,તો તેમને જોડતી રેખાનું $m:n$ ના ગુણોત્તરમાં બહારની તરફ વિભાજન કરતા બિંદુ $R$ નો સ્થાન સદિશ $\overrightarrow{OR} = \frac{m\vec{q} - n\vec{p}}{m - n}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં $\vec{p} = 3\vec{a} - 2\vec{b}$,$\vec{q} = \vec{a} + \vec{b}$,$m = 2$ અને $n = 1$ આપેલ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\overrightarrow{OR} = \frac{2(\vec{a} + \vec{b}) - 1(3\vec{a} - 2\vec{b})}{2 - 1}$
$\overrightarrow{OR} = \frac{2\vec{a} + 2\vec{b} - 3\vec{a} + 2\vec{b}}{1}$
$\overrightarrow{OR} = (2\vec{a} - 3\vec{a}) + (2\vec{b} + 2\vec{b})$
$\overrightarrow{OR} = 4\vec{b} - \vec{a}$.

(N/A) સદિશ $\vec{v} = p\hat{i} + q\hat{j} + r\hat{k}$ નું માન શોધવાનું સૂત્ર $|\vec{v}| = \sqrt{p^2 + q^2 + r^2}$ છે.
સદિશ $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ માટે:
$|\vec{a}| = \sqrt{(1)^2 + (1)^2 + (1)^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$.
સદિશ $\vec{b} = 2\hat{i} - 7\hat{j} - 3\hat{k}$ માટે:
$|\vec{b}| = \sqrt{(2)^2 + (-7)^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 49 + 9} = \sqrt{62}$.
સદિશ $\vec{c} = \frac{1}{\sqrt{3}}\hat{i} + \frac{1}{\sqrt{3}}\hat{j} - \frac{1}{\sqrt{3}}\hat{k}$ માટે:
$|\vec{c}| = \sqrt{\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 + \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 + \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3}} = \sqrt{1} = 1$.

ધારો કે $\vec{a} = (\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k})$ અને $\vec{b} = (2\hat{i} - \hat{j} - 3\hat{k})$ છે.
અહીં જોઈ શકાય છે કે $\vec{a}$ નું માન $|\vec{a}| = \sqrt{1^{2} + 2^{2} + 3^{2}} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}$ છે.
તે જ રીતે,$\vec{b}$ નું માન $|\vec{b}| = \sqrt{2^{2} + (-1)^{2} + (-3)^{2}} = \sqrt{4 + 1 + 9} = \sqrt{14}$ છે.
આમ,$|\vec{a}| = |\vec{b}| = \sqrt{14}$ થાય છે અને તેમના ઘટકો અલગ હોવાથી,$\vec{a}$ અને $\vec{b}$ એ સમાન માન ધરાવતા બે ભિન્ન સદિશો છે.

(N/A) ધારો કે $\vec{p} = (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$ અને $\vec{q} = (2\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k})$ છે.
$\vec{p}$ ના દિકકોસાઇન નીચે મુજબ છે:
$l = \frac{1}{\sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$,$m = \frac{1}{\sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$,$n = \frac{1}{\sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
$\vec{q}$ ના દિકકોસાઇન નીચે મુજબ છે:
$l = \frac{2}{\sqrt{2^{2} + 2^{2} + 2^{2}}} = \frac{2}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$,$m = \frac{2}{\sqrt{2^{2} + 2^{2} + 2^{2}}} = \frac{2}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$,$n = \frac{2}{\sqrt{2^{2} + 2^{2} + 2^{2}}} = \frac{2}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
આમ,$\vec{p}$ અને $\vec{q}$ ના દિકકોસાઇન સમાન હોવાથી,બંને સદિશો સમાન દિશા ધરાવે છે.

(A) બે સદિશો સમાન હોય જો અને માત્ર જો તેમના અનુરૂપ ઘટકો સમાન હોય.
આપેલ સદિશો $2 \hat{i} + 3 \hat{j}$ અને $x \hat{i} + y \hat{j}$ છે.
$\hat{i}$ અને $\hat{j}$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા,આપણને મળે છે:
$x = 2$
$y = 3$
તેથી,$x = 2$ અને $y = 3$ એ માંગેલી કિંમતો છે.

(A) શરૂઆતનું બિંદુ $P(2,1)$ અને અંતિમ બિંદુ $Q(-5,7)$ ધરાવતો સદિશ $\overrightarrow{PQ}$ દ્વારા દર્શાવી શકાય છે.
$\overrightarrow{PQ} = (x_2 - x_1) \hat{i} + (y_2 - y_1) \hat{j}$
$P$ અને $Q$ ના યામો મૂકતા:
$\overrightarrow{PQ} = (-5 - 2) \hat{i} + (7 - 1) \hat{j}$
$\overrightarrow{PQ} = -7 \hat{i} + 6 \hat{j}$
આમ,અદિશ ઘટકો $-7$ અને $6$ છે.
સદિશ ઘટકો $-7 \hat{i}$ અને $6 \hat{j}$ છે.

(A) આપેલ સદિશો $\vec{a}=\hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k}$,$\vec{b}=-2 \hat{i}+4 \hat{j}+5 \hat{k}$ અને $\vec{c}=\hat{i}-6 \hat{j}-7 \hat{k}$ છે.
સદિશોનો સરવાળો $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = (\vec{a}_x + \vec{b}_x + \vec{c}_x)\hat{i} + (\vec{a}_y + \vec{b}_y + \vec{c}_y)\hat{j} + (\vec{a}_z + \vec{b}_z + \vec{c}_z)\hat{k}$ દ્વારા મળે છે.
ઘટકો મૂકતા:
$\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = (1 - 2 + 1)\hat{i} + (-2 + 4 - 6)\hat{j} + (1 + 5 - 7)\hat{k}$.
સહગુણકોની ગણતરી કરતા:
$x$-ઘટક: $1 - 2 + 1 = 0$.
$y$-ઘટક: $-2 + 4 - 6 = -4$.
$z$-ઘટક: $1 + 5 - 7 = -1$.
આમ,સરવાળો $0\hat{i} - 4\hat{j} - 1\hat{k} = -4\hat{j} - \hat{k}$ થાય છે.

(A) સદિશ $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$ ની દિશામાં એકમ સદિશ $\hat{a}$ એ $\hat{a} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ,સદિશ $\vec{a}$ નું માન શોધો:
$|\vec{a}| = \sqrt{1^{2} + 1^{2} + 2^{2}} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}$.
હવે,સદિશ $\vec{a}$ ને તેના માન વડે ભાગતા:
$\hat{a} = \frac{\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}}{\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{6}}\hat{i} + \frac{1}{\sqrt{6}}\hat{j} + \frac{2}{\sqrt{6}}\hat{k}$.

(A) આપેલા બિંદુઓ $P(1, 2, 3)$ અને $Q(4, 5, 6)$ છે.
સદિશ $\overrightarrow{PQ} = (4-1)\hat{i} + (5-2)\hat{j} + (6-3)\hat{k} = 3\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k}.$
$\overrightarrow{PQ}$ નું માન $|\overrightarrow{PQ}| = \sqrt{3^2 + 3^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9 + 9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}.$
$\overrightarrow{PQ}$ ની દિશામાં એકમ સદિશ $\hat{u} = \frac{\overrightarrow{PQ}}{|\overrightarrow{PQ}|}$ છે.
$\hat{u} = \frac{3\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k}}{3\sqrt{3}} = \frac{3}{3\sqrt{3}}\hat{i} + \frac{3}{3\sqrt{3}}\hat{j} + \frac{3}{3\sqrt{3}}\hat{k} = \frac{1}{\sqrt{3}}\hat{i} + \frac{1}{\sqrt{3}}\hat{j} + \frac{1}{\sqrt{3}}\hat{k}.$

(A) આપેલ સદિશો $\vec{a} = 2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ અને $\vec{b} = -\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ છે.
પ્રથમ,સરવાળો $\vec{a} + \vec{b}$ શોધો:
$\vec{a} + \vec{b} = (2 - 1)\hat{i} + (-1 + 1)\hat{j} + (2 - 1)\hat{k} = \hat{i} + 0\hat{j} + \hat{k} = \hat{i} + \hat{k}$.
હવે,પરિણામી સદિશ $\vec{a} + \vec{b}$ નું માન શોધો:
$|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.
$\vec{a} + \vec{b}$ ની દિશામાં એકમ સદિશ $\frac{\vec{a} + \vec{b}}{|\vec{a} + \vec{b}|}$ દ્વારા મળે છે:
$\frac{\hat{i} + \hat{k}}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\hat{i} + \frac{1}{\sqrt{2}}\hat{k}$.

(A) ધારો કે $\vec{a} = 5\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$.
$\vec{a}$ નું માન $|\vec{a}| = \sqrt{5^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{25 + 1 + 4} = \sqrt{30}$ છે.
$\vec{a}$ ની દિશામાં એકમ સદિશ $\hat{a} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} = \frac{5\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}}{\sqrt{30}}$ છે.
$\vec{a}$ ની દિશામાં $8$ એકમ માન ધરાવતો સદિશ $8\hat{a} = 8 \left( \frac{5\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}}{\sqrt{30}} \right)$ છે.
આમ,માંગેલ સદિશ $\frac{40}{\sqrt{30}}\hat{i} - \frac{8}{\sqrt{30}}\hat{j} + \frac{16}{\sqrt{30}}\hat{k}$ છે.

(N/A) ધારો કે $\vec{a} = 2 \hat{i} - 3 \hat{j} + 4 \hat{k}$ અને $\vec{b} = -4 \hat{i} + 6 \hat{j} - 8 \hat{k}$ છે.
આપણે જોઈએ છીએ કે $\vec{b} = -4 \hat{i} + 6 \hat{j} - 8 \hat{k}$.
$-2$ સામાન્ય લેતા,આપણને મળે છે $\vec{b} = -2(2 \hat{i} - 3 \hat{j} + 4 \hat{k})$.
આને $\vec{b} = -2 \vec{a}$ તરીકે લખી શકાય છે.
અહીં $\vec{b} = \lambda \vec{a}$ છે,જ્યાં $\lambda = -2$,જે દર્શાવે છે કે બંને સદિશો એકબીજાના અદિશ ગુણિત છે.
તેથી,આપેલા સદિશો સમરેખ છે.

(A) ધારો કે સદિશ $\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ છે.
સદિશનું માન $|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સદિશ $a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}$ ના દિકકોસાઇન $(l, m, n)$ એ $\left(\frac{a}{|\vec{a}|}, \frac{b}{|\vec{a}|}, \frac{c}{|\vec{a}|}\right)$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને દિકકોસાઇન $\left(\frac{1}{\sqrt{14}}, \frac{2}{\sqrt{14}}, \frac{3}{\sqrt{14}}\right)$ મળે છે.

(A) ધારો કે $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$.
સદિશ $\vec{a}$ નું માન $|\vec{a}| = \sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{3}$ છે.
સદિશ $\vec{a}$ ના દિક્કોસાઈન $(l, m, n)$ એ એકમ સદિશ $\hat{a} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$ ના ઘટકો દ્વારા મળે છે.
તેથી,$l = \frac{1}{\sqrt{3}}$,$m = \frac{1}{\sqrt{3}}$,અને $n = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
ધારો કે $\alpha, \beta,$ અને $\gamma$ એ સદિશ $\vec{a}$ દ્વારા $OX, OY,$ અને $OZ$ અક્ષોની ધન દિશાઓ સાથે બનાવેલા ખૂણા છે.
તો,$\cos \alpha = l = \frac{1}{\sqrt{3}}$,$\cos \beta = m = \frac{1}{\sqrt{3}}$,અને $\cos \gamma = n = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
અહીં $\cos \alpha = \cos \beta = \cos \gamma$ હોવાથી,$\alpha = \beta = \gamma$ થાય છે.
આમ,સદિશ $\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ એ $OX, OY,$ અને $OZ$ અક્ષો સાથે સમાન ખૂણે નમેલો છે.

(A) બે બિંદુઓ $P$ અને $Q$ જેના સ્થાન સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ છે,તેમને $m:n$ ના ગુણોત્તરમાં અંતઃવિભાજન કરતા બિંદુ $R$ નો સ્થાન સદિશ શોધવાનું સૂત્ર: $\vec{r} = \frac{m\vec{b} + n\vec{a}}{m+n}$ છે.
અહીં,$\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$,$\vec{b} = -\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$,$m = 2$,અને $n = 1$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\vec{r} = \frac{2(-\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) + 1(\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k})}{2+1}$
$\vec{r} = \frac{(-2\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}) + (\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k})}{3}$
$\vec{r} = \frac{(-2+1)\hat{i} + (2+2)\hat{j} + (2-1)\hat{k}}{3}$
$\vec{r} = \frac{-\hat{i} + 4\hat{j} + \hat{k}}{3} = -\frac{1}{3}\hat{i} + \frac{4}{3}\hat{j} + \frac{1}{3}\hat{k}$.

(A) બે બિંદુઓ $P$ અને $Q$ ના સ્થાન સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ હોય અને તેમને જોડતી રેખાનું $m: n$ ગુણોત્તરમાં બહારથી વિભાજન કરતા બિંદુ $R$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{r} = \frac{m \vec{b} - n \vec{a}}{m - n}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં આપેલ સ્થાન સદિશો $\vec{a} = \hat{i} + 2 \hat{j} - \hat{k}$ અને $\vec{b} = -\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ છે અને ગુણોત્તર $m: n = 2: 1$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\vec{r} = \frac{2(-\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) - 1(\hat{i} + 2 \hat{j} - \hat{k})}{2 - 1}$
$= \frac{-2 \hat{i} + 2 \hat{j} + 2 \hat{k} - \hat{i} - 2 \hat{j} + \hat{k}}{1}$
$= -3 \hat{i} + 3 \hat{k}$.

(A) બિંદુઓ $P(2, 3, 4)$ અને $Q(4, 1, -2)$ ને જોડતા રેખાખંડના મધ્યબિંદુ $R$ નો સ્થાન સદિશ મધ્યબિંદુના સૂત્ર દ્વારા મેળવવામાં આવે છે: $\overrightarrow{OR} = \frac{\overrightarrow{OP} + \overrightarrow{OQ}}{2}$.
અહીં $\overrightarrow{OP} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}$ અને $\overrightarrow{OQ} = 4\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\overrightarrow{OR} = \frac{(2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}) + (4\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k})}{2}$
ઘટકોને જૂથબદ્ધ કરતા:
$\overrightarrow{OR} = \frac{(2 + 4)\hat{i} + (3 + 1)\hat{j} + (4 - 2)\hat{k}}{2}$
$\overrightarrow{OR} = \frac{6\hat{i} + 4\hat{j} + 2\hat{k}}{2}$
$\overrightarrow{OR} = 3\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$.

(B) સદિશ સરવાળાના ત્રિકોણના નિયમ મુજબ,ત્રિકોણ $ABC$ માં,આપણી પાસે છે:
$\overrightarrow{ AB } + \overrightarrow{ BC } = \overrightarrow{ AC }$
હવે દરેક વિકલ્પનું મૂલ્યાંકન કરીએ:
$(A) \overrightarrow{ AB } + \overrightarrow{ BC } + \overrightarrow{ CA } = \overrightarrow{ AC } + \overrightarrow{ CA } = \overrightarrow{ AC } - \overrightarrow{ AC } = \overrightarrow{0}$. આ સાચું છે.
$(B) \overrightarrow{ AB } + \overrightarrow{ BC } - \overrightarrow{ CA } = \overrightarrow{ AC } - \overrightarrow{ CA } = \overrightarrow{ AC } + \overrightarrow{ AC } = 2\overrightarrow{ AC } \neq \overrightarrow{0}$. આ સાચું નથી.
$(C) \overrightarrow{ AB } + \overrightarrow{ BC } - \overrightarrow{ AC } = \overrightarrow{ AC } - \overrightarrow{ AC } = \overrightarrow{0}$. આ સાચું છે.
$(D) \overrightarrow{ AB } - \overrightarrow{ CB } + \overrightarrow{ CA } = \overrightarrow{ AB } + \overrightarrow{ BC } + \overrightarrow{ CA } = \overrightarrow{ AC } + \overrightarrow{ CA } = \overrightarrow{0}$. આ સાચું છે.
તેથી,જે વિધાન સાચું નથી તે $(B)$ છે.

(C) જો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ બે સમરેખ સદિશો હોય,તો તેઓ એક જ રેખાને સમાંતર હોય છે.
$1$. વ્યાખ્યા મુજબ,કોઈ અદિશ $\lambda \neq 0$ માટે $\vec{b}=\lambda \vec{a}$ થાય. તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.
$2$. જો $\lambda = \pm 1$ હોય,તો $\vec{a} = \pm \vec{b}$ થાય. આ સમરેખતાની એક વિશિષ્ટ સ્થિતિ છે,તેથી વિકલ્પ $B$ એક શક્ય ગુણધર્મ છે.
$3$. જો $\vec{a} = a_1 \hat{i} + a_2 \hat{j} + a_3 \hat{k}$ અને $\vec{b} = b_1 \hat{i} + b_2 \hat{j} + b_3 \hat{k}$ હોય,તો $\vec{b} = \lambda \vec{a}$ નો અર્થ છે કે $b_1 = \lambda a_1, b_2 = \lambda a_2, b_3 = \lambda a_3$. આનો અર્થ એ છે કે $\frac{b_1}{a_1} = \frac{b_2}{a_2} = \frac{b_3}{a_3} = \lambda$. આમ,ઘટકો પ્રમાણમાં હોય છે. વિકલ્પ $C$ કહે છે કે તેઓ પ્રમાણમાં નથી,જે ખોટું છે.
$4$. સમરેખ સદિશો સમાન અથવા વિરુદ્ધ દિશા ધરાવી શકે છે. વિકલ્પ $D$ દાવો કરે છે કે તેમની દિશા સમાન જ હોવી જોઈએ,જે હંમેશા સાચું નથી.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $|\vec{a} - \vec{b}|^2 = (\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b})$.
અદિશ ગુણાકારનું વિસ્તરણ કરતા:
$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = \vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{a} \cdot \vec{b} - \vec{b} \cdot \vec{a} + \vec{b} \cdot \vec{b}$.
ગુણધર્મો $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$,$\vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{b}|^2$,અને $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2$.
આપેલ કિંમતો $|\vec{a}| = 2$,$|\vec{b}| = 3$,અને $\vec{a} \cdot \vec{b} = 4$ મૂકતા:
$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = (2)^2 - 2(4) + (3)^2$.
$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = 4 - 8 + 9$.
$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = 5$.
તેથી,$|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{5}$.

(N/A) જો $\vec{a}=\vec{0}$ અથવા $\vec{b}=\vec{0}$ હોય તો આ અસમતા સ્વાભાવિક રીતે સાચી છે. તેથી,ધારો કે $|\vec{a}| \neq 0$ અને $|\vec{b}| \neq 0.$ તો,
$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b})$
$= \vec{a} \cdot \vec{a} + \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{a} + \vec{b} \cdot \vec{b}$
$= |\vec{a}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2$ (કારણ કે અદિશ ગુણાકાર ક્રમનો નિયમ પાળે છે)
$\leq |\vec{a}|^2 + 2|\vec{a} \cdot \vec{b}| + |\vec{b}|^2$ (કારણ કે દરેક $x \in \mathbb{R}$ માટે $x \leq |x|$)
$\leq |\vec{a}|^2 + 2|\vec{a}||\vec{b}| + |\vec{b}|^2$ (કોશી-શ્વાર્ટ્ઝ અસમતા મુજબ,$|\vec{a} \cdot \vec{b}| \leq |\vec{a}||\vec{b}|$)
$= (|\vec{a}| + |\vec{b}|)^2$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,આપણને મળે છે:
$|\vec{a} + \vec{b}| \leq |\vec{a}| + |\vec{b}|$

(N/A) ધારો કે બિંદુઓ $A$,$B$ અને $C$ ના સ્થાન સદિશો $\vec{a} = -2\hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k}$,$\vec{b} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$,અને $\vec{c} = 7\hat{i} - \hat{k}$ છે.
પ્રથમ,આપણે સદિશો $\vec{AB}$ અને $\vec{BC}$ ની ગણતરી કરીએ:
$\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = (1 - (-2))\hat{i} + (2 - 3)\hat{j} + (3 - 5)\hat{k} = 3\hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k}$
$\vec{BC} = \vec{c} - \vec{b} = (7 - 1)\hat{i} + (0 - 2)\hat{j} + (-1 - 3)\hat{k} = 6\hat{i} - 2\hat{j} - 4\hat{k}$
અહીં નોંધો કે $\vec{BC} = 2(3\hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k}) = 2\vec{AB}$.
કારણ કે $\vec{BC}$ એ $\vec{AB}$ નો અદિશ ગુણાંક છે અને તેઓ સામાન્ય બિંદુ $B$ ધરાવે છે,તેથી સદિશો સમાંતર છે અને બિંદુઓ $A$,$B$ અને $C$ સમરેખ છે.

ધારો કે $\vec{a}=\frac{1}{7}(2 \hat{i}+3 \hat{j}+6 \hat{k})=\frac{2}{7} \hat{i}+\frac{3}{7} \hat{j}+\frac{6}{7} \hat{k}$
$\vec{b}=\frac{1}{7}(3 \hat{i}-6 \hat{j}+2 \hat{k})=\frac{3}{7} \hat{i}-\frac{6}{7} \hat{j}+\frac{2}{7} \hat{k}$
$\vec{c}=\frac{1}{7}(6 \hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k})=\frac{6}{7} \hat{i}+\frac{2}{7} \hat{j}-\frac{3}{7} \hat{k}$
$|\vec{a}|=\sqrt{(\frac{2}{7})^{2}+(\frac{3}{7})^{2}+(\frac{6}{7})^{2}}=\sqrt{\frac{4}{49}+\frac{9}{49}+\frac{36}{49}}=\sqrt{\frac{49}{49}}=1$
$|\vec{b}|=\sqrt{(\frac{3}{7})^{2}+(-\frac{6}{7})^{2}+(\frac{2}{7})^{2}}=\sqrt{\frac{9}{49}+\frac{36}{49}+\frac{4}{49}}=\sqrt{\frac{49}{49}}=1$
$|\vec{c}|=\sqrt{(\frac{6}{7})^{2}+(\frac{2}{7})^{2}+(-\frac{3}{7})^{2}}=\sqrt{\frac{36}{49}+\frac{4}{49}+\frac{9}{49}}=\sqrt{\frac{49}{49}}=1$
આમ,આપેલા ત્રણેય સદિશો એકમ સદિશ છે.
$\vec{a} \cdot \vec{b}=\frac{2}{7} \times \frac{3}{7}+\frac{3}{7} \times(-\frac{6}{7})+\frac{6}{7} \times \frac{2}{7}=\frac{6}{49}-\frac{18}{49}+\frac{12}{49}=0$
$\vec{b} \cdot \vec{c}=\frac{3}{7} \times \frac{6}{7}+(-\frac{6}{7}) \times \frac{2}{7}+\frac{2}{7} \times(-\frac{3}{7})=\frac{18}{49}-\frac{12}{49}-\frac{6}{49}=0$
$\vec{c} \cdot \vec{a}=\frac{6}{7} \times \frac{2}{7}+\frac{2}{7} \times \frac{3}{7}+(-\frac{3}{7}) \times \frac{6}{7}=\frac{12}{49}+\frac{6}{49}-\frac{18}{49}=0$
દરેક જોડીનો ડોટ ગુણાકાર $0$ હોવાથી,આપેલા ત્રણેય સદિશો એકબીજાને પરસ્પર લંબ છે.

(C) આપેલ છે કે $\vec{a} \cdot \vec{a}=0$ અને $\vec{a} \cdot \vec{b}=0$.
અદિશ ગુણાકારના ગુણધર્મ મુજબ,$\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$.
કારણ કે $\vec{a} \cdot \vec{a} = 0$,તેથી $|\vec{a}|^2 = 0$,જેનો અર્થ છે કે $|\vec{a}| = 0$.
તેથી,$\vec{a}$ એ શૂન્ય સદિશ છે $(\vec{a} = \vec{0})$.
હવે,બીજી શરત $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ ધ્યાનમાં લો. કારણ કે $\vec{a} = \vec{0}$,સમીકરણ $\vec{0} \cdot \vec{b} = 0$ બને છે.
આ સમીકરણ અવકાશમાં કોઈપણ સદિશ $\vec{b}$ માટે સાચું છે.
આમ,$\vec{b}$ કોઈપણ સદિશ હોઈ શકે છે.

(B) સદિશ $\lambda \vec{a}$ એ એકમ સદિશ છે જો તેનું માન $1$ હોય,એટલે કે $|\lambda \vec{a}| = 1$.
સદિશના માનના ગુણધર્મ $|k \vec{v}| = |k| |\vec{v}|$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$|\lambda| |\vec{a}| = 1$
આપેલ છે કે $\vec{a}$ નું માન $a$ છે,તેથી $|\vec{a}| = a$ મૂકતા:
$|\lambda| a = 1$
$a$ માટે ઉકેલતા,આપણને મળે છે:
$a = \frac{1}{|\lambda|}$
આમ,$\lambda \vec{a}$ એ એકમ સદિશ છે જો $a = \frac{1}{|\lambda|}$ હોય.
સાચો જવાબ $B$ છે.

(A) ધારો કે એકમ સદિશ $\vec{a} = a_{1}\hat{i} + a_{2}\hat{j} + a_{3}\hat{k}$ છે.
કારણ કે $\vec{a}$ એકમ સદિશ છે,તેથી $|\vec{a}| = 1$.
$\vec{a}$ ના દિક્કોસાઇન $\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma$ છે,જ્યાં $\alpha = \frac{\pi}{3}, \beta = \frac{\pi}{4}$,અને $\gamma = \theta$.
આમ,$a_{1} = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$,$a_{2} = \cos \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,અને $a_{3} = \cos \theta$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos^{2} \alpha + \cos^{2} \beta + \cos^{2} \gamma = 1$.
કિંમતો મૂકતા: $\left(\frac{1}{2}\right)^{2} + \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{2} + \cos^{2} \theta = 1$.
$\frac{1}{4} + \frac{1}{2} + \cos^{2} \theta = 1$.
$\frac{3}{4} + \cos^{2} \theta = 1 \Rightarrow \cos^{2} \theta = \frac{1}{4}$.
$\theta$ લઘુકોણ હોવાથી,$\cos \theta = \frac{1}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = \frac{\pi}{3}$.
તેથી,$\vec{a}$ ના ઘટકો $\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{2}\right)$ છે.

(A) આપેલ છે કે $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$. આનો અર્થ એ છે કે કાં તો $|\vec{a}| = 0$ અથવા $|\vec{b}| = 0$,અથવા $\vec{a} \perp \vec{b}$ (જો બંને શૂન્યતર સદિશો હોય).
આપેલ છે કે $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{0}$. આનો અર્થ એ છે કે કાં તો $|\vec{a}| = 0$ અથવા $|\vec{b}| = 0$,અથવા $\vec{a} \parallel \vec{b}$ (જો બંને શૂન્યતર સદિશો હોય).
બે શૂન્યતર સદિશો એકસાથે લંબ અને સમાંતર હોઈ શકે નહીં,તેથી એકમાત્ર શક્યતા એ છે કે ઓછામાં ઓછો એક સદિશ શૂન્ય સદિશ હોવો જોઈએ.
તેથી,આપણે નિષ્કર્ષ કાઢીએ છીએ કે કાં તો $\vec{a} = \vec{0}$ અથવા $\vec{b} = \vec{0}$.

(N/A) ધારો કે $\vec{r} = x \hat{i} + y \hat{j}$ એ $XY$-સમતલમાં એક એકમ સદિશ છે.
કારણ કે $\vec{r}$ એક એકમ સદિશ છે,તેનું માન $|\vec{r}| = 1$ છે,જેનો અર્થ છે કે $\sqrt{x^2 + y^2} = 1$,અથવા $x^2 + y^2 = 1$.
આપણે $XY$-સમતલમાં એકમ વર્તુળ પરના કોઈપણ બિંદુને પ્રાચલ $\theta$ નો ઉપયોગ કરીને દર્શાવી શકીએ છીએ,જ્યાં $\theta \in [0, 2\pi)$.
આમ,આપણે $x = \cos \theta$ અને $y = \sin \theta$ લઈ શકીએ છીએ.
આ કિંમતોને $\vec{r}$ ના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\vec{r} = \cos \theta \hat{i} + \sin \theta \hat{j}$
જ્યાં $\theta$ એ સદિશ દ્વારા ધન $X$-અક્ષ સાથે બનાવેલો ખૂણો છે.
જેમ $\theta$ એ $0$ થી $2\pi$ સુધી બદલાય છે,તેમ આ સમીકરણ $XY$-સમતલના તમામ શક્ય એકમ સદિશો દર્શાવે છે.

(A) $XY$-સમતલમાં $x$-અક્ષની ધન દિશા સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવતો એકમ સદિશ $\vec{r} = \cos \theta \hat{i} + \sin \theta \hat{j}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $\theta = 30^{\circ}$ આપેલ છે.
$\theta$ ની કિંમત મૂકતા:
$\vec{r} = \cos 30^{\circ} \hat{i} + \sin 30^{\circ} \hat{j}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ અને $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$,તેથી:
$\vec{r} = \frac{\sqrt{3}}{2} \hat{i} + \frac{1}{2} \hat{j}$.

બિંદુઓ $P(x_{1}, y_{1}, z_{1})$ અને $Q(x_{2}, y_{2}, z_{2})$ ને જોડતો સદિશ સ્થાનાંતર સદિશ $\overrightarrow{PQ}$ દ્વારા મળે છે.
$\overrightarrow{PQ} = Q \text{ નો સ્થાન સદિશ} - P \text{ નો સ્થાન સદિશ}$
$= (x_{2} - x_{1})\hat{i} + (y_{2} - y_{1})\hat{j} + (z_{2} - z_{1})\hat{k}$
સદિશ $\overrightarrow{PQ}$ ના અદિશ ઘટકો $(x_{2} - x_{1})$,$(y_{2} - y_{1})$ અને $(z_{2} - z_{1})$ છે.
સદિશ $\overrightarrow{PQ}$ નું માન $|\overrightarrow{PQ}| = \sqrt{(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2} + (z_{2} - z_{1})^{2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.

(A) ધારો કે $O$ એ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ છે જે છોકરીનું પ્રારંભિક સ્થાન દર્શાવે છે.
છોકરી પશ્ચિમ દિશામાં $4 \, km$ ચાલે છે. તેથી,બિંદુ $A$ નું સ્થાન $(-4, 0)$ છે,જેને $\overrightarrow{OA} = -4 \hat{i}$ તરીકે દર્શાવી શકાય.
બિંદુ $A$ થી,તે ઉત્તરથી $30^{\circ}$ પૂર્વ દિશામાં $3 \, km$ ચાલે છે. આનો અર્થ એ છે કે ધન $y$-અક્ષ (ઉત્તર) સાથેનો ખૂણો પૂર્વ તરફ $30^{\circ}$ છે. ધન $x$-અક્ષ (પૂર્વ) સાથેનો ખૂણો $90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$ છે.
સ્થાનાંતર સદિશ $\overrightarrow{AB}$ ને આ રીતે લખી શકાય:
$\overrightarrow{AB} = 3(\cos 60^{\circ} \hat{i} + \sin 60^{\circ} \hat{j})$
$= 3(\frac{1}{2} \hat{i} + \frac{\sqrt{3}}{2} \hat{j}) = \frac{3}{2} \hat{i} + \frac{3 \sqrt{3}}{2} \hat{j}$.
કુલ સ્થાનાંતર $\overrightarrow{OB}$ એ સદિશ સરવાળા દ્વારા મળે છે:
$\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AB}$
$= -4 \hat{i} + (\frac{3}{2} \hat{i} + \frac{3 \sqrt{3}}{2} \hat{j})$
$= (-4 + \frac{3}{2}) \hat{i} + \frac{3 \sqrt{3}}{2} \hat{j}$
$= \frac{-8+3}{2} \hat{i} + \frac{3 \sqrt{3}}{2} \hat{j}$
$= \frac{-5}{2} \hat{i} + \frac{3 \sqrt{3}}{2} \hat{j}$.
આમ,તેના પ્રારંભિક બિંદુથી છોકરીનું સ્થાનાંતર $\frac{-5}{2} \hat{i} + \frac{3 \sqrt{3}}{2} \hat{j}$ છે.

(N/A) $\Delta ABC$ માં,ધારો કે $\overrightarrow{CB}=\vec{a}, \overrightarrow{CA}=\vec{b},$ અને $\overrightarrow{AB}=\vec{c}$ (આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ).
હવે,સદિશ સરવાળાના ત્રિકોણના નિયમ મુજબ,આપણી પાસે $\vec{a}=\vec{b}+\vec{c}$ છે.
તે સ્પષ્ટ છે કે $|\vec{a}|, |\vec{b}|,$ અને $|\vec{c}|$ એ $\Delta ABC$ ની બાજુઓની લંબાઈ દર્શાવે છે.
વળી,તે જાણીતો ભૌમિતિક ગુણધર્મ છે કે ત્રિકોણની કોઈપણ બે બાજુઓની લંબાઈનો સરવાળો હંમેશા ત્રીજી બાજુ કરતા વધારે હોય છે.
તેથી,$|\vec{a}| < |\vec{b}| + |\vec{c}|.$
આમ,તે સત્ય નથી કે $|\vec{a}| = |\vec{b}| + |\vec{c}|.$

(C) સદિશ $\vec{v} = x(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})$ એકમ સદિશ છે જો તેનું માન $1$ હોય,એટલે કે $|\vec{v}| = 1$.
સદિશનું માન $|x(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})| = |x| \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = |x| \sqrt{3}$ થાય.
માનને $1$ સાથે સરખાવતા,$|x| \sqrt{3} = 1$ મળે.
આથી $|x| = \frac{1}{\sqrt{3}}$ થાય.
તેથી,$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$ મળે.

(A) આપેલ સદિશો $\vec{a}=2 \hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k}$ અને $\vec{b}=\hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k}$ છે.
ધારો કે $\vec{c}$ એ પરિણામી સદિશ છે,તેથી $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$.
$\vec{c} = (2+1) \hat{i} + (3-2) \hat{j} + (-1+1) \hat{k} = 3 \hat{i} + \hat{j}$.
$\vec{c}$ નું માન $|\vec{c}| = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{9+1} = \sqrt{10}$ છે.
$\vec{c}$ ની દિશામાં એકમ સદિશ $\hat{c} = \frac{\vec{c}}{|\vec{c}|} = \frac{3 \hat{i} + \hat{j}}{\sqrt{10}}$ છે.
$\vec{c}$ ને સમાંતર $5$ એકમ માન ધરાવતો સદિશ $\pm 5 \hat{c}$ દ્વારા મળે છે.
$\pm 5 \left( \frac{3 \hat{i} + \hat{j}}{\sqrt{10}} \right) = \pm \frac{5}{\sqrt{10}} (3 \hat{i} + \hat{j}) = \pm \frac{5 \sqrt{10}}{10} (3 \hat{i} + \hat{j}) = \pm \frac{\sqrt{10}}{2} (3 \hat{i} + \hat{j}) = \pm \frac{3 \sqrt{10}}{2} \hat{i} \pm \frac{\sqrt{10}}{2} \hat{j}$.

(A) આપેલ સદિશો $\vec{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}, \vec{b}=2 \hat{i}-\hat{j}+3 \hat{k}$ અને $\vec{c}=\hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k}$ છે.
ધારો કે $\vec{v} = 2 \vec{a}-\vec{b}+3 \vec{c}.$
કિંમતો મૂકતા,$\vec{v} = 2(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})-(2 \hat{i}-\hat{j}+3 \hat{k})+3(\hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k}).$
વિસ્તરણ કરતા,$\vec{v} = (2\hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k}) - (2\hat{i}-\hat{j}+3\hat{k}) + (3\hat{i}-6\hat{j}+3\hat{k}).$
ઘટકોને જૂથબદ્ધ કરતા,$\vec{v} = (2-2+3)\hat{i} + (2+1-6)\hat{j} + (2-3+3)\hat{k} = 3\hat{i}-3\hat{j}+2\hat{k}.$
$\vec{v}$ નું માન $|\vec{v}| = \sqrt{3^{2}+(-3)^{2}+2^{2}} = \sqrt{9+9+4} = \sqrt{22}.$
$\vec{v}$ ને સમાંતર એકમ સદિશ $\hat{v} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} = \frac{3\hat{i}-3\hat{j}+2\hat{k}}{\sqrt{22}} = \frac{3}{\sqrt{22}}\hat{i} - \frac{3}{\sqrt{22}}\hat{j} + \frac{2}{\sqrt{22}}\hat{k}$ થાય.

(N/A) આપેલ સ્થાન સદિશો $\overrightarrow{OP} = 2\vec{a} + \vec{b}$ અને $\overrightarrow{OQ} = \vec{a} - 3\vec{b}$ છે.
બિંદુ $R$ એ રેખાખંડ $PQ$ ને $1:2$ ના ગુણોત્તરમાં બહારથી વિભાજિત કરે છે. વિભાજન સૂત્ર મુજબ,$\overrightarrow{OR} = \frac{m\overrightarrow{OQ} - n\overrightarrow{OP}}{m-n}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\overrightarrow{OR} = \frac{1(\vec{a} - 3\vec{b}) - 2(2\vec{a} + \vec{b})}{1 - 2}$
$= \frac{\vec{a} - 3\vec{b} - 4\vec{a} - 2\vec{b}}{-1}$
$= \frac{-3\vec{a} - 5\vec{b}}{-1} = 3\vec{a} + 5\vec{b}$.
$P$ એ $RQ$ નું મધ્યબિંદુ છે તે દર્શાવવા માટે,$RQ$ નું મધ્યબિંદુ શોધીએ:
મધ્યબિંદુ $= \frac{\overrightarrow{OR} + \overrightarrow{OQ}}{2} = \frac{(3\vec{a} + 5\vec{b}) + (\vec{a} - 3\vec{b})}{2}$
$= \frac{4\vec{a} + 2\vec{b}}{2} = 2\vec{a} + \vec{b} = \overrightarrow{OP}$.
આમ,$RQ$ નું મધ્યબિંદુ $P$ હોવાથી,$P$ એ રેખાખંડ $RQ$ નું મધ્યબિંદુ છે.

(A) ધારો કે $\vec{c}$ એ સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ નો સરવાળો છે.
$\vec{c} = \vec{a} + \vec{b} = (2 \hat{i} - \hat{j} + 2 \hat{k}) + (-\hat{i} + \hat{j} + 3 \hat{k})$
$\vec{c} = (2-1) \hat{i} + (-1+1) \hat{j} + (2+3) \hat{k} = \hat{i} + 0 \hat{j} + 5 \hat{k} = \hat{i} + 5 \hat{k}$
હવે,$\vec{c}$ નું માન શોધો:
$|\vec{c}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 5^2} = \sqrt{1 + 25} = \sqrt{26}$
$\vec{c}$ ની દિશામાં એકમ સદિશ $\hat{c} = \frac{\vec{c}}{|\vec{c}|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\hat{c} = \frac{\hat{i} + 5 \hat{k}}{\sqrt{26}} = \frac{1}{\sqrt{26}} \hat{i} + \frac{5}{\sqrt{26}} \hat{k}$.

(A) પ્રારંભિક બિંદુ $P(1,3,2)$ અને અંતિમ બિંદુ $Q(-1,0,8)$ ધરાવતો સદિશ $\overrightarrow{PQ} = (-1-1)\hat{i} + (0-3)\hat{j} + (8-2)\hat{k} = -2\hat{i} - 3\hat{j} + 6\hat{k}$ છે.
$\overrightarrow{PQ}$ ની વિરુદ્ધ દિશા એટલે $\overrightarrow{QP}$ ની દિશા.
$\overrightarrow{QP} = -\overrightarrow{PQ} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - 6\hat{k}$.
$\overrightarrow{QP}$ નું માન $|\overrightarrow{QP}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + (-6)^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$ છે.
$\overrightarrow{QP}$ ની દિશામાં એકમ સદિશ $\widehat{QP} = \frac{\overrightarrow{QP}}{|\overrightarrow{QP}|} = \frac{2\hat{i} + 3\hat{j} - 6\hat{k}}{7}$ છે.
તેથી,$\overrightarrow{QP}$ ની દિશામાં $11$ માન ધરાવતો જરૂરી સદિશ $11 \times \widehat{QP} = 11 \left( \frac{2\hat{i} + 3\hat{j} - 6\hat{k}}{7} \right) = \frac{22}{7}\hat{i} + \frac{33}{7}\hat{j} - \frac{66}{7}\hat{k}$ છે.

(A) $(i)$ $P$ અને $Q$ ને જોડતા રેખાખંડનું $1:2$ ના ગુણોત્તરમાં અંતઃવિભાજન કરતા બિંદુ $R$ નો સ્થાન સદિશ વિભાજન સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $\overrightarrow{OR} = \frac{m\overrightarrow{OQ} + n\overrightarrow{OP}}{m+n}$.
કિંમતો મૂકતા: $\overrightarrow{OR} = \frac{1(\vec{a} - 2\vec{b}) + 2(2\vec{a} + \vec{b})}{1+2} = \frac{\vec{a} - 2\vec{b} + 4\vec{a} + 2\vec{b}}{3} = \frac{5\vec{a}}{3}$.
(ii) $P$ અને $Q$ ને જોડતા રેખાખંડનું $1:2$ ના ગુણોત્તરમાં બહિર્વિભાજન કરતા બિંદુ $R$ નો સ્થાન સદિશ વિભાજન સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $\overrightarrow{OR} = \frac{m\overrightarrow{OQ} - n\overrightarrow{OP}}{m-n}$.
કિંમતો મૂકતા: $\overrightarrow{OR} = \frac{1(\vec{a} - 2\vec{b}) - 2(2\vec{a} + \vec{b})}{1-2} = \frac{\vec{a} - 2\vec{b} - 4\vec{a} - 2\vec{b}}{-1} = \frac{-3\vec{a} - 4\vec{b}}{-1} = 3\vec{a} + 4\vec{b}$.

(A) ધારો કે $\vec{c}$ એ સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ નો સરવાળો છે.
$\vec{c} = \vec{a} + \vec{b} = (2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) + (2\hat{j} + \hat{k})$
$\vec{c} = 2\hat{i} + (2 - 1)\hat{j} + (1 + 1)\hat{k} = 2\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$
$\vec{c}$ નું માન $|\vec{c}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3$ છે.
$\vec{c}$ ની દિશામાં એકમ સદિશ $\hat{c} = \frac{\vec{c}}{|\vec{c}|}$ છે.
$\hat{c} = \frac{2\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}}{3} = \frac{1}{3}(2\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k})$.

આપેલ છે કે $\vec{a}=\hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}$ અને $\vec{b}=2 \hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}.$
$(i)$ $6 \vec{b} = 6(2 \hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}) = 12 \hat{i}+6 \hat{j}+12 \hat{k}.$
માન $|6 \vec{b}| = \sqrt{12^2+6^2+12^2} = \sqrt{144+36+144} = \sqrt{324} = 18.$
એકમ સદિશ = $\frac{6 \vec{b}}{|6 \vec{b}|} = \frac{12 \hat{i}+6 \hat{j}+12 \hat{k}}{18} = \frac{2}{3} \hat{i} + \frac{1}{3} \hat{j} + \frac{2}{3} \hat{k}.$
(ii) $2 \vec{a}-\vec{b} = 2(\hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}) - (2 \hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}) = (2 \hat{i}+2 \hat{j}+4 \hat{k}) - (2 \hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}) = 0 \hat{i} + 1 \hat{j} + 2 \hat{k} = \hat{j} + 2 \hat{k}.$
માન $|2 \vec{a}-\vec{b}| = \sqrt{0^2+1^2+2^2} = \sqrt{5}.$
એકમ સદિશ = $\frac{2 \vec{a}-\vec{b}}{|2 \vec{a}-\vec{b}|} = \frac{\hat{j}+2 \hat{k}}{\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} \hat{j} + \frac{2}{\sqrt{5}} \hat{k}.$

(A) આપેલ છે કે $P$ અને $Q$ ના યામ અનુક્રમે $(5, 0, 8)$ અને $(3, 3, 2)$ છે.
$\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OP}$
$= (3\hat{i} + 3\hat{j} + 2\hat{k}) - (5\hat{i} + 0\hat{j} + 8\hat{k})$
$= (3-5)\hat{i} + (3-0)\hat{j} + (2-8)\hat{k} = -2\hat{i} + 3\hat{j} - 6\hat{k}$
$\overrightarrow{PQ}$ નું માન $|\overrightarrow{PQ}| = \sqrt{(-2)^2 + 3^2 + (-6)^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$ છે.
$\overrightarrow{PQ}$ ની દિશામાં એકમ સદિશ $\hat{PQ} = \frac{\overrightarrow{PQ}}{|\overrightarrow{PQ}|} = \frac{-2\hat{i} + 3\hat{j} - 6\hat{k}}{7} = -\frac{2}{7}\hat{i} + \frac{3}{7}\hat{j} - \frac{6}{7}\hat{k}$ થાય.

(N/A) આપેલ છે કે $\overrightarrow{OA} = \vec{a}$ અને $\overrightarrow{OB} = \vec{b}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} = \vec{a} - \vec{b}$.
પ્રશ્ન મુજબ,બિંદુ $C$ એ $BA$ રેખા પર એવી રીતે આવેલું છે કે જેથી $\overrightarrow{BC} = 1.5 \overrightarrow{BA}$ થાય.
તેથી,$\overrightarrow{BC} = 1.5(\vec{a} - \vec{b})$.
કારણ કે $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB}$,તેથી:
$\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB} = 1.5\vec{a} - 1.5\vec{b}$.
$\overrightarrow{OB} = \vec{b}$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\overrightarrow{OC} = 1.5\vec{a} - 1.5\vec{b} + \vec{b}$.
$\overrightarrow{OC} = 1.5\vec{a} - 0.5\vec{b}$.
આને $\overrightarrow{OC} = \frac{3\vec{a} - \vec{b}}{2}$ તરીકે લખી શકાય છે.

(D) ધારો કે બિંદુઓ $A(k,-10,3), B(1,-1,3)$ અને $C(3,5,3)$ છે.
બિંદુઓ $A, B, C$ સમરેખ હોવા માટે,સદિશો $\overrightarrow{AB}$ અને $\overrightarrow{BC}$ સમાંતર હોવા જોઈએ,એટલે કે કોઈ અદિશ $\lambda$ માટે $\overrightarrow{AB} = \lambda \overrightarrow{BC}$ થાય.
$\overrightarrow{AB} = (1-k)\hat{i} + (-1 - (-10))\hat{j} + (3-3)\hat{k} = (1-k)\hat{i} + 9\hat{j} + 0\hat{k}$.
$\overrightarrow{BC} = (3-1)\hat{i} + (5 - (-1))\hat{j} + (3-3)\hat{k} = 2\hat{i} + 6\hat{j} + 0\hat{k}$.
કારણ કે $\overrightarrow{AB} = \lambda \overrightarrow{BC}$,તેથી:
$(1-k)\hat{i} + 9\hat{j} = \lambda(2\hat{i} + 6\hat{j})$.
ઘટકોની સરખામણી કરતા:
$1-k = 2\lambda$ --- $(1)$
$9 = 6\lambda$ --- $(2)$
$(2)$ પરથી,$\lambda = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$.
$\lambda = \frac{3}{2}$ ને $(1)$ માં મૂકતા:
$1-k = 2 \times \frac{3}{2} = 3$.
$1-k = 3 \implies k = 1-3 = -2$.
આમ,$k$ ની કિંમત $-2$ છે.

આપેલ છે કે સદિશનું માન $|\vec{r}| = 2 \sqrt{3}$ છે.
સદિશ $\vec{r}$ ત્રણેય અક્ષો સાથે સમાન ખૂણે નમેલો હોવાથી,તેના દિક્કોસાઇન $l, m, n$ સમાન છે,એટલે કે $l = m = n$.
આપણે જાણીએ છીએ કે દિક્કોસાઇનના વર્ગોનો સરવાળો $l^2 + m^2 + n^2 = 1$ થાય છે.
$l = m = n$ મૂકતા,આપણને $l^2 + l^2 + l^2 = 1$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $3l^2 = 1$.
આમ,$l^2 = \frac{1}{3}$,તેથી $l = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$.
$l = m = n$ હોવાથી,એકમ સદિશ $\hat{r} = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \hat{i} \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \hat{j} \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \hat{k}$ મળે.
સદિશ $\vec{r} = |\vec{r}| \hat{r}$ હોવાથી,$\vec{r} = 2 \sqrt{3} \left( \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \hat{i} \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \hat{j} \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \hat{k} \right)$.
તેથી,$\vec{r} = \pm 2 \hat{i} \pm 2 \hat{j} \pm 2 \hat{k} = \pm 2(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$.

(A) ધારો કે દિશા ગુણોત્તર $a=2k, b=3k, c=-6k$ છે,જ્યાં $k$ એક અચળાંક છે.
સદિશનું માન $|\vec{r}| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = 14$ આપેલ છે.
$\sqrt{(2k)^2 + (3k)^2 + (-6k)^2} = 14$
$\sqrt{4k^2 + 9k^2 + 36k^2} = 14$
$\sqrt{49k^2} = 14$
$7|k| = 14 \Rightarrow |k| = 2$.
$\vec{r}$ એ $x$-અક્ષ સાથે લઘુકોણ બનાવતો હોવાથી,દિકકોસાઈન $l = \frac{a}{|\vec{r}|} = \frac{2k}{14} = \frac{k}{7}$ ધન હોવો જોઈએ. તેથી,$k=2$.
દિકકોસાઈન $l = \frac{2(2)}{14} = \frac{4}{14} = \frac{2}{7}$,$m = \frac{3(2)}{14} = \frac{6}{14} = \frac{3}{7}$,અને $n = \frac{-6(2)}{14} = \frac{-12}{14} = -\frac{6}{7}$ છે.
$\vec{r}$ ના ઘટકો $a = 2(2) = 4$,$b = 3(2) = 6$,અને $c = -6(2) = -12$ છે.
આમ,$\vec{r} = 4\hat{i} + 6\hat{j} - 12\hat{k}$.

(A) પ્રારંભિક સદિશ $\vec{v} = \sqrt{3} \hat{i} + \hat{j}$ છે. તેનું માન $|\vec{v}| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3+1} = 2$ છે.
પ્રારંભિક સદિશનો ધન $x$-અક્ષ સાથેનો ખૂણો $\theta = \tan^{-1}(\frac{1}{\sqrt{3}}) = 30^{\circ}$ છે.
આ સદિશને $45^{\circ}$ ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં ફેરવતા નવો ખૂણો $\theta' = 30^{\circ} + 45^{\circ} = 75^{\circ}$ મળે છે.
નવો સદિશ $\vec{v}' = |\vec{v}|(\cos 75^{\circ} \hat{i} + \sin 75^{\circ} \hat{j}) = 2(\cos 75^{\circ} \hat{i} + \sin 75^{\circ} \hat{j})$ છે.
તેથી,$\alpha = 2 \cos 75^{\circ}$ અને $\beta = 2 \sin 75^{\circ}$ થાય.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(\alpha, \beta), (0, \beta)$ અને $(0,0)$ છે. આ એક કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેનો પાયો $\alpha$ અને વેધ $\beta$ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \alpha \beta = \frac{1}{2} (2 \cos 75^{\circ}) (2 \sin 75^{\circ}) = 2 \sin 75^{\circ} \cos 75^{\circ} = \sin(2 \times 75^{\circ}) = \sin 150^{\circ} = \sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$.

(D) સદિશો $\overrightarrow{a}_{1}$ અને $\overrightarrow{a}_{2}$ સમરેખ હોવાથી,તેમના ઘટકો પ્રમાણમાં હોવા જોઈએ:
$\frac{x}{1} = \frac{-1}{y} = \frac{1}{z} = k$ (જ્યાં $k$ અચળાંક છે).
આના પરથી,આપણને $x = k$,$y = -\frac{1}{k}$,અને $z = \frac{1}{k}$ મળે છે.
આ કિંમતોને સદિશ $x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}$ માં મૂકતા,આપણને $k \hat{i} - \frac{1}{k} \hat{j} + \frac{1}{k} \hat{k}$ મળે છે.
સદિશો સમરેખ રહે તે માટે ગુણોત્તર જળવાઈ રહેવો જોઈએ. જો આપણે સૌથી સરળ કિસ્સો $k=1$ લઈએ,તો $x=1, y=-1, z=1$ મળે.
સદિશ $\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ બને છે.
આ સદિશનું માન $\sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{3}$ છે.
તેથી,એકમ સદિશ $\frac{1}{\sqrt{3}}(\hat{i} - \hat{j} + \hat{k})$ થાય.

(A) બિંદુઓ $A, B, C$ સમરેખ હોય જો સદિશો $\overrightarrow{AB}$ અને $\overrightarrow{AC}$ સમાંતર હોય.
$\overrightarrow{AB} = \vec{b} - \vec{a} = \hat{i} + (\alpha-4)\hat{j} + \hat{k}$.
$\overrightarrow{AC} = \vec{c} - \vec{a} = 2\hat{i} - 6\hat{j} + 2\hat{k}$.
સમરેખતા માટે,ઘટકોનો ગુણોત્તર સમાન હોવો જોઈએ: $\frac{1}{2} = \frac{\alpha-4}{-6} = \frac{1}{2}$.
$\frac{\alpha-4}{-6} = \frac{1}{2}$ ઉકેલતા $\alpha-4 = -3$ મળે,તેથી $\alpha = 1$.
બિંદુઓ $\alpha \neq 1$ માટે અસમરેખ હોવાથી,સૌથી નાનો ધન પૂર્ણાંક $\alpha$ જેના માટે તે અસમરેખ હોય તે $\alpha = 2$ છે.
હવે,$BC$ નું મધ્યબિંદુ $M$ શોધો: $M = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2} = \frac{5}{2}\hat{i} + 0\hat{j} + \frac{9}{2}\hat{k}$.
મધ્યગા $AM$ ની લંબાઈ એ $\vec{M} - \vec{A}$ નું માન છે: $\vec{M} - \vec{A} = \frac{3}{2}\hat{i} - 4\hat{j} + \frac{3}{2}\hat{k}$.
$AM = \sqrt{(\frac{3}{2})^2 + (-4)^2 + (\frac{3}{2})^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + 16 + \frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{18}{4} + 16} = \sqrt{4.5 + 16} = \sqrt{20.5} = \frac{\sqrt{82}}{2}$.