જો $< a, b, c >$ અને $< a', b', c' >$ એ બે લંબ રેખાઓના દિક ગુણોત્તર હોય,તો નીચેનામાંથી કયું સત્ય છે?

ધારો કે $O$ એ ઉગમબિંદુ છે અને $P$ એવું બિંદુ છે જે ઉગમબિંદુથી $3$ એકમ અંતરે છે. જો $\vec{OP}$ ના દિકગુણોત્તરો $(1, -2, -2)$ હોય,તો $P$ ના યામ શોધો.

ધારો કે $A, B, C$ એ $\overline{OX}, \overline{OY}, \overline{OZ}$ પર ઉગમબિંદુ $O(0, 0, 0)$ થી અનુક્રમે $3, 6, 9$ અંતરે આવેલા ત્રણ બિંદુઓ છે. ધારો કે $Q$ એ $(2, 5, 8)$ બિંદુ છે અને $P$ એ $O, A, B, C$ થી સમાન અંતરે આવેલું બિંદુ છે. તો,$PQ$ ને $3:2$ ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરતા બિંદુ $R$ ના યામ શોધો.

જો બે રેખાઓના દિકકોસાઇન $(\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{3})$ અને $(\frac{5}{13}, \frac{12}{13}, 0)$ હોય,તો તેમની વચ્ચેના ખૂણાને દુભાગતી રેખાના દિકગુણોત્તર શોધો.

જો $\ell, m, n$ અને $a, b, c$ એ બે રેખાઓના દિકકોસાઇન (direction cosines) હોય,તો:

બે રેખાઓની દિકકોસાઇન $\langle\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{4}, \frac{\sqrt{3}}{4}\rangle$ અને $\langle-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{4}, \frac{\sqrt{3}}{4}\rangle$ છે. તો રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો કેટલો થાય ($^{\circ}$ માં)?