System of co-ordinates, Direction cosines and direction ratios, Projection Questions in Gujarati

(B) આપેલ સમીકરણો $l+m+n=0$ અને $2l^2+2m^2-n^2=0$ છે.
પ્રથમ સમીકરણ પરથી,$n = -(l+m)$.
આ કિંમત બીજા સમીકરણમાં મૂકતા:
$2l^2 + 2m^2 - (-(l+m))^2 = 0$
$2l^2 + 2m^2 - (l^2 + m^2 + 2lm) = 0$
$l^2 + m^2 - 2lm = 0$
$(l-m)^2 = 0 \Rightarrow l=m$.
જો $l=m$ હોય,તો $n = -(l+l) = -2l$.
રેખાઓના દિશા ગુણોત્તર $(l, l, -2l)$ ના પ્રમાણમાં છે,જે $(1, 1, -2)$ તરીકે સરળ બને છે.
બંને રેખાઓ માટે દિશા ગુણોત્તર સમાન હોવાથી,રેખાઓ સમાંતર છે.
સમાંતર રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $0^{\circ}$ અથવા $180^{\circ}$ હોય છે.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,$180^{\circ}$ સાચો જવાબ છે.

(D) ધારો કે રેખાની દિક્કોસાઇન $l, m, n$ છે. રેખા અક્ષો સાથે $\frac{\alpha}{2}, \frac{\beta}{2}, \frac{\gamma}{2}$ ખૂણા બનાવે છે,તેથી $l = \cos(\frac{\alpha}{2}), m = \cos(\frac{\beta}{2}), n = \cos(\frac{\gamma}{2})$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $l^2 + m^2 + n^2 = 1$,તેથી $\cos^2(\frac{\alpha}{2}) + \cos^2(\frac{\beta}{2}) + \cos^2(\frac{\gamma}{2}) = 1$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos \theta = 2 \cos^2(\frac{\theta}{2}) - 1$,તેથી $\cos^2(\frac{\theta}{2}) = \frac{1 + \cos \theta}{2}$.
આ કિંમત નિત્યસમમાં મૂકતા:
$\frac{1 + \cos \alpha}{2} + \frac{1 + \cos \beta}{2} + \frac{1 + \cos \gamma}{2} = 1$
$\frac{3 + \cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma}{2} = 1$
$3 + \cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma = 2$
$\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma = 2 - 3 = -1$.

(B) ધારો કે રેખાના દિકકોસાઇન $l, m, n$ છે. રેખા $x$ અને $y$ અક્ષો સાથે સમાન ખૂણો $\alpha$ બનાવે છે,તેથી $l = \cos \alpha$ અને $m = \cos \alpha$. ધારો કે $z$-અક્ષ સાથેનો ખૂણો $\theta$ છે,તેથી $n = \cos \theta$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $l^2 + m^2 + n^2 = 1$,જેનો અર્થ છે કે $\cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha + \cos^2 \theta = 1$.
નિત્યસમ $\cos^2 \phi = 1 - \sin^2 \phi$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે: $(1 - \sin^2 \alpha) + (1 - \sin^2 \alpha) + (1 - \sin^2 \theta) = 1$.
$3 - 2 \sin^2 \alpha - \sin^2 \theta = 1$.
આપેલ છે કે $\sin^2 \theta = 2 \sin^2 \alpha$,આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$3 - 2 \sin^2 \alpha - 2 \sin^2 \alpha = 1$.
$3 - 4 \sin^2 \alpha = 1$.
$4 \sin^2 \alpha = 2$.
$\sin^2 \alpha = \frac{1}{2} = \sin^2 \frac{\pi}{4}$.
તેથી,$\alpha = \frac{\pi}{4}$.

(B) ધારો કે માંગેલ રેખાના દિકગુણોત્તર $a, b, c$ છે. રેખા $\langle -1, 2, 2 \rangle$ અને $\langle 0, 2, 1 \rangle$ દિકગુણોત્તર ધરાવતી રેખાઓને લંબ હોવાથી,સદિશ $\vec{n} = \langle a, b, c \rangle$ એ આપેલ બે સદિશોના સદિશ ગુણાકારને સમાંતર છે.
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 2 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(2-4) - \hat{j}(-1-0) + \hat{k}(-2-0) = -2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$.
આમ,દિકગુણોત્તર $\langle -2, 1, -2 \rangle$ અથવા $\langle 2, -1, 2 \rangle$ મળે છે.
સદિશનું માન $\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{4+1+4} = \sqrt{9} = 3$ છે.
તેથી દિકકોસાઇન $\langle \frac{2}{3}, \frac{-1}{3}, \frac{2}{3} \rangle$ થાય.

(A) આપેલા બિંદુઓ $O \equiv(0, 0, 0)$ અને $P \equiv(1, 2, 3)$ છે.
સૌ પ્રથમ,સદિશ $\overline{OP}$ ની લંબાઈની ગણતરી કરો:
$|\overline{OP}| = \sqrt{(1-0)^2 + (2-0)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}$.
સદિશ $\overline{OP} = (x, y, z)$ ની દિકકોસાઇન $(l, m, n)$ એ $\frac{x}{|\overline{OP}|}, \frac{y}{|\overline{OP}|}, \frac{z}{|\overline{OP}|}$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,દિકકોસાઇન $\frac{1}{\sqrt{14}}, \frac{2}{\sqrt{14}}, \frac{3}{\sqrt{14}}$ છે.

(C) આપેલ રેખાનું સમીકરણ $\frac{x+2}{2} = \frac{2y-4}{3}$ અને $z = -1$ છે.
આ સમીકરણને $\frac{x+2}{2} = \frac{2(y-2)}{3} = \frac{y-2}{3/2}$ અને $z = -1$ તરીકે લખી શકાય.
આ રેખાના દિકગુણોત્તર $(a, b, c) = (2, \frac{3}{2}, 0)$ છે.
દિકકોસાઇન શોધવા માટે,આપણે દિકગુણોત્તરના સદિશનું માન શોધીએ: $\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = \sqrt{2^2 + (\frac{3}{2})^2 + 0^2} = \sqrt{4 + \frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2}$.
દિકકોસાઇન $(\ell, m, n)$ નીચે મુજબ મળે છે: $(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}})$.
તેથી,$\ell = \pm \frac{2}{5/2} = \pm \frac{4}{5}$,$m = \pm \frac{3/2}{5/2} = \pm \frac{3}{5}$,અને $n = \pm \frac{0}{5/2} = 0$.
આમ,દિકકોસાઇન $\pm \frac{4}{5}, \pm \frac{3}{5}, 0$ છે.

(C) ધારો કે રેખાના દિકકોસાઈન $l, m, n$ છે. રેખા દરેક યામ અક્ષ સાથે સમાન ખૂણો $\alpha$ બનાવતી હોવાથી,$l = \cos \alpha$,$m = \cos \alpha$,અને $n = \cos \alpha$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ રેખા માટે $l^2 + m^2 + n^2 = 1$ થાય છે.
કિંમતો મૂકતા,$\cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ મળે.
$3 \cos^2 \alpha = 1 \Rightarrow \cos^2 \alpha = \frac{1}{3}$.
રેખા પ્રથમ અષ્ટમાંશ $OXYZ$ માં હોવાથી,દિકકોસાઈન ધન હોવા જોઈએ,તેથી $\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
આમ,$l = m = n = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

(C) ધારો કે રેખાના દિક્કોણ $\alpha, \beta, \gamma$ છે.
રેખા યામ અક્ષો સાથે સમાન ખૂણા બનાવે છે,તેથી $\alpha = \beta = \gamma$.
દિક્કોસાઇન $l = \cos \alpha, m = \cos \beta, n = \cos \gamma$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $l^2 + m^2 + n^2 = 1$,જેનો અર્થ છે કે $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$.
$\alpha = \beta = \gamma$ મૂકતા,આપણને $3 \cos^2 \alpha = 1$ મળે છે.
આથી $\cos^2 \alpha = \frac{1}{3}$,તેથી $\cos \alpha = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$.
ખૂણાઓ લઘુકોણ હોવાથી,$\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma$ ધન હોવા જોઈએ.
તેથી,દિક્કોસાઇન $\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}$ છે.

(B) દિક્કોસાઇન એ રેખા દ્વારા ધન અક્ષો સાથે બનાવવામાં આવતા ખૂણાઓના કોસાઇન છે. તેને $\langle l, m, n \rangle$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $l, m, n$ અનુક્રમે $x$-અક્ષ,$y$-અક્ષ અને $z$-અક્ષ સાથે સંબંધિત છે. દિક્કોસાઇનના વર્ગોનો સરવાળો એક થાય છે,એટલે કે $l^{2} + m^{2} + n^{2} = 1$.
રેખા $ZOX$ સમતલમાં હોવાથી,તે $y$-અક્ષને લંબ છે. તેથી,$y$-અક્ષ સાથે બનાવેલો ખૂણો $90^{\circ}$ છે,તેથી $m = \cos(90^{\circ}) = 0$.
રેખા $Z$-અક્ષ સાથે $30^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે,તેથી $n = \cos(30^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
ગુણધર્મ $l^{2} + m^{2} + n^{2} = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$m = 0$ અને $n = \frac{\sqrt{3}}{2}$ મૂકતા:
$l^{2} + 0^{2} + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2} = 1$
$l^{2} + \frac{3}{4} = 1$
$l^{2} = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$
$l = \pm \frac{1}{2}$.
આમ,દિક્કોસાઇન $\langle \pm \frac{1}{2}, 0, \frac{\sqrt{3}}{2} \rangle$ છે.

(C) બે રેખાઓ જેના દિશા ગુણોત્તર $a_1, b_1, c_1$ અને $a_2, b_2, c_2$ હોય તેમની વચ્ચેના ખૂણા $\theta$ માટેનું સૂત્ર $\cos \theta = \left| \frac{a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}} \right|$ છે.
અહીં $\theta = \frac{\pi}{3}$,$a_1=4, b_1=-3, c_1=5$ અને $a_2=3, b_2=4, c_2=k$ આપેલ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,$\cos \frac{\pi}{3} = \left| \frac{4(3) + (-3)(4) + 5k}{\sqrt{4^2 + (-3)^2 + 5^2} \sqrt{3^2 + 4^2 + k^2}} \right|$.
$\frac{1}{2} = \left| \frac{12 - 12 + 5k}{\sqrt{16 + 9 + 25} \sqrt{9 + 16 + k^2}} \right|$.
$\frac{1}{2} = \left| \frac{5k}{\sqrt{50} \sqrt{25 + k^2}} \right| = \left| \frac{5k}{5\sqrt{2} \sqrt{25 + k^2}} \right| = \left| \frac{k}{\sqrt{2} \sqrt{25 + k^2}} \right|$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{1}{4} = \frac{k^2}{2(25 + k^2)}$.
$2(25 + k^2) = 4k^2$.
$50 + 2k^2 = 4k^2$.
$2k^2 = 50 \Rightarrow k^2 = 25$.
તેથી,$k = \pm 5$.

(C) રેખાના દિકકોસાઇનને $\ell, m, n$ વડે દર્શાવવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\ell = \frac{1}{c}$,$m = \frac{1}{c}$,અને $n = \frac{1}{c}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે દિકકોસાઇનનો મૂળભૂત ગુણધર્મ $\ell^{2} + m^{2} + n^{2} = 1$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $(\frac{1}{c})^{2} + (\frac{1}{c})^{2} + (\frac{1}{c})^{2} = 1$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{1}{c^{2}} + \frac{1}{c^{2}} + \frac{1}{c^{2}} = 1$ મળે,એટલે કે $\frac{3}{c^{2}} = 1$.
તેથી,$c^{2} = 3$,જેનો અર્થ છે કે $c = \pm \sqrt{3}$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે જ્યારે કોઈ રેખા યામ અક્ષો સાથે $\alpha, \beta, \gamma$ ખૂણા બનાવે,ત્યારે તેના દિક્કોસાઈન $\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma$ થાય છે.
દિક્કોસાઈનના વર્ગોનો સરવાળો $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$ થાય છે.
હવે,આપણે $\cos 2\alpha + \cos 2\beta + \cos 2\gamma$ ની કિંમત મેળવવાની છે.
નિત્યસમ $\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta - 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos 2\alpha + \cos 2\beta + \cos 2\gamma = (2\cos^2 \alpha - 1) + (2\cos^2 \beta - 1) + (2\cos^2 \gamma - 1)$
$= 2(\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma) - 3$
વર્ગોના સરવાળાની કિંમત $1$ મૂકતા:
$= 2(1) - 3 = 2 - 3 = -1$.

(C) ધન $Y$ અને $Z$ અક્ષની દિશામાં એકમ સદિશો અનુક્રમે $\hat{j} = (0, 1, 0)$ અને $\hat{k} = (0, 0, 1)$ છે.
આ બે અક્ષો વચ્ચેના ખૂણાના દુભાજક પરનો સદિશ આ એકમ સદિશોના સરવાળા દ્વારા મળે છે: $\vec{v} = \hat{j} + \hat{k} = (0, 1, 1)$.
આ સદિશનું માન (magnitude) $|\vec{v}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ છે.
દિકકોસાઇન મેળવવા માટે સદિશના ઘટકોને તેના માન વડે ભાગતા:
$l = 0/\sqrt{2} = 0$,
$m = 1/\sqrt{2}$,
$n = 1/\sqrt{2}$.
આમ,દિકકોસાઇન $(0, 1/\sqrt{2}, 1/\sqrt{2})$ છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે રેખાના દિકકોસાઇનના વર્ગોનો સરવાળો $1$ થાય છે,એટલે કે $\cos^{2} \alpha + \cos^{2} \beta + \cos^{2} \gamma = 1$.
આપેલ છે કે $\alpha + \beta = 90^{\circ}$,તેથી $\alpha = 90^{\circ} - \beta$.
$\cos \alpha$ માટે આ કિંમત મૂકતા,આપણને મળે $\cos \alpha = \cos(90^{\circ} - \beta) = \sin \beta$.
તેથી,$\cos^{2} \alpha = \sin^{2} \beta$.
નિત્યસમ $\sin^{2} \beta = 1 - \cos^{2} \beta$ નો ઉપયોગ કરતા,$\cos^{2} \alpha = 1 - \cos^{2} \beta$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\cos^{2} \alpha + \cos^{2} \beta = 1$.
આ કિંમત મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા: $(1) + \cos^{2} \gamma = 1$.
આથી $\cos^{2} \gamma = 0$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\cos \gamma = 0$.
આમ,$\gamma = 90^{\circ}$.

(B) ધારો કે રેખાના દિશા ખૂણા $\alpha = \frac{\pi}{6}$,$\beta = \frac{\pi}{3}$ છે અને $Z$ અક્ષ સાથેનો ખૂણો $\gamma$ છે.
દિશા કોસાઈન (direction cosines) ના વર્ગોનો સરવાળો હંમેશા $1$ થાય છે,એટલે કે $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\cos^2(\frac{\pi}{6}) + \cos^2(\frac{\pi}{3}) + \cos^2 \gamma = 1$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ અને $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.
તેથી,$(\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2 + \cos^2 \gamma = 1$.
$\frac{3}{4} + \frac{1}{4} + \cos^2 \gamma = 1$.
$1 + \cos^2 \gamma = 1$.
$\cos^2 \gamma = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\cos \gamma = 0$.
તેથી,$\gamma = \frac{\pi}{2}$.

(A) ધારો કે રેખા $x$,$y$ અને $z$-અક્ષ સાથે અનુક્રમે $\alpha$,$\beta$ અને $\gamma$ ખૂણા બનાવે છે.
આપેલ છે કે $\alpha = 45^{\circ}$ અને $\beta = \gamma = \theta$.
દિકકોસાઈન $l = \cos \alpha$,$m = \cos \beta$,અને $n = \cos \gamma$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $l^2 + m^2 + n^2 = 1$.
કિંમતો મૂકતા,$\cos^2 45^{\circ} + \cos^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$.
$(\frac{1}{\sqrt{2}})^2 + 2 \cos^2 \theta = 1$.
$\frac{1}{2} + 2 \cos^2 \theta = 1$.
$2 \cos^2 \theta = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
$\cos^2 \theta = \frac{1}{4} \Rightarrow \cos \theta = \pm \frac{1}{2}$.
આમ,દિકકોસાઈન $(\cos 45^{\circ}, \cos \theta, \cos \theta)$ છે,જે $(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ અથવા $(\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$ મળે છે.

(C) રેખાની દિકકોસાઇન $l, m, n$ માટે શરત $l^2 + m^2 + n^2 = 1$ નું પાલન થવું જોઈએ.
વિકલ્પ $A$ માટે: $(\sqrt{\frac{1}{5}})^2 + (-\sqrt{\frac{1}{2}})^2 + (\sqrt{\frac{3}{10}})^2 = \frac{1}{5} + \frac{1}{2} + \frac{3}{10} = \frac{2+5+3}{10} = \frac{10}{10} = 1$.
વિકલ્પ $B$ માટે: $(\frac{1}{\sqrt{3}})^2 + (\frac{-1}{\sqrt{3}})^2 + (\frac{1}{\sqrt{3}})^2 = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = 1$.
વિકલ્પ $C$ માટે: $(\frac{1}{\sqrt{2}})^2 + (\frac{-1}{\sqrt{2}})^2 + (\frac{-1}{\sqrt{2}})^2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \neq 1$.
વિકલ્પ $D$ માટે: $(\frac{1}{\sqrt{2}})^2 + (\frac{-1}{\sqrt{2}})^2 + 0^2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + 0 = 1$.
વિકલ્પ $C$ માટે વર્ગોનો સરવાળો $1$ થતો નથી,તેથી તે રેખાની દિકકોસાઇન હોઈ શકે નહીં.

(A) આપેલ રેખાનું સમીકરણ $\frac{x+2}{2} = \frac{2y-5}{3}, z = -1$ છે.
સૌ પ્રથમ,રેખાને પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં લખતા:
$\frac{x+2}{2} = \frac{y - 5/2}{3/2} = \frac{z+1}{0}$.
રેખાના દિકગુણોત્તર $(a, b, c) = (2, 3/2, 0)$ છે.
સરળતા માટે,$2$ વડે ગુણતા: $(4, 3, 0)$ મળે.
દિક સદિશનું માન $\sqrt{4^2 + 3^2 + 0^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$ છે.
દિકકોસાઇન $(l, m, n)$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $\left( \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} \right)$ છે.
તેથી,દિકકોસાઇન $\left( \frac{4}{5}, \frac{3}{5}, 0 \right)$ મળે છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\alpha, \beta, \gamma$ એ રેખાના દિશા ખૂણાઓ છે,તેથી દિશા કોસાઇન $\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma$ છે.
દિશા કોસાઇનના વર્ગોનો સરવાળો $\cos ^{2} \alpha+\cos ^{2} \beta+\cos ^{2} \gamma = 1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે $\sin ^{2} \alpha+\sin ^{2} \beta+\sin ^{2} \gamma$ ની કિંમત શોધવી છે.
નિત્યસમ $\sin ^{2} \theta = 1 - \cos ^{2} \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\sin ^{2} \alpha+\sin ^{2} \beta+\sin ^{2} \gamma = (1 - \cos ^{2} \alpha) + (1 - \cos ^{2} \beta) + (1 - \cos ^{2} \gamma)$
$= 3 - (\cos ^{2} \alpha + \cos ^{2} \beta + \cos ^{2} \gamma)$
$= 3 - 1 = 2$.

(B) ધારો કે રેખા $\overrightarrow{OR}$ ના દિકકોસાઇન $l, m, n$ છે.
રેખા $XOY, YOZ, ZOX$ સમતલો સાથે અનુક્રમે $\theta_{1}, \theta_{2}, \theta_{3}$ ખૂણા બનાવે છે,તેથી આ સમતલોના લંબ (જે $Z, X, Y$ અક્ષો છે) સાથેના ખૂણા $\frac{\pi}{2}-\theta_{1}, \frac{\pi}{2}-\theta_{2}, \frac{\pi}{2}-\theta_{3}$ થાય.
આથી,$|l| = \sin \theta_{2}$,$|m| = \sin \theta_{3}$,અને $|n| = \sin \theta_{1}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે દિકકોસાઇન માટે $l^{2}+m^{2}+n^{2}=1$.
કિંમતો મૂકતા,$\sin^{2} \theta_{2} + \sin^{2} \theta_{3} + \sin^{2} \theta_{1} = 1$.
નિત્યસમ $\sin^{2} \theta = 1 - \cos^{2} \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,$(1-\cos^{2} \theta_{2}) + (1-\cos^{2} \theta_{3}) + (1-\cos^{2} \theta_{1}) = 1$.
$3 - (\cos^{2} \theta_{1} + \cos^{2} \theta_{2} + \cos^{2} \theta_{3}) = 1$.
તેથી,$\cos^{2} \theta_{1} + \cos^{2} \theta_{2} + \cos^{2} \theta_{3} = 3 - 1 = 2$.

(C) પ્રથમ રેખાના દિશા ગુણોત્તર $(a_1, b_1, c_1) = (2, 2, 1)$ છે.
$(3, 1, 4)$ અને $(7, 2, 12)$ ને જોડતી રેખાના દિશા ગુણોત્તર $(a_2, b_2, c_2) = (7-3, 2-1, 12-4) = (4, 1, 8)$ છે.
બે રેખાઓ જેના દિશા ગુણોત્તર $(a_1, b_1, c_1)$ અને $(a_2, b_2, c_2)$ હોય તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટેનું સૂત્ર $\cos \theta = \frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\cos \theta = \frac{|(2)(4) + (2)(1) + (1)(8)|}{\sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} \sqrt{4^2 + 1^2 + 8^2}}$.
$\cos \theta = \frac{|8 + 2 + 8|}{\sqrt{4 + 4 + 1} \sqrt{16 + 1 + 64}} = \frac{18}{\sqrt{9} \sqrt{81}}$.
$\cos \theta = \frac{18}{3 \times 9} = \frac{18}{27} = \frac{2}{3}$.
તેથી,$\theta = \cos ^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)$.

(D) રેખા $OP$ ના દિકગુણોત્તરો $(1, \sqrt{2}, 1)$ છે.
રેખા $OP$ ના દિકકોસાઇન $(l, m, n)$ ધારો.
સદિશ $\vec{OP}$ નું માન $\sqrt{1^2 + (\sqrt{2})^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 2 + 1} = \sqrt{4} = 2$ છે.
તેથી,દિકકોસાઇન $l = \frac{1}{2}$,$m = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,અને $n = \frac{1}{2}$ છે.
$XOY$ સમતલ ($z=0$,અભિલંબ $(0,0,1)$) સાથેનો ખૂણો: $\sin \theta_1 = |0(1/2) + 0(1/\sqrt{2}) + 1(1/2)| = 1/2 \implies \theta_1 = 30^{\circ}$.
$YOZ$ સમતલ ($x=0$,અભિલંબ $(1,0,0)$) સાથેનો ખૂણો: $\sin \theta_2 = |1(1/2) + 0 + 0| = 1/2 \implies \theta_2 = 30^{\circ}$.
$ZOX$ સમતલ ($y=0$,અભિલંબ $(0,1,0)$) સાથેનો ખૂણો: $\sin \theta_3 = |0 + 1(1/\sqrt{2}) + 0| = 1/\sqrt{2} \implies \theta_3 = 45^{\circ}$.
આમ,સાચો જવાબ $30^{\circ}, 30^{\circ}, 45^{\circ}$ છે.

(C) સદિશ $\vec{r}$ યામ અક્ષો સાથે સમાન ખૂણે નમેલો હોય તે માટે, દિક્કોસાઈન $|l| = |m| = |n|$ નું પાલન કરવું જોઈએ.
કારણ કે $l^2 + m^2 + n^2 = 1$, આપણે $|l| = |m| = |n|$ મૂકતા $l^2 + l^2 + l^2 = 1$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ $3l^2 = 1$ થાય છે, જે $l^2 = \frac{1}{3}$ આપે છે.
આમ, $l = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$, $m = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$, અને $n = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$.
દરેક દિક્કોસાઈન $l, m, n$ માટે $2$ શક્ય મૂલ્યો $(\pm \frac{1}{\sqrt{3}})$ છે.
તેથી, આવા સદિશોની કુલ સંખ્યા $2 \times 2 \times 2 = 8$ છે.

(C) ધારો કે સદિશ $v$ ત્રણેય અક્ષો સાથે $\alpha$ ખૂણો બનાવે છે. તો $v$ ના દિકકોસાઈન $\langle \cos \alpha, \cos \alpha, \cos \alpha \rangle$ થશે.
આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ સદિશ માટે,તેના દિકકોસાઈનના વર્ગોનો સરવાળો $1$ થાય છે:
$\cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$
$3 \cos^2 \alpha = 1$
$\cos^2 \alpha = \frac{1}{3}$
$\cos \alpha = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$
તેથી,દિકકોસાઈન $\langle \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}} \rangle$ અથવા $\langle -\frac{1}{\sqrt{3}}, -\frac{1}{\sqrt{3}}, -\frac{1}{\sqrt{3}} \rangle$ છે.

(A) ધારો કે એકમ સદિશ $\hat{a}$ ના દિશા ખૂણાઓ $\alpha, \beta, \text{ અને } \gamma$ છે.
આપેલ છે કે $\alpha = \frac{\pi}{3}$,$\beta = \frac{\pi}{4}$,અને $\gamma = \theta$.
આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ એકમ સદિશ માટે,દિશા કોસાઇનના વર્ગોનો સરવાળો $1$ થાય છે:
$\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\cos^2 \left(\frac{\pi}{3}\right) + \cos^2 \left(\frac{\pi}{4}\right) + \cos^2 \theta = 1$
$\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 + \cos^2 \theta = 1$
$\frac{1}{4} + \frac{1}{2} + \cos^2 \theta = 1$
$\frac{3}{4} + \cos^2 \theta = 1$
$\cos^2 \theta = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$
$\cos \theta = \pm \frac{1}{2}$
કારણ કે $\theta \in (0, \pi)$,આપણી પાસે બે શક્ય કિંમતો છે:
જો $\cos \theta = \frac{1}{2}$,તો $\theta = \frac{\pi}{3}$.
જો $\cos \theta = -\frac{1}{2}$,તો $\theta = \frac{2\pi}{3}$.
આપેલ વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$\frac{2\pi}{3}$ એ સાચો જવાબ છે.

(A) આપેલા બિંદુઓ $A(1, 2, -3)$ અને $B(-1, -2, 1)$ છે.
સૌ પ્રથમ,સદિશ $\vec{AB} = (x_2 - x_1)\hat{i} + (y_2 - y_1)\hat{j} + (z_2 - z_1)\hat{k}$ શોધો.
$\vec{AB} = (-1 - 1)\hat{i} + (-2 - 2)\hat{j} + (1 - (-3))\hat{k} = -2\hat{i} - 4\hat{j} + 4\hat{k}$.
હવે,$\vec{AB}$ નું માન શોધો:
$|\vec{AB}| = \sqrt{(-2)^2 + (-4)^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16 + 16} = \sqrt{36} = 6$.
દિકકોસાઇન $\frac{x}{|\vec{AB}|}, \frac{y}{|\vec{AB}|}, \frac{z}{|\vec{AB}|}$ દ્વારા મળે છે.
$l = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$,$m = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$,$n = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
આમ,દિકકોસાઇન $(-\frac{1}{3}, -\frac{2}{3}, \frac{2}{3})$ છે.

(B) રેખાનું આપેલ સમીકરણ $\frac{x-1}{0}=\frac{y+1}{5}=\frac{z-3}{0}$ છે.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x-x_1}{a}=\frac{y-y_1}{b}=\frac{z-z_1}{c}$ સાથે સરખાવતા,આપણને દિકગુણોત્તર $(a, b, c) = (0, 5, 0)$ મળે છે.
દિકકોસાઇન $(l, m, n)$ નીચે મુજબ મળે છે: $\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$.
અહીં,$\sqrt{a^2+b^2+c^2} = \sqrt{0^2+5^2+0^2} = \sqrt{25} = 5$.
આમ,$l = \frac{0}{5} = 0$,$m = \frac{5}{5} = 1$,અને $n = \frac{0}{5} = 0$.
તેથી,દિકકોસાઇન $(0, 1, 0)$ છે.

(A) આપેલ બિંદુના યામ $P(x, y, z) = (6, 7, 8)$ છે.
કોઈપણ બિંદુ $(x, y, z)$ નું $XY$-સમતલથી લંબ અંતર તેના $z$-યામના નિરપેક્ષ મૂલ્ય જેટલું હોય છે,જે $|z|$ છે.
અહીં,$z$-યામ $8$ છે.
તેથી,$XY$-સમતલથી લંબ અંતર $|8| = 8$ થાય.

(D) $XY$-સમતલમાં કોઈ બિંદુ $(x, y, z)$ નું પ્રતિબિંબ લેતી વખતે,$z$-યામની નિશાની બદલાય છે,જ્યારે $x$ અને $y$ યામ સમાન રહે છે.
તેથી,$XY$-સમતલમાં બિંદુ $(\alpha, \beta, \gamma)$ નું પ્રતિબિંબ $(\alpha, \beta, -\gamma)$ થશે.

(A) આઠ અષ્ટમાંશમાં યામ $(x, y, z)$ ના ચિહ્નો નીચેના કોષ્ટકમાં આપેલા છે:
| અષ્ટમાંશ | $I$ | $II$ | $III$ | $IV$ | $V$ | $VI$ | $VII$ | $VIII$ |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| $x$ | $+$ | $-$ | $-$ | $+$ | $+$ | $-$ | $-$ | $+$ |
| $y$ | $+$ | $+$ | $-$ | $-$ | $+$ | $+$ | $-$ | $-$ |
| $z$ | $+$ | $+$ | $+$ | $+$ | $-$ | $-$ | $-$ | $-$ |
આપેલ બિંદુ $(2, -4, -7)$ માટે,આપણી પાસે છે:
$x = 2$ (ધન,$+$)
$y = -4$ (ઋણ,$-$)
$z = -7$ (ઋણ,$-$)
કોષ્ટક જોતા,જે અષ્ટમાંશમાં $x$ ધન,$y$ ઋણ અને $z$ ઋણ હોય તે $VIII$ અષ્ટમાંશ છે.

(A) રેખાના દિક્કોસાઈન $\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\alpha, \beta, \gamma$ એ $x, y, z$ અક્ષ સાથે બનાવેલા ખૂણા છે.
અહીં,$\alpha = 90^{\circ}, \beta = 60^{\circ}, \gamma = \theta$ છે.
દિક્કોસાઈનના વર્ગોનો સરવાળો હંમેશા $1$ હોય છે,તેથી $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$.
કિંમતો મૂકતા: $\cos^2 90^{\circ} + \cos^2 60^{\circ} + \cos^2 \theta = 1$.
$(0)^2 + (\frac{1}{2})^2 + \cos^2 \theta = 1$.
$0 + \frac{1}{4} + \cos^2 \theta = 1$.
$\cos^2 \theta = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
કારણ કે $\theta$ લઘુકોણ છે,તેથી $\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
તેથી,$\theta = 30^{\circ}$ અથવા $\frac{\pi}{6}$ રેડિયન.

(C) આપેલ છે કે દિશાના ખૂણાઓ $\alpha = \frac{\pi}{3}$ અને $\beta = \frac{\pi}{3}$ છે.
ધારો કે રેખા $Z$-અક્ષ સાથે $\gamma$ ખૂણો બનાવે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે દિકકોસાઇનનો ગુણધર્મ: $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\cos^2(\frac{\pi}{3}) + \cos^2(\frac{\pi}{3}) + \cos^2 \gamma = 1$.
કારણ કે $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$,તેથી:
$(\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2 + \cos^2 \gamma = 1$.
$\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \cos^2 \gamma = 1$.
$\frac{1}{2} + \cos^2 \gamma = 1$.
$\cos^2 \gamma = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
$\cos \gamma = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$.
ખૂણો $\gamma$ લઘુકોણ હોવાથી,$\cos \gamma = \frac{1}{\sqrt{2}}$,જેનો અર્થ છે કે $\gamma = \frac{\pi}{4}$.

(C) આપેલ છે કે,રેખા $1$ ના દિશા કોસાઇન $(l_{1}, m_{1}, n_{1}) = \left(\frac{\sqrt{3}}{4}, \frac{1}{4}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ છે.
રેખા $2$ ના દિશા કોસાઇન $(l_{2}, m_{2}, n_{2}) = \left(\frac{\sqrt{3}}{4}, \frac{1}{4}, -\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ છે.
બે રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવાનું સૂત્ર $\cos \theta = |l_{1}l_{2} + m_{1}m_{2} + n_{1}n_{2}|$ છે.
કિંમતો મુકતા:
$\cos \theta = \left|\left(\frac{\sqrt{3}}{4} \times \frac{\sqrt{3}}{4}\right) + \left(\frac{1}{4} \times \frac{1}{4}\right) + \left(\frac{\sqrt{3}}{2} \times -\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right|$
$\cos \theta = \left|\frac{3}{16} + \frac{1}{16} - \frac{3}{4}\right|$
$\cos \theta = \left|\frac{3 + 1 - 12}{16}\right| = \left|-\frac{8}{16}\right| = \left|-\frac{1}{2}\right| = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\cos \theta = \frac{1}{2}$ હોવાથી,$\theta = \frac{\pi}{3}$ મળે છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos 2\theta$ માટેનું સૂત્ર $\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta - 1$ છે.
દરેક પદ માટે આ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\cos 2\alpha + \cos 2\beta + \cos 2\gamma = (2\cos^2 \alpha - 1) + (2\cos^2 \beta - 1) + (2\cos^2 \gamma - 1)$.
આનું સાદું રૂપ આપતા:
$2(\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma) - 3$ મળે.
કારણ કે $\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma$ એ સદિશ $\vec{a}$ ના દિક્કોસાઈન છે,તેથી $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$ થાય.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$2(1) - 3 = 2 - 3 = -1$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે જ્યારે કોઈ અવકાશ સદિશ $x, y$ અને $z$-અક્ષની ધન દિશા સાથે અનુક્રમે $\alpha, \beta$ અને $\gamma$ ખૂણા બનાવે છે,ત્યારે દિગ્કોસાઇન નીચે મુજબના સંબંધનું પાલન કરે છે:
$\cos^{2} \alpha + \cos^{2} \beta + \cos^{2} \gamma = 1$
આપેલ છે કે $\alpha = 150^{\circ}$ અને $\beta = 60^{\circ}$.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$\cos^{2} 150^{\circ} + \cos^{2} 60^{\circ} + \cos^{2} \gamma = 1$
કારણ કે $\cos 150^{\circ} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ અને $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$,તેથી:
$(-\frac{\sqrt{3}}{2})^{2} + (\frac{1}{2})^{2} + \cos^{2} \gamma = 1$
$\frac{3}{4} + \frac{1}{4} + \cos^{2} \gamma = 1$
$1 + \cos^{2} \gamma = 1$
$\cos^{2} \gamma = 0$
$\cos \gamma = 0$
તેથી,$\gamma = 90^{\circ}$.

(A) ધારો કે રેખાની દિકકોસાઇન $l, m, n$ છે. આપેલ છે કે રેખા $X$ અને $Y$-અક્ષ સાથે $\alpha = \frac{\pi}{3}$ નો ખૂણો બનાવે છે,તેથી $l = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ અને $m = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે $l^2 + m^2 + n^2 = 1$.
કિંમતો મૂકતા: $(\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2 + n^2 = 1$.
$\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + n^2 = 1$ $\Rightarrow \frac{1}{2} + n^2 = 1$ $\Rightarrow n^2 = \frac{1}{2}$.
આમ,$n = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$Z$-અક્ષ સાથેના લઘુકોણ $\gamma$ માટે,$\cos \gamma = |n| = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$\gamma = \cos^{-1}(\frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{\pi}{4}$.

(D) કોઈપણ કિરણ દ્વારા અક્ષો સાથે બનાવેલા ખૂણા $\alpha, \beta, \gamma$ માટે $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$ થાય.
અહીં $\beta = 2\alpha$ અને $\gamma = 3\alpha$ આપેલ છે,તેથી $\cos^2 \alpha + \cos^2 2\alpha + \cos^2 3\alpha = 1$.
$\alpha = \frac{\pi}{6}$ માટે: $\cos^2 \frac{\pi}{6} + \cos^2 \frac{\pi}{3} + \cos^2 \frac{\pi}{2} = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} + 0 = 1$.
$\alpha = \frac{\pi}{4}$ માટે: $\cos^2 \frac{\pi}{4} + \cos^2 \frac{\pi}{2} + \cos^2 \frac{3\pi}{4} = \frac{1}{2} + 0 + \frac{1}{2} = 1$.
આમ,$\alpha$ ના શક્ય મૂલ્યો $\frac{\pi}{6}$ અને $\frac{\pi}{4}$ છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે સદિશના દિકકોસાઇનના વર્ગોનો સરવાળો $1$ થાય છે.
$\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$
અહીં આપેલ છે કે સદિશ $x$ અને $y$ અક્ષ સાથે સમાન ખૂણા $\alpha$ બનાવે છે,તેથી $\alpha = \beta$. વળી,તે $z$-અક્ષ સાથે $90^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે,તેથી $\gamma = 90^{\circ}$.
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$\cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha + \cos^2 90^{\circ} = 1$
$2 \cos^2 \alpha + 0 = 1$
$\cos^2 \alpha = \frac{1}{2}$
$\cos \alpha = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$
તેથી,$\alpha = 45^{\circ}$ અથવા $135^{\circ}$.

(B) ધારો કે બિંદુ $P(3, 4, \alpha)$ છે.
$P$ નું $X$-અક્ષથી અંતર $d_X = \sqrt{4^2 + \alpha^2} = \sqrt{16 + \alpha^2}$ છે.
$P$ નું $Y$-અક્ષથી અંતર $d_Y = \sqrt{3^2 + \alpha^2} = \sqrt{9 + \alpha^2}$ છે.
$P$ નું $Z$-અક્ષથી અંતર $d_Z = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$ છે.
ધારો કે $f(\alpha) = \sqrt{16 + \alpha^2} + \sqrt{9 + \alpha^2} + 5$.
$f(\alpha)$ ને ન્યૂનતમ કરવા માટે,આપણે વિકલન મેળવીએ $f'(\alpha) = \frac{\alpha}{\sqrt{16 + \alpha^2}} + \frac{\alpha}{\sqrt{9 + \alpha^2}}$.
$f'(\alpha) = 0$ લેતા,આપણને $\alpha \left( \frac{1}{\sqrt{16 + \alpha^2}} + \frac{1}{\sqrt{9 + \alpha^2}} \right) = 0$ મળે છે.
કૌંસમાં રહેલું પદ હંમેશા ધન હોવાથી,એકમાત્ર ઉકેલ $\alpha = 0$ છે.
તેથી,$\sec \alpha = \sec(0) = 1$.

(B) આપેલ સમીકરણો $l-2m+n=0$ $(1)$ અને $lm+10mn-2nl=0$ $(2)$ છે.
$(1)$ પરથી,$l = 2m-n$.
$l$ ની કિંમત $(2)$ માં મૂકતા: $(2m-n)m + 10mn - 2n(2m-n) = 0$.
$2m^2 - mn + 10mn - 4mn + 2n^2 = 0$.
$2m^2 + 5mn + 2n^2 = 0$.
$n^2$ વડે ભાગતા: $2(m/n)^2 + 5(m/n) + 2 = 0$.
$(2m/n + 1)(m/n + 2) = 0$.
કિસ્સો $1$: $m/n = -1/2 \implies m = -k, n = 2k$.
$l = 2(-k) - 2k = -4k$.
દિકગુણોત્તર $(l_1, m_1, n_1) = (-4, -1, 2)$.
કિસ્સો $2$: $m/n = -2 \implies m = -2k, n = k$.
$l = 2(-2k) - k = -5k$.
દિકગુણોત્તર $(l_2, m_2, n_2) = (-5, -2, 1)$.
$cos \theta = \frac{|l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2|}{\sqrt{l_1^2 + m_1^2 + n_1^2} \sqrt{l_2^2 + m_2^2 + n_2^2}}$.
$cos \theta = \frac{|(-4)(-5) + (-1)(-2) + (2)(1)|}{\sqrt{16+1+4} \sqrt{25+4+1}} = \frac{|20+2+2|}{\sqrt{21} \sqrt{30}} = \frac{24}{\sqrt{630}} = \frac{24}{3\sqrt{70}} = \frac{8}{\sqrt{70}}$.

(A) ધારો કે રેખા $X, Y$ અને $Z$ અક્ષો સાથે બનાવેલા ખૂણા $\alpha = \frac{\pi}{4}$,$\beta = \frac{\pi}{3}$ અને $\gamma = \theta$ છે.
દિકકોસાઇન $l = \cos \alpha$,$m = \cos \beta$ અને $n = \cos \gamma$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $l^2 + m^2 + n^2 = 1$.
કિંમતો મૂકતા: $(\cos \frac{\pi}{4})^2 + (\cos \frac{\pi}{3})^2 + \cos^2 \theta = 1$.
$(\frac{1}{\sqrt{2}})^2 + (\frac{1}{2})^2 + \cos^2 \theta = 1$.
$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cos^2 \theta = 1$.
$\frac{3}{4} + \cos^2 \theta = 1$.
$\cos^2 \theta = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$.
કારણ કે $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$,તેથી $\cos \theta = \frac{1}{2}$.
આમ,દિકકોસાઇન $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,$\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ અને $\cos \theta = \frac{1}{2}$ છે.
તેથી,દિકકોસાઇન $\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}$ છે.

(B) ધારો કે બે રેખાઓના દિકગુણોત્તર $\vec{a} = (2, 2, 1)$ અને $\vec{b} = (2, -1, -2)$ છે.
પ્રથમ,એકમ સદિશો (દિકકોસાઇન) શોધવા માટે આ સદિશોનું નોર્મલાઇઝેશન કરીએ:
$|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{9} = 3$,તેથી $\hat{a} = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{3})$.
$|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{9} = 3$,તેથી $\hat{b} = (\frac{2}{3}, -\frac{1}{3}, -\frac{2}{3})$.
ખૂણાના દ્વિભાજકની દિશા સદિશ $\vec{v} = \hat{a} + \hat{b}$ અથવા $\vec{v} = \hat{a} - \hat{b}$ દ્વારા મળે છે.
કિસ્સો $1$: $\vec{v}_1 = (\frac{4}{3}, \frac{1}{3}, -\frac{1}{3})$. તેનું માન $|\vec{v}_1| = \sqrt{2}$ છે.
દિકકોસાઇન $(\alpha, \beta, \gamma) = (\frac{4}{3\sqrt{2}}, \frac{1}{3\sqrt{2}}, -\frac{1}{3\sqrt{2}})$.
તેથી $(\alpha + \beta + \gamma)^2 = (\frac{4}{3\sqrt{2}})^2 = \frac{16}{18} = \frac{8}{9}$.
કિસ્સો $2$: $\vec{v}_2 = (0, 1, 1)$. તેનું માન $|\vec{v}_2| = \sqrt{2}$ છે.
દિકકોસાઇન $(\alpha, \beta, \gamma) = (0, \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})$.
તેથી $(\alpha + \beta + \gamma)^2 = (0 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}})^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$.

(B) ધારો કે રેખા $L_1$ ના દિશા ગુણોત્તર $(1, \alpha, \beta)$ છે,$L_2$ ના $(-1, 2, 1)$ છે,અને $L_3$ ના $(\alpha, 1, \beta)$ છે.
$L_1 \perp L_2$ હોવાથી,તેમના દિશા ગુણોત્તરનો ડોટ પ્રોડક્ટ શૂન્ય થાય:
$1(-1) + \alpha(2) + \beta(1) = 0 \Rightarrow -1 + 2\alpha + \beta = 0 \Rightarrow 2\alpha + \beta = 1$ (સમીકરણ $1$).
$L_1 \parallel L_3$ હોવાથી,તેમના દિશા ગુણોત્તર પ્રમાણમાં હોય:
$\frac{1}{\alpha} = \frac{\alpha}{1} = \frac{\beta}{\beta}$.
$\frac{1}{\alpha} = \frac{\alpha}{1}$ પરથી,$\alpha^2 = 1$,તેથી $\alpha = 1$ અથવા $\alpha = -1$.
જો $\alpha = 1$ હોય,તો સમીકરણ $1$ પરથી: $2(1) + \beta = 1 \Rightarrow \beta = -1$.
જો $\alpha = -1$ હોય,તો સમીકરણ $1$ પરથી: $2(-1) + \beta = 1 \Rightarrow \beta = 3$.
પરંતુ,શરત $\frac{\beta}{\beta} = 1$ એ $\beta \neq 0$ માટે સાચી હોવી જોઈએ. $\alpha = 1, \beta = -1$ ચકાસતા: ગુણોત્તર $(1, 1, -1)$ અને $(1, 1, -1)$ મળે છે,જે સમાંતર છે. તેથી,$(\alpha, \beta) = (1, -1)$.

(D) ધારો કે રેખા $L$ ના દિક્કોસાઇન $(l, m, n)$ છે.
આપેલ છે કે $L$ એ $Y$-અક્ષ અને $Z$-અક્ષ સાથે અનુક્રમે $\pi / 3$ અને $\pi / 4$ ખૂણા બનાવે છે.
તેથી,$m = \cos(\pi / 3) = 1 / 2$ અને $n = \cos(\pi / 4) = 1 / \sqrt{2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $l^2 + m^2 + n^2 = 1$.
કિંમતો મૂકતા,$l^2 + (1 / 2)^2 + (1 / \sqrt{2})^2 = 1 \Rightarrow l^2 + 1 / 4 + 1 / 2 = 1 \Rightarrow l^2 = 1 - 3 / 4 = 1 / 4$.
આમ,$l = 1 / 2$ (ધન કિંમત લેતા).
બીજી રેખાના દિશા ગુણોત્તર $(1, 1, 1)$ છે. તેના દિક્કોસાઇન $(1 / \sqrt{3}, 1 / \sqrt{3}, 1 / \sqrt{3})$ છે.
બે રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\cos \theta = |l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\cos \theta = |(1 / 2)(1 / \sqrt{3}) + (1 / 2)(1 / \sqrt{3}) + (1 / \sqrt{2})(1 / \sqrt{3})| = |1 / (2 \sqrt{3}) + 1 / (2 \sqrt{3}) + 1 / \sqrt{6}|$.
$\cos \theta = |1 / \sqrt{3} + 1 / \sqrt{6}| = |\sqrt{2} / \sqrt{6} + 1 / \sqrt{6}| = (\sqrt{2} + 1) / \sqrt{6}$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1} \left( \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{6}} \right)$.

(B) આપેલ છે કે $(l, m, n)$ એ $(1, 2, -1)$ અને $(1, -2, 1)$ દિકગુણોત્તર ધરાવતી બે રેખાઓને લંબ રેખાના દિકકોસાઇન છે.
રેખા બંનેને લંબ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$l + 2m - n = 0$ ...$(i)$
$l - 2m + n = 0$ ...$(ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા,$2l = 0$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $l = 0$.
$(i)$ માં $l = 0$ મૂકતા,$2m - n = 0$ મળે,તેથી $n = 2m$.
આપણે જાણીએ છીએ કે દિકકોસાઇન માટે $l^2 + m^2 + n^2 = 1$ થાય.
$l = 0$ અને $n = 2m$ મૂકતા,$0^2 + m^2 + (2m)^2 = 1$ મળે.
$m^2 + 4m^2 = 1 \Rightarrow 5m^2 = 1 \Rightarrow m^2 = \frac{1}{5}$.
હવે,આપણે $(l + m + n)^2$ શોધવાનું છે.
$(l + m + n)^2 = (0 + m + 2m)^2 = (3m)^2 = 9m^2$.
$m^2 = \frac{1}{5}$ મૂકતા,$(l + m + n)^2 = 9 \times \frac{1}{5} = \frac{9}{5}$.

(B) $AB$ ના દિકગુણોત્તર $a_1 = 6-1 = 5$,$b_1 = 11-(-1) = 12$,$c_1 = 2-2 = 0$ છે.
$AB$ નું માન $\sqrt{5^2+12^2+0^2} = \sqrt{25+144} = \sqrt{169} = 13$ છે.
તેથી,$AB$ ની દિકકોસાઇન $l_1 = \frac{5}{13}$,$m_1 = \frac{12}{13}$,$n_1 = 0$ છે.
$AC$ ના દિકગુણોત્તર $a_2 = 1-1 = 0$,$b_2 = 2-(-1) = 3$,$c_2 = 6-2 = 4$ છે.
$AC$ નું માન $\sqrt{0^2+3^2+4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$ છે.
તેથી,$AC$ ની દિકકોસાઇન $l_2 = 0$,$m_2 = \frac{3}{5}$,$n_2 = \frac{4}{5}$ છે.
$|l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2|$ નું મૂલ્ય એ રેખાઓ $AB$ અને $AC$ વચ્ચેના ખૂણાનો કોસાઇન છે.
$|l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2| = |(\frac{5}{13} \times 0) + (\frac{12}{13} \times \frac{3}{5}) + (0 \times \frac{4}{5})| = |0 + \frac{36}{65} + 0| = \frac{36}{65}$.

(B) આપેલ છે કે $(l_1, m_1, n_1)$ અને $(l_2, m_2, n_2)$ એ બે રેખાઓની દિક્કોસાઇન છે.
તે દિક્કોસાઇન હોવાથી,$l_1^2 + m_1^2 + n_1^2 = 1$ અને $l_2^2 + m_2^2 + n_2^2 = 1$ થાય.
ધારો કે બે રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે. તો $\cos \theta = l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2$ થાય.
આપેલ પદાવલિ $(l_1 m_2 - l_2 m_1)^2 + (m_1 n_2 - m_2 n_1)^2 + (n_1 l_2 - n_2 l_1)^2 + (l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2)^2$ છે.
લેગ્રાન્જની નિત્યસમ (Lagrange's Identity) મુજબ,$(l_1 m_2 - l_2 m_1)^2 + (m_1 n_2 - m_2 n_1)^2 + (n_1 l_2 - n_2 l_1)^2 = (l_1^2 + m_1^2 + n_1^2)(l_2^2 + m_2^2 + n_2^2) - (l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2)^2$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $(1)(1) - \cos^2 \theta = \sin^2 \theta$ મળે છે.
આમ,કુલ પદાવલિ $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ થાય છે.

(B) ધારો કે રેખા $L$ એ ધન $X$,$Y$,અને $Z$ અક્ષ સાથે બનાવેલા ખૂણા અનુક્રમે $\alpha$,$\beta$,અને $\gamma$ છે.
આપેલ છે કે $\alpha = \frac{\pi}{3}$ અને $\beta = \frac{\pi}{4}$.
દિશા કોસાઇન વચ્ચેનો સંબંધ $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\cos^2 \frac{\pi}{3} + \cos^2 \frac{\pi}{4} + \cos^2 \gamma = 1$
$\Rightarrow (\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 + \cos^2 \gamma = 1$
$\Rightarrow \frac{1}{4} + \frac{1}{2} + \cos^2 \gamma = 1$
$\Rightarrow \frac{3}{4} + \cos^2 \gamma = 1$
$\Rightarrow \cos^2 \gamma = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$
$\Rightarrow \cos \gamma = \pm \frac{1}{2}$.
પ્રશ્નમાં $Z$-અક્ષની ધન દિશા સાથેનો ખૂણો પૂછવામાં આવ્યો હોવાથી,આપણે $\cos \gamma = \frac{1}{2}$ લઈશું.
તેથી,$\gamma = \frac{\pi}{3}$.