Plane Questions in Hindi

(A) माना समतल का समीकरण $ax + by + cz = d$ है। समतल का अभिलंब सदिश मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से लंब के पाद $(2, -3, 6)$ तक का सदिश है।
अतः,अभिलंब सदिश $\vec{n} = (2, -3, 6)$ है।
समतल का समीकरण $2x - 3y + 6z = d$ होगा।
चूंकि बिंदु $(2, -3, 6)$ समतल पर स्थित है,हम इन निर्देशांकों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$2(2) - 3(-3) + 6(6) = d$
$4 + 9 + 36 = d$
$d = 49$.
इसलिए,समतल का समीकरण $2x - 3y + 6z = 49$ है,जिसे $2x - 3y + 6z - 49 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(B) माना अभीष्ट समतल के अभिलंब के दिक अनुपात $\langle a, b, c \rangle$ हैं।
चूंकि समतल $(4,4,0)$ से गुजरता है,इसका समीकरण $a(x-4) + b(y-4) + c(z-0) = 0$ है।
यह समतल $2x+y+2z+3=0$ और $3x+3y+2z-8=0$ के लंबवत है।
अतः,अभिलंब सदिश $\vec{n} = \langle a, b, c \rangle$ दिए गए समतलों के अभिलंबों $\vec{n_1} = \langle 2, 1, 2 \rangle$ और $\vec{n_2} = \langle 3, 3, 2 \rangle$ के लंबवत है।
इसलिए,$\vec{n} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & 2 \\ 3 & 3 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(2-6) - \hat{j}(4-6) + \hat{k}(6-3) = -4\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$.
अतः,दिक अनुपात $\langle -4, 2, 3 \rangle$ हैं।
समतल का समीकरण $-4(x-4) + 2(y-4) + 3(z-0) = 0$ होगा।
$-4x + 16 + 2y - 8 + 3z = 0$.
$-4x + 2y + 3z + 8 = 0$,जिसे सरल करने पर $4x - 2y - 3z = 8$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया सदिश समीकरण $\vec{r} = (1+\lambda-\mu) \hat{i} + (2-\lambda) \hat{j} + (3-2 \lambda+2 \mu) \hat{k}$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\vec{r} = (\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) + \lambda(\hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k}) + \mu(-\hat{i} + 2\hat{k})$.
यह $\vec{r} = \vec{a} + \lambda\vec{b} + \mu\vec{c}$ के रूप में है,जहाँ $\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$,$\vec{b} = \hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k}$,और $\vec{c} = -\hat{i} + 2\hat{k}$ है।
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = \vec{b} \times \vec{c}$ द्वारा दिया जाता है:
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & -2 \\ -1 & 0 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-2 - 0) - \hat{j}(2 - 2) + \hat{k}(0 - 1) = -2\hat{i} - \hat{k}$.
समतल का समीकरण $(\vec{r} - \vec{a}) \cdot \vec{n} = 0$ है,जिसका अर्थ है $\vec{r} \cdot \vec{n} = \vec{a} \cdot \vec{n}$.
$\vec{a} \cdot \vec{n} = (\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) \cdot (-2\hat{i} - \hat{k}) = (1)(-2) + (2)(0) + (3)(-1) = -2 - 3 = -5$.
अतः,$\vec{r} \cdot (-2\hat{i} - \hat{k}) = -5$,या $\vec{r} \cdot (2\hat{i} + \hat{k}) = 5$.
$\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}) \cdot (2\hat{i} + \hat{k}) = 5$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $2x + z = 5$ हो जाता है।

(C) समतल बिंदु $(x_1, y_1, z_1) = (3, -2, -1)$ से गुजरता है और सदिशों $\vec{b} = (1, -2, 4)$ तथा $\vec{c} = (3, 2, -5)$ के समांतर है।
बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ से गुजरने वाले और सदिशों $\vec{b} = (a_1, b_1, c_1)$ तथा $\vec{c} = (a_2, b_2, c_2)$ के समांतर समतल का कार्तीय समीकरण निम्न है:
$\begin{vmatrix} x - x_1 & y - y_1 & z - z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{vmatrix} = 0$
दिए गए मानों को रखने पर:
$\begin{vmatrix} x - 3 & y + 2 & z + 1 \\ 1 & -2 & 4 \\ 3 & 2 & -5 \end{vmatrix} = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$(x - 3)((-2)(-5) - (4)(2)) - (y + 2)((1)(-5) - (4)(3)) + (z + 1)((1)(2) - (-2)(3)) = 0$
$(x - 3)(10 - 8) - (y + 2)(-5 - 12) + (z + 1)(2 + 6) = 0$
$2(x - 3) + 17(y + 2) + 8(z + 1) = 0$
$2x - 6 + 17y + 34 + 8z + 8 = 0$
$2x + 17y + 8z + 36 = 0$

(A) समतल का अंतःखंड रूप $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ होता है,जहाँ $a, b, c$ क्रमशः $X, Y, Z$ अक्षों पर अंतःखंड हैं।
दिए गए अंतःखंड $a = \frac{1}{3}, b = \frac{1}{4}, c = \frac{1}{5}$ हैं।
इन मानों को रखने पर,समतल का समीकरण $\frac{x}{1/3} + \frac{y}{1/4} + \frac{z}{1/5} = 1$ होगा,जिसे सरल करने पर $3x + 4y + 5z = 1$ या $3x + 4y + 5z - 1 = 0$ प्राप्त होता है।
मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से समतल $Ax + By + Cz + D = 0$ पर डाले गए लंब की लंबाई $d = \frac{|D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$A = 3, B = 4, C = 5$ और $D = -1$ है।
अतः,$d = \frac{|-1|}{\sqrt{3^2 + 4^2 + 5^2}} = \frac{1}{\sqrt{9 + 16 + 25}} = \frac{1}{\sqrt{50}} = \frac{1}{5 \sqrt{2}}$.

(D) बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ से गुजरने वाले और अभिलंब सदिश $(a, b, c)$ वाले समतल का समीकरण $a(x-x_1) + b(y-y_1) + c(z-z_1) = 0$ होता है।
दिए गए बिंदु $(2, 3, -1)$ के लिए,समीकरण $a(x-2) + b(y-3) + c(z+1) = 0 \dots (i)$ है।
चूंकि समतल $(3, -4, 7)$ दिक-अनुपात वाली रेखा के लंबवत है,इसलिए समतल का अभिलंब सदिश इस रेखा के समानांतर है।
अतः,हम $a=3, b=-4, c=7$ ले सकते हैं।
इन मानों को समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$3(x-2) - 4(y-3) + 7(z+1) = 0$
$3x - 6 - 4y + 12 + 7z + 7 = 0$
$3x - 4y + 7z + 13 = 0$.
मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से समतल $Ax + By + Cz + D = 0$ की लंबवत दूरी $d = \frac{|D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$A=3, B=-4, C=7, D=13$ है।
$d = \frac{|13|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2 + 7^2}} = \frac{13}{\sqrt{9 + 16 + 49}} = \frac{13}{\sqrt{74}}$.

(B) निर्देशांक अक्षों को $A(a, 0, 0)$,$B(0, b, 0)$,और $C(0, 0, c)$ पर मिलने वाले समतल का अंतःखंड रूप है:
$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ $\ldots$ $(i)$
शीर्षों $A(a, 0, 0)$,$B(0, b, 0)$,और $C(0, 0, c)$ वाले त्रिभुज $ABC$ के केंद्रक का सूत्र है:
$\left( \frac{a+0+0}{3}, \frac{0+b+0}{3}, \frac{0+0+c}{3} \right) = \left( \frac{a}{3}, \frac{b}{3}, \frac{c}{3} \right)$
यह दिया गया है कि केंद्रक $(1, 2, 4)$ है,इसलिए निर्देशांकों की तुलना करने पर:
$\frac{a}{3} = 1 \Rightarrow a = 3$
$\frac{b}{3} = 2 \Rightarrow b = 6$
$\frac{c}{3} = 4 \Rightarrow c = 12$
इन मानों को समीकरण $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{x}{3} + \frac{y}{6} + \frac{z}{12} = 1$
हर को हटाने के लिए पूरे समीकरण को $12$ से गुणा करने पर:
$4x + 2y + z = 12$

(D) समतल का दिया गया समीकरण $3x - 2y - z = 18$ है।
दोनों पक्षों को $18$ से विभाजित करने पर,हमें अंतःखंड रूप प्राप्त होता है:
$\frac{3x}{18} - \frac{2y}{18} - \frac{z}{18} = 1$
$\frac{x}{6} + \frac{y}{-9} + \frac{z}{-18} = 1$.
इसे अंतःखंड रूप $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ के साथ तुलना करने पर,निर्देशांक अक्षों पर अंतःखंड $a = 6, b = -9, c = -18$ हैं।
अतः,वे बिंदु जहाँ समतल अक्षों से मिलता है,$A(6, 0, 0)$,$B(0, -9, 0)$ और $C(0, 0, -18)$ हैं।
$\triangle ABC$ का केंद्रक $(G)$ ज्ञात करने का सूत्र $\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3}\right)$ है।
$G = \left(\frac{6+0+0}{3}, \frac{0-9+0}{3}, \frac{0+0-18}{3}\right)$
$G = (2, -3, -6)$.

(A) माना बिंदु $A(0,0,1)$,$B(0,1,2)$ और $C(1,0,3)$ हैं।
समतल पर स्थित सदिश $\vec{AB} = (0-0, 1-0, 2-1) = (0,1,1)$ और $\vec{AC} = (1-0, 0-0, 3-1) = (1,0,2)$ हैं।
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$,सदिश गुणनफल $\vec{AB} \times \vec{AC}$ द्वारा प्राप्त होता है:
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \end{vmatrix}$
$\vec{n} = \hat{i}(1 \times 2 - 1 \times 0) - \hat{j}(0 \times 2 - 1 \times 1) + \hat{k}(0 \times 0 - 1 \times 1)$
$\vec{n} = \hat{i}(2) - \hat{j}(-1) + \hat{k}(-1)$
$\vec{n} = 2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$
अतः अभिलंब के दिक अनुपात $(2,1,-1)$ हैं।

(A) समतल का दिया गया समीकरण $by + cz + d = 0$ है।
चूंकि समीकरण में $x$ चर अनुपस्थित है,इसलिए समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = 0\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}$ है।
यह अभिलंब सदिश $YOZ$-समतल में स्थित है।
एक समतल दूसरे समतल के लंबवत होता है यदि उनके अभिलंब सदिश लंबवत हों।
$YOZ$-समतल का अभिलंब $x$-अक्ष है,जो $\hat{i}$ है।
चूंकि अभिलंब सदिश $\vec{n} = b\hat{j} + c\hat{k}$ और $x$-अक्ष सदिश $\hat{i}$ का डॉट गुणनफल $0$ है,इसलिए समतल $by + cz + d = 0$ $YOZ$-समतल के लंबवत है।

(C) सबसे पहले,हम $2001$ का अभाज्य गुणनखंडन करते हैं।
$2001 = 3 \times 23 \times 29$.
दिया गया है कि $a, b, c$ $2001$ के गुणनखंड हैं जहाँ $a < b < c$,इसलिए $a = 3$,$b = 23$,और $c = 29$ है।
समतल के अभिलंब के दिक अनुपात $b, c, a$ यानी $23, 29, 3$ हैं।
बिंदु $(x_0, y_0, z_0)$ से गुजरने वाले और अभिलंब सदिश $(b, c, a)$ वाले समतल का समीकरण $b(x - x_0) + c(y - y_0) + a(z - z_0) = 0$ होता है।
मान रखने पर,$23(x - 1) + 29(y - 1) + 3(z - 1) = 0$.
इसका विस्तार करने पर,$23x - 23 + 29y - 29 + 3z - 3 = 0$.
$23x + 29y + 3z - 55 = 0$.
अतः,समतल का समीकरण $23x + 29y + 3z = 55$ है।

(A) समतल का दिया गया समीकरण $7x + 11y + 13z = 3003$ है।
पूरे समीकरण को $3003$ से विभाजित करने पर,हमें समतल का अंतःखंड रूप प्राप्त होता है:
$\frac{7x}{3003} + \frac{11y}{3003} + \frac{13z}{3003} = 1$
$\frac{x}{429} + \frac{y}{273} + \frac{z}{231} = 1$
यह समतल निर्देशांक अक्षों को $A, B$ और $C$ बिंदुओं पर मिलता है। ये बिंदु क्रमशः $x, y$ और $z$ अक्ष पर अंतःखंड हैं:
$A = (429, 0, 0)$
$B = (0, 273, 0)$
$C = (0, 0, 231)$
शीर्षों $(x_1, y_1, z_1), (x_2, y_2, z_2)$ और $(x_3, y_3, z_3)$ वाले $\triangle ABC$ का केंद्रक $\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3}\right)$ द्वारा दिया जाता है।
केंद्रक $= \left(\frac{429+0+0}{3}, \frac{0+273+0}{3}, \frac{0+0+231}{3}\right)$
केंद्रक $= (143, 91, 77)$.

(B) समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$,मूल बिंदु $(0,0,0)$ से लंब के पाद $(1,2,2)$ तक का सदिश है।
$\vec{n} = (1-0)\hat{i} + (2-0)\hat{j} + (2-0)\hat{k} = \hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$.
बिंदु $(x_0, y_0, z_0)$ से गुजरने वाले और अभिलंब सदिश $\vec{n} = a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}$ वाले समतल का समीकरण $a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0) = 0$ होता है।
यहाँ,$(x_0, y_0, z_0) = (1, 2, 2)$ और $(a, b, c) = (1, 2, 2)$ है।
इन मानों को रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$1(x-1) + 2(y-2) + 2(z-2) = 0$
$x - 1 + 2y - 4 + 2z - 4 = 0$
$x + 2y + 2z - 9 = 0$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) चूंकि रेखाएँ $L_1$ और $L_2$ मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से होकर गुजरती हैं,इसलिए उन्हें समाहित करने वाला समतल भी मूल बिंदु से होकर गुजरता है। ऐसे समतल का समीकरण $ax + by + cz = 0$ द्वारा दिया जाता है।
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$,दो रेखाओं के दिशा सदिशों $\vec{v}_1 = 3\hat{i} + \hat{j} - 5\hat{k}$ और $\vec{v}_2 = 2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}$ का क्रॉस प्रोडक्ट है।
$\vec{n} = \vec{v}_1 \times \vec{v}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 1 & -5 \\ 2 & 3 & -1 \end{vmatrix}$
$\vec{n} = \hat{i}(-1 - (-15)) - \hat{j}(-3 - (-10)) + \hat{k}(9 - 2)$
$\vec{n} = 14\hat{i} - 7\hat{j} + 7\hat{k}$
$7$ से विभाजित करने पर,हमें अभिलंब सदिश $2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ प्राप्त होता है।
अतः,समतल का समीकरण $2(x - 0) - 1(y - 0) + 1(z - 0) = 0$ है,जो सरल होकर $2x - y + z = 0$ हो जाता है।

(C) समतल $\pi$ बिंदु $(3,-3,1)$ से गुजरता है और बिंदुओं $(3,4,-1)$ तथा $(2,-1,5)$ को जोड़ने वाली रेखा के लंबवत है।
समतल $\pi$ के अभिलंब के दिक अनुपात $(3-2, 4-(-1), -1-5) = (1, 5, -6)$ हैं।
अतः,समतल $\pi$ का समीकरण $1(x-3) + 5(y+3) - 6(z-1) = 0$ है,जो सरल करने पर $x+5y-6z+18=0$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए दूसरा समतल $P_2: ax+y+cz-d=0$ है। यह समतल बिंदुओं $(3,4,-1)$ और $(-1,2,5)$ को समाहित करता है।
चूंकि $(3,4,-1)$,$P_2$ पर स्थित है,इसलिए $3a+4+c(-1)-d=0 \Rightarrow 3a-c-d=-4$ ... $(i)$.
चूंकि $(-1,2,5)$,$P_2$ पर स्थित है,इसलिए $-a+2+5c-d=0 \Rightarrow -a+5c-d=-2$ ... (ii).
$(i)$ में से (ii) घटाने पर,$4a-6c=-2 \Rightarrow 2a-3c=-1$ ... (iii).
$P_2$ का अभिलंब सदिश $\vec{n_2} = (a, 1, c)$ है और $\pi$ का अभिलंब सदिश $\vec{n_1} = (1, 5, -6)$ है।
चूंकि $P_2 \perp \pi$,उनके अभिलंब परस्पर लंबवत हैं: $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0 \Rightarrow a(1) + 1(5) + c(-6) = 0 \Rightarrow a-6c=-5$ ... (iv).
(iv) से,$a = 6c-5$. इसे (iii) में रखने पर: $2(6c-5)-3c=-1 \Rightarrow 12c-10-3c=-1 \Rightarrow 9c=9 \Rightarrow c=1$.
तब $a = 6(1)-5 = 1$.
$a=1, c=1$ को $(i)$ में रखने पर: $3(1)-1-d=-4 \Rightarrow 2-d=-4 \Rightarrow d=6$.
अंत में,$3(a+c) = 3(1+1) = 6$. चूंकि $d=6$,इसलिए $3(a+c) = d$.

(A) $P(3,2,4)$ और $Q(-1,0,-2)$ को मिलाने वाले रेखाखंड का मध्य-बिंदु $R$ इस प्रकार है:
$R = \left( \frac{3-1}{2}, \frac{2+0}{2}, \frac{4-2}{2} \right) = (1, 1, 1)$.
रेखाखंड $PQ$ के दिक-अनुपात $(3 - (-1), 2 - 0, 4 - (-2)) = (4, 2, 6)$ हैं।
चूंकि समतल $PQ$ के लंबवत है,इसलिए समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = \langle 4, 2, 6 \rangle$ है।
अतः,समतल का समीकरण $4x + 2y + 6z + d = 0$ होगा।
चूंकि समतल मध्य-बिंदु $R(1, 1, 1)$ से होकर गुजरता है,इसलिए:
$4(1) + 2(1) + 6(1) + d = 0 \implies 4 + 2 + 6 + d = 0 \implies d = -12$.
$4x + 2y + 6z - 12 = 0$ की तुलना $ax + by + cz + d = 0$ से करने पर,$a=4, b=2, c=6, d=-12$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$ac + bd = (4)(6) + (2)(-12) = 24 - 24 = 0$.

(C) मान लीजिए बिंदु $A(2, 0, 6)$ और $B(-6, 2, 4)$ हैं।
समतल रेखाखंड $AB$ को समद्विभाजित करता है और उस पर लंब है,जिसका अर्थ है कि यह $AB$ के मध्य बिंदु से होकर गुजरता है और सदिश $\vec{AB}$ समतल का अभिलंब है।
$AB$ का मध्य बिंदु $M = \left(\frac{2-6}{2}, \frac{0+2}{2}, \frac{6+4}{2}\right) = (-2, 1, 5)$ है।
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = \vec{AB} = (-6-2, 2-0, 4-6) = (-8, 2, -2)$ है।
अभिलंब सदिश को $-2$ से विभाजित करने पर,हमें $\vec{n}' = (4, -1, 1)$ प्राप्त होता है।
बिंदु $(x_0, y_0, z_0)$ से गुजरने वाले और अभिलंब $(a, b, c)$ वाले समतल का समीकरण $a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0) = 0$ है।
मान रखने पर: $4(x - (-2)) - 1(y - 1) + 1(z - 5) = 0$.
$4(x+2) - y + 1 + z - 5 = 0$.
$4x + 8 - y + z - 4 = 0$.
$4x - y + z + 4 = 0$.

(B) समतल रेखाखंड $AB$ पर लंब है और उसके मध्यबिंदु से होकर गुजरता है।
सबसे पहले,रेखाखंड $AB$ का मध्यबिंदु $M$ ज्ञात करें:
$M = \left( \frac{2 + (-4)}{2}, \frac{3 + 1}{2}, \frac{4 + (-2)}{2} \right) = (-1, 2, 1)$.
इसके बाद,समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$ ज्ञात करें,जो सदिश $\vec{AB}$ है:
$\vec{n} = \vec{AB} = (-4 - 2, 1 - 3, -2 - 4) = (-6, -2, -6)$.
अभिलंब सदिश को $-2$ से विभाजित करके सरल किया जा सकता है:
$\vec{n}' = (3, 1, 3)$.
$(x_0, y_0, z_0)$ से गुजरने वाले और $(a, b, c)$ अभिलंब वाले समतल का समीकरण $a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0$ होता है।
मान रखने पर:
$3(x - (-1)) + 1(y - 2) + 3(z - 1) = 0$
$3(x + 1) + (y - 2) + 3(z - 1) = 0$
$3x + 3 + y - 2 + 3z - 3 = 0$
$3x + y + 3z - 2 = 0$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) माना समतल का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ है ... $(i)$
चूंकि समतल निर्देशांक अक्षों को $A(a, 0, 0)$,$B(0, b, 0)$,और $C(0, 0, c)$ पर मिलता है,इसलिए $\triangle ABC$ का केंद्रक $\left(\frac{a}{3}, \frac{b}{3}, \frac{c}{3}\right)$ होगा।
दिया गया है कि केंद्रक $(1, 2, 4)$ है,इसलिए:
$\frac{a}{3} = 1 \Rightarrow a = 3$
$\frac{b}{3} = 2 \Rightarrow b = 6$
$\frac{c}{3} = 4 \Rightarrow c = 12$
इन मानों को समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$\frac{x}{3} + \frac{y}{6} + \frac{z}{12} = 1$
$12$ से गुणा करने पर,$4x + 2y + z = 12$ प्राप्त होता है।

(A) माना $P$ समतल $2x - 2y + 4z + 5 = 0$ पर स्थित वह बिंदु है जो $A = \left(1, \frac{3}{2}, 2\right)$ के सबसे निकट है।
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = (2, -2, 4)$ है।
$A$ से गुजरने वाली और समतल के लंबवत रेखा $P = A + c\vec{n} = \left(1 + 2c, \frac{3}{2} - 2c, 2 + 4c\right)$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $P$ समतल पर स्थित है,निर्देशांकों को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$2(1 + 2c) - 2\left(\frac{3}{2} - 2c\right) + 4(2 + 4c) + 5 = 0$.
$2 + 4c - 3 + 4c + 8 + 16c + 5 = 0$.
$24c + 12 = 0 \Rightarrow c = -\frac{1}{2}$.
$c = -\frac{1}{2}$ को $P$ के समीकरण में रखने पर:
$P = \left(1 + 2(-\frac{1}{2}), \frac{3}{2} - 2(-\frac{1}{2}), 2 + 4(-\frac{1}{2})\right) = \left(0, \frac{5}{2}, 0\right)$.

(D) दिए गए समतलों $4x + 3y - 5 = 0$ और $x + 2y + 2z - 4 = 0$ के अभिलंब $\vec{n_1} = 4\hat{i} + 3\hat{j} + 0\hat{k}$ और $\vec{n_2} = \hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ हैं।
इन अभिलंबों के बीच के कोण के समद्विभाजक को खोजने के लिए,हम पहले सदिशों को इकाई सदिश में बदलते हैं:
$|\vec{n_1}| = \sqrt{4^2 + 3^2 + 0^2} = 5$
$|\vec{n_2}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = 3$
इकाई सदिश $\hat{n_1} = \frac{4}{5}\hat{i} + \frac{3}{5}\hat{j}$ और $\hat{n_2} = \frac{1}{3}\hat{i} + \frac{2}{3}\hat{j} + \frac{2}{3}\hat{k}$ हैं।
कोण का समद्विभाजक $\hat{n_1} \pm \hat{n_2}$ सदिश की दिशा में होता है।
योग लेने पर: $(\frac{4}{5} + \frac{1}{3})\hat{i} + (\frac{3}{5} + \frac{2}{3})\hat{j} + \frac{2}{3}\hat{k} = \frac{17}{15}\hat{i} + \frac{19}{15}\hat{j} + \frac{10}{15}\hat{k}$,जो $17\hat{i} + 19\hat{j} + 10\hat{k}$ के समानुपाती है।
अंतर लेने पर: $(\frac{4}{5} - \frac{1}{3})\hat{i} + (\frac{3}{5} - \frac{2}{3})\hat{j} - \frac{2}{3}\hat{k} = \frac{7}{15}\hat{i} - \frac{1}{15}\hat{j} - \frac{10}{15}\hat{k}$,जो $7\hat{i} - \hat{j} - 10\hat{k}$ के समानुपाती है।
विकल्पों के साथ तुलना करने पर,$7\hat{i} - \hat{j} - 10\hat{k}$ सही सदिश है।

(D) दो समतलों के समीकरण $\bar{r} \cdot \vec{n}_1 = d_1$ और $\bar{r} \cdot \vec{n}_2 = d_2$ द्वारा दिए गए हैं,जहाँ $\vec{n}_1 = 11 \hat{i} - 2 \hat{j} + \alpha \hat{k}$ और $\vec{n}_2 = 2 \hat{i} + 4 \hat{j} - 2 \hat{k}$ हैं।
चूँकि समतलों के बीच का कोण $\frac{\pi}{2}$ है,इसलिए समतल एक-दूसरे के लंबवत हैं।
दो लंबवत समतलों के लिए,उनके अभिलंब सदिशों का अदिश गुणनफल शून्य होना चाहिए,अर्थात $\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 0$।
सदिशों का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $(11 \hat{i} - 2 \hat{j} + \alpha \hat{k}) \cdot (2 \hat{i} + 4 \hat{j} - 2 \hat{k}) = 0$।
अदिश गुणनफल की गणना करने पर: $(11 \times 2) + (-2 \times 4) + (\alpha \times -2) = 0$।
$22 - 8 - 2\alpha = 0$।
$14 - 2\alpha = 0$।
$2\alpha = 14$।
$\alpha = 7$।

(C) माना बिंदु $A(1, -2, -3)$,$B(3, -1, 4)$ और $C(-3, 2, -5)$ हैं।
सबसे पहले,हम समतल में दो सदिश ज्ञात करते हैं: $\vec{AB} = 2\hat{i} + \hat{j} + 7\hat{k}$ और $\vec{AC} = -4\hat{i} + 4\hat{j} - 2\hat{k}$।
अभिलंब सदिश $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = -30\hat{i} - 24\hat{j} + 12\hat{k}$ है।
$-6$ से विभाजित करने पर,हमें अभिलंब सदिश $\vec{n}' = 5\hat{i} + 4\hat{j} - 2\hat{k}$ प्राप्त होता है।
समतल का समीकरण $5(x-1) + 4(y+2) - 2(z+3) = 0$ है,जो सरल होकर $5x + 4y - 2z - 3 = 0$ हो जाता है।
विकल्प $C$ की जाँच करने पर: $5(-1) + 4(9) - 2(14) - 3 = -5 + 36 - 28 - 3 = 0$। अतः,बिंदु $-\hat{i} + 9\hat{j} + 14\hat{k}$ समतल पर स्थित है।

(D) दिया गया समतल का सदिश समीकरण $r=(2+3 \lambda-\mu) \hat{i}+(1-2 \lambda+3 \mu) \hat{j}+(-2+2 \lambda+\mu) \hat{k}$ है $\ldots$ $(i)$
माना $r=x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}$ $\ldots$ (ii)
$(i)$ और (ii) के घटकों की तुलना करने पर:
$x = 2+3 \lambda-\mu$ $\ldots$ (iii)
$y = 1-2 \lambda+3 \mu$ $\ldots$ (iv)
$z = -2+2 \lambda+\mu$ $\ldots$ $(v)$
(iii) और $(v)$ को जोड़ने पर: $x+z = 2-2+3 \lambda+2 \lambda-\mu+\mu = 5 \lambda \Rightarrow \lambda = \frac{x+z}{5}$ $\ldots$ (vi)
$(v)$ से,$\mu = z+2-2 \lambda = z+2-2(\frac{x+z}{5}) = \frac{5z+10-2x-2z}{5} = \frac{-2x+3z+10}{5}$
(iv) में $\lambda$ और $\mu$ का मान रखने पर: $y = 1-2(\frac{x+z}{5})+3(\frac{-2x+3z+10}{5})$
$5y = 5-2x-2z-6x+9z+30$
$5y = -8x+7z+35$
$8x+5y-7z-35=0$

(B) दिया गया सदिश समीकरण $\overrightarrow{r}=(1-p-q) \overrightarrow{a}+p \overrightarrow{b}+q \overrightarrow{c}$ है।
हम इसे $\overrightarrow{r} = \overrightarrow{a} - p\overrightarrow{a} - q\overrightarrow{a} + p\overrightarrow{b} + q\overrightarrow{c}$ के रूप में लिख सकते हैं।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\overrightarrow{r} - \overrightarrow{a} = p(\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}) + q(\overrightarrow{c} - \overrightarrow{a})$ प्राप्त होता है।
यह उस समतल के समीकरण का प्राचलिक रूप है जो स्थिति सदिश $\overrightarrow{a}$ वाले बिंदु से गुजरता है और सदिशों $(\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a})$ तथा $(\overrightarrow{c} - \overrightarrow{a})$ के समानांतर है।
चूंकि $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}$ असमतलीय हैं,सदिश $(\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a})$ और $(\overrightarrow{c} - \overrightarrow{a})$ रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं,इस प्रकार यह एक अद्वितीय समतल को परिभाषित करता है।

(C) समतल का समीकरण $3x + 4y - 5z = 60$ है।
$60$ से विभाजित करने पर,हमें अंतःखंड रूप प्राप्त होता है: $\frac{x}{20} + \frac{y}{15} - \frac{z}{12} = 1$.
यह समतल निर्देशांक अक्षों को बिंदुओं $A(20, 0, 0)$,$B(0, 15, 0)$ और $C(0, 0, -12)$ पर काटता है।
चतुष्फलक मूल बिंदु $O(0, 0, 0)$ और बिंदुओं $A, B, C$ द्वारा बनता है।
चतुष्फलक का आयतन $V = \frac{1}{6} |\vec{OA} \cdot (\vec{OB} \times \vec{OC})|$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$\vec{OA} = 20\hat{i}$,$\vec{OB} = 15\hat{j}$,और $\vec{OC} = -12\hat{k}$ है।
$V = \frac{1}{6} |20\hat{i} \cdot (15\hat{j} \times -12\hat{k})| = \frac{1}{6} |20 \times 15 \times (-12)| = \frac{1}{6} |-3600| = 600$ घन इकाइयाँ।

(D) दिए गए समतल का समीकरण $2x + y + z = K$ है।
$K$ से विभाजित करने पर,हमें अंतःखंड रूप प्राप्त होता है: $\frac{x}{K/2} + \frac{y}{K} + \frac{z}{K} = 1$.
समतल और निर्देशांक समतलों द्वारा निर्मित चतुष्फलक के शीर्ष $O(0, 0, 0)$,$A(K/2, 0, 0)$,$B(0, K, 0)$ और $C(0, 0, K)$ हैं।
चतुष्फलक $OABC$ का आयतन सूत्र $V_{tet} = \frac{1}{6} |x_A y_B z_C| = \frac{1}{6} \times \frac{K}{2} \times K \times K = \frac{K^3}{12}$ द्वारा दिया जाता है।
यह दिया गया है कि आयतन $\frac{2V^3}{3}$ है,इसलिए हम दोनों व्यंजकों को बराबर करते हैं:
$\frac{K^3}{12} = \frac{2V^3}{3}$.
दोनों पक्षों को $12$ से गुणा करने पर,हमें $K^3 = 8V^3$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर,हमें $K = 2V$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{K}{V} = \frac{2}{1}$.
अतः,$K:V = 2:1$.
इसलिए,विकल्प $D$ सही है।

(A) समतलों $ax - y + 3z = 2a$ और $3x + ay + z = 3a$ के अभिलंब सदिश क्रमशः $\vec{n_1} = (a, -1, 3)$ और $\vec{n_2} = (3, a, 1)$ हैं।
दिया गया है कि समतलों के बीच का कोण $\theta = \frac{\pi}{3}$ है,इसलिए $\cos \theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|}$।
$\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{|3a - a + 3|}{\sqrt{a^2 + (-1)^2 + 3^2} \sqrt{3^2 + a^2 + 1^2}} = \frac{1}{2}$।
$\frac{|2a + 3|}{\sqrt{a^2 + 10} \sqrt{a^2 + 10}} = \frac{1}{2} \implies \frac{|2a + 3|}{a^2 + 10} = \frac{1}{2}$।
$2|2a + 3| = a^2 + 10$।
स्थिति $1$: $4a + 6 = a^2 + 10 \implies a^2 - 4a + 4 = 0 \implies (a - 2)^2 = 0 \implies a = 2$।
स्थिति $2$: $-4a - 6 = a^2 + 10 \implies a^2 + 4a + 16 = 0$,जिसका कोई वास्तविक हल नहीं है।
अतः,$a = 2$।
समतल का समीकरण $(2+2)x + (2-4)y + 2(2)z = 2$ अर्थात $4x - 2y + 4z = 2$ या $2x - y + 2z = 1$ हो जाता है।
इस समतल के अभिलंब के दिक अनुपात $(2, -1, 2)$ हैं।

(A) माना दो सदिश $\vec{b_1} = \hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{b_2} = 4\hat{i} + 5\hat{j} - 3\hat{k}$ हैं।
इन रेखाओं को समाहित करने वाले समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$,$\vec{b_1} \times \vec{b_2}$ द्वारा प्राप्त होता है।
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 1 \\ 4 & 5 & -3 \end{vmatrix} = \hat{i}(-6 - 5) - \hat{j}(-3 - 4) + \hat{k}(5 - 8) = -11\hat{i} + 7\hat{j} - 3\hat{k}$ है।
अभिलंब सदिश का परिमाण $|\vec{n}| = \sqrt{(-11)^2 + 7^2 + (-3)^2} = \sqrt{121 + 49 + 9} = \sqrt{179}$ है।
दिक-कोज्याएँ $\frac{a}{|\vec{n}|}, \frac{b}{|\vec{n}|}, \frac{c}{|\vec{n}|}$ द्वारा दी जाती हैं,जहाँ $a, b, c$ अभिलंब सदिश के घटक हैं।
अतः,दिक-कोज्याएँ $\frac{-11}{\sqrt{179}}, \frac{7}{\sqrt{179}}, \frac{-3}{\sqrt{179}}$ हैं।

(A) माना रेखाओं $AB$ और $AC$ के दिक अनुपात क्रमशः $\vec{u} = \langle 1, -1, -1 \rangle$ और $\vec{v} = \langle 2, -1, 1 \rangle$ हैं।
चूंकि रेखाएं $AB$ और $AC$ समतल $ABC$ में स्थित हैं,इसलिए उनका सदिश गुणनफल $\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v}$ समतल के अभिलंब के दिक अनुपात प्रदान करेगा।
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}(-1 - 1) - \hat{j}(1 - (-2)) + \hat{k}(-1 - (-2))$
$= \hat{i}(-2) - \hat{j}(3) + \hat{k}(1)$
$= -2\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k}$
अतः,दिक अनुपात $\langle -2, -3, 1 \rangle$ हैं।
$-1$ से गुणा करने पर,हमें समान दिक अनुपात $\langle 2, 3, -1 \rangle$ प्राप्त होते हैं।
इसलिए,सही विकल्प $A$ है।

(D) समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$,सदिशों $\vec{AB}$ और $\vec{AC}$ के क्रॉस गुणनफल द्वारा प्राप्त होता है।
$\vec{AB} = (6-2, -3-1, 2-(-1)) = (4, -4, 3)$.
$\vec{AC} = (-3-2, 12-1, 4-(-1)) = (-5, 11, 5)$.
$\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 4 & -4 & 3 \\ -5 & 11 & 5 \end{vmatrix} = \hat{i}(-20-33) - \hat{j}(20+15) + \hat{k}(44-20) = -53\hat{i} - 35\hat{j} + 24\hat{k}$.
समतल का समीकरण $-53(x-2) - 35(y-1) + 24(z+1) = 0$ है।
$-53x + 106 - 35y + 35 + 24z + 24 = 0$.
$-53x - 35y + 24z + 165 = 0$.
$53x + by + cz + d = 0$ के रूप में लाने के लिए $-1$ से गुणा करने पर:
$53x + 35y - 24z - 165 = 0$.
यहाँ,$b = 35$,$c = -24$,और $d = -165$.
अतः,$\frac{d}{b+c} = \frac{-165}{35 - 24} = \frac{-165}{11} = -15$.

(C) समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$,सदिश $\vec{PF}$ है।
$\vec{PF} = (1-2, -2-0, 0-(-3)) = (-1, -2, 3)$।
चूंकि समतल का समीकरण $ax+by-3z+d=0$ है,इसलिए अभिलंब सदिश $(a, b, -3)$ है।
$(a, b, -3)$ की तुलना $k(-1, -2, 3)$ से करने पर,हमें $k(-1) = a$,$k(-2) = b$ और $k(3) = -3$ प्राप्त होता है।
अतः,$k = -1$।
इसलिए,$a = -1(-1) = 1$ और $b = -1(-2) = 2$।
समतल का समीकरण $x+2y-3z+d=0$ है।
चूंकि बिंदु $F(1,-2,0)$ समतल पर स्थित है,इसलिए $1 + 2(-2) - 3(0) + d = 0$।
$1 - 4 + d = 0 \implies -3 + d = 0 \implies d = 3$।
हमें $a+b+d = 1 + 2 + 3 = 6$ ज्ञात करना है।

(C) दिए गए समतल $P_1: -4x - 2y + 2z + \alpha = 0$ और $P_2: 2x + y - z + 1 = 0$ हैं।
सबसे पहले,$P_1$ को $-2$ से विभाजित करने पर: $2x + y - z - \frac{\alpha}{2} = 0$ प्राप्त होता है।
माना $k = -\frac{\alpha}{2}$ है। समतल $2x + y - z + k = 0$ और $2x + y - z + 1 = 0$ हैं।
दो समांतर समतलों $Ax + By + Cz + D_1 = 0$ और $Ax + By + Cz + D_2 = 0$ के बीच की दूरी $d = \frac{|D_1 - D_2|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$d = 2$,$A = 2$,$B = 1$,$C = -1$,$D_1 = k$,और $D_2 = 1$ है।
$2 = \frac{|k - 1|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + (-1)^2}} = \frac{|k - 1|}{\sqrt{6}}$।
$|k - 1| = 2\sqrt{6}$।
$k - 1 = 2\sqrt{6}$ या $k - 1 = -2\sqrt{6}$।
$k = 1 + 2\sqrt{6}$ या $k = 1 - 2\sqrt{6}$।
चूंकि $k = -\frac{\alpha}{2}$ है,इसलिए $\alpha = -2k$ है।
$\alpha_1 = -2(1 + 2\sqrt{6}) = -2 - 4\sqrt{6}$ और $\alpha_2 = -2(1 - 2\sqrt{6}) = -2 + 4\sqrt{6}$।
$\alpha$ के मानों का गुणनफल $\alpha_1 \alpha_2 = (-2 - 4\sqrt{6})(-2 + 4\sqrt{6}) = (-2)^2 - (4\sqrt{6})^2 = 4 - 16(6) = 4 - 96 = -92$ है।

(C) माना बिंदु $A(5,1,2)$,$B(3,-4,6)$ और $C(7,0,-1)$ हैं।
इन बिंदुओं से गुजरने वाले समतल का समीकरण $\begin{vmatrix} x-5 & y-1 & z-2 \\ 3-5 & -4-1 & 6-2 \\ 7-5 & 0-1 & -1-2 \end{vmatrix} = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$\begin{vmatrix} x-5 & y-1 & z-2 \\ -2 & -5 & 4 \\ 2 & -1 & -3 \end{vmatrix} = 0$.
$(x-5)(15+4) - (y-1)(6-8) + (z-2)(2+10) = 0$.
$19(x-5) + 2(y-1) + 12(z-2) = 0$.
$19x - 95 + 2y - 2 + 12z - 24 = 0$.
$19x + 2y + 12z - 121 = 0$.
अभिलंब सदिश $\vec{n} = 19\hat{i} + 2\hat{j} + 12\hat{k}$ है।
इसका परिमाण $|\vec{n}| = \sqrt{19^2 + 2^2 + 12^2} = \sqrt{361 + 4 + 144} = \sqrt{509}$ है।
दिक्-कोसाइन $l = \frac{19}{\sqrt{509}}$,$m = \frac{2}{\sqrt{509}}$,$n = \frac{12}{\sqrt{509}}$ हैं।
मूल बिंदु $(0,0,0)$ से समतल $19x + 2y + 12z - 121 = 0$ की लंबवत दूरी $p = \frac{|-121|}{\sqrt{509}} = \frac{121}{\sqrt{509}}$ है।
अब,$|3l + 2m + 5n| = |3(\frac{19}{\sqrt{509}}) + 2(\frac{2}{\sqrt{509}}) + 5(\frac{12}{\sqrt{509}})| = |\frac{57 + 4 + 60}{\sqrt{509}}| = \frac{121}{\sqrt{509}} = p$.

(C) माना समतल का समीकरण $\pi: ax + by + cz + 1 = 0$ है।
चूंकि यह $(1, 2, -3)$ से गुजरता है,हमारे पास $a(1) + b(2) + c(-3) + 1 = 0$ है,जिसका अर्थ है $a + 2b - 3c = -1$ (समीकरण $i$)।
चूंकि समतल $x + y - z + 4 = 0$ और $2x - y + z + 1 = 0$ के लंबवत है,इसका अभिलंब सदिश $\vec{n} = (a, b, c)$ इन समतलों के अभिलंब सदिशों $\vec{n_1} = (1, 1, -1)$ और $\vec{n_2} = (2, -1, 1)$ के लंबवत है।
अतः,$a + b - c = 0$ (समीकरण $ii$) और $2a - b + c = 0$ (समीकरण $iii$)।
समीकरण $(ii)$ और $(iii)$ को जोड़ने पर,हमें $3a = 0$ प्राप्त होता है,इसलिए $a = 0$।
$a = 0$ को $(ii)$ में रखने पर,हमें $b - c = 0$ प्राप्त होता है,इसलिए $b = c$।
$a = 0$ और $b = c$ को $(i)$ में रखने पर,हमें $0 + 2c - 3c = -1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $-c = -1$,इसलिए $c = 1$।
इस प्रकार,$b = 1$।
मान $a = 0, b = 1, c = 1$ हैं।
इसलिए,$a^2 + b^2 + c^2 = 0^2 + 1^2 + 1^2 = 2$।

(C) तीन बिंदुओं $(x_1, y_1, z_1), (x_2, y_2, z_2)$ और $(x_3, y_3, z_3)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण सारणिक द्वारा इस प्रकार दिया जाता है:
$\begin{vmatrix} x-x_1 & y-y_1 & z-z_1 \\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1 \end{vmatrix} = 0$
दिए गए बिंदुओं $(1, 0, -2), (3, -1, 2)$ और $(0, -3, 4)$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$\begin{vmatrix} x-1 & y & z+2 \\ 2 & -1 & 4 \\ -1 & -3 & 6 \end{vmatrix} = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$(x-1)(-6 + 12) - y(12 + 4) + (z+2)(-6 - 1) = 0$
$6(x-1) - 16y - 7(z+2) = 0$
$6x - 6 - 16y - 7z - 14 = 0 \Rightarrow 6x - 16y - 7z = 20$
अंतःखंड रूप $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ प्राप्त करने के लिए $20$ से विभाजित करने पर:
$\frac{x}{10/3} + \frac{y}{-5/4} + \frac{z}{-20/7} = 1$
अतः,$a = \frac{10}{3}, b = -\frac{5}{4}, c = -\frac{20}{7}$
$3a + 4b + 7c$ का मान ज्ञात करने पर:
$3(\frac{10}{3}) + 4(-\frac{5}{4}) + 7(-\frac{20}{7}) = 10 - 5 - 20 = -15$.

(C) बिंदु $\vec{a}$ से गुजरने वाले और अभिलंब सदिश $\vec{n}$ वाले समतल का सदिश समीकरण $(\vec{r}-\vec{a}) \cdot \vec{n} = 0$ है,जिसे $\vec{r} \cdot \vec{n} = \vec{a} \cdot \vec{n}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
समतल $\pi_1$ के लिए,$\vec{a}_1 = 3 \hat{i}-7 \hat{j}+5 \hat{k}$ और $\vec{n}_1 = \hat{i}+2 \hat{j}-2 \hat{k}$ है।
$\vec{r} \cdot (\hat{i}+2 \hat{j}-2 \hat{k}) = (3 \hat{i}-7 \hat{j}+5 \hat{k}) \cdot (\hat{i}+2 \hat{j}-2 \hat{k}) = 3 - 14 - 10 = -21$.
अभिलंब रूप $\vec{r} \cdot \hat{n} = p$ है। यहाँ,$|\vec{n}_1| = \sqrt{1^2+2^2+(-2)^2} = 3$ है।
$3$ से भाग देने पर,$\vec{r} \cdot \frac{\hat{i}+2 \hat{j}-2 \hat{k}}{3} = \frac{-21}{3} = -7$ प्राप्त होता है। अतः,$p_1 = |-7| = 7$ है।
समतल $\pi_2$ के लिए,$\vec{a}_2 = 2 \hat{i}+7 \hat{j}-8 \hat{k}$ और $\vec{n}_2 = 3 \hat{i}+2 \hat{j}+6 \hat{k}$ है।
$\vec{r} \cdot (3 \hat{i}+2 \hat{j}+6 \hat{k}) = (2 \hat{i}+7 \hat{j}-8 \hat{k}) \cdot (3 \hat{i}+2 \hat{j}+6 \hat{k}) = 6 + 14 - 48 = -28$ है।
यहाँ,$|\vec{n}_2| = \sqrt{3^2+2^2+6^2} = \sqrt{9+4+36} = 7$ है।
$7$ से भाग देने पर,$\vec{r} \cdot \frac{3 \hat{i}+2 \hat{j}+6 \hat{k}}{7} = \frac{-28}{7} = -4$ प्राप्त होता है। अतः,$p_2 = |-4| = 4$ है।
इसलिए,$p_1 - p_2 = 7 - 4 = 3$ है।

(B) दो सदिशों $\vec{\alpha}$ और $\vec{\beta}$ को समाहित करने वाले और बिंदु $\vec{a}$ से गुजरने वाले समतल $\pi$ का समीकरण $(\vec{r}-\vec{a}) \cdot (\vec{\alpha} \times \vec{\beta}) = 0$ द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले,लंबवत सदिश $\vec{n}' = \vec{\alpha} \times \vec{\beta}$ की गणना करें:
$\vec{n}' = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(0-3) - \hat{j}(-1-6) + \hat{k}(1-0) = -3\hat{i} + 7\hat{j} + \hat{k}$.
समतल का समीकरण $-3(x+3) + 7(y-7) + 1(z-1) = 0$ है।
इसे सरल करने पर,हमें $-3x - 9 + 7y - 49 + z - 1 = 0$ प्राप्त होता है,जो $-3x + 7y + z - 59 = 0$ है।
मूल बिंदु $(0,0,0)$ से समतल $Ax+By+Cz+D=0$ तक की लंबवत दूरी $p = \frac{|D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$ है।
$p = \frac{|-59|}{\sqrt{(-3)^2 + 7^2 + 1^2}} = \frac{59}{\sqrt{9+49+1}} = \frac{59}{\sqrt{59}} = \sqrt{59}$.
इसलिए,$\sqrt{p^2+5} = \sqrt{(\sqrt{59})^2 + 5} = \sqrt{59+5} = \sqrt{64} = 8$.

(B) रेखाखंड $AB$ के दिक अनुपात ($D$.$R$.) $(-1-4, 2-5, 1-(-10)) = (-5, -3, 11)$ हैं।
चूंकि समतल $AB$ के लंबवत है,इसलिए समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = (-5, -3, 11)$ है।
$AB$ का मध्य-बिंदु $P = \left(\frac{4-1}{2}, \frac{5+2}{2}, \frac{-10+1}{2}\right) = \left(\frac{3}{2}, \frac{7}{2}, -\frac{9}{2}\right)$ है।
$(x_0, y_0, z_0)$ से गुजरने वाले और $(a, b, c)$ अभिलंब वाले समतल का समीकरण $a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0) = 0$ होता है।
मान रखने पर: $-5(x - \frac{3}{2}) - 3(y - \frac{7}{2}) + 11(z + \frac{9}{2}) = 0$.
$2$ से गुणा करने पर: $-5(2x - 3) - 3(2y - 7) + 11(2z + 9) = 0$.
$-10x + 15 - 6y + 21 + 22z + 99 = 0$.
$-10x - 6y + 22z + 135 = 0$.
$-1$ से गुणा करने पर: $10x + 6y - 22z - 135 = 0$.

(D) $A(3,-2,1)$ से गुजरने वाले और अभिलंब सदिश $\vec{n} = 4 \hat{i}+7 \hat{j}-4 \hat{k}$ के लंबवत समतल का समीकरण $a(x-x_1) + b(y-y_1) + c(z-z_1) = 0$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,हमें $4(x-3)+7(y+2)-4(z-1)=0$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $4x+7y-4z+6=0$ हो जाता है।
किसी बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ से समतल $ax+by+cz+d=0$ पर लंब की लंबाई का सूत्र $d = \frac{|ax_1+by_1+cz_1+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$ है।
यहाँ,बिंदु $P(1,2,-1)$ है और समतल $4x+7y-4z+6=0$ है।
सूत्र में इन मानों को रखने पर:
$PM = \frac{|4(1)+7(2)-4(-1)+6|}{\sqrt{4^2+7^2+(-4)^2}}$
$PM = \frac{|4+14+4+6|}{\sqrt{16+49+16}}$
$PM = \frac{|28|}{\sqrt{81}}$
$PM = \frac{28}{9}$.

(D) चूंकि समतल $\pi$,समतल $x-y-z=0$ के समांतर है,इसलिए इसका समीकरण $x-y-z+k=0$ के रूप में होगा।
यह दिया गया है कि बिंदु $(1, -2, 1)$ समतल $\pi$ पर स्थित है,इसलिए हम इन निर्देशांकों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$1 - (-2) - 1 + k = 0$
$1 + 2 - 1 + k = 0$
$2 + k = 0 \implies k = -2$.
अतः,समतल $\pi$ का समीकरण $x-y-z-2=0$ है।
इसकी तुलना दिए गए समीकरण $ax+by+cz-2=0$ से करने पर,हमें $a=1, b=-1, c=-1$ प्राप्त होता है।
अब,$b-2c$ का मान ज्ञात करते हैं:
$b-2c = -1 - 2(-1) = -1 + 2 = 1$.
चूंकि $a=1$,इसलिए $b-2c = a$ है।