Plane Questions in Gujarati

(B) સમતલ $P$ નો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ બે રેખાઓના દિકગુણોત્તરોનો સદિશ ગુણાકાર છે:
$\vec{n} = (-2, 1, -3) \times (-1, 2, -2) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -2 & 1 & -3 \\ -1 & 2 & -2 \end{vmatrix} = 4\hat{i} - \hat{j} - 3\hat{k}$.
બિંદુ $(2, 2, -2)$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ સદિશ $(4, -1, -3)$ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ:
$4(x - 2) - 1(y - 2) - 3(z + 2) = 0$
$4x - y - 3z = 12$.
અંતઃખંડો મેળવવા માટે,$12$ વડે ભાગતા:
$\frac{x}{3} + \frac{y}{-12} + \frac{z}{-4} = 1$.
આમ,$\alpha = 3, \beta = -12, \gamma = -4$.
$p = \alpha + \beta + \gamma = 3 - 12 - 4 = -13$.
ચતુષ્ફલક $OABC$ નું ઘનફળ $V = \frac{1}{6} |\alpha \beta \gamma| = \frac{1}{6} |3 \times (-12) \times (-4)| = 24$.
તેથી,ક્રમયુક્ત જોડ $(V, p) = (24, -13)$ છે.

(C) ત્રણ બિંદુઓ $(x_1, y_1, z_1)$,$(x_2, y_2, z_2)$ અને $(x_3, y_3, z_3)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ નિશ્ચાયક દ્વારા નીચે મુજબ મળે છે:
$\left|\begin{array}{ccc} x-x_1 & y-y_1 & z-z_1 \\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1 \end{array}\right| = 0$
બિંદુઓ $(2, -3, 1)$,$(-1, 1, -2)$ અને $(3, -4, 2)$ મૂકતા:
$\left|\begin{array}{ccc} x-2 & y+3 & z-1 \\ -3 & 4 & -3 \\ 1 & -1 & 1 \end{array}\right| = 0$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$(x-2)(4 - 3) - (y+3)(-3 + 3) + (z-1)(3 - 4) = 0$
$(x-2)(1) - (y+3)(0) + (z-1)(-1) = 0$
$x - 2 - z + 1 = 0$
$x - z - 1 = 0$
બિંદુ $(x_0, y_0, z_0)$ નું સમતલ $Ax + By + Cz + D = 0$ થી અંતર $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ છે.
બિંદુ $(7, -3, -4)$ અને સમતલ $x - z - 1 = 0$ માટે:
$d = \frac{|7 - (-4) - 1|}{\sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2}} = \frac{|7 + 4 - 1|}{\sqrt{2}} = \frac{10}{\sqrt{2}} = 5 \sqrt{2}$.

(C) ધારો કે એકમ સદિશ $\hat{v} = \cos 60^{\circ} \hat{i} + \cos 45^{\circ} \hat{j} + \cos \gamma \hat{k}$ છે.
$\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$ હોવાથી,$\cos^2 60^{\circ} + \cos^2 45^{\circ} + \cos^2 \gamma = 1$ મળે.
$\Rightarrow \frac{1}{4} + \frac{1}{2} + \cos^2 \gamma = 1$.
$\Rightarrow \cos^2 \gamma = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$.
$\gamma$ લઘુકોણ હોવાથી,$\cos \gamma = \frac{1}{2}$ મળે.
આમ,સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \frac{1}{2} \hat{i} + \frac{1}{\sqrt{2}} \hat{j} + \frac{1}{2} \hat{k}$ છે.
$(\sqrt{2}, -1, 1)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $\frac{1}{2}(x - \sqrt{2}) + \frac{1}{\sqrt{2}}(y + 1) + \frac{1}{2}(z - 1) = 0$ થાય.
$2$ વડે ગુણતા,$(x - \sqrt{2}) + \sqrt{2}(y + 1) + (z - 1) = 0$ મળે.
$\Rightarrow x - \sqrt{2} + \sqrt{2} y + \sqrt{2} + z - 1 = 0$.
$\Rightarrow x + \sqrt{2} y + z = 1$.
બિંદુ $(a, b, c)$ સમતલ પર હોવાથી,$a + \sqrt{2} b + c = 1$ મળે.

(C) $(4, 1, -3)$ અને $(2, 4, 3)$ ને જોડતી રેખાનો દિશા સદિશ $\vec{n} = (2-4, 4-1, 3-(-3)) = (-2, 3, 6)$ છે.
સમતલ $P$ આ રેખાને લંબ હોવાથી,સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (-2, 3, 6)$ થશે.
$(1, -1, -5)$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ $\vec{n} = (-2, 3, 6)$ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ:
$-2(x - 1) + 3(y + 1) + 6(z + 5) = 0$
$-2x + 2 + 3y + 3 + 6z + 30 = 0$
$-2x + 3y + 6z + 35 = 0$ અથવા $2x - 3y - 6z = 35$.
બિંદુ $(3, -2, 2)$ થી સમતલ $2x - 3y - 6z - 35 = 0$ નું અંતર $d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$d = \frac{|2(3) - 3(-2) - 6(2) - 35|}{\sqrt{2^2 + (-3)^2 + (-6)^2}}$
$d = \frac{|6 + 6 - 12 - 35|}{\sqrt{4 + 9 + 36}}$
$d = \frac{|-35|}{\sqrt{49}} = \frac{35}{7} = 5$.

(C) ધારો કે સમતલ $P$ નું સમીકરણ $2x + ay + 4z = k$ છે. ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ થી સમતલ પરના લંબપાદના યામ $(2, a, 4)$ હોવાથી,સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = 2\hat{i} + a\hat{j} + 4\hat{k}$ છે.
સમતલનું સમીકરણ $2(x - 2) + a(y - a) + 4(z - 4) = 0$ થાય,જેનું સાદું રૂપ $2x + ay + 4z = 20 + a^2$ મળે છે.
અંતઃખંડો $A = (\frac{20 + a^2}{2}, 0, 0)$,$B = (0, \frac{20 + a^2}{a}, 0)$,અને $C = (0, 0, \frac{20 + a^2}{4})$ છે.
ચતુષ્ફલક $OABC$ નું ઘનફળ $V = \frac{1}{6} |x_A y_B z_C| = \frac{1}{6} \cdot \frac{(20 + a^2)^3}{8a} = 144$ છે.
$(20 + a^2)^3 = 144 \times 48 \times a = 6912a$.
$a = 2$ લેતા: $(20 + 4)^3 = 24^3 = 13824$ અને $6912 \times 2 = 13824$. તેથી,$a = 2$.
સમતલનું સમીકરણ $2x + 2y + 4z = 24$ અથવા $x + y + 2z = 12$ મળે છે.
બિંદુઓની ચકાસણી:
$A(2, 2, 4) \Rightarrow 2 + 2 + 2(4) = 12$ (સમતલ પર છે).
$B(0, 4, 4) \Rightarrow 0 + 4 + 2(4) = 12$ (સમતલ પર છે).
$C(3, 0, 4) \Rightarrow 3 + 0 + 2(4) = 11 \neq 12$ (સમતલ પર નથી).
$D(0, 6, 3) \Rightarrow 0 + 6 + 2(3) = 12$ (સમતલ પર છે).
આમ,બિંદુ $(3, 0, 4)$ સમતલ પર નથી.

(B) સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ $(1, 2, 3)$ અને $(-2, 3, 5)$ ને જોડતી રેખાનો દિશા સદિશ છે.
$\vec{n} = (-2-1)\hat{i} + (3-2)\hat{j} + (5-3)\hat{k} = -3\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$.
સમતલ આ રેખાને લંબ હોવાથી,અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = -3\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$ છે.
બિંદુ $(x_0, y_0, z_0)$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ $\vec{n} = a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}$ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ $a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0) = 0$ છે.
બિંદુ $(3, -2, 5)$ અને અભિલંબ સદિશ $(-3, 1, 2)$ મૂકતા:
$-3(x-3) + 1(y+2) + 2(z-5) = 0$.
$-3x + 9 + y + 2 + 2z - 10 = 0$.
$-3x + y + 2z = -1$.
$\alpha x + \beta y + \gamma z = 1$ સ્વરૂપમાં લાવવા માટે $-1$ વડે ગુણતા:
$3x - y - 2z = 1$.
$\alpha x + \beta y + \gamma z = 1$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 3$,$\beta = -1$,અને $\gamma = -2$ મળે છે.
ગુણાકાર $\alpha \beta \gamma = (3)(-1)(-2) = 6$.

(A) ત્રણ બિંદુઓ $A(x_1, y_1, z_1)$,$B(x_2, y_2, z_2)$ અને $C(x_3, y_3, z_3)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{AB} = (0, 2, 1)$ અને $\vec{AC} = (-1, 3, 1)$.
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & 2 & 1 \\ -1 & 3 & 1 \end{vmatrix} = -\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$.
સમતલનું સમીકરણ: $-1(x-1) - 1(y-2) + 2(z-0) = 0$,એટલે કે $x + y - 2z - 3 = 0$.
બિંદુ $P(1, 2, 6)$ નું પ્રતિબિંબ $Q(\alpha, \beta, \gamma)$ માટેનું સૂત્ર: $\frac{\alpha - 1}{1} = \frac{\beta - 2}{1} = \frac{\gamma - 6}{-2} = -2 \frac{1(1) + 1(2) - 2(6) - 3}{1^2 + 1^2 + (-2)^2} = 4$.
તેથી,$\alpha = 5$,$\beta = 6$,$\gamma = -2$.
અંતે,$\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = 25 + 36 + 4 = 65$.

(D) બિંદુ $(-2, 3, 5)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $a(x + 2) + b(y - 3) + c(z - 5) = 0$ છે.
આ સમતલ $2x + 4y + 5z = 8$ અને $3x - 2y + 3z = 5$ ને લંબ હોવાથી,તેનો અભિલંબ સદિશ $(a, b, c)$ એ આપેલા સમતલોના અભિલંબ સદિશો $\vec{n_1} = (2, 4, 5)$ અને $\vec{n_2} = (3, -2, 3)$ ને લંબ હોય.
તેથી,અભિલંબ સદિશ $(a, b, c)$ એ $\vec{n_1} \times \vec{n_2}$ ના સદિશ ગુણાકારના પ્રમાણમાં છે:
$(a, b, c) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 4 & 5 \\ 3 & -2 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(12 - (-10)) - \hat{j}(6 - 15) + \hat{k}(-4 - 12) = 22\hat{i} + 9\hat{j} - 16\hat{k}$.
આમ,$a = 22, b = 9, c = -16$.
સમતલનું સમીકરણ $22(x + 2) + 9(y - 3) - 16(z - 5) = 0$ છે.
તેનું વિસ્તરણ કરતા,$22x + 44 + 9y - 27 - 16z + 80 = 0$,જેનું સાદું રૂપ $22x + 9y - 16z + 97 = 0$ મળે છે.
$\alpha x + \beta y + \gamma z + 97 = 0$ સાથે સરખાવતા,$\alpha = 22, \beta = 9, \gamma = -16$ મળે.
તેથી,$\alpha + \beta + \gamma = 22 + 9 - 16 = 15$.

(A) સમતલ $ax + by + cz + d = 0$ માં બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ ના પ્રતિબિંબ $(\alpha, \beta, \gamma)$ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\frac{\alpha - x_1}{a} = \frac{\beta - y_1}{b} = \frac{\gamma - z_1}{c} = -2 \left( \frac{ax_1 + by_1 + cz_1 + d}{a^2 + b^2 + c^2} \right)$
અહીં બિંદુ $P(2, 3, 5)$ અને સમતલ $2x + y - 3z - 6 = 0$ આપેલ છે,તેથી $a=2, b=1, c=-3, d=-6$:
$\frac{\alpha - 2}{2} = \frac{\beta - 3}{1} = \frac{\gamma - 5}{-3} = -2 \left( \frac{2(2) + 1(3) - 3(5) - 6}{2^2 + 1^2 + (-3)^2} \right)$
કૌંસની અંદરની કિંમતની ગણતરી કરતા:
$\frac{4 + 3 - 15 - 6}{4 + 1 + 9} = \frac{-14}{14} = -1$
તેથી,ગુણોત્તર $-2(-1) = 2$ મળે છે:
$\frac{\alpha - 2}{2} = 2 \implies \alpha - 2 = 4 \implies \alpha = 6$
$\frac{\beta - 3}{1} = 2 \implies \beta - 3 = 2 \implies \beta = 5$
$\frac{\gamma - 5}{-3} = 2 \implies \gamma - 5 = -6 \implies \gamma = -1$
આમ,$\alpha + \beta + \gamma = 6 + 5 - 1 = 10$.

(B) સમતલ $P$ એ બિંદુઓ $Q(5,3,0)$,$R(13,3,-2)$,અને $S(1,6,2)$ માંથી પસાર થાય છે.
સમતલમાં સદિશો $\vec{QR} = (8, 0, -2)$ અને $\vec{QS} = (-4, 3, 2)$ છે.
અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \vec{QR} \times \vec{QS} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 8 & 0 & -2 \\ -4 & 3 & 2 \end{vmatrix} = 6\hat{i} - 8\hat{j} + 24\hat{k}$.
તેને $2$ વડે ભાગતા,અભિલંબ સદિશ $\vec{n}' = 3\hat{i} - 4\hat{j} + 12\hat{k}$ મળે.
સમતલનું સમીકરણ $3x - 4y + 12z = 3$ છે.
બિંદુ $A(3,4,\alpha)$ નું સમતલથી અંતર $\frac{|3(3) - 4(4) + 12(\alpha) - 3|}{13} = 2$ છે.
$|12\alpha - 10| = 26 \implies 12\alpha = 36 \implies \alpha = 3$ ($\alpha \in N$ હોવાથી).
હવે,બિંદુ $B(2,3,a)$ નું સમતલથી અંતર $\frac{|3(2) - 4(3) + 12(a) - 3|}{13} = 3$ છે.
$|12a - 9| = 39 \implies 12a - 9 = 39 \implies 12a = 48 \implies a = 4$.

(D) સમતલનું સમીકરણ $x+3y-2z+6=0$ છે. બે યામ શૂન્ય લેતા,આપણને અંતઃખંડો મળે છે:
$A(-6, 0, 0)$,$B(0, -2, 0)$,$C(0, 0, 3)$.
ધારો કે $H(\alpha, \beta, \frac{6}{7})$ એ લંબકેન્દ્ર છે.
કારણ કે $H$ એ સમતલ $ABC$ પર આવેલું છે,$\alpha + 3\beta - 2(\frac{6}{7}) + 6 = 0 \implies \alpha + 3\beta = -6 + \frac{12}{7} = -\frac{30}{7}$.
વળી,$\overrightarrow{AH} \cdot \overrightarrow{BC} = 0$.
$\overrightarrow{AH} = (\alpha+6, \beta, \frac{6}{7}-0) = (\alpha+6, \beta, \frac{6}{7})$.
$\overrightarrow{BC} = (0, 2, 3)$.
$(\alpha+6)(0) + \beta(2) + \frac{6}{7}(3) = 0 \implies 2\beta + \frac{18}{7} = 0 \implies \beta = -\frac{9}{7}$.
$\beta$ ની કિંમત સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા: $\alpha + 3(-\frac{9}{7}) = -\frac{30}{7} \implies \alpha - \frac{27}{7} = -\frac{30}{7} \implies \alpha = -\frac{3}{7}$.
હવે,$98(\alpha+\beta)^2 = 98(-\frac{3}{7} - \frac{9}{7})^2 = 98(-\frac{12}{7})^2 = 98 \times \frac{144}{49} = 2 \times 144 = 288$.

(C) ધારો કે બે બિંદુઓ $A(0,-1,2)$ અને $B(-1,2,1)$ છે. સદિશ $\vec{AB} = -\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}$ મળે.
રેખા સદિશ $\vec{v} = -4\hat{i} - 2\hat{j} + 6\hat{k}$ ને સમાંતર છે.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 3 & -1 \\ -4 & -2 & 6 \end{vmatrix} = 16\hat{i} + 10\hat{j} + 14\hat{k}$ મળે.
$2$ વડે ભાગતા,$\vec{n}' = 8\hat{i} + 5\hat{j} + 7\hat{k}$ મળે.
સમતલનું સમીકરણ $8x + 5y + 7z = d$ છે. બિંદુ $(0,-1,2)$ મૂકતા,$d = 9$ મળે.
સમતલનું સમીકરણ $8x + 5y + 7z = 9$ છે.
વિકલ્પો તપાસતા,બિંદુ $(-2,5,0)$ માટે $8(-2) + 5(5) + 7(0) = -16 + 25 = 9$ મળે છે. તેથી,સમતલ $(-2,5,0)$ માંથી પસાર થાય છે.

(D) સમતલોના અભિલંબ સદિશો $\vec{n}_1 = (1, -1, 1)$,$\vec{n}_2 = (1, 1, -1)$,અને $\vec{n}_3 = (1, -3, 3)$ છે.
રેખા $L_1$ ($P_2$ અને $P_3$ નું છેદન) નો દિશા સદિશ $\vec{v}_1 = \vec{n}_2 \times \vec{n}_3 = (0, -4, -4)$ છે,જે $(0, 1, 1)$ ને સમાંતર છે.
રેખા $L_2$ ($P_3$ અને $P_1$ નું છેદન) નો દિશા સદિશ $\vec{v}_2 = \vec{n}_3 \times \vec{n}_1 = (0, 2, 2)$ છે,જે $(0, 1, 1)$ ને સમાંતર છે.
રેખા $L_3$ ($P_1$ અને $P_2$ નું છેદન) નો દિશા સદિશ $\vec{v}_3 = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = (0, 2, 2)$ છે,જે $(0, 1, 1)$ ને સમાંતર છે.
બધી રેખાઓ $L_1, L_2, L_3$ એક જ દિશા સદિશ $(0, 1, 1)$ ધરાવે છે,તેથી તે બધી એકબીજાને સમાંતર છે. આમ,$\text{વિધાન}-1$ ખોટું છે.
$\text{વિધાન}-2$ માટે,આપણે સમીકરણો ઉકેલીને ચકાસીએ કે શું સિસ્ટમને કોઈ સામાન્ય બિંદુ છે. $P_1$ અને $P_2$ નો સરવાળો કરતા $2x = 0$ મળે,તેથી $x = 0$. $x=0$ ને $P_1$ અને $P_2$ માં મૂકતા $-y+z=1$ અને $y-z=-1$ મળે,જે સમાન છે. $x=0$ ને $P_3$ માં મૂકતા $-3y+3z=2$ અથવા $-y+z=2/3$ મળે. $1 \neq 2/3$ હોવાથી,સિસ્ટમને કોઈ સામાન્ય બિંદુ નથી. આમ,$\text{વિધાન}-2$ સાચું છે.

(C) ધારો કે બિંદુઓ $P(1, 0, -1)$ અને $Q(3, 2, -1)$ છે. સમતલની સાપેક્ષે $P$ નું પ્રતિબિંબ $Q$ છે.
રેખાખંડ $PQ$ નું મધ્યબિંદુ $R$ સમતલ પર આવેલું છે.
$R = \left( \frac{1+3}{2}, \frac{0+2}{2}, \frac{-1-1}{2} \right) = (2, 1, -1)$.
કારણ કે $R$ એ સમતલ $\alpha x + \beta y + \gamma z = \delta$ પર છે,તેથી:
$2\alpha + \beta - \gamma = \delta$ --- $(1)$
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (\alpha, \beta, \gamma)$ છે.
સદિશ $\vec{PQ} = (3-1, 2-0, -1-(-1)) = (2, 2, 0)$ એ અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ ને સમાંતર છે.
તેથી,$\frac{\alpha}{2} = \frac{\beta}{2} = \frac{\gamma}{0} = k$ (જ્યાં $k \neq 0$).
આનાથી $\alpha = 2k$,$\beta = 2k$,અને $\gamma = 0$ મળે છે.
આપેલ છે કે $\alpha + \gamma = 1$,તેથી $2k + 0 = 1$,એટલે કે $k = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\alpha = 1$,$\beta = 1$,અને $\gamma = 0$.
આ કિંમતોને $(1)$ માં મૂકતા:
$2(1) + 1(1) - 0 = \delta \implies \delta = 3$.
હવે,વિકલ્પો તપાસીએ:
$(A)$ $\alpha + \beta = 1 + 1 = 2$ (સાચું)
$(B)$ $\delta - \gamma = 3 - 0 = 3$ (સાચું)
$(C)$ $\delta + \beta = 3 + 1 = 4$ (સાચું)
$(D)$ $\alpha + \beta + \gamma = 1 + 1 + 0 = 2 \neq \delta$ (ખોટું)
આમ,વિધાનો $A, B, C$ સાચા છે.

(B) ધારો કે $X = (x, y, z)$. $S$ માટેની શરત $(x-1)^2 + (y-2)^2 + (z-3)^2 - ((x-4)^2 + (y-2)^2 + (z-7)^2) = 50$ છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $(6x + 8z - 50) = 50$ મળે છે,તેથી $6x + 8z = 100$,અથવા $3x + 4z = 50$. આ એક સમતલ છે.
તે જ રીતે,$T$ માટે,આપણને $(x-4)^2 + (y-2)^2 + (z-7)^2 - ((x-1)^2 + (y-2)^2 + (z-3)^2) = 50$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ $-(6x + 8z - 50) = 50$ થાય છે,તેથી $6x + 8z = 0$,અથવા $3x + 4z = 0$. આ એક સમાંતર સમતલ છે.
$(A)$ $S$ એક સમતલ હોવાથી,આપણે તેમાં કોઈપણ ક્ષેત્રફળનો ત્રિકોણ બનાવી શકીએ છીએ,જેમાં $1$ પણ સામેલ છે. તેથી,$(A)$ $TRUE$ છે.
$(B)$ $T$ એક સમતલ હોવાથી,$L, M \in T$ ને જોડતો કોઈપણ રેખાખંડ સંપૂર્ણપણે સમતલ $T$ માં આવેલો હોય છે. તેથી,$(B)$ $TRUE$ છે.
$(C)$ સમાંતર સમતલો $3x + 4z - 50 = 0$ અને $3x + 4z = 0$ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|50 - 0|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = 10$ છે.
લંબચોરસ માટે,બે શિરોબિંદુઓ $S$ માં અને બે $T$ માં હોય,તો એક બાજુની લંબાઈ $a$ અને બીજી $10$ હોય. પરિમિતિ $2(a + 10) = 48 \implies a = 14$. અનંત લંબચોરસ શક્ય છે. તેથી,$(C)$ $TRUE$ છે.
$(D)$ ચોરસ માટે,$a = 10$ હોવું જોઈએ. પરિમિતિ $4a = 40 \neq 48$. તેથી,$(D)$ $FALSE$ છે.

(C) સમતલનું સમીકરણ $\frac{x}{3}+\frac{y}{2}-\frac{z}{4}=1$ છે.
સમતલ યામ અક્ષોને જ્યાં છેદે છે તે બિંદુઓ મેળવવા માટે,આપણે અન્ય બે ચલને શૂન્ય લઈએ છીએ.
$x$-અક્ષ માટે,$y=0$ અને $z=0$ લેતા: $\frac{x}{3}=1 \implies x=3$. તેથી,$A = (3, 0, 0)$.
$y$-અક્ષ માટે,$x=0$ અને $z=0$ લેતા: $\frac{y}{2}=1 \implies y=2$. તેથી,$B = (0, 2, 0)$.
$z$-અક્ષ માટે,$x=0$ અને $y=0$ લેતા: $-\frac{z}{4}=1 \implies z=-4$. તેથી,$C = (0, 0, -4)$.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{AB} = B - A = (-3, 2, 0)$ અને $\vec{AC} = C - A = (-3, 0, -4)$.
$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -3 & 2 & 0 \\ -3 & 0 & -4 \end{vmatrix} = -8\hat{i} - 12\hat{j} + 6\hat{k}$.
તેનું માન $\sqrt{(-8)^2 + (-12)^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 144 + 36} = \sqrt{244} = 2\sqrt{61}$ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times 2\sqrt{61} = \sqrt{61}$ ચોરસ એકમ.

(A) ધારો કે $A = (1, 2, 3)$ અને $B = \left(-\frac{7}{3}, -\frac{4}{3}, -\frac{1}{3}\right)$ છે. સમતલ એ $AB$ ના મધ્યબિંદુ $M$ માંથી પસાર થાય છે અને $AB$ ને લંબ છે.
મધ્યબિંદુ $M$ નીચે મુજબ મળે છે:
$M = \left( \frac{1 - \frac{7}{3}}{2}, \frac{2 - \frac{4}{3}}{2}, \frac{3 - \frac{1}{3}}{2} \right) = \left( \frac{-\frac{4}{3}}{2}, \frac{\frac{2}{3}}{2}, \frac{\frac{8}{3}}{2} \right) = \left( -\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{4}{3} \right)$.
સમતલના અભિલંબના દિકગુણોત્તર એ $AB$ રેખાના દિકગુણોત્તર સમાન હોય છે:
$D.r.s = \left( 1 - (-\frac{7}{3}), 2 - (-\frac{4}{3}), 3 - (-\frac{1}{3}) \right) = \left( \frac{10}{3}, \frac{10}{3}, \frac{10}{3} \right)$.
આપણે અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (1, 1, 1)$ લઈ શકીએ.
સમતલનું સમીકરણ $1(x - x_0) + 1(y - y_0) + 1(z - z_0) = 0$ છે,જ્યાં $(x_0, y_0, z_0) = M = \left( -\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{4}{3} \right)$:
$1(x + \frac{2}{3}) + 1(y - \frac{1}{3}) + 1(z - \frac{4}{3}) = 0$
$x + y + z + \frac{2}{3} - \frac{1}{3} - \frac{4}{3} = 0$
$x + y + z - 1 = 0 \Rightarrow x + y + z = 1$.
વિકલ્પો તપાસતા:
$(A)$ $(1, -1, 1) \Rightarrow 1 - 1 + 1 = 1$. આ બિંદુ સમતલ પર આવેલું છે.

(D) ફલક $OPQ$ નો અભિલંબ સદિશ $\vec{OP}$ અને $\vec{OQ}$ ના સદિશ ગુણાકાર દ્વારા મળે છે.
$\vec{n_1} = \vec{OP} \times \vec{OQ} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & 3 \\ -1 & 1 & 2 \end{vmatrix} = -\hat{i} - 7\hat{j} + 3\hat{k}$.
ફલક $PQR$ નો અભિલંબ સદિશ $\vec{PQ}$ અને $\vec{PR}$ ના સદિશ ગુણાકાર દ્વારા મળે છે.
$\vec{PQ} = (-3, 0, -1)$ અને $\vec{PR} = (-1, 1, -2)$.
$\vec{n_2} = \vec{PQ} \times \vec{PR} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -3 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i} - 5\hat{j} - 3\hat{k}$.
બંને ફલકો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ તેમના અભિલંબ સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો છે:
$\cos \theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|} = \frac{|(-1)(1) + (-7)(-5) + (3)(-3)|}{\sqrt{59} \sqrt{35}} = \frac{25}{\sqrt{59} \sqrt{35}}$.
તેથી,$\theta = \cos ^{-1}\left(\frac{25}{\sqrt{59} \sqrt{35}}\right)$.

(D) આપેલ સમતલનું સમીકરણ $\bar{r} = \bar{a} + \lambda \bar{A} + \mu \bar{B}$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $\bar{a} = \hat{i} - \hat{j}$,$\bar{A} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$,અને $\bar{B} = \hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$ છે.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\bar{n}$ એ બે સદિશો $\bar{A}$ અને $\bar{B}$ ના સદિશ ગુણાકાર (cross product) દ્વારા મળે છે:
$\bar{n} = \bar{A} \times \bar{B} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 3 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}(3 - (-2)) - \hat{j}(3 - 1) + \hat{k}(-2 - 1)$
$= 5\hat{i} - 2\hat{j} - 3\hat{k}$.
સમતલનું કાર્તેઝિયન સમીકરણ $(\bar{r} - \bar{a}) \cdot \bar{n} = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે $\bar{r} \cdot \bar{n} = \bar{a} \cdot \bar{n}$ છે.
$\bar{a} \cdot \bar{n} = (\hat{i} - \hat{j}) \cdot (5\hat{i} - 2\hat{j} - 3\hat{k}) = (1)(5) + (-1)(-2) + (0)(-3) = 5 + 2 = 7$.
આમ,કાર્તેઝિયન સમીકરણ $5x - 2y - 3z = 7$ અથવા $5x - 2y - 3z - 7 = 0$ છે.

(C) બે સમતલો $\bar{r} \cdot \bar{n}_1 = d_1$ અને $\bar{r} \cdot \bar{n}_2 = d_2$ સમાંતર હોય જો તેમના અભિલંબ સદિશો $\bar{n}_1$ અને $\bar{n}_2$ પ્રમાણસર હોય.
અહીં,$\bar{n}_1 = 2 \hat{i} - \lambda \hat{j} + \hat{k}$ અને $\bar{n}_2 = 4 \hat{i} - \hat{j} + \mu \hat{k}$ છે.
તેઓ સમાંતર હોવાથી,$\frac{2}{4} = \frac{-\lambda}{-1} = \frac{1}{\mu}$ મળે.
$\frac{2}{4} = \frac{\lambda}{1}$ પરથી,$\lambda = \frac{1}{2}$ મળે.
$\frac{2}{4} = \frac{1}{\mu}$ પરથી,$\mu = 2$ મળે.
તેથી,$\lambda + \mu = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}$.

(C) ધારો કે બિંદુઓ $A(4,2,3)$,$B(-1,4,2)$ અને $C(3,2,1)$ છે.
સમતલ પર આવેલા બે સદિશો $\vec{AB} = (-1-4)\hat{i} + (4-2)\hat{j} + (2-3)\hat{k} = -5\hat{i} + 2\hat{j} - 1\hat{k}$ અને $\vec{AC} = (3-4)\hat{i} + (2-2)\hat{j} + (1-3)\hat{k} = -1\hat{i} + 0\hat{j} - 2\hat{k}$ છે.
અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -5 & 2 & -1 \\ -1 & 0 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-4-0) - \hat{j}(10-1) + \hat{k}(0 - (-2)) = -4\hat{i} - 9\hat{j} + 2\hat{k}$ મળે.
$\vec{n}$ નું માન $|\vec{n}| = \sqrt{(-4)^2 + (-9)^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 81 + 4} = \sqrt{101}$ છે.
તેથી,દિકકોસાઇન $\frac{-4}{\sqrt{101}}, \frac{-9}{\sqrt{101}}, \frac{2}{\sqrt{101}}$ થાય.

(D) બે સમતલો $a_1x + b_1y + c_1z + d_1 = 0$ અને $a_2x + b_2y + c_2z + d_2 = 0$ સમાંતર હોય જો તેમના અભિલંબ સદિશો પ્રમાણસર હોય,એટલે કે $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$.
આપેલ સમતલો $2x - 5y + z - 8 = 0$ અને $2\lambda x - 15y + \lambda z + 6 = 0$ છે.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$\frac{2}{2\lambda} = \frac{-5}{-15} = \frac{1}{\lambda}$.
ગુણોત્તરનું સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{1}{\lambda} = \frac{1}{3} = \frac{1}{\lambda}$.
આથી,$\lambda = 3$ મળે છે.

(D) સમતલો $x+2y+3z-4=0$ અને $4x+3y+2z-1=0$ ની છેદરેખામાંથી પસાર થતા સમતલના સમૂહનું સમીકરણ $(x+2y+3z-4) + \lambda(4x+3y+2z-1) = 0$ છે.
આ સમતલ ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,આપણે $x=0, y=0, z=0$ મૂકતા:
$(0+0+0-4) + \lambda(0+0+0-1) = 0
\Rightarrow -4 - \lambda = 0
\Rightarrow \lambda = -4$.
હવે $\lambda = -4$ ને સમૂહના સમીકરણમાં મૂકતા:
$(x+2y+3z-4) - 4(4x+3y+2z-1) = 0
\Rightarrow x+2y+3z-4 - 16x - 12y - 8z + 4 = 0
\Rightarrow -15x - 10y - 5z = 0
\Rightarrow 3x + 2y + z = 0$.
સમતલ $ax+by+cz+d=0$ ના અભિલંબના દિકગુણોત્તરો $(a, b, c)$ થાય.
તેથી,સમતલ $3x+2y+z=0$ ના અભિલંબના દિકગુણોત્તરો $3, 2, 1$ મળે છે.

(C) સમતલનું આપેલ સમીકરણ $\vec{r} = \vec{a} + \lambda \vec{b} + \mu \vec{c}$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $\vec{a} = 2 \hat{i} - 3 \hat{j}$,$\vec{b} = \hat{i} + 2 \hat{j} - \hat{k}$,અને $\vec{c} = 2 \hat{i} + 3 \hat{j} + \hat{k}$ છે.
કાર્તેઝિયન સમીકરણ મેળવવા માટે,આપણે અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \vec{b} \times \vec{c}$ ની જરૂર છે.
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & -1 \\ 2 & 3 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(2+3) - \hat{j}(1+2) + \hat{k}(3-4) = 5 \hat{i} - 3 \hat{j} - \hat{k}$.
સમતલનું કાર્તેઝિયન સમીકરણ $(\vec{r} - \vec{a}) \cdot \vec{n} = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે $(x-2, y+3, z-0) \cdot (5, -3, -1) = 0$ છે.
$5(x-2) - 3(y+3) - 1(z) = 0$.
$5x - 10 - 3y - 9 - z = 0$.
$5x - 3y - z = 19$.

(C) સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ $\overrightarrow{AB}$ ની દિશામાં છે.
$\overrightarrow{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (\hat{i}-2 \hat{j}-4 \hat{k}) - (3 \hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}) = -2 \hat{i}-3 \hat{j}-6 \hat{k}$.
સમતલ $\overrightarrow{AB}$ ને લંબ હોવાથી,સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = 2 \hat{i}+3 \hat{j}+6 \hat{k}$ લઈ શકાય.
બિંદુ $(x_0, y_0, z_0)$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = a \hat{i}+b \hat{j}+c \hat{k}$ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ $a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0) = 0$ છે.
બિંદુ $B(1, -2, -4)$ અને અભિલંબના ઘટકો $(2, 3, 6)$ મૂકતા:
$2(x-1) + 3(y+2) + 6(z+4) = 0$.
$2x - 2 + 3y + 6 + 6z + 24 = 0$.
$2x + 3y + 6z + 28 = 0$.

(C) આપેલ સમતલોના અભિલંબ $\vec{n}_1 = 2\hat{i} + 3\hat{j} - 2\hat{k}$ અને $\vec{n}_2 = \hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}$ છે.
માગેલ સમતલનો અભિલંબ $\vec{n} = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & -2 \\ 1 & 2 & -3 \end{vmatrix} = \hat{i}(-9 + 4) - \hat{j}(-6 + 2) + \hat{k}(4 - 3) = -5\hat{i} + 4\hat{j} + \hat{k}$.
બિંદુ $(1, -1, 2)$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ $\vec{n} = -5\hat{i} + 4\hat{j} + \hat{k}$ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ $\vec{r} \cdot \vec{n} = \vec{a} \cdot \vec{n}$ છે.
અહીં $\vec{a} \cdot \vec{n} = (1\hat{i} - 1\hat{j} + 2\hat{k}) \cdot (-5\hat{i} + 4\hat{j} + \hat{k}) = -5 - 4 + 2 = -7$.
તેથી,સમતલનું સદિશ સમીકરણ $\vec{r} \cdot (-5\hat{i} + 4\hat{j} + \hat{k}) = -7$ થાય.

(A) સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ ઉગમબિંદુ $O(0, 0, 0)$ થી લંબપાદ $M(-1, -2, 2)$ સુધીનો સદિશ છે.
તેથી,$\vec{n} = \vec{OM} = -\hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}$.
બિંદુ $M$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ $\vec{r} \cdot \vec{n} = \vec{OM} \cdot \vec{n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$\vec{OM} \cdot \vec{n} = (-1, -2, 2) \cdot (-1, -2, 2) = (-1)^2 + (-2)^2 + (2)^2 = 1 + 4 + 4 = 9$.
તેથી,સમતલનું સદિશ સમીકરણ $\vec{r} \cdot(-\hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}) = 9$ છે.

(C) ધારો કે સમતલનું સમીકરણ $a(x - 1) + b(y + 2) + c(z - 1) = 0$ છે,જ્યાં $\vec{n} = (a, b, c)$ એ સમતલનો અભિલંબ સદિશ છે.
આપેલ સમતલો $2x - 2y + z = 0$ અને $x - y + 2z = 4$ ને લંબ હોવાથી,અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ આપેલ સમતલોના અભિલંબ સદિશો $\vec{n_1} = (2, -2, 1)$ અને $\vec{n_2} = (1, -1, 2)$ ના સદિશ ગુણાકારને સમાંતર છે.
$\vec{n} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -2 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-4 + 1) - \hat{j}(4 - 1) + \hat{k}(-2 + 2) = -3\hat{i} - 3\hat{j} + 0\hat{k}$.
આપણે અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (1, 1, 0)$ લઈ શકીએ.
સમતલનું સમીકરણ $1(x - 1) + 1(y + 2) + 0(z - 1) = 0$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x + y + 1 = 0$ થાય છે.
સમતલ $x + y + 1 = 0$ થી બિંદુ $(1, 2, 2)$ નું અંતર $d = \frac{|1 + 2 + 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$ એકમ થાય છે.

(C) $XY$-સમતલનું સમીકરણ $z = 0$ છે.
$XY$-સમતલને સમાંતર કોઈપણ સમતલ $z = k$ સ્વરૂપમાં હોય છે,જ્યાં $k$ એ અચળાંક છે.
આ સમતલ બિંદુ $A(7, 8, 6)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,સમતલનો $z$-યામ એ બિંદુ $A$ ના $z$-યામ જેટલો જ હોવો જોઈએ.
તેથી,$k = 6$.
આમ,સમતલનું સમીકરણ $z = 6$ છે.

(C) સમતલ $A(2,1,2)$ અને $B(1,2,1)$ માંથી પસાર થાય છે. સદિશ $\vec{AB} = (1-2, 2-1, 1-2) = (-1, 1, -1)$ છે.
રેખા $2x = 3y$ અને $z = 1$ દ્વારા આપવામાં આવી છે. આને $\frac{x}{3} = \frac{y}{2}$ અને $z = 1$ તરીકે લખી શકાય છે. રેખાનો દિશા સદિશ $\vec{v} = (3, 2, 0)$ છે.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 1 & -1 \\ 3 & 2 & 0 \end{vmatrix} = 2\hat{i} - 3\hat{j} - 5\hat{k}$ મળે છે.
સમતલનું સમીકરણ $2(x-2) - 3(y-1) - 5(z-2) = 0$ એટલે કે $2x - 3y - 5z + 9 = 0$ છે.
વિકલ્પો તપાસતા: $(-2, 0, 1)$ બિંદુ માટે $2(-2) - 3(0) - 5(1) + 9 = -4 - 5 + 9 = 0$ થાય છે. તેથી,સમતલ $(-2, 0, 1)$ માંથી પસાર થાય છે.

(B) સમતલોના અભિલંબ સદિશો $\vec{n_1} = \hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$ અને $\vec{n_2} = \hat{i} + \alpha\hat{j} + 2\hat{k}$ છે.
સમતલો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે $\cos \theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|}$ થાય.
આપેલ છે કે $\cos \theta = \frac{1}{14}$,તેથી $\frac{|(1)(1) + (-2)(\alpha) + (3)(2)|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 3^2} \sqrt{1^2 + \alpha^2 + 2^2}} = \frac{1}{14}$.
$\frac{|7 - 2\alpha|}{\sqrt{14} \sqrt{\alpha^2 + 5}} = \frac{1}{14}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{(7 - 2\alpha)^2}{14(\alpha^2 + 5)} = \frac{1}{196}$.
$\frac{49 - 28\alpha + 4\alpha^2}{\alpha^2 + 5} = \frac{1}{14}$.
$14(4\alpha^2 - 28\alpha + 49) = \alpha^2 + 5$.
$56\alpha^2 - 392\alpha + 686 = \alpha^2 + 5$.
$55\alpha^2 - 392\alpha + 681 = 0$.
ધારો કે બીજ $\alpha_1$ અને $\alpha_2$ છે. તફાવત $|\alpha_1 - \alpha_2| = \frac{\sqrt{D}}{|a|} = \frac{\sqrt{(-392)^2 - 4(55)(681)}}{55}$.
$D = 153664 - 149820 = 3844$.
$\sqrt{D} = 62$.
તફાવત $= \frac{62}{55}$.

(A) સમતલનું સમીકરણ પ્રચલિત સ્વરૂપમાં $\vec{r} = \vec{a} + \lambda\vec{b} + \mu\vec{c}$ આપેલ છે,જ્યાં $\vec{a} = \hat{i} - \hat{j}$,$\vec{b} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$,અને $\vec{c} = \hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$ છે.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ શોધવા માટે,આપણે સદિશ ગુણાકાર $\vec{n} = \vec{b} \times \vec{c}$ ગણીએ:
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(3 - (-2)) - \hat{j}(3 - 1) + \hat{k}(-2 - 1) = 5\hat{i} - 2\hat{j} - 3\hat{k}$.
સમતલનું કાર્તેઝિય સ્વરૂપ $(\vec{r} - \vec{a}) \cdot \vec{n} = 0$ છે,જે $\vec{r} \cdot \vec{n} = \vec{a} \cdot \vec{n}$ તરીકે લખી શકાય.
$\vec{a} \cdot \vec{n} = (\hat{i} - \hat{j}) \cdot (5\hat{i} - 2\hat{j} - 3\hat{k}) = (1)(5) + (-1)(-2) + (0)(-3) = 5 + 2 = 7$.
તેથી,સમતલનું સમીકરણ $5x - 2y - 3z = 7$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ થી સમતલ $Ax + By + Cz = D$ નું અંતર $d = \frac{|D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$A = 5, B = -2, C = -3$,અને $D = 7$ છે.
$d = \frac{|7|}{\sqrt{5^2 + (-2)^2 + (-3)^2}} = \frac{7}{\sqrt{25 + 4 + 9}} = \frac{7}{\sqrt{38}}$ એકમ.

(A) રેખા બિંદુઓ $A(1,3,2)$ અને $B(1,2,1)$ માંથી પસાર થાય છે. રેખાનો દિશા સદિશ $\vec{v} = B - A = (1-1, 2-3, 1-2) = (0, -1, -1)$ છે.
સમતલ બિંદુ $P(2,1,-1)$ અને $A(1,3,2)$ માંથી પસાર થાય છે. સદિશ $\vec{PA} = (1-2, 3-1, 2-(-1)) = (-1, 2, 3)$ છે.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \vec{v} \times \vec{PA} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(-3+2) - \hat{j}(0-1) + \hat{k}(0-1) = -\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ છે.
સમતલનું સમીકરણ $-1(x-2) + 1(y-1) - 1(z+1) = 0$ છે,જેનું સાદું રૂપ $-x+2+y-1-z-1 = 0$ એટલે કે $-x+y-z = 0$ અથવા $x-y+z = 0$ થાય છે.
આ સમતલ ઉગમબિંદુ $(0,0,0)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,અંતઃખંડો $p, q, r$ બધા $0$ છે.
તેથી,$p+q+r = 0+0+0 = 0$.

(A) બિંદુ $P(x_1, y_1, z_1)$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (a, b, c)$ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ $a(x-x_1) + b(y-y_1) + c(z-z_1) = 0$ છે.
અહીં,ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ થી સમતલ પરના લંબનો લંબપાદ $P(2, -1, 4)$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે સદિશ $\vec{OP} = (2, -1, 4)$ એ સમતલનો અભિલંબ સદિશ છે.
તેથી,$a = 2, b = -1, c = 4$.
સમતલનું સમીકરણ $2(x-2) - 1(y-(-1)) + 4(z-4) = 0$ થશે.
$2(x-2) - 1(y+1) + 4(z-4) = 0$.
$2x - 4 - y - 1 + 4z - 16 = 0$.
$2x - y + 4z - 21 = 0$.

(C) આપેલ સમીકરણ $x^2 - 8x + 12 = 0$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા,આપણને $(x - 6)(x - 2) = 0$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $x = 6$ અથવા $x = 2$.
$3$-પરિમાણીય અવકાશમાં,સમીકરણ $x = k$ એ $YZ$-સમતલને સમાંતર સમતલ દર્શાવે છે.
તેથી,$x = 6$ અને $x = 2$ એ બે અલગ-અલગ સમતલો દર્શાવે છે,જે બંને $YZ$-સમતલને સમાંતર છે.

(D) બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ થી સમતલ $Ax + By + Cz + D = 0$ પરના લંબની લંબાઈ શોધવાનું સૂત્ર $d = \frac{|Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ છે.
આપેલ બિંદુ $P = (1, 1.5, 2)$ અને સમતલ $2x - 2y + 4z + 17 = 0$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$d = \frac{|2(1) - 2(1.5) + 4(2) + 17|}{\sqrt{2^2 + (-2)^2 + 4^2}}$
$d = \frac{|2 - 3 + 8 + 17|}{\sqrt{4 + 4 + 16}}$
$d = \frac{|24|}{\sqrt{24}}$
$d = \sqrt{24} = \sqrt{4 \times 6} = 2\sqrt{6}$ એકમ.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) સમતલનું સમીકરણ $\frac{x}{2} - \frac{y}{3} - \frac{z}{5} = 1$ છે.
તેને અંતઃખંડ સ્વરૂપ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ સાથે સરખાવતા,આપણને અક્ષો પરના અંતઃખંડો $a = 2, b = -3, c = -5$ મળે છે.
આમ,બિંદુઓના યામ $A(2, 0, 0)$,$B(0, -3, 0)$ અને $C(0, 0, -5)$ છે.
શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1, z_1), (x_2, y_2, z_2)$ અને $(x_3, y_3, z_3)$ ધરાવતા ત્રિકોણ $ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \sqrt{(ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\text{Area} = \frac{1}{2} \sqrt{(2 \times -3)^2 + (-3 \times -5)^2 + (-5 \times 2)^2}$.
$\text{Area} = \frac{1}{2} \sqrt{(-6)^2 + (15)^2 + (-10)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{36 + 225 + 100} = \frac{1}{2} \sqrt{361} = \frac{19}{2}$ ચોરસ એકમ.

(B) સમતલનું સમીકરણ $\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{6} = 1$ છે.
સમતલ યામ અક્ષોને $A, B, C$ બિંદુઓમાં છેદે છે.
$y=0, z=0$ લેતા,$x=2$ મળે,તેથી $A = (2, 0, 0)$.
$x=0, z=0$ લેતા,$y=3$ મળે,તેથી $B = (0, 3, 0)$.
$x=0, y=0$ લેતા,$z=6$ મળે,તેથી $C = (0, 0, 6)$.
બાજુઓ દર્શાવતા સદિશો $\vec{AB} = B - A = (-2, 3, 0)$ અને $\vec{AC} = C - A = (-2, 0, 6)$ છે.
ત્રિકોણ $ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$ દ્વારા મળે છે.
સદિશ ગુણાકારની ગણતરી: $\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -2 & 3 & 0 \\ -2 & 0 & 6 \end{vmatrix} = 18\hat{i} + 12\hat{j} + 6\hat{k}$.
તેનું માન $\sqrt{18^2 + 12^2 + 6^2} = \sqrt{504} = 6\sqrt{14}$ છે.
આમ,ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times 6\sqrt{14} = 3\sqrt{14}$ ચોરસ એકમ થાય.

(B) ધારો કે બિંદુ $P(x_1, y_1, z_1) = (-1, 2, -4)$ છે અને સમતલ $ax + by + cz + d = 0$ છે,જ્યાં $a = 1, b = -1, c = -2, d = 1$ છે.
ધારો કે પ્રતિબિંબ $P'(x', y', z')$ છે.
સમતલ $ax + by + cz + d = 0$ માં બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ ના પ્રતિબિંબ માટેનું સૂત્ર:
$\frac{x' - x_1}{a} = \frac{y' - y_1}{b} = \frac{z' - z_1}{c} = -2 \frac{ax_1 + by_1 + cz_1 + d}{a^2 + b^2 + c^2}$.
પહેલા $ax_1 + by_1 + cz_1 + d$ ની કિંમત શોધો:
$1(-1) - 1(2) - 2(-4) + 1 = -1 - 2 + 8 + 1 = 6$.
હવે $a^2 + b^2 + c^2$ ની કિંમત શોધો:
$1^2 + (-1)^2 + (-2)^2 = 1 + 1 + 4 = 6$.
હવે આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{x' - (-1)}{1} = \frac{y' - 2}{-1} = \frac{z' - (-4)}{-2} = -2 \frac{6}{6} = -2$.
$x', y', z'$ માટે ઉકેલતા:
$x' + 1 = -2 \implies x' = -3$.
$y' - 2 = 2 \implies y' = 4$.
$z' + 4 = 4 \implies z' = 0$.
આમ,પ્રતિબિંબ $(-3, 4, 0)$ છે.

(A) ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ થી સમતલ પરના લંબનો લંબપાદ $P(-1, -1, 2)$ છે.
આ બિંદુ $P$ સમતલ પર આવેલું છે અને સદિશ $\vec{OP} = -\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ એ સમતલનો અભિલંબ છે.
બિંદુ $\vec{a}$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ $\vec{n}$ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ $(\vec{r} - \vec{a}) \cdot \vec{n} = 0$ છે.
અહીં,$\vec{a} = -\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ અને $\vec{n} = -\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે: $((x+1)\hat{i} + (y+1)\hat{j} + (z-2)\hat{k}) \cdot (-\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}) = 0$.
$-(x+1) - (y+1) + 2(z-2) = 0$.
$-x - 1 - y - 1 + 2z - 4 = 0$.
$-x - y + 2z - 6 = 0$.
$-1$ વડે ગુણતા,આપણને $x + y - 2z + 6 = 0$ મળે છે.

(A) આપેલ સમતલોના અભિલંબ સદિશો $\vec{n_1} = \hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ અને $\vec{n_2} = 3\hat{i} + 3\hat{j} + 2\hat{k}$ છે.
માગેલ સમતલ બંનેને લંબ હોવાથી,તેનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \vec{n_1} \times \vec{n_2}$ થશે.
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 2 \\ 3 & 3 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(4 - 6) - \hat{j}(2 - 6) + \hat{k}(3 - 6) = -2\hat{i} + 4\hat{j} - 3\hat{k}$.
આપણે અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = 2\hat{i} - 4\hat{j} + 3\hat{k}$ લઈ શકીએ.
બિંદુ $(x_0, y_0, z_0) = (1, 2, 1)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0$ છે.
$2(x - 1) - 4(y - 2) + 3(z - 1) = 0$.
$2x - 2 - 4y + 8 + 3z - 3 = 0$.
$2x - 4y + 3z + 3 = 0$.

(A) ત્રણ બિંદુઓ $(x_1, y_1, z_1)$,$(x_2, y_2, z_2)$ અને $(x_3, y_3, z_3)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ નિશ્ચાયક દ્વારા મળે છે:
$\begin{vmatrix} x-x_1 & y-y_1 & z-z_1 \\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1 \end{vmatrix} = 0$.
બિંદુઓ $(2,1,0)$,$(3,-2,4)$ અને $(1,-3,3)$ મૂકતા:
$\begin{vmatrix} x-2 & y-1 & z \\ 1 & -3 & 4 \\ -1 & -4 & 3 \end{vmatrix} = 0$.
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$(x-2)(-9 + 16) - (y-1)(3 + 4) + z(-4 - 3) = 0$
$7(x-2) - 7(y-1) - 7z = 0 \implies x - y - z - 1 = 0$.
બિંદુ $(x_0, y_0, z_0)$ નું સમતલ $ax + by + cz + d = 0$ થી અંતર $d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$ છે.
બિંદુ $(5,3,-1)$ અને સમતલ $x - y - z - 1 = 0$ માટે:
$d = \frac{|1(5) - 1(3) - 1(-1) - 1|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2 + (-1)^2}} = \frac{|5 - 3 + 1 - 1|}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$ એકમ.

(A) ધારો કે સમતલનું સમીકરણ $a(x-1) + by + cz = 0$ છે,જે $ax + by + cz - a = 0$ તરીકે લખી શકાય.
તે $(0,1,0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $a(0) + b(1) + c(0) - a = 0$,જેનો અર્થ છે કે $b = a$.
તેથી સમીકરણ $ax + ay + cz - a = 0$ અથવા $x + y + \frac{c}{a}z - 1 = 0$ બને છે.
ધારો કે $k = \frac{c}{a}$,તો અભિલંબ સદિશ $\vec{n_1} = (1, 1, k)$ છે.
સમતલ $x+y-3=0$ નો અભિલંબ $\vec{n_2} = (1, 1, 0)$ છે.
બંને સમતલ વચ્ચેનો ખૂણો $45^{\circ}$ છે,તેથી $\cos(45^{\circ}) = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|}$.
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{|1+1+0|}{\sqrt{1^2+1^2+k^2} \sqrt{1^2+1^2+0^2}} = \frac{2}{\sqrt{2+k^2} \sqrt{2}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{1}{2} = \frac{4}{2(2+k^2)}$,જે $2+k^2 = 4$ આપે છે,તેથી $k^2 = 2$,એટલે કે $k = \pm \sqrt{2}$.
$k$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $x + y \pm \sqrt{2}z - 1 = 0$ મળે છે.

(C) ત્રણ બિંદુઓ $(x_1, y_1, z_1)$,$(x_2, y_2, z_2)$,અને $(x_3, y_3, z_3)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ નિશ્ચાયક દ્વારા નીચે મુજબ મળે છે:
$\left|\begin{array}{ccc} x-x_1 & y-y_1 & z-z_1 \\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1 \end{array}\right| = 0$
આપેલ બિંદુઓ $(3,1,1)$,$(1,2,3)$,અને $(-1,4,2)$ મૂકતા:
$\left|\begin{array}{ccc} x-3 & y-1 & z-1 \\ 1-3 & 2-1 & 3-1 \\ -1-3 & 4-1 & 2-1 \end{array}\right| = 0$
$\Rightarrow \left|\begin{array}{ccc} x-3 & y-1 & z-1 \\ -2 & 1 & 2 \\ -4 & 3 & 1 \end{array}\right| = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$(x-3)(1-6) - (y-1)(-2+8) + (z-1)(-6+4) = 0$
$-5(x-3) - 6(y-1) - 2(z-1) = 0$
$-5x + 15 - 6y + 6 - 2z + 2 = 0$
$-5x - 6y - 2z + 23 = 0$
$-1$ વડે ગુણતા:
$5x + 6y + 2z - 23 = 0$

(B) ધારો કે $M$ એ રેખાખંડ $PQ$ નું મધ્યબિંદુ છે.
$M$ ના યામ $\left(\frac{1+3}{2}, \frac{2+4}{2}, \frac{5+3}{2}\right) = (2, 3, 4)$ છે.
રેખા $PQ$ ના દિકગુણોત્તર $(3-1, 4-2, 3-5) = (2, 2, -2)$ છે.
સમતલ $PQ$ ને લંબ હોવાથી,સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = 2\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}$ છે.
$(x_0, y_0, z_0)$ માંથી પસાર થતા અને $(a, b, c)$ અભિલંબ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ $a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0) = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $2(x-2) + 2(y-3) - 2(z-4) = 0$ મળે છે.
$2$ વડે ભાગતા,આપણને $(x-2) + (y-3) - (z-4) = 0$ મળે છે.
$x + y - z - 2 - 3 + 4 = 0$.
$x + y - z - 1 = 0$.

(B) આપેલ સમતલ બિંદુ $(1,1,1)$ માંથી પસાર થાય છે અને તે $2x-y-2z=5$ અને $3x-6y+2z=7$ ને લંબ છે.
આ સમતલોના અભિલંબ સદિશો $\vec{n_1} = 2\hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k}$ અને $\vec{n_2} = 3\hat{i} - 6\hat{j} + 2\hat{k}$ છે.
માગેલ સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \vec{n_1} \times \vec{n_2}$ થશે.
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -1 & -2 \\ 3 & -6 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-2-12) - \hat{j}(4+6) + \hat{k}(-12+3) = -14\hat{i} - 10\hat{j} - 9\hat{k}$.
સમતલનું સમીકરણ $a(x-x_1) + b(y-y_1) + c(z-z_1) = 0$ મુજબ:
$-14(x-1) - 10(y-1) - 9(z-1) = 0$.
$-14x + 14 - 10y + 10 - 9z + 9 = 0$.
$-14x - 10y - 9z + 33 = 0$.
તેથી,$14x + 10y + 9z = 33$.

(D) $(1, -2, 1)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $a(x - 1) + b(y + 2) + c(z - 1) = 0$ છે.
સમતલ એ $2x - 2y + z = 0$ અને $x - y + 2z = 4$ ને લંબ હોવાથી,તેનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (a, b, c)$ એ $\vec{n_1} = (2, -2, 1)$ અને $\vec{n_2} = (1, -1, 2)$ ને લંબ છે.
તેથી,$\vec{n} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -2 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-4 + 1) - \hat{j}(4 - 1) + \hat{k}(-2 + 2) = -3\hat{i} - 3\hat{j} + 0\hat{k}$.
આપણે અભિલંબ સદિશ $(1, 1, 0)$ લઈ શકીએ છીએ.
સમતલનું સમીકરણ $1(x - 1) + 1(y + 2) + 0(z - 1) = 0$ થાય,જેનું સાદું રૂપ $x + y + 1 = 0$ છે.
બિંદુ $(1, 2, 2)$ થી સમતલ $x + y + 0z + 1 = 0$ નું અંતર $d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} = \frac{|1(1) + 1(2) + 0(2) + 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2}} = \frac{|1 + 2 + 1|}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$ એકમ થાય.

(C) ધારો કે બિંદુ $(x_1, y_1, z_1) = (-1, 2, -3)$ છે.
બે રેખાઓના દિશા ગુણોત્તર $(a_1, b_1, c_1) = (3, 2, -4)$ અને $(a_2, b_2, c_2) = (2, -3, 2)$ છે.
બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ માંથી પસાર થતા અને સદિશો $\vec{b_1} = (a_1, b_1, c_1)$ અને $\vec{b_2} = (a_2, b_2, c_2)$ ને સમાંતર સમતલનું સમીકરણ નિશ્ચાયક દ્વારા મળે છે:
$\begin{vmatrix} x - x_1 & y - y_1 & z - z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{vmatrix} = 0$
કિંમતો મૂકતા:
$\begin{vmatrix} x + 1 & y - 2 & z + 3 \\ 3 & 2 & -4 \\ 2 & -3 & 2 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$(x + 1)(2(2) - (-4)(-3)) - (y - 2)(3(2) - (-4)(2)) + (z + 3)(3(-3) - 2(2)) = 0$
$(x + 1)(4 - 12) - (y - 2)(6 + 8) + (z + 3)(-9 - 4) = 0$
$-8(x + 1) - 14(y - 2) - 13(z + 3) = 0$
$-8x - 8 - 14y + 28 - 13z - 39 = 0$
$-8x - 14y - 13z - 19 = 0$
$-1$ વડે ગુણતા,આપણને $8x + 14y + 13z + 19 = 0$ મળે છે.

(C) $(2,1,0)$,$(4,1,1)$ અને $(5,0,1)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ નિશ્ચાયકની મદદથી:
$\begin{vmatrix} x-2 & y-1 & z-0 \\ 4-2 & 1-1 & 1-0 \\ 5-2 & 0-1 & 1-0 \end{vmatrix} = 0$
$\Rightarrow \begin{vmatrix} x-2 & y-1 & z \\ 2 & 0 & 1 \\ 3 & -1 & 1 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$(x-2)(0 - (-1)) - (y-1)(2 - 3) + z(-2 - 0) = 0$
$(x-2)(1) - (y-1)(-1) - 2z = 0$
$x - 2 + y - 1 - 2z = 0$
$x + y - 2z = 3$
ધારો કે $R'(x, y, z)$ એ સમતલ $x + y - 2z - 3 = 0$ ની સાપેક્ષે $R(2, 1, 6)$ નું પ્રતિબિંબ છે.
પ્રતિબિંબ શોધવાનું સૂત્ર:
$\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c} = -2 \frac{ax_1 + by_1 + cz_1 + d}{a^2 + b^2 + c^2}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{x-2}{1} = \frac{y-1}{1} = \frac{z-6}{-2} = -2 \frac{2 + 1 - 2(6) - 3}{1^2 + 1^2 + (-2)^2}$
$\frac{x-2}{1} = \frac{y-1}{1} = \frac{z-6}{-2} = -2 \frac{3 - 12 - 3}{6} = 4$
દરેક ભાગને $4$ સાથે સરખાવતા:
$x - 2 = 4 \Rightarrow x = 6$
$y - 1 = 4 \Rightarrow y = 5$
$z - 6 = -8 \Rightarrow z = -2$
તેથી,પ્રતિબિંબ $R'$ એ $(6, 5, -2)$ છે.