Types of Relations Questions in Gujarati

(C) $A \times B$ પરના સંબંધ $R$ માટે,$(a, b) R (c, d)$ ત્યારે જ શક્ય છે જો $3ad - 7bc$ બેકી સંખ્યા હોય.
$1$. સ્વવાચકતા: તપાસો કે $(a, b) R (a, b)$ શક્ય છે કે નહીં.
$3ab - 7ba = 3ab - 7ab = -4ab$. કારણ કે $-4ab$ એ કોઈપણ $a \in A, b \in B$ માટે હંમેશા બેકી સંખ્યા છે,તેથી સંબંધ સ્વવાચક છે.
$2$. સંમિતતા: જો $(a, b) R (c, d)$ સત્ય હોય,તો $3ad - 7bc$ બેકી સંખ્યા છે.
આપણે તપાસવું છે કે શું $(c, d) R (a, b)$ સત્ય છે,એટલે કે $3cb - 7da$ બેકી સંખ્યા છે.
નોંધો કે $3cb - 7da = -(3ad - 7bc)$. જો $3ad - 7bc$ બેકી હોય,તો $-(3ad - 7bc)$ પણ બેકી જ હોય. તેથી,સંબંધ સંમિત છે.
$3$. પરંપરિતતા: તપાસો કે શું $(a, b) R (c, d)$ અને $(c, d) R (e, f)$ પરથી $(a, b) R (e, f)$ મળે છે.
ધારો કે $(a, b) = (3, 4)$,$(c, d) = (6, 4)$,અને $(e, f) = (3, 1)$.
$(3, 4) R (6, 4)$ માટે: $3(3)(4) - 7(4)(6) = 36 - 168 = -132$ (બેકી).
$(6, 4) R (3, 1)$ માટે: $3(6)(1) - 7(4)(3) = 18 - 84 = -66$ (બેકી).
$(3, 4) R (3, 1)$ માટે: $3(3)(1) - 7(4)(3) = 9 - 84 = -75$ (એકી).
કારણ કે $(3, 4) R (6, 4)$ અને $(6, 4) R (3, 1)$ સત્ય છે,પરંતુ $(3, 4) R (3, 1)$ અસત્ય છે,તેથી સંબંધ પરંપરિત નથી.
તેથી,સંબંધ સ્વવાચક અને સંમિત છે પણ પરંપરિત નથી.

(B) સંબંધ $R$ એ $A \times B$ પર એવી રીતે વ્યાખ્યાયિત છે કે $(a_1, b_1) R (a_2, b_2)$ જો $a_1 + a_2 = b_1 + b_2$ હોય,જ્યાં $a_1, a_2 \in A$ અને $b_1, b_2 \in B$.
શરત $a_1 + a_2 = b_1 + b_2$ ને $a_1 - b_1 = b_2 - a_2$ તરીકે લખી શકાય છે.
ધારો કે $S = \{a - b : a \in A, b \in B\}$.
તફાવત $a - b$ ની શક્ય કિંમતો:
$2-4 = -2, 2-5 = -3, 2-6 = -4, 2-8 = -6$
$3-4 = -1, 3-5 = -2, 3-6 = -3, 3-8 = -5$
$6-4 = 2, 6-5 = 1, 6-6 = 0, 6-8 = -2$
$7-4 = 3, 7-5 = 2, 7-6 = 1, 7-8 = -1$
દરેક તફાવત $k = a - b$ ની આવૃત્તિ:
$k = -6: 1$ (જોડ $(2,8)$)
$k = -5: 1$ (જોડ $(3,8)$)
$k = -4: 1$ (જોડ $(2,6)$)
$k = -3: 2$ (જોડ $(2,5), (3,6)$)
$k = -2: 3$ (જોડ $(2,4), (3,5), (6,8)$)
$k = -1: 2$ (જોડ $(3,4), (7,8)$)
$k = 0: 1$ (જોડ $(6,6)$)
$k = 1: 2$ (જોડ $(6,5), (7,6)$)
$k = 2: 2$ (જોડ $(6,4), (7,5)$)
$k = 3: 1$ (જોડ $(7,4)$)
$R$ માં ઘટકોની સંખ્યા આ આવૃત્તિઓના વર્ગોનો સરવાળો છે: $1^2 + 1^2 + 1^2 + 2^2 + 3^2 + 2^2 + 1^2 + 2^2 + 2^2 + 1^2 = 30$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $25$ છે.

(C) ગણ $A$ પરનો સામ્ય સંબંધ એ ગણ $A$ ના વિભાજનને અનુરૂપ છે. $n$ ઘટકો ધરાવતા ગણ પરના સામ્ય સંબંધોની સંખ્યા બેલ સંખ્યા $B_n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગણ $A = \{1, 2, 3\}$ માટે,ઘટકોની સંખ્યા $n = 3$ છે.
$\{1, 2, 3\}$ ના વિભાજનો નીચે મુજબ છે:
$1$. $\{\{1\}, \{2\}, \{3\}\}$ (તદેવ સંબંધ $R = \{(1,1), (2,2), (3,3)\}$ ને અનુરૂપ છે)
$2$. $\{\{1, 2\}, \{3\}\}$ (સંબંધ $R = \{(1,1), (2,2), (3,3), (1,2), (2,1)\}$ ને અનુરૂપ છે)
$3$. $\{\{1, 3\}, \{2\}\}$ (સંબંધ $R = \{(1,1), (2,2), (3,3), (1,3), (3,1)\}$ ને અનુરૂપ છે)
$4$. $\{\{2, 3\}, \{1\}\}$ (સંબંધ $R = \{(1,1), (2,2), (3,3), (2,3), (3,2)\}$ ને અનુરૂપ છે)
$5$. $\{\{1, 2, 3\}\}$ (સાર્વત્રિક સંબંધ $R = A \times A$ ને અનુરૂપ છે)
આમ,કુલ $5$ શક્ય સામ્ય સંબંધો છે. આ બધા અરિક્ત હોવાથી,કુલ સંખ્યા $5$ છે.

(A) ધારો કે $R$ એ $A = \{1, 2, 3\}$ પરનો સંબંધ છે.
$R$ સ્વવાચક હોવાથી,$(1, 1), (2, 2), (3, 3) \in R$.
આપેલ છે કે $(1, 2) \in R$ અને $(2, 3) \in R$,તેથી પરંપરિતતાના નિયમ મુજબ $(1, 3) \in R$.
આમ,$R$ માં ઓછામાં ઓછો ગણ $S = \{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 3), (1, 3)\}$ હોવો જોઈએ.
આ ગણ $S$ પહેલેથી જ સ્વવાચક અને પરંપરિત છે. તે સંમિત નથી કારણ કે $(1, 2) \in S$ પરંતુ $(2, 1) \notin S$.
આપણે $A \times A \setminus S = \{(2, 1), (3, 2), (3, 1)\}$ માંથી અન્ય ઘટકો ઉમેરી શકીએ છીએ.
પરંપરિતતા જાળવી રાખીને અને સંબંધ સંમિત ન બને તે રીતે તપાસતા,આપણને $3$ સંબંધો મળે છે.

(D) કોઈપણ ગણ $A$ પરના સંબંધ $R$ ને સામ્ય સંબંધ બનવા માટે તે સ્વવાચક,સંમિત અને પરંપરિત હોવો જોઈએ.
આપેલ છે $A = \{1, 2, 3, 4\}$ અને $R = \{(1,2), (2,3), (3,3)\}$.
$1$. સ્વવાચકતા: $R$ સ્વવાચક હોવા માટે $(1,1), (2,2), (3,3), (4,4)$ એ $R$ માં હોવા જોઈએ. $(3,3)$ પહેલેથી જ છે,તેથી આપણે $(1,1), (2,2), (4,4)$ ઉમેરવા પડશે.
$2$. સંમિતતા: $(1,2) \in R$ હોવાથી,આપણે $(2,1)$ ઉમેરવા પડશે. $(2,3) \in R$ હોવાથી,આપણે $(3,2)$ ઉમેરવા પડશે.
$3$. પરંપરિતતા: $(1,2) \in R$ અને $(2,3) \in R$ હોવાથી,$(1,3) \in R$ હોવું જોઈએ. $(1,3) \in R$ હોવાથી,સંમિતતા માટે આપણે $(3,1)$ ઉમેરવા પડશે.
હવે,ઉમેરેલા ઘટકો સાથે પરંપરિતતા તપાસતા: $(2,1) \in R$ અને $(1,3) \in R \implies (2,3) \in R$ (પહેલેથી છે). $(3,2) \in R$ અને $(2,1) \in R \implies (3,1) \in R$ (પહેલેથી ઉમેરેલ છે). $(1,2) \in R$ અને $(2,1) \in R \implies (1,1) \in R$ (પહેલેથી ઉમેરેલ છે).
આમ,ઉમેરવામાં આવેલા ઘટકો $(1,1), (2,2), (4,4), (2,1), (3,2), (1,3), (3,1)$ છે.
કુલ ઉમેરેલા ઘટકોની સંખ્યા = $7$.

(B) વિધાન-$I$:
સ્વવાચક: $(a_1, b_1) R (a_1, b_1) \Rightarrow b_1 = b_1$,જે સત્ય છે.
સંમિત: જો $(a_1, b_1) R (a_2, b_2)$,તો $b_1 = b_2$,જેનો અર્થ છે કે $b_2 = b_1$,તેથી $(a_2, b_2) R (a_1, b_1)$ સત્ય છે.
પરંપરિત: જો $(a_1, b_1) R (a_2, b_2)$ અને $(a_2, b_2) R (a_3, b_3)$,તો $b_1 = b_2$ અને $b_2 = b_3$,જેનો અર્થ છે કે $b_1 = b_3$,તેથી $(a_1, b_1) R (a_3, b_3)$ સત્ય છે.
આમ,સંબંધ સ્વવાચક,સંમિત અને પરંપરિત હોવાથી તે સામ્ય સંબંધ છે. તેથી,વિધાન-$I$ સાચું છે.
વિધાન-$II$: ગણ $S = \{(x, y) \in X : (x, y) R (a, b)\} = \{(x, y) \in X : y = b\}$. આ એક આડી રેખા $y = b$ દર્શાવે છે,જે $x$-અક્ષને સમાંતર છે,$y = x$ રેખાને નહીં. તેથી,વિધાન-$II$ ખોટું છે.

(C) આપેલ સંબંધ $R = \{(x, y) : x, y \in \mathbb{Z} \text{ અને } x + y \text{ યુગ્મ છે} \}$.
$1$. સ્વવાચકતા: કોઈપણ $x \in \mathbb{Z}$ માટે,$x + x = 2x$,જે હંમેશા યુગ્મ પૂર્ણાંક છે. તેથી,દરેક $x \in \mathbb{Z}$ માટે $(x, x) \in R$. આમ,$R$ સ્વવાચક છે.
$2$. સંમિતતા: જો $(x, y) \in R$ હોય,તો $x + y$ યુગ્મ છે. $x + y = y + x$ હોવાથી,$y + x$ પણ યુગ્મ થાય. તેથી,$(y, x) \in R$. આમ,$R$ સંમિત છે.
$3$. પરંપરિતતા: જો $(x, y) \in R$ અને $(y, z) \in R$ હોય,તો $x + y$ યુગ્મ છે અને $y + z$ યુગ્મ છે. બે યુગ્મ સંખ્યાઓનો સરવાળો યુગ્મ હોય છે,તેથી $(x + y) + (y + z) = x + z + 2y$ યુગ્મ થાય. $2y$ યુગ્મ હોવાથી,$x + z$ પણ યુગ્મ થાય. તેથી,$(x, z) \in R$. આમ,$R$ પરંપરિત છે.
સંબંધ સ્વવાચક,સંમિત અને પરંપરિત હોવાથી,તે એક સામ્ય સંબંધ છે.

(A) અંતરાલ $[0, \frac{\pi}{2})$ પર સંબંધ $xRy \iff \sec^2 x - \tan^2 y = 1$ આપેલ છે.
$1$. સ્વવાચક: કોઈપણ $x \in [0, \frac{\pi}{2})$ માટે,આપણે ચકાસીએ કે $xRx$ સાચું છે કે નહીં.
$\sec^2 x - \tan^2 x = 1$,જે એક પ્રમાણિત ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ છે.
તેથી,$R$ સ્વવાચક છે.
$2$. સંમિત: જો $xRy$ હોય,તો $\sec^2 x - \tan^2 y = 1$.
નિત્યસમ $\sec^2 \theta = 1 + \tan^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,$(1 + \tan^2 x) - \tan^2 y = 1 \implies \tan^2 x = \tan^2 y$.
પછી $\sec^2 y - \tan^2 x = (1 + \tan^2 y) - \tan^2 x = 1 + \tan^2 x - \tan^2 x = 1$.
તેથી,$yRx$ સાચું છે,તેથી $R$ સંમિત છે.
$3$. પરંપરિત: જો $xRy$ અને $yRz$ હોય,તો $\sec^2 x - \tan^2 y = 1$ અને $\sec^2 y - \tan^2 z = 1$.
પ્રથમ સમીકરણ પરથી,$\tan^2 x = \tan^2 y$. બીજા પરથી,$\sec^2 y = 1 + \tan^2 z$.
$\sec^2 y = 1 + \tan^2 y$ ને બીજા સમીકરણમાં મૂકતા: $1 + \tan^2 y - \tan^2 z = 1 \implies \tan^2 y = \tan^2 z$.
કારણ કે $\tan^2 x = \tan^2 y$ અને $\tan^2 y = \tan^2 z$,તેથી $\tan^2 x = \tan^2 z$.
પછી $\sec^2 x - \tan^2 z = (1 + \tan^2 x) - \tan^2 z = 1 + 0 = 1$.
તેથી,$xRz$ સાચું છે,તેથી $R$ પરંપરિત છે.
આમ,$R$ સ્વવાચક,સંમિત અને પરંપરિત હોવાથી,તે એક સામ્ય સંબંધ છે.

(B) $R = \{(f, g) : f(0) = g(1) \text{ અને } f(1) = g(0)\}$
$1.$ સ્વવાચકતા: $R$ સ્વવાચક હોવા માટે,દરેક $f \in A$ માટે $(f, f) \in R$ હોવું જોઈએ. આનો અર્થ એ થાય કે $f(0) = f(1)$ અને $f(1) = f(0)$. કારણ કે આ તમામ વિધેયો $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ માટે સાચું નથી (દા.ત.,$f(x) = x$ લો),તેથી $R$ સ્વવાચક નથી.
$2.$ સંમિતતા: જો $(f, g) \in R$,તો $f(0) = g(1)$ અને $f(1) = g(0)$. આપણે તપાસવું છે કે શું $(g, f) \in R$ છે. આ માટે $g(0) = f(1)$ અને $g(1) = f(0)$ હોવું જરૂરી છે. આ શરતો $(f, g) \in R$ ની વ્યાખ્યા જેવી જ છે. તેથી,$R$ સંમિત છે.
$3.$ પરંપરિતતા: જો $(f, g) \in R$ અને $(g, h) \in R$,તો $f(0) = g(1)$,$f(1) = g(0)$,$g(0) = h(1)$,અને $g(1) = h(0)$. $R$ પરંપરિત હોવા માટે,આપણે $(f, h) \in R$ ની જરૂર છે,જેનો અર્થ $f(0) = h(1)$ અને $f(1) = h(0)$ થાય. આપેલી શરતો પરથી,$f(0) = g(1) = h(0)$ અને $f(1) = g(0) = h(1)$. આનો અર્થ એ નથી કે $f(0) = h(1)$ અને $f(1) = h(0)$ હંમેશા સાચું હોય. ઉદાહરણ તરીકે,જો $f(0)=1, f(1)=2, g(0)=2, g(1)=1, h(0)=1, h(1)=2$ હોય,તો $(f, g) \in R$ અને $(g, h) \in R$ સાચું છે,પરંતુ $(f, h) \in R$ માટે $f(0)=h(1) \Rightarrow 1=2$ થવું જોઈએ,જે ખોટું છે. તેથી,$R$ પરંપરિત નથી.

(D) આપેલ છે $A = \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}$. શરત $0 \leq x^2 + 2y \leq 4$ છે,જેનો અર્થ છે કે $-\frac{x^2}{2} \leq y \leq 2 - \frac{x^2}{2}$.
દરેક $x \in A$ માટે,આપણે શરતનું પાલન કરતા $y \in A$ શોધીએ છીએ:
જો $x = -3, x^2 = 9$: $-4.5 \leq y \leq -2.5 \Rightarrow y = -3$. જોડી: $(-3, -3)$.
જો $x = -2, x^2 = 4$: $-2 \leq y \leq 0 \Rightarrow y = -2, -1, 0$. જોડી: $(-2, -2), (-2, -1), (-2, 0)$.
જો $x = -1, x^2 = 1$: $-0.5 \leq y \leq 1.5 \Rightarrow y = 0, 1$. જોડી: $(-1, 0), (-1, 1)$.
જો $x = 0, x^2 = 0$: $0 \leq y \leq 2 \Rightarrow y = 0, 1, 2$. જોડી: $(0, 0), (0, 1), (0, 2)$.
જો $x = 1, x^2 = 1$: $-0.5 \leq y \leq 1.5 \Rightarrow y = 0, 1$. જોડી: $(1, 0), (1, 1)$.
જો $x = 2, x^2 = 4$: $-2 \leq y \leq 0 \Rightarrow y = -2, -1, 0$. જોડી: $(2, -2), (2, -1), (2, 0)$.
જો $x = 3, x^2 = 9$: $-4.5 \leq y \leq -2.5 \Rightarrow y = -3$. જોડી: $(3, -3)$.
ગણ $R = \{(-3, -3), (-2, -2), (-2, -1), (-2, 0), (-1, 0), (-1, 1), (0, 0), (0, 1), (0, 2), (1, 0), (1, 1), (2, -2), (2, -1), (2, 0), (3, -3)\}$.
ઘટકોની ગણતરી કરતા,$l = 15$.
$R$ ને સ્વવાચક બનાવવા માટે,તેમાં દરેક $a \in A$ માટે $(a, a)$ હોવું જોઈએ. ખૂટતા ઘટકો $(-1, -1), (2, 2), (3, 3)$ છે.
આમ,$m = 3$ ઘટકો ઉમેરવાની જરૂર છે.
તેથી,$l + m = 15 + 3 = 18$.

(A) આપેલ ગણ $A = \{-2, -1, 0, 1, 2, 3\}$ છે.
સંબંધ $R$ એ $x R y \iff y = \max \{x, 1\}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
$R$ ના ઘટકોની ગણતરી:
$x = -2$ માટે,$y = \max \{-2, 1\} = 1 \implies (-2, 1) \in R$.
$x = -1$ માટે,$y = \max \{-1, 1\} = 1 \implies (-1, 1) \in R$.
$x = 0$ માટે,$y = \max \{0, 1\} = 1 \implies (0, 1) \in R$.
$x = 1$ માટે,$y = \max \{1, 1\} = 1 \implies (1, 1) \in R$.
$x = 2$ માટે,$y = \max \{2, 1\} = 2 \implies (2, 2) \in R$.
$x = 3$ માટે,$y = \max \{3, 1\} = 3 \implies (3, 3) \in R$.
તેથી,$R = \{(-2, 1), (-1, 1), (0, 1), (1, 1), (2, 2), (3, 3)\}$.
આમ,$l = 6$.
$R$ સ્વવાચક બને તે માટે,દરેક $x \in A$ માટે $(x, x) \in R$ હોવું જોઈએ. હાલમાં,$R$ માં $(1, 1), (2, 2), (3, 3)$ છે. આપણે $(-2, -2), (-1, -1), (0, 0)$ ઉમેરવાની જરૂર છે. તેથી,$m = 3$.
$R$ સંમિત બને તે માટે,જો $(x, y) \in R$ હોય,તો $(y, x) \in R$ હોવું જોઈએ. $R$ માં રહેલી જોડીઓ $(-2, 1), (-1, 1), (0, 1), (1, 1), (2, 2), (3, 3)$ છે.
સંમિતતા માટે $(1, -2), (1, -1), (1, 0)$ ઉમેરવા પડે. તેથી,$n = 3$.
તેથી,$l + m + n = 6 + 3 + 3 = 12$.

(B) સંબંધ $R$ એ $A = \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}$ પર $2x - y \in \{0, 1\}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે.
કિસ્સો $1$: $2x - y = 0 \implies y = 2x$.
$x = -1$ માટે $y = -2$; $x = 0$ માટે $y = 0$; $x = 1$ માટે $y = 2$.
જોડ: $(-1, -2), (0, 0), (1, 2)$.
કિસ્સો $2$: $2x - y = 1 \implies y = 2x - 1$.
$x = -1$ માટે $y = -3$; $x = 0$ માટે $y = -1$; $x = 1$ માટે $y = 1$; $x = 2$ માટે $y = 3$.
જોડ: $(-1, -3), (0, -1), (1, 1), (2, 3)$.
આમ,$R = \{(-1, -2), (0, 0), (1, 2), (-1, -3), (0, -1), (1, 1), (2, 3)\}$.
ઘટકોની સંખ્યા $l = 7$.
$R$ સ્વવાચક બને તે માટે,દરેક $x \in A$ માટે $(x, x) \in R$ હોવું જોઈએ. હાલમાં,ફક્ત $(0, 0)$ અને $(1, 1)$ હાજર છે. આપણે $(-3, -3), (-2, -2), (-1, -1), (2, 2), (3, 3)$ ઉમેરવાની જરૂર છે. તેથી,$m = 5$.
$R$ સંમિત બને તે માટે,જો $(x, y) \in R$ હોય,તો $(y, x)$ પણ $R$ માં હોવું જોઈએ. ઘટકો $(-1, -2), (1, 2), (-1, -3), (0, -1), (2, 3)$ છે. તેમના વ્યસ્ત $(-2, -1), (2, 1), (-3, -1), (-1, 0), (3, 2)$ છે. આમાંથી કોઈ પણ $R$ માં નથી. તેથી,આપણે $5$ ઘટકો ઉમેરવાની જરૂર છે. તેથી,$n = 5$.
તેથી,$l + m + n = 7 + 5 + 5 = 17$.

(B) ગણ $A = \{1, 2, 3\}$ છે. સંબંધ $R$ સ્વવાચક હોવા માટે તેમાં $(1, 1), (2, 2), (3, 3)$ હોવા જરૂરી છે.
આપેલ છે કે $(1, 2) \in R$. પરંપરિતતા જાળવવા માટે,જો આપણે અન્ય ઘટકો ઉમેરીએ,તો પરંપરિત ગુણધર્મ જળવાવો જોઈએ.
$R$ સ્વવાચક અને પરંપરિત હોવો જોઈએ પણ સંમિત ન હોવો જોઈએ,અને $(1, 2) \in R$ છે પણ $(2, 1) \notin R$ (સંમિતતા ટાળવા માટે),તેથી આપણે વધુમાં વધુ $6$ ઘટકો ધરાવતા સંબંધો તપાસીએ:
$1$. જો $R$ માં $4$ ઘટકો હોય: $R = \{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2)\}$. આ સ્વવાચક અને પરંપરિત છે,સંમિત નથી. ($1$ રીત)
$2$. જો $R$ માં $5$ ઘટકો હોય: આપણે ${(1, 3), (2, 3), (3, 1), (3, 2)}$ માંથી એક ઘટક ઉમેરીએ. $(1, 2)$ સાથે પરંપરિતતા જાળવવા માટે,$(2, 3)$ ઉમેરતા $(1, 3)$ મળે,અને $(3, 1)$ ઉમેરતા $(3, 2)$ મળે.
શક્ય ગણ: ${(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 3), (1, 3)}$ અને ${(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (3, 1), (3, 2)}$. ($2$ રીતો)
$3$. જો $R$ માં $6$ ઘટકો હોય: આપણે બે ઘટકો ઉમેરીએ. પરંપરિતતા અને સ્વવાચકતા જાળવી રાખતા અને સંમિતતા ટાળતા $3$ અલગ ગણ મળે છે.
કુલ સંબંધોની સંખ્યા $= 1 + 2 + 3 = 6$.

(C) ગણ $A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ છે. સંબંધ $R$ એ $(x, y) \in R$ જો $\max\{x, y\} \in \{3, 4\}$ હોય તો વ્યાખ્યાયિત છે.
આપણે એવા જોડકાં $(x, y)$ શોધીએ કે જેના માટે $\max\{x, y\} = 3$ અથવા $\max\{x, y\} = 4$ થાય:
$\max\{x, y\} = 3$ માટે,જોડકાં $(0, 3), (3, 0), (1, 3), (3, 1), (2, 3), (3, 2), (3, 3)$ છે.
$\max\{x, y\} = 4$ માટે,જોડકાં $(0, 4), (4, 0), (1, 4), (4, 1), (2, 4), (4, 2), (3, 4), (4, 3), (4, 4)$ છે.
આમ,$R = \{(0, 3), (3, 0), (1, 3), (3, 1), (2, 3), (3, 2), (3, 3), (0, 4), (4, 0), (1, 4), (4, 1), (2, 4), (4, 2), (3, 4), (4, 3), (4, 4)\}$.
$R$ માં ઘટકોની કુલ સંખ્યા $16$ છે. તેથી,$(S_1)$ ખોટું છે.
સ્વવાચકતા માટે: $(0, 0) \notin R$ કારણ કે $\max\{0, 0\} = 0 \notin \{3, 4\}$. તેથી,$R$ સ્વવાચક નથી.
સંમિતતા માટે: જો $(x, y) \in R$ હોય,તો $\max\{x, y\} \in \{3, 4\}$. કારણ કે $\max\{x, y\} = \max\{y, x\}$,તેથી $(y, x) \in R$. આમ,$R$ સંમિત છે.
પરંપરિતતા માટે: $(0, 3) \in R$ અને $(3, 1) \in R$,પરંતુ $(0, 1) \notin R$ કારણ કે $\max\{0, 1\} = 1 \notin \{3, 4\}$. તેથી,$R$ પરંપરિત નથી.
આમ,માત્ર $(S_2)$ સાચું છે.

(C) $n$ ઘટકો ધરાવતા ગણ $A$ પરનો સંબંધ $R$ સ્વવાચક હોય,તો તેમાં તમામ $n$ વિકર્ણ ઘટકો $(x, x)$ હોવા આવશ્યક છે,જ્યાં $x \in A$. અહીં,ગણ $\{a, b, c, d, e, f\}$ છે,જેમાં $n = 6$ ઘટકો છે. તેથી,$R$ માં $6$ ઘટકો હોવા જોઈએ: $(a, a), (b, c), (c, c), (d, d), (e, e), (f, f)$.
સંબંધ $R$ સંમિત હોવાથી,જો $(x, y) \in R$ હોય,તો $(y, x) \in R$ થાય. બાકીના $n^2 - n = 36 - 6 = 30$ ઘટકો વિકર્ણ સિવાયના છે. આ $30$ ઘટકો $\{(x, y), (y, x)\}$ સ્વરૂપની $15$ જોડીઓ બનાવે છે,જ્યાં $x \neq y$.
આપણને આપેલ છે કે $R$ માં બરાબર $10$ ઘટકો છે. $6$ વિકર્ણ ઘટકો પહેલેથી જ સામેલ હોવાથી,આપણે બાકીના વિકર્ણ સિવાયની જોડીઓમાંથી $10 - 6 = 4$ વધારાના ઘટકો પસંદ કરવાના રહે. સંબંધ સંમિત હોવો જોઈએ,તેથી જો આપણે $(x, y)$ પસંદ કરીએ,તો આપણે $(y, x)$ પણ પસંદ કરવું પડે. તેથી,આપણે $15$ ઉપલબ્ધ જોડીઓમાંથી $2$ જોડીઓ પસંદ કરવી પડશે.
$15$ માંથી $2$ જોડીઓ પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા સંચયના સૂત્ર ${}^{15}C_2 = \frac{15 \times 14}{2 \times 1} = 105$ દ્વારા મળે છે.

(B) ગણ $A = \{a, b, c\}$ પરના સંબંધ $R$ ના ગુણધર્મો નક્કી કરવા માટે:
$1$. સ્વવાચકતા: સંબંધ સ્વવાચક હોવા માટે,દરેક $x \in A$ માટે $(x, x) \in R$ હોવું જોઈએ. અહીં,$(a, a), (b, b), (c, c) \in R$ છે,તેથી $R$ સ્વવાચક છે.
$2$. સંમિતતા: સંબંધ સંમિત હોવા માટે,જો $(x, y) \in R$ હોય,તો $(y, x) \in R$ હોવું જોઈએ. અહીં,$(a, c) \in R$ છે પરંતુ $(c, a) \notin R$ છે. તેથી,$R$ સંમિત નથી.
$3$. પરંપરિતતા: સંબંધ પરંપરિત હોવા માટે,જો $(x, y) \in R$ અને $(y, z) \in R$ હોય,તો $(x, z) \in R$ હોવું જોઈએ. અહીંની જોડીઓ $(a, a), (b, b), (c, c), (a, c)$ છે. $(a, c) \in R$ અને $(c, c) \in R$ તપાસતા,આપણને $(a, c) \in R$ મળે છે. પરંપરિતતાની તમામ શરતો સંતોષાય છે. આમ,$R$ પરંપરિત છે.
નિષ્કર્ષ: આ સંબંધ સ્વવાચક અને પરંપરિત છે પરંતુ સંમિત નથી. સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) ધારો કે ગણ $A = \{\pi, \pi^2, \pi^3\}$ છે.
$1$. સ્વવાચકતા: $R$ સ્વવાચક હોવા માટે,દરેક $a \in A$ માટે $(a, a) \in R$ હોવું જોઈએ. અહીં,$(\pi, \pi) \in R$,$(\pi^2, \pi^2) \in R$,અને $(\pi^3, \pi^3) \in R$ છે. તેથી,$R$ સ્વવાચક છે.
$2$. સંમિતતા: $R$ સંમિત હોવા માટે,જો $(a, b) \in R$ હોય,તો $(b, a) \in R$ હોવું જોઈએ. આપણી પાસે $(\pi, \pi^2) \in R$ છે,પરંતુ $(\pi^2, \pi) \notin R$ છે. તેથી,$R$ સંમિત નથી.
$3$. પરંપરિતતા: $R$ પરંપરિત હોવા માટે,જો $(a, b) \in R$ અને $(b, c) \in R$ હોય,તો $(a, c) \in R$ હોવું જોઈએ. આપણી પાસે $(\pi, \pi^2) \in R$ અને $(\pi^2, \pi^3) \in R$ છે. પરંપરિતતા માટે,$(\pi, \pi^3)$ એ $R$ માં હોવું જોઈએ. જોકે,$(\pi, \pi^3) \notin R$ છે. તેથી,$R$ પરંપરિત નથી.
નિષ્કર્ષ: $R$ સ્વવાચક છે પણ સંમિત કે પરંપરિત નથી.

(D) ગણ $A = \{1, 2, 3\}$ છે.
જો ગણ $A$ ના દરેક $a$ માટે $(a, a) \in R$ હોય,તો સંબંધ $R$ સ્વવાચક કહેવાય. અહીં,$(1,1), (2,2), (3,3) \in R$ છે,તેથી $R$ સ્વવાચક છે.
જો $(a, b) \in R \implies (b, a) \in R$ હોય,તો સંબંધ $R$ સંમિત કહેવાય. અહીં,તમામ જોડ $(a, a)$ સ્વરૂપની છે,તેથી આ શરતનું પાલન થાય છે. આમ,$R$ સંમિત છે.
જો $(a, b) \in R$ અને $(b, c) \in R \implies (a, c) \in R$ હોય,તો સંબંધ $R$ પરંપરિત કહેવાય. અહીં,આ શરતનું પાલન થાય છે. આમ,$R$ પરંપરિત છે.
$R$ સ્વવાચક,સંમિત અને પરંપરિત હોવાથી,તે સામ્ય સંબંધ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) ગણ $A = \{3, 4, 5\}$ પરના સંબંધ $S$ ને સ્વવાચક થવા માટે,દરેક $a \in A$ માટે $(a, a) \in S$ હોવું જરૂરી છે. અહીં,$(5, 5) \notin S$ હોવાથી,તે સ્વવાચક નથી.
$S$ ને સંમિત થવા માટે,જો $(a, b) \in S$ હોય,તો $(b, a) \in S$ હોવું જોઈએ. અહીં $(3, 3)$ અને $(4, 4)$ એ $S$ માં છે,અને તેમના ઉલટા પણ $S$ માં છે. તેથી,તે સંમિત છે.
$S$ ને પરંપરિત થવા માટે,જો $(a, b) \in S$ અને $(b, c) \in S$ હોય,તો $(a, c) \in S$ હોવું જોઈએ. $(3, 3)$ અને $(3, 3)$ માટે,$(3, 3) \in S$. તેવી જ રીતે $(4, 4)$ માટે. તેથી,તે પરંપરિત છે.
આમ,આ સંબંધ સંમિત અને પરંપરિત છે પણ સ્વવાચક નથી.

(A) $1$. સ્વવાચકતા: જો દરેક $a \in A$ માટે $(a, a) \in S$ હોય,તો સંબંધ $S$ સ્વવાચક કહેવાય. અહીં,$(1, 1) \notin S$ છે,તેથી $S$ સ્વવાચક નથી.
$2$. સંમિતતા: જો $(a, b) \in S \implies (b, a) \in S$ હોય,તો સંબંધ $S$ સંમિત કહેવાય. અહીં,$(1, 2) \in S$ અને $(2, 1) \in S$ છે,પરંતુ $(2, 3) \in S$ હોવા છતાં $(3, 2) \notin S$ છે. તેથી,સંબંધ સંમિત નથી.
$3$. પરંપરિતતા: જો $(a, b) \in S$ અને $(b, c) \in S \implies (a, c) \in S$ હોય,તો સંબંધ $S$ પરંપરિત કહેવાય. અહીં,$(1, 2) \in S$ અને $(2, 3) \in S$ છે,પરંતુ $(1, 3) \notin S$ છે. તેથી,સંબંધ પરંપરિત નથી.
$4$. નિષ્કર્ષ: $S$ સ્વવાચક,સંમિત કે પરંપરિત નથી. તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(B) $1$. સ્વવાચક: જો દરેક $a \in \mathbb{R}$ માટે $(a, a) \in R$ હોય,તો સંબંધ $R$ સ્વવાચક કહેવાય. અહીં,કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા $a$ માટે $a < a$ અસત્ય છે. તેથી,$R$ સ્વવાચક નથી.
$2$. સંમિત: જો $(a, b) \in R$ હોય અને તેના પરથી $(b, a) \in R$ મળે,તો સંબંધ $R$ સંમિત કહેવાય. જો $a < b$ હોય,તો તેનો અર્થ એ નથી કે $b < a$. ઉદાહરણ તરીકે,$1 < 2$ સત્ય છે,પરંતુ $2 < 1$ અસત્ય છે. તેથી,$R$ સંમિત નથી.
$3$. પરંપરિત: જો $(a, b) \in R$ અને $(b, c) \in R$ હોય અને તેના પરથી $(a, c) \in R$ મળે,તો સંબંધ $R$ પરંપરિત કહેવાય. જો $a < b$ અને $b < c$ હોય,તો અસમતાના ગુણધર્મ મુજબ $a < c$ થાય. તેથી,$R$ પરંપરિત છે.
આમ,$R$ પરંપરિત છે પરંતુ સ્વવાચક અને સંમિત નથી.

(C) $A = \{1, 2, 3\}$ પરના સંબંધ $R$ માટે,જો તે $(1, 2)$ ધરાવતો સામ્ય સંબંધ હોય,તો તેણે સ્વવાચકતા,સંમિતતા અને પરંપરિતતાનું પાલન કરવું આવશ્યક છે.
સ્વવાચક હોવાથી,$(1, 1), (2, 2), (3, 3) \in R$.
તેમાં $(1, 2)$ છે અને તે સંમિત હોવાથી,$(2, 1) \in R$.
હવે આપણી પાસે $R_0 = \{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1)\}$ છે. આ એક સામ્ય સંબંધ છે.
સામ્યતા જાળવી રાખીને વધુ ઘટકો ઉમેરવા માટે,આપણે $A$ ના વિભાજનો ધ્યાનમાં લેવા જોઈએ. $R_0$ ને અનુરૂપ વિભાજન $\{\{1, 2\}, \{3\}\}$ છે.
$A$ નું બીજું એકમાત્ર વિભાજન જેમાં ઉપગણ $\{1, 2\}$ હોય તે સાર્વત્રિક વિભાજન $\{\{1, 2, 3\}\}$ છે.
વિભાજન $\{\{1, 2, 3\}\}$ ને અનુરૂપ સામ્ય સંબંધ એ સાર્વત્રિક સંબંધ $A \times A$ છે,જેમાં $(1, 2)$ નો સમાવેશ થાય છે.
આમ,આવા $2$ સામ્ય સંબંધો છે: $\{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1)\}$ અને $A \times A$.

(D) આપેલ ગણ $A = \{a, b, c\}$ અને સંબંધ $R = \{(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (b, a)\}$ છે.
$1$. સ્વવાચકતા: $R$ સ્વવાચક હોવા માટે,$(a, a), (b, b), (c, c)$ એ $R$ માં હોવા જોઈએ. આ બધા ઘટકો હાજર હોવાથી,$R$ સ્વવાચક છે.
$2$. સંમિતતા: $R$ સંમિત હોવા માટે,જો $(x, y) \in R$ હોય,તો $(y, x) \in R$ હોવું જોઈએ. અહીં,$(a, b) \in R$ અને $(b, a) \in R$ છે. તેથી,$R$ સંમિત છે.
$3$. પરંપરિતતા: $R$ પરંપરિત હોવા માટે,જો $(x, y) \in R$ અને $(y, z) \in R$ હોય,તો $(x, z) \in R$ હોવું જોઈએ. અહીં,$(a, b) \in R$ અને $(b, a) \in R$ છે,અને $(a, a) \in R$ છે. તેમજ $(b, a) \in R$ અને $(a, b) \in R$ છે,અને $(b, b) \in R$ છે. બધી શરતો સંતોષાય છે,તેથી $R$ પરંપરિત છે.
$R$ સ્વવાચક,સંમિત અને પરંપરિત હોવાથી,તે સામ્ય સંબંધ છે.

(B) ગણ $A$ પરનો સંબંધ $R$ એ સામ્ય સંબંધ કહેવાય જો તે સ્વવાચક,સંમિત અને પરંપરિત હોય.
$1$. સ્વવાચક: દરેક $a \in A$ માટે,$(a, a) \in R$. અહીં,$(1, 1), (2, 2), (3, 3) \in R$ છે,તેથી તે સ્વવાચક છે.
$2$. સંમિત: જો $(a, b) \in R$ હોય,તો $(b, a) \in R$ હોવું જોઈએ. અહીં બધા ઘટકો $(a, a)$ સ્વરૂપના હોવાથી,તેમની અદલાબદલી કરવાથી સમાન જોડ મળે છે,તેથી તે સંમિત છે.
$3$. પરંપરિત: જો $(a, b) \in R$ અને $(b, c) \in R$ હોય,તો $(a, c) \in R$ હોવું જોઈએ. આ સંબંધ માટે,આ શરતનું પાલન થાય છે કારણ કે અહીં કોઈ અલગ $(a, b)$ અને $(b, c)$ જોડો નથી જે અલગ $(a, c)$ ની માંગ કરે.
આમ,$R$ ત્રણેય ગુણધર્મોનું પાલન કરે છે,તેથી તે સામ્ય સંબંધ છે.

(D) આપેલ સંબંધ $S = \{(a, b) : a < b^2\}$ છે.
$1$. સ્વવાચકતા માટે: શું $(a, a) \in S$ છે? એટલે કે,શું $a < a^2$ છે? જો આપણે $a = 0.5$ લઈએ,તો $0.5 < (0.5)^2 = 0.25$ થાય,જે અસત્ય છે. તેથી,તે સ્વવાચક નથી.
$2$. સંમિતતા માટે: શું $(a, b) \in S \implies (b, a) \in S$ છે? ધારો કે $(1, 2) \in S$ કારણ કે $1 < 2^2 = 4$ સત્ય છે. પરંતુ $(2, 1) \notin S$ કારણ કે $2 < 1^2 = 1$ અસત્ય છે. તેથી,તે સંમિત નથી.
$3$. પરંપરિતતા માટે: શું $(a, b) \in S$ અને $(b, c) \in S \implies (a, c) \in S$ છે? ધારો કે $(3, 2) \in S$ $(3 < 4)$ અને $(2, 1.5) \in S$ $(2 < 2.25)$. પરંતુ $(3, 1.5) \notin S$ કારણ કે $3 < (1.5)^2 = 2.25$ અસત્ય છે. તેથી,તે પરંપરિત નથી.
આમ,આ સંબંધ સ્વવાચક,સંમિત કે પરંપરિત નથી,તેથી તે સામ્ય સંબંધ નથી.

(A) પૂર્ણાંક $x, y \in Z$ માટે શરત $|x - y| < 1$ નો અર્થ છે કે $|x - y| = 0$,કારણ કે બે પૂર્ણાંકો વચ્ચેનો તફાવત હંમેશા અઋણ પૂર્ણાંક હોય છે.
આમ,$|x - y| = 0 \implies x = y$.
તેથી,$S = \{(x, x) : x \in Z\}$,જે $Z$ પરનો તદેવ સંબંધ છે.
$1$. સ્વવાચક: કોઈપણ $x \in Z$ માટે,$|x - x| = 0 < 1$,તેથી $(x, x) \in S$. આમ,$S$ સ્વવાચક છે.
$2$. સંમિત: જો $(x, y) \in S$,તો $x = y$,જેનો અર્થ છે કે $y = x$,તેથી $(y, x) \in S$. આમ,$S$ સંમિત છે.
$3$. પરંપરિત: જો $(x, y) \in S$ અને $(y, z) \in S$,તો $x = y$ અને $y = z$,જેનો અર્થ છે કે $x = z$,તેથી $(x, z) \in S$. આમ,$S$ પરંપરિત છે.
આમ,$S$ એ સામ્ય સંબંધ છે.

(A) આપેલ ગણ $A = \{1, 2, 3, 4\}$ અને સંબંધ $x R y$ જો $x$ એ $y$ ને ભાગે છે.
સંબંધ $R$ નીચે મુજબ છે: $R = \{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 4)\}$.
$1$. સ્વવાચક: કોઈપણ $x \in A$ માટે,$x$ એ $x$ ને ભાગે છે (એટલે કે $x/x = 1$),તેથી $(x, x) \in R$. આમ,$R$ સ્વવાચક છે.
$2$. સંમિત: $R$ સંમિત હોવા માટે,$(x, y) \in R$ નો અર્થ $(y, x) \in R$ થવો જોઈએ. અહીં,$(1, 2) \in R$ છે પણ $(2, 1) \notin R$. તેથી,$R$ સંમિત નથી.
$3$. પરંપરિત: જો $(x, y) \in R$ અને $(y, z) \in R$ હોય,તો $x$ એ $y$ ને ભાગે છે અને $y$ એ $z$ ને ભાગે છે. આનો અર્થ એ છે કે $x$ એ $z$ ને ભાગે છે,તેથી $(x, z) \in R$. આમ,$R$ પરંપરિત છે.
તેથી,$R$ સ્વવાચક અને પરંપરિત છે.

(C) $A = \{a, b, c\}$ પરનો સામ્ય સંબંધ $R$ સ્વવાચક,સંમિત અને પરંપરિત હોવો જોઈએ. કારણ કે $(b, c) \in R$ અને $R$ સંમિત છે,તેથી $(c, b) \in R$. સ્વવાચકતા માટે,$(a, a), (b, b), (c, c) \in R$.
પરંપરિતતા માટે,$(b, c) \in R$ અને $(c, b) \in R$ હોવાથી,$(b, b) \in R$ અને $(c, c) \in R$ હોવું જોઈએ (જે સત્ય છે).
કિસ્સો $1$: જો $a$ માત્ર પોતાની સાથે જ સંબંધિત હોય,તો $R_1 = \{(a, a), (b, b), (c, c), (b, c), (c, b)\}$. આ એક સામ્ય સંબંધ છે.
કિસ્સો $2$: જો $a$ એ $b$ અને $c$ સાથે સંબંધિત હોય,તો સંમિતતા અને પરંપરિતતા દ્વારા,$a$ એ બધા ઘટકો સાથે સંબંધિત હોવો જોઈએ. $R_2 = \{(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (b, a), (a, c), (c, a), (b, c), (c, b)\}$. આ સાર્વત્રિક સંબંધ છે,જે સામ્ય સંબંધ પણ છે.
આમ,આવા $2$ સામ્ય સંબંધો શક્ય છે.

(C) $(3, 2)$ નો સામ્ય વર્ગ એવી તમામ જોડીઓ $(x, y) \in A \times A$ ધરાવે છે કે જેથી $(x, y) R (3, 2)$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે $2x = 3y$,અથવા $\frac{x}{y} = \frac{3}{2}$.
કારણ કે $x, y \in \{2, 3, \ldots, 18\}$,આપણે $(3, 2)$ ના એવા ગુણકો શોધીએ છીએ કે જેમાં બંને ઘટકો $\le 18$ હોય:
$(x, y) = (3, 2)$
$(x, y) = (6, 4)$
$(x, y) = (9, 6)$
$(x, y) = (12, 8)$
$(x, y) = (15, 10)$
$(x, y) = (18, 12)$
આ ગણતરી કરતા,આપણને $6$ ક્રમયુક્ત જોડીઓ મળે છે.

(B) ગણ $A$ પરનો સામ્ય સંબંધ $R$ એ સ્વવાચક,સંમિત અને પરંપરિત ગુણધર્મોનું પાલન કરતો હોવો જોઈએ.
$n$ ઘટકો ધરાવતા ગણ $A$ માટે,સ્વવાચક ગુણધર્મ મુજબ દરેક ઘટક $a \in A$ માટે,ક્રમયુક્ત જોડી $(a, a)$ એ $R$ માં હોવી આવશ્યક છે.
અહીં ગણમાં $6$ ઘટકો આપેલા હોવાથી,$R$ માં ઓછામાં ઓછી $(a_1, a_1), (a_2, a_2), (a_3, a_3), (a_4, a_4), (a_5, a_5),$ અને $(a_6, a_6)$ જેવી $6$ જોડીઓ હોવી જોઈએ.
આમ,જરૂરી ક્રમયુક્ત જોડીઓની ન્યૂનતમ સંખ્યા $6$ છે.

(C) ધારો કે $A = \{1, 2, 3\}$.
$R$ સ્વવાચક હોવા માટે,દરેક $a \in A$ માટે $(a, a) \in R$ હોવું જોઈએ. અહીં $(2, 2) \notin R$ અને $(3, 3) \notin R$ હોવાથી,$R$ સ્વવાચક નથી.
$R$ સંમિત હોવા માટે,જો $(a, b) \in R$ હોય,તો $(b, a) \in R$ હોવું જોઈએ. અહીં $(1, 1) \in R$ માટે $(1, 1) \in R$ સત્ય છે. તેથી,$R$ સંમિત છે.
$R$ પરંપરિત હોવા માટે,જો $(a, b) \in R$ અને $(b, c) \in R$ હોય,તો $(a, c) \in R$ હોવું જોઈએ. અહીં માત્ર એક જ ઘટક $(1, 1)$ હોવાથી,આ શરતનું પાલન થાય છે. તેથી,$R$ પરંપરિત છે.
આમ,$R$ સંમિત અને પરંપરિત છે.

(D) આપેલ છે કે $a R b \Leftrightarrow |a-b| \leq 1$.
$1$. સ્વવાચકતા: કોઈપણ $a \in S$ માટે,$|a-a| = 0 \leq 1$. તેથી,$a R a$ સત્ય છે. $R$ સ્વવાચક છે.
$2$. સંમિતતા: જો $a R b$ હોય,તો $|a-b| \leq 1$. કારણ કે $|a-b| = |b-a|$,તેથી $|b-a| \leq 1$,જેનો અર્થ છે કે $b R a$ સત્ય છે. $R$ સંમિત છે.
$3$. પરંપરિતતા: $a = 1, b = 2, c = 3$ લો.
$|a-b| = |1-2| = 1 \leq 1$ (સત્ય,તેથી $a R b$).
$|b-c| = |2-3| = 1 \leq 1$ (સત્ય,તેથી $b R c$).
પરંતુ $|a-c| = |1-3| = 2 > 1$ (અસત્ય,તેથી $a$ એ $c$ સાથે સંબંધિત નથી).
તેથી,$R$ પરંપરિત નથી.
નિષ્કર્ષ: $R$ સ્વવાચક અને સંમિત છે પરંતુ પરંપરિત નથી.

(C) સંબંધ $a^2-4ab+3b^2=0$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
$1$. સ્વવાચકતા: કોઈપણ $a \in \mathbb{R}$ માટે,આપણે ચકાસીએ કે $a \ p \ a$ છે કે નહીં. $b=a$ મૂકતા,આપણને $a^2-4a(a)+3a^2 = a^2-4a^2+3a^2 = 0$ મળે છે. $0=0$ હોવાથી,સંબંધ સ્વવાચક છે.
$2$. સંમિતતા: ચકાસો કે $a \ p \ b \implies b \ p \ a$. જો $a^2-4ab+3b^2=0$,તો $(a-b)(a-3b)=0$,તેથી $a=b$ અથવા $a=3b$. જો $a=3b$ હોય,તો $b=a/3$. સંમિતતા માટે,આપણને $b^2-4ba+3a^2=0$ ની જરૂર છે. $a=3b$ મૂકતા,આપણને $b^2-4b(3b)+3(3b)^2 = b^2-12b^2+27b^2 = 16b^2 \neq 0$ મળે છે (સિવાય કે $b=0$). આમ,તે સંમિત નથી.
$3$. પરંપરિતતા: ચકાસો કે $a \ p \ b$ અને $b \ p \ c \implies a \ p \ c$. જો $a=3b$ અને $b=3c$ હોય,તો $a=9c$. $a \ p \ c$ માટે,આપણને $a^2-4ac+3c^2=0$ ની જરૂર છે. $a=9c$ મૂકતા,આપણને $(9c)^2-4(9c)c+3c^2 = 81c^2-36c^2+3c^2 = 48c^2 \neq 0$ મળે છે. આમ,તે પરંપરિત નથી.
તેથી,સંબંધ માત્ર સ્વવાચક છે.

(A) $1$. સ્વવાચકતા: કોઈપણ $x \in \mathbb{R}$ માટે,$x p x$ એટલે કે $x-x+\sqrt{2} = \sqrt{2}$. કારણ કે $\sqrt{2}$ એ અસંમેય સંખ્યા છે,તેથી $x p x$ બધા $x$ માટે સત્ય છે. આમ,$p$ સ્વવાચક છે.
$2$. સંમિતતા: જો $x p y$ હોય,તો $x-y+\sqrt{2}$ અસંમેય છે. સંમિતતા માટે,આપણે તપાસીએ છીએ કે શું $y p x$ સાચું છે,એટલે કે $y-x+\sqrt{2}$ અસંમેય છે. ધારો કે $x=\sqrt{2}$ અને $y=0$. તો $x-y+\sqrt{2} = \sqrt{2}-0+\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$ (અસંમેય). પરંતુ $y-x+\sqrt{2} = 0-\sqrt{2}+\sqrt{2} = 0$ (સંમેય). તેથી,સંબંધ સંમિત નથી.
$3$. પરંપરિતતા: જો $x p y$ અને $y p z$ હોય,તો $x-y+\sqrt{2} = i_1$ અને $y-z+\sqrt{2} = i_2$,જ્યાં $i_1, i_2$ અસંમેય છે. આનો સરવાળો કરતા,$x-z+2\sqrt{2} = i_1+i_2$. આનાથી એ સાબિત થતું નથી કે $x-z+\sqrt{2}$ અસંમેય છે. તેથી,સંબંધ પરંપરિત નથી. આમ,આપેલ સંબંધ માત્ર સ્વવાચક છે.

(B) ગણ $X$ પરનો સંબંધ $\rho$ પરંપરિત કહેવાય જો $(a, b) \in \rho$ અને $(b, c) \in \rho$ હોય તો $(a, c) \in \rho$ થાય.
બે પરંપરિત સંબંધો $\rho_1$ અને $\rho_2$ નો છેદગણ ધ્યાનમાં લો.
ધારો કે $(a, b) \in \rho_1 \cap \rho_2$ અને $(b, c) \in \rho_1 \cap \rho_2$.
આનો અર્થ એ છે કે $(a, b) \in \rho_1$ અને $(b, c) \in \rho_1$,અને $\rho_1$ પરંપરિત હોવાથી $(a, c) \in \rho_1$.
તે જ રીતે,$(a, b) \in \rho_2$ અને $(b, c) \in \rho_2$,અને $\rho_2$ પરંપરિત હોવાથી $(a, c) \in \rho_2$.
તેથી,$(a, c) \in \rho_1 \cap \rho_2$.
આમ,બે પરંપરિત સંબંધોનો છેદગણ હંમેશા પરંપરિત સંબંધ હોય છે.

(D) સામ્ય સંબંધ સ્વવાચક,સંમિત અને પરંપરિત હોવો જોઈએ.
$1$. $R^{-1}$ માટે: $R$ સ્વવાચક,સંમિત અને પરંપરિત હોવાથી,$R^{-1}$ પણ સ્વવાચક,સંમિત અને પરંપરિત થાય છે. તેથી,$R^{-1}$ એ સામ્ય સંબંધ છે.
$2$. $R \cap R^1$ માટે: બે સામ્ય સંબંધોનો છેદગણ હંમેશા સામ્ય સંબંધ હોય છે.
$3$. $R \cup R^1$ માટે: બે સામ્ય સંબંધોનો યોગગણ હંમેશા પરંપરિત હોવો જરૂરી નથી,તેથી તે હંમેશા સામ્ય સંબંધ હોતો નથી.
આમ,$R^{-1}$ અને $R \cap R^1$ બંને સામ્ય સંબંધો છે.

(B) સામ્ય સંબંધ સ્વવાચક,સંમિત અને પરંપરિત હોવો જોઈએ.
$1$. સ્વવાચકતા: $R$ અને $S$ સામ્ય સંબંધો હોવાથી,દરેક $a \in A$ માટે $(a, a) \in R$ અને $(a, a) \in S$ થાય. તેથી,$(a, a) \in R \cap S$.
$2$. સંમિતતા: જો $(a, b) \in R \cap S$,તો $(a, b) \in R$ અને $(a, b) \in S$. $R$ અને $S$ સંમિત હોવાથી,$(b, a) \in R$ અને $(b, a) \in S$,તેથી $(b, a) \in R \cap S$.
$3$. પરંપરિતતા: જો $(a, b) \in R \cap S$ અને $(b, c) \in R \cap S$,તો $(a, b), (b, c) \in R$ અને $(a, b), (b, c) \in S$. $R$ અને $S$ પરંપરિત હોવાથી,$(a, c) \in R$ અને $(a, c) \in S$,તેથી $(a, c) \in R \cap S$.
આમ,$R \cap S$ એ સામ્ય સંબંધ છે.

(B) સામ્ય સંબંધ હોવા માટે,સંબંધ સ્વવાચક,સંમિત અને પરંપરિત હોવો જોઈએ.
$1$. $S = \{(x, y) : y = x + 1, 0 < x < 2\}$ નું વિશ્લેષણ:
- સ્વવાચકતા: $S$ સ્વવાચક હોવા માટે,દરેક $x \in R$ માટે $(x, x) \in S$ હોવું જોઈએ. આ માટે $x = x + 1$ જરૂરી છે,જેનો અર્થ છે $0 = 1$,જે વિરોધાભાસ છે. તેથી,$S$ સ્વવાચક નથી.
- સંમિતતા: $S$ સંમિત હોવા માટે,જો $(x, y) \in S$,તો $(y, x) \in S$ હોવું જોઈએ. જો $(x, y) \in S$,તો $y = x + 1$. $(y, x) \in S$ માટે,આપણને $x = y + 1$ જોઈએ. $y$ ની કિંમત મૂકતા,$x = (x + 1) + 1 = x + 2$ મળે,જે અશક્ય છે. તેથી,$S$ સંમિત નથી.
- $S$ સ્વવાચક કે સંમિત ન હોવાથી,તે સામ્ય સંબંધ નથી.
$2$. $T = \{(x, y) : (x - y) \in \mathbb{Z}\}$ નું વિશ્લેષણ:
- સ્વવાચકતા: $(x - x) = 0$,જે પૂર્ણાંક છે. તેથી,$(x, x) \in T$.
- સંમિતતા: જો $(x, y) \in T$,તો $(x - y) = k$ જ્યાં $k \in \mathbb{Z}$. તો $(y - x) = -k$,જે પણ પૂર્ણાંક છે. તેથી,$(y, x) \in T$.
- પરંપરિતતા: જો $(x, y) \in T$ અને $(y, z) \in T$,તો $(x - y) = k_1$ અને $(y - z) = k_2$ જ્યાં $k_1, k_2 \in \mathbb{Z}$. આ બંનેનો સરવાળો કરતા,$(x - z) = k_1 + k_2$,જે પૂર્ણાંક છે. તેથી,$(x, z) \in T$.
- $T$ સ્વવાચક,સંમિત અને પરંપરિત હોવાથી,તે સામ્ય સંબંધ છે.
તેથી,$T$ એ $R$ પર સામ્ય સંબંધ છે પરંતુ $S$ નથી.

(B) $1$. સ્વવાચકતા: કોઈપણ $a \in \mathbb{R}$ માટે,$a-a = 0$. શૂન્ય માન્ય હોવાથી,દરેક $a$ માટે $a \rho a$ સત્ય છે. તેથી,$\rho$ સ્વવાચક છે.
$2$. સંમિતતા: જો $a \rho b$ હોય,તો $a-b = 0$ અથવા $a-b$ અસંમેય છે. જો $a-b=0$,તો $b-a=0$. જો $a-b$ અસંમેય હોય,તો $b-a = -(a-b)$ પણ અસંમેય થાય. તેથી,$b \rho a$ સત્ય છે. આમ,$\rho$ સંમિત છે.
$3$. પરંપરિતતા: ધારો કે $a = 2 + \sqrt{2}$,$b = 2$,અને $c = \sqrt{2}$.
અહીં $a-b = (2+\sqrt{2}) - 2 = \sqrt{2}$ (અસંમેય),તેથી $a \rho b$.
અને $b-c = 2 - \sqrt{2}$ (અસંમેય),તેથી $b \rho c$.
પરંતુ,$a-c = (2+\sqrt{2}) - \sqrt{2} = 2$ (સંમેય અને શૂન્યતર),તેથી $a \rho c$ અસત્ય છે.
તેથી,$\rho$ પરંપરિત નથી.

(B) સામ્ય સંબંધ સ્વવાચક,સંમિત અને પરંપરિત હોવો જોઈએ.
$1$. છેદગણ: જો $\rho_{1}$ અને $\rho_{2}$ સામ્ય સંબંધો હોય,તો $\rho_{1} \cap \rho_{2}$ હંમેશા સ્વવાચક,સંમિત અને પરંપરિત હોય છે. તેથી,$\rho_{1} \cap \rho_{2}$ એ સામ્ય સંબંધ છે.
$2$. યોગગણ: યોગગણ $\rho_{1} \cup \rho_{2}$ હંમેશા સ્વવાચક અને સંમિત હોય છે,પરંતુ તે પરંપરિત હોવો જરૂરી નથી. ઉદાહરણ તરીકે,ધારો કે $S = \{1, 2, 3\}$. ધારો કે $\rho_{1} = \{(1,1), (2,2), (3,3), (1,2), (2,1)\}$ અને $\rho_{2} = \{(1,1), (2,2), (3,3), (2,3), (3,2)\}$. તો $\rho_{1} \cup \rho_{2}$ માં $(1,2)$ અને $(2,3)$ છે,પરંતુ $(1,3)$ નથી,તેથી તે પરંપરિત નથી.
તેથી,$\rho_{1} \cap \rho_{2}$ એ સામ્ય સંબંધ છે,પરંતુ $\rho_{1} \cup \rho_{2}$ હંમેશા સામ્ય સંબંધ હોતો નથી.

(D) સ્વવાચકતા: કોઈપણ $a \in R$ માટે,$1 + a \cdot a = 1 + a^{2}$ થાય. કારણ કે $a^{2} \ge 0$,તેથી $1 + a^{2} \ge 1 > 0$. આમ,બધા $a \in R$ માટે $(a, a) \in R_{1}$ છે. તેથી,$R_{1}$ સ્વવાચક છે.
સંમિતતા: જો $(a, b) \in R_{1}$ હોય,તો $1 + ab > 0$ થાય. કારણ કે $ab = ba$,તેથી $1 + ba > 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $(b, a) \in R_{1}$. તેથી,$R_{1}$ સંમિત છે.
પરંપરિતતા: $a = 1$,$b = 1/2$,અને $c = -1$ લો. આપણી પાસે $1 + (1)(1/2) = 1.5 > 0$ છે,તેથી $(1, 1/2) \in R_{1}$. તેમજ,$1 + (1/2)(-1) = 0.5 > 0$ છે,તેથી $(1/2, -1) \in R_{1}$. જોકે,$1 + (1)(-1) = 0$,જે $> 0$ નથી. આમ,$(1, -1) \notin R_{1}$. તેથી,$R_{1}$ પરંપરિત નથી.

(C) $1$. સ્વવાચકતા: કોઈપણ $x \in R$ માટે,$x - x = 0$. શૂન્ય માન્ય હોવાથી,$x \rho x$ સત્ય છે. તેથી,$\rho$ સ્વવાચક છે.
$2$. સંમિતતા: જો $x \rho y$ હોય,તો $x - y$ શૂન્ય અથવા અસંમેય છે. $y - x = -(x - y)$ હોવાથી,જો $x - y$ શૂન્ય હોય,તો $y - x$ પણ શૂન્ય થાય. જો $x - y$ અસંમેય હોય,તો $y - x$ પણ અસંમેય થાય. તેથી,$y \rho x$ સત્ય છે. $\rho$ સંમિત છે.
$3$. પરંપરિતતા: ધારો કે $x = 1 + \sqrt{2}$,$y = 1$,અને $z = \sqrt{2}$. અહીં $x - y = \sqrt{2}$ (અસંમેય) અને $y - z = 1 - \sqrt{2}$ (અસંમેય). પરંતુ $x - z = 1$ (સંમેય,જે શૂન્ય નથી). તેથી $x \rho y$ અને $y \rho z$ સત્ય છે,પરંતુ $x \rho z$ સત્ય નથી. તેથી,$\rho$ પરંપરિત નથી.

(D) વાસ્તવિક સંખ્યાઓના ગણ $R$ પર સંબંધ $\rho$ એ $x \rho y \iff x > |y|$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે.
$1$. સ્વવાચક ગુણધર્મ માટે:
ચકાસો કે શું તમામ $x \in R$ માટે $x \rho x$ સાચું છે.
$x \rho x \iff x > |x|$.
આ તમામ $x \leq 0$ માટે ખોટું છે (દા.ત.,જો $x = -1$ હોય,તો $-1 > |-1| = 1$ ખોટું છે).
તેથી,$\rho$ સ્વવાચક નથી.
$2$. સંમિત ગુણધર્મ માટે:
ચકાસો કે શું $x \rho y \implies y \rho x$ સાચું છે.
$x \rho y \implies x > |y|$.
$y \rho x \implies y > |x|$.
જો આપણે $x = 2$ અને $y = 1$ લઈએ,તો $2 > |1|$ સાચું છે,પરંતુ $1 > |2|$ ખોટું છે.
તેથી,$\rho$ સંમિત નથી.
$3$. પરંપરિત ગુણધર્મ માટે:
ચકાસો કે શું $x \rho y$ અને $y \rho z \implies x \rho z$ સાચું છે.
$x \rho y \implies x > |y|$.
$y \rho z \implies y > |z|$.
કારણ કે $y > |z|$,આપણી પાસે $|y| \geq y > |z|$ છે,તેથી $|y| > |z|$.
કારણ કે $x > |y|$ અને $|y| > |z|$,અસમતાના પરંપરિત ગુણધર્મ મુજબ,$x > |z|$.
તેથી,$x \rho z$ સાચું છે.
તેથી,$\rho$ પરંપરિત છે.
નિષ્કર્ષ: $x > |y|$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત સંબંધ $\rho$ એ પરંપરિત છે પરંતુ સ્વવાચક કે સંમિત નથી.

(D) આપેલ સંબંધ $\rho = \{(x, y) \in N \times N : 2x + y = 41\}$ છે.
$1$. સ્વવાચક: જો $\rho$ સ્વવાચક હોય,તો દરેક $x \in N$ માટે $(x, x) \in \rho$ થાય. આથી $2x + x = 41 \Rightarrow 3x = 41 \Rightarrow x = \frac{41}{3} \notin N$. તેથી,$\rho$ સ્વવાચક નથી.
$2$. સંમિત: જો $\rho$ સંમિત હોય,તો જો $(x, y) \in \rho$ હોય,તો $(y, x) \in \rho$ થવું જોઈએ. જો $(x, y) = (1, 39) \in \rho$ (કારણ કે $2(1) + 39 = 41$),તો $(y, x) = (39, 1)$ થવું જોઈએ. પરંતુ $2(39) + 1 = 79 \neq 41$. તેથી,$(39, 1) \notin \rho$. આમ,$\rho$ સંમિત નથી.
$3$. પરંપરિત: જો $(x, y) \in \rho$ અને $(y, z) \in \rho$ હોય,તો $(x, z) \in \rho$ થવું જોઈએ. ધારો કે $x=11, y=19, z=3$. અહીં $(11, 19) \in \rho$ અને $(19, 3) \in \rho$ છે. પરંતુ $(11, 3) \notin \rho$ કારણ કે $2(11) + 3 = 25 \neq 41$. તેથી,$\rho$ પરંપરિત નથી.

(D) દરેક વાસ્તવિક સંખ્યા $x$ માટે,$x^2 \geq 0$ થાય.
$\therefore (x, x) \in P$.
તેથી,$P$ એ સ્વવાચક છે.
હવે,ધારો કે $(x, y) \in P$.
$\Rightarrow xy \geq 0$.
$\Rightarrow yx \geq 0$.
$\therefore (y, x) \in P$.
તેથી,$P$ એ સંમિત છે.
ફરીથી,ધ્યાનમાં લો કે $(-1, 0) \in P$ કારણ કે $(-1)(0) = 0 \geq 0$,અને $(0, 2) \in P$ કારણ કે $(0)(2) = 0 \geq 0$.
પરંતુ,$(-1, 2) \notin P$ કારણ કે $(-1)(2) = -2 < 0$.
તેથી,$P$ એ પરંપરિત નથી.
આમ,સંબંધ $P$ એ સ્વવાચક અને સંમિત છે પણ પરંપરિત નથી.

(B) આપણી પાસે $x \rho y \iff x-y \in \{0\} \cup \mathbb{I}$ છે,જ્યાં $\mathbb{I}$ એ અસંમેય સંખ્યાઓનો ગણ છે.
$1$. સ્વવાચકતા: કોઈપણ $x \in R$ માટે,$x-x = 0$. કારણ કે $0$ એ શૂન્ય છે,તેથી $(x, x) \in \rho$. આમ,$\rho$ સ્વવાચક છે.
$2$. સંમિતતા: જો $(x, y) \in \rho$,તો $x-y$ એ $0$ અથવા અસંમેય છે. તો $y-x = -(x-y)$ પણ $0$ અથવા અસંમેય જ થાય. તેથી,$(y, x) \in \rho$. આમ,$\rho$ સંમિત છે.
$3$. પરંપરિતતા: $x = 2, y = \sqrt{3}, z = 4$ લો.
$(x, y) = (2, \sqrt{3}) \in \rho$ કારણ કે $2-\sqrt{3}$ અસંમેય છે.
$(y, z) = (\sqrt{3}, 4) \in \rho$ કારણ કે $\sqrt{3}-4$ અસંમેય છે.
પરંતુ,$(x, z) = (2, 4) \notin \rho$ કારણ કે $2-4 = -2$,જે સંમેય સંખ્યા છે (શૂન્ય કે અસંમેય નથી).
તેથી,$\rho$ પરંપરિત નથી.

(C) આપેલ છે કે $R = \{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1)\}$ અને $S = \{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 3), (3, 1)\}$.
$R \cup S = \{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1)\}$.
$1$. સ્વવાચકતા: કારણ કે $(1, 1), (2, 2), (3, 3) \in R \cup S$,તેથી તે સ્વવાચક છે.
$2$. સંમિતતા: કારણ કે $(1, 2) \in R \cup S \implies (2, 1) \in R \cup S$ અને $(1, 3) \in R \cup S \implies (3, 1) \in R \cup S$,તેથી તે સંમિત છે.
$3$. પરંપરિતતા: આપણી પાસે $(2, 1) \in R \cup S$ અને $(1, 3) \in R \cup S$ છે. જો તે પરંપરિત હોત,તો $(2, 3)$ એ $R \cup S$ માં હોવું જોઈએ. પરંતુ,$(2, 3) \notin R \cup S$. તેથી,તે પરંપરિત નથી.
આમ,$R \cup S$ એ સ્વવાચક અને સંમિત છે પણ પરંપરિત નથી.

(C) સ્વવાચકતા માટે: કોઈપણ $a \in R$ માટે,આપણી પાસે $1 + a^2 > 0$ છે. તેથી,$(a, a) \in \rho$. આમ,$\rho$ સ્વવાચક છે.
સંમિતતા માટે: જો $(a, b) \in \rho$ હોય,તો $1 + ab > 0$. કારણ કે $ab = ba$,આપણી પાસે $1 + ba > 0$ છે,જેનો અર્થ છે કે $(b, a) \in \rho$. આમ,$\rho$ સંમિત છે.
પરંપરિતતા માટે: $a = 1$,$b = -0.5$,અને $c = -9$ લો.
$(a, b)$ તપાસો: $1 + (1)(-0.5) = 0.5 > 0$,તેથી $(1, -0.5) \in \rho$.
$(b, c)$ તપાસો: $1 + (-0.5)(-9) = 1 + 4.5 = 5.5 > 0$,તેથી $(-0.5, -9) \in \rho$.
$(a, c)$ તપાસો: $1 + (1)(-9) = 1 - 9 = -8 < 0$,તેથી $(1, -9) \notin \rho$.
કારણ કે $(1, -0.5) \in \rho$ અને $(-0.5, -9) \in \rho$ છે પરંતુ $(1, -9) \notin \rho$ છે,તેથી આ સંબંધ પરંપરિત નથી.
તેથી,$\rho$ સ્વવાચક અને સંમિત છે પણ પરંપરિત નથી.

(C) સ્વવાચકતા: $x \in Z$ માટે,આપણે ચકાસીએ કે $(x, x) \in R$.
$x + 2x = 3x$,જે $3$ વડે વિભાજ્ય છે.
તેથી,$xRx$ એ દરેક $x \in Z$ માટે સાચું છે,તેથી $R$ સ્વવાચક છે.
સંમિતતા: ધારો કે $(x, y) \in R$,જેનો અર્થ છે કે $x + 2y = 3\lambda$ કોઈ પૂર્ણાંક $\lambda$ માટે.
તો $x = 3\lambda - 2y$.
આપણે $y + 2x$ ચકાસીએ:
$y + 2x = y + 2(3\lambda - 2y) = y + 6\lambda - 4y = 6\lambda - 3y = 3(2\lambda - y)$.
કારણ કે $3(2\lambda - y)$ એ $3$ વડે વિભાજ્ય છે,તેથી $(y, x) \in R$.
તેથી,$R$ સંમિત છે.
પરંપરિતતા: ધારો કે $(x, y) \in R$ અને $(y, z) \in R$.
તો $x + 2y = 3\lambda$ અને $y + 2z = 3\mu$ કોઈ પૂર્ણાંકો $\lambda, \mu$ માટે.
બંનેનો સરવાળો કરતા: $(x + 2y) + (y + 2z) = 3\lambda + 3\mu \Rightarrow x + 3y + 2z = 3(\lambda + \mu)$.
$x + 2z = 3(\lambda + \mu) - 3y = 3(\lambda + \mu - y)$.
કારણ કે $x + 2z$ એ $3$ વડે વિભાજ્ય છે,તેથી $(x, z) \in R$.
તેથી,$R$ પરંપરિત છે.
નિષ્કર્ષ: $R$ સ્વવાચક,સંમિત અને પરંપરિત હોવાથી,તે સામ્ય સંબંધ છે.

(C) અહીં સંબંધ $\rho$ ને $x \rho y \iff xy > 0$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરેલ છે.
$(i)$ સ્વવાચક: જો $\rho$ સ્વવાચક હોય,તો દરેક $x \in \mathbb{R}$ માટે $x \rho x$ સાચું હોવું જોઈએ. આનો અર્થ એ છે કે $x \cdot x > 0$ અથવા $x^2 > 0$. આ $x = 0$ માટે ખોટું છે કારણ કે $0^2 = 0 \ngtr 0$. તેથી,$\rho$ સ્વવાચક નથી.
(ii) સંમિત: જો $x \rho y$ હોય,તો $xy > 0$ થાય. ગુણાકારના ક્રમના નિયમ મુજબ $yx > 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $y \rho x$. તેથી,$\rho$ સંમિત છે.
(iii) પરંપરિત: ધારો કે $x \rho y$ અને $y \rho z$ છે. તો $xy > 0$ અને $yz > 0$ થાય. અહીં $y \neq 0$ હોવું જોઈએ (કારણ કે $xy > 0$),તેથી $y^2 > 0$ થાય. અસમતાઓનો ગુણાકાર કરતા,આપણને $(xy)(yz) > 0$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $y^2(xz) > 0$ થાય. કારણ કે $y^2 > 0$,તેથી $xz > 0$ હોવું જ જોઈએ. આમ,$x \rho z$ થાય છે. તેથી,$\rho$ પરંપરિત છે.
નિષ્કર્ષ: સંબંધ સંમિત અને પરંપરિત છે.