Types of Relations Questions in Gujarati

(B) ગણ $A$ એ $A = \{1, 2, 3, 4, 6\}$ તરીકે આપેલ છે.
$R$ એ $A$ પરનો એવો સંબંધ છે કે જેમાં $b$ ને $a$ વડે નિઃશેષ ભાગી શકાય છે.
આપણે ક્રમયુક્ત જોડીઓ $(a, b)$ લખીએ છીએ જેમાં $a$ એ $b$ નો ભાજક છે:
$(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 6), (2, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 3), (3, 6), (4, 4), (6, 6)$.
$R$ નો પ્રદેશ એ $R$ માં રહેલી તમામ ક્રમયુક્ત જોડીઓના પ્રથમ ઘટકોનો ગણ છે.
પ્રદેશ $= \{1, 2, 3, 4, 6\}$.

(A) સંબંધ $R$ ને $R = \{(a, b) : a, b \in A, b \text{ એ } a \text{ વડે નિઃશેષ ભાગી શકાય છે}\}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવ્યો છે.
દરેક $a \in A$ માટે,આપણે તપાસીએ છીએ કે કયા $b \in A$ શરતનું પાલન કરે છે:
$a = 1$ માટે: $b \in \{1, 2, 3, 4, 6\}$ (કારણ કે $1$ આ બધી સંખ્યાઓને ભાગી શકે છે).
$a = 2$ માટે: $b \in \{2, 4, 6\}$.
$a = 3$ માટે: $b \in \{3, 6\}$.
$a = 4$ માટે: $b \in \{4\}$.
$a = 6$ માટે: $b \in \{6\}$.
બધા બીજા ઘટકોનો સમૂહ (વિસ્તાર) એ $R$ ની ક્રમયુક્ત જોડીઓમાં દેખાતા તમામ $b$ મૂલ્યોનો સમૂહ છે.
વિસ્તાર $= \{1, 2, 3, 4, 6\}$.

(D) $1$. સ્વવાચકતા: દરેક ગણ એ પોતાનો ઉપગણ હોવાથી,દરેક $A \in P(X)$ માટે $A \subset A$ થાય છે. તેથી,દરેક $A \in P(X)$ માટે $ARA$ સત્ય છે,એટલે કે $R$ સ્વવાચક છે.
$2$. સંમિતતા: $R$ સંમિત હોવા માટે,$ARB$ પરથી $BRA$ મળવું જોઈએ. અહીં,$ARB$ નો અર્થ $A \subset B$ થાય છે. આના પરથી $B \subset A$ સાબિત થતું નથી. ઉદાહરણ તરીકે,જો $X = \{1, 2, 3\}$,$A = \{1\}$,અને $B = \{1, 2\}$ લઈએ,તો $A \subset B$ ($ARB$ સત્ય છે),પરંતુ $B \not\subset A$ ($BRA$ અસત્ય છે). આમ,$R$ સંમિત નથી.
$3$. પરંપરિતતા: જો $ARB$ અને $BRC$ હોય,તો $A \subset B$ અને $B \subset C$ થાય. ઉપગણની વ્યાખ્યા મુજબ,આના પરથી $A \subset C$ મળે છે,તેથી $ARC$ સત્ય છે. આમ,$R$ પરંપરિત છે.
નિષ્કર્ષ: $R$ સંમિત ન હોવાથી,તે સામ્ય સંબંધ નથી.

(D) આપેલ ગણ $A = \{1, 2, 3\}$ છે.
સંબંધ $R$ સ્વવાચક હોવા માટે,તેમાં $(1, 1), (2, 2), (3, 3)$ હોવા જરૂરી છે.
સંબંધ $R$ સંમિત હોવા માટે,જો $(1, 2) \in R$ હોય,તો $(2, 1) \in R$ હોવું જોઈએ. જો $(1, 3) \in R$ હોય,તો $(3, 1) \in R$ હોવું જોઈએ.
આમ,$(1, 2)$ અને $(1, 3)$ ધરાવતો સૌથી નાનો સ્વવાચક અને સંમિત સંબંધ $R = \{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1)\}$ છે.
હવે,પરંપરિતતા માટે તપાસીએ: $(2, 1) \in R$ અને $(1, 3) \in R$ છે,તેથી પરંપરિતતા માટે $(2, 3) \in R$ હોવું જોઈએ. તેમજ,$(3, 1) \in R$ અને $(1, 2) \in R$ છે,તેથી $(3, 2) \in R$ હોવું જોઈએ.
જો આપણે $R$ માં $(2, 3)$ અને $(3, 2)$ ઉમેરીએ,તો તે સંબંધ $A$ પરનો સાર્વત્રિક સંબંધ બની જાય છે,જે પરંપરિત છે.
તેથી,માત્ર એક જ સંબંધ છે જે આપેલી શરતોનું પાલન કરે છે,જે પરંપરિત નથી કારણ કે $(2, 1) \in R$ અને $(1, 3) \in R$ છે પરંતુ $(2, 3) \notin R$.
આમ,આવા સંબંધોની સંખ્યા $1$ છે.
સાચો જવાબ $D$ છે.

(A) આપેલ ગણ $A = \{1, 2, 3\}$ છે.
સામ્ય સંબંધ સ્વવાચક,સંમિત અને પરંપરિત હોવો જોઈએ.
પ્રથમ,સ્વવાચકતા માટે,સંબંધમાં $(1, 1), (2, 2), (3, 3)$ હોવા જોઈએ.
સંબંધમાં $(1, 2)$ હોવાથી,સંમિતતાના નિયમ મુજબ તેમાં $(2, 1)$ પણ હોવું જોઈએ.
આમ,$(1, 2)$ ને સમાવતો સૌથી નાનો સામ્ય સંબંધ $R_1 = \{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1)\}$ છે.
હવે,અન્ય ઘટકો ઉમેરવાનું વિચારીએ. જો આપણે $(2, 3)$ ઉમેરીએ,તો સંમિતતા માટે $(3, 2)$ ઉમેરવું પડે. પરંપરિતતા માટે,જો $(1, 2) \in R$ અને $(2, 3) \in R$ હોય,તો $(1, 3) \in R$ હોવું જોઈએ. સંમિતતા મુજબ,$(3, 1) \in R$ પણ હોવું જોઈએ. આ બધાને ઉમેરતા આપણને સાર્વત્રિક સંબંધ $R_2 = A \times A$ મળે છે,જેમાં તમામ $9$ ઘટકોનો સમાવેશ થાય છે.
આમ,$(1, 2)$ ને સમાવતા કુલ $2$ સામ્ય સંબંધો મળે છે: $R_1$ અને $R_2$.
સાચો જવાબ $A$ છે.

(N/A) દરેક $a \in Q$ માટે $(a, a) \in R$ છે તે દર્શાવવા માટે,આપણે સંબંધ $R$ ની વ્યાખ્યા ચકાસીએ.
વ્યાખ્યા મુજબ,જો $a - b \in Z$ હોય તો $(a, b) \in R$.
$(a, a)$ જોડી માટે,આપણી પાસે $a - a = 0$ છે.
કારણ કે $0$ એ પૂર્ણાંક છે $(0 \in Z)$,તેથી દરેક $a \in Q$ માટે $(a, a) \in R$ સાબિત થાય છે.

(N/A) આપેલ છે કે $(a, b) \in R$,સંબંધની વ્યાખ્યા મુજબ,આપણી પાસે $a - b \in Z$ છે.
જેમ કે $Z$ એ પૂર્ણાંક સંખ્યાઓનો ગણ છે,જો $x \in Z$,તો $-x \in Z$.
તેથી,$-(a - b) = b - a \in Z$.
જેમ કે $b - a \in Z$,સંબંધની વ્યાખ્યા મુજબ,આપણી પાસે $(b, a) \in R$ છે.

(N/A) આપેલ છે કે $(a, b) \in R$,જેનો અર્થ છે $a - b \in Z$.
આપેલ છે કે $(b, c) \in R$,જેનો અર્થ છે $b - c \in Z$.
આપણે તપાસવું છે કે શું $(a, c) \in R$,જેના માટે $a - c \in Z$ હોવું જરૂરી છે.
$a - c = (a - b) + (b - c)$ લો.
બે પૂર્ણાંકોનો સરવાળો હંમેશા પૂર્ણાંક હોવાથી,$(a - b) + (b - c) \in Z$.
તેથી,$a - c \in Z$,જેનો અર્થ છે કે $(a, c) \in R$.

(B) સંબંધ $R = \{(a, b) : a, b \in N \text{ અને } a = b^2\}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
તમામ $a \in N$ માટે $(a, a) \in R$ વિધાન સત્ય હોવા માટે,દરેક પ્રાકૃતિક સંખ્યા $a \in N$ માટે $a = a^2$ શરતનું પાલન થવું જોઈએ.
$a = 2$ લો. કારણ કે $2 \in N$,આપણે તપાસીએ કે શું $(2, 2) \in R$ છે.
અહીં,$a = 2$ અને $b = 2$ છે. શરત $a = b^2$ એ $2 = 2^2$ બને છે,જે $2 = 4$ છે.
$2 \neq 4$ હોવાથી,$(2, 2) \notin R$ છે.
તેથી,તમામ $a \in N$ માટે $(a, a) \in R$ વિધાન અસત્ય છે.

(N/A) સંબંધ $R = \{(a, b) : a, b \in N \text{ અને } a = b^2\}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
શું $(a, b) \in R$ અને $(b, c) \in R$ એ $(a, c) \in R$ સૂચવે છે તે તપાસવા માટે,આપણે ઉદાહરણ લઈએ.
ધારો કે $a = 16, b = 4, c = 2$.
$16 = 4^2$ હોવાથી,$(16, 4) \in R$.
$4 = 2^2$ હોવાથી,$(4, 2) \in R$.
હવે,આપણે તપાસીએ કે શું $(16, 2) \in R$.
$(16, 2)$ એ $R$ માં હોવા માટે,તેણે $a = b^2$ નું પાલન કરવું જોઈએ,એટલે કે $16 = 2^2$.
$16 \neq 4$ હોવાથી,$(16, 2) \notin R$.
તેથી,આ વિધાન અસત્ય છે.

(D) સંબંધ $R$ પરંપરિત કહેવાય જો $(a, b) \in R$ અને $(b, c) \in R$ હોય તો $(a, c) \in R$ થાય.
$R_{1}$ માટે: ધારો કે $a = 2 + \sqrt{3}$,$b = 2 - \sqrt{3}$,અને $c = 1 + 2\sqrt{3}$.
તો $a^{2} + b^{2} = (7 + 4\sqrt{3}) + (7 - 4\sqrt{3}) = 14 \in \mathbb{Q}$. તેથી $(a, b) \in R_{1}$.
તેમજ $b^{2} + c^{2} = (7 - 4\sqrt{3}) + (13 + 4\sqrt{3}) = 20 \in \mathbb{Q}$. તેથી $(b, c) \in R_{1}$.
પરંતુ $a^{2} + c^{2} = (7 + 4\sqrt{3}) + (13 + 4\sqrt{3}) = 20 + 8\sqrt{3} \notin \mathbb{Q}$.
આમ,$(a, c) \notin R_{1}$,તેથી $R_{1}$ પરંપરિત નથી.
$R_{2}$ માટે: જો આપણે $a^{2} = 1$,$b^{2} = \sqrt{3}$,અને $c^{2} = 2$ લઈએ,તો $a^{2} + b^{2} \notin \mathbb{Q}$ અને $b^{2} + c^{2} \notin \mathbb{Q}$,પરંતુ $a^{2} + c^{2} = 3 \in \mathbb{Q}$.
આમ,$(a, c) \notin R_{2}$,તેથી $R_{2}$ પરંપરિત નથી.
તેથી,$R_{1}$ કે $R_{2}$ બંનેમાંથી કોઈ પણ પરંપરિત નથી.

(D) આપેલ ગણ $A = \{2, 3, 4, 5, \ldots, 30\}$ છે.
સામ્ય સંબંધ $(a, b) \simeq (c, d)$ જો અને માત્ર જો $ad = bc$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે.
આપણે એવી ક્રમયુક્ત જોડો $(c, d)$ ની સંખ્યા શોધવાની છે કે જે $(c, d) \simeq (4, 3)$ નું પાલન કરે.
વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરતા,આપણને $c \times 3 = d \times 4$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{c}{d} = \frac{4}{3}$.
આનો અર્થ એ છે કે $c = 4k$ અને $d = 3k$ કોઈ અચળાંક $k$ માટે,જ્યાં $c, d \in A$.
કારણ કે $c, d \in \{2, 3, \ldots, 30\}$,આપણે $k$ માટે શક્ય કિંમતો તપાસીએ:
$k=1$ માટે: $(c, d) = (4, 3)$
$k=2$ માટે: $(c, d) = (8, 6)$
$k=3$ માટે: $(c, d) = (12, 9)$
$k=4$ માટે: $(c, d) = (16, 12)$
$k=5$ માટે: $(c, d) = (20, 15)$
$k=6$ માટે: $(c, d) = (24, 18)$
$k=7$ માટે: $(c, d) = (28, 21)$
$k=8$ માટે: $(c, d) = (32, 24)$,જે શક્ય નથી કારણ કે $32 \notin A$.
આમ,શક્ય ક્રમયુક્ત જોડો $(4, 3), (8, 6), (12, 9), (16, 12), (20, 15), (24, 18), (28, 21)$ છે.
આવી કુલ ક્રમયુક્ત જોડોની સંખ્યા $7$ છે.

(C) સંબંધ $R$ એ $A R B \iff B = P A P^{-1}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે,જ્યાં $P$ એક અસામાન્ય શ્રેણિક છે.
$1$. સ્વવાચકતા: કોઈપણ શ્રેણિક $A$ માટે,આપણે $P = I$ (એકમ શ્રેણિક) લઈ શકીએ. તેથી $I A I^{-1} = I A I = A$. આમ,$A R A$ સત્ય છે. તેથી,$R$ સ્વવાચક છે.
$2$. સંમિતતા: ધારો કે $A R B$. તો કોઈ અસામાન્ય શ્રેણિક $P$ માટે $B = P A P^{-1}$ થાય. આપણે $A = P^{-1} B P$ લખી શકીએ. ધારો કે $Q = P^{-1}$. $P$ અસામાન્ય હોવાથી,$Q$ પણ અસામાન્ય છે. તેથી $A = Q B Q^{-1}$. આમ,$B R A$ સત્ય છે. તેથી,$R$ સંમિત છે.
$3$. પરંપરિતતા: ધારો કે $A R B$ અને $B R C$. તો કોઈ અસામાન્ય શ્રેણિકો $P$ અને $Q$ માટે $B = P A P^{-1}$ અને $C = Q B Q^{-1}$ થાય. બીજા સમીકરણમાં $B$ ની કિંમત મૂકતા,$C = Q (P A P^{-1}) Q^{-1} = (Q P) A (P^{-1} Q^{-1}) = (Q P) A (Q P)^{-1}$. બે અસામાન્ય શ્રેણિકોનો ગુણાકાર $Q P$ પણ અસામાન્ય હોવાથી,$A R C$ સત્ય છે. તેથી,$R$ પરંપરિત છે.
આમ,$R$ સ્વવાચક,સંમિત અને પરંપરિત હોવાથી,તે એક સામ્ય સંબંધ છે.

(D) સંબંધ $R$ એવા તમામ બિંદુઓ $(P, Q)$ ના ગણ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે કે જેથી ઉગમબિંદુથી $P$ નું અંતર એ ઉગમબિંદુથી $Q$ ના અંતર જેટલું હોય.
બિંદુ $(x_0, y_0)$ નો સામ્ય વર્ગ એવા તમામ બિંદુઓ $(x, y)$ નો ગણ છે કે જેથી ઉગમબિંદુથી $(x, y)$ નું અંતર એ ઉગમબિંદુથી $(x_0, y_0)$ ના અંતર જેટલું હોય.
બિંદુ $(1, -1)$ નું ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી અંતર $\sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$ છે.
તેથી,$(1, -1)$ નો સામ્ય વર્ગ એવા તમામ બિંદુઓ $(x, y)$ ધરાવે છે કે જેથી $\sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{2}$ થાય.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $x^2 + y^2 = 2$ મળે છે.
આમ,સામ્ય વર્ગ એ $S = \{(x, y) \mid x^2 + y^2 = 2\}$ ગણ છે.

(B) પ્રથમ,$A \cap B$ ગણ શોધો:
$A = \{(x, y) \in Z \times Z : (x-2)^{2} + y^{2} \leq 4\}$
$B = \{(x, y) \in Z \times Z : x^{2} + y^{2} \leq 4\}$
બંને અસમતાઓનું પાલન કરતા પૂર્ણાંક બિંદુઓ $(x, y)$ એ $(1, 0), (1, 1), (1, -1), (2, 0), (0, 0)$ છે.
તેથી,$n(A \cap B) = 5$.
ત્યારબાદ,$A \cap C$ ગણ શોધો:
$A = \{(x, y) \in Z \times Z : (x-2)^{2} + y^{2} \leq 4\}$
$C = \{(x, y) \in Z \times Z : (x-2)^{2} + (y-2)^{2} \leq 4\}$
બંને અસમતાઓનું પાલન કરતા પૂર્ણાંક બિંદુઓ $(x, y)$ એ $(2, 0), (2, 1), (2, 2), (1, 1), (3, 1)$ છે.
તેથી,$n(A \cap C) = 5$.
$A \cap B$ થી $A \cap C$ સુધીના સંબંધોની કુલ સંખ્યા $2^{n(A \cap B) \times n(A \cap C)} = 2^{5 \times 5} = 2^{25}$ દ્વારા મળે છે.
આને $2^{p}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $p = 25$ મળે છે.

(B) દરેક વિકલ્પનું વિશ્લેષણ કરીએ:
$A$: $0 < |x| - |y| \leq 1$ માટે,જો $(x, y) \in R$ હોય,તો $|x| > |y|$ થાય. આ સંમિત નથી કારણ કે $(y, x) \notin R$. આ પરંપરિત પણ નથી કારણ કે $(3, 2) \in R$ અને $(2, 1) \in R$ છે,પરંતુ $(3, 1) \notin R$ કારણ કે $|3| - |1| = 2 > 1$. આ વિધાન સાચું છે.
$B$: $0 < |x - y| \leq 1$ માટે,જો $(x, y) \in R$ હોય,તો $|x - y| = |y - x|$ થાય,તેથી તે સંમિત છે. જોકે,તે પરંપરિત નથી. ઉદાહરણ તરીકે,$(1, 1.6) \in R$ અને $(1.6, 2.2) \in R$ છે,પરંતુ $|1 - 2.2| = 1.2 > 1$ હોવાથી $(1, 2.2) \notin R$. આમ,તે પરંપરિત નથી. આ વિધાન ખોટું છે.
$C$: $|x| - |y| \leq 1$ માટે,તે સ્વવાચક છે કારણ કે $|x| - |x| = 0 \leq 1$. તે સંમિત નથી કારણ કે $|2| - |0| = 2 \not\leq 1$. આ વિધાન સાચું છે.
$D$: $|x - y| \leq 1$ માટે,તે સ્વવાચક છે કારણ કે $|x - x| = 0 \leq 1$. તે સંમિત છે કારણ કે $|x - y| = |y - x|$. આ વિધાન સાચું છે.
તેથી,ખોટું વિધાન $B$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $x^{3}-3x^{2}y-xy^{2}+3y^{3}=0$ છે.
પદાવલિના અવયવ પાડતા:
$x^{2}(x-3y) - y^{2}(x-3y) = 0$
$(x^{2}-y^{2})(x-3y) = 0$
$(x-y)(x+y)(x-3y) = 0$
આનો અર્થ એ છે કે $x=y$ અથવા $x=-y$ અથવા $x=3y$.
કારણ કે $x, y \in N$,$x=-y$ શક્ય નથી કારણ કે $x, y > 0$.
આમ,સંબંધ $R = \{(x, y) \in N \times N : x=y \text{ અથવા } x=3y\}$ છે.
$1$. સ્વવાચકતા: કોઈપણ $x \in N$ માટે,$(x, x) \in R$ કારણ કે $x=x$ સત્ય છે. તેથી,$R$ સ્વવાચક છે.
$2$. સંમિતતા: $(3, 1) \in R$ ધ્યાનમાં લો કારણ કે $3=3(1)$. જોકે,$(1, 3) \notin R$ કારણ કે $1 \neq 3$ અને $1 \neq 3(3)=9$. તેથી,$R$ સંમિત નથી.
$3$. પરંપરિતતા: $(9, 3) \in R$ (કારણ કે $9=3(3)$) અને $(3, 1) \in R$ (કારણ કે $3=3(1)$) ધ્યાનમાં લો. $R$ પરંપરિત હોવા માટે,$(9, 1)$ એ $R$ માં હોવું જોઈએ. પરંતુ $9 \neq 1$ અને $9 \neq 3(1)=3$. તેથી,$R$ પરંપરિત નથી.
તેથી,$R$ સ્વવાચક છે પરંતુ સંમિત કે પરંપરિત નથી.

(B) $R_{1} = \{(a, b) \in N \times N : |a - b| \leq 13\}$ માટે:
$(i)$ સ્વવાચક: $|a - a| = 0 \leq 13$,તેથી $(a, a) \in R_{1}$. તે સ્વવાચક છે.
(ii) સંમિત: જો $|a - b| \leq 13$ હોય,તો $|b - a| = |-(a - b)| = |a - b| \leq 13$. તેથી $(b, a) \in R_{1}$. તે સંમિત છે.
(iii) પરંપરિત: ધારો કે $(1, 10) \in R_{1}$ અને $(10, 20) \in R_{1}$. અહીં $|1 - 10| = 9 \leq 13$ અને $|10 - 20| = 10 \leq 13$. જોકે,$|1 - 20| = 19 \not\leq 13$. આમ,$(1, 20) \notin R_{1}$. $R_{1}$ પરંપરિત નથી,તેથી તે સામ્ય સંબંધ નથી.
$R_{2} = \{(a, b) \in N \times N : |a - b| \neq 13\}$ માટે:
$(i)$ સ્વવાચક: $|a - a| = 0 \neq 13$. તેથી $(a, a) \in R_{2}$. તે સ્વવાચક છે.
(ii) સંમિત: જો $|a - b| \neq 13$ હોય,તો $|b - a| = |a - b| \neq 13$. તેથી $(b, a) \in R_{2}$. તે સંમિત છે.
(iii) પરંપરિત: ધારો કે $(1, 2) \in R_{2}$ અને $(2, 14) \in R_{2}$. અહીં $|1 - 2| = 1 \neq 13$ અને $|2 - 14| = 12 \neq 13$. પરંતુ $|1 - 14| = 13$,તેથી $(1, 14) \notin R_{2}$. આમ,$R_{2}$ પરંપરિત નથી,તેથી તે સામ્ય સંબંધ નથી.
તેથી,$R_{1}$ કે $R_{2}$ માંથી કોઈ પણ સામ્ય સંબંધ નથી.

(D) ગણ $S = \{1, 2, \ldots, 50\}$ છે. $S$ માં અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ $p = \{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47\}$ (કુલ $15$ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ) છે.
$R_{1}$ માટે,આપણે $p^{n} \leq 50$ જોઈએ જ્યાં $n \geq 0$:
- $p=2$ માટે: $2^{0}, 2^{1}, 2^{2}, 2^{3}, 2^{4}, 2^{5} \leq 50$ ($6$ ઘટકો).
- $p=3$ માટે: $3^{0}, 3^{1}, 3^{2}, 3^{3} \leq 50$ ($4$ ઘટકો).
- $p=5$ માટે: $5^{0}, 5^{1}, 5^{2} \leq 50$ ($3$ ઘટકો).
- $p=7$ માટે: $7^{0}, 7^{1}, 7^{2} \leq 50$ ($3$ ઘટકો).
- $p \in \{11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47\}$ ($11$ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ) માટે: $p^{0}, p^{1} \leq 50$ ($2$ ઘટકો દરેક,કુલ $11 \times 2 = 22$ ઘટકો).
$R_{1}$ માં કુલ ઘટકો = $6 + 4 + 3 + 3 + 22 = 38$.
$R_{2}$ માટે,$n=0$ અથવા $n=1$ છે:
- દરેક $15$ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ માટે,આપણી પાસે $(p, p^{0})$ અને $(p, p^{1})$ છે.
$R_{2}$ માં કુલ ઘટકો = $15 \times 2 = 30$.
$R_{1} - R_{2}$ માં એવા ઘટકો છે જ્યાં $n \geq 2$:
- $p=2$: $(2, 2^{2}), (2, 2^{3}), (2, 2^{4}), (2, 2^{5})$ ($4$ ઘટકો).
- $p=3$: $(3, 3^{2}), (3, 3^{3})$ ($2$ ઘટકો).
- $p=5$: $(5, 5^{2})$ ($1$ ઘટક).
- $p=7$: $(7, 7^{2})$ ($1$ ઘટક).
$R_{1} - R_{2}$ માં કુલ ઘટકો = $4 + 2 + 1 + 1 = 8$.

(D) સંબંધ $R$ એ રીતે વ્યાખ્યાયિત છે કે $(x, y) \in R$ જો અને માત્ર જો $x$ અને $y$ સમાન ઉપગણ $A_{i}$ માં હોય.
$1$. સ્વવાચકતા: કોઈપણ $x \in A$ માટે,$x$ કોઈક $A_{i}$ માં હોય છે. કારણ કે $x \in A_{i} \iff x \in A_{i}$,તેથી $(x, x) \in R$. આમ,$R$ સ્વવાચક છે.
$2$. સંમિતતા: જો $(x, y) \in R$ હોય,તો $x$ અને $y$ સમાન $A_{i}$ માં છે. આનો અર્થ એ થાય કે $y$ અને $x$ પણ સમાન $A_{i}$ માં છે,તેથી $(y, x) \in R$. આમ,$R$ સંમિત છે.
$3$. પરંપરિતતા: જો $(x, y) \in R$ અને $(y, z) \in R$ હોય,તો $x, y \in A_{i}$ અને $y, z \in A_{j}$ થાય. કારણ કે $i \neq j$ માટે $A_{i} \cap A_{j} = \phi$ છે,તેથી $i = j$ હોવું જ જોઈએ. તેથી,$x, z \in A_{i}$,જેનો અર્થ છે કે $(x, z) \in R$. આમ,$R$ પરંપરિત છે.
$R$ સ્વવાચક,સંમિત અને પરંપરિત હોવાથી,તે એક સામ્ય સંબંધ છે.

(D) $R_{1}$ માટે: $a R_{1} b \iff ab \geq 0$.
$1$. સ્વવાચક: દરેક $a \in \mathbb{R}$ માટે $a \cdot a = a^{2} \geq 0$ થાય. તેથી,$R_{1}$ સ્વવાચક છે.
$2$. સંમિત: જો $ab \geq 0$ હોય,તો $ba \geq 0$ થાય. તેથી,$R_{1}$ સંમિત છે.
$3$. પરંપરિત: ધારો કે $a=2, b=0, c=-2$. તો $ab = 2 \cdot 0 = 0 \geq 0$ અને $bc = 0 \cdot (-2) = 0 \geq 0$ થાય છે. પરંતુ $ac = 2 \cdot (-2) = -4 < 0$ થાય છે. તેથી,$R_{1}$ પરંપરિત નથી.
આમ,$R_{1}$ સામ્ય સંબંધ નથી.
$R_{2}$ માટે: $a R_{2} b \iff a \geq b$.
$1$. સ્વવાચક: દરેક $a \in \mathbb{R}$ માટે $a \geq a$ સત્ય છે. તેથી,$R_{2}$ સ્વવાચક છે.
$2$. સંમિત: જો $a \geq b$ હોય,તો તેનો અર્થ એ નથી કે $b \geq a$ (દા.ત.,$2 \geq 1$ પણ $1 \ngeq 2$). તેથી,$R_{2}$ સંમિત નથી.
$3$. પરંપરિત: જો $a \geq b$ અને $b \geq c$ હોય,તો $a \geq c$ થાય. તેથી,$R_{2}$ પરંપરિત છે.
$R_{2}$ સંમિત ન હોવાથી,તે સામ્ય સંબંધ નથી.
આમ,$R_{1}$ કે $R_{2}$ પૈકી કોઈ પણ સામ્ય સંબંધ નથી.

(D) $R$ સ્વવાચક (reflexive) હોવા માટે,તમામ $x \in N$ માટે $xRx$ સાચું હોવું જોઈએ.
$3x + \alpha x = (3 + \alpha)x$ એ $7$ નો ગુણક હોવો જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે $(3 + \alpha)$ એ $7$ નો ગુણક હોવો જોઈએ,તેથી $3 + \alpha = 7k \Rightarrow \alpha = 7k - 3 = 7(k-1) + 4$.
આમ,જ્યારે $\alpha$ ને $7$ વડે ભાગવામાં આવે ત્યારે શેષ $4$ વધે છે.
$R$ સંમિત (symmetric) હોવા માટે,$xRy \Rightarrow yRx$.
$3x + \alpha y = 7n_1$ અને $3y + \alpha x = 7n_2$.
આ બંનેની બાદબાકી કરતા,$(3 - \alpha)(x - y) = 7(n_1 - n_2)$. આ શરત ત્યારે સંતોષાય છે જો $3 + \alpha$ એ $7$ નો ગુણક હોય.
$R$ પરંપરિત (transitive) હોવા માટે,$xRy$ અને $yRz \Rightarrow xRz$.
$3x + \alpha y = 7n_1$ અને $3y + \alpha z = 7n_2$.
પ્રથમ સમીકરણમાંથી,$\alpha y = 7n_1 - 3x$. બીજામાં મૂકતા: $3y + \alpha z = 7n_2$.
$y$ નો લોપ કરીને,આપણે શોધી શકીએ છીએ કે સંબંધ પરંપરિત છે જો $3 + \alpha$ એ $7$ નો ગુણક હોય.
તેથી,$R$ સામ્ય સંબંધ હોવા માટેની શરત એ છે કે જ્યારે $\alpha$ ને $7$ વડે ભાગવામાં આવે ત્યારે શેષ $4$ વધે.

(B) સંબંધ $R$ ને $R = \{(a, b) : a \in \{1, 2, \ldots, 60\}, b = pq, p, q \geq 3, p, q \text{ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ}, b \leq 60\}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવ્યો છે.
$a$ એ $1$ થી $60$ સુધીની કોઈપણ કિંમત હોઈ શકે છે,તેથી $a$ માટે $60$ પસંદગીઓ છે.
આપણે $b = pq$ માટે શક્ય કિંમતો શોધવાની જરૂર છે જેથી $b \leq 60$ અને $p, q \geq 3$ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ હોય.
કિસ્સો $1$: $p = 3$. તો $b = 3q$. $b \leq 60$ હોવાથી,$3q \leq 60 \implies q \leq 20$. $q \geq 3$ હોય તેવી અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ $3, 5, 7, 11, 13, 17, 19$ છે. કુલ $7$ કિંમતો છે.
કિસ્સો $2$: $p = 5$. તો $b = 5q$. $b \leq 60$ હોવાથી,$5q \leq 60 \implies q \leq 12$. $q \geq 5$ હોય તેવી અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ $5, 7, 11$ છે. કુલ $3$ કિંમતો છે.
કિસ્સો $3$: $p = 7$. તો $b = 7q$. $b \leq 60$ હોવાથી,$7q \leq 60 \implies q \leq 8.57$. $q \geq 7$ હોય તેવી અવિભાજ્ય સંખ્યા $7$ છે. કુલ $1$ કિંમત છે.
કિસ્સો $4$: $p = 11$. તો $b = 11q$. $b \leq 60$ હોવાથી,$11q \leq 60 \implies q \leq 5.45$. આ શરત સંતોષતી $q \geq 11$ હોય તેવી કોઈ અવિભાજ્ય સંખ્યા નથી.
$b$ માટે કુલ કિંમતો = $7 + 3 + 1 = 11$.
$a$ માટે $60$ પસંદગીઓ અને $b$ માટે $11$ પસંદગીઓ હોવાથી,$R$ માં કુલ ઘટકોની સંખ્યા $60 \times 11 = 660$ છે.

(D) ધારો કે $n(A) = 10$. $A$ થી $A$ પરના કુલ સંબંધોની સંખ્યા $2^{n^2} = 2^{100}$ છે.
સંબંધ સ્વવાચક હોવા માટે,$(a, a)$ સ્વરૂપના તમામ $10$ ઘટકો સંબંધમાં હોવા આવશ્યક છે.
$A \times A$ માં બાકીના $100 - 10 = 90$ ઘટકો છે જે સંબંધમાં હોઈ શકે અથવા ન પણ હોઈ શકે.
તેથી,કુલ સ્વવાચક સંબંધોની સંખ્યા $2^{90}$ છે.
સંબંધ સંમિત હોવા માટે,જો $(a, b)$ હાજર હોય,તો તમામ $a \neq b$ માટે $(b, a)$ પણ હાજર હોવું જોઈએ.
$\{(a, b), (b, a)\}$ સ્વરૂપની આવી $45$ જોડીઓ છે.
સ્વવાચક અને સંમિત સંબંધ માટે,$10$ વિકર્ણ ઘટકો $(a, a)$ હાજર હોવા જોઈએ,અને $45$ જોડીઓમાંથી દરેક માટે,આપણી પાસે $2$ વિકલ્પો છે (કાં તો બંને હાજર છે અથવા બંને ગેરહાજર છે).
તેથી,સ્વવાચક અને સંમિત સંબંધોની સંખ્યા $2^{45}$ છે.
સ્વવાચક પરંતુ સંમિત ન હોય તેવા સંબંધોની સંખ્યા એ કુલ સ્વવાચક સંબંધોમાંથી સ્વવાચક અને સંમિત સંબંધોની સંખ્યા બાદ કરવાથી મળે છે.
જરૂરી સંખ્યા $= 2^{90} - 2^{45}$.

(A) સંબંધ $aRb \iff a \mid b^2$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે,જ્યાં $a, b \in \mathbb{N}$.
$I.$ સ્વવાચકતા: કોઈપણ $a \in \mathbb{N}$ માટે,$a^2$ એ હંમેશા $a$ વડે વિભાજ્ય છે (કારણ કે $a^2/a = a \in \mathbb{N}$). તેથી,દરેક $a \in \mathbb{N}$ માટે $(a, a) \in R$. આમ,$R$ સ્વવાચક છે.
$II.$ સંમિતતા: $R$ સંમિત હોય તે માટે $aRb \implies bRa$ હોવું જોઈએ. ધારો કે $a=2$ અને $b=6$. અહીં $2 \mid 6^2$ $(2 \mid 36)$ સત્ય છે,તેથી $(2, 6) \in R$. પરંતુ $6 \mid 2^2$ $(6 \mid 4)$ અસત્ય છે. તેથી,$R$ સંમિત નથી.
$III.$ પરંપરિતતા: $R$ પરંપરિત હોય તે માટે $(a, b) \in R$ અને $(b, c) \in R \implies (a, c) \in R$ હોવું જોઈએ. ધારો કે $a=8, b=4, c=2$.
$(8, 4) \in R$ કારણ કે $8 \mid 4^2$ $(8 \mid 16)$.
$(4, 2) \in R$ કારણ કે $4 \mid 2^2$ $(4 \mid 4)$.
$(8, 2)$ માટે તપાસો: $8 \mid 2^2$ $(8 \mid 4)$ અસત્ય છે. તેથી,$R$ પરંપરિત નથી.
આમ,માત્ર $I$ સાચું છે.

(D) સ્વવાચકતા: $R$ સ્વવાચક હોય તે માટે,દરેક $a \in \mathbb{Z}$ માટે $(a, a) \in R$ હોવું જોઈએ.
આ માટે $\operatorname{gcd}(a, a) = |a| = 1$ અને $2a \neq a$ હોવું જરૂરી છે. આ દરેક $a \in \mathbb{Z}$ માટે સાચું નથી (દા.ત.,$a=2$),તેથી $R$ સ્વવાચક નથી.
સંમિતતા: $R$ સંમિત હોય તે માટે,જો $(a, b) \in R$ હોય,તો $(b, a) \in R$ હોવું જોઈએ.
ધારો કે $a=2, b=1$. $\operatorname{gcd}(2, 1) = 1$ અને $2(2) = 4 \neq 1$,તેથી $(2, 1) \in R$.
પરંતુ,$(1, 2)$ માટે,$\operatorname{gcd}(1, 2) = 1$ પણ $2(1) = 2 = b$. શરત $2a \neq b$ નું પાલન થતું નથી,તેથી $(1, 2) \notin R$.
આમ,$R$ સંમિત નથી.
પરંપરિતતા: $R$ પરંપરિત હોય તે માટે,જો $(a, b) \in R$ અને $(b, c) \in R$ હોય,તો $(a, c) \in R$ હોવું જોઈએ.
ધારો કે $a=14, b=19, c=21$.
$\operatorname{gcd}(14, 19) = 1$ અને $2(14) = 28 \neq 19$,તેથી $(14, 19) \in R$.
$\operatorname{gcd}(19, 21) = 1$ અને $2(19) = 38 \neq 21$,તેથી $(19, 21) \in R$.
પરંતુ,$\operatorname{gcd}(14, 21) = 7 \neq 1$,તેથી $(14, 21) \notin R$.
આમ,$R$ પરંપરિત નથી.
નિષ્કર્ષ: $R$ ન તો સંમિત છે કે ન તો પરંપરિત છે.

(D) ગણ $A = \{a, b, c, d\}$ પરના સંબંધ $R$ ને સામ્ય સંબંધ બનાવવા માટે,તે સ્વવાચક,સંમિત અને પરંપરિત હોવો જોઈએ.
$1$. સ્વવાચકતા: દરેક $x \in A$ માટે,$(x, x) \in R$. તેથી,આપણે $(a, a), (b, b), (c, c), (d, d)$ ઉમેરવા પડશે. ($4$ ઘટકો)
$2$. સંમિતતા: જો $(x, y) \in R$,તો $(y, x) \in R$. આપેલ $(a, b), (b, c), (b, d) \in R$ માટે,આપણે $(b, a), (c, b), (d, b)$ ઉમેરવા પડશે. ($3$ ઘટકો)
$3$. પરંપરિતતા: જો $(x, y) \in R$ અને $(y, z) \in R$,તો $(x, z) \in R$.
$(a, b)$ અને $(b, c)$ પરથી,$(a, c)$ ઉમેરો.
$(a, b)$ અને $(b, d)$ પરથી,$(a, d)$ ઉમેરો.
$(c, b)$ અને $(b, d)$ પરથી,$(c, d)$ ઉમેરો.
$(d, b)$ અને $(b, c)$ પરથી,$(d, c)$ ઉમેરો.
$(a, c)$ અને $(a, d)$ ની સંમિતતા માટે $(c, a)$ અને $(d, a)$ ઉમેરવા પડશે. ($2$ ઘટકો)
કુલ સંબંધ $R = \{(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (a, b), (b, a), (b, c), (c, b), (b, d), (d, b), (a, c), (c, a), (a, d), (d, a), (c, d), (d, c)\}$ છે.
કુલ ઘટકો = $16$. આપેલ ઘટકો = $3$. ઉમેરવાના ઘટકો = $16 - 3 = 13$.

(D) $1$. સ્વવાચકતા: કોઈપણ $a \in N$ માટે,$2a + 3a = 5a$,જે $5$ નો ગુણક છે. તેથી,દરેક $a \in N$ માટે $a R a$ સત્ય છે. આમ,$R$ સ્વવાચક છે.
$2$. સંમિતતા: ધારો કે $a R b$,તો $2a + 3b = 5k$ કોઈ પૂર્ણાંક $k$ માટે.
આપણે તપાસવું છે કે શું $b R a$ સત્ય છે,એટલે કે $2b + 3a$ એ $5$ નો ગુણક છે કે નહીં.
નોંધો કે $(2a + 3b) + (2b + 3a) = 5a + 5b = 5(a + b)$.
કારણ કે $2a + 3b = 5k$,તેથી $2b + 3a = 5(a + b) - 5k = 5(a + b - k)$.
કારણ કે $a, b, k$ પૂર્ણાંકો છે,$5(a + b - k)$ એ $5$ નો ગુણક છે. તેથી,$b R a$ સત્ય છે. આમ,$R$ સંમિત છે.
$3$. પરંપરિતતા: ધારો કે $a R b$ અને $b R c$.
તો $2a + 3b = 5k_1$ અને $2b + 3c = 5k_2$ કોઈ પૂર્ણાંકો $k_1, k_2$ માટે.
આપણે તપાસવું છે કે શું $a R c$ સત્ય છે,એટલે કે $2a + 3c$ એ $5$ નો ગુણક છે કે નહીં.
$2a + 3b = 5k_1$ પરથી,$2a = 5k_1 - 3b$.
$2b + 3c = 5k_2$ પરથી,$3c = 5k_2 - 2b$.
આ બંનેનો સરવાળો કરતા,$2a + 3c = 5k_1 + 5k_2 - 5b = 5(k_1 + k_2 - b)$.
કારણ કે $k_1, k_2, b$ પૂર્ણાંકો છે,$2a + 3c$ એ $5$ નો ગુણક છે. તેથી,$a R c$ સત્ય છે. આમ,$R$ પરંપરિત છે.
$R$ સ્વવાચક,સંમિત અને પરંપરિત હોવાથી,તે સામ્ય સંબંધ છે.

(B) આપેલ છે $R = \{(a, b), (b, c)\}$ ગણ $A = \{a, b, c\}$ પર.
સંબંધ $R$ સંમિત બને તે માટે,જો $(x, y) \in R$ હોય,તો $(y, x) \in R$ હોવું જોઈએ.
સંમિતતા માટે ઉમેરવા પડતા ઘટકો:
$(a, b) \in R$ હોવાથી,આપણે $(b, a)$ ઉમેરવું પડશે.
$(b, c) \in R$ હોવાથી,આપણે $(c, b)$ ઉમેરવું પડશે.
હવે $R = \{(a, b), (b, a), (b, c), (c, b)\}$.
સંબંધ $R$ પરંપરિત બને તે માટે,જો $(x, y) \in R$ અને $(y, z) \in R$ હોય,તો $(x, z) \in R$ હોવું જોઈએ.
$(a, b) \in R$ અને $(b, c) \in R$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે $(a, c)$ ઉમેરવું પડશે.
$(a, c) \in R$ હોવાથી,સંમિતતા માટે આપણે $(c, a)$ ઉમેરવું પડશે.
હવે $R = \{(a, b), (b, a), (b, c), (c, b), (a, c), (c, a)\}$.
ફરીથી પરંપરિતતા તપાસતા:
$(a, b) \in R$ અને $(b, a) \in R \Rightarrow (a, a) \in R$.
$(b, c) \in R$ અને $(c, b) \in R \Rightarrow (b, b) \in R$.
$(a, c) \in R$ અને $(c, a) \in R \Rightarrow (c, c) \in R$.
આ ઘટકો ઉમેરતા,$R = \{(a, b), (b, a), (b, c), (c, b), (a, c), (c, a), (a, a), (b, b), (c, c)\}$.
ઉમેરવામાં આવેલા ઘટકો $(b, a), (c, b), (a, c), (c, a), (a, a), (b, b), (c, c)$ છે.
કુલ ઉમેરેલા ઘટકોની સંખ્યા $= 7$.

(D) સંબંધ $(a, b) R (c, d) \iff ad(b-c) = bc(a-d)$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
$1$. સ્વવાચકતા: $(a, b) R (a, b)$ માટે,$ab(b-a) = ba(a-b)$ થવું જોઈએ. આ $ab(b-a) = -ab(b-a)$ માં પરિણમે છે,જે માત્ર $ab(b-a) = 0$ હોય ત્યારે જ સાચું છે. $a, b \in N$ હોવાથી,આ દરેક $(a, b)$ માટે સાચું નથી. તેથી,$R$ સ્વવાચક નથી.
$2$. સંમિતતા: જો $(a, b) R (c, d)$,તો $ad(b-c) = bc(a-d) \Rightarrow \frac{1}{c} - \frac{1}{d} = \frac{1}{a} - \frac{1}{b}$. આ શરત સંમિત છે કારણ કે $(a, b)$ અને $(c, d)$ ની અદલાબદલી કરવાથી સમાન પરિણામ મળે છે. તેથી,$R$ સંમિત છે.
$3$. પરંપરિતતા: શરત $\frac{1}{c} - \frac{1}{b} = \frac{1}{d} - \frac{1}{a}$ પરંપરિતતા દર્શાવે છે. આમ,$R$ સંમિત અને પરંપરિત છે પણ સ્વવાચક નથી.

(B) સંબંધ $T = \{(a, b) : a^2 - b^2 \in Z\}$ માટે:
જો $(a, b) \in T$ હોય,તો $a^2 - b^2 = k$ કોઈ પૂર્ણાંક $k \in Z$ માટે.
તો $b^2 - a^2 = -(a^2 - b^2) = -k$,જે પણ એક પૂર્ણાંક છે.
આમ,$(b, a) \in T$,તેથી $T$ સંમિત છે.
સંબંધ $S = \{(a, b) : a, b \in R - \{0\}, 2 + \frac{a}{b} > 0\}$ માટે:
જો $(a, b) \in S$ હોય,તો $2 + \frac{a}{b} > 0 \Rightarrow \frac{a}{b} > -2$.
સંમિતતા માટે,$(b, a) \in S$ હોવું જોઈએ,એટલે કે $2 + \frac{b}{a} > 0 \Rightarrow \frac{b}{a} > -2$.
જો આપણે $a = 1, b = -0.4$ લઈએ,તો $2 + \frac{1}{-0.4} = 2 - 2.5 = -0.5 < 0$,તેથી $(1, -0.4) \notin S$.
આમ,$S$ સંમિત નથી.
તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(A) સ્વવાચકતા માટે ચકાસણી:
કોઈપણ $a \in \mathbb{R}$ માટે,$3a - 3a + \sqrt{7} = \sqrt{7}$. કારણ કે $\sqrt{7}$ એ અસંમેય સંખ્યા છે,તેથી $(a, a) \in R$. આમ,$R$ સ્વવાચક છે.
સંમિતતા માટે ચકાસણી:
ધારો કે $(a, b) \in R$. તો $3a - 3b + \sqrt{7} = I_1$,જ્યાં $I_1$ એ અસંમેય સંખ્યા છે.
સંમિતતા માટે,આપણે $(b, a) \in R$ ની જરૂર છે,જેનો અર્થ છે કે $3b - 3a + \sqrt{7}$ અસંમેય હોવું જોઈએ.
નોંધો કે $3b - 3a + \sqrt{7} = -(3a - 3b - \sqrt{7}) = -(I_1 - 2\sqrt{7}) = 2\sqrt{7} - I_1$.
જો આપણે $a = \frac{\sqrt{7}}{3}$ અને $b = 0$ લઈએ,તો $3(\frac{\sqrt{7}}{3}) - 3(0) + \sqrt{7} = 2\sqrt{7}$ (અસંમેય),તેથી $(a, b) \in R$.
જો કે,$(b, a)$ માટે,આપણી પાસે $3(0) - 3(\frac{\sqrt{7}}{3}) + \sqrt{7} = 0$ છે,જે સંમેય છે. તેથી,$(b, a) \notin R$. $R$ સંમિત નથી.
પરંપરિતતા માટે ચકાસણી:
ધારો કે $(a, b) \in R$ અને $(b, c) \in R$. તો $3a - 3b + \sqrt{7} = I_1$ અને $3b - 3c + \sqrt{7} = I_2$,જ્યાં $I_1, I_2$ અસંમેય છે.
પરંપરિતતા માટે,$(a, c) \in R$ નો અર્થ છે કે $3a - 3c + \sqrt{7}$ અસંમેય હોવું જોઈએ.
બંને સંબંધોનો સરવાળો કરતા: $(3a - 3b + \sqrt{7}) + (3b - 3c + \sqrt{7}) = 3a - 3c + 2\sqrt{7} = I_1 + I_2$.
તેથી,$3a - 3c + \sqrt{7} = I_1 + I_2 - \sqrt{7}$.
જો આપણે $a = \frac{\sqrt{7}}{3}, b = 1, c = \frac{2\sqrt{7}}{3}$ લઈએ,તો $(a, b) \in R$ અને $(b, c) \in R$,પરંતુ $3a - 3c + \sqrt{7} = 3(\frac{\sqrt{7}}{3}) - 3(\frac{2\sqrt{7}}{3}) + \sqrt{7} = \sqrt{7} - 2\sqrt{7} + \sqrt{7} = 0$,જે સંમેય છે. તેથી,$(a, c) \notin R$. $R$ પરંપરિત નથી.

(A) સંબંધ $R_1$ માટે: શરત $(A \cap B^c) \cup (B \cap A^c) = \varnothing$ એ સંમિત તફાવત $A \Delta B = \varnothing$ ની વ્યાખ્યા છે,જેનો અર્થ છે $A = B$. કારણ કે $A = B$ એ સામ્ય સંબંધ છે (સ્વવાચક,સંમિત અને પરંપરિત),તેથી $R_1$ એ સામ્ય સંબંધ છે.
સંબંધ $R_2$ માટે: શરત $A \cup B^c = B \cup A^c$ ને ગણના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને વિશ્લેષણ કરી શકાય છે.
$A \cup B^c = B \cup A^c \iff (A \cup B^c) \cap (A \cap B) = (B \cup A^c) \cap (A \cap B) \iff A = B$.
વેન આકૃતિના પ્રદેશોનો ઉપયોગ કરીને જ્યાં $a, b, c, d$ અલગ પ્રદેશો દર્શાવે છે: $A = a \cup c$ અને $B = b \cup c$.
$A \cup B^c = (a \cup c) \cup (a \cup d) = a \cup c \cup d$.
$B \cup A^c = (b \cup c) \cup (b \cup d) = b \cup c \cup d$.
આને સરખાવતા $a \cup c \cup d = b \cup c \cup d$ મળે છે,જેનો અર્થ છે $a = b$. કારણ કે $a$ અને $b$ એ અનુક્રમે $A$ અને $B$ માટે અનન્ય પ્રદેશો છે,$a = b = \varnothing$ નો અર્થ છે $A = B$. આમ,$R_2$ પણ સામ્ય સંબંધ છે.
તેથી,$R_1$ અને $R_2$ બંને સામ્ય સંબંધો છે.

(B) ગણ $A = \{0, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10\}$ છે. એકી સંખ્યાઓ $3$ છે $(\{3, 7, 9\})$ અને બેકી સંખ્યાઓ $5$ છે $(\{0, 4, 6, 8, 10\})$.
સંબંધ $R$ માં એવી જોડીઓ $(x, y)$ છે કે જ્યાં $x - y$ એકી ધન પૂર્ણાંક હોય અથવા $x - y = 2$ હોય.
$1$. $x - y$ એકી ધન પૂર્ણાંક હોય તેવી જોડીઓ: $x - y$ એકી હોવાથી એક સંખ્યા એકી અને બીજી બેકી હોવી જોઈએ. આવી $3 \times 5 = 15$ જોડીઓ છે જ્યાં $x > y$ છે.
$2$. $x - y = 2$ હોય તેવી જોડીઓ: આ જોડીઓ $(6, 4), (8, 6), (10, 8), (9, 7)$ છે. આવી $4$ જોડીઓ છે જ્યાં $x > y$ છે.
$R$ માં $x > y$ હોય તેવી કુલ જોડીઓ $15 + 4 = 19$ છે.
$R$ સંમિત બને તે માટે,જો $(x, y) \in R$ હોય,તો $(y, x)$ પણ $R$ માં હોવું જોઈએ. હાલમાં તમામ $19$ જોડીઓ $x > y$ શરતનું પાલન કરે છે,તેથી તેમની સંમિત જોડીઓ $(y, x)$ જ્યાં $y < x$ છે,તે હાલમાં $R$ માં નથી.
તેથી,$R$ ને સંમિત બનાવવા માટે આપણે $19$ ઘટકો ઉમેરવા પડશે.

(D) આપેલ છે $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ અને $R = \{(x, y) \in A \times A : x + y = 7\}$.
$R$ ના ઘટકો લખતા: $R = \{(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)\}$.
$1$. સ્વવાચક: $R$ સ્વવાચક હોવા માટે,દરેક $x \in A$ માટે $(x, x) \in R$ હોવું જોઈએ. અહીં $(1, 1) \notin R$ હોવાથી,$R$ સ્વવાચક નથી.
$2$. સંમિત: $R$ સંમિત હોવા માટે,જો $(x, y) \in R$ હોય,તો $(y, x) \in R$ હોવું જોઈએ. અહીં $(1, 6) \in R$ અને $(6, 1) \in R$ છે,$(2, 5) \in R$ અને $(5, 2) \in R$ છે,વગેરે,તેથી $R$ સંમિત છે.
$3$. પરંપરિત: $R$ પરંપરિત હોવા માટે,જો $(x, y) \in R$ અને $(y, z) \in R$ હોય,તો $(x, z) \in R$ હોવું જોઈએ. અહીં $(1, 6) \in R$ અને $(6, 1) \in R$ છે,પરંતુ $(1, 1) \notin R$. તેથી,$R$ પરંપરિત નથી.
આમ,$R$ સંમિત છે પરંતુ સ્વવાચક કે પરંપરિત નથી.

(A) અહીં $A = \{2, 3, 4\}$ અને $B = \{8, 9, 12\}$ આપેલ છે.
આપણે એવી જોડીઓ $((a_1, b_1), (a_2, b_2))$ ની સંખ્યા શોધવાની છે કે જેમાં $a_1$ એ $b_2$ ને ભાગે છે અને $a_2$ એ $b_1$ ને ભાગે છે,જ્યાં $a_1, a_2 \in A$ અને $b_1, b_2 \in B$.
ધારો કે $S$ એ $A \times B$ ની એવી જોડીઓ $(a, b)$ નો ગણ છે જેમાં $a$ એ $b$ ને ભાગે છે.
$a = 2$ માટે,$b \in \{8, 12\}$ ($2$ જોડીઓ: $(2, 8), (2, 12)$).
$a = 3$ માટે,$b \in \{9, 12\}$ ($2$ જોડીઓ: $(3, 9), (3, 12)$).
$a = 4$ માટે,$b \in \{8, 12\}$ ($2$ જોડીઓ: $(4, 8), (4, 12)$).
આમ,$S$ માં કુલ $2 + 2 + 2 = 6$ જોડીઓ છે.
સંબંધ $R$ એ એવી જોડીઓ $((a_1, b_1), (a_2, b_2))$ નો ગણ છે કે જેમાં $(a_1, b_2) \in S$ અને $(a_2, b_1) \in S$.
જોડી $(a_1, b_2)$ માટે $6$ વિકલ્પો છે અને જોડી $(a_2, b_1)$ માટે પણ $6$ વિકલ્પો છે,તેથી $R$ માં કુલ ઘટકોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ થાય.

(B) ધારો કે ગણ $A = \{1, 2, 3\}$ છે.
સંબંધ $R$ સ્વવાચક હોવા માટે,તેમાં $(1,1), (2,2), (3,3)$ હોવા આવશ્યક છે.
આપેલ છે કે $(1,2) \in R$ અને $(2,3) \in R$,તેથી $R$ પરંપરિત હોવા માટે,તેમાં $(1,3)$ હોવું જોઈએ કારણ કે $(1,2) \in R$ અને $(2,3) \in R \implies (1,3) \in R$.
આમ,આ ઘટકો ધરાવતો ન્યૂનતમ સંબંધ $R_0 = \{(1,1), (2,2), (3,3), (1,2), (2,3), (1,3)\}$ છે.
આ સંબંધ $R_0$ સ્વવાચક અને પરંપરિત છે. તે સંમિત નથી કારણ કે $(1,2) \in R_0$ પરંતુ $(2,1) \notin R_0$.
જો આપણે $R_0$ માં અન્ય કોઈ ઘટક ઉમેરીએ,જેમ કે $(2,1)$,તો સંબંધ $(1,2)$ અને $(2,1)$ ના સંદર્ભમાં સંમિત બની જાય છે. જો આપણે $(3,2)$ ઉમેરીએ,તો તે $(2,3)$ અને $(3,2)$ ના સંદર્ભમાં સંમિત બની જાય છે.
તેથી,આવા માત્ર $1$ જ સંબંધ શક્ય છે,જે પોતે $R_0$ છે.

(C) આપેલ છે $A = \{-4, -3, -2, 0, 1, 3, 4\}$.
પ્રથમ,આપણે $b = |a|$ અથવા $b^2 = a + 1$ શરતોના આધારે $R$ ના ઘટકો શોધીએ:
$b = |a|$ માટે: $(-4, 4), (-3, 3), (-2, 2), (0, 0), (1, 1), (3, 3), (4, 4)$. નોંધો કે $(-2, 2)$ એ $A \times A$ માં નથી કારણ કે $2 \notin A$. તેથી,આપણી પાસે $(-4, 4), (-3, 3), (0, 0), (1, 1), (3, 3), (4, 4)$ છે.
$b^2 = a + 1$ માટે: જો $a = -4, b^2 = -3$ (ના); $a = -3, b^2 = -2$ (ના); $a = -2, b^2 = -1$ (ના); $a = 0, b^2 = 1 \Rightarrow b = 1, -1$ (માત્ર $1 \in A$); $a = 1, b^2 = 2$ (ના); $a = 3, b^2 = 4 \Rightarrow b = 2, -2$ (ના); $a = 4, b^2 = 5$ (ના).
આમ,$R = \{(-4, 4), (-3, 3), (0, 0), (1, 1), (3, 3), (4, 4), (0, 1)\}$.
$R$ સ્વવાચક બને તે માટે,દરેક $a \in A$ માટે $(a, a) \in R$ હોવું જોઈએ. ખૂટતા ઘટકો: $(-4, -4), (-3, -3), (-2, -2)$. ($3$ ઘટકો).
હવે $R' = R \cup \{(-4, -4), (-3, -3), (-2, -2)\} = \{(-4, 4), (-3, 3), (0, 0), (1, 1), (3, 3), (4, 4), (0, 1), (-4, -4), (-3, -3), (-2, -2)\}$.
$R'$ સંમિત બને તે માટે,જો $(a, b) \in R'$,તો $(b, a) \in R'$ હોવું જોઈએ.
ઉમેરવા માટેની જોડીઓ: $(4, -4), (3, -3), (1, 0)$. ($3$ ઘટકો).
કુલ ઉમેરેલા ઘટકો = $3 + 3 = 6$.

(A) આપેલ છે $A = \{1, 2, 3, 4\}$. સંબંધ $R$ એ $A \times A$ પર વ્યાખ્યાયિત છે જ્યાં $2a + 3b = 4c + 5d$,જ્યાં $a, b, c, d \in A$.
ધારો કે $S_1 = 2a + 3b$ અને $S_2 = 4c + 5d$.
$a, b \in \{1, 2, 3, 4\}$ માટે $S_1$ ની શક્ય કિંમતો:
જો $a=1: 2+3=5, 2+6=8, 2+9=11, 2+12=14$
જો $a=2: 4+3=7, 4+6=10, 4+9=13, 4+12=16$
જો $a=3: 6+3=9, 6+6=12, 6+9=15, 6+12=18$
જો $a=4: 8+3=11, 8+6=14, 8+9=17, 8+12=20$
$c, d \in \{1, 2, 3, 4\}$ માટે $S_2$ ની શક્ય કિંમતો:
જો $c=1: 4+5=9, 4+10=14, 4+15=19, 4+20=24$
જો $c=2: 8+5=13, 8+10=18, 8+15=23, 8+20=28$
જો $c=3: 12+5=17, 12+10=22, 12+15=27, 12+20=32$
જો $c=4: 16+5=21, 16+10=26, 16+15=31, 16+20=36$
આપણે સામાન્ય કિંમતો $\alpha = S_1 = S_2$ શોધીએ છીએ:
$\alpha = 9$ માટે: $(a,b)=(3,1)$ અને $(c,d)=(1,1) \implies ((3,1),(1,1))$
$\alpha = 13$ માટે: $(a,b)=(2,3)$ અને $(c,d)=(2,1) \implies ((2,3),(2,1))$
$\alpha = 14$ માટે: $(a,b)=(1,4)$ અને $(c,d)=(1,2) \implies ((1,4),(1,2))$
$\alpha = 14$ માટે: $(a,b)=(4,2)$ અને $(c,d)=(1,2) \implies ((4,2),(1,2))$
$\alpha = 17$ માટે: $(a,b)=(4,3)$ અને $(c,d)=(3,1) \implies ((4,3),(3,1))$
$\alpha = 18$ માટે: $(a,b)=(3,4)$ અને $(c,d)=(2,2) \implies ((3,4),(2,2))$
કુલ ઘટકોની સંખ્યા $6$ છે.

(D) ધારો કે $S = \{1, 2, 3, \ldots, 10\}$.
સંબંધ $R = \{(A, B) : A \cap B \neq \phi; A, B \in M\}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
$1$. સ્વવાચકતા: જો દરેક $A \in M$ માટે $(A, A) \in R$ હોય તો સંબંધ $R$ સ્વવાચક કહેવાય. આ માટે $A \cap A \neq \phi$ હોવું જરૂરી છે,જેનો અર્થ છે કે $A \neq \phi$. કારણ કે ખાલી ગણ $\phi$ એ $S$ નો ઉપગણ છે અને $\phi \cap \phi = \phi$ થાય છે,તેથી $A = \phi$ માટે $A \cap A \neq \phi$ ની શરત સંતોષાતી નથી. આમ,$R$ સ્વવાચક નથી.
$2$. સંમિતતા: જો $(A, B) \in R \implies (B, A) \in R$ હોય તો સંબંધ $R$ સંમિત કહેવાય. જો $A \cap B \neq \phi$ હોય,તો $B \cap A \neq \phi$ થાય કારણ કે છેદગણ ક્રમનો નિયમ પાળે છે. આમ,$R$ સંમિત છે.
$3$. પરંપરિતતા: જો $(A, B) \in R$ અને $(B, C) \in R \implies (A, C) \in R$ હોય તો સંબંધ $R$ પરંપરિત કહેવાય. ધારો કે $S = \{1, 2, 3\}$. ધારો કે $A = \{1, 2\}$,$B = \{2, 3\}$,અને $C = \{3\}$. અહીં,$A \cap B = \{2\} \neq \phi$ અને $B \cap C = \{3\} \neq \phi$ છે. જોકે,$A \cap C = \phi$ થાય છે. તેથી,$(A, C) \in R$ ની શરત સંતોષાતી નથી. આમ,$R$ પરંપરિત નથી.
તેથી,આ સંબંધ માત્ર સંમિત છે.

(A) $1$. સ્વવાચકતા: કોઈપણ $(a, b) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ માટે,$ab - ba = 0$ થાય,જે $5$ વડે વિભાજ્ય છે. તેથી,$(a, b) R (a, b)$ સત્ય છે. આમ,$R$ સ્વવાચક છે.
$2$. સંમિતતા: ધારો કે $(a, b) R (c, d)$. તો $ad - bc = 5k$ કોઈ પૂર્ણાંક $k$ માટે. આ સૂચવે છે કે $bc - ad = 5(-k)$,જે પણ $5$ વડે વિભાજ્ય છે. તેથી,$(c, d) R (a, b)$ સત્ય છે. આમ,$R$ સંમિત છે.
$3$. પરંપરિતતા: $(3, 1) R (10, 5)$ લો કારણ કે $3(5) - 1(10) = 5$,જે $5$ વડે વિભાજ્ય છે. તેમજ,$(10, 5) R (1, 1)$ કારણ કે $10(1) - 5(1) = 5$,જે $5$ વડે વિભાજ્ય છે. જોકે,$(3, 1)$ અને $(1, 1)$ માટે,$3(1) - 1(1) = 2$ થાય,જે $5$ વડે વિભાજ્ય નથી. તેથી,$(3, 1)$ એ $(1, 1)$ સાથે સંબંધિત નથી. આમ,$R$ પરંપરિત નથી.

(A) $R$ સામ્ય સંબંધ હોવા માટે,તે સ્વવાચક,સંમિત અને પરંપરિત હોવો જોઈએ.
$1$. સ્વવાચકતા: ગણ $\{1, 2, 3, 4\}$ હોવાથી,$R$ માં $\{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)\}$ હોવા જરૂરી છે.
$2$. સંમિતતા: આપેલ છે કે $\{(1, 2), (1, 3)\} \subset R$,તેથી સંમિતતા મુજબ,$R$ માં $\{(2, 1), (3, 1)\}$ પણ હોવા જોઈએ.
$3$. પરંપરિતતા: કારણ કે $(2, 1) \in R$ અને $(1, 3) \in R$,પરંપરિતતા મુજબ,$(2, 3) \in R$ થાય. સંમિતતા મુજબ,$(3, 2) \in R$ પણ $R$ માં હોવું જોઈએ.
આ બધાને ભેગા કરતા,ગણ $R = \{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3), (3, 2)\}$ મળે છે.
ઘટકોની ગણતરી કરતા,$R$ માં કુલ $10$ ઘટકો છે.

(C) ધારો કે $n$ એ ગણમાં રહેલા ઘટકોની સંખ્યા છે. અહીં,$n = 4$ છે.
$n$ ઘટકો ધરાવતા ગણ પરના કુલ સંમિત સંબંધોની સંખ્યા $2^{\frac{n(n+1)}{2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n = 4$ માટે,સંમિત સંબંધોની સંખ્યા $2^{\frac{4(5)}{2}} = 2^{10} = 1024$ છે.
જે સંમિત સંબંધો સ્વવાચક પણ હોય તેની સંખ્યા $2^{\frac{n(n-1)}{2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n = 4$ માટે,સંમિત અને સ્વવાચક સંબંધોની સંખ્યા $2^{\frac{4(3)}{2}} = 2^6 = 64$ છે.
સ્વવાચક ન હોય તેવા સંમિત સંબંધોની સંખ્યા એ કુલ સંમિત સંબંધોમાંથી સ્વવાચક અને સંમિત સંબંધોની સંખ્યા બાદ કરવાથી મળે છે.
સ્વવાચક ન હોય તેવા સંમિત સંબંધોની સંખ્યા $= 2^{10} - 2^6 = 1024 - 64 = 960$.

(A) સામ્ય સંબંધ $S$ સ્વવાચક,સંમિત અને પરંપરિત હોવો જોઈએ.
આપેલ છે $R = \{(1, 2), (2, 3), (1, 4)\}$.
$1$. સ્વવાચકતા: $S$ માં $(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)$ હોવા જોઈએ.
$2$. સંમિતતા: $(1, 2) \in S$ હોવાથી $(2, 1) \in S$. $(2, 3) \in S$ હોવાથી $(3, 2) \in S$. $(1, 4) \in S$ હોવાથી $(4, 1) \in S$.
$3$. પરંપરિતતા: $(1, 2) \in S$ અને $(2, 3) \in S$ હોવાથી $(1, 3) \in S$. સંમિતતા મુજબ $(3, 1) \in S$.
અહીં બધા ઘટકો એક જ સામ્ય વર્ગમાં આવે છે,તેથી $S = A \times A$.
માટે,ઘટકોની સંખ્યા $n = 4 \times 4 = 16$.

(B) સંબંધ $R$ ને $(x, y) \in R \iff 2x = 3y$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવ્યો છે,જેનો અર્થ છે $y = \frac{2}{3}x$.
$x, y \in \{1, 2, \ldots, 100\}$ હોવાથી,$x$ એ $3$ નો ગુણક હોવો જોઈએ.
ધારો કે $x = 3k$,તો $y = 2k$.
$1 \le 2k \le 100$ માટે,$k \le 50$.
$1 \le 3k \le 100$ માટે,$k \le 33$.
આમ,$k$ એ $1$ થી $33$ સુધીની કિંમતો લઈ શકે છે.
$R$ ના ઘટકો $\{(3, 2), (6, 4), (9, 6), \ldots, (99, 66)\}$ છે.
$R$ માં ઘટકોની સંખ્યા $n(R) = 33$ છે.
$R_1$ એ સંમિત સંબંધ હોય અને $R \subset R_1$ હોય,તો દરેક $(x, y) \in R$ માટે,$(y, x)$ પણ $R_1$ માં હોવું જોઈએ.
$R$ સંમિત નથી (દા.ત.,$(3, 2) \in R$ પણ $(2, 3) \notin R$),તેથી આપણે બધા $(y, x)$ જોડાણોને $R_1$ માં ઉમેરવા પડશે.
આમ,$R_1 = R \cup R^{-1} = \{(3, 2), (6, 4), \ldots, (99, 66), (2, 3), (4, 6), \ldots, (66, 99)\}$.
$R_1$ માં ઘટકોની સંખ્યા $n = n(R) + n(R^{-1}) = 33 + 33 = 66$ છે.

(B) ગણ $A = \{1, 2, 3, \ldots, 20\}$ છે.
$R_1 = \{(a, b) : b \text{ એ } a \text{ વડે વિભાજ્ય છે}\}$. $R_1$ માં ઘટકોની સંખ્યા એ દરેક $a \in A$ માટે $20$ થી નાની અથવા તેના જેટલી હોય તેવી સંખ્યાઓના ગુણકોનો સરવાળો છે.
$a=1$ માટે,$20$ ગુણકો છે. $a=2$ માટે,$10$ ગુણકો છે. $a=3$ માટે,$6$ ગુણકો છે. $a=4$ માટે,$5$ ગુણકો છે. $a=5$ માટે,$4$ ગુણકો છે. $a=6$ માટે,$3$ ગુણકો છે. $a=7, 8, 9, 10$ માટે,દરેકના $2$ ગુણકો છે. $a=11, 12, \ldots, 20$ માટે,દરેકનો $1$ ગુણક છે.
$n(R_1) = 20 + 10 + 6 + 5 + 4 + 3 + (4 \times 2) + (10 \times 1) = 66$.
$R_1 \cap R_2 = \{(a, b) : b = ka \text{ અને } a = mb\} = \{(a, b) : a = b\}$.
તેથી,$R_1 \cap R_2 = \{(1, 1), (2, 2), \ldots, (20, 20)\}$.
$n(R_1 \cap R_2) = 20$.
$n(R_1 - R_2) = n(R_1) - n(R_1 \cap R_2) = 66 - 20 = 46$.

(B) સંબંધ $R_1$ માટે: $a R_1 b \Leftrightarrow a^2+b^2=1$ જ્યાં $a, b \in R$.
$1$. સ્વવાચકતા: જો $a=0.5$ લઈએ,તો $a^2+a^2 = 0.25+0.25 = 0.5 \neq 1$. તેથી,$R_1$ સ્વવાચક નથી.
$2$. સંમિતતા: જો $a^2+b^2=1$,તો $b^2+a^2=1$,તેથી $b R_1 a$. $R_1$ સંમિત છે.
$3$. પરંપરિતતા: જો $a R_1 b$ અને $b R_1 c$,તો $a^2+b^2=1$ અને $b^2+c^2=1$. આના પરથી $a^2+c^2=1$ સાબિત થતું નથી. ઉદાહરણ તરીકે,$a=1, b=0, c=1$. $1^2+0^2=1$ અને $0^2+1^2=1$,પરંતુ $1^2+1^2=2 \neq 1$. તેથી,$R_1$ પરંપરિત નથી.
સંબંધ $R_2$ માટે: $(a, b) R_2 (c, d) \Leftrightarrow a+d=b+c$ જ્યાં $(a, b), (c, d) \in N \times N$.
$1$. સ્વવાચકતા: $a+b=b+a$ સત્ય છે,તેથી $(a, b) R_2 (a, b)$.
$2$. સંમિતતા: જો $a+d=b+c$,તો $c+b=d+a$,તેથી $(c, d) R_2 (a, b)$.
$3$. પરંપરિતતા: જો $(a, b) R_2 (c, d)$ અને $(c, d) R_2 (e, f)$,તો $a+d=b+c$ અને $c+f=d+e$. આ બંનેનો સરવાળો કરતા,$a+d+c+f = b+c+d+e \Rightarrow a+f=b+e$. તેથી,$(a, b) R_2 (e, f)$.
આમ,$R_2$ સ્વવાચક,સંમિત અને પરંપરિત હોવાથી તે સામ્ય સંબંધ છે.
તેથી,માત્ર $R_2$ સામ્ય સંબંધ છે.

(B) $1$. સ્વવાચકતા: કોઈપણ $(x, y) \in N \times N$ માટે,$x \leq x$ અથવા $y \leq y$ સત્ય છે. તેથી,$((x, y), (x, y)) \in R$. આમ,$R$ સ્વવાચક છે.
$2$. સંમિતતા: $((1, 1), (2, 3)) \in R$ છે કારણ કે $1 \leq 2$ સત્ય છે. પરંતુ $((2, 3), (1, 1)) \notin R$ છે કારણ કે $2 \leq 1$ અને $3 \leq 1$ બંને અસત્ય છે. તેથી,$R$ સંમિત નથી.
$3$. પરંપરિતતા: ધારો કે $A = (2, 4)$,$B = (3, 3)$,અને $C = (1, 3)$.
$(A, B) \in R$ કારણ કે $2 \leq 3$ સત્ય છે.
$(B, C) \in R$ કારણ કે $3 \leq 3$ સત્ય છે.
પરંતુ $(A, C) = ((2, 4), (1, 3))$ માટે,$2 \leq 1$ અસત્ય છે અને $4 \leq 3$ પણ અસત્ય છે. તેથી,$(A, C) \notin R$. આમ,$R$ પરંપરિત નથી.
તેથી,માત્ર વિધાન $(I)$ સાચું છે.

(D) આપેલ ગણ $X = \{1, 2, 3, \ldots, 20\}$ છે.
$R_1 = \{(x, y) : 2x - 3y = 2\}$ માટે,આપણે ક્રમયુક્ત જોડીઓ $(x, y)$ શોધીએ જ્યાં $x, y \in X$:
જો $y = 2, x = 4$; જો $y = 4, x = 7$; જો $y = 6, x = 10$; જો $y = 8, x = 13$; જો $y = 10, x = 16$; જો $y = 12, x = 19$.
તેથી,$R_1 = \{(4, 2), (7, 4), (10, 6), (13, 8), (16, 10), (19, 12)\}$.
અહીં $6$ ઘટકો છે અને કોઈ પણ $(a, a)$ સ્વરૂપમાં નથી,તેથી $R_1$ ને સંમિત બનાવવા માટે દરેક જોડીની ઉલટી જોડી ઉમેરવી પડે,એટલે કે $6$ ઘટકો ઉમેરવા પડે.
આમ,$M = 6$.
$R_2 = \{(x, y) : -5x + 4y = 0\}$ માટે,જેનો અર્થ છે $4y = 5x$ અથવા $y = \frac{5}{4}x$,આપણે ક્રમયુક્ત જોડીઓ $(x, y)$ શોધીએ જ્યાં $x, y \in X$:
જો $x = 4, y = 5$; જો $x = 8, y = 10$; જો $x = 12, y = 15$; જો $x = 16, y = 20$.
તેથી,$R_2 = \{(4, 5), (8, 10), (12, 15), (16, 20)\}$.
અહીં $4$ ઘટકો છે અને કોઈ પણ $(a, a)$ સ્વરૂપમાં નથી,તેથી $R_2$ ને સંમિત બનાવવા માટે દરેક જોડીની ઉલટી જોડી ઉમેરવી પડે,એટલે કે $4$ ઘટકો ઉમેરવા પડે.
આમ,$N = 4$.
તેથી,$M + N = 6 + 4 = 10$.

(C) આપેલ ગણ $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ અને સંબંધ $R$ જે $4x \leq 5y$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે.
પ્રથમ,આપણે $4x \leq 5y$ થાય તેવા ઘટકો $(x, y)$ શોધીએ:
$x=1$ માટે: $4 \leq 5y \implies y \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$ ($5$ ઘટકો)
$x=2$ માટે: $8 \leq 5y \implies y \in \{2, 3, 4, 5\}$ ($4$ ઘટકો)
$x=3$ માટે: $12 \leq 5y \implies y \in \{3, 4, 5\}$ ($3$ ઘટકો)
$x=4$ માટે: $16 \leq 5y \implies y \in \{4, 5\}$ ($2$ ઘટકો)
$x=5$ માટે: $20 \leq 5y \implies y \in \{4, 5\}$ ($2$ ઘટકો)
કુલ ઘટકો $m = 5 + 4 + 3 + 2 + 2 = 16$.
$R$ ને સંમિત બનાવવા માટે,દરેક $(x, y) \in R$ જ્યાં $x \neq y$ હોય,તેના માટે $(y, x) \in R$ હોવું જોઈએ.
$R$ માં એવા ઘટકો જ્યાં $x \neq y$ હોય તે છે: $(1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5), (4, 5), (5, 4)$.
આવી $11$ જોડીઓ છે.
આપણે તપાસીએ કે કઈ જોડીઓ $(y, x)$ પહેલેથી $R$ માં નથી:
$(2, 1) \notin R$,$(3, 1) \notin R$,$(4, 1) \notin R$,$(5, 1) \notin R$,$(3, 2) \notin R$,$(4, 2) \notin R$,$(5, 2) \notin R$,$(4, 3) \notin R$,$(5, 3) \notin R$.
નોંધો કે $(5, 4) \in R$ અને $(4, 5) \in R$,તેથી આ જોડી પહેલેથી જ સંમિત છે.
ઉમેરવા પડતા ઘટકો $\{(2, 1), (3, 1), (4, 1), (5, 1), (3, 2), (4, 2), (5, 2), (4, 3), (5, 3)\}$ છે.
આમ,$n = 9$.
તેથી,$m + n = 16 + 9 = 25$.