Types of Relations Questions in Gujarati

(D) આપેલ સંબંધ $\theta R \phi$ એ $\sec^{2} \theta - \tan^{2} \phi = 1$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
$1$. સ્વવાચક: કોઈપણ $\theta$ માટે,$\theta R \theta$ નો અર્થ છે $\sec^{2} \theta - \tan^{2} \theta = 1$. કારણ કે $1 + \tan^{2} \theta = \sec^{2} \theta$,આ $1 = 1$ થાય છે,જે સત્ય છે. આમ,$R$ સ્વવાચક છે.
$2$. સંમિત: જો $\theta R \phi$ હોય,તો $\sec^{2} \theta - \tan^{2} \phi = 1$. $\sec^{2} \theta = 1 + \tan^{2} \theta$ અને $\tan^{2} \phi = \sec^{2} \phi - 1$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $(1 + \tan^{2} \theta) - (\sec^{2} \phi - 1) = 1$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $\tan^{2} \theta - \sec^{2} \phi = -1$ અથવા $\sec^{2} \phi - \tan^{2} \theta = 1$ થાય છે. આનો અર્થ છે $\phi R \theta$. આમ,$R$ સંમિત છે.
$3$. પરંપરિત: જો $\theta R \phi$ અને $\phi R \psi$ હોય,તો $\sec^{2} \theta - \tan^{2} \phi = 1$ અને $\sec^{2} \phi - \tan^{2} \psi = 1$. આ બંનેનો સરવાળો કરતા,$\sec^{2} \theta - \tan^{2} \phi + \sec^{2} \phi - \tan^{2} \psi = 2$. કારણ કે $\sec^{2} \phi - \tan^{2} \phi = 1$,આપણને $\sec^{2} \theta - \tan^{2} \psi + 1 = 2$ મળે છે,જેનો અર્થ છે $\sec^{2} \theta - \tan^{2} \psi = 1$. આનો અર્થ છે $\theta R \psi$. આમ,$R$ પરંપરિત છે.
તેથી,$R$ એ સામ્ય સંબંધ છે.

(D) ધારો કે સંબંધ $R = \{(A, B) \mid B = P^{-1} A P \text{ કોઈ અસામાન્ય શ્રેણિક } P \text{ માટે }\}$ છે.
સ્વવાચકતા માટે: કારણ કે $A = I^{-1} A I$ જ્યાં $I$ એ એકમ શ્રેણિક છે,તેથી $(A, A) \in R$. આમ,$R$ સ્વવાચક છે.
સંમિતતા માટે: ધારો કે $(A, B) \in R$. તો $B = P^{-1} A P$. ડાબી બાજુ $P$ અને જમણી બાજુ $P^{-1}$ વડે ગુણતા,આપણને $P B P^{-1} = A$ મળે છે. ધારો કે $Q = P^{-1}$. તો $A = Q^{-1} B Q$. આમ,$(B, A) \in R$. તેથી,$R$ સંમિત છે.
પરંપરિતતા માટે: ધારો કે $(A, B) \in R$ અને $(B, C) \in R$. તો $B = P^{-1} A P$ અને $C = Q^{-1} B Q$ કોઈ અસામાન્ય શ્રેણિકો $P$ અને $Q$ માટે. $B$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $C = Q^{-1} (P^{-1} A P) Q = (P Q)^{-1} A (P Q)$ મળે છે. કારણ કે $PQ$ અસામાન્ય છે,તેથી $(A, C) \in R$. આમ,$R$ પરંપરિત છે.
આમ,સંબંધ સ્વવાચક,સંમિત અને પરંપરિત હોવાથી,તે સામ્ય સંબંધ છે.

(D) સંબંધ $R = \{(a, b) \mid \sin ^{2} a + \cos ^{2} b = 1\}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
$1.$ સ્વવાચકતા: કોઈપણ $a \in \mathbb{R}$ માટે,$\sin ^{2} a + \cos ^{2} a = 1$ થાય છે. તેથી,$(a, a) \in R$. આમ,$R$ સ્વવાચક છે.
$2.$ સંમિતતા: ધારો કે $(a, b) \in R$,તો $\sin ^{2} a + \cos ^{2} b = 1$.
$\sin ^{2} x = 1 - \cos ^{2} x$ અને $\cos ^{2} x = 1 - \sin ^{2} x$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $(1 - \cos ^{2} a) + (1 - \sin ^{2} b) = 1$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $\sin ^{2} b + \cos ^{2} a = 1$ થાય છે. તેથી,$(b, a) \in R$. આમ,$R$ સંમિત છે.
$3.$ પરંપરિતતા: ધારો કે $(a, b) \in R$ અને $(b, c) \in R$. તો $\sin ^{2} a + \cos ^{2} b = 1$ અને $\sin ^{2} b + \cos ^{2} c = 1$ થાય.
આ સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $\sin ^{2} a + \cos ^{2} b + \sin ^{2} b + \cos ^{2} c = 1 + 1 = 2$.
કારણ કે $\sin ^{2} b + \cos ^{2} b = 1$,તેથી $\sin ^{2} a + 1 + \cos ^{2} c = 2$,જેનો અર્થ છે કે $\sin ^{2} a + \cos ^{2} c = 1$. તેથી,$(a, c) \in R$. આમ,$R$ પરંપરિત છે.
$R$ સ્વવાચક,સંમિત અને પરંપરિત હોવાથી,તે એક સામ્ય સંબંધ છે.

(D) ગણ $A$ પરનો સંબંધ $R$ સ્વવાચક કહેવાય જો દરેક $a \in A$ માટે $(a, a) \in R$ હોય.
$(a, a)$ સ્વરૂપના $n$ ઘટકો સંબંધમાં હોવા જ જોઈએ.
કાર્તેઝીય ગુણાકાર $A \times A$ માં કુલ $n^2$ ક્રમયુક્ત જોડ હોય છે.
$n$ વિકર્ણ ઘટકો $(a, a)$ નિશ્ચિત હોવાથી,આપણી પાસે પસંદગી માટે $n^2 - n$ જોડ બાકી રહે છે.
આ દરેક $n^2 - n$ જોડ માટે સંબંધમાં સમાવેશ કરવો કે નહીં તે માટે $2$ વિકલ્પો છે.
તેથી,સ્વવાચક સંબંધોની કુલ સંખ્યા $2^{n^2 - n}$ થાય.

(C) સંબંધ $R$ એ ગણ $S = \{1, 2, 3, 4\} \times \{1, 2, 3, 4\}$ પર વ્યાખ્યાયિત છે. $S$ માં કુલ ઘટકોની સંખ્યા $4 \times 4 = 16$ છે. સંબંધ માટેની શરત $2a + 3b = 3c + 4d$ છે,જ્યાં $a, b, c, d \in \{1, 2, 3, 4\}$.
અમે તમામ જોડી $(a, b)$ માટે $f(a, b) = 2a + 3b$ ની કિંમત શોધીએ છીએ:
$(1,1) \to 5, (1,2) \to 8, (1,3) \to 11, (1,4) \to 14$
$(2,1) \to 7, (2,2) \to 10, (2,3) \to 13, (2,4) \to 16$
$(3,1) \to 9, (3,2) \to 12, (3,3) \to 15, (3,4) \to 18$
$(4,1) \to 11, (4,2) \to 14, (4,3) \to 17, (4,4) \to 20$
હવે તમામ જોડી $(c, d)$ માટે $g(c, d) = 3c + 4d$ ની કિંમત શોધીએ:
$(1,1) \to 7, (1,2) \to 11, (1,3) \to 15, (1,4) \to 19$
$(2,1) \to 10, (2,2) \to 14, (2,3) \to 18, (2,4) \to 22$
$(3,1) \to 13, (3,2) \to 17, (3,3) \to 21, (3,4) \to 25$
$(4,1) \to 16, (4,2) \to 20, (4,3) \to 24, (4,4) \to 28$
$f(a, b) = g(c, d)$ થાય તેવી કિંમતો સરખાવતા:
$11: (1,3) \text{ અને } (4,1) \text{ એ } (1,2) \text{ સાથે જોડાય છે}$
$14: (1,4) \text{ અને } (4,2) \text{ એ } (2,2) \text{ સાથે જોડાય છે}$
$16: (2,4) \text{ એ } (4,1) \text{ સાથે જોડાય છે}$
$7: (2,1) \text{ એ } (1,1) \text{ સાથે જોડાય છે}$
$10: (2,2) \text{ એ } (2,1) \text{ સાથે જોડાય છે}$
$13: (2,3) \text{ એ } (3,1) \text{ સાથે જોડાય છે}$
$15: (3,3) \text{ એ } (1,3) \text{ સાથે જોડાય છે}$
$18: (3,4) \text{ એ } (2,3) \text{ સાથે જોડાય છે}$
$17: (4,3) \text{ એ } (3,2) \text{ સાથે જોડાય છે}$
$20: (4,4) \text{ એ } (4,2) \text{ સાથે જોડાય છે}$
આ શરતનું પાલન કરતી જોડીઓ $((a,b), (c,d))$ ગણતા,આપણને $12$ ઘટકો મળે છે.

(B) આપેલ છે $A = \{2, 3, 5, 7, 9\}$. સંબંધ $R$ એ $2x \le 3y$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે,જેનો અર્થ છે $y \ge \frac{2x}{3}$.
દરેક $x \in A$ માટે,આપણે અનુરૂપ $y \in A$ શોધીએ:
જો $x = 2$,$y \ge 1.33 \implies y \in \{2, 3, 5, 7, 9\}$ ($5$ ઘટકો).
જો $x = 3$,$y \ge 2 \implies y \in \{2, 3, 5, 7, 9\}$ ($5$ ઘટકો).
જો $x = 5$,$y \ge 3.33 \implies y \in \{5, 7, 9\}$ ($3$ ઘટકો).
જો $x = 7$,$y \ge 4.66 \implies y \in \{5, 7, 9\}$ ($3$ ઘટકો).
જો $x = 9$,$y \ge 6 \implies y \in \{7, 9\}$ ($2$ ઘટકો).
કુલ ઘટકો $l = 5 + 5 + 3 + 3 + 2 = 18$.
$R$ ને સંમિત બનાવવા માટે,જો $(x, y) \in R$ હોય,તો $(y, x)$ પણ $R$ માં હોવું જોઈએ.
હાલમાં $R$ માં રહેલા ઘટકો: $(2,2), (2,3), (2,5), (2,7), (2,9), (3,2), (3,3), (3,5), (3,7), (3,9), (5,5), (5,7), (5,9), (7,5), (7,7), (7,9), (9,7), (9,9)$.
જે જોડીઓ $(x, y)$ માટે $(x, y) \in R$ છે પણ $(y, x) \notin R$ છે તે છે: $(2,5), (2,7), (2,9), (3,5), (3,7), (3,9), (5,9)$.
$R$ ને સંમિત બનાવવા માટે,આપણે તેમની ઉલટી જોડીઓ ઉમેરવી પડશે: $(5,2), (7,2), (9,2), (5,3), (7,3), (9,3), (9,5)$.
આમ,$m = 7$.
તેથી,$l + m = 18 + 7 = 25$.

(B) ગણ $A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ માં $10$ ઘટકો છે.
આપણે $A$ ને $3$ વડે ભાગતા મળતી શેષના આધારે સામ્ય વર્ગોમાં વિભાજિત કરીએ છીએ:
$C_0 = \{0, 3, 6, 9\}$ (કદ $4$)
$C_1 = \{1, 4, 7\}$ (કદ $3$)
$C_2 = \{2, 5, 8\}$ (કદ $3$)
$(x, y) \in R$ માટે,$|x - y|$ એ $3$ નો ગુણક હોવો જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $x$ અને $y$ એક જ સામ્ય વર્ગના હોવા જોઈએ.
$R$ માં ઘટકોની સંખ્યા $n(R) = |C_0|^2 + |C_1|^2 + |C_2|^2 = 4^2 + 3^2 + 3^2 = 16 + 9 + 9 = 34$ છે.
આમ,વિધાન $I$ ખોટું છે $(34 \neq 36)$.
વિધાન $II$ માટે:
$1$. સ્વવાચક: $|x - x| = 0$,જે $3$ નો ગુણક છે.
$2$. સંમિત: જો $|x - y| = 3k$ હોય,તો $|y - x| = 3k$ થાય.
$3$. પરંપરિત: જો $|x - y| = 3k$ અને $|y - z| = 3m$ હોય,તો $|x - z| = |(x - y) + (y - z)| = 3|k \pm m|$,જે $3$ નો ગુણક છે.
તેથી $R$ એ સામ્ય સંબંધ છે. વિધાન $II$ સાચું છે.

(C) આપેલ છે $A = \{-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\}$ અને $xRy \iff 2x + y \le 2$.
દરેક $x \in A$ માટે,આપણે $y \in A$ શોધીએ છીએ જેથી $y \le 2 - 2x$ થાય:
- જો $x = -2$,$y \le 6 \implies y \in \{-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\}$ ($7$ ઘટકો).
- જો $x = -1$,$y \le 4 \implies y \in \{-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\}$ ($7$ ઘટકો).
- જો $x = 0$,$y \le 2 \implies y \in \{-2, -1, 0, 1, 2\}$ ($5$ ઘટકો).
- જો $x = 1$,$y \le 0 \implies y \in \{-2, -1, 0\}$ ($3$ ઘટકો).
- જો $x = 2$,$y \le -2 \implies y \in \{-2\}$ ($1$ ઘટક).
- જો $x = 3$,$y \le -4 \implies$ કોઈ $y \in A$ નથી.
- જો $x = 4$,$y \le -6 \implies$ કોઈ $y \in A$ નથી.
કુલ ઘટકો $l = 7 + 7 + 5 + 3 + 1 = 23$.
સ્વવાચકતા માટે,બધા $x \in A$ માટે $(x, x) \in R$ હોવું જોઈએ. તપાસતા: $(-2, -2), (-1, -1), (0, 0)$ એ $R$ માં છે. $(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)$ ખૂટે છે. તેથી $m = 4$.
સંમિતતા માટે,જો $(x, y) \in R$,તો $(y, x)$ પણ $R$ માં હોવું જોઈએ. $R$ માં એવા ઘટકો $(x, y)$ કે જેના માટે $(y, x) \notin R$ છે તે: $(3, -2), (4, -2), (2, -1), (2, 0), (3, -1), (4, -1)$. આવા $6$ ઘટકો છે. તેથી $n = 6$.
આમ,$l + m + n = 23 + 4 + 6 = 33$.

(B) આપેલ સંબંધ $R = \{(x, y) : 4y = 5x - 3, x, y \in M\}$ છે,જ્યાં $M = \{1, 2, 3, \dots, 16\}$.
આપણે સમીકરણ $4y = 5x - 3$ નું સમાધાન કરતા ઘટકો $(x, y)$ શોધીએ:
જો $x = 3$ હોય,તો $4y = 5(3) - 3 = 12 \implies y = 3$. તેથી,$(3, 3) \in R$.
જો $x = 7$ હોય,તો $4y = 5(7) - 3 = 32 \implies y = 8$. તેથી,$(7, 8) \in R$.
જો $x = 11$ હોય,તો $4y = 5(11) - 3 = 52 \implies y = 13$. તેથી,$(11, 13) \in R$.
જો $x = 15$ હોય,તો $4y = 5(15) - 3 = 72 \implies y = 18$,પરંતુ $18 \notin M$.
આમ,$R = \{(3, 3), (7, 8), (11, 13)\}$.
સંબંધ $R$ સંમિત બને તે માટે,જો $(a, b) \in R$ હોય,તો $(b, a)$ પણ $R$ માં હોવા જોઈએ.
અહીં,$(7, 8) \in R$ હોવાથી $(8, 7)$ ને $R$ માં ઉમેરવા પડે અને $(11, 13) \in R$ હોવાથી $(13, 11)$ ને $R$ માં ઉમેરવા પડે.
$(3, 3)$ પહેલેથી જ સંમિત છે.
તેથી,આપણે $2$ ઘટકો ઉમેરવાની જરૂર છે: $(8, 7)$ અને $(13, 11)$.

(D) $n$ ઘટકો ધરાવતા ગણ $A$ પરનો સંબંધ $R$ સ્વવાચક હોય જો તેમાં તમામ $n$ વિકર્ણ ઘટકો $(x, x)$ હોય,જ્યાં $x \in A$.
ગણ $A = \{a, b, c, d\}$ માટે,$n = 4$.
$A \times A$ માં કુલ $n^2 = 16$ શક્ય ક્રમયુક્ત જોડીઓ છે.
સ્વવાચક સંબંધ માટે $n = 4$ વિકર્ણ ઘટકો હાજર હોવા આવશ્યક છે.
બાકીના $n^2 - n = 16 - 4 = 12$ ઘટકો વિકર્ણ સિવાયની જોડીઓ છે.
સંબંધ સંમિત હોય તે માટે,જો $(x, y) \in R$ હોય,તો $(y, x)$ પણ $R$ માં હોવું જોઈએ.
આ $12$ ઘટકો ${(x, y), (y, x)}$ સ્વરૂપની $6$ જોડીઓ બનાવે છે.
દરેક જોડી માટે આપણી પાસે $2$ વિકલ્પો છે: કાં તો બંને $R$ માં સમાવિષ્ટ હોય,અથવા બંને ન હોય.
આમ,સ્વવાચક અને સંમિત સંબંધોની કુલ સંખ્યા $2^6 = 64$ છે.

(D) પરનો સંબંધ $R$ સંમિત છે જો $(a, b) \in R \implies (b, a) \in R$. કારણ કે $(1, 2) \in R$,સંમિતતા માટે $(2, 1) \in R$ હોવું જરૂરી છે.
$R$ પરંપરિત હોવા માટે,$(1, 2) \in R$ અને $(2, 1) \in R$ હોવાથી,$(1, 1) \in R$ અને $(2, 2) \in R$ હોવા જોઈએ.
ધારો કે $R_1 = \{(1, 1), (2, 2), (1, 2), (2, 1)\}$. આ સંબંધ સંમિત અને પરંપરિત છે,પરંતુ $A$ પર સ્વવાચક નથી કારણ કે $(3, 3) \notin R_1$.
જો આપણે $(3, 3)$ નો સમાવેશ કરીએ,તો સંબંધ $R_2 = \{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1)\}$ બને છે. આ સંબંધ સંમિત,પરંપરિત અને સ્વવાચક છે.
$(1, 2)$ સમાવતો અન્ય કોઈ પણ સંબંધ જે સંમિત અને પરંપરિત હોય તેમાં $R_1$ હોવું જ જોઈએ. જો તેમાં $(3, 3)$ ન હોય,તો તે સ્વવાચક નથી. જો તેમાં $(3, 3)$ હોય,તો તે સ્વવાચક બની જાય છે.
આમ,માત્ર એક જ સંબંધ એવો છે જે સંમિત અને પરંપરિત છે પરંતુ સ્વવાચક નથી,જે $R_1 = \{(1, 1), (2, 2), (1, 2), (2, 1)\}$ છે.
તેથી,આવા સંબંધોની સંખ્યા $1$ છે.

(A) ધારો કે ગણ $S = \{-2, -1, 0, 1, 2\}$ છે. કુલ શક્ય ક્રમયુક્ત જોડીઓ $(a, b)$ ની સંખ્યા $5 \times 5 = 25$ છે.
આપણે એવી જોડીઓ શોધવાની છે કે જેના માટે $1 + ab > 0$ થાય,જે $ab > -1$ ને સમાન છે.
$ab \leq -1$ હોય તેવી જોડીઓ ગણીને તેને $25$ માંથી બાદ કરવી સરળ રહેશે.
$ab \leq -1$ હોય તેવી જોડીઓ $(a, b)$ નીચે મુજબ છે:
$(-2, 1) \Rightarrow ab = -2$
$(1, -2) \Rightarrow ab = -2$
$(-2, 2) \Rightarrow ab = -4$
$(2, -2) \Rightarrow ab = -4$
$(-1, 1) \Rightarrow ab = -1$
$(1, -1) \Rightarrow ab = -1$
$(-1, 2) \Rightarrow ab = -2$
$(2, -1) \Rightarrow ab = -2$
આવી કુલ $8$ જોડીઓ છે. તેથી,$R$ માં ઘટકોની સંખ્યા $25 - 8 = 17$ છે. વિધાન $I$ સાચું છે.
વિધાન $II$ માટે,તપાસો કે શું $R$ એ સામ્ય સંબંધ છે. સામ્ય સંબંધ માટે તે સ્વવાચક,સંમિત અને પરંપરિત હોવો જોઈએ.
સ્વવાચકતા: $1 + a^2 > 0$ એ તમામ $a \in S$ માટે સાચું છે. તેથી,તે સ્વવાચક છે.
સંમિતતા: $1 + ab > 0 \iff 1 + ba > 0$. તેથી,તે સંમિત છે.
પરંપરિતતા: $(1, 0) \in R$ કારણ કે $1 + 0 = 1 > 0$,અને $(0, -2) \in R$ કારણ કે $1 + 0 = 1 > 0$ છે. પરંતુ,$(1, -2) \notin R$ કારણ કે $1 + (1)(-2) = -1 \ngtr 0$ છે. આમ,$R$ એ પરંપરિત નથી. વિધાન $II$ ખોટું છે.

(A) સંબંધ $R$ એ $\log_e(x + y) \leq 2$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે,જેનો અર્થ છે કે $x + y \leq e^2$. કારણ કે $e \approx 2.718$,તેથી $e^2 \approx 7.389$. આમ,$x, y \in N$ માટે $x + y \leq 7$.
$R$ માંની જોડીઓ $(x, y)$ આ મુજબ છે: $(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3), (5,1), (5,2), (6,1)$.
જો $(a, b) \in R$ અને $(b, c) \in R$ હોય અને $(a, c) \in R$ હોય,તો સંબંધ પરંપરિત કહેવાય.
ધારો કે $(3, 4) \in R$ અને $(4, 3) \in R$. પરંપરિતતા માટે,$(3, 3)$ એ $R$ માં હોવું જોઈએ,જે સત્ય છે. જો આપણે $(4, 3) \in R$ અને $(3, 4) \in R$ લઈએ,તો $(4, 4)$ એ $R$ માં હોવું જોઈએ. પરંતુ $4+4=8 > 7$,તેથી $(4, 4) \notin R$. આમ,આપણે $(4, 4)$ ને $R$ માં ઉમેરવું પડશે. ચકાસણી કર્યા પછી,ઉમેરવા માટેના ઘટકોની ન્યૂનતમ સંખ્યા $1$ છે.