ત્રણ ઘટનાઓ $A, B$ અને $C$ માટે,$P$ (ઘટના $A$ અથવા $B$ માંથી બરાબર એક ઘટના બને છે) = $P$ (ઘટના $B$ અથવા $C$ માંથી બરાબર એક ઘટના બને છે) = $P$ (ઘટના $C$ અથવા $A$ માંથી બરાબર એક ઘટના બને છે) = $p$ અને $P$ (ત્રણેય ઘટનાઓ એકસાથે બને છે) = $p^2$,જ્યાં $0 < p < 1/2$. તો ત્રણ ઘટનાઓ $A, B$ અને $C$ માંથી ઓછામાં ઓછી એક ઘટના બનવાની સંભાવના કેટલી છે?

જો $E_1, E_2, \ldots, E_n$ એ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ હોય કે જેથી $P(E_r) = \frac{1}{1+r}$ $(r = 1, 2, \ldots, n)$,તો $E_1, E_2, \ldots, E_n$ માંથી ઓછામાં ઓછી એક ઘટના બને તેની સંભાવના કેટલી?

એક સામાન્ય સમઘન (cube) ની ચાર બાજુઓ ખાલી છે,એક બાજુ પર $2$ અને બીજી બાજુ પર $3$ અંકિત છે. તો $5$ ફેંકમાં કુલ સરવાળો બરાબર $12$ મેળવવાની સંભાવના કેટલી છે?

$U_1, U_2, U_3$ ત્રણ પાત્રો છે. $U_1$ માં $5$ લાલ,$3$ સફેદ,$2$ કાળા દડા છે; $U_2$ માં $4$ લાલ,$4$ સફેદ,$2$ કાળા દડા છે અને $U_3$ માં $3$ લાલ,$4$ સફેદ,$3$ કાળા દડા છે. જો યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરેલા પાત્રમાંથી એક દડો યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે,તો કાળો દડો ન મળે તેની સંભાવના કેટલી?

એક બોક્સ $B_1$ માં $1$ સફેદ દડો,$3$ લાલ દડા અને $2$ કાળા દડા છે. બીજા બોક્સ $B_2$ માં $2$ સફેદ દડા,$3$ લાલ દડા અને $4$ કાળા દડા છે. ત્રીજા બોક્સ $B_3$ માં $3$ સફેદ દડા,$4$ લાલ દડા અને $5$ કાળા દડા છે.
$1.$ જો દરેક બોક્સ $B_1, B_2$ અને $B_3$ માંથી $1$ દડો કાઢવામાં આવે,તો ત્રણેય દડા એક જ રંગના હોય તેની સંભાવના કેટલી?
$(A)$ $\frac{82}{648}$ $(B)$ $\frac{90}{648}$ $(C)$ $\frac{558}{648}$ $(D)$ $\frac{566}{648}$
$2.$ જો યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરેલા બોક્સમાંથી $2$ દડા (પુનઃસ્થાપન વગર) કાઢવામાં આવે અને તેમાંથી એક દડો સફેદ અને બીજો લાલ હોય,તો આ $2$ દડા બોક્સ $B_2$ માંથી કાઢવામાં આવ્યા હોય તેની સંભાવના કેટલી?
$(A)$ $\frac{116}{181}$ $(B)$ $\frac{126}{181}$ $(C)$ $\frac{65}{181}$ $(D)$ $\frac{55}{181}$
પ્રશ્ન $1$ અને $2$ માટે સાચા વિકલ્પો પસંદ કરો.

એક છોકરો એક નિષ્પક્ષ પાસો ફેંકે છે. જ્યારે પણ તેને પાસા પર $1$ મળે છે,ત્યારે તેને તરત જ ફરીથી પાસો ફેંકવાની તક મળે છે. આ પ્રક્રિયામાં છોકરાને $7$ નો સ્કોર મળે તેની સંભાવના કેટલી છે?