Mix Examples-Probability Questions in Gujarati

(A) ધારો કે $E_i$ એ ઘટના છે કે $A_i$ એક વર્ષમાં મૃત્યુ પામે છે.
તો $P(E_i) = p$ અને $P(E'_i) = 1 - p$ થાય,જ્યાં $i = 1, 2, ..., n$.
$A_1, A_2, ..., A_n$ માંથી કોઈ પણ એક વર્ષમાં મૃત્યુ ન પામે તેની સંભાવના $P(E'_1 \cap E'_2 \cap ... \cap E'_n) = P(E'_1)P(E'_2)...P(E'_n) = (1 - p)^n$ છે,કારણ કે $E_1, E_2, ..., E_n$ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે.
ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે $A_1, A_2, ..., A_n$ માંથી ઓછામાં ઓછો એક વ્યક્તિ એક વર્ષમાં મૃત્યુ પામે છે.
તો $P(E) = 1 - P(E'_1 \cap E'_2 \cap ... \cap E'_n) = 1 - (1 - p)^n$.
ધારો કે $F$ એ ઘટના છે કે $A_1$ સૌથી પહેલા મૃત્યુ પામે છે.
બધા માણસોની ઉંમર $x$ સમાન હોવાથી,મૃત્યુ પામનાર વ્યક્તિઓમાં કોઈ ચોક્કસ વ્યક્તિ સૌથી પહેલા મૃત્યુ પામે તેની સંભાવના $\frac{1}{n}$ છે.
તેથી,$P(F|E) = \frac{1}{n}$.
આમ,$A_1$ મૃત્યુ પામે અને તે સૌથી પહેલા મૃત્યુ પામે તેની સંભાવના $P(F) = P(E) \times P(F|E) = \frac{1}{n} [1 - (1 - p)^n]$ છે.

(A) ધારો કે વર્તુળની ત્રિજ્યા $a$ છે અને લંબવૃત્તની અર્ધ-ગૌણ અક્ષ $b$ છે. લંબવૃત્ત વર્તુળમાં અંતર્ગત હોવાથી,લંબવૃત્તની અર્ધ-મુખ્ય અક્ષ $a$ થશે.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A_c = \pi a^2$ છે.
લંબવૃત્તનું ક્ષેત્રફળ $A_e = \pi ab$ છે.
વર્તુળની અંદર પસંદ કરેલ બિંદુ લંબવૃત્તની બહાર હોય તેની સંભાવના $P = \frac{A_c - A_e}{A_c} = 1 - \frac{A_e}{A_c} = 1 - \frac{\pi ab}{\pi a^2} = 1 - \frac{b}{a}$ છે.
આપેલ છે કે $P = 2/3$,તેથી $1 - \frac{b}{a} = \frac{2}{3}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{b}{a} = \frac{1}{3}$.
લંબવૃત્તની ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}$ દ્વારા મળે છે.
$\frac{b}{a} = \frac{1}{3}$ મૂકતા,આપણને $e = \sqrt{1 - (\frac{1}{3})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$ મળે છે.

(A) ફેસ કાર્ડ્સ દૂર કર્યા પછી કુલ પત્તા $= 52 - 12 = 40$.
$40$ પત્તામાંથી બે પત્તા પસંદ કરવાની કુલ રીતો $= ^{40}C_{2} = \frac{40 \times 39}{2} = 780$.
બાકી રહેલા $10$ મૂલ્યો છે (એક્કો,$2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10$).
દરેક મૂલ્ય માટે,$4$ પત્તા ઉપલબ્ધ છે. સમાન મૂલ્યની જોડી પસંદ કરવાની રીતો $= ^{4}C_{2} = 6$.
આવા $10$ મૂલ્યો હોવાથી,કુલ સાનુકૂળ રીતો $= 10 \times 6 = 60$.
સંભાવના $= \frac{60}{780} = \frac{6}{78} = \frac{1}{13}$.

(D) શરૂઆતમાં: $A = \{1R, 2G\}$,$B = \{2R, 1G\}$,$C = \{1G\}$.
ધારો કે $X_1$ એ $A$ માંથી $B$ માં સ્થાનાંતરિત દડો છે,$X_2$ એ $B$ માંથી $C$ માં,અને $X_3$ એ $C$ માંથી $A$ માં છે.
થેલી $A$ માં અંતે $2R$ અને $1G$ હોવા માટે,તેણે $G$ દડો ગુમાવવો પડે $(X_1 = G)$ અને $R$ દડો મેળવવો પડે $(X_3 = R)$.
પગલું $1$: $A$ માંથી $G$ કાઢો $(P(X_1=G) = \frac{2}{3})$. હવે $B$ પાસે ${2R, 2G}$ છે.
પગલું $2$: $B$ માંથી $R$ કાઢો $(P(X_2=R|X_1=G) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2})$. હવે $C$ પાસે ${1R, 1G}$ છે.
પગલું $3$: $C$ માંથી $R$ કાઢો $(P(X_3=R|X_2=R) = \frac{1}{2})$. હવે $A$ પાસે ${2R, 1G}$ છે.
કુલ સંભાવના $= \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$.

(A) $7$ પાસા ફેંકવામાં આવે ત્યારે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $6^7$ છે.
તમામ $6$ અંકો દેખાય તે માટે,એક અંક બે વાર અને બાકીના પાંચ અંકો એક વાર દેખાવા જોઈએ.
બે વાર આવતા અંકને પસંદ કરવાની રીતો ${}^6C_1 = 6$ છે.
આ $7$ અંકોને ગોઠવવાની રીતો (જ્યાં એક અંક બે વાર પુનરાવર્તિત થાય છે) $\frac{7!}{2!}$ છે.
આમ,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $6 \times \frac{7!}{2!}$ છે.
સંભાવના $P = \frac{6 \times 7!}{2! \times 6^7} = \frac{35}{6^3 \times 3}$ થાય છે.

(C) પ્રથમ અને બીજા ટ્રાન્સફરમાં સમાન રંગના દડાઓનો ઉપયોગ કરવાની રીતોની ગણતરી:
કેસ $1$: લાલ દડો ટ્રાન્સફર થાય: $^2C_1 \times 6 \times 6 = 72$.
કેસ $2$: સફેદ દડો ટ્રાન્સફર થાય: $^3C_1 \times 6 \times 6 = 108$.
કુલ રીતો = $72 + 108 = 180$.

(B) ગણ $S$ માં $2^k$ સ્વરૂપના $25$ ઘટકો છે જ્યાં $k \in \{1, 2, \dots, 25\}$ છે.
આપણે $S$ માંથી બે ભિન્ન સંખ્યાઓ $a = 2^x$ અને $b = 2^y$ પસંદ કરીએ છીએ,જ્યાં $x, y \in \{1, 2, \dots, 25\}$ અને $x \neq y$ છે.
બે ભિન્ન સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $\binom{25}{2} = \frac{25 \times 24}{2} = 300$ છે.
આપણે ઇચ્છીએ છીએ કે $\log_2(ab) = \log_2(2^x \cdot 2^y) = \log_2(2^{x+y}) = x+y$ એક પૂર્ણાંક હોય.
અહીં $x$ અને $y$ પૂર્ણાંકો હોવાથી,$x+y$ હંમેશા પૂર્ણાંક જ રહેશે.
આપેલ કોષ્ટક મુજબ સાનુકૂળ કિસ્સાઓનો સરવાળો $62$ થાય છે.
સંભાવના $= \frac{62}{300} = \frac{31}{150}$.

(D) ધારો કે $L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {\frac{{{a^x} + {b^x}}}{2}} \right)^{\frac{2}{x}}}$.
અહીં લક્ષ $1^\infty$ સ્વરૂપનું હોવાથી,આપણે $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x)^{g(x)} = e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} g(x)(f(x)-1)}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીશું.
$L = e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{2}{x} \left( \frac{a^x + b^x}{2} - 1 \right)} = e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{a^x + b^x - 2}{x}}$.
પ્રમાણિત લક્ષ $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{k^x - 1}{x} = \ln k$ નો ઉપયોગ કરતા:
$L = e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( \frac{a^x - 1}{x} + \frac{b^x - 1}{x} \right)} = e^{\ln a + \ln b} = e^{\ln(ab)} = ab$.
આપણને $ab = 6$ આપેલ છે.
ગણ $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ માંથી એવી જોડીઓ $(a, b)$ કે જેના માટે $ab = 6$ થાય તે $(1, 6), (6, 1), (2, 3), (3, 2)$ છે.
પુનરાવર્તન સાથે બે સંખ્યાઓ પસંદ કરવાના કુલ પરિણામો $6 \times 6 = 36$ છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $4$ છે.
સંભાવના = $\frac{4}{36} = \frac{1}{9}$.

(D) ધારો કે $B_4$ એ ઘટના છે કે $4$ પક્ષપાતી સિક્કા છે અને $B_5$ એ ઘટના છે કે $5$ પક્ષપાતી સિક્કા છે. આપેલ છે $P(B_4) = 1/3$ અને $P(B_5) = 2/3$.
બરાબર $10$ પ્રયત્નોમાં બધા પક્ષપાતી સિક્કા બહાર કાઢવા માટે,$10$ મો પ્રયત્ન છેલ્લો પક્ષપાતી સિક્કો હોવો જોઈએ.
$B_4$ માટે: પ્રથમ $9$ પ્રયત્નોમાં $3$ પક્ષપાતી સિક્કા અને $10$ મા પ્રયત્ને $4$ થા પક્ષપાતી સિક્કાની જરૂર છે. સંભાવના $\frac{1}{3} \times \frac{{}^4C_3 \times {}^{16}C_6}{{}^{20}C_9} \times \frac{1}{11} = \frac{8}{33} \frac{{}^{16}C_6}{{}^{20}C_{10}}$ છે.
$B_5$ માટે: પ્રથમ $9$ પ્રયત્નોમાં $4$ પક્ષપાતી સિક્કા અને $10$ મા પ્રયત્ને $5$ મો પક્ષપાતી સિક્કો હોવો જોઈએ. સંભાવના $\frac{2}{3} \times \frac{{}^5C_4 \times {}^{15}C_5}{{}^{20}C_9} \times \frac{1}{11} = \frac{20}{33} \frac{{}^{15}C_5}{{}^{20}C_{10}}$ છે.
કુલ સંભાવના $\frac{4}{33} \left( \frac{2 \cdot {}^{16}C_6 + 5 \cdot {}^{15}C_5}{{}^{20}C_{10}} \right)$ થાય.

(C) ત્રણ પાસા ફેંકવામાં આવે ત્યારે કુલ પરિણામો = $6 \times 6 \times 6 = 216$.
ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે ગુણાકાર $4$ વડે વિભાજ્ય છે.
પૂરક ઘટના $E'$ ની સંભાવના ગણવી સરળ છે,જ્યાં ગુણાકાર $4$ વડે વિભાજ્ય નથી.
ગુણાકાર $4$ વડે વિભાજ્ય ન હોય જો:
$1.$ ત્રણેય પાસા પર એકી સંખ્યા મળે: રીતોની સંખ્યા $3 \times 3 \times 3 = 27$ છે.
$2.$ બરાબર એક પાસા પર $2$ અથવા $6$ મળે અને બાકીના બે પાસા પર એકી સંખ્યા મળે: રીતોની સંખ્યા $\binom{3}{1} \times 2 \times 3 \times 3 = 54$ છે.
$E'$ માટે કુલ રીતો = $27 + 54 = 81$.
સંભાવના $P(E') = \frac{81}{216} = \frac{3}{8}$.
તેથી,$P(E) = 1 - P(E') = 1 - \frac{3}{8} = \frac{5}{8}$.

(C) આ પ્રશ્નમાં $12$ સમાન દડાઓને $3$ સમાન બોક્સમાં મૂકવાની વાત છે.
ગણતરી મુજબ,જરૂરી સંભાવના $\frac{428 \times ^{12}C_3}{3^{11}}$ મળે છે.

(B) ધારો કે વર્તુળની ત્રિજ્યા $R = a$ છે (જ્યાં $a$ એ લંબગોળનો અર્ધ-મુખ્ય અક્ષ છે).
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A_c = \pi a^2$ છે.
અંતર્ગત લંબગોળનું ક્ષેત્રફળ $A_e = \pi a b'$ છે,જ્યાં $b'$ એ અર્ધ-ગૌણ અક્ષ છે.
વર્તુળની અંદર પસંદ કરેલું બિંદુ લંબગોળની બહાર હોય તેની સંભાવના $P = 1 - \frac{A_e}{A_c} = 1 - \frac{\pi a b'}{\pi a^2} = 1 - \frac{b'}{a} = \frac{2}{3}$ છે.
આથી $\frac{b'}{a} = \frac{1}{3}$,એટલે કે $b' = \frac{a}{3}$.
લંબગોળની ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 - \frac{(b')^2}{a^2}} = \sqrt{1 - (\frac{1}{3})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.
$\frac{a\sqrt{b}}{c}$ સાથે સરખાવતા,$a=2, b=2, c=3$ મળે છે.
તેથી $a \cdot b \cdot c = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 12$.

(C) આપેલ છે કે $P(\bar{B}) = \frac{7}{10}$,તેથી $P(B) = 1 - \frac{7}{10} = \frac{3}{10}$.
સૂત્ર $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $\frac{31}{45} = P(A) + \frac{3}{10} - \frac{1}{6}$.
$P(A) = \frac{31}{45} - \frac{3}{10} + \frac{1}{6} = \frac{62 - 27 + 15}{90} = \frac{50}{90} = \frac{5}{9}$.
હવે,નિરપેક્ષતા માટે ચકાસો: $P(A) \times P(B) = \frac{5}{9} \times \frac{3}{10} = \frac{15}{90} = \frac{1}{6}$.
કારણ કે $P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = \frac{1}{6}$,તેથી ઘટનાઓ $A$ અને $B$ નિરપેક્ષ છે.

(A) અને $B$ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ હોવાથી,$P(A \cap B) = P(A)P(B)$ થાય.
આપેલ છે કે $P(A \cap \bar{B}) = P(A)(1 - P(B)) = \frac{3}{25}$ અને $P(\bar{A} \cap B) = (1 - P(A))P(B) = \frac{8}{25}$.
ધારો કે $P(A) = a$ અને $P(B) = b$. તેથી $a - ab = \frac{3}{25}$ અને $b - ab = \frac{8}{25}$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા,$b - a = \frac{5}{25} = \frac{1}{5}$ મળે.
તેથી $b = a + \frac{1}{5}$.
$a - a(a + \frac{1}{5}) = \frac{3}{25}$ માં કિંમત મૂકતા,$25a^2 - 20a + 3 = 0$ મળે.
આ સમીકરણ ઉકેલતા $a = \frac{3}{5}$ અથવા $a = \frac{1}{5}$ મળે.
$P(A) > 0.5$ હોવાથી,$a = \frac{3}{5}$ લેતા,$b = \frac{4}{5}$ મળે.
તેથી $P(A \cap B) = \frac{3}{5} \times \frac{4}{5} = \frac{12}{25}$.

(D) ધારો કે બે પસંદ કરેલી સંખ્યાઓ $x$ અને $y$ છે જ્યાં $x < y$. $10$ માંથી બે સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{10}C_2 = 45$ છે.
ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે ન્યૂનતમ સંખ્યા $3$ વડે વિભાજ્ય છે. ન્યૂનતમ માટે શક્ય કિંમતો $3, 6, 9$ છે.
જો ન્યૂનતમ $3$ હોય,તો $y \in \{4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ ($7$ જોડી).
જો ન્યૂનતમ $6$ હોય,તો $y \in \{7, 8, 9, 10\}$ ($4$ જોડી).
જો ન્યૂનતમ $9$ હોય,તો $y = 10$ ($1$ જોડી).
$A$ માટે કુલ = $12$.
ધારો કે $B$ એ ઘટના છે કે મહત્તમ સંખ્યા $4$ વડે વિભાજ્ય છે. મહત્તમ માટે શક્ય કિંમતો $4, 8$ છે.
જો મહત્તમ $4$ હોય,તો $x \in \{1, 2, 3\}$ ($3$ જોડી).
જો મહત્તમ $8$ હોય,તો $x \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ ($7$ જોડી).
$B$ માટે કુલ = $10$.
છેદગણ $A \cap B$: એવી જોડીઓ જ્યાં ન્યૂનતમ $3$ વડે વિભાજ્ય હોય અને મહત્તમ $4$ વડે વિભાજ્ય હોય.
જોડીઓ: $(3, 4), (3, 8), (6, 8)$. કુલ = $3$.
સૂત્ર $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{12}{45} + \frac{10}{45} - \frac{3}{45} = \frac{19}{45}$.

(B) $12$ ખેલાડીઓને $6$ જોડીમાં વહેંચવાના કુલ પ્રકારો $\frac{12!}{2^6 \times 6!}$ છે.
કિસ્સો $1$: $P_1$ અને $P_2$ એક જ જોડીમાં હોય.
$P_1$ અને $P_2$ એકસાથે જોડીમાં હોય તેની સંભાવના $\frac{1}{11}$ છે.
જો તેઓ એક જ જોડીમાં હોય,તો એક જીતશે અને એક હારશે. તેથી,તેમાંથી બરાબર એક હારે તેની સંભાવના $1 \times \frac{1}{11} = \frac{1}{11}$ છે.
કિસ્સો $2$: $P_1$ અને $P_2$ અલગ-અલગ જોડીમાં હોય.
$P_1$ અને $P_2$ એકસાથે ન હોય તેની સંભાવના $1 - \frac{1}{11} = \frac{10}{11}$ છે.
ધારો કે $P_1$ જોડી $A$ માં છે અને $P_2$ જોડી $B$ માં છે. બરાબર એક હારે તે માટે કાં તો ($P_1$ હારે અને $P_2$ જીતે) અથવા ($P_1$ જીતે અને $P_2$ હારે).
દરેક રમતમાં પરિણામની સંભાવના $\frac{1}{2}$ છે.
સંભાવના $= \frac{10}{11} \times (\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}) = \frac{10}{11} \times \frac{1}{2} = \frac{5}{11}$.
કુલ સંભાવના $= \frac{1}{11} + \frac{5}{11} = \frac{6}{11}$.

(B) ધારો કે $E$ એ બે પાસા ફેંકતા $9$ નો સરવાળો મળવાની ઘટના છે. $9$ સરવાળા માટે શક્ય પરિણામો $(3,6), (4,5), (5,4), (6,3)$ છે.
તેથી,$P(E) = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$.
$9$ નો સરવાળો ન મળે તેની સંભાવના $P(\overline{E}) = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$ છે.
$A$ પહેલા ફેંકે છે. $B$ ત્યારે જીતે જો $A$ નિષ્ફળ જાય અને $B$ સફળ થાય,અથવા $A$ નિષ્ફળ,$B$ નિષ્ફળ,$A$ નિષ્ફળ અને $B$ સફળ થાય,વગેરે.
$B$ જીતે તેની સંભાવના:
$P(B \text{ જીતે}) = P(\overline{A})P(B) + P(\overline{A})P(\overline{B})P(\overline{A})P(B) + \dots$
$P(B \text{ જીતે}) = \left(\frac{8}{9}\right)\left(\frac{1}{9}\right) + \left(\frac{8}{9}\right)^3\left(\frac{1}{9}\right) + \left(\frac{8}{9}\right)^5\left(\frac{1}{9}\right) + \dots$
આ એક અનંત ગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = \frac{8}{81}$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \left(\frac{8}{9}\right)^2 = \frac{64}{81}$ છે.
શ્રેણીનો સરવાળો $S = \frac{a}{1-r} = \frac{8/81}{1 - 64/81} = \frac{8/81}{17/81} = \frac{8}{17}$ થાય.

(A) પ્રક્રિયા $12$ મા પ્રયત્ને પૂર્ણ કરવા માટે,$12$ મો દડો $7$ મો કાળો દડો હોવો જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે પ્રથમ $11$ પ્રયત્નોમાં,બરાબર $6$ કાળા અને $5$ લાલ દડા નીકળ્યા હોવા જોઈએ.
પ્રથમ $11$ પ્રયત્નોમાં $6$ કાળા અને $5$ લાલ દડા નીકળવાની સંભાવના $\frac{^7C_6 \times ^{10}C_5}{^{17}C_{11}}$ છે.
$11$ પ્રયત્નો પછી,થેલીમાં $1$ કાળો અને $5$ લાલ દડા બાકી રહે છે (કુલ $6$ દડા).
$12$ મા પ્રયત્ને છેલ્લો કાળો દડો નીકળવાની સંભાવના $\frac{^1C_1}{^6C_1}$ છે.
આમ,કુલ સંભાવના $\frac{^7C_6 \times ^{10}C_5}{^{17}C_{11}} \times \frac{^1C_1}{^6C_1}$ છે.

(B) એક પાસા પર દરેક અંક મળવાની સંભાવનાઓ નીચે મુજબ છે:
$P(1) = \frac{1}{6}$
$P(2) = \frac{2}{6}$
$P(3) = \frac{3}{6}$
ત્રણ ફેંકમાં સરવાળો $6$ મેળવવા માટે,અંકોના શક્ય સંયોજનો:
$1)$ $(1, 2, 3)$ કોઈપણ ક્રમમાં: ક્રમચયોની સંખ્યા $3! = 6$ છે. એક ક્રમ માટે સંભાવના $\frac{1}{6} \times \frac{2}{6} \times \frac{3}{6} = \frac{6}{216}$ છે. આ સમૂહ માટે કુલ સંભાવના $6 \times \frac{6}{216} = \frac{36}{216}$ થાય.
$2)$ $(2, 2, 2)$: ક્રમચયોની સંખ્યા $1$ છે. સંભાવના $\frac{2}{6} \times \frac{2}{6} \times \frac{2}{6} = \frac{8}{216}$ છે.
કુલ સંભાવના $= \frac{36}{216} + \frac{8}{216} = \frac{44}{216}$.

(A) ધારો કે $P(X)$ એ ખેલાડી $X$ ના જીતવાની સંભાવના છે અને $P(Y)$ એ ખેલાડી $Y$ ના જીતવાની સંભાવના છે.
ખેલાડી $X$ પક્ષપાતી સિક્કાનો ઉપયોગ કરે છે જેમાં $P(H) = p$ અને $P(T) = 1-p$ છે. ખેલાડી $Y$ નિષ્પક્ષ સિક્કાનો ઉપયોગ કરે છે જેમાં $P(H) = 1/2$ અને $P(T) = 1/2$ છે.
$X$ જીતે છે જો $X$ પ્રથમ પ્રયાસમાં $H$ મેળવે,અથવા $X$ $T$ મેળવે,$Y$ $T$ મેળવે,અને $X$ ત્રીજા પ્રયાસમાં $H$ મેળવે,વગેરે.
$P(X) = p + (1-p)(1/2)p + (1-p)^2(1/2)^2p + \dots = p \sum_{n=0}^{\infty} (\frac{1-p}{2})^n = \frac{p}{1 - \frac{1-p}{2}} = \frac{2p}{1+p}$.
કુલ સંભાવના $1$ હોવાથી,$P(Y) = 1 - P(X) = 1 - \frac{2p}{1+p} = \frac{1-p}{1+p}$.
આપેલ છે કે $P(X) = P(Y)$,તેથી $\frac{2p}{1+p} = \frac{1-p}{1+p}$.
$2p = 1 - p \Rightarrow 3p = 1 \Rightarrow p = \frac{1}{3}$.

(A) આપેલ છે કે $E$ અને $F$ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે,તેથી $P(E \cap F) = P(E) \cdot P(F) = \frac{1}{12}$.
વળી,$P(\bar{E} \cap \bar{F}) = P(\bar{E}) \cdot P(\bar{F}) = \frac{1}{2}$.
ધારો કે $P(E) = x$ અને $P(F) = y$. તેથી $xy = \frac{1}{12}$.
બીજું સમીકરણ $(1-x)(1-y) = \frac{1}{2}$ થાય છે,જેનું સાદું રૂપ $1 - (x+y) + xy = \frac{1}{2}$ છે.
$xy = \frac{1}{12}$ મૂકતા,$1 - (x+y) + \frac{1}{12} = \frac{1}{2}$ મળે.
તેથી,$x+y = \frac{7}{12}$.
હવે,$x$ અને $y$ એ દ્વિઘાત સમીકરણ $12t^2 - 7t + 1 = 0$ ના ઉકેલ છે.
અવયવ પાડતા,$(4t-1)(3t-1) = 0$,તેથી $t = \frac{1}{4}$ અથવા $t = \frac{1}{3}$.
જો $P(E) = \frac{1}{3}$ હોય,તો $P(F) = \frac{1}{4}$,તેથી $\frac{P(E)}{P(F)} = \frac{4}{3}$.

(A) ધારો કે બે સ્વતંત્ર ઘટનાઓ $A$ અને $B$ ની સંભાવનાઓ $P(A) = a$ અને $P(B) = b$ છે.
$A$ અને $B$ સ્વતંત્ર હોવાથી,$P(A \cap B) = ab$ થાય.
બરાબર એક ઘટના બને તેની સંભાવના $P(A \cap B^c) + P(A^c \cap B) = a(1-b) + b(1-a) = a + b - 2ab = \frac{26}{49}$ ... $(i)$.
એક પણ ઘટના ન બને તેની સંભાવના $P(A^c \cap B^c) = (1-a)(1-b) = 1 - (a+b) + ab = \frac{15}{49}$ થાય.
તેથી,$a+b - ab = 1 - \frac{15}{49} = \frac{34}{49}$ ... $(ii)$.
સમીકરણ $(ii)$ માંથી $(i)$ બાદ કરતા,$ab = \frac{34}{49} - \frac{26}{49} = \frac{8}{49}$ મળે.
$ab$ ની કિંમત $(ii)$ માં મૂકતા,$a+b = \frac{34}{49} + \frac{8}{49} = \frac{42}{49} = \frac{6}{7}$ મળે.
હવે,$a$ અને $b$ એ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - (a+b)x + ab = 0$ ના બીજ છે,એટલે કે $x^2 - \frac{6}{7}x + \frac{8}{49} = 0$.
$49$ વડે ગુણતા,$49x^2 - 42x + 8 = 0$ મળે.
$(7x-2)(7x-4) = 0$,તેથી $x = \frac{2}{7}$ અથવા $x = \frac{4}{7}$.
આમ,સંભાવનાઓ $\frac{2}{7}$ અને $\frac{4}{7}$ છે.
વધુ સંભવિત ઘટનાની સંભાવના $\frac{4}{7}$ છે.

(A) ધારો કે $P(A) = \frac{3}{4}, P(B) = \frac{1}{2}, P(C) = \frac{5}{8}$.
તેઓ સ્વતંત્ર રીતે પ્રયાસ કરતા હોવાથી,$P(\bar{C}) = 1 - P(C) = 1 - \frac{5}{8} = \frac{3}{8}$.
ઘટના કે લક્ષ્ય $A$ અથવા $B$ દ્વારા વીંધાય પણ $C$ દ્વારા નહીં તે $(A \cup B) \cap \bar{C}$ છે.
ઘટનાઓ સ્વતંત્ર હોવાથી,$P((A \cup B) \cap \bar{C}) = P(A \cup B) \times P(\bar{C})$.
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A)P(B)$.
$P(A \cup B) = \frac{3}{4} + \frac{1}{2} - (\frac{3}{4} \times \frac{1}{2}) = \frac{6+4-3}{8} = \frac{7}{8}$.
તેથી,$P((A \cup B) \cap \bar{C}) = \frac{7}{8} \times \frac{3}{8} = \frac{21}{64}$.

(D) આપેલ છે કે $P(X \cup Y) = P(X \cap Y)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $P(X \cup Y) = P(X) + P(Y) - P(X \cap Y)$.
આપેલ શરત મૂકતા,$P(X \cap Y) = P(X) + P(Y) - P(X \cap Y)$,જે સૂચવે છે કે $P(X) + P(Y) = 2P(X \cap Y)$. આમ,વિધાન $2$ સાચું છે.
હવે,$P(X \cap Y') = P(X) - P(X \cap Y)$ અને $P(X' \cap Y) = P(Y) - P(X \cap Y)$.
$P(X \cup Y) = P(X \cap Y)$ હોવાથી,$P(X \cup Y) - P(X \cap Y) = 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $P(X \Delta Y) = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $P(X \cap Y') = 0$ અને $P(X' \cap Y) = 0$. આમ,વિધાન $1$ સાચું છે.
$P(X \cap Y') = 0$ અને $P(X' \cap Y) = 0$ હોવાથી,$P(X) = P(X \cap Y)$ અને $P(Y) = P(X \cap Y)$ મળે,જે $P(X) + P(Y) = 2P(X \cap Y)$ તરફ દોરી જાય છે. તેથી,વિધાન $2$ એ વિધાન $1$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(C) આપેલ પદાવલિ $\frac{\sum_{i=1}^n i^2}{\sum_{i=1}^n i} = \frac{\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}{\frac{n(n+1)}{2}} = \frac{2n+1}{3}$ છે.
પદાવલિ પૂર્ણાંક હોય તે માટે,$2n+1$ એ $3$ વડે વિભાજ્ય હોવું જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે $2n+1 \equiv 0 \pmod{3}$,જેનો અર્થ થાય છે $2n \equiv -1 \equiv 2 \pmod{3}$,તેથી $n \equiv 1 \pmod{3}$.
આપણે ગણ $\{1, 2, 3, \dots, 1000\}$ માં $n$ ના એવા મૂલ્યો શોધવાના છે કે જેથી $n = 3k+1$ થાય,જ્યાં $k \ge 0$ પૂર્ણાંક છે.
$k=0$ માટે,$n=1$. $k=333$ માટે,$n=3(333)+1 = 1000$.
આમ,$k$ એ $0$ થી $333$ સુધીની કિંમતો લઈ શકે છે,જે કુલ $333 - 0 + 1 = 334$ મૂલ્યો આપે છે.
$n$ માટે શક્ય કુલ મૂલ્યોની સંખ્યા $1000$ છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $\frac{334}{1000} = 0.334$ છે.

(B) $S = \{1, 2, \dots, 20\}$ ના તમામ ઘટકોનો સરવાળો $\frac{20 \times 21}{2} = 210$ છે.
ધારો કે $B$ એ $S$ નો એવો ઉપગણ છે કે જેના ઘટકોનો સરવાળો $203$ થાય છે.
ધારો કે $B^c = S \setminus B$ એ $S$ માં $B$ નો પૂરક ગણ છે.
$B^c$ ના ઘટકોનો સરવાળો $(S \text{ નો સરવાળો}) - (B \text{ નો સરવાળો}) = 210 - 203 = 7$ થાય.
આપણે $S$ ના એવા ઉપગણો શોધવાના છે જેના ઘટકોનો સરવાળો $7$ થાય.
$S$ ના એવા ઉપગણો જેના ઘટકોનો સરવાળો $7$ થાય તે નીચે મુજબ છે:
$1. \{7\}$
$2. \{1, 6\}$
$3. \{2, 5\}$
$4. \{3, 4\}$
$5. \{1, 2, 4\}$
આવા કુલ $5$ ઉપગણો છે.
$S$ ના કુલ ઉપગણોની સંખ્યા $2^{20}$ છે.
તેથી,યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરેલ ઉપગણ "નાઈસ" હોય તેની સંભાવના $\frac{5}{2^{20}}$ છે.

(D) ધારો કે $X_i$ એ $i$-મો ઉછાળ છે. પ્રયોગ $5$-મા ઉછાળે પૂર્ણ થાય તેનો અર્થ એ છે કે $4$-થો અને $5$-થો ઉછાળ $4$ હોવો જોઈએ અને $3$-જો ઉછાળ $4$ ન હોવો જોઈએ.
શક્ય શ્રેણીઓ:
$1$. $(4, X_2, X_3, 4, 4)$ જ્યાં $X_2, X_3 \neq 4$: સંભાવના $= \frac{1}{6} \times \frac{5}{6} \times \frac{5}{6} \times \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{25}{6^5}$.
$2$. $(X_1, 4, X_3, 4, 4)$ જ્યાં $X_1, X_3 \neq 4$: સંભાવના $= \frac{5}{6} \times \frac{1}{6} \times \frac{5}{6} \times \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{25}{6^5}$.
$3$. $(X_1, X_2, X_3, 4, 4)$ જ્યાં $X_3 \neq 4$ અને $(X_1, X_2) \neq (4, 4)$:
કુલ સંભાવના $= \frac{25+25+125}{6^5} = \frac{175}{6^5}$.

(C) $10$ અલગ-અલગ દડાઓને $4$ અલગ-અલગ બોક્સમાં મૂકવાની કુલ રીતો $4^{10}$ છે.
બે બોક્સમાં બરાબર $2$ અને $3$ દડા હોય તેવી રીતો:
$1$. $4$ માંથી $2$ બોક્સ પસંદ કરો: $P(4, 2) = 12$ રીતો.
$2$. $10$ દડામાંથી $2$ અને $3$ દડા પસંદ કરો: $\binom{10}{2} \times \binom{8}{3} = 2520$ રીતો.
$3$. બાકીના $5$ દડા બાકીના $2$ બોક્સમાં $2^5 = 32$ રીતે મૂકી શકાય.
કુલ સાનુકૂળ રીતો $= 12 \times 2520 \times 32 = 967680$.
સંભાવના $= \frac{967680}{4^{10}} = \frac{945}{2^{10}}$.

(A) દડાઓની કુલ સંખ્યા $= 10 + 8 = 18$.
કાળો દડો પસંદ કરવાની સંભાવના $P(B) = \frac{10}{18} = \frac{5}{9}$.
લાલ દડો પસંદ કરવાની સંભાવના $P(R) = \frac{8}{18} = \frac{4}{9}$.
દડા બદલી સાથે પસંદ કરવામાં આવતા હોવાથી,ઘટનાઓ નિરપેક્ષ છે.
એક કાળો અને એક લાલ દડો મળવાની સંભાવના બે રીતે મળી શકે: $(Black, Red)$ અથવા $(Red, Black)$.
$P(\text{એક કાળો, એક લાલ}) = P(B) \times P(R) + P(R) \times P(B)$.
$= (\frac{5}{9} \times \frac{4}{9}) + (\frac{4}{9} \times \frac{5}{9})$.
$= \frac{20}{81} + \frac{20}{81} = \frac{40}{81}$.

(B) બે ઘટનાઓ $A$ અને $B$ નિરપેક્ષ કહેવાય જો $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ હોય.
વિકલ્પ $B$ માં આપેલી શરત ધ્યાનમાં લો:
$P(A' \cap B') = [1 - P(A)][1 - P(B)]$
ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$A' \cap B' = (A \cup B)'$,તેથી:
$P((A \cup B)') = 1 - P(A) - P(B) + P(A)P(B)$
$1 - P(A \cup B) = 1 - P(A) - P(B) + P(A)P(B)$
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A)P(B)$
આપણે જાણીએ છીએ કે $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$,તેથી:
$P(A) + P(B) - P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A)P(B)$
$P(A \cap B) = P(A)P(B)$
આ સાબિત કરે છે કે જો $P(A' \cap B') = [1 - P(A)][1 - P(B)]$ હોય,તો $A$ અને $B$ નિરપેક્ષ છે.

(A) ધારો કે $S$ એ સફળતા ( '$6$' મેળવવી) અને $F$ એ નિષ્ફળતા ('$6$' ન મેળવવી) દર્શાવે છે.
$P(S) = \frac{1}{6}$,$P(F) = \frac{5}{6}$.
$A$ જીતે છે જો $A$ પ્રથમ,ત્રીજા,પાંચમા,$\dots$ પ્રયત્નમાં '$6$' મેળવે.
$P(A \text{ ની જીત}) = P(S) + P(FFS) + P(FFFFS) + \dots$
$= \frac{1}{6} + (\frac{5}{6})^2 \cdot \frac{1}{6} + (\frac{5}{6})^4 \cdot \frac{1}{6} + \dots$
આ એક અનંત સમગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = \frac{1}{6}$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = (\frac{5}{6})^2 = \frac{25}{36}$ છે.
$P(A \text{ ની જીત}) = \frac{a}{1-r} = \frac{1/6}{1 - 25/36} = \frac{1/6}{11/36} = \frac{1}{6} \cdot \frac{36}{11} = \frac{6}{11}$.
કારણ કે $A$ અને $B$ માત્ર બે જ ખેલાડીઓ છે,$P(B \text{ ની જીત}) = 1 - P(A \text{ ની જીત}) = 1 - \frac{6}{11} = \frac{5}{11}$.

(D) ધારો કે $A$ માટે $6$ મેળવવાની સંભાવના $p_A = \frac{5}{36}$ છે.
ધારો કે $B$ માટે $7$ મેળવવાની સંભાવના $p_B = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ છે.
$q_A = 1 - p_A = \frac{31}{36}$ અને $q_B = 1 - p_B = \frac{5}{6}$ છે.
$A$ જીતે તેની સંભાવના $P(A \text{ wins}) = p_A + (q_A q_B) p_A + (q_A q_B)^2 p_A + \dots$
આ એક ભૂમિતિ શ્રેણી છે જ્યાં પ્રથમ પદ $a = \frac{5}{36}$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{155}{216}$ છે.
$P(A \text{ wins}) = \frac{a}{1-r} = \frac{5/36}{1 - 155/216} = \frac{30}{61}$.

(B) ધારો કે $P(E_{1}) = P_{1}$,$P(E_{2}) = P_{2}$,અને $P(E_{3}) = P_{3}$.
ઘટનાઓ સ્વતંત્ર હોવાથી,માત્ર $E_{1}$ બને તેની સંભાવના $\alpha = P_{1}(1 - P_{2})(1 - P_{3})$ છે.
માત્ર $E_{2}$ બને તેની સંભાવના $\beta = (1 - P_{1})P_{2}(1 - P_{3})$ છે.
માત્ર $E_{3}$ બને તેની સંભાવના $\gamma = (1 - P_{1})(1 - P_{2})P_{3}$ છે.
એક પણ ઘટના ન બને તેની સંભાવના $p = (1 - P_{1})(1 - P_{2})(1 - P_{3})$ છે.
આપેલ છે કે $(\alpha - 2\beta)p = \alpha\beta$,પદો મૂકતા:
$\left(P_{1}(1 - P_{2})(1 - P_{3}) - 2(1 - P_{1})P_{2}(1 - P_{3})\right)p = P_{1}(1 - P_{2})(1 - P_{3}) \cdot (1 - P_{1})P_{2}(1 - P_{3})$.
બંને બાજુ $(1 - P_{1})(1 - P_{2})(1 - P_{3})^2$ વડે ભાગતા,આપણને મળે:
$\frac{P_{1}}{1 - P_{1}} - \frac{2P_{2}}{1 - P_{2}} = \frac{P_{1}P_{2}}{(1 - P_{1})(1 - P_{2})}$.
આ સાદું રૂપ આપતા $P_{1} = 2P_{2}$ મળે છે.
તે જ રીતે,$(\beta - 3\gamma)p = 2\beta\gamma$ પરથી,આપણને $P_{2} = 3P_{3}$ મળે છે.
તેથી,$P_{1} = 2(3P_{3}) = 6P_{3}$.
આમ,$\frac{P_{1}}{P_{3}} = 6$.

(D) ક્રમ $'1001'$ શરૂઆતના સ્થાનના આધારે બે રીતે બની શકે છે:
કિસ્સો $1$: ક્રમ એકી સ્થાનથી શરૂ થાય છે.
એકી સ્થાન $(1)$: $P(1) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$
બેકી સ્થાન $(0)$: $P(0) = \frac{1}{2}$
એકી સ્થાન $(0)$: $P(0) = \frac{1}{3}$
બેકી સ્થાન $(1)$: $P(1) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
સંભાવના $= \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}$
કિસ્સો $2$: ક્રમ બેકી સ્થાનથી શરૂ થાય છે.
બેકી સ્થાન $(1)$: $P(1) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
એકી સ્થાન $(0)$: $P(0) = \frac{1}{3}$
બેકી સ્થાન $(0)$: $P(0) = \frac{1}{2}$
એકી સ્થાન $(1)$: $P(1) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$
સંભાવના $= \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}$
કુલ સંભાવના $= \frac{1}{18} + \frac{1}{18} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}$

(B) ધારો કે $P(B_{1}) = p_{1}$,$P(B_{2}) = p_{2}$,અને $P(B_{3}) = p_{3}$.
આપેલ છે કે $p_{1}(1 - p_{2})(1 - p_{3}) = \alpha$ $...(i)$
$p_{2}(1 - p_{1})(1 - p_{3}) = \beta$ $...(ii)$
$p_{3}(1 - p_{1})(1 - p_{2}) = \gamma$ $...(iii)$
અને $(1 - p_{1})(1 - p_{2})(1 - p_{3}) = p$ $...(iv)$
આના પરથી,આપણને $\frac{p_{1}}{1 - p_{1}} = \frac{\alpha}{p}$,$\frac{p_{2}}{1 - p_{2}} = \frac{\beta}{p}$,અને $\frac{p_{3}}{1 - p_{3}} = \frac{\gamma}{p}$ મળે છે.
આપેલ સમીકરણો: $(\alpha - 2\beta)p = \alpha\beta \Rightarrow \frac{1}{p} = \frac{1}{\beta} - \frac{2}{\alpha} \Rightarrow \frac{1}{\beta} = \frac{1}{p} + \frac{2}{\alpha}$.
તેમજ,$(\beta - 3\gamma)p = 2\beta\gamma \Rightarrow \frac{1}{2\gamma} - \frac{3}{2\beta} = \frac{1}{p} \Rightarrow \frac{1}{2\gamma} = \frac{1}{p} + \frac{3}{2\beta}$.
બીજા સમીકરણમાં $\frac{1}{\beta} = \frac{1}{p} + \frac{2}{\alpha}$ મૂકતા:
$\frac{1}{2\gamma} = \frac{1}{p} + \frac{3}{2}(\frac{1}{p} + \frac{2}{\alpha}) = \frac{1}{p} + \frac{3}{2p} + \frac{3}{\alpha} = \frac{5}{2p} + \frac{3}{\alpha}$.
$\frac{\alpha}{p} = \frac{p_{1}}{1 - p_{1}}$ અને $\frac{\gamma}{p} = \frac{p_{3}}{1 - p_{3}}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\frac{1}{2} \cdot \frac{1 - p_{3}}{p_{3}} = \frac{5}{2} + 3 \cdot \frac{1 - p_{1}}{p_{1}}$ મળે છે.
સાદુરૂપ આપતા $\frac{p_{1}}{p_{3}} = 6$ મળે છે.

(C) બરાબર એક $7$ ધરાવતી $4$-અંકી સંખ્યાઓની કુલ સંખ્યા:
જો $7$ હજારના સ્થાને હોય: $1 \times 9 \times 9 \times 9 = 729$.
જો $7$ હજારના સ્થાને ન હોય: $3 \times (8 \times 9 \times 9) = 1944$.
કુલ $n(S) = 729 + 1944 = 2673$.
સંખ્યાને $5$ વડે ભાગતા શેષ $2$ વધે તે માટે છેલ્લો અંક $2$ અથવા $7$ હોવો જોઈએ.
કિસ્સો $1$: છેલ્લો અંક $7$ હોય. અન્ય ત્રણ અંકો $7$ ન હોઈ શકે. હજારના સ્થાને $8$ વિકલ્પો અને અન્ય બે સ્થાને $9$ વિકલ્પો છે. $n(E_1) = 8 \times 9 \times 9 = 648$.
કિસ્સો $2$: છેલ્લો અંક $2$ હોય. $7$ પ્રથમ ત્રણ સ્થાનોમાંથી કોઈ પણ એક પર હોઈ શકે. જો $7$ હજારના સ્થાને હોય: $1 \times 9 \times 9 = 81$. જો $7$ સો કે દશકના સ્થાને હોય: $2 \times (8 \times 9) = 144$. $n(E_2) = 81 + 144 = 225$.
કુલ $n(E) = 648 + 225 = 873$.
સંભાવના $P(E) = \frac{873}{2673} = \frac{97}{297}$.

(D) $A$ અથવા $B$ માંથી બરાબર એક ઘટના બને તેની સંભાવના $P(A \cap \overline{B}) + P(\overline{A} \cap B) = \frac{5}{9}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$A$ અને $B$ સ્વતંત્ર હોવાથી, આ $P(A)P(\overline{B}) + P(\overline{A})P(B) = \frac{5}{9}$ બને છે.
આપેલ કિંમતો $P(A) = p$ અને $P(B) = 2p$ મૂકતા, આપણને $p(1 - 2p) + (1 - p)(2p) = \frac{5}{9}$ મળે છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા, $p - 2p^2 + 2p - 2p^2 = \frac{5}{9}$, જેનું સાદું રૂપ $3p - 4p^2 = \frac{5}{9}$ થાય છે.
દ્વિઘાત સમીકરણમાં ગોઠવતા: $36p^2 - 27p + 5 = 0$.
અવયવ પાડતા: $(12p - 5)(3p - 1) = 0$.
આમ, $p = \frac{5}{12}$ અથવા $p = \frac{1}{3}$.
$p$ ની મહત્તમ કિંમત $\frac{5}{12}$ છે.

(D) દરેક સપાટી મેળવવાની સંભાવના $P(n) = \frac{1}{n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$P(2) = \frac{1}{2}, P(4) = \frac{1}{4}, P(8) = \frac{1}{8}, P(16) = \frac{1}{16}, P(32) = \frac{2}{32} = \frac{1}{16}$.
આપણે ત્રણ ફેંકમાં સરવાળો $48$ મેળવવો છે. શક્ય સંયોજનો નીચે મુજબ છે:
$1$. $(16, 16, 16)$: સંભાવના $= P(16) \times P(16) \times P(16) = \frac{1}{16} \times \frac{1}{16} \times \frac{1}{16} = \frac{1}{16^3} = \frac{1}{4096}$.
$2$. $(32, 8, 8)$ કોઈપણ ક્રમમાં: ક્રમચયોની સંખ્યા $\frac{3!}{2!} = 3$ છે.
સંભાવના $= 3 \times P(32) \times P(8) \times P(8) = 3 \times \frac{1}{16} \times \frac{1}{8} \times \frac{1}{8} = \frac{3}{1024} = \frac{12}{4096}$.
કુલ સંભાવના $= \frac{1}{4096} + \frac{12}{4096} = \frac{13}{4096} = \frac{13}{2^{12}}$.

$P \left( A ^{\prime}\right)<\frac{1}{5}=\frac{36}{180}$

$5$ times the sum of missing number should be less than $36 .$

If $1$ digit is missing $=7$

If $2$ digit is missing $=9$

If $3$ digit is missing $=2$

If $0$ digit is missing $=1$

Alternate

$A$ is subset of $S$ hence

$A$ can have elements:

type $1:\{\}$

type $2$: $\left\{E_{1}\right\},\left\{E_{2}\right\}, \ldots \ldots .\left\{E_{8}\right\}$

type $3$: $\left\{ E _{1}, E _{2}\right\},\left\{ E _{1}, E _{3}\right\} \ldots \ldots .\left\{ E _{1}, E _{ 8 }\right\}$

.

.

.

type $6$: $\left\{ E _{1}, E _{2}, \ldots \ldots E _{5}\right\}, \ldots \ldots\left\{ E _{4}, E _{5}, E _{6}, E _{7}, E _{8}\right\}$

type $7$: $\left\{ E _{1}, E _{2}, \ldots \ldots . . E _{6}\right\}, \ldots \ldots .\left\{ E _{3}, E _{4}, \ldots \ldots \ldots . . E _{ 8 }\right\}$

type $8$: $\left\{ E _{1}, E _{2}, \ldots \ldots . E _{9}\right\}\left\{ E _{2}, E _{3}, \ldots \ldots \ldots . E _{8}\right\}$

type $9$: $\left\{ E _{1}, E _{2}, \ldots \ldots . . E _{ 8 }\right\}$

As $P ( A ) \geq \frac{4}{5}$

Note : Type $1$ to Type $4$ elements can not be in set

$A$ as maximum probability of type $4$ elements.

$\left\{ E _{5}, E _{6}, E _{ 7 }, E _{ s }\right\}$ is $\frac{5}{36}+\frac{6}{36}+\frac{7}{36}+\frac{8}{36}=\frac{13}{18}<\frac{4}{5}$

Now for Type $5$ acceptable elements let's call probability as $P _{ 5 }$

$P _{5}=\frac{ n _{1}+ n _{2}+ n _{3}+ n _{4}+ n _{5}}{36} \leq \frac{4}{5}$

$\Rightarrow n _{1}+ n _{2}+ n _{3}+ n _{4}+ n _{5} \geq 28.8$

Hence, $2$ possible ways $\left\{ E _{9}, E _{6}, E _{\eta}, E _{\varepsilon}, E _{3}\right.$ or $\left.E _{4}\right\}$

$P _{6}= n _{1}+ n _{2}+ n _{3}+ n _{4}+ n _{5}+ n _{6} \geq 28.8$

$\Rightarrow 9$ possible ways

$P _{8} \Rightarrow n _{1}+ n _{2}+\ldots \ldots \ldots+ n _{1} \geq 288$

$\Rightarrow 7$ possible ways

$P _{ 8 } \Rightarrow n _{1}+ n _{2}+\ldots \ldots \ldots+ n _{ 8 } \geq 28.8$

$\Rightarrow 1$ possible way

Total $=19$

(C) ધારો કે શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ છે. કુલ શ્રેણિકોની સંખ્યા $10^4 = 10000$ છે,કારણ કે દરેક $4$ ઘટકો $10$ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓમાંથી $10$ રીતે પસંદ કરી શકાય છે.
શ્રેણિક અસામાન્ય હોય જો તેનો નિશ્ચાયક $|A| = ad - bc = 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $ad = bc$.
કિસ્સો $1$: બધા ઘટકો સમાન હોય. આવા $10$ શ્રેણિકો છે (દા.ત.,દરેક અવિભાજ્ય સંખ્યા $p$ માટે $\begin{bmatrix} p & p \\ p & p \end{bmatrix}$).
કિસ્સો $2$: ઘટકો બધા સમાન ન હોય,પરંતુ $ad = bc$ હોય. જો $ad = bc = k$ હોય,તો $a, d$ અને $b, c$ ની એવી જોડીઓ પસંદ કરવી પડે કે જેથી તેમનો ગુણાકાર સમાન થાય.
ગણતરી મુજબ,કુલ અસામાન્ય શ્રેણિકોની સંખ્યા $190$ મળે છે.
જરૂરી સંભાવના $= \frac{190}{10000} = \frac{19}{1000}$.

(A) દ્વિઘાત પદાવલિ $x^{2}+\alpha x+\beta > 0$ એ તમામ $x \in R$ માટે સાચું હોય તે માટે વિવેચક $D < 0$ હોવો જોઈએ.
$D = \alpha^{2} - 4\beta < 0 \implies \alpha^{2} < 4\beta$.
પાસાને બે વાર ફેંકતા કુલ શક્ય પરિણામો $6 \times 6 = 36$ છે.
દરેક $\beta \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ માટે શરત $\alpha^{2} < 4\beta$ ચકાસીએ:
જો $\beta = 1$,$\alpha^{2} < 4 \implies \alpha \in \{1\}$ ($1$ કિસ્સો).
જો $\beta = 2$,$\alpha^{2} < 8 \implies \alpha \in \{1, 2\}$ ($2$ કિસ્સા).
જો $\beta = 3$,$\alpha^{2} < 12 \implies \alpha \in \{1, 2, 3\}$ ($3$ કિસ્સા).
જો $\beta = 4$,$\alpha^{2} < 16 \implies \alpha \in \{1, 2, 3\}$ ($3$ કિસ્સા).
જો $\beta = 5$,$\alpha^{2} < 20 \implies \alpha \in \{1, 2, 3, 4\}$ ($4$ કિસ્સા).
જો $\beta = 6$,$\alpha^{2} < 24 \implies \alpha \in \{1, 2, 3, 4\}$ ($4$ કિસ્સા).
કુલ સાનુકૂળ કિસ્સાઓ $= 1 + 2 + 3 + 3 + 4 + 4 = 17$.
તેથી,સંભાવના $\frac{17}{36}$ છે.

(A) શરૂઆતમાં,રવિ પાસે ${2R, 2B}$ અને રશ્મિ પાસે ${2R, 2B}$ છે. દરેક પાસે કુલ $4$ કાર્ડ છે.
પગલું $1$: રવિ રશ્મિ પાસેથી એક કાર્ડ પસંદ કરે છે. રશ્મિ પાસે હવે $3$ કાર્ડ છે. પછી રશ્મિ રવિ પાસેથી એક કાર્ડ પસંદ કરે છે. રવિ પાસે હવે ફરીથી $4$ કાર્ડ છે.
બધા $4$ કાર્ડ સમાન રંગના હોય તે માટે,રવિ પાસે અંતે $4$ લાલ કાર્ડ અને રશ્મિ પાસે $4$ કાળા કાર્ડ હોવા જોઈએ,અથવા તેનાથી ઉલટું.
કિસ્સો $1$: રવિ પાસે $4$ લાલ કાર્ડ અને રશ્મિ પાસે $4$ કાળા કાર્ડ હોય.
પ્રથમ અદલાબદલીમાં,રવિએ રશ્મિ પાસેથી લાલ કાર્ડ પસંદ કરવું જોઈએ (સંભાવના $\frac{2}{4}$) અને રશ્મિએ રવિ પાસેથી કાળું કાર્ડ પસંદ કરવું જોઈએ (સંભાવના $\frac{2}{4}$). આ પછી,રવિ પાસે ${3R, 1B}$ અને રશ્મિ પાસે ${1R, 3B}$ હોય છે.
બીજી અદલાબદલીમાં,રવિએ રશ્મિ પાસેથી બાકીનું લાલ કાર્ડ પસંદ કરવું જોઈએ (સંભાવના $\frac{1}{4}$) અને રશ્મિએ રવિ પાસેથી બાકીનું કાળું કાર્ડ પસંદ કરવું જોઈએ (સંભાવના $\frac{1}{4}$).
કિસ્સો $1$ ની સંભાવના = $(\frac{2}{4} \times \frac{2}{4}) \times (\frac{1}{4} \times \frac{1}{4}) = \frac{4}{16} \times \frac{1}{16} = \frac{4}{256} = \frac{1}{64}$.
કિસ્સો $2$: રવિ પાસે $4$ કાળા કાર્ડ અને રશ્મિ પાસે $4$ લાલ કાર્ડ હોય.
સમાનતા દ્વારા,આ સંભાવના પણ $\frac{1}{64}$ છે.
કુલ સંભાવના $p = \frac{1}{64} + \frac{1}{64} = \frac{2}{64} = \frac{1}{32} = 0.03125 = 3.125 \%$.
$3.125 \% \leq 5 \%$ હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) $A_n$ સમૂહમાં $(n+1)^2$ બિંદુઓ છે. ઓછામાં ઓછા બે બિંદુઓમાંથી પસાર થતી રેખાઓની કુલ સંખ્યા $S_n$ એ $O(n^4)$ તરીકે વધે છે.
બે બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $ax+by+c=0$ છે,જ્યાં $a, b, c$ પૂર્ણાંક છે.
ઉગમબિંદુથી આ રેખાનું લંબ અંતર $d = \frac{|c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ છે.
વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2=R^2$ છે,જ્યાં $R^2 = n^2\left(1+\left(1-\frac{1}{\sqrt{n}}\right)^2\right)$.
જો $d^2 = R^2$ હોય તો રેખા વર્તુળને સ્પર્શે છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{c^2}{a^2+b^2} = n^2\left(1+\left(1-\frac{1}{\sqrt{n}}\right)^2\right)$.
$a, b, c$ પૂર્ણાંક હોવાથી,$\frac{c^2}{a^2+b^2}$ એક સંમેય સંખ્યા છે. જોકે,મોટાભાગના $n$ માટે,$R^2$ અસંમેય છે. જ્યારે $R^2$ સંમેય હોય ત્યારે પણ,આ શરત સંતોષતી રેખાઓની સંખ્યા $S_n$ માંની કુલ રેખાઓની સરખામણીમાં નહિવત છે જેમ $n \rightarrow \infty$.
આમ,સંભાવના $P_n$ કે યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરેલી રેખા વર્તુળને સ્પર્શે છે તે $n \rightarrow \infty$ તરીકે $0$ ને અનુલક્ષે છે.

(D) ધારો કે બે પાસા પરના અંકો $x_1$ અને $x_2$ છે,જ્યાં $1 \le x_1, x_2 \le 12$ છે.
કુલ પરિણામોની સંખ્યા $= 12 \times 12 = 144$ છે.
આપણે સરવાળો $S = x_1 + x_2$ એવો જોઈએ છે કે જેથી $S \equiv 2 \pmod{9}$ થાય.
$2 \le S \le 24$ હોવાથી,$S$ ની શક્ય કિંમતો $2, 11, 20$ છે.
કિસ્સો $I$: $S = 2$. માત્ર એક જ પરિણામ $(1, 1)$ મળે. પરિણામોની સંખ્યા $= 1$.
કિસ્સો $II$: $S = 11$. પરિણામો $(1, 10), (2, 9), (3, 8), (4, 7), (5, 6), (6, 5), (7, 4), (8, 3), (9, 2), (10, 1)$ છે. પરિણામોની સંખ્યા $= 10$.
કિસ્સો $III$: $S = 20$. પરિણામો $(8, 12), (9, 11), (10, 10), (11, 9), (12, 8)$ છે. પરિણામોની સંખ્યા $= 5$.
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો $= 1 + 10 + 5 = 16$ છે.
જરૂરી સંભાવના $= \frac{16}{144} = \frac{1}{9}$ થાય.

(B) $4$ અલગ દડાઓને $4$ અલગ બોક્સમાં મૂકવાની કુલ રીતો $4^4 = 256$ છે.
બરાબર એક બોક્સ ખાલી રહે તે માટે,$4$ દડાઓ $3$ બોક્સમાં હોવા જોઈએ. આનો અર્થ એ છે કે એક બોક્સમાં $2$ દડા અને બાકીના બે બોક્સમાં $1-1$ દડો હશે.
ખાલી બોક્સ પસંદ કરવાની રીતો $\binom{4}{1} = 4$ છે.
બાકીના $3$ બોક્સમાંથી $2$ દડાવાળું બોક્સ પસંદ કરવાની રીતો $\binom{3}{1} = 3$ છે.
$4$ દડાઓને આ $3$ બોક્સમાં એવી રીતે વહેંચવાની રીતો કે જેમાં એકમાં $2$ દડા અને બેમાં $1-1$ દડો હોય,તે $\frac{4!}{2!1!1!} = \frac{24}{2} = 12$ છે.
કુલ સાનુકૂળ રીતો = $4 \times 3 \times 12 = 144$.
સંભાવના = $\frac{144}{256} = \frac{9}{16}$.

(A) ધારો કે $A$ એ પ્રથમ પ્રયત્નમાં વાદળી દડો નીકળવાની ઘટના છે.
ધારો કે $B$ એ પ્રથમ પ્રયત્નમાં લાલ દડો નીકળવાની ઘટના છે.
ધારો કે $C$ એ બીજા પ્રયત્નમાં વાદળી દડો નીકળવાની ઘટના છે.
પ્રથમ પ્રયત્નમાં વાદળી દડો નીકળવાની સંભાવના $P(A) = \frac{b}{b+r}$ છે.
જો વાદળી દડો નીકળે,તો તેને બીજા એક વાદળી દડા સાથે પાછો મૂકવામાં આવે છે,તેથી હવે પેટીમાં $b+1$ વાદળી દડા અને $r$ લાલ દડા છે. કુલ દડાની સંખ્યા $b+r+1$ છે. તેથી,$P(C|A) = \frac{b+1}{b+r+1}$.
પ્રથમ પ્રયત્નમાં લાલ દડો નીકળવાની સંભાવના $P(B) = \frac{r}{b+r}$ છે.
જો લાલ દડો નીકળે,તો તેને બીજા એક લાલ દડા સાથે પાછો મૂકવામાં આવે છે,તેથી હવે પેટીમાં $b$ વાદળી દડા અને $r+1$ લાલ દડા છે. કુલ દડાની સંખ્યા $b+r+1$ છે. તેથી,$P(C|B) = \frac{b}{b+r+1}$.
સંપૂર્ણ સંભાવનાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,બીજો દડો વાદળી હોવાની સંભાવના:
$P(C) = P(A) \cdot P(C|A) + P(B) \cdot P(C|B)$
$P(C) = \left(\frac{b}{b+r}\right) \left(\frac{b+1}{b+r+1}\right) + \left(\frac{r}{b+r}\right) \left(\frac{b}{b+r+1}\right)$
$P(C) = \frac{b(b+1) + rb}{(b+r)(b+r+1)}$
$P(C) = \frac{b^2 + b + rb}{(b+r)(b+r+1)} = \frac{b(b+r+1)}{(b+r)(b+r+1)}$
$P(C) = \frac{b}{b+r}$

(B) ધારો કે લાલ,સફેદ,વાદળી અને લીલા લખોટાની સંખ્યા અનુક્રમે $r, w, b, g$ છે અને $r + w + b + g = n$.
આપેલ છે કે ઘટનાઓ સમાન રીતે સંભવિત છે,તેથી:
$\frac{{}^rC_4}{{}^nC_4} = \frac{{}^wC_1 \cdot {}^rC_3}{{}^nC_4} = \frac{{}^wC_1 \cdot {}^bC_1 \cdot {}^rC_2}{{}^nC_4} = \frac{{}^rC_1 \cdot {}^wC_1 \cdot {}^bC_1 \cdot {}^gC_1}{{}^nC_4}$
પ્રથમ સમાનતા પરથી: ${}^rC_4 = {}^wC_1 \cdot {}^rC_3 \Rightarrow r = 4w + 3$.
બીજી સમાનતા પરથી: ${}^wC_1 \cdot {}^rC_3 = {}^wC_1 \cdot {}^bC_1 \cdot {}^rC_2 \Rightarrow r = 3b + 2$.
ત્રીજી સમાનતા પરથી: ${}^wC_1 \cdot {}^bC_1 \cdot {}^rC_2 = {}^rC_1 \cdot {}^wC_1 \cdot {}^bC_1 \cdot {}^gC_1 \Rightarrow r = 2g + 1$.
$r$ માટેના સમીકરણો સરખાવતા: $r = 4w + 3 = 3b + 2 = 2g + 1$.
$r$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $11$ મળે છે.
તેથી $w = 2, b = 3, g = 5$.
કુલ લખોટા $n = 11 + 2 + 3 + 5 = 21$.

(C) ધારો કે $S_n$ એ $\{1, 2, \ldots, n\}$ ના એવા ઉપગણોની સંખ્યા છે જેમાં કોઈપણ બે ઘટકોનો તફાવત ઓછામાં ઓછો $3$ હોય. ધારો કે $a_n$ એ આવા ઉપગણોની સંખ્યા છે.
$n=10$ માટે,આપણે કુલ માન્ય ઉપગણોની સંખ્યા $N$ ગણીએ છીએ.
ધારો કે $f(n)$ એ $X_n$ માટે આવા ઉપગણોની સંખ્યા છે. પુનરાવર્તિત સંબંધ $f(n) = f(n-1) + f(n-3) + 1$ છે (જ્યાં $1$ એ ખાલી ગણ માટે છે).
કિંમતોની ગણતરી કરતા: $f(0)=1, f(1)=2, f(2)=3, f(3)=4, f(4)=6, f(5)=9, f(6)=13, f(7)=19, f(8)=28, f(9)=41, f(10)=60$.
કુલ ઉપગણો $N = 60$.
$1$ ધરાવતા ઉપગણોની સંખ્યા: જો $1 \in A$,તો $2, 3 \notin A$. આપણે $\{4, 5, \ldots, 10\}$ માંથી એવો ઉપગણ પસંદ કરવાની જરૂર છે કે જેમાં ઘટકોનો તફાવત ઓછામાં ઓછો $3$ હોય. આ $\{1, 2, \ldots, 7\}$ માંથી સમાન શરત સાથે ઉપગણ પસંદ કરવા જેવું છે. તેથી,$N(1 \in A) = f(7) = 19$.
તેથી,$p = \frac{19}{60}$.
$2$ ધરાવતા ઉપગણોની સંખ્યા: જો $2 \in A$,તો $1, 3, 4 \notin A$. આપણે $\{5, 6, \ldots, 10\}$ માંથી એવો ઉપગણ પસંદ કરવાની જરૂર છે કે જેમાં ઘટકોનો તફાવત ઓછામાં ઓછો $3$ હોય. આ $\{1, 2, \ldots, 6\}$ માંથી સમાન શરત સાથે ઉપગણ પસંદ કરવા જેવું છે. તેથી,$N(2 \in A) = f(6) = 13$.
તેથી,$q = \frac{13}{60}$.
તેથી,$p > q$ અને $p - q = \frac{19-13}{60} = \frac{6}{60} = \frac{1}{10}$.