Mix Examples-Probability Questions in Gujarati

(B) ધારો કે $X_n$ એ $n$-મો ફેંકાયેલ પાસાનો અંક છે. $A$ એ $n=1, 3, 5, \dots$ પર અને $B$ એ $n=2, 4, 6, \dots$ પર પાસો ફેંકે છે.
$B$ ત્યારે જીતે છે જો:
$1. X_2 \neq X_1$ (સંભાવના = $\frac{5}{6}$)
$2. X_2 = X_1, X_3 = X_2$ અને $X_4 \neq X_3$ (સંભાવના = $\frac{1}{6} \times \frac{1}{6} \times \frac{5}{6}$)
આ એક ગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = \frac{5}{6}$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{1}{36}$ છે.
સરવાળો $= \frac{a}{1-r} = \frac{5/6}{1 - 1/36} = \frac{6}{7}$.

(D) ધારો કે $n \in \{1, 2, \ldots, 100\}$ અને શરૂઆતનો દિવસ $d \in \{1, 2, \ldots, 7\}$ છે.
$n$ ક્રમિક દિવસોમાં રવિવારની સંખ્યા $S(n, d)$ અને સોમવારની સંખ્યા $M(n, d)$ છે.
આપણે $S(n, d) \neq M(n, d)$ હોય તેની સંભાવના શોધવી છે.
કોઈપણ $n$ માટે,$n = 7q + r$ લખી શકાય,જ્યાં $0 \leq r < 7$.
કોઈપણ $7q$ દિવસોમાં,રવિવાર અને સોમવારની સંખ્યા સમાન $(q)$ હોય છે.
તેથી,$S(n, d) \neq M(n, d)$ ત્યારે જ થાય જ્યારે $S(r, d) \neq M(r, d)$ હોય.
દરેક $r \in \{1, 2, \ldots, 6\}$ માટે,$7$ માંથી $2$ શરૂઆતના દિવસો એવા છે કે જેમાં રવિવાર અને સોમવારની સંખ્યા અલગ પડે છે.
તેથી,જ્યારે $n$ એ $7$ નો ગુણક ન હોય,ત્યારે સંભાવના $\frac{2}{7}$ છે.
જ્યારે $n$ એ $7$ નો ગુણક હોય,ત્યારે સંભાવના $0$ છે.
$1$ થી $100$ માં $7$ ના $14$ ગુણકો છે.
કુલ સંભાવના $= \frac{86}{100} \times \frac{2}{7} + \frac{14}{100} \times 0 = \frac{43}{175}$.

(D) કુલ પરિણામોની સંખ્યા $n \times n = n^2$ છે.
આપણે એવી જોડી $(x, y)$ શોધવા માંગીએ છીએ કે જેથી $x$ એ $y$ ને ભાગે અથવા $y$ એ $x$ ને ભાગે.
ધારો કે $S$ એ એવી જોડીઓનો સમૂહ છે જેમાં $x|y$ અથવા $y|x$ થાય.
આ ગણતરી કરવા માટે,$x|y$ હોય તેવી જોડીઓ અને $y|x$ હોય તેવી જોડીઓનો સરવાળો કરી,તેમાંથી $x=y$ હોય તેવી જોડીઓ બાદ કરવી પડે.
નિશ્ચિત $x=k$ માટે,$k|y$ થાય તેવી $y$ ની સંખ્યા $\lfloor \frac{n}{k} \rfloor$ છે.
તેથી,$x|y$ હોય તેવી જોડીઓની સંખ્યા $\sum_{k=1}^n \lfloor \frac{n}{k} \rfloor$ છે.
તે જ રીતે,$y|x$ હોય તેવી જોડીઓની સંખ્યા $\sum_{k=1}^n \lfloor \frac{n}{k} \rfloor$ છે.
$x=y$ હોય તેવી જોડીઓ $(1,1), (2,2), \ldots, (n,n)$ છે,જે કુલ $n$ જોડીઓ છે.
સમાવેશ-બાકાત સિદ્ધાંત મુજબ,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $2 \sum_{k=1}^n \lfloor \frac{n}{k} \rfloor - n$ છે.
સંભાવના $\frac{2 \sum_{k=1}^n \lfloor \frac{n}{k} \rfloor - n}{n^2} = \frac{2}{n^2} \sum_{k=1}^n \lfloor \frac{n}{k} \rfloor - \frac{1}{n}$ છે.

(C) કોઈ સંખ્યા $4$ વડે વિભાજ્ય ત્યારે જ હોય જો તેના છેલ્લા બે અંકોથી બનતી સંખ્યા $4$ વડે વિભાજ્ય હોય.
$0$ વગરની $4$-અંકની સંખ્યા માટે,અંકોનો ગણ $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ છે.
જો સંખ્યામાં $4$ અથવા $8$ હોય,તો તે $4$ વડે વિભાજ્ય સંખ્યા બનાવી શકે છે. તેથી $B$ માં રહેલી સંખ્યામાં $4$ કે $8$ ન હોવા જોઈએ.
જો સંખ્યામાં $2$ કે $6$ હોય,તો તે પણ $4$ વડે વિભાજ્ય જોડી બનાવી શકે છે.
આમ,$B$ માં માત્ર એકી અંકો ${1, 3, 5, 7, 9}$ હોઈ શકે છે.
કુલ સંખ્યાઓ $5^4 = 625$ છે.
આપેલ વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $\frac{16}{1641}$ છે.

(B) $3$-અંકની સંખ્યા $4$ અને $5$ વડે વિભાજ્ય હોય જો તે $\text{lcm}(4, 5) = 20$ વડે વિભાજ્ય હોય.
$3$-અંકની સંખ્યા $20$ વડે વિભાજ્ય હોવા માટે,તેનો છેલ્લો અંક $00, 20, 40, 60,$ અથવા $80$ હોવો જોઈએ.
ધારો કે $S$ એ તમામ $3$-અંકની સંખ્યાઓનો સમૂહ છે,$|S| = 900$.
આપણે એવી સંખ્યાઓ શોધીએ છીએ જેના અંકોને $20$ ના ગુણક બનાવવા માટે ગોઠવી શકાય.
એક સંખ્યાને $20$ ના ગુણકમાં ફેરવી શકાય જો તેના અંકોમાં નીચેનાનો સમાવેશ થાય:
$1$. ઓછામાં ઓછો એક $0$ અને ${2, 4, 6, 8}$ માંથી એક બેકી અંક.
$2$. બે શૂન્ય અને કોઈપણ શૂન્યતર અંક.
$3$. બે બેકી અંક અને એક $0$.
અંકોના સમૂહ ${a, b, c}$ ની ગણતરી કર્યા પછી જે $20$ નો ગુણક બનાવી શકે છે,આપણને મળે છે કે આવી કુલ $145$ સંખ્યાઓ છે.
સંભાવના $\frac{145}{900} = \frac{29}{180}$ છે.

(D) $15$ ખેલાડીઓને $15$ ટી-શર્ટ વહેંચવાની કુલ રીતો $15!$ છે.
ધારો કે $X$ એ સાચી ટી-શર્ટ પસંદ કરતા ખેલાડીઓની સંખ્યા છે. આપણે $P(X \ge 3) = 1 - [P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)]$ શોધવા માંગીએ છીએ.
$P(X=k)$ એ સંભાવના છે કે બરાબર $k$ ખેલાડીઓ સાચી ટી-શર્ટ પસંદ કરે,જે $\frac{\binom{15}{k} D_{15-k}}{15!}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $D_n$ એ $n$ વસ્તુઓની ગોઠવણી (derangement) છે.
$D_n = n! \sum_{i=0}^{n} \frac{(-1)^i}{i!}$.
મોટા $n$ માટે,$P(X=k) \approx \frac{e^{-1}}{k!}$.
આમ,$P(X \ge 3) = 1 - \sum_{k=0}^{2} \frac{e^{-1}}{k!} = 1 - e^{-1} (1 + 1 + \frac{1}{2}) = 1 - \frac{2.5}{e} \approx 1 - \frac{2.5}{2.718} \approx 0.08$.

(B) ધારો કે $P(w_1) = \lambda$. તો $P(w_2) = \frac{\lambda}{2}, P(w_3) = \frac{\lambda}{4}, \ldots, P(w_n) = \frac{\lambda}{2^{n-1}}$.
કારણ કે $\sum_{k=1}^{\infty} P(w_k) = 1$,તેથી $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\lambda}{2^{k-1}} = 1$.
અનંત ગુણોત્તર શ્રેણીના સરવાળાના સૂત્ર મુજબ,$\frac{\lambda}{1 - 1/2} = 1 \Rightarrow 2\lambda = 1 \Rightarrow \lambda = 1/2$.
આમ,$P(w_n) = \frac{1}{2^n}$.
ગણ $A = \{2k + 3\ell : k, \ell \in \mathbb{N}\}$. $k, \ell \geq 1$ હોવાથી,સૌથી નાની કિંમતો:
$k=1, \ell=1$ માટે $n=5$.
$k=2, \ell=1$ માટે $n=7$.
$k=1, \ell=2$ માટે $n=8$.
$k=3, \ell=1$ માટે $n=9$.
$k=2, \ell=2$ માટે $n=10$.
તે સાબિત કરી શકાય છે કે $A = \mathbb{N} \setminus \{1, 2, 3, 4, 6\}$.
તેથી,$P(B) = 1 - [P(w_1) + P(w_2) + P(w_3) + P(w_4) + P(w_6)]$.
$P(B) = 1 - [\frac{1}{2^1} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{2^6}] = 1 - [\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{64}]$.
$P(B) = 1 - [\frac{32 + 16 + 8 + 4 + 1}{64}] = 1 - \frac{61}{64} = \frac{3}{64}$.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $64x^2 + 5Nx + 1 = 0$ છે.
સમીકરણને કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ ન હોય તે માટે વિવેચક $D < 0$ હોવો જોઈએ.
$D = (5N)^2 - 4(64)(1) < 0$
$25N^2 - 256 < 0$
$N^2 < \frac{256}{25} \Rightarrow N < \frac{16}{5} = 3.2$.
$N$ એ ઉછાળની સંખ્યા હોવાથી,$N$ ધન પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી $N \in \{1, 2, 3\}$.
છાપ મળવાની સંભાવના $P(H) = \frac{1}{4}$ અને કાંટો (tail) મળવાની સંભાવના $P(T) = \frac{3}{4}$ છે.
$N$-મા ઉછાળે પ્રથમ છાપ મળે તેની સંભાવના $P(N) = (\frac{3}{4})^{N-1} \times \frac{1}{4}$ છે.
$N=1$ માટે: $P(1) = \frac{1}{4}$.
$N=2$ માટે: $P(2) = \frac{3}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{3}{16}$.
$N=3$ માટે: $P(3) = (\frac{3}{4})^2 \times \frac{1}{4} = \frac{9}{64}$.
કુલ સંભાવના $P(N \in \{1, 2, 3\}) = \frac{1}{4} + \frac{3}{16} + \frac{9}{64} = \frac{16 + 12 + 9}{64} = \frac{37}{64}$.
અહીં,$p = 37$ અને $q = 64$.
તેથી,$q - p = 64 - 37 = 27$.

(C) ધારો કે $p$ એ એક પ્રયત્નમાં $2$ મેળવવાની સંભાવના છે,તેથી $p = \frac{1}{6}$.
ધારો કે $q$ એ $2$ ન મેળવવાની સંભાવના છે,તેથી $q = 1 - p = \frac{5}{6}$.
$2$ બેકી સંખ્યાના પ્રયત્નોમાં મળે તેનો અર્થ એ છે કે તે $2^{nd}, 4^{th}, 6^{th}, \dots$ પ્રયત્નમાં મળે છે.
સંભાવના અનંત ગુણોત્તર શ્રેણીના સરવાળા દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$P = qp + q^3p + q^5p + \dots$
આ એક ગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = qp = \frac{5}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{5}{36}$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = q^2 = \left(\frac{5}{6}\right)^2 = \frac{25}{36}$ છે.
અનંત ગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો $S = \frac{a}{1-r}$ છે.
$P = \frac{\frac{5}{36}}{1 - \frac{25}{36}} = \frac{\frac{5}{36}}{\frac{11}{36}} = \frac{5}{11}$.

(A) ચતુષ્ફલકીય પાસાને ત્રણ વાર ફેંકતા કુલ પરિણામોની સંખ્યા $4 \times 4 \times 4 = 64$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ના બીજ વાસ્તવિક હોય તે માટે વિવેચક $D = b^2 - 4ac \geq 0$ હોવો જોઈએ,એટલે કે $b^2 \geq 4ac$.
આપણે $b \in \{1, 2, 3, 4\}$ માટે કિંમતો ચકાસીએ:
$1$. જો $b = 1$,તો $b^2 = 1$. $1 \geq 4ac$ માટે $a, c \in \{1, 2, 3, 4\}$ માં કોઈ ઉકેલ નથી.
$2$. જો $b = 2$,તો $b^2 = 4$. $4 \geq 4ac \Rightarrow ac \leq 1$. માત્ર એક ઉકેલ $(a, c) = (1, 1)$ મળે છે. ($1$ કિસ્સો)
$3$. જો $b = 3$,તો $b^2 = 9$. $9 \geq 4ac \Rightarrow ac \leq 2.25$. શક્ય જોડીઓ $(a, c)$ એ $(1, 1), (1, 2), (2, 1)$ છે. ($3$ કિસ્સા)
$4$. જો $b = 4$,તો $b^2 = 16$. $16 \geq 4ac \Rightarrow ac \leq 4$. શક્ય જોડીઓ $(a, c)$ એ $(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (3, 1), (4, 1)$ છે. ($8$ કિસ્સા)
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો = $1 + 3 + 8 = 12$.
સંભાવના $P = \frac{12}{64} = \frac{3}{16}$ છે.
આમ,$m = 3$ અને $n = 16$. $\operatorname{gcd}(3, 16) = 1$ હોવાથી,$m + n = 3 + 16 = 19$.

(B) આપેલ સમીકરણોની સિસ્ટમ સમઘાત છે: $ax+by=0$ અને $cx+dy=0$.
સમઘાત સિસ્ટમ હંમેશા શૂન્ય ઉકેલ $(x=0, y=0)$ ધરાવે છે.
તેથી,સિસ્ટમનો ઉકેલ હોવાની સંભાવના $1$ છે,જે $\text{વિધાન}-2$ ને સાચું બનાવે છે.
અનન્ય ઉકેલ માટે,નિશ્ચાયક $\left|\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right| \neq 0$ હોવો જોઈએ,જેનો અર્થ છે $ad - bc \neq 0$.
$a, b, c, d \in \{0, 1\}$ હોવાથી,કુલ શક્યતાઓ $2^4 = 16$ છે.
$ad - bc \neq 0$ શરતનો અર્થ છે $ad \neq bc$.
$(ad, bc)$ માટે શક્ય કિસ્સાઓ $(1, 0)$ અથવા $(0, 1)$ છે.
જો $ad=1$,તો $a=1$ અને $d=1$. $bc=0$ હોવું જોઈએ. $bc=0$ ત્યારે થાય જ્યારે $(b,c) \in \{(0,0), (0,1), (1,0)\}$. આ $3$ કિસ્સાઓ આપે છે.
જો $ad=0$,તો $bc=1$ હોવું જોઈએ,એટલે કે $b=1$ અને $c=1$. $ad=0$ ત્યારે થાય જ્યારે $(a,d) \in \{(0,0), (0,1), (1,0)\}$. આ $3$ કિસ્સાઓ આપે છે.
કુલ સાનુકૂળ કિસ્સાઓ $= 3 + 3 = 6$.
સંભાવના $= 6/16 = 3/8$. આમ,$\text{વિધાન}-1$ સાચું છે.
$\text{વિધાન}-2$ જણાવે છે કે સિસ્ટમ હંમેશા ઉકેલ ધરાવે છે,જે $\text{વિધાન}-1$ માટેની સાચી સમજૂતી નથી.

(C) ધારો કે $W, D, L$ એ $T_1$ માટે જીત,ડ્રો અને હાર દર્શાવે છે. $P(W) = \frac{1}{2}, P(D) = \frac{1}{6}, P(L) = \frac{1}{3}$.
$(1)$ $X > Y$ ત્યારે થાય જો $T_1$ ને $T_2$ કરતા વધુ પોઈન્ટ મળે. બે મેચ માટે શક્ય પરિણામો:
- $T_1$ બંને જીતે: $(W, W) \implies X=6, Y=0, P = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$
- $T_1$ એક જીતે,એક ડ્રો કરે: $(W, D) \text{ અથવા } (D, W) \implies X=4, Y=1, P = (\frac{1}{2} \times \frac{1}{6}) + (\frac{1}{6} \times \frac{1}{2}) = \frac{1}{12} + \frac{1}{12} = \frac{1}{6}$
$X>Y$ માટે સંભાવનાઓનો સરવાળો: $\frac{1}{4} + \frac{1}{6} = \frac{3+2}{12} = \frac{5}{12}$. સાચો વિકલ્પ $(B)$ છે.
$(2)$ $X=Y$ ત્યારે થાય જો:
- બંને ડ્રો થાય: $(D, D) \implies X=2, Y=2, P = \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$
- $T_1$ એક જીતે,એક હારે: $(W, L) \text{ અથવા } (L, W) \implies X=3, Y=3, P = (\frac{1}{2} \times \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} \times \frac{1}{2}) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3} = \frac{12}{36}$
$X=Y$ માટે સંભાવનાઓનો સરવાળો: $\frac{1}{36} + \frac{12}{36} = \frac{13}{36}$. સાચો વિકલ્પ $(C)$ છે.

(B) ધારો કે $P(H) = \frac{1}{3}$ અને $P(T) = \frac{2}{3}$.
પ્રયોગ છાપ પર અટકે જો આપણને $HH$ મળે અથવા $HTHH, HTHTHH, \dots$ અથવા $THH, THTHH, THTHTHH, \dots$ જેવી શ્રેણીઓ મળે.
કિસ્સો $1$: $H$ થી શરૂ થતી અને $HH$ પર પૂરી થતી શ્રેણીઓ $HH, HTHH, HTHTHH, \dots$ છે.
આ એક ભૂમિતિ શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = \frac{1}{9}$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{2}{9}$ છે.
સરવાળો $= \frac{1/9}{1 - 2/9} = \frac{1}{7}$.
કિસ્સો $2$: $T$ થી શરૂ થતી અને $HH$ પર પૂરી થતી શ્રેણીઓ $THH, THTHH, THTHTHH, \dots$ છે.
આ એક ભૂમિતિ શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = \frac{2}{27}$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{2}{9}$ છે.
સરવાળો $= \frac{2/27}{1 - 2/9} = \frac{2}{21}$.
કુલ સંભાવના $= \frac{1}{7} + \frac{2}{21} = \frac{5}{21}$.

(A) ગ્રીડમાં $7 \times 7$ બિંદુઓ છે,તેથી કુલ $49$ બિંદુઓ છે.
$(1)$ મિત્રોની સંખ્યા દ્વારા બિંદુઓનું વર્ગીકરણ:
- ખૂણાના બિંદુઓ: $4$ બિંદુઓ,દરેકને $2$ મિત્રો છે.
- ધારના બિંદુઓ (ખૂણા સિવાય): $5 \times 4 = 20$ બિંદુઓ,દરેકને $3$ મિત્રો છે.
- આંતરિક બિંદુઓ: $5 \times 5 = 25$ બિંદુઓ,દરેકને $4$ મિત્રો છે.
$X$ (મિત્રોની સંખ્યા) નું સંભાવના વિતરણ:
- $P(X=2) = \frac{4}{49}$
- $P(X=3) = \frac{20}{49}$
- $P(X=4) = \frac{25}{49}$
- $P(X=0) = P(X=1) = 0$
$E(X) = \sum x_i P(X=x_i) = 2 \times \frac{4}{49} + 3 \times \frac{20}{49} + 4 \times \frac{25}{49} = \frac{8 + 60 + 100}{49} = \frac{168}{49} = \frac{24}{7}$.
તેથી,$7 E(X) = 7 \times \frac{24}{7} = 24$.
$(2)$ $2$ અલગ બિંદુઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $\binom{49}{2} = \frac{49 \times 48}{2} = 49 \times 24$ છે.
મિત્રોની જોડીની સંખ્યા (ગ્રીડમાં નજીકની ધાર):
- આડી ધાર: $7$ હાર,દરેકની $6$ ધાર,તેથી $7 \times 6 = 42$.
- ઊભી ધાર: $7$ સ્તંભ,દરેકની $6$ ધાર,તેથી $7 \times 6 = 42$.
કુલ ધાર = $42 + 42 = 84$.
સંભાવના $p = \frac{84}{\binom{49}{2}} = \frac{84 \times 2}{49 \times 48} = \frac{168}{2352} = \frac{1}{14}$.
તેથી,$7 p = 7 \times \frac{1}{14} = 0.5$.

(C) શરત $\omega^{r_1}+\omega^{r_2}+\omega^{r_3}=0$ ત્યારે જ સંતોષાય છે જો $r_1, r_2, r_3$ ને $3$ વડે ભાગતા મળતી શેષ $0, 1, 2$ હોય.
દરેક $r_i \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ માટે,$3$ વડે ભાગતા મળતી શેષ નીચે મુજબ છે:
$r_i \equiv 1 \pmod{3} \implies r_i \in \{1, 4\}$ ($2$ કિંમતો)
$r_i \equiv 2 \pmod{3} \implies r_i \in \{2, 5\}$ ($2$ કિંમતો)
$r_i \equiv 0 \pmod{3} \implies r_i \in \{3, 6\}$ ($2$ કિંમતો)
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $3! \times (2 \times 2 \times 2) = 48$ છે.
કુલ પરિણામોની સંખ્યા $6^3 = 216$ છે.
તેથી,સંભાવના $\frac{48}{216} = \frac{2}{9}$ છે.

(A-T, B-P, R, C-Q, S, D-R) $(A)-(t)$: ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખા $\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}$ ધારો. તે આપેલી રેખાઓને છેદે છે. સમીકરણો ઉકેલતા,આપણને છેદબિંદુઓ $P(5, -5, 2)$ અને $Q(\frac{10}{3}, -\frac{10}{3}, \frac{8}{3})$ મળે છે. અંતર $PQ^2 = (5-\frac{10}{3})^2 + (-5+\frac{10}{3})^2 + (2-\frac{8}{3})^2 = \frac{54}{9} = 6$.
$(B)-(p), (r)$: $\tan^{-1}(x+3) - \tan^{-1}(x-3) = \sin^{-1}(\frac{3}{5}) = \tan^{-1}(\frac{3}{4})$. સૂત્ર $\tan^{-1}A - \tan^{-1}B = \tan^{-1}(\frac{A-B}{1+AB})$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{6}{x^2-8} = \frac{3}{4} \Rightarrow x^2-8 = 8 \Rightarrow x^2 = 16 \Rightarrow x = \pm 4$.
$(C)-(q), (s)$: આપેલ શરતો $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$,$(\vec{b}-\vec{a}) \cdot (\vec{b}+\vec{c}) = 0$,$2|\vec{b}+\vec{c}| = |\vec{b}-\vec{a}|$ અને $\vec{a} = \mu \vec{b} + 4 \vec{c}$ નો ઉપયોગ કરીને સાદુંરૂપ આપતા $\mu$ માટે દ્વિઘાત સમીકરણ $\mu^2 - 5\mu = 0$ મળે છે,તેથી $\mu = 0, 5$.
$(D)-(r)$: $I = \frac{2}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\sin(9x/2)}{\sin(x/2)} dx = \frac{4}{\pi} \int_{0}^{\pi} \frac{\sin(9x/2)}{\sin(x/2)} dx$. નિત્યસમ $\frac{\sin(nx)}{\sin x} = 1 + 2\sum_{k=1}^{(n-1)/2} \cos(2kx)$ નો ઉપયોગ કરતા,$I = \frac{4}{\pi} \int_{0}^{\pi} (1 + 2\sum_{k=1}^{4} \cos(kx)) dx = \frac{4}{\pi} [x + 2\sum \frac{\sin(kx)}{k}]_0^{\pi} = 4$.

(B) ધારો કે $P(E) = x$ અને $P(F) = y$. $E$ અને $F$ સ્વતંત્ર હોવાથી,$P(E \cap F) = xy$.
બરાબર એક ઘટના બને તેની સંભાવના $P(E)P(F') + P(F)P(E') = x(1-y) + y(1-x) = x + y - 2xy = \frac{11}{25} \quad \dots (1)$.
એક પણ ઘટના ન બને તેની સંભાવના $P(E' \cap F') = P(E')P(F') = (1-x)(1-y) = 1 - x - y + xy = \frac{2}{25} \quad \dots (2)$.
સમીકરણ $(2)$ પરથી,$1 - (x+y) + xy = \frac{2}{25} \Rightarrow x+y - xy = \frac{23}{25}$.
ધારો કે $S = x+y$ અને $P = xy$. તો $(1)$ મુજબ $S - 2P = \frac{11}{25}$ અને $(2)$ મુજબ $S - P = \frac{23}{25}$.
બાદબાકી કરતા: $(S - P) - (S - 2P) = \frac{23}{25} - \frac{11}{25} \Rightarrow P = \frac{12}{25}$.
$S - P = \frac{23}{25}$ માં $P$ ની કિંમત મૂકતા,$S = \frac{23}{25} + \frac{12}{25} = \frac{35}{25} = \frac{7}{5}$.
હવે,$x$ અને $y$ એ દ્વિઘાત સમીકરણ $t^2 - St + P = 0$ ના બીજ છે,એટલે કે $t^2 - \frac{7}{5}t + \frac{12}{25} = 0$.
$25t^2 - 35t + 12 = 0 \Rightarrow (5t-4)(5t-3) = 0$,તેથી $t = \frac{4}{5}$ અથવા $t = \frac{3}{5}$.
આમ,${P(E), P(F)} = \{\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\}$. આ વિકલ્પ $(A)$ અને $(D)$ ને અનુરૂપ છે.

(A) આપેલ સંભાવનાઓ: $P(X_1) = \frac{1}{2}, P(X_2) = \frac{1}{4}, P(X_3) = \frac{1}{4}$.
ધારો કે $X_1^c, X_2^c, X_3^c$ એ ઘટનાઓ છે કે એન્જિન કાર્યરત નથી,તેથી $P(X_1^c) = \frac{1}{2}, P(X_2^c) = \frac{3}{4}, P(X_3^c) = \frac{3}{4}$.
જહાજ કાર્યરત $(X)$ છે જો ઓછામાં ઓછા બે એન્જિન કાર્યરત હોય:
$P(X) = P(X_1 X_2 X_3^c) + P(X_1 X_2^c X_3) + P(X_1^c X_2 X_3) + P(X_1 X_2 X_3)$
$P(X) = (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{4}) + (\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{4}) + (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}) + (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}) = \frac{3}{32} + \frac{3}{32} + \frac{1}{32} + \frac{1}{32} = \frac{8}{32} = \frac{1}{4}$.
$(A) P(X_1^c \mid X) = \frac{P(X_1^c \cap X)}{P(X)} = \frac{P(X_1^c X_2 X_3)}{P(X)} = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}}{\frac{1}{4}} = \frac{1}{8} \neq \frac{3}{16}$. (ખોટું)
$(B) P(\text{બરાબર બે} \mid X) = \frac{P(X_1 X_2 X_3^c) + P(X_1 X_2^c X_3) + P(X_1^c X_2 X_3)}{P(X)} = \frac{\frac{3}{32} + \frac{3}{32} + \frac{1}{32}}{\frac{1}{4}} = \frac{7/32}{1/4} = \frac{7}{8}$. (સાચું)
$(C) P(X \mid X_2) = \frac{P(X \cap X_2)}{P(X_2)} = \frac{P(X_1 X_2 X_3^c) + P(X_1^c X_2 X_3) + P(X_1 X_2 X_3)}{P(X_2)} = \frac{\frac{3}{32} + \frac{1}{32} + \frac{1}{32}}{\frac{1}{4}} = \frac{5/32}{1/4} = \frac{5}{8} \neq \frac{5}{16}$. (ખોટું)
$(D) P(X \mid X_1) = \frac{P(X \cap X_1)}{P(X_1)} = \frac{P(X_1 X_2 X_3^c) + P(X_1 X_2^c X_3) + P(X_1 X_2 X_3)}{P(X_1)} = \frac{\frac{3}{32} + \frac{3}{32} + \frac{1}{32}}{\frac{1}{2}} = \frac{7/32}{1/2} = \frac{7}{16}$. (સાચું)

(B) કારણ કે $A$ અને $B$ નિરપેક્ષ ઘટનાઓ છે,$P(A \cap B) = P(A)P(B)$.
આનો અર્થ એ થાય કે $\frac{n(A \cap B)}{n(S)} = \frac{n(A)}{n(S)} \times \frac{n(B)}{n(S)}$,તેથી $n(A \cap B) = \frac{n(A)n(B)}{6}$.
$n(A \cap B)$ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી $n(A)n(B)$ એ $6$ નો ગુણક હોવો જોઈએ.
$1 \leq |B| < |A|$ આપેલ હોવાથી,આપણે $n(A)$ અને $n(B)$ માટે શક્ય કિંમતો ચકાસીએ.
$1$. જો $n(A) = 3, n(B) = 2$,તો $n(A \cap B) = 1$. જોડની સંખ્યા $= \binom{6}{3} \times \binom{3}{1} \times \binom{3}{1} = 180$.
$2$. જો $n(A) = 4, n(B) = 3$,તો $n(A \cap B) = 2$. જોડની સંખ્યા $= \binom{6}{4} \times \binom{4}{2} \times \binom{2}{1} = 180$.
$3$. જો $n(A) = 6$,તો $n(B)$ એ $1, 2, 3, 4, 5$ હોઈ શકે. કુલ જોડ $= 62$.
કુલ જોડ $= 180 + 180 + 62 = 422$.

(D) ધારો કે $S$ એ બે પાસા પરના અંકોનો સરવાળો છે. $S$ ના શક્ય મૂલ્યો $2$ થી $12$ છે.
અવિભાજ્ય સરવાળાનો ગણ $P = \{2, 3, 5, 7, 11\}$ છે. આ સરવાળા માટેના પરિણામોની સંખ્યા: $P(2)=1, P(3)=2, P(5)=4, P(7)=6, P(11)=2$. અવિભાજ્ય માટે કુલ પરિણામો = $1+2+4+6+2 = 15$. તેથી,$P(\text{Prime}) = \frac{15}{36}$.
પૂર્ણ વર્ગ સરવાળાનો ગણ $Q = \{4, 9\}$ છે. આ સરવાળા માટેના પરિણામોની સંખ્યા: $P(4)=3, P(9)=4$. પૂર્ણ વર્ગ માટે કુલ પરિણામો = $3+4 = 7$. તેથી,$P(\text{Perfect Square}) = \frac{7}{36}$.
અવિભાજ્ય કે પૂર્ણ વર્ગ ન મળે તેની સંભાવના $1 - (\frac{15}{36} + \frac{7}{36}) = 1 - \frac{22}{36} = \frac{14}{36}$ છે.
ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે અવિભાજ્ય પહેલાં પૂર્ણ વર્ગ મળે. સંભાવના $P(E) = \frac{7/36}{1 - 14/36} = \frac{7}{22}$.
આપણને આપેલ છે કે અવિભાજ્ય પહેલાં પૂર્ણ વર્ગ મળે છે. આપણે તે સંભાવના શોધીએ છીએ કે આ પૂર્ણ વર્ગ એકી સંખ્યા છે. આપણા ગણમાં એકી પૂર્ણ વર્ગ $9$ છે,જેના $4$ પરિણામો છે. બેકી પૂર્ણ વર્ગ $4$ છે,જેના $3$ પરિણામો છે.
શરત મુજબ,પૂર્ણ વર્ગ $9$ (એકી) હોય તેની સંભાવના $\frac{P(9)}{P(4) + P(9)} = \frac{4}{3+4} = \frac{4}{7}$ છે.
આમ,$p = \frac{4}{7}$.
તેથી,$14p = 14 \times \frac{4}{7} = 8$.

(D) $(1)$ $p_1$ એ પસંદ કરેલી સંખ્યાઓમાંથી મહત્તમ સંખ્યા ઓછામાં ઓછી $81$ હોય તેની સંભાવના છે.
$p_1 = 1 - P(\text{મહત્તમ} \leq 80) = 1 - (\frac{80}{100})^3 = 1 - (\frac{4}{5})^3 = 1 - \frac{64}{125} = \frac{61}{125}$.
તેથી,$\frac{625}{4} p_1 = \frac{625}{4} \times \frac{61}{125} = \frac{5 \times 61}{4} = \frac{305}{4} = 76.25$.
$(2)$ $p_2$ એ પસંદ કરેલી સંખ્યાઓમાંથી ન્યૂનતમ સંખ્યા વધુમાં વધુ $40$ હોય તેની સંભાવના છે.
$p_2 = 1 - P(\text{ન્યૂનતમ} \geq 41) = 1 - (\frac{60}{100})^3 = 1 - (\frac{3}{5})^3 = 1 - \frac{27}{125} = \frac{98}{125}$.
તેથી,$\frac{125}{4} p_2 = \frac{125}{4} \times \frac{98}{125} = \frac{98}{4} = 24.50$.

(B) આપેલ છે કે $P(X \mid Y) = \frac{P(X \cap Y)}{P(Y)} = \frac{1}{2}$.
$P(X \cap Y) = \frac{1}{6}$ હોવાથી,$\frac{1/6}{P(Y)} = \frac{1}{2} \Rightarrow P(Y) = \frac{1}{3}$.
આપેલ છે કે $P(Y \mid X) = \frac{P(X \cap Y)}{P(X)} = \frac{1}{3}$.
$P(X \cap Y) = \frac{1}{6}$ હોવાથી,$\frac{1/6}{P(X)} = \frac{1}{3} \Rightarrow P(X) = \frac{1}{2}$.
હવે,$P(X \cup Y) = P(X) + P(Y) - P(X \cap Y) = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{6} = \frac{3+2-1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$. આમ,$(A)$ સાચું છે.
સ્વતંત્રતા માટે ચકાસો: $P(X) \cdot P(Y) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$.
$P(X \cap Y) = \frac{1}{6} = P(X) \cdot P(Y)$ હોવાથી,$X$ અને $Y$ સ્વતંત્ર છે. આમ,$(B)$ સાચું છે.
$P(X^C \cap Y) = P(Y) - P(X \cap Y) = \frac{1}{3} - \frac{1}{6} = \frac{1}{6}$. આમ,$(D)$ ખોટું છે.

(B) ધારો કે $x, y, z$ એ અનુક્રમે $E_1, E_2, E_3$ ની સંભાવનાઓ છે.
ઘટનાઓ સ્વતંત્ર હોવાથી,આપણી પાસે છે:
$\alpha = x(1-y)(1-z)$,$\beta = y(1-x)(1-z)$,$\gamma = z(1-x)(1-y)$,અને $p = (1-x)(1-y)(1-z)$.
આના પરથી,આપણે લખી શકીએ:
$\frac{\alpha}{p} = \frac{x}{1-x}$,$\frac{\beta}{p} = \frac{y}{1-y}$,અને $\frac{\gamma}{p} = \frac{z}{1-z}$.
આપેલ સંબંધ $(\alpha - 2\beta)p = \alpha\beta$ ને $p^2$ વડે ભાગતા $\frac{\alpha}{p} - 2\frac{\beta}{p} = \frac{\alpha}{p} \cdot \frac{\beta}{p}$ મળે છે.
$u = \frac{x}{1-x}, v = \frac{y}{1-y}, w = \frac{z}{1-z}$ મૂકતા,આપણને $u - 2v = uv \Rightarrow u(1-v) = 2v \Rightarrow u = \frac{2v}{1-v}$ મળે છે.
તે જ રીતે,$(\beta - 3\gamma)p = 2\beta\gamma \Rightarrow \frac{\beta}{p} - 3\frac{\gamma}{p} = 2\frac{\beta}{p} \cdot \frac{\gamma}{p} \Rightarrow v - 3w = 2vw \Rightarrow v = \frac{3w}{1-2w}$.
આ સંબંધો ઉકેલતા $x = 2y$ અને $y = 3z$ મળે છે,તેથી $x = 6z$.
આમ,ગુણોત્તર $\frac{P(E_1)}{P(E_3)} = \frac{x}{z} = 6$ છે.

(A, D) $1.$ ત્રણેય દડા એક જ રંગના હોય તેની સંભાવના $P(WWW) + P(RRR) + P(BBB)$ દ્વારા મળે છે.
$P(WWW) = \frac{1}{6} \times \frac{2}{9} \times \frac{3}{12} = \frac{6}{648}$
$P(RRR) = \frac{3}{6} \times \frac{3}{9} \times \frac{4}{12} = \frac{36}{648}$
$P(BBB) = \frac{2}{6} \times \frac{4}{9} \times \frac{5}{12} = \frac{40}{648}$
આનો સરવાળો કરતા,આપણને $\frac{6+36+40}{648} = \frac{82}{648}$ મળે છે. તેથી,વિકલ્પ $(A)$ સાચો છે.
$2.$ ધારો કે $E$ એ એક સફેદ અને એક લાલ દડો કાઢવાની ઘટના છે. ધારો કે $B_1, B_2, B_3$ એ સંબંધિત બોક્સ પસંદ કરવાની ઘટનાઓ છે.
$P(B_1) = P(B_2) = P(B_3) = \frac{1}{3}$.
$P(E|B_1) = \frac{\binom{1}{1} \times \binom{3}{1}}{\binom{6}{2}} = \frac{1 \times 3}{15} = \frac{3}{15} = \frac{1}{5}$.
$P(E|B_2) = \frac{\binom{2}{1} \times \binom{3}{1}}{\binom{9}{2}} = \frac{2 \times 3}{36} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.
$P(E|B_3) = \frac{\binom{3}{1} \times \binom{4}{1}}{\binom{12}{2}} = \frac{3 \times 4}{66} = \frac{12}{66} = \frac{2}{11}$.
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$P(B_2|E) = \frac{P(B_2)P(E|B_2)}{P(B_1)P(E|B_1) + P(B_2)P(E|B_2) + P(B_3)P(E|B_3)}$.
$P(B_2|E) = \frac{\frac{1}{3} \times \frac{1}{6}}{\frac{1}{3} \times (\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{2}{11})} = \frac{\frac{1}{6}}{\frac{66+55+60}{330}} = \frac{1}{6} \times \frac{330}{181} = \frac{55}{181}$. તેથી,વિકલ્પ $(D)$ સાચો છે.

(A-D) $1.$ સરવાળો $x_1 + x_2 + x_3$ એકી ત્યારે જ હોય જો ત્રણેય એકી હોય અથવા બે બેકી અને એક એકી હોય.
કિસ્સો $1$: $(O, O, O) \rightarrow P = \frac{2}{3} \times \frac{3}{5} \times \frac{4}{7} = \frac{24}{105}$
કિસ્સો $2$: $(O, E, E) \rightarrow P = \frac{2}{3} \times \frac{2}{5} \times \frac{3}{7} = \frac{12}{105}$
કિસ્સો $3$: $(E, O, E) \rightarrow P = \frac{1}{3} \times \frac{3}{5} \times \frac{3}{7} = \frac{9}{105}$
કિસ્સો $4$: $(E, E, O) \rightarrow P = \frac{1}{3} \times \frac{2}{5} \times \frac{4}{7} = \frac{8}{105}$
કુલ સંભાવના $= \frac{24+12+9+8}{105} = \frac{53}{105}$.
$2.$ $x_1, x_2, x_3$ સમાંતર શ્રેણીમાં હોવા માટે,$2x_2 = x_1 + x_3$.
આનો અર્થ એ છે કે $x_1 + x_3$ બેકી હોવું જોઈએ,એટલે કે $x_1$ અને $x_3$ સમાન પ્રકારના (એકી અથવા બેકી) હોવા જોઈએ.
જો $x_1, x_3$ બંને એકી હોય: $(1,1), (1,3), (1,5), (1,7), (3,1), (3,3), (3,5), (3,7)$ (કુલ $8$ જોડી).
જો $x_1, x_3$ બંને બેકી હોય: $(2,2), (2,4), (2,6)$ (કુલ $3$ જોડી).
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો $= 8 + 3 = 11$.
કુલ શક્ય પરિણામો $= 3 \times 5 \times 7 = 105$.
સંભાવના $= \frac{11}{105}$.

(A) ધારો કે $W$ એ $P_1$ રાઉન્ડ જીતે તે ઘટના છે,$L$ એ $P_1$ હારે તે ઘટના છે,અને $D$ એ ડ્રો છે.
$P(D) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.
$P(W) = P(L) = \frac{1}{2}(1 - \frac{1}{6}) = \frac{5}{12}$.
$n=2$ માટે:
$P(X_2 > Y_2) = P(W, W) + P(W, D) + P(D, W) = (\frac{5}{12})^2 + 2(\frac{5}{12} \times \frac{1}{6}) = \frac{25}{144} + \frac{20}{144} = \frac{45}{144} = \frac{5}{16}$. ($II \rightarrow R$ સાથે મેળ ખાય છે)
$P(X_2 = Y_2) = P(D, D) + P(W, L) + P(L, W) = (\frac{1}{6})^2 + 2(\frac{5}{12} \times \frac{5}{12}) = \frac{1}{36} + \frac{50}{144} = \frac{54}{144} = \frac{3}{8}$. ($I \rightarrow P$ સાથે મેળ ખાય છે)
$P(X_2 \geq Y_2) = P(X_2 > Y_2) + P(X_2 = Y_2) = \frac{5}{16} + \frac{3}{8} = \frac{11}{16}$. ($I \rightarrow Q$ સાથે મેળ ખાય છે)
$n=3$ માટે:
$P(X_3 = Y_3) = \frac{77}{432}$. ($III \rightarrow T$ સાથે મેળ ખાય છે)
$P(X_3 > Y_3) = \frac{1}{2}(1 - P(X_3 = Y_3)) = \frac{355}{864}$. ($IV \rightarrow S$ સાથે મેળ ખાય છે)
આમ,$I \rightarrow Q, II \rightarrow R, III \rightarrow T, IV \rightarrow S$.

(A) ધારો કે $D_1$ પ્રથમ પાસો છે અને $D_2$ બીજો પાસો છે. $D_1$ માટેના પરિણામો ${1, 1, 2, 2, 3, 4}$ છે અને $D_2$ માટે ${1, 2, 2, 3, 3, 4}$ છે. કુલ પરિણામો $= 6 \times 6 = 36$.
આપણે સરવાળો $S = 4$ અથવા $S = 5$ મેળવવા માંગીએ છીએ.
$S = 4$ માટે,શક્ય જોડીઓ $(D_1, D_2)$ છે $(1, 3), (1, 3), (2, 2), (2, 2), (3, 1)$.
આવૃત્તિ ગણતા: $(1, 3)$ એ $2 \times 2 = 4$ વખત,$(2, 2)$ એ $2 \times 2 = 4$ વખત,$(3, 1)$ એ $1 \times 1 = 1$ વખત આવે છે. $S=4$ માટે કુલ $4+4+1 = 9$ છે.
$S = 5$ માટે,શક્ય જોડીઓ $(D_1, D_2)$ છે $(1, 4), (2, 3), (2, 3), (3, 2), (3, 2), (4, 1)$.
આવૃત્તિ ગણતા: $(1, 4)$ એ $2 \times 1 = 2$ વખત,$(2, 3)$ એ $2 \times 2 = 4$ વખત,$(3, 2)$ એ $1 \times 2 = 2$ વખત,$(4, 1)$ એ $1 \times 1 = 1$ વખત આવે છે. $S=5$ માટે કુલ $2+4+2+1 = 9$ છે.
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો $= 9 + 9 = 18$.
સંભાવના $= \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$.

(B) ધારો કે $P(S_5)$ એ બે પાસા પર $5$ નો સરવાળો મેળવવાની સંભાવના છે: $P(S_5) = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$.
ધારો કે $P(S_8)$ એ બે પાસા પર $8$ નો સરવાળો મેળવવાની સંભાવના છે: $P(S_8) = \frac{5}{36}$.
$A$ જીતે તેની સંભાવના અનંત ભૂમિતિ શ્રેણી દ્વારા મળે છે:
$P(A) = \frac{P(S_5)}{1 - (1 - P(S_5)) \cdot (1 - P(S_8))} = \frac{1/9}{1 - (8/9 \cdot 31/36)} = \frac{9}{19}$.

(D) $40$ માંથી $3$ ભિન્ન સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{40}C_3 = 9880$ છે.
ધારો કે સંખ્યાઓ $a, ar, ar^2$ છે જ્યાં $r = \frac{p}{q}$ છે.
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો $28$ મળે છે.
સંભાવના $P = \frac{28}{9880} = \frac{7}{2470}$ છે.
તેથી,$m = 7, n = 2470$.
$m + n = 7 + 2470 = 2477$.

(A) $P(U) = 1 - P(S_1^{\prime} \cap S_2^{\prime} \cap S_3^{\prime}) = \frac{1}{2}$
$\Rightarrow P(S_1^{\prime}) \cdot P(S_2^{\prime}) \cdot P(S_3^{\prime}) = \frac{1}{2}$
$\Rightarrow (1 - P(S_1))(1 - P(S_2))(1 - P(S_3)) = \frac{1}{2} \dots (1)$
$P(V) = \frac{P(S_1 \cap S_2^{\prime} \cap S_3^{\prime})}{P(S_2^{\prime} \cap S_3^{\prime})} = \frac{1}{10}$
$\Rightarrow \frac{P(S_1) \cdot P(S_2^{\prime}) \cdot P(S_3^{\prime})}{P(S_2^{\prime}) \cdot P(S_3^{\prime})} = \frac{1}{10}$
$\Rightarrow P(S_1) = \frac{1}{10}$
$P(W) = P(S_2 \cap S_3^{\prime}) = P(S_2) \cdot P(S_3^{\prime}) = \frac{1}{12}$
$\Rightarrow P(S_2)(1 - P(S_3)) = \frac{1}{12} \dots (2)$
સમીકરણ $(1)$ પરથી,$(1 - \frac{1}{10})(1 - P(S_2))(1 - P(S_3)) = \frac{1}{2}$
$\Rightarrow (1 - P(S_2))(1 - P(S_3)) = \frac{5}{9} \dots (3)$
સમીકરણ $(2)$ ને સમીકરણ $(3)$ વડે ભાગતા: $\frac{P(S_2)}{1 - P(S_2)} = \frac{1}{12} \times \frac{9}{5} = \frac{3}{20}$
$20 P(S_2) = 3 - 3 P(S_2) \Rightarrow 23 P(S_2) = 3 \Rightarrow P(S_2) = \frac{3}{23}$
$P(S_2)$ ની કિંમત સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા: $\frac{3}{23}(1 - P(S_3)) = \frac{1}{12}$
$1 - P(S_3) = \frac{23}{36} \Rightarrow P(S_3) = 1 - \frac{23}{36} = \frac{13}{36}$
આમ,$P(T) = P(S_3) = \frac{13}{36}$.

(D) કોઈપણ ધન પૂર્ણાંકનો એકમનો અંક $10$ અંકોમાંથી કોઈ પણ હોઈ શકે છે: ${0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}$.
ચાર સંખ્યાઓના ગુણાકારનો એકમનો અંક $1, 3, 7,$ અથવા $9$ મળે તે માટે,ચારેય સંખ્યાઓનો એકમનો અંક ${1, 3, 7, 9}$ ગણમાંથી હોવો જોઈએ.
દરેક સંખ્યા માટે $10$ શક્ય અંકોમાંથી $4$ સાનુકૂળ અંકો છે.
એક સંખ્યાનો એકમનો અંક ${1, 3, 7, 9}$ માં હોય તેની સંભાવના $P = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$ છે.
ચાર પૂર્ણાંકો સ્વતંત્ર રીતે પસંદ કરવામાં આવતા હોવાથી,ચારેયનો એકમનો અંક ${1, 3, 7, 9}$ માં હોય તેની સંભાવના $\left(\frac{2}{5}\right)^{4} = \frac{16}{625}$ થાય.

(B) ગણ $\{1, 2, 3, 4\}$ માંથી પુનરાવર્તન સાથે બે સંખ્યાઓ $p$ અને $q$ પસંદ કરતી વખતે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $4 \times 4 = 16$ છે.
આપણે એવી જોડીઓ $(p, q)$ શોધવાની છે કે જેના માટે $p^2 > 4q$ થાય.
ચાલો $p$ ની દરેક કિંમત માટે તપાસ કરીએ:
જો $p = 1$,તો $p^2 = 1$. કોઈપણ $q \in \{1, 2, 3, 4\}$ માટે $1 > 4q$ શક્ય નથી.
જો $p = 2$,તો $p^2 = 4$. કોઈપણ $q \in \{1, 2, 3, 4\}$ માટે $4 > 4q$ શક્ય નથી.
જો $p = 3$,તો $p^2 = 9$. $q = 1$ $(9 > 4)$ અને $q = 2$ $(9 > 8)$ માટે $9 > 4q$ સત્ય છે. તેથી,$(3, 1)$ અને $(3, 2)$ સાનુકૂળ પરિણામો છે.
જો $p = 4$,તો $p^2 = 16$. $q = 1$ $(16 > 4)$,$q = 2$ $(16 > 8)$,અને $q = 3$ $(16 > 12)$ માટે $16 > 4q$ સત્ય છે. તેથી,$(4, 1), (4, 2)$,અને $(4, 3)$ સાનુકૂળ પરિણામો છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની કુલ સંખ્યા $2 + 3 = 5$ છે.
આમ,સંભાવના $\frac{5}{16}$ છે.

(C) લીપ વર્ષ દર $4$ વર્ષે આવે છે,તેથી વર્ષ લીપ વર્ષ હોય તેની સંભાવના $\frac{1}{4}$ છે.
તેથી,વર્ષ લીપ વર્ષ ન હોય તેની સંભાવના $1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ છે.
સામાન્ય વર્ષમાં $365$ દિવસ ($52$ અઠવાડિયા અને $1$ વધારાનો દિવસ) હોય છે. આ વધારાનો દિવસ સોમવાર હોય તેની સંભાવના $\frac{1}{7}$ છે.
લીપ વર્ષમાં $366$ દિવસ ($52$ અઠવાડિયા અને $2$ વધારાના દિવસો) હોય છે. આ $2$ વધારાના દિવસો માટે શક્ય જોડીઓ (સોમ,મંગળ),(મંગળ,બુધ),(બુધ,ગુરુ),(ગુરુ,શુક્ર),(શુક્ર,શનિ),(શનિ,રવિ) અને (રવિ,સોમ) છે. કુલ $7$ પરિણામો છે,જેમાંથી $2$ માં સોમવાર આવે છે.
તેથી,લીપ વર્ષમાં $53$ સોમવાર હોય તેની સંભાવના $\frac{2}{7}$ છે.
જરૂરી સંભાવના $= P(\text{સામાન્ય વર્ષ}) \times P(\text{સોમવાર} | \text{સામાન્ય વર્ષ}) + P(\text{લીપ વર્ષ}) \times P(\text{સોમવાર} | \text{લીપ વર્ષ})$.
$= \frac{3}{4} \times \frac{1}{7} + \frac{1}{4} \times \frac{2}{7} = \frac{3}{28} + \frac{2}{28} = \frac{5}{28}$.

(D) શરત $\omega^{r_1}+\omega^{r_2}+\omega^{r_3}=0$ ત્યારે જ સંતોષાય છે જો ${r_1, r_2, r_3}$ ને $3$ વડે ભાગતા મળતી શેષનો ગણ ${0, 1, 2}$ હોય.
પાસા માટે,$n_0 = 2$ (સંખ્યાઓ $3, 6$),$n_1 = 2$ (સંખ્યાઓ $1, 4$),અને $n_2 = 2$ (સંખ્યાઓ $2, 5$).
શેષ $0, 1, 2$ મળવાની સંભાવના $P(0) = \frac{1}{3}, P(1) = \frac{1}{3}, P(2) = \frac{1}{3}$ છે.
$\omega^{r_1}+\omega^{r_2}+\omega^{r_3}=0$ માટે,શેષ એ $(0, 1, 2)$ ના ક્રમચયો હોવા જોઈએ.
આવા કુલ $3! = 6$ ક્રમચયો મળે.
તેથી સંભાવના $6 \times (\frac{1}{3} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{3}) = \frac{6}{27} = \frac{2}{9}$ થાય.

(A) આપેલ સમીકરણ $P(A') + P(B') P(A \cup B) = 0.7$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $P(A') = 1 - P(A)$ અને $P(B') = 1 - P(B)$.
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$P(A) + P(B) = P(A \cup B) + P(A \cap B)$ મળે.
તેથી,$P(A') + P(B') = 2 - (P(A) + P(B)) = 2 - (P(A \cup B) + P(A \cap B))$.
અહીં $P(A \cap B) = 0.2$ અને $P(A \cup B) = 0.7$ લેતા:
$P(A') + P(B') = 2 - (0.7 + 0.2) = 2 - 0.9 = 1.1$.

(B) ધારો કે $S_1$ એ પ્રથમ કબાટ પસંદ કરવાની ઘટના છે અને $S_2$ એ બીજા કબાટ પસંદ કરવાની ઘટના છે. કબાટ યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે,તેથી $P(S_1) = P(S_2) = \frac{1}{2}$.
ધારો કે $P$ એ ભૌતિકવિજ્ઞાનનું પુસ્તક પસંદ કરવાની ઘટના છે.
પ્રથમ કબાટમાંથી ભૌતિકવિજ્ઞાનનું પુસ્તક પસંદ કરવાની સંભાવના $P(P|S_1) = \frac{5}{5+3} = \frac{5}{8}$ છે.
બીજા કબાટમાંથી ભૌતિકવિજ્ઞાનનું પુસ્તક પસંદ કરવાની સંભાવના $P(P|S_2) = \frac{4}{4+2} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ છે.
કુલ સંભાવનાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,જરૂરી સંભાવના:
$P(P) = P(S_1) \cdot P(P|S_1) + P(S_2) \cdot P(P|S_2)$
$P(P) = \left(\frac{1}{2} \times \frac{5}{8}\right) + \left(\frac{1}{2} \times \frac{2}{3}\right)$
$P(P) = \frac{5}{16} + \frac{1}{3} = \frac{15+16}{48} = \frac{31}{48}$.

(A) ત્રણ પાસા ફેંકતી વખતે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 6 \times 6 \times 6 = 216$ છે.
$5$ થી ઓછો સરવાળો નીચેના પરિણામો દ્વારા મળે છે: $(1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 1), (2, 1, 1)$.
$5$ થી ઓછો સરવાળો હોય તેવા પરિણામોની સંખ્યા $n(E') = 4$ છે.
$5$ થી ઓછો સરવાળો મળવાની સંભાવના $P(< 5) = \frac{4}{216} = \frac{1}{54}$ છે.
ઓછામાં ઓછો $5$ સરવાળો મળવાની સંભાવના $P(\geq 5) = 1 - P(< 5)$ છે.
$P(\geq 5) = 1 - \frac{1}{54} = \frac{53}{54}$.

(B) ધારો કે $W_i$ અને $B_i$ એ પાત્ર $i$ માંથી અનુક્રમે સફેદ અને કાળો દડો કાઢવાની ઘટનાઓ છે,જ્યાં $i = 1, 2, 3$.
પાત્ર $1$: $P(W_1) = \frac{2}{5}$,$P(B_1) = \frac{3}{5}$.
પાત્ર $2$: $P(W_2) = \frac{3}{5}$,$P(B_2) = \frac{2}{5}$.
પાત્ર $3$: $P(W_3) = \frac{1}{5}$,$P(B_3) = \frac{4}{5}$.
આપણને $1$ કાળો અને $2$ સફેદ દડા પસંદ કરવાની સંભાવના જોઈએ છે. આ ત્રણ પરસ્પર નિવારક રીતે થઈ શકે છે:
$1$. $(B_1, W_2, W_3)$: $P(B_1) \times P(W_2) \times P(W_3) = \frac{3}{5} \times \frac{3}{5} \times \frac{1}{5} = \frac{9}{125}$.
$2$. $(W_1, B_2, W_3)$: $P(W_1) \times P(B_2) \times P(W_3) = \frac{2}{5} \times \frac{2}{5} \times \frac{1}{5} = \frac{4}{125}$.
$3$. $(W_1, W_2, B_3)$: $P(W_1) \times P(W_2) \times P(B_3) = \frac{2}{5} \times \frac{3}{5} \times \frac{4}{5} = \frac{24}{125}$.
કુલ સંભાવના આ સંભાવનાઓનો સરવાળો છે: $\frac{9}{125} + \frac{4}{125} + \frac{24}{125} = \frac{37}{125}$.

(A) આપેલ છે કે $P(A)=\frac{3}{10}$ અને $P(B)=\frac{2}{5}$.
કારણ કે $A$ અને $B$ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે,તેથી $A^{\prime}$ અને $B$ પણ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ થશે.
સૌ પ્રથમ,$P(A^{\prime}) = 1 - P(A) = 1 - \frac{3}{10} = \frac{7}{10}$ મેળવો.
બે ઘટનાઓના યોગ માટેનું સૂત્ર વાપરતા: $P(A^{\prime} \cup B) = P(A^{\prime}) + P(B) - P(A^{\prime} \cap B)$.
$A^{\prime}$ અને $B$ સ્વતંત્ર હોવાથી,$P(A^{\prime} \cap B) = P(A^{\prime}) \times P(B)$ થશે.
કિંમતો મૂકતા:
$P(A^{\prime} \cup B) = \frac{7}{10} + \frac{2}{5} - (\frac{7}{10} \times \frac{2}{5})$
$P(A^{\prime} \cup B) = \frac{7}{10} + \frac{4}{10} - \frac{14}{50}$
$P(A^{\prime} \cup B) = \frac{11}{10} - \frac{7}{25}$
$P(A^{\prime} \cup B) = \frac{55 - 14}{50} = \frac{41}{50}$.

(B) લક્ષ્યને વીંધવાની આપેલી સંભાવનાઓ $P(P) = \frac{3}{4}$,$P(Q) = \frac{1}{2}$,અને $P(R) = \frac{5}{8}$ છે.
ઘટનાઓ સ્વતંત્ર હોવાથી,લક્ષ્ય ન વીંધવાની સંભાવનાઓ $P(P') = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$,$P(Q') = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$,અને $P(R') = 1 - \frac{5}{8} = \frac{3}{8}$ થશે.
આપણે એવી સંભાવના શોધવાની છે કે લક્ષ્ય $P$ અથવા $Q$ દ્વારા વીંધાય પણ $R$ દ્વારા નહીં. આ ઘટના $(P \cap Q' \cap R') \cup (P' \cap Q \cap R') \cup (P \cap Q \cap R')$ ને અનુરૂપ છે.
આ પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ હોવાથી,સંભાવના:
$P = P(P)P(Q')P(R') + P(P')P(Q)P(R') + P(P)P(Q)P(R')$
$P = \left(\frac{3}{4} \times \frac{1}{2} \times \frac{3}{8}\right) + \left(\frac{1}{4} \times \frac{1}{2} \times \frac{3}{8}\right) + \left(\frac{3}{4} \times \frac{1}{2} \times \frac{3}{8}\right)$
$P = \frac{9}{64} + \frac{3}{64} + \frac{9}{64} = \frac{21}{64}$.

(D) આપેલ છે કે $A$ અને $B$ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે,તેથી $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.
આપેલ સમીકરણ મુજબ: $P(A \cup B) = 2P(B) - P(A)$.
સૂત્ર $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 2P(B) - P(A)$.
$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ મૂકતા:
$P(A) + P(B) - P(A) \cdot P(B) = 2P(B) - P(A)$.
$P(B)$ માટે પદોને ગોઠવતા:
$2P(A) = P(B) + P(A) \cdot P(B)$.
$2P(A) = P(B)(1 + P(A))$.
$P(B) = \frac{2P(A)}{1 + P(A)}$.
$P(A) = \frac{1}{4}$ આપેલ હોવાથી,કિંમત મૂકતા:
$P(B) = \frac{2 \times \frac{1}{4}}{1 + \frac{1}{4}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{5}{4}} = \frac{1}{2} \times \frac{4}{5} = \frac{2}{5}$.

(B) ધારો કે $R_1$ અને $B_1$ એ પ્રથમ થેલીમાંથી લાલ અને કાળો દડો કાઢવાની ઘટનાઓ છે. $P(R_1) = \frac{3}{8}$,$P(B_1) = \frac{5}{8}$.
ધારો કે $R_2$ અને $B_2$ એ બીજી થેલીમાંથી લાલ અને કાળો દડો કાઢવાની ઘટનાઓ છે. $P(R_2) = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$,$P(B_2) = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.
એક દડો લાલ અને બીજો કાળો હોય તે ઘટના બે રીતે બની શકે છે: (પ્રથમમાંથી લાલ અને બીજામાંથી કાળો) અથવા (પ્રથમમાંથી કાળો અને બીજામાંથી લાલ).
જરૂરી સંભાવના $= P(R_1) \times P(B_2) + P(B_1) \times P(R_2)$.
$= (\frac{3}{8} \times \frac{4}{10}) + (\frac{5}{8} \times \frac{6}{10})$.
$= \frac{12}{80} + \frac{30}{80} = \frac{42}{80} = \frac{21}{40}$.

(C) $X$ ની કિંમતોના સમૂહમાં અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ $\{2, 3, 5, 7\}$ છે.
$P(E) = P(X=2) + P(X=3) + P(X=5) + P(X=7) = 0.23 + 0.12 + 0.08 + 0.05 = 0.48$.
ઘટના $F = \{X < 5\}$ એ $X \in \{1, 2, 3, 4\}$ ને અનુરૂપ છે.
$P(F) = P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) = 0.15 + 0.23 + 0.12 + 0.20 = 0.70$.
ઘટના $E \cap F$ એ $X$ એ $5$ થી નાની અવિભાજ્ય સંખ્યા હોવાનું દર્શાવે છે,જે $\{2, 3\}$ છે.
$P(E \cap F) = P(X=2) + P(X=3) = 0.23 + 0.12 = 0.35$.
સંભાવનાના સરવાળાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$P(E \cup F) = P(E) + P(F) - P(E \cap F)$
$P(E \cup F) = 0.48 + 0.70 - 0.35 = 0.83$.

(B) આપેલ છે કે $A$ અને $B$ નિરપેક્ષ ઘટનાઓ છે,$P(A) = p$ અને $P(B) = 2p$.
ઘટના $A$ અથવા $B$ માંથી બરાબર એક ઘટના ઉદભવવાની સંભાવના $P(A \cap B^c) + P(A^c \cap B)$ દ્વારા મળે છે.
$A$ અને $B$ નિરપેક્ષ હોવાથી,$P(A \cap B^c) = P(A)P(B^c) = p(1 - 2p)$ અને $P(A^c \cap B) = P(A^c)P(B) = (1 - p)(2p)$.
તેથી,$P(\text{બરાબર એક}) = p(1 - 2p) + 2p(1 - p) = \frac{5}{9}$.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$p - 2p^2 + 2p - 2p^2 = \frac{5}{9}$.
આનું સાદું રૂપ $3p - 4p^2 = \frac{5}{9}$ અથવા $4p^2 - 3p + \frac{5}{9} = 0$ મળે છે.
$9$ વડે ગુણતા,$36p^2 - 27p + 5 = 0$ મળે છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $36p^2 - 12p - 15p + 5 = 0 \implies 12p(3p - 1) - 5(3p - 1) = 0$.
તેથી,$(12p - 5)(3p - 1) = 0$.
આથી $p = \frac{5}{12}$ અથવા $p = \frac{1}{3}$ મળે છે.

(C) બે ઘટનાઓ $A$ અને $B$ સ્વતંત્ર હોય તો અને તો જ $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ થાય.
ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$A' \cap B' = (A \cup B)'$ થાય.
તેથી,$P(A' \cap B') = 1 - P(A \cup B)$ થાય.
સંભાવનાના સરવાળાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ થાય.
$A$ અને $B$ સ્વતંત્ર હોવાથી,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A)P(B)$ થાય.
આ કિંમતને $P(A' \cap B')$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$P(A' \cap B') = 1 - [P(A) + P(B) - P(A)P(B)]$
$P(A' \cap B') = 1 - P(A) - P(B) + P(A)P(B)$
$P(A' \cap B') = [1 - P(A)] - P(B)[1 - P(A)]$
$P(A' \cap B') = [1 - P(A)][1 - P(B)]$ થાય.
આમ,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(A) કોઈપણ બે ઘટનાઓ $A$ અને $B$ માટે,તેમના યોગગણની સંભાવનાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
જ્યારે $A$ અને $B$ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ હોય,ત્યારે $P(A \cap B) = P(A) P(B)$ થાય.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A) P(B)$.
વૈકલ્પિક રીતે,આપણે તેને પૂરક ઘટનાઓ $A'$ અને $B'$ નો ઉપયોગ કરીને દર્શાવી શકીએ છીએ:
$P(A \cup B) = 1 - P((A \cup B)') = 1 - P(A' \cap B')$.
કારણ કે $A$ અને $B$ સ્વતંત્ર છે,તેથી $A'$ અને $B'$ પણ સ્વતંત્ર છે.
તેથી,$P(A' \cap B') = P(A') P(B')$.
આમ,$P(A \cup B) = 1 - P(A') P(B')$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) આપેલ છે કે $A$ અને $B$ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે,તેથી $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.
આપણે બે ઘટનાઓના યોગગણ માટેનું સૂત્ર જાણીએ છીએ: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{3}{5} = \frac{1}{2} + P(B) - P(A) \cdot P(B)$.
$\frac{3}{5} = \frac{1}{2} + P(B) - \frac{1}{2} P(B)$.
$\frac{3}{5} - \frac{1}{2} = P(B) (1 - \frac{1}{2})$.
$\frac{6-5}{10} = P(B) (\frac{1}{2})$.
$\frac{1}{10} = P(B) \cdot \frac{1}{2}$.
$P(B) = \frac{2}{10} = 0.2$.

(C) આપેલ છે કે $A$ અને $B$ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે,તેથી $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ થાય.
આપણે બે ઘટનાઓના યોગ માટેનું સૂત્ર જાણીએ છીએ: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
સ્વતંત્ર ઘટનાના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A) \cdot P(B)$.
અહીં $P(A \cup B) = 0.5$ અને $P(A) = 0.2$ આપેલ છે,તેથી કિંમતો મૂકતા:
$0.5 = 0.2 + P(B) - 0.2 \cdot P(B)$.
$0.5 - 0.2 = P(B)(1 - 0.2)$.
$0.3 = 0.8 \cdot P(B)$.
$P(B) = \frac{0.3}{0.8} = \frac{3}{8}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) આપેલ છે કે,$P(\bar{A})=0.75$,$P(A \cup B)=0.65$ અને $P(B)=x$.
સૌ પ્રથમ,$P(A)$ શોધો: $P(A) = 1 - P(\bar{A}) = 1 - 0.75 = 0.25$.
કારણ કે $A$ અને $B$ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે,તેથી $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = 0.25x$.
સૂત્ર $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$0.65 = 0.25 + x - 0.25x$.
$0.65 - 0.25 = x(1 - 0.25)$.
$0.40 = 0.75x$.
$x = \frac{0.40}{0.75} = \frac{40}{75} = \frac{8}{15}$.

(C) આપેલ છે કે $A, B$ અને $C$ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે જ્યાં $P(A)=P(B)=P(C)=P$.
$A, B$ અને $C$ માંથી ઓછામાં ઓછી બે ઘટનાઓ બને તેની સંભાવના નીચે મુજબના પરસ્પર નિવારક કિસ્સાઓની સંભાવનાઓનો સરવાળો છે:
$1$. બરાબર બે ઘટનાઓ બને: $(A \cap B \cap C') \cup (A \cap B' \cap C) \cup (A' \cap B \cap C)$
$2$. ત્રણેય ઘટનાઓ બને: $(A \cap B \cap C)$
ઘટનાઓ સ્વતંત્ર હોવાથી, $P(A \cap B \cap C') = P(A)P(B)P(C') = P \times P \times (1-P) = P^{2}(1-P)$.
તેવી જ રીતે, $P(A \cap B' \cap C) = P^{2}(1-P)$ અને $P(A' \cap B \cap C) = P^{2}(1-P)$.
તેમજ, $P(A \cap B \cap C) = P \times P \times P = P^{3}$.
તેથી, $P(\text{ઓછામાં ઓછી બે ઘટનાઓ બને}) = 3 \times P^{2}(1-P) + P^{3}$.
$= 3P^{2} - 3P^{3} + P^{3} = 3P^{2} - 2P^{3}$.