રહેણાંક વિસ્તારમાં $3$ ઘર ઉપલબ્ધ છે. $3$ વ્યક્તિઓ ઘર માટે અરજી કરે છે. જો દરેક વ્યક્તિ બીજાની સલાહ લીધા વિના ઘર માટે અરજી કરે,તો ત્રણેય વ્યક્તિઓ એક જ ઘર માટે અરજી કરે તેની સંભાવના કેટલી થાય ($/9$ માં)?

બોક્સ $1$ માં $1, 2, 3$ નંબરના ત્રણ કાર્ડ છે; બોક્સ $2$ માં $1, 2, 3, 4, 5$ નંબરના પાંચ કાર્ડ છે; અને બોક્સ $3$ માં $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ નંબરના સાત કાર્ડ છે. દરેક બોક્સમાંથી એક કાર્ડ ખેંચવામાં આવે છે. ધારો કે $x_i$ એ $i$-માં બોક્સમાંથી ખેંચાયેલ કાર્ડ પરની સંખ્યા છે,$i = 1, 2, 3$.
$1.$ $x_1 + x_2 + x_3$ એકી સંખ્યા હોય તેની સંભાવના છે:
$(A) \frac{29}{105}$ $(B) \frac{53}{105}$ $(C) \frac{57}{105}$ $(D) \frac{1}{2}$
$2.$ $x_1, x_2, x_3$ સમાંતર શ્રેણીમાં હોય તેની સંભાવના છે:
$(A) \frac{9}{105}$ $(B) \frac{10}{105}$ $(C) \frac{11}{105}$ $(D) \frac{7}{105}$
પ્રશ્ન $1$ અને $2$ ના જવાબ આપો.

$A$ અને $B$ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે. જો $P(A \cup B)=0.5$ અને $P(A)=0.2$ હોય,તો $P(B) = $ . . . . . . . ($/8$ માં)

$A$ અને $B$ એ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે જ્યાં $P(A)=\frac{1}{4}$ અને $P(A \cup B)=2 P(B)-P(A)$ હોય,તો $P(B)$ શોધો.

ફૂટબોલ ટીમો $T_1$ અને $T_2$ એકબીજા સામે બે મેચ રમે છે. બંને મેચના પરિણામો સ્વતંત્ર છે. $T_1$ ની $T_2$ સામે જીતવાની,ડ્રો કરવાની અને હારવાની સંભાવના અનુક્રમે $\frac{1}{2}$,$\frac{1}{6}$ અને $\frac{1}{3}$ છે. દરેક ટીમને જીત માટે $3$ પોઈન્ટ,ડ્રો માટે $1$ પોઈન્ટ અને હાર માટે $0$ પોઈન્ટ મળે છે. ધારો કે $X$ અને $Y$ એ બે મેચ પછી અનુક્રમે $T_1$ અને $T_2$ ટીમો દ્વારા મેળવેલા કુલ પોઈન્ટ દર્શાવે છે.
$(1)$ $P(X>Y)$ શું છે?
$(A)$ $\frac{1}{4}$ $(B)$ $\frac{5}{12}$ $(C)$ $\frac{1}{2}$ $(D)$ $\frac{7}{12}$
$(2)$ $P(X=Y)$ શું છે?
$(A)$ $\frac{11}{36}$ $(B)$ $\frac{1}{3}$ $(C)$ $\frac{13}{36}$ $(D)$ $\frac{1}{2}$

ચાર વ્યક્તિઓ $A$,$B$,$C$ અને $D$ એક નિષ્પક્ષ પાસો વારાફરતી ફેંકે છે,જ્યાં સુધી કોઈ એકને બેકી સંખ્યા ન મળે અને તે રમત જીતી ન જાય. જો $A$ રમતની શરૂઆત કરે,તો $A$ જીતે તેની સંભાવના કેટલી?