Variable separable type differential equations Questions in Hindi

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $3f^2(x) f'(x) = 2x$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$\int 3f^2(x) f'(x) dx = \int 2x dx$।
$u = f(x)$ प्रतिस्थापन का उपयोग करने पर,$du = f'(x) dx$,हमें प्राप्त होता है:
$\int 3u^2 du = x^2 + C$।
$u^3 = x^2 + C$,जिसका अर्थ है $f^3(x) = x^2 + C$।
$f(2) = 1$ दिया गया है,$x = 2$ और $f(2) = 1$ रखने पर:
$1^3 = 2^2 + C
1 = 4 + C
C = -3$।
अतः,फलन $f^3(x) = x^2 - 3$ है।
$f(3)$ का मान ज्ञात करने के लिए,$x = 3$ रखने पर:
$f^3(3) = 3^2 - 3 = 9 - 3 = 6$।
इसलिए,$f(3) = \sqrt[3]{6}$।

(B) स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \cos(x + y) + \sin(x + y)$ दी गई है।
माना $u = x + y$,तब $\frac{du}{dx} = 1 + \frac{dy}{dx}$,जिससे $\frac{dy}{dx} = \frac{du}{dx} - 1$.
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{du}{dx} - 1 = \cos u + \sin u$.
$\frac{du}{dx} = 1 + \cos u + \sin u = 2 \cos^2(\frac{u}{2}) + 2 \sin(\frac{u}{2}) \cos(\frac{u}{2}) = 2 \cos^2(\frac{u}{2}) [1 + \tan(\frac{u}{2})]$.
चरों को अलग करने पर: $\int \frac{\sec^2(\frac{u}{2})}{2(1 + \tan(\frac{u}{2}))} du = \int dx$.
माना $t = \tan(\frac{u}{2})$,तब $dt = \frac{1}{2} \sec^2(\frac{u}{2}) du$.
समाकलन करने पर: $\int \frac{dt}{1 + t} = \int dx$,जिससे $\ln(1 + t) = x + C$ प्राप्त होता है।
चूंकि वक्र मूल बिंदु $(0, 0)$ से गुजरता है,$u = x + y = 0$,और $t = \tan(0) = 0$.
$x = 0, t = 0$ को $\ln(1 + t) = x + C$ में रखने पर $C = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$\ln(1 + t) = x$,जिसका अर्थ है $1 + t = e^x$,या $t = e^x - 1$.
$t = \tan(\frac{x + y}{2})$ वापस रखने पर,$\tan(\frac{x + y}{2}) = e^x - 1$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\frac{x + y}{2} = \tan^{-1}(e^x - 1)$,जो सरल होकर $y = 2 \tan^{-1}(e^x - 1) - x$ बनता है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $y \ln y + x \frac{dy}{dx} = 0$.
चरों को अलग करने पर: $\frac{dx}{x} + \frac{dy}{y \ln y} = 0$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dx}{x} + \int \frac{dy}{y \ln y} = C$.
माना $u = \ln y$,तब $du = \frac{1}{y} dy$. समाकलन करने पर: $\ln |x| + \ln |\ln y| = C$.
इसे सरल करने पर: $\ln |x \ln y| = C$,या $x \ln y = k$ जहाँ $k = e^C$.
प्रारंभिक शर्त $y(1) = e$ का उपयोग करने पर: $1 \cdot \ln(e) = k \Rightarrow 1 \cdot 1 = k \Rightarrow k = 1$.
अतः,हल $x \ln y = 1$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $2x^2y \frac{dy}{dx} = \tan(x^2y^2) - 2xy^2$।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $2x^2y \frac{dy}{dx} + 2xy^2 = \tan(x^2y^2)$।
यहाँ बायां पक्ष $x^2y^2$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन है: $\frac{d}{dx}(x^2y^2) = 2x^2y \frac{dy}{dx} + 2xy^2$।
माना $z = x^2y^2$। तब समीकरण $\frac{dz}{dx} = \tan z$ बन जाता है।
चरों को अलग करने पर: $\int \cot z \, dz = \int dx$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\ln(\sin z) = x + C$।
$z = x^2y^2$ रखने पर: $\ln(\sin(x^2y^2)) = x + C$।
दिया है $y(1) = \sqrt{\frac{\pi}{2}}$,अतः $x=1$ पर $z = (1)^2 \cdot (\sqrt{\frac{\pi}{2}})^2 = \frac{\pi}{2}$।
इन मानों को रखने पर: $\ln(\sin(\frac{\pi}{2})) = 1 + C \Rightarrow \ln(1) = 1 + C \Rightarrow 0 = 1 + C \Rightarrow C = -1$।
अतः,$\ln(\sin(x^2y^2)) = x - 1$।
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर: $\sin(x^2y^2) = e^{x-1}$।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{1 - 2(2x + y)}{1 + (2x + y)}$ है।
माना $v = 2x + y$. तब $\frac{dv}{dx} = 2 + \frac{dy}{dx}$,अर्थात $\frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx} - 2$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $\frac{dv}{dx} - 2 = \frac{1 - 2v}{1 + v}$.
$\frac{dv}{dx} = \frac{1 - 2v}{1 + v} + 2 = \frac{1 - 2v + 2 + 2v}{1 + v} = \frac{3}{1 + v}$.
चरों को अलग करने पर: $(1 + v) dv = 3 dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int (1 + v) dv = \int 3 dx$.
$v + \frac{v^2}{2} = 3x + c_1 \Rightarrow 2v + v^2 = 6x + 2c_1$.
$v = 2x + y$ वापस रखने पर: $2(2x + y) + (2x + y)^2 = 6x + C$.
$4x + 2y + 4x^2 + 4xy + y^2 = 6x + C$.
$4x^2 + 4xy + y^2 - 2x + 2y + C = 0$.

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{y - x}{y - x - 1}$ है।
मान लीजिए $y - x = t$,तो $\frac{dy}{dx} - 1 = \frac{dt}{dx}$,अर्थात $\frac{dy}{dx} = \frac{dt}{dx} + 1$.
इस मान को समीकरण में रखने पर: $\frac{dt}{dx} + 1 = \frac{t}{t - 1}$.
$\frac{dt}{dx} = \frac{t}{t - 1} - 1 = \frac{t - (t - 1)}{t - 1} = \frac{1}{t - 1}$.
चरों को अलग करने पर: $(t - 1) dt = dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int (t - 1) dt = \int dx \Rightarrow \frac{t^2}{2} - t = x + C$.
$t = y - x$ रखने पर: $\frac{(y - x)^2}{2} - (y - x) = x + C$.
$(y - x)^2 - 2(y - x) = 2x + 2C \Rightarrow (y - x)^2 - 2y + 2x = 2x + 2C \Rightarrow (y - x)^2 - 2y = K$.
$y(-5) = -5$ दिया गया है,इसलिए $(-5 - (-5))^2 - 2(-5) = K \Rightarrow 0 + 10 = K \Rightarrow K = 10$.
समीकरण $(y - x)^2 - 2y = 10$ प्राप्त होता है,जो $y^2 - 2xy + x^2 - 2y - 10 = 0$ है।
विविक्तकर $h^2 - ab = (-1)^2 - (1)(1) = 1 - 1 = 0$ है। चूँकि विविक्तकर $0$ है,इसलिए यह समीकरण एक परवलय को दर्शाता है।

(D) दिया गया समाकल समीकरण: $\int\limits_0^x {t\,y(t)\,dt} = x^2y(x)$.
लीबनीज़ नियम का उपयोग करके दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$x\,y(x) = \frac{d}{dx}(x^2y(x))$
$x\,y(x) = x^2y'(x) + 2x\,y(x)$.
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$x^2y'(x) + x\,y(x) = 0$.
$x$ से विभाजित करने पर (चूंकि $x > 0$):
$x\,y'(x) + y(x) = 0$.
यह एक पृथक्करणीय अवकल समीकरण है:
$x\frac{dy}{dx} = -y$
$\frac{dy}{y} = -\frac{dx}{x}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\ln|y| = -\ln|x| + C$
$\ln|y| + \ln|x| = C$
$\ln|xy| = C$
$xy = k$,जहाँ $k = e^C$.
चूंकि वक्र $(2, 3)$ से गुजरता है:
$(2)(3) = k \implies k = 6$.
अतः,वक्र का समीकरण $xy = 6$ है.

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $[f'(x)]^2 + 4f(x)f'(x) + f^2(x) = 0$.
माना $y = f(x)$,तो $f'(x) = \frac{dy}{dx}$. समीकरण इस प्रकार होगा: $(\frac{dy}{dx})^2 + 4y(\frac{dy}{dx}) + y^2 = 0$.
यह $\frac{dy}{dx}$ में एक द्विघात समीकरण है। द्विघात सूत्र $\frac{dy}{dx} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{-4y \pm \sqrt{(4y)^2 - 4(1)(y^2)}}{2(1)} = \frac{-4y \pm \sqrt{16y^2 - 4y^2}}{2} = \frac{-4y \pm \sqrt{12y^2}}{2} = \frac{-4y \pm 2\sqrt{3}y}{2} = (-2 \pm \sqrt{3})y$.
स्थिति $1$: $\frac{dy}{dx} = (-2 + \sqrt{3})y$. चरों को अलग करने पर: $\int \frac{dy}{y} = \int (-2 + \sqrt{3}) dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\ln|y| = (-2 + \sqrt{3})x + k_1 \implies y = c_1 e^{(\sqrt{3} - 2)x}$.
स्थिति $2$: $\frac{dy}{dx} = (-2 - \sqrt{3})y$. चरों को अलग करने पर: $\int \frac{dy}{y} = \int (-2 - \sqrt{3}) dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\ln|y| = -(2 + \sqrt{3})x + k_2 \implies y = c_2 e^{-(2 + \sqrt{3})x}$.
अतः,दोनों हल मान्य हैं। इसलिए,सही विकल्प $(D)$ है।

(C) दिया गया समीकरण $x = 1 + xy\frac{dy}{dx} + \frac{(xy)^2}{2!}\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 + \dots$ है।
यह घातांकीय फलन $e^u$ का टेलर श्रेणी विस्तार है,जहाँ $u = xy\frac{dy}{dx}$ है।
अतः,समीकरण को $x = e^{xy\frac{dy}{dx}}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$\log_e x = xy\frac{dy}{dx}$ प्राप्त होता है।
चरों को पृथक करने पर,$y \, dy = \frac{\log_e x}{x} \, dx$ मिलता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int y \, dy = \int \frac{\log_e x}{x} \, dx$।
माना $t = \log_e x$,तब $dt = \frac{1}{x} \, dx$।
अतः,$\frac{y^2}{2} = \frac{(\log_e x)^2}{2} + C$।
$2$ से गुणा करने पर,$y^2 = (\log_e x)^2 + 2C$ प्राप्त होता है।
अतः,$y = \pm \sqrt{(\log_e x)^2 + 2C}$।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $(2 + \cos x)\frac{dz}{dx} + (\sin x)z = \sin x$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $(2 + \cos x)\frac{dz}{dx} = \sin x - (\sin x)z = -\sin x(z - 1)$.
चरों को अलग करने पर: $\frac{dz}{z - 1} = \frac{-\sin x}{2 + \cos x} dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dz}{z - 1} = \int \frac{-\sin x}{2 + \cos x} dx$.
माना $u = 2 + \cos x$,तो $du = -\sin x dx$.
अतः,$\ln|z - 1| = \ln|2 + \cos x| + C$.
शर्त $z(\frac{\pi}{2}) = 3$ का उपयोग करने पर: $\ln|3 - 1| = \ln|2 + \cos(\frac{\pi}{2})| + C \implies \ln 2 = \ln 2 + C \implies C = 0$.
इस प्रकार,$z - 1 = 2 + \cos x \implies z = 3 + \cos x$.
अब,$z(\frac{\pi}{3})$ का मान: $z(\frac{\pi}{3}) = 3 + \cos(\frac{\pi}{3}) = 3 + \frac{1}{2} = \frac{7}{2}$.

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $x dy + y dx - \sqrt{1 - x^2 y^2} dx = 0$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $x dy + y dx = \sqrt{1 - x^2 y^2} dx$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि $d(xy) = x dy + y dx$ होता है।
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $d(xy) = \sqrt{1 - (xy)^2} dx$।
दोनों पक्षों को $\sqrt{1 - (xy)^2}$ से विभाजित करने पर: $\frac{d(xy)}{\sqrt{1 - (xy)^2}} = dx$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{d(xy)}{\sqrt{1 - (xy)^2}} = \int dx$।
परिणामस्वरूप: $\sin^{-1}(xy) = x + c$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का ज्या (sine) लेने पर: $xy = \sin(x + c)$।

(B) दिया गया समीकरण: $\left( {1 + {e^{2y}}} \right){e^{{{\tan }^{ - 1}}x}}dx = \left( {1 + {x^2}} \right)\left( {{e^y} + {{\left( {{e^y} - 1} \right)}^2}} \right)dy$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\frac{{{e^{{{\tan }^{ - 1}}x}}}}{{1 + {x^2}}}dx = \frac{{{e^y} + {e^{2y}} - 2{e^y} + 1}}{{1 + {e^{2y}}}}dy = \frac{{{e^{2y}} - {e^y} + 1}}{{1 + {e^{2y}}}}dy$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{{{e^{{{\tan }^{ - 1}}x}}}}{{1 + {x^2}}}dx = \int \frac{{{e^{2y}} - {e^y} + 1}}{{1 + {e^{2y}}}}dy$
माना $u = \tan^{-1}x$,तो $du = \frac{1}{1+x^2}dx$. बायां पक्ष $\int e^u du = e^u = e^{\tan^{-1}x}$ हो जाता है।
दाएं पक्ष के लिए: $\int \frac{e^{2y}+1-e^y}{1+e^{2y}} dy = \int (1 - \frac{e^y}{1+e^{2y}}) dy = y - \int \frac{e^y}{1+(e^y)^2} dy$.
माना $v = e^y$,तो $dv = e^y dy$. समाकलन $y - \tan^{-1}(e^y) + C$ हो जाता है।
दोनों पक्षों की तुलना करने पर: $e^{\tan^{-1}x} = y - \tan^{-1}(e^y) + C$.
व्यवस्थित करने पर: $\tan^{-1}(e^y) = y - e^{\tan^{-1}x} + C$.
दोनों पक्षों का टेंजेंट लेने पर: $e^y = \tan(y - e^{\tan^{-1}x} + C)$.
प्राकृतिक लॉग लेने पर: $y = \ln(\tan(y - e^{\tan^{-1}x} + C))$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $e^{2y}(1 + \ln x)dx + \csc y(2 + \cot y)dy = 0$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\csc y(2 + \cot y)dy = -e^{2y}(1 + \ln x)dx$.
$e^{2y}$ से भाग देने पर: $e^{-2y}(\csc y(2 + \cot y))dy = -(1 + \ln x)dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int e^{-2y}(2\csc y + \csc y \cot y)dy = -\int (1 + \ln x)dx$.
मान लीजिए $f(y) = e^{-2y} \csc y$. तब $f'(y) = e^{-2y}(-\csc y \cot y) + (-2)e^{-2y} \csc y = -e^{-2y}(\csc y \cot y + 2 \csc y)$.
अतः,बाईं ओर का समाकलन $-e^{-2y} \csc y$ है।
दाईं ओर का समाकलन $-\int (1 + \ln x)dx = -(x \ln x) + C$ है।
इसलिए,$-e^{-2y} \csc y = -x \ln x + C$,जो सरल होकर $x \ln x + C = e^{-2y} \csc y = \frac{e^{-2y}}{\sin y}$ हो जाता है।
प्रतिबंध $y(1) = \frac{\pi}{2}$ का उपयोग करते हुए,$x=1$ और $y=\frac{\pi}{2}$ रखने पर:
$1 \cdot \ln(1) + C = \frac{e^{-2(\pi/2)}}{\sin(\pi/2)} \Rightarrow 0 + C = \frac{e^{-\pi}}{1} \Rightarrow C = e^{-\pi}$.
अतः,हल $x \ln x + e^{-\pi} = \frac{e^{-2y}}{\sin y}$ है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{2x}{3y}$.
चरों को अलग करने पर: $3y \, dy = 2x \, dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int 3y \, dy = \int 2x \, dx$.
इससे प्राप्त होता है: $\frac{3y^2}{2} = x^2 + C_1$,या $3y^2 = 2x^2 + C$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $2x^2 - 3y^2 = -C$,जो $Ax^2 - By^2 = K$ के रूप में है।
चूंकि वक्र बिंदु $(\sqrt{2}, 1)$ से होकर गुजरता है,इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $2(\sqrt{2})^2 - 3(1)^2 = K \implies 2(2) - 3 = K \implies K = 1$.
वक्र का समीकरण $2x^2 - 3y^2 = 1$ है।
यह समीकरण एक अतिपरवलय (hyperbola) को दर्शाता है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $x \frac{dy}{dx} + y = x \frac{f(xy)}{f'(xy)}$.
हम जानते हैं कि $x dy + y dx = d(xy)$.
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $x \frac{dy}{dx} + y = \frac{d(xy)}{dx}$.
अतः,$\frac{d(xy)}{dx} = x \frac{f(xy)}{f'(xy)}$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{f'(xy)}{f(xy)} d(xy) = x dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{f'(xy)}{f(xy)} d(xy) = \int x dx$.
$\ln|f(xy)| = \frac{x^2}{2} + C$.
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर: $f(xy) = e^{\frac{x^2}{2} + C} = k e^{x^2/2}$,जहाँ $k = e^C$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण $xdx + ydy = \frac{xdy - ydx}{x^2 + y^2}$ है।
हम जानते हैं कि $d(x^2 + y^2) = 2xdx + 2ydy$,जिसका अर्थ है कि $xdx + ydy = \frac{1}{2} d(x^2 + y^2)$.
साथ ही,हम जानते हैं कि $d(\tan^{-1}(y/x)) = \frac{1}{1 + (y/x)^2} \cdot d(y/x) = \frac{x^2}{x^2 + y^2} \cdot \frac{xdy - ydx}{x^2} = \frac{xdy - ydx}{x^2 + y^2}$.
इन मानों को दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{1}{2} d(x^2 + y^2) = d(\tan^{-1}(y/x))$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{1}{2}(x^2 + y^2) = \tan^{-1}(y/x) + c$.

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{d}{dy} \left( \int_x^y dt \right) = x$ है।
कलन के मूलभूत प्रमेय का उपयोग करते हुए,$\frac{d}{dy} \int_x^y dt = 1 - \frac{dx}{dy}$ प्राप्त होता है।
इस मान को समीकरण में रखने पर: $1 - \frac{dx}{dy} = x$।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\frac{dx}{dy} = 1 - x$।
चरों को पृथक करने पर: $\frac{dx}{1 - x} = dy$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dx}{1 - x} = \int dy$।
$-\ln|1 - x| = y + C_1$,जिसे $y = -\ln|1 - x| + C$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $\sec^2 x \tan y \, dx + \sec^2 y \tan x \, dy = 0$
चरों को अलग करने पर:
$\sec^2 x \tan y \, dx = -\sec^2 y \tan x \, dy$
दोनों पक्षों को $\tan x \tan y$ से विभाजित करने पर:
$\frac{\sec^2 x}{\tan x} \, dx = -\frac{\sec^2 y}{\tan y} \, dy$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \frac{\sec^2 x}{\tan x} \, dx = -\int \frac{\sec^2 y}{\tan y} \, dy$
$\ln |\tan x| = -\ln |\tan y| + C$
$\ln |\tan x| + \ln |\tan y| = C$
$\ln |\tan x \tan y| = C$
$\tan x \tan y = e^C = K$
प्रारंभिक शर्त $y(\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{3}$ का उपयोग करने पर:
$\tan(\frac{\pi}{4}) \tan(\frac{\pi}{3}) = K$
$1 \times \sqrt{3} = K \implies K = \sqrt{3}$
अतः,हल $\tan x \tan y = \sqrt{3}$ है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{(1+x)y}{(y-1)x}$ है।
चरों को पृथक करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{y-1}{y} dy = \frac{1+x}{x} dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int (1 - \frac{1}{y}) dy = \int (1 + \frac{1}{x}) dx$
$y - \log|y| = x + \log|x| + c$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$y - x - c = \log|x| + \log|y|$
$y - x - c = \log|xy|$
$\log|xy| + x - y = -c$
चूँकि $-c$ भी एक स्वेच्छ अचर है,हम इसे $C$ के रूप में लिख सकते हैं:
$\log|xy| + x - y = C$.

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{y(x+1)}{x(y+1)}$
चरों को अलग करने पर:
$\frac{y+1}{y} dy = \frac{x+1}{x} dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int (1 + \frac{1}{y}) dy = \int (1 + \frac{1}{x}) dx$
$y + \ln|y| = x + \ln|x| + C$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$y - x = \ln|x| - \ln|y| + C$
$y - x = \ln|\frac{x}{y}| + C$
चूंकि यह परिणाम दिए गए विकल्पों में मौजूद नहीं है,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(A) वक्र की ढाल $\frac{dy}{dx} = 1 - \frac{1}{x^2}$ द्वारा दी गई है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$\int dy = \int \left( 1 - \frac{1}{x^2} \right) dx$
$y = x + \frac{1}{x} + C$
चूंकि वक्र बिंदु $\left( 2, \frac{7}{2} \right)$ से होकर गुजरता है,$C$ का मान ज्ञात करने के लिए इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{7}{2} = 2 + \frac{1}{2} + C$
$\frac{7}{2} = \frac{5}{2} + C$
$C = 1$
अतः,वक्र का समीकरण $y = x + \frac{1}{x} + 1$ है।
जब $x = -2$ हो,तो कोटि (ordinate) ज्ञात करने के लिए:
$y = -2 + \frac{1}{-2} + 1$
$y = -2 - 0.5 + 1 = -1.5 = -\frac{3}{2}$.

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{(2 + \sin x)}{(1 + y)} \frac{dy}{dx} = \cos x$ है।
चरों को अलग करने पर,हमें $\frac{dy}{1 + y} = \frac{\cos x}{2 + \sin x} dx$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int \frac{dy}{1 + y} = \int \frac{\cos x}{2 + \sin x} dx.$
इससे $\ln(1 + y) = \ln(2 + \sin x) + \ln C$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का घातांक लेने पर,$1 + y = C(2 + \sin x).$
दिया गया है $y(0) = 2,$ इसलिए $x = 0$ और $y = 2$ रखने पर,$1 + 2 = C(2 + \sin 0) \Rightarrow 3 = 2C \Rightarrow C = \frac{3}{2}.$
अब,$y\left( \frac{\pi}{2} \right)$ ज्ञात करने के लिए $x = \frac{\pi}{2}$ और $C = \frac{3}{2}$ को समीकरण $1 + y = \frac{3}{2}(2 + \sin x)$ में रखने पर:
$1 + y\left( \frac{\pi}{2} \right) = \frac{3}{2}(2 + \sin \frac{\pi}{2}) = \frac{3}{2}(2 + 1) = \frac{3}{2}(3) = \frac{9}{2}.$
अतः,$y\left( \frac{\pi}{2} \right) = \frac{9}{2} - 1 = \frac{7}{2}.$

(B) माना $u = x - y$ है। तब $\frac{du}{dx} = 1 - \frac{dy}{dx}$ है।
$\frac{dy}{dx} = u^2$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $1 - \frac{du}{dx} = u^2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{du}{dx} = 1 - u^2$ है।
चरों को अलग करने पर,$\frac{du}{1 - u^2} = dx$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int \frac{du}{1 - u^2} = \int dx$,जिससे $\frac{1}{2} \log_e \left| \frac{1 + u}{1 - u} \right| = x + C$ प्राप्त होता है।
$u = x - y$ रखने पर,हमें $\frac{1}{2} \log_e \left| \frac{1 + x - y}{1 - x + y} \right| = x + C$ प्राप्त होता है।
प्रतिबंध $y(1) = 1$ का उपयोग करने पर,$x = 1, y = 1$,इसलिए $u = 1 - 1 = 0$ है।
$\frac{1}{2} \log_e \left| \frac{1 + 0}{1 - 0} \right| = 1 + C \Rightarrow 0 = 1 + C \Rightarrow C = -1$ है।
अतः,$\frac{1}{2} \log_e \left| \frac{1 + x - y}{1 - x + y} \right| = x - 1$,जिसे सरल करने पर $\log_e \left| \frac{1 + x - y}{1 - x + y} \right| = 2(x - 1)$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $-1$ से गुणा करने पर,$- \log_e \left| \frac{1 + x - y}{1 - x + y} \right| = -2(x - 1)$,जो $- \log_e \left| \frac{1 - x + y}{1 + x - y} \right| = 2(x - 1)$ के बराबर है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $\sqrt{1-x^{2}} \frac{dy}{dx} + \sqrt{1-y^{2}} = 0$.
चरों को अलग करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{dy}{\sqrt{1-y^{2}}} = -\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dy}{\sqrt{1-y^{2}}} = -\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}$.
इससे हमें प्राप्त होता है: $\sin^{-1} y = -\sin^{-1} x + C$,या $\sin^{-1} x + \sin^{-1} y = C$.
दिया गया है $y\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$,$x = \frac{1}{2}$ और $y = \frac{\sqrt{3}}{2}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) + \sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = C$.
$\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = C \implies C = \frac{\pi}{2}$.
अतः,समीकरण $\sin^{-1} x + \sin^{-1} y = \frac{\pi}{2}$ है।
सर्वसमिका $\sin^{-1} x + \cos^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ का उपयोग करने पर,हमें $\sin^{-1} y = \cos^{-1} x$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $y = \sin(\cos^{-1} x) = \sqrt{1-x^2}$.
अब,$y\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ ज्ञात करने के लिए,$x = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$y = \sqrt{1 - \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(N/A) दिया गया अवकल समीकरण:
$\frac{dy}{dx} = \frac{x+1}{2-y}$
चरों को पृथक करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(2-y) dy = (x+1) dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int (2-y) dy = \int (x+1) dx$
समाकलन करने पर:
$2y - \frac{y^2}{2} = \frac{x^2}{2} + x + C_1$
पूरे समीकरण को $2$ से गुणा करने पर:
$4y - y^2 = x^2 + 2x + 2C_1$
पदों को व्यवस्थित करने पर व्यापक हल प्राप्त होता है:
$x^2 + y^2 + 2x - 4y + C = 0$,जहाँ $C = 2C_1$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{1+y^2}{1+x^2}$.
चरों को पृथक करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dy}{1+y^2} = \frac{dx}{1+x^2}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \frac{dy}{1+y^2} = \int \frac{dx}{1+x^2}$.
मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{du}{1+u^2} = \tan^{-1} u + C$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\tan^{-1} y = \tan^{-1} x + C$,जहाँ $C$ समाकलन स्थिरांक है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = -4xy^2$ है।
चरों को अलग करने पर,हमें $\frac{dy}{y^2} = -4x dx$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int y^{-2} dy = -4 \int x dx$ प्राप्त होता है।
इससे $-\frac{1}{y} = -4 \cdot \frac{x^2}{2} + C$ मिलता है,जो सरल होकर $-\frac{1}{y} = -2x^2 + C$ हो जाता है।
$-1$ से गुणा करने पर,$\frac{1}{y} = 2x^2 - C$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $x = 0$ पर $y = 1$,इसलिए $\frac{1}{1} = 2(0)^2 - C$,जिसका अर्थ है $1 = -C$,अर्थात $C = -1$।
$C = -1$ का मान $\frac{1}{y} = 2x^2 - C$ में रखने पर,$\frac{1}{y} = 2x^2 - (-1) = 2x^2 + 1$ प्राप्त होता है।
अतः,विशिष्ट हल $y = \frac{1}{2x^2 + 1}$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $x dy = (2x^2 + 1) dx$ है।
दोनों पक्षों को $x$ से विभाजित करने पर ($x \neq 0$ है),हमें $dy = (2x + \frac{1}{x}) dx$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int dy = \int (2x + \frac{1}{x}) dx$ प्राप्त होता है।
इससे $y = x^2 + \log |x| + C$ प्राप्त होता है।
चूंकि वक्र बिंदु $(1, 1)$ से गुजरता है,हम $x = 1$ और $y = 1$ को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$1 = (1)^2 + \log |1| + C$.
$1 = 1 + 0 + C$,जिसका अर्थ है $C = 0$.
$C = 0$ का मान सामान्य हल में रखने पर,हमें अभीष्ट वक्र का समीकरण $y = x^2 + \log |x|$ प्राप्त होता है।

(A) वक्र के किसी भी बिंदु $(x, y)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{2x}{y^2}$ द्वारा दी गई है।
चरों को अलग करने पर,हमें $y^2 dy = 2x dx$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int y^2 dy = \int 2x dx$।
इससे $\frac{y^3}{3} = x^2 + C$ प्राप्त होता है।
चूंकि वक्र बिंदु $(-2, 3)$ से गुजरता है,हम समीकरण में $x = -2$ और $y = 3$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$\frac{3^3}{3} = (-2)^2 + C$
$\frac{27}{3} = 4 + C$
$9 = 4 + C$
$C = 5$।
$C = 5$ का मान समीकरण में रखने पर,हमें $\frac{y^3}{3} = x^2 + 5$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण है: $\frac{dy}{dx} = \frac{1-\cos x}{1+\cos x}$।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $1-\cos x = 2 \sin^2 \frac{x}{2}$ और $1+\cos x = 2 \cos^2 \frac{x}{2}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{2 \sin^2 \frac{x}{2}}{2 \cos^2 \frac{x}{2}} = \tan^2 \frac{x}{2}$।
चूंकि $\tan^2 \theta = \sec^2 \theta - 1$,इसलिए:
$\frac{dy}{dx} = \sec^2 \frac{x}{2} - 1$।
चरों को पृथक करने पर:
$dy = (\sec^2 \frac{x}{2} - 1) dx$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int dy = \int (\sec^2 \frac{x}{2} - 1) dx$।
$y = 2 \tan \frac{x}{2} - x + C$।
अतः,अभीष्ट व्यापक हल $y = 2 \tan \frac{x}{2} - x + C$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण है: $\frac{dy}{dx} = \sqrt{4 - y^2}$.
चरों को पृथक करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dy}{\sqrt{4 - y^2}} = dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \frac{dy}{\sqrt{2^2 - y^2}} = \int dx$.
मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{du}{\sqrt{a^2 - u^2}} = \sin^{-1}(\frac{u}{a}) + C$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\sin^{-1}(\frac{y}{2}) = x + C$.
दोनों पक्षों का ज्या (sine) लेने पर:
$\frac{y}{2} = \sin(x + C)$.
अतः,व्यापक हल है:
$y = 2 \sin(x + C)$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण है: $\frac{dy}{dx} + y = 1$ $(y \neq 1)$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\frac{dy}{dx} = 1 - y$
चरों को पृथक करने पर:
$\frac{dy}{1 - y} = dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \frac{dy}{1 - y} = \int dx$
$-\log|1 - y| = x + C_1$
$\log|1 - y| = -x - C_1$
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर:
$|1 - y| = e^{-x - C_1} = e^{-C_1} \cdot e^{-x}$
$1 - y = \pm e^{-C_1} e^{-x}$
माना $A = \mp e^{-C_1}$,तब:
$1 - y = Ae^{-x}$
$y = 1 - Ae^{-x}$
चूंकि $A$ एक स्वेच्छ अचर है,अतः व्यापक हल को $y = 1 + Ce^{-x}$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण है: $\sec^{2} x \tan y \, dx + \sec^{2} y \tan x \, dy = 0$।
दोनों पक्षों को $\tan x \tan y$ से विभाजित करने पर:
$\frac{\sec^{2} x}{\tan x} \, dx + \frac{\sec^{2} y}{\tan y} \, dy = 0$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \frac{\sec^{2} x}{\tan x} \, dx + \int \frac{\sec^{2} y}{\tan y} \, dy = C_1$।
माना $u = \tan x$,तब $du = \sec^{2} x \, dx$।
माना $v = \tan y$,तब $dv = \sec^{2} y \, dy$।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$\int \frac{1}{u} \, du + \int \frac{1}{v} \, dv = C_1$।
$\ln|u| + \ln|v| = C_1$।
$\ln|\tan x| + \ln|\tan y| = C_1$।
$\ln|\tan x \tan y| = C_1$।
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर:
$\tan x \tan y = e^{C_1} = C$।

(A) दिया गया अवकल समीकरण है: $(e^{x}+e^{-x}) dy = (e^{x}-e^{-x}) dx$।
चरों को पृथक करने पर: $dy = \frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}} dx$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int dy = \int \frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}} dx + C$।
माना $t = e^{x}+e^{-x}$,तब $dt = (e^{x}-e^{-x}) dx$ होगा।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर: $y = \int \frac{1}{t} dt + C$।
समाकलन करने पर: $y = \log|t| + C$ प्राप्त होता है।
$t = e^{x}+e^{-x}$ का मान वापस रखने पर,व्यापक हल: $y = \log(e^{x}+e^{-x}) + C$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण है: $\frac{dy}{dx} = (1+x^2)(1+y^2)$
चरों को पृथक करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{dy}{1+y^2} = (1+x^2) dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dy}{1+y^2} = \int (1+x^2) dx$
हम जानते हैं कि $\int \frac{dy}{1+y^2} = \tan^{-1} y$ और $\int (1+x^2) dx = x + \frac{x^3}{3} + C$
अतः,व्यापक हल है: $\tan^{-1} y = x + \frac{x^3}{3} + C$

(A) दिया गया अवकल समीकरण है: $y \log y \, dx - x \, dy = 0$
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $y \log y \, dx = x \, dy$
चरों को पृथक करने पर,हमें मिलता है: $\frac{dy}{y \log y} = \frac{dx}{x}$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dy}{y \log y} = \int \frac{dx}{x}$
माना $t = \log y$,तब $dt = \frac{1}{y} \, dy$
इस मान को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर: $\int \frac{dt}{t} = \int \frac{dx}{x}$
समाकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\log |t| = \log |x| + \log |C|$
$\log |\log y| = \log |Cx|$
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर: $\log y = Cx$
अतः,व्यापक हल है: $y = e^{Cx}$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण है: $x^{5} \frac{dy}{dx} = -y^{5}$
चरों को पृथक करने पर: $\frac{dy}{y^{5}} = -\frac{dx}{x^{5}}$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\frac{dx}{x^{5}} + \frac{dy}{y^{5}} = 0$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int x^{-5} dx + \int y^{-5} dy = k$ (जहाँ $k$ एक स्वेच्छ अचर है)
समाकलन के घात नियम $\int x^{n} dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$ का उपयोग करने पर: $\frac{x^{-4}}{-4} + \frac{y^{-4}}{-4} = k$
$-4$ से गुणा करने पर: $x^{-4} + y^{-4} = -4k$
माना $C = -4k$,अतः व्यापक हल है: $x^{-4} + y^{-4} = C$

(A) दिया गया अवकल समीकरण है: $\frac{dy}{dx} = \sin^{-1} x$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$y = \int \sin^{-1} x \, dx$
खंडशः समाकलन (Integration by parts) का उपयोग करते हुए,$u = \sin^{-1} x$ और $dv = dx$ लें। तब $du = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx$ और $v = x$ प्राप्त होता है।
$y = x \sin^{-1} x - \int x \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx$
मान लीजिए $t = 1 - x^2$,तो $dt = -2x \, dx$,जिसका अर्थ है $x \, dx = -\frac{1}{2} dt$।
$y = x \sin^{-1} x - \int \frac{-1/2}{\sqrt{t}} dt$
$y = x \sin^{-1} x + \frac{1}{2} \int t^{-1/2} dt$
$y = x \sin^{-1} x + \frac{1}{2} \cdot \frac{t^{1/2}}{1/2} + C$
$y = x \sin^{-1} x + \sqrt{t} + C$
$y = x \sin^{-1} x + \sqrt{1 - x^2} + C$

(A) दिया गया अवकल समीकरण है: $e^{x} \tan y \, dx + (1 - e^{x}) \sec^{2} y \, dy = 0$।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $(1 - e^{x}) \sec^{2} y \, dy = -e^{x} \tan y \, dx$।
चरों को अलग करने पर: $\frac{\sec^{2} y}{\tan y} \, dy = \frac{-e^{x}}{1 - e^{x}} \, dx$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{\sec^{2} y}{\tan y} \, dy = \int \frac{-e^{x}}{1 - e^{x}} \, dx$।
बाएँ पक्ष के लिए,मान लीजिए $\tan y = u$,तो $\sec^{2} y \, dy = du$। अतः,$\int \frac{du}{u} = \ln|u| = \ln|\tan y|$।
दाएँ पक्ष के लिए,मान लीजिए $1 - e^{x} = t$,तो $-e^{x} \, dx = dt$। अतः,$\int \frac{dt}{t} = \ln|t| = \ln|1 - e^{x}|$।
इन दोनों को जोड़ने पर: $\ln|\tan y| = \ln|1 - e^{x}| + \ln|C|$।
लघुगणक के नियमों का उपयोग करने पर: $\ln|\tan y| = \ln|C(1 - e^{x})|$।
दोनों पक्षों का घातांक लेने पर,हमें व्यापक हल प्राप्त होता है: $\tan y = C(1 - e^{x})$।

(A) दिया गया अवकल समीकरण है:
$(x^{3}+x^{2}+x+1) \frac{dy}{dx} = 2x^{2}+x$
हर का गुणनखंड करने पर: $(x^{2}(x+1) + 1(x+1)) \frac{dy}{dx} = 2x^{2}+x$
$(x+1)(x^{2}+1) \frac{dy}{dx} = 2x^{2}+x$
$dy = \frac{2x^{2}+x}{(x+1)(x^{2}+1)} dx$
आंशिक भिन्न का उपयोग करने पर: $\frac{2x^{2}+x}{(x+1)(x^{2}+1)} = \frac{A}{x+1} + \frac{Bx+C}{x^{2}+1}$
$2x^{2}+x = A(x^{2}+1) + (Bx+C)(x+1)$
$x = -1$ रखने पर: $2(-1)^{2} + (-1) = A((-1)^{2}+1) \Rightarrow 1 = 2A \Rightarrow A = \frac{1}{2}$
$x^{2}$ के गुणांकों की तुलना करने पर: $A+B = 2 \Rightarrow \frac{1}{2} + B = 2 \Rightarrow B = \frac{3}{2}$
अचर पदों की तुलना करने पर: $A+C = 0 \Rightarrow \frac{1}{2} + C = 0 \Rightarrow C = -\frac{1}{2}$
समाकलन करने पर: $\int dy = \int \frac{1/2}{x+1} dx + \int \frac{3/2x - 1/2}{x^{2}+1} dx$
$y = \frac{1}{2} \log|x+1| + \frac{3}{4} \log(x^{2}+1) - \frac{1}{2} \tan^{-1} x + C$
$y = \frac{1}{4} [2 \log|x+1| + 3 \log(x^{2}+1)] - \frac{1}{2} \tan^{-1} x + C$
$y = \frac{1}{4} \log[(x+1)^{2}(x^{2}+1)^{3}] - \frac{1}{2} \tan^{-1} x + C$
दिया गया है कि $y=1$ जब $x=0$: $1 = \frac{1}{4} \log(1) - 0 + C \Rightarrow C = 1$
अतः,$y = \frac{1}{4} \log[(x+1)^{2}(x^{2}+1)^{3}] - \frac{1}{2} \tan^{-1} x + 1$

(C) $x(x^{2}-1) \frac{dy}{dx} = 1$
$\Rightarrow dy = \frac{dx}{x(x-1)(x+1)}$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int dy = \int \frac{1}{x(x-1)(x+1)} dx \quad \dots(1)$
आंशिक भिन्नों का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{x(x-1)(x+1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{x+1}$
$1 = A(x-1)(x+1) + Bx(x+1) + Cx(x-1)$
$x=0$ के लिए,$1 = A(-1)(1) \Rightarrow A = -1$
$x=1$ के लिए,$1 = B(1)(2) \Rightarrow B = \frac{1}{2}$
$x=-1$ के लिए,$1 = C(-1)(-2) \Rightarrow C = \frac{1}{2}$
मानों को $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$y = -\int \frac{1}{x} dx + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x-1} dx + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x+1} dx$
$y = -\log |x| + \frac{1}{2} \log |x-1| + \frac{1}{2} \log |x+1| + C_1$
$y = \frac{1}{2} \log \left| \frac{(x-1)(x+1)}{x^2} \right| + C_1 = \frac{1}{2} \log \left| \frac{x^2-1}{x^2} \right| + C_1$
दिया है कि $y=0$ जब $x=2$:
$0 = \frac{1}{2} \log \left| \frac{4-1}{4} \right| + C_1 \Rightarrow 0 = \frac{1}{2} \log \left( \frac{3}{4} \right) + C_1 \Rightarrow C_1 = -\frac{1}{2} \log \left( \frac{3}{4} \right) = \frac{1}{2} \log \left( \frac{4}{3} \right)$
अतः,$y = \frac{1}{2} \log \left| \frac{x^2-1}{x^2} \right| + \frac{1}{2} \log \left( \frac{4}{3} \right) = \frac{1}{2} \log \left| \frac{4(x^2-1)}{3x^2} \right|$

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\cos \left(\frac{dy}{dx}\right) = a$.
दोनों पक्षों में $\cos^{-1}$ लेने पर: $\frac{dy}{dx} = \cos^{-1}(a)$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर: $\int dy = \int \cos^{-1}(a) dx$.
इससे प्राप्त होता है: $y = x \cos^{-1}(a) + C$ $(1)$.
दी गई शर्त के अनुसार जब $x = 0$ है तो $y = 1$: $1 = 0 \cdot \cos^{-1}(a) + C$,जिसका अर्थ है $C = 1$.
समीकरण $(1)$ में $C = 1$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है: $y = x \cos^{-1}(a) + 1$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = y \tan x$ है।
चरों को अलग करने पर,हमें $\frac{dy}{y} = \tan x \, dx$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int \frac{dy}{y} = \int \tan x \, dx$।
इससे $\ln |y| = \ln |\sec x| + C$ प्राप्त होता है,जिसे $\ln |y| = \ln |C \sec x|$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,$y = C \sec x$ व्यापक हल है।
दिया गया है कि जब $x = 0$ तब $y = 1$,इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $1 = C \sec(0)$।
चूंकि $\sec(0) = 1$,इसलिए $1 = C \times 1$,अर्थात $C = 1$।
$C = 1$ को व्यापक हल में रखने पर,हमें विशिष्ट हल $y = \sec x$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $xy \frac{dy}{dx} = (x+2)(y+2)$ है।
चरों को पृथक करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\left( \frac{y}{y+2} \right) dy = \left( \frac{x+2}{x} \right) dx$
$\Rightarrow \left( 1 - \frac{2}{y+2} \right) dy = \left( 1 + \frac{2}{x} \right) dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \left( 1 - \frac{2}{y+2} \right) dy = \int \left( 1 + \frac{2}{x} \right) dx$
$y - 2 \log |y+2| = x + 2 \log |x| + C$
$y - x - C = 2 \log |x| + 2 \log |y+2|$
$y - x - C = \log \left[ x^2 (y+2)^2 \right] \quad \dots(1)$
चूंकि वक्र बिंदु $(1, -1)$ से गुजरता है:
$-1 - 1 - C = \log \left[ (1)^2 (-1+2)^2 \right]$
$-2 - C = \log(1) = 0 \Rightarrow C = -2$
समीकरण $(1)$ में $C = -2$ रखने पर:
$y - x + 2 = \log \left[ x^2 (y+2)^2 \right]$.

(A) मान लीजिए कि किसी बिंदु $(x, y)$ पर स्पर्शरेखा की ढाल $\frac{dy}{dx}$ है।
प्रश्न के अनुसार,स्पर्शरेखा की ढाल और $y$-निर्देशांक का गुणनफल $x$-निर्देशांक के बराबर है:
$y \frac{dy}{dx} = x$
चरों को अलग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$y \, dy = x \, dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int y \, dy = \int x \, dx$
$\frac{y^{2}}{2} = \frac{x^{2}}{2} + C$
$y^{2} - x^{2} = 2C$
मान लीजिए $2C = K$,इसलिए $y^{2} - x^{2} = K$।
वक्र बिंदु $(0, -2)$ से होकर गुजरता है,इसलिए $x = 0$ और $y = -2$ रखने पर:
$(-2)^{2} - (0)^{2} = K$
$4 = K$
अतः,वक्र का समीकरण $y^{2} - x^{2} = 4$ है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = e^{x+y}$.
घातांक के नियम का उपयोग करते हुए: $\frac{dy}{dx} = e^x \cdot e^y$.
चरों को पृथक करने पर: $\frac{dy}{e^y} = e^x dx$,जिसे $e^{-y} dy = e^x dx$ लिखा जा सकता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int e^{-y} dy = \int e^x dx$.
यह प्राप्त होता है: $-e^{-y} = e^x + k$,जहाँ $k$ समाकलन स्थिरांक है।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $e^x + e^{-y} = -k$.
माना $C = -k$,अतः व्यापक हल है: $e^x + e^{-y} = C$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\left(x+y \frac{dy}{dx}\right)=1$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $y \frac{dy}{dx} = 1 - x$।
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $\frac{dy}{dx} = \frac{1-x}{y}$।
चरों को पृथक करने पर: $y \, dy = (1-x) \, dx$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int y \, dy = \int (1-x) \, dx$।
$\frac{y^2}{2} = x - \frac{x^2}{2} + C_1$।
$2$ से गुणा करने पर: $y^2 = 2x - x^2 + 2C_1$।
पुनर्व्यवस्थित करने पर: $x^2 + y^2 - 2x = C$ (जहाँ $C = 2C_1$)।
अतः,व्यापक हल $x^2 + y^2 - 2x = C$ है।

(N/A) दिया गया अवकल समीकरण $\log \left(\frac{d y}{d x}\right)=3 x+4 y$ है।
लघुगणक की परिभाषा के अनुसार,हम इसे $\frac{d y}{d x}=e^{3 x+4 y}$ के रूप में लिख सकते हैं।
इसे $\frac{d y}{d x}=e^{3 x} \cdot e^{4 y}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
चरों को अलग करने पर,हमें $\frac{d y}{e^{4 y}}=e^{3 x} d x$ प्राप्त होता है,जो $e^{-4 y} d y=e^{3 x} d x$ है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,हमें $\int e^{-4 y} d y=\int e^{3 x} d x$ प्राप्त होता है।
इससे $\frac{e^{-4 y}}{-4}=\frac{e^{3 x}}{3}+C$ प्राप्त होता है।
$12$ से गुणा करने पर,हमें $-3 e^{-4 y}=4 e^{3 x}+12 C$ प्राप्त होता है,या $4 e^{3 x}+3 e^{-4 y}+K=0$,जहाँ $K=12 C$ है।
दिया गया है कि $x=0$ पर $y=0$,इन मानों को समीकरण में रखने पर: $4 e^{0}+3 e^{0}+K=0 \implies 4+3+K=0 \implies K=-7$।
अतः,विशिष्ट हल $4 e^{3 x}+3 e^{-4 y}-7=0$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + \sqrt{\frac{1-y^2}{1-x^2}} = 0$ है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{dy}{dx} = -\frac{\sqrt{1-y^2}}{\sqrt{1-x^2}}$ प्राप्त होता है।
चरों को पृथक करने पर,$\frac{dy}{\sqrt{1-y^2}} = -\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int \frac{dy}{\sqrt{1-y^2}} = -\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$ प्राप्त होता है।
इससे $\sin^{-1} y = -\sin^{-1} x + C$ प्राप्त होता है।
अतः,व्यापक हल $\sin^{-1} x + \sin^{-1} y = C$ है।

दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} + \frac{y^{2}+y+1}{x^{2}+x+1} = 0$
चरों को पृथक करने पर: $\frac{dy}{y^{2}+y+1} = -\frac{dx}{x^{2}+x+1}$
$\Rightarrow \frac{dy}{y^{2}+y+1} + \frac{dx}{x^{2}+x+1} = 0$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dy}{(y+\frac{1}{2})^{2} + (\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}} + \int \frac{dx}{(x+\frac{1}{2})^{2} + (\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}} = C$
सूत्र $\int \frac{du}{u^{2}+a^{2}} = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{u}{a}) + C$ का उपयोग करने पर:
$\frac{2}{\sqrt{3}} \tan^{-1}(\frac{2y+1}{\sqrt{3}}) + \frac{2}{\sqrt{3}} \tan^{-1}(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}) = C$
$\Rightarrow \tan^{-1}(\frac{2y+1}{\sqrt{3}}) + \tan^{-1}(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}) = \frac{\sqrt{3}C}{2} = K$ (जहाँ $K$ एक स्थिरांक है)
दोनों पक्षों में $\tan$ लेने पर और $\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{\frac{2y+1}{\sqrt{3}} + \frac{2x+1}{\sqrt{3}}}{1 - (\frac{2y+1}{\sqrt{3}})(\frac{2x+1}{\sqrt{3}})} = \tan K = A'$
$\Rightarrow \frac{2x+2y+2}{\sqrt{3}} = A'(1 - \frac{4xy+2x+2y+1}{3})$
$\Rightarrow \frac{2(x+y+1)}{\sqrt{3}} = A'(\frac{3-4xy-2x-2y-1}{3}) = A'(\frac{2-2x-2y-4xy}{3})$
$\Rightarrow x+y+1 = A(1-x-y-2xy)$,जहाँ $A$ एक नया स्थिरांक है।