frac{dy}{dx} = frac{e^x(sin^2 x + sin 2x)}{y( | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{e^x(\sin^2 x + \sin 2x)}{y(2\log y + 1)}$चरों को अलग करने पर: $(2y \log y + y) dy = e^x(\sin^2 x + \s

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$y^2(\log y) - e^x \sin^2 x + c = 0$

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(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{e^x(\sin^2 x + \sin 2x)}{y(2\log y + 1)}$चरों को अलग करने पर: $(2y \log y + y) dy = e^x(\sin^2 x + \sin 2x) dx$दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int (2y \log y + y) dy = \int e^x(\sin^2 x + \sin 2x) dx$बाएँ पक्ष के लिए: $u = \log y$ लेने पर,$du = \frac{1}{y} dy$। यह समाकलन $\int y(2 \log y + 1) dy$ है। $\int 2y \log y dy$ पर खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर,हमें $y^2 \log y - \int y^2 \cdot \frac{1}{y} dy = y^2 \log y - \frac{y^2}{2}$ प्राप्त होता है। अतः,$\int (2y \log y + y) dy = y^2 \log y - \frac{y^2}{2} + \frac{y^2}{2} = y^2 \log y$।दाएँ पक्ष के लिए: $\int e^x(\sin^2 x + \sin 2x) dx$। ध्यान दें कि $\frac{d}{dx}(e^x \sin^2 x) = e^x \sin^2 x + e^x(2 \sin x \cos x) = e^x(\sin^2 x + \sin 2x)$।अतः,समाकलन $e^x \sin^2 x + c$ है।दोनों पक्षों की तुलना करने पर: $y^2 \log y = e^x \sin^2 x + c$,जिसे $y^2 \log y - e^x \sin^2 x + c = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।

$\frac{dy}{dx} = \frac{e^x(\sin^2 x + \sin 2x)}{y(2\log y + 1)}$ का हल ज्ञात कीजिए।

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