Variable separable type differential equations Questions in Hindi

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = e^{-2y}$ है।
चरों को अलग करने पर,हमें $e^{2y} dy = dx$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int e^{2y} dy = \int dx$,जिससे $\frac{e^{2y}}{2} = x + C$ प्राप्त होता है।
प्रारंभिक शर्त $y = 0$ जब $x = 5$ का उपयोग करते हुए,हम इन मानों को समीकरण में रखते हैं: $\frac{e^{2(0)}}{2} = 5 + C$.
$\frac{1}{2} = 5 + C$,जिसका अर्थ है $C = \frac{1}{2} - 5 = -\frac{9}{2}$.
अतः,समीकरण $\frac{e^{2y}}{2} = x - \frac{9}{2}$ बन जाता है।
अब,$y = 3$ होने पर $x$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम $y = 3$ को समीकरण में रखते हैं: $\frac{e^{2(3)}}{2} = x - \frac{9}{2}$.
$\frac{e^6}{2} = x - \frac{9}{2}$,जिससे $x = \frac{e^6}{2} + \frac{9}{2} = \frac{e^6 + 9}{2}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $dy - \sin x \sin y \, dx = 0$।
पदों को अलग करने पर: $dy = \sin x \sin y \, dx$।
दोनों पक्षों को $\sin y$ से विभाजित करने पर: $\frac{dy}{\sin y} = \sin x \, dx$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \csc y \, dy = \int \sin x \, dx$।
मानक समाकलन $\int \csc y \, dy = \ln |\tan \frac{y}{2}|$ का उपयोग करने पर: $\ln |\tan \frac{y}{2}| = -\cos x + C$।
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर: $\tan \frac{y}{2} = e^{-\cos x + C} = e^{-\cos x} \cdot e^C$।
माना $e^C = c_1$,तब $\tan \frac{y}{2} = c_1 e^{-\cos x}$।
दोनों पक्षों को $e^{\cos x}$ से गुणा करने पर: $e^{\cos x} \tan \frac{y}{2} = c_1$।

(C) दिया गया अवकल समीकरण: ${e^y}\frac{{dy}}{{dx}} + ({e^y} + 1)\cot x = 0$
चरों को पृथक करने पर:
${e^y}\frac{{dy}}{{dx}} = -({e^y} + 1)\cot x$
$\frac{{{e^y}}}{{{e^y} + 1}}dy = -\cot x dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \frac{{{e^y}}}{{{e^y} + 1}}dy = -\int \cot x dx$
माना $u = {e^y} + 1$,तो $du = {e^y} dy$. समाकलन इस प्रकार होगा:
$\int \frac{1}{u} du = -\int \cot x dx$
$\ln|{e^y} + 1| = -\ln|\sin x| + C$
$\ln|{e^y} + 1| + \ln|\sin x| = C$
$\ln A + \ln B = \ln(AB)$ गुणधर्म का उपयोग करने पर:
$\ln|({e^y} + 1)\sin x| = C$
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर:
$({e^y} + 1)\sin x = K$ (जहाँ $K = e^C$ एक स्थिरांक है)।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \sin x + 2x$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$\int dy = \int (\sin x + 2x) dx$।
मानक समाकलन $\int \sin x dx = -\cos x$ और $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$ का उपयोग करने पर:
$y = -\cos x + 2 \cdot \frac{x^2}{2} + c$।
व्यंजक को सरल करने पर:
$y = x^2 - \cos x + c$।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = 2xy$ है।
चरों को पृथक करने पर: $\frac{dy}{y} = 2x \, dx$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dy}{y} = \int 2x \, dx$।
इससे हमें प्राप्त होता है: $\ln|y| = x^2 + C_1$।
दोनों पक्षों का घातांक लेने पर: $|y| = e^{x^2 + C_1} = e^{C_1} e^{x^2}$।
माना $C = \pm e^{C_1}$,अतः व्यापक हल $y = Ce^{x^2}$ है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $ydx - xdy = x^2 ydx$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $-xdy = y(x^2 - 1)dx$.
चरों को पृथक करने पर: $\frac{dy}{y} = (\frac{1}{x} - x) dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dy}{y} = \int (\frac{1}{x} - x) dx$.
$\ln|y| = \ln|x| - \frac{x^2}{2} + C$.
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर: $2 \ln|y| = 2 \ln|x| - x^2 + 2C$.
$\ln(y^2) = \ln(x^2) - x^2 + K$.
$\ln(\frac{y^2}{x^2}) = -x^2 + K$.
घातांकीय रूप में लिखने पर: $\frac{y^2}{x^2} = e^{-x^2} e^K$.
अतः,$y^2 e^{x^2} = c x^2$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,सही विकल्प $(c)$ है।

(D) अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = 4x + y + 1$ को हल करने के लिए,हम देखते हैं कि दाईं ओर $x$ और $y$ का एक रैखिक फलन है।
माना $v = 4x + y + 1$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{dv}{dx} = 4 + \frac{dy}{dx}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx} - 4$ है।
इन मानों को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{dv}{dx} - 4 = v$ प्राप्त होता है,जो कि एक चर-पृथक्करणीय (variable separable) अवकल समीकरण है।
इसलिए,उपयुक्त प्रतिस्थापन $y + 4x + 1 = v$ है।

(C) दिया गया समीकरण $(x + y - 1)dx + (2x + 2y - 3)dy = 0$ है,जिसे $\frac{dy}{dx} = - \frac{x + y - 1}{2(x + y) - 3}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
माना $x + y = t$ है। तब $1 + \frac{dy}{dx} = \frac{dt}{dx}$,अतः $\frac{dy}{dx} = \frac{dt}{dx} - 1$ होगा।
इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{dt}{dx} - 1 = - \frac{t - 1}{2t - 3}$।
$\frac{dt}{dx} = 1 - \frac{t - 1}{2t - 3} = \frac{2t - 3 - t + 1}{2t - 3} = \frac{t - 2}{2t - 3}$।
चरों को पृथक करने पर: $\frac{2t - 3}{t - 2} dt = dx$।
$\frac{2(t - 2) + 1}{t - 2} dt = dx \implies (2 + \frac{1}{t - 2}) dt = dx$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int (2 + \frac{1}{t - 2}) dt = \int dx$।
$2t + \log |t - 2| = x + c$।
$t = x + y$ रखने पर: $2(x + y) + \log |x + y - 2| = x + c$।
$2x + 2y + \log |x + y - 2| = x + c \implies x + 2y + \log |x + y - 2| = c$।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\sin \left( \frac{dy}{dx} \right) = a$ है।
दोनों पक्षों का प्रतिलोम ज्या (inverse sine) लेने पर,$\frac{dy}{dx} = \sin^{-1}(a)$ प्राप्त होता है।
यह चर पृथक्करणीय (variable separable) प्रकार का अवकल समीकरण है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,$\int dy = \int \sin^{-1}(a) \, dx$ प्राप्त होता है।
चूँकि $\sin^{-1}(a)$ एक स्थिरांक है,इसलिए $y = x \sin^{-1}(a) + c$ प्राप्त होता है।
प्रारंभिक स्थिति $y(0) = 1$ का उपयोग करते हुए,$x = 0$ और $y = 1$ रखने पर:
$1 = 0 \cdot \sin^{-1}(a) + c \implies c = 1$।
अतः,समीकरण $y = x \sin^{-1}(a) + 1$ हो जाता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$y - 1 = x \sin^{-1}(a)$,जिसका अर्थ है कि $\frac{y - 1}{x} = \sin^{-1}(a)$।
दोनों पक्षों का $\sin$ लेने पर,हमें $\sin \left( \frac{y - 1}{x} \right) = a$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\cos (x + y) \, dy = dx$ ... $(i)$
माना $x + y = v$. $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$1 + \frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx}$,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx} - 1$.
इन मानों को $(i)$ में रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\cos v \left( \frac{dv}{dx} - 1 \right) = 1$.
यह सरल होकर $\cos v \frac{dv}{dx} = 1 + \cos v$ हो जाता है,या $\frac{\cos v}{1 + \cos v} \, dv = dx$.
सर्वसमिका $\cos v = 2 \cos^2(v/2) - 1$ का उपयोग करने पर,$\frac{2 \cos^2(v/2) - 1}{2 \cos^2(v/2)} \, dv = dx$,जो सरल होकर $\left( 1 - \frac{1}{2} \sec^2(v/2) \right) \, dv = dx$ हो जाता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$v - \tan(v/2) = x + c$ प्राप्त होता है।
$v = x + y$ वापस रखने पर,$(x + y) - \tan \left( \frac{x + y}{2} \right) = x + c$,जो सरल होकर $y = \tan \left( \frac{x + y}{2} \right) + c$ हो जाता है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + \sqrt{\frac{1 - y^2}{1 - x^2}} = 0$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{dy}{dx} = -\frac{\sqrt{1 - y^2}}{\sqrt{1 - x^2}}$ प्राप्त होता है।
चरों को अलग करने पर,$\frac{dy}{\sqrt{1 - y^2}} = -\frac{dx}{\sqrt{1 - x^2}}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int \frac{dy}{\sqrt{1 - y^2}} = -\int \frac{dx}{\sqrt{1 - x^2}}$।
इससे,$\sin^{-1} y = -\sin^{-1} x + c$ प्राप्त होता है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\sin^{-1} x + \sin^{-1} y = c$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = 2^{y - x}$ है।
घातांक के नियम का उपयोग करते हुए,हम इसे $\frac{dy}{dx} = \frac{2^y}{2^x}$ के रूप में लिख सकते हैं।
चरों को अलग करने पर,हमें $\frac{dy}{2^y} = \frac{dx}{2^x}$ प्राप्त होता है,जो $2^{-y} dy = 2^{-x} dx$ है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int 2^{-y} dy = \int 2^{-x} dx$ प्राप्त होता है।
सूत्र $\int a^u du = \frac{a^u}{\ln a}$ का उपयोग करने पर,$\frac{2^{-y}}{-\ln 2} = \frac{2^{-x}}{-\ln 2} + C_1$ प्राप्त होता है।
$-\ln 2$ से गुणा करने पर,$2^{-y} = 2^{-x} - C_1 \ln 2$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$2^{-x} - 2^{-y} = C_1 \ln 2$ प्राप्त होता है।
माना $C = C_1 \ln 2$,तो $\frac{1}{2^x} - \frac{1}{2^y} = c$ होगा।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + \sin \left( \frac{x + y}{2} \right) = \sin \left( \frac{x - y}{2} \right)$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\frac{dy}{dx} = \sin \left( \frac{x - y}{2} \right) - \sin \left( \frac{x + y}{2} \right)$ प्राप्त होता है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin A - \sin B = 2 \cos \left( \frac{A + B}{2} \right) \sin \left( \frac{A - B}{2} \right)$ का उपयोग करने पर,$\sin \left( \frac{x - y}{2} \right) - \sin \left( \frac{x + y}{2} \right) = 2 \cos \left( \frac{x}{2} \right) \sin \left( -\frac{y}{2} \right) = -2 \cos \left( \frac{x}{2} \right) \sin \left( \frac{y}{2} \right)$ होता है।
अतः,$\frac{dy}{dx} = -2 \cos \left( \frac{x}{2} \right) \sin \left( \frac{y}{2} \right)$।
चरों को पृथक करने पर,$\text{cosec} \left( \frac{y}{2} \right) dy = -2 \cos \left( \frac{x}{2} \right) dx$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int \text{cosec} \left( \frac{y}{2} \right) dy = -2 \int \cos \left( \frac{x}{2} \right) dx + c$।
$\int \text{cosec} (ax) dx = \frac{1}{a} \log \tan \left( \frac{ax}{2} \right)$ सूत्र का उपयोग करने पर,$\frac{\log \tan (y/4)}{1/2} = -2 \frac{\sin (x/2)}{1/2} + c$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $2 \log \tan (y/4) = -4 \sin (x/2) + c$,या $\log \tan (y/4) = c - 2 \sin (x/2)$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $(x + y)^2 \frac{dy}{dx} = a^2$ है।
माना $x + y = v$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$1 + \frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx}$,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx} - 1$।
इन मानों को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$v^2 (\frac{dv}{dx} - 1) = a^2$
$\frac{dv}{dx} - 1 = \frac{a^2}{v^2}$
$\frac{dv}{dx} = \frac{a^2}{v^2} + 1 = \frac{a^2 + v^2}{v^2}$
चरों को अलग करने पर:
$\frac{v^2}{a^2 + v^2} dv = dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \frac{v^2 + a^2 - a^2}{a^2 + v^2} dv = \int dx$
$\int (1 - \frac{a^2}{a^2 + v^2}) dv = x + c$
$v - a \tan^{-1}(\frac{v}{a}) = x + c$
$v = x + y$ वापस रखने पर:
$(x + y) - a \tan^{-1}(\frac{x + y}{a}) = x + c$
$y - a \tan^{-1}(\frac{x + y}{a}) = c$
अतः,सही विकल्प $(d)$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dx}{x} + \frac{dy}{y} = 0$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dx}{x} + \int \frac{dy}{y} = \int 0$.
इससे हमें प्राप्त होता है: $\log |x| + \log |y| = C_1$.
लघुगणक के गुणधर्म $\log a + \log b = \log(ab)$ का उपयोग करने पर: $\log |xy| = C_1$.
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर: $|xy| = e^{C_1}$.
माना $e^{C_1} = c$,अतः अंतिम हल: $xy = c$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $y - x\frac{dy}{dx} = a(y^2 + \frac{dy}{dx})$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$y - ay^2 = a\frac{dy}{dx} + x\frac{dy}{dx}$
$y(1 - ay) = (a + x)\frac{dy}{dx}$
चरों को अलग करने पर:
$\frac{dx}{a + x} = \frac{dy}{y(1 - ay)}$
दाहिनी ओर के लिए आंशिक भिन्न का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{y(1 - ay)} = \frac{1}{y} + \frac{a}{1 - ay}$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \frac{dx}{a + x} = \int \left(\frac{1}{y} + \frac{a}{1 - ay}\right) dy$
$\ln|a + x| = \ln|y| - \ln|1 - ay| + \ln|c|$
$\ln|a + x| = \ln|\frac{cy}{1 - ay}|$
दोनों पक्षों का घातांक लेने पर:
$a + x = \frac{cy}{1 - ay}$
$(x + a)(1 - ay) = cy$

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $\log \left( \frac{dy}{dx} \right) = ax + by$
दोनों पक्षों का चरघातांकी (exponential) लेने पर: $\frac{dy}{dx} = e^{ax + by}$
घातांक के नियम $e^{m+n} = e^m \cdot e^n$ का उपयोग करने पर: $\frac{dy}{dx} = e^{ax} \cdot e^{by}$
चर $x$ और $y$ को अलग करने पर: $e^{-by} \, dy = e^{ax} \, dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int e^{-by} \, dy = \int e^{ax} \, dx$
समाकलन करने पर हमें प्राप्त होता है: $\frac{e^{-by}}{-b} = \frac{e^{ax}}{a} + c$
अतः,हल $\frac{e^{-by}}{-b} = \frac{e^{ax}}{a} + c$ है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \left( \frac{y}{x} \right)^{1/3}$.
चरों को अलग करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{dy}{y^{1/3}} = \frac{dx}{x^{1/3}}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int y^{-1/3} dy = \int x^{-1/3} dx$.
समाकलन के लिए घात नियम $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + c$ का उपयोग करने पर:
$\frac{y^{2/3}}{2/3} = \frac{x^{2/3}}{2/3} + c$.
$\frac{2}{3}$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है: $y^{2/3} = x^{2/3} + c'$,जहाँ $c'$ एक स्थिरांक है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $y^{2/3} - x^{2/3} = c$.

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $(2y - 1) \, dx = (2x + 3) \, dy$
चरों को अलग करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{dx}{2x + 3} = \frac{dy}{2y - 1}$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dx}{2x + 3} = \int \frac{dy}{2y - 1}$
$\frac{1}{2} \ln|2x + 3| = \frac{1}{2} \ln|2y - 1| + C'$
$2$ से गुणा करने पर: $\ln|2x + 3| = \ln|2y - 1| + 2C'$
$\ln|2x + 3| - \ln|2y - 1| = \ln c$ (जहाँ $\ln c = 2C'$)
$\ln \left| \frac{2x + 3}{2y - 1} \right| = \ln c$
अतः,$\frac{2x + 3}{2y - 1} = c$.

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $\cot y \, dx = x \, dy$
चरों को पृथक करने पर:
$\frac{dx}{x} = \frac{dy}{\cot y}$
चूंकि $\frac{1}{\cot y} = \tan y$,इसलिए:
$\frac{dx}{x} = \tan y \, dy$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \frac{dx}{x} = \int \tan y \, dy$
$\ln |x| = \ln |\sec y| + \ln |c|$
लघुगणक के गुणधर्म $\ln a + \ln b = \ln(ab)$ का उपयोग करने पर:
$\ln |x| = \ln |c \sec y|$
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर:
$x = c \sec y$

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{x \log(x^2) + x}{\sin y + y \cos y}$.
चरों को अलग करने पर:
$(\sin y + y \cos y) dy = (x \log(x^2) + x) dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int (\sin y + y \cos y) dy = \int (x \log(x^2) + x) dx$.
बाएँ पक्ष के लिए,$\int y \cos y dy$ पर खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर:
$\int \sin y dy + (y \sin y - \int \sin y dy) = y \sin y$.
दाएँ पक्ष के लिए,ध्यान दें कि $\log(x^2) = 2 \log x$:
$\int (2x \log x + x) dx = 2 \int x \log x dx + \int x dx$.
$\int x \log x dx$ के लिए खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर:
$2 [\frac{x^2}{2} \log x - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} dx] + \frac{x^2}{2} = 2 [\frac{x^2}{2} \log x - \frac{x^2}{4}] + \frac{x^2}{2} = x^2 \log x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^2}{2} = x^2 \log x$.
अतः,हल $y \sin y = x^2 \log x + c$ है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\left( \frac{2 + \sin x}{1 + y} \right) \frac{dy}{dx} = - \cos x$ है।
चरों को अलग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dy}{1 + y} = - \frac{\cos x}{2 + \sin x} dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \frac{dy}{1 + y} = - \int \frac{\cos x}{2 + \sin x} dx$.
माना $u = 2 + \sin x$,तब $du = \cos x dx$.
अतः,$\ln|1 + y| = - \ln|2 + \sin x| + C$.
इसे $\ln|1 + y| + \ln|2 + \sin x| = C$,या $\ln|(1 + y)(2 + \sin x)| = C$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इस प्रकार,$(1 + y)(2 + \sin x) = K$ (जहाँ $K = e^C$)।
दिया गया है $y(0) = 1$,हम $x = 0$ और $y = 1$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$(1 + 1)(2 + \sin 0) = K \implies 2(2 + 0) = K \implies K = 4$.
अतः,$(1 + y)(2 + \sin x) = 4$.
$y\left( \frac{\pi}{2} \right)$ ज्ञात करने के लिए,$x = \frac{\pi}{2}$ प्रतिस्थापित करें:
$(1 + y)(2 + \sin \frac{\pi}{2}) = 4
(1 + y)(2 + 1) = 4
3(1 + y) = 4
1 + y = \frac{4}{3}
y = \frac{4}{3} - 1 = \frac{1}{3}$.

(B) दिया गया अवकल समीकरण: ${e^{dy/dx}} = (x + 1)$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\frac{dy}{dx} = \log(x + 1)$.
चरों को अलग करने पर: $dy = \log(x + 1) dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $y = \int \log(x + 1) dx$.
खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए,$u = \log(x + 1)$ और $dv = dx$ लेने पर,$du = \frac{1}{x+1} dx$ और $v = x + 1$ प्राप्त होता है।
$y = (x + 1)\log(x + 1) - \int \frac{x+1}{x+1} dx$.
$y = (x + 1)\log(x + 1) - \int 1 dx$.
$y = (x + 1)\log(x + 1) - x + C$.
प्रारंभिक स्थिति $y(0) = 3$ के लिए,$x = 0$ और $y = 3$ रखने पर:
$3 = (0 + 1)\log(0 + 1) - 0 + C$.
$3 = 1 \cdot \log(1) + C$.
चूंकि $\log(1) = 0$,इसलिए $C = 3$ प्राप्त होता है।
अतः,हल $y = (x + 1)\log |x + 1| - x + 3$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} \tan y = \sin(x + y) + \sin(x - y)$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin(A + B) + \sin(A - B) = 2 \sin A \cos B$ का उपयोग करने पर:
$\frac{dy}{dx} \tan y = 2 \sin x \cos y$.
$\tan y$ को $\frac{\sin y}{\cos y}$ के रूप में लिखने पर:
$\frac{dy}{dx} \cdot \frac{\sin y}{\cos y} = 2 \sin x \cos y$.
चरों को पृथक करने पर:
$\frac{\sin y}{\cos^2 y} dy = 2 \sin x dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \frac{\sin y}{\cos^2 y} dy = 2 \int \sin x dx$.
माना $u = \cos y$,तब $du = -\sin y dy$,इसलिए $\int -u^{-2} du = u^{-1} = \frac{1}{\cos y} = \sec y$.
अतः,$\sec y = -2 \cos x + c$,जिसे $\sec y + 2 \cos x = c$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $y\,dx + (x + x^2y)dy = 0$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $y\,dx + x\,dy + x^2y\,dy = 0$
$(y\,dx + x\,dy) = -x^2y\,dy$
दोनों पक्षों को $x^2y^2$ से विभाजित करने पर ($x, y \neq 0$ मानते हुए):
$\frac{y\,dx + x\,dy}{x^2y^2} = -\frac{dy}{y}$
चूंकि $d(xy) = y\,dx + x\,dy$,समीकरण इस प्रकार हो जाता है:
$\frac{d(xy)}{(xy)^2} = -\frac{dy}{y}$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int (xy)^{-2} d(xy) = -\int \frac{1}{y} dy$
$-\frac{1}{xy} = -\log|y| + c$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$-\frac{1}{xy} + \log|y| = c$

(B) दिया गया अवकल समीकरण $(x - y^3)dx + 3xy^2dy = 0$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $x dx - y^3 dx + 3xy^2 dy = 0$ प्राप्त होता है।
माना $t = y^3$,तो $dt = 3y^2 dy$ होगा।
इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $x dx - t dx + x dt = 0$ प्राप्त होता है।
$x^2$ से भाग देने पर,$\frac{x dx - t dx + x dt}{x^2} = 0$ प्राप्त होता है,जो $\frac{dx}{x} + \frac{x dt - t dx}{x^2} = 0$ के रूप में सरल हो जाता है।
यह $d(\log x) + d(\frac{t}{x}) = 0$ के बराबर है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,हमें $\log x + \frac{t}{x} = k$ प्राप्त होता है।
$t = y^3$ वापस रखने पर,हल $\log x + \frac{y^3}{x} = k$ है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $x \, dy + y \, dx - \sqrt{1 - x^2 y^2} \, dx = 0$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $x \, dy + y \, dx = \sqrt{1 - x^2 y^2} \, dx$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि $d(xy) = x \, dy + y \, dx$ होता है।
इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $d(xy) = \sqrt{1 - (xy)^2} \, dx$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $\sqrt{1 - (xy)^2}$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{d(xy)}{\sqrt{1 - (xy)^2}} = dx$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,हमें $\int \frac{d(xy)}{\sqrt{1 - (xy)^2}} = \int dx$ प्राप्त होता है।
इससे,$\sin^{-1}(xy) = x + c$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का ज्या (sine) लेने पर,हमें $xy = \sin(x + c)$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $y \, dx - x \, dy + x y^2 \, dx = 0$ है।
पूरे समीकरण को $y^2$ से विभाजित करने पर ($y \neq 0$ मानते हुए):
$\frac{y \, dx - x \, dy}{y^2} + x \, dx = 0$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि $\frac{y \, dx - x \, dy}{y^2} = d\left( \frac{x}{y} \right)$ होता है।
इस मान को समीकरण में रखने पर:
$d\left( \frac{x}{y} \right) + x \, dx = 0$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int d\left( \frac{x}{y} \right) = - \int x \, dx$।
$\frac{x}{y} = - \frac{x^2}{2} + c$,जहाँ $c$ समाकलन स्थिरांक है।
दोनों पक्षों को $2y$ से गुणा करने पर:
$2x = -x^2 y + 2cy$।
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$2x + x^2 y = (2c)y$।
माना $\lambda = 2c$,तो हल $2x + x^2 y = \lambda y$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $ydx - xdy = xy\,dx$
दोनों पक्षों को $xy$ से विभाजित करने पर ($x, y \neq 0$ मानते हुए):
$\frac{ydx - xdy}{xy} = dx$
$\frac{1}{x}dx - \frac{1}{y}dy = dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \frac{1}{x}dx - \int \frac{1}{y}dy = \int dx$
$\ln|x| - \ln|y| = x + C$
$\ln|\frac{x}{y}| = x + C$
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर:
$\frac{x}{y} = e^{x+C} = e^C \cdot e^x$
माना $e^C = \frac{1}{c}$ (जहाँ $c$ एक स्वेच्छ अचर है):
$\frac{x}{y} = \frac{1}{c} e^x$
$cx = y e^x$
अतः,व्यापक हल $y e^x = cx$ है।

(A) दिया गया है कि वक्र की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{2y}{x}$ है।
चरों को अलग करने पर,हमें $\frac{dy}{y} = \frac{2dx}{x}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int \frac{dy}{y} = 2 \int \frac{dx}{x}$ प्राप्त होता है।
इससे $\ln|y| = 2 \ln|x| + C$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $\ln|y| = \ln|x^2| + C$ मिलता है।
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर,हमें $y = c x^2$ प्राप्त होता है।
चूंकि वक्र बिंदु $(1, 1)$ से होकर गुजरता है,इसलिए हम समीकरण में $x = 1$ और $y = 1$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$1 = c(1)^2$,जिसका अर्थ है कि $c = 1$ है।
अतः,वक्र का समीकरण $y = x^2$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{-2xy}{x^2 + 1}$.
चरों को अलग करने पर: $\frac{dy}{y} = \frac{-2x}{x^2 + 1} dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dy}{y} = -\int \frac{2x}{x^2 + 1} dx$.
यह प्राप्त होता है: $\ln|y| = -\ln(x^2 + 1) + C$.
लघुगणक के गुणधर्म का उपयोग करने पर: $\ln|y| + \ln(x^2 + 1) = C$,जो $\ln|y(x^2 + 1)| = C$ में सरल हो जाता है।
अतः,$y(x^2 + 1) = e^C = k$ (जहाँ $k$ एक स्थिरांक है)।
चूंकि वक्र बिंदु $(1, 2)$ से गुजरता है,इसलिए समीकरण में $x = 1$ और $y = 2$ रखने पर:
$2(1^2 + 1) = k \implies 2(2) = k \implies k = 4$.
अतः,वक्र का समीकरण $y(x^2 + 1) = 4$ है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $(1 + y^2)dx - xydy = 0$.
चरों को अलग करने पर: $\frac{dx}{x} = \frac{y dy}{1 + y^2}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dx}{x} = \int \frac{y dy}{1 + y^2}$.
माना $u = 1 + y^2$,तब $du = 2y dy$,इसलिए $y dy = \frac{du}{2}$.
अतः,$\ln|x| = \frac{1}{2} \ln(1 + y^2) + C$.
इसे $\ln|x| = \ln(\sqrt{1 + y^2}) + \ln c$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ $C = \ln c$.
इसलिए,$|x| = c\sqrt{1 + y^2}$.
चूँकि वक्र $(1, 0)$ से गुजरता है,$x = 1$ और $y = 0$ रखने पर: $1 = c\sqrt{1 + 0^2} \implies c = 1$.
अतः,वक्र का समीकरण $|x| = \sqrt{1 + y^2}$ है,जो $x^2 = 1 + y^2$ या $x^2 - y^2 = 1$ के रूप में सरल होता है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = x + \frac{1}{x^2}$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$\int dy = \int (x + x^{-2}) dx$
$y = \frac{x^2}{2} - \frac{1}{x} + c$
चूंकि वक्र $(3, 9)$ से गुजरता है,इसलिए $x = 3$ और $y = 9$ रखने पर:
$9 = \frac{3^2}{2} - \frac{1}{3} + c$
$9 = \frac{9}{2} - \frac{1}{3} + c$
$9 = \frac{27 - 2}{6} + c$
$9 = \frac{25}{6} + c$
$c = 9 - \frac{25}{6} = \frac{54 - 25}{6} = \frac{29}{6}$
$c$ का मान समीकरण में रखने पर:
$y = \frac{x^2}{2} - \frac{1}{x} + \frac{29}{6}$
पूरे समीकरण को $6x$ से गुणा करने पर:
$6xy = 3x^3 - 6 + 29x$
$6xy = 3x^3 + 29x - 6$.

(A) दिया गया है कि वक्र का ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{y - 1}{x^2 + x}$ है।
चरों को अलग करने पर,हमें $\frac{dy}{y - 1} = \frac{dx}{x(x + 1)}$ प्राप्त होता है।
आंशिक भिन्न का उपयोग करने पर,$\frac{1}{x(x + 1)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int \frac{dy}{y - 1} = \int (\frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1}) dx$.
$\ln|y - 1| = \ln|x| - \ln|x + 1| + C$.
$\ln|y - 1| = \ln|\frac{x}{x + 1}| + C$.
$y - 1 = k \cdot \frac{x}{x + 1}$,जहाँ $k = e^C$.
चूँकि वक्र $(1, 0)$ से गुजरता है,$x = 1$ और $y = 0$ रखने पर:
$0 - 1 = k \cdot \frac{1}{1 + 1} \implies -1 = \frac{k}{2} \implies k = -2$.
अतः,$y - 1 = -2 \cdot \frac{x}{x + 1}$.
$(y - 1)(x + 1) = -2x$.
$(y - 1)(x + 1) + 2x = 0$.

(C) दिया गया है कि वक्र की ढाल कोटि $(y)$ के दोगुने का व्युत्क्रम है:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2y}$
चरों को अलग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2y \, dy = dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int 2y \, dy = \int dx$
$y^2 = x + C$
चूंकि वक्र बिंदु $(4, 3)$ से होकर गुजरता है,इसलिए $x = 4$ और $y = 3$ रखने पर:
$3^2 = 4 + C$
$9 = 4 + C$
$C = 5$
$C$ का मान समीकरण में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$y^2 = x + 5$

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dx}{dt} = x + 1$ है।
चरों को अलग करने पर: $\frac{dx}{x + 1} = dt$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dx}{x + 1} = \int dt$।
इससे प्राप्त होता है: $\ln(x + 1) = t + C$।
जब $t = 0$ है,तो दूरी $x = 0$ है। इन मानों को रखने पर: $\ln(0 + 1) = 0 + C \implies \ln(1) = C \implies C = 0$।
अतः,समय के लिए समीकरण: $t = \ln(x + 1)$ है।
$x = 99 \ m$ की दूरी तय करने में लगा समय:
$t = \ln(99 + 1) = \ln(100)$।
चूँकि $\ln(100) = \log_e(10^2) = 2 \log_e 10$।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $x \, dy - y \, dx = 0$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $x \, dy = y \, dx$ प्राप्त होता है।
चरों को अलग करने पर,$\frac{dy}{y} = \frac{dx}{x}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int \frac{dy}{y} = \int \frac{dx}{x}$।
इससे $\ln |y| = \ln |x| + \ln |c|$ प्राप्त होता है,जहाँ $\ln |c|$ समाकलन स्थिरांक है।
लघुगणक के गुणों का उपयोग करने पर,$\ln |y| = \ln |cx|$।
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर,$y = cx$।
यह मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण है।

(C) कण का वेग $\frac{dx}{dt} = \cos^2(\pi x)$ दिया गया है।
स्थिति $x$ तक पहुँचने में लगने वाला समय $t$ ज्ञात करने के लिए,हम चरों को अलग करते हैं:
$dt = \frac{dx}{\cos^2(\pi x)} = \sec^2(\pi x) dx$.
दोनों पक्षों का मूल बिंदु $(x=0, t=0)$ से समय $t$ पर स्थिति $x$ तक समाकलन करने पर:
$\int_0^t dt = \int_0^x \sec^2(\pi u) du$.
$t = \left[ \frac{\tan(\pi u)}{\pi} \right]_0^x = \frac{\tan(\pi x)}{\pi}$.
जैसे-जैसे $x \to \frac{1}{2}$,वैसे-वैसे $\tan(\pi x) \to \tan(\frac{\pi}{2}) \to \infty$.
अतः,जैसे $x \to \frac{1}{2}$,वैसे $t \to \infty$.
इसका अर्थ है कि कण को $x = \frac{1}{2}$ बिंदु तक पहुँचने में अनंत समय लगता है,जिसका अर्थ है कि वह इस बिंदु पर कभी नहीं पहुँचेगा।

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $y - x\frac{dy}{dx} = a(y^2 + \frac{dy}{dx})$
$\frac{dy}{dx}$ वाले पदों को एक तरफ व्यवस्थित करने पर:
$y - ay^2 = x\frac{dy}{dx} + a\frac{dy}{dx}$
$y(1 - ay) = (x + a)\frac{dy}{dx}$
चरों को पृथक करने पर:
$\frac{dy}{y(1 - ay)} = \frac{dx}{x + a}$
बाईं ओर के लिए आंशिक भिन्न का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{y(1 - ay)} = \frac{1}{y} + \frac{a}{1 - ay}$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int (\frac{1}{y} + \frac{a}{1 - ay}) dy = \int \frac{1}{x + a} dx$
$\ln|y| - \ln|1 - ay| = \ln|x + a| + \ln|c|$
$\ln|\frac{y}{1 - ay}| = \ln|c(x + a)|$
दोनों पक्षों का घातांक लेने पर:
$\frac{y}{1 - ay} = c(x + a)$
$y = c(x + a)(1 - ay)$

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\sqrt{a + x} \frac{dy}{dx} + xy = 0$ है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$\frac{dy}{dx} = -\frac{xy}{\sqrt{a + x}}$ प्राप्त होता है।
चरों को अलग करने पर,$\frac{dy}{y} = -\frac{x}{\sqrt{a + x}} dx$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int \frac{dy}{y} = -\int \frac{x}{\sqrt{x + a}} dx$।
माना $u = x + a$,तो $x = u - a$ और $dx = du$ है।
$\ln y = -\int \frac{u - a}{\sqrt{u}} du = -\int (u^{1/2} - a u^{-1/2}) du$।
$\ln y = -(\frac{2}{3} u^{3/2} - 2a u^{1/2}) + C$।
$\ln y = -\frac{2}{3} (x + a)^{3/2} + 2a(x + a)^{1/2} + \ln A$।
$\ln y = -\frac{2}{3} (x + a)^{1/2} (x + a) + 2a(x + a)^{1/2} + \ln A$।
$\ln y = \sqrt{x + a} [-\frac{2}{3}x - \frac{2}{3}a + 2a] + \ln A$।
$\ln y = \sqrt{x + a} [\frac{-2x - 2a + 6a}{3}] + \ln A = \frac{2}{3} \sqrt{x + a} (2a - x) + \ln A$।
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर,$y = A e^{\frac{2}{3}(2a - x)\sqrt{x + a}}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: ${x^4}\frac{{dy}}{{dx}} + {x^3}y + \text{cosec}(xy) = 0$
$dx$ से गुणा करने पर: ${x^4}dy + {x^3}y\,dx + \text{cosec}(xy)\,dx = 0$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: ${x^3}(x\,dy + y\,dx) + \text{cosec}(xy)\,dx = 0$
गुणनफल के अवकलज को पहचानने पर: ${x^3}d(xy) + \text{cosec}(xy)\,dx = 0$
चरों को अलग करने पर: $\frac{d(xy)}{\text{cosec}(xy)} + \frac{dx}{x^3} = 0$
यह सरल होकर प्राप्त होता है: $\sin(xy)\,d(xy) + x^{-3}\,dx = 0$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \sin(xy)\,d(xy) + \int x^{-3}\,dx = \int 0$
समाकलन का परिणाम: $-\cos(xy) + \frac{x^{-2}}{-2} = C_1$
$-2$ से गुणा करने पर: $2\cos(xy) + x^{-2} = c$ (जहाँ $c = -2C_1$).

(A) वक्र की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{y - 1}{x^2 + x}$ द्वारा दी गई है।
चरों को अलग करने पर,$\frac{dy}{y - 1} = \frac{dx}{x(x + 1)}$ प्राप्त होता है।
आंशिक भिन्नों का उपयोग करने पर,$\frac{1}{x(x + 1)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1}$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dy}{y - 1} = \int (\frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1}) dx$।
$\ln|y - 1| = \ln|x| - \ln|x + 1| + C$।
$\ln|y - 1| = \ln|\frac{x}{x + 1}| + C$,जिसका अर्थ है $y - 1 = k \cdot \frac{x}{x + 1}$।
चूंकि वक्र $(1, 0)$ से गुजरता है,$x = 1$ और $y = 0$ रखने पर: $0 - 1 = k \cdot \frac{1}{1 + 1} \Rightarrow -1 = \frac{k}{2} \Rightarrow k = -2$।
अतः,$y - 1 = -2 \cdot \frac{x}{x + 1} \Rightarrow (y - 1)(x + 1) = -2x$।
इसलिए,$(y - 1)(x + 1) + 2x = 0$।

(C) दिया गया है कि वक्र की ढाल $\frac{dy}{dx}$,$2y$ के व्युत्क्रमानुपाती है,अतः:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2y}$
चरों को अलग करने पर:
$2y \, dy = dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int 2y \, dy = \int dx$
$y^2 = x + C$
चूंकि वक्र $(4, 3)$ से होकर गुजरता है,इसलिए $x = 4$ और $y = 3$ रखने पर:
$(3)^2 = 4 + C$
$9 = 4 + C$
$C = 5$
$C$ का मान समीकरण में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$y^2 = x + 5$

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = y + 3$ है।
चरों को अलग करने पर,हमें $\frac{dy}{y + 3} = dx$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int \frac{dy}{y + 3} = \int dx$,जिससे $\ln|y + 3| = x + C$ प्राप्त होता है।
चूंकि $y + 3 > 0$,इसलिए $y + 3 = e^{x + C} = e^C \cdot e^x$ होगा।
मान लीजिए $e^C = A$,तो $y + 3 = A e^x$ है।
प्रारंभिक स्थिति $y(0) = 2$ का उपयोग करते हुए,$x = 0$ और $y = 2$ रखने पर:
$2 + 3 = A e^0 \Rightarrow A = 5$।
अतः,विशिष्ट हल $y + 3 = 5 e^x$ या $y = 5 e^x - 3$ है।
$y(\ln 2)$ का मान ज्ञात करने के लिए,$x = \ln 2$ रखने पर:
$y(\ln 2) = 5 e^{\ln 2} - 3$।
चूंकि $e^{\ln 2} = 2$,इसलिए $y(\ln 2) = 5(2) - 3 = 10 - 3 = 7$।

(NONE) दिया गया अवकल समीकरण: $y(1 + xy)dx = xdy$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $ydx + xy^2 dx = xdy$.
$xy^2 dx = xdy - ydx$.
दोनों पक्षों को $xy^2$ से विभाजित करने पर: $dx = \frac{xdy - ydx}{xy^2} = \frac{1}{x} \cdot \frac{xdy - ydx}{y^2}$.
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $dx = \frac{1}{x} d(\frac{x}{y})$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\frac{xdy - ydx}{y^2} = x dx$.
यह $d(\frac{x}{y}) = x dx$ है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\frac{x}{y} = \frac{x^2}{2} + C$.
चूंकि वक्र $(1, -1)$ से गुजरता है,$x=1, y=-1$ रखने पर: $\frac{1}{-1} = \frac{1^2}{2} + C$.
$-1 = \frac{1}{2} + C \Rightarrow C = -\frac{3}{2}$.
अतः,$\frac{x}{y} = \frac{x^2 - 3}{2} \Rightarrow y = \frac{2x}{x^2 - 3}$.
अब,$f(-\frac{1}{2})$ ज्ञात करने पर: $f(-\frac{1}{2}) = \frac{2(-\frac{1}{2})}{(-\frac{1}{2})^2 - 3} = \frac{-1}{\frac{1}{4} - 3} = \frac{-1}{-\frac{11}{4}} = \frac{4}{11}$.

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $(2 + \sin x) \frac{dy}{dx} + (y + 1) \cos x = 0$.
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $\frac{d}{dx} [(2 + \sin x)(y + 1)] = 0$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर: $(2 + \sin x)(y + 1) = C$,जहाँ $C$ एक स्थिरांक है।
प्रारंभिक स्थिति $y(0) = 1$ का उपयोग करते हुए,$x = 0$ और $y = 1$ रखने पर:
$(2 + \sin 0)(1 + 1) = C \Rightarrow (2 + 0)(2) = C \Rightarrow C = 4$.
अतः,समीकरण: $(2 + \sin x)(y + 1) = 4$ बन जाता है।
$y$ के लिए हल करने पर: $y + 1 = \frac{4}{2 + \sin x} \Rightarrow y = \frac{4}{2 + \sin x} - 1$.
अब,$y(\frac{\pi}{2})$ का मान ज्ञात करने पर:
$y(\frac{\pi}{2}) = \frac{4}{2 + \sin(\frac{\pi}{2})} - 1 = \frac{4}{2 + 1} - 1 = \frac{4}{3} - 1 = \frac{1}{3}$.

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\sec^2 x \tan y \, dx + \sec^2 y \tan x \, dy = 0$
दोनों पक्षों को $\tan x \tan y$ से विभाजित करने पर:
$\frac{\sec^2 x}{\tan x} \, dx + \frac{\sec^2 y}{\tan y} \, dy = 0$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \frac{\sec^2 x}{\tan x} \, dx + \int \frac{\sec^2 y}{\tan y} \, dy = \int 0 \, dx$
प्रतिस्थापन $u = \tan x$ $(du = \sec^2 x \, dx)$ और $v = \tan y$ $(dv = \sec^2 y \, dy)$ का उपयोग करने पर:
$\ln|\tan x| + \ln|\tan y| = \ln|c|$
लघुगणक के गुणधर्म $\ln A + \ln B = \ln(AB)$ का उपयोग करने पर:
$\ln|\tan x \tan y| = \ln|c|$
$\tan x \tan y = c$
चूंकि $\tan y = \frac{1}{\cot y}$,इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$\tan x = c \cot y$.

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = 1 + x + y + xy$ है।
दाहिनी ओर के पदों का गुणनखंड करने पर: $\frac{dy}{dx} = (1 + x) + y(1 + x) = (1 + x)(1 + y)$।
चरों को अलग करने पर: $\frac{dy}{1 + y} = (1 + x) dx$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dy}{1 + y} = \int (1 + x) dx$।
इससे $\log_e(1 + y) = x + \frac{x^2}{2} + C$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का घातांक लेने पर: $1 + y = e^{x + x^2/2 + C} = k e^{x + x^2/2}$,जहाँ $k = e^C$ है।
अतः,$y = k e^{x + x^2/2} - 1$।
प्रारंभिक शर्त $y(-1) = 0$ का उपयोग करने पर: $0 = k e^{-1 + 1/2} - 1 \implies 0 = k e^{-1/2} - 1 \implies k = e^{1/2}$।
$k$ का मान रखने पर: $y = e^{1/2} e^{x + x^2/2} - 1 = e^{(1 + 2x + x^2)/2} - 1 = e^{(1 + x)^2/2} - 1$।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = 1 + x + y^2 + xy^2$ है।
दाहिनी ओर गुणनखंड करने पर,$\frac{dy}{dx} = (1 + x) + y^2(1 + x) = (1 + x)(1 + y^2)$ प्राप्त होता है।
चरों को अलग करने पर,$\frac{dy}{1 + y^2} = (1 + x) dx$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int \frac{dy}{1 + y^2} = \int (1 + x) dx$।
इससे $\tan^{-1} y = x + \frac{x^2}{2} + c$ प्राप्त होता है।
प्रारंभिक स्थिति $y(0) = 0$ का उपयोग करते हुए,$x = 0$ और $y = 0$ रखने पर: $\tan^{-1}(0) = 0 + \frac{0^2}{2} + c$,जिससे $c = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$\tan^{-1} y = x + \frac{x^2}{2}$,जिसका अर्थ है $y = \tan \left( x + \frac{x^2}{2} \right)$।

(C) माना वक्र पर बिंदु $(x, y)$ है।
$(x, y)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx}$ द्वारा दी जाती है।
$(x, y)$ को मूल बिंदु $(0, 0)$ से जोड़ने वाली रेखा की ढाल $\frac{y - 0}{x - 0} = \frac{y}{x}$ है।
दी गई शर्त के अनुसार,$\frac{dy}{dx} = 2 \left( \frac{y}{x} \right)$.
यह एक चर पृथक्करणीय अवकल समीकरण है: $\frac{dy}{y} = 2 \frac{dx}{x}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int \frac{dy}{y} = 2 \int \frac{dx}{x}$.
$\ln|y| = 2 \ln|x| + C$,जिसे $\ln|y| = \ln|x^2| + \ln|c|$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,$y = cx^2$,जो एक परवलय को दर्शाता है।