Formation of differential equations Questions in Hindi

(B) मूल बिंदु $(0,0)$ पर $Y$-अक्ष को स्पर्श करने वाले और $X$-अक्ष पर केंद्र वाले वृत्त का सामान्य समीकरण $(x-a)^2 + (y-0)^2 = a^2$ है,जहाँ $a$ वृत्त की त्रिज्या है।
इसका विस्तार करने पर,हमें $x^2 - 2ax + a^2 + y^2 = a^2$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $x^2 + y^2 = 2ax$ हो जाता है।
स्वेच्छ अचर $a$ को हटाने के लिए,हम दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{d}{dx}(x^2 + y^2) = \frac{d}{dx}(2ax)$
$2x + 2y \frac{dy}{dx} = 2a$.
अब $2a = \frac{x^2+y^2}{x}$ का मान अवकलित समीकरण में रखने पर:
$2x + 2y \frac{dy}{dx} = \frac{x^2+y^2}{x}$.
दोनों पक्षों को $x$ से गुणा करने पर:
$2x^2 + 2xy \frac{dy}{dx} = x^2 + y^2$.
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $x^2 - y^2 + 2xy \frac{dy}{dx} = 0$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया हल $y = e^x (A \cos x + B \sin x)$ है।
सबसे पहले,गुणन नियम का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = e^x (A \cos x + B \sin x) + e^x (-A \sin x + B \cos x)$
$\frac{dy}{dx} = e^x ((A + B) \cos x + (B - A) \sin x)$
अब,पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2 y}{dx^2} = e^x ((A + B) \cos x + (B - A) \sin x) + e^x (-(A + B) \sin x + (B - A) \cos x)$
$\frac{d^2 y}{dx^2} = e^x ((A + B + B - A) \cos x + (B - A - A - B) \sin x)$
$\frac{d^2 y}{dx^2} = e^x (2B \cos x - 2A \sin x)$
अब,$\frac{dy}{dx}$ और $y$ के मानों को $\frac{d^2 y}{dx^2} - 2 \frac{dy}{dx} + 2y = 0$ में रखने पर:
$e^x (2B \cos x - 2A \sin x) - 2e^x ((A + B) \cos x + (B - A) \sin x) + 2e^x (A \cos x + B \sin x)$
$= e^x [ (2B - 2A - 2B + 2A) \cos x + (-2A - 2B + 2A + 2B) \sin x ]$
$= e^x [ 0 \cos x + 0 \sin x ] = 0$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) दिया गया वक्रों का परिवार $y = C_1 e^{C_2 x}$ है।
सबसे पहले,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y^{\prime} = C_1 C_2 e^{C_2 x}$
चूंकि $y = C_1 e^{C_2 x}$,हम इसे अवकलज में प्रतिस्थापित कर सकते हैं:
$y^{\prime} = y C_2$
$C_2 = \frac{y^{\prime}}{y}$
अब,$y^{\prime} = C_1 C_2 e^{C_2 x}$ का पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y^{\prime \prime} = C_1 C_2^2 e^{C_2 x}$
$y = C_1 e^{C_2 x}$ को द्वितीय अवकलज में प्रतिस्थापित करने पर:
$y^{\prime \prime} = (C_1 e^{C_2 x}) C_2^2 = y C_2^2$
$C_2 = \frac{y^{\prime}}{y}$ को समीकरण में रखने पर:
$y^{\prime \prime} = y \left( \frac{y^{\prime}}{y} \right)^2$
$y^{\prime \prime} = y \frac{(y^{\prime})^2}{y^2}$
$y^{\prime \prime} = \frac{(y^{\prime})^2}{y}$
$y y^{\prime \prime} = (y^{\prime})^2$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) मूलबिंदु पर शीर्ष और धनात्मक $Y$-अक्ष के अनुदिश अक्ष वाले परवलय का समीकरण $x^2 = 4ay$ है,जहाँ $a$ एक स्वेच्छ अचर है।
अवकल समीकरण ज्ञात करने के लिए,हम दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{d}{dx}(x^2) = \frac{d}{dx}(4ay)$
$2x = 4a \frac{dy}{dx}$
$x = 2a \frac{dy}{dx}$
इससे,हमें $2a = \frac{x}{dy/dx}$ प्राप्त होता है।
अब $2a$ का मान मूल समीकरण $x^2 = 2a(2y)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$x^2 = \left( \frac{x}{dy/dx} \right) (2y)$
$x^2 \frac{dy}{dx} = 2xy$
$x \frac{dy}{dx} = 2y$
$x \frac{dy}{dx} - 2y = 0$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) दिया गया समीकरण: $y^2 = (x + c)^3$
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$2y \frac{dy}{dx} = 3(x + c)^2$
यहाँ से,$(x + c)^2 = \frac{2y}{3} \frac{dy}{dx}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का घन करने पर:
$(x + c)^6 = \left(\frac{2y}{3} \frac{dy}{dx}\right)^3$
चूँकि $(x + c)^3 = y^2$,इसलिए $(x + c)^6 = (y^2)^2 = y^4$ होगा।
इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$y^4 = \frac{8y^3}{27} \left(\frac{dy}{dx}\right)^3$
दोनों पक्षों को $y^3$ से विभाजित करने पर ($y \neq 0$ मानते हुए):
$y = \frac{8}{27} \left(\frac{dy}{dx}\right)^3$
$27y = 8 \left(\frac{dy}{dx}\right)^3$

(C) $Y$-अक्ष के समांतर अक्ष वाले परवलय का सामान्य समीकरण $(x-h)^2 = 4a(y-k)$ है,जहाँ $(h, k)$ शीर्ष है और $a$ एक स्थिरांक है।
इस समीकरण में तीन स्वेच्छ अचर हैं: $h$,$k$,और $a$।
अवकल समीकरण ज्ञात करने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष तीन बार अवकलन करते हैं।
प्रथम अवकलन: $2(x-h) = 4a \frac{dy}{dx} \implies (x-h) = 2a y_1$।
द्वितीय अवकलन: $1 = 2a y_2$।
तृतीय अवकलन: $0 = 2a y_3$।
चूँकि $2a \neq 0$,इसलिए $y_3 = 0$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया समीकरण: $y = e^x(a \cos x + b \sin x)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = e^x(a \cos x + b \sin x) + e^x(-a \sin x + b \cos x)$
चूंकि $y = e^x(a \cos x + b \sin x)$,हम लिख सकते हैं:
$\frac{dy}{dx} = y + e^x(b \cos x - a \sin x)$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{dy}{dx} + [e^x(b \cos x - a \sin x) + e^x(-b \sin x - a \cos x)]$
$e^x(b \cos x - a \sin x) = \frac{dy}{dx} - y$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{dy}{dx} + (\frac{dy}{dx} - y) - e^x(a \cos x + b \sin x)$
चूंकि $e^x(a \cos x + b \sin x) = y$,हमारे पास है:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{dy}{dx} + \frac{dy}{dx} - y - y$
$\frac{d^2y}{dx^2} = 2\frac{dy}{dx} - 2y$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} - 2\frac{dy}{dx} + 2y = 0$

(A) दिया गया समीकरण $y=c^2+\frac{c}{x}$ है।
सबसे पहले,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = 0 - \frac{c}{x^2} = -\frac{c}{x^2}$.
इससे,हम स्थिरांक $c$ को $x$ और $\frac{dy}{dx}$ के पदों में व्यक्त कर सकते हैं:
$c = -x^2\frac{dy}{dx}$.
अब,$c$ के इस मान को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$y = (-x^2\frac{dy}{dx})^2 + \frac{-x^2\frac{dy}{dx}}{x}$.
व्यंजक को सरल करने पर:
$y = x^4\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 - x\frac{dy}{dx}$.
अवकल समीकरण बनाने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$x^4\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 - x\frac{dy}{dx} - y = 0$.

(A) $x$-अंतःखंड $a$ और $y$-अंतःखंड $b$ वाली रेखा का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ है।
चूंकि इसमें दो स्वेच्छ अचर $a$ और $b$ हैं,इसलिए हम समीकरण का दो बार अवकलन करेंगे।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \frac{d y}{d x} = 0$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$0 + \frac{1}{b} \frac{d^2 y}{d x^2} = 0$
चूंकि $b \neq 0$,इसलिए हमें $\frac{d^2 y}{d x^2} = 0$ प्राप्त होता है।

(A) माना वृत्त का केंद्र $(0, k)$ है। चूंकि वृत्त मूल बिंदु $(0, 0)$ से गुजरता है,इसलिए वृत्त की त्रिज्या $r = \sqrt{(0-0)^2 + (k-0)^2} = |k|$ है।
वृत्त का समीकरण $(x-0)^2 + (y-k)^2 = k^2$ है।
इसका विस्तार करने पर,$x^2 + y^2 - 2ky + k^2 = k^2$,जो सरल होकर $x^2 + y^2 = 2ky$ प्राप्त होता है।
स्वेच्छ अचर $k$ को हटाने के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2x + 2y \frac{dy}{dx} = 2k \frac{dy}{dx}$.
वृत्त के समीकरण से,$k = \frac{x^2+y^2}{2y}$.
$k$ का यह मान अवकलित समीकरण में रखने पर:
$2x + 2y \frac{dy}{dx} = 2 \left( \frac{x^2+y^2}{2y} \right) \frac{dy}{dx}$.
$2x + 2y \frac{dy}{dx} = \frac{x^2+y^2}{y} \frac{dy}{dx}$.
$y$ से गुणा करने पर:
$2xy + 2y^2 \frac{dy}{dx} = (x^2+y^2) \frac{dy}{dx}$.
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$(x^2+y^2) \frac{dy}{dx} - 2y^2 \frac{dy}{dx} = 2xy$.
$(x^2-y^2) \frac{dy}{dx} = 2xy$.
अतः,$(x^2-y^2) \frac{dy}{dx} - 2xy = 0$ प्राप्त होता है।

(A) माना दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
दिया गया है कि मुख्य अक्ष,लघु अक्ष का दोगुना है,इसलिए $2a = 2(2b)$,जिसका अर्थ है $a = 2b$।
$a = 2b$ को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{x^2}{(2b)^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $\frac{x^2}{4b^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$,या $x^2 + 4y^2 = 4b^2$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{d}{dx}(x^2 + 4y^2) = \frac{d}{dx}(4b^2)$ प्राप्त होता है।
अतः $2x + 8y \frac{dy}{dx} = 0$ होता है।
$2$ से विभाजित करने पर,हमें $x + 4y \frac{dy}{dx} = 0$ प्राप्त होता है।

(B) माना $(h, 0)$ वृत्त का केंद्र है और $r$ त्रिज्या है। वृत्त का समीकरण $(x-h)^2 + y^2 = r^2$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2(x-h) + 2y \frac{dy}{dx} = 0$,जिससे $x-h = -y \frac{dy}{dx}$ प्राप्त होता है।
इस मान को वृत्त के समीकरण में रखने पर: $(-y \frac{dy}{dx})^2 + y^2 = r^2$,अतः $y^2 (\frac{dy}{dx})^2 + y^2 = r^2$।
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2y \frac{dy}{dx} (\frac{dy}{dx})^2 + y^2 (2 \frac{dy}{dx} \frac{d^2y}{dx^2}) + 2y \frac{dy}{dx} = 0$।
$2y \frac{dy}{dx}$ से भाग देने पर: $(\frac{dy}{dx})^2 + y \frac{d^2y}{dx^2} + 1 = 0$।

(B) चूंकि वृत्त मूल बिंदु पर $y$-अक्ष को स्पर्श करते हैं,इसलिए उनके केंद्र $x$-अक्ष पर स्थित होने चाहिए। माना केंद्र $(h, 0)$ है और त्रिज्या $h$ है।
वृत्त का समीकरण $(x-h)^2 + y^2 = h^2$ है,जो सरल होकर $x^2 - 2hx + h^2 + y^2 = h^2$ अर्थात $x^2 + y^2 - 2hx = 0$ $(1)$ हो जाता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $2x + 2y\frac{dy}{dx} - 2h = 0$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $h = x + y\frac{dy}{dx}$ हो जाता है।
$h$ का यह मान समीकरण $(1)$ में रखने पर,हमें $x^2 + y^2 - 2(x + y\frac{dy}{dx})x = 0$ प्राप्त होता है।
इसका विस्तार करने पर,$x^2 + y^2 - 2x^2 - 2xy\frac{dy}{dx} = 0$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $y^2 - x^2 - 2xy\frac{dy}{dx} = 0$ प्राप्त होता है,जो $x^2 - y^2 + 2xy\frac{dy}{dx} = 0$ के बराबर है।

(D) दी गई रेखाओं का कुल: $y = mx + \frac{4}{m}$ $(1)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dy}{dx} = m$
$m$ का मान समीकरण $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$y = \left(\frac{dy}{dx}\right)x + \frac{4}{\left(\frac{dy}{dx}\right)}$
दोनों पक्षों को $\frac{dy}{dx}$ से गुणा करने पर:
$y\left(\frac{dy}{dx}\right) = x\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 + 4$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$x\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 - y\left(\frac{dy}{dx}\right) + 4 = 0$

(A) मूल बिंदु पर शीर्ष और धनात्मक $Y$-अक्ष के अनुदिश अक्ष वाले परवलय का समीकरण $x^2 = 4ay$ है,जहाँ $a > 0$ एक स्वेच्छ अचर है।
अवकल समीकरण ज्ञात करने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$2x = 4a \frac{dy}{dx}$
$\Rightarrow a = \frac{2x}{4(dy/dx)} = \frac{x}{2(dy/dx)}$.
$a$ का मान मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$x^2 = 4 \left( \frac{x}{2(dy/dx)} \right) y$
$x^2 = \frac{2xy}{dy/dx}$
$x^2 \frac{dy}{dx} = 2xy$
$x$ से भाग देने पर (चूंकि $x \neq 0$):
$x \frac{dy}{dx} = 2y$
$x \frac{dy}{dx} - 2y = 0$.

(A) मूल बिंदु $(0,0)$ पर नाभि और $X$-अक्ष पर अक्ष वाले परवलय का समीकरण $y^2 = 4a(x+a)$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2y\frac{dy}{dx} = 4a$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a = \frac{y}{2}\frac{dy}{dx}$।
$a$ का मान मूल समीकरण $y^2 = 4a(x+a)$ में रखने पर:
$y^2 = 4\left(\frac{y}{2}\frac{dy}{dx}\right)\left(x + \frac{y}{2}\frac{dy}{dx}\right)$
$y^2 = 2y\frac{dy}{dx}\left(x + \frac{y}{2}\frac{dy}{dx}\right)$
$y$ से भाग देने पर (मानते हुए कि $y \neq 0$):
$y = 2x\frac{dy}{dx} + y\left(\frac{dy}{dx}\right)^2$
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $y\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 + 2x\frac{dy}{dx} - y = 0$ प्राप्त होता है,जो $-y\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = 2x\frac{dy}{dx} - y$ के बराबर है।

(A) दिया गया समीकरण: $y = A \cos \omega t + B \sin \omega t$
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dt} = -A \omega \sin \omega t + B \omega \cos \omega t$
पुनः $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2y}{dt^2} = -A \omega^2 \cos \omega t - B \omega^2 \sin \omega t$
$-\omega^2$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$\frac{d^2y}{dt^2} = -\omega^2 (A \cos \omega t + B \sin \omega t)$
चूंकि $y = A \cos \omega t + B \sin \omega t$,इसलिए हम समीकरण में $y$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$\frac{d^2y}{dt^2} = -\omega^2 y$
पदों को व्यवस्थित करने पर हमें प्राप्त होता है:
$\frac{d^2y}{dt^2} + \omega^2 y = 0$

(C) $y$-अक्ष के समानांतर अक्ष वाले परवलय का समीकरण $(x-h)^2 = 4a(y-k)$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि अक्ष $y$-अक्ष है,इसलिए शीर्ष $y$-अक्ष पर स्थित है,अतः $h=0$। इस प्रकार,समीकरण $x^2 = 4a(y-k)$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2x = 4a \frac{dy}{dx} \implies 4a = \frac{2x}{dy/dx}$.
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2 = 4a \frac{d^2y}{dx^2}$.
प्रथम अवकलज से $4a$ का मान द्वितीय अवकलज समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$2 = \left( \frac{2x}{dy/dx} \right) \frac{d^2y}{dx^2}$.
सरल करने पर:
$1 = \frac{x}{dy/dx} \cdot \frac{d^2y}{dx^2}$
$\implies \frac{dy}{dx} = x \frac{d^2y}{dx^2}$
$\implies x \frac{d^2y}{dx^2} - \frac{dy}{dx} = 0$.

(D) $x$-अंतःखंड $a$ और $y$-अंतःखंड $b$ वाली रेखा का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ है।
$ab$ से गुणा करने पर,हमें $bx + ay = ab$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$b + a \frac{dy}{dx} = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $\frac{dy}{dx} = -\frac{b}{a}$।
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,चूंकि $-\frac{b}{a}$ एक स्थिरांक है,हमें $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 0$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया समीकरण $y^{2}=(2 x+c)^{5}$ ...$(i)$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2 y \frac{dy}{dx} = 5(2 x+c)^{4} \times 2$
$y \frac{dy}{dx} = 5(2 x+c)^{4}$
इससे,हम $(2 x+c)$ का मान ज्ञात करते हैं:
$(2 x+c)^{4} = \frac{y}{5} \frac{dy}{dx}$
$(2 x+c) = \left(\frac{y}{5} \frac{dy}{dx}\right)^{1/4}$
इस मान को समीकरण $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$y^{2} = \left[\left(\frac{y}{5} \frac{dy}{dx}\right)^{1/4}\right]^{5}$
$y^{2} = \left(\frac{y}{5} \frac{dy}{dx}\right)^{5/4}$
दोनों पक्षों की घात $4$ करने पर:
$(y^{2})^{4} = \left(\frac{y}{5} \frac{dy}{dx}\right)^{5}$
$y^{8} = \frac{y^{5}}{5^{5}} \left(\frac{dy}{dx}\right)^{5}$
$y^{8} = \frac{y^{5}}{3125} \left(\frac{dy}{dx}\right)^{5}$
$y^{5}$ से भाग देने पर ($y \neq 0$ मानते हुए):
$y^{3} = \frac{1}{3125} \left(\frac{dy}{dx}\right)^{5}$
$3125 y^{3} = \left(\frac{dy}{dx}\right)^{5}$
$\left(\frac{dy}{dx}\right)^{5} - 3125 y^{3} = 0$

(D) दिया गया है $y = e^{ax}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,हमें प्राप्त होता है $\log y = \log(e^{ax})$.
चूंकि $\log(e^{ax}) = ax$,इसलिए $\log y = ax$ ...$(1)$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = a$.
अब,अवकलज से प्राप्त $a$ का मान समीकरण $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\log y = \left( \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} \right) x$.
दोनों पक्षों को $y$ से गुणा करने पर,हमें $y \log y = x \frac{dy}{dx}$ प्राप्त होता है,जो कि $x \frac{dy}{dx} = y \log y$ है।

(A) दिया गया समीकरण: $\tan^{-1} x + \tan^{-1} y = c$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(\tan^{-1} x) + \frac{d}{dx}(\tan^{-1} y) = \frac{d}{dx}(c)$
$\frac{1}{1+x^2} + \frac{1}{1+y^2} \cdot \frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{dy}{dx}$ के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{1}{1+y^2} \cdot \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{1+x^2}$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{1+y^2}{1+x^2}$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) दिया गया समीकरण $y = mx + \frac{2}{m} \dots (1)$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{dy}{dx} = m$ प्राप्त होता है।
समीकरण $(1)$ में $m = \frac{dy}{dx}$ का मान रखने पर:
$y = x \left(\frac{dy}{dx}\right) + \frac{2}{\frac{dy}{dx}}$
दोनों पक्षों को $\frac{dy}{dx}$ से गुणा करने पर:
$y \left(\frac{dy}{dx}\right) = x \left(\frac{dy}{dx}\right)^{2} + 2$.

(A) दिया गया है $y=e^{x}(A \cos x+B \sin x)$ ... $(1)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = e^{x}(A \cos x + B \sin x) + e^{x}(-A \sin x + B \cos x)$
$\frac{dy}{dx} = y + e^{x}(-A \sin x + B \cos x)$ ... $(2)$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{dy}{dx} + e^{x}(-A \sin x + B \cos x) + e^{x}(-A \cos x - B \sin x)$
समीकरण $(2)$ से $e^{x}(-A \sin x + B \cos x) = \frac{dy}{dx} - y$ रखने पर:
$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{dy}{dx} + (\frac{dy}{dx} - y) - e^{x}(A \cos x + B \sin x)$
चूँकि $e^{x}(A \cos x + B \sin x) = y$ है:
$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = 2\frac{dy}{dx} - y - y$
$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} - 2\frac{dy}{dx} + 2y = 0$

(B) दिया गया फलन $y = a(x-a)^{2} \quad ...(1)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = 2a(x-a) \quad ...(2)$
समीकरण $(2)$ से,$a = \frac{1}{2} \frac{dy/dx}{x-a}$. इस मान को $(1)$ में रखने पर:
$y = \frac{1}{2} \frac{dy/dx}{x-a} (x-a)^2 = \frac{1}{2} (x-a) \frac{dy}{dx}$
अतः,$(x-a) = \frac{2y}{dy/dx}$.
इस मान को $(2)$ में रखने पर:
$\frac{dy}{dx} = 2a \left( \frac{2y}{dy/dx} \right) \implies a = \frac{(dy/dx)^2}{4y}$.
अब,$a$ और $(x-a)$ के मान को $y = a(x-a)^2$ में रखने पर:
$y = \left( \frac{(dy/dx)^2}{4y} \right) \left( \frac{2y}{dy/dx} \right)^2$
अवकल समीकरण प्राप्त करने के लिए $a$ का विलोपन करने पर,हमें $8y^3 = (y')^2 (2x - y')$ प्राप्त होता है। अतः विकल्प $B$ सही है।

(B) मान लीजिए कि वृत्त का केंद्र $(h, 8)$ है।
चूंकि वृत्त $X$-अक्ष को स्पर्श करता है,इसलिए इसकी त्रिज्या $r = 8$ है।
वृत्त का समीकरण $(x-h)^{2} + (y-8)^{2} = 8^{2} = 64$ ... $(1)$ है।
समीकरण $(1)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2(x-h) + 2(y-8) \frac{d y}{d x} = 0$
$(x-h) = -(y-8) \frac{d y}{d x}$
$(x-h)$ का मान समीकरण $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$[-(y-8) \frac{d y}{d x}]^{2} + (y-8)^{2} = 64$
$(y-8)^{2} (\frac{d y}{d x})^{2} + (y-8)^{2} = 64$
$(y-8)^{2} [1 + (\frac{d y}{d x})^{2}] = 64$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) केंद्र $(h, k)$ और त्रिज्या $r$ वाले वृत्त का समीकरण $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ केंद्र $A(-1, 2)$ दिया गया है,इसलिए समीकरण $(x - (-1))^2 + (y - 2)^2 = r^2$ होगा।
इसका विस्तार करने पर,$(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = r^2$ प्राप्त होता है।
$x^2 + 2x + 1 + y^2 - 4y + 4 = r^2$.
$x^2 + y^2 + 2x - 4y + 5 - r^2 = 0$.
माना $c = 5 - r^2$,जहाँ $c$ एक स्वेच्छ अचर है।
अतः,व्यापक हल $x^2 + y^2 + 2x - 4y + c = 0$ है।

(A) $y$-अक्ष पर अक्ष वाले परवलय का सामान्य समीकरण $(x - 0)^2 = 4a(y - k)$ है,जहाँ $a$ और $k$ स्वेच्छ अचर हैं।
इसे सरल करने पर $x^2 = 4ay - 4ak$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2x = 4a \frac{dy}{dx}$
$\Rightarrow x = 2a \frac{dy}{dx}$
$\Rightarrow \frac{1}{2a} = \frac{1}{x} \frac{dy}{dx}$
स्वेच्छ अचर $a$ को हटाने के लिए पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x} \cdot \frac{dy}{dx} \right) = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{2a} \right)$
बाएँ पक्ष में गुणन नियम का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{x} \cdot \frac{d^2y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} \left( - \frac{1}{x^2} \right) = 0$
पूरे समीकरण को $x^2$ से गुणा करने पर:
$x \frac{d^2y}{dx^2} - \frac{dy}{dx} = 0$

(B) चूंकि वृत्त मूल बिंदु पर $y$-अक्ष को स्पर्श करता है,इसलिए इसका केंद्र $x$-अक्ष पर स्थित होना चाहिए। मान लीजिए केंद्र $(a, 0)$ है और त्रिज्या $a$ है।
वृत्त का समीकरण $(x-a)^2 + (y-0)^2 = a^2$ है।
इसका विस्तार करने पर,$x^2 - 2ax + a^2 + y^2 = a^2$,जो सरल होकर $x^2 + y^2 - 2ax = 0$ ... $(i)$ हो जाता है।
समीकरण $(i)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2x + 2y \frac{dy}{dx} - 2a = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $2a = 2x + 2y \frac{dy}{dx}$ ... $(ii)$।
समीकरण $(ii)$ से $2a$ का मान $(i)$ में रखने पर,$x^2 + y^2 - x(2x + 2y \frac{dy}{dx}) = 0$ प्राप्त होता है।
यह सरल होकर $x^2 + y^2 - 2x^2 - 2xy \frac{dy}{dx} = 0$ हो जाता है।
अतः,अवकल समीकरण $x^2 - y^2 + 2xy \frac{dy}{dx} = 0$ है।

(B) दिया गया समीकरण $(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=a^{2}$ है ... $(i)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2(x-h) + 2(y-k) \frac{dy}{dx} = 0$
$(x-h) + (y-k) \frac{dy}{dx} = 0$ ... (ii)
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^{2} + (y-k) \frac{d^{2}y}{dx^{2}} = 0$
$(y-k) = -\frac{1 + (dy/dx)^{2}}{d^{2}y/dx^{2}}$ ... (iii)
(ii) से,$(x-h) = -(y-k) \frac{dy}{dx}$. इसमें (iii) का मान रखने पर:
$(x-h) = \frac{[1 + (dy/dx)^{2}]}{d^{2}y/dx^{2}} \cdot \frac{dy}{dx}$ ... (iv)
$(i)$ में (iii) और (iv) का मान रखने पर:
$\left[ \frac{[1 + (dy/dx)^{2}] \cdot (dy/dx)}{d^{2}y/dx^{2}} \right]^{2} + \left[ -\frac{1 + (dy/dx)^{2}}{d^{2}y/dx^{2}} \right]^{2} = a^{2}$
$\frac{[1 + (dy/dx)^{2}]^{2}}{ (d^{2}y/dx^{2})^{2} } \left[ (dy/dx)^{2} + 1 \right] = a^{2}$
$\left[1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}\right]^{3} = a^{2} \left(\frac{d^{2}y}{dx^{2}}\right)^{2}$

(A) मूल बिंदु से गुजरने वाले और $y$-अक्ष पर केंद्र वाले वृत्त का सामान्य समीकरण $x^{2} + (y-a)^{2} = a^{2}$ है,जहाँ $a$ एक स्वेच्छ अचर है।
इसका विस्तार करने पर,$x^{2} + y^{2} - 2ay + a^{2} = a^{2}$,जो सरल होकर $x^{2} + y^{2} - 2ay = 0$ हो जाता है।
स्वेच्छ अचर $a$ को हटाने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$2x + 2y \frac{dy}{dx} - 2a \frac{dy}{dx} = 0$.
$2$ से भाग देने पर,$x + y \frac{dy}{dx} - a \frac{dy}{dx} = 0$,जिसका अर्थ है $a = \frac{x + y \frac{dy}{dx}}{\frac{dy}{dx}} = x \frac{dx}{dy} + y$.
$a$ का मान मूल समीकरण $x^{2} + y^{2} = 2ay$ में रखने पर:
$x^{2} + y^{2} = 2(x \frac{dx}{dy} + y)y = 2xy \frac{dx}{dy} + 2y^{2}$.
पुनर्व्यवस्थित करने पर,$x^{2} - y^{2} = 2xy \frac{dx}{dy}$.
चूँकि $\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}}$,इसलिए $x^{2} - y^{2} = \frac{2xy}{\frac{dy}{dx}}$.
अतः,$(x^{2} - y^{2}) \frac{dy}{dx} = 2xy$,या $(x^{2} - y^{2}) \frac{dy}{dx} - 2xy = 0$.

(D) $x$-अक्ष पर केंद्र वाले वृत्तों के परिवार का सामान्य समीकरण $(x-a)^2 + y^2 = r^2$ है।
इस समीकरण में दो स्वेच्छ अचर $a$ और $r$ हैं,इसलिए इसका दो बार अवकलन करने पर अवकल समीकरण प्राप्त होता है।
प्रथम अवकलन करने पर: $2(x-a) + 2y \frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow x-a = -y \frac{dy}{dx}$।
पुनः अवकलन करने पर: $1 - ((\frac{dy}{dx})^2 + y \frac{d^2y}{dx^2}) = 0$।
इसे सरल करने पर $y \frac{d^2y}{dx^2} + (\frac{dy}{dx})^2 + 1 = 0$ प्राप्त होता है।

(B) दी गई रेखाओं का कुल: $y = mx + \frac{4}{m}$ $(i)$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = m$
समीकरण $(i)$ में $m = \frac{dy}{dx}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$y = x\left(\frac{dy}{dx}\right) + \frac{4}{\frac{dy}{dx}}$
हर को हटाने के लिए पूरे समीकरण को $\frac{dy}{dx}$ से गुणा करने पर:
$y\left(\frac{dy}{dx}\right) = x\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2} + 4$
पदों को व्यवस्थित करने पर हमें अभीष्ट अवकल समीकरण प्राप्त होता है:
$x\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2} - y\frac{dy}{dx} + 4 = 0$
अतः,अभीष्ट अवकल समीकरण $x\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2} - y\frac{dy}{dx} + 4 = 0$ है।

(D) $y$-अक्ष के समांतर अक्ष वाले परवलय का सामान्य समीकरण $(x-h)^{2} = 4a(y-k)$ है,जहाँ $h, k,$ और $a$ स्वेच्छ अचर हैं।
चूँकि इसमें $3$ स्वेच्छ अचर हैं,हमें समीकरण का $3$ बार अवकलन करना होगा।
माना $(x-h)^{2} = A(y-k)$,जहाँ $A = 4a$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2(x-h) = A y_{1}$।
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2 = A y_{2}$।
तीसरी बार $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $0 = A y_{3}$।
चूँकि $A = 4a \neq 0$,इसलिए $y_{3} = 0$ प्राप्त होता है।
दिए गए विकल्पों में से कोई भी $y_{3} = 0$ से मेल नहीं खाता है।

(B) दिया गया समीकरण $y=c^{2}+\frac{c}{x}$ है।
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{d y}{d x} = -\frac{c}{x^{2}}$
इससे,हम $c$ को $x$ और $\frac{d y}{d x}$ के पदों में लिख सकते हैं:
$c = -x^{2} \frac{d y}{d x}$
अब,$c$ के इस मान को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$y = (-x^{2} \frac{d y}{d x})^{2} + \frac{-x^{2} \frac{d y}{d x}}{x}$
$y = x^{4} (\frac{d y}{d x})^{2} - x \frac{d y}{d x}$
पदों को व्यवस्थित करने पर हमें अवकल समीकरण प्राप्त होता है:
$x^{4} (\frac{d y}{d x})^{2} - x \frac{d y}{d x} - y = 0$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) दिया गया है $y=e^x(a+bx+x^2)$।
सबसे पहले,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = e^x(a+bx+x^2) + e^x(b+2x)$
$\frac{dy}{dx} = y + e^x(b+2x) \quad ...(i)$
अब,पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{dy}{dx} + e^x(b+2x) + e^x(2)$
समीकरण $(i)$ से $e^x(b+2x) = \frac{dy}{dx} - y$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{dy}{dx} + (\frac{dy}{dx} - y) + 2e^x$
$\frac{d^2 y}{dx^2} = 2\frac{dy}{dx} - y + 2e^x$
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{d^2 y}{dx^2} - 2\frac{dy}{dx} - 2e^x + y = 0$.

(C) मूल बिंदु से गुजरने वाले और $X$-अक्ष पर केंद्र वाले वृत्त का सामान्य समीकरण $(x-a)^2 + (y-0)^2 = a^2$ है,जहाँ $(a, 0)$ केंद्र है और $a$ त्रिज्या है।
इसका विस्तार करने पर,हमें $x^2 - 2ax + a^2 + y^2 = a^2$ प्राप्त होता है,जो $x^2 + y^2 - 2ax = 0 ... (i)$ के रूप में सरल हो जाता है।
समीकरण $(i)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2x + 2y \frac{dy}{dx} - 2a = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $2a = 2x + 2y \frac{dy}{dx} ... (ii)$।
समीकरण $(ii)$ से $2a$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर,हमें $x^2 + y^2 - x(2x + 2y \frac{dy}{dx}) = 0$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर,$x^2 + y^2 - 2x^2 - 2xy \frac{dy}{dx} = 0$।
अतः,$y^2 - x^2 - 2xy \frac{dy}{dx} = 0$,जो $y^2 = x^2 + 2xy \frac{dy}{dx}$ देता है।

(D) दी गई रेखा $5x + 2y + 7 = 0$ है।
इसका ढाल $m_1 = -\frac{5}{2}$ है।
इस रेखा के लंबवत किसी भी रेखा का ढाल $m_2 = -\frac{1}{m_1} = \frac{2}{5}$ होगा।
$\frac{2}{5}$ ढाल वाली रेखाओं के परिवार का समीकरण $y = \frac{2}{5}x + c$ है,जिसे $2x - 5y + 5c = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
मान लीजिए $5c = k$,तो समीकरण $2x - 5y + k = 0$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $2 - 5\frac{dy}{dx} = 0$ प्राप्त होता है।
$dx$ से गुणा करने पर,हमें $2dx - 5dy = 0$ प्राप्त होता है,या $5dy - 2dx = 0$।

(D) दिया गया व्यापक हल: $A x^2+B y^2=1$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2 A x + 2 B y \frac{d y}{d x} = 0 \implies A x + B y \frac{d y}{d x} = 0 \dots (i)$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$A + B \left[ \left( \frac{d y}{d x} \right)^2 + y \frac{d^2 y}{d x^2} \right] = 0 \dots (ii)$
$(i)$ से,$A = -\frac{B y}{x} \frac{d y}{d x}$। इस मान को $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$-\frac{B y}{x} \frac{d y}{d x} + B \left( \frac{d y}{d x} \right)^2 + B y \frac{d^2 y}{d x^2} = 0$
$B$ से भाग देने पर ($B \neq 0$ मानते हुए):
$-\frac{y}{x} \frac{d y}{d x} + \left( \frac{d y}{d x} \right)^2 + y \frac{d^2 y}{d x^2} = 0$
$x$ से गुणा करने पर:
$-y \frac{d y}{d x} + x \left( \frac{d y}{d x} \right)^2 + x y \frac{d^2 y}{d x^2} = 0$
अतः,$x y \frac{d^2 y}{d x^2} + x \left( \frac{d y}{d x} \right)^2 - y \frac{d y}{d x} = 0$।

(B) दिया गया व्यापक हल: $y = c_{1} \cos(ax) + c_{2} \sin(ax)$.
सबसे पहले,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dy}{dx} = -a c_{1} \sin(ax) + a c_{2} \cos(ax)$.
इसके बाद,पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = -a^{2} c_{1} \cos(ax) - a^{2} c_{2} \sin(ax)$.
$-a^{2}$ को कॉमन लेने पर: $\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = -a^{2} (c_{1} \cos(ax) + c_{2} \sin(ax))$.
चूंकि $y = c_{1} \cos(ax) + c_{2} \sin(ax)$,इसलिए $y$ का मान रखने पर: $\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = -a^{2} y$.
अतः,$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} + a^{2} y = 0$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया फलन $y = e^{4x} + 2e^{-x}$ है।
प्रथम अवकलज ज्ञात करने पर: $\frac{dy}{dx} = 4e^{4x} - 2e^{-x}$.
द्वितीय अवकलज ज्ञात करने पर: $\frac{d^2y}{dx^2} = 16e^{4x} + 2e^{-x}$.
इन मानों को दिए गए समीकरण $\frac{d^2y}{dx^2} + A\frac{dy}{dx} + By = 0$ में रखने पर:
$(16e^{4x} + 2e^{-x}) + A(4e^{4x} - 2e^{-x}) + B(e^{4x} + 2e^{-x}) = 0$.
$e^{4x}$ और $e^{-x}$ के पदों को समूहित करने पर:
$(16 + 4A + B)e^{4x} + (2 - 2A + 2B)e^{-x} = 0$.
चूंकि यह सभी $x$ के लिए सत्य है,इसलिए गुणांक शून्य होने चाहिए:
$16 + 4A + B = 0$ (समीकरण $1$)
$2 - 2A + 2B = 0 \Rightarrow 1 - A + B = 0 \Rightarrow B = A - 1$ (समीकरण $2$)
समीकरण $2$ से $B = A - 1$ का मान समीकरण $1$ में रखने पर:
$16 + 4A + (A - 1) = 0 \Rightarrow 5A + 15 = 0 \Rightarrow A = -3$.
अतः $B = -3 - 1 = -4$.
इस प्रकार,$A = -3$ और $B = -4$ प्राप्त होते हैं।

(A) मूल बिंदु से गुजरने वाले और $x$-अक्ष पर केंद्र वाले वृत्त का सामान्य समीकरण $x^{2} + y^{2} - 2hx = 0$ है,जहाँ $h$ एक प्राचल है।
इस समीकरण से,हमें $2h = \frac{x^{2} + y^{2}}{x}$ प्राप्त होता है।
समीकरण $x^{2} + y^{2} - 2hx = 0$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2x + 2y \frac{dy}{dx} - 2h = 0$.
पहले समीकरण से $2h$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$2x + 2y \frac{dy}{dx} - \left( \frac{x^{2} + y^{2}}{x} \right) = 0$.
पूरे समीकरण को $x$ से गुणा करने पर:
$2x^{2} + 2xy \frac{dy}{dx} - x^{2} - y^{2} = 0$.
व्यंजक को सरल करने पर:
$x^{2} - y^{2} + 2xy \frac{dy}{dx} = 0$,जिसे $y^{2} = x^{2} + 2xy \frac{dy}{dx}$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(A) सरल रेखा का समीकरण जिसका ढाल $m$ और $y$-अंतःखंड $c$ है,$y = mx + c$ होता है।
दिया गया है कि ढाल $y$-अंतःखंड के बराबर है,अतः $m = c$ है।
इसे समीकरण में रखने पर,$y = cx + c = c(x+1)$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = c$ प्राप्त होता है।
$c$ का मान पहले समीकरण से प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x+1}$ प्राप्त होता है।
अतः,$(x+1) \frac{dy}{dx} - y = 0$ अभीष्ट अवकल समीकरण है।

(A) दिया गया समीकरण: $c_{1} y = (c_{2} + c_{3}) e^{x + c_{4}}$
अचरों को समूहित करने पर: $y = \left( \frac{c_{2} + c_{3}}{c_{1}} \right) e^{c_{4}} \cdot e^{x}$
माना $C = \left( \frac{c_{2} + c_{3}}{c_{1}} \right) e^{c_{4}}$,जहाँ $C$ एक स्वेच्छ अचर है।
अतः,समीकरण $y = C e^{x}$ बन जाता है।
चूँकि यहाँ केवल एक स्वतंत्र स्वेच्छ अचर $C$ है,इसलिए इसे विलुप्त करने पर प्राप्त अवकल समीकरण की कोटि $1$ होगी।
$y = C e^{x}$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = C e^{x}$ प्राप्त होता है।
$y = C e^{x}$ को अवकलज में प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{dy}{dx} = y$ प्राप्त होता है।
यह प्रथम कोटि का अवकल समीकरण है,अतः इसकी कोटि $1$ है।

(B) वक्रों का दिया गया परिवार $y=ax+\frac{1}{a}$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx}=a$ प्राप्त होता है।
$a=\frac{dy}{dx}$ को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,$y=x\left(\frac{dy}{dx}\right)+\frac{1}{\frac{dy}{dx}}$ प्राप्त होता है।
$\frac{dy}{dx}$ से गुणा करने पर,$y\left(\frac{dy}{dx}\right)=x\left(\frac{dy}{dx}\right)^2+1$ प्राप्त होता है,जो $x\left(\frac{dy}{dx}\right)^2-y\left(\frac{dy}{dx}\right)+1=0$ है।
इस अवकल समीकरण की कोटि $m=1$ और घात $r=2$ है।
अतः,$r+m = 2+1 = 3$ है।
दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx}=\frac{y}{2x}$ है।
चरों को पृथक करने पर,$\frac{dy}{y}=\frac{dx}{2x}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\ln|y|=\frac{1}{2}\ln|x|+C$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $y^2=kx$।
प्रतिबंध $y(1)=\sqrt{r+m}=\sqrt{3}$ का उपयोग करने पर,$(\sqrt{3})^2=k(1)$ प्राप्त होता है,इसलिए $k=3$ है।
अतः,हल $y^2=3x$ है।

(A) अवकल समीकरण की कोटि वक्रों के कुल के सामान्य समीकरण में मौजूद स्वेच्छ अचरों (arbitrary constants) की संख्या के बराबर होती है।
विकल्प $A$ के लिए,मूल बिंदु से गुजरने वाले वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy = 0$ है।
यहाँ,$g$ और $f$ दो स्वतंत्र स्वेच्छ अचर हैं।
चूंकि इसमें $2$ स्वेच्छ अचर हैं,इसलिए बनने वाला अवकल समीकरण $2$ कोटि का होगा।
विकल्प $B$ के लिए,समीकरण $y^2 = 4a(x-h)$ है,जिसमें दो अचर हैं,लेकिन मूल बिंदु से गुजरने और नाभि के $x$-अक्ष पर होने की शर्त इसे सीमित करती है।
विकल्प $C$ के लिए,समीकरण $y = mx$ है,जिसमें केवल $1$ स्वेच्छ अचर है।
विकल्प $D$ के लिए,समीकरण $x^2 - y^2 = k^2$ में केवल $1$ स्वेच्छ अचर $k$ है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) दिया गया समीकरण: $y=c_1 e^x+c_2 e^{\log _{e} x}+c_3 \sin ^2 x-c_4\left(\cos ^2 x-1\right)$
$e^{\log _{e} x} = x$ और $\cos^2 x - 1 = -\sin^2 x$ गुणधर्म का उपयोग करके,हम सरल करते हैं:
$y = c_1 e^x + c_2 x + c_3 \sin^2 x - c_4(-\sin^2 x)$
$y = c_1 e^x + c_2 x + (c_3 + c_4) \sin^2 x$
मान लीजिए $C = c_3 + c_4$. तब समीकरण इस प्रकार हो जाता है:
$y = c_1 e^x + c_2 x + C \sin^2 x$
इस समीकरण में $3$ स्वतंत्र स्वेच्छ अचर $(c_1, c_2, C)$ हैं।
अवकल समीकरण की कोटि उसके व्यापक हल में मौजूद स्वतंत्र स्वेच्छ अचरों की संख्या के बराबर होती है।
चूंकि यहाँ $3$ स्वतंत्र अचर हैं,इसलिए अवकल समीकरण की कोटि $3$ है।

(B) दिया गया हल $y = a e^{2x} + b x e^{2x} + C$ है ...$(i)$
यहाँ,$a$ और $b$ स्वेच्छ अचर हैं,जबकि $C$ एक निश्चित अचर है।
अवकल समीकरण की कोटि उसके व्यापक हल में मौजूद स्वेच्छ अचरों की संख्या के बराबर होती है।
चूंकि यहाँ दो स्वेच्छ अचर ($a$ और $b$) हैं,इसलिए अवकल समीकरण की कोटि $2$ है।
सत्यापन के लिए,हम $y$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$y_1 = 2a e^{2x} + b(e^{2x} + 2x e^{2x}) = (2a + b)e^{2x} + 2bx e^{2x}$ ...(ii)
$y_2 = 2(2a + b)e^{2x} + 2b(e^{2x} + 2x e^{2x}) = (4a + 4b)e^{2x} + 4bx e^{2x}$ ...(iii)
इन समीकरणों से $a$ और $b$ को विलुप्त करने पर,हमें द्वितीय कोटि का अवकल समीकरण प्राप्त होता है।

(B) मूल बिंदु से $P$ इकाई की दूरी पर स्थित एक सीधी रेखा का समीकरण $x \cos \alpha + y \sin \alpha = P$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\cos \alpha + \frac{dy}{dx} \sin \alpha = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = -\cot \alpha$।
इससे,$\cos \alpha = -\frac{dy/dx}{\sqrt{1+(dy/dx)^2}}$ और $\sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{1+(dy/dx)^2}}$ प्राप्त होता है।
इन मानों को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $x \left( -\frac{dy/dx}{\sqrt{1+(dy/dx)^2}} \right) + y \left( \frac{1}{\sqrt{1+(dy/dx)^2}} \right) = P$।
यह $y - x \frac{dy}{dx} = P \sqrt{1 + (\frac{dy}{dx})^2}$ में सरल हो जाता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(y - x \frac{dy}{dx})^2 = P^2 (1 + (\frac{dy}{dx})^2)$ प्राप्त होता है।
यहाँ उच्चतम अवकलज $\frac{dy}{dx}$ है,इसलिए कोटि $l = 1$ है।
अवकलज $\frac{dy}{dx}$ की उच्चतम घात $2$ है,इसलिए घात $m = 2$ है।
अतः,$l m^2 + l^2 m = (1)(2^2) + (1^2)(2) = 4 + 2 = 6$।