Formation of differential equations Questions in Hindi

दिया गया फलन $y=a \cos x+b \sin x$ है $(1)$.
समीकरण $(1)$ के दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{d y}{d x} = -a \sin x + b \cos x$.
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = -a \cos x - b \sin x$.
अब,$\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ और $y$ के मानों को दिए गए अवकल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$L.H.S. = \frac{d^{2} y}{d x^{2}} + y = (-a \cos x - b \sin x) + (a \cos x + b \sin x)$.
व्यंजक को सरल करने पर:
$L.H.S. = -a \cos x - b \sin x + a \cos x + b \sin x = 0$.
चूंकि $L.H.S. = R.H.S. = 0$,अतः दिया गया फलन अवकल समीकरण का एक हल है।

(A) दिया गया फलन: $y=e^{x}+1$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(e^{x}+1)$
$\Rightarrow y^{\prime} = e^{x}$ --- $(1)$
अब,समीकरण $(1)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{d}{dx}(y^{\prime}) = \frac{d}{dx}(e^{x})$
$\Rightarrow y^{\prime \prime} = e^{x}$
दिए गए अवकल समीकरण $y^{\prime \prime}-y^{\prime}=0$ में $y^{\prime \prime}$ और $y^{\prime}$ के मान रखने पर:
$L.H.S. = y^{\prime \prime}-y^{\prime} = e^{x} - e^{x} = 0$
$R.H.S. = 0$
चूंकि $L.H.S. = R.H.S.$,अतः दिया गया फलन अवकल समीकरण का हल है।

(N/A) दिया गया फलन: $y = x^{2} + 2x + C$
इस समीकरण के दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$y' = \frac{d}{dx}(x^{2} + 2x + C)$
$y' = 2x + 2$
अब,$y'$ का मान दिए गए अवकल समीकरण $y' - 2x - 2 = 0$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$L.H.S. = y' - 2x - 2$
$L.H.S. = (2x + 2) - 2x - 2$
$L.H.S. = 2x - 2x + 2 - 2 = 0$
$L.H.S. = R.H.S.$
चूँकि $L.H.S.$ का मान $R.H.S.$ के बराबर है,अतः दिया गया फलन अवकल समीकरण का एक हल है।

(N/A) दिया गया फलन: $y = \cos x + C$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$y^{\prime} = \frac{d}{dx}(\cos x + C)$
$y^{\prime} = -\sin x$
अब,$y^{\prime}$ का मान दिए गए अवकल समीकरण $y^{\prime} + \sin x = 0$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$L.H.S. = y^{\prime} + \sin x$
$L.H.S. = -\sin x + \sin x$
$L.H.S. = 0$
चूंकि $L.H.S. = R.H.S.$,अतः दिया गया फलन $y = \cos x + C$ अवकल समीकरण $y^{\prime} + \sin x = 0$ का हल है।

दिया गया फलन: $y=\sqrt{1+x^{2}}$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y^{\prime}=\frac{d}{dx}(\sqrt{1+x^{2}})$
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करने पर:
$y^{\prime}=\frac{1}{2\sqrt{1+x^{2}}} \cdot \frac{d}{dx}(1+x^{2})$
$y^{\prime}=\frac{1}{2\sqrt{1+x^{2}}} \cdot (2x)$
$y^{\prime}=\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}$
अब,दाहिने पक्ष को $\sqrt{1+x^{2}}$ से गुणा और भाग करने पर:
$y^{\prime}=\frac{x \cdot \sqrt{1+x^{2}}}{\sqrt{1+x^{2}} \cdot \sqrt{1+x^{2}}}$
$y^{\prime}=\frac{x \cdot y}{1+x^{2}}$
चूंकि अवकलज दिए गए अवकल समीकरण से मेल खाता है,इसलिए फलन $y=\sqrt{1+x^{2}}$ वास्तव में एक हल है।

(A) दिया गया फलन: $y = Ax$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$y' = \frac{d}{dx}(Ax) = A$
अब,$y$ और $y'$ के मानों को दिए गए अवकल समीकरण $xy' = y$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$L.H.S. = xy' = x(A) = Ax$
$R.H.S. = y = Ax$
चूंकि $L.H.S. = R.H.S.$,अतः दिया गया फलन $y = Ax$ अवकल समीकरण $xy' = y$ का हल है।

(A) दिया गया फलन: $xy = \log y + C$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(xy) = \frac{d}{dx}(\log y + C)$
बाईं ओर गुणन नियम और दाईं ओर श्रृंखला नियम का उपयोग करने पर:
$y \cdot \frac{d}{dx}(x) + x \cdot \frac{dy}{dx} = \frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} + 0$
$y + xy' = \frac{1}{y} y'$
भिन्न को हटाने के लिए पूरे समीकरण को $y$ से गुणा करने पर:
$y^2 + xyy' = y'$
$y'$ को अलग करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$y^2 = y' - xyy'$
$y^2 = y'(1 - xy)$
अतः,$y' = \frac{y^2}{1 - xy}$ (जहाँ $xy \neq 1$ है)।
चूँकि दिए गए फलन का अवकलज अवकल समीकरण से मेल खाता है,इसलिए यह फलन वास्तव में एक हल है।

दिया गया फलन: $x+y=\tan ^{-1} y$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(x+y) = \frac{d}{dx}(\tan^{-1} y)$
$1 + y^{\prime} = \frac{1}{1+y^2} y^{\prime}$
$y^{\prime}$ के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$1 = y^{\prime} \left( \frac{1}{1+y^2} - 1 \right)$
$1 = y^{\prime} \left( \frac{1 - (1+y^2)}{1+y^2} \right)$
$1 = y^{\prime} \left( \frac{-y^2}{1+y^2} \right)$
$y^{\prime} = -\frac{1+y^2}{y^2}$
अब,$y^{\prime}$ का मान अवकल समीकरण $y^2 y^{\prime} + y^2 + 1 = 0$ के बाएँ पक्ष $(L.H.S.)$ में रखने पर:
$L.H.S. = y^2 \left( -\frac{1+y^2}{y^2} \right) + y^2 + 1$
$L.H.S. = -(1+y^2) + y^2 + 1$
$L.H.S. = -1 - y^2 + y^2 + 1 = 0$
चूंकि $L.H.S. = R.H.S.$,अतः दिया गया फलन अवकल समीकरण का हल है।

(B) दिया गया वक्रों का कुल:
$y = mx$ ............$(1)$
समीकरण $(1)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dy}{dx} = m$
इस अवकलज से $m$ का मान समीकरण $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$y = (\frac{dy}{dx}) \cdot x$
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x \frac{dy}{dx} - y = 0$
यह समीकरण स्वेच्छ अचर $m$ से मुक्त है,और इसलिए,यह अभीष्ट अवकल समीकरण है।

(A) वक्रों के कुल का दिया गया समीकरण:
$y = a \sin(x + b)$ --- $(1)$
समीकरण $(1)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = a \cos(x + b)$ --- $(2)$
समीकरण $(2)$ का पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = -a \sin(x + b)$ --- $(3)$
समीकरण $(1)$ से,हम जानते हैं कि $a \sin(x + b) = y$ है। इस मान को समीकरण $(3)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = -y$
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें अभीष्ट अवकल समीकरण प्राप्त होता है:
$\frac{d^2y}{dx^2} + y = 0$

(N/A) $x$-अक्ष पर नाभियों और मूलबिंदु पर केंद्र वाले दीर्घवृत्तों के परिवार का समीकरण इस प्रकार है:
$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ............$(1)$
समीकरण $(1)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{2x}{a^{2}} + \frac{2y}{b^{2}} \frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{x}{a^{2}} + \frac{y}{b^{2}} \frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{y}{b^{2}} \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{a^{2}}$
$\frac{y}{x} \frac{dy}{dx} = -\frac{b^{2}}{a^{2}}$ ............$(2)$
गुणन नियम का उपयोग करके समीकरण $(2)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx} \left( \frac{y}{x} \frac{dy}{dx} \right) = \frac{d}{dx} \left( -\frac{b^{2}}{a^{2}} \right)$
$\left( \frac{y}{x} \right) \frac{d^{2}y}{dx^{2}} + \left( \frac{dy}{dx} \right) \frac{d}{dx} \left( \frac{y}{x} \right) = 0$
$\left( \frac{y}{x} \right) \frac{d^{2}y}{dx^{2}} + \left( \frac{dy}{dx} \right) \left( \frac{x \frac{dy}{dx} - y}{x^{2}} \right) = 0$
$x^{2}$ से गुणा करने पर:
$xy \frac{d^{2}y}{dx^{2}} + x \left( \frac{dy}{dx} \right)^{2} - y \frac{dy}{dx} = 0$
यह अभीष्ट अवकल समीकरण है.

(N/A) माना $C$ मूलबिंदु पर $x$-अक्ष को स्पर्श करने वाले वृत्तों के कुल को दर्शाता है। माना $(0, a)$ कुल के किसी भी सदस्य के केंद्र के निर्देशांक हैं।
अतः,कुल $C$ का समीकरण है
$x^{2} + (y - a)^{2} = a^{2} \text{ या } x^{2} + y^{2} = 2ay$ ..........$(1)$
जहाँ $a$ एक स्वेच्छ अचर है। समीकरण $(1)$ के दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है
$2x + 2y \frac{dy}{dx} = 2a \frac{dy}{dx}$
या $x + y \frac{dy}{dx} = a \frac{dy}{dx} \text{ या } a = \frac{x + y \frac{dy}{dx}}{\frac{dy}{dx}}$ ..........$(2)$
समीकरण $(2)$ से $a$ का मान समीकरण $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है
$x^{2} + y^{2} = 2y \left[ \frac{x + y \frac{dy}{dx}}{\frac{dy}{dx}} \right]$
या $\frac{dy}{dx}(x^{2} + y^{2}) = 2xy + 2y^{2} \frac{dy}{dx}$
या $\frac{dy}{dx}(x^{2} + y^{2} - 2y^{2}) = 2xy$
या $\frac{dy}{dx} = \frac{2xy}{x^{2} - y^{2}}$
यह वृत्तों के दिए गए कुल का अभीष्ट अवकल समीकरण है।

(N/A) माना $P$ उपरोक्त परवलयों के कुल को दर्शाता है और माना $(a, 0)$ दिए गए कुल के एक सदस्य की नाभि है,जहाँ $a$ एक स्वेच्छ अचर है। अतः,कुल $P$ का समीकरण है
$y^{2} = 4ax$ ...........$(1)$
समीकरण $(1)$ के दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है
$2y \frac{dy}{dx} = 4a$ ............$(2)$
समीकरण $(2)$ से $4a$ का मान समीकरण $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है
$y^{2} = \left(2y \frac{dy}{dx}\right)(x)$
या $y^{2} - 2xy \frac{dy}{dx} = 0$
जो कि परवलयों के दिए गए कुल का अवकल समीकरण है।

(D) दिया गया समीकरण: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \frac{dy}{dx} = 0$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$0 + \frac{1}{b} \frac{d^2y}{dx^2} = 0$
चूंकि $b \neq 0$,इसलिए $\frac{d^2y}{dx^2} = 0$ होगा।
अतः,अभीष्ट अवकल समीकरण $y'' = 0$ है।

(D) दिया गया समीकरण: $y^{2}=a(b^{2}-x^{2})$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2y \frac{dy}{dx} = a(-2x)$
$y y' = -ax$ --- $(1)$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y' y' + y y'' = -a$
$(y')^{2} + y y'' = -a$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ से,$a = -\frac{y y'}{x}$ प्राप्त होता है। इस मान को $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(y')^{2} + y y'' = -(-\frac{y y'}{x})$
$(y')^{2} + y y'' = \frac{y y'}{x}$
दोनों पक्षों को $x$ से गुणा करने पर:
$x(y')^{2} + x y y'' = y y'$
$x y y'' + x(y')^{2} - y y' = 0$

(N/A) दिया गया समीकरण: $y = a e^{3x} + b e^{-2x}$ .............$(1)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y' = 3a e^{3x} - 2b e^{-2x}$ .............$(2)$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y'' = 9a e^{3x} + 4b e^{-2x}$ .............$(3)$
$a$ और $b$ को विलुप्त करने के लिए,हम समीकरणों की प्रणाली का उपयोग कर सकते हैं। $(1)$ और $(2)$ से:
$y' + 2y = (3a e^{3x} - 2b e^{-2x}) + 2(a e^{3x} + b e^{-2x}) = 5a e^{3x} \Rightarrow a e^{3x} = \frac{y' + 2y}{5}$
$y' - 3y = (3a e^{3x} - 2b e^{-2x}) - 3(a e^{3x} + b e^{-2x}) = -5b e^{-2x} \Rightarrow b e^{-2x} = \frac{3y - y'}{5}$
इन मानों को $(3)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$y'' = 9\left(\frac{y' + 2y}{5}\right) + 4\left(\frac{3y - y'}{5}\right)$
$y'' = \frac{9y' + 18y + 12y - 4y'}{5}$
$y'' = \frac{5y' + 30y}{5}$
$y'' = y' + 6y$
$y'' - y' - 6y = 0$

(N/A) $y = e^{2x}(a + bx)$ ...........$(1)$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$y' = 2e^{2x}(a + bx) + e^{2x}(b)$
$y' = 2y + be^{2x}$ ...........$(2)$
$b$ वाले पद को अलग करने के लिए समीकरण $(2)$ को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$y' - 2y = be^{2x}$ ...........$(3)$
समीकरण $(3)$ के दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y'' - 2y' = b(2e^{2x})$
$y'' - 2y' = 2(be^{2x})$
समीकरण $(3)$ से $be^{2x} = y' - 2y$ का मान उपरोक्त समीकरण में रखने पर:
$y'' - 2y' = 2(y' - 2y)$
$y'' - 2y' = 2y' - 4y$
$y'' - 4y' + 4y = 0$
यह अभीष्ट अवकल समीकरण है.

(D) दिया गया समीकरण: $y = e^{x}(a \cos x + b \sin x)$ ............$(1)$
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$y' = e^{x}(a \cos x + b \sin x) + e^{x}(-a \sin x + b \cos x)$
$y' = y + e^{x}(-a \sin x + b \cos x)$ ............$(2)$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y'' = y' + [e^{x}(-a \sin x + b \cos x) + e^{x}(-a \cos x - b \sin x)]$
$y'' = y' + (y' - y) - e^{x}(a \cos x + b \sin x)$
$y'' = 2y' - y - y$
$y'' = 2y' - 2y$
$y'' - 2y' + 2y = 0$
यह अभीष्ट अवकल समीकरण है।

(A) मूल बिंदु पर $y$-अक्ष को स्पर्श करने वाले वृत्त का केंद्र $x$-अक्ष पर स्थित होता है। माना वृत्त का केंद्र $(a, 0)$ है।
चूंकि यह मूल बिंदु पर $y$-अक्ष को स्पर्श करता है,इसलिए इसकी त्रिज्या $|a|$ है।
केंद्र $(a, 0)$ और त्रिज्या $|a|$ वाले वृत्त का समीकरण $(x-a)^2 + y^2 = a^2$ है।
इसका विस्तार करने पर,हमें $x^2 - 2ax + a^2 + y^2 = a^2$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $x^2 + y^2 = 2ax$ ... $(1)$ हो जाता है।
समीकरण $(1)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $2x + 2yy' = 2a$ प्राप्त होता है,या $x + yy' = a$।
$a$ का मान समीकरण $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $x^2 + y^2 = 2(x + yy')x$ प्राप्त होता है।
$x^2 + y^2 = 2x^2 + 2xyy'$.
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $y^2 - x^2 + 2xyy' = 0$ या $x^2 - y^2 = 2xyy'$ प्राप्त होता है।
अतः,अभीष्ट अवकल समीकरण $x^2 - y^2 + 2xyy' = 0$ है।

(A) मूल बिंदु पर शीर्ष और धनात्मक $y$-अक्ष के अनुदिश अक्ष वाले परवलय का समीकरण है:
$x^{2}=4 a y$ $(1)$
समीकरण $(1)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2 x=4 a y^{\prime}$ $(2)$
समीकरण $(2)$ को समीकरण $(1)$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{2 x}{x^{2}}=\frac{4 a y^{\prime}}{4 a y}$
$\Rightarrow \frac{2}{x}=\frac{y^{\prime}}{y}$
$\Rightarrow x y^{\prime}=2 y$
$\Rightarrow x y^{\prime}-2 y=0$
यह अभीष्ट अवकल समीकरण है.

(N/A) $y$-अक्ष पर नाभियों और मूलबिंदु पर केंद्र वाले दीर्घवृत्तों के परिवार का समीकरण इस प्रकार है:
$\frac{x^{2}}{b^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}}=1$ --- $(1)$
समीकरण $(1)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{2x}{b^{2}}+\frac{2yy'}{a^{2}}=0$
$\Rightarrow \frac{x}{b^{2}}+\frac{yy'}{a^{2}}=0$ --- $(2)$
$x$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{1}{b^{2}} = -\frac{yy'}{a^{2}x}$.
समीकरण $(2)$ का पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{1}{b^{2}}+\frac{y' \cdot y' + y \cdot y''}{a^{2}} = 0$
$\frac{1}{b^{2}} = -\frac{yy'}{a^{2}x}$ का मान समीकरण में रखने पर:
$-\frac{yy'}{a^{2}x} + \frac{(y')^{2} + yy''}{a^{2}} = 0$
$a^{2}x$ से गुणा करने पर:
$-yy' + x(y')^{2} + xyy'' = 0$
अतः,अभीष्ट अवकल समीकरण है:
$xyy'' + x(y')^{2} - yy' = 0$

(N/A) मूलबिंदु पर केंद्र और $x$-अक्ष पर नाभियों वाले अतिपरवलयों के कुल का मानक समीकरण है:
$\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ --- $(1)$
समीकरण $(1)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{2x}{a^{2}} - \frac{2yy'}{b^{2}} = 0$
$\Rightarrow \frac{x}{a^{2}} = \frac{yy'}{b^{2}}$ --- $(2)$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर (गुणन नियम का उपयोग करते हुए):
$\frac{1}{a^{2}} = \frac{1}{b^{2}} (y' \cdot y' + y \cdot y'')$
$\Rightarrow \frac{1}{a^{2}} = \frac{1}{b^{2}} ((y')^{2} + yy'')$ --- $(3)$
समीकरण $(3)$ से $\frac{1}{a^{2}}$ का मान समीकरण $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$x \cdot \frac{1}{b^{2}} ((y')^{2} + yy'') = \frac{yy'}{b^{2}}$
चूंकि $b^{2} \neq 0$,दोनों पक्षों को $b^{2}$ से गुणा करने पर:
$x(y')^{2} + xyy'' = yy'$
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें अभीष्ट अवकल समीकरण प्राप्त होता है:
$xyy'' + x(y')^{2} - yy' = 0$

(B) माना $y$-अक्ष पर वृत्त का केंद्र $(0, b)$ है।
केंद्र $(0, b)$ और त्रिज्या $3$ वाले वृत्तों के परिवार का समीकरण:
$x^2 + (y - b)^2 = 3^2$
$x^2 + (y - b)^2 = 9$ --- $(1)$
समीकरण $(1)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2x + 2(y - b) \cdot y' = 0$
$(y - b) \cdot y' = -x$
$(y - b) = -\frac{x}{y'}$
$(y - b)$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$x^2 + \left(-\frac{x}{y'}\right)^2 = 9$
$x^2 + \frac{x^2}{(y')^2} = 9$
$(y')^2$ से गुणा करने पर:
$x^2(y')^2 + x^2 = 9(y')^2$
$x^2(y')^2 - 9(y')^2 + x^2 = 0$
$(x^2 - 9)(y')^2 + x^2 = 0$

(A) दिया गया समीकरण है:
$y=c_{1} e^{x}+c_{2} e^{-x}$ $(1)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{d y}{d x}=c_{1} e^{x}-c_{2} e^{-x}$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=c_{1} e^{x}+c_{2} e^{-x}$
चूंकि समीकरण $(1)$ से दाहिना पक्ष $y$ के बराबर है,इसलिए हमारे पास है:
$\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=y$
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{d^{2} y}{d x^{2}}-y=0$
यह अभीष्ट अवकल समीकरण है।
अतः,सही उत्तर $A$ है।

(B) दिया गया वक्र $y=x$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{d y}{d x}=1$ $(1)$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=0$ $(2)$
अब,$y=x$,$\frac{d y}{d x}=1$,और $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=0$ के मानों को विकल्पों में रखने पर,हम पाते हैं कि दिए गए विकल्पों में से कोई भी समीकरण पूर्णतः संतुष्ट नहीं होता है। यदि समीकरण $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - x \frac{d y}{d x} + y = 0$ होता,तो $y=x$ उसका हल होता। अतः,विकल्प $B$ सबसे उपयुक्त उत्तर है।

(N/A) माना $C$ द्वितीय चतुर्थांश में स्थित और निर्देशांक अक्षों को स्पर्श करने वाले वृत्तों के कुल को दर्शाता है। माना इस कुल के किसी भी सदस्य के केंद्र के निर्देशांक $(-a, a)$ हैं।
कुल $C$ को निरूपित करने वाला समीकरण है
$(x+a)^{2}+(y-a)^{2}=a^{2}$ ............$(1)$
या $x^{2}+y^{2}+2ax-2ay+a^{2}=0$ .............. $(2)$
समीकरण $(2)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है
$2x+2y \frac{dy}{dx}+2a-2a \frac{dy}{dx} = 0$
या $x+y \frac{dy}{dx} = a \left(\frac{dy}{dx}-1\right)$
या $a = \frac{x+y y^{\prime}}{y^{\prime}-1}$
$a$ का मान समीकरण $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है
$\left[x+\frac{x+y y^{\prime}}{y^{\prime}-1}\right]^{2}+\left[y-\frac{x+y y^{\prime}}{y^{\prime}-1}\right]^{2}=\left[\frac{x+y y^{\prime}}{y^{\prime}-1}\right]^{2}$
या $\left[\frac{x y^{\prime}-x+x+y y^{\prime}}{y^{\prime}-1}\right]^{2}+\left[\frac{y y^{\prime}-y-x-y y^{\prime}}{y^{\prime}-1}\right]^{2}=\left[\frac{x+y y^{\prime}}{y^{\prime}-1}\right]^{2}$
या $(x y^{\prime}+y y^{\prime})^{2}+(-y-x)^{2}=(x+y y^{\prime})^{2}$
या $(x+y)^{2} (y^{\prime})^{2}+(x+y)^{2}=(x+y y^{\prime})^{2}$
या $(x+y)^{2} [1+(y^{\prime})^{2}]=(x+y y^{\prime})^{2}$
यह अभीष्ट अवकल समीकरण है।

दिया गया फलन: $y=ae^{x}+be^{-x}+x^{2}$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = ae^{x} - be^{-x} + 2x$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = ae^{x} + be^{-x} + 2$
$\frac{dy}{dx}$ और $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ के मानों को अवकल समीकरण के बाएँ पक्ष ($L$.$H$.$S$.) में प्रतिस्थापित करने पर:
$L.H.S. = x(ae^{x} + be^{-x} + 2) + 2(ae^{x} - be^{-x} + 2x) - x(ae^{x} + be^{-x} + x^{2}) + x^{2} - 2$
$= axe^{x} + bxe^{-x} + 2x + 2ae^{x} - 2be^{-x} + 4x - axe^{x} - bxe^{-x} - x^{3} + x^{2} - 2$
$= 2ae^{x} - 2be^{-x} - x^{3} + x^{2} + 6x - 2$
चूँकि $L.H.S. \neq 0$,अतः दिया गया फलन अवकल समीकरण का हल नहीं है।

(N/A) दिया गया फलन: $y=e^{x}(a \cos x+b \sin x) = ae^{x} \cos x + be^{x} \sin x$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = a(e^{x} \cos x - e^{x} \sin x) + b(e^{x} \sin x + e^{x} \cos x)$
$\frac{dy}{dx} = e^{x}[(a+b) \cos x + (b-a) \sin x]$.
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{d}{dx} \{e^{x}[(a+b) \cos x + (b-a) \sin x]\}$
$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = e^{x}[(a+b) \cos x + (b-a) \sin x] + e^{x}[-(a+b) \sin x + (b-a) \cos x]$
$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = e^{x}[(a+b+b-a) \cos x + (b-a-a-b) \sin x]$
$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = e^{x}[2b \cos x - 2a \sin x]$.
$\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$,$\frac{dy}{dx}$,और $y$ के मानों को अवकल समीकरण के $L.H.S.$ में रखने पर:
$L.H.S. = \frac{d^{2}y}{dx^{2}} - 2\frac{dy}{dx} + 2y$
$= e^{x}[2b \cos x - 2a \sin x] - 2e^{x}[(a+b) \cos x + (b-a) \sin x] + 2e^{x}[a \cos x + b \sin x]$
$= e^{x}[2b \cos x - 2a \sin x - 2a \cos x - 2b \sin x + 2b \sin x - 2a \cos x + 2a \cos x + 2b \sin x]$
$= e^{x}[(2b - 2a - 2b + 2a) \cos x + (-2a - 2b + 2b + 2a) \sin x]$
$= e^{x}[0 \cos x + 0 \sin x] = 0 = R.H.S.$
अतः,दिया गया फलन अवकल समीकरण का हल है।

दिया गया फलन: $x^{2}=2 y^{2} \log y$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2x = 2 \frac{d}{dx} [y^{2} \log y]$
$x = \frac{d}{dx} [y^{2} \log y]$
$x = 2y \log y \frac{dy}{dx} + y^{2} \cdot \frac{1}{y} \frac{dy}{dx}$
$x = \frac{dy}{dx} (2y \log y + y)$
$x = y \frac{dy}{dx} (2 \log y + 1)$
$\frac{dy}{dx} = \frac{x}{y(1+2 \log y)}$
अब,$\frac{dy}{dx}$ का मान अवकल समीकरण $(x^{2}+y^{2}) \frac{dy}{dx}-xy$ के $L.H.S.$ में रखने पर:
$L.H.S. = (2y^{2} \log y + y^{2}) \cdot \frac{x}{y(1+2 \log y)} - xy$
$L.H.S. = y^{2}(2 \log y + 1) \cdot \frac{x}{y(1+2 \log y)} - xy$
$L.H.S. = y(2 \log y + 1) \cdot \frac{x}{(1+2 \log y)} - xy$
$L.H.S. = xy - xy = 0$
चूंकि $L.H.S. = R.H.S.$,अतः दिया गया फलन अवकल समीकरण का एक हल है।

(D) दिया गया समीकरण: $(x-a)^{2}+2 y^{2}=a^{2}$
समीकरण का विस्तार करने पर: $x^{2}-2ax+a^{2}+2y^{2}=a^{2}$
सरल करने पर: $x^{2}-2ax+2y^{2}=0$
$2ax = x^{2}+2y^{2}$
$a = \frac{x^{2}+2y^{2}}{2x}$
अब,समीकरण $x^{2}-2ax+2y^{2}=0$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2x - 2a + 4y \frac{dy}{dx} = 0$
$x - a + 2y \frac{dy}{dx} = 0$
$a$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$x - \frac{x^{2}+2y^{2}}{2x} + 2y \frac{dy}{dx} = 0$
$2x$ से गुणा करने पर:
$2x^{2} - (x^{2}+2y^{2}) + 4xy \frac{dy}{dx} = 0$
$2x^{2} - x^{2} - 2y^{2} + 4xy \frac{dy}{dx} = 0$
$x^{2} - 2y^{2} + 4xy \frac{dy}{dx} = 0$
$4xy \frac{dy}{dx} = 2y^{2} - x^{2}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{2y^{2}-x^{2}}{4xy}$

(N/A) प्रथम चतुर्थांश में केंद्र $(a, a)$ और त्रिज्या $(a)$ वाले वृत्त का समीकरण जो निर्देशांक अक्षों को स्पर्श करता है,वह है:
$(x-a)^{2}+(y-a)^{2}=a^{2}$ $(1)$
समीकरण $(1)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2(x-a)+2(y-a) y^{\prime}=0$
$(x-a)+(y-a) y^{\prime}=0$
$x-a+yy^{\prime}-ay^{\prime}=0$
$x+y y^{\prime}-a(1+y^{\prime})=0$
$a=\frac{x+y y^{\prime}}{1+y^{\prime}}$
$a$ का मान समीकरण $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\left[x-\left(\frac{x+yy^{\prime}}{1+y^{\prime}}\right)\right]^{2}+\left[y-\left(\frac{x+yy^{\prime}}{1+y^{\prime}}\right)\right]^{2}=\left(\frac{x+yy^{\prime}}{1+y^{\prime}}\right)^{2}$
$\left[\frac{x+xy^{\prime}-x-yy^{\prime}}{1+y^{\prime}}\right]^{2}+\left[\frac{y+yy^{\prime}-x-yy^{\prime}}{1+y^{\prime}}\right]^{2}=\left[\frac{x+yy^{\prime}}{1+y^{\prime}}\right]^{2}$
$\left[\frac{x y^{\prime}-y y^{\prime}}{1+y^{\prime}}\right]^{2}+\left[\frac{y-x}{1+y^{\prime}}\right]^{2}=\left[\frac{x+yy^{\prime}}{1+y^{\prime}}\right]^{2}$
$(y^{\prime})^{2}(x-y)^{2}+(y-x)^{2}=(x+yy^{\prime})^{2}$
$(x-y)^{2}[1+(y^{\prime})^{2}]=(x+yy^{\prime})^{2}$

(C) दिया गया परवलय का समीकरण: $y^{2} = 4ax + 4a^{2}$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2y \frac{dy}{dx} = 4a$
$\Rightarrow a = \frac{y}{2} \frac{dy}{dx}$.
$a$ का मान मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$y^{2} = 4\left(\frac{y}{2} \frac{dy}{dx}\right)x + 4\left(\frac{y}{2} \frac{dy}{dx}\right)^{2}$.
समीकरण को सरल करने पर:
$y^{2} = 2xy \frac{dy}{dx} + 4 \cdot \frac{y^{2}}{4} \left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}$.
$y^{2} = 2xy \frac{dy}{dx} + y^{2} \left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}$.
$y$ से विभाजित करने पर (मानते हुए कि $y \neq 0$):
$y = 2x \frac{dy}{dx} + y \left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}$.
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$y \left(\frac{dy}{dx}\right)^{2} + 2x \frac{dy}{dx} - y = 0$.

(D) दिया गया वक्रों का परिवार: $y^{2}=a\left(x+\frac{\sqrt{a}}{2}\right) = ax + \frac{a^{3/2}}{2} \quad ...(1)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2yy' = a$
$a = 2yy'$ को समीकरण $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$y^{2} = (2yy')x + \frac{(2yy')^{3/2}}{2}$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$y^{2} - 2xyy' = \frac{(2yy')^{3/2}}{2}$
भिन्नात्मक घात को हटाने के लिए दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(y^{2} - 2xyy')^{2} = \frac{(2yy')^{3}}{4}$
$(y^{2} - 2xyy')^{2} = 2y^{3}(y')^{3}$
यहाँ उच्चतम अवकलज $y'$ है,इसलिए कोटि (order) $1$ है।
उच्चतम अवकलज की अधिकतम घात $3$ है,इसलिए घात (degree) $3$ है।
घात और कोटि के बीच का अंतर $3 - 1 = 2$ है।

(D) नाभिलंब की लंबाई $4a$ बिंदु $(2, -3)$ से रेखा $3x + 4y - 5 = 0$ की दूरी है।
$4a = \frac{|3(2) + 4(-3) - 5|}{\sqrt{3^{2} + 4^{2}}} = \frac{|6 - 12 - 5|}{5} = \frac{|-11|}{5} = \frac{11}{5}$.
चूंकि अक्ष $y$-अक्ष के समानांतर है,परवलय का समीकरण $(x - h)^{2} = 4a(y - k)$ है,जहाँ $4a = \frac{11}{5}$ है।
$(x - h)^{2} = \frac{11}{5}(y - k)$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2(x - h) = \frac{11}{5} \frac{dy}{dx}$.
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2 = \frac{11}{5} \frac{d^{2}y}{dx^{2}}$.
$10 = 11 \frac{d^{2}y}{dx^{2}}$,अर्थात $11 \frac{d^{2}y}{dx^{2}} = 10$.

(A) $(0, 2)$ और $(0, -2)$ से गुजरने वाले वृत्त का सामान्य समीकरण $x^{2} + y^{2} + 2gx + 2fy + c = 0$ है।
चूंकि ये बिंदु वृत्त पर स्थित हैं,इसलिए $4 + 4f + c = 0$ और $4 - 4f + c = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $f = 0$ और $c = -4$।
अतः,वृत्तों के परिवार का समीकरण $x^{2} + y^{2} - 4 + 2gx = 0$ है।
$x$ से विभाजित करने पर,$\frac{x^{2} + y^{2} - 4}{x} + 2g = 0$ प्राप्त होता है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{d}{dx} \left( \frac{x^{2} + y^{2} - 4}{x} \right) = 0$ प्राप्त होता है।
भागफल नियम का उपयोग करने पर,$\frac{x(2x + 2y \frac{dy}{dx}) - (x^{2} + y^{2} - 4)(1)}{x^{2}} = 0$।
इसे सरल करने पर $2x^{2} + 2xy \frac{dy}{dx} - x^{2} - y^{2} + 4 = 0$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$2xy \frac{dy}{dx} + x^{2} - y^{2} + 4 = 0$ प्राप्त होता है।

(C) मान लीजिए कि वृत्त का केंद्र $(h, h)$ है क्योंकि यह $y=x$ रेखा पर स्थित है।
चूंकि वृत्त मूल बिंदु $(0,0)$ से गुजरता है,इसकी त्रिज्या $r$ का मान $(h, h)$ से $(0,0)$ की दूरी है,इसलिए $r^2 = h^2 + h^2 = 2h^2$ है।
वृत्त का समीकरण $(x-h)^2 + (y-h)^2 = 2h^2$ है।
इसका विस्तार करने पर,हमें $x^2 - 2xh + h^2 + y^2 - 2yh + h^2 = 2h^2$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $x^2 + y^2 - 2h(x+y) = 0$ हो जाता है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $2x + 2yy' - 2h(1+y') = 0$ प्राप्त होता है,जिससे $h = \frac{x+yy'}{1+y'}$ मिलता है।
$h$ का मान वृत्त के समीकरण में रखने पर: $x^2 + y^2 = 2(\frac{x+yy'}{1+y'})(x+y)$।
$(x^2+y^2)(1+y') = 2(x+y)(x+yy')$।
$(x^2+y^2) + (x^2+y^2)y' = 2x^2 + 2xyy' + 2xy + 2y^2y'$।
$y'$ को अलग करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर: $(x^2+y^2-2xy-2y^2)y' = 2x^2 + 2xy - x^2 - y^2$।
$(x^2-y^2-2xy)y' = x^2-y^2+2xy$।
अतः,$(x^2-y^2+2xy) dx = (x^2-y^2-2xy) dy$।

(B) दिया गया है कि वक्र $y=f(x)$ के अंतर्गत $x=0$ से $x=a$ तक का क्षेत्रफल $\int_0^a f(x) dx = e^{-a}+4a^2+a-1$ है।
कलन के मूलभूत प्रमेय के अनुसार,दोनों पक्षों का $a$ के सापेक्ष अवकलन करने पर $f(a) = \frac{d}{da}(e^{-a}+4a^2+a-1) = -e^{-a}+8a+1$ प्राप्त होता है।
अतः,$f(x) = -e^{-x}+8x+1$ है।
व्यापक हल $y = c_1 f(x) + c_2$ दिया गया है,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = c_1 f'(x) = c_1(e^{-x}+8)$।
$\frac{d^2y}{dx^2} = c_1 f''(x) = c_1(e^{-x})$।
द्वितीय अवकलज से,$c_1 = e^x \frac{d^2y}{dx^2}$ प्राप्त होता है।
$c_1$ का मान प्रथम अवकलज समीकरण में रखने पर:
$\frac{dy}{dx} = (e^x \frac{d^2y}{dx^2})(e^{-x}+8) = \frac{d^2y}{dx^2}(1+8e^x)$।
पुनर्व्यवस्थित करने पर $(8e^x+1) \frac{d^2y}{dx^2} - \frac{dy}{dx} = 0$ प्राप्त होता है।

(A) $X$-अक्ष पर केंद्र $(h, 0)$ और $Y$-अक्ष को स्पर्श करने वाले वृत्त का समीकरण $(x-h)^2 + y^2 = h^2$ है।
इसे हल करने पर,$x^2 - 2xh + h^2 + y^2 = h^2$,अर्थात $x^2 + y^2 = 2xh$ प्राप्त होता है।
माना $h = b$,तब $x^2 + y^2 = 2bx$ ... $(i)$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2x + 2y \frac{dy}{dx} = 2b$,या $x + y \frac{dy}{dx} = b$ ... $(ii)$.
$(ii)$ को $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर,$x^2 + y^2 = 2x(x + y \frac{dy}{dx})$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(x^2 + y^2)^2 = 4x^2(x + y \frac{dy}{dx})^2$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया व्यापक हल $y = (C_1 + C_2) \sin (x + C_3) - C_4 e^{x + C_5}$ है।
हम अचरों को इस प्रकार सरल कर सकते हैं:
माना $A = (C_1 + C_2)$। चूँकि $C_1$ और $C_2$ स्वेच्छ अचर हैं,उनका योग $A$ भी एक स्वेच्छ अचर है।
माना $B = C_4 e^{C_5}$। चूँकि $C_4$ और $C_5$ स्वेच्छ अचर हैं,$B$ भी एक स्वेच्छ अचर है।
अब,समीकरण $y = A \sin (x + C_3) - B e^x$ बन जाता है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin (x + C_3) = \sin x \cos C_3 + \cos x \sin C_3$ का उपयोग करने पर:
$y = A (\sin x \cos C_3 + \cos x \sin C_3) - B e^x$
$y = (A \cos C_3) \sin x + (A \sin C_3) \cos x - B e^x$।
माना $K_1 = A \cos C_3$,$K_2 = A \sin C_3$,और $K_3 = -B$।
ये $K_1, K_2, K_3$ स्वतंत्र स्वेच्छ अचर हैं।
इस प्रकार,समीकरण $y = K_1 \sin x + K_2 \cos x + K_3 e^x$ में सरल हो जाता है।
चूँकि व्यापक हल में $3$ स्वतंत्र स्वेच्छ अचर हैं,इसलिए संबंधित अवकल समीकरण की कोटि $3$ है।

(D) दिया गया समीकरण: $y^2=2 c(x+\sqrt{c}) \dots (i)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2 y \frac{dy}{dx} = 2c \implies c = y \frac{dy}{dx} \dots (ii)$
$(ii)$ को $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$y^2 = 2 \left(y \frac{dy}{dx}\right) \left(x + \sqrt{y \frac{dy}{dx}}\right)$
$y$ से भाग देने पर (मान लीजिए $y \neq 0$):
$y = 2 \frac{dy}{dx} \left(x + \sqrt{y \frac{dy}{dx}}\right)$
$y - 2x \frac{dy}{dx} = 2 \frac{dy}{dx} \sqrt{y \frac{dy}{dx}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(y - 2x \frac{dy}{dx})^2 = 4 \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 \left(y \frac{dy}{dx}\right)$
$(y - 2x \frac{dy}{dx})^2 = 4y \left(\frac{dy}{dx}\right)^3$
उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{dy}{dx}$ है,इसलिए कोटि $1$ है। उच्चतम कोटि के अवकलज की घात $3$ है,इसलिए घात $3$ है।

(A) दिया गया समीकरण: $y^2 = 8ax + 8a^2$ $(1)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2y \frac{dy}{dx} = 8a$
$\Rightarrow a = \frac{y}{4} \frac{dy}{dx}$
$a$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$y^2 = 8 \left( \frac{y}{4} \frac{dy}{dx} \right) x + 8 \left( \frac{y}{4} \frac{dy}{dx} \right)^2$
$y^2 = 2xy \frac{dy}{dx} + 8 \left( \frac{y^2}{16} \right) \left( \frac{dy}{dx} \right)^2$
$y^2 = 2xy \frac{dy}{dx} + \frac{y^2}{2} \left( \frac{dy}{dx} \right)^2$
हर को हटाने के लिए $2$ से गुणा करने पर:
$2y^2 = 4xy \frac{dy}{dx} + y^2 \left( \frac{dy}{dx} \right)^2$
इस अवकल समीकरण में,उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{dy}{dx}$ है,जिसकी कोटि $1$ है। उच्चतम कोटि के अवकलज की अधिकतम घात $2$ है। अतः,इसकी घात (degree) $2$ है।

(A) दिया गया हल $y=a \cos x+b \sin x+c e^{-x}$ है।
चूंकि हल में $3$ स्वेच्छ अचर $(a, b, c)$ हैं,इसलिए अवकल समीकरण की कोटि स्वेच्छ अचरों की संख्या के बराबर होती है।
अतः,अवकल समीकरण की कोटि $3$ है।

(B) $4$ त्रिज्या और केंद्र $(h, k)$ वाले वृत्त का सामान्य समीकरण $(x-h)^2 + (y-k)^2 = 4^2$ है।
यहाँ,$h$ और $k$ स्वेच्छ अचर हैं।
चूँकि इसमें $2$ स्वतंत्र स्वेच्छ अचर हैं,इसलिए अवकल समीकरण की कोटि स्वेच्छ अचरों की संख्या के बराबर होती है।
अतः,अवकल समीकरण की कोटि $2$ है।

(D) $4a$ नाभिलंब और $x$-अक्ष के समांतर अक्ष वाले परवलय का सामान्य समीकरण $(y-k)^2 = 4a(x-h)$ होता है।
यहाँ,$a$ एक निश्चित प्राचल है (नाभिलंब की लंबाई के रूप में दिया गया है),जबकि $h$ और $k$ शीर्ष $(h, k)$ के निर्देशांक को दर्शाने वाले स्वेच्छ अचर हैं।
चूँकि इसमें $2$ स्वेच्छ अचर हैं,इसलिए अवकल समीकरण की कोटि स्वेच्छ अचरों की संख्या के बराबर होती है।
अतः,अवकल समीकरण की कोटि $2$ है।

(D) दिया गया समीकरण $a e^{x} + b e^{2x} + c e^{3x} + d = 0$ है।
इस समीकरण में $4$ स्वेच्छ अचर (arbitrary constants) $a, b, c,$ और $d$ मौजूद हैं।
परिभाषा के अनुसार,किसी अवकल समीकरण की कोटि उसके व्यापक हल में मौजूद स्वतंत्र स्वेच्छ अचरों की संख्या के बराबर होती है।
चूंकि यहाँ $4$ स्वेच्छ अचर हैं,इसलिए अवकल समीकरण की कोटि $4$ होगी।

(C) बिंदु $(1, -1)$ से गुजरने वाली और $m$ ढाल वाली सीधी रेखा का समीकरण बिंदु-ढाल रूप में इस प्रकार है:
$y - y_1 = m(x - x_1)$
बिंदु $(1, -1)$ का मान रखने पर:
$y - (-1) = m(x - 1)$
$y + 1 = m(x - 1)$
चूंकि $m = \frac{dy}{dx}$,इसलिए समीकरण में मान रखने पर:
$y + 1 = \frac{dy}{dx}(x - 1)$
अतः,अभीष्ट अवकल समीकरण $y + 1 = (x - 1) \frac{dy}{dx}$ है।

(B) दिया गया वक्रों का परिवार: $x^2 y = 4e^x + c$.
अवकल समीकरण ज्ञात करने के लिए,हम दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{d}{dx}(x^2 y) = \frac{d}{dx}(4e^x + c)$.
बाएँ पक्ष पर गुणन नियम का उपयोग करने पर:
$x^2 \frac{dy}{dx} + y \frac{d}{dx}(x^2) = 4e^x$.
$x^2 \frac{dy}{dx} + 2xy = 4e^x$.
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x^2 \frac{dy}{dx} + (2xy - 4e^x) = 0$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) वृत्त का केंद्र $(h, 5)$ है और यह $X$-अक्ष को स्पर्श करता है,इसलिए इसकी त्रिज्या $r$ केंद्र के $y$-निर्देशांक के निरपेक्ष मान के बराबर है,जो कि $r = 5$ है।
वृत्त का समीकरण $(x-h)^2 + (y-5)^2 = 5^2$ है।
$(x-h)^2 + (y-5)^2 = 25$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $2(x-h) + 2(y-5) \frac{dy}{dx} = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$(x-h) = -(y-5) \frac{dy}{dx}$.
इस मान को वृत्त के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $[-(y-5) \frac{dy}{dx}]^2 + (y-5)^2 = 25$.
$(y-5)^2 \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 + (y-5)^2 = 25$.
$(y-5)^2 \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 + y^2 - 10y + 25 = 25$.
$(y-5)^2 \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 + y^2 - 10y = 0$.

(C) दिया गया समीकरण: $y = X \sin(6t + 5) + Y \cos(6t + 5)$.
सबसे पहले,$y$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dt} = X \cdot \cos(6t + 5) \cdot 6 - Y \cdot \sin(6t + 5) \cdot 6 = 6[X \cos(6t + 5) - Y \sin(6t + 5)]$.
अब,पुनः $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2 y}{dt^2} = 6[X \cdot (-\sin(6t + 5)) \cdot 6 - Y \cdot \cos(6t + 5) \cdot 6]$
$\frac{d^2 y}{dt^2} = -36[X \sin(6t + 5) + Y \cos(6t + 5)]$.
चूंकि $y = X \sin(6t + 5) + Y \cos(6t + 5)$,इसलिए $y$ का मान रखने पर:
$\frac{d^2 y}{dt^2} = -36y$.
अतः,$\frac{d^2 y}{dt^2} + 36y = 0$ प्राप्त होता है।